Primera parte

Historia de la lgica

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f. De Frege a Gdel

La obra de Frege nace del choque de la lgica matemtica y la matemtica de la lgica. Esto es: las preocupaciones que llevaron a Frege a postular el primer sistema axiomatizado, consistente y completo de lgica de primer orden fueron las de los fundamentos de la aritmtica.

A partir de aqu parece haber dos direcciones en el desarrollo de la lgica: Una, enfocada a la teora de la deduccin, la induccin, y otros tipos de argumentos en vista de juzgar su solidez; y otra que se preocupar por el desarrollo mismo de la teora de sistemas formales en su fundamentacin, otnologa, variedad y dems.

La obra de Gottlob Frege no fue reconocida en su poca por los lgicos del momento. No sera sino hasta la difusin que hace de sus ideas Bertrand Russell que tendra realce.

Algunos problemas de su recepcin fueron:1. Su notacin idiosincrtica y complicada.2. La falta de inters de los filsofos.3. Era tan novedosa que no se le entendi del todo.4. No caba dentro de ningn campo de discurso bien delimitado (no era ni lgica comn, ni matemticas comunes, ni filosofa comn).

una idea existe independientemente de la mente y es susceptible de ser analizada en trminos de ideas lgicas, lo cual permite de ella una definicin completamente satisfactoria con la exclusiva ayuda de ideas lgicas, y as, dando un paso ms, afirmaba [Frege] que la aritmtica misma es una parte de la lgica.

La obra principal de Frege es la Conceptografa, aqu establece todo su sietma lgico. Posteriormente en Los principios de la aritmtica, lleva a cabo la exposicin del desarrollo de estos principios para fundamentar la aritmtica.

Para Frege la aritmtica es la teora sobre los nmeros racionales (Q). Estos nmeros son definidos desde su cardinalidad (cuanto) siendo sta una propiedad de una clase.

As, un nmero cardinal X es la clase de todas las clases Y donde x e y tienen una relacin funcional biyectiva, esto es:1. Cada elemento de X puede ser emparejado con uno, y slo uno, de los de los elementos de Y.2. Y viceversa para 1.3. Si a1 y a2 son elementos de X estn agrupados con los elementos b1 y b2 son los mismos elementos.4. Y viceversa para 3.

Todas estas clusulas sirven para evitar la circularidad de hacer uso del concepto uno.

Un concepto vital para lo concepcin de Frege es el de funcin, por eso, le dio una mayor claridad y rigor que la que se usaba en su tiempo. Defini funcin como regla:a) f es una funcin de X a Y, donde stas son clases y f es una regla referente a ellas.b) X es la clase definitoria de f, Y es el dominio de f.c) El par x:y es un producto ordenado de la regla. Donde x es elemento de X e y lo es de Y. y se elige tomando el elemento x y dando una regla de su correspondencia.d) La clase de las selecciones de elementos de Y recibe el nombre de clase de los valores de f.

El otro gran avance que hubo en la poca se debi a la teora de conjuntos de George Cantor (1845-1918).

Nidditch nos dice que conjunto equivale a clase, pero esto no es correcto desde el punto de vista de la teora de conjuntos actual. Son objetos con distintas propiedades.

Si A y B son dos conjunto entre los que se puede establecer una biyeccin, entonces tienen la misma cardinalidad.

El conjunto X es finito si es vaco o si entre sus elementos y algn nmero n elemento de los naturales se puede establecer una biteccin.

X es numerable si es finito o si se puede establecer una biyeccin entre X y N (conjunto de los naturales).

Son numerables: N Z QNo es numerable: R

Con estos elementos Cantor puede establecer una aritmtica cardinal. As, define relaciones y leyes generales de las relaciones: , =.

Y tambin una aritmtica ordinal, la cual, opera igual que la aritmtica cardinal con conjuntos finitos, pero no con conjuntos infinitos.

Se descubri, adems, que la aritmtica ordinal y cardinal de cantor no tena consistencia lgica. En 1871 Burali-Forti da un argumento paradjico para un nmero ordinal n que tiene la misma forma que el de la paradoja de Russell.

En 1901 Russell vislumbra la prdida de consistencia de la aritmtica cardinal, esta intuicin se desarrolla en su famosa paradoja:

El conjunto que contiene a todos los conjuntos se contiene a s mismo?

Estos problemas llevaron al desarrollo de la metamatemtica.

Hasta el da de hoy es una creencia extendida que la teora de conjuntos sirve como fundamento de las matemticas, pero se hace referencia a la teora axiomatizada de conjuntos que domestica o afila la teora de Cantor que es ingenua.

Hugh McColl (1873-1909) fue el primero en defender que el fin de la lgica es la teora de enunciados y que la partcula principal es alguna especie de implicacin o .

Slo G. Peano (1858-1932) us la lgica de enunciados para clarificar los argumentos de la matemtica ordinaria. Tambin apunt que la principal relacin matemtica es la implicacin.La lgica de su tiempo se interesaba en la lgica por s misma o en relacin con una rama especfica de la matemtica, en particular: la aritmtica.El objetivo de Peano era el de obtener demostraciones rigurosas libre de incoherencias. Para ello se propuso descubrir todas las ideas y las leyes lgicas que se usan en las matemticas para dotarlas de una notacin clara que expresara adecuadamente sus leyes.

