62947452 Fisica Para Ingenierias de Ejecucion USACH

Esta es la SEGUNDA versión del libro de Física para Ingenierías de Ejecución que

durante el 2003 estuvo disponible en versión electrónica y en papel para nuestros

estudiantes. Como es de esperar, aun debe contener algunos errores, los que

veremos con mucho agrado nos los comuniquen a través de sus profesores o vía

correo electrónico.

La versión original, en colores, así como el capítulo 12 que no alcanzó a ser incluida

aquí, la puede encontrar en la página web que hemos creado para atender sus

necesidades académicas y administrativas. Este año no incluimos los ejercicios en

el texto buscando renovarlos y mejorar su presentación. Los encontrará en la

página web de acuerdo al avance el curso.

Les instamos a que nos visite continuamente para ver las noticias, los ejercicios,

las calificaciones, las pautas de corrección de las pruebas, el reglamento,

materiales adicionales y otras utilidades que esperamos sean de su interés. La

dirección es: http://fisica.usach.cl/%7Ejlay/html/ejecucion_anual.htm

Les damos la más cordial bienvenida a su alma mater: La Universidad de Santiago

de Chile.

A trabajar………………………

Académicos que dictan cursos de Física del Plan Anual de Ingeniería de Ejecución

27/01/2004 [email protected] 1

1.1 Evolución de la Física Clásica

1.1.1 Introducción.

La preocupación por el universo comienza

probablemente en épocas prehistóricas,

con el hombre observando el cielo y

tratando de entender su evolución e

intentando catalogar, describir y

predecir eventos celestes.

Esta preocupación no era puramente

especulativa, puesto que en las primeras

etapas del desarrollo humano tal

conocimiento era la diferencia entre

sobrevivir o no.

Se hará a continuación una revisión

somera de la evolución de estas

observaciones y sus explicaciones. Las

ideas más actuales están bien

documentadas en la literatura y las más

antiguas contienen cierta base

especulativa aunque consensuada en la

comunidad científica.

Por último, si bien es cierto hoy día se

cuenta con un pequeño número de teorías

altamente sofisticadas acerca del

universo y su evolución, provenientes del

mundo científico, no es menos cierto que

existen aún otras aproximaciones de

carácter puramente religioso.

El mundo científico ciertamente opta por

las primeras, aunque no puede dejar de

desconocer que en algún punto de sus

teorías se encuentra con ciertos

principios dogmáticos de los que

probablemente nunca pueda prescindir.

1.1.2 Civilizaciones ancestrales: una

breve introducción histórica.

De acuerdo al conocimiento actual, la

tierra se formó entre 4.000 y 5.000

millones de años atrás; mientras que los

primeros restos de útiles usados por

hombres datan de aproximadamente 2,5

millones de años (encontrados en Etiopía)

en la denominada edad de piedra antigua

(Paleolítico) suponiéndose que la aparición

de formas de vida humana data de épocas

muy anteriores a los registros

arqueológicos disponibles (se han

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisica.usach.cl/%7Ejlay/html/ejecucion_anual.htm


encontrado restos de homínidos de los

géneros australopithecus y homo sapiens

que datan de aproximadamente 5 millones

de años de antigüedad).

Fig 1.1 LUCY. Uno de los mejor conservados restos de australopithecus de entre 3,6 y 3 millones de años. Encontrado en Hadar, Etiopía.

Fundamentalmente recolectores y

cazadores (solo en la última etapa del

paleolítico), y organizados en grupos

nómades pequeños y dispersos, lograron

dominar el fuego para calentarse y

endurecer la madera empleada para

fabricar armas y herramientas (hace

aproximadamente 1,5 millones de años);

desarrollan el hacha y el arco y dejan

extraordinarios grabados y pinturas en

cuevas y otras superficies rocosas.

Fig 1.2 Pintura paleolítica en cueva de Lascaux. Siglo 15º-18º a.C.

El siguiente período reconocible es la

edad de piedra media (mesolítico), que

coincide con la última glaciación lo que

provoca que en cada zona geográfica

comience en épocas distintas en

dependencia a la proximidad del casquete

polar en retroceso, identificándose

algunas culturas entre el 8.500 y el 7.500

a.C. en el Oriente Cercano y no antes del

cuarto milenio a.C. en Europa. A fines de

este período ya se encuentran vestigios

muy incipientes en el Oriente Cercano de

producción de alimentos y vida

sedentaria.

Finalmente se tiene el período neolítico

(aproximadamente entre el 6000 y el

1800 a.C. en el Oriente Cercano y en

épocas posteriores en Europa) asociado a

los orígenes de la agricultura, el pastoreo,

la vida sedentaria, la cerámica y la

construcción de instrumentos de piedra.



Estos hechos condujeron al rápido

crecimiento de la población, de la

creación de los primeros poblados (hecho

conocido como revolución neolítica), de

avances en la agricultura, la aparición del

uso de metales (empieza la edad del

bronce).

Es necesario recalcar que estos cambios

trascendentales ocurrieron en cada zona

geográfica en épocas distintas, aunque se

dieron en el Oriente Cercano mucho más

temprano.

Fig 1.3 Vaso de Sesklo, Grecia. Cerámica neolítica de aproximadamente el 5300-3800 a.C.

En el Neolítico empiezan a desarrollarse

las primeras civilizaciones en los ricos

valles de los ríos Nilo, del Tigris y

Eufrates y del Indo. Las razones parecen

estar en la fertilidad y resguardo de

estos valles, que proporcionan condiciones

naturales para la agricultura y el

pastoreo, así como protección a las

invasiones de otros pueblos.

Fig 1.4 Valle del Tigris, el Eufrates, y el Nilo, lugar en que se fundan las primeras civilizaciones

Aparecen entonces, la artesanía

elaborada (cerámica, tejidos), el comercio

al contar con excedentes, el dominio de

otros metales, la arquitectura a gran

escala y finalmente la escritura, con lo

que se da comienzo a las primeras

civilizaciones como las concebidas hoy,

particularmente en Mesopotamia

(Sumeria y Babilonia) y en Egipto; lugares

en que el conocimiento de la naturaleza y

sus leyes así como el desarrollo de la

astronomía, matemática y la geometría

alcanza gran altura.

Con posterioridad y de forma que es

difícilmente exponer brevemente aquí, se

observa el auge y magnífico desarrollo de

las grandes civilizaciones Europeas, bajo

los Imperios Griego y romano cuyos

avances en todas las áreas del

conocimiento, particularmente en la



ciencia que nos ocupa, son más conocidos

y serán dejadas a la inquietud de los

lectores.

Fig 1.5 Tableta de barro sumeria escrita en caracteres cuneiformes. Museo de Plimpton

También como inquietud se deja al lector

el estudio de las civilizaciones del valle

del Indo, aún no muy conocida que data de

aproximadamente del 2.500 a.C. y las del

Oriente Lejano dentro de las que destaca

la China.

1.1.3 Primeras teorías cosmológicas.

La aparición de la preocupación por la

cosmología en las primeras civilizaciones

sedentarias no es casual, sino debido a la

necesidad de contar con una forma de

predecir los ciclos anuales climáticos para

optimizar los períodos de siembra y

cosecha de vegetales así como las

pariciones de su ganado doméstico.

Probablemente también existía una

necesidad religiosa de explicar las

fuerzas de los elementos a objeto de

establecer acciones que paliaran las

acciones negativas que sobre los

asentamientos humanos y sus bienes

tenían.

A esto se debe sumar la necesidad de

determinar las subdivisiones del período

de luz y sombra diarios debido a las

actividades administrativas derivadas de

la organización social.

Todos los elementos anteriores concurren

a la medición del tiempo a partir de los

ciclos celestes periódicos naturales, que

se traduce en patrones usados aún hoy.

Es así como se desarrolla el calendario

(palabra derivada de la voz latina calare =

anunciación), el primero de los cuales

parece haberse creado en la civilización

Sumeria en Mesopotamia (hoy Irak)

alrededor del 3500 a.C.

Cosmología Sumeria.

Los sumerios contaban con un sistema

sofisticado que contemplaba años

divididos en meses de 30 días; cada día

estaba dividido en 12 períodos (que

corresponden a 2 horas actuales), y cada



período era dividido en 30 partes (que

corresponden a 4 minutos actuales).

Claramente la división da cuenta de los

ciclos lunares (días que demora la luna en

volver a la misma fase).

Estas definiciones no deben asombrarnos

puesto que los el sistema numérico

sumerio contaba con 6 dígitos.

En la ciudad sumeria de Ur se llevaban a

cabo numerosas fiestas, entre las cuales

se cuenta una para celebrar el

avistamiento de la Luna Nueva, con la cual

llegaba un nuevo mes (Anunciación).

Para los avistamientos de las fases

lunares y estudio de otros fenómenos

celestiales construyeron grandes

observatorios denominados Ziggurats en

cuya cima se disponía un templo (se cree

que la torre de Babel era uno de ellos,

denominado templo de Etemenanki, que

significa “la fusión del cielo y la tierra”).

Fig 1.6 Reconstrucción de Ziggurat Sumerio de Etemenanki. (Torre de Babel).

Como el lector apreciará, estas

definiciones implican una teoría

cosmológica elaborada, con la Tierra como

centro del universo, con los restantes

cuerpos celestes girando alrededor de

ella y bajo la influencia divina de un

cuerpo teológico politeísta.

Cosmología Babilónica.

Los babilonios, cuya civilización se

estableció a partir de la Sumeria en el

mismo valle, alrededor del año 2.000 a.C.

establecieron un calendario lunisolar que

considera el movimiento aparente de la

luna y del sol, aproximadamente en el

siglo 8º a.C.

Esta modificación se debió a que los

cálculos originales de la duración del año

fueron inexactos y a que (como hoy

sabemos) no es posible dividirlo

exactamente por ninguna de las otras

unidades de tiempo, días o meses. En

consecuencia, en la medida que pasaron

los años, fue haciéndose muy evidente la

discrepancia entre los años lunares de los

Sumerios y las estaciones del año.

El calendario babilónico alterna meses de

29 y 30 días, ajustándose mucho mejor a



la duración de las fases de la luna que el

calendario Sumerio de meses de 30 días

fijos. Esto se debe a que el tiempo real

que pasa entre una luna llena y otra es de

29,53 días.

La dificultad es que 12 ciclos lunares

consecutivos producen años de 354 días

por lo que los Babilonios agregaban meses

irregularmente para hacerlo coincidir con

las estaciones. La decisión de cuando

agregar un mes la tomaba el rey de

acuerdo con los adivinos.

Hacia el 747 a.C. reconocieron que 235

meses lunares correspondían

exactamente a 19 años lunares por lo que

se decidió intercalar a voluntad del

monarca, siete meses durante cada

período de 19 años.

Posteriormente los babilonios trabajaban

con ciclos de 19 años en los cuales los 12

primeros contaban con 12 meses y los

otros 7 con años de 13 meses. Este

sistema solo se puso en práctica a partir

del año 367 a.C. bajo la dominación persa.

Esta práctica de agregar meses

irregularmente a los años también fue

adoptada por otras civilizaciones vecinas

a Babilonia.

A Los Babilonios también se atribuye la

creación del sofisticado sistema del

zodíaco para describir la posición de los

planetas.

Como se puede apreciar, en la Babilonia ya

se tenía cierto conocimiento sofisticado,

que le permitía conocer con exactitud

eventos celestes como los eclipses, las

fases de la luna, los ciclos de las mareas,

catalogando las estrellas y otros avances

notables para la época.

Fig 1.7 Astrólogo Babilónico

Otros avances babilónicos no son motivo

de este curso, pero pueden citarse a

modo de conocimiento general, las

definiciones de patrones para medir el

tiempo que ya se han comentado, las

medidas de volumen (el ka), de peso (la

gran mina y el talento), de longitud (el

codo) entre otras.



Sin embargo, no se avanza en lo principal,

puesto que no construyen un sistema de

conocimiento basado en teorías

estructuradas.

Cosmología Egipcia.

Existen antecedentes suficientes para

opinar que los egipcios contaban con

calendarios lunares tan antiguos como el

3.500 a 4.00 a.C. se han encontrado

Obeliscos (monumentos de piedra de 4

caras) construidos de tal manera que su

sombra permitía determinar claramente

el mediodía dividiendo el día en dos

partes. Se ha encontrado que incluso

algunas de sus secciones ubicadas

cercanas a su base permitían determinar

el día mas corto y el día mas largo del

año, coincidiendo con los solsticios.

Otro reloj de sol Egipcio que data de

aproximadamente el 1.500 a.C. permite

medir las horas a través de marcas

dispuestas en un dispositivo ubicado

cerca de su base. Este contaba con 10

marcas permitiendo dividir el período de

luz desde el amanecer hasta el mediodía

en 5 partes, mas una marca adicional que

medía un período de “penumbra”. El

aparato estaba dispuesto de tal manera

que se podía rotar en 180º de manera tal

que permitía medir las horas del

atardecer de la misma manera.

Este es el primer sistema que permite

dividir el día en horas cuya duración es

como las actuales.

Los egipcios también desarrollaron el

denominado “merkhet” aproximadamente

en el año 600 a.C., la herramienta

astronómica más antigua conocida, que

permite determinar una línea imaginaria

alineándolo con la estrella Polar. Esto

permitía la medición de las horas

nocturnas mediante el paso de otras

estrellas sobre el meridiano.

Fig 1.8 Reloj de sol egipcio. fuente: A walk through time.

Los Egipcios realizaron el extraordinario

descubrimiento de que la aparición de la

“primera agua regenerada”, es decir el



comienzo de la crecida del Nilo, coincidía

con el día en que la estrella Sothis (Sirio

hoy) se levantaba por encima del

horizonte al mismo tiempo que el sol y que

entre ese día y la siguiente crecida del

Nilo, existían exactamente 365 días.

Esto les permitió diseñar el primer

calendario solar conocido en la historia

(con 365 días), con años de 12 meses de

30 días más cinco días de fiesta al final

de cada año.

Respecto del año en que esto se realizó

existe una gran discrepancia puesto que

el Sol y Sirio solo presentan coincidencia

a lo largo de cuatro años consecutivos

cada 1.460 años. Esto significa que los

egipcios pudieron elaborar su calendario

solar entre el 2.785 y el 2.782 a.C. o

entre el 4.245 y el 4.242 a.C. Si la

segunda fecha es aceptada, entonces el

calendario Egipcio sería el primer

calendario conocido.

De cualquier modo, este fue el primer

calendario solar de 365 días y solo fue

modificado cerca del año 238 bajo el

reinado de Ptolomeo para agregar un día

complementario para plena coincidencia

entre el calendario oficial y la crecida del

Nilo con el pasar de los años (recuerde

que el año real estacional tiene 365,25

días).

Todas las civilizaciones desarrollan una

teoría cosmológica sin variaciones. La

tierra es el centro del Universo y la

creación y su evolución es explicada en

forma cada vez más sofisticada y precisa,

pero su base fundamental es el cuerpo

teológico politeísta.

Son los dioses quienes proveen, castigan y

premian y su comportamiento es reactivo

en base al comportamiento de los

hombres. Su respuesta puede modificarse

en base a actos de ofrenda y sacrificios y

apego a determinadas normas establecido

por los sacerdotes. En estos cae también

fundamentalmente, la tarea de observar,

medir y determinar el tiempo y el

calendario, así como la evolución de los

cuerpos celestes así como de anunciarlo a

la comunidad no ilustrada, entre los que

se incluían los miembros de la autoridad

administrativa y militar.

Se observa un gran desarrollo en la

Astronomía, aunque en la forma que hoy

día más bien conocemos como astrología,

lo que probablemente tiene una influencia

de las civilizaciones del medio oriente que

hemos analizado. Al respecto, aún hay



extraordinaria controversia entre los

autores, pero parece de sentido común

que en esa época ya hubiera cierta

comunicación comercial, cultural y militar

entre ellas.

