5a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

7/25/2019 5a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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AULAD E E L M U ND O

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www.lolitabrain.com

BUSCANDO LA PERPENDICULAR

PAREDES VERTICALES

Muchas ta reas a soc iad as a trabajos poco matem ticos req uieren de precisin ge omtri-

ca . Hablamo s, por ejemplo, de la construccin de edificios, una labo r en la que la exactitud

de las medidas e s funda mental para q ue las vivienda s no se venga n aba jo. Los eg ipcios,

mag nficos cons tructores, inventaron a lgunos instrumentos q ue a n hoy en da utilizamo s,

como la escuadra de 90o

y la del albail. Los lead ores tambin hac en uso d e uno de los

teoremas m s ma ravilloso s q ue se han d escub ierto nunca, pa ra que su vida no corra peli-

gro a l talar un rbol.

po r L olita Brain

TALES Y LOS LEADORES

El mara villoso e impres cindible Teore-ma d e Tales , siendo uno d e los pri-meros jams demostrado en Mate-

mticas, co nfirma su vala en toda s lascircunstancias. El leador que ha detalar un rbol neces ita conoc er para supropia seguridad, con cierta precisiny ba stante rapidez, la altura del troncoque se presta a derribar. Para ello lebasta con apuntar con su hacha a lacopa del pino y me dir la distancia quele sepa ra del pie del rbol. Con e l Teo-rema de Tales, ca lcula entonces sualtura de l siguiente mod o:

EL NIVEL PARA LA VERTICALIDAD

Este otro invento egipcio es un nivel vertical. Un interesante instrumentoque pe rmite determinar si las paredes son o no verticales. C onsta d e untablero co n otros dos colocado s perpendicularmente al mismo, por los

que pasa la c uerda de una plomada. Colocada sobre una pared, la plomadasea la la vertical, que coincidir o no con la que m arca la ta bla.

La escua dra de l albail, inven-tada por los egipcios y quean hoy usan los constructo-

res, consiste en una escuadrasimple con s us pies cortados enparalelo para que pueda apoya r-se e n la horizontal. Adem s llevasujeta una plomada que ma rcarsiempre la vertical. En el centrode la escuadra hay una marcaque se alinea con la plomadacua ndo e st e n la vertica l. Tienevarios usos muy importantes:dete rmina si los suelos o lostechos son horizontales y es unbuen complementopara la escua-dra simplec u a n d oq u e r e m o ssaber sipared ytecho so n perpendiculares.

La escuadra de 90

o

es uno de los instrumentos demedicin m s s imple q ue existe. Tenemos constan-cia de ella d esde el ao 1100 a.C., en restos ha llado s

en Teba s, la ca pital del imperio eg ipcio. Co nsiste endos trozos de madera perfectamente ensamblados,formando un ngulo recto, y que nos permite co mpro-bar si la pared y e l techo de una edificacin forman esemismo ngulo. Este ngulo, como sabes, mide 90

o

ydetermina c undo distintos planos s on o no perpendi-

culares. La perpendicularidades fundamental en toda cons-truccin ya que en ca so contra-rio las casas y los muebles sedesplomaran.

MEDIDAS PARALOS OFICIOS

En camb io, si estosdos elementos cons-tructivos es tn bienensamblados, amboslados de la escuadracoinciden con los pe r-files de la pa red y eltecho.

Si el techo es ho ri-zontal, la plomad acoincidir c on lamarca de uno de loslados. En cas o con-trario, la ploma da s edesplaza d e laescuadra.

Si la pa red no es

vertica l, la p loma-da nocaer deformaparalelaa latabla.

Apoya ndo laescuadra sobreun sue lo hori-zonta l la ploma -da s e alineacon la marcacentral.

Si el techo y la paredno forman un ng ulorecto, a l alinea r unlado de la escuadracon la pared apare-cer un ng ulo (enrojo) entre el instru-mento y el techo.

ALTURA= D*Hoja hacha

A= D*H

pLe basta c on aa dir a e ste valor calcu-lado la altura a la que s e encuentra suhacha (en azul).

Mango hacha


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AULA.715.05.02EL MUNDOMircoles solidario

0 N

180

90E90W

75

60

0 30 60 90 120 150 180306090120150

- 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 +2 + 3 +4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9 +1 0 + 11 +1 2- - 11

6.00TUC

12.00TUC

18.00TUC

24.00TUC

Lnea

internacionaldecambiodefecha

0 30 60 90 120 150 180306090120150

Infografa: Francisco A. AngusTextos: Manuel Irusta/EL MUNDO

LEYENDA

C I RC UL O PO L AR ARTI C O

PROYECCION ACIMUTAL

La lista de signos convencionales explica los smbolos, el sombreado y loscolores utilizados en un mapa. Algunos de ellos pueden parecerse a lasrealidades que representan. La leyenda suele localizarse generalmenteen el margen del mapa, en cuadros insertados en l o en su dorso

PROYECCIONESLa superficie esfrica de la Tierra debe transformarse en una plana mediante unsistema. La clasificacin de la proyeccin se establece segn la figura geomtricacapaz de aplanarse que se elija. Aqu os citamos tres tipos diferentes

Este paralelo de la Tierrase sita a 66 33 al nortedel ecuador. Seala ellmite meridional del reaen la que el Sol no se poneen el horizonte durante elsolsticio de verano (21 de

junio en el hemisferionorte) y no llega a salir enel de invierno (22 dediciembre). Debido a esto,en el Polo Norte sesuceden seis mesesseguidos de oscuridad yotros tantos de luz diurna

