6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

18
Cálculo Diferencial con “Mathematica” bx a e bx a y + + = ) ( !" # $ ! #% %&$ 0 ) ( ' 1 = x y ( ) ( ) ( ) + + = + + = + + x bx a bx a b ab b e b bx a b e x y 2 ) ( ' ( ) ( ) ( ) 1 0 3 0 3 0 ) ( ' 3 2 2 1 = - + + = - + + = b ab ab b b a b ab b x y !# ’ %& ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b ab b e b b bx a b b e x y bx a b a x 3 2 2 2 2 " + + = + + + = + + ( ) ( ) (2) 0 4 2 0 4 2 0 " 4 3 2 2 3 2 2 2 = - + + = - + + = b ab ab b b a b ab b x y ( ) ( ) 1 posible es no esto como 0 4 0 3 1 1 1 0 2 2 0 3 1 1 1 1 0 1 ) 4 ( 0 4 2 0 ; 0 4 2 ) 2 ( ) 3 ( 0 3 1 0 ; 0 3 1 ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 2 2 2 2 2 2 - = = + / - / + - = = = - = - + + = ± = = = + - = - + + = - + + = - + + = - + + b a a b a a a a b b b b b ab a b b ab a b b ab a b b ab a b $()* ()

Transcript of 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

Page 1: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

���� ��� ��� ����� ���� ���������� � ���� �����

� ����� ����

������������

���������������� �� bxaebxay ++= )( �����������������������������

������������������������������

� �� � !�" #$

� ��!��������# ���%�������� ���������������������%��&$ 0 )('1

=xy

( )( ) ( )�++=++= ++x

bxabxa babbebbxabexy 2)('

( )( ) ( )103030 )(' 3221

=−++�=−++�= bababbbababbxy

� ��!# ���� ������'��������%��&���� ����

( ) ( )( )( ) ( )xbabbebbbxabbexy bxaba x 3222 2" ++=+++= ++

( ) ( ) (2)0420420" 43223222 =−++�=−++�= bababbbababbxy

( )( )

1 posible es no esto como 040311

10220311

1101

)4(0420;042)2(

)3(0310;031)1(

)3(

)3(

22

222

22

−≠=�=+/−/+�−=

=�=−=−++�=

±=�=�=+−

���

���

=−++�≠=−++�

=−++�≠=−++�

baab

aaaab

bbb

bababbabab

bababbabab

��������$�()*�()

Page 2: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�����������

��� :f →� � ��� ��

2

2

1; 0

1( ); 0

2 1

xx

xf xax b

xx x

� + ≤�� −= � +� >� + +�

�� ������ ������%+�����%���������� ����%������������(, �������

� ���� ����(-�

�� ������%+�����%����'������%.�%������������+�����������������������

������(,�

� /�����%���������� ����%������������(,�������� ���� ����(-

� ������������(, �0 0

lim ( ) lim ( ) (0)x x

f x f x f+ −→ →

∃ = =

1

111

lim)(lim

12lim)(lim

2

00

200−=�

��

��

−=−+=

=++

+=

−−

++

→→

→→b

xx

xf

bxx

baxxf

xx

xx

� ��������� ���� ����(-��0�-�(,�!�� ��(->,

'

22

=> '(2)= 02 1 x

ax bf

x x =

+ =� �+ + �

20220)2(')1(

2

)1(

22

)1(

)1(2)()1(

12

13

334

2'

2

=�=−+�=�+

−−=

=+

−−+=+

/+/+−+=�

+++

−=

/

/

aaafx

axba

x

baxaax

x

xbaxxa

xx

bax

b

��������$�(1)*�(-�

� ������%+�����%����'������%�%������������+����������������������(,�

� 2����+�������(,%�%���%� )0(')0(' −+ =∃ ff

Page 3: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

2

00

2

2 22 0 01

(0 ) (0) ( 1)'(0 ) lim lim

2 1 ( 1) 4lim lim 4

( 1) ( 1)

hh

a h hb

ah bb

f h f hfh h

h h hh h h

+

+

→→

= → →=

+ −+ − += =

− + + += = =+ +

2

0 0

2

0 0

11(0 ) (0) 1'(0 ) lim lim

1 1 ( 1)lim lim 1

( 1) ( 1)