Cosmología Griega.

Con el advenimiento de la civilización

Griega se da el salto cualitativo y

cuantitativo más importante conocido

hasta el momento en un período muy

breve de tiempo (aproximadamente entre

el siglo VIII y el siglo I a.C.), no solo en

las aproximaciones cosmológicas, sino en

todos los ámbitos del pensamiento

humano.

Hasta ese momento, las aproximaciones

cosmológicas así como el desarrollo de

otras áreas como la matemática, la

literatura, las artes, la política, etc. no

habían logrado constituirse en un cuerpo

sistemático del conocimiento ni sus

explicaciones establecidas como

principios.

El desarrollo del conocimiento en Grecia

probablemente se debe al gran período de

prosperidad que obtuvieron gracias a sus

campañas militares y a la organización del

imperio bajo bases administrativas

sólidas.

Esto permitió que un gran número de

pensadores pudieran dedicarse por

entero en condiciones de tranquilidad

social y económica notables y únicas hasta

ese momento.

En el tema que nos ocupa destaca

claramente Aristóteles (384 al 322 a.C.).

Aristóteles nació en Stágira en el norte

de Grecia su padre era el médico de

Amyntas II el rey de la cercana

Macedonia, padre de Filipo II y abuelo de

Alejandro el Grande. La temprana muerte

del padre hace que Aristóteles fuera

criado por un guardia del palacio, llamado

Proxenus.

A los 18 años entró en la escuela de

Platón en Atenas, donde en los siguientes

años se destacó como el más brillante

discípulo que hubiera estado allí.

Entre el 343 y el 336 a.C. Aristóteles fue

invitado por Filipo II para supervisar la

educación de su hijo Alejandro

(posteriormente llamado Alejandro el

Grande por sus extraordinarias campañas

militares y organización de uno de los más

grandes imperios de la historia).



Alrededor del 334 a.C. Aristóteles llega a

Atenas y funda una escuela denominada

Lyceum, cuyos discípulos se conocen como

peripatéticos, expresión que proviene de

una expresión griega que significa algo así

como “caminando alrededor”, debido a la

costumbre de Aristóteles de enseñar a

sus discípulos mientras caminaban.

En el ínter tanto Alejandro ha

emprendido una activa campaña militar

que le permitió anexarse Grecia,

Alejandría y gran parte del imperio Persa

hasta el valle del río Indo. Alejandro

había llegado a convertirse en rey

durante el año 336 luego del asesinato de

su padre Felipe II.

El ejército conquistador no solo anexa y

asuela estos territorios, sino que se nutre

de lo más granado del conocimiento

existente allí, produciéndose un gran

intercambio que trae como consecuencia

un notable avance en el desarrollo de las

nacientes ciencias. Alejandro recolecta

gran parte de los escritos encontrados y

funda una gran biblioteca en Alejandría,

uno de sus grandes aportes al

conocimiento.

Alejandro muere en Babilonia en el año

323 a.C. luego de lo cual el imperio se

divide en tres grandes regiones

denominadas Egipto, Macedonia y Siria.

Fig 1.9 Mapa de la antigua Grecia bajo el dominio de Alejandro el Grande en el año 320 a.C.

A la muerte de Alejandro los Atenienses

acusaron a Aristóteles de impío (por su

falta de reverencia a sus dioses)

probablemente resentidos por su amistad

con Alejandro, el hombre que los había

conquistado. Aristóteles con la muerte

de Sócrates a manos de los Atenienses en

al 399 a.C. (condenado a muerte por igual

acusación) en su pensamiento huye a la

ciudad de Chalsis donde muere un año

después (322 a.C.).

A la razón Alejandría en Egipto se ha

convertido en el gran centro del saber y

del comercio. La acumulación de

conocimiento y desarrollo económico y

social permitió el florecimiento de la

ciencia griega que vivió su máximo

esplendor a la luz de los escritos de

Aristóteles que fueron preservados y



refinados. Euclides, Arquímedes, Hiparco

y muchos otros, construyen las bases de

la cultura que posteriormente se asienta

en occidente (Europa y las nuevas tierras

descubiertas por los grandes navegantes

muchos siglos después).

Los escritos de Aristóteles suelen

dividirse en tres grupos, denominados:

escritos populares, memoranda y

tratados.

Los primeros fueron escritos como

diálogos durante su permanencia en la

escuela de Platón y estaban destinados a

la difusión del conocimiento extramuros.

Ninguno de ellos fue preservado.

Los memoranda son una colección de

sucesos históricos y registros de

investigación destinados a la enseñanza

de los discípulos de Aristóteles, o como

fuentes de información. Algunos de ellos

fueron conservados, la mayoría se perdió.

Los tratados son escritos destinados a

convertirse en textos de estudio en el

Lyceum y son directamente resultado del

trabajo intelectual de alto nivel de

Aristóteles. Afortunadamente fueron

encontrados y preservados.

Aunque solo algunos de sus escritos han

sido rescatados, la mayoría de sus ideas

se conocen por los resúmenes y citas de

ellos en otros autores.

La obra de Aristóteles se ha preservado

mayormente gracias al trabajo de

Andrónico, quien la publicó luego de ser

encontrada en una cueva de Asia menor

200 años mas tarde.

Los principales tratados de Aristóteles

versan sobre: Lógica, Filosofía Natural,

Metafísica, Ética y Política y Literatura.

Este listado basta para entender la

importancia y magnificencia de la obra

intelectual de Aristóteles.

En lo que a nosotros interesa en este

curso, el tratado de Filosofía Natural,

considerado el primer libro de física,

incluye el primer esfuerzo metodológico

teórico en explicar los fenómenos

naturales y por tanto, se puede

considerar como la partida de las ciencias

naturales.

Para Aristóteles lo importante es el

cambio y el entendimiento del cambio. El

distingue a la materia de la forma, de tal

manera que una escultura de una persona

hecha de bronce contiene materia (el



bronce) y forma (la de una persona). La

materia puede cambiar adquiriendo nueva

forma, en consecuencia el cambio de la

materia es lo importante.

No es necesario explicar la espectacular

diferencia entre la forma de ver la

naturaleza desde una perspectiva teórica,

tratando de comprenderla y los esfuerzos

hechos por las culturas anteriores, que se

limitaban a observar y registrar, cosa que

hicieron con gran éxito, pero sin lograr

explicarlas.

Naturalmente el método que Aristóteles

usa para aproximarse a la naturaleza es la

Lógica, creada por el durante su período

Platónico. No es de extrañar entonces

que su estudio sobre el movimiento,

encontrado bajo el nombre de

“movimiento de los cuerpos celestes en el

cielo” estuviera basado en la especulación

lógica, en las observaciones propias o

heredadas y en los cambios ocurridos,

especialmente cuando algo parecía ser

creado o destruido.

Este tratado también incluye las primeras

aproximaciones serias a la psicología a

través del estudio de los sentimientos y

su relación con el cuerpo, y a la biología a

través de la publicación de una

extraordinaria cantidad de información

sobre la variedad, estructura y

comportamiento de animales y plantas.

Es necesario enfatizar que los estudios

de Aristóteles respecto de los

organismos vivientes están fuertemente

influidos por una visión teológica, es

decir, los estudia desde la perspectiva de

la los propósitos a los que sirven.

Aristóteles suponía que el Universo

estaba compuesto de cuatro elementos:

tierra, agua, aire y fuego; los chinos,

siglos VIII al V a.C. suponían la existencia

de cinco: agua, fuego, madera, metal y

aire; los hindúes, siglo V a.C. consideraban

cuatro: tierra, aire, agua y luz. Como se

observa, la imagen de la naturaleza

existente en esos años provenía de la

observación de ella, y en el caso de los

griegos, llegaron a concebir al universo

como “una especie de máquina gobernada

por leyes inmutables”.

Fig 1.10 "concepción griega del universo". Original de Pablo Ferrer



Tales leyes fueron deducidas por ellos a

través del razonamiento intelectual

(método deductivo), produciendo

bellas y complejas explicaciones de los

fenómenos naturales, aunque no llegaron a

concebir la necesidad de contrastarlas

con la realidad a través de la experiencia

en el mundo real.

Probablemente, esto se deba a que las

actividades manuales eran despreciadas

en ese instante entre los hombres libres

puesto que solo eran desempeñadas por

los esclavos, lo que motivó que el avance

científico no progresara aún más en

Grecia.

Sigamos una deducción Aristotélica para

entender bien esto: Según Aristóteles,

cada elemento tiene una tendencia

natural a alcanzar un “lugar natural” de

reposo. La tierra y el agua se mueven de

modo “natural” hacia el centro de la

Tierra, o sea, hacia abajo (“elementos

pesados”), y el aire y el fuego hacia la

periferia de la cuanto más se acerquen a

su “lugar natural”. Tierra, o sea, hacia

arriba (“elementos livianos”), siendo estos

movimientos tanto más rápidos

Adicionalmente, Aristóteles postulaba

que el movimiento de un objeto queda

determinado por la tendencia del

elemento más abundante; así, el

comportamiento del vapor que se eleva

desde una vasija en la que el líquido

hierve se explicaba como el movimiento

hacia arriba debido a la introducción del

elemento fuego como predominante. Una

consecuencia de este punto de vista era

que “el movimiento de un objeto hacia

abajo o hacia arriba es gobernado por el

balance de los elementos, de tal manera

que su velocidad es proporcional a la

cantidad del elemento predominante”.

Fig 1.11 "Los cuatro elementos". Original de Pablo Ferrer

Así, una piedra grande, que contiene

evidentemente más tierra que una

pequeña, debe descender mucho más

rápidamente que esta cuando se le

permita ejecutar un movimiento natural

de caída libre. Las observaciones



parecían probar esto, pero los

experimentos hechos muchos siglos

después demostraron que ambas caerían

con igual rapidez, si no fuera por la

resistencia del aire.

Aún así, se observa un notable avance en

el desarrollo del conocimiento de la

Naturaleza y de los principios que la

gobiernan, en estos trabajos.

En orden de no dejar una visión errónea

de los pensadores griegos, hemos de

destacar que su propuesta metodológica,

no muy eficiente en esta área del

conocimiento, resulta muy exitosa en el

campo de la geometría (incluso, hasta hoy

resulta invaluable la recopilación de los

teoremas matemáticos realizada por

Euclides alrededor del año 300 a.C. cuyos

axiomas y pruebas son básicas en el

entendimiento de la geometría plana).

Sus técnicas de abstracción y

generalización son vitales para el éxito

del desarrollo de la teoría matemática, e

incluso ocupadas en otros campos del

conocimiento con éxito relativo.

Para Aristóteles y los griegos la

estructura del Universo contenía a la

Tierra en su centro (esférica) que poseía

el excepcional atributo de atraer hacia su

centro a todas las cosas materiales, de

tal manera que ese punto al que se

dirigían era el centro del Universo.

Los siete planetas observados por los

antiguos astrónomos (Luna, Sol, Mercurio,

Venus, Marte, Júpiter y Saturno)

evidentemente cruzaban el cielo girando

en círculos concéntricos alrededor del

punto central ubicado en el centro de la

Tierra, moviéndose con velocidad

constante.

Fig 1.12 El cosmos según los griegos.

De esta manera, su visión cosmológica

incluía el movimiento de los cuerpos en las

cercanías de la tierra, teoría impecable

desde el estado del conocimiento de la

época que consideraba al círculo como la

forma perfecta y una bella estructura

teórica.



Si bien es cierto todas las cosas se

corrompen (el hierro se oxida, las plantas

y los animales se mueren y se pudren,

cambiando hacia la imperfección, el

universo más allá de los planetas debía

estar compuesto de una sustancia

inmutable e incorruptible, la quinta

esencia, que Aristóteles denominó “éter”.

Durante el período griego hubo algunos

intentos de elaborar teorías

heliocéntricas, destacando la de

Aristarco de Samos, quien midió la

distancia entre el sol y la tierra y entre

la luna y la tierra, (una proeza de la

geometría y la imaginación), quien propuso

al Sol como centro, aunque por razones

puramente estéticas y se tropezó con el

inmenso prestigió de la obra de

Aristóteles por lo que no progresó

(aunque fue recogida muchos siglos más

tarde por los científicos del

renacimiento).

Finalmente el imperio sucumbe al

advenimiento del Imperio Romano en al

año 197 a.C. bajo el reinado de Felipe V,

convirtiéndose Grecia en una provincia,

del nuevo orden administrativo, en

territorios que en épocas actuales se

encuentra Egipto.

En Alejandría se sigue trabajando aunque

el nuevo Imperio no le da al desarrollo del

conocimiento la importancia que hasta ese

momento había tenido, lo que finamente

provoca un período de oscurecimiento

notable.

No obstante, en el año 146 a.C. el

astrónomo y Astrólogo Ptolomeo escribe

una obra sensacional, quizás si la última

gran obra de la civilización Greco-Egipcia,

denominado el Almagesto.

A la fecha, las extraordinariamente

elaboradas observaciones matemáticas

ponían en aprietos algunas de las bases

cosmológicas aristotélicas, las que no

explicaban el movimiento retrógrado y la

velocidad variable de algunos cuerpos

celestes.

El Almagesto, escrito en 13 tomos,

contiene la teoría cosmológica

Aristotélica, con un punto de vista

matemático mas elaborado, incluye el

concepto de epiciclos para explicar el

movimiento retrógrado de los planetas y

proporciona una extraordinaria cantidad

de datos, tablas y diagramas que

impresionan aun hoy día.



La más importante contribución de

Ptolomeo constituye la creación de los

epiciclos, que son círculos sobre los

cuales se mueven los planetas. Estos

círculos se mueven a su vez alrededor de

un gran círculo que denominó “eferente”.

La tierra no se encuentra en el centro del

eferente aunque está en reposo. A una

distancia equivalente entre la Tierra y el

centro del eferente ubicó un punto sobre

una línea que cruza la Tierra, que

denominó “equant”.

Fig 1.13 Epiciclos

El planeta gira alrededor del eferente. La

línea que une el equant con el centro del

epiciclo gira con velocidad constante,

explicando la velocidad variable con que

los planetas se observan desde la tierra.

Las estrellas giran insertas en el último

círculo, con velocidad constante.

Se salva la perfección del movimiento

circular, mejora la forma del sistema

Aristotélico y coincide con los cálculos

astronómicos de sus colegas. Lo

lamentable del modelo de Ptolomeo, es

que ahora no existe ninguna razón para

oponerse con bases sólidas a la teoría

geocéntrica, la que unida al gran peso de

la obra intelectual general de Aristóteles

se conserva como modelo cosmológico

básico por alrededor de los siguientes 13

siglos.

Los Romanos y la invasión árabe.

El Imperio Romano tiene su auge

aproximadamente entre los dos últimos y

los dos siguientes siglos del nacimiento de

Jesucristo, luego de lo cual decae

generando grandes vacíos de poder en la

región y una absoluta despreocupación

por el desarrollo de la cultura y el

conocimiento heredada de los griegos.

El cristianismo triunfa en la Europa

Occidental y toma a Roma como su capital

aproximadamente en el siglo IV

generando una fuerte revolución cultural

al oponerse a toda cultura y conocimiento

pagano, que se opusiera a las sagradas

escrituras de la Biblia. Los seguidores de

Aristóteles y la ciencia griega fueron



expulsados de Alejandría y su biblioteca

quemada.

La parte oriental del Imperio Romano aún

mantiene su control con capital en

Constantinopla en lo que antes era la

provincia griega denominada Bizancio. Por

esto a este período se le conoce como

Bizantino. El legado de Aristóteles se

preserva, pero no progresa.

Durante el siglo VII se instala en Europa

el Imperio Islámico, que llega a controlar

India, Persia, Siria, Egipto, el norte de

África y a España a través del estrecho

de Gibraltar, hasta el siglo XII.