El mapa se construyecomo si estuviera en unplano tangente o secantea un punto de la superfi-cie de la Tierra. Siconserva las proporcio-nes entre las distanciasrepresentadas, endeterminadas direccio-nes, se denominaequidistante

3 . P O L I C I L I N D R I C A ( ME R C A T OR )Este sistema representa los meridianos como lneas paralelas y losparalelos como rectas que se cruzan con ellos en ngulos rectos

capital denacin

capitalautonmica

capital deprovincia

otraspoblaciones

La Antrtida en proyeccinacimutal equidistante

pueblo


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Algunos das atrs te contbamos cmo el ingenio de Eratstenes, unido a su capacidadcomo gemetra, le permiti determinar el tamao de la Tierra. Pero incluso esta proe-za puede parecernos sencilla ya que al fin y al cabo pisamos nuestro planeta. Si pen-samos que alrededor de la misma poca otros matemticos griegos fueron capacesde averiguar el tamao de la Luna o de estimar la distancia que nos separa de nuestroastro rey, el Sol, es posible que nos convenzamos de la capacidad de la Geometra comoherramienta imprescindible para la Astronoma.

po r L olita Brain

CMO SE MIDI

EL UNIVERSO?

ARISTARCO DE SAMOS

H. 310 A.C.

H. 230 A.C.

HIPARCO DE RODAS 190 A.C. - 120 A.C.

UN ATREVIDO GEMETRA

A ristarco procedi en dos etapas. En primer lugar determin que la distanciaque separa la Tierra del Sol es 19 veces mayor que la que separa nuestroplaneta de la Luna. Aunque hoy sabemos que en realidad esos astros estnseparados de la Tierra unas 390 veces el uno ms que el otro -casi 20 veces laestimacin de Aristarco-, su error fue de algo menos de 3o de arco en su obser-vacin. Esto no le quita vala a su mtodo dada la dificultad de observar el Sol ytomar medidas, as como la precariedad de los instrumentos que utilizaba.

El argumento usado por Aristarco se muestra en la imagen. l saba que laLuna brillaba por reflejo de la luz solar sobre su superficie. Observ que cuan-do la Luna se halla en la mitad de sus cuartos, es decir, cuando la mitad estiluminada y la otra mitad no, el Sol, la Tierra y la Luna forman un tringulo rec-tngulo que tiene el ngulo de 90o donde est la Luna. Midi entonces el ngu-

lo con el que se observa la Luna y el Sol, obteniendo un valor de 87o

y, con unosclculos hoy sencillos para nosotros pero difciles en su poca, estim que laLuna estaba 19 veces ms cerca que el Sol de nosotros. Pero an no saba ladistancia que nos separaba del Sol.

EL MTODO DE ARISTARCO

H iparco perfeccion los mtodos de Aristarco. Para calcular ladistancia a la Luna se sirvi de un eclipse de Sol. Saba quemientras en Helesponto el eclipse era total, no se vea el Sol, enAlejandra se oscurecan los cuatro quintos de su dimetro. Esto ledeca que la distancia MP era los dos quintos del radio de nuestraestrella. Conociendo la distancia entre las dos ciudades de la

observacin y que los ngulos en Q y en P son rectos, pudo averi-guar con mayor precisin la distancia buscada.

HIPARCO, REFINADOR DE ARISTARCO

A ristarco de Samos seatrevi a calcular dis-tancias mucho msgrandes que las de Era-tstenes. Su primeraocurrencia fue determi-nar la distancia que sepa-ra la Tierra del Sol y de laLuna. Si bien su clculofue unas 20 veces menorque el real, su mtodo fuemagistral por su senci-llez. Pero ms all de suerror, sus datos cambia-ron la percepcin que del

Universo tenan sus coe-tneos. El Universo eramayor de lo que habanimaginado.

Infografa y textos: Lolita Brain - www .lolitabrain.com

LA DISTANCIA AL SOL

SEGN ARISTARCOE l siguiente paso que dio Aristarco fueutilizar la duracin media de un eclip-se lunar para descubrir, con un difcilmtodo geomtrico, que la sombra queproyecta la Tierra es dos veces el dime-tro de la Luna. Con esto averigu que ladistancia de nuestro planeta a la Lunaera 80 veces mayor que el radio terrestre(en realidad son 60 veces). Como ya seconoca el radio de la Tierra, pudo calcu-lar la distancia a la que se hallaba laLuna y, con ello, la distancia que nossepara del Sol, ya que saba que estaba19 veces ms lejos que nuestro satlite.Ms all de su precisin, Aristarco fueuno de los primeros astrnomos en utili-zar los eclipses como fuente de informa-cin. Hoy en da los eclipses siguen

siendo un inapreciable instrumento deobservacin del cielo.


