UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAFacultad de Ingeniería Civil

Concreto AvanzadoConcreto Avanzado

PIURA, ABRIL 2006

ESCALERAS TIPO ESCALERAS TIPO ALFOMBRAALFOMBRA

AUTORES:AUTORES:

Ybarra Farias SantiagoYbarra Farias Santiago

Rojas Vargas WalterRojas Vargas Walter

INTRODUCCIONINTRODUCCION Este tipo de escaleras también se les Este tipo de escaleras también se les

conoce como escaleras ortopoligonales y conoce como escaleras ortopoligonales y se caracterizan por no tener recubrimiento se caracterizan por no tener recubrimiento sino solo pasos y contrapasos sino solo pasos y contrapasos

Al ser un tipo especial de escaleras Al ser un tipo especial de escaleras por su geometría, su análisis sigue por su geometría, su análisis sigue métodos que no se aplican a otros.métodos que no se aplican a otros.

El método más exacto es el de la El método más exacto es el de la analogía de la columna, que considera analogía de la columna, que considera a la escalera como una estructura a la escalera como una estructura aporticada de un vano y se obtiene los aporticada de un vano y se obtiene los momentos por este método.momentos por este método.

MÉTODO DE LA ANALOGÍA MÉTODO DE LA ANALOGÍA DE LA COLUMNADE LA COLUMNA

considera a la estructura que no esta considera a la estructura que no esta perfectamente empotrada. Por lo tanto perfectamente empotrada. Por lo tanto se considera que no existe momento de se considera que no existe momento de empotramiento por efecto de exactitud.empotramiento por efecto de exactitud.

El pórtico estáticamente indeterminado El pórtico estáticamente indeterminado debe, para quitar las redundantes, tener debe, para quitar las redundantes, tener un corte en alguna porción, un corte en alguna porción, generalmente en los apoyos.generalmente en los apoyos.

h

H1 M = P a bEIL EIL.L

b a

V2V1

H2

Pórtico estáticamente indeterminado

Pórtico estáticamente determinado (corte de un apoyo)

P P

H1

V1 V2

IL

P

P

P

ESTRUCTURA HIPERESTATICA P

P

P

P

P

P

P

P

P

P RBx

P RBy

P

ESTRUCTURA ISOSTÁTICA P

P

P

P

P

P

P a

L

AA A

RAy ◄

◄HA

El perímetro exterior es considerado como El perímetro exterior es considerado como una sección de columna llamada un área una sección de columna llamada un área elástica.elástica.

La longitud de cada miembro en el área La longitud de cada miembro en el área elástica es considerada igual a la actual elástica es considerada igual a la actual longitud de la correspondiente al marco longitud de la correspondiente al marco dado.dado.

El ancho igual a la inversa del momento El ancho igual a la inversa del momento de inercia por el coeficiente de elasticidad de inercia por el coeficiente de elasticidad del correspondiente miembro del pórtico.del correspondiente miembro del pórtico. 1/EI1/EI

1/EIh

1/EIL

h

L

IL

Ih

h

H1 M = P a bEIL EIL.L

b a

V2V1

H2

Pórtico estáticamente indeterminado

Pórtico estáticamente determinado (corte de un apoyo)

P P

H1

V1 V2

IL

Este diagrama de momento será construido como una carga (Ms/EI) aplicada en el área elástica de la columna corta.

XY

Y X

CX = -L/2 CX = +L/2

XY

Y X

P

CY = h

• Simplemente se trata de una columna cargada excéntricamente, teniendo una carga axial y momentos Mx = PY y My = PX

•El diagrama de momentos será considerado dividido entre EI y la carga girará alrededor de dos ejes (X – X) y (Y – Y) expresados por el centro elástico.

Este diagrama de momentos es el que corresponde a la estructura hiperestática.

MB MA MS MC

El momento total será:MT = MS - MA

Donde:MT = momento total MS = momento en cualquier punto correspondiente a la estructura isostática.MA = se obtiene de la siguiente fórmula.

MA = P + MY - MX ( IXY / IX ) . X + MX - MY ( IXY / IY ) .Y ]

. A IY - I² XY IX - I² XY

. IX IY

Se tiene que, para dar mayor facilidad a este método, como los pasos contrapasos de la escalera son iguales dimensionalmente en toda su extensión, las inercias son constantes y esto facilita la obtención de los momentos reducidos que se emplean como carga en la analogía de la columna.

