52140977 Curso Intermedio de Probabilidad Luis Rincon

Curso intermedio de PROBABILIDAD

Luis Rincn o Departamento de Matemticas a Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 Mxico DF e Versin: Octubre 2007 o

Una versin actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato o electrnico en la direccin http://www.matematicas.unam.mx/lars o o

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Contenido

1. Espacios de probabilidad 1.1. Espacios de probabilidad . 1.2. -lgebras . . . . . . . . . a 1.3. Medidas de probabilidad . 1.4. Independencia de eventos 1.5. Lema de Borel-Cantelli . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . .

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1 1 3 20 33 37 42 57 57 68 74 81 84 94 100 108

2. Variables aleatorias 2.1. Variables aleatorias . . . . . . 2.2. Funcin de distribucin . . . o o 2.3. Tipos de variables aleatorias . 2.4. Integral de Riemann-Stieltjes 2.5. Caracter sticas numricas . . e 2.6. Distribuciones discretas . . . 2.7. Distribuciones continuas . . . 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . 3. Vectores aleatorios 3.1. Vectores aleatorios . . . 3.2. Distribucin conjunta . o 3.3. Densidad conjunta . . . 3.4. Distribucin marginal . o 3.5. Distribucin condicional o . . . . . . . . . . . . . . .

141 . 141 . 144 . 149 . 156 . 160

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3.6. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Esperanza de una funcin de un vector aleatorio o 3.8. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Coeciente de correlacin . . . . . . . . . . . . . o 3.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio . . . 3.11. Distribuciones multivariadas discretas . . . . . . 3.12. Distribuciones multivariadas continuas . . . . . . 3.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Esperanza condicional 4.1. Esperanza condicional 4.2. Esperanza condicional: 4.3. Algunas propiedades . 4.4. Varianza condicional . 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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163 168 171 173 179 181 183 186 213 214 216 221 223 226

5. Transformaciones 229 5.1. Transformacin de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 229 o 5.2. Transformacin de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . 235 o 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6. Dist. muestrales y estad sticas de orden 261 6.1. Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.2. Estad sticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7. Convergencia 7.1. Tipos de convergencia . . . . . . . . . . . . 7.2. Relaciones entre los tipos de convergencia . 7.3. Dos resultados importantes de convergencia 7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 287 297 303 306

8. Funciones generadoras 311 8.1. Funcin generadora de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 311 o 8.2. Funcin generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 316 o iv

8.3. Funcin caracter o stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 9. Dos 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. teoremas l mite Algunas desigualdades . . . Ley de los grandes nmeros u Teorema central del l mite . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 347 352 357 360 365 373

A. Distribuciones de probabilidad B. Conceptos y resultados varios

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Prlogo o

El presente texto est dirigido a estudiantes de mitad de carrera de las a licenciaturas de matemticas, actuar y reas anes. Contiene el material a a, a bsico para un segundo curso de probabilidad, y tiene como origen las notas a de clase del curso semestral de Probabilidad II, que he impartido durante los ultimos aos en la Facultad de Ciencias de la UNAM. n El nfasis de este segundo curso se centra en la formalizacin de algunos e o conceptos estudiados en un primer curso de probabilidad, y en el estudio de vectores aleatorios y sus varios conceptos relacionados. El lector puede comprobar que se hace poco nfasis en las aplicaciones, y que la exposicin e o cubre principalmente el desarrollo matemtico. El objetivo es que despus a e de este curso, el estudiante pueda continuar con facilidad con un curso de estad stica matemtica, de procesos estocsticos, o tal vez un curso avana a zado de probabilidad o de teor de la medida, teniendo como elementos a bsicos los conceptos tericos aqu desarrollados. En particular se incluye a o un cap tulo sobre esperanza condicional, cuyo uso y aplicacin es cada vez o ms frecuente. Tambin se incluye un cap a e tulo sobre distribuciones muestrales y estad sticas de orden, con aplicaciones inmediatas en temas de la estad stica matemtica. a Al nal de cada cap tulo el lector encontrar una lista de ejercicios separaa dos por temas. La mayor de estos ejercicios son de tipo mecnico, algunos a a de ellos son muy sencillos de modo que el trmino ejercicios me parece e justo y adecuado. Pocos de estos ejercicios son originales, la mayor parte de vii

ellos son modicaciones de ejemplos o resultados clsicos que se encuentran a en la larga literatura existente. La intencin de contar con este material es o la de crear conanza y soltura por parte del alumno en el manejo de los conceptos y notacin involucrados. El nmero de ejercicios excede lo que o u normalmente puede realizarse en un semestre, y el objetivo que siempre tuve en mente estos aos fue el tener un nmero suciente de ellos para n u presentar algunos en clase, dejar otros para trabajo en casa, y asignar algunos otros para preguntas de examen, usando material ligeramente distinto cada semestre para evitar repeticiones. Durante la exposicin de los temas o el lector encontrar tambin algunos otros ejercicios propuestos y algunos a e ejemplos resueltos. La presentacin del material mantiene la estructura de las notas de clase, o y creo que ser particularmente util al estudiante con poco tiempo para a leer prrafos completos, y quien slo busca una denicin, un resultado, un a o o ejemplo, un ejercicio, o tal vez orientacin breve acerca de un concepto. En o este sentido, el libro contiene tablas a manera de resumen, y los enunciados estn enmarcados para su fcil localizacin. Tambin he intentado que la a a o e notacin fuera lo ms simple y m o a nima posible. Personalmente me gustan los libros con imgenes y diagramas, y he buscado plasmar ese gusto en este a A a texto. Este material fue escrito en L TEX, y las grcas fueron elaboradas usando el paquete pstricks, lo cual ha sido realmente un placer. Al nal del texto aparece una lista de referencias que me permito sugerir al lector consultar para profundizar y a veces precisar en determinados temas. Algunos de estos textos no han sido mencionados expl citamente pero aparecen en la lista por que en algn momento he obtenido inspiracin de ellos. u o Agradezco sinceramente a todas aquellas personas, alumnos y profesores, quienes a travs de sus comentarios y sugerencias, han contribuido al mee joramiento de este texto. Cualquier correccin o comentario acerca de este o trabajo ser muy bien recibido en el correo electrnico que aparece abajo. a o Es mi intencin mantener en el futuro, hasta donde me sea posible, una o versin electrnica actualizada, corregida y gratuita del presente texto. La o o pgina web donde puede obtenerse es a

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http://www.matematicas.unam.mx/lars Por ultimo, me parece importante mencionar que este texto ha sido posible, en gran medida, al excelente ambiente de trabajo y de libertad acadmica e que he tenido la fortuna de encontrar en el Departamento de Matemticas a de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Gracias a todos por su conanza y apoyo. Luis Rincn o Diciembre 2006 Ciudad Universitaria UNAM [email protected]

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Cap tulo 1

Espacios de probabilidad

La teor de la probabilidad es la parte de las matemticas que se encarga a a del estudio de los fenmenos o experimentos aleatorios. Se entiende por o experimento aleatorio todo aquel experimento tal que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. A menudo, y por muy diversas razones, es necesario aceptar que no es posible predecir el resultado de un experimento particular an u cuando se le haya efectuado con anterioridad varias veces bajo las mismas condiciones iniciales, y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estas circunstancias, la teor de la probabilidad tiene el objetivo de modelar a matemticamente cualquier experimento aleatorio de inters. a e

1.1.

Espacios de probabilidad

El modelo matemtico creado durante el primer tercio del siglo XX para a estudiar los experimentos aleatorios es el as llamado espacio de probabili dad. Este modelo consiste de una terna ordenada, denotada usualmente por (, F , P ), en donde es un conjunto arbitrario, F es una -lgebra de a subconjuntos de , y P es una medida de probabilidad denida sobre F . Explicamos a continuacin brevemente cada uno de estos elementos. o 1

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1.1. Espacios de probabilidad

Espacio muestral. El conjunto es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tiene como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en cuestin. No es imprescindible darle esta interpreo tacin al conjunto , y matemticamente se le considera entonces como un o a conjunto arbitrario. -algebra. Una clase o coleccin no vac F de subconjuntos de es o a una -lgebra si es cerrada bajo las operaciones de tomar complementos a y uniones numerables. El trmino -lgebra se lee sigma-lgebra. A los e a a elementos de una -lgebra se les llama eventos , sucesos, o conjuntos mea dibles. Debido a su uso extendido, se usa el trmino medible, aunque tal e vez lo correcto sea decir mensurable. En particular, un evento es simple o elemental si consta de a lo ms un elemento de , y es compuesto cuando a consta de dos o ms elementos de . a Medida de probabilidad. Una funcin P denida sobre una -lgebra F o a y con valores en el intervalo [0, 1] es una medida de probabilidad si P () = 1 y es -aditiva, es decir, si cumple que P(

An ) =

n=1

P (An ),

n=1

o cuando A1 , A2 , . . . son elementos de F que cumplen con la condicin de ser ajenos dos a dos, esto es, Ai Aj = para valores de i y j distintos. El nmero P (A) representa una forma de medir la posibilidad de observar u la ocurrencia del evento A, al efectuar una vez el experimento aleatorio. Tenemos entonces formalmente la siguiente denicin. o Definicion. (Espacio de probabilidad). Un espacio de probabilidad es una terna (, F , P ), en donde es un conjunto arbitrario, F es una -lgebra de subconjuntos de , y P es una medida de probabilidad a denida sobre F . El objetivo es asociar un espacio de probabilidad al experimento aleatorio de inters. No existen reglas establecidas para ello y adems la posible asige a

Cap tulo 1. Espacios de probabilidad

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nacin no es unica, pues dependiendo del inters del observador, se puede o e asociar un espacio de probabilidad u otro. En este primer cap tulo se estudian con ms detalle los conceptos de -lgebra y medida de probabilidad. a a Empecemos con el primero.

1.2.

-lgebras a

En esta seccin se estudia el concepto de -lgebra y se dene la m o a nima -lgebra generada por una coleccin arbitraria de subconjuntos del espacio a o muestral. Recordemos nuevamente la denicin de esta estructura. o Definicion. (-algebra, espacio medible, evento). Una coleccin o F de subconjuntos de es una -lgebra si cumple las siguientes cona diciones: 1. F . 2. Si A F , entonces Ac F . 3. Si A1 , A2 , . . . F , entonces n=1

An F .

A la pareja (, F ) se le llama espacio medible y a los elementos de F se les llama eventos o conjuntos medibles. En palabras, una -lgebra es una coleccin de subconjuntos de que no a o es vac y que es cerrada bajo las operaciones de tomar complemento y a efectuar uniones innitas numerables. Estas propiedades garantizan que la coleccin es cerrada al efectuar las operaciones usuales entre conjuntos, es o decir, al tomar las operaciones de unin, interseccin, complemento, difereno o cia, diferencia simtrica, etc. se obtienen nuevamente elementos de la misma e coleccin. o

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1.2. -algebras

En probabilidad elemental el conjunto denota el espacio muestral o conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio, y los elementos de F representan eventos en el experimento aleatorio. Una -lgebra es a entonces una estructura que nos permite agrupar ciertos subconjuntos de de inters, aquellos a los cuales se desea calcular su probabilidad, y esta ese tructura constituye el dominio de denicin de una medida de probabilidad. o Cuando el espacio muestral es nito normalmente se toma como -lgebra a el conjunto potencia de , pero para espacio muestrales ms generales no a siempre puede tomarse esa estructura tan grande, y deben considerarse entonces -lgebras ms pequeas, es por ello que se estudian estas estructua a n ras. En general existen varias -lgebras que pueden asociarse a un conjunto a cualquiera no vac como se muestra a continuacin. o o Ejemplo Sea un conjunto cualquiera no vac Es inmediato comprobar o. que cada una de las siguientes colecciones es una -lgebra de subconjuntos a de . La -lgebra del primer inciso es la -lgebra ms pequea que poa a a n demos asociar a un conjunto cualquiera , y la -lgebra del ultimo inciso a es la ms grande. a a) F1 = {, }. b) F2 = {, A, Ac , }, en donde A . c) F3 = 2 , conjunto potencia.

