6 Mc Cabe Thiele

8/13/2019 6 Mc Cabe Thiele

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TRANSFERENCIA DE MASA IIIng. Carlos Angeles Queirolo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERA QUMICA

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MTODO DE MC CABE THIELE

El mtodo desarrollado por Mc Cabe y Thiele est basado en larepresentacin grfica de las ecuaciones de los balances demateria en un diagrama de distribucin.

El mtodo se desarrollar para una columna provista de uncondensador total y considerando despreciable las prdidas decalor fuera del sistema, estableciendo los balances de materia enestado estacionario para cada seccin de la columna. Adems seconsiderar que al interior de la columna, las corrientes de lquido

y de vapor son saturadas.

Consideraciones adicionales

Las etapas se numeran en orden creciente y en formadescendente.

En la Zona de Enriquecimiento:L flujo molar de lquido

V flujo molar del vapor

En la Zona de Empobrecimiento:L flujo molar de lquido

V flujo molar del vapor

Las composiciones, referidas al componente ms voltil, seexpresan en fraccin molar:

x = fraccin molar de A en el lquido

y = fraccin molar de A en el vapor

Relacin de reflujo o relacin de reflujo externa se define comoR = L0/ D

Las entalpas molares se representan por H, con subndice L V,segn se trate de un lquido o de un vapor.

HL = entalpa molar de un lquido

HV = entalpa molar de un vapor

.

2

4FzF

DxD

L0x0

BxB

1

3

QR

QC


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Zona de Enriquecimiento

Balances de materia, en estado estacionario, entre una etapa ncualquiera ubicada en la zona de enriquecimiento, y el extremo

superior de la columna:QC

Vy1

1 Lo D

xo xD

n

L V

xn yn+1FzF

Figura N 1 : Zona de Enriquecimiento

Balance de materia total:

V = L + D (1)

Balance de materia para el componente ms voltil:

V . yn+1 = L . xn + D . xD (2)

Dividiendo entre el flujo de vapor V:

L Dyn+1= ---- . xn + ---- . xD (3)

V V

Esta ecuacin corresponde a la de una lnea recta ( y = m . x + b) dependiente L / V y con intercepto en el eje de ordenadas ( D / V ) . xD. yque se conoce como la Ecuacin de la Lnea de Operacin para la Zona deEnriquecimiento.

Realizando un balance de materia total, alrededor del sistema decondensacin:

V = Lo + D (4)

Utilizando la ecuacin (4) y la definicin de relacin de reflujo R =

L0/D, para las suposiciones del mtodo, se tiene:

L = Lo = R . D (5)

V = ( R + 1 ) . D (6)


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Sustituyendo las ecuaciones (5)y (6)en la ecuacin (4):

R xDyn+1 =------ . xn + ------ (7)

R + 1 R + 1

Se obtiene una ecuacin para la lnea de operacin de la Zona deEnriquecimiento, anloga a la anterior, y que tambin correspondea la de una lnea recta.

Lnea de operacin de laZona de enriquecimiento

xD/(R+1)

xB xD

Figura N.2 : Lnea de operacin de la Zona de enriquecimiento

Conociendo los datos de equilibrio para un sistema dado,representados de un diagrama de distribucin, la lnea deoperacin se puede representar fcilmente dando valores a xnpara obtener valores de yn+1, tal como se muestra en la figura N2.

As se tienen dos puntos caractersticos:

xn = xD yn+1 = xD

xn = 0 yn+1 = xD/ (R+1)

Zona de Empobrecimiento

Balances de materia, en estado estacionario, entre una etapa m

cualquiera ubicada en la zona de empobrecimiento y el extremoinferior de la columna:

FzF

mL Vxm ym+1

m+1

BQR xB

Figura N 3 : Seccin de Empobrecimiento


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Balance de materia total:

L = V + B (8)

Balance de materia para el componente ms voltil:

L . xm = V . ym+1 + B . xB (9)

Dividiendo entre el flujo de vapor V:

L Bym+1= ---- . xm - ---- . xB (10)

V V

Esta ecuacin corresponde a la de una lnea recta ( y = m . x + b)de pendiente L / V y con intercepto en el eje de ordenadas ( - B /V ) . xB y que se conoce como la Ecuacin de la Lnea de Operacinpara la Zona de Empobrecimiento.

