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  • Electrnica digital

    1

    IES ASTURES

    INTRODUCCIN A LA ELECTRNICA DIGITAL

    1. INTRODUCCIN. SEALES ANALGI- CAS Y DIGITALES.

    Podemos dividir la electrnica en dos grandes

    campos: la electrnica analgica y la electrnica

    digital, segn el tipo de seales que utilice.

    Llamamos seal, a la variacin de una magnitud

    que permite transmitir informacin. Las seales

    pueden ser de dos tipos:

    Seales analgicas: son las seales que varan

    de forma continua en el tiempo entre dos valores

    extremos, pudiendo adoptar cualesquiera de los

    infinitos valores intermedios entre los anteriores.

    Seales digitales: son las seales que pueden

    adoptar slo algunos valores concretos.

    Ejemplo: Supongamos un circuito formado por una LDR, como el de la figura. Consideramos

    como seal de salida del circuito la tensin en el

    punto S.

    LDR

    S 6 V

    Vamos a exponer la LDR a dos situaciones dife-

    rentes:

    a) Colocamos la LDR al aire libre, expuesta a luz

    natural. Esta luz ir variando a lo largo del

    da, y tendr variaciones debido, por ejemplo,

    a la ocultacin temporal del sol por el paso de

    alguna nube. Si representamos en un grfico

    la variacin de la tensin en el punto S (con

    respecto a masa) a lo largo del tiempo, ob-

    tendremos una curva similar a la de la figura:

    VS

    6 V

    0 V t

    Se observa que la tensin vara de forma con-

    tinua y toma todos los valores intermedios en-

    tre los valores mximo y mnimo. Se trata de

    una seal analgica.

    b) Colocamos la LDR en un habitculo cerrado

    (sin luz natural) junto a un foco luminoso. A

    continuacin encendemos y apagamos el foco

    varias veces segn nos parezca. La variacin

    de la tensin en el punto S adoptar ahora

    una forma bien distinta:

    VS

    6 V

    0 V t

    Se observa que la tensin vara de forma dis-

    continua, adoptando nicamente dos valores

    concretos, un valor bajo cuando el foco est

    apagado y un valor alto cuando el foco est

    encendido. Se trata de una seal digital.

    Hoy en da, con la creciente complejidad de los

    procesos industriales y de los elementos necesa-

    rios para su control, los grandes volmenes de

    informacin que es necesario tratar, la revolucin

    de las comunicaciones, etc, se hacen imprescin-

    dibles mtodos de control electrnico cada vez

    ms sofisticados. En este contexto, las seales

    digitales presentan importantes ventajas fren-

    te a las analgicas, como son su mayor inmu-

    nidad a las interferencias, mayor simplicidad de

    tratamiento, economa de circuitos, etc.

    En electrnica digital se utilizan seales que

    pueden adoptar nicamente dos valores bien

    diferenciados. Por ello, estas seales se deno-

    minan seales binarias.

    Los circuitos digitales estarn compuestos por

    dispositivos capaces de distinguir y de generar

    seales binarias; como veremos, los dispositivos

    electrnicos digitales ms bsicos, y a partir de

    los cuales estn constituidos todos los dems,

    se denominan puertas lgicas.

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    2. SISTEMA DE NUMERACIN BINARIO.

    El sistema de numeracin de la vida cotidiana es

    el sistema decimal, que utiliza diez signos (de 0

    a 9). Codificando adecuadamente estos diez

    signos podemos representar cualquier nmero,

    realizar operaciones con ellos y, en definitiva,

    representar y transmitir cualquier tipo de infor-

    macin.

    Los circuitos digitales utilizan para su trabajo el

    sistema de numeracin binario, que utiliza ni-

    camente dos signos, el 0 y el 1. A cada uno de

    estos smbolos se le denomina bit.

    El sistema decimal es de base 10, es decir, un

    nmero equivale a un polinomio o suma de tr-

    minos formados por potencias de 10, multiplica-

    das cada una de ellas por un factor, que es uno

    de los signos del sistema de numeracin. Por

    ejemplo:

    4508 = 4 103 + 5 102 + 0 101 + 8 100

    El sistema binario es de base 2, es decir, un n-

    mero equivale a un polinomio o suma de trmi-

    nos formados por potencias de 2, multiplicadas

    cada una de ellas por un factor, que es uno de

    los signos del sistema (0 1). Por ejemplo:

    110101 = 125 + 124 + 023 + 122 + 0 21 + 120

    2.1. Paso de sistema binario a decimal y viceversa.

    Para pasar un nmero en sistema binario a su

    equivalente en sistema decimal se expresa el

    nmero binario por su polinomio equivalente de

    potencias de dos y se suman sus trminos.

    Ejemplo: Pasar 110101 a decimal

    110101 = 125 + 124 + 023 + 122 + 0 21 + 020

    = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53

    Para pasar un nmero en sistema decimal a su

    equivalente binario se realizan sucesivas divisio-

    nes por dos hasta que el ltimo cociente sea 1.

    El nmero binario estar formado por un 1 se-

    guido de los restos ordenados de las sucesivas

    divisiones. El orden de colocacin viene determi-

    nado por la siguiente regla: el resto de la prime-

    ra divisin corresponde al bit menos significativo

    (el situado ms a la derecha).

    Ejemplo: Pasar 26 a binario

    Divisin

    26 : 2

    Cociente

    13

    Resto

    0

    13 : 2 6 1

    6 : 2 3 0

    3 : 2 1 1

    1 1 0 1 0

    2.2. Otros cdigos binarios.

    El cdigo que hemos visto se denomina cdigo

    binario natural, pero existen otros cdigos bina-

    rios.

