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1
6. Series
2
Sucesiones
Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + in}:
,5
,1
,4
,2
,3
,1
,2
,0
,1
,1
n
i
nn
i
nn
i
Si limnzn = L, decimos que la sucesión es convergente.
3
Otro ejemplo: la sucesión converge.
nin 1
0lim1
nin
n
4
Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn
converge a c = a + i b sii la sucesión de partes reales {xn}
converge a a y la sucesión de partes imaginarias {yn} converge a b.
Por tanto la convergencia zn c implica que xn a , yn b.
Demostración ( ):
Si |zn-c| < , con zn = xn + iyn
entonces dentro de un círculo
de radio , para c = a + i b
se cumple que:
|xn-a| < , |yn-b| <
y
xa a+a-
b-
b+
b
zn
c
Límite de una sucesión
5
Demostración (): Igualmente, si xn a y yn b cuando n , entonces para un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal que para n> N se cumpla que:
|xn-a| < /2, |yn-b| < /2
con lo que zn= xn+iyn estará contenido en un cuadrado de centro c y lado . De modo que zn estará contenido en un círculo de radio y centro c.
xa a+a-
b-
b+
b
zn
c
b+/2
b-/2
a+/2a-/2
y
6
Ejemplos:
(1) La sucesión {in/n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es convergente y límite es 0.
(2) La sucesión {in} = {i, -1, -i, 1,....} es divergente.
(3) La sucesión {zn} con zn= (1+i)n es divergente.
{zn} = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....}
(4) La sucesión {zn} con zn= 2-1/n + i(1+2/n) es convergente.
{zn} = { 1+3i, 3/2+2i, 5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....} El límite cuando n es c = 2+i(y |zn-c| = |-1/n+2i/n| = 5/n < si n > 5/)
Diremos que una sucesión {zn} es convergente sii:
lim zn = c. Una sucesión divergente significa que no converge.n
7
8
La sucesión converge a i. Observa que
Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:
inni
2
. cuando
14
)Im( ,04
2)Re(
44
2
2
2
2
2
2
2
2
nn
nz
n
nz
n
ni
n
n
in
niz
nn
n
9
Sea ninn ez || nn z nn zArg
0
0
lim
lim
nn
nn 0
0lim in
nez
,donde
Si ,entonces
Igual que hemos hecho mención a la parte real e imaginaria para la convergencia de la sucesión, podemos hablar del módulo y el argumento. Así:
10.1lim
.arctanlim1
arctanlim
1Arglim1ArglimArglimlim
.2
1lim
1lim1lim||lim
.1:
2/
2
22
2/
2
22
ziyxiyxn
n
nn
n
n
nn
nn
n
x
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
eeeen
z
yxn
yn
nx
ny
n
n
zn
n
zz
en
xnyx
n
y
n
x
n
zz
n
zz
Sea por ejemplo la sucesión de términos:
El módulo converge a:
Y el argumento a:
Por tanto la sucesión converge a:
11
SeriesDada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita:
La sucesión de sumas:s1 = z1
s2 = z1 + z2
s3 = z1 + z2 + z3........sn = z1 + z2 +....zn
es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.
Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie.
...3211
zzzzn
n
12
Series convergentesUna serie convergente es aquella tal que la sucesión de
sumas parciales converge, i.e.:
donde s es la suma o valor de la serie y se expresa:
Una serie divergente es aquella que no converge.
Llamaremos resto Rnde la serie a:
Si la serie converge y suma s, entonces
ssnn
lim
...211
zzzsn
n
321 nnnn zzzR
0limyó n
nnnnn RssRRss
13
(1) Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv sii
u = x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge.
(2) Si una serie z1+ z2 +.... converge, entoncesEn caso contrario, la serie diverge.
(3) Que {zm} 0 es condición necesaria para la convergencia, pero no suficiente.Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/3 +...el término 1/n 0 cuando n tiende a infinito, pero la serie diverge.
0lim m
mz
Ejercicios: Demostrar que
14
Serie geométrica
Para la serie geométrica:
el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es:
12
1
1 n
k
k azazazaaz
z
zaazazazaS
nn
n
1
)1(... 12
Observa que zn 0 cuando n para |z| < 1, en cuyo casi Sn converge a a/(1 – z). La serie diverge para |z| 1.
15
Ejemplo:
es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5. Puesto que |z| < 1, tenemos que:
...5
)21(
5
)21(5
)21(
5
)21(3
3
2
2
1
iiii
kk
k
2521
1
521
5
)21(
1
ii
ii
kk
k
16
17
Teorema de Cauchy para series.Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| < para todo n > N y p =1, 2...Convergencia absoluta. Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos de sus términos
|zm| = |z1| + |z2| + ......
m=1
es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,
la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.
Ejemplo: La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.
Si una serie es absolutamente convergente es convergente
18
¿Es la serie convergente?
Es absolutamente convergente, puesto que
|ik/k2| = 1/k2 y la serie real
es convergente.
De modo que la serie original es convergente.
12
k
k
k
i
12
1
k k
19
Comparación de series:
Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie
convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que
|zn| bn para todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge,
incluso absolutamente.
(Ejercicio: demostrarlo)
Criterio del cociente:Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que
|zn+1/zn| q < 1 ( n > N, con un q dado para cualquier N)la serie converge absolutamente. En cambio si
|zn+1/zn| 1 ( n > N) la serie diverge.
(Ejercicio: demostrarlo)
20
Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que
Entonces se cumple que:
a) Si L < 1 la serie converge absolutamente.b) Si L > 1 diverge.c) Si L = 1 “no sabe, no contesta”.(Ejercicio: demostrarlo)
Llim 1
n
n
n z
z
0
2
!2)75100(
)75100(1!
)75100( ii
ni
Sn
Dado
¿Es S convergente o divergente?
0
1
125lim
1
75100lim
!75100
!175100limlim
1
1
nn
i
ni
ni
z
znnn
n
nn
n
n
Converge.
21
Criterio de la raíz:
Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N
n|zn| q < 1 (n < N)
donde q<1 está fijado, la serie converge absolutamente. Si para infinitos n se cumple que:
n|zn| 1 , la serie diverge.Entonces, si una serie z1+z2+... cumple que para todo n > N
lim n|zn| = L nentonces:a) Si L < 1 la serie converge absolutamente b) Si L > 1 divergec) Si L = 1 no podemos extraer conclusiones
22
Dado
¿Es S convergente?
Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.
2
02 )4(
191
)4(71
41
432
)1(iiiS n
n
n
4
17
34
17lim
34
)4(lim
32
)4(lim
2
n nnn nn
nn
n
n
ii
La serie geométrica
converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.
