6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos
-
Upload
berman-lira -
Category
Education
-
view
262 -
download
0
Transcript of 6 significado-y-aplicaciones-de-la-derivabailidad-problemas-resueltos
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
���� ��� ��� ����� ���� ���������� � ���� �����
� ����� ����
������������
���������������� �� bxaebxay ++= )( �����������������������������
������������������������������
� �� � !�" #$
� ��!��������# ���%�������� ���������������������%��&$ 0 )('1
=xy
( )( ) ( )�++=++= ++x
bxabxa babbebbxabexy 2)('
( )( ) ( )103030 )(' 3221
=−++�=−++�= bababbbababbxy
� ��!# ���� ������'��������%��&���� ����
( ) ( )( )( ) ( )xbabbebbbxabbexy bxaba x 3222 2" ++=+++= ++
( ) ( ) (2)0420420" 43223222 =−++�=−++�= bababbbababbxy
( )( )
1 posible es no esto como 040311
10220311
1101
)4(0420;042)2(
)3(0310;031)1(
)3(
)3(
22
222
22
−≠=�=+/−/+�−=
=�=−=−++�=
±=�=�=+−
���
���
=−++�≠=−++�
=−++�≠=−++�
baab
aaaab
bbb
bababbabab
bababbabab
��������$�()*�()
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
�����������
��� :f →� � ��� ��
2
2
1; 0
1( ); 0
2 1
xx
xf xax b
xx x
� + ≤�� −= � +� >� + +�
�� ������ ������%+�����%���������� ����%������������(, �������
� ���� ����(-�
�� ������%+�����%����'������%.�%������������+�����������������������
������(,�
� /�����%���������� ����%������������(,�������� ���� ����(-
� ������������(, �0 0
lim ( ) lim ( ) (0)x x
f x f x f+ −→ →
∃ = =
1
111
lim)(lim
12lim)(lim
2
00
200−=�
��
�
��
�
�
−=−+=
=++
+=
−−
++
→→
→→b
xx
xf
bxx
baxxf
xx
xx
� ��������� ���� ����(-��0�-�(,�!�� ��(->,
'
22
=> '(2)= 02 1 x
ax bf
x x =
+ =� �+ + �
20220)2(')1(
2
)1(
22
)1(
)1(2)()1(
12
13
334
2'
2
=�=−+�=�+
−−=
=+
−−+=+
/+/+−+=�
�
�
+++
−=
/
/
aaafx
axba
x
baxaax
x
xbaxxa
xx
bax
b
��������$�(1)*�(-�
� ������%+�����%����'������%�%������������+����������������������(,�
� 2����+�������(,%�%���%� )0(')0(' −+ =∃ ff
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
2
00
2
2 22 0 01
(0 ) (0) ( 1)'(0 ) lim lim
2 1 ( 1) 4lim lim 4
( 1) ( 1)
hh
a h hb
ah bb
f h f hfh h
h h hh h h
+
+
→→
= → →=
+ −+ − += =
− + + += = =+ +
2
0 0
2
0 0
11(0 ) (0) 1'(0 ) lim lim
1 1 ( 1)lim lim 1
( 1) ( 1)
h h
h h
hf h f hf
h hh h h h
h h h h
− −
−
−
→ →
→ →
+ ++ − −= =
+ + − += = = −− −
��������$�����(1)�(-.!�� ��0�,3�≠�0�,1�.������������%����+�������(,�
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
������������
4� �%����� ��������� ��� �� � �+�� � �� ����� �� ��� ����� +���� ���� ���
4 3 2( )=3t -44t +144ts t ������� ����$
�� �����%������������������% ����� �+��%������
