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1ULPGC Electrónica Industrial - 4º ETSII

5.2. Sistemas de codificación en binario

5.2.1. Sistemas numéricos posicionales [ Wakerly 2.1 pág. 26]

5.2.2. Números octales y hexadecimales [ Wakerly 2.2 pág. 27]

5.2.3. Conversión general de sistemas numérico posicionales [ Wakerly2.3 pág. 29]

5.2.4. Suma y resta de números no decimales [ Wakerly 2.4 pág. 32]

5.2.5. Representación de números negativos (signo-magnitud, complemento a 1, complemento a 2) [ Wakerly 2.5 pág. 34]

5.2.6. Suma y resta en complemento a 2 [ Wakerly 2.6 pág. 39]

5.2.7. Código binarios para números decimales [ Wakerly 2.10 pág. 48]

5.2.8. Código Gray [ Wakerly 2.11 pág. 51]

5.2.9. Códigos detectores y correctores de errores[ Wakerly 2.15 pág. 58]


Objetivos

• Revisión de sistema numérico decimal• Contar en el sistema binario• Convertir de decimal a binario y viceversa• Conversión entre los sistemas hexadecimal y octal a binario• Aplicar las operaciones aritméticas a los números binarios• Determinar el complemento a 1 y complemento a 2 de un número

binario• Expresar números con signo en el formato binario• Expresar números decimales en formato BCD (Código Decimal

Binario)• Interpretar el código ASCII• Utilizar códigos para detección y corrección de errores

E.T.S. de Ingenieros Industriales Electrónica Industrial, 4º curso

® «Roberto Sarmiento y Sebastián López»

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5.2.1. Sistemas numéricos posicionales

• El sistema de numeración que utilizamos a diario es un sistema de numeración posicional en el cual un número se representa mediante una cadena de dígitos en la cual posición de cada dígito tiene asociado un peso.

• En general, cualquier número decimal de la forma:

tiene el valor:

npp ddddddd ....... 210121 −−−−

nn

pp

ipp dddddddD −−

−−

−−

−−

− ++++++= 10...1010.1010...1010 22

11

00

11

221

Dígito Menos Significativo (LSD)Coma fraccionaria

Dígito Más Significativo (MSD)

radix



• El sistema de numeración que utilizamos a diario es un sistema de numeración posicional en el cual un número se representa mediante una cadena de dígitos en la cual posición de cada dígito tiene asociado un peso.

• En general, cualquier número decimal de la forma:

tiene el valor:

npp ddddddd ....... 210121 −−−−

Dígito Menos Significativo (LSD)Coma fraccionaria

Dígito Más Significativo (MSD)

∑−

−=

⋅=1p

ni

ii rdD



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• Los sistemas digitales usan dígitos binarios, y por lo tanto se usa una base binaria para representar cualquier número en un sistema digital.

• La forma general de un número binario es:

npp bbbbbbb ....... 210121 −−−−

Y su valor equivalente

∑−

−=

⋅=1

2p

ni

iibB


5.2.2. Números octales y hexadecimales

• La base (o radix) 8 y especialmente la 16 se usan a menudo para hacer las representaciones de números binarios más cortas, reduciendo la necesidad de cadenas largas indescifrables.

dígitos del 0 al 7

dígitos del 0 al 9

dígitos del 0 al 9 + ABCDEF



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5.2.2. Números octales y hexadecimales

• Conversión de binario a octal: comenzando en la coma binaria, y hacia la izquierda, separar los bits en grupos de 3 y reemplazar por el correspondiente dígito octal.

• Conversión de binario a hexadecimal: comenzando en la coma binaria, y hacia la izquierda, separar los bits en grupos de 4 y reemplazar por el correspondiente dígito hexadecimal.

• Conversión de la parte fraccionaria: comenzando en la coma binaria, separar los bits en grupos de 3 o 4 hacia la izquierda y derecha y reemplazar.

• Conversión a números binarios: Reemplazar cada octal o dígito hexadecimal con la correspondiente cadena binaria de 3 o 4 bits.


5.2.3. Conversión general de sistemas numéricos

• Como regla general, no se puede pasar de la representación de un número en una base a otra sencillamente sustituyendo los números de una base por los equivalentes de la otra; esto es correcto sólo cuando ambas bases son potencias enteras del mismo número.

• El valor de un número en cualquier base viene dado por:

donde r es la base del número, p indica el número de dígitos a la izquierda de la coma, y n indica el número de dígitos a la derecha.

∑−

−=

⋅=1p

ni

ii rdD



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• El valor decimal de un número en cualquier base se determina convirtiendo cada dígito del número en su equivalente en base 10, y luego se aplica la fórmula usando aritmética en base 10.

• Método alternativo:



• Para convertir de decimal a base r, se sigue el método de la división sucesiva.

• La división sucesiva por r de un número decimal generaráel número en base r equivalente formado por los restos de las divisiones.

• El primer resto que se genera es el dígito menos significativo (LSD).