    Uno de los ms utilizados es el cdigo BCD

    (Decimal Codificado en Binario). Para represen-

    tar un nmero decimal en BCD, se representa

    por separado cada una de sus cifras en cdigo

    binario natural. El nmero de bits necesarios

    para representar cada cifra es de cuatro.

    Decimal

    BCD

    0 0000

    1 0001

    2 0010

    3 0011

    4 0100

    5 0101

    6 0110

    7 0111

    8 1000

    9 1001

    Ejemplo: Representar 348 en BCD

    348 = 0011 0100 1000

    El cdigo BCD que hemos descrito se denomina

    BCD natural, existen otros cdigos BCD pero

    que no veremos. 3. EL LGEBRA DE BOOLE.

    Como hemos dicho, los circuitos digitales operan

    con seales binarias, de forma que slo distin-

    guen entre dos valores de tensin: nivel alto y

    nivel bajo. Los niveles de tensin dependern de

    la tecnologa utilizada. Por ejemplo, con los dis-

    positivos de tecnologa TTL, el nivel alto es 5 V y

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    el nivel bajo 0 V. Para la codificacin binaria de

    las seales, al nivel alto se le asigna el 1 y al

    nivel alto el 0 (aunque puede ser al contrario).

    Ahora bien, los circuitos digitales deben realizar

    a menudo operaciones de gran complejidad, de

    forma que el diseo del circuito no es simple. Es

    necesaria una herramienta matemtica til para

    abordar el diseo de estos circuitos. Dicha

    herramienta es el lgebra de Boole.

    El lgebra de Boole es aplicable a variables que

    slo admiten dos valores posibles, que se desig-

    nan por 0 y 1. Estos smbolos no representan

    nmeros, sino dos estados diferentes de un dis-

    positivo. Por ejemplo, una lmpara puede estar

    encendida (1) o apagada (0), un interruptor o un

    pulsador pueden estar cerrados (1) o abiertos

    (0).

    3.1. Funcin lgica y tabla de verdad.

    Llamamos funcin lgica a toda variable binaria

    cuyo valor depende de una expresin matemti-

    ca formada por otras variables binarias relacio-

    nadas entre s por las operaciones + (ms) y

    (por). A la funcin lgica se le denomina variable

    dependiente y a las variables que forman la ex-

    presin matemtica se les denomina variables

    independientes.

    Ejemplo: la funcin S = a + bc

    Esta expresin se interpreta como la variable S

    vale 1 cuando la variable a vale 1 o las variables

    b y c valen 1. S es la variable dependiente y a,

    b y c son las variables independientes.

    Podemos verlo ms fcilmente con una analoga

    elctrica. Supongamos el siguiente circuito:

    a

    S

    b c

    Definimos la funcin S como el estado de la lm-

    para: encendido (1) o apagado (0). La variable

    a es el estado del interruptor a: abierto (0) o

    cerrado (1). Las variables b y c se definen

    igual que la a.

    En efecto, podemos observar que la lmpara

    estar encendida (S = 1) cuando a est cerrado

    (a = 1) o bien b y c estn cerrados simult-

    neamente (b = 1 y c = 1).

    Las funciones lgicas se representan mediante

    las llamadas tablas de verdad, en las cuales se

    indican los valores que adopta la funcin lgica

    ante todas y cada una de las combinaciones de

    valores de las variables independientes. Si te-

    nemos n variables independientes, tendremos 2n

    combinaciones posibles.

    La tabla de verdad de la funcin S = a + bc es:

    a b c S

    0 0 0 0

    0 0 1 0

    0 1 0 0

    0 1 1 1

    1 0 0 1

    1 0 1 1

    1 1 0 1

    1 1 1 1

    La tabla tiene dos partes, las columnas de la

    izquierda corresponden a las variables indepen-

    dientes o variables de entrada. La columna de la

    derecha corresponde a la variable dependiente o

    variable de salida.

    Cada fila de la tabla representa una combinacin

    posible de las variables de entrada, y el corres-

    pondiente valor que adopta la variable de salida.

    Con n variables de entrada pueden darse 2n

    combinaciones diferentes. 3.2. Las operaciones bsicas del lge- bra de Boole.

    Se definen tres operaciones bsicas: la suma

    lgica, el producto lgico y la complementacin

    (o negacin). SUMA LGICA

    Se representa por el signo +. Si tenemos dos

    variables de entrada a y b, su suma lgica se

    representa por:

    S = a + b

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    a S

    0 1

    1 0

    a b S

    0 0 0

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 1

    la suma lgica vale 1 cuando alguna de las va-

    riables de entrada vale 1.

    Para dos variables, su tabla de verdad es:

    a b S

    0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 1

    El circuito elctrico equivalente es:

    a

    El circuito elctrico equivalente es:

    a b S

    Los circuitos electrnicos que realizan esta ope-

    racin lgica se denominan puertas lgicas

    AND. El smbolo que se emplea depende de la

    norma empleada:

    S a Norma ASA

    b b

    S = a b

    a Norma IEC

    b

    S = a b &

    Los circuitos electrnicos que realizan esta ope-

    racin lgica se denominan puertas lgicas OR.

    El smbolo que se emplea puede ser de dos tipos

    dependiendo de las normas que se empleen.

    COMPLEMENTACIN O NEGACIN

    Se aplica a una sola variable de entrada. Se re-

    presenta colocando un guin encima del nombre

    de la variable. Si sta es a por ejemplo, su

    a Norma ASA

    b

    a

    Norma IEC b

    S = a + b

    S = a + b 1

    complementacin se representa por a (se lee

    a negada).

