5°

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” Quinto AñoQuinto Año

INDICE

NÚMERO FRACCIONARIO Y SU CLASIFICACIÓN 03

NÚMERO DECIMAL 15

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 25

RAZONES Y PROPORCIONES 34

PROMEDIOS 41

MAGNITUDES PROPORCIONALES 47

REPARTO PROPORCIONAL 56

REGLA DE COMPAÑÍA 63

REGLA DE TRES Y COMPUESTO 69

TANTO POR CIENTO 76

AritméticaAritmética 1


TEMA: NÚMERO FRACCIONARIO

ConceptoLlamados también “Fracciones””, “quebrados”, “números quebrados” o “fracciones racionales”, vienen a ser las cantidades en las cuales la unidad se divide en partes iguales, de las cuales se toman una o más de una. (fracciones positivas)

Notación

; Se lee: “A sobre B”, “A entre B” o “A – B avos”

Forma General

F =

Nota:

Las formas y ; a son formas no determinadas en este nivel, por lo que evitamos su uso.

Estructuraa Numeradorb Denominador

- Numerador: indica el número de partes que se consideran de la unidad.- Denominador: Indica el número total de partes en que se ha dividido

la unidad, todas ellas iguales.

Nota:Los números fraccionario dan lugar a un conjunto de números que contiene al conjunto de números naturales (N) y al conjunto de números enteros (Z), conocido como el Conjunto de Números Racionales (Q)

NúmerosFraccionarios N Z Q


ON

Z

Q


ClasificaciónLos números fraccionarios se clasifican:

1) Por las relaciones entre sus términosa. Fracción Propia: Aquella menor que la unidad

( 1 a b)

Ej.

b. Fracción Impropia: Aquella mayor que la unidad.

( 1 a b)

Ej.

OBS. Las fracciones impropias constituyen los números mixtos, es decir, aquellos que poseen parte entera y parte fraccionaria.

Ej.

c. Fracciones iguales a la unidad: Aquellas donde el numerador es igual al denominador, por lo que el valor de la fracción es igual a uno.

Ej. 18 ; 27 , etc. 18 27

2) Las agrupaciones de fracciones:

a. Fracciones homogéneas: Son aquellas que poseen el mismo denominador.

Ej. ;… son fracciones homogéneas

b. Fracciones heterogéneas: Son aquellas que poseen diferentes denominadores entre sí.

Ej. … son fracciones heterogéneas.3) Por la naturaleza del denominador:



a. Fracciones comunes; corrientes u ordinarias: son aquellas que poseen un denominador el cual es potencia de 10.

Ej. … son fracciones comunes.

b. Fracciones decimales: son aquellas fracciones cuyos denominadores son potencia de 10.

Ej. … son fracciones decimales

4) Por su carácter como número racionala. Fracciones reducibles o reductibles: son aquellas fracciones que

poseen divisores comunes tanto en el numerador como en el denominador, distintos de la unidad.Forma general: Si:

es fracción reductible / K = MCD (a,b)

K N - 1Ej. 30 = 3(10) ; Como 10 es MCD (30 ; 50)

50 = 5(10) 30 es fracción reductible50

b. Fracciones irreductibles o irreducibles: Son aquellas fracciones que no posee divisores comunes que no sea la unidad, es decir, los elementos de la fracción son números PRIMOS ENTRE sí (PESI)Forma general:

es fracción irreductible a y b son PESI

Ej. … son fracciones irreductibles

c. Fracciones equimúltiplo: es aquella agrupación de fracciones en las que el numerador de la primera fracción es equimúltiplo con el numerador de la segunda, y el denominador de la primera es equimúltiplo con el denominador de la segunda. Ej. 15/6 y 24/72.

15 = 3(5) ; 24 = 3(8) …, luego 15 es equimúltiplo de 24 6 = 3(2) 72 3(24) 6 es equimúltiplo de 72

(por el factor 3)



15 ; 24 son equimúltiplos 6 72

d. Fracción equivalente: es aquella fracción que contiene un número de veces a la otra. Ej. 18 y 54 son fracciones equivalentes porque 8 24

18(3) = 54 y 8(3) = 24

Principios

1) es fracción propia

(a b) (k Z)

2) es fracción impropia

(a b)

3) Toda fracción esta en relación directamente proporcional con su numerador y en relación inversamente proporcional con su denominador, así:

* Para el a k (a) k () a k (a) kNumerador b b b b

* Para el a_ (a) k () a__ (a) kDenominador bk b b k b

4) Si 2 fracciones son irreductibles entonces todas las potencias enteras positivas de dichas fracciones (al mismo exponente) también serán fracciones irreductibles.

5) Si a 2 fracciones equivalentes no irreductibles se les divide por el MCD de los 4 términos de dichas fracciones, entonces se obtendrán 2 fracciones irreductibles.



Ejemplos:

I) ; Sí

Sí

II) ; Sí

Sí

III) y son fracciones irreductibles ; luego:

y son fracciones irreductibles

IV) , no son fracciones irreductibles; MCD (16; 24; 32; 80) = 8….

Dividiendo las fracciones entre 8: ; fracciones irreductibles.

V) ó

6) Toda fracción es equivalente a si misma.

7) MCD y MCM de fracciones:

MCD ( a ; c ; e ) = _MCD (numeradores)__ b d f MCM (denominadores)

MCM ( a ; c ; e ) = _ __MCM (numeradores)_ b d f MCD (denominadores)



Ejemplo:

I) MCD ( 12 ; 4 ; 20 ) = MCD ( 12; 4; 20 ) = _4_ = _1_8 3 5 MCM ( 8; 3; 5 ) 100 25

2) MCD ( 5 ; 6 ; 14 ) = MCD ( 5; 6; 14 )__ = _230 = 1054 8 6 MCM ( 4; 8; 6 ) 2

8) Divisibilidad de fracciones:

() a =

b =

OBS.1) Mínimo Común Denominador de Fracciones: es el MCM de los

denominadores de fracciones irreductibles con que se homogeniza a fracciones heterogéneas.

2) División Racional: Es la división en que se obtiene el cociente verdadero o exacto de 2 enteros.

Forma general:

D d qv = q + ; r qv

* qv = Cociente exacto o verdadero (qvQ)Donde: * r = residuo

* d = divisor

Ej.:

330 24 q v = 13 + 18 3

18 13 24 4

q v = 13 ¾



Operaciones con fracciones.-

1) Adición y sustracción

Ejm.

2) Multiplicación

Ejm.

3) División

Ejm.

Obs:

1) Número mixto: es aquel originado, a raíz de las fracciones impropias, de

la suma entre un número entero y una fracción. Ejm.

2) Fracción de fracción: Es aquella en donde el numerador y el denominador son fracciones.

3) Fracción reiterativa: Aquella que es el resultado de un producto de fracciones.

Fracción Continua Simple (FCS).-Son fracciones cuyos denominadores son sumas sucesivas de fracción y números enteros.

Forma general:



*a1; a2; a3; … an = Reducidas, convergentes o cocientes incompletas

Notación: Fcs =

Fcs =


; donde: a1 Za2; a3; …a(n+1) Z+

*a12 = Cociente Incompleto

* Fracción integrante


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Un hombre tenía 30L de agua, los 4/5 los envaso en botellas de ¾ de litro y el resto en botellas de ½ litro. Hallar la cantidad total de botellas.Rpta.:

2) Antonio llego tarde a una conferencia y se perdió 1/7 de ella, 3 minutos más tarde llego José y escuchó los 5/6 de la conferencia. Si la conferencia empezó a las 10 a.m. ¿A que hora terminó?Rpta.:

3) Si es que avanzo los ¾ de un trayecto y luego retrocedo la mitad de lo avanzado, me encontraría a 10m. antes del punto medio del trayecto. Hallar la distancia total del trayecto en metros.Rpta.:

4) En una vasija llena de agua se agrega cierta cantidad de sal, disolviéndola. Se extrae 4/7 del contenido y se reemplaza con agua; luego se retiran 7/11 del recipiente y se vuelven a completar con agua y finalmente se retiran los 5/16 del volumen total. Si al final quedan 21 gr. De sal y asumiendo que la cantidad de agua que se retira ¿Qué cantidad de sal se retiro inicialmente?Rpta.:

5) Un comerciante vende sus pantalones de la siguiente manera: del total que tenía 1/3 mas 4 a S/. 50 cada uno y finalmente vende la mitad de los que le quedaban, mas 4, a S/. 30 cada uno, con lo que se le acaban los pantalones. Hallar la suma de cifras de la cantidad de pantalones y la cantidad de soles que recaudo.Rpta.:

6) Para cuantos valores de “N” menores de 1000 (n Z+ ) se hace reductible la fracción.

F =

Rpta.:7) Entre dos coleccionistas tenían 224

monedas antiguas. El primero le dió al segundo la sexta parte de sus monedas y mas tarde cedió el segundo al primero la cuarta parte de las monedas que tenían inicialmente, con los que los dos tenían el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía el que poseía más monedas?Rpta.:

8) Hallar una fracción equivalente a 7/12, sabiendo que si al término menor se le suma 70, para que el valor de la fracción permanezca inalterable, entonces el otro término debe triplicarse. Dar como respuesta el doble de la suma del numerador con el denominador.Rpta.:

9) Para que valores de Q N la expresión:

Es un número entero. Dar como respuesta la suma de los valores de “Q”Rpta.:

10) Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su longitud y 1/16 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 100 m2, sabiendo que el ancho original es de 80 cm?Rpta.:

11) Cada vez que un alumno entra a la cafetería gasta un tercio de lo que tiene mas 40 soles. Al salir por tercera vez se da cuenta que se quedo sin dinero. ¿Cuánto dinero tenia al comienzo?Rpta.:



12) Una pelota cae desde una altura de 1.20 m. y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 de altura de la cual cayo. Hallar el espacio total vertical recorrido por la pelotita hasta quedar en reposo.Rpta.:

13) Un jugador pierde 2/5 de su dinero, vuelve a apostar y gana 1/7 de lo que le quedaba; luego pierde 1/6 de lo que tiene y por último gana S/. 7140. si la pérdida del jugador fue 1/8 de su dinero original. ¿Con cuanta cantidad de dinero disponía al empezar a jugar?Rpta.:

14) Hallar el numerador de la fracción irreductible equivalente a:

Dar como respuesta la suma de sus cifras.Rpta.:

15) Hallar m y n si la fracción es equivalente a 57/152. dar como respuesta el producto de m y n.Rpta.:

16) Si la suma de las fracciones irreductibles: 47/b y a/13 resulta un número entero múltiplo de 7, hallar el menor valor positivo de “a” y dar como respuesta el producto de sus cifras.Rpta.:

17) Indicar verdadero (v) o falso (f) según corresponda:

I. El número irracional representado por la F.C.S. Infinita es

II. Si es irracional y = entonces es irracional.

III. La fracción continua expresada como: y representa el mismo número racional.

IV. Si m/n y n2–m2 z144

entonces es una fracción

impropia.

18) Un microbús parte con cierto número de pasajeros. En el primero baja la quinta parte, en el segundo paradero suben 40 pasajeros, en el tercero bajan los 3/8 de los que lleva, en el cuarto suben 35 pasajeros y en el trayecto al quinto deja 7/9 de los que lleva y llegando al final con 30 pasajeros. ¿Cuántos habrían al inicio?Rpta.:

19) Dos caños alimentan un estanque, el primero puede llenarlo en 50 horas y el segundo en 40 horas. Se deja correr al primero durante 15 horas y después al segundo durante 16 horas. En seguida se retiran 900 Lts. y luego se abren las 2 llaves, constatándose que el estanque termina por llenarse en 10 horas. ¿Cuál es la capacidad del estanque?Rpta.:

20) Dado:



K =

Hallar las 2 soluciones que admite y dar como respuesta la suma de estas.Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Una persona entra a una Iglesia con una suma compuesta exclusivamente de monedas de 20 centavos, da a un pobre ½ centavo por cada moneda que tenía y, entonces ocurre un milagro, las monedas que le quedaban se transformaron en monedas de 50 centavos. El devoto gasto luego 7 de estas monedas y regreso a su casa con el doble de lo que tenía antes de llegar a la Iglesia. Determinar la suma primitiva.a) 98 b) 99 c) 100d) 101 e) 102

2) Un inglés y un alemán beben un barril de cerveza por espacio de 2 horas, al cabo de los cuales el ingles se queda dormido y el alemán se bebe lo que queda en 2 horas y 48 minutos. Pero si el alemán se hubiera quedado dormido en lugar del ingles y este hubiera continuado, habría tardado en vaciar el barril cuatro horas y cuarenta minutos ¿Qué parte del contenido del barril bebió en total el alemán?a) 4/5 b) 5/6 c) 1/2d) 2/3 e) 9/10

3) Jaimito tiene cierto número de cartas para entregar. En el primer distrito por donde pasa deja los 2/3, y luego en el siguiente entrega 400 cartas. En el tercer y último distrito que recorre entrega los 2/7 de los que tenía al inicio, quedando libre para ir a descansar. ¿Cuántas cartas entrego ese día?a) 8000 b) 6000 c) 6200d) 8400 e) 7600

4) Si:



Entonces (2R - 3) es:a) Mayor que 5b) Menor que 4c) Un número racionald) Un número irracionale) No se pude determinar

5) Una avenida esta plantada en ambos lados de árboles. La décima parte de la longitud lo ocupan cerezo, los 2/9 del resto ciruelos; ½ el nuevo resto perales; 1/3 del nuevo resto manzanas y los 168 metros restantes duraznos. ¿A cuanto asciende el número de árboles plantado, si la distancia entre árbol y árbol es igual a 12 metros?a) 60 b) 61 c) 121d) 124 e) 122

6) Un comerciante vende los ¾ de un lote de bolsas de azúcar, mas 1/74 de bolsa; enseguida vende los ¾ del resto mas ¼ de bolsa, después de otras dos ventas hechas en las misma condiciones, el comerciante se queda sin azúcar. ¿Cuántas bolsas habían luego de la primera venta?a) 105 b) 90 c) 30d) 26 e) 21

7) Encontrar la fracción irreductible A/B sabiendo que: B tiene 6 divisores. Si: A/B = D/E, con E cuadrado perfecto, D tiene 8 divisores; el producto D.E tiene 48 divisores. A es el menor número posible y lo mismo ocurre con B un a vez elegido A. indicar el valor de (A + B).a) 50 b) 51 c) 52d) 53 e) 54

8) Un perro sigue a una liebre que le lleva 88 saltos de ventaja, el perro da 8 saltos, mientras que la liebre de 9; pero 5 saltos del perro equivalen a 7 saltos de la liebre. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la liebre?a) 280 b) 320 c) 340d) 300 e) N.A.

9) Un estanque pose 3 grifos que lo llenan en 10, 15 y 20 horas respectivamente y una cuarta llave que desagua todo su contenido en un día. Si estando vació el estanque se abre el primer grifo, una hora después al segundo y a las siguientes 2 horas el tercer grifo.

¿En que tiempo se llenara el estanque, si se abre la llave del desagüe una hora después de haber abierto el tercer grifo?

a) 3 horas b) 4 c) 5d) 6 e) 7

10) Para ingresar a la Escuela de Oficiales de la Marina de Guerra del Perú se cuenta con 50 vacantes. Si hay “B” postulantes, de los cuales los que probaron y desaprobaron el examen de conocimiento son como 4 es a 7 respectivamente; en el examen psicotécnico, los que aprobaron son los 2/5 de los que no aprobaron; luego los que pasaron el examen físico fueron la cuarta parte de los que aprobaron el examen psicotécnico. Finalmente en la entrevista personal aceptaron 5/7 de los que no aceptaron calcular “B” si ingresaron los 50 requeridos logrando pasar todas las pruebas, si además las pruebas son eliminatorias.

a) 4620 b) 5340 c) 7160d) 9240 e) N.A.

