CAPITULO: V

M.C.M. – M.C.D.

5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)5.1.1. Definición . Es el mayor de los divisores

comunes de dos o más números. Ejemplo: Sean los números 12; 18 y 24,

donde

Sus divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6Entonces el mayor número que divide a 12; 18 y 24 a la vez es 6 MCD (12; 18; 24) = 6

5.1.2. Formas prácticas para determinar el MCDi) Descomposición simultánea

MCD

(20; 15) = 5

ii) Por descomposición canónicaSe toman los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes.

Sean los números: A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

MCD (A;B) = 24 x 53

iii) Divisiones sucesivas o algoritmo de

euclidesPara hallar el MCD(A,B) se procede de la siguiente manera:Se divide el número mayor entre el menor obteniéndose un cociente(C) y un residuo (R), se divide el número menor entre R obteniéndose un cociente (C1) y un residuo (R1) y así sucesivamente se procede hasta encontrar un residuo cero. El ultimo residuo diferente de cero es el MCD(A,B).

Esquema:

Donde: A>B R3=C5R4; R2=C4R3+R4; R1=C3R2+R3; R=C2R1+R2 B=C1R+R1; A=CB+R

5.1.3. Propiedades del MCD P1. El MCD nunca es mayor que uno de los

números.

P2. Si el menor de los números es divisor común de los otros, entonces el MCD será ese menor número.

P3. El MCD de 2 números primos entre sí es la unidad.

P4. Si MCD (A, B, C) =d Se cumple: MCD (An ; Bn ; Cn ) = dn

MCD

P5. Si MCD(A; B; E; F) = MCD (M; N)Donde:M = MCD(A;B); N = MCD(E;F)También:MCD(A;B;E;F) = MCD(A;MCD(B,E, F)

5.2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 5.2.1 Definición . Es el menor múltiplo común

de dos o más números.Ejemplo: Sean los números 12 y 8

donde

Sus múltiplos comunes son: 24; 48; ….Entonces el menor número común múltiplo es 12 MCM (12; 8) = 24

5.2.2 Formas prácticas para determinar el MCMi) Descomposición simultánea

Ejemplo: 20 15 5

4 3 3 4 1 4 1 1

MCM ( 20 ; 15) = 5 x 3 x 4 = 60

ii) Por descomposicion canonicaSe toman los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes”Sean los números A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

MCM (A, B) = 26 x 35 x 54 x 72

5.2.3 Propiedades del MCM P1. El MCD nunca es menor que alguno de

los números.P2. Si el mayor de los números es múltiplo

de los otros, entonces el MCM será ese mayor número.

P3. El MCM de 2 números primos entre sí es el producto de dichos números.

P4. Si MCM (A, B, C) =d Se cumple: MCM (An ; Bn ; Cn ) = dn

MCM

P5. Si MCM(A; B; E; F) = MCM (M; N)Donde:M = MCM(A;B); N = MCM(E;F)

P6. A x B = MCM(A;B) x MCD(A,B)

s DIVISORES12 1; 2; 3; 4; 6; 12 18 1; 2; 3; 6; 9; 1824 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

20 15 : 5 4 3

COCIENTE C C1 C2 C3 C4 C5

A B R R1 R2 R3 R4

RESIDUO R R1 R2 R3 R4 0

s MÚLTIPLOS12 12; 24; 36; 48; 60; 72; … 8 8; 16; 24; 32; 40; 48; …

PESI

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

01. Hallar dos números sabiendo suman 78 y su MCD es 13. Dar como respuesta su diferencia. a) 65 b) 13 c) 52d) 42 e) 50

02. El MCD de los números 36k, 54k y 9k es 1620. Hallar el menor de los números. a) 3240 b) 3500 c) 3600d) 3800 e) N.A.

03. ¿Cuántos divisores comunes admiten los números?A = 184 x 313; B = 275 x 723 y C = 483 x 842?a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 36

04. ¿Cuál es el menor número que dividido entre 5, 6, 7 y 17 arroja 3 de residuo? a) 3500 b) 3573 c) 3810d) 4200 e) N.A.

