Captulo 5

Los filtros son circuitos que se colocan entre la salida del rectificador y la impedancia de la carga, con el objeto de separar las componentes de corriente alterna de las de corriente continua contenidas en la tensin aplicada por el rectificador a la entrada del filtro, y evitar que las primeras alcancen la carga.

Estos circuitos se realizan con impedancias serie (bobinas o resistencias) que ofrecen alta impedancia a la componente alterna de salida del rectificador, y condensadores en paralelo que cortocircuitan las componentes de corriente alterna entre terminales de la carga.

La accin de los filtros, a pesar de las inevitables prdidas que introducen en el proceso de rectificacin, aumenta el rendimiento de la rectificacin, obtenindose corrientes continuas ms uniformes con menores componentes de corriente alterna.

La utilizacin de circuitos de filtro se reduce a sistemas rectificadores de baja potencia y, rara vez, para circuitos ms complejos que sistemas monofsicos de onda completa. La razn es que los componentes de los circuitos filtro (bobinas y condensadores), para potencias elevadas, resultaran exagerados en cuanto a volumen y precio.

Para la obtencin de corrientes continuas, casi exentas de ondulacin y de elevada potencia, se recurre a sistemas rectificadores ms elaborados, como circuitos trifsicos de onda completa, circuitos en doble estrella con bobina compensadora, etc.

Las tensiones de salida de los rectificadores monofsicos estudiados en los convertidores ac-dc, son:

Las expresiones analticas de dichas formas de onda, calculadas mediante el desarrollo en serie de Fourier son:

Para media onda:

Para onda completa:

1 mxS k 2,4...2

1 1 2 cosk tV V sen t

2 k 1 k 1

S1 mx k 2,4...2 4 cosk t

V Vk 1 k 1

max1 max

S2

V 1 2V V sen t cos2 t...

2 3

maxS1 max

2V 4 4V V cos2 t cos4 t...

3 15

Es fcil razonar sus comportamientos cualitativos recordando simplemente que XC=1/C y XL=L. El filtro con un solo condensador es el

empleado cuando sigue un sistema Electrnico de regulacin.

El filtro con una sola inductancia evita las altas corrientes que pueden circular por el filtro C.

El filtro LC rene las ventajas de los dos anteriores. Suele utilizarse en los reguladores de conmutacin.

El filtro CLC (en ), suele usarse menos que el CRC, ya que las inductancias son ms caras y pesadas, y ocupan ms espacio que una simple resistencia. Este ltimo suele utilizarse en las fuentes de alimentacin con tiristores.

Con frecuencia el filtrado se efecta colocando un condensador en paralelo con la carga.

El funcionamiento de este sistema se basa en que el condensador almacena energa durante el periodo de conduccin y la cede posteriormente durante el periodo de no conduccin de los elementos rectificadores. De esta forma, se prolonga el tiempo durante el cual circula corriente por la carga y se disminuye notablemente el rizado. Las ventajas de este tipo de filtro son:

Pequeo rizado. Tensin de salida alta con cargas pequeas.

Y los inconvenientes: Mala regulacin y rizado alto con cargas grandes. Picos de corriente muy elevados que deben soportar los diodos durante

el tiempo total de conduccin. Picos ms elevados cuanto mayor sea la capacidad del condensador.

Anlisis aproximado del filtro por condensador Es posible hacer varias aproximaciones razonables que permiten resolver analticamente el problema. Esta solucin aproximada tiene la ventaja de manifestar claramente la dependencia de la tensin continua de salida y el factor de rizado de los valores de los componentes del circuito. Este anlisis es suficientemente preciso para la mayor parte de las aplicaciones en ingeniera.

Supongamos que la forma de onda de la tensin de salida de un circuito de onda completa con filtro por condensador, puede aproximarse por una curva quebrada constituida por tramos lineales. Durante T1 se carga el condensador mientras conducen los elementos rectificadores y durante T2 se descarga a travs de la carga durante el tiempo de no conduccin de los elementos rectificadores. En T1 la tensin nodo-ctodo es positiva mientras que en T2 es negativa.