Ejemplo. Sean A y B subconjuntos de tales que A B. La siguiente coleccin es una -lgebra de subconjuntos de que contiene expl o a citamente a los conjuntos A y B. Puede usted vericar tal armacin con la ayuda o de un diagrama de Venn? F = {, A, B, Ac , B c , B A, (B A)c , }

Ejercicio. Sea un conjunto no numerable. Demuestre que la coleccin o c es nito o numerable} es una -lgebra. F dada por {A : A o A a


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B

C

A D

E

Figura 1.1: Una -lgebra es una coleccin F = {A, B, C, D, E, . . .} de subcona o juntos que no es vac y que es cerrada bajo complementos y uniones numerables. a En la Figura 1.1 puede observarse una representacin grca de una o a a lgebra como una coleccin de subconjuntos de . En la seccin de ejercicios o o se pueden encontrar algunos otros ejemplos de -lgebras. El uso de la letra a F para denotar una -lgebra proviene del nombre en ingls eld que a e signica campo. A menudo se usa tambin el trmino -campo en lugar e e de -lgebra. Observe con cuidado el uso y signicado de los s a mbolos de contencin y pertenencia: A y A F . Demostraremos a continuacin o o algunas otras propiedades generales de las -lgebras. a Proposicion. Sea F una -lgebra de subconjuntos de . Entonces a 1. F . 2. Si A1 , A2 , . . . F , entonces

n=1

An F .

3. Si A, B F , entonces A B F , y AB F .

Demostracin. o 1. Como F y F es una coleccin cerrada bajo complementos, eno

6tonces c = F .

1.2. -algebras

2. Si A1 , A2 , . . . F , entonces Ac , Ac , . . . F . Por lo tanto Ac 1 2 n=1 n F . Tomando complementos y usando las leyes de De Morgan se obtiene el resultado. 3. Estas proposiciones se siguen de lo demostrado antes y de las deniciones A B := A B c , y AB := (A B) (B A).

La proposicin anterior establece entonces que las -lgebras son estruco a turas tambin cerradas bajo las operaciones de diferencia e intersecciones e numerables. En la seccin de ejercicios pueden encontrarse algunas otras deo niciones de -lgebra equivalentes a la que hemos enunciado, y que involua cran las operaciones de la proposicin anterior. Una operacin de particular o o importancia es aquella en la que se intersectan dos -lgebras produciendo a una nueva -lgebra, este es el contenido del siguiente resultado. a Proposicion. La interseccin de dos -lgebras es una -lgebra. o a a

Demostracin. Sean F1 y F2 dos -lgebras de subconjuntos de un mismo o a . Entonces F1 F2 es aquella coleccin de subconjuntos de cuyos eleo mentos pertenecen tanto a F1 como a F2 . Demostraremos que F1 F2 es una -lgebra. a a) Como F1 y F2 son -lgebras, entonces F1 y F2 . Por lo tanto a F1 F2 . b) Sea A un elemento en F1 F2 . Entonces A F1 y A F2 . Por lo tanto Ac F1 y Ac F2 , es decir, Ac F1 F2 .

c) Sea A1 , A2 , . . . una sucesin de elementos en la interseccin F1 F2 . o o Entonces A1 , A2 , . . . F1 y A1 , A2 , . . . F2 . Por lo tanto n=1 An F1 y n=1 An F2 , es decir, n=1 An F1 F2 .


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Hemos entonces comprobado que si F1 y F2 son dos -lgebras de un mismo a conjunto , entonces F1 F2 es nuevamente una -lgebra de subconjuntos a de , naturalmente ms pequea que F1 y F2 en el sentido F1 F2 a n F1 , F2 . La siguiente pregunta consiste en vericar si la unin de dos o lgebras produce nuevamente una -lgebra. En este caso la respuesta es a a negativa. En general no es cierto que la unin de dos -lgebras produce una o a nueva -lgebra. Vanse por ejemplo los ejercicios 9 y 10 a este respecto. Por a e otro lado se puede extender la validez de la proposicin recin demostrada o e a intersecciones ms generales como indica el siguiente resultado. a Proposicion. La interseccin nita, innita numerable o bien arbitraria o de -lgebras es nuevamente una -lgebra. a a

Demostracin. Sea T un conjunto arbitrario distinto del vac Suponga o o. que para cada t en T se tiene una -lgebra Ft de subconjuntos de . Sea a F = tT Ft . Siguiendo los mismos pasos que en la demostracin anterior o es fcil probar que F es una -lgebra. Observe que como T es un conjunto a a arbitrario, la -lgebra F es efectivamente una interseccin arbitraria de a o -lgebras. a Lo demostrado anteriormente garantiza que la siguiente denicin tiene seno tido. Definicion. (-algebra generada). Sea C una coleccin no vac de o a subconjuntos de . La -lgebra generada por C , denotada por (C ), a es la coleccin o (C ) = {F : F es -lgebra y C F }. a

Es decir, la coleccin (C ) es la interseccin de todas aquellas -lgebras o o a que contienen a C . Por la proposicin anterior sabemos que (C ) es una o

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1.2. -algebras

-lgebra. A (C ) tambin se le llama mnima -lgebra generada por C , a e a y el adjetivo mnima es claro a partir del hecho de que es la -lgebra ms a a pequea que contiene a la coleccin C . Es decir, si F es una -lgebra n o a que contiene a C , entonces forzosamente (C ) F . Observe que C (C ) pues a la coleccin C se le han aadido posiblemente algunos otros o n subconjuntos para convertirla en la -lgebra (C ). a Ejemplo. Sean A, B con A y B ajenos. Dena la coleccin C = {A, B}. o En general esta coleccin no es una -lgebra pero podemos aadirle algunos o a n subconjuntos de para encontrar la -lgebra generada por C . Resulta que a la m nima -lgebra que contiene a la coleccin C es la siguiente. Puede a o usted demostrar tal armacin? o (C ) = {, A, B, (A B)c , A B, Ac , B c , }.

Los siguientes dos resultados son proposiciones sencillas y naturales acerca de -lgebras generadas. Las demostraciones son cortas pero requieren a algunos momentos de reexin en una primera lectura. o Proposicion. Sean C1 y C2 dos colecciones de subconjuntos de tales que C1 C2 . Entonces (C1 ) (C2 ). Demostracin. Claramente C1 C2 (C2 ). Entonces (C2 ) es una o lgebra que contiene a la coleccin C1 . Por lo tanto (C1 ) (C2 ). a o Proposicion. Si F es una -lgebra, entonces (F ) = F . a

Demostracin. Sabemos que F (F ). Por otro lado como F es una o a lgebra que contiene a F , entonces (F ) F . Esto demuestra la igualdad.


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Ejercicio. Demuestre que ((C )) = (C ), en donde C una coleccin de o subconjuntos de . Ejercicio. Demuestre que (C1 C2 ) = ( (C1 ) (C2 ) ), en donde C1 y C2 son dos colecciones no vac de subconjuntos de . as

Otras estructuras de subconjuntosEn esta seccin se presentan los conceptos de lgebra y semi-lgebra, y su o a a relacin con -lgebras. No estudiaremos estas estructuras con detalle pero o a las mencionamos porque desempean un papel importante en la construcn cin y extensin de medidas de probabilidad. o o Definicion. (Algebra). Una coleccin A de subconjuntos de es una o a lgebra si cumple las siguientes condiciones: 1. A . 2. Si A A , entonces Ac A .n

3. Si A1 , . . . , An A , entonces

k=1

Ak A .

La diferencia entre una lgebra y una -lgebra estriba en que para la a a primera se pide que sea una coleccin cerrada bajo uniones nitas mientras o que la segunda es una coleccin cerrada bajo uniones innitas numerables. o Claramente toda -lgebra es una lgebra. a a

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1.2. -algebras

Definicion. (Semialgebra). Una coleccin S de subconjuntos de o es una semilgebra si cumple las siguientes condiciones: a 1. S . 2. Si A, B S , entonces A B S . 3. Si A, A1 S son tales que A1 A, entonces existen A2 , . . . , An S tales que los subconjuntos A1 , . . . , An son ajenos dos a dos y se cumple quen

A=k=1

Ak .

Los conceptos de -lgebra, lgebra y semilgebra estn relacionados como a a a a se muestra en la Figura 1.2. En la seccin de ejercicios se pide demostrar o las implicaciones y no implicaciones que se obtienen de este diagrama.

-lgebras a

a lgebras semilgebras a

Figura 1.2: Relacin general entre -lgebras, lgebras y semilgebras. o a a a A continuacin se estudia un ejemplo particular de -lgebra de subconjuno a tos de nmeros reales: la -lgebra de Borel. u a


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Conjuntos de BorelConsidere la coleccin de todos los intervalos abiertos (a, b) de R, en donde o a b. A la m nima -lgebra generada por esta coleccin se le llama a o a lgebra de Borel de R, y se le denota por B(R). Definicion. (-algebra de Borel de R). B(R) = { (a, b) R : a b } . A los elementos de B(R) se les llama conjuntos de Borel , Borelianos o conjuntos Borel medibles. De esta forma se puede asociar la -lgebra B(R) a al conjunto de nmeros reales, y obtener as el espacio medible (R, B(R)). u Se muestran a continuacin algunos elementos expl o citos de esta -lgebra. a Proposicion. Para cualesquiera nmeros reales a b, los intervalos u [a, b], (a, ), (, b), [a, b), (a, b] y {a}, son todos elementos de B(R). Demostracin. Primeramente observe que los intervalos cerrados [a, b] son o conjuntos Borelianos, pues podemos escribirlos en trminos de una intersece cin numerable de intervalos abiertos de la siguiente forma o

[a, b] =

n=1

(a

1 1 , b + ). n n

Observe que cada elemento de la interseccin anterior es un conjunto Boreo liano. Siendo B(R) una -lgebra, la interseccin innita es un elemento de a o B(R). De esta forma se concluye que cada intervalo cerrado es un conjunto

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1.2. -algebras

de Borel. As mismo tenemos que (a, ) = y (, b) =

n=1 n=1

(a, a + n) B(R), (b n, b) B(R).