05. Hallar dos números enteros sabiendo que su diferencia es 36 y su MCM es 336. Dar suma de ellos. a) 132 b) 130 c) 144d) 148 e) 139

06. El producto de dos números es 3402 y su MCD es 9, diga cuántos pares de números cumplen dichas condiciones. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. Se halló el MCD de 2 números mediante el algoritmo de Euclides y se obtuvo 10 como resultado, siendo los cocientes 5, 1, 2 y 3. El mayor de ellos es:a) 570 b) 580 c) 100d) 630 e) N.A.

08. Al aplicar el método de divisores sucesivos para hallar el MCD de dos números se obtuvo de cocientes sucesivos: 2, 4, 1 y 2. Si su diferencia es 204, hallar la suma de dichos números. a) 720 b) 900 c) 620d) 680 e) 540

09. En el proceso de determinación del MCD de los

números por el algoritmo

de Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos: 7; 1; 3 y 3, hallar (x+y+z+w+a) a) 14 b) 5 c) 16d) 13 e) 18

10. Al aplicar el método de las divisiones sucesivas para hallar el MCD de 2 números se obtuvieron como cocientes sucesivos: 2; 4; 1 y 2. Si su diferencia es 204, hallar la suma. a) 540 b) 870 c) 450d) 480 e) 405

11. Hallar dos números, sabiendo que su MCD es 80, la suma de ellos es 640 y ninguno de ellos es igual a su MCM. Dar como respuesta el mayor de ellos. a) 600 b) 400 c) 240d) 360 e) N.A.

12. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son 18cm x 15 cm x 10 cm. ¿cuántos de estos ladrillos como mínimos se necesitarán para formar un cubo compacto? a) 45 b) 90 c) 180d) 270 e) 450

13. Hallar el valor de “n” si el MCM de los números A = 450 x 75n; B = 75 x 18n tiene 550 divisores.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

14. Hallar dos números cuyo MCD es 17; y al aplicar el algoritmo de Euclides, se obtuvo por cocientes sucesivos: 2: 1; 1; 1 y 2. Dar la suma de ambos. a) 493 b) 340 c) 680d) 483 e) 542

15. Al aplicar el algoritmo de Euclides para hallar el MCD de 2 números, se obtuvo como cocientes sucesivos: 2; 4; 1 y 2. Si dichos números difieren en 204. ¿cuántos suman? a) 270 b) 504 c) 540d) 570 e) 620

16. ¿Cuál es el menor número entero de 4 cifras que dividido entre 7; 8; 9 y 12 deja siempre residuo 5? Indique la suma de cifras del número?a) 8 b) 5 c) 4d) 6 e) 7

17. Si: MCD (n; m) = 15 x ; MCD (p; q) = 21 x

MCD (n; m; p; q) = 72. Hallar: a + b a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

18. Sabiendo que: MCD (35 a; 5 b) = 70MCM (42 a; 6 b) = 504. Hallar: a x b a) 168 b) 24 c) 84d) 12 e) 316

19. ¿Cuál es el menor número entero que dividido entre 4; 6; 9 y 15 dé como restos 2; 4; 7 y 13 respectivamente?a) 206 b) 168 c) 260d) 280 e) 178

20. Hallar el valor de “n” si el MCM de los números: A = 12n x 45 y B = 12 x 45n tiene 450 divisores. a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6

21. Determinar dos números tales que su MCD es 11 y la diferencia de sus cuadrados es 2904, dar el número de soluciones. a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

22. Al calcular el MCD de los números y por

el método del algoritmo de Euclides, se obtuvo por cocientes 2, 3, 1 y 5. Calcular (a + b + c + d). a) 19 b) 21 c) 22d) 24 e) 25

23. Al dividir un número entre 10; 15 y 20, se obtiene como residuos respectivos 8, 13 y 18. Hallar dicho número, si es el menor posible. a) 43 b) 58 c) 52d) 62 e) 65

24. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capacidades 12; 24; 56 y 120 galones respectivamente, ¿cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente?a) 4 b) 24 c) 6d) 12 e) 8

25. Se desea dividir 3 barras de acero de longitudes 165; 225 y 345 cm en trozos de igual longitud. ¿cuál es el menor número de trozos que se puede obtener?a) 40 b) 44 c) 55d) 147 e) 49

26. Cuatro barras de longitudes 260, 280, 420 y 480cm se requieren dividir en pequeños trozos de igual longitud. ¿Cuál es el menor número de trozos que se pueden obtener?a) 70 b) 72 c) 80

d) 85 e) 20