11) Para que valores enteros de K (K N), la expresión:

F -

Es un número comprendido entre 3 y 7

a) K 5 b) K 8



c) K 8 d) 4e) N.A.

12) Dos grifos, Ay B, llenan juntos el tanque de agua de un edificio en 30 horas. Si el grifo B fuese de desagüe se tardaría en llenar el tanque 60 horas. ¿En cuanto tiempo llenaría el grifo B el tanque que si inicialmente este se encuentre vacío?

a) 100 horas b) 90 c) 80d) 120 e) N.A.

13) Marisol es una ingeniera de prestigio que gasta todo el dinero que gana en un mes de la siguiente manera: los 2/3 en alimentos, los 3/7 del resto en movilidad, los 21/36 del nuevo resto en ropa y lo que le queda, que son S/. 2000, los ahorra. ¿Cuánto dinero gana al año?

a) 302 400 b) 572 000 c) 300 000d) 400 000 e) N.A.

14) Un hombre en promedio duerme 8 horas diarias, si un hombre tuviese 5 años menos, el tiempo que hubiera permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiera permanecido despierto si es que tuviese 10 años más. ¿Cuántos años lleva durmiendo?

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

15) En una vasija de 3 litros de capacidad se ponen 2 litros de vino y 1 litro de agua, a continuación se elimina 1/3 de la mezcla y se llena con agua la vasija, después se elimina 1/3 de la mezcla y se llena con agua la vasija, por último se elimina la mitad de esta última mezcla y se llena nuevamente la vasija. ¿Que cantidad de vino contiene un litro de la última mezcla?

a) 1/7 L b) 4/5 L c) ½ Ld) 2/19 L e) 12/13 L



TEMA: NÚMEROS DECIMALES

Concepto.-En las expresiones lineales de las fracciones racionales (como resultado de dividir al numerador de la fracción entre sus denominador).

Forma general: ab … z , ABC … W Parte Parte Aval (decimal o mantisa) Entera

(Característica)

Clasificación.-

D. Exacto

Racionales (Q) D. Inexacto D. Periódico

Números D. semiperiódico Simple

CompuestoDecimales

Irracionales (II) Irreales (no periódicos)

Trascendentes (constantes matemática Infinitesimales)

Decimales Racionales.-

I) Decimal exacto o limitado: Aquel cuya mantisa tiene un número finito de términos. Se origina a partir de una fracción ordinaria equivalente de una fracción decimal.

* Fracción generatriz (fg): Es la fracción irreductible que da origen a los decimales racionales.

Forma general: ab … m , np … Z = (“k1 + k2”

veces)



“k1” veces “k2” veces (“k2” veces)

* En otras ab … m , np … Z(k) = (“k + m”

veces) “k” veces “m” veces (“m” veces)

Ejm. fracción generatríz

OBS:

1) Una fracción común da decimal exacto si su denominador tiene

como únicos factores primos al 2 y/o 5. Ejemplo:

2) El número de cifras de la mantisa de un decimal exacto lo da el mayor exponente de los factores 2 y/o 5 que posea el

denominador de su fracción generatriz. Ejm.

II) Decimal Inexacto: Aquel cuya mantisa posee un número ilimitado de términos. Puede ser a su vez.

a) Decimal Periódico, Periódico Simple o Periódico Puro: Es aquel decimal formado por una fracción común, cuya mantisa posee términos que se repiten en determinados ciclos o periodos (series de una o más cifras repetidas infinitamente en la mantisa de un decimal).

Notación:

Ligadura Periodos


* En otras bases (base K - aval)


Forma general:

En otras bases

Ejm: 0,33 = 33/99 = 1/3

OBS:

1) Una fracción dará decimal periódico puro si el denominador no posee

ni los factores 2; 5 o uno de ello. Ejm:

2) El número de cifras de la mantisa lo dará el menor número formado solo por cifras 9 que contienen al denominador (y a sus factores primos), usándose para ello la “tabla de 9”

9 = 32

99 = 32.11999 = 33.37

9999 = 32.11.10199999 = 32.41.271

b) Decimal semiperiódico, Periódico Compuesto o Periódico Mixto: es aquella décima cuya mantisa presenta periodo y un grupo de número llamados “parte no periódica”. También es ocasionado por fracciones ordinarias.


En otras bases(base K - aval)


Forma general

OBS:

1) Una fracción será decimal Periódico Mixto si su denominador posee otros factores primos además del 2 y/o del 5.

2) El número de cifras de la mantisa del decimal Periódico Mixto responde al criterio del número de cifras del decimal exacto (para la parte no periódica) y el del decimal periódico puro (para el periodo).

Propiedades generales de los números de los decimales.-

1) Si a un decimal se le corre la coma “k” unidades a la izquierda o derecha, entonces al decimal quedara dividido o multiplicado por una potencia de 10 cuyo exponente sea un número entero que indique el número de casillas que se desplaza la coma respecto de su posición inicial.

2) Si le sumamos o le restamos ceros a un decimal, su valor absoluto no se alterara

3) Si el número de cifras de su mantisa o periodo =




Parte No periódica

(“” veces)

Parte periódica (“” veces)

“” veces


Donde: P = número primo; P 3; P 5

= exponente; +

G = Gaussiano o Indicador de Gauss: Es el mínimo exponente de un número que se toma para que este sea convergente con la unidad, respecto de cualquier número arrojan el mismo resto potencial.

Notación: G(10)3 = “Gaussiano de base 10 respecto al modulo 3”



6) Descomposición Polinómica de Decimales.-

Forma general:

7) Complemento Aritmético de Decimales .-

Forma general:

Ejm: CA(0,7) = 1 – 0,7 = 0,3CA(12,5) = 100 – 12,5 = 87,5

OBS:1) Aun decimal que esta en otras bases se le denomina: número “K-

aval”, tal que “K” indica la base del sistema. Ejm:

. 3,72(8) = número octaval

. 6,493()(11) = número endecaval, etc.

2) Si se tiene:

3) En cualquier base:


(“k” veces)(“k” veces)



O

01) Si:

Hallar el valor de

Rpta.:

02) Si a y b son números naturales

tales que:

determinar el valor de:

Rpta.:

03) Si:

Hallar la suma de los términos de la fracción generatriz que dan origen a la fracción decimal periódica

pura = 0, (a + 1) (a + 2) (Pregunta de examen de admisión UNI)

Rpta.:

04) Calcular la última cifra significativa de la parte decimal originada por la siguiente fracción:

(pregunta de

examen de admisión UNI 1987)Rpta.:

05) Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. La suma de las dos últimas cifras decimales del periodo de la

fracción es 6.

Si entonces a + b + m + n + p = 28

II. Si entonces

c + d + x + y + z + w = 31

Rpta.:

06) Si “R” es una fracción propia e irreductible, cumpliéndose:

; escribir el numerador de la F.G. de R en base octaval y dar como respuesta la suma de sus cifras.


2319

779

75

7710

36,027,2

02,236,138,3

911

7,3

8,294

8

K


Rpta.:

07) Si al denominador de una fracción propia e irreductible se le añaden 3 unidades, se volvería equivalente a ½, en cambio si le sumamos 4 unidades al numerador, este se hace igual al denominador ¿Cuántas unidades hay que sumar a ambos términos de la fracción original para que sea igual a 0,81?

Rpta.:

08) Un estudiante convierte 2 fracciones generatrices en números decimales y observa que una resulta decimal exacta con 2 cifras decimales y la otra es inexacta periódica pura con 2 cifras decimales en el periodo y exactamente iguales a la anterior. Luego calcula la diferencia entre ellas y se obtiene 2/825. Determinar el numerador común de las fracciones generatrices.

Rpta.:

09) Determinar el numerador de la fracción propia e irreductible del denominador 396, sabiendo que da origen a un decimal periódico mixto de la forma 0,mnpq donde se cumple que pq = 2 . mn

Rpta.:

10) En: ; si se sabe que

el numerador y denominador son primos entre si; hallar x + y + z + w

Rpta.:

11) Un padre de familia, con el objeto de llevar a su familia al circo, adquiere 3 entradas de adulto y 2 de niño por S/. 2.20. después. Como hubiera invitado a otras personas, adquiere a los mismos precios, seis entradas para niño y 2 de adulto, en S/. 2.40. hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto.

Rpta.:

12) Un contratista contrata los servicios de un obrero por 36 días, y como no tiene trabajo para todos los días le ofrece S/. 1,25 por cada día que trabaje y S/. 0,50 por cada día que no trabaje. Al cabo de los 36 días el obrero ha recibido S/. 30.00. ¿Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó?

Rpta.:

13) Se reparte una herencia entre 3 personas. A la primera le corresponden S/. 1245,67; a la segunda el triple de la primera mas S/. 56,89; a la tercera S/. 76,97 menos que a la suma de lo de las otras dos. Si además se han



separado S/. 301,73 para gastos, ¿A cuánto ascendía la herencia?

Rpta.:

14) Se dan los siguiente números:

;

N = 0,343(6) ; si se cumple:

Hallar la suma de cifras del periodo de la fracción:

Rpta.:

15) Hallar:

y dar como respuesta el producto de sus resultados.

Rpta.:

16) Un camión conduce cinco fardos de mercancías, el primero pesa 72,675 Kg.; el segundo, 8 Kg. menos que el primero; el tercero, 6,104 Kg. más que los 2 juntos y el cuarto tanto como los 3 anteriores ¿Cuál es el peso del quinto fardo si el peso total de las mercancías es 960,34 Kg.?

Rpta.:

17) La fracción origina un

número decimal de 2 cifras no periódicas y 3 cifras periódicas ¿Cuántas cifras hay en el desarrollo decimal no periódico de

la fracción

Rpta.:

18) Si se cumple que:

Determinar la suma de las cifras de la parte no periódica de:

Rpta.:

19) Calcular cuántas cifras tiene la parte no periódica de la fracción



, al ser

representado como un número heptaval.

20) Si al dividir entre el MCD de

! Se obtiene un numeral que tiene 16 cifras en la parte no periódica en su expresión decimal. Calcular la suma de los valores de (p + q)

Rpta.:PROBLEMAS PARA LA CASA

01) ¿Cuántos valores puede tomar

W, si ? Dar como

respuesta la suma de la parte periódica de los valores obtenidos.a) 79 b) 87 c) 14d) 100 e) 81

02) Se cumple que

Calcular

D + N + Ia) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9

03) Sabiendo que, al dividir N entre 13 se obtiene un numeral de 3 cifras no periódicas y 2 periódicas ¿Cuál es el menor valor de N?a) 24192 b) 42326 c)12452d) 18454 e) 20432

04) Si . Encontrar

la ecuación de segundo grado, una de cuyas raíces es la fracción:

a)

b)

c)

d)

e)

05) Las fracciones m/n y p/q pertenecen a las clases de

equivalencias y

respectivamente, donde m + n = p + q. calcule (m + n + p + q + x + y); sabiendo además que



es

irreductible.a) 185 b) 180 c) 190d) 200 e) 195

06) ¿Cuántas fracciones de la

forma

existen tal que abc es impar, la cantidad de divisores abc es 6, donde N y 32 son PESI?a) 80 b) 100 c) 120d) 140 e) N.A.

07) Hallar la fracción propia e irreductible si la diferencia de sus términos es 10878, siendo su desarrollo decimal de 3 cifras no periódicas y 6 cifras periódicas. Indicar la suma de las cifras del numerador y denominador.a) 23 b) 28 c) 31d) 45 e) 59

08) Si 0,431(n) = 0,754629;

determinar el valor de

a) 0,54 b) 0,36

c) 0,45 d) 0,18

e) 0,63

09) Hallar 2 fracciones que tengan denominador 13 y por numeradores 2 números consecutivos, que comprendan entre ellas a la fracción decimal 0,15454. dar como respuesta la suma de las fracciones.

a) 2/13 b) 3/13 c) 4/13d) 5/13 e) 9/13

10) Un muchacho que tiene S/. 0,60 quiere reunir S/. 3,75. Pide a su padre S/. 1,75 y este le da 17 centavos menos de lo que le pide; pide a un hermano 30 centavos y este le da S/. 15 centavos más de lo que le pide. ¿Cuánto le ha costado todo?

a) S/. 1,76 b) S/. 3,14c) S/. 0,90 d) S/. 1,12e) S/. 2,78

11) Un hombre se compra un traje, un sombrero, un bastón y una billetera. Esta le ha costado S/. 3,75; el, sombrero le ha costado el doble de lo que le costo la billetera; el bastón S/. 1,78 más que el sombrero y el traje 5 veces lo que costo la billetera ¿Cuánto le ha costado todo?

a) S/. 30,12 b) S/.17,90c) S/. 28,93 d) S/. 15,77e) S/. 39,28

12) El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. Menos que el segundo, el segundo 43, 016 Kg. más que el tercero y el tercero, 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en el depósito Dar como respuesta el peso de uno de ellos



a) 247,197 b) 266,839c) 222,318 d) 150,178e) N.A.

13) Pedro adquiere cierto número de libros por S/. 46,68. si hubiera comprado 4 mas le habrían costado S/. 77,80 ¿Cuántos libros ha comprado y cuánto ganará si cada libro lo vende por S/. 9,63?

a) 6; S/.11,10b) 8; S/.10c) 7; S/. 9,8d) 10; S/. 46,68e) 30; S/. 77,80

14) Un depósito se puede llenar por 2 llaves, la primera vierte 25,23 litros en 5 minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse el

estanque, si estando vació se abren a un tiempo las 2 llaves, sabiendo que su capacidad es de 425,43 litros?

a) 0,001 L b) 0,002 Lc) 0,003 L d) 0,004 Le) 0,005 L

15) Compro 100 libros por S/. /85.00. vendo la quinta parte a S/. 0,50; la mitad del resto a S/. 1,75 y lo restante a S/. 2 c/u ¿Cuál es mi beneficio?

a) S/. 25 b) S/. 50c) S/. 75 d) S/. 100e) S/. 125



TEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

I. Potenciación (n k ).- Es una operación directa en la cual un número (potencia perfecta) real positivo, resulta la multiplicación de otro número real por si mismo, un número entero de veces.

Forma general: = ak PDonde:* base (a R)* exponente, indica el número de veces que “a” se multiplicó por sí mismo. (K R) * Potencia (P R)

Propiedades.-

1) Ley de uniformidad: “existe solo un número, tal que dicho número es la potencia perfecta resultante de elevar un determinado número a un determinado número a un determinado exponente”.

2) Ley de la monotonía: Si

3) Ley distributiva:

OBS:

- La potenciación solo esta definida cuando el exponente al cual se eleva la base es un número entero.

- En la potenciación no existe propiedad conmutativa ni propiedad asociativa.

Ley de signos.-() (+)PAR = + () (-)PAR = +() (+)IMPAR = + () (-)IMPAR = -

OBS:1) a k El exponente “k” solo afecta a la base, no al signo

( a) k El exponente “k” afecta a la base y al signo por ser operador de ambos.

Propiedad Fundamental.-

a k es potencia perfecta de “k” si:



Donde:

1) Cuadrado Perfecto o Potencia Perfecta de base 2 (N = P 2k ) Es aquel número que posee raíz cuadrada exacta y que posee un número impar de divisores.

