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Sistemas dinamicos

Estabilidad

1

/54

Contenido

1. Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia

2. Estabilidad interna de los sistemas lineales

3. Lyapunov y la estabilidad de sistemas lineales

4. Estabilidad externa de los sistemas lineales

2

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Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia

3

/54

La matriz de transicion

Por definicion la matriz de transicion es

» Entonces, utiliza la matriz

» Por lo tanto, cada elemento de la matriz de transicion contendra el polinomio caracteristico en el denominador

4

11Ate L sI A

1

det

adj sI AsI A

sI A

/54

Ejemplo

Considere la matriz A del sistema masa-resorte -amortiguador:

5

Entonces,

polinomio caracteristico de A

/54

La matriz de transicion

Volviendo con la matriz de transicion, se tiene entonces,

» En donde cada elemento de la matriz Adj{sI - A} es de orden menor o igual a n-1 y el escalar det{sI - A} es de orden n.

Por lo tanto, cada elemento de esta matriz puede escribirse,

6

11 12 21 22

2 21 21 2

a a a a

s s s ss s s s

1

det

adj sI AsI A

sI A

Expansion en fracciones parciales

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Elementos de la matriz de transicion

Al obtener el laplace inverso los elementos de la matriz de transicion toman la forma

7

1 1 2 211 12 21 22

s t s t s t s ta e a te a e a te

Los valores s1, s2, …, son también por definición los valores propios λi de A. Se puede concluir que:

Los valores propios son también conocidos como los modos caracteristicos del sistema

La matriz de transición de A tiene exponenciales cuyos exponentes están formados por los valores

propios de A

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Descomposicion en los componentes modales

8

Ejemplo: Respuesta impulsiva de un sistema LTI,

La señal de salida es muy complicada

La solucion se puede descomponer en sus componentes modales

con λ’s distintos

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Valores propios de la matriz de transicion

Sea λi un valor propio de A y vi su respectivo vector propio. Entonces,

9

itAti ie v e v

Es decir, la matriz de transición tiene por vectores propios a vi y por valores propios ite

Demostrar!

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Una trayectoria particular

Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0

correspondiente a un vector propio vi se simplifica a

10

0itAt At

i ix t e x e v e v

Es decir, sólo el modo λi es excitado y la respuesta tiene

la dirección de vi y con una magnitud dada por eλit

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Una trayectoria particular

Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0

correspondiente a un vector propio vi se simplifica a

11

0itAt At

i ix t e x e v e v

Si los valores propios son complejos y conjugados, éstos tendrán asociados vectores propios complejos y conjugados. En este caso, la condición inicial deberá tomarse como:

*0 i ix v v 2Re it

ix t e v

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Comportamiento de los modos

12

Parte real negativa

Parte real ceroSimples o repetidos

con ma = mg

Parte realpositiva

Re(l)

Im( l )

i i ij Valor propio correspondiente

iti ix e v

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Los modos en el plano complejo

13

0 if Re 0

lim if Re 0

if Re 0

t j t

t

λ

e e λ

λ

Estable Inestable

Im{l}

Re{l}

Marginalmenteestable

Semi-plano izquierdo (LHP)

Semi-plano derecho (RHP)

Valores propios distintos

Valores propios repetidos

0Reif

0Reif

0Reif0

lim

tk

tet

Para r raices repetidas del valor de ,l k = 0,…, r –1

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Impacto de los modos característicos

La respuesta de entrada cero consiste de los modos característicos del sistema

Sistema estable modos característicos decaen de manera exponencial y eventualmente se hacen cero

14

/54

Impacto de los modos característicos

Si la entrada tiene la forma de un modo característico, entonces el sistema respondera enérgicamente

Si la entrada es muy diferente de los modos característicos, entonces la respuesta sera débil

15

/54

Impacto de los modos característicos

Ejemplo: sistema escalar de primer-orden con el modo característico elt, condiciones iniciales cero, D = 0

Tres casos

16

resonancia

amplitud grande respuesta fuerte

amplitud pequeña respuesta debil

tt e u

y t

0

tt

t

y t ce be ud t tA

e e u

u t e u

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Modos no observables

El par (A,C) no es observable si y solo si para algún vector propio vk de A se cumple,