Si bien los árabes terminan de quemar la

biblioteca de Alejandría, causando un

daño irreparable a la conservación de las

culturas griega egipcia y cristiana, no

deben ser considerados como un grupo de

salvajes que devastaron la civilización.

Por el contrario, como no había sucedido

desde los lejanos tiempos de Alejandro

Magno, los árabes trasladaron los

escritos encontrados durante su invasión

al centro de su imperio, situado en la

ciudad de Bagdad, donde los escritos

fueron traducidos del griego al árabe,

estudiados y enseñados. Su propio

conocimiento sobre astronomía, ciencias

naturales y matemáticas, incluyendo su

sistema numérico han engarzado de

manera magnífica, aunque por estar en

árabe y ser de dominio de los

conquistadores, no permearon el cuerpo

intelectual ni cultural de los conquistados.

No es sino hasta el siglo XII luego de la

derrota de los árabes a manos del

Cristianismo que las traducciones del

árabe al latín devuelven a Occidente los

escritos de los griegos.

Desafortunadamente, habrían de ser

sometidos a la censura de la Iglesia a fin

de que no se enseñara ni preservara

ningún vestigio de las culturas paganas de

los escolásticos, ni herejes de los

musulmanes, de tal manera que pasaron

largos años antes de ser transferidos a la

nueva generación de científicos de la

Europa occidental.

Quién produce el trabajo de conciliación

más notable en este empeño es el fraile

Tomás de Aquino (1225-1274), quien le

dedicó su vida entera.



1.1.4 La Física y el renacimiento.

En la edad media, la imagen de la

naturaleza era en primer lugar, lo creado

por Dios, limitándose a una descripción

tan viva e intuitiva como fuera posible, y

a aceptar los postulados de los griegos.

La verdad filosófica de los escolásticos,

herederos de la filosofía aristotélica, fue

la base del pensamiento cristiano en

Europa, a partir de las enseñanzas de

Tomás de Aquino y sus seguidores. Se

estableció que el Universo y todo lo que

en ha sido creado están para satisfacer al

hombre y que el hombre ha sido creado

para satisfacer a Dios.

Según este esquema, el sol sirve para

darnos luz, las estrellas y los planetas

distribuyen su influencia maléfica o

maléfica a los objetos situados sobre la

Tierra, a los cuales están vinculados; las

plantas y los animales existen para dar

alimento y bienestar a los hombres, y

estos existen para agradar a Dios.

Naturalmente, bajo estos conceptos, a la

gente de esa época le habría parecido una

insensatez querer ahondar en el mundo

material prescindiendo de Dios.

Fig 1.14 “El hombre creado para satisfacer a dios”. Original de Pablo Ferrer

Esto es entendido plenamente a la luz de

que entre los siglos VII y XIII las

universidades en Europa bajo el amparo

de la Iglesia trabajan arduamente en el

restablecimiento del saber, traduciendo

los monjes los manuscritos (del griego y

del árabe) que llegaban a través de

mercaderes y caballeros que participaban

en las cruzadas en el oriente.

La traducción inalterada de los

manuscritos de Aristóteles fue

apadrinada por la Iglesia y propagada

como la verdad absoluta hasta

aproximadamente los años de 1550 d.C.

No obstante, ha de reconocérsele a la

Iglesia su contribución al

restablecimiento y propagación de la

instrucción y la ciencia, aunque no de su

avance.



Este período que se pudiera denominar el

renacimiento de la Física, tiene sus raíces

en dos fuentes: por un lado, la aparición

de notables pensadores que realizan

propuestas distintas a las enseñadas por

los escolásticos y por otra parte, se

observa un cambio radical en las

concepciones de la naturaleza.

Fig 1.15 “La iglesia y la ciencia”. Original de Pablo Ferrer

Es necesario acotar que en la primera

parte del siglo XVI, aparecen

universidades dedicadas al estudio e

investigación fuera del ámbito de la

Iglesia, financiadas por los ricos

mercaderes cuya fortuna provenía del

aumento y desarrollo del comercio.

Antes, hemos de citar a Roger Bacon

(1214 a 1294 d.C.), que sostenía que las

creencias deben estar en la observación y

la experimentación, (lo que le significó

que pasara casi una tercera parte de su

vida en la prisión); a Leonardo da Vinci

(1452 a 1519 d. C.), de extraordinarios

conocimientos y autor de visionarios

escritos en casi todos los campos de las

artes y de las ciencias.

Fig 1.16 Roger Bacon

Ambos, adelantados a su época,

carecieron de gravitación, siendo

reconocidos solo en épocas recientes.

Fig 1.17 Grabado de Leonardo da Vinci: Estudio geométrico de las dimensiones del cuerpo humano.



Dentro de los pensadores renacentistas,

destaca Nicolás Copérnico (1473 a 1543;

nacido en Torun, Polonia), quien recibió

una buena educación humanista en la

Universidad de Cracovia, y un grado en

Derecho Canónico en la Universidad de

Ferrara. Posteriormente se trasladó a

Italia, estudiando medicina en la

Universidad de Padua. En sus estudios,

se preparó en ciencias matemáticas,

consideradas relevantes pues los médicos

hacían uso de la Astrología.

Fig 1.18 Nicolas Copérnico

En 1513 escribió un breve informe de lo

que luego se denominó teoría Copernicana,

proponiendo al Sol como centro del

Universo en lugar de la Tierra.

Una versión completa de esta teoría fue

lentamente desarrollada por Copérnico y

publicada recién en 1543 en Nuremberg,

con el nombre: “Sobre las revoluciones de

los orbes celestes” (De revolutionibus

orbium coelestium).

Este libro, cuya primera copia fue

recibida por Copérnico en su lecho de

muerte, da cuenta del movimiento de la

Tierra y fue severamente criticada por la

gran mayoría de sus contemporáneos, y

por los astrónomos y filósofos naturales

de las siguientes generaciones, hasta

mediados del siglo XVII. La razón

principal de este rechazo está en la

contradicción de los postulados de la

física de Aristóteles y las enseñanzas de

la Iglesia.

Recordaremos que para los griegos el

universo tenía carácter geocéntrico (la

tierra era su centro), de acuerdo con los

postulados de Ptolomeo.

Desde épocas muy anteriores a los

griegos, se pensaba que la Tierra estaba

fija y rodeada de cuerpos luminosos

ubicados en una cubierta esférica, entre

los que se podían distinguir dos clases:

aquellos que se mueven en círculos

perfectos alrededor de la Tierra, y en

aquellos que se mueven según patrones

erráticos complejos alrededor de la

Tierra, que luego los griegos denominaron



Planetas (palabra que en griego significa

“errantes”).

Ptolomeo dos siglos antes de la era

cristiana realiza una formalización más

detallada de esta teoría, proponiendo que

los Planetas también se mueven en órbitas

circulares (epiciclos), conceptos que

prevalecieron por casi 1400 años.

Por otra parte, resultaba inaceptable

para la Iglesia el postulado de que la

Tierra se moviera alrededor del sol

arrastrando a la Luna en ese giro,

contradiciendo el texto bíblico, que en

su salmo 104 reza: “¡Dios mío, que grande

eres!, Tú asentaste la Tierra,

inconmovible para siempre jamás”.

Copérnico, desarrolló su teoría con la

observación y la razón. Con su modelo se

explicaban mucho mejor los movimientos

de los Planetas e incluso explicaba algunas

observaciones que la teoría geocéntrica

no podía, como por ejemplo el aparente

hecho de que los Planetas invierten el

sentido de su marcha, y las fases de

Venus.

La Sagrada Congregación del Índice de la

Inquisición finalmente censura De

revolutionibus, declarándolo contrario a

las enseñanzas de las Sagradas

Escrituras, escribiendo la expresión

“hipotéticos” ante los pasajes que

proponían a la tierra moviéndose.

No obstante, no lo prohíbe, pues dentro

del clero los Cardenales Bonifacio Caetani

y Maffeo Barberini (luego fue Papa, y

tomó el nombre de Urbano VIII)

opinaban que proponía importantes

reformas a la Astronomía de la que

dependía el calendario y la determinación

precisa de la Pascua.

Casi 50 años después en 1592, Tycho

Brae (1546 a 1601, nacido en Knudstrup,

Dinamarca), postula un modelo que no

contradice los postulados de la Iglesia y

conserva iguales explicaciones

matemáticas que las ofrecidas por

Copérnico: La tierra está fija en el

centro, el Sol gira alrededor de ella,

arrastrando a sus Planetas con él.

Fig 1.19 Tycho Brae



Si bien es cierto hoy se sabe que esta

teoría no es válida, tiene el valor central

que fueron hechas a partir de datos

experimentales realizados durante 20

años sobre los Planetas y las 777

estrellas visibles a simple vista con solo

un sextante y una brújula grandes.

Fig 1.20 “El sol es el centro”. Original de Pablo Ferrer

A la muerte de Brae, su asistente que

desde 1599 lo ayuda con sus cálculos

matemáticos, Johannes Kepler (1571 a

1630, nacido en Weil del Satdt, Alemania,

que en ese entonces formaba parte del

Sagrado Imperio Romano) de religión

Protestante, lo reemplaza en su cargo de

Matemático Imperial en la corte del

Sagrado Emperador Romano, Rudolph II.

Kepler estudiaba en la Universidad de

Tübingen, cuando por sus notables

habilidades matemáticas fue nombrado

asistente de Michel Mastlin, su profesor

de Astronomía.

Fig 1.21 Johannes Kepler

Ya en 1596 había publicado su libro

Mysterium Cosmographicum, que apoyaba

a Copérnico dándole una explicación

matemática a su estructura en función de

poliedros regulares.

Los datos heredados de Brae, le permiten

concluir que Copérnico está en lo cierto,

pero las órbitas deben ser elípticas

planas en lugar de circulares, que el Sol

se encuentra en un foco, que una línea que

une el Planeta y el Sol recorre áreas

iguales en iguales períodos de tiempo y

que el cuadrado del período orbital de

cualquier Planeta es proporcional al cubo

del semi eje mayor de la órbita elíptica

(formula las 3 famosas leyes que llevan su

nombre).

Desde un punto de vista puramente de

procedimiento sin embargo, solo se ha

cambiado a la Tierra por el Sol, y se han



descubierto las relaciones matemáticas

entre los cuerpos celestes involucrados

(para hacer justicia a Kepler, diremos que

la introducción de órbitas elípticas es una

extraordinaria contribución por cuanto

implica uno de los grandes cambios de la

visión respecto de la perfección de lo

circular).

Por otra parte, en Kepler aún subsiste la

idea medieval de que la ciencia es un

medio para la elevación del espíritu, una

vía para hallar reposo y consuelo en la

contemplación de perfección del Universo

creado.

En consecuencia, se sigue despreciando

lo empírico considerando a la experiencia

como un medio fortuito de descubrir los

hechos que pueden mucho mejor ser

descubiertos solo con la razón y los

principios (deducción). Así, leer la obra

de Dios (la Naturaleza), no constituye

más que el hecho de descubrir las

relaciones entre las cantidades y las

figuras geométricas.

Dice Kepler: “ La Geometría, eterna como

Dios y surgida del espíritu divino, ha

servido a Dios para formar el mundo, para

que este fuera el mejor y más hermoso, el

más semejante a su creador”; “ veamos en

efecto, que Dios ha intervenido en la

formación del Universo siguiendo un

orden y una regla, asemejándose a un

arquitecto humano y disponiéndolo todo

de tal modo que pudiera creerse que,

lejos de haber tomado el arte por modelo

a la Naturaleza, el propio Dios se ha

inspirado para su creación en los modos

de construir del futuro hombre” . (A

pesar de esto, su trabajo puede

considerarse como un notable adelanto al

considerar la observación como método

experimental, y el desarrollo matemático

que justifican esas observaciones son de

gran valor metodológico).

En este punto aparecen tres pensadores

notables, que revolucionan completamente

la forma de acceder a la verdad científica

y al concepto de la Naturaleza: Galileo

Galilei (1564 a 1642, nacido en Pisa,

Italia), Roger Bacon (1561 a 1626, Gran

Bretaña) y René Descartes (1596 a 1650,

Francia).

Fig 1.22 Galileo Galilei



Galileo estudió medicina en la Universidad

de Pisa, pero pronto derivó hacia las

matemáticas y a la mecánica. En 1952

empezó a enseñar matemáticas en la

Universidad de Padua.

Galileo es considerado el padre de la

física experimental; con él toma fuerza el

razonamiento inductivo como una

herramienta científica, al poner a prueba

experimentalmente a los postulados de la

física Aristotélica y principalmente, a los

postulados de la teoría heliocéntrica de

Copérnico.

Fig 1.23 Rene Descartes

Quizás si esto último es el hecho más

impactante recogido en la literatura. En

1609 Galileo construye un telescopio (lo

llamó perspicillium), probablemente

influido por los trabajos sobre óptica de

Kepler y los primitivos aparatos ya

construidos en Holanda en esos años y

con él empieza a observar el cielo,

quedando hondamente impresionado por

sus descubrimientos, que incluyeron la

presencia de montañas en la Luna), el

hecho de que la Vía Láctea era un

conglomerado de innumerables estrellas y

las Lunas de Júpiter.

Sus observaciones le permiten publicar el

libro Sidereus Nuncius (El Mensajero

Sideral) y obtener un empleo de

matemático en la corte de Fernando II

de Medici.

Pronto realiza el espectacular hallazgo de

las fases de Venus que confirmaba la

teoría Heliocéntrica, motivándole a

defender imprudentemente a Copérnico.

Conminado a demostrar que la teoría de

Copérnico no contradice a las Sagradas

Escrituras, Galileo redactó un escrito en

el que además de ilustrar su

descubrimiento opina que “la Biblia enseña

como ir al cielo, pero no como van los

cielos”.

Tales expresiones de Galileo, cuya

conocida creencia de que a la verdad no

se llega solo por el camino de los teólogos,

provocaron finalmente la censura de De

Revolutionibus y a la solicitud del

Cardenal Bellarmino hacia Galileo en

orden de no defender la teoría

Copernicana. Galileo accede, pero al



advenimiento del Papa Urbano se le

concede permiso para escribir un libro

que contrastara imparcialmente las

teorías heliocéntrica y geocéntrica.

Fig 1.24 "la Biblia enseña como ir al cielo, pero no como van los cielos". Original de Pablo Ferrer.

Finalmente publica su famoso “Diálogo

sobre los dos máximos sistemas del

mundo” (Dialogo sopra i due Massimi

Sistemi del Mondo, escrito en Italiano y

no en Latín que era lo usual en la época

para la ciencia) en Florencia, en 1632.

Sin embargo, en el diálogo el personaje de

nombre Salviati presenta la postura de

Galileo de tal manera que convence

siempre a otro personaje de nombre

Sagredo, hombre de mundo,

despierto y que hace preguntas

inteligentes y un tercer personaje de

nombre Simplicio (que evoca el de

simplón), presentando los argumentos de

Aristóteles y del Papa mismo.

El agravio a este y la descarada defensa

de la teoría Copernicana finalmente

producen que la Inquisición lo condene a

arresto domiciliario hasta su muerte en

1642.

Fig 1.25 Portada del “Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo”

Pero lo verdaderamente notable es que en

este escrito se intenta mostrar que a

partir del libro de la Naturaleza se puede

establecer que una visión del mundo es

mucho más plausible que a través de las

Sagradas Escrituras y la simple

deducción. Este ha sido el método de la

ciencia desde entonces.



Conviene detenerse aquí para revisar las

diferencias esenciales entre ambos

métodos (encontrados en la lógica

Aristotélica, a pesar de que Aristóteles y

sus seguidores, como hemos dicho,

prefiere el deductivo).

A través del método inductivo se

obtienen conclusiones generales a partir

de casos particulares; por ejemplo, se

puede concluir que debido a que las

gallinas ponen huevos, los avestruces

ponen huevos, etc. entonces las aves son

ovíparas.