* Modos de inclusión del cuadrado perfecto.-

1) Todo número será cuadrado perfecto si y solo sí todos sus factores primos presentan exponentes múltiplos de 2. Ejm:

2) Todo número será cuadrado perfecto si y solo sí dicho número es

múltiplo de 4 (PAR) ó (IMPAR). Ejm.: 100 = 102 100 =

(PAR)

3) Todo número será cuadrado perfecto si termina en un número par de ceros y el numeral formado por las cifras distintas de ceros es cuadrado perfecto. Ejm: 900 = P2k 9 = P2k = 32

4) En todo número cuadrado perfecto se cumple:

Si N = P2k N = (solo en impares)

N = (solo

uno de ellos)

5) Si , se cumple:

Si (solo uno de ellos). Ejm: 625 = 252

6) Si un número termina en 1; 4; 5; 6; ó 9; entonces puede ser un número cuadrado perfecto.

* Modos de exclusión del cuadrado perfecto.-1) Todo número que termina en 2; 3; 7 ó 8 nunca es cuadrado perfecto.2) Todo número que termina en un número impar de ceros no es

cuadrado perfecto.



3) Todo número que excluye al cuadrado perfecto de un factor primo, no es cuadrado perfecto.

4) Todo número que no cumpla con la prioridad fundamental de la potenciación no será cuadrado perfecto.

* Conclusión: Todo número que es cuadrado perfecto cumple con

todos los modos de inclusión y con la propiedad fundamental de potenciación.

2) Cubo Perfecto o Potencia Perfecta de Grado o base 3 (N = P 3k )

Es aquel número que posee raíz cúbica exacta.

* Modos de Inclusión del Cubo Perfecto:

1) Todo cubo perfecto termina en cualquier cifra.2) Todo cubo perfecto presenta todo factor primo elevado a

exponentes múltiplos de 3.3) Todo número que termina en cero es perfecto si y solo sí posee

cantidad de ceros múltiplos de 3 y el número formado por las cifras distintas a cero es cubo perfecto.

4) Todo cubo perfecto cumple:

P3k =

=

= (solo pares)

5) Si todo cubo perfecto termina en S: N = … cds d = 2 ó 7

c = 3; 6; 8 ó 1

*Modos de exclusión del cubo perfecto:

1) Un número no es cubo perfecto si no cumple con, al menos, uno de los modos de inclusión.

2) Un número no es cubo perfecto si no contiene al cubo de su factor primo.



II. Radicación .-Es la operación inversa a la potenciación, en la cual el índice de la raíz equivale al exponente, la raíz equivale a la base y el radicando a la potencia.

Forma general: ;

Donde: K = Índice (K Q+ 1)n = Radicando o Cantidad Subradical (n R+)R = Raíz (R R+)

OBS:Solo esta definida la radicación de índice entero positiva.

Propiedades.-

1)Monotonía: Si

2)De uniformidad:

3)Distributiva:

Ley de signos.-

(*) (*) IMPAR

(*) (*)


2. Raíz Cúbica.- Forma general:

2.1 Raíz cúbica exacta:

R0n

33Rn

1. Raíz Cuadrada.-Forma general

1.1.Raíz Cuadrada exacta:

n = R 2R0n

2.2.Raíz cúbica inexacta:

Rrn

3

rRn 3

2.3.Por exceso

Rrn

3 'r1Rn

r'Rn3

3

1.2.Raíz cuadrada inexacta:

1.3.Por Exceso:

Rrn

'r'1Rn

'r'Rn2

2

r

rRnRn 2


Donde:n = RadicandoRI = Raíz por excesoR = Raíz (por defecto)r = Resto o residuo (por defecto)r ’ = Resto o residuo por exceso

Propiedades.-

1) Para Raíz Cuadrada:

(*) r + rI = 2R + 1

(*) En raíz inexacta:

2) Para Raíz Cúbica:

(*) r + rI = 3R (R + 1) + 1

(*) En raíz inexacta:




01) Indicar el valor de la verdad de las siguientes preposiciones:

I. Si es un cuadrado perfecto múltiplo de 3 y de 7, entonces m + n + p = 18

II. Si entonces

III. La cantidad de divisores de un número cubo perfecto puede ser

IV. No es cierto que si es el mayor entero tal que el cociente de 3024 entre es un cuadrado perfecto, la cantidad de divisores de es 12.

V. De un cubo perfecto de 5 cifras se sabe que el producto de las cifras de su raíz cúbica termina en 5 entonces la suma de cifras de dicha raíz es par.

02) Si el número de la forma es un cuadrado perfecto y el número

es un cubo perfecto, hallar la suma de (a + b +c).

03) Si :

Además mn = x2 y px = n2 – 2; indicar el valor de m + n + p + q + x

04) Sabiendo que le numeral es un cuadrado perfecto divisible por 77, además . Indicar el número de divisores cuadrado perfectos que tiene el numeral deb sean PESI con ca.

05) Determinar un número de 6 cifras cuadrado perfecto y tal que la diferencia entre el número formado por sus 4 primeras cifras y el número

formado por sus 2 ultimas cifras es 1275. dar como respuesta la suma de las cifras de su raíz cuadrada.

06) Si abac, es un cuadrado perfecto y el MCD de ba y ca es 8. hallar (a + b + c)

07) ¿Cuántos números existen cuya raíz cuadrada es 52 y cuya raíz cúbica es 13?

08) Al extraer la raíz cúbica de un número por exceso y por defecto se obtiene como suma de raíces 13. hallar la suma de las cifras de dicho número si además el resto por defecto es 123 mayor que el resto por exceso.

09) En una raíz cúbica inexacta donde el residuo es máximo, se sabe que la suma del radicando, la raíz y el resto es 1626. determinar cuantas unidades se le debe agregar el radicando como mínimo para obtener un cuadrado perfecto que termine en la cifra 1.

10) Calcular el valor de:

Dar como respuesta el número que se encuentra en la porción de los 10 milésimo.

11) Los soldados de un batallón siempre forman haciendo un cuadrado; cuando 13 de estos soldados están de guardia. Si 68 soldados son elegidos para integrarse a dicho batallón, entonces al formarse todo el batallón forman un cuadrado ¿Cuántos soldados habían inicialmente en el batallón, si son menos de 300. dar como respuesta la suma de cifras del número de soldados?



12) Hallar (a + b + c + d) Si

13) Al extraer la raíz cúbica del número se obtuvo como resto

, hallar (a + b)

14) Si:

Determinar la suma de cifras de la raíz.

15) El residuo de extraer la raíz cuadrada de un número de 3 cifras es 3. si invertimos el orden de las cifras del número el residuo aumenta en 35 y la raíz cuadrada aumenta en 3. si se invierte las 2 cifras de mayor orden del número ¿Cuál es el residuo de extraer su raíz cuadrada?

16) Si calcular la raíz cuadrada por defecto del numeral :

dar como respuesta la suma de cifras.

17) Si es un cuadrado perfecto. Hallar el resto de dividir su raíz cuadrada entre 7.

18) Hallar el menor número entero por el que hay que dividir a 227598336, para que el cociente sea un cubo perfecto.

19) Hallar el número de 5 cifras, cuadrado perfecto, que tenga 4 divisores primos, y que su número de divisores también sea un cuadrado perfecto. Dar como respuesta la suma de cifras de su raíz cuadrada por defecto.

20) Un vendedor de frutas tiene un cierto número de naranjas, las cuales quiere disponer queriendo tener un cuadrado. Si el cuadrado fuera pero si el centro estuviera vacío, podría colocar 4 naranjas más en cada columna sin que sobre ninguna. Si se sabe que podrá llenar el cuadrado vacío se requieren 144 naranjas. Calcular cuántas naranjas tenía el vendedor.




01) Se tiene unas 3 bolsas que contienen lapiceros azules, rojos y negros respectivamente y se observa:

La 4ta. Potencia del total de lapiceros se escribe con 6 cifras.

El cubo de la cantidad de lapiceros azules se escribe con 3 cifras, las cuales suman 10.

La suma de los lapiceros rojos y el cuadrado de la cantidad de los lapiceros negros es 89.

¿Cuál e es el número de lapiceros?

a) 18 b) 22 c) 24d) 27 e) 30

02) Un anciano comentaba: “Yo cumplí x años en el x2 “y su nieto respondió: “Yo también cumpliré y años en el y2”. ¿Cuál es la diferencia entre la edad del abuelo y del nieto?

a) 64 b) 42 c) 90d) 78 e) faltan datos

03) Determinar cual es al suma de los divisores de DNI

a) 727 b) 842 c) 1093d) 981 e) 364

04) se extrae la raíz cuadrada de un número por defecto y por exceso, obteniéndose como suma de sus raíces 39. hallar dicho número sabiendo que el residuo por defecto es el doble del residuo por exceso.

a) 239 b) 337 c) 391d) 387 e) 396

05) hallar un número de 3 cifras; tal que el residuo por exceso de su raíz cúbica, es el doble del residuo por

defecto de su raíz cuadrada, y si a su raíz cuadrada por defecto se le resta 1 se obtiene el triple de su raíz cúbica por exceso. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 38 b) 1 c) 47d) 74 e) 20

06) Hallar la raíz cuadrada de

. Dar como respuesta el

valor el cubo de su cifra correspondiente al lugar milésimo.

a) 11 b) 1 c) 27d) 64 e) 8

07) Hallar el valor de a + b + c + d + e en:

a) 30 b) 28 c) 27d) 24 e) 22

08) Todas las mañanas un regimiento de soldados se presenta a su superior formando una figura rectangular, donde un lado es el doble del otro.Después de la batalla mueren 125 soldados con lo cual, ahora, se debe seguir formando el rectángulo. Determinar cuántos soldados han quedadoa) 64 b) 75 c) 72d) 68 e) 78

09) Si:



Calcular

a) 1,73 b) 6,37c) 2,78 d) 2,08e) 3,14

10) Un hombre tiene 400m de alambre para cercar su terreno de forma cuadrada, como después de cubrir todo el perímetro le sobra un a extensión de alambre, decide poner una segunda cerca un metro mas adentro, utilizando así el resto del alambre. ¿Cuál es el área del terreno?

a) 2601 b) 2450,25c) 2401 d) 2500e) 2550,75

11) Hallar ; si . Dar

como respuesta el residuo de extraerle su raíz cuadrada por exceso.

a) 5 b) 4c) 3 d) 2e) 1

12) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado multiplicado por 3, añadiendo 6 a este producto y dividiendo la suma entre 3 se obtiene por resultado 291?

a) 13 b) 14

c) 15 d) 16e) 17

13) Un comerciante compró cierto número de trajes y el precio que pagó por cada traje era la cuarta parte del número de trajes que compró. Si gastó S/. 30976 ¿Cuántos trajes compró y cuánto pago por cada uno?

a) 352 trajes; 88b) 360 trajes; 100c) 179 trajes; 100d) 348 trajes; 83e) N.A.

14) La altura de una caja es el triple de su longitud y de su ancho. Si el volumen de la caja es de 24000 cm3. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

a) 20cm. de ancho; 18 de largo; 50 de altura

b) 15 cm. de ancho; 18 de largo; 52 de altura

c) 20 cm. de largo y ancho; 60 cm. de altura

d) 20 cm. de largo y ancho; 48 cm. de altura

e) 17 cm. de largo y ancho; 48 cm. de altura

15) El cubo de un número multiplicado por 3 y dividido por 7 da como resultado 147. hallar el número.

a) 17 b) 13c) 11 d) 7e) 29



TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES

I) Razón o Relación.- Es la comparación entre 2 cantidades por medio de las operaciones inversas básicas (sustracción y división)

Clases de razones o relaciones.-

1) Razón aritmética.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la diferencia.Notación: a – b = r (“a es mayor que b en r unidades”).

Zr;b;a

razónladevalorr*

uentesecconb*

eantecedenta*

2) Razón Geométrica.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la división.Notación.- a : b = r (“a es producto de b por r”)

Zr;b;a

razónladevalorr*

uentesecconb*

eantecedenta*

3) Razón Armónica.- Es la comparación por sustracción entre las inversas de 2 números que forman razón aritmética.

Notación:

II) Proporciones.-

Es la igualdad de 2 tipos comunes de razones (de la misma clase) o mayores de 2.


1º

3º


Clases de proporciones.-

1) Proporción Aritmética 2) Proporción Geométrica

3) Proporción Armónica

NO

TA

CIÓ

N

“a y b son proporcionales a c y d” “1/a es a 1/b como 1/c es a 1/d”

Donde: a c (e inversas) = Antecedentes b d (e inversas) = consecuentes

PR

OP

IED

AD

cbda

Donde:a; b; c; d; = 4ta Diferencial década uno respecto a los otros 3.

Donde: A; b; c; d = 4ta Proporcional respecto a los otros 3 (en ese mismo orden)

Donde:1/a; 1/b; 1/c; 1/d = 4ta Armónica respecto de los otros 3 (es ese mismo orden)


1°2°

3°4°


PR

OP

OR

CIÓ

N

Para lo problemas, la cuarta diferencia, proporcional o armónica es considerado como el segundo consecuente.

PR

OP

OR

CIÓ

N C

ON

TIN

UA

O IN

SD

ISC

RE

TA

Donde:b = Media Diferencial o Aritmética.

a; c = Tercia diferencial o Aritmética respecto de los otros 3 términos.

Donde:b = Media Proporcional o Geométrica.

a; c = Tercia proporcional o Geométrica respecto de los otros 3 términos.

Donde:b = Media Armónica

a; c = Tercia armónica respecto de los otros.

Para los problemas, la tercera o tercia Aritmética, Geométrica o Armónica es considerado como el segundo consecuente.

OBS: Si no se determina que tipo de razón o proporción se establece en un problema, se asume que es GEOMÉTRICA.

Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).-1) Serie Aritmética:

* S.R.E.A Continua: Forma General: a – b = b – c = c – d = d – e =_* S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f = …

2) Serie Geométrica:

* S.R.E.D. Continua: Forma General:

* S.R.E.G. Discreta: Forma General:

NOTA: Propiedades de las Series Geométricas:



Dado:

1) 2) N = N° de razones

3)




1) La razón de 2 números es de 7 a 3. ¿Cuál será la razón entre la suma de cuadrados y la diferencia de cuadrado de dichos números?

2) La edad de Pepe es a la edad de Luis como 5 es a 6, después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En que relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Luis?

3) A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?

4) El producto de 3 números es 5832. si el primero es al segundo como el segundo es al tercero. Hallar el segundo número.

5) Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas, transcurridos los primeros 45 minutos la razón de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran distanciados 80 km. ¿Cuál es la diferencia de sus velocidades en km/hora?

6) Pedro y Pablo parten simultáneamente uno al encuentro del otro de dos puntos A y B que distan 550 m y con velocidades iniciales que son entre si como 4 es a 7 respectivamente. Si inmediatamente después del cruce la relación de velocidades cambia: es de 5 a 8, siendo Pablo el más veloz. Calcular la distancia de A al punto en el cual luego del cruce Pedro se encuentra separado de Pablo 195 m.

7) A una fiesta asistieron 240 personas, se sabe que por cada 38 hombres hay 10 mujeres. Si por cada 10 personas que beben, 6 sean hombres y por cada persona que bebe consumió 3 botellas de cerveza ¿Cuántas mujeres no bebieron en dicha reunión si se compraron 10 docenas de cervezas?

8) Un asunto fue sometido a votación de 1200 personas y se perdió, aduciendo fallas en el proceso electoral, nuevamente votan las mismas personas, siendo favorable el asunto. Se observo que el caso fue ganado por el doble de votos por el que se había perdido la primera vez, y la nueva mayoría fueron respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?


COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” Quinto AñoQuinto Año9) Dos personas salen

simultáneamente de 2 ciudades A y B y van uno en dirección de la otra. La primera persona anda 2 km/h mas de prisa que la segunda, llega a B una hora antes de que la segunda, llega a A. la distancia entre A y B es 24 km. ¿Cuántos kms recorre cada una de las personas en 1 hora? Dar como respuesta la suma de dichas distancias.

10) En una academia la relación de hombres y mujeres es 2 : 5, la relación del semestral es 7 : 3 ¿Cuál es la relación de los hombres que están en el semestre y el total de alumnos?

11) Los ángulos de un cuadriláteros están entre si como los números 4, 7, 9 y 10. ¿Cuál es el valor del mayor de ellos?

12) La diferencia entre el mayor y menor término de una proporción geométrica continua es 25, el otro término es 30. halar la suma de los términos si los 4 son positivos.

13) Sabiendo que: (A + B + C + D) (a + b + c d) = 5041 y que:

, calcular el

valor de:

14) ¿Cuál de los siguientes conjuntos de números están en proporción armónica?a) 18,12,10,6 b) 25,15,10,5c) 24, 18,10,8 d) 36,24,18,12e) N.A.

15) Sabiendo que uno de cada mil vehículos sufre un accidente en 1

Km. ¿Cuántos vehículos de cada millón sufren accidentes en 2 Km?

16) Los números: a, b y r son

naturales y se cumple: y

determinar

la mayor suma “a + b + r” menor que 20.

17) Si:

(r 1) y a + b + c + 1 = r2.

Hallar (r - 1)

18) Si: bde= (R

0) hallar

19) En:

la

razón es entera y los números A, B, C y D también. Hallar C, si A = 672.

20) Si:

además: b = 9d, hallar el valor de:




01) Si:

Entonces p2 + m2 es igual a:

a) n2 b) n c) a2

d) a2 + b2 e) b2 + c2

02) Dos negociantes de vinos ingresan al Perú, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro 20. como no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de Aduana el primero paga con 5 botellas de vino y S/. 40.00 y el segundo con 2 botellas de vino pero este recibe de vuelto S/. 40.00. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino?

a) S/. 120 b) S/. 50 c) S/. 110d) S/. 105 e) S/. 95

03) El producto de los 4 términos de una proporción geométrica es 50625. sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75; indicar la suma de los cuatro términos.

a) 180 b) 108 c) 216d) 258 e) 95

04) Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 50; 100 se forma una proporción geométrica continua cuya razones:

a) 1/2 b) 4/3 c) 2d) 1/3 e) 3/5

05) En la siguiente serie de razones equivalentes:

calcular a y b (en este orden)

a) 4 y 6 b) 3 y 4 c) 8 y 6d) 8 y 6 e) 4 y 3

06) Tres recipientes cilíndricos de volúmenes diferentes, pero geométricamente semejantes, cuyas alturas son entre si como 1, 2 y 3 contiene agua, en cantidad proporcional a su altura. Se trasvasa el agua de modo que el nivel sea el mismo en los 3 recipientes. Se hace pasar ahora 9 litros de agua del terceral primer recipiente y se observa que el segundo contiene 2 veces el volumen que contiene el primero. Se pide el volumen que inicialmente tenia el tercer recipiente.

a) 81 L b) 42 L c) 63 Ld) 20 L e) N.A.



07) Si se tiene: (K

Z) si , siendo

igual en términos a una de las razones dadas, calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

08) Se tiene una serie de 3 razones geométricas equivalentes. El producto de las sumas de c/u de las razones es 64. hallar la suma de la media geométrica de antecedentes y de la geométrica de consecuentes.

a) 2 b) 4 c) 6d) 6 e) 10

09) Los 3 números positivos en progresión aritmética que aumentan en 3, 3 y 7 respectivamente forman una progresión geométrica de suma 28, son:

a) 6, 5 y 4 b) 1, 5 y 9 c) 5, 9 y 13d) 5, 7 y 9 e) N.A.

10) Un conjunto de música moderna ofreció 3 conciertos, siendo el total de asistentes en cada una de sus presentaciones A, B, y C. sabiendo que A es a B como 49 es a 64, que C es un cubo perfecto múltiplo de 5 y además media proporcional entre A y B. Calcular el mínimo: Q = A + B + C y dar la suma de sus cifras.

a) 10 b) 18 c) 17

d) 19 e) N.A.

11) El producto de los 4 términos de una proporción discreta es 15876. si el primero de estos términos es 7. calcula el producto de los términos medios.

a) 120 b) 122 c) 126d) 127 e) N.A.

12) Tres cazadores disparan simultáneamente contra una liebre. El primero consigue hacer blanco 2 veces de cada 5; el segundo 4 veces de cada 10 y el tercero 8 veces de cada 10. ¿Cuántas veces de cada 500 por lo menos uno de los 3 cazadores alcanza la liebre?

a) 374 b) 352 c) 396d) 464 e) N.A.

13) Sabiendo que: y

que 4A - 2B + 5C = 295. hallar A + B + C

a) 90 b) 108 c) 120d) 150 e) N.A.

14) La suma, diferencia y el producto de “N” números están en la misma relación que 4, 2 y 15 respectivamente. ¿Cuál es el mayor de los números?

a) 15 b) 10 c) 16d) 4 e) 14



15) Los cuadrados de

son

proporcionales a otros tres

números que suman .

Uno de dichos número es:

a) 7/6 b) 44/7 c) 7/18d) 6/7 e) 7/44



TEMA: PROMEDIOS

Concepto:Es un valor que equilibra y sintetiza el valor de cada uno de los términos de un conjunto solución, y además puede o no pertenecer a dicho conjunto inicial (la sucesión de números). También se le conoce como “Media”.Notación: a1; a2; a3; … ; an = {an} valor de la sucesión.

Promedio de {an} = (a1; a2; a3; … ; an)Donde: a1 (a1; a2; a3; … ; an) an / a1 a2 a3 …

an

Clases.-I) Promedio Aritmético :

II) Promedio Geométrico :

III) Promedio Armónico : es la inversa de la suma de los recíprocos de cada término de la sucesión que origina al .

IV) Promedio Ponderado : es el promedio originado por una sucesión donde cada uno de sus términos (o por lo menos uno de ellos) se repiten un número entero de veces mayor de uno.

a.Promedio Ponderado Aritmético :

b.Promedio Ponderado Geométrico :

c.Promedio Ponderado Armónico



Donde: n = # de términos de la sucesión.a1; a2; a3; … ; an = términos de la sucesión.x; y; … ; = # de veces en que se repite cada término de la sucesión.

Algunas propiedades generales.-1) Se cumple: (mayor si los términos son distinto entre sí;

igual si los términos son iguales entre sí).

2) Solo para 2 números:

Además:

(Solo para 2 cantidades)

3)

Analógicamente:

OBS:

1) Para los problemas, se asume como promedio al promedio aritmético.

2) La Media Geométrica de un grupo de números es también la media Geométrica de la Media Aritmética y la Media Armónica y la Media Armónica del mismo grupo de número.




01) El promedio de 100 números pares consecutivos es 129. Entonces, la diferencia entre el mayor y el menor de dichos número es:

02) La décima parte de la carretera entre las ciudades A y B se desarrolla a través de poblados y el resto en campo abierto. Si la velocidad límite en los poblados es de 30 km/h y en campo abierto es de 90 km/h. ¿Cuál es la máxima velocidad promedio a que puede conducirse un vehículo entre A y B sin exceder la velocidad límite?

03) El ingreso promedio del sector obrero en una empresa es de S/. 3000 mensuales. En un mes en curso hay un incremento de haberes del 10 % del haber anterior mas una bonificación general de S/. 600, pero se decreta un descuento del 5% del haber actualizado pro-fondos en reconstrucción. El promedio actual es:

04) El promedio de las edades de 5 señoras es de 42 años, ninguna de ellas es menor de 36 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener una de ellas?

05) Una compañía de 100 empleados en sus 3 secciones: “A” con 70 trabajadores que ganan S/. 2.50 por hora, “B” con 20 trabajadores que ganan S/. 3.25 por hora y “C” con 10 trabajadores. El promedio de ganancia de los trabajadores de las secciones “B” y “C” es de S/.

3.50 por hora. Sea “m” el promedio que ganan los 100 trabajadores y “n” el promedio que ganan los trabajadores de la sección “C”. Hallar m + n.

06) En un grupo de 30 personas: el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio d los restantes es 28. si el promedio de los 10 mayores es 45 y el promedio de los 10 menores es 22. ¿Cuál es el promedio de los otros 10?

07) El promedio armónico de 40 números es 16 y el promedio armónico de otros 30 es 72. calcular el de los 70 números.

08) El salario mensual pagados a todos los trabajadores de una compañía fue de S/. 576. los salarios medios mensuales pagados a hombres y a mujeres de la compañía fueron S/. 600 y S/. 480 respectivamente. Si el número de trabajadores hombres aumenta en un 25% y el de las mujeres aumenta en un 40 % serian en total 480 trabajadores. Calcule el número inicial de hombres.

09) El de 4 números enteros y positivos diferentes entre si es

. Hallar el de dichos números.



10) La de los cuadrados de 2 números enteros consecutivos es 30. La de dichos números es:

11) Para 2 números a y b cuya diferencia de cuadrados es 144, se cumple que la relación entre su

y su es equivalente a 15/16. hallar el mayor de los números.

12) Si se sabe que:

Hallar la de A, B, C

13) Una línea de microbuses tiene un cierto recorrido el cual forma un triángulo equilátero en una cierta ciudad. Si un lado lo recorre a 100 km/h, el segundo a 75 km/h y el tercero a 50 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de los microbuses al efectuar un recorrido completo; esta ubicado en uno de los vértices del triángulo?

14) La edad promedio de “n” hombres es “a” años y ninguno de ellos es menor a “m” años. ¿Cuál es la edad máxima que puede tener uno de ellos?

15) Dado un conjunto de “n” números cuyo es “P”. Si a la tercera parte de ellos se les aumenta “a” unidades cada uno, a los 3/5 de

resto se les aumenta “b” a cada uno y a los restantes “c” a cada uno. ¿En cuanto varia el promedio?

16) La de números es .

Sabiendo que su y son dos enteros consecutivos, se pide encontrar el mayor de dichos números.

17) Si la y la de 2 cantidades están en la relación de 4 a 9. ¿En que relación se encuentra la y la ?

18) Durante un recorrido de 120 km, un auto utiliza 6 llantas para su desplazamiento (2 de repuesto). Si el conductor quiere que todas sus llantas se desgasten igualmente. ¿Cuál es el recorrido de cada llanta?

19) Para 2 números se cumple que:

¿Cuántos pares de números distintos cumplen con esa condición?

20) Sea “S” una lista de enteros positivos (no necesariamente diferentes) entre las cuales se encuentra el número 68. el de los números de “S” es 56. sin embargo si 68 es eliminado de la lista el de los números que quedan bajan a 55 ¿Cuál es el número máximo que pude aparecer n la lista “S”?




01) El promedio de 30 números es 28. Siendo 40 y 44 de los negro, eliminando estos 21 números, el promedio de los restantes es:

a) 27 b) 28c) 26 d) 26ó 26.5e) 25 ó 25.5

02) El promedio de 50 números es 62 , 1 se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuanto varia el promedio?

a) 5 b) 4,7c) 4,9 d) 5,7e) 3,9

03) El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es de 14 años. Calcular el promedio del salón.

a) 15 b) 16,2c) 15,2 d) 15,1e) 16,1

04) En una escuela las notas se califican de 0 a 20 (todas las notas son números enteros) Juan tiene mas de la media y Luis tiene menos de la media. Si a las notas de ambos se les resta la tercera parte de la menor, entonces la diferencia mayor es 3 veces la diferencia menor. Hallar la nota mayor.

a) 13 b) 14c) 15 d) 16e) 17

05) Las distancias Chosica – Ticlio; Ticlio - La Oroya son de 90 km y 60 km, respectivamente; un tren pasa por La Oroya y a las 10:20 a.m y debe pasar por Chosica a las 2:05 si el camino hacia Ticlio lo recorrió a velocidad promedio de 30 km/h. ¿A que velocidad promedio (aproximadamente) debe ir luego para cumplir con el itinerario?

a) 51,4 km/h b) 62,1c) 30 d) 20e) 45

06) Si se vendieron 100 ejemplares de “El Comercio” a S/. 3 cada uno y 150 ejemplares de “El Chino” a S/. 2 soles cada uno. ¿Cuál es el precio promedio de los diarios emitidos?

a) S/. 2,50 b) S/. 2,40c) S/. 2,30 d) S/. 2,60e) S/. 2,80

07) El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. si se agrega una cuarta persona, el promedio disminuye en 2. se puede afirmar que:

i) La edad del cuarto es mayor que el promedio.

ii) La edad del cuarto es menor que el promedio.

iii) Por lo menos una persona es mayor que el cuarto.

a) Solo i b) solo iic) solo iii d) ii y iiie) i y ii

08) Un auto viaja de la ciudad A a la ciudad B que dista 280 km del



siguiente modo: Los primeros 120 km los recorrió a 40 km por hora, los siguientes 80 km los recorrió a 60 km/h y el resto viajo a 80 km. Hallar la velocidad promedio del viaje.

a) 72 km b) 49 kmc) 60 km d) 52,5 kme) 64 km

09) El promedio de los pasos de 60 objetos es 50 kilogramos. Cada uno de los objetos pesa un número entero de kilogramos. ¿Cuánto debe pesar como máximo uno de ellos si ninguna pesa menos de 48 Kg?

a) 160 Kg. b) 168 Kg.c) 169 Kg. d) 161 Kg.e) 165 Kg.

10) El promedio aritmético de 3 números es 14, el promedio geométrico es par e igual a un de ellos y su promedio armónico es 72/7. hallar el número menor.

a) 8 b) 6c) 24 d) 30e) 4

11) La y la de 2 enteros están en relación de 48 a 49. hallar los números sabiendo que el mayor esta comprendido entre 41 y 47.

a) 44 y 23 b) 45 y 30c) 46 y 25 d) 44 y 13e) 44 y 33

12) Calcular el de los términos de la sucesión: 2; 6; 12; 20;…; 992.

a) 30 b) 31c) 32 d) 33e) 34

13) Un número racional irreductible

tiene las siguientes

características:

(*) (3/5) x (4/5)(*) Si se divide el intervalo 3/5 ;

4/5 en 5 partes iguales, el punto x esta en el punto medio del tercer intervalo. Hallar p + q

a) 5 b) 12c) 17 d) 25e) 49

14) El promedio de 30 números es 40. A cada uno de 10 de ellos se les aumenta 5 unidades y del resto se escoge una cierta cantidad. A modo de los cuales a cada uno se le aumenta 10 unidades, con lo cual el nuevo promedio de los números aumenta en la décima parte. Determinar cuantos números han variado su valor.

a) 13 b) 14c) 15 d) 16e) 17

15) El promedio de las edades de 4 hombres es de 45 años; ninguno de ellos es menor de 40 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?

a) 55 b) 60c) 57 d) 54e) 65



TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES

Concepto.- Es la comparación entre los valores que adopta un grupo de magnitudes (todo aquello que tiene a sufrir algún tipo de variación proporcional. Ejm.: la masa, la longitud y el tiempo); indicando su relación proporcional.

Clases de Magnitudes Proporcionales .-1) Magnitudes directamente proporcionales: Cuando las 2 cantidades

sufren la misma variación proporcional respecto de su valor original un número entero de veces.