h h

h h

hf h f hf

h hh h h h

h h h h

− −

→ →

→ →

+ ++ − −= =

+ + − += = = −− −

��������$�����(1)�(-.!�� ��0�,3�≠�0�,1�.������������%����+�������(,�

Page 4: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������������

4� �%����� ��������� ��� �� � �+�� � �� ����� �� ��� ����� +���� ���� ���

4 3 2( )=3t -44t +144ts t ������� ����$

�� �����%������������������% ����� �+��%������

�� �����+���%������ ������% ����� �+��� ���'���%����������������

�� �����% �� �� ���������� �� ��% �� �� � �+�� �����5� %� +�������� � &��� �

� ���� ��

� �� � !�" #$

� 4���+��%�������������+��������%�'�������

23 2( ) '( ) 12 - 3*44 2*144 12 ( - 11 24) 0V t S t t t t t t t= = + = + =

1682 2

63

2

0

( ) 0 11 121 96 11 511 24 0

2 2

t

V tt t t

=

=

=��= � ± − ±� − − = � = = =��

��%��%������%%��%�6�(67)��8�(1),-9

� 4������%����%���%�����+�% ���������/���. ���%��������.��������%����

���%������:��������;��5����

/�)�()-�)1))3-9�>,�/���>,.∀�<�,.6�

/�9�()-�9�)=1993-9�(1)-�)=>,�/���>,.∀�<�6.8�

/�),�()-,�),,1)),3-9�?,�/���>,.∀�<�8.,,�

� ��% �����% �� �� ���������� �� ��% �� �� +�������� �% �&���� ��� %������

��%���+�� ������� ��&���� �� %������ ���������� %�� � �����% �� ��% �� ��

������������%�����

Page 5: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

22( ) '( ) 0 6 6*44 2*144 0 12(3 22 24) 0maxV t a t t t t t� = = − + = � − + =11 7

63

11 7 43 3

44 4.121 4.3.6.4 22 2 121 72 11 496 6 3

t+ =

− =

± − ± − ±� = = = = �

( ).min60)1236(12)6("

.max34022

34

61234"

)226(12)("

VtV

VtV

ttV

=�>−=

=�<��

−=

−=

��9@6�()=)�)87���������������������/����

��=�(196-���������������������/����

43

3 6 8t

�1000

�500

500

s�t�

V�3��0

V�8��0

a�4�3��0V�0��0

a�6��0

A�%�����%����������

t (-∞,4/3) 4/3 (4/3,3) 3 (3,6) 6 (6,8) 8 (8,∞)

S(t) S� 161 S� Smax �� -1024 �� Smin S�

SgnV + + + 0 - - - 0 +

V(t) V� Vmax V� V=0 V� Vmin V� 0 V�

Sgn a + 0 - - - 0 + + +

Page 6: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������������

4���%�%�������B�%����������%�������%�����������CD%����%���������%�����%

�.E;�4�������%��������.E(�8.,�; %����+�� �� ������� �� �����(7���

+�������� ,.7 ��@%. �������� �� ��%����� �,.7� �� �� ��%����� �(,� ���������� ��

��%��������� ����&����� ABO ˆ �%�&�����

� ��� !�" #$

� !��������%��+�����������&�����OBA�

�������������������

x 8�x

v � 0.5�t

y�5

� �

A�8,0�0

B

OBA γ α β= = +�

*tan tan

tan tan( )1 tan * tan

α βγ α βα β+= + =

8tan ; tan

5 5x xα β −= =

����������%����������������� �����������;���� ��%������ ��%��&,.7��

��������

0,5 8 0,5

( ) arctg arctg5 5

t ttγ −= +

� ���������� �� ( )tγ %���&�����% �� ( ) 0tγ ′ =

Page 7: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0,5 0,55 5( )

0, 25 (8 0,5 )1 1

5 52,5 2,5 10 10

25 0, 25 25 (8 0,5 ) 100 100 (16 )

10(100 16 32 100 ) 10(16 32 )(100 )(100 (16 ) ) (100 )(100 (16 ) )

tt t

t t t t

t t t tt t t t

γ ′ = − =−+ +

− = − =+ + − + + −

+ − + − − −=+ + − + + −

22

2 2

10(16 32 )( ) 0 0 16 32 0 8

(100 )(100 (16 ) )t

t t tt t

γ −′ = � = � − = � =+ + −

máximo.

