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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRODEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICADEPARTAMENTO ACADEMICO DE ELECTRICIDAD YELECTRONICA

ANALISIS DE FLUJO DE CARGAS

PROFESOR GUIA : Msc Ing. Pedro N. Torres Mayta

MARZO - 2007


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3.1.- Introduccin

El clculo y anlisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Elctrico dePotencia (SEP) es uno de los aspectos ms importantes de su comportamiento enrgimen permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva encada lnea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones

preestablecidas de operacin.

Hasta el ao 1950, el clculo del flujo de potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunoscasos, los Analizadores de Redes de Corriente Contnua (ARCC) que corresponden auna simulacin a escala del Sistema real. En la actualidad, el CFP se realizafundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas questos presentan respecto a los analizadores de redes.

El anlisis del flujo de potencias (AFP) permite: - Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo deoperacin, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas lneas o nuevascentrales generadoras. - Estudiar los efectos sobre la distribucin de potencias, cuando se producen prdidastemporales de generacin o circuitos de transmisin. - Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener unfuncionamiento ptimo.

3.2.- Planteamiento del problema bsico.

Considrese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1.

Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para plantear el problema bsico.

En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son:


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(3.1)

donde:

: Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente,representadas como fuentes de potencia activa y reactiva, que corresponden a laPotencia Generada menos la Potencia Consumida.

: Flujo de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 yviceversa

Si la lnea se representa por su circuito nominal se puede dibujar el circuito

equivalente por fase de la Figura 3.2, donde las potencias netas se han dibujado comofuentes de potencia activa y reactiva

Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema de la Figura 3.1 A partir de esta figura se puede escribir:

(3.2)

Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas yreactivas, presentan las siguientes caractersticas. - Son algebraicas y no lineales- La frecuencia no aparece en forma explcita porque se la supone constante- El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: P G1, P G2, Q G1, Q G2, P C1, P C2,QC1, Q C2, V 1, 1, V 2, 2, por lo que no es posible obtener una solucin para ninguna deellas a menos que se reduzca el nmero de incgnitas, fijando de antemano algunasvariables.

En relacin a esto ltimo, una forma posible de resolver el problema es lasiguiente:


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- A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje, las

potencias de las cargas P Ci, Q Ci, con i = 1,2. - Fijar a priori dos variables de generacin P G2 y Q G2 por ejemplo. No se pueden fijar las

cuatro variables de generacin debido a que las prdidas en el sistema no son conocidasinicialmente. - Fijar el mdulo y ngulo de la tensin en barra 1; es decir; suponer conocidos V 1, 1.En particular, puede tomarse esta tensin como referencia, o sea, 1=0

En estas condiciones, las variables que quedan son: P G1, Q G1, V 2, 2, en elsistema de cuatro ecuaciones (3.2).

3.3.- Modelo de representacin del SEP

Teniendo presente el anlisis del problema bsico y con el objeto de establecer un procedimiento general para el CFP, es necesario considerar lo siguiente: 3.3.1.- Tipos de Barras

Asociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables, P p; Q p; V p; p.Segn las variables conocidas y desconocidas, las barras se clasifican en los siguientesgrupos:

- Barras de Carga (Barras P-Q): P p y Q p estn especificadas; V p y p son lasincgnitas - Barras de tensin controlada (Barra P-V):P p y V p estn especificadas; Q p y p sonlas incgnitas. En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potenciareactiva. - Barra flotante (Barra ): V p y p estn especificados; P p y Q p constituyen lasincgnitas. En esta barra debe existir por lo menos un generador. La necesidad dedefinir esta barra nace del hecho que no es posible especificar a priori, la potencia quees necesario generar en el sistema debido a que inicialmente no se conocen las prdidasen el mismo. La barra flotante debe suministrar la diferencia entre la potencia complejainyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total ms las prdidas. Esta barrase conoce tambin con otros nombres tales como: de referencia, oscilante, de relajacin(slack). 3.3.2.- Representacin de los elementos del SEP

Lneas: Se representan usualmente por su circuito nominal. Para una lneaconectada entre las barras p y q de un SEP, el circuito equivalente corresponde almostrado en la Figura 3.3.-


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Figura 3.3.- Circuito equivalente de una lnea para el clculo de flujos de potencia En algunos casos, basta representar la lnea por su Impedancia serie.

Transformadores: Cuando funcionan en su razn nominal, se representan por

su impedancia de cortocircuito. Cuando operan con cambio de TAPS y razn nonominal, se representan por su circuito equivalente que se muestra en la Figura 3.4,cuyos parametros se indican en la ecuacin (3.3).

Figura 3.3.- Circuito equivalente p de una lnea para el clculo de flujos de potencia

Figura 3.4.- Modelacin circuital entanto por unidad de un transformador

con cambio de TAP

(3,3)

Con =1+t1 y =1+t2; y donde t1 y t2, representan el cambio del Tap, en el ladorespectivo.

Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa yreactiva.

3.4.- Planteamiento matemtico del problema para un SEP de n barras.

3.4.1.- Ecuaciones de Barras Considrese una barra p cualquiera del sistema como se muestra en la Figura

3.5. La potencia compleja neta y la corriente inyectada en la barra p, estnrelacionadas por las siguientes ecuaciones (que constituyen las ecuaciones de barras)

Figura 3.5.- Representacin de una Barra p en un SEP


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(3.4) 3.4.2.- Ecuaciones del flujo de potencias

A partir de la Figura 3.3 se puede escribir:

(3.5)

La potencia compleja que fluye desde la barra p a la q est dada por:

(3.6)

Anlogamente, la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estardada por:

(3.7)

Las expresiones (3.6) y (3.7) constituyen las ecuaciones del flujo de potencia atravs de la lnea. Sin embargo, se debe hacer notar que .Adems, Y pq corresponde al inverso de la impedancia entre las barras p y q, el que nodebe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB, de la ecuacin (3.10).

3.4.3.- Potencia perdida en la transmisin

Teniendo en cuenta los sentidos adoptados para , la potencia compleja perdida en la lnea ser:

(3.8)

3.4.4.- Clculo de las tensiones de barras

Las ecuaciones (3.6) y (3.7) indican claramente que para resolver el problemadel flujo de potencias se requiere determinar previamente las tensiones en todas las

barras que correspondan. Empleando el mtodo nodal de resolucin de circuitos,enforma matricial, para la red de un SEP de n barras se puede escribir:


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(3.9)

donde :

: Vector de corrientes inyectadas a las barras

: Matriz admitancia de barras

: Vector tensiones de barra

Esto definido como:

(3.10)

Teniendo presente que segn (3.4), las corrientes inyectadas en las barras

dependen de las potencias complejas netas respectivas y considerando (3.9) y (3.10), se puede escribir:

(3.11)


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Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elementalde 2 barras; es decir; las ecuaciones son algebraicas y no lineales, por lo tanto esnecesario resolverlo mediante tcnicas de aproximaciones sucesivas.

3.5.- Tcnicas de solucin para el problema del flujo de potencias

Existen actualmente diversos mtodos para resolver el problema de clculo delflujo de potencias. Entre ellos podemos mencionar el de Gauss, el de Gauss-Seidel, losde Newton-Raphson (Completo, Desacoplado, Desacoplado rpido), el flujo DC, etc.

3.5.1.- Mtodo de Gauss

Se emplea para resolver un problema lineal o no lineal. Por simplicidadconsideraremos un sistema lineal de ecuaciones, como el indicado en (3.12), parafundamentarlo. Sin embargo, su aplicacin a un sistema no lineal resulta inmediata.

(3.12)

Despejando x 1 de la primera ecuacin, x 2 de la segunda y x 3 de la tercera seobtiene:

(3.13)

Sean , valores iniciales estimados a priori de la solucin del sistema(3.12) , entonces, reemplazando estos valores en (3.13) se tiene:

(3.14)

El procedimiento continua hasta que se satisface algn criterio deconvergencia tal como, por ejemplo, el indicado en (3.15), donde es una cantidad devalor pequeo y positivo. A cada etapa del proceso se le denomina iteracin.

(3.15)


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Aplicando el mtodo a un sistema de n ecuaciones con n incgnitas; para laincgnita x i se puede escribir despus de k iteraciones, y con i= 1, 2,.....; n; se puedeescribir:

(3.16)

Los inconvenientes de este procedimiento son el gran nmero de pasos que se

requiere para llegar al resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en queno converge, por lo que no se utiliza para resolver el problema de clculo de los voltajes

de la ecuacin (3.11). Sin embargo, constituye la base para la formulacin del Mtodode Gauss-Seidel, lo que justifica su anlisis. Al aplicar la ecuacin (3.16) al problema declculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.11) se obtiene:

(3.17)

La ecuacin (3.17) se conoce como mtodo de Gauss Y B, porque se trabajacon la matriz admitancia de barras del sistema elctrico. La expresin es vlida slo

para las barras de carga. En el caso en que el SEP contenga barras de tensin controlada,la ecuacin (3.17) debe ser modificada, pues en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Q p. Por lo dicho en el prrafo anterior, la modificacionesrequeridas se estudiarn al considerar el Mtodo de Gauss-Seidel Y B

3.5.2.- Mtodo de Gauss-Seidela.- Caso general

Consiste en una modificacin del mtodo de Gauss tendiente a acelerar laconvergencia del proceso iterativo. En el mtodo de Gauss se calculan todos los valoresde las incgnitas correspondientes a una iteracin y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incgnitas en la iteracin siguiente. En el mtodo de Gauss-Seidel en cambio, los valores calculados en una iteracin determinada, se utilizaninmediatamente para calcular los valores de las incgnitas que restan por calcular en lamisma iteracin.