Notación: A DP B ; A B Si A / B = K A = KB (K = constante)

Gráfico:

A

Bn321 aaaa

nn b;a

3b

2b1b

nb

Función de proporcionalidad: y = Kx f(x) = K(x)

2) Magnitudes inversamente proporcionales: Cuando las 2 cantidades sufren la variación contraria de un valor original, la una de la otra; en una misma proporción. La variación de una magnitud inversamente proporcional puede ser un número entero de veces respecto de su valor original.

Notación: A Ip B ; A( 1/ ) B AB = K’/B A = K’ (1/B)

Función de proporcionalidad: y = k’/x y = k’ (1/x) f()x = k’ (1/x)

Potencia de inversión


A DP B

Puntos de recta colineales discontinuas* Ejemplo de Magnitudes

directamente proporcionales:

1. El número de obreros – obra

2. Velocidad – Distancia3. Tiempo – dificultad de

obra; etc.

Hipérbola EquiláteraAsíntota a las bases(nunca roza a los ejes)Gráfico

n321 aaaa

1b2b3b

nb

A

B

S

1; ban

nba ;1


y = variable dependiente x = variable Independiente (valor de análisis)

Ejemplo: - Rendimiento

1. Número de obreros - Tiempo- Eficiencia

2. Velocidad - Tiempo

3. Número de objetos – costo total.

OBS:1) Se asume como proporción a la proporción directa2)

1r1R 2R

2r

Ruedas unidas por una cadena

1r

1R2R

2r

Engranajes unidos(# de dientes (R)) (# vueltas (R) = cte.)

3)


# vueltas R1 # de dientes R1

# vueltas R2 # de dientes R2


2R 1R

Propiedades.-

1) Si A IP B A DP (1/B)2) Si A DP B A IP (1/B)3) Si A DP B B DP A () A IP B B IP A (Propiedad Conmutativa)4) Sean 3 magnitudes: A; B; C:

Si A DP B (C = cte) A DP B C = cteA DP C (B = cte)

5) Si A DP B An DP Bn (n Z )


Ruedas unidas por una fajaSi R2 R1

# de vueltas1 = # de vueltas2



01) La de formación producida por un resorte al aplicarse una fuerza es DP a dicha fuerza. Si a un resorte de 30 cm de longitud se le aplica una fuerza de 3N, su nueva longitud es 36 cm. ¿Cuál será la nueva longitud del resorte si se le aplica una fuerza de 4N?

02) El costo de un terreno es IP al cuadrado de la distancia de Lima al terreno y DP a su área. Un cierto terreno cuesta 500 mil y otro terreno de doble área y situada a una distancia cuadruple que la anterior costará:

03) Se sabe que “A” es dp al cuadrado de “B” y el cubo de “C” es inversamente proporcional con la raíz cuadrada de “F”. Del cuadro, determinar el valor de x + y.

Magnitudes Cantidades A X 108 324B 5 2 4C 2x 3x YF 25 9 16

04) El número de cuadernos que se produce en una fábrica es proporcional al número de cuadrados fabricado el año anterior. Si en el 93 se fabricaron 30 000 cuadernos y en el 94 se

fabricaron 18 000. ¿Cuántos se fabricaron el año 95?

05) Se ha comprobado estadísticamente que el rendimiento de un empleado es DP a su coeficiente intelectual y es inversamente proporcional al cuadrado de su edad. Si Nano, de 20 años, hace un promedio de 25 000 sandwiches semanales, se desea saber a que edad Nano hace 24 000 sandwiches semanales, si su coeficiente intelectual aumenta anualmente en un 10% del que tenia a los 20 años.

06) La siguiente figura muestra la gráfica de 2 magnitudes directamente proporcionales: la producción de una fabrica respecto al número de obreros. La primera recta que se ha obtenido con obreros experimentados, y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar.

¿Cuál seria su producción de 60 obreros experimentados, en segundo lugar, cuantos obreros nuevos necesitaría para producir con 1760 artículos?



Producción

Obreros

Obreros nuevos

Obreros experimentados

50

1300

1100

07) La figura muestra la gráfica de los valores que toman 2 magnitudes A y B. calcular A + B.

12 18 36

a

8b

08) Una rueda A de 80 dientes, engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes, si A da 120 vueltas por minuto. ¿Cuántas dará la rueda D?

09) ¿Cuál de los siguientes gráficos indica una función de proporcionalidad directa o inversa?

(I) (II) (III)

10) Se tiene 2 magnitudes A y B tales que A es IP a B2. si cuando B aumenta 20 % A varia en 22 unidades. ¿En cuanto varía A si B disminuye en un 25%?

11) ¿Cuál de los siguientes gráficos indica una función de proporcionalidad directa o inversa?

(I) (II) (III)

x

f(X)

x x

f(X) f(X)

12) Se sabe que el precio de un diamante varía de forma DP con el cuadrado de su peso. Si una joya se divide en 4 partes iguales. ¿A que porcentaje de su valor inicial queda reducido el valor de dicha joya?

13) ¿Cuál es el precio de un diamante que vale 55 000 soles, si uno de 6


A 8 a BB 12 18 36


kilates cuesta 19 8000 y el precio es proporcional al cuadrado de su eso (tómese 1 kilate igual a 0,25 grs.)?

14) Sea V el volumen de un paralelepípedo rectangular, de ancho W de largo A, altura C las cuales son variables. C es independiente del valor de W; A es IP del valor de W.

15) Sea f una función de proporcionalidad tal que f(3) + f(7) = 20, entonces el valor del producto f(21/5) f(5) f(7) es:

16) El costo de un artículo (C) es igual a la suma de gastos en materia prima (G) y salario (S). el gasto de materia prima es inversamente proporcional a la cantidad de maquinaria (Q) que se tiene y el salario es directamente proporcional al número de horas trabajadas por día (H).Si Q = 2; H = 6 entonces C = 12 y Q = 4; H = 9 entonces C = 16; ¿Cuántas horas se debe trabajar para que C = 23; si Q = 6?

17) Sean A y B 2 magnitudes tales que A IP B2 (si B 24) A DP B2 (si B 24) Si A = 360; cuando B = 8 ¿Cuántos será el valor de A cuando B sea 600?

18) Se tiene las ruedas A; B; C; D donde A y B tienen un eje común , B y C engranan, C y D tienen un eje común; si la rueda A da 75 revoluciones por segundo y se observa que la rueda D gira 25 revoluciones por segundo.Determinar el número de dientes de la rueda B si esta tiene 20 dientes, menos que la rueda C.

19) La posibilidad de ingreso a la Universidad Nacional de San Agustín es directamente proporcional a los años de permanencia en la academia, e inversamente proporcional al grado e nervios que tiene en ese momento y también inversamente proporcional a la edad que se tiene.Si Juan tiene un grado de nervios como 5 mientras que Pablo un grado como 2, Juan tiene una posibilidad del 50% con sus 18 años que tiene y 2 años en la academia. ¡Que posibilidad tendrá Pablo si tiene 15 años y un año preparándose?

20) Por efecto del clima, la temperatura promedio en el verano del 2001 será media vez más que la del verano del 200, si la producción agrícola es inversamente proporcional al cuadrado de la temperatura. ¿Cuál será la producción del 2001 si en el 2000 fue de 36 toneladas?




01) La figura muestra la producción de una tubería de 1’’ de diámetro a otra de ¾’’ de diámetro. Se pide:

A) ¿Por cual de las 2 secciones pasa mas agua?

B) ¿E n que relación se encuentran las velocidades en las secciones que se muestran (1 y 2)?

1 2

V1 V2

a)Por 1; 9 a 16b)Por 2; 16 a 9c) Por las 2 pasa lo mismo; 3 a 4d)Por las 2 pasa lo mismo; 9 a 16e)Por las 2 pasa lo mismo; 5 a 2

02) El nivel de polución de aire en una cierta ciudad varía con el cuadrado de la población, con el número de fábricas y con la raíz cuadrada del área de parques y jardines. Si los incrementos de población, números de fabricas y áreas verdes son: 20%; 30% y 44%, respectivamente. ¿En que porcentaje se incrementa la población?

a) 56 % b) 30 %c) 40 % d) 17 %e) N.A.

03) El número de obreros requeridos para construir un edificio, depende del volumen de concreto que interviene en la obra; del cociente racional de dificultad del número de días y el número de horas diarias de labor. Si el volumen de concreto se reduce a sus 2 terceras partes, la dificultad se reduce a sus ¾ parte; el número de días se triplica, el número de horas diarias de labor se duplica. ¿En que relación se encontraran los números de obreros requeridos en ambos casos?

a) 1 a 15 b) 1 a 20c) 1 a 30 d) 1 a 5e) N.A.

04) “A” es directamente proporcional a (B - C), “B” es proporcional a “D” y “C” es proporcional a ‘D’2. cuando D = 2; A = 48 y cuando D = S; A = 30. para que valores “D2 y “A” es igual a cero.

a) 0; 6 b) 1; 3c) 5; 6 d) 7; 86; 4

05) Si la magnitud “A” es directamente a la magnitud “B” y la magnitud “C” es directamente proporcional a



(a +b); si cuando “A” aumenta en 2 unidades; “B” aumenta en 5 unidades y “C” en 3 unidades. Hallar “C” cuando “A” toma el valor 20

a) 30 b) 20c) 40 d) 21e) 32

06) Las magnitudes A; B y C guardan las siguiente relaciones:Con C = constante

A 1 8 27 64

B 1 0,5 3,0

0,25

Con B = constante

A 1 2 3 4B 0,25 1 2,25 4

Si cuando: A = 4 y B= 9; C = 16. Hallar A cuando B = 3 y C = 4

a) 27 b) 81c) 92 d) 54e) 36

07) La magnitud A es IP a B2. las variaciones de A y B están dados en la siguiente tabla de valores:

A 3a 144 c 9B 6 b 2 a

Hallar: “a + b + c”

a) 15 b) 12c) 339 d) 335e) 340

08) La fuerza de sustentación sobre el ala de un avión es DP a su área y al cuadrado de su velocidad. Si se aumenta el área en un 20% y se reduce la velocidad en un 10 % ¿Qué sucede con la fuerza de su tentación?

a) Disminuye 4,1%b) Aumenta 2,8%c) Disminuye 2,8 %d) Aumenta 3,7 %e) N.A.

09) El precio de un televisor a color varía en forma directamente proporcional al cuadrado de su tamaño e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume “E” de energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume “E” de energía, su precio es de S/. 360. ¿Cuánto costara un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas si consume E/4 de energía?

a) S/. 520 b) S/. 720c) S/. 640 d) S/. 1620e) S/. 3240

10) Se sabe que una magnitud A es IP a B2. hallar el valor de A, sabiendo que si disminuyen en 36 unidades el valor de “B varia en un 25%



a) 180 b) 108c) 200 d) 360e) 100

11) Dos engranajes de 24 y 38 dientes están concatenados y en el transcurso de 4 minutos uno da 70 vueltas más que el otro. Hallar la velocidad menor en revoluciones por minuto.

a) 25 b) 30c) 35 d) 40e) 45

12) En una empresa el sueldo es DP a la edad y a los años de servicio del empleado e IP al cuadrado de la categoría. Juan, empleado de segunda categoría con 10 años de servicio de la empresa y 56 años de edad gana S/. 2000. José, que entro a la empresa 3 años después que Juan, gana S/. 500 y es empleado de 3° categoría. Hallar la diferencia de las edades.

a) 11 b) 9c) 8 d) 7e) 6

13) Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se ganara o perderá en un diamante que vale S/. 720 y que se parte en 2 pedazos, uno el doble del otro?

a) No se gana ni se pierdeb) Se gana S/. 120 solesc) Se gana S/. 280d) Se pierde S/. 240e) Se pierde S/. 320

14) La cantidad de demanda de un cierto bien es directamente proporcional al cubo de la inversión en publicidad e inversamente al cuadrado del peso unitario. Si el año pasado se vendieron 64 millones de artículos a S/. 2 invirtiendo en publicidad unos S/. 4000. ¿Cuánto hay que invertir este año en publicidad si se quiere vender 128 millones de artículos a S/. 4 cada uno?

a) S/. 5000 b) S/. 4000c) S/. 6000 d) S/. 8000e) S/. 10000

15) “A” es la suma de dos cantidades de las cuales una varia con “B”, si “A” es 19 cuando “B” es 2 ó 3. hallar “A” cuando “B” es 6

a) 15 b) 31c) 35 d) 36e) 40



TEMA: REPARTO PROPORCIONAL

Concepto.-Es la regla en la cual a una cantidad se reparte en otras que son directa o inversamente proporcionales, con otras llamadas “índices o factores de proporcionales”, de modo tal que todas formen una “serie de razones equivalentes”

Notación.-Repartir “N” en partes proporcionales a “q”; “r”; “s”; …; “z”N = a + b + c + … () a () q; b () r; c () s; …; () z

Donde:N = Cantidad repartira; b; c; … = partes de N que intervienen en el repartoq; r; s; … ; z = índices o factores de proporcionalidad.K’ = constante de proporcionalidad.

Clases del Reparto Proporcional.-

I) Reparto Proporcional Simple (RPS).-

1. RPS. Directo o Reparto Directamente Proporcional.- Cuando cada parte del número que se reparte es directamente proporcional, respectivamente, con cada índice de proporcionalidad.

Regla práctica:

(*) Se suman los índices de proporcionalidad(**) Se halla la constante “K’” k’ = número a repartir / suma

de índices.(***) Se hallan las partes proporcionales, multiplicando la

constante “k’” por los índices proporcionales. Ejm: Repartir 750 en números (3) dp a 6; 7; 12



2. R.P.S. Inverso o Reparto Inversamente Proporcional.- cuando cada parte del número o cantidad a repartir es inversamente proporcional con cada “índice de inversión” (índice de las magnitudes inversamente proporcionales).

Regla Práctica: Se invierten los índices de inversión y se procede como el reparto Proporcional Simple Directo. Ejm: Repartir 594 en partes IP a 2; 3; 6; 10

(*) las partes son DP a ½; 1/3; 1/6; 1/10 DP a 3; 5 ; 10; 15 = 33

(**) 594 / 33 = 18(***) 18 (10) = 180; 18(3) = 54; 18(5) = 90; 18(15) = 270 El reparto (594) = 54; 90; 180; 270

II) Reparto Proporcional Compuesto (RPC) Es el tipo de reparto que combina las 2 formas del reparto proporcional simple, por lo tanto, sus pasos de resolución son los mismos según cada caso. Ejm:

Repartir 128 partes DP a 1 y 4 e IP a 5 y 3

(*) 128(DP) 2; 4; 1/5; 1/3 30/15; 60/15; 75/15; 45/15; luego 30 + 60 + 75 + 45 = 210

(**)

(***)




01) Tres obreros A; B; C trabajan en cierta obra; el propietario de la obra otorga quincenalmente una gratificación de $ 52 dólares para repartirla entre los que trabajan. En la quincena que trabajan A y B, corresponde a los ¾ de la gratificación a A y a B el resto. En la quincena que trabajan B yC, el primero cobra los ¾ y el segundo el resto. Determinar la cantidad que debe recibir B en la quincena que trabajan los 3.

02) Hallar la diferencia entre la mayor y la menor de las partes que resulta de repartir 140 m en forma proporcional a:

03) Tres personas buscan repartirse un premio en partes inversamente proporcionales a 0,5; 1/3; 0,25; pero luego deciden por nuevo acuerdo repartirlo proporcional-mente a 5; 2; 3 por lo que una de ellas recibe 750 soles más. ¿A cuanto equivale el premio total?

