6 - Resonancia

CIRCUITOS ELCTRICOS RESONANCIA

RESONANCIA

1.- INTRODUCCIN. En c.a. senoidal sabemos que existen elementos capaces de almacenar energa elctrica y cuyo comportamiento, desde el punto de vista fasorial, es el mismo pero con signo opuesto. De esta forma, tenemos las bobinas y los condensadores que tienen un comportamiento totalmente reactivo pero mientras la reactancia inductiva es positiva, la capacitiva tiene signo negativo, o dicho de otra forma, mientras las bobinas provocan una potencia reactiva positiva, los condensadores la provocan negativa. Esto nos lleva a pensar que en circuitos donde coincidan ambos elementos es posible que, en determinadas circunstancias, las potencias reactivas de ambos elementos sean iguales en valor absoluto con lo que la potencia reactiva total del circuito sea nula, es decir, que las reactancias sean iguales y de signos opuestos y por tanto nulos en su conjunto. En estas circunstancias el circuito se comportara como totalmente resistivo aunque posea en su interior bobinas y condensadores.


2.- DEFINICIONES. Se dice en c.a. senoidal que un circuito, en principio reactivo, es decir

con bobinas y condensadores, est en RESONANCIA cuando su tensin de

alimentacin y la corriente que absorbe estn en fase y, por lo tanto, se

comporta como puramente resistivo. La condicin expuesta lleva a otra serie de condiciones que se pueden tambin utilizar para determinar la condicin de resonancia:

Por otra parte, para el estudio de este tema es conveniente definir previamente un nuevo parmetro que denominaremos COEFICIENTE DE CALIDAD "Q" y que en un circuito ser:

P = S

0 = Q

Q = Q

R = Z

0 = B

X = X

0 = X

1 =

FASE EN

I

V

equi

equi

equiCequiL

equiequi

equi

equiCequiL

equi

alim

alim

r

r

cos

activaPotencia

reactivaPotencia = Q

disipadaEnergia

almacenadamaxima Energia

Capacitivao Inductiva

2 =Q


Hechas las definiciones necesarias, distinguiremos tres tipos de resonancia en funcin de la conformacin del circuito: - RESONANCIA en circuitos SERIE.

- RESONANCIA en circuitos PARALELO.

- RESONANCIA en circuitos MIXTOS. 3.- RESONANCIA SERIE. 3.1.- CONDICIN DE RESONANCIA EN EL CIRCUITO SERIE. La resonancia serie la estudiaremos a partir de un circuito formado por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en serie entre si.

La impedancia total del conjunto ser:

Como hemos visto antes, si la tensin est en fase con la corriente, la reactancia equivalente del conjunto debe de ser nula. De esta forma la condicin de resonancia de un circuito serie ser:

C

1 - L j + R = Z

r


0 = C

1 - L

C

1 = L

De la condicin de resonancia se desprende que teniendo dos parmetros fijos, podemos calcular el otro en funcin de los anteriores:

Por otra parte, teniendo en cuenta que la corriente que circula por todos los elementos es la misma, el factor de calidad del circuito en resonancia ser:

3.2.- CARACTERSTICA DE LA RESONANCIA SERIE. Como hemos visto, un circuito serie entra en resonancia cuando XS = 0, en estas condiciones la impedancia total del circuito ser:

A simple vista ya parece que la impedancia sea mnima, pero de todas formas, para comprobarlo, vamos a derivar la expresin del mdulo de Z en funcin de una de sus variables, por ejemplo "":

L

1 = C;

C

1 = L;

C L 2

1 = f

2 s2 ss

R C

1 =

R

L = Q

R

X =

R

X =

I R

I X = Q

s

s

s

CL

2

2

s

R = Z sr


Luego obtenemos un mnimo del mdulo de la impedancia para la condicin de resonancia, como ya preveamos. Iguales resultados hubiramos obtenido si en lugar de derivar con respecto a "" lo hubiramos hecho con respecto a "L" o a "C", siempre encontraramos un mnimo para la condicin de resonancia. 3.3.- TENSIONES EN LOS ELEMENTOS EN RESONANCIA SERIE. Calculemos ahora la tensin en cada uno de los elementos del circuito en funcin del coeficiente de calidad y de la tensin total:

A RESONANCIDECONDICIN 0 = C

1 - L

Imaginaria Pulsacion

C L

1 - = 0 =

C

1 + L

C

1 - L + R 2

C

1 + L

C

1 - L 2

=

Z

C

1 - L + R = | Z|

2

2

2

2

22

2

VQVVQjIR

R

CjI

CjV scsc

1

1 ====

rrrr

= IRVrr VQVVQjI

R

RLjILjV sLsL ====

rrrr

VVIRV RR ==rr


Como vemos la tensin en la resistencia es igual a la tensin total, mientras que las tensiones en la bobina y el condensador son iguales y "QS" veces la tensin de alimentacin. Por tanto, si el coeficiente de calidad del circuito es mayor que la unidad entonces las tensiones en la bobina y el condensador son mayores que la tensin de alimentacin, por raro que esto parezca a simple vista. La resonancia serie puede dar lugar a sobretensiones tanto mas elevadas cuanto mayor sea "QS", pudiendo llegar a ser peligrosas tanto para el material en si como para las personas. 4.- RESONANCIA PARALELO. 4.1.- CIRCUITO PARALELO PURO. Veamos ahora un circuito compuesto por una resistencia, una bobina y un condensador conectados entre si en paralelo:

Dado el tipo de conexin, para efectuar clculos es ms fcil utilizar el concepto de admitancia que el de impedancia, aunque hay que resaltar que los resultados siempre son los mismos.