Fig 1.26 "Leyendo el libro de la naturaleza". Original de Pablo Ferrer.

Sin embargo, no hemos probado la

conclusión, de manera tal que basta un

contra ejemplo para hacerla invalida; es

decir, el método inductivo no conduce a

una verdad indudable.

El método deductivo en cambio, alcanza

conclusiones verdaderas si son alcanzadas

a través de deducciones lógicas a partir

de premisas verdaderas. El problema con

este método, es que la conclusión resulta

falsa si las premisas son falsas.

Lo que propone Galileo en su Diálogo y en

su trabajo en general, es más refinada

que la inducción; era un inicio de lo que

ahora llamamos método hipotético-

inductivo: la contrastación de un modelo

hipotético que, a medida que va

superando con éxito cada prueba,

adquiere una verosimilitud más

convincente (hoy a eso le llamamos

“modelo”).

Por otra parte, es importante recalcar

que esta visión de Galileo (principio de la

alternancia entre la hipótesis y la

experiencia) cambia por completo la visión

de la Naturaleza. La mente humana

desarrolla presuposiciones para la

observación de la Naturaleza y debe

hacerlo en forma matemática y con todo

rigor lógico. Pero este rigor no implica

nada acerca de la efectiva realización en

la Naturaleza de aquellas conexiones

presupuestas. Para alcanzar el rango de

leyes naturales, las presuposiciones

deben ser transformadas en hipótesis,



aplicadas a la experiencia y por esta

verificadas. Las presuposiciones que en sí

son lógicas y matemáticas, pero no

corresponden a nada en la Naturaleza, no

quedan menoscabadas en su rigor, pero no

constituyen leyes naturales.

Pero Descartes fue más lejos. Descartes

nació en el seno de una noble familia

francesa, y a los 10 años de edad

comenzó sus estudios de la totalidad del

conocimiento occidental, incluyendo:

lógica, ética, metafísica, literatura,

historia, ciencia y matemáticas. Luego

de graduarse en leyes, terminó por opinar

que el conocimiento que le habían

mostrado era intelectualmente

inaceptable.

Descartes, entonces de 20 años, se

enrola en el ejército y se ve involucrado

en la Guerra de los Treinta Años, pero

aún así no descansa en su tarea en su

tarea de encontrar una solución para

alcanzar el conocimiento de manera más

satisfactoria que lo que le habían

enseñado.

Contando solo 23 años, en 1619,

Descartes publica su famoso “Discurso

sobre el Método”, en el cual, da cuenta de

cuatro reglas que han de seguirse para

alcanzar la verdad. Estas reglas son, en

sus palabras:

“Primero, no admitir jamás nada por

verdadero sin antes conocer que

evidentemente era tal: es decir, evitar

minuciosamente la precipitación y la

prevención, y no abarcar en mis juicios

nada más que lo que se presenta tan clara

y distintamente a mi espíritu que no

tuviera ocasión de ponerlo en duda.

Segundo, dividir cada una de las

dificultades en tantas partes como sea

posible y necesariamente para mejor

resolverlas.

Tercero, conducir por orden mis

pensamientos, comenzando por los

objetos más simples y más fáciles de

conocer para subir poco a poco, como por

grados, hasta el conocimiento de los más

compuestos, y aún suponiendo orden

entre aquellos que no se preceden unos a

otros.

Cuarto, hacer en todo enumeraciones tan

completas y revisiones tan generales que

tuviese la seguridad de no omitir nada.”

Descartes en sus escritos comenta que el

verdadero significado de su vida era

reformar el conocimiento y unificar las



ciencias: “he llegado a comprender los

fundamentos del maravilloso

descubrimiento de que todas las ciencias

están conectadas como una cadena”.

Esta es la primera manifestación escrita

de la idea de una teoría unificada, una

idea que ha llegado a convertirse en una

especie de “Santo Grial” para los físicos.

Si a los conceptos de Galileo y Descartes

le sumamos las ideas de Bacon respecto

de que el trabajo científico debe ser

guiado a través de cuatro pasos:

observación, medición, explicación y

verificación, se están completando las

ideas de lo que hoy conocemos como

Método Científico, que no es un conjunto

de procedimientos formales, sino más

bien una guía para explorar lo

desconocido, una actitud, una forma de

conducir a los sentidos humanos hacia la

verdad. El método puede ser usado en

cualquier disciplina y fuerza a los

científicos teóricos y a los científicos

experimentales a complementarse unos a

otros.

El mismo año que muere Galileo, nace

Isaac Newton (1643 a 1727) en la ciudad

de Woolsthorpe, Inglaterra. Newton

estudió en el Trinity College en

Cambridge.

Luego de obtener su grado, se encontraba

completamente dedicado a su vida

académica en la Universidad de

Cambridge, cuando a raíz de una epidemia

de peste fue cerrada por dos años (1666-

1668).

Newton se retira a una finca familiar en

Lincolnshire, donde realiza los más

grandes descubrimientos, los cuales

permiten que 20 años más tarde

desarrolle la Ley de Gravitación

Universal, un hito en la historia de la

física y de las ciencias.

Probablemente Newton sea la persona que

ha ejercido más influencia en nuestras

percepciones del mundo, no solo por su

obra en sí, sino que con su trabajo se

formaliza completamente una nueva

forma de entender la Naturaleza y los

fenómenos que en ella ocurren.

La influencia que estos hechos tienen en

la visión cosmológica del universo es

sencillamente revolucionaria y su

importancia es tal, que nos hemos

permitido extendernos en ellos para

entenderlos cabalmente.



Con Newton el mundo no era

sencillamente la obra de Dios, que solo

puede ser comprendida en su conjunto.

Hasta entonces, los científicos se

limitaban a formular hipótesis cuidando

solo de la coherencia lógica, para

convertirlas luego en base de la

observación, pero con Newton se adquiere

certeza de que su formulación debe

hacerse en estrecha conexión con la

observación de la Naturaleza.

Según esto, el genio del científico se

muestra en la medida en que sus hipótesis

aprehenden sencillas relaciones entre

fenómenos naturales, las transformen en

conceptos matemáticos generales, y

presuponen siempre las ya adquiridas

explicaciones de los restantes

fenómenos.

Fig 1.27 Isaac Newton

Para Newton, los conocimientos se

derivan de los fenómenos y se generalizan

por inducción. En su obra máxima,

Principios Matemáticos de la Filosofía

Natural”, se lee en su Regla Cuarta: “En la

Física experimental, los teoremas

derivados por inducción de los fenómenos,

si no se dan presuposiciones contrarias,

deben ser tenidos por precisamente o

muy aproximadamente ciertos, hasta que

aparecen otros fenómenos gracias a los

cuales aquellos teoremas alcanzan mayor

precisión o son sometidos a excepciones.

Así debe hacerse, para que el argumento

de la inducción no sea abolido a fuerza de

hipótesis”.

Newton alcanza el conocimiento de la

impenetrabilidad, la movilidad y la fuerza

de percusión de los cuerpos, de las

famosas tres leyes del movimiento y de la

gravedad.

Al enunciar los postulados que definen

conceptos tales como los de masa, causa,

fuerza, inercia, espacio, tiempo y

movimiento, se constituye en el primer

sistematizador de la moderna ciencia.

Pero el momento culminante de la obra de

Newton se encuentra en su ley de

gravitación universal, (en la que tiene una

gran influencia Robert Hooke), que

permite someter a una sola ley



matemática a los fenómenos físicos más

importantes del universo observable. Con

ella demuestra que la física terrestre y la

física celeste son una misma cosa, lo que

representa un gran paso en el sentido

predicho por Descartes de la teoría

unificada.

Con la ley de gravitación universal, se

logra de un solo golpe: revelar el

significado físico de las tres leyes de

Kepler sobre el movimiento planetario,

resolver el intrincado problema del origen

de las mareas (equivocadamente

explicado por Galileo en su Diálogo), y dar

cuenta de la observación de Galileo

respecto de la independencia del peso en

el movimiento de caída libre de los

objetos.

Es interesante notar que muchos

científicos contemporáneos a Newton

habían realizado contribuciones

importantes a las ciencias a través de

métodos experimentales, entre los que se

pueden citar a Christian Huygens (1629 a

1695, Holandés), notable matemático y

físico, que propuso la teoría ondulatoria

de la luz en contraposición a los

postulados de Newton; Robert Boyle

(1627 a 1691, Inglés), y Edme Mariott

(1620 a 1684, Francés), que descubren la

ley de la presión de los gases; Blaise

Pascal (1623 a 1662, Francés), que

descubre la ley de la presión en los

fluidos; William Harvey (1578 a 1658) y la

circulación de la sangre; William Gilbert

(1540 a 1603), quien trata por primera

vez en su obra De Magnete los fenómenos

magnéticos; Evangelista Torricceli (1608

a 1643, Italiano), quien diseña el

Barómetro; Robert Hooke (1635 a 1703,

Inglés) con sus trabajos sobre

elasticidad; entre otros.

Fig 1.28 Robert Boyle

1.1.5 Física Clásica

Durante los siglos XVIII y XIX, los

físicos se forman una imagen mecanicista

y materialista del Universo (1700 a 1890).

En este período, el trabajo científico, fue

muy fértil, desarrollándose de tal modo

que la mecánica, el calor, la luz y la

electricidad se constituyeron en ramas



más o menos independientes, pero el

trabajo de Newton proporcionó el método

de integrarlas.

Fig 1.29 Pascal Huygens

El éxito de la física newtoniana fue tan

grande que al final de este período

parecía que se había alcanzado el

conocimiento pleno de los conocimientos

de la física, razón que permite designar a

esta física como física clásica.

Citaremos en la mecánica los trabajos de

Bernouilli (1700 a 1728) en hidrodinámica

y teoría de los gases; D’Alambert (1717 a

1783), Leonardo Euler (1707 a 1783,

Suizo), Lagrange (1736 a 1813) y Laplace

(1749 a 1827) en mecánica teórica (Euler

resolvió analíticamente los problemas

mecánicos; Lagrange estableció sus

célebres ecuaciones que contienen en

forma matemática toda la dinámica

clásica; con esto la mecánica alcanzó su

máximo desarrollo, quedando su

tratamiento en manos de los matemáticos

con el cálculo infinitesimal como

magnífico instrumento de trabajo); J.

Poncelet introduce el concepto de trabajo

mecánico; Poinsot, el concepto de par de

fuerzas en el estudio del movimiento

circunferencial; Rankine extiende los

conceptos de energía cinética y potencial

que habían sido enunciados por Leibniz;

entre otros.

En el campo del calor, al desarrollo de

termómetros y de escalas de

temperatura por parte de Galileo, se

suman los trabajos de Farenheit (1686 a

1736, Alemán) y otros autores; Black

(1728 a 1799) introduce los conceptos de

calor latente y calor específico; Watt

desarrolla la máquina de vapor; Joule

(1818 a 1889, Gran Bretaña), Rumford

(1753 a 1814, Estadounidense) y Rowland

(1848 a 1901) establecieron al calor como

una forma de energía; Carnot (1796 a

1832), Mayer (1814 a 1878), Helmholtz

(1821 a 1894), Kelvin (1824 a 1907,

Escocés), Clausius (1822 a 1888) y otros

establecieron las leyes fundamentales de

la termodinámica, en donde el concepto

básico de energía sirvió para unificar los

conceptos del calor con los de la

mecánica; finalmente mencionaremos a

Gibbs (1839 a 1903), cuyos trabajos en

termodinámica química y luego en



mecánica estadística están íntimamente

relacionados al calor.

Fig 1.30 Carnot Gibbs

Fig 1.31 kelvin Clausius

En el campo de la luz, finalmente

Michelson (1852 a 1931) determina el

valor de la velocidad de la luz; Young

(1773 a 1829) y Fresnel (1788 a 1827)

reviven los postulados ondulatorios de

Huygens; Malus (1775 a 1812) descubre el

fenómeno de la polarización de la luz por

reflexión, cuyo trabajo fue

complementado por Brewster (1781 a

1887).

El máximo aporte en este campo, lo hace

Maxwell (1831 a 1879), quien unifica los

campos de la luz y la electricidad, con su

teoría electromagnética.

Fig 1.32 Fresnel Maxwell

Fig 1.33 Volta Faraday

Durante el siglo XVIII la electricidad

recibió gran atención: Gray (1670

a1736), Du Fay (1698 a 1739), Franklin

(1706 a 1790), Cavendish (1731 a 1810) y

Coulomb (1736 a 1806) llevaron a cabo

significativos trabajos en

electroestática; Galvani (1737 a 1798) y

Volta (1745 a 1827) descubrieron la

corriente eléctrica. También realizaron

importantes aportes, Faraday (1791 a

1867), Oersted (1777 a 1851), Ohm (1789

a 1854), Henry (1797 a 1878), Ampere

(1775 a 1836), Wheastone (1802 a 1875),

Lenz (1804 a 1865), Kelvin (1824 a 1907),

Kirchhoff (1824 1887) y Hertz (1857 a

1894).



Fig 1.34 Franklin Ampere

Fig 1.35 Oersted Kirchhoff

En resumen, ya para 1890, se tenía la

impresión de que el estudio de la Física

como ciencia, había casi concluido y que

ya no se harían más descubrimientos

fundamentales. Sin embargo, el

descubrimiento del electrón, los rayos X

y la radioactividad, produce lo que hoy

denominamos Física Moderna, que es

materia de otro curso.

A pesar de esta nueva apertura al

conocimiento, la Física Clásica no deja de

tener validez, y sus aplicaciones a la

tecnología hoy aún son válidas y aquellas

provenientes de los nuevos conceptos, no

la ha reemplazado sino complementado;

de igual manera, la nueva física no puede

ser comprendida sin un conocimiento

profundo de la antigua, razones por la que

aún se estudia en nuestros tiempos.

1.1.6 Comentario.

Como hemos visto, hoy día el estudio de la

Naturaleza se realiza mediante el Método

Científico, que si bien se puede describir

a través de un cierto número de reglas,

es más bien una forma de enfrentar el

trabajo de desentrañar la verdad a

través de la hipótesis, la

experimentación, y los métodos inductivo

y deductivo.

La Física Clásica, se reduce al estudio de

las leyes de la mecánica clásica, la

termodinámica (calor, temperatura, y el

comportamiento de sistemas de

partículas) y electromagnetismo

(fenómenos eléctricos y magnéticos,

óptica y radiación); leyes que relacionan

los fenómenos en que intervienen las

propiedades generales de la materia.

La Física Moderna trata de las teorías

que dan cuenta de muchos de los

fenómenos que no pudo explicar la Física

Clásica, especialmente la mecánica

cuántica, y la teoría de la relatividad.



De esta forma, parece adecuado definir a

la Física como “la ciencia de la materia y

la energía”, (con todas las dificultades de

hacer una definición, esta parece ser la

que hoy tiene más aceptación).

En el presente la física se ocupa

fundamentalmente de desentrañar los

misterios del cosmos y de los fenómenos

subatómicos. El gran quid de la ciencia

hoy día, es la Teoría del Campo Unificado

como predecía Descartes; la investigación

en el espacio exterior y en el mundo

subatómico, en el campo de la química, la

biología, y los procesos sociológicos, lenta

pero sostenidamente parecen indicar que

los fenómenos naturales están

encadenados inseparablemente, haciendo

necesario el cambio de los modelos

reduccionistas por holísticos.



1.2 El Sistema Solar.

1.2.1 Datos generales.

El Sistema Solar pertenece a la Vía

Láctea, una galaxia en forma de espiral

que contiene unos 100 billones de

estrellas. El Sol se encuentra alejado del

centro de la galaxia, en el denominado

brazo de Orión.

El Sistema solar está compuesto por una

estrella central (el Sol), nueve planetas

mayores que se mueven alrededor de él

(Mercurio, Venus; Tierra, Marte, Júpiter,

Saturno, Urano, Neptuno y Plutón),

aproximadamente 64 satélites orbitando

los planetas, millones de asteroides,

billones de cometas, polvo y gas.