» Prueba: El par (A,C) es no obserbable si existe un estado no observable x*. Entonces

» Seleccionando el estado inicial

17

0kCv

* 0Aty t Ce x

* kx v

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Modos no observables

» Prueba: Los vectores propios forman un base por lo tanto cualesquier vector x0 ≠ 0 (en particular si x0 es no observable) puede ser generado a partir de

» Asi,

» Dado que x0 ≠ 0, entonces algun ak ≠ 0, entonces

18

1 1 2 2* n nx a v a v a v

1 21 1 2 2* ntt tAt

n ne x a e v a e v a e v

1 21 1 2 2* 0ntt tAt

n ny t Ce x a e Cv a e Vv a e Cv

0kCv

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Modos no controlables

El par (A,B) no es controlable si para algún vector propio wk de AT se cumple,

» Prueba: El par (A,B) es no controlable si existe un estado no controlable x*. Entonces

» Seleccionando el estado inicial

19

0TkB w

* kx w

* 0TT A tB e x

Se dice que wk es un vector propio por la izquierda de A

etc…

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La descomposicion canonica y los modos

En terminos de los modos, en la descomposicion canonica se tienen entonces:

» Modos controlables y observables

» Modos controlables y no observables

» Modos no controlables y observables

» Modos no controlables y no observables

20

CO

CO

C O

C O

u t

y t

/54

La descomposicion canonica y los modos

21

CO

CO

C O

C O

u t

y t

De la figura vemos que solo la parte controlable y observable del sistema determina la matriz transferencia.

1co co coH s C sI A B D

Unicamente los autovalores de la submatriz correspondiente a los estados del subsistema controlable y observable apareceran como POLOS de la funcion de transferencia

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La descomposicion canonica

22

CO

CO

C O

C O

u t

y t

1co co coH s C sI A B D

Por lo tanto la representacion en matriz tranferencia (representacion externa) no es necesariamente equivalente a la representacion en espacio de estados ( representacion interna).

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La descomposicion canonica

23

CO

CO

C O

C O

u t

y t

El subsistema observable y controlable, tomado como realizacion de la funcion de transferencia del sistema, es una realizacion minima, puesto que no puede obtenerse otra realizacion de orden menor con la misma funcion de tranferencia.

1co co coH s C sI A B D

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ESTABILIDAD INTERNA DE LOS SISTEMAS LINEALES

24

/54

El concepto de estabilidad

En general, la estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias cercanas a estados de equilibrio del sistema

Para sistemas lineales, existe un solo estado de equilibrio aislado : el origen

25

0ex Ax

Los estados de equilibrio del sistema x = f(x) a son los puntos xe tales que f(xe) = 0.

x

0ex

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El concepto de estabilidad

En un estado de equilibrio estable, la presencia de un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales tendra como resultado pequeñas modificaciones en su respuesta perturbada.

26

tx

0t Time

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El concepto de estabilidad

Por otro lado, en un estado de equilibrio inestable cualquier perturbacion, por pequeña que sea, llevara a los estados a alejarse cada vez mas

27

tx

0t Time

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Ejemplo

28

Estabilidad de los puntos de equilibrio» Eq #1 es estable» Eq #3 es inestable» Eq #2 and #4 son inestables,

pero con algunos “modos” estables

Eq #1 Eq #2

Eq #3 Eq #4

El doble pendulo invertido (sistema no lineal)

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Estabilidad interna de sistemas LTI

La estabilidad interna es un concepto especial de los sistemas lineales de la forma:

Y la definicion de estabilidad interna se hace para cualquier solucion del sistema no forzado

29

x Ax Bu

y Cx Du

x Ax

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Estabilidad en el sentido de Lyapunov

Definicion (Estabilidad en el sentido de Lyapunov).

» El (punto de equilibrio del) sistema es internamente estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable,

» si toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada.

30

para toda solucion x(t), x(0) = x0

0x

ex

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Estabilidad Exponencial Definicion (Estabilidad Exponencial).