De este modo, si el proceso de clculo se encuentra en la iteracin (k+1) y ya se

han determinado , entonces, los valores que se utilizan para

calcular sern


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Por tanto, la frmula iterativa del Mtodo de Gauss-Seidel aplicada a un sistemade n ecuaciones de la forma dada por (3.12) es:

(3.18)

b.- Aplicacin del mtodo de Gauss-Seidel YB al clculo flujos de potenciaEl clculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado

anteriormente es distinto segn sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por elloconsideraremos en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente,

por ser el caso ms simple. A continuacin analizaremos la situacin de las barras detensin controlada.b1.- Sistemas con barras de carga y flotante solamente

Aplicando la ecuacin (3.18) al sistema (3.11) se tiene:

(3.19)

La secuencia de solucin segn este mtodo es como sigue:- Se suponen valores iniciales de tensin para todas las barras a excepcin de la flotante,cuya tensin est especificada, o sea es dato del problema al igual que P p y Q p en todas

las barras de carga y los trminos de la matriz admitancia de barras (Y B)- Se aplica la frmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algn criterio deconvergencia, por ejemplo:

(3.20)

- Determinadas las tensiones , se calculan los flujos de potencia aplicandolas ecuaciones (3.6) y (3.7)

- - Conocidos los valores de es posible determinar las prdidas en elsistema, empleando la ecuacin (3.8)

-b2.- Sistemas con barras de carga, tensin controlada y flotante.

Normalmente un SEP incluye adems de las barras de carga y flotante, barras detensin controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensin en uno ovarios puntos del sistema. En las barras de tensin controlada debe existir una fuenteregulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido.

Debido a que en este tipo de barra slo se conocen el mdulo de la tensin y la

potencia activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuacin (3.19) para determinar el voltaje complejo en ella.


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A partir de la ecuacin para la barra p de la expresin (3.11), se puede escribir:

(3.21)

es decir:

(3.22)

Cuando se emplea la ecuacin (3.19) en una BTC, el valor de Qp, que debe

emplearse corresponde al indicado por (3.22), el que se debe actualizar en cadaiteracin. Al determinar el voltaje, debe tenerse en cuenta que su mdulo en esta barraest especificado y por lo tanto slo puede cambiar su ngulo.

Lmites de Potencia reactiva en una Barra de tensin Controlada:En el

clculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensin controlada es necesariotomar en cuenta los lmites de potencia reactiva de las fuentes de potencia.

Sea p una BTC, entonces el valor de Q p se puede escribir como:

(3.23)

Adems:(Q Gp)mx = Valor mximo de generacin de potencia reactiva de la fuente.

(Q gp)mn = Valor mnimo de generacin de potencia reactiva de la fuente.QCp = Potencia reactiva de la carga en la barraLos lmites de potencia reactiva para la barra p sern:

(3.24)

Si el valor de la potencia reactiva calculado segn (3.22) en una iteracin

cualquiera k, Q pk , excede el lmite mximo o mnimo prefijado, significa que es

imposible obtener una solucin con la tensin especificada en esta barra y enconsecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteracin, en lacual la potencia reactiva es igual al lmite superior e inferior segn corresponda. En lasiteraciones siguientes, el mtodo intentar mantener el voltaje especificadooriginalmente en esa barra, siempre que no se violen los lmites de Q p. Esto es posible,

porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema, que lo permitan.Para explicar mejor el procedimiento, consideremos el sistema de 3 barras de la

Figura 3.6.-


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Figura 3.6.- Sistema de tres barras para explicar el mtodo de Gauss-Seidel Y B

Sean:Barra 1: FlotanteBarra 2: de cargaBarra 3: de tensin controladaLa secuencia de clculo aplicando el Mtodo de Gauss-Seidel Y B es:

1.- Especificar los datos necesarios: V 1, 1, P 2, Q 2, P 3, V 3 y los parmetros paradeterminar la matriz Y B2.- Suponer los valores iniciales: V 20, 20, 30. Normalmente se usa, 1.0 (pu) para losmdulos de voltaje y 0 para los ngulos; V 3 est especificado3.- Calcular la tensin en la barra 2

(3.25)

4.- Calcular la potencia reactiva en la barra 3

(3.26)

5.- Verificar si est dentro de los lmites establecidos6.- Si se est dentro de los lmites, determinar la tensin en la barra 3 segn (3.27),mantener el valor especificado para V 3 y cambiar el ngulo inicial por el determinadocon (3.27)

(3.27)

7.- Si no se est dentro de los lmites, reemplazar en (3.27) por el valor del lmite

excedido, tomando el valor de calculado en (3.27) completo (mdulo y ngulo)8.- Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuacin

(3.20), por ejemplo, en todas las barras. Si se cumple, el proceso de clculo de las


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tensiones finaliza y se determinan los flujos de potencia segn ecuaciones (3.6) y (3.7) ylas prdidas en las lneas, ecuacin (3.8).9.- Si el criterio de convergencia no se cumple, volver al punto 3 y repetir el proceso.

Ejemplo 3.1.Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, basecomn, se dan en las Tablas N 1 y N 2. Realizar una iteracin con el mtodo deGauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las barras. Con los valoresobtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las lneas, las prdidas del sistema,la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificacin de la potenciaentregada a la carga SC1.

Solucin:

a) Determinacin de la matriz de admitancia de barras YB

b) Valores iniciales y otros datos


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c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuacin (3.19)

Antes de determinar se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2,expresin (3.22)

La tensin se determina usando de nuevo la expresin (3.19), es decir:

d) Clculo de los flujos de potencia en las lneas:Usando las expresiones (3.6) y (3.7)y considerando que:

se tiene:


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e) Prdidas: Utilizando la ecuacin (3.8) se tiene:

f) Potencia entregada por el generador de la barra slack

g) Verificacin de la potencia recibida por la carga SC1

Observacin: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga.Porqu?

Factores de Aceleracin:La experiencia con el mtodo de Gauss-Seidel Y B para el clculo de flujos de potencia ha mostrado que se puede reducir,considerablemente, el nmero de iteraciones requeridas si la correccin en el voltaje decada barra se multiplica por alguna constante que la incremente, para que el voltaje seams cercano al valor al que se est aproximando. El multiplicador que realiza esto, sedenomina factor de aceleracin. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra pcalculado en la iteracin actual V pk+1 y el mejor que se obtuvo en la iteracin anterior (V pk ,)ac se multiplica por un apropiado para obtener una mejor correccin que seagrega a este ltimo. Es decir:

(3.28)

La eleccin del valor de depende del sistema en estudio. Hay valores ptimosde los factores de aceleracin para cualquier sistema. Una mala seleccin de ellos puededar como resultado una convergencia menos rpida o hacerla imposible. Por lo general,en los estudios de flujos de potencia, vara entre 1,3 y 1,8. Generalmente, un factor de aceleracin de 1,6 para las componentes real e imaginaria es una buena seleccin.Sin embargo, es posible que el factor de aceleracin utilizado para la componente realde la correccin pueda diferir del usado para la componente imaginaria.


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3.5.3.- Mtodo de Newton Raphson a. Formulacin general: Es mas sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de clculos, pero asegura convergencia en un mayor nmero de veces yadems en forma ms rpida. El problema matemtico a resolver consiste en n

relaciones no lineales del tipo f(x i)=0. Es decir, se trata de un sistema de n ecuacionesde la forma:

(3.29)

Supongamos una estimacin inicial del vector solucin:

(3.30)

Al que le falta un residuo , para llegar a la solucincorrecta. Esto es, tener f(x i0+ x i0) = 0, aunque f(x i0) 0.

El sistema se puede escribir ahora:

(3.31)

Desarrollando cada ecuacin en serie de Taylor en torno a los valores x i0 setiene:

(3.32)

donde: i : residuo en la serie de Taylor, que contiene los trminos de orden

superior


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: representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en x i0

Como los x i0 son pequeos, se pueden despreciar los trminos de ordensuperior y se obtiene:

(3.33)

Matricialmente se puede escribir:

(3.34)

Es decir:(3,35)

Donde cada vector y matriz est definido segn las ecuaciones (3.34) y (3.35), o sea:

Vector funcin evaluada en x i0

Matriz Jacobiana evaluada en x i0

Vector residuo evaluado en x i0


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A partir de (3.35), el vector residuo evaluado en ; se puedeescribir:

(3.36)

En general entonces, el residuo en una iteracin k es:

(3.37)

Suponiendo que se conoce (vector de valores aproximados de la variable),entonces puede obtenerse una aproximacin mejor de la forma:

(3.38)

Como se han despreciado los trminos de orden superior, [x k+1] no ser lasolucin correcta y se debe repetir el proceso en forma iterativa, hasta que se satisfagaalgn criterio de convergencia, tal como:

(3.39)

b- Aplicacin al clculo de flujos de potencia:En el caso de un Sistema dePotencia, los xi corresponden a las tensiones de las barras (mdulo y ngulo), de maneraque la ecuacin (3.37) se puede escribir como:

(3.40)en que:

(3.41)

donde: P esp y Q esp son los valores de P y Q especificados o programados y P calc y

Qcalc son los respectivos valores que se van calculando en cada iteracin. Para mayor comodidad, a los valores calculados, se les eliminar el superndice calc, es decir, losdesignaremos simplemente como P y Q.

Segn (3.21), los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de:


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(3.42)

Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de lnea enforma rectangular se tiene que:

(3.43)

Reemplazando (3.43) en (3.42) , pq = p- q se obtiene:

(3.44)

de (3.44) se obtiene finalmente:

(3.45)

A partir de (3.41) y (3.45), P y Q para la barra p se pueden determinar como:

(3.46)

Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen:

a.- Para las barras PQ y PV

(3.47) b.- Para las barras PQ

(3.48)c.- Para la barra slack no se requiere ecuaciones.

En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV yslack al igual que el ngulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen ensus valores especificados. Por lo tanto, el sistema formulado incluye dos ecuaciones

para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del problema son V y para cada barra PQ y para cada barra PV.


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Por razones prcticas se da a la barra slack el nmero n y se colocan los primeros nmeros a las barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendr (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV).