Por lo tanto [a, ) = y (, b] =

n=1 n=1

(a

1 , ) B(R), n 1 ) B(R). n

(, b +

De forma anloga se puede hacer ver que los intervalos semiabiertos de la a forma [a, b) y (a, b] son conjuntos Borelianos. Los conjuntos que constan de un solo nmero tambin son conjuntos Borelianos pues u e {a} =

n=1

(a

1 1 , a + ). n n

Complementos, intersecciones y uniones numerables de estos conjuntos son todos ellos Borelianos. Este hecho puede utilizarse para comprobar los siguientes resultados. Ejercicio. Demuestre directamente que N, Z y Q son elementos de B(R). Demuestre adems que el conjunto de nmeros irracionales es un conjunto a u de Borel de R. Adems de la denicin enunciada, existen otras formas equivalentes de a o generar a los conjuntos Borelianos. Este es el contenido de la siguiente proposicin. o


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Proposicion. Las siguientes -lgebras son todas idnticas a B(R). a e 1. 2. 3. { [a, b] : a b }. 4. 5. { (a, ) : a R }.

{ (a, b] : a b }. { [a, b) : a b }.

{ (, b) : b R }.

Demostracin. Se prueba unicamente el primer inciso, el resto de ellos se o demuestra usando el mismo procedimiento. Para demostrar que B(R) = {[a, b] : a b} se verican ambas contenciones. Claramente [a, b] B(R), por lo tanto {[a, b] : a b} B(R). Entonces {[a, b] : a b} B(R). Ahora se demuestra la contencin contraria. Sabemos que (a, b) {[a, b] : o 1 1 a b} pues (a, b) = n=1 [a + n , b n ]. Entonces {(a, b) : a b} {[a, b] : a b}. Por lo tanto B(R) {[a, b] : a b}. De manera equivalente se puede denir a B(R) como la m nima -lgebra a generada por todos los subconjuntos abiertos de R. En ambos casos la a lgebra generada es B(R). Es natural preguntarse si la coleccin B(R) contiene a todos los subconjuno tos de R. La respuesta es negativa, es decir, puede demostrarse que existe un subconjunto de los nmeros reales que no pertenece a la coleccin B(R). u o La construccin del tal conjunto no es sencilla, y puede obtenerse indirectao mente de la siguiente forma: la coleccin B(R) est contenida en una clase o a ms amplia llamada la coleccin de conjuntos Lebesgue medibles de R, y se a o demuestra que existen subconjuntos de R que no son Lebesgue medibles, y por tanto tampoco Borel medibles. Los detalles de estas armaciones pueden encontrarse en textos de teor de la medida, como por ejemplo [5] o [14]. a Es posible tambin considerar la -lgebra de conjuntos de Borel restringie a dos a una porcin de los nmeros reales como se indica a continuacin. o u o

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1.2. -algebras

Definicion. Sea A B(R). La -lgebra de Borel de A, denotada por a B(A) o por A B(R), se dene como sigue B(A) = {A B : B B(R)}.

No es dif comprobar que la coleccin B(A) es efectivamente una -lgecil o a bra de subconjuntos de A. Observe que el nuevo conjunto total es A y no R. El concepto de -lgebra de Borel de R puede extenderse a dimensioa nes mayores de la siguiente forma. Considere la coleccin C de todas los o rectngulos abiertos de R2 , es decir, a C = {(a, b) (c, d) : a b, c d}. Se denen los conjuntos de Borel de R2 como los elementos de la m nima 2 ) = (C ). De manera -lgebra generada por la coleccin C , es decir, B(R a o equivalente se puede denir B(R2 ) = (B(R) B(R)). En forma anloga a n ) usando productos cartesianos de intervalos. se dene B(R Definicion. (-algebra de Borel de Rn ). B(Rn ) = (B(R) B(R)). En general el producto cartesiano de dos -lgebras no es una -lgebra a a de subconjuntos del espacio producto, de modo que debe anteponerse la operacin a tal coleccin para convertirla en una -lgebra. o o a Ejercicio. (-algebra producto). Demuestre que el producto cartesiano de dos -lgebras no es necesariamente -lgebra. Esto es, suponga a a que (1 , F1 ) y (2 , F2 ) son dos espacios medibles. Mediante un ejemplo muestre que F1 F2 no necesariamente es una -lgebra de subconjuntos a del espacio producto 1 2 . Se dene entonces la -lgebra producto como a

Cap tulo 1. Espacios de probabilidad (F1 F2 ).

15

Ejercicio. Demuestre que la -lgebra {(a, b) (c, d) : a b, c d} a coincide con (B(R) B(R)).

Sucesiones de eventosEn esta seccin se estudia el concepto de convergencia de una sucesin ino o nita de eventos. Para enunciar tal concepto necesitaremos antes las deniciones de l mite superior y l mite inferior para conjuntos. Estas deniciones son anlogas al caso de sucesiones numricas como puede consultarse en un a e apndice al nal del texto. e Definicion. (L mite superior e inferior). Para una sucesin de o eventos {An : n N}, se dene el l mite superior y el l mite inferior como sigue: 1. l sup An = mn

Ak .

n=1 k=n

2. l inf An = mn

Ak .

n=1 k=n

Tanto el l mite superior como el l mite inferior son operaciones bien denidas, es decir, el resultado siempre existe y es unico. En cada caso, el conjunto resultante es siempre un evento, es decir, un conjunto medible. Es sencillo tambin comprobar que e l inf An l sup An . m mn n

Tampoco es dif vericar que un elemento pertenece al evento l cil mite superior si, y slo si, pertenece a una innidad de elementos de la sucesin. En o o

16

1.2. -algebras

algunos textos de habla inglesa el evento l mite superior se escribe (An i.o.), en donde las letras i.o. signican innitely often. Por otro lado un elemento pertenece al evento l mite inferior si, y slo si, pertenece a todos o los elementos de la sucesin excepto un nmero nito de ellos. Con estos o u conceptos podemos ahora establecer la denicin de convergencia de una o sucesin de eventos. o Definicion. (Convergencia de eventos). Sea {An : n N} una sucesin de eventos. Si existe un evento A tal que o m l inf An = l sup An = A, mn n

n

entonces se dice que la sucesin converge al evento A, y se escribe o l An = A. m

Para calcular el posible l mite de una sucesin de eventos debemos entonces o calcular el l mite superior y el l mite inferior, y cuando el resultado de ambas operaciones coincida, entonces a tal resultado comn se le llama el l u mite de la sucesin. o Ejemplo. Para cada nmero natural n dena el conjunto An = [1/n, 0] u si n es impar, y An = [0, 1/n] si n es par. Entonces l An = {0} pues mn

l sup An = mn

Ak = Ak =

y

l inf An = mn

n=1 k=n n=1 k=n

n=1 n=1

[1/n, 1/n] = {0}, {0} = {0}.

Ejercicio. Sea A un evento. Demuestre que la siguiente sucesin de eventos o no es convergente. A si n es impar, An = Ac si n es par.


17

Como el ejercicio anterior muestra, no todas las sucesiones de eventos convergen. Demostramos a continuacin que en particular toda sucesin montoo o o na es convergente. Ms adelante presentaremos algunos otros ejemplos cona cretos de sucesiones de eventos, y en la seccin de ejercicios se encuentran o algunos mas. Proposicion. Sea {An : n N} una sucesin montona de eventos. o o 1. Si A1 A2 , entonces l An = mn n=1 n=1

An .

2. Si A1 A2 , entonces l An = mn

An .

Demostracin. o 1. Como la sucesin es creciente, entonces (observe el valor inicial del o sub ndice en las operaciones de unin e interseccin), o o k=n k=n

Ak =

k=1

Ak ,

y Por lo tanto l sup An = mn

Ak = An .

Ak = Ak =

Ak =

k=1

Ak ,

y

l inf An = mn

n=1 k=n n=1 k=n

n=1 k=1 n=1

An .

18

1.2. -algebras 2. El procedimiento es completamente anlogo al inciso anterior. En este a caso como la sucesin es decreciente se tiene que o k=n k=n

Ak =

k=1

Ak ,

y Entonces l sup An = mn

Ak = An .

Ak = Ak =

y

l inf An = mn

n=1 k=n n=1 k=n

An , n=1 n=1 k=1

Ak =

k=1

Ak .

El siguiente resultado establece que a partir de una sucesin de eventos o puede construirse otra sucesin cuyos elementos son ajenos dos a dos, y cuya o unin es la unin de la sucesin original. Este procedimiento de separacin o o o o ser de utilidad ms adelante. a a


19

Proposicion. Sea {An : n N} una sucesin de eventos. Dena on1

B1 = A1 ,

y

Bn = An

Ak ,k=1

para n 2.

Entonces la sucesin de eventos {Bn : n N} satisface las siguientes o propiedades: 1. Bn An . 2. Bn Bm = , si n = m. 3. n=1 n=1

Bn =

An .

Demostracin. o 1. Esto es evidente a partir de la denicin de Bn . o 2. Sin prdida de generalidad suponga que n < m, entonces en1 m1

Bn Bm = (An = (An = .

k=1 n1

Ak ) (Am Ac ) (Am k

Ak )k=1 m1

Ac ) kk=1

k=1 An Ac n

3. Consideraremos cada contencin por separado. Como cada Bn est cono a tenido en An , entonces el lado izquierdo es efectivamente un subconjunto del lado derecho. Por el contrario, sea x un elemento en

20 n=1 An .

1.3. Medidas de probabilidad Entonces existe un ndice n tal que x An . Sea n0 el primer ndice tal que x An0 y x Aj para 1 j n0 1. Entonces / x An0 n0 1 An = Bn0 . Por lo tanto x pertenece a Bn . n=1 n=1

1.3.

Medidas de probabilidad

En esta seccin y en lo que resta del presente cap o tulo se estudian algunas propiedades de las medidas de probabilidad. Empezaremos por recordar nuevamente la denicin de este concepto. o Definicion. (Medida de probabilidad). Sea (, F ) un espacio medible. Una medida de probabilidad es una funcin P : F [0, 1] que o satisface 1. P () = 1. 2. P (A) 0, para cualquier A F . 3. Si A1 , A2 , . . . F son ajenos dos a dos, esto es, An Am = para n = m, entonces P (

An ) =

P (An ).

n=1

n=1

Entonces toda funcin P denida sobre una -lgebra F , con valores en el o a intervalo [0, 1] y que cumpla los tres postulados anteriores se le llama medida de probabilidad o probabilidad axiomtica. Estos axiomas fueron establecidos a por A. N. Kolmogorov en 1933. En particular, la tercera propiedad se conoce con el nombre de -aditividad. Ejemplo. (Probabilidad clasica). Considere un experimento aleatorio con espacio muestral un conjunto nito . Asocie a este conjunto la -


21

a lgebra 2 , y para cualquier subconjunto A de dena P (A) = #A/#. Entonces P es una medida de probabilidad, y es llamada probabilidad clsica. a De acuerdo a esta denicin, para calcular la probabilidad de un evento es o necesario entonces conocer su cardinalidad. En los inicios de la teor de la a probabilidad se consideraban unicamente modelos de este tipo, los cuales eran estudiados en el contexto de los juegos de azar. De esta forma de calcular probabilidades surgen muchos y muy variados problemas de conteo, algunos de los cuales pueden no ser fciles de resolver. Por ejemplo, si cuatro a parejas se sientan al azar en una mesa circular, cul es la probabilidad de a que ninguna persona se siente junto a su pareja? Ejemplo. Considere un experimento aleatorio con espacio muestral el conjunto de nmeros naturales N. Asocie a este conjunto la -lgebra 2N . Para u a cualquier subconjunto A de N dena 1 P (A) = . 2nnA

Es decir, el nmero natural n tiene asociada la probabilidad 1/2n , como se u muestra en la Figura 1.3. No es dif vericar que P es efectivamente una cil medida de probabilidad concentrada en el conjunto de nmeros naturales. uP (X = x) 1 2

x

1

2

3

4

5

u Figura 1.3: Una medida de probabilidad concentrada en los nmeros naturales.