El valor de pico de esta onda es Vm, tensin mxima en el transformador. Si denominamos Vr a la tensin total de descarga del condensador, el valor medio de la tensin es:

Aproximacin lineal de la forma de onda de salida de un circuito de onda completa con filtro por condensador

Eliminando la componente continua de la onda, obtenemos la forma de onda que se representa en la figura. El valor eficaz de esta onda triangular es independiente de las pendientes o longitudes de los tramos rectos, y depende exclusivamente del valor de pico. La tensin eficaz de rizado resulta ser igual a:

rCC m

VV V

2

ref

VV

2 3

r

r

Y X V XY

V 2 2

2 2 3 2 3

2 2r r ref 2 3 3

ref

1 V V X V 2V X dX

2 4 8 3 8 3

VV

2 3

Sin embargo, es necesario expresar Vr en funcin de la corriente en la carga y la capacidad. Si T2 representa el tiempo total de no conduccin, el condensador, cuando se descarga a la intensidad constante ICC, pierde una cantidad de carga igual a ICCT2. Por tanto, la variacin de la tensin en bornes del condensador es (ICCT2)/C, es decir:

r CC 2r

CC 2

Q CV I TV

Q I T C

Cuanto mejor sea el filtro, menor ser el tiempo de conduccin T1, y T2 se aproximar ms al valor del semiperiodo. Por tanto vamos a suponer que T2=T/2=1/2f, siendo f la frecuencia fundamental de la red industrial. As que:

CC ef CCr

CC CC L

I V I 1V r

2fC V 4 3fCV 4 3fCR

CCCC m

IV V

4fC

Se ve que el rizado es inversamente proporcional a la resistencia de carga y a la capacidad. La resistencia efectiva de salida R0 de la fuente de alimentacin es igual al factor que multiplica a ICC en la ltima ecuacin mostrada, es decir R0=1/4fC. Esta resistencia de salida vara inversamente con la capacidad. Por tanto, para conseguir que el rizado sea pequeo y la regulacin buena, deben emplearse capacidades muy grandes. El tipo de condensador ms comn para estos filtros es el electroltico.

Tiempos de conduccin y no conduccin Conduccin del diodo: si despreciamos la cada en el diodo, la tensin del transformador aparece directamente sobre la carga.

En otros trminos, durante qu fraccin de cada ciclo conduce el diodo?. El punto en el que el diodo empieza a conducir se denomina punto umbral, y aquel en el que deja de conducir punto de corte.

Por eso la tensin de salida es

Vo=Vmsent. Inmediatamente surge una pregunta: durante qu intervalo de tiempo es aplicable esta ecuacin?.

Calcularemos en primer lugar la expresin de la corriente que circula por el diodo, y el instante en que esta corriente vale cero estar el punto de corte. Como V tiene un valor de pico Vm, la corriente instantnea ser: Esta expresin muestra que, si se utiliza una capacidad grande para mejorar el filtrado para una carga RL dada, la corriente por el diodo, i, tiene un valor de pico muy elevado.

12 2

2 2 1

L

L L

1 1I j C V C tg CR V

R R

1

22 2

m 2

L

1i V C sen t

R

1 Ltg CR

Para una corriente media de carga especificada, la corriente por el diodo ser ms aguda y el periodo de conduccin de los diodos disminuir conforme el condensador sea ms grande. Conviene insistir en que el filtro por condensador puede imponer condiciones muy exigentes sobre el diodo rectificador, puesto que la corriente media puede ser inferior al lmite mximo del diodo, pero puede suceder que la corriente de pico fuera muy grande.

El instante de corte t1 se calcula igualando a cero la corriente por el diodo: siendo n cualquier entero positivo o negativo. El valor de t1 indicado en la figura en el primer semiciclo corresponde a n=1: No conduccin del diodo: en el intervalo entre el instante de corte t1 y el umbral t2, el diodo no conduce, y el condensador se descarga a travs de la resistencia de carga con una constante de tiempo CRL. Por tanto, la tensin del condensador (igual a la de la carga) es:

10 sen t 1t n

1

1 Lt tg CR

L

tCR

ov A e

1

L

t tCR

o m 1v V sen t e

1

L

tCR

o i m 1 m 1v v V sen t A V sen t e

Ejemplo: Se desea disear a partir de la red (220V-50Hz.) un rectificador en puente Graetz, con filtro por condensador que proporcione una tensin continua de salida de 9 V con respecto a masa y una corriente aproximada de 1A. El factor de rizado no debe ser superior al 5%. Obtener lo siguiente:

a) Esquema del circuito. b) Calcular el condensador con algunas aproximaciones. c) Determinar la relacin de espiras del elemento transformador. d)Hallar la resistencia efectiva de salida despreciando las del

transformador, resistencia limitadora y diodos.