La Ecuacin (3.40) queda entonces:

(3.49)

Con P y Q calculados segn (3.46)Luego, los valores actualizados para y V son:

(3.50)

Despejando P y Q de (3.49), considerando (3.34) y arreglandoadecuadamente, para hacer ms fcil el manejo de las ecuaciones, se tiene:

(3.51)

Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado lasdimensiones de las submatrices que forman el Jacobiano son:

[H] es de (n-1) x (n-1) [N] es de (n-1) x m[M] es de m x (n-1) [L] es de m x m

De acuerdo con lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de

dimensin [(n-1)+m] x [(n-1)+m]A partir de (3.51), se obtiene que:

(3.52)

Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matrizJacobiana como sigue:

para p q


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(3.53)

Se puede apreciar, que por la forma de la ecuacin (3.51):

(3.54)

Para p = q

(3.55)

Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber

planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3.51). Utilizando este tipo decoordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el procesohaya convergido.

El proceso mediante el mtodo de Newton-Raphson para calcular los voltajes enlas barras, se muestra en la Figura 3.8, luego de lo cual se determinan los flujos de

potencia y las prdidas en las lneas.


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Figura 3.8.- Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson

En estricto rigor, la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteracin. Sin

embargo, en la prctica se recalcula usualmente slo un determinado nmero de veces

en un rango de iteraciones, con el fin de aumentar la velocidad al proceso iterativo.

Ejemplo 3.2.En el sistema del ejemplo 3.1 y, considerando los valores de voltajesobtenidos mediante el mtodo de Gauss-Seidel, determine el Jacobiano completo en laiteracin 1

Solucin: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma:

Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3.53) para p q y (3.55) para p=q; por lo tanto, para los elementos de la diagonal se debendeterminar previamente P y Q, utilizando (3.45) y considerando los resultados obtenidosen el ejemplo 3.1, que se resumen a continuacin:


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; ;

Con (3.45) se obtiene:P1=-0,6628; P2=0,1948; Q1=-0,235; Q2=-0,2865

Con (3.53) y (3.55), la matriz Jacobiana queda:

3.5.4.- Mtodo de Newton-Raphson desacoplado (MNRD)

Cuando se resuelven problemas que involucren un nmero considerable de barras, este mtodo representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacionaly reducir los requerimientos de memoria. Se hace uso de una versin aproximada delmtodo de Newton-Raphson completo visto en 3.5.3., basada en las siguientesconsideraciones:- Un cambio en el ngulo del voltaje en una barra afecta principalmente al flujo de

potencia activa P en las lneas y dbilmente a la potencia reactiva Q, lo que significa

que:- Un cambio en el mdulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de

potencia reactiva Q en las lneas y dbilmente a la potencia activa P. Por lo tanto:

De acuerdo con esto, en la ecuacin (3.51) N y M se pueden despreciar frente aL y H respectivamente y se puede escribir:

(3.56)

o bien:

(3.57)

(3.58)

Estas ecuaciones estn desacopladas, en el sentido que las correcciones delos ngulos de los voltajes se calculan usando slo los cambios en la potencia activamientras que las correcciones en la magnitud de los voltajes se determinan slo con loscambios en la potencia reactiva. Sin embargo, las matrices [H] y [L] son


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interdependientes, porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de losvoltajes que se estn resolviendo en la ecuacin (3.58), mientras que los elementos de[L] dependen de los ngulos de la ecuacin (3.57). El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en uno, lassoluciones ms recientes del otro. Esta aproximacin significa aumentar el nmero de

iteraciones, lo que en la prctica queda compensado por el menor tiempo en cadaiteracin, debido a la disminucin del tiempo ocupado en la inversin de las matrices[H] y [L] de menor dimensin que la del Jacobiano completo.

Ejemplo 3.3. A partir del ejemplo 3.2 escriba la matriz jacobiana del mtodo de Newton-Raphson desacoplado. Eliminando las submatrices N y M se tiene:

3.5.5. Mtodo de Newton-Raphson desacoplado rpido (MNRDR)

El mtodo de Newton Raphson desacoplado, sigue requiriendo la inversin dedos matrices en cada iteracin. Para evitar estos clculos, se introducen mssimplificaciones que se justifican por las caractersticas que presentan los flujos de

potencia en las lneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisin biendiseado y operando apropiadamente. Estas caractersticas son:- Las diferencias angulares pq = p- q entre los voltajes de dos barras tpicas son,

por lo general, tan pequeos que:

(3.59)

- Las susceptancias B pq de las lneas son mucho ms grandes que las conductancias G pq, por lo que:

(3.60)

- La potencia reactiva Q p que se inyecta a cualquier barra p del sistema durante suoperacin normal es mucho menor que la potencia reactiva que fluira si todas las lneasde la barra estuvieran en cortocircuito con la referencia. Esto es:

(3.61)

Con estas aproximaciones, y usando (3.45) se tiene:

(3,62)


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Es decir:

(3.63)

(3.64)

A partir de (3.63) y (3.64) y considerando (3.46), los elementos de [H] y [L] seobtienen como sigue:

(3.65)

(3.66)

(3.67)

segn (3.61), las ecuaciones (3.66) y (3.67) quedan:

(3.68)

Considerando (3.57) y (3.58), para el nudo p se puede escribir:

(3.69)

(3,70)

Introduciendo (3.65) y (3.68) en (3.69) y (3.70) se obtiene:


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(3.71)

(3.72)

Dividiendo ambas ecuaciones por V p y simplificando los voltajes de la ecuacin(3.72) se puede escribir:

(3.73)

(3.74)

Se ha reducido la no linealidad de las ecuaciones, lo que debera permitir mejorar el comportamiento del proceso iterativo. Si fijamos arbitrariamente los V p y V qdel segundo miembro de la ecuacin (3.73) en 1.0(pu), los coeficientes de ambas

ecuaciones quedan iguales, es decir:

(3.75)

(3.76)

Matricialmente se tiene:

(3.77)

(3.78)


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donde B es el negativo de la parte imaginaria de la matriz Y B, sin la fila ycolumna correspondiente a la barra slack y B es el negativo de la parte imaginaria dela matriz Y B sin las filas y columnas correspondientes a las barras slack y PV

Una estrategia tpica de solucin es:1.- Calcular los errores iniciales P/V2.- Resolver la ecuacin (3.77) para determinar 3.- Actualizar los ngulos y usarlos para calcular los errores Q/V4.- Resolver (3.78) para calcular V5.- Actualizar las magnitudes del voltaje V y usarlas para calcular los nuevos errores P/V6.- Volver al punto 2. y repetir el proceso hasta que todos los errores estn dentro de latolerancias especificadas.

Ejemplo 3.4.Para el ejemplo 3.1 escriba la matriz Jacobiana del mtodo de Newton-

Raphson desacoplado rpido.Solucin: A partir de los valores de la matriz [B] del Ejemplo 3.2 se tiene:

3.6.- Flujo de Carga DC o Flujo de Potencia en Corriente Continua

Recibe este nombre no porque se aplique a sistemas que operan con corrientecontinua. El mtodo es aplicable a los Sistemas Elctricos de Potencia que operan acorriente alterna haciendo ciertas simplificaciones que permitan analizar la red como sifuera de corriente continua, teniendo la ventaja de que se trabaja con nmeros reales,simplificando mucho los clculos. Sin embargo, slo se obtienen los flujos de potenciaactiva.

El anlisis considera la base fundamental de los flujos de potencia en corrientealterna ya estudiados.

Consideremos la lnea conectada entre los nudos p y q de la Figura 3.9.-

Figura 3.9.- Modelo de una lnea de transmisin para el clculo de flujo de potencia DC

La potencia compleja que va desde la barra p a la barra q es:


28/79

(3.79)

Sea:

(3.80)

(3.81) Entonces:

(3.82)

Es decir:

(3.83)

Por lo que la potencia activa entre las barras p y q es:

(3.84) suposiciones simplificatorias:

a) a) Vp = Vq = 1.0 (pu) b) b) Rpq


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(3.86)

Segn c)

Por lo tanto (3.84) queda:

(3.87)

Para una red elctrica que tiene n nudos la potencia neta inyectada en cada nodo se pueden escribir:

(3.88)

donde q considera todos los nodos directamente conectados al nodo p. Luego, paralos n nudos se tiene:

(3.89)

o sea:

(3.90)

en que:

: Vector de potencias activas netas en cada barra

: Matriz de susceptancias del sistema: Vector de ngulos de las tensiones de barra


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Los elementos de la Matriz [B] se determinan como sigue:

con p referencia (3.91) q incluye todas las lneas conectadas al nudo p

con p = referencia(3.92)

con p referencia y q referencia(3.93)

con p = referencia o q = referencia(3.94)

De acuerdo con lo indicado en las expresiones (3.91) a (3.94), la matriz , tal como se

plante en (3.89) es singular ya que la fila y columna correspondientes a la barra dereferencia contienen solamente ceros. As, para un sistema de n barras slo hay (n-1)ecuaciones linealmente independientes, por lo que se debe considerar la submatriz de[B] con dimensin (n-1)x(n-1), la que puede invertirse para solucionar el problema delclculo de los ngulos de fase de las tensiones de las barras. A partir de (3.90) seobtiene entonces:

(3.95)

Como se aprecia, el procedimiento es muy sencillo, ya que el sistema es lineal y

por lo tanto todos los ngulos de las tensiones de las barras se pueden determinar

utilizando (3.95) para luego mediante (3.87), determinar los flujos de potencia activa

en las lneas.

Ejemplo 3.5.Resuelva el Ejemplo 3.1 utilizando el mtodo de Flujo DC.