6

Ejemplo. Considere el espacio medible (R, B(R)). Sea f : R [0, ) una funcin no negativa y continua, tal que su integral sobre el intervalo o

22

1.3. Medidas de probabilidad

(, ) es uno. La funcin P denida para cualquier conjunto de Borel A o por la siguiente integral, es una medida de probabilidad. P (A) =A

f (x) dx.

o Ejemplo. (Probabilidad geomtrica). Sea R2 una regin tal que e su rea es positiva y nita. Sea F una -lgebra de subconjuntos de a a para los cuales el concepto de rea est bien denido. Para cada A en F a e dena P (A) = Area (A)/Area (). La funcin P resulta ser una medida de o probabilidad, y es llamada probabilidad geomtrica. Esta denicin puede e o extenderse a espacios de dimensin mayor de manera evidente. Un ejemplo o en donde se utiliza esta forma de calcular probabilidades es el siguiente: cul es la probabilidad de que una dardo lanzado al azar sobre un tablero a circular de radio unitario caiga en el c rculo circunscrito de radio 1/2? En la siguiente seccin estudiaremos algunas propiedades generales que cumo ple toda medida de probabilidad, y a lo largo del texto consideraremos varios modelos particulares para el clculo de probabilidades. a

Propiedades elementalesA partir de los postulados enunciados en la seccin anterior es posible deo mostrar una extensa serie de propiedades que cumplen todas las medidas de probabilidad. En esta seccin se estudian algunas propiedades elementales o que posiblemente ya conoce el lector, y ms adelante se demuestran otras a propiedades ligeramente ms avanzadas. a


23

Proposicion. Sea (, F , P ) un espacio de probabilidad. Entonces 1. P () = 0. 2. Si A1 , . . . , An F son ajenos dos a dos, entoncesn n

P(k=1

Ak ) =k=1

P (Ak ).

3. P (Ac ) = 1 P (A). 4. Si A B, entonces P (B A) = P (B) P (A). 5. Si A B, entonces P (A) P (B). 6. 0 P (A) 1. 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 8. P (A B) P (A) + P (B).

Demostracin. o 1. Como = , por la -aditividad se tiene que P () = n=1 P (), lo cual sucede unicamente cuando P () = 0. 2. Se toma An+1 = An+2 = = , y la igualdad se obtiene al aplicar la -aditividad y la propiedad anterior. 3. Se expresa a como la unin disjunta A Ac . Aplicamos P y obteo nemos la igualdad requerida. 4. Escribimos B = A (B A). Aplicando P obtenemos P (B) P (A) = P (B A). 5. Como la probabilidad de cualquier evento es un nmero no negativo, u el resultado se sigue de la propiedad anterior.

24

1.3. Medidas de probabilidad 6. La primera desigualdad es el segundo axioma, y la segunda es consecuencia de la propiedad anterior cuando B = y el primer axioma. 7. Descomponemos el evento A B como la siguiente unin de tres eveno tos disjuntos dos a dos: A B = (A B) (A B) (B A) = (A A B) (A B) (B A B). Por lo tanto P (A B) = P (A) P (A B) + P (A B) + P (B) P (A B). 8. Esta propiedad es consecuencia de la anterior y el segundo axioma.

La propiedad (2) establece que las probabilidades son funciones nitamente aditivas, y la propiedad (5) que son funciones montonas. La desigualdad (8) o dice que las probabilidades son funciones nitamente subaditivas. Veamos algunas otras propiedades. Proposicion. (Desigualdades de Boole). Sea {An : n N} una sucesin de eventos. Entonces o 1. P (

n=1

An )

n=1

P (An ). n=1

2. P (

n=1

An ) 1

P (Ac ). n

Demostracin. o 1. Tome B1 = A1 , y para n 2 denan1

Bn = An

Ak .k=1


25

Hemos demostrado antes que {Bn : n N} es una sucesin de eventos o disjuntos dos a dos tales que Bn An y An = Bn . Por lo n=1 n=1 tanto P(

An ) = P ( = n=1 n=1

Bn )

n=1

n=1

P (Bn ) P (An ).

2. Esta desigualdad se sigue de la primera al considerar la sucesin de o los complementos.

Proposicion. Sea {An : n N} una sucesin de eventos. o 1. Si P (An ) = 1 para toda n, entonces P ( n=1 An )

= 1. = 1. = 0.

2. Si P (An ) = 1 para alguna n, entonces P ( 3. Si P (An ) = 0 para alguna n, entonces P ( 4. Si P (An ) = 0 para toda n, entonces P (

n=1 An ) n=1 An )

n=1 An )

= 0.

Demostracin. o

26

1.3. Medidas de probabilidad 1. Por las leyes de De Morgan y la desigualdad de Boole, P(

n=1

An ) = 1 P ( 1 = 1.

Ac ) n

n=1

P (Ac ) n

n=1

2. Como An 3. Como n=1

n=1

An , se tiene que 1 = P (An ) P (

An ).

n=1

An An , entonces P (

n=1

An ) P (An ) = 0. n=1

4. Por la desigualdad de Boole, P (

n=1

An )

P (An ) = 0.

Las propiedades (1) y (4) de la proposicin anterior pueden interpretarse o de la siguiente forma. Intersectar dos eventos produce en general un evento ms pequeo, o por lo menos no mayor a los intersectandos. Sin embargo la a n propiedad (1) establece que la interseccin, an innita, de eventos con proo u babilidad uno produce un evento con probabilidad uno. Anlogamente, unir a dos eventos produce en general un evento mayor, pero por la propiedad (4), la unin, an innita, de eventos con probabilidad cero tiene probabilidad o u cero. Dos de las propiedades elementales ms conocidas y de amplia aplicacin a o son la frmula de probabilidad total y la frmula de Bayes. Estas frmulas o o o hacen uso de la probabilidad condicional de un evento A dado otro evento B denida como sigue P (A | B) := P (A B)/P (B), cuando P (B) = 0.


27

Ejercicio. (Teorema de probabilidad total). Sea (, F , P ) un espacio de probabilidad, y sea {A1 , A2 , . . .} una particin de tal que cada o elemento de la particin es un evento con probabilidad estrictamente posio tiva. Demuestre que para cualquier evento B, P (B) = n=1

P (B | An )P (An ).

Ejercicio. (Teorema de Bayes). Sea (, F , P ) un espacio de probabilidad, y sea A1 , A2 , . . . una particin de tal que cada elemento de la o particin es un evento con probabilidad estrictamente positiva. Demuestre o que para cualquier evento B tal que P (B) > 0, y para cualquier m 1 jo, P (Am | B) =

P (B | Am )P (Am ) P (B|An )P (An )

.

n=1

Ejercicio. (Completacion de espacios). Se dice que un espacio de probabilidad (, F , P ) es completo si cada vez que se tenga la situacin A B o con B F y P (B) = 0, entonces tambin se tiene que A F y P (A) = 0. e Un espacio de probabilidad (, F , P ) que no es completo puede ser completado de la siguiente forma. Se toma el mismo y se dene la coleccin o de todos aquellos subconjuntos A para los cuales existan B y C en F F con P (C) = 0, tales que B A B C. Para tal conjunto A se dene P (A) = P (B). Entonces resulta que (, F , P ) es un espacio de probabilidad completo, y se llama la completacin de (, F , P ). Verique esta armacin o o demostrando los siguientes incisos. a) F es efectivamente una -lgebra. a b) F F .

28

1.3. Medidas de probabilidad c) La denicin de P (A) no depende del subconjunto B asociado, es o decir, la denicin es unica. o

d) P es una medida de probabilidad sobre F . e) P (A) = P (A), para cada A en F . f) El espacio de probabilidad (, F , P ) es completo. g) (, F , P ) es el espacio de probabilidad completo ms pequeo que a n contiene a (, F , P ), es decir, si (, F1 , P1 ) es otro espacio de probabilidad completo tal que F F1 y P1 = P sobre F , entonces F F1 y P = P1 sobre F .

ContinuidadAhora demostraremos que las medidas de probabilidad son funciones continuas. Primero se prueba este resultado importante para dos tipos de sucesiones particulares, aquellas que son montonas crecientes o decrecientes, o y despus se prueba en general. Empezaremos con el caso de sucesiones e crecientes. Proposicion. Sea {An : n N} una sucesin no decreciente de eventos, o esto es, A1 A2 . Entonces P(

An ) = l P (An ). mn

n=1

Demostracin. Como An An+1 , tenemos que P (An ) P (An+1 ). Por lo o tanto la sucesin numrica {P (An ) : n N} es no decreciente y acotada o e


29

superiormente por uno. Entonces el l mite de esta sucesin existe y el lado o derecho de la igualdad tiene sentido. Dena los eventos B1 = A1 , y Bn = An An1 , para n 2.

La sucesin {Bn : n N} es una coleccin de eventos disjuntos dos a dos, o o y es tal que

An =

Bn .

n=1

n=1

Por lo tanto P(

An ) = P ( = n=1

Bn )

n=1

n=1

P (Bn ) n=2 n=2 n=2

= P (B1 ) + = P (A1 ) + = P (A1 ) +

P (Bn ) P (An An1 ) P (An ) P (An1 )m

= P (A1 ) + l m

m m

n=2

P (An ) P (An1 )

= P (A1 ) + l P (Am ) P (A1 ) m =m

l P (Am ). m

30

1.3. Medidas de probabilidad

Las medidas de probabilidad tambin son continuas respecto de sucesioe nes no crecientes de eventos. Esta armacin es el contenido del siguiente o resultado que se demuestra a partir de la proposicin anterior. o Proposicion. Sea {An : n N} una sucesin no creciente de eventos, o esto es, A1 A2 . Entonces P(

An ) = l P (An ). mn

n=1

Demostracin. Observe que si An An+1 , entonces Ac Ac . Por la o n n+1 proposicin anterior, o P(

Ac ) = l P (Ac ). m n nn

n=1

Aplicando las leyes de De Morgan, 1 P(

n=1

An ) = l (1 P (An )), mn

de donde se sigue inmediatamente el resultado. Ahora se enuncia un resultado ms fuerte. Demostraremos que las medidas a de probabilidad son funciones continuas. Esta propiedad es muy util pues permite el clculo de probabilidades en procedimientos l a mite, y se encuentra siempre presente de manera impl cita en toda la teor que se desarrolla ms a a adelante.