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M E T E O R O L O G I A

P R E C I P I T A C I O N E S

C L I M A S

E L E M E N T O S Y F A C T O R E S D E L C L I M A

E S T R U C T U R A

< 2 5 0 m m

2 5 0 a 5 0 0 m m

5 0 0 a 1 0 0 0 m m

1 . 0 0 0 a 1 . 5 0 0 m m

1 . 5 0 0 a 2 . 0 0 0 m m

> 2 . 0 0 0 m m

p o l a r

h m e d o f r o - t e m p l ad o

h m e d o c l i d o - t e m p l a d o

e s t e p a r i o y d e s r t i c o

l l u v i o s o y t r o p i c a l

m o n t a o s o

20

40

60

80

1 0 0 K m

T e r m o s f e r aM e s o p a u s a

N u b e s l u m i n i s c e n t e s

E s t r a t o p a u s a

M e s o s f e r a

E s t r a t o s f e r aC a p a d e o z o n o

N i v e l d e l a s c o r r i e n t e s d e c h o r r o

T r o p o s f e r a

T r o p o p a u s a

- 1 4 0 - 1 0 0 - 6 0 - 2 0 0 + 2 0

N

El tiempo atmosfrico se refiere a las condiciones meteorolgicas de unlugar en un momento dado. El clima es un concepto diferente y se definecomo el conjunto de fenmenos temperatura, presin baromtrica,humedad, vientos, precipitaciones que caracteriza el estado medio dela atmsfera en una zona geogrfica a lo largo de un periodo de tiempodilatado. Para ello, mediante mediciones continuas de los datosmeteorolgicos, que se prolongan generalmente 30 aos, se establecenlos valores medios de estos elementos. La climatologa es la ciencia que

tiene como objeto el anlisis de los climas. Cada uno de ellos secorresponde con una formacin vegetal y un tipo de suelos caractersticos.

Esta ciencia estudia el tiempo y nossirve para registrar, comprender y

pronosticar los fenmenos que tienenlugar en la atmsfera. Los mapas deisobaras, lneas que unen puntos deigual presin, representan el estado

de la atmsfera en un momentoconcreto. Nos indican dnde estnsituados los centros de alta y baja

presin y tambin localizan los tiposde frentes. Estos se producen cuandose ponen en contacto masas de airede diferente temperatura y originan

tormentas y precipitaciones

El efecto invernadero supone la elevacin de la temperatura en las capas bajas de la atmsfera debido ala presencia de ciertas sustancias. Estos elementos actan como una pantalla que absorbe el calor procedentede la superficie terrestre. Entre los gases responsables de este fenmeno se encuentran el metano, el vaporde agua, el xido nitroso, el ozono, los CFCs y, sobre todo, el CO2. El incremento de las emisiones de dixidode carbono, procedentes principalmente de la utilizacin masiva de los combustibles fsiles, puede conducira un cambio climtico. Las actividades humanas estn alterando el clima, pues producen, adems de uncalentamiento, un cambio en las precipitaciones y una subida del nivel del mar. Esta alteracin c limticahara aumentar los casos de malaria, ya que esta enfermedad ganara una mayor extensin geogrfica.

C A M B I O C L I M A T I C O

El reparto de las precipitaciones sobreel globo terrqueo se distribuye encinturones latitudinales; adems, de

forma general, las lluvias aumentanen las zonas litorales y con elincremento de altitud

La Tierra se distribuye en zonasclimticas: en la tropical lluviosa losmeses tienen temperaturas superioresa 18C, en la hmeda clido-templadael ms caluroso supera los 18C y el

ms fro oscila entre 0 y 10C, en lafro-templada el mes clido alcanzams de 10C y el de menostemperatura est por debajo de 0C,y en la polar no se pasan los 10C

La forma en que se combinan en cada

regin los elementos del clima y laintensidad con la que son modificadospor los diferentes factores da lugar alos variados tipos de clima. Estecomprende los siguientes elementos:la temperatura, la precipitacin, lapresin atmosfrica y la humedad. Losfactores que influyen en el clima de unlugar son la latitud, la distancia al mar,la altitud, la orientacin, los grandes

accidentes geogrficos, las corrientes

marinas y la naturaleza de la superficielocal. Las diferencias trmicas y depresin en la Tierra provocan unosmecanismos de redistribucin. Estefenmeno se conoce como circulacingeneral atmosfrica y supone unmodelo del movimiento del viento aescala global. Todo ello se modifica porla rotacin, las masas de aire y ladistribucin de mares y continentes

Segn la temperatura, la atmsferase divide en diferentes capas: en latroposfera se produce la mayorade los fenmenos que configuranel clima; en la estratosfera selocaliza la ozonosfera, donde tienelugar una absorcin de radiaciones

ultravioletas del Sol; en la mesosferala temperatura desciende hastavalores mnimos de unos 80C; yen la termosfera vuelve a crecercon la altitud, llegando a alcanzarms de 1.000 C

a i r e r t i c o

a i r e p o l a r

a i r e t r o p i c a l

c o r r i e n t e d e c h o r r o

c o r r i e n t e d e c h o r r o

f r o

c o n t r a a l i s i o s

c o n t r a a l i s i o s

c a l o r

f r o

r o t a c i n t e r r e s t r e

c r c u l op o l a r r t i c o

c r c u l op o l a r a n t r t i c o

S

ecuador

r a y o ss o l a r e s

TIEMPO

Y CLIMATOLOGIA

Textos: Manuel Irusta.Infografa: Juan Emilio Serrano / EL MUNDO


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po r L olita Brain

La presencia de los pueb los rabe s en la pennsula Ibrica desd e el siglo

VIII has ta e l XV supus o pa ra la civiliza cin o cc idental un enriquec imiento c ul-

tural nico. Es paa , q ue entonces no exista como tal, se convirti en un

luga r privileg iado po r el que se tuvo acc eso a los cls icos griegos y a la

tradicin a lgeb rista y as tronmica ms influyente de la poca : la q ue pro-

vena de Oriente. Figuras clave de l pensam iento na cieron y florecieron en

C rdoba , Toledo o S evilla. El rey cristiano Alfonso X el Sa bio fue permea -

ble a toda esa influencia.