Sustituyendo la ecuacin (8) en (10) se obtiene una ecuacinanloga a la anterior y que tambin corresponde a la de una lnearecta:

L B

ym+1= -------- . xm - ------- . xB (11)L - B L - B

En este caso se tiene un punto caracterstico:

xm = xB ym+1 = xB

Balances de materia y energa en la bandeja de alimentacin

L V

HL f-1 HVf

FzF fHF

L VHLf HV f+1

Figura N 4: Balances de materia y energa en la bandeja de alimentacin

Balance de materia total, en estado estacionario:

F + L + V = L + V (12)

( V - V ) = ( L - L ) - F (13)

Balance de energa, considerando despreciables las prdidas de caloral exterior:

F . HF+ L . HLf-1+ V . HV f+1 = L . HLf + V . HV f (14)


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Bajo las suposiciones del mtodo de que no existe variacinmarcada de entalpas para corrientes de lquido y de vapor queproceden de etapas adyacentes:

HVf = HVf+1 HV (15)HLf-1 = HLf HL (16)

Luego el balance de energa se puede expresar de la siguientemanera:

F . HF+ L . HL+ V . HV= L . HL+ V . HV (17)

(V - V) . HV = (L - L) . HL - F . HF (18)

Sustituyendo(13)en (18):

L - L HV - HF------- = ----------- = q (19)

F HV - HL

Esta ecuacin representa el Factor q definido como la relacin

entre la cantidad de calor necesario por mol para llevar laalimentacin desde su condicin hasta la de vapor saturado y elcalor latente molar de vaporizacin.

De la ecuacin (19) y relacionando con la ecuacin (18) seobtienen relaciones para evaluar los flujos de lquido y vapor parazonas adyacentes:

L - L = F . q (20)V - V = F . ( q - 1 ) (21)

V = V - F (q - 1)

L

F F . (q-1)

L = L + F . q V

Lquido subenfr iado

V = V

L

F

L = L + F V

Lqui do en su pun to de burbu ja

V = V + F

L

F

L = L V

Vapor en su punto de roco

V = V + F ( 1 - q )

L

F ( 1 q )

F

L = L + F . q V

Vapor Sobrecalentado

Figura N 5: Relacin de flujos para diversas condiciones trmicas de la alimentacin


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V = V + F ( q 1 )

L

F ( q 1 )

F

F . q

L = L + F . q V

Mezcla Lqui do - Vapor

Figura N 5: Relacin de flujos para diversas condiciones trmicas de la alimentacin

En la figura N 5 se presentan las relaciones entre los flujos delquido y entre los flujos de vapor, para corrientes que procedende zonas contiguas, en funcin de la condicin trmica de laalimentacin.

Interseccin de las lneas de Operacin

Si se encuentra el punto de interseccin de las dos lneas de

operacin, esto permitir que se puede graficar la lnea deoperacin de la Zona de Empobrecimiento en el diagrama dedistribucin.

De las ecuaciones de los balances de materia en cada zona de lacolumna:

Zona de Enriquecimiento: V . yn+1= L . xn + D . xD (22)

Zona de Empobrecimiento: V . ym+1= L . xm - B . xB (23)

En el punto de interseccin de las lneas de operacin:

yn+1 = ym+1 = yxn = xm = x

Introduciendo estas coordenadas en las ecuaciones de las lneas deoperacin:

V . y = L . x + D . xD (24)

V . y = L . x - B . xB (25)

Restando ambas ecuaciones:

( V - V ) . y = ( L - L ) . x - ( B . xB+ D . xD ) (26)

Introduciendo el factor q en estas ecuaciones y de un balance demateria total alrededor de toda la columna:

F . ( q - 1 ) . y = F . q . x - F . zF (27)

q zFy = ------ . x - ------ (28)

q - 1 q - 1


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Esta ecuacin se conoce como Ecuacin de la lnea q, querepresenta el lugar geomtrico de los puntos donde es posible lainterseccin de las lneas de operacin. Desde le punto de vistageomtrico, corresponde a la ecuacin de una lnea recta conpendiente ( q / q 1 ) y con intercepto (zF / q - 1 ).

