IES no 2 de ASPE. Departamento de Matematicas. 3o ESO.

�� ��TEMA 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. INTRODUCCION.

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas escrito en forma normal es:{ax + by = c

a′x + b′y = c′

Una solucion de este sistema sera una pareja de valores (x, y) tales que cumplan tanto la primeraecuacion como la segunda.

EJEMPLO 1 ¿Es (5, 3) una solucion del sistema{

x + 2y = 112x− y = 2 ?

Si sustituimos x = 5 ; y = 3 en las ecuaciones obtenemos:{

5 + 2 · 3 = 112 · 5− 3 = 2 =⇒

{5 + 6 = 1110− 3 6= 2

Con lo que se cumple la 1a ecuacion pero la 2a no. Ası (5, 3) no es la solucion buscada.

Comprueba por tı mismo/a que la solucion es (3, 4)

1. Comprueba en cada caso si la pareja de valores (x, y) es solucion o no del sistema.

a){

2x + 3y = 53x− y = 2 (1, 1) b)

{3x− 2y = 7x + y = 0 (1,−2) c)

{5x− 6y = −42x− y = −1 (−2,−1)

2. Expresa los siguientes sistemas en forma normal (no tienes que resolverlos):

a)

x− 3y = 1

3x

4+ y = 2

b)

5x

6+

3y

7= 2

x

2− y

7= 2

c)

2x− 3

4+

y − 85

=y + 3

4x− 7

3+

4y + 111

= 3

2. METODO DE SUSTITUCION.

Veamoslo con un ejemplo:

x− y + 1

3= 5

y − 2x− 33

= 4

Pasos:

1. Escribir el sistema en forma normal, si no lo esta.

1a ecuacion:

3x

3− y + 1

3=

153

3x− y − 1 = 15

3x− y = 16

2a ecuacion:

3y

3− 2x− 3

3=

123

3y − 2x + 3 = 12

−2x + 3y = 9

=⇒{

3x − y = 16−2x + 3y = 9

1

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2. Despejamos una incognita (la “x” o la “y”) de una de las dos ecuaciones (la que mas facil resulte).

La mas facil de despejar es la “x”de la primera ecuacion :

3x = 16 + y =⇒ x =16 + y

3(1)

3. En la otra ecuacion, sustituimos la incognita despejada por el resultado obtenido en el paso anterior.

−2x + 3y = 9 =⇒ − 2 · 16 + y

3+ 3y = 9

Como puedes observar, ahora la ecuacion solo tiene una incognita.

4. Resolvemos la ecuacion anterior y obtenemos el valor de una de las incognitas ( “y” en este caso)

−2 · (16 + y) + 9y = 27−32− 2y + 9y = 27

7y = 59 =⇒ y =597

5. Para obtener el valor de la otra incognita, sustituimos la incognita ya resuelta por su valor en cualquierade las ecuaciones. La mas facil es: (1)

x =16 + y

3=

16 + 597

3=

1127 + 59

7

3=

1717

3=

573

La solucion la podemos presentar de forma conjunta ası: (573︸︷︷︸x

,597︸︷︷︸y

)

3. Resuelve los siguientes sistemas por el metodo de sustitucion:

a){

x− y = 82x + 3y = 11 b)

{2x + y = 104x− y = 2 c)

{3x + 2y = 114x + 5y = 7 Sol: (7,-1); (2,6); (41/7,-21/7)

d){

2x + 3y = 26x− 6y = 1 e)

{3x + 4y = 22y − 2x = 11 f)

2x +

y − 25

= 21

4y +x− 4

6= 29

Sol: (1/2,1/3); (-2,7); (10,7)

3. METODO DE IGUALACION.

Veamoslo con un ejemplo:{

9x− 4y = 13x + 6y = 4 Pasos:

1. Escribir el sistema en forma normal, si no lo esta.

2. Despejamos la misma incognita (la “x” o la “y”) de las dos ecuaciones (la que mas facil resulte).Escogemos la “x”porque tiene sus coeficientes positivos.

(1aec.) 9x = 1 + 4y → x =1 + 4y

9

(2aec) 3x = 4− 6y → x =4− 6y

3

2

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3. Igualamos los resultados obtenidos en una nueva ecuacion.

1 + 4y

9=

4− 6y

3

Como puedes observar, ahora la ecuacion solo tiene una incognita.

4. Resolvemos la ecuacion anterior y obtenemos el valor de una de las incognitas (“y” en este caso)

3 · (1 + 4y) = 9 · (4− 6y)3 + 12y = 36− 54y

66y = 33 → y =3366

=12

5. Para obtener el valor de la otra incognita, sustituimos la incognita ya resuelta por su valor en cualquierade las ecuaciones. La mas facil es:

x =1 + 4y

9=

1 + 4 · 12

9=

1 + 29

=39

=13

La solucion la podemos presentar de forma conjunta ası: ( 1/3︸︷︷︸x

, 1/2︸︷︷︸y

)

4. Resuelve por igualacion los siguientes sistemas:

a)

{x + y = 25

2x− y = 35b)

{7x− 9y = −2

2x− y = 1c)

{x− y = 2x + 3y − 1

2y = x + 3Sol:

(20,5); (1,1); (−53

, 23)

d)

3x + 4y

2= x− 2

x = 1− 3y

e)

x− 2

3=

y + 32

x + y = 4f)

x− y

2+

x− y

3= 5

x + y

7+ y = 3

Sol:

(16,-5);(5,-1);( 233

, 53)

4. METODO DE REDUCCION.

Veamoslo con un ejemplo:{

2x + 3y = 53x− 2y = 2

Pasos:

1. Escribir el sistema en forma normal, si no lo esta.

2. Escogemos una incognita y hacemos que los coeficientes de esa incognita en las dos ecuaciones seannumeros opuestos. Para ello podemos multiplicar cada ecuacion por el numero que consideremosoportuno.