31

Proposicion. (Continuidad de la probabilidad). Sea {An : n N} una sucesin de eventos convergente al evento A. Entonces on

l P (An ) = P (A). m

Demostracin. La prueba se basa en las siguientes dos desigualdades: o a) l sup P (An ) P (l sup An ). m mn n

b) P (l inf An ) l inf P (An ). m mn n

Como la sucesin de eventos es convergente al evento A, entonces el l o mite superior y el l mite inferior son iguales a A. Se sigue entonces de las desigualdades (a) y (b) que m l sup P (An ) P (l sup An ) mn n

= P (A) = P (l inf An ) mn

l inf P (An ). mn

De donde se concluye el resultado. Nos concentraremos ahora en demostrar las desigualdades enunciadas. a) Como An k=n Ak ,

entonces P (An ) P (

Ak ),

k=n

32

1.3. Medidas de probabilidad en donde { Ak : n N} es una sucesin decreciente de eventos. o k=n Tomando el l mite superior se obtiene l sup P (An ) l sup P ( m mn n

Ak )

=

n

l P ( m

k=n

Ak ) Ak )

= P ( l m = P(

k=n k=n

n

Ak )

n=1 k=n

= P (l sup An ). mn

b) Como

k=n Ak

An , entonces P( k=n

Ak ) P (An ),

en donde { Ak : n N} es una sucesin creciente de eventos. o k=n Tomando el l mite inferior se obtiene l inf P (An ) l inf P ( m mn n

Ak )

=

n

l P ( m

k=n

Ak ) Ak )

= P ( l m = P(

k=n k=n

n

Ak )

n=1 k=n

= P (l inf An ). mn


33

Ejemplo. Se lanza un dado equilibrado una innidad de veces. Sea An el evento correspondiente a obtener el evento A = {2, 4, 6} en cada uno de los primeros n lanzamientos del dado. Entonces claramente An An+1 y P (An ) = 1/2n para cualquier n en N. Por lo tanto l An = m n=1

n

An .

Entonces P(

An ) = P ( l An ) = l P (An ) = l m m m 1/2n = 0.n n n

n=1

El evento An se interpreta como aquel conjunto de resultados en el n=1 que siempre se obtiene un nmero par en cada uno de los lanzamientos. Heu mos demostrado que la probabilidad de tal evento es cero. En consecuencia la probabilidad de que eventualmente aparezca un nmero impar es uno. u Observe que el argumento presentado funciona de la misma forma cuando el evento A es cualquier subconjunto propio de distinto del vac Por o. ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces la probabilidad de nunca obtener 6 es cero. Por lo tanto, con probabilidad uno, cada una de las caras del dado aparecer eventualmente. Puede demostrarse adems que cada una de a a las caras aparecer una innidad de veces con probabilidad uno. a

1.4.

Independencia de eventos

En esta seccin se dene el concepto importante de independencia de eveno tos. La independencia es un tema central en la teor de la probabilidad, a y uno de sus rasgos distintivos. De manera natural la independencia aparecer con frecuencia a lo largo del texto a partir de ahora, y ayudar a a a

34

1.4. Independencia de eventos

simplicar el clculo de probabilidades. La denicin matemtica es la sia o a guiente. Definicion. (Independencia de dos eventos). Dos eventos A y B son independientes, y se escribe A B, cuando P (A B) = P (A)P (B).

A menudo aceptar la hiptesis de que dos eventos son independientes es una o cuestin de apreciacin por parte del observador. La independencia puede o o interpretarse en el sentido de que la ocurrencia de uno de los eventos no proporciona informacin que modique la probabilidad de ocurrencia del o segundo evento. Contrario a alguna primera concepcin intuitiva errnea, o o el hecho de que dos eventos sean independientes no implica que ellos sean ajenos. La proposicin contraria tampoco es vlida, dos eventos ajenos no o a necesariamente son independientes. Ejercicio. Demuestre que un evento es independiente consigo mismo si, y slo si, su probabilidad es cero o uno. o Ejercicio. Demuestre que un evento que tiene probabilidad cero o uno, es independiente de cualquier otro evento, incluyendo l mismo. e Ejercicio. Demuestre que los eventos A y B son independientes si, y slo o si, a) A y B lo son. b) Ac y B lo son. c) A y B c lo son. La denicin de independencia puede extenderse a colecciones nitas e ino cluso innitas de eventos del siguiente modo.


35

Definicion. (Independencia de varios eventos). Los eventos A1 , . . . , An son independientes si se cumplen todas y cada una de las siguientes condiciones: P (Ai Aj ) = P (Ai )P (Aj ), i, j distintos. (1.1) (1.2)

P (Ai Aj Ak ) = P (Ai )P (Aj )P (Ak ), i, j, k distintos. . . . P (A1 An ) = P (A1 ) P (An ).

Ms generalmente, una coleccin innita de eventos es independiente si a o cualquier subcoleccin nita lo es. o Observe que de acuerdo a la denicin anterior, se necesitan vericar o o suponer varias condiciones para que n eventos sean independientes entre s . De hecho el nmero total de igualdades a demostrar es 2n n 1. Puede u usted demostrar esta armacin? En la siguiente seccin haremos uso del o o siguiente resultado. Ejercicio. Demuestre que los eventos A1 , . . . , An son independientes si, y slo si, los eventos Ac , . . . , Ac lo son. o n 1 Es posible adems demostrar que la independencia dos a dos, igualdad (1.1) a en la denicin, no implica en general la independencia tres a tres, igualo dad (1.2), ni viceversa. Ejercicio. Se lanza una moneda equilibrada tres veces. Dena los eventos A = Se obtiene el mismo resultado en el 1er. y 2do. lanzamiento. B = Se obtiene el mismo resultado en el 2do. y 3er. lanzamiento. C = Se obtiene el mismo resultado en el 3er. y 1er. lanzamiento. Demuestre que los eventos A, B y C son independientes dos a dos, pero no independientes en su conjunto. Ejercicio. Sean A y B eventos no independientes, y sea C = . Demuestre que A, B y C son independientes tres a tres pero no son independientes dos

36a dos.

1.4. Independencia de eventos

Tambin se tiene la nocin de independencia entre dos o mas clases de e o eventos. La denicin es la siguiente, como siempre se presupone un espacio o de probabilidad (, F , P ) dado. Definicion. (Independencia de clases). Las clases no vac de as eventos C1 , . . . , Cn son independientes si los eventos A1 , . . . , An lo son para cualesquiera Ai en Ci , i = 1, . . . , n. Ms generalmente, un conjuna to innito de clases no vac de eventos es independiente si cualquier as subconjunto nito lo es. En particular, dos -lgebras F1 y F2 son independientes si para cada A en a F1 y cada B en F2 se cumple que P (A B) = P (A)P (B). Anlogamente a para un nmero nito de -lgebras o bien un nmero innito de ellas. u a u Ejemplo. (El problema del mono). Un mono escribe caracteres al azar en una mquina de escribir. Cul es la probabilidad de que eventualmente a a obtenga exactamente, y sin ningn error, las obras completas de Shakespeau re?

Figura 1.4: Mono escribiendo al azar. Demostramos a continuacin que la probabilidad de este raro evento es uno. o Imagine entonces que un mono escribe caracteres al azar en una mquina a de escribir, y que lo hace de manera continua generando una sucesin lineal o de caracteres. Sea m el total de caracteres disponibles en una mquina de a escribir, y sea N el total de caracteres de los que constan las obras comple-


37

tas de Shakespeare. Segmentamos el arreglo lineal de caracteres generados por el mono en bloques disjuntos de N caracteres, uno despus de otro, y e observamos si algn bloque contiene las obras de Shakespeare. Por ejemplo, u Xku aT s hwW pzq Ot N N

Para cada nmero natural k dena el evento Ak correspondiente a que el ku simo bloque contiene exactamente, y sin error alguno, las obras completas e de Shakespeare. Observe que los eventos Ak son independientes pues los bloques no se sobreponen, adems P (Ak ) = (1/m)N = p, o bien P (Ac ) = a k o 1 p. Dena el evento Bk como Ac Ac , que indica la situacin en 1 k la que el mono no obtiene xito en los primeros k bloques. Observe que e Bk+1 Bk , es decir la sucesin es decreciente, por lo tanto ok k=1 Bk

l Bk = m

Bk ,

k=1

en donde el evento se interpreta como aquel en el que el mono nunca tiene xito. Entonces, usando la propiedad de continuidad de las medidas e de probabilidad para sucesiones decrecientes, se tiene que P(

k=1

Bk ) = l P (Bk ) = l (1 p)k = 0. m mk k

Por lo tanto la probabilidad del evento complemento es uno, es decir, la probabilidad de que eventualmente el mono obtenga xito es uno. Ms adelante e a se presentarn otras formas de resolver este mismo problema usando el lema a de Borel-Cantelli, y despus usando la ley fuerte de los grandes nmeros. e u En [25] aparece una estimacin del tiempo promedio de espera para que el o mono obtenga el primer xito. e

1.5.

Lema de Borel-Cantelli

Concluimos este cap tulo con el enunciado y demostracin del famoso lema o de Borel-Cantelli. El objetivo es demostrar este resultado y con ello poner

38

1.5. Lema de Borel-Cantelli

en prctica algunas propiedades de las medidas de probabilidad, aunque a tambin lo usaremos para presentar un par de aplicaciones y para demostrar e la ley fuerte de los grandes nmeros en la ultima parte del curso. u Proposicion. (Lema de Borel-Cantelli). Sea {An : n N} una sucesin de eventos, y dena A = l sup An . o mn

1. Si

n=1

P (An ) < , entonces P (A) = 0.

2. Si A1 , A2 , . . . son independientes y P (A) = 1.

n=1

P (An ) = , entonces

Demostracin. o 1. Para cada nmero natural n, u P (A) P (

k=n

Ak )

k=n

P (Ak ).

Como P (An ) < , el lado derecho tiende a cero cuando n tiende n=1 a innito. Esto implica que P (A) = 0. 2. Es suciente demostrar que para todo nmero natural n se cumple la u igualdad P ( Ak ) = 1, pues la interseccin numerable de eventos o k=n

Cap tulo 1. Espacios de probabilidad con probabilidad uno tiene probabilidad uno. Para cada m > n, 1 P( m

39

k=n

Ak ) 1 P (m

Ak )

k=n

= P(k=n m

Ac ) k [1 P (Ak )]m

=

k=n

exp(

P (Ak )).k=n

Para obtener la ultima expresin se usa la desigualdad: 1 x ex , o vlida para cualquier nmero real x. Como a u n=1 P (An ) = , el lado derecho tiende a cero cuando m tiende a innito. Por lo tanto P ( Ak ) = 1 para cualquier valor de n y entonces P (A) = 1. k=n

Ejemplo. (El problema del mono, nuevamente). El problema de encontrar la probabilidad de que un mono que escribe caracteres al azar en una mquina de escribir, eventualmente escriba las obras completas de Shakesa peare, puede resolverse tambin usando el lema de Borel-Cantelli. Suponga e que N es el total de caracteres de los que constan las obras completas de Shakespeare y considere nuevamente la divisin por bloques de longitud N : o x1 , . . . , xN , xN +1 , . . . , x2N , . . . El evento Ak se dene nuevamente como aquel en el que el mono tiene xito e en el k-simo bloque. Si nuevamente m denota el total de caracteres dispoe nibles, entonces la probabilidad del evento Ak es (1/m)N , y claramente la sucesin A1 , A2 , . . . constituye una sucesin de eventos independientes tales o o que P (Ak ) = (1/m)N = . Entonces por la segunda parte del k=1 k=1

40

1.5. Lema de Borel-Cantelli

lema de Borel-Cantelli, la probabilidad del l mite superior de la sucesin Ak o es uno. Ahora slo hay que recordar que el evento l supk Ak correso m ponde a aquel en el que una innidad de eventos Ak ocurren. Es decir, con probabilidad uno, el mono tiene, no uno, sino una innidad de xitos! e Ejercicio. Se lanza una moneda honesta una innidad de veces. Use el lema de Borel-Cantelli para demostrar que la probabilidad de que cada cara aparezca una innidad de veces es uno. Importa que la moneda sea honesta? o Ejercicio. Sea x1 , . . . , xn una sucesin de resultados consecutivos particular obtenida de lanzar una moneda n veces. Considere ahora el experimento de lanzar la moneda una innidad de veces. Use el lema de Borel-Cantelli para calcular la probabilidad de que aparezca una innidad de veces la sucesin particular mencionada. o


41

Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Rusia 19031987) Creci bajo el amparo de su t Vera Yakovlena, pues su madre muri en o a o el parto y su padre fue exiliado. Trabaj un tiempo como conductor de treo nes. En 1920 ingres a la Universidad Estatal de Mosc, en donde adems o u a de matemticas tom cursos de metalurgia y sobre historia de Rusia. An a o u siendo estudiante de licenciatura empez a publicar trabajos de investigao cin graduandose en 1925. Termin su doctorado en 1929, y para entono o ces ya ten 18 publicaciones. Contribuy brillantemente en varias reas de a o a las matemticas como: anlisis, probabilidad, procesos estocsticos, lgica, a a a o anlisis funcional, geometr topolog sistemas dinmicos, movimiento de a a, a, a los planetas, turbulencia, etc. Kolmogorov ten particular inters en proa e veer de atencin y educacin especial a nios con habilidades sobresalientes. o o n Recibi un sinnmero de premios y reconocimientos de distintos pa o u ses, y fue miembro de varias sociedades y academias cient cas. Fuente: Archivo MacTutor, Universidad de St. Andrews.