Fig 1.36 Vía Láctea. (copyright 1999. University of Michigan).

Con una edad aproximada de 5 billones de

años, está formado por un bello conjunto

de cuerpos celestes de diversas

conformaciones, dimensiones y colores.

Fig 1.37 Imagen artística de los planetas del Sistema Solar, excepto Plutón. (imagen cortesía NASA/JPL).

El siguiente cuadro muestra los datos

relevantes del Sistema Solar, que

permiten una idea de sus dimensiones, de

sus distancias y de sus movimientos de

rotación sobre sus ejes y de traslación

alrededor del Sol.

Estadísticas de cuerpos del Sistema Solar

Diámetro ecuador

(Km)

Distancia promedio

al sol (106 Km)

Período orbital (año)

Período de

rotación (día)

Sol 1.392.530 25,4 días Mercurio 4.878 58 88 días 58,6 días Venus 12.104 108 225 días 243 días Tierra 12.756 150 1 año 1 día Marte 6.794 228 1,9 años 24,6 hrs. Júpiter 142.800 778 11,9 años 9,8 hrs Saturno 120.000 1.427 29,5 años 10,2 hrs Urano 52.000 2.870 84 años 16-28 hrs Neptuno 48.400 4.497 164,8 años 18-20 hrs Plutón 2.385 5.899 247,7 años 6,3 días Fuente: Planetary Sciences. NSSDC.



La distancia entre la Tierra y el Sol es

habitualmente indicada como 1 unidad

astronómica (1 UA = 149.598.000 Km) y la

distancia entre cuerpos celestes a veces

se indica en términos de este patrón.

La siguiente imagen da una idea de las

dimensiones de los planetas en términos

comparados. Están en orden a partir del

Sol a la izquierda; Destaca claramente

Júpiter (el planeta mayor), cuyo diámetro

es 11 veces mayor que el de la tierra,

aunque solo la décima parte del diámetro

del Sol (distancias no están a escala real).

Fig 1.38 Comparación dimensional de los planetas del Sistema Solar. (Copyright: © 1999 Calvin J. Hamilton)

1.2.2 Sistema Solar interior y Exterior.

Los planetas usualmente son divididos en

dos grupos, denominados Sistemas

Solares Interior y Exterior, entre los

cuales existen decenas de miles de

planetas menores denominados

Asteroides.

Los cuatro planetas mayores más

cercanos al sol (Mercurio, Venus, Tierra y

Marte: “Sistema Solar Interior”) son

cuerpos de superficie sólida de

dimensiones comparativamente pequeñas,

altas densidades, rotación lenta y de

composición similar a la Tierra.

Fig 1.39 Mercurio, Venus, Tierra y Marte: Sistema Solar Interior. (Copyright: © 1999 Calvin J. Hamilton).

Los cuatro planetas mayores siguientes

(Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno) son

más grandes, con anillos y muchas lunas;

su composición es principalmente gaseosa

(hidrógeno y helio principalmente), poseen

bajas densidades y rotación rápida. Son

denominados: “Sistema Solar Exterior”

(también “Jovianos”: parecidos a Júpiter

o “gaseosos”), junto a Plutón.

Fig 1.40 Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno y Plutón: “Sistema Solar Exterior”. (Copyright: © 1999 Calvin J. Hamilton)



Algunos planetas son vistos desde la

Tierra a simple vista (Mercurio, Venus,

Marte, Júpiter y Saturno) y fueron

descubiertos por astrónomos de

civilizaciones ancestrales, y sus nombres

son usados para designar a los días de la

semana, como veremos más adelante.

Estos cuerpos, sumados a la Tierra, el Sol

y la Luna, formaban junto con las

estrellas fijas, el Universo conocido hasta

el siglo XVII. Los restantes planetas

necesitan aparatos ópticos para ser

observados y fueron descubiertos mucho

más tarde.

En esta tarea fue decisivo el invento del

telescopio por parte de Galileo, a partir

de 1610. Urano fue descubierto en 1781

por Herschel; Neptuno en 1846 por

Adams y Le Verrier; Plutón en 1930 por

Tombaugh.

Plutón es un planeta muy peculiar,

descubierto recién en 1930, de diámetro

igual a 2.385 Km es el más pequeño de los

planetas mayores del Sistema Solar. Es

un cuerpo helado con un satélite (Charon)

cuyo diámetro es la mitad del de Plutón,

conformando en verdad un planeta doble.

Como sus masas son similares, orbita uno

sobre el otro.

Fig 1.41 Plutón es en realidad un planeta doble junto con su Luna Charon (imagen cortesía NASA )

1.2.3 Orbitas.

Las órbitas de los planetas son elipses

con el Sol en uno de sus focos y salvo las

de Mercurio y Plutón, son muy parecidas a

círculos (poco excéntricas), lo que

produce que la mayor distancia a la que se

encuentran (afelio) es similar a la menor

distancia a la que se encuentran

(perihelio), aunque lo suficiente para que

la velocidad con que se mueven sea mayor

en los momentos en que se encuentran

más cerca.

afelioperihelio

lentorápido

Fig 1.42 Órbita de un planeta del sistema solar El cuadro siguiente muestra las

excentricidades de las órbitas y las

distancias mínimas y máximas al las que

se encuentran desde el Sol.



Estadísticas orbitales de cuerpos del Sistema Solar

Excentri- cidad

Afelio x106 Km

Perihelio x106 Km

Inclinación orbital

Mercurio 0,2056 69,8 46,0 7,00º Venus 0,0068 108,9 107,5 3,39º Tierra 0,0167 152,1 147,1 0,00º Marte 0,0934 249,2 206,6 1,85º Júpiter 0,0483 816,0 740,6 1,31º Saturno 0,0560 1506,4 1347,6 2,48º Urano 0,0461 3005,2 2734,0 0,77º Neptuno 0,0097 4535,2 4458,0 1,77º Plutón 0,2482 7381,2 4445,8 17,14º Fuente: Planetary Sciences. NSSDC.

Note que la excentricidad de Plutón

produce que en ocasiones se encuentre

mas cerca del Sol que Neptuno, siendo en

esos instantes el octavo y no el noveno

planeta, como se ve en la figura siguiente.

Fig 1.43 Orbitas de planetas del Sistema Solar

1.2.4 Eclíptica.

El plano en que se encuentran las órbitas

de los planetas es denominado eclíptica y

está definido por el plano de la órbita de

la Tierra. Respecto de la tierra los

planetas tienen órbitas aproximadamente

en el mismo plano, con excepción de

Plutón que tiene una órbita inclinada 17º.

Fig 1.44 Vista de la eclíptica, destacando la órbita de Plutón inclinada 17º. (Starry Night software)

1.2.5 Oblicuidad.

Los planetas además de moverse

alrededor del sol, giran sobre si mismos.

Para describir este movimiento se

acostumbra trazar un eje imaginario

sobre el cual rota el planeta, que lo corta

en dos puntos denominados polos.

El planeta también puede dividirse en dos

semiesferas (hemisferios) separadas por

un plano equidistante de los polos

denominado Ecuador.



eje de rotación

polo norte

polo sur ecuador

sentido de giro

Fig 1.45 Eje de rotación, Polos y Ecuador de un Cuerpo celeste.

Los planetas tienen ejes de rotación

aproximadamente perpendiculares a la

eclíptica, con excepción de Plutón y

Urano. Salvo Venus, giran en dirección

antihoraria vistos desde el polo norte

celestial (sobre el hemisferio norte

terrestre).

Oblicuidad del eje de rotación de los Planetas

Inclinación del eje respecto de la perpendicular a la eclíptica

Mercurio 7º Venus 3,39º Tierra 23,45º Marte 1,85º Júpiter 1,305º Saturno 26,73º Urano 97,86º Neptuno 28,32º Plutón 122,46º

Fuente: Planetary Sciences

Fig 1.46 Oblicuidad de los planetas. Las dimensiones no son proporcionales. Copyright: © 1999 Calvin J. Hamilton

1.2.6 La esfera celestial.

Apartemos la vista del universo y del

sistema solar para concentrarnos un

momento en un punto de vista

geocéntrico. Sin olvidar que la tierra es

la que se mueve, para propósitos

prácticos, considerar que está quieta y

que el universo se mueve a su alrededor

produce en algunos casos sencillas y

coherentes explicaciones, que no se

contraponen a las explicaciones reales



heliocéntricas que también serán

consideradas cuando sea necesario.

Si observamos el cielo desde la tierra,

veremos con asombro, como lo hicieron

nuestros antepasados una enorme

cantidad de cuerpos luminosos (el

firmamento) aparentemente insertos en

una inmensa esfera hueca (la esfera

celestial) moviéndose de manera similar al

Sol (de Este a Oeste) con la Tierra en el

centro.

Como una forma de explicar lo que veían y

considerando sus ricas y hermosas

estructuras mitológicas y religiosas, se

dedicaron a relacionar grupos

reconocibles de estrellas a sus creencias

y figuras místicas, creando lo que hoy día

llamamos constelaciones.

Fig 1.47 Vista del cielo desde el hemisferio sur. (foto: national cosmology supercomputer).

Existen evidencias de registros de

constelaciones en Babilonia, Egipto,

Grecia y otras civilizaciones, siendo el

más importante el Almagest escrito por

Ptolomeo en el siglo II d.C. da cuenta de

48 constelaciones (vistas solo en el

hemisferio norte) agrupando alrededor

de 1022 estrellas. Otras 12 (vistas solo

en el hemisferio sur) fueron agregadas en

el siglo XVII (Atlas estelar de Johann

Bayer) luego del conocimiento generado

por los marinos colonizadores europeos.

El desarrollo de aparatos ópticos

permitió mejorar la descripción, hasta

que en 1928 la Unión Astronómica

Internacional publicó la actual lista de

constelaciones que divide el cielo

completo en 88 regiones.

Describamos la constelación Cassiopeia

catalogada por Ptolomeo. Si miramos el

cielo del hemisferio norte en un día

determinado veremos lo siguiente:



Fig 1.48 Vista del cielo del hemisferio norte. (foto: associazione urania Italia)

Claramente se observan estrellas de

brillos distintos. De manera arbitraria

podemos fijar la atención en una zona

particular de ella, por ejemplo:

Fig 1.49 Vista parcial del cielo del norte .(foto: Janet Slivoski).

Aún más arbitrariamente podemos unir

algunas de las estrellas según su brillo,

por ejemplo, de la manera siguiente:

Fig 1.50 Agrupación estelar arbitraria (foto: Janet Slivoski)

Y luego suponer que representan a la

diosa griega Cassiopeia, esposa de

Cepheus y madre de Andrómeda en la

mitología griega, cuya figura conteniendo

las estrellas que componen la constelación

se ve en el cuadro siguiente.

Fig 1.51 Cassiopeia y sus estrellas

Esta constelación es conocida como

Casiopedia o “la silla de Casiopedia”.

También es conocida como la “loca M” o la



“celeste W” debido a su forma y a que su

cambiante ubicación en el cielo le hace

ver como las letras homónimas.

La motivación para describir las

constelaciones y sus movimientos en el

cielo no responden solo a motivos

puramente místicos, sino prácticos:

Hesiod en el siglo VIII a.C. indica que las

cosechas deben empezar en el momento

en que “empiezan a elevarse las Pléiades,

hijas de Atlas”, reconociendo el ciclo

agrícola asociado a determinada época del

año y sus estaciones.

Las siguientes figuras muestran algunas

de las constelaciones vistas en cada

hemisferio de acuerdo a las estaciones.

Las constelaciones denominadas

circumpolares se observan todo el año en

el hemisferio correspondiente y no se

elevan ni ponen en el horizonte, como se

explicará más adelante.

Las denominadas estacionales, se

observan solo en determinadas épocas del

año, en dependencia de la latitud del

observador.

Fig 1.52 Constelaciones circumpolares vistas en el Hemisferio Sur (cuadro: Universidad de Michigan).

Fig 1.53 Constelaciones estacionales



Fig 1.54 Constelaciones circumpolares vistas en el Hemisferio norte. (cuadro: Universidad de Michigan)

Si uno observa cuidadosamente el cielo,

ve que estrellas y constelaciones

describen movimientos circunferenciales

con círculos concéntricos es decir, existe

un punto aparente en la esfera celeste

sobre el cual esta parece rotar (polo

celeste) y si estuviésemos en el

hemisferio norte (lugar en el que la

mayoría de las primeras civilizaciones

surgieron) veríamos una estrella brillante

(Polaris) que parece estar en ese lugar

(estrella polar o del norte).

Interesante es notar que el eje de la

tierra tiene un movimiento de precesión

cuyo ciclo es de aproximadamente 26.000

años, de modo tal que la ubicación del polo

celeste cambia en el tiempo.

Fig 1.55 Foto del cielo del hemisferio norte tomada con obturador abierto. Copyright: David Malin. Astronomy Picture of the day. NASA. 1998.

Debido a la lentitud del cambio, lo

suponemos fijo, aunque si proyectamos su

ubicación tan lejos como el siglo VIII a.C.

observamos que no existe una estrella

brillante como hoy que se ubique cerca

del polo norte celeste.

Adicionalmente, al viajar hacia el sur,

esta estrella se ubica más y más cercana

al polo norte terrestre, hasta que

finalmente no se observa. Pero entonces,

el firmamento parece girar de este a

oeste en torno a otro punto de la esfera

celestial (polo sur celeste), en donde

desgraciadamente no existe una estrella

brillante como en el otro hemisferio.



eje derotación

ecuador

actual

futurofuturo

actual

23,5º

precesión del eje

en el futuro ejeno apunta hacia laestrella polar

hoy eje apunta hacia laestrella polar

Fig 1.56 Movimiento de precesión del eje provoca lentos cambios en el ángulo respecto de la eclíptica.

Por otro lado si proyectamos el ecuador

terrestre sobre la esfera celeste, la

dividirá en dos mitades iguales,

definiendo el Ecuador Celeste.

polo norte celeste

polo sur celeste

ecuador celeste

Fig 1.57 Polos y Ecuador celeste

1.2.7 La tierra.

Analicemos el movimiento de nuestro

planeta y algunas de las consecuencias

que trae para una persona que vive en él.

Observemos el sistema Sol-Tierra desde

un punto situado en la eclíptica:

Fig 1.58 La luz del sol ilumina una zona de la Tierra. Las dimensiones están muy exageradas.

La energía del Sol llega a la tierra en

forma de onda electromagnética

proporcionando luz y calor a la parte de

su superficie que lo enfrenta, generando

zonas de luz y sombra.

Si miramos la Tierra desde el Sol

veremos la parte iluminada (de día).

Fig 1.59 Zona iluminada de la Tierra (imagen NASA)



Una forma interesante de presentar este

fenómeno es dibujar la superficie de la

Tierra en un plano (Planisferio), donde las

zonas de luz y sombra (día y noche)

quedan perfectamente determinadas.

Fig 1.60 Zonas de luz y sombra en la tierra. Día en América, amaneciendo en la zona occidental, atardeciendo en la zona oriental del continente. Casi noche en la zona occidental de Europa.

Como ya sabemos, el movimiento de

rotación de la Tierra provoca que la

sombra viaje de oriente a occidente, de

tal manera que un observador estático en

su superficie observará salir al Sol por el

Oriente (Este) elevarse sobre su cabeza

y ocultarse en el horizonte en el

Occidente (Oeste).

Fig 1.61 El sol poniéndose por el oeste.

1.2.8 Latitud y Longitud.

Ubicarse en la superficie terrestre es

una tarea sencilla si se determina con dos

números, su latitud y su longitud, que son

ángulos medidos desde la línea del

ecuador, como se explica a continuación.