� ��%��� ��%����%������&�����.�������(8.%��$�(,.7F8(9*81�(9

Page 8: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ������������ ����Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

��������� � �

�������;�%�&%�������-,G� �����+�������������������� ����%������������

E� ������ ���� �� ��%����� ��� �������� � ; �� �� ���� ���%�����%� %���� �� +�� ��

����������� �� �������� ! ���� �� �� +��B� ��%�� �� ������ E '�%�� �� ������ ;.

'������� �� +��B� E! ��� ����������� !; ��� ���������. ���� �� � ���% ��%����. %� ��

+�����������������������%��8,G� @'��+���������������������%��-,G� @'�

� ��� !�"#$

B

20 Km d

A x

a

C

a - x

� ������ ������� ��� ���� �� �� ������� �� �� ��%������ � ��� �������� ! ��

�����E�

�H�%���������������������������������� ���)

20

)(20

20

22

1

xadt

ve

tte

V

−+==

=�=

�H�%������������������������������������ ���-

802

xt =

Page 9: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

� :������������������

8020

)(20 22 xxat +

−+=

� 2�������������5��

[ ]a0,x,8020

)(20)(

22

∈++−+

= xxaxt

� �����%�������%$

� ��%�������%��������+����(,�(�

� ��%�����%����% ���0���(,

2 2

42 2

1 2( ) 1'( )

20 802 20 ( )

'( ) 0 80( ) 20 20 ( ) 0

a xt x

a x

t x a x a x

− −= ++ −

= � − − + − − =

2 2

2 2 2

2 2

4( ) 20 ( )

16( ) 20 ( )

15( ) 20

a x a x

a x a x

a x

− = + −

− = + −− =

0

20 2015 15

a x x a− = � = −

� ∃�0���∀�∈I,.�J

� � �%��%���

� �����(,.2 2

1

2020

at

+=

� �����(�. 2 180a

t = +

� �����(15

20−a .

2 22

3

20 202015 15

20 8

at

+ −= + .�%��������������

Page 10: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������������

4%������E(�-H9�������������������E%�������B�� C���������B�,D�;(1-�

-38��

���������;���������������%���������%���������%����������%���������������%�%

�������

� ��� !�"#$

� ������ ���� �%����%��������� ��%���������%������%������(,.���������

�����%%���%�������

B

A A

( ) ( )( ) ( )8,080

0,000→=→=

B

A

S

S

� /�� �%���%��������� �+�� ���������%���������%���������������������%

�B�%�

Page 11: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

t=4

t=0 t=2

min

V <0

484)2(02)("

2042)('4)( 2

−=−=∀�=

=�=−=→−=

A

A

AA

S

mínimottStttStttS

� �����������E���������������������������19.,�������%������(-�

���������'���+����������� �����%����.���������������%������

��%���+���%�������+�� ����������,.,�������%������(9�

B

( )

00)('.04)("

00461)('88 2

�∀�

��−==�=//−=→+−=

ttS

máxtS

tttSttS

B

B

BB

� �� ��������� ; ����� �� �� ��%����� �,.8� %� ���B� ����������� ����

��%����������,.,�������%������(-�

� ������ �������������%������� ���� ��������%���������%�

Page 12: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ������������ ����Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

SB

SA

22)( BA SStd +=

( ) ( )2222 824)( +−+−= ttttd

F4�� &��� ����%����������%��� &��� ������������

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 22 21

2 21

2 2

2

( ) 4 2 8

'( ) 2 4 * 2 4 2* 2 8 * 4

4 2 4 8 8 2 8

4 5 6 8

d t t t t

d t t t t t t

t t t t t t

t t t

= − + − +

= − − + − + −

� � � �= − − + − − +� � � �

� �= − −� �

1 2 245

0

'( ) 0 6 36 160 6 145 6 8 0

10 10

t

d tt t t

=��= � ± + ±� − − = � = = = ���

A B

t=2 SA(2 ) = -4 t= 2 SB(2 ) = 0

4��%����%�����E;�����5������%������� ���� �����������'�%����B���

Page 13: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������������

�'�����%����������������%�%�&%����������������������%��������7G�

���������E������%����������������������������E�.��%����������������;