AULAD E E L M U ND O

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AZARQUIEL EL ASTRNOMO

ALFONSO X EL SABIO

La obra fundamental de Alfonso X enas tronoma son las Tab las Alfonsesy los Libros del Saber de Astrono-

ma, que no so n muy originales, ya q uecompendian las o bservaciones rabesde la poca, muy en especial las deAzarquiel. Curiosamente, esta obra seesc ribi en la popular leng ua romanc e,y no en latn, y es la primera o bra cient-fica en lo que podramos llamar el ger-men del castellano. Fue decisiva parallevar la astronoma a Oc cidente.

TRADUCTORES PIRENAICOS

En el monasterio pirenaico deSa nta Mara d e Ripoll existidesde el siglo IX una impor-

tante escuela de traductores,donde rabes, judos y cristia-nos tradujeron a los clsicosgriego s y a los mejores a strno-mos d e Oriente, cas i todos pro-cedentes de la Casa de la Sabi-dura de Ba gdad .

Aza rquiel (h. 1030-h.1100), el de los ojosazules, era hijo de un

herrero toledano, cons-tructor de instrumentosastronmicos. Sin nisiquiera sa ber leer ni esc ri-bir, introdujo por su cuentauna mejora en un instru-mento en el que trabajabasu padre. Asombrad o, elcad Ibn Sa id le orden quefuera a su centro de as tro-noma donde aprendi aobservar el cielo, a realizaranotaciones en tablasastronmicas y es tudi delas mejores fuentes de lapo ca : Al-J uwa rizmi o Al-Mamud. Cua ndo Toledocay en manos cristianas,huy a Crdoba, donde seconvirti en uno de losmejores astrnomos noslo de su poca s ino tam-bin de los que haya dadonunca la pe nnsula Ibrica.

AZARQUIEL, ALFONSO XY LA ASTRONOMA

El astrolabio -aunque vari mucho con el tiempo- estformado por la ma dre o crculo fundamental gradua doen su borde. Sobre la madre se colocaba la lmina que

presentaba un diagrama de distintas lneas astronmi-cas fundamentales (el zenit, los trpicos, el ecuadorceleste). Sobre la lmina, la regla recortaba la eclptica(traye ctoria de la Tierra a lrede dor de l Sol) y otros p untoscardinales. Por ltimo, la alidada era un visor con el que

se a puntaba a una determinada estrella para calcular sualtura so bre e l horizonte. Su p rincipal limitacin co nsista

en q ue era nece saria una lmina distinta para ca da latitud enla que se realizaba la observacin.

LAS PARTES DE UN ASTROLABIO

EL INSTRUMENTO POR EXCELENCIA

El astrolabio fue hasta el telescopio el instru-mento fundamental para explorar el cielo.Conocido ya por los griegos, serva para

dete rminar la a ltura de las e strellas , fijar la ho rao realizar con precisin calendarios. Azarquielmejor notablemente el astrolabio creando laazafea, que permita simplificar su uso auncuando s e ca mbiara de latitud.

El dorsode la madretena g ra-badosmultitudde datosque pe rmi-tan rea li-zar los c l-culosobservadosen la madre.

Alfonso X cre e n Toledo una impor-tantsima esc uela de traductores enla que destac sobre otros G erardo

de Cremona. El inters del rey por laastrologa le llev a impulsar la astro-noma. Interesad o tamb in por el aje-drez y los juegos de m esa (El libro de lAjedrez). Su ob ra es tambin ca pitalen el derecho (Las siete partidas)y laliteratura (Las Cantigas de SantaMara).

Toledo

Ripoll

Crdoba

Las principales obras de Azarquiel sonLas Tablas Toledanas, Tratado de laazafea, Suma referente al movimien-to del Sol y Tratado de la lmina de lossiete planetas, en la que aventura que

la rbita de Mercurio es elptica, casiseiscientos aos antes que Kepler.


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por Lo lita Brain

La evolucin de la humanidad se ha desarrollado a costa de grandes hombres. Hom-bres cuya forma de entender el mundo ha marcado un antes y un despus. Cientfi-cos, pensadores, polticos... nicos en su especie, cuyas ideas han marcado hitos en laforma de interaccionar con el mundo. Una de esas personas vivi hace casi 2.500 aosen un paraso dedicado a la cultura: Alejandra. Nos referimos a Euclides, padre de laGeometra, uno de los matemticos ms grandes de la Historia. Baste decir que su granobra es -junto a la Biblia- el libro ms editado de todos los tiempos.

EL ALEJANDRINOMS GRANDE

EUCLIDES, UN DESCONOCIDO DEFINICIONES

LOS CINCO POSTULADOS

LAS NOCIONES COMUNES

CONTENIDO DE LOS ELEMENTOS

LOS ELEMENTOS

Es paradjico que de unode los ms grandes mate-mticos de todos los tiem-

pos no sepamos casi nada.Apenas conocemos quevivi hacia el siglo III antesde nuestra era en Alejan-dra, hoy Egipto. Es posibleque estuviera en la Acade-mia platnica y que tuvieraacceso a la obra de losmatemticos que se relacio-naran con esta institucin.

El riguroso mtodo de Euclides le lleva a comenzar siempre por darprecisas definiciones de los objetos matemticos que posterior-mente utiliza en cada uno de los libros de los Elementos. Definir

en matemticas no siempre es fcil y especialmente cuando se tratade decir qu son los objetos ms simples. Sus primeras nueve defi-niciones son las siguientes:

Son los principios fundamentales cuyaveracidad se acepta sin demostracinpor ser considerados obvios. Tambin

se denominan axiomas. Euclides fue elprimero que fundament una parte de lasmatemticas con axiomas. Y slo nece-sit cinco. Recogemos los primeros cua-tro, al conflictivo Quinto Postulado lededicaremos la siguiente lmina.

