CLASE # 9.I

DEFORMACIÓN EN VIGAS

RESISTENCIA DE MATERIALES GENÉRICA DE CARRERA

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

INTRODUCCIÓN

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS ◦ Diagrama de momentos por partes◦ Deformaciones de vigas en voladizo◦ Deformaciones de vigas simplemente apoyadas◦ Deflexiones en el centro del claro

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

TEMARIO

En este capítulo se desarrollan varios métodos para determinar la curva de deflexión propiamente dicha y hallaremos las deflexiones en puntos específicos a lo largo del eje de la viga.

El cálculo de las deflexiones es muy importante dentro del análisis y diseño estructural por ejemplo: Para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Para análisis dinámico, investigación de vibraciones o las respuestas de edificios a sismos. Para determinar límites permisibles para pisos industriales y edificios.

INTRODUCCIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVATURA DE DEFLEXIÓN

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

Vigas prismáticas

Elástica

P

ECUACIONES DE LA ELÁSTICA

Ecuación de la elástica

Ecuación de la pendiente dela elástica

Ecuación diferencial de la elástica

Las constantes de integración C1 y C2, se consiguen aplicando una condición de frontera o condiciones de borde, para lo cual se grafica la curva elástica aproximada de la viga y se observan aquello puntos donde es conocida bien sea la deflexión o el giro.

DEFINICIONES h

La deflexión v, es el desplazamiento en la dirección y de cualquier punto sobre el eje de la viga. El ángulo de rotación ɵ del eje de la viga es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión. La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada de la expresión para la deflexión, en términos geométricos, la pendiente es el incremento en la deflexión al pasar del punto m1 a m2, dividido entre el incremento de la distancia a lo largo del eje x, como y son infinitesimalmente pequeños, la pendiente es igual a la tangente del ángulo de rotación

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

CONVENCIÓN DE SIGNOS

Para recordar las convenciones de los signos que deben usarse en las ecuaciones anteriores:

Los ejes x y y son positivos hacia la derecha y hacia arriba respectivamente.

La deflexión v es positiva hacia arriba. La pendiente y el ángulo de rotación son positivos en sentido

contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje x positivo.

La curvatura ҡ es positiva cuando la viga se flexiona con concavidad hacia arriba.

El momento flexionante es positivo cuando produce compresión en la parte superior de la viga.

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

Procedimiento general del método h

Entonces se utilizara las ecuaciones anteriores para encontrar deflexiones en vigas, el procedimiento general consiste en:

Para cada región de la viga, sustituimos la expresión para M en la ecuación diferencial y la integramos a fin de obtener la pendiente

A continuación se integra de nuevo para obtener la deflexión correspondiente

Cada integración produce una constante, entonces habrán dos constantes, las cuales se evalúan a partir de las condiciones conocidas propias de las pendientes y de las deflexiones, las condiciones son de tres tipos 1) condiciones de frontera, 2) condiciones de continuidad y 3) condiciones de simetría.

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

CONDICIONES EN VIGAS h

Entonces se utilizara las ecuaciones anteriores para encontrar deflexiones en vigas, el procedimiento general consiste en:

Condiciones de frontera.- se refieren a las deflexiones y pendientes en los apoyos de una viga.

Condiciones de continuidad.- se presenta en puntos donde las regiones de integración concluyen, es decir la deflexión en un punto determinado X, para la parte izquierda de la viga es igual a la deflexión determinada para la parte derecha de la viga.

Condiciones de simetría.- si una viga simple soporta una carga uniforme en toda su longitud, se conoce anticipadamente que la pendiente de la curva de deflexión (o elástica) en el centro del claro debe ser cero.

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

Demostración matemática

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

Teorema I

Teorema II

CONVENCIÓN DE SIGNOS

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

Vigas en voladizo

Vigas simplemente apoyadas

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

Sirve para la evaluación de pendientes y ordenadas de la elásticas, se puede utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas para obtener, por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas, esto es el fundamento de cálculo del método de superposición.

El procedimiento de este método es determinar la pendiente y la deflexión en un punto de una viga por la suma de las pendientes y deflexiones producidas en ese mismo punto por cada una de las cargas cuando éstas actúan por separado. En vigas este principio es valido si se cumple lo siguiente:

1- Se aplica en materiales linealmente elásticos es decir vale la ley de Hooke.

2- Las deformaciones son pequeñas.

3- La presencia de deformaciones no altera la acción de las cargas aplicadas.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

La viga original en cantiliver, tiene tres cargas externas. Las deflexiones hacia arriba son positivas y hacia abajo negativas.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN……!!!!