    S = a

    Si a = 0 entonces S = 1, si a = 1 entonces S = 0.

    Su tabla de verdad es:

    PRODUCTO LGICO

    Se representa por el signo . Si tenemos dos

    variables de entrada a y b, su producto lgico se

    representa por:

    S = a b

    el producto lgico vale 1 cuando todas las va-

    riables de entrada valen 1.

    Para dos variables, su tabla de verdad es:

    El circuito elctrico equivalente es:

    a S

    a

    El contacto a es complementario del a de forma que cuando ste ltimo est abierto el

    primero est cerrado y viceversa.

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    a b S

    0 0 1

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 0

    El circuito electrnico que realiza la operacin

    lgica de complementacin se denomina inver-

    sor o puerta NOT. Los smbolos empleados son:

    Norma ASA a S = a

    a S = a Norma IEC 1

    3.3. Propiedades del lgebra de Boole.

    Estas propiedades y teoremas son muy impor-

    tantes para simplificar las funciones lgicas.

    3.4. Otras puertas lgicas. Aparte de las puertas anteriores, que realizan las

    operaciones bsicas del lgebra de Boole, exis-

    ten otras puertas que realizan funciones lgi-

    cas especiales porque resultan de la combina-

    cin de dos o ms funciones simples. Estas

    puertas son las siguientes: Puerta NOR

    Realiza la suma lgica negada (Funcin NO OR,

    o abreviadamente funcin NOR).

    La expresin matemtica para dos variables es:

    S a b

    La tabla de verdad de la funcin NOR es:

    a 1 1

    a 0 a

    a a a

    a a 1

    a a

    a 1 a

    a 0 0

    aa a

    a a 0

    a b S

    0 0 1

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 0

    Su smbolo, como antes, depende de la norma:

    Propiedad conmutativa:

    a + b = b + a a b = b a

    Propiedad asociativa:

    (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

    Propiedad distributiva:

    a (b + c) = a b + a c

    a + (b c) = (a + b) (a + c)

    a

    Norma ASA b

    a

    Norma IEC b

    Puerta NAND

    S = a + b

    S = a + b 1

    Teoremas de absorcin

    a + (a b) = a

    a (a + b) = a

    a a b a b

    a (a b) a b

    Realiza el producto lgico negado (Funcin NO

    AND, o abreviadamente funcin NAND).

    La expresin matemtica para dos variables es:

    S a b

    La tabla de verdad de la funcin NAND es:

    Teoremas de Morgan

    a b ... z a b ..... z

    a b.... z a b ..... z

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    a b S

    0 0 1

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 1

    Funcin C. integrados N puertas N entradas

    OR 74LS32 4 2

    AND

    74LS08 4 2

    74LS11 3 3

    74LS21 2 4

    NOT 74LS04 6 1

    NOR

    74LS02 4 2

    74LS27 3 3

    74LS260 2 4

    NAND

    74LS00 4 2

    74LS10 3 3

    74LS20 2 4

    74LS30 1 8

    EXOR 74LS86 4 2

    EXNOR 74LS266 4 2

    Su smbolo, como antes, depende de la norma: La tabla de verdad de la funcin EXNOR es:

    a Norma ASA

    b

    S = a b

    a Norma IEC

    b

    S = a b &

    Sus smbolos son:

    a

    S = a b

    Puerta OR EXCLUSIVA

    Tambin llamada puerta EXOR. Slo existe para

    dos entradas. Presenta a su salida el valor lgico

    1 cuando las variables de entrada presentan

    valores diferentes, y presenta el valor lgico 0

    cuando losl valores de las variables de entrada

    Norma ASA Norma IEC

    b

    a

    b = 1

    S = a b

    coinciden. Se representa por:

    S = a b

    y equivale a: S = a b a b

    La tabla de verdad de la funcin EXOR es:

    a b S

    0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 0

    Sus smbolos son:

    3.5. Circuitos integrados comerciales con puertas lgicas de tecnologa TTL.

    Los circuitos integrados de puertas lgicas ms

    populares son los de la serie 74LSXX, fabricados

    con tecnologa TTL. Son circuitos de 14 patillas

    que se alimentan a + 5 V. La patilla 7 es la que

    se conecta a masa (0 V) y la patilla 14 la que se

    conecta a 5 V. Las restantes patillas son las en-

    tradas y salidas de las puertas.

    Para algunas funciones lgicas existen puertas

    de ms de dos entradas (3, 4 e incluso 8 entra-

    das).

    a Norma ASA

    b

    S = a b

    a Norma IEC

    b

    S = a b = 1

    Puerta NOR EXCLUSIVA

    Tambin llamada puerta EXNOR. Slo existe

    para dos variables. Presenta a su salida el valor

    lgico 1 cuando los valores de las dos variables

    de entrada coinciden, y presenta el valor lgico 0

    cuando los valores de las variables de entrada

    son diferentes. Se representa por:

    S = a b

    y equivale a: S = a b a b

    Existen tambin circuitos de puertas lgicas de

    tecnologa CMOS, que son de menor consumo

    que los de tecnologa TTL y se pueden alimentar

    a una tensin de entre 3 y 18 V.

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    4. DISEO DE CIRCUITOS DE PUERTAS LGICAS.

    El mtodo ms simple, cuando el nmero de

    variables de entrada no es grande, consiste en

    obtener la tabla de verdad de la funcin lgica a

    partir de las condiciones fsicas de funcionamien-

    to del circuito que quiero disear.

    Despus obtendremos la funcin lgica a partir

    de dicha tabla de verdad y por ltimo se simplifi-

    ca esta funcin lgica.