Las nociones comunes son afirmacionesgenerales, vlidas en todas las ciencias,cuya evidencia las hace generalmente

aceptables. Las que Euclides incluye enel Libro I de los Elementosson:

Apesar de no saber nada de su vida,el legado de Euclides es inmenso.Entre otras obras, su Elementos,

adems de recopilar el saber de lamatemtica previa, aporta sobre todometodologa. A diferencia de otrasrecopilaciones matemticas anterio-res, los Elementos no compendiansino que proponen estrategias pararesolver en principio cualquier proble-ma matemtico. Adems se funda-menta en el mtodo axiomtico, unsistema deductivo de tradicin aristo-tlica y profundamente basado en elrigor de la deduccin lgica. Desde suprimera edicin impresa en 1482 es ellibro que ms publicaciones ha tenido,excepcin hecha de la Biblia.

Los Elementosse componen de trecelibros dedicados no slo a la geome-tra. En conjunto contienen 465 pro-

posiciones, todas ellas verdaderas. Espor ello que Einstein dijera de estaobra que Es maravilloso que un hom-bre sea capaz de alcanzar tal grado decerteza y pureza haciendo uso exclusi-vo de su pensamiento y que Russell

afirmara que La lectura de Euclides alos 11 aos fue uno de los grandesacontecimientos de mi vida, tan des-lumbrante como el primer amor.

LA ESCUELADE ATENAS.RAFAELSANZIO. 1511

EDICIN ESPAOLA DERODRIGOZAMO-RANO, DE 1572. USANDO PROBABLEMEN-TE LAEDICINLATINADE RATDOLT.

EDICIN DELOS ELE-MENTOS ENUNINCUNA-BLEIMPRE-SOPOR

RATDOLTEN1482. ILUS-

TRADO CONOBJETOS

GEOMTRI-COSENEL

MARGEN.

No es casual que Rafaelpintara a Euclidessobre una pizarra

armado con un comps.Para Euclides, los proble-mas geomtricos debenresolverse manipulandolas figuras que represen-tan al objeto geomtrico,visualizndolo. Peroesta manipulacindebe hacerse segn

reglas muy precisasque obligan a utilizarslo la regla y elcomps. Este mto-do recibi con eltiempo el nombre desinttico, y a estag e o m e -tra, sin-ttica.

Infografa y textos: Lolita Brain www.lolitabrain.com

1. Un punto es lo que no tiene partes.2. Una lnea es una longitud sin anchura.3. Las extremidades de una lnea son puntos.4. Una recta es una lnea que yace por igual respecto detodos sus puntos.5. Una superficie es lo que slo tiene longitud y anchura.6. Las extremidades de una superficie son lneas.7. Una superficie plana es una superficie que yace por igualsobre todas las lneas que contiene.8. Un ngulo plano es la inclinacin mutua de dos lneas quese encuentran en un plano y no forma lnea recta.9. Y cuando las lneas que comprenden el ngulo son rectas,

el ngulo es rectilneo.

1. Postlese que se pueda trazar unanica recta entre dos puntos distintos

cualesquiera.2. Y que un segmento rectilneo puedaser siempre prolongado.3. Y que haya una nica circunferenciacon un centro y un radio dados.4. Y que todos los ngulos rectos seaniguales.

1. Cosas iguales a una tercera son igualesentre s.2. Si a cosas iguales se aaden cosasiguales, los totales son iguales.3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos soniguales.4. Las cosas que coinciden entre s son iguales entre s.5. El todo es mayor que su parte.

LIBRO I. FUNDAMENTOSDE GEOMETRA.

LIBRO II.LGEBRA GEOMTRICA.

LIBRO III.TEORA DECRCULOS.

LIBRO

IV.INSCRIBIRYCIRCUNSCRIBIRFIGURAS.

LIBRO V.TEORA DE LASPROPORCIONES ABSTRAC-LIBRO VI.FIGURAS SEMEJANTES Y PRO-PORCIONESGEOMTRICAS.

LIBRO IX.TEORADE NME-ROS.

LIBRO X.CLASIFICACINDE LOSINCONMENSURABLES.

LIBRO XI.GEOMETRADE LOSSLIDOS.

LIBRO XII.MEDIDASDE LASFIGURAS.

L I B R OXIII.SLIDOSREGULA-RES.LIBRO VII.

FUNDAMENTOS DE LA TEORADE NMEROS.

LIBRO VIII.PROPORCIONES CONTINUASNUMRICAS.


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po r L olita Brain

La pasada semana explicamos la ciclpea labor de Euclides al escribir sus Elementosycmo en esta obra fue capaz de sentar las bases de la Geometra que an hoy estudia-mos en el colegio, sobre cinco principios bsicos que l llam postulados y que hoy lla-mamos axiomas. De estos cinco principios obvios que no necesitan demostracin algu-na, el Quinto Postuladoes, en relacin con los otros cuatro, muy complicado. En reali-dad, este axioma fue, 2.000 aos despus de que lo enunciara el gemetra de Alejandra,protagonista de la ruptura entre la Geometra de Euclides y la No-Eucldea. La respuestalleg en el siglo XIX y te la contaremos la prxima semana.