0
21m
m qqq
Ejercicio: demostrar que
23
24
25
26
Números primos(parte I)
27
¿Qué es un número primo?
"primo" = "de base"
Un entero mayor que uno se llama número primo si solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.
28
Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de las que espero convencerles tan fuertemente que queden permanentemente grabadas en sus corazones. La primera es que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos en la construcción de los números naturales, los números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como malas hierbas entre los números naturales, parecen no obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso mássorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar.
Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19
29
30
El teorema fundamental de la aritmética muestra que los primos son los ladrillos básicos con los que están construidos los enteros. Dice:
Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito de forma única como el producto de primos,con los factores primos en el producto en orden de tamaño no decreciente.(Euclides, Elementos).
El teorema fundamental de la aritmética
i
ei
ipn
31
(a) n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada la afirmación.(b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n! De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1).
(b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento (b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta encontrar finalmente un primo mayor que n.
¿Cuántos primos existen?
Euclides demostró que siempre existe al menos un primo entre n y (n! + 1) de la siguiente manera:
32
Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y 10.000.000:
9.999.901 9.999.907 9.999.929 9.999.931
9.999.937 9.999.943 9.999.971 9.999.973
9.999.991.
Pero entre los cien enteros siguientes, desde 10.000.000 a 10.000.100, hay solo dos:
10.000.019 y 10.000.079.
Ausencia aparente de un patrón regular en la secuencia de números primos
33
Los matemáticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de nuestra era, que existen infinitos primos y que están espaciados de manera irregular, es decir que la distancia entre dos primos consecutivos puede ser arbitrariamente larga.
34
35
The Counting Prime Function
. a igual o menoresprimos#)( xx
Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que (25) = 9.
"¿Cuántos primos menores que un número x hay?"
36
La distribución de números primos parece ser aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y existen gaps arbitrariamente largos entre primos.
37
"It is evident that the primes are randomly distributed but, unfortunately we don't know what 'random' means".
R.C. Vaughan
38
Sin embargo, la función π(x) exhibe un sorprendente "buen comportamiento".
"Here is order extracted from confusion, providing a moral lesson on how individual eccentricities can exist side by side with law and order". The Mathematical Experience by Philip J Davis & Reuben Hersh
39
"For me, the smoothness with which this curve climbs is one of the most astonishing facts in mathematics."
Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19
40
n (n) n/(n)
10 4 2.5
100 25 4.0
1000 168 6.0
10,000 1,229 8.1
100,000 9,592 10.4
1,000,000 78,498 12.7
10,000,000 664,579 15.0
100,000,000 5,761,455 17.4
1,000,000,000 50,847,534 19.7
10,000,000,000 455,052,512 22.0
Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al siguiente el cociente n/(n) se incrementa aproximadamente 2.3.
Sabiendo que Ln 10 = 2.30258... Gauss formuló la conjetura de que (n) es aproximadamente igual a n/Ln n.
22.0 - 19.7 = 2.3
41
42
En 1798 Legendre publica la primera conjetura significativa sobre la forma
funcional de (x), cuando en su libro Essai sur la Théorie des Nombres escribe que:
083661)(
.x - Ln
xx
Legendre
43http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html
44
Zagier en su artículo dice al respecto: "within the accuracy of our picture, the two coincide exactly."
The logarithmic integral function Li(x)
x
uLn
duxLi
2)(
45
Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso ocurre por primera vez ¡alrededor de 10320!
46
47
Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas de D. N. Lehmer: primos hasta 10.006.721
48
reference
1 4 antiquity
2 25 L. Pisano (1202; Beiler)
3 168 F. van Schooten (1657; Beiler)
4 1229 F. van Schooten (1657; Beiler)
5 9592 T. Brancker (1668; Beiler)
6 78498 A. Felkel (1785; Beiler)
7 664579 J. P. Kulik (1867; Beiler)
8 5761455 Meissel (1871; corrected)
9 50847534 Meissel (1886; corrected)
10 455052511 Lehmer (1959; corrected)
11 4118054813 Bohmann (1972; corrected)
12 37607912018
13 346065536839
14 3204941750802 Lagarias et al. (1985)
15 29844570422669 Lagarias et al. (1985)
16 279238341033925 Lagarias et al. (1985)
17 2623557157654233 M. Deleglise and J. Rivat (1994)
18 24739954287740860 M. Deleglise (June 19, 1996)
19 234057667276344607 M. Deleglise (June 19, 1996)
20 2220819602560918840 M. Deleglise (June 19, 1996)
21 21127269486018731928 project (Dec. 2000)
22 201467286689315906290 P. Demichel and X. Gourdon (Feb. 2001)
23
Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm
49
El número de primos que no excede a x es asintótico a x/log x. En otras palabras, la probabilidad de que "un número x escogido al azar sea primo es 1/log x".
El teorema de los números primos:
En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron simultáneamente lo que se había sospechado durante mucho tiempo, el teorema de los números primos:
x
xx
ln~)(
50
El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una buena aproximación a π(x) . Al decir que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) ~ b(x)" decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x tiende a infinito. Pero, observemos que a(x) ~ b(x) no significa que a(x) - b(x) sea pequeño.
51
x (x) x/log x x/(log x -1)
1000 168 145 169
10000 1229 1086 1218
100000 9592 8686 9512
1000000 78498 72382 78030
10000000 664579 620420 661459
100000000 5761455 5428681 5740304
El teorema de los números primos implica que podemos usar x/(log x - a) (con cualquier constante a) para aproximar (x). Chebychev demostró que la mejor elección era a = 1.
52
x
uLn
duxLi
2)(
Que Li(x) sea asintótica con (x) es impresionante, pero lo que nos gustaría es estimar (x) lo mejor posible. Es decir, si
)()()( xExLix
nos gustaría conocer este error E(x) lo más exactamente posible. Y eso nos lleva al problema más famoso de la matemática...
53
)1(...4
1
3
1
2
11
1)(
1
xn
xxx
nxx
Euler la llamó función zeta en 1737. Consideró que s era un real mayor que 1.
La función zeta ζ(s)
6
1)2(
2
12
n n
1s
54
...9
1
7
1
5
1
3
11)(
2
11)(
2
1)(
...10
1
8
1
6
1
4
1
2
1)(
2
1
xxxxxx
xxxxxx
xxx
x
Repitamos la operación para el siguiente primo: 3.