42

1.6. Ejercicios

1.6.

Ejercicios-lgebras a

1. Definicion alternativa de -algebra. Demuestre que F es una -lgebra de subconjuntos de si, y slo si, satisface las siguientes a o propiedades: a) F .

b) A F Ac F .

c) Si A1 , A2 , . . . F , entonces

n=1 An

F.

2. Definicion alternativa de -algebra. Demuestre que F es una -lgebra de subconjuntos de si, y slo si, satisface las siguientes a o propiedades: a) F .

c) Si A1 , A2 , . . . F , entonces

b) A, B F A B F .

n=1 An

F.

3. Sean A1 , . . . , An eventos de un espacio muestral . Demuestre que el conjunto de elementos de que pertenecen a exactamente k de estos eventos es un evento, 1 k n. 4. Sea F una -lgebra de subconjuntos de . Demuestre que la coleccin a o a F c = {F c : F F } es una -lgebra. Compruebe que F c y F coinciden. 5. Sea = {a, b, c, d}, y sean A = {a, b} y B = {b, c}. Dena la coleccin o C = {A, B}. Claramente C no es una -lgebra. Encuentre (C ). a 6. Sea F una -lgebra de subconjuntos de y sea A un elemento de a F . Demuestre que la coleccin {A F : F F } es una -lgebra de o a subconjuntos de A. Se usan los s mbolos FA A F para denotar a o esta coleccin. o


43

7. Sean 1 y 2 dos conjuntos arbitrarios, y sea X : 1 2 una funcin o en donde (2 , F2 ) es un espacio medible. Demuestre que la siguiente coleccin es una -lgebra de subconjuntos de 1 : o a X 1 F2 = {X 1 F : F F2 }. 8. Es la diferencia de dos -lgebras una -lgebra? Demuestre o proa a porcione un contraejemplo. a 9. Sean F1 y F2 dos -lgebras de subconjuntos de . Demuestre que F1 F2 no necesariamente es una -lgebra. Para ello considere el a espacio = {1, 2, 3} y las -lgebras F1 = {, {1}, {2, 3}, } y F2 = a {, {1, 2}, {3}, }. 10. Sean F1 y F2 dos -lgebras de subconjuntos de tales que F1 F2 . a Demuestre que F1 F2 es una -lgebra. a 11. Sea T un conjunto arbitrario distinto del vac Suponga que para cada o. t en T se tiene una -lgebra Ft de subconjuntos de . Demuestre a con detalle que tT Ft es una -lgebra. a 12. Sean A, B arbitrarios. Demuestre que la cardinalidad de {A, B} es a lo sumo 16. 13. Sean A, B arbitrarios. Encuentre expl citamente todos los elementos de {A, B}. Por el ejercicio anterior, el total de elementos en {A, B} es, en el caso ms general, 16. a 14. Sea {A1 , . . . , An } una particin nita de , es decir, la unin de todos o o estos conjuntos es , ninguno de ellos es vac y la interseccin de o o cualesquiera dos de ellos es vac Demuestre que la cardinalidad de a. {A1 , . . . , An } es 2n . 15. Demuestre que toda -lgebra de un espacio muestral nito contiene a un nmero par de elementos. u 16. Sea {A, B, C} una particin de . Encuentre expl o citamente los ocho elementos de {A, B, C}.

44

1.6. Ejercicios

17. Sea C una coleccin de subconjuntos de . Diga falso o verdadero o justicando en cada caso: C (C ) 2 . a 18. Demuestre que 2 es una -lgebra de subconjuntos de y que no existe una -lgebra de subconjuntos de que sea ms grande. a a 19. Sea un conjunto, F una -lgebra de subconjuntos de y sea A a un evento cualquiera. De cada una de las dos expresiones siguientes determine la que es notacionalmente correcta. Explique su respuesta. a) F F . o b) A A . o c) F F . o

d) A F A F . o

-lgebras, lgebras y semilgebras a a a 20. Definicion alternativa de algebra. Demuestre que F es una a lgebra de subconjuntos de si, y slo si, cumple las siguientes cono diciones: a) F .

b) Si A, B F , entonces A B F . F es -lgebra F es lgebra F es semilgebra. a a a

21. Demuestre que

22. algebra = -algebra. Sea = (0, 1] y dena la coleccin F de o subconjuntos de la forman

(ai , bi ],i=1

en donde (ai , bi ] (0, 1] con (ai , bi ] (aj , bj ] = para i = j y n N. Demuestre que F es una lgebra pero no una -lgebra. a a


45

23. Mediante un contraejemplo demuestre que no toda semilgebra es una a a lgebra.

Conjuntos de Borel24. Demuestre que B(R) = {(a, b] : a b}. 25. Demuestre que B(R) = {[a, b) : a b}. 26. Demuestre que B(R) = {(a, ) : a R}. 27. Demuestre que B(R) = {[a, ) : a R}. 28. Demuestre que B(R) = {(, b) : b R}. 29. Demuestre que B(R) = {(, b] : b R}. 30. Sea A B(R). Demuestre que B(A) es efectivamente una -lgebra a de subconjuntos de A. 31. Diga falso o verdadero. Justique su respuesta.1 1 a) { ( n+1 , n ] : n N } = B(0, 1]. 1 1 1 c) { ( n+1 , n ] : n N } = { (0, n ] : n N }. 1 b) { (0, n ] : n N } = B(0, 1].

32. Demuestre que B(R2 ) = {[a, b] [c, d] : a b, c d}. 33. Demuestre que B(R2 ) = {(, a) (, b) : a, b R}. 34. Demuestre que B(R2 ) = {(a, ) (b, ) : a, b R}.

Sucesiones de eventos35. Sea {An : n N} una sucesin de eventos. Demuestre que o a) l sup An es un evento. mn

46

1.6. Ejercicios b) l inf An es un evento. mn n

c) l inf An l sup An . m mn

36. Demuestre que el evento a) l sup An coincide con el conjunto m b) l inf An coincide con el conjunto mn n

{ An para una innidad de valores de n}.

{ An para toda n excepto un nmero nito de ellas}. u 37. Suponga An Bn para cada n en N. Demuestre o proporcione un contraejemplo. a) l sup An l sup Bn . m mn n

b) l inf An l inf Bn . m mn n

m c) l sup An l inf Bn . mn n

38. Sea {An : n N} una sucesin de eventos. Demuestre que o a) ( l inf An )c = l sup Ac . m m nn n

b) ( l sup An ) = l inf Ac . m m nn n

c

c) P ( l inf An ) = 1 P ( l sup Ac ). m m nn n

d) P ( l sup An ) = 1 P ( l inf Ac ). m m nn n

39. Sea {An : n N} una sucesin de eventos. Demuestre que o a) l An = A l Ac = Ac . m m nn n n n

b) l An = A l 1An = 1A . m m El s mbolo 1A denota la funcin indicadora del conjunto A. Vase el o e apndice al nal del texto para la denicin y algunas propiedades de e o esta funcin. o


47

40. Sea {an : n N} una sucesin de nmeros no negativos convergente o u al nmero a 0. Sea An = [0, an ]. Calcule l inf An y l sup An . u m mn n

41. Determine si cada una de las siguientes sucesiones de conjuntos es convergente. a) An = (1/n, 2 + (1)n ) R. b) An = {(x, y) R2 : x2 + y 2 (1 + 1/n)n }.

c) An = {(x, y) R2 : x2 + y 2 2 + sen(n/2)}. 42. Demuestre que las siguientes sucesiones de eventos no son convergentes. a) An = si n es impar, y An = si n es par. b) An = (0, 1 + (1)n ) R. 43. Suponga que l An = A, y l Bn = B. Determine si la siguiente m m n n sucesin es convergente. o Cn = An si n es impar, Bn si n es par.

44. Encuentre condiciones sobre los eventos A y B para que la siguiente sucesin de eventos sea convergente. o An = A B si n es impar, si n es par.

45. Suponga que l An = A. Demuestre que para cualquier evento B, mn

a) l (An B) = A B. mn n n n

b) l (An B) = A B. m c) l (An B) = A B. m d) l (An B) = AB. m

48

1.6. Ejercicios

46. Suponga que l An = A y l Bn = B. Diga falso o verdadero. m m n n Demuestre en cada caso. a) l m l (An Bm ) = A B. mn m n m n m n m

b) l m l (An Bm ) = A B. m m c) l m l (An Bm ) = A B. d) l m l (An Bm ) = AB. m 47. Suponga que l An = A y l Bn = B. Diga falso o verdadero. m m n n Demuestre en cada caso. a) l (An Bn ) = A B. mn n n n

b) l (An Bn ) = A B. m c) l (An Bn ) = A B. m d) l (An Bn ) = AB. m

Medidas de probabilidad48. Determine completamente un espacio de probabilidad (, F , P ) para el experimento aleatorio de a) lanzar una moneda equilibrada. b) lanzar un dado equilibrado. c) escoger al azar un nmero real dentro del intervalo unitario [0, 1]. u d) extraer dos bolas de una urna en donde hay dos bolas blancas y dos negras. e) lanzar una moneda honesta repetidas veces hasta que hayan aparecido ambas caras.


49

49. Medida de probabilidad discreta. Sea {xn : n N} una sucesin de nmeros reales y sea {an : n N} otra sucesin de nmeros o u o u reales no negativos tal que an = 1. Demuestre que la funcin o n=1 P : B(R) [0, 1] denida de la siguiente forma es una medida de probabilidad. P (A) = n=1

an 1{n : xn A} (n).

50. Sean P y Q dos medidas de probabilidad denidas sobre una misma a lgebra. Demuestre que P + (1 )Q es una medida de probabilidad para cada en [0, 1]. 51. Sea P una medida de probabilidad. Determine si las siguientes funciones tambin son medidas de probabilidad: e a) 1 P . b) (1 + P )/2. c) P 2 . d) |P |. e) 4P (1 P ). f) P.