Condicin trmica HF q q / q - 1

Lquido por debajo del punto de

burbujaHF< HL q > 1 > 1

Lquido en su punto de burbujaHF = HL q = 1

Vapor en su punto de rocoHF = HV q = 0 0

Vapor por encima de su punto de

rocoHF > HV q < 0 1 > q/q-1 > 0

Mezcla lquidovaporHL < HF < HV 1 > q > 0

Lquido saturado

Lquido subenfriado

Mezcla lquido - vapor

Vapor saturado

Vapor sobrecalentado

zF

Figura N 6 : Posicin de la lnea q en funcin de la condicintrmica de la alimentacin

Un punto caracterstico de esta lnea tiene como coordenadas:

x = zF y = zF,

mientras que la pendiente depender de la condicin trmica de la

alimentacin: lquido saturado, lquido sub-enfriado, mezcla lquido yvapor, vapor saturado o vapor sobrecalentado, tal como se muestraen la figura N 6 .

Conociendo la condicin trmica de la alimentacin, se puedenencontrar los datos necesarios para representar la lnea q en eldiagrama de distribucin. La interseccin de la lnea q con la lnea deoperacin de la Zona de Enriquecimiento, permite encontrar el puntode la lnea de operacin de la Zona de Empobrecimiento.

xD/(R+1)

xB zF xD

Figura N 7: Representacin grfica de las lneas de operacin


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Determinacin del nmero de etapas de equilibrio

Habindose determinado las ecuaciones para las lneas deoperacin y representadas en el diagrama de distribucin, seprocede a determinar el nmero de etapas de equilibrio.

Para tal efecto, se trazan escalones entre las lneas de operacin yde equilibrio, comenzando por el punto de coordenadas ( xD, xD) yfinalizando en el punto de coordenadas ( xB , xB ) . El nmero deescalones trazados corresponder al nmero de etapas deequilibrio incluyendo al recalentador.

El cambio de una lnea de operacin a otra depender de cada unode las siguientes situaciones:

a) Cuando existe libertad de diseo (diseo de una columnanueva), el plato de alimentacin o carga ser aquel para el cualel nmero total de etapas es el menor, en cuyo caso sedenomina Plato ptimo de alimentacin o carga. Apenas serodea el punto de interseccin de ambas lneas de operacin,se cambia de una lnea a otra, tal como se muestra en la figuraN 8.

b) Cuando la columna se ha diseado con un plato de alimentacinen una zona determinada. En este caso el cambio de una lneade operacin a otra se efecta, de ser posible, en dicho platode alimentacin.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Figura N 8: Determinacin del nmero de etapas de equilibrio Posicin ptima

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Figura N 9: Determinacin del nmero de etapas de equilibrio Posicin adelantada


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- 9 -

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Figura N 10: Determinacin del nmero de etapas de equilibrio Posicin retrasada


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VARIACIN DE LA RELACIN DE REFLUJO

Para efectuar una separacin determinada en una columna dedestilacin continua con rectificacin se puede elegir

arbitrariamente una relacin de reflujo, dentro de ciertos lmitescomo son la relacin de reflujo mnima y la relacin de reflujototal.

En la prctica la relacin de reflujo vara dentro de este rango:

Rtotal > R > Rmn

De esta relacin de reflujo dependern los costos totales, es decir

los costos fijos (costos de equipos) y los costos de operacin. Paraun nuevo proyecto la relacin de reflujo que debiera utilizarse hade ser la ms econmica, es decir aquella para la cual los costostotales son los menores. Esta se conoce como la relacin dereflujo ptima, que se determina basndose en un balanceeconmico.

Algunos autores brindan valores de la relacin de reflujo en funcindel Rmn, as tenemos:

R = 1.10 - 1.50 Rmn (Backhurst - Harker)

R = 1.20 - 1.50 Rmn (Treybal)R = 1.30 Rmn + 0.30 (Pavlov)

RELACIN DE REFLUJO MNIMO

La relacin de reflujo mnimo se define como la mxima relacin querequerir un nmero infinito de etapas para obtener la separacin

deseada, por debajo de la cual no puede operar la columna dedestilacin.

Para esta condicin corresponden la mnima capacidad decalentamiento en el recalentador y de enfriamiento en elcondensador.