Si consideramos a la tierra transparente

y esférica, y nos ubicamos en el centro de

un disco imaginario que atraviesa el

ecuador, la elevación angular hacia el

punto de la superficie en que nos

encontramos constituye la latitud,

designada con la letra griega lambda (λ).

Fig 1.62 Altitud.

Esto significa que existen una serie de

círculos paralelos al ecuador que tienen

igual latitud, por lo que reciben el nombre

de paralelos.



Fig 1.63 Paralelos

Estos círculos van disminuyendo su

diámetro hasta que se convierten en un

punto en el polo, donde la latitud es de

90º. Estos ángulos se miden hacia el polo

norte (+90º) de modo que hacia el polo

sur son negativos (-90º). Obviamente el

círculo del ecuador es latitud 0º.

Las líneas que marcan la longitud

(meridianos) son líneas equidistantes que

surcan la esfera imaginaria de polo a polo.

Fig 1.64 Meridianos

La longitud es el ángulo descrito entre

dos líneas que parten del centro del

círculo que pasa por el ecuador, que van

hacia un punto de la superficie que se ha

acordado como referencia (el meridiano

que pasa por Greenwich) y hacia el lugar

en que nos encontramos (P).

Se designa con la letra griega phi (φ).

Fig 1.65 Longitud

Los ángulos se miden entre 0 y 180º hacia

el este (E) y entre 0 y -180º hacia el

oeste (W).

Fig 1.66 Observatorio astronómico de la ciudad inglesa de Greenwich

Le Havre

Dover

Nantes

Londres

Francia

Irlanda

Loire

Loire

English Channel

OceanoAtlantico

0û

60N

5W

55N

50N

Meridiano deGreenwich

010W

Inglaterra

Fig 1.67 Meridiano de Greenwich

La ciudad de Santiago de Chile se

encuentra en las coordenadas:



Latitud: 33° 27' S

Longitud: 70° 42' W

Santiago

70W80W 60W

33º27`S

70º42`W

60S

50S

40S

30S

20S

Fig 1.68 Santiago de Chile

Es posible entonces, ubicar cualquier

lugar de la superficie indicando sus

coordenadas latitud y longitud. Hoy en

día esto lo hace automáticamente un

instrumento muy preciso (GPS) conectado

a una red de satélites.

La siguiente figura muestra meridianos y

paralelos que cruzan América del Sur

PARAGUAY

URUGUAY

FALKLAND ISLANDS

SOUTH GEORGI A ISLAND

NAMIBIA

SOUTH AFRICA

ANGOLA

CONG O

Weddell Sea

Fig 1.69 Meridianos y paralelos cruzando América del Sur.

1.2.9 Zonas horarias.

Cuando el sol está exactamente sobre el

meridiano en que nos encontramos, será

mediodía para nosotros. Todos los

meridianos que están al este de nosotros

se encuentran en la tarde (post

meridiano: p.m.) y los que encuentran al

oeste nuestro, estarán en la mañana (ante

meridiano: a.m.).

Como esta referencia local no le dice

mucho a una persona que esté en otro

lugar, se adoptó la hora universal (UT:

universal time).

Como el círculo del ecuador tiene un

ángulo de 360º, entonces se puede

definir meridianos cada una hora,

describiendo ángulos de (360º/24) de 15º

a partir de Greenwich.



De esta manera, cuando en Greenwich

sean las 00:00 horas, una hora después

serán las 00:00 horas en los lugares

alejados 15º hacia el oeste.

De otra manera, cuando en Greenwich

sean las 00:00 horas, 15º al oeste serán

las 23:00 horas, lo que se puede indicar

también como las -01:00 horas.

Es muy útil entonces definir las “zonas

horarias” como aquella franja de 15º

entre los meridianos, en relación con las

00:00 horas de Greenwich, como se ve en

la figura siguiente.

Aquí se ve que Chile está en la zona

horaria -5, que se indica como -5UTC.

Esto significa que cuando en chile sean

las 05:00 a.m., en Greenwich y todos los

lugares contenidos en su zona horaria,

serán las 00:00 horas.

El gráfico también nos dice que en

Argentina la hora local será +1 respecto

de la hora Chilena, pues se encuentra en

la zona horaria contigua hacia el este

(siempre que ninguno de los países hayan

cambiado su hora local para acomodar el

horario a las horas de luz en invierno y

verano).

Hay un problema más que solucionar, pues

al viajar hacia el oeste estará viajando

hacia lugares que se encuentran “más

temprano” que el lugar desde donde

partió. Si sigue viajando a velocidades

muy rápidas, podría darse el caso de que

diera la vuelta completa al planeta ¡y se

encontrara siempre en el mismo día!.

Fig 1.70 Zonas horarias

Para evitar esto, se acordó designar al

meridiano 180º (que coincide con el

meridiano -180º), como el meridiano de

cambio de fecha. De esta manera, al

cruzarlo, no importa en que dirección lo

haga, se encontrará en una fecha distinta.



1.2.10 Estaciones del año.

Muchas veces nos hemos preguntado que

causa las distintas condiciones climáticas

de los períodos del año conocidos como

“estaciones”, y la respuesta más común de

quienes entienden algo del movimiento de

la tierra respecto del sol, es que se debe

a que en el afelio se encuentra más lejos

(mas frió) y en el perihelio mas cerca

(mas calor).

Sin embargo esta explicación dista mucho

de la verdad. Si miramos nuevamente la

tabla de distancias veremos que la

diferencia entre afelio y perihelio no es

suficiente para explicarlo. Por otra parte,

en el afelio debiéramos tener verano en

ambos hemisferios, lo que evidentemente

no ocurre.

La explicación está en el ángulo de

inclinación que el eje de rotación describe

respecto de la eclíptica, como se ilustra

en el dibujo siguiente.

invierno

invierno

verano

diciembrejulio

verano

polo norte celeste

Fig 1.71 Estaciones del año. Las dimensiones están exageradas.

El eje de rotación de la Tierra apunta

siempre hacia el polo norte terrestre con

un ángulo de 23,5º respecto de la

eclíptica (plano de rotación del sistema

solar, que contiene al Sol y a la Tierra),

de esta manera en julio el hemisferio

norte está más cerca del Sol

encontrándose en verano, con períodos de

luz más largos que los de sombra; el

hemisferio sur en cambio, se encuentra

más lejos, sufriendo los rigores del

invierno con períodos de luz mas cortos

que los de sombra. En diciembre la

situación se invierte. En marzo la Tierra

se encuentra tras el Sol en el dibujo, de

manera tal que ambos hemisferios

reciben igual energía del Sol Además, los

períodos de luz y sombra son de igual

extensión. El hemisferio norte está en

primavera. Y el hemisferio sur en otoño.

En septiembre la Tierra se encuentra

delante del sol en el dibujo, siendo la

situación igual que en marzo, solo que el

hemisferio norte está en otoño y el sur

en primavera.

Pero esto no lo ve un ciudadano común

¡parado en la superficie de la tierra!. Su

observación es geocéntrica y por tanto

solo siente el descenso o el aumento de la

temperatura promedio, el cambio en el

clima y en la vegetación (también en su



estado anímico) y en la disminución o

aumento de las horas de luz diarias. Los

más preocupados del jardín observan que

las sombras que objetos tales como

paredes divisorias de sus patios se

“corren” entre las distintas estaciones,

debiendo tener especial cuidado con

aquellas especies que son sensibles a la

luz o al frío.

Estudiemos un punto de vista geocéntrico

entonces, para tratar de entender esto.

El siguiente cuadro muestra una persona

parada sobre la superficie de la tierra en

el hemisferio norte durante el verano.

Está mirando hacia el norte.

Se puede apreciar que el polo norte está

iluminado y el polo sur está oscuro, se ve

el sol saliendo y poniéndose cada vez más

al norte. El día que más al norte sale, es

el solsticio de verano (21 de junio

aproximadamente). El sol, que se ha

venido aproximando desde el equinoccio

de primavera (21 de marzo

aproximadamente) ha venido aumentando

la temperatura media, lo que tiene un

rezago debido a la gran capacidad

calorífica de la inmensa cantidad de agua

ubicada en la superficie del planeta.

Fig 1.72 Solsticio de verano en el hemisferio norte. El día más largo. Empieza el verano.

Los días más calurosos en promedio se

tendrán a partir del solsticio. A medida

que los días pasan, ve al sol saliendo cada

vez más al sur de ese lugar, observando

que aproximadamente el 21 de

septiembre los períodos de luz diarias

dejan de aumentar. Es el equinoccio de

otoño.

De allí en adelante el Sol continúa

saliendo cada vez más al sur, pero se

observa una disminución en la duración de

los períodos de luz diaria, hasta el 21 de

diciembre aproximadamente (solsticio de

invierno), día en que se tiene la noche más

larga del año. El polo norte está

completamente a oscuras. Las



temperaturas que se habían moderado

durante el otoño ya han bajando

ostensiblemente volviéndose muy frías a

partir del solsticio de invierno.

Fig 1.73 Equinoccio de otoño en el hemisferio norte. Día de igual extensión que la noche. Empieza el otoño.

Ese día el Sol sale más al sur que

cualquier otro día del año y empieza a

retornar hacia el norte.

Fig 1.74 Solsticio de invierno en el hemisferio norte. El día más corto. Empieza el invierno.

El sol retorna, saliendo cada vez más al

norte, hasta el equinoccio de primavera

(21 de marzo aproximadamente), donde

se tiene nuevamente día y noche de igual

duración, como sucede en el equinoccio de

otoño. La visión será la misma de la figura

1.73.

Como era de esperarse, en el hemisferio

sur sucede exactamente lo contrario, es

decir, los solsticios de verano e invierno

se tienen el 21 de diciembre y el 21 de

junio. Los equinoccios de otoño y

primavera ocurren el 21 de marzo y 21 de

septiembre respectivamente.



1.3 Sistema Internacional de

Unidades (S.I.).


Medir es una necesidad para la física,

debido a la exigencia del método

científico, que demanda que toda

hipótesis sea probada

experimentalmente.

Naturalmente, esto ha de hacerse no solo

de manera cualitativa sino además

(fundamentalmente), cuantitativa.

Medir es en lo esencial, un procedimiento

de comparación con un patrón. Esto se ha

hecho desde épocas remotas, pero la gran

variedad de patrones existentes, la

necesidad cada vez mayor de rigurosidad

en el trabajo científico y la creciente

comunicación entre científicos de

distintos lugares alrededor del mundo, así

como la existencia de una gran cantidad

de magnitudes que en realidad son

combinaciones de unas pocas

(fundamentales), han llevado a la

estandarización y a las definiciones

contenidas en el denominado Sistema

Internacional de Unidades (SI), hoy de

amplio uso en el mundo entero.

Los problemas existentes con los

sistemas de medidas en los inicios de

1700 eran de tal magnitud que era

frecuente que en cada país (e incluso

cada región en algunos de ellos) existiera

un sistema distinto. La confusión era

agravada por el hecho de que unidades

como la libra, tenían definiciones

distintas en gran Bretaña, París y en

Berlín, careciendo de patrones exactos.

La confusión era inmensa, no solo en el

comercio, sino también en el mundo

científico, llegando a ser la traducción de

medidas de un país a otro un problema

que demandaba gran cantidad de tiempo y

energía.

En 1666 se había fundado la Academia de

Ciencias en Francia, y ya desde 1670 se

habían recibido allí distintas propuestas

para procurar mejorar los sistemas de

medidas y hacerlos coherentes. No

obstante, solo en 1790 (dos años después

de producida la Revolución Francesa) una

comisión formada por Condorcet

(presidente de la Academia) y constituida

por Lavoisier, Coulomb, Laplace y

Tayllerand – lo mas granado de la

comunidad científica francesa de la

época- logró un decreto de la Asamblea

Nacional autorizándolo a crear medidas y

sus múltiplos y submúltiplos.



El 27 de octubre de ese año, la comisión

decidió que las nuevas medidas incluyendo

las de monedas, serían decimales. La

evolución de la revolución Francesa

detuvo el avance del nuevo sistema al

volverse incruenta luego de reemplazarse

la Asamblea por la Convención, llegando a

caer en la guillotina Lavoisier.

Finalmente en 1795 se dictó una ley que

oficializó el sistema métrico, ordenando

al metro como patrón de longitud, el ara

como medida de superficie, al estro y al

litro como medidas de volumen, al gramo

para la masa y al franco para las monedas.

En 1778 finalizaron los cálculos oficiales

y se mandó a construir un metro oficial

de platino y un cilindro de platino de un

kilogramo de masa.

Estos fueron reemplazados por patrones

de mayor precisión de patino-iridio en

1889 y luego por patrones aún más

precisos, como veremos a continuación. Lo

importante es que se dio comienzo a una

nueva era, al dar inicio a los sistemas

métricos que luego darían vida al actual

Sistema Internacional de Unidades (SI).

En 1875 se firmó en París el “Tratado del

Metro” por parte de 18 países

constituyéndose la Conferencia General

de Pesos y Medidas (CGPM), imponiendo

el sistema métrico.

Diversas Conferencias se sucedieron en el

tiempo, hasta llegar a la 10ª CGPM en

1954 la que en su Resolución Nº 6, así

como la 14ª CGPM en su Resolución Nº 3

adoptaron como unidades básicas las

unidades de las siguientes siete

cantidades: longitud, masa, tiempo,

corriente eléctrica, temperatura

termodinámica, cantidad de sustancia e

intensidad luminosa.

La 11ª CGPM en 1960, oficializó SI,

sistema métrico moderno que

continuamente es revisado hasta hoy.

Interesante resulta destacar que el SI

ha sido extensamente adoptado por un

gran número de países a lo largo del

mundo (Chile adoptó el uso del metro en

1848).

El SI está dividido en dos clases de

unidades: básicas y derivadas.



1.3.2 Unidades básicas.

cantidad unidad símbolo longitud metro m

masa kilogramo Kg

tiempo segundo s

corriente eléctrica ampere A

temperatura kelvin K

cantidad de sustancia mol mol

intensidad luminosa candela cd

Definiciones del SI:

Metro: El metro es la longitud del camino

recorrido por la luz en el vacío durante el

intervalo de tiempo de 1/299 792 458 de

un segundo (17ª CGPM, 1983, Resolución

Nº 1).

La definición del metro basado en el

prototipo internacional de platino-iridio,

en uso desde 1889, reemplazado por una

definición basada en la longitud de onda

de una radiación de Kripton-86 (11ª

CGPM, 1960) ha sido sustituida por la

definición arriba expuesta, en razón de la

necesidad de mayor precisión.

Kilogramo: El Kilogramo es la masa del

prototipo internacional hecho de platino-

iridio (1ª CGPM, 1889).

Esta definición no ha sufrido cambios,

salvo la especificada en la 3ª CGPM

(1901), en la que se sustituyó la palabra

peso, por la palabra masa en orden de

evitar la ambigüedad del término

anterior.

Segundo: Un segundo es la duración de

919 263 170 períodos de la radiación

correspondiente a la transición entre dos

niveles hiperfinos del átomo de cesio-133

no perturbado (13ª CGPM, 1967, Res.

Nº1).

Originalmente el segundo había sido

definido como 1/86 400 parte del día

solar medio, lo que fue desechado en

1960 al dar cuenta los astrónomos de las

irregularidades en la rotación de la

Tierra.

En 1969, la 1ª CGPM cambió la definición,

basándola en la duración del año tropical,

pero luego fue reemplazada por la actual

que ofrece mayor precisión y capacidad

de ser reproducida.

Ampere: Un Ampere es la corriente

constante que produce una fuerza igual a

2x10-7 Newton por cada metro de

longitud, entre dos conductores rectos,

de longitud infinita y sección circular

despreciable, separados por 1 metro, en

el vacío (9ª CGPM, 1948).



Kelvin: Un Kelvin es la 1/273,16 parte

de la temperatura termodinámica (T) del

punto triple del agua (13ª CGPM, 1967,

Resolución Nº 3).