La admitancia del circuito valdr:

Si la tensin ha de estar en fase con la corriente, se tiene que cumplir que la susceptancia "B" (parte imaginaria de la admitancia) debe de ser cero:

0 = L

1 - C

L

1 = C

Tenemos una condicin de resonancia idntica a la del circuito serie, dando lugar a una admitancia total y una corriente total de valores:

El factor de calidad del circuito ser, recordando que la tensin en todos los elementos es la misma:

En estas condiciones, la corriente en cada elemento ser:

L

1 - C j +

R

1 = C j +

L j

1 +

R

1 = Y

r

R

V = V Y = I

R

1 = G = Y ppp

rrrrr

R C = L

R = Q

C =

=

G

B =

G

B =

V G

V B = Q

P

R1

R1

L1

CL

2

2

p

IQIIQjVR

RCjVCjI pCsC ====

rrrr

=R

VI

rr

IQIVQjVR

R

LjV

LjI pLpL

1

1====

rrrr

IIVR

I RR ==rr

1


Como vemos, la resonancia en el circuito paralelo puro pude dar lugar a sobrecorrientes tanto ms altas conforme aumente, por encima de la unidad, el valor del coeficiente de calidad del circuito. Pero tambin sabemos que si bien los condensadores son elementos prcticamente ideales, no ocurre lo mismo con las inductancias que presentan, como mnimo, una determinada resistencia interna que hace que el circuito resonante puro no se presente en la prctica. 4.2.- CIRCUITO PARALELO REAL. CIRCUITO "TANQUE". Teniendo en cuenta la resistencia interna que siempre presentan las bobinas, el circuito paralelo real puede ser el que a continuacin representamos y que llamaremos circuito "tanque": La admitancia de este circuito ser:

L + R

L - C j +

L + R

R = Y

C j + L + R

L j - R = C j +

L j + R

1 = Y + Y = Y

222222T

222CRLT

r

rrr


Para que el circuito est en resonancia basta con que su susceptancia sea cero, siempre para una pulsacin distinta de cero:

De esta forma, la condicin de resonancia del circuito tanque ser: La admitancia total del circuito en resonancia ser:

Y la impedancia total ser:

0 = L - ) L + R( C

0 = ] L - ) L + R( C [

0 = L + R

L - C

0

0 = B

222

222

222

T

r

( ) 0222 =+ LLRC

L + R

R = Y 222T

r

( )

C R

L =

C

L = L + R

0 = L - L + R C

= R

L + R = Z

222

222

222

T

r


IMPEDANCIA TOTAL DEL CIRCUITO Obtengamos ahora el factor de calidad del circuito:

Las corrientes en el circuito en resonancia sern: - Corriente total absorbida:

R = C R

L =

R

L + R = Z T

222

T

r

C R

L C = R C =

X

R =

=

P

Q =

P

Q = Q T

C

T

R

V

X

V

C) C L (

T

T

2T

C

2T

R

LRCQ TT

==

V L

C R =

R

V =

Z

V = I T

T

T

T

T

T

rr

r

rr

V L

C R = I TT

rr


- Corriente en el condensador:

- Corriente en la rama R-L:

Por tanto, si el factor de calidad del circuito es superior a la unidad, la corriente en los componentes es tambin superior a la corriente absorbida total por el circuito, con los problemas que puede conllevar pues los componentes se suelen disear en funcin de la corriente total absorbida y una corriente superior puede llegar a daarlos. 4.3.- CARACTERSTICA EN EL CIRCUITO TANQUE. Para obtener esta caracterstica debemos derivar el mdulo de la impedancia con respecto a las posibles variables "R, L, C y ".

R

V Q j = V

R

R C j = V C j =

X

V = I

T

T

TT

T

T

T

C

T

C

rrr

r

rr

I Q j = I TTCrr

I ) Q j - 1 ( = I TQTRLrr

R

V ) Q j - 1 ( = V

R

1 Q j -

R

1 =

V L + R

R

R

L j -

L + R

R =

= V L + R

L j -

L + R

R = V

L j + R

1 =

Z

V = I

T

T QT T

T QT

T

T 2 2 2 2 2 2

T 2 2 2 2 2 2 T RL

T RL

r r

r

r r r

r r


Si efectuamos esta operacin con respecto al valor del condensador obtendremos un mximo de la impedancia para un valor que cumple la condicin de resonancia, mientras que si la derivada la realizamos con respecto a las otras variables, obtendremos igualmente mximos de la impedancia pero NO para un valor coincidente con la condicin de resonancia. De esta forma, cuando queremos que nuestro circuito entre en resonancia para un valor mximo de impedancia deberemos hacerlo variando la capacidad del condensador, ejemplo tpico de los sintonizadores de los radioreceptores.

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