» El sistema es exponencialmente estable si existen constantes positivas y tales que

» toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada que ademas tiende al origen cuando

31

para toda solucion x(t), x(0) = x0

0x

ex

t

Definicion: El sistema es inestable si no es estable

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Ejemplo: estabilidad asintotica

32

-1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

x1

x2

-1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

x1

x2

1 2

2 1 2

x xdx x xdt

En las graficas se muestra la dinamica de los estados como campos vectoriales

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Estabilidad de un punto de equilibrio

33

Asintoticamene estable si todas las condiciones iniciales cercanas convergen al punto de equlilibrioEl punto de equilibrio es un atractor

Inestable si algunas condiciones iniciales divergen del punto de equilibrioEl punto de equilibrio es una fuente

Estable si las condiciones iniciales cercanas permanecen cerca del punto de equilibrio El punto de equilibrio es un centro

lim ( ) (0)e et

x t x x x

lim ( ) for some (0)t

x t x

( ) < , (0)e ex t x t x x

-1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

-1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10-1

0

1

0 5 10-1

0

1

0 5 10-1

0

1

-1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

/54

Teorema de la estabilidad interna

El sistema es internamente inestable si algun autovalor de A tiene parte real positiva (pertenece al semiplano derecho del plano complejo).

» Prueba: en este caso, hay un valor propio con el correspondiente vector propio que da respuestas reales

34

1 cos sintx t e wtu wtv

iw C

2 sin costx t e wtu wtv

u iv

Claramente estas soluciones no estan acotadas cuando ya que

t 0

/54

Teorema de la estabilidad interna

El sistema es asintoticamente estable si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real negativa (pertenecen al semiplano izquierdo del plano complejo).» Prueba: Si todos los autovalores estan en entonces

cualquier solucion sera una combinacion lineal de n funciones vectoriales de la forma

35

C

cos sink tt e wtu wtv k tt e u sin cosk tt e wtu wtv

Claramente estas soluciones tienden a cero cuando ya que

t 0

iw C

Se dice que la matriz A es Hurwitz si todos sus autovalores tienen parte real negativa

/54

Teorema de la estabilidad interna

El sistema estable en el sentido de Lyapunov si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real no positiva, y para aquellos con parte real cero (sobre el eje imaginario) su multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica.» Prueba: Si todos los autovalores tienen parte real cero, y su

multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica, entonces la solucion tiene la forma

» De no ser asi, mg < ma, y la solucion tiene la forma

36

coskt wtu sinkt wtu

sin wtu cos wtu

Es inestable

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LYAPUNOV Y LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS LINEALES

37

/54

Análisis basado de la estabilidad en la energía

Ejemplo: sistema masa-resorte-amortiguador

38

Energía = Energía cinética + Energía potencial

¿Convergen las trayectorias al punto de equilibrio?

/54

Análisis basado de la estabilidad en la energía

Si no existiese amortiguamiento (c = 0), la energía aplicada en t = 0 se conservaría en el sistema ya que no existiría disipación.

Como consecuencia del amortiguamiento, la energía se disipa y las trayectorias van pasando por curvas de equi-energía de menor nivel hasta llegar al punto de equilibrio (el origen)

39

/54

Análisis basado de la estabilidad en la energía

Al evaluar la función de energía a lo largo de una trayectoria de sistema,

En este caso, la energia decae a cero, y cada variable de estado decae a cero cuanto el tiempo tiende a infinito

40

/54

Los metodos de Lyapunov

Los metodos de Lyapunov permiten determinar la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explicitamente las soluciones

Se basan en las propiedades de una función V(x) (función de Lyapunov ) de los estados del sistema

» V(x) es una funcion escalar real definida en una región acotada y cerrada en el espacio x que contiene al origen, tal que,

41

0V x

/54

Teoremas de Lyapunov

El punto de equilibrio x = 0 del sistema es estable en la región S al rededor del origen si:

» Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S

» Con (semidefinida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema

42

x f x

0V x

El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

/54

Teoremas de Lyapunov

El punto de equilibrio x = 0 del sistema es asintoticamente estable en la región S al rededor del origen si:

» Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S

» Con (definida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema

43

x f x

0V x

El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

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Matrices definidas positivas

Una matriz cuadrada M es definida positiva si

Es semidefinida positiva si

El escalar xTMx es llamado una forma cuadratica

44

0Tx Mx Para todo x ≠ 0

0Tx Mx Para todo x ≠ 0

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Aplicación a los sistemas lineales

Sea un sistema lineal y una matriz definida positiva P, entonces

46

x Ax

es una funcion de Lypunov

0V x

/54

Aplicación a los sistemas lineales

Sea un sistema lineal , probemos como funcion de Lypunov , entonces

» Observamos que es tambien una forma cuadrática en terminos de la matriz simétrica AT+PA.