)1(...4
1
3
1
2
11
1)(
1
xn
xxx
nxx
55
...13
1
11
1
7
1
5
11
)(3
11
2
11)(
2
11
3
1)(
2
11
...27
1
21
1
15
1
9
1
3
1)(
2
11
3
1
xxxx
xxxxx
xxxxxxx
xxx
x
1)(1
1
x
pprimopx
1
1
11
1)(
primopx
nx pn
x
Producto de Euler para la función zeta.
prime
1
p p
Euler utilizó esta identidadpara demostrar que
i.e., existen infinitos primos.
56
1,...32
)1ln(
1,...11
1
32
32
xxx
xx
xxxxx
1,...11
1 422
xxxx
Series de Taylor en variable real:
Es fácil ver por qué el radio de convergencia es|x|<1.
Pero, en este caso:¿cuál es el motivo?
Retomemos nuestro hilo...
57
¿Podemos expandir cualquier función compleja en series?
Podemos expandir funciones analíticas en unasseries especiales llamadas “series de potencias”
¿Cómo hallar esas series ?
(1) Usando el Teorema de Taylor(2) Usando otras series conocidas (y algunos trucos)
58
Serie de potencias
0
221 )()()(
nooo
non zzazzaazza
coeficientes complejoscentro dedesarrollo
)( ozz
0
2)(2
1)(1)(
!
1
n
n izizizn
P.ej.
Una serie de potencias en es:
59
Convergencia de series de potencias
Las series de potencias en general convergen para algunos valores de z, y para otros.
Por ejemplo la serie
0
321n
n zzzz
converge para |z |<1, pero diverge para |z |≥1.Fuera del círculo de convergencia la serie de potencias diverge.
Círculo de convergencia: mayor círculo centrado en z0 en el que la serie de
potencias converge.
(Serie geométrica)
Radio de convergencia
R =1
60
0
32 !3!21!n
n zzzzn
La serie diverge para todo z (excepto z = 0)
0
32
!3!21
!
1
n
n zzzz
n
Ejemplos:
La serie converge para todo z
Radio de convergencia infinito; R =
Radio de convergencia cero; R = 0
61
: converge
0
221 )()()(
nooo
non zzazzaazza
(1)La serie de potencias siempre converge para z = zo
oz
(2) Hay un radio de convergencia R para el cual:
Rzz o
: divergeRzz o
Rzz o Los valores z tq. pueden converger o no
62
El radio de convergencia R puede ser:(i) cero (converge solo en z = z0).(ii) un número finito R (converge en todos los puntos del círculo |z − z0| < R).(iii) (converge para todo z).
La serie de potencias puede converger en algunos, todos o ninguno de los puntos de la circunferencia de convergencia. Hay que determinarlo por separado.
En resumen:
63
¿Hay una forma rápida para hallar el radio de convergencia?
Ra
a
n
n
n
1lim 1
La fórmula de Cauchy-Hadamard :
(i) R = 1/L.
(ii) R es .
(iii) R = 0.
,0lim1
L
a
a
n
n
n
0lim1
n
n
a
a
n
n
n
a
a
n
1lim
64
Ejemplo:
0
22
)3(6)3(21)3()!(
)!2(
n
n izizizn
n
Rn
nnn
n
n
na
ann
n
n
n
14
)1()12)(22(
lim)!2()!(
)!1(
!)1(2limlim 2
2
21
4
1R
65
: converge
izo 3
4/13 iz
: diverge4/13 iz
0
22
)3(6)3(21)3()!(
)!2(
n
n izizizn
n
66
Ejemplo:
0
2)4()4(1)4(n
n iziziz
Ra
an
n
n
n
11
1
1limlim 1
1R
: converge
izo 4
14 iz
: diverge14 iz
67
Ejemplo:
0
22 )1(2)1()1(n
nn zezezne
Re
n
ne
ne
en
a
ann
n
nn
n
n
11lim
)1(limlim
11
eR /1
: convergeez /11
: divergeez /11 1oz
68
1 !)1()1(
k
kk
kiz
01
1lim
!)1(
)!1()1(
lim ,!
)1(1
2
1
nn
nn
ann
n
n
n
n
El radio de convergencia es .
Otro ejemplo:
69
Recuerda además que todo lo dicho para series, evidentemente funciona para series de potencias. Por ejemplo:
(1) Si la serie diverge.
(2) Si la serie diverge.
(3) Comparar:
(4) Si la serie diverge.
1lim
nn
nz
0
0limn
nnn
zz
convergey si converge00
n
nnnn
n bbzz
1lim 1
n
n
n z
z
70
El test de la raíz nos muestra que R = 1/3. El círculo de convergencia es |z – 2i| = 1/3.
La serie converge absolutamente para:
|z – 2i| < 1/3.
1
)2(5216
k
kk
izkk
35216
limlim ,5216
nn
ann
an
nn
n
n
n
71
Resumen y varios comentarios interesantes:
(Observa que para nosotros era:En el punto iv se resuelve el enigma)
1
1lim
n
n
n a
aR
72
73
74
75
Series de Taylor
76
77
78
Series de potencias y funciones analíticas
Cualquier función analítica f (z) puede ser representada por una serie de potencias con radio de convergencia R 0. La función representada por la serie es analítica en todo punto dentro del radio de convergencia.
Ejemplo:
0
321n
n zzzz
la serie converge para |z|≤1
Radio de convergencia R = 1
zzf
1
1)(
79
A las series de potencias que representan funciones analíticas f (z) se les llama series de Taylor.
0
)( )(!
1,)()(
no
nn
non zf
nazzazf
(Cauchy, 1831)
¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función analítica determinada?
Vienen dadas por la fórmula:
80
Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z0=0 (serie de Mclaurin):
zzf
zzf
zzfzzf
zzfzzf
cos)(
sin)(
cos)(cos)(
sin)(sin)(
)3(
)2(
)5()1(
)4()0(
1)0(
0)0(
1)0(1)0(
0)0(0)0(
)3(
)2(
)5()1(
)4()0(
f
f
ff
ff
kk
k
f
f
)1()0(
0)0()12(
)2(
0
12
0
12)12(
0
2)2(
0
)(
)!12(
)1(sin
)!12(
)0(
)!2(
)0(
!