As implemento (descubri) lo siguiente:1. La definicin de clase por la frmula f(x).2. La distincin de enunciados con variables libres (x) y variables bivalentes (ligadas?).3. El uso de puntos para agrupar signos.4. Signo lgicos distintos de los matemticos que podran causar una lectura equivocada.5. Entender que no es lo mismo ser elementos que parte de una clase.6. Denotar la idea de que slo una cosa tiene tal propiedad con los signos x|Cx.7. La notacin de cuantificador universal escribiendo la variable en la parte inferior derecha del conector de enunciados.8. El cuantificador existencial denotado por .

Alrededor del inters de Peano por la metamatemtica se desarroll una escuela que sigui su particular punto de vista.

La obra que marc el fin de la bsqueda la estructura lgica de la aritmtica fue Principia Mathematica de Russell y Whitehead.Al inicio hay una discusin sobre las ideas, metas y material del tratado donde se deja ver la sntesis de las ideas de Boole, Schrder, Frege, Cantor y Peano.

El primer volumen se divide en dos partes: Lgica matemtica y Prolegmenos a la aritmtica cardinal. Lo volmenes II y III estudian los detalles de las aritmticas ordinales y cardinales sobre la base de la lgica matemtica.

En esta obra Russell ejecuta el plan general que haba expuesto en Principles of mathematics, en la cual intenta hacer desaparecer las dudas de la inconsistencia distinguiendo entre proposiciones predicativas y proposiciones impredicativas.

Prop. Predicativa= Aquella que no es autorreferencial o que no enuncia aquel conjunto que intenta definir.

Propo. Impredicativa=Aquella que es autorreferencial o que enuncia aquel conjunto que intenta definir.

Se prohben las segundas.

En los Principia adopta una distincin similar en dos aspectos:

1) Todo lo que se refiere a la totalidad de una clase X no puede ser elemento de la misma clase.2) No es posible que los valores de una funcin tengan partes cuya definicin slo puede darse por relacin a la funcin misma.

La lgica inmediata posterior se dedica a perfeccionar lo hecho en Principia Mathematica. Sin embargo, pocos suscriben el reduccionismo logicista de las matemticas

Gran parte de los avances, entonces, se dieron en el terreno de las metamatemticas, en especial, en la axiomtica.

Un buen sistema axiomtico es entendido como:

1. Lista exhaustiva de elementos a usar en el sistema.2. Definiciones de enunciados bien formados con los elementos.3. Axiomas completos.4. Lista exhaustiva de definiciones.5. Exposicin para una prueba necesaria y suficiente dentro del sistema.6. Lista de deducciones vlidas.7. Estipular la validez de otros elementos de sistemas axiomticos.Se define comnmente: Un enunciado bien formado es un teorema si es axioma o si es el ltimo paso de una deduccin.

Un sistema S es consistente si no es derivable de l una frmula del tipo: e y e. S es completo si para toda frmula e o e, en sentido excluyente, son teoremas de S.

La bsqueda de un sistema axiomtico se gua por buscarlo como completo y consistente.

Emil Leon Post (1897-1954) propuso que el sistema axiomtico de Principia es consistente y completo.

Tambin, al mismo tiempo que Lukasiewicz, pero independientemente de l, expone un lgica n-valente. La de Lukasiewicz, en realidad, era trivalente. Ambas revisten un inters en la aplicacin a las matemticas y en las concepciones de la verdad.

En 1920 Hilbert y Ackerman dierno una demostracin de la consistencia de un sistema axiomtico de lgica de predicados igual a la de Principia.

1930, Kurt Gdel (1906-1978) demuestra que el sistema de los Principia es completo.

Por otra parte, David Hilbert (1862-1943), al inicio del siglo, demuestra la consistencia de la geometra pero slo al dar por sentada la aritmtica como consistente, ya que la demostracin de la consistencia intrnseca de la aritmtica no la lleg a obtener. As, surgi la idea de buscar pruebas de consistencia para la aritmtica para, a su vez, seguir emplendola como sistema modelo para mostrar la consistencia de las dems ramas de la matemtica. A esto se le conoce como el programa de Hilbert.

Otra novedad en la lgica vino del intento de fundamentacin intuicionista emprendida por L. E. J. Brouwer (1881-1966). Los intuicionistas buscan objetos que puedan ser aprehendidos con la pura intuicin o construidos paso a paso, por lo tanto, ni los conjuntos con infinito actual, ni el principio lgico del tertium non datur pueden ser aceptados.

El programa de Hilbert, el logicismo, se vieron sacudidos por los teoremas de Gdel de 1931, en los cuales se demuestra: (T1) Cualquier teora aritmtica recursiva que sea consistente es incompleta, y (T2) en toda teora aritmtica recursiva consistente T, la frmula T no es un teorema.

Los trabajos de Hilbert y Gdel sealaron el camino de la metamatemtica. En especial la teora de funciones recursivas se vio fortalecida por ellos.