1

Unidad 8. Convección forzada, flujo interno

• Consideraciones hidrodinámicas: – longitud de entrada hidrodinámica velocidad media y CL de longitud de entrada hidrodinámica, velocidad media y CL de

velocidad completamente desarrollada– caída de presión, factor de fricción y coeficiente de fricción

• Consideraciones térmicas:– longitud de entrada térmica, temperatura media y CL térmica

completamente desarrollada

• Balance de energía:– flujo de calor constante– temperatura constante

• Correlaciones de convección para flujo laminar y turbulento en tubos

circulares, no circulares y concéntrico

Consideraciones hidrodinámicas

• Región de entrada: u(r,x)• Región completamente desarrollada: u(r), parabólico (flujo laminar) o

ámás plano (flujo turbulento)

υDu

Re Re mDc,D =≈ 2300

• La extensión de la región de entrada varía si el flujo es laminar o turbulento

• Reynolds crítico:

2

Longitud de entrada hidrodinámica

x⎟⎞

⎜⎛ 2300≤DReD

lam

hfd

Dx

Re., 050≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

6010 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤

turb

hfd

Dx ,

Flujo turbulentocompletamente

desarrollado: x/D>10 (perfil más plano que en (perfil más plano que en

régimen laminar)

Velocidad media

Como la velocidad varía sobre la sección transversal del tubo, se define una velocidad media de la ecuación de continuidad:

Para flujo incompresible y ro=D/2:

∫∫ == oo rr rdr)xr(urdr)xr(uu 22πρ

cmA

c

.AudA)x,r(um

c

ρρ == ∫μπD

mRe.

D4

=

∫∫oo

m rdr)x,r(ur

rdr)x,r(ur

u 0202ρπ

3

Flujo laminar, incompresible, propiedades constantes , tubo circular

u0

Perfil de Velocidad en la región completamente desarrollada

tubo circular

Característica en región completamente desarrollada:

v=0 y du/dx=0 ⇒ u(r,x)=u(r)

Para el elemento anular diferencial

• Integrando 2 veces

4

• Perfil de velocidad parabólico

→= ∫ or

om rdr)x,r(u

ru 02

2mo uuur 20 ==→=

uo

2

Ddxdp

f⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=Factor de fricciónde Moody (o Darcy)

Caída de presión y factor de fricción en flujo completamente desarrollado en tubos circulares

22muρ

22m

sf u

Cρτ

=

de Moody (o Darcy)

Coeficiente de fricciónde Fanning

4fC f =

orrs dr

du

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= μτComo: derivando el perfil de velocidad, resulta:

5

Expresiones analíticas del factor de friccióntubos circulares

Se obtiene una expresión analítica reemplazando um y ReD, en la expresión de f:

64

Flujo laminar:

2

D

fRe

=64

( )dx/dpr

u om μ8

2−=

Flujo turbulento, tubos lisos: datos experimentales correlacionados (Diagrama de Moody)

ReD<2 .104/

D

.fRe

= 1 4

0 316/

D

.fRe

= 1 5

0 184ReD>2.104

O bien, la correlación de Petukhov:

Expresiones analíticas del factor de friccióntubos circulares

La correlación de Colebrook, permite calcular el factor de fricción para flujo turbulento en función de la rugosidad de la superficie d l t b del tubo, e:

Las correlaciones anteriores se grafican en el Diagrama de Moody.