04) Una persona dispuso en su testamento que se entregan entre sus 3 sobrinos la cantidad de S/. 22 800 para que se repartan proporcionalmente a las edades de cada uno de ellos. El día en que fallece, uno de ellos tiene 32 años y le correspondió S/. 12 800; pero renuncia a ellos; por lo que el reparto se hizo entre los otros 2,

también proporcionalmente a sus edades; por lo que a uno de ellos le correspondió S/. 5120 soles adicionales. Calcular las edades restantes.

05) Una persona tiene 3 hijos, entre hijo e hijo hay una diferencia de 2 años. El padre reparte una cantidad de dinero entre ello en razón directa a sus edades la suma que recibe el segundo hijo es igual a la diferenta que existe entre las cantidades recibidas por el mayor y el menor. Si se hubiese repartido en razón inversa a sus edades, el menor hubiera recibido 300 soles más. Hallar la cantidad repartida.

06) Cuatro amigos, A; B; C; D han terminado de almorzar en un restaurante. “Como les dije”, explica D, “yo no tengo ni un centavo; pero repartiré estas 12 manzanas entre ustedes, proporcionalmente a lo que hayan aportado a mi almuerzo”. La cuenta fue de 60 soles y los partes de A; B; y C al pago de la cuenta fueron de S/. 15, 20 y 25 soles, respectivamente entonces las cantidades de amanzana que les corresponde a A; B y C son, respectivamente:

07) Al repartir un número en forma directamente proporcional a 3 números primos entre si, se obtienen las partes siguientes:



720; 1080 y 1800; entonces la suma de los tres números primos es:

08) Repartir una gratificación de S/. 12900 entre 3 obreros: A; B; C; en función de los años de servicio a sus rendimientos y a sus minutos de tardanza, de acuerdo al cuadrado siguiente:

AÑOS REND. TARDANZA

A: 15 80% 40 min

B: 12 90% 30 min

C: 10 70% 35 min

¿Cuánto recibió B?

09) Un hombre muere dejando a su esposa embarazada un testamento de 130 000 nuevos soles que se repartirá de la siguiente forma: 2/5 a la madre y 3/5 a la criatura, si nace niño; 4/7 a la madre y 3/7 a la criatura, si nace niña… pero sucede que la señora dio a luz a un niño y a una niña, entonces lo que les toca a la niña y al niño, en ese orden es:

10) Se reparte el número 145 800 en partes proporcionales a todos los números pares desde 10 hasta 98. ¿Cuánto le toca a la que es proporcional a 72?

11) Un hombre decide repartir una herencia en forma proporcional al orden en que nacieron sus hijos. La herencia total es S/. 480 000,

adicionalmente deja 160 000 soles para el mayor; de tal modo que el primero y el último reciben igual herencia. ¿Cuál es el mayor número de hijos que tiene el personaje?

12) Repartir 1386 en partes IP alas inversas de las raíces cuadradas de 72; 9 y 108 y a la vez DP a las inversas de las raíces cuadradas de 10; 20 y 60. dar al mayor parte.

13) Tres personas A; B y C forman una empresa, A contribuyo con maquinas B con 120 000 dólares. Si se sabe que obtuvieron una ganancia de S/. de S/. 352 mil de los cuales A recibe S/. 120 mil y C recibe S/. 172 mil. Calcular el valor de las maquinarias:

14) Se reparte una cantidad de dinero en forma DP a las edades de 3 personajes, resultando que uno de ellos recibe el doble que el otro; si el reparto se hubiera hecho 10 años antes y también en forma DP a las edades; hubiera recibido el triple que el otro, resultando inalterada la parte del tercero. Hallar la edad de ese último.

15) Una herencia consta de 2 partes que deben repartirse en razón directa a las edades de 3 hijos. Se reparte la primera y a las 2 mayores le corresponde 120 y 80 millones de soles, respectivamente; se reparte la segunda parte y a los menores les



corresponden 60 y 40 millones. ¿Cuál es la herencia total?

16) Tres amigos se asocian y forman una empresa siendo su aporte de la siguiente manera: el primero aporta S/. 8000 durante 7 años, el segundo S/. 7000 durante 8 años y el tercero S/. 8000 durante cierto tiempo. ¿Cuál fue este tiempo, si cuando se repartieron la utilidad, a este último le toco la mitad?

17) Patricia y Rebeca deciden repartirse S/. 240 que recibieron como premio por sus estudios, pero lo van a hacer inversamente proporcional a sus días de falta, que son 5 y 7 días, respectivamente. Calcular c/u de las partes.

18) Un campesino tiene 275 aves entre gallos, gallinas y palomas. El número de gallinas es al de gallos como 7 es a 3 y el número de palomas al de gallinas como 5 es al 2. ¿Cuántas aves de cada especie tiene?

19) En un colegio hay 130 alumnos, de los cuales hay cuadruple número de americanos que de españoles y doble número de cubanos que de americanos. ¿Cuántos alumnos de cada nacionalidad hay?

20) Dividir 74 entre A; B; C y D; tal que la parte de A sea a la de B como 3 es a 4; la de B sea a la de C como 1 es a 3 y la de C es a la D como 2 es a 3. nombrar uno de los repartos.




01) Se reparten 24 centavos en partes proporcionales a las edades de 3 niños de 2; 4; 6 años; respectivamente. ¿Cuánto toca a cada uno?

a) 2; 4; 8 b) 12; 16; 20c) 40; 18; 30 d) 3; 4; 5e) 4; 8; 12

02) Dos obreros ajustan una obra por S/. 110. el jornal del 1° es de S/.3 y el segundo, S/. 2,50. ¿Cuánto percibirá cada uno de la cantidad total?

a) 80; 65 b) 30; 40c) 100; 75 d) 60; 50e) 70; 60

03) Tres hermanos adquiere una propiedad en S/. 85 000 y, algún tiempo después, la vende en S/. 100 000. si las partes que impusieran son proporcionales a los número 3; 4; 8. ¿Cuánto gano cada uno?

a)S/. 1000; S/. 2000; S/. 3000b)S/. 7000; S/. 8000; S/. 9000c) S/. 3000; S/. 4000; S/. 8000d)S/. 4000; S/. 6000; S/. 10000e)S/. 10000; S/. 12000; S/. 14000

04) Repartir 1100 en número inversamente proporcionales a: S/. 1010; 1011; 1012. la mayor parte es:

a) 10 b) 1000c) 100 d) 10 000e) 100 000

05) Al dividir 36 partes que sean inversamente proporcionales a los números 6; 3 y 4 (en ese orden); obteniéndose 3 números a; b y c; entonces a b c es:

a) 1356 b) 1536c) 1563 d) 1635e) N.A.

06) Repartir 480 en 3 partes DP a 3; 4; 5 e IP a 6; 12 y 18. hallar la menor de las 3 partes.

a) 216 b) 144c) 126 d) 120e) 210

07) Se reparte N en forma IP a 3 números siendo el primero de ellos el triple del tercero. Siendo la segunda parte la mitad de las otras 2 juntas. Hallar el menor trío de números con los cuales se pudo efectuar el reparto.

a) 6; 4; 1 b) 6; 3; 2c) 3; 2; 1 d) 4; 4; 3e) 6; 5; 2

08) Se reparte una cantidad de dinero entre 3 personas, en forma DP a sus edades, que son 3 números enteros. La misma cantidad de dinero pero en forma IP proporcional a dichas 3 edades.



Luego, la segunda persona recibe en el segundo reparto.

a)Mas que en el primer repartob)Menos que en el primer repartoc) Igual que en el primer repartod)No se puede sabere)Depende de la cantidad repartida

09) Al repartir 22050 DP a las raíces cuadradas de los números 7,2; 9,8 y 12,8 se obtiene que la mayor parte excede a la menor parte en:

a) 1250 b) 1800c) 2000 d) 2100e) 2400

10) Se ha repartido una cantidad en 3 pares DP a 3 números siendo la primera parte 13200; la segunda 33000 y la tercera 528000. si la división se hace en forma IP a esos 3 números. ¿Cuál seria la segunda parte?

a) 60 000 b) 24 000c) 15 000 d) 33 000e) 35 000

11) Al descomponer el número 1134 en 4 sumandos cuyos cuadrados sean proporcionales a 12; 27; 48 y 75. Hallar el menor.

a) 100 b) 160c) 162 d) 152e) 173

12) Repartir S/. 1814 en 4 partes proporcionales a 8/11; 3/2; 5/6; 3/8. Dar como respuesta la suma de la parte mayor y menor

a) S/. 495 b) S/. 845c) S/. 980 d) S/. 990e) S/. 1010

13) La señora Carmen dejó una herencia de S/. 14400, para repartirla proporcionalmente a las edades de sus hijos: Miguel, Carlos y Jaime. Si la edad de Jaime es el doble de la Miguel y Carlos obtuvo S/. 4200 y, además, la suma de las edades es de 72años. ¿Cuál es la edad e Jaime?

a) 21 años b) 11c) 32 d) 33e) 44

14) Se reparten S/. 2210 en 4 partes tales que la segunda es a la tercera como 7 a 11, la 3° es a la cuarta como 4 es a “m” y la primera es a la segunda como 3 es a 5. si a la cuarta le toco S/. 1100. ¿Cuál es el valor de “m”?

a) 8 b) 11c) 12 d) 33e) 44

15) Tres vecinos quieren pintar las fachadas de sus casas siendo el costo total 1369 soles. La extensión de la fachada del primero es los 3/5 de la del tercero y la del 2° es los 7/2 de la del 1°. Si el gasto se reparte en forma DP a la extensión de las fachadas. ¿Cuánto le toco abonar al 3°?

a) S/. 222 b) S/. 228c) S/. 370 d) S/. 725e) S/. 777



TEMA: REGLA DE COMPAÑÍA

Concepto.-Es un caso particular del reparto proporcional donde se reparten las ganancias o pérdidas de las transacciones, según el capital invertido por cada socio en un periodo fijo de tiempo; dentro de una sociedad mercantil.En la Regla de Compañía se considera al capital y al tiempo como directamente proporcionales a la ganancia o a la pérdida de una transacción comercial.

Clases.-

1) Regla de Compañía Simple, cuando existe un capital únicos para cada socio presentar 2 casos:

i. Capital Constante: La variación de la ganancia o pérdida es DP al tiempo.

ii. Tiempo constante: La variación de la ganancia o perdida es DP al capital a derecho (de cada socio)

2) Regla de Compañía Compuesta, cuando existen distintos capitales en distintos tiempos presenta 2 casos:

i. Capital Constante en tiempo variable: la ganancia o pérdida es DP al capital multiplicándose con el tiempo de cada socio.

ii. Capital Variable: Ganancia o pérdida es dp al producto del capital único por el tiempo total.

OBS:1) Capital Único: es a suma de todos los capitales (expresados en una

misma unidad de tiempo).2) La Ganancia neta (Gn) : es la ganancia, beneficio y/o utilidad Real,

después de la inversión del capital, que indica la cantidad recuperada respecto al capital inicial.

Ganancia neta = -


Donde: () : Ganancia o pérdida(C) : Capital de cada socio(T) : Tiempo de inversión del

capital (meses)



01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200 soles cada año en un negocio que tienen. En 1966, Juan era dueño de los ¾ del negocio y su socio, del resto, y en 1967, Juan García fue dueño de los 2/5 del negocio y su socio del resto, por que el primero vendió al segundo una parte. Hallar la ganancia total de cada socio en los 2 años.Rpta.:

02) A; B; C emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750. al cabo de un año, A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto ha ganado B y C?Rpta.:

03) Tres socios que habían interesado S/. 25000 el primero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 el tercero, tienen que repartirse una perdida de S/. 19500. ¿Cuántos quedan a cada uno?Rpta.:

04) Cuatro socios han ganado en los 3 años que explotaron una industria, lo siguiente: el primero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo que gano el primero; el tercero, los ¾ de lo que gano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo que gano el tercero. Si el capital social era de S/. 44000; ¿Con cuanto contribuyo cada uno?Rpta.:

05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para la explotación de un negocio y ganaron: el 1° 1000; el 2° 600 y 800 el 3°. ¿Cuánto impuso cada uno?Rpta.:

06) En una industria que trabajo durante 4 años y medio, cuatro socios impusieron: el primero S/.

500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600 menos que el tercero; el tercero, la mitad de lo que puso el cuarto y este impulso S/. 3000. si hay que afrontar una perdida de S/. 3400. ¿Cuánto perderá cada uno?Rpta.:

07) Tres amigos se asocian para emprender un negocio e imponen: S/. 2500; el segundo, la mitad de lo que puso el primero mas 600; el tercero, 400 menos que los anteriores juntos. Al cabo de 3 años se reparte un beneficio de 16600. ¿Cuánto toca a cada uno?Rpta.:

08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los 3 meses mas tarde entra de socio C con S/. 3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabo del año de emprender A el negocio. ¿Cuánto recibe cada uno?Rpta.:

09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de 6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11 meses mas tarde entra como socio C con S/. 2000. si a los 2 años de comenzar A su negocio hay un beneficio de S/. 630. ¿Cuánto recibe como ganancia cada uno?Rpta.:

10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para la explotación de un negocio. A, permaneció en el mismo un año, B, cuatro meses menos que A y C; 4 meses menos que B. Si hay una pérdida que asciende al 20% del capital social. ¿Cuánto pierde cada socio?Rpta.:


COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” Quinto AñoQuinto Año11) Reuniendo un capital de 10 000

soles por partes iguales, tres socios emprenden un negocio por 2 años. El primero se retira a los 3 meses; el segundo, a los 8 meses y 20 días y el tercero estuvo todo el tiempo. Si hay una pérdida de 3210 soles. ¿Cuánto pierde cada uno?Rpta.:

12) Dos individuos reúnen 8500 soles para explotar un negocio. El primero impone S/. 6000 soles para 2 años y el segundo lo restante por 3 años. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno si hay una pérdida de S/. 1365?Rpta.:

13) En una sociedad formada por tres individuos se han hecho las siguientes imposiciones: el primero S/. 500 por 2 años; el segundo S/. 400 por 4 años y el tercero, S/. 300 por 5 años. ¿Cuántos corresponde a cada uno si hay una ganancia de S/. 1230?Rpta.:

14) Para explotar una industria 3 socios imponen el primero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que el primero; y el tercero S/. 100 menos que los 2 anteriores juntos. El primero ha permanecido en el negocio por 3 años. El 2° por 4 y el 3° por 5 años. ¿Cuánto toca a cada uno de un beneficio de S/. 448?Rpta.:

15) Tres individuos reúnen 25 000 bolívares, de los cuales el primero ha impuesto 8000; el 2°; 3000 mas que el primero y el 3° lo restante. El primero ha permanecido en el negocio por 8 meses y el tercero por 5 meses. Si hay que afrontar una perdida de 1143. ¿Cuánto debe perder cada uno?Rpta.:

16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1° con 6000 soles mas

que el segundo; el segundo con 3000 mas que el tercero y este 8000. El primero permaneció en la industria por un año, el segundo por año y medio y el tercero por 2 ½ años. ¿Cuánto corresponde a cada uno de beneficio de 5585 soles?Rpta.:

17) ¿Cuánto ganará cada uno de los 3 socios que, en la explotación de una industria, impusieron: el primero 300 más que el segundo, este, 850 y el tercero, 200 menos que el segundo; sabiendo que el primero; y el tercero, meses más que el primer; si el beneficio total es de 338?Rpta.:

18) Cuatro comerciantes asociados en una industria han impuesto: el primero 300 mas que el tercero; el segundo mas que el cuarto en 400; el tercero, 500 mas que el segundo; el cuarto S/. 2000. el primero permaneció en la industria durante año y medio; el segundo, por 1 ¾ años; el 3° por 2 ½ años y el 4° por 2 ¾ años. Si hay que repartir una ganancia de 4350. ¿Cuánto corresponde a cada uno?Rpta.:

19) Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con S/. 500 y 7 meses después añade S/. 200; el segundo empieza con S/. 600 y, 3 meses después añade S/. 300; ¿Cuánto corresponde a cada uno de un beneficio de S/. 338?Rpta.:

20) En un negocio, que ha durado 3 años, un socio impuso 4000 bolívares y; a los 8 meses, retiro la mitad; el segundo impuso 6000 y al año añadió 3000; y el tercero, que empezó con 6000; a los 2 años retiro 1500. ¿Cuándo corresponde a cada uno en beneficio de 5740?