Solucin:A partir de los parmetros dados en el ejemplo 3.1 se tiene:


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Por otra parte: P1=-0,6; P2=0,2; luego, la ecuacin matricial queda, segn (2.90):

Resolviendo la ecuacin se obtiene:

Con estos valores se determinan los flujos de potencia activa en las lneas, utilizando

(3.87)


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La potencia que entrega el generador en la barra slack es:

La potencia recibida por la carga es:


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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRODEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICADEPARTAMENTO ACADEMICO DE ELECTRICIDAD YELECTRONICA

ANLISIS DE FALTAS EN SEP

PROFESOR GUIA: Msc Pedro N. Torres Mayta

Marzo - 2007


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4.1.- INTRODUCCION

Las condiciones anormales de funcionamiento de un Sistema Elctrico dePotencia (SEP), se deben a fenmenos transitorios, los cuales se pueden clasificar, deacuerdo al tiempo de duracin en las siguientes categoras: a.- Fenmenos transitorios ultrarpidos

Corresponden sustancialmente a descargas atmosfricas sobre las lneas detransmisin y a los fenmenos producidos por operaciones de conexin y desconexinde diversos componentes de la red del SEP. (fundamentalmente, las lneas). Las

perturbaciones de este tipo dan origen a ondas de tensin y corriente que viajan prcticamente a la velocidad de la luz, pero su efecto dura unos pocos milisegundosdespus de iniciado. Sin embargo, los procesos de reflexin de las ondas producenelevadas tensiones que pueden llegar a destruir el equipo asociado a las lneas.

La razn del estudio de estos fenmenos radica en el hecho de que su anlisissuministra las bases necesarias para la seleccin adecuada del nivel de aislacin de losequipos elctricos asociados a las lneas y de las lneas mismas. b.- Fenmenos transitorios medianamente rpidos

En este grupo se incluyen los fenmenos causados por cambios abruptos dela estructura del SEP, o sea los cortocircuitos o lneas abiertas. Usualmente, slo los10 primeros ciclos son de importancia prctica y se estudian en el rango de 10 a100 milisegundos siguientes a la falla. c.- Fenmenos transitorios lentos

Cuando ocurre un cortocircuito en una lnea de transmisin importante y no se

desconecta oportunamente la seccin afectada, puede producirse uno de los

fenmenos ms peligrosos de un SEP, esto es, oscilaciones mecnicas de los rotores

de los generadores. Se producen fenmenos transitorios electromecnicos que se

estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria.


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Las oscilaciones mecnicas de los rotores son relativamente lentas, en consecuencia,

los estudios de estabilidad transitoria se realizan en el rango de fraccin de segundo

hasta un minuto.

Debido a los fenmenos transitorios se pueden producir en un SEP, diversasalteraciones que reciben el nombre de fallas. Sin embargo, dentro del curso,designaremos como fallas a los cortocircuitos y las fases abiertas.

4.2. Tipos de fallas

- Cortocircuitos:Trifsico simtrico, aislado o a tierra, bifsico aislado (cortocircuitoentre 2 lneas), bifsico a tierra (entre dos lneas y el conjunto a tierra) y monofsico(una lnea conectada a tierra).

- Fases abiertas:Una fase abierta, dos fases abiertas y tres fases abiertas. La ltimasituacin significa que la lnea o dispositivo sale completamente de servicio.

Los cortocircuitos trifsicos dan origen a fallas simtricas pues el SEP permaneceelctricamente balanceado, en cambio los cortocircuitos bifsicos aislado y a tierra y elmonofsico, as como 1 2 fases abiertas corresponden a fallas asimtricas, ya que elsistema queda elctricamente desbalanceado en el punto de falla.

En el caso de fallas simtricas, el clculo se realiza en base a una representacinmonofsica (por fase) de la red del SEP y se aplican las tcnicas normales de anlisis decircuitos. Para el clculo de las fallas asimtricas, resulta conveniente utilizar al Mtodode las Componentes Simtricas.

4.3.- CALCULO DE CORTOCIRCUITOS

En general las corrientes de cortocircuito alcanzan magnitudes mucho mayores

que los valores nominales de los generadores, transformadores y lneas. Si se permite

que estas corrientes circulen por un perodo prolongado, pueden causar un serio dao

trmico al equipo y problemas de estabilidad de funcionamiento en el SEP.

En este aspecto, el tipo de cortocircuito ms severo es el trifsico, el que adems

de dar valores elevados de corriente, reduce a cero la capacidad de transmisin de

una lnea, lo siguen los cortocircuitos bifsico y finalmente el monofsico . En


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cambio, el tipo mas frecuente es el monofsico (aproximadamente el 75 % de los

casos) y el menos frecuente es el trifsico (aproximadamente el 5 % de los casos).

En muchas oportunidades las corrientes de cortocircuito se auto extinguen y se

reestablece la aislacin . Debido a este hecho, se utilizan en la prctica interruptores

que reconectan automticamente la lnea daada, una, dos o ms veces para probar si

la falla se ha eliminado. Slo en el caso de que la falla persista, el interruptor

desconecta la lnea en forma definitiva.

4.3.1.-Objetivos del Clculo de Cortocircuitosa. - Definir la capacidad de ruptura de los interruptores necesarios en las diversas

partes de un SEP, para lo que se realiza normalmente un clculo de cortocircuitotrifsico simtrico, debido a que este tipo de falla produce las corrientes de cortocircuitoms elevadas en la mayora de los casos.

b. - - Ayudar a establecer un sistema adecuado de proteccin para diversas condicionesde falla, para lo que se debe realizar un clculo de distribucin de corrientes en la reddel SEP tanto para cortocircuitos simtricos como asimtricos (usualmente elcortocircuito monofsico).

En general, el Clculo de Cortocircuitos debe proporcionar los siguientesresultados:- La corriente en el punto de falla- La potencia de cortocircuito en el punto de falla- La distribucin de corrientes post-falla en todas las lneas del SEP- Las tensiones post-falla en todas las barras4.3.2.-Aproximacionesa.-Las mquinas sncronas se representan por los circuitos equivalentes aproximados,que se muestran en la Fig. 4.1

Fig 4.1.- Circuito equivalente para las Maquinas Sncronas

b.-Las cargas, cuando se estima necesario incluirlas, se suponen independientes de latensin y se representan por una impedancia o admitancia equivalente.c.-Todas las tensiones internas de los generadores se suponen iguales entre si e iguales a1,0 (pu)d.-Se desprecian las corrientes pre-fallae.-En muchos casos se desprecian las resistencias de los elementos y slo se consideransus reactancias


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f.-Los transformadores con cambio de Taps se consideran en su razn nominal

4.4.-CORTOCIRCUITOS TRIFSICOS SIMTRICOS

4.4.1.-Comportamiento de un generador en condiciones de cortocircuito trifsicosimtrico

a.- El generador en vaco antes de producirse la fallaLa corriente que circula por cada fase del generador en cortocircuito, es

similar a la que circula por un circuito R-L serie, alimentado brscamente por unafuente de tensin sinusoidal; es decir, la corriente es asimtrica respecto al eje de tiempoy disminuye en forma exponencial. Sin embargo, existe una diferencia fundamental yella radica en el hecho de que la reactancia del generador no permanece constantedurante el fenmeno (Fig. 4.1.-).

Las corrientes en las 3 fases de un generador en cortocircuito, se ilustran enla Fig 4.2.-

Usualmente la corriente continua no se considera en el anlisis y su efecto seconsidera posteriormente en el clculo de las corrientes instantneas y de interrupcinde los interruptores. Despreciando el efecto de la componente continua, la corriente decortocircuito de una fase cualquiera, resulta simtrica, como se muestra en la Fig. 4.3,que corresponde a un generador con enrollados amortiguadores y en vaco antes de

producirse la falla.


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Fig 4.2.- Corrientes de cortocircuito en un Generador Sncrono

Fig 4.3.- Corriente de cortocircuito en un G. S. Despreciando la componente de CC

Directamente de la Fig. 4.3 se definen los siguientes valores eficaces decorrientes de cortocircuito.


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- Corriente subtransiente(4.1)

- Corriente transiente (4.2)

- Corriente permanente(4.3)

b.- El generador en carga antes de la falla

En este caso, la fuerza electromotriz (fem) interna E se va modificando amedida que transcurre el fenmeno y, para determinar las corrientes subtransiente ytransiente de cortocircuito se deben considerar los circuitos mostrados en las Figura 4.4y 4.5, respectivamente, donde Ze es una impedancia externa que puede existir entre losterminales del generador y el punto de Falla F y Zc es la impedancia del consumo.

Fig 4.4.- Circuito Subtransiente Fig. 4.5.-Circuito Transiente

Para realizar el clculo se pueden emplear dos procedimientosbl.- Aplicando el teorema de Thevenin en el punto de FallaEn la Fig. 4.4.-, sean:VF(0): tensin en el punto F antes de producirse la falla

I* : corriente subtransiente de cortocircuitoZTH :Impedancia equivalente de Thevenin calculada desde los puntos de falla,donde:

(4.4)Por lo tanto el circuito de la Fig. 4.4.- se transforma en el de la Fig. 4.6.-

Fig. 4.6.-Circuito equivalente de Thevenin en Rgimen subtransitorioLuego:

(4.5)


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de la misma forma, para la figura 4.5.- se tiene:

(4.6)

b2.- Empleando las tensiones detrs de las reactancias subtransiente o transienteCuando circula corriente de carga antes de la falla, se pueden visualizar tres

tensiones internas posibles y sus correspondientes reactancias segn se mencionantenormente. Las Figuras 4.7 a) y b) muestran los circuitos equivalentes y losdiagramas fasoriales respectivos.

Figura 4.7.- Clculo de Corriente de Cortocircuito, empleando las tensiones internas. a)Circuito Equivalente b) Diagrama Fasorial

A partir de la Figura 4.7.- se puede escribir :

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Luego, las corrientes de falla son:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

c.- Concepto de Potencia de Cortocircuito


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Durante un cortocircuito trifsico simtrico en un SEP, las tensiones en las barras no falladas disminuyen. La magnitud de la cada de tensin en las barras es unaindicacin de la capacidad de SEP para reaccionar frente al cortocircuito. Esconveniente disponer de una medida de esta propiedad del sistema como asimismo dela severidad de la falla. Ambos objetivos se pueden cumplir definiendo una cantidad

denominada "Potencia de cortocircuito", "Capacidad de cortocircuito", o "nivel defalla" de la barra fallada.