)0(sin
k
kk
k
kk
k
kk
n
k
n
zk
z
zk
fz
k
fz
n
fz
81
Demostración del teorema de Taylor:
0z
z
x
y
0C 1C0r
1r
Por la fórmula integral de Cauchy:
1
)(
2
1)(
C
dz
f
izf
Vamos a desarrollar el integrando:
0
0
0
01
0
0
0
0
0
0
0000
1...1
1
1
11
)()(
11
zzz
zzz
z
zz
z
zz
z
zzzzzzzz
N
N
82
N
NN
N zz
zzfzz
z
fzz
z
f
z
f
z
f
))((
))(()(
)(
)(...)(
)(
)()()(
0
010
002
00
Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy:
Cn
n dz
f
i
nzf
10
0)( )(
2
!)(
1
1
))((
))(()(
)(
)(...)(
)(
)()(
2
1
)(
2
1)(
0
010
002
00CN
NN
N
C
dzz
zzfzz
z
fzz
z
f
z
f
i
dz
f
izf
)()()!1(
)(...))((')()( 1
00
)1(
000 zRzzN
zfzzzfzfzf N
NN
83
Donde hemos definido el residuo Rn:
1
))((
))((
2
1)(
0
0
CN
N
N dzz
zzf
izR
Observemos que:
rrzzzzrrzrzz 100100 ||||||;||;||
Si M es el valor máximo que puede alcanzar sobre C1:
)(f
N
N
N
N r
r
rr
Mr
rrr
rMrzR
11
1
11
1
)()(
2
2)(
Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0, la serie de Taylor converge a f(z).
84
Brook Taylor(1685-1731)
En 1715 agregaba a las matemáticasuna nueva rama llamada ahora “El
cálculo de las diferencias finitas”,e inventó la integración porpartes . Descubrió la célebre
fórmula conocida como la serie deTaylor.
Taylor también desarrolló losprincipios fundamentales de laperspectiva (1715).
James Gregory (1638 – 1675) descubrió las “series de Taylor” 40 años antes que Taylor ...
85
Ejemplo:
32
0
0
)(
0
1
!
)0(
1
1
zzz
z
zn
f
zaz
n
n
n
nn
n
nn
zzf
1
1)(
(1) Tomemos centro z = 0 :
!3)0(
2)0(
1)0(
1)0(
f
f
f
f
432 1
!3)(,
1
2)(,
1
1)(,
1
1)(
zzf
zzf
zzf
zzf
1z0oz
centropunto singular
1R
Encontrar la serie de Taylor para
86
3
212
21
21
0211
0212
1)(
021
16842
2
!
)(
1
1
zzz
z
zn
f
zaz
n
nn
n
nn
n
nn
(2) Tomemos centro z =1/2 :
421
321
221
21
2!3)(
2.2)(
2)(
2)(
f
f
f
f
432 1
!3)(,
1
2)(,
1
1)(,
1
1)(
zzf
zzf
zzf
zzf
1z21oz
centro
21R
punto singular
87
Una función analítica f (z) puede ser representada mediante series de potencias con distintos centros zo
(aunque hay únicamente una serie para cada centro).
Hay por lo menos un punto singular en la circunferencia de convergencia
1z21oz
1z0oz
3211
1zzz
z
3
212
21
21 16842
1
1zzz
z
88
Ejemplo:
!321
!
!
)0(
32
0
0
)(
0
zzz
n
z
zn
f
zae
n
n
n
nn
n
nn
z
zezf )( con centro z = 0
1)0(
1)0(
1)0(
1)0(
f
f
f
f
zzzz ezfezfezfezf )(,)(,)(,)(
0oz
centro
R
¡no hay puntos singulares!
89
Unicidad del desarrollo de Taylor
Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable alrededor de z0 , tq:
0
)( )(!
1,)()(
no
nn
non zf
nazzazf
¿Existirá otra serie de potencias: ?con,)()(
0
n
nnn
on abzzbzf
...)(232)(''
...)(3)(2)('
32
2321
o
oo
zzbbzf
zzbzzbbzf Tomando z = z0 en las expresiones anteriores:
20
20
10
00
2
)('';2)(''
)('
)(
bzf
bzf
bzf
bzf
...,2,1,0!
)(;!)( 0
)(
20)(
n
bn
zfbnzf n
nn
Son los mismos coeficientes del desarrollo de Taylor
90
Derivar la serie de Taylor directamente a partir de la fórmula
puede ser complicado.
0
)( )(!
1,)()(
no
nn
non zf
nazzazf
Normalmente se usan otros métodos:
(1) La serie geométrica
(2) La serie binomial
32
0
11
1zzzz
z n
n
32
0 !3
)2)(1(
!2
)1(1
11
)1(
1z
mmmz
mmmzz
n
nm
z n
nn
m
!5!3)!12()1(sin
53
0
12 zzz
n
zz
n
nn
(3) Otras series conocidas como la exponencial, el coseno, etc.
91
Ejemplo: 21
1)(
zzf
Expandir para z = 0
(usar la serie geométrica)
Primero dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z) para hacernos una idea:
puntos singulares:
Parece que el radio de convergencia es R=1.
centroiiz ,
92
3211
1zzz
zSabemos que
64222
1)(1
1
1
1zzz
zzPor tanto
La serie geométrica converge para |z|<1
por tanto nuestra serie converge para |z|2 <1
O lo que es lo mismo: para |z|<1. Y efectivamente el radio de convergencia es R = 1 como habíamos predicho.
93
Ejemplo:z
zf23
1)(
centro z = 1
Expandir
2/3z
para z = 1
(usar la serie geométrica)
De nuevo dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z):
puntos singulares:
Parece que el radio de convergencia es R = 1/2
94
3211
1zzz
z
2)1(4)1(21)1(21
1
23
1zz
zzpor tanto
Sabemos que
La serie geométrica converge para |z |<1,
por tanto nuestra serie converge para |2(z-1)|<1
es decir, para |z -1| < 1/2.
95
Encuentra la serie de Maclaurin de la función:
)9/(1
1
99)(
44 z
z
z
zzf
0
)(
4 !
)0(
)9/(1
1
9)(
n
nn
zn
f
z
zzf
0
32 )1(...11
1
n
nn wwwww
0
434244
4 9)1(...
9991
)9/(1
1
n
n
n zzzz
z
0
141
0
4
4 9
)1(
99)1(
)9/(1
9/
n
nn
n
n
n
n zzz
z
z
96
Ejemplo: 2)1(
1)(
zzf
Centro z = 0
Expandir para z = 0
Punto singular:1z
(Usar la serie binomial)
Centro y puntos singulares R = 1:
97
La serie binomial es:
3222
4321)](1[
1
)1(
1zzz
zz
Por tanto:
La serie binomial converge para |z |< 1
Por tanto nuestra serie converge para |-z |<1
Es decir |z |< 1.
es singular en z = -1
mz )1(
32
0
!3
)2)(1(
!2
)1(1
11
)1(
1
zmmm
zmm
mz
zn
nm
z n
nn
m
98
Ejemplo:
)2()4(
34152)(
2
2
zz
zzzfExpandir en z = 0
Centro z = 0
Puntos singulares:2,4 z
… el radio de convergencia debería ser R = 2.