    Ejemplo 1: Disponemos de tres finales de carre-

    ra, a b y c para el gobierno de tres motores,

    M1, M2 y M3, segn las siguientes condiciones:

    No estando accionado ningn final de carrera,

    permanecern parados los tres motores.

    Estando pulsado slo a debe girar M1.

    Estando pulsado slo b debe girar M2.

    Estando pulsado slo c debe girar M3.

    Accionando dos finales de carrera cualesquie-

    ra, girarn los tres motores.

    Mientras se encuentren accionados los tres

    finales de carrera, no deber girar ningn mo-

    tor.

    La tabla de verdad del circuito de control del sis-

    tema es:

    a b c M1 M2 M3

    0 0 0 0 0 0

    0 0 1 0 0 1

    0 1 0 0 1 0

    0 1 1 1 1 1

    1 0 0 1 0 0

    1 0 1 1 1 1

    1 1 0 1 1 1

    1 1 1 0 0 0

    Trminos de indiferencia

    Hasta ahora hemos supuesto que cada combi-

    nacin de entradas a un circuito lgico ha de dar

    una salida o bien 0 o bien 1. Sin embargo, a ve-

    ces sucede que algunas de dichas combinacio-

    nes de entrada no podrn darse fsicamente de-

    bido a las caractersticas del sistema que se pre-

    tende controlar con el circuito lgico.

    Pensemos, por ejemplo, en el circuito para con-

    trolar el movimiento de un ascensor, y que algu-

    nas de las variables de entrada son finales de

    carrera que detectan la planta el edificio en la

    que se encuentra el ascensor. Resulta evidente

    que no podrn estar activados al mismo tiempo

    el final de carrera de la 1 planta y el de la 3.

    A estos trminos se les llama trminos de indi-

    ferencia, y da lo mismo que la salida del circuito

    lgico sea 0 1, ya que de hecho no se va a dar

    este caso (evidentemente salvo averas). Estos

    trminos se representan mediante una x o un

    guin - en la tabla de verdad, y, como veremos

    luego, pueden ser bastante interesantes de cara

    a simplificar el circuito lgico.

    Ejemplo 2: Sea un sencillo montacargas que se

    mueve entre dos plantas, que llamaremos baja

    y alta. Dispone de dos interruptores, s y b

    para ordenarle que suba o baje respectivamente,

    que ofrecen un nivel lgico 1 cuando se accio-

    nan. Adems dispone de dos finales de carrera,

    uno en la planta baja, FCb y otro en la planta

    alta Fca que se activan, dando lugar a un nivel

    lgico 1, cuando el montacargas se posiciona

    justamente en su planta respectiva. El circuito

    ofrecer dos salidas, una, llamada Msque al

    activarse con un valor lgico 1 har que se pon-

    ga en marcha un motor que har que el monta-

    cargas suba, y otra, llamada Mb que al activar-

    se con un valor lgico 1 har que el motor gire

    en sentido contrario y el montacargas baje.

    Las condiciones de funcionamiento son:

    Si se activa el interruptor s y el montacargas

    no est en la planta alta, el montacargas

    sube.

    Si se activa el interruptor b y el montacargas

    no est en la planta baja, el montacargas ba-

    ja.

    El montacargas estar parado tanto si no es-

    tn activos ni s ni b como si lo estn am-

    bos simultneamente.

    Tenemos un sistema con cuatro variables de

    entrada (s, b, FCb, Fca) y dos variables de

    salida (Ms y Mb), cada una de las cuales ten-

    dr su funcin lgica.

    Con cuatro variables de entrada pueden darse 24

    = 16 combinaciones diferentes, pero tendremos

    en cuenta que, salvo averas, las seales FCb

    y Fca no pueden estar activas simultneamen-

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    te, por lo que la salida en estos casos es indife-

    rente. La tabla de verdad ser:

    FCb FCa s b Ms Mb

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 1 0 1

    0 0 1 0 1 0

    0 0 1 1 0 0

    0 1 0 0 0 0

    0 1 0 1 0 1

    0 1 1 0 0 0

    0 1 1 1 0 0

    1 0 0 0 0 0

    1 0 0 1 0 0

    1 0 1 0 1 0

    1 0 1 1 0 0

    1 1 0 0 x x

    1 1 0 1 x x

    1 1 1 0 x x

    1 1 1 1 x x

    4.1. Obtencin de la funcin lgica a partir de la tabla de verdad.

    Para obtener la funcin lgica se suman todos

    los productos lgicos correspondientes a las

    combinaciones que dan salida 1, asignando al

    valor 1 la variable en estado normal y al valor 0

    la variable en estado complementada.

    menos espacio y aumentar la fiabilidad del circui-

    to.

    Normalmente, lo que se hace es intentar obtener

    una funcin lgica equivalente a la anterior, con

    el menor nmero de trminos posible y cada

    trmino con el menor nmero de variables posi-

    ble.

    Existen diversos mtodos. Veamos dos de ellos: Simplificacin por el mtodo algebraico

    Consiste en utilizar las propiedades y teoremas

    del lgebra de Boole que hemos visto para agru-

    par y simplificar los trminos de la funcin lgica.

    No es un mtodo sistemtico y no resulta muy

    til cuando la funcin es compleja. Adems,

    tampoco tenemos garanta de que el resultado

    obtenido sea la expresin mnima.