Consideremos una barra (p) cualquiera del SEP en la cual se ha producido uncortocircuito trifsico simtrico.

Figura 4.8.- SEP con un cortocircuito trifsico en la barra p

Sean: V p(0) : tensin en la barra p antes de producirse la fallaI pf : corriente de cortocircuito o de falla en la barra p.

Entonces, por definicin, la potencia de cortocircuito S cc en la barra p ser : Scc = V p(0) I pf

(4,13)Por otra parte si V B e IB son el voltaje base y la corriente base en el sector que

corresponde a la barra p, se puede demostrar que:

o bien:(4.14)

en que Z pf es la impedancia de cortocircuito en la barra (p) y corresponde a laimpedancia equivalente de Thevenin calculada desde la barra p hacia el interior delSEP. d.- Algunos antecedentes relativos a la seleccin de interruptores

Los valores de corriente suministrados por un clculo de cortocircuito,corresponden a corrientes simtricas respecto al eje del tiempo y por lo tanto noincluyen la componente de corriente contnua. En la seleccin de interruptores debetenerse en cuenta la componente de corriente continua, por ello se distinguen dosvalores de corriente: - Corriente instantnea

Es la corriente que debe soportar un interruptor inmediatamente despus deocurrida la falla. Para determinarla, se calcula en primer lugar la corriente simtrica decortocircuito utilizando las reactancias subtransientes de los generadores, motoressincrnicos y de induccin. Luego, el valor as calculado, se multiplica por un factor que depende de la tensin de operacin del interruptor. Los factores usualmenteempleados se indican en la Tabla 4.1.


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Tabla 4.1.- Factores de correccin para la corriente instantnea

- Corriente de interrupcin Es la corriente que un interruptor debe ser capaz de interrumpir en el momentoque se abren sus contactos. Para determinar su valor, se procede primero a calcular lacorriente simtrica de cortocircuito y luego se aplica un factor que depende de lavelocidad de operacin del interruptor. La Tabla 4.2 muestra algunos valores tpicos.

Tabla 4.2.- Factores de correccin para la corriente de interrupcin

Para el clculo se recomienda emplear las reactancias subtransientes de losgeneradores, las reactancias transientes de los motores y condensadores sncronos. Losmotores de induccin no se consideran.

Ejemplo 4.1. En el sistema de la Figura 4.9, los datos en pu estn en base 2.000 kVA y480 Volt. Si ocurre un cortocircuito trifsico en la barra m, cuando el voltaje en esta

barra es el nominal y los motores estn trabajando en condiciones nominales,determinar la corriente subtransitoria de falla (Amperes) en cada uno de los motores yen la lnea, as como la corriente de falla en la barra m, considerando la corriente de pre-falla y utilizando:a. El mtodo de las tensiones internas

b. El mtodo de Thevenin

Figura 4.9.- SCC3 es la Potencia de Cortocircuito trifsico en la barra del sistema.

Solucin:

a) Clculos previos:


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Figura 4.10

b) Mtodo de las tensiones internas: Figura 4.10

En falla, Vm=0; por lo tanto, del circuito(Figura 4.11):

Figura 4.11

Valores en amperes: Multiplicando por la corriente base se obtiene:

d) Usando el Teorema de Thevenin

A partir de la Figura 4.10, cortocircuitado las fuentes de tensin se obtiene laImpedancia de Thevenin:

Adems, VTH=Vm(0)=1 0 (pu)


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4.4.2.- Cortocircuitos trifsicos simtricos en un SEP a.- Mtodo tradicional

Como en el caso de un cortocircuito trifsico simtrico, el SEP queda balanceado, es posible trabajar utilizando el circuito equivalente por fase, con lasaproximaciones usuales, aplicando Thevenin en el punto de falla. El mtodo es cmodo

para resolver problemas con pocos nudos; sin embargo, cuando se trata de sistemas demayor tamao, resulta poco prctico. Por otra parte, para calcular un cortocircuito enotra barra es necesario hacer de nuevo todos los clculos. Adicionalmente, ladeterminacin de los voltajes en las otras barras y el clculo de las corrientes en laslneas significa resolver la red completa del SEP.

b.- Clculo sistemtico de Cortocircuitos trifsicos (Mtodo general)

Cuando se trata de sistemas de gran magnitud, los clculos manuales resultandemasiado engorrosos y se debe recurrir al uso de los computadores digitales. El

procedimiento que se sigue, en vez de calcular las corrientes en el punto de falla, paraluego repartirlas en todo el sistema; consiste en calcular directamente las tensiones enlos distintos nudos, con ayuda de un modelo nodal de impedancias. Conocidas lastensiones durante la falla, pueden calcularse a continuacin las corrientes por lasdiversas ramas. Debido a la rapidez del clculo digital, la matriz de impedancia puede

por ejemplo, incluir las admitancias paralelo tales como las asociadas a las cargas.Las tensiones, post-falla se pueden obtener como la superposicin de la situacin

prefalla (obtenida normalmente de un clculo de flujo de potencia) con la situacindurante la falla solamente, es decir :

(4.15)

donde : :Vector de tensiones post falla:Vector de tensiones prefalla

:Vector de tensiones debido slo a la falla:


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(4.16)

(4.17)

(4.18)

Aplicando el mtodo de resolucin nodal a la red del SEP, despus de falla setiene:

(4.19)

En que [IF]es el vector de corrientes (de falla) inyectadas en las distintas barrasy [Z B] es la matriz de Impedancia de barras que corresponde a la inversa de la matriz deadmitancia de barras [Y B] ; definidas como:

(4,20)

(4.21)

Como en realidad no se inyecta corriente en ninguna de las barras, sino que seextrae corriente exclusivamente desde la barra fallada (por ejemplo, la barra p),entonces slo uno de los elementos del vector de corrientes inyectadas es distinto decero y vale

Introduciendo (4.19), (4.20) y (4.21) en (4.15), considerando (4.16), (4.17) y lodicho recin respecto a la corriente se obtiene:

(4.22)

Si existe una impedancia de falla Z F entre la barra fallada p y tierra se tiene:


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(4.23)

reemplazando (4.23) en la p-sima ecuacin de (4.22) se obtiene finalmente:

(4.24)

expresin que permite calcular la corriente en la barra fallada. As mismo, elvoltaje en esta barra es:

(4.25)

Anlogamente se puede obtener el voltaje en cualquier otra barra y la corrientede falla en una lnea cualquiera conectada entre las barras p y q cuya impedancia es z pq:

(4.26)

(4.27)

Ejemplo 4.2.En el sistema de la Figura 4.12, todos los datos en por unidad, estn en base comn. Determinar las corrientes en cada una de las lneas y en los generadores,cuando ocurre un cortocircuito trifsico simtrico en la barra 2, estando el sistema envaco y utilizando:a. El mtodo tradicional

b. El mtodo general (Matricial)

Figura 4.12

Solucin:a) Mtodo tradicional: El circuito equivalente se muestra en la Figura 4.13. Paraencontrar la impedancia de Thevenin en la barra 2 es necesario reducirlo. La Figura 4.14muestra el circuito anterior donde se ha realizado una transformacin de Delta a Estrellaentre los nudos 1, 2 y 3. Los valores de la estrella equivalente son:


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A partir del circuito de la Figura 4.14, la impedancia equivalente de Thevenin en la barra 2 queda:

Figura 4.13 Figura 4.14

El circuito equivalente de Thevenin queda

tal como se muestra en la Figura 4.15,donde, debido a que el cortocircuito esdirecto, se tiene que V2F=0 y, por lo tanto:

Figura 4.15

Considerando la Figura 4.14 se pueden determinar las corrientes y voltajes:


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b) Mtodo general:Considerando el circuito de la Figura 4.13, se determina la matrizYB, que resulta:

Utilizando las expresiones (4.24) a (4.27) con ZF=0 se obtienen:

Las corrientes en los generadores se determinan aplicando la Ley de Kirchhoff decorrientes en los nudos 1, 2 y 3 respectivamente:

4.5.- Cortocircuitos Asimtricos


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4.5.1.- Componentes simtricas

El clculo de cortocircuitos asimtricos en un SEP, se realiza normalmenteempleando el mtodo de las componentes simtricas, por lo que es conveniente iniciar

este estudio resumiendo algunos puntos fundamentales relacionados con su teora.El Mtodo de las Componentes Simtricas se basa en el teorema de Fortescue.

Se trata de un mtodo particular de transformacin lineal que consiste bsicamente endescomponer un conjunto de fasores desbalanceados en otro conjunto de fasores decaractersticas tales que permitan un anlisis ms sencillo del problema original. En elcaso particular de tensiones y corrientes trifsicas desequilibradas, este mtodo lostransforma en tres sistemas de fasores balanceados. Los conjuntos balanceados decomponentes son: - Componentes de secuencia positiva:formado por tres fasores de igual

magnitud, desfasados 120 entre si y con la misma secuencia de fase que elsistema original.

- Componentes de secuencia negativa:formado por tres fasores de igual mdulo,con desfase de 120 uno de otro y con la secuencia de fases opuesta a la de losfasores originales.

- Componentes de secuencia cero:formada por tres fasores de igual mdulo ycon desfase nulo.

Cuando se resuelve un problema utilizando componentes simtricas, se

acostumbra designar las tres fases del sistema como a, b y c, de forma que la secuenciade fase de los voltajes y las corrientes en el sistema es abc . As, la secuencia de fase delas componentes de secuencia positiva es abc y la secuencia de fase de las componentesde secuencia negativa es acb . Si los fasores originales de voltaje se designan como V a,V b y V c, los tres conjuntos de componentes simtricas se designan agregando unsubndice (o superndice) adicional 1 para las componentes de secuencia positiva, 2 paralas de secuencia negativa y 0 para las de secuencia cero. Una vez obtenidos losresultados en el dominio de las componentes simtricas, los valores reales en cantidadesde fase se calculan haciendo uso de una transformacin inversa adecuada.

b. Relacin entre voltajes (corrientes) de secuencia y de fase

La Figura 4.16.- muestra los tres sistemas equilibrados de vectores (considerndoloscomo tensiones) y la suma grfica de los componentes para obtener los fasoresdesbalanceados.