99
2)4()4()2()4(
34152)(
22
2
z
C
z
B
z
A
zz
zzzf
Usaremos fracciones parciales:
22 )4()2)(4()2(34152 zCzzBzAzz
2
2
)4(
1)(
2
zzzf
32
2222
44
43
421
16
1
)]4/(1[4
1
)4(
1
)4(
1
zzz
zzz
Ahora
414/ zzconverge para
100
z
zzzzzz
zzzf
3215
1617
2221
44
43
42
41
22
)4(1
)(
32
5
3
4
2
32
2
32
2221
)2/(1
1
2
2
2
2
zzz
zzzy
212/ zzconverge para
Así que
2zconverge para
101
5
3
4
2
322 44
43
42
4
1
)4(
1 zzz
z
Converge para|z|<4.
32
2221
22 zzz
z
hay convergenciaen el área común
Converge para|z|<2
22
41
2
zz
Para:
102
Otras series útiles (Ejercicio: demostrar por la fórmula de Taylor)
132
)1(Ln
!4!21cosh
!5!3sinh
!3!21
!4!21cos
!5!3sin
32
42
53
32
42
53
zzz
zz
zzz
z
zzz
zz
zzz
ze
zzz
z
zzz
zz
z
103
Ejemplo:
22sin)( zzf Expandir en z = 0
no hay puntos singulares…el radio de convergencia debería ser R = .
!5!3
sin53 zz
zzUsando la serie
!5
)2(
!3
)2(2
2sin)(5232
2
2
zzz
zzf
(de uso de series conocidas)
104
efezf
efezfz
z
)1()(
)1()()1()1(
)0()0(
000
)(
!
)1()1(
!)1(
!
)1(
n
n
n
nn
n
nz
n
zez
n
ez
n
fe
Ejemplo:)|1(|
!
)1(
0
zn
zee
n
nz
0
)( )(!
1,)()(
no
nn
non zf
nazzazf
105
)|1(|1 zeee zz
De otra manera:
0
1
0
1
0
!
)1(
!
)1(
!
n
nzz
n
nz
n
nz
n
zeeee
n
ze
n
ze
)|(|!0
zn
ze
n
nz
106
En algunos casos excepcionales, un punto singular puede incluso aparecer dentro del círculo de convergencia.
0z
Recordemos que el Ln z es singular (no analítico) sobre el eje negativo.
zLn
Centro izo 1
n
n
n
o
n
nn
ina
ia
izaz
)1()1(
)1(Ln
)1(Ln
1
0
2
111
)1()1)(1()1()1(
limlim 11
21
i
inin
aa
nn
nn
nn
n
n
2 R
107
108
109
110
111
112
113
114
115
0 0)(
kk
k zza
Rzz || 0
Una serie de potencias
puede diferenciarse término a término en cu círculo de convergencia
116
303
202010
00 )()()()()( zzazzazzaazzazf
k
kk
203021
1
10 )(3)(2)()( zzazzaazzkazf
k
kk
)(2312)()1()( 0322
20 zzaazzakkzf
k
kk
3
3
30 123)()2)(1()( azzakkkzf
k
kk
nn anzfazfazfazf !)(,...!2)(" ,!1)(' ,)( 0
)(201000
0,!
)( 0)(
nn
zfa
n
n
k
k
k
zzk
zfzf )(
!)(
)( 00
0)(
117
Ejercicio: Obtener el desarrollo de Taylor de la función f(z) = 1/z alrededor de z0 = 1.
1|1|)1()1()(0
zconzzfn
nnRespuesta:
Ejercicio: Diferenciando la serie anterior obtener el desarrollo de Taylor de la función g(z) = 1/z2 alrededor de z0 = 1.
1|1|;)1)(1()1()1()1(
)1()1()(')(
)(')();(1
)(';1
)(
01
11
1
1
2
zconznzn
znzfzg
zfzgzgz
zfz
zf
n
nn
n
nn
n
nn
118
...11
1 32
zzzz
...)2()21(
1)2(
)21(
121
11
1 232
iz
iiz
iiz
119
Ejercicio: Obtener la serie de Maclaurin de la función “seno integral” (se trata de una función que aparece con frecuencia en problemas de radiación electromagnética y que no es posible evaluar en términos de funciones elementales):
0;1)0(
0;)sin(
)()()Si(0
sify
sifcondfzz
!7!5!31
sin
!5!5!3sin
642
753
Observa que la serie de Taylor converge también para 0.
120
12
0
753
0
6
0
4
0
2
00
)!12)(12(
)1()Si(
...!77!55!33
!7!5!31
sin)Si(
n
n
n
zzzzz
znn
z
zzzz
dddddz
Integrando la serie término a término:
121
122
123
124
Multiplicación de series
n
kknkn
n
mn
n
knn-n
m
mm
k
kk
m
mm
k
kk
baczc)zba.... bab(a
... )zbabab (a)zbab (aba
zbzazgzf
zbzbbzbzg
zazaazazf
000011
2021120011000
00
2210
0
2210
0
donde;
)()(
...)(
...)(
0
Podemos multiplicar dos series de potencias término a término, y “recolectar” los términos con igual potencia para determinar una nueva serie de potencias, el producto de Cauchy de las dos series:
125
Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el desarrollo de Maclaurin de f(z) = ez /(1-z).
n
n
n
m
z
n
nz
n
n
zm
zzz
zzzzz
zz
ezf
zzz
zn
ze
zzzzzz
0 1
32
3232
32
0
32
0
!
1
...!3
1
!2
111
!2
111)11(1
1!3!2
11
)(
||;!3!2
1!
1||;11
1
Para |z| < 1, la condición “más fuerte” de las dos.
126
127
128
129
130
131
132
133
De hecho, podemos definir las funciones elementales a partir de series de potencias. Por ejemplo:
134
Notemos que (a) siempre tenemos potencias positivas de (z-z0). (b) la serie converge dentro de un disco.
3211
1zzz
z
Como hemos visto podemos expandir una función analítica en serie de Taylor alrededor de un centro. Por ejemplo,
2
21
21 842
1
1zz
z
Podemos expandir la misma función respecto a distintos centros. Por ejemplo:
21oz
0oz
135
Pero hay otro tipo de series que:(a) incluyen potencias negativas de (z-z0) (b) convergen dentro de un anillo
Tales series se llaman series de Laurent.