    Ejemplo 1: Vamos a simplificar la funcin lgica

    correspondiente al motor M1 del ejemplo ante-

    rior:

    M1 = a b c a b c a b c a b c

    Utilizo la propiedad a = a + a para repetir el tr-

    mino:

    a b c

    O sea, no altero nada porque yo aada un trmi-

    no que ya exista de cara a usarlo en dos simplifi-

    caciones. Queda:

    Ejemplo 1: veamos la funcin lgica correspon-

    diente a cada uno de los motores del ejemplo 1

    anterior:

    M1 = a b c a b c

    Utilizo que:

    a b c a b c a b c

    M1 = a b c a b c a b c a b c

    M2 = a b c a b c a b c a b c

    M3 = a b c a b c a b c a b c

    a b c a b c

    Igualmente:

    a b c a b c

    a b ( c c) a b 1 a b

    a c ( b b) a c 1 a c

    Ejemplo 2: veamos ahora las funciones lgicas

    correspondientes a las salidas Ms y Mb del

    Me queda por tanto:

    M1 = a b c a b

    a c

    ejemplo 2 anterior: Nota: haciendo lo mismo para M2 y M3 sale:

    Ms = FCb FCa s b FCb FCa s b

    Mb = FCb FCa s b FCb FCa s b

    M2 = a b c a b

    M3 = a b c a c

    b c

    b c

    4.2. Simplificacin de funciones lgi- cas.

    El diseador debe intentar simplificar lo ms po-

    sible la funcin lgica obtenida a partir de la tabla

    de verdad, con objeto de reducir el coste, ocupar

    Ejemplo 2: Vamos a simplificar la funcin lgica

    correspondiente a Ms del ejemplo 2 anterior:

    Ms = FCb FCa s b FCb FCa s b

    Observamos que las variables:

    FCa s b

  • Electrnica digital

    9

    IES ASTURES

    c d

    son comunes a los dos trminos, por lo que po-

    demos sacar factor comn; nos queda:

    a b 00 01 11 10

    Ms = FCa s b (FCb FCb) 00

    Ahora aplico la propiedad de que una

    sumada con su complementaria es igual

    variable

    a 1.

    01

    (FCb FCb) 1

    Luego me queda, definitivamente:

    Ms = FCa s b 1 FCa s b

    Mtodo grfico de Karnaugh

    A diferencia del mtodo anterior, el mtodo de

    Karnaugh asegura obtener la expresin irreduci-

    ble mnima de una funcin lgica.

    Antes de exponer el mtodo, recordemos la pro-

    piedad distributiva aplicada a trminos que sean

    adyacentes, entendiendo por trminos adya-

    centes aquellos que slo difieren en el estado de

    una de sus variables, como, por ejemplo:

    11

    10 Es importante establecer correctamente el orden

    de numeracin de las casillas. Obsrvese que

    estn numeradas de forma que dos casillas con-

    tiguas corresponden a trminos adyacentes, es

    decir, entre dos casillas contiguas, slo una de

    las variables cambia de valor.

    Las relaciones de adyacencia en las tablas de

    Karnaugh son las siguientes:

    En la tabla de dos variables son adyacentes

    a b c d y a b c d o bien las casillas contiguas (un lado comn).

    a b c

    y a b c

    En la tabla de tres variables son adyacentes

    Por aplicacin de dicha propiedad, observamos

    que la suma de dos trminos adyacentes queda

    reducida a un nico trmino al que le falta la va-

    riable cuyo estado difera en ambos trminos

    originales. As, en los ejemplos anteriores:

    tanto las casillas contiguas como las casillas

    de la primera y ltima columna (es como si la

    tabla fuera el desarrollo de un cilindro).

    En la tabla de cuatro variables son adyacen-

    tes, adems de las anteriores, las de la fila

    a b c d

    a b c d a b (c c) d a b d superior con las de la fila inferior (siendo de la misma columna).

    a b c a b c a b (c c) a b Veamos el procedimiento del mtodo de Kar-

    El fundamento del mtodo de Karnaugh consiste

    en reducir a un solo trmino grupos de 2, 4, 8,

    ....trminos adyacentes.

    Para aplicar el mtodo, a partir de la tabla de

    verdad se construye otra tabla llamada tabla de

    karnaugh, cuyo nmero de casillas es el mismo

    que tiene la tabla de verdad, que como sabemos

    depende del nmero de variables de entrada que

    tenga la funcin que se quiere simplificar. As,

    para n variables tendr 2n casillas.

    La forma de las tablas para 2, 3 y 4 variables es:

    naugh:

    1.- Desde la tabla de verdad, se trasladan a la

    tabla de Karnaugh los valores que adopta la va-

    riable de salida cuya funcin lgica se quiere

    simplificar.

    2.- Agrupamientos de 1. Para que la funcin

    lgica quede lo ms reducida posible nos con-

    viene realizar el mnimo de agrupamientos de 1

    y con el mayor nmero de casillas posible. Pro-

    cedemos de la siguiente forma:

    Se toman todos los 1 que no se pueden

    a 0 1 b

    0

    1

    a b 00 01 11 10

    c

    0

    1

    agrupar con ningn otro.

    Se forman los grupos de dos 1 que no pue-

    den formar un grupo de cuatro.

    Se forman los grupos de cuatro 1 que no

    pueden formar un grupo de ocho.

  • Electrnica digital

    10

    IES ASTURES

    a b c M1 M2 M3

    0 0 0 0 0 0

    0 0 1 0 0 1

    0 1 0 0 1 0

    0 1 1 1 1 1

    1 0 0 1 0 0

    1 0 1 1 1 1

    1 1 0 1 1 1

    1 1 1 0 0 0

    a b c S

    0 0 0 1

    0 0 1 0

    0 1 0 1

    0 1 1 1

    1 0 0 0

    1 0 1 0

    1 1 0 x

    1 1 1 x

    c

    0 0 1 1 0

    1

    0

    1

    0

    1

    Al hacer los agrupamientos no hay ningn pro- sin embargo, b no coincide. Esto indica que b es

    blema en que una casilla pertenezca a ms de la variable que se puede eliminar. Queda: a c

    un agrupamiento simultneamente.