Rpta.:




01) Dos hermanos forman un negocio, aportando cada uno un mismo capital, A un mes de iniciado el negocio, el primero aumenta en sus 2/3 de capital; 4 meses más tarde, el segundo reduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocio duro 6 meses y al final se obtuvo una ganancia waaw; ¿Cuál es la diferencia de las ganancias, si estas son cantidades enteras?

a) 2661 b) 1331c) 1221 d) 2112e) 3113

02) En la imprenta Willy´s se observa el siguiente aviso:

# de tarjetas impresas Medida Costo

5001000

5 x 8 cm2

5 x 8 cm2S/. 7,50

S/. 14,00

Si hay 20% de descuento en la producción de tarjetas. ¿Cuánto se pagaría por 1000 tarjetas de impresión de 8 x 18 cm2; si el material para hacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m2?

a) 39,5 b) 40,8c) 41 d) 41,3e) 41,5

03) Andrade, Fujimori y Toledo forman una sociedad. El capital de Andrade es al capital de Fujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimori es al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 meses de iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajar y se retiro

del negocio; 3 meses después Fujimori también se retiro del negocio 4 meses después, Toledo liquidaría su negocio repartiendo las utilidades. Si Andrade hubiese permanecido un mes en el negocio habría recibido S/. 64 más. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida en el negocio?

a) 2536 b) 2812c) 2182 d) 2218e) 2128

04) Tres socios imponen S/. 60 000 por partes iguales en un negocio que dura 2 años. El primero, al terminar el primer año añadió unos S/. 1500 y 4 meses después, retiro S/. 5000; el segundo a los 8 meses añadió S/. 4000 y, 5 meses después otros S/. 2000; el tercero, a los 14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdida total de 7240 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Indicar la suma de las cifras de cada valor.

a) 11; 9; 7 b) 8; 5; 9c) 13; 13; 5 d) 5; 5; 13e) 4; 13; 11

05) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles en un negocio en el que han intervenido dos individuos. El negocio ha durado unos 3 años. El primero empieza con 8000 soles, a los 7 meses retira la mitad de su capital y 2 meses mas tarde, agrega 2000. El segundo, que empezó con 6000, al año doblo su capital y 5 meses mas tarde retiro S/. 4000.



¿Cuánto ganara cada uno? Indicar la suma de cifras del mayor.

a) 20 b) 10c) 18 d) 9e) 6

06) Tres individuos se asocian en un negocio que dura 2 años. El primero impone S/. 2000 y al cabo de 8 meses, S/. 1500 más. El segundo impone al principio S/. 5000 y después de un año saca la mitad. El tercero, que había impuesto al principio S/. 2500, saca a los 5 meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agrega S/. 500. si hay una perdida de S/. 500. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno?

a) 170 11/12; 212 1/3; 117 3/38

b) 170 7/9; 212 ½; 117 15/17

c) 170 2/5; 212 34/35; 117 ¼

d) 170 1/6; 212 34/35; 117 2/3

e) 170 10/47; 212 36/47; 117 1/47

07) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000 por 2 años, 4 meses; el segundo S/. 2500 por los 3/7 del tiempo anterior el tercero S/. 3000 por os 5/6 del tiempo del segundo; el cuarto S/. 4000 por un año y 8 meses y, el quinto, S/. 500 menos que el cuarto por ¾ de año. Habiendo S/. 9100 soles de utilidad. ¿Cuánto gana cada uno? Dar como respuesta la suma de la suma de las cifras de cada valor.

a) 25 b) 26c) 27 d) 28

e) 2908) De los tres individuos que

contribuyeron una sociedad, el primero permaneció en la misma durante un año; el segundo, durante 7 meses más que el primero y el tercero durante 8 meses más que el segundo. El primero había impuesto S/. 800, el segundo, 400 menos que le segundo. Si hay una perdida de 224 soles. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno, respectivamente?

a) 16; 30; 48 b) 12; 15; 23c) 27; 39; 51 d) 48; 85; 81e) 30; 87; 96

09) Tres individuos se asocian para iniciar una empresa. El primero impone S/. 2000 durante 3 años; el 2° S/. 1800 durante 4 años y el 3° S/. 3300 por 8 meses. ¿Cuánto corresponde a cada uno si hay un beneficio de 2500 soles? Dar la aproximación de la parte entera.

a) 799; 276; 402

b) 612; 400; 10

c) 900; 1200; 300

d) 986; 1184; 328

e) 578; 1207; 610

10) A emprende un negocio con capital de S/. 2000 a los 4 meses toma como socio a B, que aporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admiten como socio a C, que aporta otros S/. 2000. Cuando se cumple un año a contar del día en que A emprendió el negocio hay una utilidad de S/.



1250. ¿Cuánto recibe cada socio? (respectivamente)a) 600; 400; 250b) 300; 120c) 460; 500; 300d) 700; 600; 500e) 250; 120; 212

11) Tres individuos emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750 al cabo de una año A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto han ganado B y C?

a) 120; 130 b) 130; 140c) 140; 150 d) 170; 180e) 160; 150

12) Se constituye entre 4 comerciantes una sociedad por 4 años, reuniendo 24 000 bolívares por partes iguales. El primero ha estado en el negocio 3 años; el segundo, 2 a los y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto, año y medio. ¿Cuánto tocara a cada uno de una ganancia de 6930 bolívares, respectivamente?

a) 1999; 736; 456; 1879b) 2750; 2000; 930; 712c) 2520; 2170; 980; 1260d) 2003; 1982; 727; 432e) 602; 799; 1988; 1015

13) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisa aporta S/. 5020 y permanece en el negocio durante 3 meses. Roxana aporto 700 soles y estuvo durante 5 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de 5000; calcular la ganancia de Luisa y Roxana.

a) 100 b) 200

c) 300 d) 400e) 500

14) Cinco colonos han emprendido un negocio imponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/. 200 mas que el segundo y así sucesivamente los demás. Hay que hacer frente a una perdida de S/. 600. ¿Cuánto pierde cada uno? (respectivamente)

a) 70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9

b) 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3

c) 70; 60; 50; 140; 208d) 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3;

200 1/4e) 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188

7/9

15) Cuatro individuos explotan una industria por 4 años y reúnen 10 000 soles, de los cuales el primero pone 3500; el segundo 2500, el tercero, la mitad d lo que se puso el primero y, el cuarto, lo restante. Hay que repartir la ganancia de 5000. ¿Cuánto toca a cada uno? (respectivamente)

a) 1982; 2001; 1946; 875b) 1750; 1250; 875; 1125c) 1740; 1230; 825; 1105d) 1800; 1180; 912; 1179e) N.A.



TEMA: REGLA DE 3

Directa (R3SD) - Simple (R3S)

Inversa (R3SI)Regla de 3

Método de Reducción a 1- Compuesta (R3C) Método de signos

Método de las proporciones

Concepto.-La Regla de Tres es una operación que tiene por objeto, dados dos o mas pares de cantidades proporcionales enteras, hallar el valor de una tercera cantidad entera desconocida o incógnita.La Regla de Tres simple puede ser:- Simple : Cuando intervienen 2 pares de cantidades proporcionales.- Compuesta : cuando intervienen 2 o mas pares de cantidades proporcionales.

Regla de 3 Simple.-

1) Directa:

Cantidad Magnitud

A a1

B b1

Cantidad (A; B; …) DPMagnitud (a1; b1; …)

Ab1 = Ba1 b1 = B

Inversas

2) Inversa

Cantidad Magnitud

A a1

B b1

Cantidad (A; B; …) IPMagnitud (a1; b1; …)

Ab1 = a1B a1A = b1B

b1 = A etc.

Supuesto y Pregunta.-


COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” Quinto AñoQuinto AñoEn toda Regla de 3 hay 2 filas de términos o números. El supuesto formado por 2 términos conocidos del problema, va generalmente en la parte superior. La pregunta formada por los términos que contienen a la pregunta (incógnita) de todo problema, va en la parte inferior.

Regla General.-

1) Regla de 3 Simple Directa. Si * Donde: b1 =

Incógnita del problema

2) Regla de 3 Simple Inversa: Si A; B; a1; b1

Z+

OBS:En la formación de proporciones geométricas indicamos que el producto de la primera razón geométrica con el tercer término no se altera si se aplica una Regla de 3 Simple Inversa y se multiplica el 3° término con la inversa de la 1° razón geométrica si es Regla de 3 Simple Directa.

Regla de tres compuesta (R3C).-Es la comparación entre distintas magnitudes proporcionales – mayores a 2 -; usándose para ellos los criterios de la Regla de Tres Simple.

Forma general: a1 a2 a3… an Datos Se cumple:x B2 B3… Bn Preguntas

Incógnitas magnitudes

Magnitud de comparación x = TEN/DO

Donde:T = Tiempo empleado d = dificultad en la obraE = eficiencia O = obra humanaN = número de obreros

Métodos de Solución.-

1) Método de Reducción a la unidad: Consiste en comparar las magnitudes del dato con magnitudes de un solo elemento; para luego comparar esos datos con las magnitudes que esta definida el problema. Ejm.:S = 12 obreros hacen una obra en 15 días, ¿En cuántos días se demoran en hacer la obra 35 obreros?

12 obreros 15 días



- + x’ =

1 obrero x’

1 obrero 180 días + - x = días

35 obreros x

2) Método de los signos: Consiste en colocar signos (+ / -) a las cantidades, según sui relación proporcional; teniendo en cuenta que:

el otro término (*) Si la magnitud es DP abajo (+); arriba (-) (aparte de la (**) Si la magnitud es IP arriba (+); abajo (-) incógnita) tiene

siempre signo (+)

La magnitud se obtiene así:

a1 = término de la comparación de la magnitud

Ejm:10 personas vacían una piscina durante 3 meses, 8 hrs/día. ¿Cuántas personas vacían la piscina si emplean para ello 2 meses y 14 horas al día?

+ +

10 3 meses 8 hrs personas

x 2 meses 14 hrs - -

3) Método de las Magnitudes Proporcionales: Consiste en formar con los datos

razones geométricas y comparar su relación de proporcionalidad con aquella razón que contenga la incógnita, luego, se procede de modo similar como el método de signos (multiplicándose las razones IP y las inversas de la razones DP) para dar con la incógnita. Ejm: En el problema anterior (y comparando con la columna donde esta la )Si la magnitud es DP se multiplica usándose su inversa.Si la magnitud es IP se multiplica tal como aparece.


'18010

101512

x



01) Dos cronometristas midieron el tiempo que duro una competencia discrepando en un décimo de minuto. Se sabe que un de los cronómetros adelantan ½ segundo en una hora mientras que el otro retrasa ½ segundo en 2 horas. ¿Que tiempo duro la competencia?

02) Se tiene dos depósitos con líquidos de la misma naturaleza, pero de precios diferentes, el primero contiene “A” litros y el segundo “B” litros. Se saca de cada uno la misma cantidad y se echa en el primero lo que se saca del segundo y, recíprocamente. ¿Qué cantidad ha pasado de un depósito al otro si el contenido de los 2 ha resultado de la misma cantidad? Obs:

Media Armónica;

Media Aritmética.

03) Se contrataron 10 obreros para embaldosar, pero estos se retiraron luego de trabajar 4 días, pero solo faltaba embaldosar un cuadrado de 4m de lado. Se encontraron entonces 2 obreros que terminaron el trabajo en 2 días. ¿Cuál es la habilidad de estos comparada con los anteriores?

04) Un grupo de 15 obreros se han comprometido a realizar una obra en 18 días; trabajan juntos 10 días, al término de los cuales se retiran 5, no encontrándose su reemplazo hasta después de 3 días en que se incorpora una cantidad adecuada de obreros para terminar la obra en el plazo fijado. Si a los obreros que se incorporan les pagan 50% mas que los otros. ¿Cuánto es el jornal de cada obrero antiguo, si el último día se pago S/. 660 en jornales?

05) Se ha fabricado 60 m3 de mortero formado por arena y pasta de cal. Calcular el peso de la cal viva, el

volumen de la arena y los hectolitros de agua que han entrado en dicha fabricación. Los volúmenes de arena y cal viva están en relación de 5 a 4 y 1 m3 de cal viva pesa 600 kg y necesita 2 m3 de agua para formar pasta; 60 kg de cal viva producen, con el agua; 0,360 m3 de pasta. La pasta debe rellenar los restos (huecos) de la arena, que representa el 40% del volumen de esta.

06) Las capacidades de 2 hornos son entre si como 5 es a 2, la potencia calorífica del Coke es a la de la hulla como 8 es a 11. en el horno mayor se quema Coke en la proporción de 175 kg por cada 4100 kg de fundición sabiendo que el rendimiento de este horno es de 36000 kg de fundición por día a horas 12 de trabajo calcular: la cantidad de fundición que produce el horno menor a 18 horas de trabajo por día.

07) La cantidad de hulla necesaria para esta operación (en el problema anterior) es:

08) Se tiene en 3 prados: A; B y C cuyas superficies son 3; 4 y 6 Has, respectivamente. La hierba crece en todos los prados con igual rapidez y espesura. Noventa vacas comen la hierba del prado A en 12 días, 60 vacas comen la del prado B en 30 días. Se desea saber, a cuantos días 30 de las vacas se comentan la hierba del prado “C”.

09) Una cuadrilla de 40 obreros ha hecho 400 m de una carretera durante un cierto número de días, trabajando 8 hrs diarias; otra cuadrilla de 60 obreros ha hacho 675 m de la carretera; trabajando solamente 6 hrs diarias, durante un cierto tiempo, si los tiempos que han demorado las 2 cuadrillas en hacer sus obrar suman 25 días. ¿Qué tiempo emplea cada cuadrilla en hacer su obra?



10) Una obra fue realizada por 4 hombres; 6 mujeres y 3 niños trabajando 8; 6 y 5 horas diarias; respectivamente, durante 20 días. Calcular en ¿Cuántos días más terminará la obra, si trabajan solo los hombres y estos disminuyen en 3 horas diarias su trabajo; si las eficiencias entre hombres, mujeres y niños son proporcionales a 30; 20 y 10 respectivamente?

11) Las 2/3 partes de una obra las realiza un grupo de 10 obreros que trabajan 3 horas diarias con otro grupo de 15 obreros que trabajan 2 horas diarias durante 20 días. Calcular ¿Cuántos obreros del grupo que trabajaba tres horas diarias se deben unir al grupo a 10 obreros que trabajan 2 horas diarias para terminar la obra en los 30 diarias siguientes a lo que realizado parte de la obra?

12) Se desea construir un tramo de carretera contratando 42 trabajadores que deben finalizar la obra en 20 días. Sucede, sin embargo, que al cabo de 9 días solo se han hecho 3/11 del tramo; por lo que el capataz decide reforzar con 60 obreros más el contingente, pero con una eficiencia que es la mitad de los anteriores ¿Se entrega la obra a tiempo?