������%��%�������=G���E�����������������%����������������������� ��

����%�����%������� ����������������+����������-G�@'������9G�@'�

� �� � !�" #$

A 6 K m

B

5 K m

P

d

x 6 -x

1 2

225 6;

2 4d x c x

t tV V

+ −= = = =

� ����������������5��%��&����������������������������.������

4

62

25)(

2 xxxt

−++=

� �����%�������%$

� ��%�������%��������+����(,�(=

� �����%�����������+����%����

41

252)('

2−

+=

x

xxt

Page 14: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

2 2 2 20

25 5'( ) 0 2 25 0 25 4

3 5t x x x x x x x= � − + = � + = � = � =

� ��%��%���

� �����(, 4)0( =t

� �����(= 8,72

3625)6( ≈+=t

� �����,(5

5

2

0

55 6255 5( ) 3,68

2 4t x

−+= + = .���� ��� ���� �

Page 15: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

������������

K ����� �%���%�����������������+���� �����%��������� ����� �%��%������ ���%

��%���������� � ��.��%���������%��� ���� ��

� ��� !�"#

� ���������������������$

hrrrS ππ 22)( 2 +=

� ���%�� ����+���� ���%���%�����%�������������$

22

rV

hhrVπ

π =�=

����������

22

2

32

( ) 2 2

2'( ) 4 0

24

2�

vS r r r

rV

S r rr

V Vr r

r

π ππ

π

π

= +

= − =

� = � =

Page 16: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

h

y

r

R

������������

L�������+�������&������������������������%�����������%�����������A�

� �� � !�"# �

� !�������

( ) [ ]

R82

r ==�

=−�−

=−�

=/−/

/+−+//=

∈⋅−=

−+=

⋅=

/

22

222

22

222

2

222

222

22

2

82

22

02

21

24)('

,02)(

2

)(

Rr

rrR

rR

rrR

rR

rrrRrrV

RrrrRrV

rRH

rhrV

ππ

π

π

� !���

/�������������()@6&���������%������������

[ ]

( )

( )RrRrRRr

RRrrrRR

RrrRR

rrRrRR

rR

rrRR

rR

rrrRrrrV

RrrRRrrV

rRRyRh

322

98

04129

412494

232

22

2

02

231

32

)('

,031

)(

22222

4222222

2222

22222

22

222

22

222

222

22

=�=�=+−

+/=−//

�−=−

=−+−

�−

=��

� −+

�=��

��

/−/

/+��

� −+//

/=

∈��

� −+=

−+=+=

/

ππ

π

R

r

h

Page 17: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�������������

L�������%�����%����%������������������%���������������� ��%�&���%��

�&����.��������������&������������������%%����������%�

2 2

22 2

22

( ) 22

'( ) 2 0 02

" 2 0 máximo2

P rP r x x

P rA r r r Pr r

PA r r P r y x

PA

ππ

ππ π

ππ

ππ

−= + � =

− = + = −� � �

= − + = � = =

= − < �� � �

x

r

Page 18: 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos

�������� ��� ������������������������������������ ������������ ����Cálculo Diferencial con “Mathematica”

������������ ���� ���������� ����������� ���

�������������

����%���� ���� �������� �������+�������&���� ��%����� ���� ���� ����� �����

9@M���+��������������

( )

2

2

2

22

2

13

41

( ) 1

3'( ) 2 1 2 0

2 4 1 40 x a ( ) Vcono

3 9 3 9

Volumen del cono a b

Volumen del cilindro x y

b b xtg y a x b

a a x a a

xV x x b

a

x b b xV x xb x xb

a a a

x V x a b

π

π

ϑ

π

ππ π π

π

=

=

= = � = − −� �− �

= −� � �

/ //= − − = − =/� � �

≠ � = � = ⋅ =

b

y

-a x x

O

a