Figura 4.16.- Componentes de secuencia: a) positiva, b) negativa, c) cero. d) Sumagrfica de ellas


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Como cada uno de los vectores desequilibrados originales es igual a la suma de

sus componentes, se puede escribir:

(4.28)

Si se consideran como referencia los fasores V a1, V a2 y V a0, respectivamente setiene:

(4.29) Designando como "a", al operador que origina un desplazamiento de 120, es

decir:

(4.30)

e introduciendo las expresiones (4.29) y (4.30) en (4.28), esta ltima se puedeescribir como:

(4.31)

La ecuacin (4.31) se puede escribir en forma matricial, tal como se muestra enla expresin (4.32) siguiente:

(4.32)

o bin:

(4.33)

donde:


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(4.34)La matriz de transformacin T permite obtener las componentes de fase abc a

partir de las de secuencia012

.Esta matriz es no singular y por lo tanto existe su inversa,de manera que es posible obtener las componentes de secuencia 012 a partir de las defase abc . Premultiplicando (4.33) por la inversa de T, se obtiene:

(4.35)

en que:

(4.36)

y la ecuacin (4.35) queda

(4.37)

Las ecuaciones (4.32) y (4.37) son vlidas tambin para las corrientes, es decir:

(4.38)

De la segunda ecuacin de (4.38) se puede concluir que si en un sistema trifsicono existen conductor neutro o conexiones a tierra, o si el sistema est balanceado, lacorriente de secuencia cero es nula.

c.Potencia en funcin de los componentes simtricas

Si se conocen las componentes de secuencia de la corriente y tensin, se puedecalcular directamente la potencia suministrada en un circuito trifsico a partir de lascomponentes.

La potencia compleja total transmitida en un circuito trifsico por 3 lneas; a, b yc viene dada por:

(4.39)

en que V a, V b y V c son las tensiones respecto al neutro en los terminales e I a, I b eIc las corrientes que entran al circuito por las tres lneas. Puede existir o no neutro.


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Matricialmente se tiene:

(4.40)

Introduciendo (4.33) y (4.38) en (4.40) y haciendo las operacionescorrespondientes se obtiene:

(4.41)

Es decir, esta transformacin no es invariante a la potencia compleja. 4.5.2.- Circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes de unSEP

La aplicacin del mtodo de las componentes simtricas al clculo decortocircuitos asimtricos implica que cada componente del SEP se representa por trescircuitos equivalentes monofsicos, correspondiendo cada uno a una determinadasecuencia. En cada uno de estos circuitos equivalentes las variables tensiones ycorrientes corresponden a una misma secuencia y las impedancias asociadas a loselementos reciben el nombre de impedancia a la secuencia que corresponde. Veremos acontinuacin, los circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes delsistema. - Lneas

Las lneas se representan de la siguiente forma:

Figura 4.17.- Circuitos equivalentes de secuencia: a) Positiva; b) Negativa y c) cero delneas de transmisin

Generalmente: Z 1 = Z 2 Z0; ya que en secuencia cero es necesario considerar

tanto el efecto del retorno por tierra, como el de los conductores de guardia, en caso queellos existan, ya que la corriente se reparte por ambos caminos - Generadores

Un generador de rotor cilndrico operando en condiciones de carga balanceada ydespreciando el efecto de la resistencia de sus enrollados, se puede representar segn elcircuito equivalente que se muestra en la Figura 4.18.- Directamente de esta figura se

puede escribir:


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(4.42)

o bien:

(4.43)

Figura 4.18.- Generador de rotor cilndrico operando en condiciones balanceadas

El anlisis de un generador operando en rgimen permanente y con cargadesbalanceada, es mucho ms complicado que el caso anterior; sin embargo, susecuaciones de comportamiento tienen la misma forma, variando slo en la matriz deimpedancia.

Se puede demostrar que en este caso:

(4.44) donde: Z s, Z m1 y Z m2 son funciones complicadas de las inductancias propias y

mutuas de todos los enrollados de la mquina. Esta matriz se puede transformar a unamatriz de impedancia de secuencia, utilizando la siguiente expresin:

(4.45)

Introduciendo (4.44) en (4.45) y haciendo las operaciones respectivas se obtiene:


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(4.46)

donde:

(4.47)

Se observa aqui, que Z 0, Z 1 y Z 2 son distintas y que no existe impedancia mtuaentre las redes de secuencia, ya que los elementos fuera de la diagonal de la matriz deimpedancia de secuencia son todos nulos. Esto significa, que las redes de secuenciaresultan desacopladas.

La expresin (4.43) en componentes simtricas queda:

(4.48)

Es decir:

(4.49) o bien:

(4.50)

Estas ecuaciones permiten representar elgenerador mediante tres circuitosmonofsicos independientes (uno para cadasecuencia). La Figura 4.19 muestra loscircuitos equivalentes de secuencia de ungenerador sncrono, donde se ha consideradoque, como ocurre normalmente, lastensiones generadas son equilibradas y por lo tanto:

(4.51)


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Figura 4.19.- Circuitos equivalentes de secuencia de una generador sncrono: a)Secuencia cero; b) secuencia positiva; c) secuencia negativa

Las impedancias de secuencia Z 0, Z 1, Z 2, de un generador se pueden calcular en

forma analtica a partir de los parmetros fundamentales de la mquina; sin embargo,

usualmente se determinan en forma experimental.

La corriente de secuencia cero existir slo si el generador est puesto a tierra,directamente o a travs de una impedancia.

La barra de referencia para las redes de secuencia positiva y negativa es elneutro del generador ya que por la impedancia Zn slo circula corriente de secuenciacero (Figura 4.18). La barra de referencia para la red de secuencia cero es la tierra delgenerador.

- La corriente es , por lo tanto, la cada de tensin de secuencia cero entre

una fase cualquiera y tierra es . Como la malla de secuencia cero es uncircuito monofsico (por fase) por el que se supone circula slo la corriente desecuencia cero de una fase, debe tener una impedancia total de 3 Z n + Z 0.

De lo anterior se puede inferir que habr distintos tipos de mallas de secuenciacero, dependiendo de la conexin del generador, algunas de las cuales se muestran en laFigura 4.20.

a) b) c)Figura 4.20.- Circuitos equivalentes de secuencia cero de un generador sncrono en

conexin: a) Estrella aislada de tierra; b) Estrella a tierra directa; c) Estrella a tierra atravs de una impedancia Zn

- TransformadoresConsideremos el circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifsico

de dos enrollados operando en condiciones balanceadas, que se muestra en la Figura4.21.

Figura 4.21.- Circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifsico de dos

enrollados


57/79

Zeq2 es la impedancia equivalente referida al secundario.

De la Figura 4.21 se puede escribir:

(4.52)

o bien:

(4.53)

en que:

(4.54)

es la matriz de impedancia del transformador.

Cuando un transformador trifsico de dos enrollados opera con cargadesbalanceada, no es posible emplear directamente la ecuacin (4.45) para llevar laimpedancia en componentes de fase, a componentes simtricas y de all deducir loscircuitos equivalentes de secuencia. Se puede verificar sin embargo, que los circuitosequivalentes de secuencia positiva y negativa son iguales entre s y corresponden a losya estudiados. En cambio, el circuito equivalente de secuencia cero depende del tipo deconexin de los enrollados primario y secundario y de la existencia de neutrosconectados a tierra de los enrollados. La impedancia de secuencia cero puede tener valores totalmente diferentes segn sean los terminales del transformador que seconsideren.

La Figura 4.22, ilustra el diagrama general necesario para determinar experimentalmente la impedancia de secuencia cero de un transformador trifsico detres enrollados. Las lneas de segmentos corresponden al caso que existan neutros

conectados a tierra.

Figura 4.22.- Diagrama general para determinar la impedancia de secuencia cero

A partir de esta figura, la impedancia de secuencia cero es:


58/79

(4.55)

Tal como se ha sealado anteriormente, el valor de Z 0 puede ser diferente segnse hagan las mediciones en el primario o secundario. En Anexo I, se incluye una tablacon las mallas de secuencia cero asociadas a diferentes conexiones de transformadorestrifsicos de dos y tres enrollados.

- Redes de secuencia

Un SEP balanceado se puede representar por tres redes de secuenciaindependientes entre si (sin acoplamientos); una red de secuencia positiva, una red desecuencia negativa y una red de secuencia cero. Cada red de secuencia representa unafase del SEP y todas las impedancias corresponden a una determinada secuencia.

La red de secuencia positiva es la nica que normalmente contendr fuentes defem , segn lo expuesto. Por otra parte, teniendo presente las aproximaciones usualesque se realizan en los clculos de cortocircuito; es decir, que las fem de todos losgeneradores se consideran iguales en mdulo y ngulo de fase y que se desprecian lascorrientes de prefalla, se concluye que en ausencia de cortocircuitos en el sistema noexistirn corrientes en ninguna de las redes de secuencia. Por lo tanto las redes desecuencia negativa y cero, son totalmente pasivas antes de falla.