» Por lo tanto, una condicion suficiente para estabilidad asintotica es la existencia de una matriz definida positiva P para la cual AT+PA es definida negativa

47

x Ax

/54

Teorema de Lyapunov

Teorema: Para cualquier matriz definida positiva Q, la ecuacion de Lyapunov

Tiene una unica solucion P, simetrica definida positiva, si y solo si todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa

48

Prueba: ver texto

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ESTABILIDAD EXTERNA DE LOS SISTEMAS LINEALES

49

/54

Estabilidad de entrada-salida

Definicion (Estabilidad de entrada- acotada/salida-acotada (BIBO))

» Un sistema (A,B,C,D) es estable BIBO (entrada-acotada/salida-acotada) si toda entrada acotada produce una salida acotada, con condiciones iniciales nulas.

50

u t M y t K 00, 0t x

/54

Estabilidad de entrada-salida

Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface

51

0

h t dt M

Prueba: Sea la entrada u(t) acotada, |u(t)| ≤ k1 < , t ≥ 0. Entonces

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h u t d h u t d

1 1 1

0 0

( ) ( )h k d k h d k M

/54

Estabilidad de entrada-salida

Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface

52

0

h t dt M

Prueba: Suponga que h(t) no es absolutamente integrable. Entonces, para

un sistema causal, LTI, con u(t) = k1 > 0 and h(t) > 0, t ≥ 0,

t

dtuhty0

)()()( t

dhkty0

1 )()(

00

)()( dhdht

t ,

y(t) no es acotada aunque u(t) sea acotada

/54

Funcion de transferencia

Teorema: un sistema dinámico LTI SISO es BIBO estable si y solamente si cada polo de su funcion de transferencia H(s) esta colocado sobre el semiplano izquierdo del plano s

53

Prueba: Sea H(s) una funcion racional propia de s, entonces cada polo

localizado en s = - pi, pi > 0, tiene multiplicidad ni, tal que

nnm

ii

1

1 1 ( )

inmij

ji j i

kH s

s p

m

i

n

j

tpjijm

i

n

jj

iij

i

i

i

etj

k

psLksHLth

1 1

1

1 1

11

)!1()(

1)()(

Absolutamente integrable

/54

Relaciones entre estabilidad externa e interna

Evidentemente, cada polo de H(s) es un valor propio de

A.

» Por lo tanto, si cada valor propio de A tiene parte real negativa,

entonces todos los polos de H(s) estan en el semiplano izquierdo

del plano s. Por lo tanto el sistema descrito por A es BIBO

estable.

Sin embargo, no todo autovalor de A aparecera como

polo de H(s), ya que puede haber modos no

observables o no controlables

54

/54

Ejemplo

Considere el sistema

55

)(2

2)(~

01

10)(~ tutxtx

)(~10)( txty

21det( ) det 1 ( 1)( 1)

1I A

El sistema es internamente inestable a causa del valor propio en = 1!

2 2

1 1 1

2 2

1

1 1( )1

1 1

At

s

s se L sI A Ls

s s

)(2

1)(

2

1

)(2

1)(

2

1

tttt

tttt

eeee

eeee

/54

Ejemplo

Considere el sistema

56

2

2

1

110

1

1)()(

21

s

s

sBAsICsH

1

2

)1)(1(

)1(2

1

222

sss

s

s

s

Cancelacion de polos y ceros en el calculo de la funcion de transferencia

La respuesta impulsiva es

)(2)( tueth st

00

01)(

t

ttu s BIBO estable

/54

Fuentes

A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml

Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

57

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FIN

58