En flujo completamente desarrollado: f y dp/dx son constantes, de modo que integrando su definición puede hallarse la caída de

( )m

dp Ddxfuρ

−= 2

2 .

m

V.pPotencia

)xx(Du

fp

Δ=

−=Δ 12

2

2ρIntegrando:

de modo que integrando su definición, puede hallarse la caída de presión en dirección axial

6

• De la ecuación de Colebrook

Tubos circulares, flujo completamente desarrollado

7

Perfil de temperatura para: Ts=constante o qs”=constante

Consideraciones térmicas

Longitud de entrada térmica

Flujo laminar:

Flujo turbulento: (perfil más plano que el laminar)

(aceites) muy pequeñafd ,t fd ,h

fd ,h

Pr x x

Pr x

> → >

≥ →

1

100

Temperatura media

cA

v

m

dATucT c

∫=

ρT(r,x) y Tm(r,x)

v

.cm

Fluido incompresible en un tubo circular, cv constante:

Tm varía a lo largo del tubo mdT / dx ≠ 0 si si

m s m

m m s

dT / dx T TdT / dx T T

> >

< >

00

rdrdArA

Aum

c

c

cm

.

ππ

ρ

2

2

==

=∫= or

omm uTrdr

ruT 02

2

8

Flujo de calor local, flujo interno

)TT(h"q msx −= )TT(hq msx

donde:

h: coef. conv. localTs : temp. de la superficieTm: temperatura media del fluido (f(x))

Condiciones de flujo completamente desarrollado en CL térmica

r dx/dTy dx/dTdx/du

m ∀≠≠=

000

T(r) varía con x, pero cuando el flujo está completamente desarrollado, la forma relativa del perfil no cambia, o sea:

0=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

∂∂

t,fdms

s

)x(T)x(T)x,r(T)x(T

x

y también su derivada respecto a r debe ser independiente de x:

→ independiente de x

Estas ecuaciones se aplican para las 2 posibles condiciones de superficieq”= constante (Ts=Ts(x)) o Ts constante

9

De la ley de Fourier,

y la ley de enfriamiento de Newton, )TT(hq ms"s −=

)TT(rTk

hms

ror

−∂∂

= =

y y ,

De acuerdo al análisis anterior, el término de la derecha es independiente de x, de modo que:

)x(fh ≠

mss

En flujo de CL térmica completamente desarrollada de un fluido con prop. constantes, el coeficiente de convección es constante, independiente de x.

La fricción y el coeficiente de convección permanecen constantes en la región completamente desarrollada de un tubo

Flujo laminar

10

Balance de energía Consideraciones generales

q dhδ →

Flujo en un tubo: SARE, despreciamos Ec y Ep

. .

conv p m ,s m ,e

q dh

q m c (T T )

δ = →

= −

Expresión general, independiente de la naturaleza de la superficie térmica o condiciones de flujo en el tubo

PdxqdTcmdq "smp

.

conv ==

p

.

"sm

cm

Pqdx

dT=

Válida para las 2 condiciones de superficie:• flujo de calor constante en la pared del

tubo• temperatura de pared constante

P=πD

q”s =constanteFlujo de calor constante en la pared del tubo

PLqq "sconv =

constantecm

Pqdx

dT

p

.

"sm ==

xcm

PqT)x(T

p

.

"s

e,mm +=

hq

)x(Tm)x(Ts )TT(hq"s

ms"s +=⇒−=

Si q” no es constante, pero es una función conocida de x, las expresiones anteriorestienen solución

11

hq

)x(Tm)x(Ts"s+=

Derivando la expresión para la región (térmica) completamente desarrollada :

t,fd

m

t,fd

s

dxdT

dxdT

=

y del perfil adimensional de T:

Por lo tanto:

constantecm

Pqdx

dTdxdT

dxdT

p

.

"s

t,fd

m

t,fd

s

t,fd====

Ts =constanteTemperatura constante en la pared del tubo

p

.