DISEÑO DE UNA ESCALERA DISEÑO DE UNA ESCALERA ORTOPOLIGONALORTOPOLIGONAL

Materiales Materiales DimensionesDimensiones F´c = 210 k / cm² CP = 17.5 cmF´c = 210 k / cm² CP = 17.5 cm Fy = 4200 k / cm² P = 27.5 cmFy = 4200 k / cm² P = 27.5 cm S / C = 500 k / m² e = 12.5 cmS / C = 500 k / m² e = 12.5 cm N° de pasos = 12 N° de pasos = 12 N° de contrapasos = 11N° de contrapasos = 11 Ancho = 1 mtAncho = 1 mt

2 * 17.5 + 27.5 = 62.5 OK

17,5

27,5

5

12,5

12,5

METRADO DE CARGASMETRADO DE CARGAS

PESO PROPIO PESO PROPIO paso —► 0.4 * 1.0* 0.125 * 2400 = 120 kg. paso —► 0.4 * 1.0* 0.125 * 2400 = 120 kg. contrapaso —► 0.05 * 1.0* 0.125 * 2400 = 15 kg.contrapaso —► 0.05 * 1.0* 0.125 * 2400 = 15 kg. acabados —► 100 * 0.275 = acabados —► 100 * 0.275 = 27.5 kg.27.5 kg. total PD = 162.5 total PD = 162.5

kg.kg.

S / C —► 500 * 0.275 = S / C —► 500 * 0.275 = 137.5 137.5 kg. kg.

PuPu = = 1.5 (CM) + 1.8 (CV)1.5 (CM) + 1.8 (CV) PuPu = = 1.5 * 162.5 + 1.8 * 137.5 1.5 * 162.5 + 1.8 * 137.5

Pu = P = 491.25 kg.Pu = P = 491.25 kg.

P

P

P

ESTRUCTURA HIPERESTATICA P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P RB = 5.5 * P

P

ESTRUCTURA ISOSTÁTICA P

P

P

P

P

P

P a

L

AA A

RA = 5.5 * P ◄

◄HA

CALCULO DE LOS MOMENTOS CALCULO DE LOS MOMENTOS FLECTORES EN LOS PASOSFLECTORES EN LOS PASOS

TRAMO 1 - 2 5.5 P MX = 5.5 * P * X ►X = O , MX =O

. ►X = L , MX = 5.5 * P* L

Mx

TRAMO 2 - 3

P 5.5P MX = 5.5 * P* L + 4.5*P* X ►X = O , MX =5.5 * P*L

. ►X = L , MX = 10 * P * L

Mx

5.5PL

TRAMO 3 - 4

P 4.5P MX = 10 * P* L + 3.5*P* X ►X = O , MX =10 * P*L . ►X = L , MX = 13.5 * P * L

Mx

10PL

TRAMO 4 - 5

P 3.5P MX = 13.5 * P* L + 2.5*P* X ►X = O , MX =13.5 * P*L

. ►X = L , MX = 16 * P * L

Mx

13.5PL

TRAMO 5 - 6

P 2.5P MX = 16 * P* L + 1.5*P* X ►X = O , MX =16 * P*L

. ►X = L , MX = 17.5 * P * L

Mx

16PL

TRAMO 6 - 7

P 1.5P MX = 17.5* P* L + 0.5*P* X ►X = O , MX =17.5 * P*L

. ►X = L , MX = 18 * P * L

Mx

17.5PL

TRAMO 7 - 8

P 0.5P MX = 18 * P* L - 0.5*P* X ►X = O , MX =18* P*L . ►X = L , MX = 17.5 * P * L

Mx 18PL

Los tramos siguientes son idénticos por ser una escalera simétrica

DIGRAMA DE MOMENTOS DIGRAMA DE MOMENTOS FLECTORESFLECTORES

5.5 PL

10 PL

13.5 PL

16 PL

17.5 PL

18 PL

17.5 PL16 PL

13.5 PL10 PL

5.5 PL

DIAGRAMA DE LOS MOMENTOS DIAGRAMA DE LOS MOMENTOS FLECTORES DE LOS CONTRAPASOSFLECTORES DE LOS CONTRAPASOS

AA

◄

◄HA

5.5PL 10PL 13.5PL 16PL 17.5PL 18PL 17.5PL 16PL 13.5PL 10PL 5.5PL

CALCULO DE LAS INERCIASCALCULO DE LAS INERCIAS

I paso = 1(100)(12.5)³ = 16276.04 cm4 12.5 12 100

I contrapaso = 1(100)(12.5)³ = 16276.04 cm4 12

Ip = Icp = 16276.04 cm4

Al ser simétrica la escalera no hay exentricidad por lo tanto, no existe momento en X ni momento en Y, por lo tanto solo se tendrá el primer término de la ecuación que es igual: P