La 13ª CGPM estableció el nombre Kelvin

(símbolo K) en lugar de la expresión“

grados Kelvin (símbolo ºK).

En dicha reunión se estableció además, el

uso de la temperatura Celsius (t) definida

por la expresión: t= T–T0; donde

T0=273,15K por definición. Para expresar

la temperatura Celsius debe usarse la

expresión “grados Celsius”. Una

diferencia o un intervalo de temperatura

puede expresarse en grados Celsius o en

Kelvin indistintamente.

Mol: Un mol es la cantidad de sustancia

de un sistema que contiene tantas

partículas elementales como átomos

existen en 0,012 Kilogramos de carbono

12. Cuando se usa el mol, deben

especificarse las partículas elementales,

y pueden ser: átomos, moléculas, iones,

electrones, otras partículas o grupos

específicos de tales partículas. (14ª

CGPM, 1971, Resolución 3).

Candela: Una candela es la intensidad

luminosa, en una dirección determinada,

de una fuente que emite radiación

monocromática de frecuencia 540 X 1012

Hz, y que tiene una intensidad radiante

en esa dirección de 1/683 Watt /

steradian (16ª CGPM, 1979, Res. 3).

1.3.3 Unidades derivadas

Las unidades derivadas, como su nombre

indica, resultan de la combinación

algebraica de las unidades básicas. Los

nombres y símbolos de algunas de estas

unidades pueden ser reemplazados por la

11ª CGPM en 1960 estableció una tercera

clase de unidades, denominadas unidades

suplementarias, conteniendo las unidades

SI para ángulos planos (radian) y ángulos

sólidos (steradian). Sin embargo, en la

20ª CGPM (1995) se eliminó esta

separación, considerándose a estas como

pertenecientes a la clase de unidades

derivadas.

El siguiente cuadro muestra las más

importantes unidades derivadas, sus

símbolos y las relaciones que las definen:



Kilógramo

masa

Kg

metro

longitud

m

segundo

tiempo

s

Ampere

corrienteeléctrica

A

Kelvin

temperatura

K

volumen

área

velocidad

m/s

m2

m3

m/s2

aceleración

SvN

J

Hz

Bq

frecuencia

fuerza

Newton(Kgm-1s-2)

Sievert(JKg-1)

trabajo, energía,cantidad de calorHertz (s-1)

Becquerel (s-1)

WWatt (Js-1)

potencia, flujode calor

ºC

Ω

VVolt (WA-1)

potencial, fuerza

electromotriz

FFaraday (CV-1)

capacitancia

CCoulomb (As)

carga eléctrica

mol

cantidad desustancia

mol

candela

intensidadluminosa

cd

WbWeber (Vs)

flujomagnético

HHenry (WbA-1)

inductancia

ºCelsius

ºC=K-273,15

lmlumen (cd sr)

lumen

radángulo plano

radian (mm-1)

lxdensidadde flujomagnético

lux (lmm-2)

resistenciaeléctrica

SSiemens (Ω−1)

conductancia

ohm (VA-1)

srángulo sólido

steradian (m2m-2)

dosis equivalente

Joule (Nm)

actividadradionuclear



1.3.4 Reglas para escribir y usar

símbolos de unidades del SI.

De acuerdo con lo establecido por la 9ª

CGPM, 1948, se deben observar las

siguientes reglas para escribir y usar los

símbolos de las unidades del Sistema

Internacional de Unidades:

Deben usarse símbolos romanos en

minúscula. Sin embargo, si el nombre de

la unidad es derivado de un nombre

propio, la primera letra del símbolo puede

ponerse en mayúsculas.

Los símbolos se escriben igual en plural.

Los símbolos no están seguidos de un

período.

El producto de dos o más unidades puede

ser indicado en cualquiera de las

siguientes formas: ejemplo: N m o N

m

Pueden usarse: una línea oblicua, una línea

horizontal o exponentes negativos, para

expresar una unidad derivada formada

por una división entre unidades. Ejemplo:

m/s o ms

o m s-1

Líneas oblicuas no deben usarse en la

misma línea, a menos que la ambigüedad

sea evitada mediante el uso de

paréntesis. Ejemplo: Puede usarse

m/s2; Pero no: m/s/s. Puede usarse

mkg/(s3A) ; Pero no: mkg/s3/A.

Múltiplos y submúltiplos.

prefijos del SI

FACT PREF SIMB FACT PREF SIMB

1024 YOTTA Y 10-1 DECI m

1021 ZETTA Z 10-2 CENTI m

1018 EXA E 10-3 MILI m

1015 PETA P 10-6 MICRO µ

1012 TERA T 10-9 NANO n

109 GIGA G 10-12 PICO p

106 MEGA M 10-15 FENTO f

103 KILO K 10-18 ATO a

102 HECTO H 10-21 ZEPTO z

101 DECA Da 10-24 YOCTO y

1.3.5 Unidades usadas con el SI.

El SI reconoce ciertas unidades de

amplio uso, aunque recomienda usarlas

restrictivamente.

unidades en uso con el S.I.

nombre simb valor en el SI

minuto min 1min = 60 s

hora h 1 h = 60 min = 3600 s

día d 1 d = 24 h = 86400 s

grado ° 1° = (π /180) rad

minuto ’ 1’ = (1/60)° = (π /10 800) rad

segundo ” 1” = (1/60) ’ =(π /648 000) rad

litro l , L 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3

tonelada* t 1 t = 103 kg

* En algunos países de habla inglesa es también denominada tonelada métrica



1.3.6 Unidades en uso temporal.

En vista de la práctica existente en

algunos países o áreas del conocimiento,

el CGPM en 1978 consideró que era

aceptable seguir usando las unidades de

la tabla siguiente con el SI, hasta que el

CGPM considere que su uso es

prescindible. No obstante lo anterior, no

se admite la introducción de ellas en

cantidades que hoy no las usan.

unidades en uso temporalmente con el SI

nombre símbolo valor en SI

milla náutica 1 milla náutica = 1852 m

nudo 1 nudo = (1852 /3600) m/s

amgstrom A 1 A = 10-10 m

hectárea ha 1 ha = 104 m2

bar bar 1 bar = 105 Pa

curie Ci 1 Ci = 3,7 X 1010 Bq

roentgen R 1 R = 2,58 X 10-4 C/kg

rad* rad 1 rad = 10-2 Gy

rem rem 1 rem = 10-2 Sv

* El rad es una unidad para expresar dosis absorbida de radiación ionizante. Cuando existe el riesgo de confusión con el radian, puede usarse el símbolo rd para el rad.

1.3.7 Unidades CGS.

En Mecánica, el sistema CGS está basado

en función de las unidades básicas:

centímetro, gramo y segundo.

En la Electricidad y Magnetismo, las

unidades están expresadas en función de

estas unidades básicas; esto conduce al

establecimiento de varios sistemas

distintos, como el Sistema CGS

Electrostático, el Sistema CGS

Electromagnético, y el Sistema CGS

Gaussiano.

En los tres últimos sistemas

mencionados, el sistema de cantidades y

el correspondiente sistema de ecuaciones

son a menudo diferentes a aquellos

usados por el SI.

El CGPM considera que en general, es

preferible no usar con el SI, las unidades

CGS que tienen nombres especiales que

se citan en el cuadro siguiente.

unidades cgs con nombres especiales

nombre valores en el SI

erg erg 1 erg = 10-7 J

dina dina 1 dina = 10-5 N

poise P 1 P = 0,1 Pa s

stokes St 1 St = 10-4 m2 / s

gauss Gs, G 1 Gs = 10-4 T

oersted Oe 1 Oe = (1000/4π)A/m

maxwel Mx 1 Mx = 10-8 Wb

stilb sb 1 sb = 104 cd / m2

fotón ph 1 ph = 104 lx



1.4 Definiciones básicas.

Antes de continuar es necesario que nos

pongamos de acuerdo sobre algunas

definiciones fundamentales. Lo que a

continuación se describirá, son los

significados y conceptos básicos que

requiere el estudio de la física en lo que a

mecánica clásica se refiere, cuidando de

que sean operacionales y lo más

asequibles que se pueda, sin sacrificar el

rigor. No se pretende aquí cubrir todas

las definiciones y es probable que algunas

de ellas contengan algunos conceptos aún

no discutidos, aunque de fácil

comprensión por ser muy intuitivos; estos

serán más adelante explicados inextenso.

Materia:

El concepto de materia, como veremos

frecuentemente en la física con otros

conceptos, no es definible ni posible de

describir; la noción de ella nos llega a

través de los sentidos (es sensorial). Se

dice que es todo aquello que afecta a

alguno de nuestros sentidos y goza de las

propiedades: extensión, impenetrabilidad,

inercia, gravedad, divisibilidad,

compresibilidad, elasticidad, dilatabilidad

(y otras tales como la dureza, la

ductilidad, la maleabilidad, la fragilidad,

la transparencia, la opacidad, etc.) y

puede presentarse en fase sólida, líquida

o gaseosa.

Cuerpo:

Toda porción limitada de materia; ligado

por tanto al concepto de materia dotada

de forma y tamaño (ejemplo: un libro, una

piedra, etc.). Los cuerpos pueden

agruparse en especies de acuerdo a la

materia de los que están hechos,

tomando cada especie el nombre de

sustancia (ejemplo: azufre, cobre, papel,

etc). Desde el punto de vista químico,

los cuerpos se pueden dividir en simples

(dotados de una sola clase de materia;

ejemplo; plata, cobre, etc.) y compuestos

(dotados de más de una clase de materia;

ejemplo: yeso, compuesto de azufre,

oxígeno y calcio).

Extensión:

Por extensión se entiende la propiedad de

los cuerpos de ocupar una determinada

porción del espacio, fija o variable, según

su fase, mensurable o no por métodos

geométricos, según su forma, y que

permanece constante en la fase sólida y

líquida, y variable en la gaseosa. En la

extensión se admiten tres dimensiones:



longitud (o largo), latitud (o ancho) en una

dirección perpendicular a la anterior, y

grueso (altura o profundidad), en una

dirección perpendicular al plano de las

otras dos.

Impenetrabilidad:

Los cuerpos son impenetrables,

entendiéndose por esto que un lugar del

espacio no puede ser ocupado al mismo

tiempo por más de un cuerpo. En los

gases parece haber un contraejemplo,

pero en tal caso debemos recordar que

siendo muy grande la distancia entre dos

moléculas del mismo, pueden mezclarse,

pero donde existe una molécula, no puede

haber otra del otro gas.

Gravedad:

Toda la materia atrae a la restante

materia que lo rodea, siendo a la vez

atraído por las otras. La gravedad, que

es muy evidente entre la Tierra y los

pequeños cuerpos (comparados con ella)

que están en su cercanía, existe también

entre estos pequeños cuerpos, solo que no

es evidente a nuestros sentidos.

Inercia:

La propiedad de la materia de no poder

cambiar por si misma su velocidad.

Divisibilidad:

Toda materia es divisible, siendo

necesario en algunos casos mayor

esfuerzo que en otros, pero los cuerpos

finalmente pueden dividirse en cuerpos

de menor tamaño.

Compresibilidad:

Se puede reducir el volumen de todos los

cuerpos a través de la presión. Los gases

son muy compresibles, los líquidos son

muy poco compresibles y los sólidos

poseen compresibilidades de diferente

grado.

Elasticidad:

Resistencia de la materia a cambiar de

forma a los que se trata de someterla,

tendiendo a recuperar la forma primitiva

después de cesar la causa que producía la

deformación. Aquellos cuerpos que son

capaces de recuperar su forma primitiva

exacta, se denominan perfectamente

elásticos, y aquellos cuerpos que se

quedan deformados, incapaces de

recuperar ni un ápice su forma, se



denominan perfectamente inelásticos

(ambos cuerpos son ideales; en la

naturaleza solo existen cuerpos elásticos

e inelásticos, siendo posibles definirlos en

la medida en que su comportamiento se

asemeja a los ideales).

Dilatabilidad:

Al calentar un cuerpo, cambia su volumen,

aumentando en la gran mayoría de los

casos, con excepción de algunas

sustancias en algunos rangos de

temperatura (ejemplo: el agua entre 0 y

4ª Celsius se contrae).

Fuerza:

Todo lo que es capaz de cambiar la

velocidad de un cuerpo y/o deformarlo.

Fenómenos físicos y químicos:

Se entiende por fenómeno a cualquier

alteración o cambio de un cuerpo o

sistemas de cuerpos (un simple

movimiento, la combustión de la madera,

la ebullición del agua, etc). Todo

fenómeno obedece a un cierto número de

causas, que son antecedentes

indispensables para la aparición de aquel.

Los fenómenos pueden clasificarse

aproximadamente en grupos tales como

fenómenos físicos, fenómenos químicos,

fenómenos fisiológicos, etc., de los cuales

nos interesan particularmente los dos

primeros. Se puede caracterizar

aproximadamente a los fenómenos físicos

por no dar lugar a cuerpos nuevos, vale

decir, por no alterar la sustancia que

forma los cuerpos en que se manifiesta,

persistir solamente mientras dura la

causa que lo produce y ser

aproximadamente reversible en general

(si se calienta una varilla aumenta su

volumen, pero desaparecida la causa que

dio lugar al cambio, la varilla recupera su

forma inicial). Los fenómenos químicos en

cambio, se caracterizan por dar lugar a

cuerpos nuevos, persisten después de

cesar la causa que los producen y son

irreversibles en general (si quemamos la

varilla, aparecen cuerpos a resultado de

la combustión, cuyas propiedades son muy

distintas a las de la madera).

Constitución de la materia:

La materia no está formada por un todo

continuo, sino está constituida por

elementos separados unos de otros por

espacios desprovistos de materia. De no

admitirse esto, no podría comprenderse

la razón por la cual son compresibles

todos los cuerpos si a la vez son



impenetrables. Cuando se divide un

cuerpo por cualquier método, en general

se observa un límite para esa división,

pasado el cual aparecen cuerpos con

propiedades distintas a la del cuerpo que

se divide; este límite se denomina

molécula.

Una molécula es la menor porción de un

cuerpo que puede existir libre con todas

las propiedades generales del mismo.

Todos los cuerpos están formados por

moléculas agrupadas unas con otras con

una fuerza llamada cohesión, que se

ejerce entre cada molécula y las

circundantes, a través de espacios que las

separan, denominados espacios

intermoleculares, mayores en general, que

las mismas moléculas.

Las moléculas son invisibles y casi

siempre complejas, es decir, compuestas

de otros elementos más pequeños (para

entender el orden de magnitud, citaremos

que el diámetro de una molécula está en

el orden de 10-8cm. Si consideramos una

molécula de hidrógeno, cuyo diámetro es

de 2,4x10-8 veremos que 1cm3 en

condiciones normales de temperatura y

presión contiene 27x1018 moléculas). Las

moléculas de un cuerpo están dotadas de

movimiento alrededor de una cierta

posición de equilibrio (movimiento

Browniano).

Fraccionada la molécula, aparecen

cuerpos nuevos, denominados átomos, los

que no pueden a su vez dividirse por

medios químicos.

Un átomo es la menor porción de un

cuerpo que puede trasladarse íntegra en

las transformaciones químicas. Los

átomos están unidos mediante una fuerza

denominada afinidad, para constituir las

moléculas, existiendo entre ellas espacios

interatómicos mucho mayores que los

mismos átomos. Existen un poco más de

100 clases de átomos distintos.

Los átomos al reunirse para formar las

moléculas pueden hacerlo con otros de la

misma clase o de clases distintas, dando

lugar a la formación de moléculas simples

o compuestas respectivamente. Así, un

átomo de hidrógeno forma una molécula

simple al unirse a otro átomo de

hidrógeno, pero forma una molécula

compleja al unirse dos átomos de

hidrógeno y uno de oxígeno.