Partiendo de la expresin del rizado: La relacin de transformacin se determina segn: La resistencia efectiva de salida se determina a partir de la frmula de regulacin:

SC

L SC

I1 1r 5% C 6415 F

4 3fCR 4 3fCV 4 3 50 0,05 9

2 m2m1

1 m1

n V donde V 220 2

n V

SC SCSC m2 m2 SC

I IV V V V 9,8 V

4fC 4fC 2

1

n 9,80,03

n 220 2

SC SC

SC m2 SAL 6SC

I dV 1 1V V R 0,77

4fC dI 4fC 4 50 6415 10

El funcionamiento del filtro por inductancia se basa en la propiedad fundamental de este componente de oponerse a cualquier variacin de la corriente, de forma que cualquier variacin brusca que pudiera aparecer en un circuito sin inductancia se suaviza por el hecho de colocar este elemento en el circuito. Se analiza el rectificador de onda completa con filtro por bobina. Supongamos que como filtro de entrada se conecta un choque o inductancia a la salida de un rectificador de onda completa.

Podemos calcular la solucin exacta de la ecuacin diferencial del circuito, sin embargo, puesto que la corriente en la carga no se anula en ningn instante, es ahora ms sencillo hallar una solucin aproximada. Los resultados sern suficientemente precisos para la mayora de las aplicaciones, y desde luego mucho ms sencillos que la solucin exacta. La tensin aplicada al circuito constituido por la resistencia de carga y el filtro por inductancia es la dada en la ecuacin: Las amplitudes de los trminos alternos superiores al primero son pequeas frente a la amplitud del primero de la serie. Por ejemplo, el trmino del cuarto armnico es solamente el 20% del trmino del segundo armnico. Adems, puesto que la reactancia del choque o inductancia aumenta con la frecuencia, su efecto de filtrado ser ms eficaz para los armnicos ms altos.

m K parK 0

2 4 cosk tV V

k 1 k 1

Se puede observar como en el circuito equivalente slo existen elementos

lineales, y que la tensin de entrada consta de una batera 2Vm/ en serie con una fuente alterna cuya f.e.m. es (-4Vm/3)cos2t. Segn la teora elemental de circuitos, la corriente en la carga ser igual a:

m m

12 2 2 2

LL

cos 2 t2V 4Vi

R 3 R 4 L

L

2 Ltg

R

La tensin en la carga es Vo= iRL.

El factor de rizado es: Esta expresin muestra que el filtrado mejora conforme disminuye la resistencia del circuito, o lo que es lo mismo, conforme aumenta la

corriente. Si la relacin 42L2/RL2 es grande frente a la unidad, el factor de

rizado se reduce a: El rizado es ms pequeo cuanto menor es RL, es decir, cuanto mayor es la corriente.

m1

2 2 2 2

L L1

2 2 2 2mL

L

4V 1

3 2 R 4 L 2R 1r

2V 3 2 R 4 LR

122 2

2

L

2 1r

3 24 L1

R

L1 RrL3 2

Los dos tipos de filtros considerados pueden combinarse en uno solo dando como resultado el filtro LC. Este filtro conjuga el menor rizado conforme aumenta la intensidad del

filtro por bobina con el menor rizado a pequeas intensidades del filtro por condensador.

La inductancia presenta una impedancia serie grande a los armnicos, y el condensador una impedancia en paralelo pequea.

La corriente resultante por la carga se suaviza mucho ms eficazmente que con el filtro L o C simples.

Un filtro LC resulta tanto ms eficaz cuanto mayor sea la reactancia de la bobina a la frecuencia fundamental de ondulacin, con respecto al valor de la resistencia de carga, o cuanto menor sea el valor de la reactancia del condensador, tambin con respecto a la misma resistencia de carga.

Debe de cumplirse que: XL >> RL y XC > XC

Regulacin: La tensin continua se calcula inmediatamente al tomar, para la tensin que aparece en los terminales AB del filtro, los dos primeros trminos del desarrollo en serie de Fourier de la tensin de salida del rectificador son: m m

2V 4Vv cos 2 t

3

Los diodos se sustituyeron por una batera en serie con una fuente alterna de frecuencia doble de la de la red industrial. Este circuito equivalente es idntico al que utilizamos para el rectificador de onda completa con filtro por inductancia. Si despreciamos la resistencia hmica de la inductancia, la tensin continua de salida es igual a la tensin continua de entrada, es decir: Si la suma de las resistencias del diodo, transformador e inductancia la denominamos R:

mCC

2VV

mCC CC

2VV I R

Factor de rizado: Puesto que la misin del filtro es suprimir los armnicos en el sistema, la reactancia de la bobina debe ser mucho ms grande que la de la combinacin en paralelo del condensador y la resistencia. Esta ltima es pequea si la reactancia del condensador es mucho menor que la resistencia de carga. Por tanto, se introduce muy poco error si suponemos que toda la corriente alterna pasa por el condensador y ninguna por la resistencia. En este caso, la impedancia total entre A y B es,

aproximadamente XL = 2L, la reactancia de la bobina a la frecuencia del segundo armnico. La corriente alterna que circula por el circuito es: mef CC