842
111
23
32 2
22
zz
zzzz
z
Puntos singulares en z = 1, 2 Centro
Ejemplo
Converge para 1<|z|<2
136
Recordatorio:Singularidades aisladas
Supongamos que z = z0 es una singularidad de una función compleja f. El punto z0 se llama singularidad aislada si existe un disco puntuado abierto 0 < |z – z0| < R en el que la función es analítica.
137
Si tomamos una función y dibujamos sus puntos singulares, podremos separar el plano complejo en distintas regiones de convergencia.
La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo.
Ejemploz
zf
1
1)(
centro
Dentro del disco |z|<1 tenemos la serie de Taylor:
centro
En el anillo 1< |z| < tenemos la serie de Laurent:
3211
1zzz
z
32
111
1
1
zzzz
138
Por supuesto, podemos tener distintos centros ... z
zf
1
1)(
Dentro de un disco |z+1| < 2 tenemos la serie de Taylor.
En el anillo 2< |z+1|< tenemos la serie de Laurent.
8
)1(
4
1
2
1
1
1 2zz
z
32 )1(
4
)1(
2
1
1
1
1
zzzz
centro
1 1
centro
1 1
139
El centro podría ser, incluso, el punto singular ...
zzf
1
1)(
centro z0=1
En este caso, la serie es válida para 0< |z-1|< , un disco con el punto singular z0=1 situado en el centro.
En este caso, la serie está formada por un único términoz1
1
140
La función f(z) = (sin z)/z3 es no analítica en z = 0 y no podemos expandirla como serie de Maclaurin. Sabemos que:
converge para todo z. Así que:
convergerá para todo z excepto z = 0, 0 < |z|.
...!7!5!3
sin753
zzzzz
!7!5!3
11sin)(
42
23
zz
zz
zzf
141
Ejemplo
¿Cuántas series con centro z0 = 1/4 puede tener la función
?2
sin2 zz
z
| z-1/4 | < 5/4 5/4 < | z-1/4 | < 7/4 7/4 < | z-1/4 | <
El anillo siempre está entre los puntos singulares.
La función presenta dos singularidades (polos simples), en z = -1, 2.
142
Ejemplo
¿Cuántas series con centro z0 = 0 tiene la función ? 2)2( z
e z
La función presenta una singularidad (polo de segundo orden) en z = 2.
|z| < 2 2 < |z| <
143
Ejemplo)4)(1)((
3
zziz
Tres singularidades (polos simples): z = -i, 1, 4.
| z-2 | <1 1< | z-2 | <2
Centro z = 2 para:
522 z
25 z
144
Supongamos que la función f(z) es analítica en un anillo decentro z0, r0< |z - z0| < r1. Entonces f(z) admite representación en serie de Laurent:
¿Cómo hallar la serie de Laurent? Teorema de Laurent:
40
43
0
32
0
2
0
1
303
202010
)()()(
)()()()(
zz
b
zz
b
zz
b
zz
b
zzazzazzaazf
donde
...,2,1,0,))((2
1
...,2,1,0,)(
)(
2
1
10
10
ndzzzzfi
b
ndzzz
zf
ia
C
nn
Cnn
Pierre Alphonse Laurent (1843)
¿Cuánto valen los bn’s cuando f(z) es analítica en |z-z0| < r1?
Cr0
r1
145
0z
z
x
y
0C 1C0r
1r
01
)(
2
1)(
2
1)(
CC
dz
f
id
z
f
izf
Demostración del teorema de Laurent:
Por la fórmula integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo:
N
NN
N zz
zzfzz
z
fzz
z
f
z
f
z
f
))((
))(()(
)(
)(...)(
)(
)()()(
0
010
002
00
146
zzz
z
zzzzzzzz
zzz
zzz
zz
z
zz
z
zz
zzzzzzzzz
N
N
NN
N
N
1
)(
)(
)(
1
)(
1...
)(
1
)(
11
1...1
1
1
11
)()(
11
0
0
01
02
01
00
0
0
0
01
0
0
0
0
0
0
0000
z
f
zz
z
zzz
f
zzz
f
zz
f
z
fN
N
NN
)(
)(
)(
)(
1
)(
)(...
)(
1
)(
)()()(
0
0
01
02
01
00
147
0
1
01
)(
)(
)(
)(
1
)(
)(...
)(
1
)(
)()(
2
1
))((
))(()(
)(
)(...)(
)(
)()(
2
1
)(
2
1)(
2
1)(
0
0
01
02
01
00
0
010
002
00
CN
N
NN
CN
NN
N
CC
dz
f
zz
z
zzz
f
zzz
f
zz
f
i
dzz
zzfzz
z
fzz
z
f
z
f
i
dz
f
id
z
f
izf
N
nNn
nN
nN
nn zQ
zz
bzRzzazf
1 0
1
00 )(
)()()()(
148
0)(
))((
)(
1
2
1)( 0
0 C
N
NN dz
zf
zzizQ
Observemos que:
rrzzzzrrzrzz 100100 ||||||;||;||
Si M es el valor máximo que puede alcanzar sobre C1:
)(f
NN
NN r
r
rr
Mr
rr
rMr
rzQ
0
0
0
0
00
)(
2
2
1)(
Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0, la serie de Taylor converge a f(z).
149
Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay distintas formas de hallar la serie de Laurent de una función. En la práctica, no usaremos la fórmula anterior. Un método más simple consiste en usar la serie geométrica, tal como hicimos con la serie de Taylor.
Hallando la serie de Laurent
Ejemplo (1)Expandir la función 1/(1-z) en potencias negativas de z
432321
11111111
1)1(
11
1zzzzzzzzzz z
Dado que converge para |z |<1, la serie
converge para |1/z| < 1, o |z|>1
211
1zz
z
150
Ejemplo Expandir la función 1/(i-z) en potencias de z-2(Serie de Taylor)
3
2
2
2
2
22
)2()2(
)2(2
21
)2()2(
22
12
1
1)2(1
)2(211
iz
iz
i
iz
iz
i
izizi iz
Dado que converge para |z|<1, la serie
converge para
211
1zz
z
52ó12/2 ziz
151
Otra posibilidad consiste en expandir la función1/(i-z) en potencias negativas de z-2 (serie de Laurent):
3
2
2
2
2
22
)2(
)2(
)2(
2
2
1
)2(
)2(
2
21
2
1
1)2(
1
)2(2
11
z
i
z
i
z
z
i
z
i
zzzizi zi
Dado que converge
para |z|<1, la serie converge para
211
1zz
z
52ó12/2
ó12/2
ziz
zi
152
Ejemplo (3)
Expandir la función con centro z = 1
converge para 0 < |z -1|<
3
2
)1( z
e z
)1(!4
2
!3
2
)1(!2
2
)1(
2
)1(
1
!2
)1(2)1(21
)1()1()1(
432
232
2
3
2
3
)1(22
3
2
zzzz
e
zz
z
e
z
ee
z
e zz
¡El centro es el punto singular !