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5.2.4. Suma y resta de números no decimales

1. Para sumar dos números binarios,

x = xm-1...x0 + y = ym-1...y0,

2. se suman los bits menos significativos,

x0 + y0+ 0 (acarreo inicial, c0=0) = s0 + c1

que produce un bit de acarreo de salida, c1, y el bit de suma, s0

3. Se sigue este proceso para cada par de bits, de derecha a izquierda, y se incluye el acarreo de salida de cada columna en la suma de la columna siguiente



0 1 10 0 1

1 0 0

011



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• La resta binaria se realiza de forma similar, restando un par de bits a la vez, obteniendo en cada paso un bitde adeudo (borrow) y un bit de resta.


5.2.5. Representación de números negativos

• El número está formado por dos partes, la magnitud y el signo, que puede ser + ó -. En los números binarios, el signo se representa mediante un único bit adicional (0 si es positivo y 1 si es negativo) cuya posición es la del MSB

• Teniendo en cuenta que hay dos posibles representaciones del cero, cualquier entero en signo y magnitud con n bits está dentro del rango que va de –(2n-1-1) a +(2n-1-1).

011110112 = +12310111110112 = -12310

bit de signo

Representación en signo y magnitud



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• La aritmética en signo y magnitud requiere que se comparen tanto los signos como las magnitudes de los operandos.

• Si el signo de ambos números es el mismo, se suman las magnitudes y se añade el mismo signo.

• Si los signos son diferentes, hay que comparar las magnitudes:• Si son iguales, el resultado es 0• Si son distintas, restamos a la magnitud mayor la más• pequeña y el resultado hereda el signo de la mayor

Representación en signo y magnitud



• Cualquier entero se puede representar por:

donde n es el número de dígitos y r la base.• En el sistema en complemento a la base r, se define el

complemento de D con n dígitos como:

• Alternativamente, podemos obtener el complemento a la base de lasiguiente forma:

0

1

0121 ddddrdD

n

inn

ii∑

−

=−−== Κ

Representación de complemento

1' += DD

DrD n −=



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• Ventajas– Representación de números

negativos

– La realización de sumas y restas es más rápida ya que se elimina la necesidad de comparadores.

0=+ DD




• Complemento a uno. Margen con n bits –2n-1 a +2n-1

– El bit más significativo indica el signo y el resto el módulo si el número es positivo. En caso de ser negativo el módulo es el resultante de cambiar los “1” por “0” y viceversa

010101012= 8510

101010102= -8510

• Complemento a dos. Margen con n bits –(2n-1+1) a +2n-1

– Igual al complemento a uno, pero si el número es negativo se suma “1” al resultado. Es la representación más utilizada.

010101012= 8510

101010112= -8510




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• A veces, mientras se realizan operaciones aritméticas es necesario pasar de números de n bits a números de m bits

• Extensión de signo– Si m>n, se repite el bit de signo en las m-n posiciones después del bit

de signo del número original (desde la posición n hasta la m-1)

• Truncamiento de signo– Si n>m, se hace un truncamiento de signo, descartando los m-n bits

que siguen al bit de signo. Sin embargo, este número truncado es válido solamente cuando todos los bits descartados son iguales al bitde signo



5.2.6. Suma y resta de complemento a dos

• Suma normal, no diferenciándose los negativos• Resta, como una suma pero complementando a dos el

sustraendo x-y = x+ (-y)• Se ignora cualquier acarreo del bit de signo



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5.2.6. Suma y resta de complemento a dos

• Suma normal, no diferenciándose los negativos• Resta, como una suma pero complementando a dos el

sustraendo x-y = x+ (-y)• Se ignora cualquier acarreo del bit de signo


5.2.6. Suma y resta en complemento a 2

• Se produce desbordamiento si los signos de los sumandos son iguales y el del resultado es diferente

• o que los acarreos de entrada y salida del bit más significativo son diferentes)

Desbordamiento



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5.2.7. Código binarios para números decimales

• Los más utilizados son:– BCD y – 1-de-10 (para

excitación de dispositivos externos como relés o LED)


5.2.8. Código Gray

• El código Gray es un código reflejado: 1. Las primeras 2n palabras de un código Gray de (n+1) bit son

idénticas a las de un código de n bits, añadiendo un cero. 2. Las últimas 2n palabras de un código Gray de (n+1) bit son iguales

a las de un código de n bits, pero escritas en orden inverso y añadiendo un 1



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5.2.9. Códigos detectores y correctores de errores

• Pueden ser de paridad par o paridad impar• Se añade un bit, que puede ser un “1” o un “0”, según sea

necesario para conseguir que el número total de “1” sea paro impar

• Con este sistema se puede detectar el error en un bit

• La distancia de un código es el número de bits diferentes que hay entre cualesquiera dos palabras del código

• Un código es capaz de detectar errores de un bit (errores simples) cuando su distancia mínima es 2

bit de paridad

Concepto de distancia


5.2.9. Códigos detectores y correctores de errores

• Un código es capaz de corregir errores de un bit(errores simples) cuando su distancia mínima es mayor a 2 (es decir es de tres o más)

Códigos detectores de errores



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