�� �����+���%������ ������% ����� �+��� ���'���%����������������
�� �����% �� �� ���������� �� ��% �� �� � �+�� �����5� %� +�������� � &��� �
� ���� ��
� �� � !�" #$
� 4���+��%�������������+��������%�'�������
23 2( ) '( ) 12 - 3*44 2*144 12 ( - 11 24) 0V t S t t t t t t t= = + = + =
1682 2
63
2
0
( ) 0 11 121 96 11 511 24 0
2 2
t
V tt t t
=
=
=��= � ± − ±� − − = � = = =��
�
��%��%������%%��%�6�(67)��8�(1),-9
� 4������%����%���%�����+�% ���������/���. ���%��������.��������%����
���%������:��������;��5����
/�)�()-�)1))3-9�>,�/���>,.∀�<�,.6�
/�9�()-�9�)=1993-9�(1)-�)=>,�/���>,.∀�<�6.8�
/�),�()-,�),,1)),3-9�?,�/���>,.∀�<�8.,,�
� ��% �����% �� �� ���������� �� ��% �� �� +�������� �% �&���� ��� %������
��%���+�� ������� ��&���� �� %������ ���������� %�� � �����% �� ��% �� ��
������������%�����
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
22( ) '( ) 0 6 6*44 2*144 0 12(3 22 24) 0maxV t a t t t t t� = = − + = � − + =11 7
63
11 7 43 3
44 4.121 4.3.6.4 22 2 121 72 11 496 6 3
t+ =
− =
± − ± − ±� = = = = �
( ).min60)1236(12)6("
.max34022
34
61234"
)226(12)("
VtV
VtV
ttV
=�>−=
=�<��
�
−=
−=
��9@6�()=)�)87���������������������/����
��=�(196-���������������������/����
43
3 6 8t
�1000
�500
500
s�t�
V�3��0
V�8��0
a�4�3��0V�0��0
a�6��0
A�%�����%����������
t (-∞,4/3) 4/3 (4/3,3) 3 (3,6) 6 (6,8) 8 (8,∞)
S(t) S� 161 S� Smax �� -1024 �� Smin S�
SgnV + + + 0 - - - 0 +
V(t) V� Vmax V� V=0 V� Vmin V� 0 V�
Sgn a + 0 - - - 0 + + +
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
������������
4���%�%�������B�%����������%�������%�����������CD%����%���������%�����%
�.E;�4�������%��������.E(�8.,�; %����+�� �� ������� �� �����(7���
+�������� ,.7 ��@%. �������� �� ��%����� �,.7� �� �� ��%����� �(,� ���������� ��
��%��������� ����&����� ABO ˆ �%�&�����
� ��� !�" #$
� !��������%��+�����������&�����OBA�
�������������������
x 8�x
v � 0.5�t
y�5
� �
A�8,0�0
B
OBA γ α β= = +�
*tan tan
tan tan( )1 tan * tan
α βγ α βα β+= + =
−
8tan ; tan
5 5x xα β −= =
����������%����������������� �����������;���� ��%������ ��%��&,.7��
��������
0,5 8 0,5
( ) arctg arctg5 5
t ttγ −= +
� ���������� �� ( )tγ %���&�����% �� ( ) 0tγ ′ =
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
0,5 0,55 5( )
0, 25 (8 0,5 )1 1
5 52,5 2,5 10 10
25 0, 25 25 (8 0,5 ) 100 100 (16 )
10(100 16 32 100 ) 10(16 32 )(100 )(100 (16 ) ) (100 )(100 (16 ) )
tt t
t t t t
t t t tt t t t
γ ′ = − =−+ +
− = − =+ + − + + −
+ − + − − −=+ + − + + −
22
2 2
10(16 32 )( ) 0 0 16 32 0 8
(100 )(100 (16 ) )t
t t tt t
γ −′ = � = � − = � =+ + −
máximo.