13) Si podemos hacer una obra en 30 días con “p” maquinarias y con “p + 4” se hace una obra del doble de dificultad que la anterior en 40 días. ¿En cuanto tiempo harán “p + 2” máquinas una obra de igual dificultad que la inicial?

14) Un regimiento de 200 hombres tienen víveres para 40 días a razón de 3 raciones diarias; al cabo 20 días recibe 40 soldados con víveres para 36 días a razón de 4 raciones diarias; si se juntan los víveres y consumen a razón de 2 raciones diarias. Calcular para cuantos días alcanza los víveres.

15) En una granja, el 20% del total de aves son patos, el 45% gallinas y el 35% pavos. Si el número de patos fuera el triple. ¿Qué porcentaje del total serian los pavos?

16) Si se vende un artículo con un descuento del 12% se obtendrá una ganancia de S/. 80 pero si se vende dicho artículo con un descuento del 30% se hubiera perdido el 12,5% del costo. Hallar el precio de lista (el costo) del artículo.

17) Al fijar el precio en un artículo, se aumento su costo en n%, al momento de venderlo se hizo un descuento del 10%. Si la ganancia obtenida representa el 17 por 117 del precio de venta, encontrar el valor de “N”.

18) Un reloj se atrasa 10 minutos cada día. ¿Dentro de cuantos días volverá a marcar la hora exacta?

19) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y este es a su vez, 4 veces la rapidez de C. si A hace 9 minutos 15 segundos de trabajo. ¿En que tiempo C lo haría?

20) Un individuo recorre 48 km en 7 ½ horas dando 54 000 pasos. Si sus



pasos son todos dd la misma longitud. ¿Cuántos pasos dará en 12 hrs para recorrer 60 km?


01) Se tiene 50 cuadernos de los cuales 15 son rayados y el resto cuadriculados. ¿Cuántos cuadernos rayados se deben añadir para que por cada 40 cuadernos rayados y hayan 5 cuadernos cuadriculados?

a) 280 b) 265 c) 256d) 275 e) 295

02) Un auto, a 60 km/h cubre la distancia de Lima a Tumbes en 16 horas, ¿A que velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad de tiempo?

a) 30 km/h b) 38 km/h c) 60 km/hd) 120 km/h e) N.A.

03) Para recorrer un trayecto un excursionista que camina 4,25 km/h ha empleado 6 horas. ¿Cuánto tiempo habría empleado si hubiera andado 850 metros más por hora?

a) 5 horas b) 4 h c) 3 hd) 8 h e) N.A.

04) Un obrero tarda en hacer un cubo compacto de concreto de 30 cm. De arista unos 50 minutos. ¿Qué tiempo tardará en hacer 9 cubos, cada uno con 50 cm. de arista?

a) 34 h b) 34 18/13 c) 34 13/18 hd) 35 h e) N.A.

05) Un caño puede llenar un cilindro de agua de 120 litros en 30 min.;

mientras que otro llena el mismo cilindro en 5 minutos menos. ¿Qué capacidad tendrá una tina que es llenada por 2 caños en 3 horas, 30 minutos?

a) 1488 L b) 1500 L c) 1800 Ld) 1740 L e) 1848 L

06) Un burro atado a una cuerda de 10 m. de longitud puede comer la hierba que esta a su alcance en 2 días. La hierba tiene una pareja uniforme, y devoraría todo lo que estuviese a su alcance en…, si la longitud de la cuerda fuera de 25 metros y la altura de la hierba, de 0,6 m.

a) 14 días b) 15 días c) 16 días d) 17 días e) 18 días

07) Se tiene 200 monedas, de las cuales 60 son de un nuevo sol y los restantes de 5 soles. ¿Cuántas moneas de 5 soles se pueden añadir para que por cada 20 monedas de 5 soles haya una de 1 sol? (1 de un sol)

a) 260 b) 250 c) 240d) 200 e) 220

08) Una brigada de 30 obreros se comprometen hacer 30 m. de una zanja en 30 días; a los 5 días de empezado el trabajo se aumenta 5 obreros y 10 días después se



aumenta 5 obreros mas. ¿Cuál es el tiempo empleado en hacer la obra?

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

09) Se sabe que 10 obreros producen 80 chompas en 5 días, se quiere producir con dichos obreros 800 chompas, pero se les da un plazo de 20 días para la entrega, por lo que se decide contratar una cantidad adicional de obreros que trabajaran desde el noveno día hasta 2 días antes del día de entrega. Calcular el número de obreros que se contrataron.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

10) Dos albañiles, de los cuales el segundo comienza a trabajar un día después que el primero, terminan de construir una pared, trabajando juntos 7 días después que el primero inicio el trabajo. Para hacer este trabajo cada uno solo el primer albañil requiere 2 días más que el segundo. ¿Qué tiempo demora cada albañil en construir una pared?

a) 8 y 10 b) 8 y 11 c) 9 y 12d) 10 y 12 e) 12 y 14

11) Para hacer mil tizas se necesitan 25 kg de materia prima, perdiéndose 8% en la fabricación; en una tiza se desperdicia el 20% al utilizarse. Si reunimos los desperdicios de 1000 tizas y las empleamos como materia prima. ¿Cuántas tizas podremos hacer?

a) 184 b) 115 c) 125d) 150 e) 160

12) Si el trabajo hecho por (x - 1) hombres en (x + 1) días es el trabajo hecho por (x + 2) hombres en (x - 1) días, como “a” es a (a + 1). Hallar x en función de “A”.

a) 2a - 1 b) a2 – 1 c) a + 1d) 2a + 1 e) a - 1

13) Por 691500 soles se han comprado cantidades iguales de 3 clases distintas de ladrillos. La primera a razón de 655 soles el ciento, la segunda a 7500 soles el millar y la tercera a 90 mil soles los 10 millares. ¿Cuántos ladrillos se compraron?

a) 120 millones b) 80 c) 100 d) 90 e) 150

14) 25 obreros hacen S/. 8 de una obra en 10 días. A partir de ese momento, se contratan “n” obreros mas cada día, terminándose 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubieran continuado ellos solos. Hallar “n”

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

15) 300 pantalones de doble costura puede ser cocidos por 24 hombres o 32 mujeres en 20 días trabajando 9 horas diarias. ¿Cuántas mujeres deben reforzar a 21 hombres, que van a coser



200 pantalones de triple costura en 18 días trabajando 8 horas diarias?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14



TEMA: TANTO POR CIENTO

Definición.-Es la relación de una determinada cantidad respecto a 100 unidades. Ejm:Existen 95% de católicos en el Perú; es decir de cada 100 personas, 95 profesan l religión católica.

Notación.-

“el “a” por ciento de “b””: a % de b Propiedades.-1) Toda cantidad es el 100% de si misma: N = 100% N2) Todo porcentaje se puede sumar o restar a una misma cantidad. Ejm: 43 % M

+ 27% M – 15% M = 55% M

Relaciones entre el tanto por ciento y las fracciones.-

Si a una cantidad la dividimos en 5 partes iguales, se tendrá: como cada parte = 1/5 del total; décimo s que representa al 20% del total.

Tanto por ciento del tanto por ciento.-Es el cálculo del porcentaje de otro porcentaje. Ejm:

El a% del b% del c% de M

Aumento único = Descuento Único =

Ejm: Dos aumentos sucesivos del 30 y 40% Aumento Único: 30 + 40 + 30(40)/100 = 82% Descuento Único: 30 + 40 – 30(40)/100 = 58%

OBS: Para transacciones comerciales:

Donde: (*) Pv = Precio de venta (*) G = Ganancia(*) Pc = Precio de costo o compra (*) P = Perdida(*) Pl = Precio de lista o fija (*) D = Descuento




01) ¿Qué porcentaje del triple del 50% de un muñeco es el 30% del 20% del 20 por 50 del mismo número?

02) ¿Qué porcentaje de un número que tiene por 20% al 50% de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% a 6 por 10 de 20?

03) Una botella de vino cuesta S/. 8,40 pero la botella sola cuesta S/. 6,00 menos que el vino. ¿En que porcentaje es mayor el costo del vino con respecto al costo de la botella?

04) Juan razona de la siguiente manera: “Para cancelar mi deuda con Pepe me prestare dinero de Rosa con la cual mi deuda con ella aumenta en 40 %; pero si le pago S/. 420 000, mi deuda total disminuirá en 30% ¿Cuánto le debe Juan a Pepe?”

05) En un centro de estudios, el departamento de servicio social rebaja las pensiones a los estudiantes de bajos recursos económicos en un 30% y aumenta en un 40% a los demás. Si el monto total de pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué porcentaje de pensiones (total) representa lo pagado por los estudiantes de bajos recursos?

06) Una fábrica produce lapiceros, cuyo costo se distribuye de la siguiente maneta: 60% en materia prima, 30% en mano de obra y el

resto en gastos generales y los vende ganando el 20% del costo. Debido a una variación de precios, sus costos aumentaron de la siguiente manera: 50% en materia prima; 40% en mano de obra y sus gastos generales en un 20% si ahora su ganancia será el 30% del costo. ¿En que tanto por ciento aumentara el precio de venta de los lapiceros?

07) De un recipiente lleno de agua retiro el 40% de lo que no retiro y de lo he retirado devuelvo el 40% de lo que no devuelvo. Entonces ahora quedan 39 libros. ¿Cuántos libros no devolví?

08) Al vender un artículo se hacen 2 descuentos sucesivos del 10% y 20%, pero aun se gana el 20% hallar el costo de dicho articulo sabiendo que al fijar inicialmente su precio el costo se incrementa en S/. 500

09) Tengo cierta cantidad de dinero. Si el primer día gasto el 43%. ¿Qué porcentaje de la que me queda debo gastar al segundo día para que me quede con el 28,5% del dinero original?

10) En una oferta, un comerciante disminuye el precio de un artículo en 25%, motivo por el cual la demanda aumenta en 60%. ¿En que porcentaje varía la recaudación?



11) Sobre el precio de venta de un artículo se rebajo el 20% y el 30% y aun quedara un margen de ganancia del 40% del costo. Hallar el precio de venta que se dijo si el precio de costo fue de S/. 94000.

12) Un comerciante tiene 3 TV, vende 2 de ellos en 360 soles cada uno, ganando en uno de ellos el 30 por 70 de su costo perdiendo en el otro el 20% de su precio de venta. Si el tercer TV le costo el 10% del primero mas el 80% del segundo. ¿Qué porcentaje de ganancia o pérdida debe obtener para que en l venta total no gane ni pierda?

13) José va a una tienda y compra cierto articulo por el precio de S/. 697, luego de 5 años regresa a la misma tienda; y compra el mismo articulo pagando ahora 900% del precio anterior. Si el letrero del artículo decía descuento del 23,5% mas el 18%, indicando 2 descuentos sucesivos. ¿Cuál fue el precio de lista del segundo artículo comprado?

14) Un artefacto, al venderse se le descuenta el 10%, luego e le recarga el 10%; pero se le devuelve a descontar el 10%, pagándose S/. 8910. ¿Cuál era el precio original?

15) Un tejido, al ser lavado pierde el 2 por 13 de su anchura y 0,5 por 5 de su longitud, quedando 99 metros cuadrados. Se desea saber que tanto por ciento del área original representa el área final del

tejido, si antes del lavado el tejido, si antes del lavado el tejido tenía 2,6 metros de anchura.

16) Dos recipientes A y B contienen vino, el recipiente “A” está medio lleno, el “B” en 1/3 de su volumen. Se completan con agua las capacidades de A y B vertiéndose la mezcla en un tercer recipiente “C”. sabiendo que la capacidad de B res el doble de A; determinar el tanto por ciento de vino que contiene la mezcla en C.

17) Ximena vendió su carro ganando el 60% de la venta. Si lo hubiera vendido el 60% del costo habría perdido 11340 soles. ¿Cuánto le costo el carro a Ximena?

18) En un salón de clases, el30% de alumnos son mujeres; si el 25% de mujeres faltan; solo se cuenta con 18 mujeres. ¿Cuántos alumnos tiene el salón?

19) Un boxeador tienen 280 peleas pactadas de las cuales gano 35. ¿Cuántas peleas mas como máximo debe realizar para que sus peleas ganadas sean el 30% del total?

20) Un comerciante desea promocionar sus ventas, ofreciendo un descuento el 20%, pero, como en realidad no quiere rebajar el precio, deberá previamente subirlos. ¿En que porcentaje lo hará?




01) Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye su 20%, se puede afirmar, con respecto a la cantidad inicial, que:

a) Aumenta 10%b) Disminuye 10%c) No variad) Disminuye 4%e) Disminuye 8%

02) Si en una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres?

a) 37,5% b) 62,5%c) 56,5% d) 43%e) 36%

03) En un corral, el 40% son patos; el 35% son conejos y el resto, pavos. Si el número de patos se triplica y se duplica el de los otros 2. ¿Que porcentaje del nuevo total son patos?

a) 20,83% b) 40,6%c) 29,16% d) 50%e) N.A.

04) Si un lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En que porcentaje aumenta su área?

a) 20% b) 30%c) 36% d) 44%e) 48%

05) Si la base de un triángulo se triplica y su altura se duplica. ¡En que porcentaje aumenta su área?

a) 200% b) 300%c) 400% d) 500%e) 900%

06) Si el largo y el ancho de un rectángulo aumentan en 20% y 25% respectivamente su área aumenta en 2400 m2. hallar el área inicial del rectángulo.

a) 3600 m2 b) 4800c) 3200 d) 4500e) 7200

07) Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por 45 de 1500.

a) 150 b) 120c) 80 d) 60e) 90

08) Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en el mes de julio, un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año anterior estará recibiendo en Agosto?

a) 128% b) 130%c) 103% d) 125%e) 132%

09) Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que



me quedaría. Perdería S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?

a) 3500 b) 2000c) 1500 d) 1560e) 1800

10) Se estima que una mezcladora de concreto sufre un depreciación del 10% por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al comenzar el año. Si al cabo de 4 años su precio es de S/. 131 220. entonces el costo original de la mezcladora es:

a) 200 mil b) 150 milc) 170 mil d) 250 mile) 300 mil

11) Geovana le dice a Linder: entre tu dinero y el mío hacemos S/. 1125, pero si hubieras recibido el 30% menos de lo que te corresponde tendrías lo que yo tendría, si recibiera 20% menos. ¿Cuánto tiene cada uno?

a) L = S/. 700; G = S/. 425b) L = S/. 725; G = S/. 400c) L = S/. 600; G = S/. 525d) L = S/. 680; G = S/. 440e) L = S/. 785; G = S/. 340

12) En una industria se ha fabricado 1000 productos, el 60% de ellos han sido fabricado por la maquina A y el resto por la maquina B. si se sabe que el 5% de lo fabricado por A es defectuoso y el 4% por B. ¿Cuántos defectuosos hay en los mil productos?

a) 50 b) 90c) 45 d) 82e) 46

13) La base de un triángulo aumenta en un 30% y la altura relativa a dicha base disminuyen un 30%, entonces el ares varia en 72 cm2. Hallar el área original.

a) 800 m2 b) 600c) 45 d) 640e) N.A.

14) Si el 40% de A; el 50% de B y el 50% de C son proporcionales a 6; 4; 5. ¿Qué porcentaje de (A +C) es B?

a) 64% b) 60%c) 32% d) 80%e) 48%

15) ¿En que tanto por ciento aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 20% y la longitud del radio de la base aumenta en 25%?

a) 10% b) 15%c) 20% d) 25%e) 30%


5°

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