A

MA = [ P + MY - MX^ ( IXY / IX ) . X + MX - MY^ ( IXY / IY ) .Y ] . A IY - I² XY IX - I² XY . IX IY

MY = 0 MX = 0

MA = P

A.

PT = Σ Área del trapecio + Σ Área del rectángulo EI

Σ A T = ( 5.5 + 5.5+ 10 + 10+ 13.5 + 13.5+16 + 16+ 17.5 + 17.5+18 ) 2PL*L 2 2 2 2 2 2 Σ A T = 143*P*L² Σ A R = ( 5.5 + 10 + 13.5 + 16 + 17.5 + 18 )*2PL* a 2 Σ A R = 143*P*L*a A = Área de la columna análoga A = 12 (0.275) x 1 + 11 (0.175) x 1

EI EI

A = 5.225 / EI

PT = 143*P*L² + 143*P*L*a EI P = 491.25 kg

L = 0.275 mt

a = 0.175 mt

PT = 8693.28 / EI MA = PT A. MA = 8693.28/ EI 5.225 / EI

MA = 1663.80 kg - m

MC = MS - MA MS = 18 * P* L

MS = 2431.69 kg - m

MC = 2431.69 - 1663.8

MC = 767.89 kg – m

MB MA MS MC MS = MOMENTO FLECTOR MÁXIMO

CALCULO DEL ACEROCALCULO DEL ACERO AS = . MU . d H Ø Fy ( d - a ) 2 b a = . As*Fy . 0.85* f ´c* b

d = 17.5 – 3.5 = 14 cmb = 100 cm

AS = 166380 para a = d / 5 0.9 * 4200* (14 - 14 ) 10

AS = 3.49 cm²

a = . 3.49 * 4200 . 0.85* 210 * 100 a = 0.82 AS = 166380 . 0.9 * 4200* ( 14 - 0.82 ) 2

AS = 3.23 cm² AS min = 0.0018 * 14 * 100 = 2.52 cm2 < 3.23 cm2 OK !!

2 Ø 3 / 8´´ en 2 capas

2 Ø 1 / 2´´ 2 Ø 3 / 8´´ en 2 capas 2 Ø 1 / 2´´ Ø 3 / 8´´

VERIFICACIONESVERIFICACIONES

COMO VIGA CON CARGAS PUNTUALES MA MB

RA 0.275 RB

L = 12 * 0.275 = 3.3 mt

P ( n – 1 ) = fuerzas

n = # de espacios

MA = - MB = –P*L*(n² – 1 ) 12 * n MA = - MB = –491.25*3.3 *(12² – 1 ) = -1609.87 12 *12n

- MA = MB = 1609.87 kg – m

As = 3.12 cm2

Comparando con el método anterior ( de analogía de la columna) vemos que 1609.87 y 1663.8 kg-m son bastantes aproximados, de igual modo lo es el área de acero por lo tanto llevará el mismo fierro.

RECOMENDACIONESRECOMENDACIONES

Si bien es cierto, como hemos observado, se Si bien es cierto, como hemos observado, se puede diseñar la escalera idealizándola como puede diseñar la escalera idealizándola como una viga biempotrada, es recomendable una viga biempotrada, es recomendable utilizar el método de la Analogía de la utilizar el método de la Analogía de la Columna para desarrollar este tipo de Columna para desarrollar este tipo de escaleras, pues es el más exacto y seguro.escaleras, pues es el más exacto y seguro.

Es recomendable que los pasos y Es recomendable que los pasos y contrapasos tengan la misma sección contrapasos tengan la misma sección transversal y de igual modo que la escalera transversal y de igual modo que la escalera sea simétrica, de este modo el método se sea simétrica, de este modo el método se simplifica, tal como hemos visto en el simplifica, tal como hemos visto en el desarrollo del ejemplo.desarrollo del ejemplo.