� ��%��� ��%����%������&�����.�������(8.%��$�(,.7F8(9*81�(9
�������� ��� ������������������������������������ ������������ ����Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
��������� � �
�������;�%�&%�������-,G� �����+�������������������� ����%������������
E� ������ ���� �� ��%����� ��� �������� � ; �� �� ���� ���%�����%� %���� �� +�� ��
����������� �� �������� ! ���� �� �� +��B� ��%�� �� ������ E '�%�� �� ������ ;.
'������� �� +��B� E! ��� ����������� !; ��� ���������. ���� �� � ���% ��%����. %� ��
+�����������������������%��8,G� @'��+���������������������%��-,G� @'�
� ��� !�"#$
B
20 Km d
A x
a
C
a - x
� ������ ������� ��� ���� �� �� ������� �� �� ��%������ � ��� �������� ! ��
�����E�
�H�%���������������������������������� ���)
20
)(20
20
22
1
xadt
ve
tte
V
−+==
=�=
�H�%������������������������������������ ���-
802
xt =
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
� :������������������
8020
)(20 22 xxat +
−+=
� 2�������������5��
[ ]a0,x,8020
)(20)(
22
∈++−+
= xxaxt
� �����%�������%$
� ��%�������%��������+����(,�(�
� ��%�����%����% ���0���(,
2 2
42 2
1 2( ) 1'( )
20 802 20 ( )
'( ) 0 80( ) 20 20 ( ) 0
a xt x
a x
t x a x a x
− −= ++ −
= � − − + − − =
2 2
2 2 2
2 2
4( ) 20 ( )
16( ) 20 ( )
15( ) 20
a x a x
a x a x
a x
− = + −
− = + −− =
0
20 2015 15
a x x a− = � = −
� ∃�0���∀�∈I,.�J
� � �%��%���
� �����(,.2 2
1
2020
at
+=
� �����(�. 2 180a
t = +
� �����(15
20−a .
2 22
3
20 202015 15
20 8
at
+ −= + .�%��������������
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
������������
4%������E(�-H9�������������������E%�������B�� C���������B�,D�;(1-�
-38��
���������;���������������%���������%���������%����������%���������������%�%
�������
� ��� !�"#$
� ������ ���� �%����%��������� ��%���������%������%������(,.���������
�����%%���%�������
B
A A
( ) ( )( ) ( )8,080
0,000→=→=
B
A
S
S
� /�� �%���%��������� �+�� ���������%���������%���������������������%
�B�%�
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
t=4
t=0 t=2
min
V <0
484)2(02)("
2042)('4)( 2
−=−=∀�=
=�=−=→−=
A
A
AA
S
mínimottStttStttS
� �����������E���������������������������19.,�������%������(-�
���������'���+����������� �����%����.���������������%������
��%���+���%�������+�� ����������,.,�������%������(9�
B
( )
00)('.04)("
00461)('88 2
�∀�
��−==�=//−=→+−=
ttS
máxtS
tttSttS
B
B
BB
� �� ��������� ; ����� �� �� ��%����� �,.8� %� ���B� ����������� ����
��%����������,.,�������%������(-�
� ������ �������������%������� ���� ��������%���������%�
�������� ��� ������������������������������������ ������������ ����Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
SB
SA
22)( BA SStd +=
( ) ( )2222 824)( +−+−= ttttd
F4�� &��� ����%����������%��� &��� ������������
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 22 21
2 21
2 2
2
( ) 4 2 8
'( ) 2 4 * 2 4 2* 2 8 * 4
4 2 4 8 8 2 8
4 5 6 8
d t t t t
d t t t t t t
t t t t t t
t t t
= − + − +
= − − + − + −
� � � �= − − + − − +� � � �
� �= − −� �
1 2 245
0
'( ) 0 6 36 160 6 145 6 8 0
10 10
t
d tt t t
−
=��= � ± + ±� − − = � = = = ���
A B
t=2 SA(2 ) = -4 t= 2 SB(2 ) = 0
4��%����%�����E;�����5������%������� ���� �����������'�%����B���
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
������������
�'�����%����������������%�%�&%����������������������%��������7G�
���������E������%����������������������������E�.��%����������������;
������%��%�������=G���E�����������������%����������������������� ��
����%�����%������� ����������������+����������-G�@'������9G�@'�
� �� � !�" #$
A 6 K m
B
5 K m
P
d
x 6 -x
1 2
225 6;
2 4d x c x
t tV V
+ −= = = =
� ����������������5��%��&����������������������������.������
4
62
25)(
2 xxxt
−++=
� �����%�������%$
� ��%�������%��������+����(,�(=
� �����%�����������+����%����
41
252)('
2−
+=
x
xxt
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
2 2 2 20
25 5'( ) 0 2 25 0 25 4
3 5t x x x x x x x= � − + = � + = � = � =
� ��%��%���
� �����(, 4)0( =t
� �����(= 8,72
3625)6( ≈+=t
� �����,(5
5
2
0
55 6255 5( ) 3,68
2 4t x
−+= + = .���� ��� ���� �
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
������������
K ����� �%���%�����������������+���� �����%��������� ����� �%��%������ ���%
��%���������� � ��.��%���������%��� ���� ��
� ��� !�"#
� ���������������������$
hrrrS ππ 22)( 2 +=
� ���%�� ����+���� ���%���%�����%�������������$
22
rV
hhrVπ
π =�=
����������
22
2
32
( ) 2 2
2'( ) 4 0
24
2�
vS r r r
rV
S r rr
V Vr r
r
π ππ
π
π
= +
= − =
� = � =
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
h
y
r
R
������������
L�������+�������&������������������������%�����������%�����������A�
� �� � !�"# �
� !�������
( ) [ ]
R82
r ==�
=−�−
=−�
=/−/
/+−+//=
∈⋅−=
−+=
⋅=
/
22
222
22
222
2
222
222
22
2
82
22
02
21
24)('
,02)(
2
)(
Rr
rrR
rR
rrR
rR
rrrRrrV
RrrrRrV
rRH
rhrV
ππ
π
π
� !���
/�������������()@6&���������%������������
[ ]
( )
( )RrRrRRr
RRrrrRR
RrrRR
rrRrRR
rR
rrRR
rR
rrrRrrrV
RrrRRrrV
rRRyRh
322
98
04129
412494
232
22
2
02
231
32
)('
,031
)(
22222
4222222
2222
22222
22
222
22
222
222
22
=�=�=+−
+/=−//
�−=−
=−+−
�−
=��
� −+
�=��
�
��
−
/−/
/+��
� −+//
/=
∈��
� −+=
−+=+=
/
ππ
π
R
r
h
�������� ��� ������������������������������������ ����������������Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
�������������
L�������%�����%����%������������������%���������������� ��%�&���%��
�&����.��������������&������������������%%����������%�
2 2
22 2
22
( ) 22
'( ) 2 0 02
" 2 0 máximo2
P rP r x x
P rA r r r Pr r
PA r r P r y x
PA
ππ
ππ π
ππ
ππ
−= + � =
− = + = −� � �
= − + = � = =
= − < �� � �
x
r
�������� ��� ������������������������������������ ������������ ����Cálculo Diferencial con “Mathematica”
�
�
������������ ���� ���������� ����������� ���
�������������
����%���� ���� �������� �������+�������&���� ��%����� ���� ���� ����� �����
9@M���+��������������
( )
2
2
2
22
2
13
41
( ) 1
3'( ) 2 1 2 0
2 4 1 40 x a ( ) Vcono
3 9 3 9
Volumen del cono a b
Volumen del cilindro x y
b b xtg y a x b
a a x a a
xV x x b
a
x b b xV x xb x xb
a a a
x V x a b
π
π
ϑ
π
ππ π π
π
=
=
= = � = − −� �− �
= −� � �
/ //= − − = − =/� � �
≠ � = � = ⋅ =
b
y
-a x x
O
a