L L

4V 1 2 1I V

X 3 X3 2

La tensin alterna en la carga (tensin de rizado) es la tensin en bornes del condensador. Es decir:

siendo XC = 1/2C la reactancia del condensador a la frecuencia del segundo armnico. Entonces, el factor de rizado es igual a: Se puede apreciar como el efecto de combinar la disminucin del rizado que produce el filtro por inductancia conforme aumenta la carga y el aumento del mismo debido al filtro por condensador, es un rizado constante, independiente de la carga.

Cef ef C CC

L

X2V I X V

3 X

ef C

2

CC L

V X2 2 1 1 2 1r

V 3 X 3 2 C 2 L 12 LC

Inductancia crtica: En el anlisis anterior hemos supuesto que la corriente circula por el circuito en todo instante. Veamos lo que ocurre cuando no se utiliza la inductancia: la corriente circular por el circuito del diodo durante una pequea

parte del ciclo, y el condensador se cargar en cada ciclo a la tensin de pico del transformador.

Supongamos ahora que conectamos una inductancia pequea en el circuito. Aunque el tiempo que circula la corriente por el diodo es algo mayor, puede an ocurrir el corte.

Conforme aumenta el valor de la inductancia, se llegar a un valor para el cual el circuito del diodo suministrar continuamente corriente a la carga, desapareciendo el punto de corte. Este valor de la inductancia se denomina inductancia crtica LC.

En la figura, se ve que, si ha de circular corriente por el rectificador

durante todo el ciclo, el pico Ief2 de la componente alterna de la corriente no debe ser superior a la corriente continua, ICC =VCC/RL. Por tanto, para que circule corriente por el diodo durante todo el ciclo, es necesario que:

CC CCef

L L

V 2V 1I 2

R 3 X

LL

2RX

3

El valor de la inductancia crtica es igual a:

LC

RL

3

Estos valores de la inductancia crtica no han sido deducidos a partir de la tensin real de entrada, sino a partir de una tensin aproximada constituida por una componente continua y el primer trmino alterno del desarrollo en serie de Fourier de la tensin real de entrada. Anteriormente demostramos que esta aproximacin introduce un error muy pequeo en el clculo del factor de rizado. Al despreciar los armnicos ms altos, se introduce un error apreciable en el clculo de la inductancia crtica. As, en un diseo exigente es aconsejable aumentar el valor de LC calculado anteriormente en un 25%.

El efecto del corte se ilustra en la figura, que muestra la curva de regulacin del sistema para L constante y una corriente de carga variable. Evidentemente, cuando la corriente es cero (RL infinita), el filtro es del tipo por condensador y la tensin de salida es Vm. Conforme aumenta la corriente en la carga, la tensin disminuye, hasta que en I = IC (la corriente a la que L = LC), la tensin de salida es la correspondiente al filtro LC sin corte, es decir, 0,636Vm. Para valores de I mayores que IC, la variacin de la tensin se debe a los efectos de las resistencias de los diferentes elementos del circuito.

Ejemplo: Un rectificador de onda completa ha de suministrar 100mA a 150V con un rizado inferior a 10V. Calcular los elementos de un rectificador que, utilizando un solo filtro LC, verifique las especificaciones establecidas. La resistencia de carga efectiva es: y el factor de rizado es: Si f = 50Hz, la inductancia crtica para este filtro es: el producto LC debe ser como mnimo:

L

150R 1500

0,1

10r 0,066

150

C1500

L 1,59 H3 2 50

5

22

2 2LC 1,8 10

12r 12 0,066 100

Ejemplo: En el circuito de la figura, la seal de onda completa presente a la entrada de la bobina tiene un pico de 34V. Si la bobina tiene una

resistencia de 25 . Obtener lo siguiente:

a) El valor del voltaje de salida en continua. b) El factor de rizado. c) El valor eficaz de la componente alterna.

a) El valor del voltaje de salida en continua.

b) El factor de rizado.

c) El valor eficaz de la componente alterna.

SC a la entrada de L mSC L SC

L L

V 2 342VV R V 21,64 V

X R

SC

21,64VV 500 20,6 V

25 500

42 6

2 1 2 1r 210 0,02%

12 LC 12 10 50010 2 50

4ef SCV rV 210 21,64 4,3 mV

Veamos si se cumplen las condiciones, XL >> RL y XC