    Los agrupamientos conseguidos y los 1 aisla-

    dos sern los trminos que expresarn la funcin

    lgica en forma irreducible.

    Las casillas del agrupamiento de dos 1 de la

    ltima columna tienen en comn que a = 1 y b =

    0; ahora es c la que no coincide, lo que indica

    que se elimina. Queda: a b

    Podemos observar que agrupando 2n 1 adya- En definitiva: M1 = a b c a b a c centes, eliminamos n variables en el trmino que

    representa al agrupamiento. En los 1 aislados

    no se elimina ninguna variable.

    La simplificacin de la funcin del motor M2 es:

    a b

    La mejor forma de entender el mtodo es aplicar-

    lo sobre algunos ejemplos.

    Ejemplo 1: Sea el caso ya visto en un ejemplo

    anterior de los tres motores gobernados por tres

    finales de carrera, cuya tabla de verdad era:

    00 01 11 10

    ab bc

    abc

    Queda: M2 = a b c a b

    Para el motor M3 tenemos:

    b c

    a b 00 01 11 10

    c

    0 0 0 1 0

    Como tenemos tres variables de entrada, usa-

    mos la tabla de Karnaugh de tres variables.

    1 1 1 0 1

    Empezamos con el motor M1:

    ac

    abc bc

    a b 00 01 11 10

    c

    Queda: M3 = a b c a c

    b c

    0 0 0 1 1 Ejemplo 2: Sea un sistema cuya tabla de verdad

    es la siguiente:

    1 0 1 0 1

    abc ac

    ab

    El 1 aislado no permite reducir variables. Se

    observa que corresponde a los valores a = 0, b =

    1 y c = 1. Para expresar este trmino de forma

    algebraica se asigna estado normal a las varia-

    bles que valen 1 y estado complem entario a las

    Obsrvese que hay dos combinaciones de en-

    variables que valen 0. Por ello es: a b c tradas cuya salida es indiferente. Esto es debido

    Las casillas del agrupamiento de dos 1 de la

    fila superior tienen en comn que a = 1 y c = 0;

    a que, por las caractersticas fsicas del sistema

    que se quiere controlar, las variables a y b no

  • Electrnica digital

    11

    IES ASTURES

    a b c d S

    0 0 0 0 1

    0 0 0 1 0

    0 0 1 0 0

    0 0 1 1 0

    0 1 0 0 1

    0 1 0 1 1

    0 1 1 0 1

    0 1 1 1 0

    1 0 0 0 0

    1 0 0 1 0

    1 0 1 0 0

    1 0 1 1 0

    1 1 0 0 x

    1 1 0 1 x

    1 1 1 0 x

    1 1 1 1 x

    00 01 11 10

    1 1 x 0

    pueden estar activas simultneamente (recordar a b

    el ejemplo del montacargas que no puede estar c d

    en dos plantas al mismo tiempo).

    Vamos a simplificar la funcin lgica por el m-

    todo de Karnaugh.

    a b 00 01 11 10

    00

    01 0 1 x 0 acd

    11 0 0 x 0

    bc

    c

    0 1 1 x 0

    1 0 1 x 0

    10 0

    1 x 0

    bd

    ac b

    4.3. Realizacin del esquema del cir- cuito a partir de su funcin lgica.

    Hemos tomado las dos casillas de trminos indi-

    ferentes como 1 ya que de esta forma puedo

    formar un agrupamiento de cuatro casillas, que

    es ms conveniente que uno de dos casillas.

    Me queda, por tanto: S = a c b

    Ejemplo 3: Sea el sistema cuya tabla de verdad

    se da a continuacin:

    Una vez que tenemos la funcin lgica ya simpli-

    ficada, procedemos a implementarla con puertas

    lgicas. Veamos algunos ejemplos:

    Ejemplo: S = a c b (del ejemplo 2 anterior)

    a

    1

    b

    c

    1

    S 1

    &

    Sin embargo, podemos tener en cuenta que se-

    gn uno de los teoremas de Morgan

    a c a c

    con lo que queda mucho ms simple usando una

    puerta NOR.

    a

    b

    c

    Vamos a simplificar por el mtodo de Karnaugh:

    Tras realizar los agrupamientos que se indican

    en la tabla de karnaugh siguiente, nos queda:

    S = (a c) b

    S 1

    S = a c d b c

    b d 1

  • Electrnica digital

    12

    IES ASTURES

    1 1

    1

    Ejemplo: (funcin del ejemplo 3 anterior) 5. LA CONEXIN DE LA SALIDA DEL CIRCUITO LGICO A OTROS CIRCUITOS.

    S = a c d b c

    a b c d

    b d

    &

    &

    &

    Por los circuitos constituidos por componentes

    electrnicos digitales circulan intensidades de

    corriente muy pequeas. De hecho, aunque de-

    pende del tipo de tecnologa, la salida de una

    puerta lgica no puede dar ms de all de unos

    pocos mA de corriente. Concretamente, con la

    tecnologa LS TTL, que es una de las ms habi-

    tuales, la corriente de salida es de 8 mA, y en

    S tecnologa CMOS, tambin bastante utilizada, es 1 an menor, de unos 2 mA.