Para los efectos del clculo de cortocircuitos asimtricos es necesario establecer para cada red de secuencia, su circuito equivalente de Thvenin mirado desde el puntode falla. Supongamos que se produce una falla en el punto F de un sistema y que loscircuitos equivalentes de Thvenin corresponden a los indicados en la Figura 4.24,donde la tensin prefalla en F es V a(0). La corriente de falla en dicho punto tendr engeneral componentes de secuencia positiva, negativa y cero. En estas condicionescircularn corrientes en todas las redes de secuencia y aparecern tensiones en susterminales. Esto significa que las 3 redes deben interconectarse en una forma quedepender del tipo particular de falla y cuyos detalles veremos luego. La situacin postfalla se puede ilustrar esquemticamente como se muestra en la figura 4.24.-

Figura 4.24.- Mallas de secuencia y red de interconexin

Directamente de esta figura se puede escribir:


59/79

(4.56)

o bien:

(4.57)

Es decir:

(4.58)

4.5.3. Anlisis de algunos tipos de cortocircuito

4.5.3.1- Cortocircuito monofsico a tierra a travs de una impedanciade falla ZF- Diagrama esquemtico

La Figura 4.25 muestra en forma esquemtica esta situacin

Figura 4.25.- Representacin esquemtica de un cortocircuito monofsico

Las condiciones impuestas por la falla son

(4.59)

Las componentes simtricas de las corrientes se pueden escribir:

(4.60)

de donde se obtiene:


60/79

(4.61)

Para las componentes simtricas de los voltajes se tiene:

(4.62)

y por lo tanto:

(4.63)

o bien, a partir de (4.61)

(3.64)

A partir de (4.61) y (4.64), se deduce que las mallas de secuencia quedanconectadas en serie, tal como se muestra en la Figura 4.26.-

Figura 4.26.- Interconexin de las mallas de secuencia para una falla monofsica

Del circuito de la Figura 4.26 se tiene:

(4.65)

Conocidas las corrientes de secuencia, se pueden determinar las corrientes de lasfases, utilizando la primera ecuacin de (3.38) y se obtiene:

(4.66)

(4.67)


61/79

Para los voltajes de secuencia se puede escribir:

(4.68)

y por lo tanto los voltajes de las fases quedan:

(4.69)

(4.70)

(4.71)

Si el cortocircuito es directo a tierra, basta con hacer Z F = 0 en las expresiones(4.65) a (4.71). 4.5.3.2 Cortocircuito bifsico a tierra a travs de una impedancia de falla ZF-Diagrama esquemtico

La Figura 4.27 muestra esta situacin

Figura 4.27.-Representacin esquemtica de un cortocircuito bifsico a tierra a travs deuna impedancia

-Condiciones impuestas por la fallaA partir de la Figura 4.27, se puede escribir:

(4.72)-Ecuaciones en componentes de secuencia

Las componentes simtricas de las corrientes y de los voltajes quedan:

(4.73)-Conexin de las mallas

A partir de las ecuaciones (4.73), las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo, tal como se muestra en la Figura 4.28.-


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Haciendo Z F = 0 y Z F = (infinito), en el circuito de la Figura 4.28, es posiblemodelar el cortocircuito bifsico a tierra directo y el cortocircuito bifsico aislado,respectivamente.

Figura 4.28.-Conexin de las mallas de secuencia para un cortocircuito bifsico a tierra

Ejemplo 4.3.En el sistema de la Figura 4.29, ocurre una falla bifsica a tierra en la barra 1, a travs de una impedancia de falla ZF=j0,05 (pu). Con las consideracionesusuales del clculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % estn en

base 100 MVA, determinar:a. Las corrientes de lnea en Amperes, en el punto de falla

b. Los voltajes entre lneas en kV, en el punto de fallac. Las corrientes de lnea en Amperes en bornes de G1 y de G2

Figura 4.29

Solucin:Mallas de secuencia:Figuras 4.30 a 4.32

- Secuencia positiva

Figura 4.30

- Secuencia negativa

Figura 4.31


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- Secuencia cero

Figura 4.32

De la Figura 4.33 y a partir de las condiciones de prefalla se tiene que: Va(0)= 0

Las impedancias Z1, Z2 y Z0 corresponden a lasimpedancias de Thevenin de las respectivasmallas de secuencia. Sus valores son:Z1=Z2=j0,16 y Z0=j0,05.

- Interconexin de las mallas

Figura 4.33

a) Corrientes de lnea en el punto de falla

a1) Corrientes de secuencia:A partir del circuito de la Figura 4.33 se obtiene:

a2) Corrientes de lnea en (pu): Utilizando la matriz de transformacin [T]

a3) Corrientes de lnea en Amperes (sector 1):

b) Voltajes entre lneas en el punto de falla

b1) Voltajes de secuencia: A partir de la Figura 4.33 se tiene que:


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b2) Tensiones fase neutro: Utilizando la matriz de transformacin [T]

b3) Voltajes entre lneas en (pu)

b4) Voltajes entre lneas en kV:Considerando que en ese sector (sector 1), VB1=15kV, el voltaje base por fase ser de kV, por lo tanto:

c) Corrientes de lnea en bornes de G1 y G2

c1) Corrientes de secuencia en bornes de G1:De los circuitos de las Figura 4.30 a4.32, se obtienen:

c2) Corrientes de lnea en bornes de G1:Aplicando la matriz de transformacin setiene

c3) Corrientes de lnea en Amperes en bornes de G1 (sector 1):

c4) Corrientes de secuencia en bornes de G2:De los circuitos de la Figura 4.30 a4.32, se obtienen:


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c5) Corrientes de lnea en bornes de G2:Aplicando la matriz de transformacin setiene

c6) Corrientes de lnea en Amperes en bornes de G2 (sector 3)

4.5.3.3. Cortocircuito entre dos fases a travs de una impedancia de fallaEste tipo de falla es muy poco frecuente y produce sobrecorrientes inferiores a

las de los otros tipos de corcircuitos, por lo que slo se calcula en casos excepcionales.Sin embargo, su anlisis resulta interesante ya que es idntico al de una carga conectadaentre dos fases (carga bifsica). -Diagrama esquemtico

Figura 4.34.- Representacin esquemtica de un cortocircuito entre dos fases

-Condiciones impuestas por la falla

(4.74)-Ecuaciones en componentes de secuencia


Las ecuaciones (4.75) nos indican que la malla de secuencia cero no interviene yque las mallas de secuencia positiva y negativa quedan conectadas en paralelo, segn semuestra a continuacin:


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Figura 4.35.- Conexin de las mallas de secuencia para un cortocircuito entre dos fases

4.5.3.4.- Observaciones finales respecto a los cortocircuitos asimtricos -Las corrientes y tensiones de secuencia calculadas corresponden slo al punto de falla,no a otro. Si se quiere calcular las corrientes y tensiones en otros puntos distintos, sedebe resolver los respectivos circuitos.-Los cortocircuitos asimtricos pueden producir sobre tensiones en las fases no falladas,

los que dependen de la relacin entre X 0 y X 1 y de la existencia o no de impedancia defalla.-Para limitar los valores de corriente de cortocircuito de las fallas a tierra se utilizanimpedancias entre el neutro y tierra, las que pueden ser de tipo resistiva pura o reactiva

pura.-En aquellas partes del sistema que estn separadas del punto de falla por transformadores Y- o viceversa, se deben considerar los desfases de las componentessimtricas de las corrientes y de los voltajes introducidos por la conexin deltransformador.

4.6.- Fases abiertas 4.6.1.- Introduccin

Las fallas de conductor abierto o las fases abiertas, son los defectos producidos por la interrupcin de una o ms fases, sin contacto simultneo con otras fases o tierra.Aunque no producen corrientes elevadas, provocan la circulacin de corrientes desecuencia (en especial negativa) que son peligrosas para los equipos por el fuertecalentamiento que pueden originar.

A primera vista, el clculo empleando componentes simtricos se ve complicado por elhecho de que las fallas implican una asimetra en las impedancias del sistema, lo quehara necesario considerar los acoplamientos entre mallas de secuencia.

El problema se resuelve aplicando a las mallas de secuencia, supuestasindependientes y sin impedancias mutuas, las condiciones elctricas impuestas por lafalla. Como las condiciones impuestas a las tres mallas estn relacionadas entre s, elloequivale a interconectar las mallas en el punto de falla, en una forma fijada por el tipode falla.

El fenmeno que sigue a la aparicin de la falla es transiente, donde las corrientesmximas se producen en el instante inicial. Normalmente interesa determinar lo que

ocurre al cabo de algunos ciclos de iniciada la falla (operacin de las protecciones,apertura de interruptores, etc.), por lo que en secuencia positiva, los generadores se


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representan por la fem E' y la reactancia transitoria X' 1 .Slo cuando interesa verificar los esfuerzos electrodinmicos de los equipos o al especificar interruptores, se consideraE'' tras X'' 1. Una dificultad preliminar en el estudio de este tipo de fallas ser entonces lade calcular las fem E' (o E"), a partir de las condiciones de operacin existentes antes dela falla. Dada la simetra longitudinal de estas fallas, se acostumbra usar como variables

de clculo, las cadas longitudinales de tensin Va, V b y Vc entre los bornes P yQ de la zona en falla y las corrientes en las fases: I a, I b e I c , tal como se indica en laFigura 4.36.-

Figura 4.36.- Modelacin de fallas tipo fases abiertas

Para evitar la aparicin de razones de transformacin no reales (a, a 2, etc) en lasecuaciones de conexin es preciso mantener en el anlisis una simetra respecto a la fasede referencia a, por lo que la falla monofsica se supondr en la fase a y la bifsica enlas fases b y c. 4.6.2.- Una fase abierta

Esta situacin se presenta por ejemplo cuando se emplean elementos de aperturaque controlen individualmente cada una de las fases (fusibles o interruptores de

accionamiento monopolar). A veces ocurre tambin al cortarse un conductor y quedar suspendido de tal forma de no hacer contacto con otra fase o tierra. -Diagrama esquemtico

Figura 4.37.- Representacin esquemtica de una falla de una fase abierta


(4.76)

Es decir:

(4.77)


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-Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simtricas de las corrientes y de las cadas de voltajes quedan:


A partir de (4.78), se puede concluir que las mallas de secuencia quedanconectadas en paralelo entre los punto P y Q, tal como se indica en la Figura 4.38.-

Figura 4.38.- Conexin de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta

Puesto que las mallas de secuencia negativa y cero son pasivas, su efecto es el deintercalar una impedancia:

(4.79)

entre los bornes P y Q de la malla de secuencia positiva. Por lo tanto, aumenta laimpedancia serie de la malla de secuencia positiva, lo que significa que se reduce lacorriente y en consecuencia, la potencia activa transmitida. En algunos casos

particulares y, debido a las conexiones de los transformadores vecinos a P y Q, puederesultar que Z 0pq = , en cuyo caso aumenta an mas la impedancia serie agregada a lamalla de secuencia positiva, haciendo que la disminucin de potencia transmitida seamayor. Es conveniente indicar que Z 0pq y Z 2pq son las impedancias equivalentes vistas en

esas mallas desde los bornes P y Q.