52. Determine si las siguientes funciones son medidas de probabilidad. a) P () = 1 y P (A) = 0 para cualquier otro evento A. b) P () = 0 y P (A) = 1 para cualquier otro evento A. 53. Considere el espacio medible (N, 2N ). Demuestre en cada caso que P es una medida de probabilidad. Para cada A 2N dena: a) P (A) =nA

2/3n . 1/2n .nA

b) P (A) =

54. Sea = {1, . . . , n}, y considere el espacio medible (, 2 ). Investigue en cada caso si P es una medida de probabilidad. Para cada A 2 dena: a) P (A) =kA

2k . n(n + 1)

50b) P (A) =kA

1.6. Ejercicios 1 (1 ). k

55. Considere el espacio medible ((0, 1), B(0, 1)). Demuestre en cada caso que P es una medida de probabilidad. Para cada A B(0, 1) dena: a) P (A) =A

2x dx. 3 x dx. 2

b) P (A) =A

56. Probabilidad condicional. Sea (, F , P ) un espacio de probabilidad, y sea B un evento con probabilidad estrictamente positiva. Demuestre que la probabilidad condicional denida para cada A en F como sigue: P (A | B) = P (A B)/P (B), es una medida de probabilidad. En consecuencia, toda propiedad vlida para una medida de a probabilidad es tambin vlida para la probabilidad condicional. e a 57. Sea P una medida de probabilidad, y sean P1 ( ) = P ( | B) y P2 ( ) = P1 ( | C), en donde P (B) > 0 y P (C) > 0. Demuestre que para cualquier evento A, P2 (A) = P (A | B C). 58. Demuestre que P (A | B) 1 P (Ac )/P (B), en donde P (B) > 0. 59. Sea P una medida de probabilidad denida sobre la -lgebra F . a Demuestre que la coleccin {A F : P (A) = 0 P (A) = 1} es una o o sub -lgebra de F . a

Propiedades elementales60. Demuestre que P () = 0, sin usar P () = 1. 61. Demuestre que P (A B) P (A)P (B) = P (Ac )P (B) P (Ac B). 62. Demuestre que P (AB) m n{P (A), P (B)} P (A) mx{P (A), P (B)} P (AB). a

Cap tulo 1. Espacios de probabilidad 63. Demuestre que P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) +P (A B C). 64. Demuestre que P (A B C) = P (A) + P (Ac B) + P (Ac B c C). 65. Demuestre que P(

51

P (A B) P (A C) P (B C)

i=1

Ai ) = P (A1 ) + P (Ac A2 ) + P (Ac Ac A3 ) + 1 1 2 +P (Ac Ac An ) + 1 n1

66. Formula de inclusion y exclusion. Demuestre quen n

P(i=1

Ai ) =i=1

P (Ai )

i x) es un elemento de F . Para ello usaremos la igualdad (X + Y > x) =rQ

(X > r) (Y > x r).

(2.1)

Es claro que a partir de esta igualdad se concluye que el conjunto (X + Y > x) es un elemento de F , pues tanto X como Y son variables aleatorias, y la operacin de unin involucrada es numerable. Resta entonces demoso o trar (2.1). () Sea en tal que X() + Y () > x. Entonces X() > x Y (). Como los nmeros racionales son un conjunto denso en R, tenemos u que existe un nmero racional r tal que X() > r > x Y (). Por u lo tanto X() > r y Y () > x r. De aqui se desprende que es un elemento del lado derecho.

Cap tulo 2. Variables aleatorias

63

() Sea ahora un elemento de rQ (X > r) (Y > x r). Entonces existe un nmero racional r0 tal que X() > r0 y Y () > x r0 . u Sumando obtenemos X() + Y () > x, y por lo tanto es tambin e un elemento del lado izquierdo.

Proposicion. Si X y Y son v.a.s, entonces XY es variable aleatoria.

Demostracin. Suponga primero el caso particular X = Y . Entonces neo cesitamos probar que para todo nmero real x, el conjunto (X 2 x) es u un elemento de F . Pero esto es cierto pues (X 2 x) = si x < 0, y (X 2 x) = ( x X x) si x 0. En ambos casos, el conjunto (X 2 x) es un elemento de F . Para el caso general, X = Y , usamos la frmula XY = ( (X + Y )2 (X Y )2 )/4. Por lo demostrado antes, el o producto XY es efectivamente una variable aleatoria. Como consecuencia se cumple que si multiplicamos X por s misma n veces, entonces X n es variable aleatoria. Por lo tanto toda funcin polinomial de o una variable aleatoria es tambin variable aleatoria. e Proposicion. Sean X y Y v.a.s con Y = 0. Entonces X/Y es variable aleatoria.

Demostracin. Como el producto de variables aleatorias es nuevamente una o variable aleatoria, es suciente demostrar que 1/Y es variable aleatoria. Para

64

2.1. Variables aleatorias

cualquier nmero real y > 0 tenemos que u ( 1 1 1 y) = ( y, Y > 0) ( y, Y < 0) Y Y Y 1 1 = (Y , Y > 0) (Y , Y < 0) y y 1 = (Y ) (Y < 0), y

que es un elemento de F puesto que Y es variable aleatoria. Por otro lado, si y < 0 tenemos que ( 1 1 1 y) = ( y, Y > 0) ( y, Y < 0) Y Y Y 1 1 = (Y , Y > 0) (Y , Y < 0) y y 1 = (Y , Y < 0) y 1 = ( Y < 0). y

Nuevamente vemos que este conjunto es un elemento de F , puesto que Y es v.a. Finalmente cuando y = 0 obtenemos una vez mas un elemento de F pues ( 1 1 1 0) = ( 0, Y > 0) ( 0, Y < 0) Y Y Y = (Y < 0) = (Y < 0).

Proposicion. Si X y Y son variables aleatorias, entonces mx{X, Y } a y m n{X, Y } tambin lo son. e

Cap tulo 2. Variables aleatorias Demostracin. Para cualquier nmero real x, o u (mx{X, Y } x) = (X x, Y x) = (X x) (Y x). a Anlogamente, a (m n{X, Y } x) = (X x, Y x) = (X x) (Y x).

65

Como consecuencia se obtiene que tanto X + = mx{0, X} como X = a m n{0, X} son variables aleatorias. Proposicion. Si X es variable aleatoria, entonces |X| es variable aleatoria.

Demostracin. Si x 0, entonces (|X| x) = (x X x), y si x < o 0, entonces (|X| x) = F , de modo que |X| es variable aleatoria. Alternativamente se puede escribir |X| = X + + X , y por lo expuesto anteriormente obtener la misma conclusin. o Se muestra a continuacin que en general el rec o proco de la proposicin o anterior es falso, esto es, si X : R es una funcin tal que |X| es o variable aleatoria, entonces no necesariamente X es variable aleatoria. Ejemplo. Considere el espacio muestral = {1, 0, 1} junto con la a lgebra F = {, {0}, {1, 1}, }. Sea X : R la funcin identidad o X() = . Entonces |X| es variable aleatoria pues para cualquier conjunto Boreliano B, si 0, 1 B, {1, 1} si 0 B y 1 B, / |X|1 B = {0} si 0 B y 1 B, / si 0, 1 B. /

66

2.1. Variables aleatorias

Es decir, |X|1 B es un elemento de F . Sin embargo X no es variable aleatoria pues el conjunto X 1 {1} = {1} no es un elemento de F . Ahora consideraremos algunas operaciones l mite en sucesiones innitas de variables aleatorias. Slo consideraremos variables aleatorias con valores o nitos, de modo que impondremos condiciones sobre la nitud del resultado al tomar tales operaciones l mite. Proposicion. Sea X1 , X2 , . . . una sucesin innita de variables aleatoo rias tales que para cada en , los nmeros u sup {X1 (), X2 (), . . .} e {X1 (), X2 (), . . .} nf nf son nitos. Entonces las funciones sup {Xn } e {Xn } son variablesn0 n0

aleatorias.

Demostracin. Para cualquier nmero real x, o u ( sup Xn x ) =n0

e

( Xn x ) = nfn0

n=1 n=1

(Xn x), (Xn x).

El siguiente resultado hace uso de las operaciones de l mite superior e inferior para sucesiones numricas, el lector puede encontrar una revisin breve de e o estas operaciones al nal del texto.


67

Proposicion. Sea X1 , X2 , . . . una sucesin innita de variables aleatoo rias tales que para cada en , los nmeros u m l sup {X1 (), X2 (), . . .} y l inf {X1 (), X2 (), . . .} m son nitos. Entonces las funciones l sup Xn y l inf Xn son variables m m aleatorias.n n

Demostracin. Esto es consecuencia de la proposicin anterior pues o o l sup Xn = ( sup Xn ), m nfn k nk

y

nf l inf Xn = sup ( Xn ). mn k nk

Finalmente demostramos que el l mite de una sucesin de variables aleatoo rias convergente es variable aleatoria. Proposicion. Sea X1 , X2 , . . . una sucesin innita de variables aleatoo rias tales que l Xn () existe y es nito para cada . Entonces m n la funcin l Xn es una variable aleatoria. o mn

Demostracin. Como el l o mite de Xn existe, los l mites superior e inferior de esta sucesin coinciden. Entonces por lo demostrado antes, el l o mite de Xn es variable aleatoria.

68

2.2. Funcion de distribucion

2.2.

Funcin de distribucin o o

Toda variable aleatoria tiene asociada una funcin llamada funcin de diso o tribucin. En esta seccin se dene esta importante funcin y se demuestran o o o algunas de sus propiedades. Definicion. (Funcion de distribucion). La funcin de distribucin o o de una variable aleatoria X es la funcin F (x) : R [0, 1], denida o como sigue F (x) = P (X x).

Cuando sea necesario especicar la variable aleatoria en cuestin se escribe o FX (x), pero en general se omite el sub ndice X cuando no haya posibilidad de confusin. El argumento de la funcin es la letra minscula x que puede o o u tomar cualquier valor real. Por razones obvias a esta funcin se le conoce o tambin con el nombre de funcin de acumulacin de probabilidad, o funcin e o o o de probabilidad acumulada. Observe que la funcin de distribucin de una o o variable aleatoria est denida sobre la totalidad del conjunto de nmeros a u reales, y siendo una probabilidad, toma valores en el intervalo [0, 1]. La funcin de distribucin es importante pues, como se ilustrar ms adelano o a a te, contiene ella toda la informacin de la variable aleatoria y la correspono diente medida de probabilidad. Veremos a continuacin algunas propiedades o bsicas de esta funcin, en una de las cuales aparece la expresin F (x+), a o o que signica el l mite por la derecha de la funcin F en el punto x. Apareo cer tambin la expresin F (x), que signica, de manera anloga, el l a e o a mite por la izquierda de la funcin F en el punto x. o


69

Proposicion. Sea F (x) la funcin de distribucin de una variable aleao o toria. Entonces 1. 2.x+

l F (x) = 1. m l F (x) = 0. m

x

3. Si x1 x2 , entonces F (x1 ) F (x2 ). 4. F (x) es continua por la derecha, es decir, F (x+) = F (x).

Demostracin. o 1. Sea x1 , x2 , . . . una sucesin cualquiera de nmeros reales creciente a o u innito, y sean los eventos An = (X xn ). Entonces {An : n N} es una sucesin de eventos creciente cuyo l o mite es . Por la propiedad de continuidadn

m l F (xn ) = l P (An ) = P () = 1. mn

Dado que R es un espacio mtrico, lo anterior implica que F (x) cone verge a uno cuando x tiende a innito. 2. Sea ahora {xn : n N} una sucesin cualquiera de nmeros reales o u decreciente a menos innito, y sean los eventos An = (X xn ). Entonces {An : n N} es una sucesin de eventos decreciente al o conjunto vac Nuevamente por la propiedad de continuidad o.n

l F (xn ) = l P (An ) = P () = 0. m mn

Por lo tanto, F (x) converge a cero cuando x tiende a menos innito.