153
Cada serie de Laurent tiene dos partes:
303
202010 )()()()( zzazzazzaazf
4
0
43
0
32
0
2
0
1
)()()(...
zz
b
zz
b
zz
b
zz
b
Potencias positivas (serie de Taylor)
Potencias negativas (Parte Principal)
DENTRO
FUERA
154
Ejemplo
Expandir la función con centro z = 0)3)(1(
1
zz
¿De cuántas formas podemos hacerlo?
(a) |z| < 1
(b) 1 < |z| < 3
(c) 3 < |z| <
3
1
2
1
1
1
2
1
)3)(1(
1
zzzz
centro
155
(a) |z| < 1
2
2
22
2713
94
31
331
31
121
)3/(11
31
)(11
21
31
11
21
)3)(1(1
zz
zzzz
zz
zzzz
Dentro del disco, términos positivos:serie de Taylor.
156
(b) 1 < |z| < 3
541861
21
21
21
331
3111
11
21
)3/(11
31
)/1(111
21
31
11
21
)3)(1(1
2
23
2
2
2
zzzzz
zzzzz
zzz
zzzz
potencias negativas 1 < |z| <
potencias positivas|z| < 3
Serie de Laurent
157
En la página anterior, ¿cómo sabíamos qué término expandir en potencias negativas y cuál, si lo había, expandir en potencias positivas?
El término está “fuera”
- términos negativos
El término está “dentro”
- términos positivos3
1
z
1
1
z
El anillo final resulta de la superposición
158
(c) 3 < |z| <
432
2
2
2
1341
331
1111
1
2
1
)/3(1
11
)/1(1
11
2
1
3
1
1
1
2
1
)3)(1(
1
zzz
zzzzzz
zzzz
zzzz
potencias negativas3 < |z| <
potencias positivas|z |<
159
(a) 0 < |z – 1| < 2
)3()1(
1)( 2
zzzf
2)1(
1
1
)1(2
1
)1(2
1
)1(
1
)3()1(
1)(
222
zzzzzz
zf
...16
)1(
8
1
)1(4
1
)1(2
1
...2
)1(
2
)1(
2
)1(1
)1(2
1)(
2
3
3
2
2
2
z
zz
zzz
zzf
160
(b) 0 < |z – 3| < 2.
)3()1(
1)( 2
zzzf
2
22
23
1)3(4
1
)]3(2[)3(
1
)3()1(
1)(
zz
zzzz
zf
...
23
!2)3)(2(
23
!1)2(
1)3(4
1)(
2zzz
zf
(binomial válida para |(z – 3)/2| < 1 o |z – 3| < 2)
...)3(81
)3(163
41
)3(41
)( 2
zzz
zf
161
0 < |z| < 1.)1(
18)(
zzz
zf
...9991
...1)1
8(1
118)1(
18)(
2
2
zzz
zzzzz
zzz
zzf
162
1 < |z – 2| < 2.)1(
1)(
zzzf
En el centro z = 2 f es analítica. Queremos encontrar dos series de potencias enteras de z – 2; una convergiendo para 1 < |z – 2| y la otra para |z – 2| < 2.
22
1
121
2211
)(
)()(1
11)(
1
21
zzzzf
zfzfzz
zf
...2
)2(
2
)2(
2
221
...2
22
22
21
21
4
3
3
2
2
32
zzz
zzz
|(z – 2)/2| < 1 o |z – 2| < 2.
163
|1/(z – 2)| < 1 o 1 < |z – 2|.
...)2(
1
)2(
12
1
...2
12
12
11
21
21
1
12
121
11
1)(
32
32
2
zzz
zzzz
zzzz
zf
164
f(z) = e3/z , 0 < |z|.
...!3
3
!2
331
...!3!2
1
3
3
2
23
32
zzze
zzze
z
z
165
(a) 0 < |z| < 1,
(b) 1 < |z|,
(c) 0 < |z – 1| < 1
(d) 1 < |z – 1|.
)1(1
)(
zz
zf
166
...11
...11
1
11)(
2
2
zzz
zzz
zzzf
...111
...11
11
11
11)(
432
22
2
zzz
zzz
zz
zf)1(1
)(
zz
zf
167
...)1()1(11
1
...)1()1(11
1
)11(
1
1
1
)1)(11(
1)(
2
2
zzz
zzz
zz
zzzf
...)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
...)1(
1
)1(
1
1
11
)1(
1
11
1
1
)1(
1
)1(1
1
)1(
1)(
5432
322
2
zzzz
zzzz
zzzz
zf
168
)3(
1)(
2
zzzf
Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades.
Puntos singularesz0 = 0z0 = 3
0 1
00
0 0)(
)()(n n
nnn
n Rzzzz
bzzazf
1
112
00
)1(1
1
)1(
1
;)1(1
1 ;
1
1
:1 Para
n
nn
n
nn
n
n
nwww
ww
ww
w
ExamenJUNIO 04/05: P-1
169
z0 = 0
2
2
02
01
0
31
31
33
1
3
11)(
3
1
33
1
31
31
3
1
:3013
0 Si
zz
z
zzzf
zz
zz
zz
nn
n
n
nn
n
n
Polo doble
03
z0 = 3
0
21
32
1
11
2222
33
1)3)(2()1(
3
11
3
1)(
3
3)1(
3
1
33
1
1
3
11
:33013
30 Si
n
nn
nn
zzn
zzzf
zn
zz
zz
Polo simple
03
170
P1. Junio 2006
Respuesta.
Nnzz
zfn
,)2(
1)(
)2(
1)(
zzzf
n Puntos singulares, z = 0, z = 2.
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z)
válido en el entorno de cada uno de sus puntos singulares.
171
• Entorno de z = 0; 0 < |z| < 2
2
nknk
k
kk
k
n
nn
zz
z
zzzzzf
22
1
22
1
)2
1(2
)1(1
2
11)(
0
• Entorno de z = 2; 0 < |z - 2| < 2
2
1)(
2
11)(
zzg
zzzf
n 2 4
12 z
172
nzzg
1)( es analítica en |z – 2| < 2 => Admite desarrollo de Taylor:
k
k
k
zk
gzg )2(
!
)2()(
0
)(
knkk
knkk
nnn
n
kng
zn
knzg
z
nnzg
z
nzg
zzg
2
1
)!1(
)!1()1()2(;
1
)!1(
)!1()1()(
;)1(
)( ;)( ;1
)(
)()(
21
0
1
0
)2()!1(!