Ejemplo 4.4. En el sistema de la Figura 4.39, se abre la fase "a" en la barra 3 cuando elmotor M est recibiendo el 80% de su potencia nominal, con su tensin nominal en

bornes, Factor de Potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. Datosen % en base comn 1.250 kVA.


69/79

Figura 4.39

Solucin:

a) Condiciones de prefalla:El circuito equivalente por fase se muestra en la Figura4.40

Del Circuito de la Figura 4.14 se tiene:

Figura 4.40

b) Condiciones de falla:Como se abre una sola fase las mallas de secuencia quedan en paralelo y se muestran en la Figura 4.41. A partir de este circuito se tiene:


70/79

Figura 4.41

c) Potencia que llega al motor en estas condiciones

d) Corrientes en los neutros de los transformadores en pu

d) Corrientes en los neutros de los transformadores en Amperes

=>


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4.6.3.- Dos fases abiertas

Esta situacin se presenta en las mismas situaciones que originan una faseabierta, pero con una frecuencia menor.

-Diagrama esquemtico

Figura 4.42.- Representacin esquemtica de una falla de dos fases abiertas


(4.80)

-Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simtricas de las corrientes y de las cadas de voltajes quedan:


A partir de (4.81), se concluye que las mallas de secuencia quedan conectadas enserie tal como se indica en la Figura 4.43.

(4.82)

entre los bornes P1 y Q1 de la malla de secuencia positiva. Con ello se reduce la potencia activa transmitida en el sistema, en una cantidad mayor que para el caso de unafase abierta, ya que la impedancia es mas alta. Ntese que la transmisin se interrumpetotalmente si Z 0pq = , es decir si el sistema no est puesto a tierra.


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Figura 4.43.- Conexin de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta

4.6.4.- Impedancias serie desequilibradas

Un efecto similar, aunque menos grave que el de las fases abiertas, produce laconexin de una impedancia anormal en una de las fases. Es una situacin que se

presenta, por ejemplo, en el caso de reemplazar temporalmente una unidad monofsicadefectuosa en un banco de transformadores por otra de caractersticas diferentes, dondedos de las fases tendrn el mismo valor en su impedancia serie, el que ser distinto al dela tercera. Otra situacin de inters prctico se presenta cuando, debido a uncortocircuito monofsico a tierra en una lnea trifsica, se desconecta la fase fallada por accin de los interruptores (monopolares) que protegen el tramo, que corresponde alcaso de una fase abierta en dos puntos. -Diagrama esquemtico

Figura 4.44.- Impedancias series desequilibradas


(4.83)

-Ecuaciones en componentes de secuencia


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Considerando las ecuaciones (4.84), las mallas de secuencia quedan conectadasen paralelo, tal como se indica en la Figura 4.45.

Figura 4.45.- Conexin de las mallas de secuencia cuando se tiene impedancias seriedesequilibrada

Para la transferencia de potencia activa, la conexin de las mallas de secuenciaen esta forma, equivale a intercalar en la malla de secuencia positiva, la combinacin deimpedancias Z B en serie con el paralelo de 1/3(Z A - Z B) con (Z 2pq + Z B) y con (Z 0pq + Z B).

Si Z A y Z B 0 , se tiene el caso ya visto de una fase abierta.Si Z A 0 y Z B , se obtiene el caso de dos fases abiertas, pero para llegar a

las relaciones ya vistas hay que calcular primero el equivalente de las impedancias en paralelo, antes de hacer tender Z B a .

Si ZA= y ZB corresponde a las respectivas impedancias de secuencia deltramo, se tiene el caso de una fase abierta en dos puntos.

4.7. Problemas propuestos

4.1. Un generador de 65 MVA, 15,5 kV, conectado en estrella alimenta el primario deun transformador de 65 MVA, 15,5/120 kV, conexin /Y. La reactancia subtransientedel generador es de 0,12 (pu) y la reactancia del transformador es 0,1 (pu), ambas en

base 65 MVA.a. Estando el generador en vaco se produce un cortocircuito trifsico simtrico en losterminales del secundario del transformador. Suponiendo que la tensin interna del

generador es 1,0 (pu), determinar la corriente de falla subtransiente y el mximo valor posible de la componente de corriente continua.


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b. Se conecta una carga impedancia trifsica balanceada en los terminales delsecundario del transformador, de valor (0,8+j0,6) (pu) en base 65 MVA, cuando latensin en bornes del generador es la nominal. Posteriormente se produce uncortocircuito trifsico simtrico en los terminales de la carga. Determinar la corrientesubtransiente de falla en el generador incluyendo la corriente de prefalla.

4.2. En el sistema de la Figura 4.46, todos los datos en por unidad, estn en base comn.Determinar las corrientes en cada una de las lneas y en los generadores, cuando ocurreun cortocircuito trifsico simtrico a travs de un impedancia ZF=j0,04 (pu) en la barra1, estando el sistema en vaco, utilizando:a. El mtodo tradicional (Thevenin)

b. El mtodo general (Matricial)

Figura 4.46

4.3. Repetir el Problema 4.2 considerando un cortocircuito trifsico simtrico:a. En la barra 2.

b. En la barra 3.

4.4. En el sistema de la Figura 4.47, todos los parmetros estn en tanto por unidad, enuna base comn. Para un cortocircuito trifsico directo en la barra 3 y utilizando elmtodo general, (matricial); determinar los voltajes en todas las barras, las corrientes enlas lneas y las corrientes en los generadores. Suponer que el sistema est en vaco antesde producirse la falla.

Figura 4.47

4.5. En el sistema de la Figura 4.48 ocurre un cortocircuito monofsico a tierra en la


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barra de 13,2 kV. Con las aproximaciones usuales del clculo de cortocircuitos,determinar:

a. en el punto de falla.

b. en barra de 220 kV

c. en bornes de G.

d. (kV) en bornes de G.

Datos en % en base 100 MVAFigura 4.48

4.6. Repetir el Problema 4.5 considerando un cortocircuito bifsico a tierra en la barrade 13,2 kV

4.7. Repetir el Problema 4.5 considerando un cortocircuito monofsico a tierra en la barra de 220 kV

4.8. Repetir el Problema 4.5 considerando un cortocircuito bifsico a tierra en la barrade 220 kV

4.9. En el sistema de la Figura 4.49, ocurre una falla monofsica a tierra en la barra 2.Con las consideraciones usuales del clculo de cortocircuitos y considerando que todoslos datos en % estn en base propia, determinar:a. La corriente de falla en Amperes

b. Los voltajes entre lneas en kV, en el punto de fallac. Las corrientes en Amperes en bornes de G1 y G2d. La corriente en Amperes, en los neutros de los transformadores y de los generadorese. Las corrientes de secuencia cero en Amperes, en el interior de la delta de lostransformadores

Figura 4.49


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4.10. Resuelva el problema 4.9, considerando una falla bifsica a tierra.

4.11. En el sistema de la Figura 4.50, los valores en % de los parmetros estn en la

base propia de cada equipo. El sistema se encuentra en vaco cuando ocurre uncortocircuito monofsico en el secundario del transformador conectado al generador G1.Determinar:a. La corriente de falla en Amperes y la tensin en el punto de falla en Volt.

b. El valor que debera tener una resistencia de falla que limite la corriente de fallamxima a un 40% de su valor original.

Figura 4.50

4.12. En el sistema de la Figura 4.51 a) se produce una falla en F, del tipo mostrado enla Figura 4.51 b). Los parmetros estn en tanto por unidad, en base comn, 20 MVA.Determinar:a. La interconexin de las mallas de secuencia que permita representar dicha falla

b. Las corrientes de falla en Amperes.c. Los voltajes entre lneas en el punto de falla en kV.

Figura 4.51 a)

Figura 4.51 b)

4.13. Un generador alimenta un motor a travs de un transformador conectado en Y/D.

El generador est conectado al lado en estrella del transformador. Se produce una fallaentre los terminales del motor y el transformador. Las componentes simtricas de la


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corriente que circulan desde el motor hacia la falla: son

. Desde el transformador hacia la falla, las

corrientes son: . Todos los valores estn en por unidad, base comn. Suponer que X1=X2 para el motor y el generador. Determinar:a. El tipo de falla

b. La corriente previa a la falla en la fase ac. La corriente de falla.

4.14. Una carga cuya impedancia Zc=(1,1 + j 0,6) (pu) se conecta entre las fases "b" y"c" de un generador de 20 MVA, 13,8 kV; X1=25%; X2=35%; X0=10%. En estascondiciones y considerando que todos los parmetros estn en base 20 MVA,determinar las tensiones entre lneas del generador (en volt).

4.15. Las reactancias de un generador de 100 MVA, 20 kV son: X1=X2=20%, X0=5%.El generador est conectado a un transformador Y1 de 100 MVA, 20/230 kV con unareactancia del 10%. El neutro del transformador est slidamente aterrizado. El voltajeen terminales del generador es de 20 kV cuando ocurre una falla bifsica (entre las fases

b y c) y a tierra en el lado del alto voltaje del transformador. Calcular:a. Las corrientes y voltajes de secuencia en el punto de falla (pu)

b. Las corrientes de lnea (A) y los voltajes entre lneas en el punto de falla (kV)c. La corriente en todas las fases del generador (A)d. La corr

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