EL EXTRAOQUINTO AXIOMAEL QUINTO POSTULADO SEGN EUCLIDES

EQUIVALENTES ENUNCIADOS DEL QUINTO POSTULADO

UNA LARGA Y APASIONANTE HISTORIA

Euclides enunci su Quinto Postulado del siguientemodo: Si una secante corta a dos rectas formando aun lado ngulos interiores cuya suma es menor que

dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente,se cortan en el lado en que estn los ngulos menoresque dos rectos. Este axioma no era ni tan sencillo comolos otros cuatro ni satisfizo a Euclides, ni lo utiliz tanto.Por ejemplo, en las 28 primeras proposiciones de los Ele-mentosno lo utiliz. Sin embargo, resulta intuitivo paratodos, ya que viene a decir que existe una nica rectaparalela a otra que pase por un punto exterior. Acasonuestra intuicin no nos dice eso? Pero el problema esque Euclides nos dice que slo hay una paralela.

Alo largo de la historia se han proporcionado muchosenunciados que eran completamente equivalentes alQuinto Postulado, es decir, que si se acepta cualquie-

ra de estos postulados se deduce el de Euclides y vice-

versa. Aqu tienes algunos.

La sospecha de que el Quinto Postulado no era tan evidente hizo que pronto despertara, encomentaristas de su obra y matemticos, la idea de que, siendo verdadero, era deducible de losrestantes cuatro axiomas. Dos cuestiones hacen complicado este axioma. Por un lado, que las

rectas son extensibles infinitamente y que por tanto, si dos rectas son paralelas, no tienen ningnpunto en comn. Nos resultar imposible saber si en su infinitud no llegan a tocarse en algn punto.

El que fuera papa Silvestre II cre uno delos primeros centros de enseanza occi-dentales, en Reims. En su Geometra, ltambin seala que las rectas paralelas

mantienen su distancia constante,es decir, son equidistantes. l nosaba que afirmar esto era afirmarel Quinto Postulado.

El astrnomo persa que trabaj para el nieto de Genghis Khan reali-z una versin de los Elementos. En ella demuestra el Quinto Pos-tuladodiciendo que si un cuadriltero tiene ngulos rectos en A y D,entonces si B es agudo, el ngulo C debe ser obtuso. Tampocosaba que esto es equivalente al postulado que crea demostrar.

El astrnomo-poeta estudi el problema de las paralelas en su obraLa verdad de las paralelas y discusin sobre la famosa duda. En ellaestudia cuadrilteros como el de la imagen y acaba razonando quela distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, quees lo que en verdad los filsofos creen.

1.- Una rectaparalela a unadada dista de ellauna longitudconstante.Proclo

2.-Existentringulos seme-jantes pero noiguales, es decir,tringulos coniguales ngulospero ladosproporcionales.Wallis

3.-Existe almenos un rectn-gulo, es decir, uncuadrilterocuyos ngulosson rectos.Saccheri.

4.-Una rectaperpendicular aun lado de unngulo agudotambin corta alotro lado.Legendre

5.-La suma de los

tres ngulos de untringulo suman180

o. Legendre

Profesor de la Universi-dad de Oxford, tradujo allatn los textos de Nasir

al-Din. Dio una nueva interpretacin del Quin-to Postuladodemostrando que dado un tringulo cualquiera siem-pre se puede construir otro con iguales ngulos y lados proporcio-nales. De nuevo, esto es equivalente al famoso postulado.

Estudi incansable-mente el problema

de las paralelas des-de 1794 hasta 1823. Lleg a resultados similares a los de Saccheri, perocomo el texto de ste no era muy conocido, su libro Elements de geomtriele proporcion un lugar en esta historia cuyo desenlace final te contaremosla semana prxima.

Escribi Die Theorie der Parallellinien en laque se pregunt si el Quinto Postuladose

poda deducir de los restantes o si haba que aadir nuevas hiptesis. Probun resultado de Geometra No-Eucldea segn la cual, si los ngulos de un tringulo midenmenos de 180

o, entonces, cuanto ms crece el t ringulo, menos miden sus ngulos.

El jesuita Sac-cheri proporcio-n un salto cua-

litativo en el problema de las paralelas. Supuso que el postuladoera falso, esperando encontrar de esta suposicin una contradiccin.Enseguida vio que en un cuadriltero como en la figura, los ngulos B yC no pueden ser obtusos. Supuso despus que eran agudos y pormucho que se empe no encontr contradiccin lgica alguna. Su con-vencimiento intuitivo de la verdad del postulado y lo errneo de algunasconclusiones a las que llegaba, le hizo desecharlas. En realidad fue elprimero en encontrarse con la Geometra No-Eucldea, pero el sentidocomn le hizo abandonarla.

PORTADA DE EUCLIDESAB OMNI NAEVO VINDICA-TUS. SACCHERI, 1733

s. X Gerberto

1697 Girolamo Saccheri

1766 Johann Lambert

1794 Adrien M. Legendre

s. XII

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Omar Khayyam

s. XIII Nasir al-Din al-Tusi

1663 John Wallis

Fue el primer comentador de laobra de Euclides. En su obraComentarios a Euclides pro-

porciona la primera demostracin errnea delQuinto Postulado. Fue el primero en suponer que si dos rectas sonparalelas mantienen su distancia constante.

s. V Proclo


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po r L olita Brain

Como vimos la semana pasada, todos los intentos de demostrar el controvertido V Pos-tuladode Euclides resultaron fallidos hasta finales del siglo XVIII. Pero en el siguien-te siglo la matemtica asistir a una de sus primeras revoluciones. Tras ms de2.000 aos y por primera vez, la indiscutible verdad geomtrica de Euclides dejar pasoa un sistema geomtrico tambin axiomtico, lgicamente impecable pero intuitiva-mente difcil de asimilar. El hombre, no sin esfuerzos, tuvo que aceptar que hay otrosmundos posibles y que como dijo Gauss la necesidad fsica de nuestra Geometra Eu-cldea no puede ser demostrada al menos para la razn humana.