    Todo lo anterior nos indica que nosotros, en nin-

    gn caso podemos conectar a la salida de un

    circuito lgico sin ms, el receptor que queramos

    controlar, como puede ser un motor, una lmpa-

    ra o un rel, ya que todos estos elementos con-

    4.4. Implementacin de puertas lgi- cas con puertas NAND y NOR.

    De cara a la realizacin fsica del circuito elec-

    trnico con puertas lgicas, puede resultar inte-

    resante tener en cuenta que cualquier puerta

    lgica se puede construir con puertas NAND o

    con puertas NOR. Por ello a estas puertas, se

    les llama puertas universales.

    Esto es interesante, primero porque el coste de

    los circuitos con puertas NAND es ms bajo que

    con otras puertas, y segundo, porque si necesi-

    tamos para completar el diseo una sola puerta

    de cualquier tipo, no merece la pena colocar un

    sumen una corriente muy superior a la que el

    circuito lgico puede dar.

    La forma ms sencilla de resolver este problema

    es que la salida del circuito lgico se conecte a

    la base de un transistor o de un par Darlington,

    interponiendo una resistencia adecuada para

    limitar la salida de corriente. Para la conexin del

    receptor que queramos controlar tenemos dos

    posibilidades:

    a) Si el receptor re- Vcc

    quiere una pequea

    tensin continua y su

    consumo de corriente

    nuevo circuito integrado, desperdiciando el resto

    de puertas que contenga, cuando puede que nos

    sobren puertas NAND o NOR en otro integrado.

    En la tabla se muestra la forma de realizar las

    funciones bsicas con puertas NAND y NOR.

    es bajo, se puede

    conectar directamen-

    te al colector del tran-

    sistor (por ejemplo,

    un led o un zumbador).

    Circuito

    lgico

    5K6

    Funcin Con puertas NAND Con puertas NOR

    b) Si el receptor requiere una tensin elevada o

    tiene mayor consumo, como pueden ser lmpa-

    ras de incandescencia, motores, etc, es conve-

    1 &

    & & &

    1 niente conectar la bobina de excitacin de un

    rel al colector del transistor y que sean los con-

    tactos del rel los que activen el receptor.

    1 Vcc V

    1

    1 &

    &

    1 1

    Circuito

    lgico

    5K6

  • Electrnica digital

    13

    IES ASTURES

    ACTIVIDADES

    A.1. Transformar los siguientes nmeros dados

    en cdigo binario natural a sistema decimal.

    a) 1100110 b) 010001 c) 1101 d) 1001101

    A.2. Transformar los siguientes nmeros decima-

    les a cdigo binario natural.

    a) 125 b) 121 c) 88 d) 33 e) 63 f) 65 g) 110

    A.3. Expresar los siguientes nmeros decimales

    en cdigo BCD.

    a) 312 b) 401 c) 290 d) 1029 e) 17 f) 82

    A.4. Expresar los siguientes nmeros en cdigo

    BCD en sistema decimal.

    a) 1000 0110 0001 b) 0011 1001 c) 0110 0101

    B. Elaborar la tabla de verdad y la funcin lgica

    de los siguientes circuitos.

    B.1. a b

    L

    c

    B.2. a b

    L

    B.4. a b

    L

    c d B.5. a b

    L1

    a

    a

    L2

    b

    C. Elaborar la tabla de verdad correspondiente a

    las siguientes funciones lgicas.

    C.1 S1 = a b

    C.2 S2 = a b c

    C.3 S3 = a bc c

    a b C.4 S4 = (a b c) ( d c)

    C.5 S5 = [(a 1) b ] c

    B.3. a b

    c L

    d

    D. Elaborar un esquema elctrico a base de pul-

    sadores y lmparas que se corresponda con

    cada una de las funciones lgicas siguientes

    D.1 L1 = (a b) c

    D.2 L2 = a b c

    D.3 L3 = [(a 1) b ] c

    D.4 L4 = (a b c) (d c)

    E.1. Elaborar la tabla de verdad del sistema de

    control de un motor controlado por tres pulsado-

  • Electrnica digital

    14

    IES ASTURES

    a b c S1

    0 0 0 0

    0 0 1 0

    0 1 0 0

    0 1 1 1

    1 0 0 0

    1 0 1 1

    1 1 0 1

    1 1 1 1

    a b c S2

    0 0 0 1

    0 0 1 1

    0 1 0 0

    0 1 1 0

    1 0 0 1

    1 0 1 1

    1 1 0 0

    1 1 1 0

    a b c S3

    0 0 0 0

    0 0 1 0

    0 1 0 1

    0 1 1 1

    1 0 0 1

    1 0 1 1

    1 1 0 1

    1 1 1 1

    a b c d S4

    0 0 0 0 0

    0 0 0 1 0

    0 0 1 0 0

    0 0 1 1 1

    0 1 0 0 0

    0 1 0 1 1

    0 1 1 0 1

    0 1 1 1 1

    1 0 0 0 0

    1 0 0 1 1

    1 0 1 0 1

    1 0 1 1 1

    1 1 0 0 1

    1 1 0 1 1

    1 1 1 0 1

    1 1 1 1 1

    res a, b y c que cumpla las siguientes condicio-

    nes de funcionamiento:

    Si se pulsan los tres pulsadores el motor se

    activa.

    Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el

    motor se activa pero adems se enciende una

    lmpara indicadora de peligro.

    Si slo se pulsa un pulsador cualquiera, el

    motor no se activa, pero s se enciende la

    lmpara indicadora de peligro.

    Si no se pulsa ningn pulsador, ni el motor ni

    la lmpara se activan.

    E.2. Elaborar la tabla de verdad de un circuito

    constituido por tres pulsadores, a, b y c, y una

    lmpara L que se encienda bien cuando se pul-

    san los tres pulsadores a la vez, o bien cuando

    se pulse uno solo de ellos.