"sm

cm

Pqdx

dT= )TT(hq ms

"s −=

ms TTT −=Δ

(a)Integrando entre la entrada y la salida del tubo:

Integrando entre la entrada y una posición axial x del tubo:

12

Ts =constante

Despejando mCp de (a) y haciendo As=PL, resulta:

Media logarítmica de la diferencia de temperaturas

13

Las expresiones anteriores pueden aplicarse si en lugar de Ts, se conoce la temperatura de un fluido externo T∞:

O bien:

: coeficiente promedio global de transferencia de calor y Rtot: resistencia total al flujo de calorU

RAUAUAU

totooiis

1=== ( ) ( ) ( )ooiioii

i hr/rr/rlnk/rh/U

++=

11

ARU

tot

1=

Coeficientes de convección teóricosFlujo laminar completamente desarrollado en tubos circulares

A partir de la ecuación de la capa límite térmica y de las aproximaciones de CL, reemplazando el perfil de velocidades encontramos el perfil de temperaturas para flujo de calor constante:

2

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ r)r(u

0

12

=

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

υ

om rr

u)r(u

mud dT r dTrr dr dr r dxα

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2

0

21 1

q”=ctte.:

Perfil de u

q

Perfil de T

Reemplazando ambos perfiles en : ∫= or

omm uTrdr

ruT 02

2

14

Coeficientes de convección teóricosFlujo laminar completamente desarrollado en tubos circulares

q”=constante:

)TT(hq ms"s −=y como:

resulta:

o bien: k evaluado a Tm

)x Pr,,(RefNu DD ≠

k evaluado a TmAnálogamente:

Región de entrada

• Número de Graetz (adimensional):

15

Correlaciones que incluyen la región de entradaFlujo laminar

• Correlación de Hausen (1943)

» (8.57)

• Correlación de Baehr y Stephan (2006)

• (8.58)

Si la temperatura media del fluido difiere mucho de la temperatura de superficie, la siguiente corrección es necesaria (especialmente para líquidos):

donde todas las propiedades son evaluadas a Tm excepto μs que se evalúa a Ts

16

Correlaciones de convección para flujo turbulento en tubos circulares

• Ecuación de Dittus-Boelter (flujo turbulento completamente desarrollado en u y T, tubos circulares lisos)

error~25%

Propiedades evaluadas a Tm

Correlaciones de convección para flujo turbulento en tubos circulares

• Ecuación de Sieder y Tate (flujo turbulento completamente desarrollado en u y T, tubos circulares lisos)

error~25%

propiedades evaluadas a Tm excepto μs que se evalúa a Ts

• La ecuaciones de Dittus-Bolter y Sieder y Tate pueden aplicarse a las dos condiciones de superficie: temperatura constante y flujo de calor constante

17

Ecuación de Gnielinski (2300< ReD<5 106, 0.5<Pr<2000):

• Propiedades evaluadas a Tm• Aplicable para ambas condiciones: q” constante y Ts constante

( )( )( ) ( )187121

100083221 −+

−=

//D

DPr/f.

PrRe/fNu ( ) 2641790 −−= .Reln.f Derror~10%Tubos lisos

f puede obtenerse también del Diagrama de Moody

Metales líquidos, flujo completamente desarrollado en tubos circulares lisos

Skupinski et al., 1965p ,

Seban y Shimazaki, 1951

Pe=Re Pr

18

Flujo en tubos no circulares

En flujo turbulento se aplican correlaciones para tubos circulares, con D=Dh

Correlaciones de convecciónpara flujo en el ánulo de tubos concéntricos

19

Flujo turbulento

• En flujo turbulento los coeficientes de convección interior y exterior sonaproximadamente iguales entre si y el ánulo del tubo puede considerarse

t b i l d diá t D D Dcomo un tubo circular de diámetro Dh=Do-Di

• Por lo tanto, el Nu puede calcularse con la Ecs. de Gnielinski vistaanteriormente para flujo turbulento y luego se corrige multiplicando porlos siguientes factores de corrección dados por Petukhov y Roizen (1964)

20

Ejemplo

1. Flujo laminar o turbulento (propiedades a Tm) ?2. Región CD o debe incluirse la región de entrada ?

21

Ejemplo

1. Flujo laminar o turbulento (propiedades a Tm) ?2. Región CD o debe incluirse la región de entrada ?