UNA REVOLUCIN

MATEMTICALA INTUICIN DE UN GENIOC arl F. Gauss (1777 -1855) nopublic ningn trabajo definiti-vo sobre sus ideas acerca dela Geometra No-Eucldea pormiedo al ridculo, como l mismodijo. Sin embargo, con slo 17aos, le dijo a su amigo Schuma-cher que pensaba que podaexistir una geometra lgica en laque el postulado de las paralelasde Euclides no se cumpliera.Pero l continu intentandoencontrar una demostracin delfamoso postulado que hicieracompatible lo que l entenda

como la geometra de nuestromundo fsico, la eucldea. Desde1799 se tom en serio la imposi-bilidad de demostrar el V Postulado, y comenz a desarrollar lo que l llam Geometra Antieucldea oAstral. Su conclusin fue que era lgicamente posible esta otrageometra, aun cuando equipado con unteodolito se march a medir los ngulos del tringulo formado por los picos Brocken, Hohehagen e Insel-berg, buscando medidas que confirmaran que en efecto la suma de los ngulos de un tringulo es de 180

o.

Su suma excedi en 14oeste valor, pero el propio error del instrumento le impidi concluir nada.

LA PSEUDOESFERA

EL MODELODE POINCAR

E s importante destacarque ni Bolyai ni Loba-chevsky probaron quesu nueva geometra eraconsistente, es decir, queno contena ninguna con-

tradiccin lgica. Pero locierto es que tampoconadie hizo lo propio con lateora de Euclides. Loscientos de aos de utiliza-cin de la geometra delalejandrino dejaban fuerade toda sospecha la posi-bilidad de que fuerainconsistente. La primerapersona que puso en paridad ambas teoras fue el ita-liano Beltrami, quien en 1868 encontr un modelo enel que los axiomas de Bolyai-Lobachevsky se satisfa-can. Encontrado un modelo, la consistencia estabagarantizada. Su modelo fue posteriormente com-pletado por Felix Klein.

L a Geometra No-Eucldea coincide comple-tamente en sus fundamentos con la de Eucli-des, excepto en el V Postulado. La hiperbli-ca sostiene que por un punto exterior a unarecta se pueden trazar infinitas rectas paralelas.Todos los teoremas de Euclides en los que este

quinto axioma no interviene siguen siendo vli-dos en la geometra hiperblica. En cambio, lasproposiciones de Euclides en las que intervieneeste postulado no son verdaderas en la geometrahiperblica. Por ejemplo, ahora los ngulos de untringulo no miden 180

o, el rea de un cuadrado no

es su lado al cuadrado, y un crculo no tiene desuperficie PI por el cuadrado de su radio.

La existencia de estos modelos es una pruebade la independencia lgica de los axiomas, esdecir, elV Postuladono puede demostrarse apartir de los otros. Esto no quiere decir que elespacio que nos rodea no sea eucldeo, sinoslo que, desde el punto de vista lgico,tiene igual coherencia la GeometraEucldea que la No-Eucldea.Nuestra vida cotidiana eseucldeapero elespaciorelati-vista no.

E l matemtico y fsicofrancs construy unoriginal modelo parala Geometra Hiperbli-ca del plano llamadoModelo de Poincar. Siconsideramos una cir-cunferencia C, los pun-tos de ese plano serantodos los puntos interio-res a dicha circunferen-cia sin considerar el bor-

de. Las rectas de dicho plano son los arcosinteriores de las circunferencias que cortan perpen-dicularmente a la circunferencia C y los dimetrosde C. Observa que en este modelo las rectas no son

rectassino arcos. Pero en l se pueden trazar trin-gulos, paralelas, hacer simetras, etc. Es un modeloartificial de geometra en el que no se cumple el VPostuladode Euclides.

B eltrami encontr el modelo en unasuperficie de dos dimensiones inmer-sa en un espacio tridimensional eucl-deo. La superficie que cumpla los axio-mas era la pseudoesfera. Estasuperficie se obtiene por la rotacin de la

curva tractrix de la que ya te hemoshablado. Es una superficie de cur-

vatura constante, como la esfe-ra, pero negativa, es decir,

se curva hacia dentro.

C omo en muchas otrassituaciones, la respues-ta definitiva a las inquie-tudes de Gauss vinieronsimultneamente de dospersonas que no tuvieroncontacto. Un hngaro,Jnos Bolyai, hijo de Wol-fang Bolyai, amigo perso-nal de Gauss, public en1832 el ensayo de 26 pgi-nas La ciencia del espacioabsoluto como apndicede un libro de su padre, enel que present lo que l

llam Geometra Absoluta.Lobachevsky, un oficial ruso y rector de la universidadde Kazan, present sus puntos de vista en 1826 aldepartamento de su universidad, pero no fue tomadorealmente en serio. En1829 public el artculoSobre los fundamentos dela geometraen una revistade Kazan, por lo que notuvieron mucha difusinhasta que en 1840 publicsu libro en alemn Investi-gaciones sobre la teora delas paralelas. Llam a sugeometra Geometra Ima-ginaria. Ambos autoressuponen que el V Postula-do es falso y, buscandouna contradiccin que no

existe, se convencen deque una nueva teora esposible.

QU HAY DE NUEVO EN ESTA GEOMETRA?