Escogemos la “y”porque ya tiene sus coeficientes con los signos cambiados:

(1aec · 2) → 4x + 6y = 10(2a ec · 3) → 9x− 6y = 6

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3. Sumamos las dos ecuaciones.

4x + 6y = 109x− 6y = 6

13x = 16

Como puedes observar, ahora la nueva ecuacion solo tiene una incognita.

4. Resolvemos la ecuacion anterior y obtenemos el valor de una de las incognitas (“x” en este caso)

13x = 16 → x = 16/13

5. Para obtener el valor de la otra incognita, sustituimos la incognita ya resuelta por su valor en cualquierade las ecuaciones.

2x + 3y = 5

2 · 1613

+ 3y = 5

3213

+39y

13=

6513

→

32 + 39y = 65

39y = 33

y =3339

=1113

La solucion la podemos presentar de forma conjunta ası: (16/13︸ ︷︷ ︸x

, 11/13︸ ︷︷ ︸y

)

5. Resuelve los siguientes sistemas por el metodo de reduccion

a)

{2x + 3y = 11

x− 6y = 4b)

{4x + 7y = −3

−3x + 6y = −9c)

{4x + 5y = 40

2x− 3y = −2

Sol:

(26/5,1/5); (1,-1); (5,4)

d)

12x + y = 3

−3y + x = 1e)

x− 3

2=

y + 15

3x− 4y = 13f)

2x

3+

y

2=

116

y − x =52

(4,1); (3,-1); (1/2,3)

6. Resuelve los siguientes sistemas alternando los metodos de sustitucion, igualacion y reduccion.

a)

{x− 3y = 13

5x− y = 23b)

{2x− 7y = −5

−5x + 9y = 4c)

{9 = x + 4y

x− 2y = 3

d)

x

5=

y

6x− y = −2

e)

x + 2

3=

y − 52

2 (x + 2)− y = −5f)

3 (x + 2)− 5 (y + 1) = 9

4x +5 + 3y

2= 5

g)

5x− 3

3+ 2x = 2 (1 + y)

2x

3+ 2y =

13

+ x

h)

2 (x− 1) + 3 (y + 4) = 2 (3x + y)− 9x

2− y

3= 3

i)

3 (x− 5)

2− y − x

3=

y

6+ 3

−3 (x− y − 4)− 10 = y − 1

Sol: (4,-3); (1,1); (5,1); (10,12); (-2,5); (1,-1); (1,1/3); (4,-3); (9,12)

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5. PROBLEMAS.

7. La suma de dos numeros es igual a 39 y su diferencia es 11. Calcula los 2 numeros.

8. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone en total de 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuantashabitaciones tiene de cada tipo?

9. Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 4´50 e y otros a 3´60 e y obtiene de la venta310´50 e. ¿Cuantos libros vendio de cada clase?

10. Una caravana de camellos y dromedarios va por el desierto. En total se pueden contar 440 patas y 160jorobas (el camello tiene una joroba y el dromedario 2). ¿Cuantos camellos y dromedarios hay en lacaravana?

11. Carlos ha comprado en un estanco 37 sellos de correos: unos de 50 centimos y otros de 0´20 e. Si entotal ha pagado 14’90 e, ¿Cuantos sellos de cada tipo ha comprado?

12. La edad de un padre mas el doble de la de su hijo suman hoy 120 anos y hace cinco anos la edad delpadre era el triple de la del hijo. ¿Cuantos anos tiene cada uno?

13. La diferencia de dos numeros es16

. El triple del mas grande menos el doble del pequeno es 1. Determinaestos numeros.

14. Un rectangulo tiene 17 cm de perımetro y su base mide 1 cm mas que el doble de la altura. Calcula labase y la altura del rectangulo.

15. Dos numeros suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los cocientes se diferencianen 1. Calcula el valor de estos numeros.

16. Un jurado esta compuesto por hombres y mujeres. El numero de mujeres es igual al doble de hombresmenos 4.Con dos mujeres menos el jurado tendrıa el mismo numero de hombres que de mujeres. ¿Cuantoshombres y mujeres hay en el jurado?

17. Calcula las dimensiones de un rectangulo si su perımetro mide 80 m y la altura es23

de la base.

Sol: El 25 y el 14. 13 sencillas y 37 dobles. 9 libros a 4´5 e y 75 libros a 3´6 e. 60 camellos y 50 dromedarios. 25

sellos de 50 c y 12 sellos de 20 c. 68 anos y 26 anos. 3/2 y 1/2. 6 cm de base y 5/2 de altura. El 19 y el 32. 8 mujeres

y 6 hombres. 24 m de base y 16 m de altura.

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