703. Para x1 x2 ,


F (x1 ) F (x1 ) + P (x1 < X x2 ) = P (X x2 ) = F (x2 ).

= P [(X x1 ) (x1 < X x2 )]

o u 4. Sea x1 , x2 , . . . una sucesin cualquiera de nmeros reales no negativos y decreciente a cero. Entonces F (x + xn ) = F (x) + P (x < X x + xn ), en donde An = (x < X x + xn ) es una sucesin de eventos decreo ciente al conjunto vac Por lo tanto l F (x + xn ) = F (x). Es decir o. mn

F (x+) = F (x).

Se tiene adems la siguiente denicin general de funcin de distribucin, a o o o no haciendo referencia a variables aleatorias ni a espacios de probabilidad particulares. Definicion. (Funcion de distribucion). Una funcin F (x) : R o [0, 1] es llamada funcin de distribucin si cumple las cuatro propiedades o o anteriores. Una especie de rec proco de la ultima proposicin es vlido y ello justica o a la importancia de la funcin de distribucin. Se enuncia a continuacin este o o o interesante resultado cuya demostracin omitiremos y puede encontrarse o por ejemplo en [15]. Proposicion. Sea F (x) : R [0, 1] una funcin de distribucin. Entono o ces existe un espacio de probabilidad (, F , P ) y una variable aleatoria X cuya funcin de distribucin es F (x). o o


71

Por lo tanto basta dar una funcin de distribucin espec o o ca para saber que existe un cierto espacio de probabilidad y una variable aleatoria denida sobre l y cuya funcin de distribucin es la especicada. Este es el punto de e o o vista que a menudo se adopta en el estudio de las variables aleatorias, quedando un espacio de probabilidad no especicado en el fondo como elemento base en todas las consideraciones. A continuacin se presentan algunos ejemplos grcos de funciones de diso a tribucin. La grca de la izquierda en la Figura 2.3 corresponde a la funo a cin de distribucin de una variable aleatoria discreta, y la grca de la o o a derecha muestra el comportamiento t pico de una funcin de distribucin o o continua. Tambin pueden presentarse situaciones como la que se muestra e en la Figura 2.4, y que corresponde al caso de una variable aleatoria mixta. La denicin de variable aleatoria discreta, continua y mixta aparece en la o siguiente seccin. o

F (x) 1 1

F (x)

x

x

Figura 2.3: Funciones de distribucin discreta y continua. o Se demuestran ahora algunas otras propiedades que establecen la forma de calcular probabilidades usando la funcin de distribucin. o o

72


F (x) 1

x

Figura 2.4: Una funcin de distribucin mixta. o o Proposicion. Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin o o F (x). Para cualesquiera nmeros reales a < b, u 1. P (X < a) = F (a). 2. P (X = a) = F (a) F (a). 3. P (a < X b) = F (b) F (a). 4. P (a X b) = F (b) F (a). 5. P (a < X < b) = F (b) F (a). 6. P (a X < b) = F (b) F (a).

Demostracin. o 1. Sea x1 , x2 , . . . una sucesin de nmeros reales positivos y decreciente o u a cero. Sea An el evento (X a xn ). Entonces {An : n N} es una sucesin de eventos decreciente al evento (X < a). Por la propiedad o de continuidad P (X < a) = l P (An ) = l F (a xn ) = F (a). m mn n

Cap tulo 2. Variables aleatorias 2. Simplemente se escribe P (X = a) = P (X a) P (X < a) = F (a) F (a). 3. 6. Estas igualdades se sigue directamente de las dos primeras.

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F (x) 1

P (X = x) = F (x) F (x)

x

Figura 2.5: Una discontinuidad de F (x) y su signicado. Observe que como F (x) es una funcin no decreciente y continua por la o derecha, la probabilidad P (X = x) es igual a F (x) F (x), que representa el tamao del salto o discontinuidad de la funcin de distribucin en el punto n o o x. Esto se muestra en la Figura 2.5. En consecuencia, cuando F (x) es una funcin continua y para a < b, o

F (b) F (a) = P (a < X b) = P (a < X < b)

= P (a X b) = P (a X < b).

Es decir, cuando F (x) es una funcin continua, incluir o excluir los extremos o de un intervalo no afecta el valor de la probabilidad de dicho intervalo. Por

74

2.3. Tipos de variables aleatorias

lo tanto, para cualquier nmero real x, la probabilidad del evento (X = x) u es cero. Finalizamos esta seccin con un resultado interesante cuya prueba o es sorprendentemente simple. Proposicion. Toda funcin de distribucin tiene a lo sumo un nmero o o u numerable de discontinuidades.

Demostracin. Sea D el conjunto de puntos de discontinuidad de una funo cin de distribucin F (x). Para cada nmero natural n dena los subcono o u juntos 1 1 Dn = { x D : < F (x) F (x) }. n+1 n Cada conjunto Dn tiene a lo sumo n elementos. Como D = concluye que D es numerable. n=1 Dn ,

se

2.3.

Tipos de variables aleatorias

Las variables aleatorias se clasican en varios tipos dependiendo de las caracter sticas de la correspondiente funcin de distribucin. Al menos existen o o tres tipos: discretas, continuas, y mezclas de las dos anteriores. Veamos su denicin. o


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Definicion. (Variable aleatoria discreta). La variable aleatoria X se llama discreta si su correspondiente funcin de distribucin F (x) o o es una funcin constante por pedazos. Sean x1 , x2 , . . . los puntos de o discontinuidad de F (x). En cada uno de estos puntos el tamao de la n o discontinuidad es P (X = xi ) = F (xi ) F (xi ) > 0. A la funcin f (x) que indica estos incrementos se le llama funcin de probabilidad de X, o y se dene como sigue f (x) = P (X = x) si x = x1 , x2 , . . . 0 otro caso. (2.2)

La funcin de distribucin se reconstruye de la forma siguiente o o F (x) =ux

f (u).

En este caso se dice tambin que la funcin de distribucin es discreta, e o o adems la funcin de probabilidad f (x) siempre existe, y se le llama tambin a o e funcin de masa de probabilidad. Tambin se acostumbra usar el trmino o e e funcin de densidad, como una analog con el caso de variables aleatorias o a continuas denidas ms adelante. Cuando sea necesario especicarlo se esa cribe fX (x) en lugar de f (x). Observe que la funcin de probabilidad f (x) es o una funcin no negativa que suma uno en el sentido i f (xi ) = 1. Rec o procamente, toda funcin de la forma (2.2) que cumpla estas dos propiedades se o le llama funcin de probabilidad, sin que haya necesariamente una variable o aleatoria de por medio. Veamos ahora el caso continuo. Definicion. (Variable aleatoria continua). La variable aleatoria X se llama continua si su correspondiente funcin de distribucin es una o o funcin continua. o En tal caso tambin se dice que la distribucin es continua. Las distribucioe o nes continuas se clasican a su vez en distribuciones absolutamente continuas

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y distribuciones singulares. Definicion. (Variable aleatoria absolutamente continua). La variable aleatoria continua X con funcin de distribucin F (x) se llama o o absolutamente continua, si existe una funcin no negativa e integrable o f tal que para cualquier valor de x se cumplex

F (x) =

f (u) du.

(2.3)

En tal caso a la funcin f (x) se le llama funcin de densidad de X. o o An cuando exista una funcin no negativa e integrable f que cumpla (2.3), u o sta puede no ser unica, pues basta modicarla en un punto para que sea e ligeramente distinta pero an as seguir cumpliendo (2.3). A pesar de ello, u nos referiremos a la funcin de densidad como si sta fuera unica, y ello o e se justica por el hecho de que las probabilidades son las mismas, ya sea usando una funcin de densidad o modicaciones de ella que cumplan (2.3). o Es claro que la funcin de densidad de una variable aleatoria absolutameno te continua es no negativa y su integral sobre toda la recta real es uno. Rec procamente, toda funcin f (x) no negativa que integre uno en R se o llama funcin de densidad. Si X es absolutamente continua con funcin de o o distribucin F (x) y funcin de densidad continua f (x), entonces el teoreo o ma fundamental del clculo establece que, a partir de (2.3), F (x) = f (x). a Adems, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo (a, b) es a el rea bajo la funcin de densidad sobre dicho intervalo. Esto se ilustra a o en la Figura 2.6, la probabilidad es la misma si se incluyen o excluyen los extremos del intervalo. Pueden construirse ejemplos de variables aleatorias continuas que no tienen funcin de densidad, es decir, que no existe una funcin f no negativa e ino o tegrable que cumpla (2.3) para cualquier nmero real x. En tales situaciones u se dice que la distribucin es singular. o


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f (x)

b

P (X (a, b)) =

f (x) dxa

x a ba o Figura 2.6: La probabilidad como el rea bajo la funcin de densidad.

Definicion. (Variable aleatoria singular). La variable aleatoria continua X, o su correspondiente funcin de distribucin F (x), se llama o o (x) = 0 casi seguramente. singular si F El trmino casi seguramente que aparece en esta denicin se reere a que e o la igualdad se cumple en todos los puntos x excepto en un conjunto cuya medida de Lebesgue es cero. Las distribuciones singulares son un poco ms a delicadas de estudiar y no haremos mayor nfasis en ellas. La distribucin de e o Cantor es un ejemplo de este tipo de distribuciones y se construye mediante un proceso l mite. Los detalles pueden encontrarse en [13] o [19]. Definicion. (Variable aleatoria mixta). Una variable aleatoria que no es discreta ni continua se llama variable aleatoria mixta. No es dif encontrar situaciones en donde la variable aleatoria en estudio cil es mixta, el siguiente ejemplo es una muestra de ello. Ejemplo (Una variable aleatoria que no es discreta ni continua). Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin o o FX (x) = 1 ex 0 si x > 0, si x 0.

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Como la funcin FX (x) es continua, entonces la variable aleatoria X es o continua. Sea M > 0 una constante. Las grcas de las funciones de distria bucin de las variables X y la constante M (vista como variable aleatoria), o se muestran en la Figura 2.7.FX (x) FM (x)

1

1

x M

x

Figura 2.7: Funciones de distribucin de la variable X y la constante M . o Sea Y = m n{X, M }. Puede comprobarse que la funcin de distribucin de o o Y es 0 FY (y) = 1 ey 1 si y 0, si 0 < y < M, si y M,

con grca como en la Figura 2.8. Es claro que esta funcin de distribucin a o o no es constante por pedazos pues es creciente en el intervalo (0, M ), por lo tanto no es discreta, y tampoco es continua pues tiene una discontinuidad en y = M . Por lo tanto Y es una variable aleatoria que no es discreta ni continua.

Finalmente enunciamos un resultado general cuya demostracin puede eno contrarse en [7] o [13].

Cap tulo 2. Variables aleatoriasFY (y)

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1

y M Figura 2.8: Funcin de distribucin de la variable Y

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