)!1(
2
)1(
)2(
1)()()2(
)!1(!
)!1(
2
)1()(
k
kkn
k
k
kkn
k
znk
kn
zzgzfz
nk
knzg
173
zz
zzf
22 )1(
)sin()(
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función
válido en el disco |z| < a. Especificar el máximo valor de a donde el
desarrollo es convergente.
a
Respuesta.
Ptos. singulares z = ±1. (z = 0 es una singularidad evitable: lim (z→0) f(z) = 1)
amáx = |z – 0| = 1. Recordemos que:
zen converge )!12(
)1()sin(
0
212
n
nnn
znz
z
||)!12(
)1(
!5!3sin
0
1253
zzn
zzzz
n
nn
174
1 ,z
1
z
1
2z
1
2z
1
1
1
)1(
1
0
22
0
12
0
2222
znznzzzz n
n
n
n
n
n
0
2
0
12122
2222
)!12(
)1(
z
1)(
)1(
1)sin(
)1(
)sin()(
n
n
n
nnn
nzzn
zf
zz
z
zz
zzf
1 ,)()!12(
)1()(
0
22
0
12
zzkk
zfn
nn
k
kk
175
P1. Septiembre 2007
Sea la función donde se considera la determinación
del argumento (0,2π). Se pide:
a) Calcular razonadamente el dominio de analiticidad, y clasificar las
singularidades, especificando el tipo.
b) Indicar las coronas en torno a z0 = 0 donde se puede hallar el desarrollo
de Laurent.
c) Calcular el desarrollo de Laurent en torno a z0 = 0 en la corona |z| > 4.
1
4log
1)(
2 z
z
zzf
176
Respuesta.
a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en
aquellos puntos en los que:
- El cociente no es analítico, es decir, el punto z = 0.
- La función no es analítica. Para analizar el dominio
de holomorfía de esta función se debe considerar:
* Por un lado, los puntos singulares de , en este
caso, z = 1.
* Por otro lado, los puntos singulares de log w con
la determinación (0,2π). Esta determinación no es
analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen
Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy
2
1
z
1
4log
z
z
1
4
z
z
177
2222
2
)1(
3
)1(
)1)(4(
)1(
)4(
1
4
yx
yi
yx
yxx
iyx
iyx
z
zw
con lo que
410)1)(4(
0
0)1(
)1)(4(0)Re(
0)1(
30)Im(
40
22
2
22
xxx
y
yx
yxxw
yx
yw
zw
Así, no es analítica en todo el segmento real
1
4log
z
z 4,1xz
178
Con todo, la función f es analítica en
todo el plano complejo menos en z = 0
y en el segmento 4,1xz
Re (z)
Im (z)
- Los puntos no son aislados, luego la función no admite
desarrollo en serie en torno a ellos.
- El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo
observamos que f se puede expresar de la forma con
analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ ≠ 0. Luego
z = 0 es un polo doble.
4,1xz
2
)()(
z
zgzf
1
4log)(
z
zzg
179
b) El único punto singular aislado es z0 = 0, por lo que se puede obtener
tanto la serie de Laurent de la función en torno a z0 = 0 válida en la
corona 0 < |z| < d(0,1) = 1, como la serie convergente en el dominio |z| >
4.
Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos
respecto de z la función , de modo que
1
4log)(
z
zzg
1
1
4
1
)1)(4(
3)´(
zzzzzg
y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z|
> 4 o, expresado de modo más conveniente, 14
z
180
11
11
11
11
1
1
14
41
14
11
4
1
0
0
zzzz
zz
zzzz
zz
nn
nn
n
(... continuar el problema ...)
181
Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y
Laurent) de las funciones complejas:
Respuesta.
a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1.
Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que
el desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1.
,)1(
1)( ) ;
1
1)( )
2zzfb
zzfa
alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de
las series obtenidas.
182
Entonces:
n
nn
n
n
nn
n
zzf
zzz
zf
)1(2
)1()(
)1(2
)1(
2
1
)2
1(1
1
2
1
1
1)(
01
0
Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para
|z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent.
Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:
183
1
11
01
0 )1(
2)1(
)1(
2)1(
)1(
2)1(
1
1)(
)1
2(1
1
1
1
1
1)(
nn
nn
nn
nn
nn
nn
zzzzzf
zzz
zf
b) Observemos que ;
entonces derivando las series anteriores obtenemos:
dz
zdf
zdz
d
zzg
)()
1
1(
)1(
1)(
2
Taylor) de (Serie 21con ,)1(2
)1()1()(
)1(2
)1())1(
2
)1(()(
02
1
11
1
01
zzn
zg
zn
zdz
dzg
n
nn
n
n
nn
nn
nn
n
184
y
Laurent) de (Serie 21con
)1(
2)1(
)1(
2)1()(
11
11
1
11
z
z
n
zdz
dzg
nn
nn
nn
nn
185
)2)(1(
1)(
zzzzf
)21(2
1
)11(
11
2
1
1
11
)2)(1(
1)(
zzzz
zzzzzzzf
Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la
función compleja:
Respuesta.
186
01
1
02
00
2
1
22
1111)(
nn
n
nn
nn
n
nn
z
z
z
zzzzf
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar el valor de algunas integrales. Por ejemplo, calculemos:
Czdze /1 Encontremos las serie de Laurent
de e1/z:
||0;!3
1
!2
111
!
)/1(;/1
||;!3!2
1!
320
/1
32
0
zzzzn
zezz
zzz
zn
ze
n
nz
n
nz
...,2,1,0
))((2
1 10
n
dzzzzfi
bC
nn
Recordemos: C
z dzzei
b 11/11 )0(
2
11
idzeC
z 2/1
200
Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i)2 en serie de Laurent alrededor de z0 = i.
...,2,1,0,))((2
1
...,2,1,0,)(
)(
2
1
10
10
ndzzzzfi
b
ndzzz
zf
ia
C
nn
Cnn
C n nsii
nsi
iz
dz
22
20
)( 3
¡Hemos resuelto infinitas integrales de una tacada!
¡Ya está desarrollado! Todos los coeficientes an y bn
son cero a excepción de b2 = 1. Entonces, como:
201
1,...32
)1ln(
1,...11
1
32
32
xxx
xx
xxxxx
1,...11
1 422
xxxx
Acabemos con la pregunta de la transparencia sobre series de Taylor en variable real:
Es fácil ver por qué el radio de convergencia es|x|<1.
Pero, en este caso:¿cuál es el motivo?
202
203