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

NIKOLAI IVANOVICH

LOBACHEVSKY1792 - 1856

Y NACI UNA NUEVA GEOMETRA

JNOS BOLYAI

1802 - 1860

JULES HENRIPOINCAR

1854 - 1912

EUGENIO BELTRAMI1835 - 1900

LA NECESIDAD DE UN MODELO

Rectas delModelo dePoincar


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AULAD E E L M U N DO

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[email protected]

por Lol ita Bra in

Cuando hablamos de geometra enseguida nos vienen a la memoria cuerpos geom-tricos, medidas y clculos sobre ellas. Se nos hace difcil poder imaginar una geome-tra en la que no se mida y en la que los nmeros estn prcticamente desterrados.Pero esa geometra existe, no es un ejercicio de imaginacin. En realidad acab sien-do tan diferente a la geometra habitual que se denomin Topologa, que viene a signi-ficar algo as como el estudio de los lugares. En ella no importa si dos figuras tienen ono el mismo tamao o la misma forma para que sean estudiadas como una sola.

G E O M E T R AD E C H I C L E

Las primeras menciones histricas auna geom et r a s i n m ed i das , p ro -cede de Leibni tz quien la l lam

Analysis Situs (geom etra de p osicin).Sin embargo quien realmente propusotopolgicamen te -y resolvi- el prime rproblema topolgico de la historia fueel suizo Euler en un ar tculo de 1726.En l resolvi el famoso problema deLos puentes de Kninsgber g. Poste-riorme nte encontr la valiossima Fr-mula de Euler entre otros r esultados.

La c i udad a l em anade Kningsberg esmuy pe culiar: tiene

dos islas centrales so-bre e l r o Pregel quese unen a tierra firmepor sie te puentes. Elp rob l em a sug i e re l as i gu ien t e p regun t a :Es posible recorre rlos sie te puentes s inpasar dos veces por elmismo puen te? A pe-sar de que la pregun-ta par ece trivial, no loes en a bsoluto. Eulerse d io cuenta de quea u n q u e p a r e c e u nproblema de geome-

tra, por ningn lado intervienen distancias, longitudes o medidas. Obser v quelo importante era la re lacin existente entre los pun tos y los caminos.

La solucin de Euler es n egativa: NO esposible cruzar los siete puentes sin pa-sar alguna vez dos veces por el mismo

puente . De hecho su solucin es m uchoms gener al , ya que afi rma que en todografo en el que haya a lgn vrt ice en elque confluyan un nm ero i m par de ca -minos, no podr recorrerse sin pasar dosveces por el mism o sitio.

Apar t i r de un e s -quem a de l o spuen t e s , Eu l e r

estudi el grfico

ad j un t o , en e l quelos puentes son vr-tices de un NUDO, yl o s cam i nos sonS EGMENTOS DECUERDA. As e l

p rob l em a pasa -b a a s e r d e

pun t o s ys e g m e n -

t o s .H a b a

nacido laTeo r a de

Grafos.

La fam os s i m a F R MU L A D E E ULER , naci delestudio que r ealiz ste de los poliedros. Re-sulta curioso que habiendo sido estudiados casi

al completo por Arqumedes, nadie hubiera cadoen el resul tado. La frmula da una relacin en-tre el nme ro de vrtices, aristas y caras de los po-liedros. Despus se demostr que sirve para m u-chos ms cuerpos y que este valor depende del g -nero topolgicode la figura

Uno de los aspectos que estu dia la to-pologa es el INTERIOR y el EXTERIOR delos cuerpos. Por ejemplo, si trazas una

circunferencia, sta d ivide el plano en dospartes: una interior y otra exterior a la cur-va. Parapa sa rde un ladoal otro, es nece-sario cruzar la circunferencia. Sin emba r-go en m ultitud de ocas iones la intuicin nosenga a. Por ejemplo, todos diramos queun chaleco est dentro de una chaqueta,y que sin quitarse la chaque ta, es imposibledeshacerse del chaleco. Seguro? Echaun vistazo a la secuencia de la izquierda.Como ves el hbil mago, demuestra lo quela topologa ya sab a: que el chaleco nun-ca estuvo en el interior de la chaqu eta.

LEONARDEULER(1707-1783)

F I G U R A S H O M E O M O R F A S

Una de las ideas fundam entales de la topologa es la idea de figuras HOMEOMORFAS. La idea intuitiva es

sencilla. Puesto que esta rama de las matemticas estudia una geometra en la que lo importante sonlas posisiciones re lativas entr e los puntos de los cuerpos , es claro que si imaginamo s los objetos geo-mtricos fabricados con plastilina, las deformaciones que h agamos con ellos -por estiram iento o com-pactamiento pero sin rotura- generan nuevos cuerpos en los que los puntos que estaban prximos en-tre s siguen estndolo. Para la topologa esos cuer pos son iguales y se les denomina h omeomorfos .

O R I E N T A C I N

LO S P UE NT ES D E KNINSBERG

Otro de los problemas qu e estudia la topo-loga es el de la orientacin de los espacios.La orientacin topolgica recoge la misma

idea que tene-mos todos: ha-bla de izquierday derecha o arri-ba y abajo. Peroen topologa seestudian cuer-pos asombrososen los que la de-recha puedeconvertirse e n laizquierda: porejemplo la Cin-ta de Mbius dela derecha es unespacio en elque una mano-pla diestra, trasrecorrer la cintacompletamente,se convierte enuna m anopla iz-

quierda slopor cambiar desitio en la cinta!.Asombroso.

Frmula de Euler

G N E R O 0

G N E R O 2

G N E R O 1

DODECAEDROCARAS (12) + VRTICES(20)= ARISTAS (30)+ 2

5a Parte Del Aula de Matematicas Para 'El Mundo'

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