    E.3. Elaborar la tabla de verdad de un circuito

    constituido por cuatro pulsadores, a, b, c y d, y

    dos lmparas L1 y L2, que cumpla las siguientes

    condiciones de funcionamiento:

    L1 se encender si se pulsan tres pulsadores

    cualesquiera.

    L2 se encender si se pulsan los cuatro

    pulsadores.

    Si se pulsa un solo pulsador, sea el que sea,

    se encendern tanto L1 como L2

    E.4. Elaborar la tabla de verdad de un sistema

    de alarma est constituido por cuatro detectores

    denominados a, b, c y d. el sistema debe activar-

    se cuando se activen tres o cuatro detectores. Si

    slo se activan dos detectores, es indiferente

    que la alarma se active o no: Por ltimo, la alar-

    ma nunca debe activarse si se dispara uno o

    ningn detector. Por razones de seguridad, el

    sistema debe activarse si a = 0, b = 0, c = 0 y d

    = 1.

    F. Para cada una de las siguientes tablas de

    verdad, se pide:

    a) Hallar una funcin lgica que se corres-

    ponda con ella.

    b) Simplificar la funcin utilizando el mtodo

    algebraico.

    c) Simplificar la funcin utilizando el mtodo

    de Karnaugh.

    F.1

    F.2

    F.3

    F.4

  • Electrnica digital

    15

    IES ASTURES

    a b c S3

    0 0 0 1

    0 0 1 1

    0 1 0 0

    0 1 1 x

    1 0 0 0

    1 0 1 1

    1 1 0 x

    1 1 1 1

    a b c d S4

    0 0 0 0 0

    0 0 0 1 1

    0 0 1 0 0

    0 0 1 1 x

    0 1 0 0 0

    0 1 0 1 x

    0 1 1 0 x

    0 1 1 1 1

    1 0 0 0 0

    1 0 0 1 x

    1 0 1 0 x

    1 0 1 1 1

    1 1 0 0 x

    1 1 0 1 1

    1 1 1 0 1

    1 1 1 1 1

    F.5 H.2 a

    b 1 &

    S2 c

    1 1

    F.6

    G. Representar circuitos con puertas lgicas pa-

    ra cada una de las funciones lgicas siguientes:

    G.1 S1 = a b

    G.2 S2 = a b c

    G.3 S3 = a bc c

    H.3 a

    b &

    S3

    c & 1

    1 &

    I.1. Una habitacin con dos puertas est protegi-

    da por un sistema de alarma que recibe tres se-

    ales, una de cada puerta que se activan cuando

    stas se abren, que llamaremos b y c y una

    seal, que llamaremos a, que se activa cuando

    ponemos la alarma en estado de alerta. Elaborar

    la tabla de verdad, disear la funcin lgica e

    implementar el circuito con puertas lgicas.

    I.2. El motor M del limpiaparabrisas de un coche

    se pone en marcha cuando est cerrada la llave

    de contacto C y se cierra el interruptor del lim-

    piaparabrisas L. Sin embargo, al abrir el interrup-

    tor L, el motor del limpiaparabrisas sigue funcio-

    nando hasta que la escobilla llega a su punto de

    reposo (para que no se quede en mitad del pa-

    rabrisas), lo que es detectado por el acciona-

    miento de un final de carrera, F. Determinar la

    tabla de verdad y la funcin lgica del sistema.

    Dibujar un circuito con elementos de maniobra

    convencionales y otro con puertas lgicas.

    G.4 S4 = (a b c) ( d c) I.3. Se quiere un circuito que controle el monta-

    G.5 S5 = [(a 1) b ] c

    H. Determinar la funcin lgica de los siguientes

    circuitos y simplifcala cuanto puedas.

    H.1

    a

    b &

    1

    c S1

    1 d

    cargas de la figura y que accione el dispositivo

    de descarga. El orden de funcionamiento es:

    Cuando se introduce la carga por la entrada (lo

    cual es detectado por el sensor A, que est colo-

    cado sobre la plataforma), el montacargas co-

    mienza a subir (se activa un rel Ms que conecta

    un motor que hace que el montacargas suba)

    hasta que se acciona el final de carrera C; a con-

    tinuacin se acciona el descargador (se activa

    un rel Di que hace desplazarse el descargador

    hacia la izquierda) y la carga sale por la salida.

    Seguidamente, el mbolo se retira hacia la dere-

  • Electrnica digital

    16

    IES ASTURES

    cha y el montacargas empieza a bajar (se activa

    un rel Mb que conecta un motor que hace que

    el montacargas baje) hasta accionar el final de

    carrera B.

    Vamos a resolver el problema en dos versiones

    diferentes:

    a) Consideramos que el descargador es una

    especie de mbolo que se desplaza hacia la

    izquierda al ser activado el rel Di y que retro-

    cede solo al ser desactivado Di, por efecto de

    un resorte. En esta versin slo se usan los

    sensores A, B y C

    b) Consideramos que el descargador es movido

    por un motor en ambos sentidos. El motor

    desplaza el mbolo hacia la izquierda cuando

    se activa el rel Di y desplaza el mbolo hacia

    la derecha cuando se activa el rel Dd.

    Nota: Considerar que los sensores A, B, C y D

    dan un valor lgico 1 cuando detectan presencia

    bien de carga (en el caso del A), bien de la plata-

    forma del montacargas (caso de B y C) o bien de

    la pala del descargador (caso de D).

    Sensor D

    Descargador

    SALIDA

    Sensor C

    ENTRADA

    Sensor A

    Sensor B

    Montacargas