A medida que disminuye la relacin de reflujo, la pendiente de la lneade operacin de la zona de enriquecimiento se hace menor y seacerca hacia la curva de equilibrio; ocurriendo lo mismo con la lneade operacin de la zona de empobrecimiento; por lo que el nmero deetapas de equilibrio se incrementa, a la vez que se hace mayor lacapacidad de la columna.

Dependiendo de la forma de la curva de equilibrio, la relacin dereflujo mnima puede determinarse de la siguiente manera:

CCoossttooaannuuaall CCoossttoottoottaall

CCoossttoossddee

ooppeerraacciinn

CCoossttoossffiijjooss

RRmmnniimmoo RRRRppttiimmoo


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a) Curva de equilibrio cncava

En este caso la lnea de operacin que pasa por el punto decoordenadas (xD , xD) y por el punto de interseccin de la lnea qcon la curva de equilibrio, corresponde a la mnima relacin dereflujo.

El valor de Rmnse puede evaluar a partir de la interseccin de lalnea de operacin con el eje de ordenadas o de su pendiente.

A partir de la interseccin con el eje de ordenadas:

xD xD = ------- Rmin= ---- - 1Rmin+ 1

y

ya

xa zF xD

A partir de la pendiente:

xD - ya Rmn xD - yam = ------ = -------- Rmn = -------

xD- xa Rmn + 1 ya - xa

xa , ya Coordenadas del punto de interseccin de lalnea q con la curva de equilibrio (Pinch point)

Para un sistema con volatilidad relativa constante, estascoordenadas se pueden obtener analticamente por interseccin de laecuacin de la curva de equilibrio y de la lnea q .

Se obtiene la siguiente ecuacin cuadrtica:

q (- 1) xa2+ [ q - (q 1) - (-1) zF ] xa - zF= 0

Tambin es factible determinar Rmn para sistemas con volatilidadrelativa constantepor combinacin de las ecuaciones de la lnea deoperacin, la lnea q y de la lnea de equilibrio, obtenindose lasiguiente ecuacin:

Rmn. zF+ q . xD [ xD(q-1) + zF(Rmn+1) ]------------------ = ------------------------Rmn(1-zF) + q (1xD) (Rmn+1) (1zF) + (q1) (1-xD)


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Si la alimentacin es un lquido saturado:

1 xD (1 - xD)Rmn= ----- ---- - ----------

- 1 zF (1 - zF)

Si la alimentacin es un vapor saturado:

1 . xD (1 - xD)Rmn = ----- ------ - ------- - 1

- 1 zF (1 - zF)

b) Curva de equilibrio convexa

En este caso no se puede aplicar el mtodo anterior, ya que la lneade operacin cortara a la curva de equilibrio en otros puntosintermedios indicando que el vapor procedente de una etapa serams rico que el vapor en equilibrio con el lquido proveniente de lamisma etapa, lo cual es imposible.

Convexa en la Zona Superior

En este caso la lnea de operacin que pasa por el punto decoordenadas (xD , xD) y que es tangente a la curva de equilibrio,corresponde a la mnima relacin de reflujo.

xD

xD xD = -------- Rmin= ---- - 1Rmin + 1

Convexa en la Zona Inferior

xB zF xD


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0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x

y

RELACIN DE REFLUJO TOTAL

A medida que la relacin de reflujo aumenta, la relacin L/Gtambin aumenta y esto se traduce en un alejamiento de las lneasde operacin de la curva de equilibrio, por lo que el nmero de

etapas de equilibrio para una separacin dada se hace cada vezmenor.

Cuando se incrementa la relacin de reflujo, de modo tal quetiende a un valor infinito (R ), entonces la relacin L/V = 1,por lo que las lneas de operacin de ambas zonas de la columnacoinciden con la lnea diagonal de 45. Para esta condicin, elnmero de etapas de equilibrio es mnimo.

xB zF xD

El nmero mnimo de etapas de equilibrio ( para reflujo total ) sedetermina grficamente en un diagrama de distribucin, trazandoescalones entre la lnea diagonal y la curva de equilibrio; comenzandodesde el punto de coordenadas ( xD, xD) y finalizando en el puntode coordenadas ( xB, xB ).

Si para un determinado sistema la volatilidad relativa es constante o

aproximadamente constante, se puede determinar analticamente el

nmero de etapas de equilibrio mediante la EcuacindeFenske.

xD 1 xBlog ------ . -------

1 - xD xB

Nmn = ----------------------log

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