No corresponde aquí continuar con la

división de la materia, aunque se puede

citar el hecho de que el átomo a su vez



puede a su vez fraccionarse en núcleo y

electrones. El núcleo se ubica en la

región central del átomo y en la región

exterior se encuentra el conjunto de

electrones.

El núcleo está compuesto por los

nucleones, o sea los protones y los

neutrones. A su vez, cada nucleón resulta

de la unión de 3 quarks.

En resumen, actualmente se conocen 6

niveles estructurales en la constitución

de todos los cuerpos: cuerpo, molécula,

átomo, núcleo, nucleón, quarks. Algunos

científicos consideran que existe una

nueva etapa según la cual los quarks

estarían formados por los preones, un

nuevo tipo de partícula elemental. En

definitiva, esta cuestión esta hoy en la

frontera del conocimiento, estimándose

que las subdivisiones podrían continuar,

haciendo el viaje hacia el interior de la

materia cada vez más parecido a un viaje

sin final.

27/01/2004 Jorge Lay Gajardo. [email protected] 64

2.1 Vectores.


Cuando queremos referirnos al tiempo

que demanda un suceso determinado, nos

basta con una magnitud (se demoró 3

segundos, saltó durante 1 minuto, volverá

el próximo año, etc.). Existen muchas

magnitudes físicas que pueden

describirse perfectamente de esta

manera simple, y que reciben el nombre

de escalares.

Son escalares el tiempo, la masa, la

densidad, el volumen, la temperatura y

otras magnitudes que luego definiremos

apropiadamente.

También existen magnitudes como el

desplazamiento, la fuerza, la aceleración

y otras, que para quedar perfectamente

descritas necesitan dirección, además de

la magnitud (¡camine 5 metros!, es una

solicitud muy ambigua que puede conducir

a una posición final distinta para cada

persona que la reciba; en cambio, ¡camine

5 metros por Alameda hacia el Este!

producirá exactamente el efecto

requerido).

Estas magnitudes se denominan

vectoriales, y operan según el Álgebra

Vectorial que recordaremos brevemente

a continuación.

2.1.2 Vector.

Lo definiremos como elementos que

poseen tres atributos: magnitud y

dirección.

Los vectores son elementos abstractos,

pero pueden representarse en el espacio

a través de segmentos dirigidos (flechas)

cuya longitud y dirección son

proporcionales a las de los vectores

representados.

origen extremo

A

Fig 2. 1 Representación gráfica de un vector



2.1.3 Vectores equipolentes.

Dos vectores son equipolentes si son

iguales sus respectivas magnitudes

direcciones y sentidos. Esta definición,

que implica que un vector puede estar en

cualquier punto del espacio sin alterar sus

características, define a los vectores

libres.

A

D

CB

Fig 2. 2 Vectores equipolentes: A=B=C=Dr rrr

2.1.4 Vectores opuestos.

Dos vectores son opuestos cuando sus

magnitudes son iguales y sus direcciones

son opuestas.

A

B

Fig 2. 3 Vectores opuestos: A=- Brr

2.1.5 Ponderación de Vectores.

El producto entre un escalar m y un

vector Ar se conoce como ponderación del

vector.

A

B

A

Fig 2. 4 Ponderación de vectores: B=2Ar r

2.1.6 Suma gráfica de vectores.

Gráficamente la suma o RESULTANTE de

vectores se obtiene uniendo

sucesivamente los extremos y orígenes de

ellos, como se muestra en la figura. El

vector suma o resultante se obtiene

uniendo el primer origen con el último

extremo.

C

B

AR

Fig 2. 5 Resultante: A + B + C = Rrr rr

En el caso de dos vectores este

procedimiento produce un triángulo

formado por los vectores y la resultante.

Otra forma gráfica de sumar dos

vectores consiste en unir los orígenes y

trazar líneas auxiliares paralelas a los

vectores, que pasen por el extremo del

otro.



La resultante es el vector que une los

orígenes comunes con la intersección de

las paralelas auxiliares (método del

paralelógramo).

A

B

R

Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelógramo

Note que el orden de la suma no afecta el

resultado, mostrando que es conmutativa:

A B B A+ = +r rr r

Si sumamos los vectores A, B y Crrr

de la

figura anterior a través del método del

paralelógramo, veremos claramente que:

( ) ( )A B C A B C+ + = + +r rr rr r

Mostrando que la suma es asociativa (se

recomienda comprobarlo gráficamente).

Por otra parte, es innecesaria la

definición de resta, pues claramente

A - Brr

es la suma de Ar

y el opuesto deBr

.

( )A - B A - B= +r rr r

-B

AR`

Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto

Si consideramos el paralelógramo que

resulta de los vectores Ar

y Br

y las

paralelas auxiliares, observamos que la

suma y la resta de ambos vectores

constituyen gráficamente las diagonales

mayor y menor respectivamente.

A

B

A + B

A - B

Fig 2. 8 Suma y resta gráfica de vectores.

2.1.7 Vector unitario.

Se define como un vector cuya magnitud

es la unidad y cuya dirección y sentido

son las del vector sobre el que está

definido.

Si consideramos un vector Ar

cuya

magnitud es A, existe un vector unitario

A en la dirección deAr

, tal que:



ˆA AA =r

Observe que entonces:

1 AA A A A

= =r

r

A

AAA =

Fig 2. 9 Vector Unitario en la dirección de Ar

2.1.8 Vector nulo.

Vector cuya magnitud es cero.

Gráficamente es representado por un

punto.

2.1.9 Componente de un vector.

La proyección ortogonal de un vector

sobre una recta es una cantidad que se

denomina componente (es un escalar).

Esta se determina como la magnitud del

segmento de la recta comprendido entre

dos rectas perpendiculares a ella, y que

pasan por el origen y el extremo del

vector respectivamente.

A

AL

L

Fig 2. 10 Componente de Ar

sobre la recta L

Vectores en el plano coordenado

cartesiano.

Un vector puede definirse en el plano

cartesiano, conformado por dos líneas

perpendiculares denominadas ejes.

Al eje horizontal se le denomina

ABSCISA y se identificará con una letra

mayúscula (usualmente X, aunque en física

será una letra que represente una

magnitud física), mientras que al eje

vertical se le denominará ORDENADA

(identificado por la letra Y, o una

magnitud física).

X

Y

X0 X1

Y1

Y0

Fig 2. 11 Vector en el plano coordenado cartesiano



El dibujo anterior muestra el primer

cuadrante de este plano (que contiene los

semiejes positivos de X e Y), dividido en

cuatro partes.

Note que (X1–X0) es la componente del

vector sobre el eje X; y que (Y1–Y0) es la

componente del vector sobre el eje Y.

El origen del vector puede indicarse con

propiedad a través de su ubicación en el

plano, pues se encuentra en el punto

(X0,Y0), mientras el extremo se encuentra

en el punto (X1, Y1).

2.1.10 Vectores unitarios en el plano

Resulta útil definir vectores unitarios

cuyas direcciones y sentidos sean las de

los semiejes positivos del plano

cartesiano, direcciones que ocuparemos

como referencia en el futuro.

Al vector unitario en dirección de +X se

le define como i , mientras que al vector

unitario en dirección de +Y se le define

como j .

Vectores en el espacio coordenado

cartesiano.

En el espacio un vector tiene tres

componentes, pues a las anteriores debe

agregarse aquella que proyectará en el

tercer eje, denominado eje Z.

El espacio coordenado cartesiano está

conformado por tres rectas

perpendiculares entre sí

(trirectangulares) denominados ejes X,

Y,Z habitualmente, como se muestra en

la figura siguiente. Allí se muestra el

primer octante (las tres rectas dividen el

espacio en 8 partes iguales), octante

denominado positivo, pues contiene los

tres semiejes positivos.

AZ

AX AY

X

Z

A

Fig 2. 12 Proyecciones de un vector en el espacio

Como se ve en esta figura, un vector que

no se encuentra ubicado en alguno de los

planos cartesianos (XY, XZ o YZ),

proyecta tres componentes, cuyas

magnitudes son:



AX=(X1–X0),

AY = (Y1 – Y0)

AZ = (Z1 – Z0)

Note que aquí el plano XY se encuentra en

el piso.

Finalmente, se puede definir un vector

unitario en dirección y sentido del

semieje positivo de Z, que se define

usualmente como k .

Este versor, junto a los versores ˆ ˆi, j del

plano XY forman un trío de versores

trirectangulares.

X

Z

Yi

k

j

Fig 2. 13 Versores trirectangulares

2.1.11 Componentes cartesianas de un

vector.

Ahora estamos en condiciones de

encontrar relaciones analíticas para

trabajar con los vectores, prescindiendo

de las representaciones gráficas, que si

bien es cierto prestan mucha ayuda

didáctica, nos confundirán cuando

trabajemos con magnitudes físicas, pues

se tiende a relacionar la longitud del

dibujo de un vector con su magnitud.

Consideremos un vector libre en el plano

XY, representado con su origen en el

origen del sistema cartesiano de

coordenadas para simplificar el análisis;

representemos gráficamente además, sus

componentes cartesianas y sus versores:

A

X

Y

AY

AX

j

i

Fig 2. 14 Vector en el plano; componentes y versores

En virtud de lo previamente definido, se

puede suponer la existencia de dos

vectores ficticios (que llamaremos



vectores componentes), tales que

sumados tengan al vector Ar

como

resultante.

El vector componente situado en la

abscisa tiene magnitud equivalente a AX

y dirección i , mientras el vector

componente situado en la ordenada tiene

magnitud equivalente a Ay y dirección j .

A

X

Y

AX

AY

Fig 2. 15 Vectores componentes

Aquí resulta claro que: X YA A +A=r r r

Y si recordamos nuestra definición de

versor tenemos que:

X

X

Ai=A

r

por lo que X x Â =A i

r

Y

Y

Aj=A

r

por lo que Y Y Â =A j

r

Entonces el vector Ar

puede escribirse

como:

X Yˆ Â = A i A j+

r

( X Y Zˆˆ Â=A i + A j+A k

r; en el espacio)

Esta nos será muy útil para encontrar una

forma más analítica de sumar vectores,

como se verá a continuación.

2.1.12 Suma de Vectores en función

de sus componentes.

Supongamos la los vectores A y Brr

en el

plano XY como en la figura siguiente.

Como son vectores libres, los hemos

dibujado de manera tal que el extremo de

Ar

coincida con el origen de Br

, con lo que

la suma de ambos se puede obtener

gráficamente uniendo el origen de Ar

con

el extremo deBr

, como ya sabemos. A

esta resultante le denominaremosRr

.

A

X

Y

AX

AY

BBY

BX

RRY

RX

Fig 2. 16 Suma de vectores y sus componentes



Entonces las componentes de Rr

son la

suma aritmética de las componentes de

los vectores A y Brr

.

X X XR A B= +

Y Y YR A B= +

Por lo que:

X X Y Yˆ ˆR (A +B )i +(A +B )j =

r

Si el vector estuviese en el espacio, por

extensión, se encuentra que:

X X Y Y Z Zˆˆ ˆR (A + B )i+ (A B )j (A B )k= + + +

r

Esta expresión es válida para la suma de

varios vectores, pues en ese caso a cada

dimensión se le agregarán los términos

correspondientes a las componentes de

los nuevos vectores.

Del mismo modo, la expresión permite

restar vectores, pues como hemos visto,

la resta corresponde a la suma del

opuesto.

Ejemplo 2.1

Sean los siguientes vectores:

ˆˆ Â 3i 4j 2k= + +r

; ˆˆ ˆB=i 3j-5k+r

Encontrar:

a) A B+r v

b) A B−r v

c) 2 Ar

Solución:

a) ( ) ( ) ( ) ˆˆ Â B= 3 1 i 4 3 j 2- 5 k+ + + + +rr

ˆˆ Â B= 4i 7j-3k+ +rr

Pues la resultante se obtiene sumando las

componentes respectivas.

b) ( ) ( ) ( ) ˆˆ Â (- B) 3 1 i 4 3 j 2 5 k+ = − + − + +rr

ˆˆ Â (-B) 2i j 7k+ = + +rr

Pues la resta no es más que la suma del

opuesto.

c) ˆˆ ˆ2A 6i 8j 4k= + +r

2.1.13 Notación polar.

En muchas ocasiones nos veremos

enfrentados a la necesidad de calcular o

referirnos a los vectores en función de su

magnitud y dirección directamente. Para

ello recurriremos a la notación polar, que

da cuenta de su magnitud a través de su

módulo y a su dirección a través de un



ángulo respecto de una recta de

referencia.

Consideremos un vector en el plano

coordenado cartesiano, como se ve en la

figura siguiente:

A

X

Y

AX

AY

θ

Fig 2. 17 Componentes cartesianas y polares

La dirección y sentido del vector pueden

indicarse a través de un ángulo, que

usualmente es el ángulo entre el vector y

el semieje positivo de la abscisa y su

magnitud, a través del módulo del vector;

analíticamente:

Ar

=(A,θ)

Las componentes cartesianas se pueden

encontrar fácilmente a través de las

polares mediante las expresiones:

AX = A cos θ

AY = A sen θ

Del mismo modo, conocidas las

componentes cartesianas, se pueden

calcular las polares a través de las

expresiones:

A2 = AX2 + AY

2

θ = arctg Y

X

AA

Ejemplo 2.2

Sea Ar

un vector de módulo 5 y dirección

37º respecto de +X situado en el plano

XY. Encontrar sus componentes

cartesianas.

Solución: Se tiene que A=5 y θx=37º.

Por tanto:

AX=5cos37º=5(0,8)=4

AY=5sen37º=5(0,6)=3

Si suponemos que el origen está en el

punto (0,0) del sistema de coordenadas,

entonces el extremo del vector estará en

el punto (4,3)

X

Y

4

3

37º

A = 5

Fig 2. 18 Representación gráfica del vector del ej. 2



Note que si el origen del vector estuviera

por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el

extremo estaría en el punto (6,4) pues

sus componentes cartesianas son AX=4 y

AY=3.

Fig 2. 19 Componentes del vector del ej. 2

Ejemplo 2.3

Sea Br

un vector cuyas componentes

cartesianas son BX=10 y BY=5 situado en

el plano XY. Encontrar su magnitud y

dirección.

Solución: Se tiene que Bx=10 y BY=5.

Por tanto: B2=102+52; B = 11,2

5rctg 26,6º10

⎛ ⎞θ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

2.1.14 En el espacio

En el espacio la dirección queda

determinada cuando se conocen los

ángulos respecto de los tres ejes. La

figura siguiente muestra los ángulos

directores:

Fig 2. 20 Un vector en el espacio.

Aquí se ve que los ángulos directores θX,

θY, θZ determinan la dirección. La

magnitud corresponde el módulo del

vector (A).

El vector se puede representar

analíticamente a través de su módulo A y

de sus ángulos directores θX; θY; θZ

Muy importantes son las siguientes

relaciones extraídas de la figura

anterior:

cos θX = XAA

cos θY = YAA

cos θZ = ZAA

Denominados cosenos directores,

permiten calcular las componentes

1

4

62

3

4

X

Y



cartesianas a partir de la magnitud y los

ángulos directores, pues de ellos se tiene:

AX = A cos θX

AY = A cos θY

AZ = A cos θZ

Dadas las componentes cartesianas se

pueden conocer la magnitud y los ángulos

directores a través de las siguientes

relaciones, provenientes también de los

cosenos directores:

θX = arccos XAA

θY = arccos YAA

θZ = arccos ZAA

El módulo se puede calcular a través de la

expresión:

A2=AX2+AY

2+AZ2

Ejemplo 2.4

Consideremos el vector ˆˆ ˆC=3i-6j+2kr

ubicado en el espacio coordenado

cartesiano. Encontrar su magnitud y

dirección.

Solución: Se tiene que CX=3, CY=-6 y

CZ=2 . Podemos calcular su magnitud:

C2=32+(-6)2+ 22= 49

Por lo tanto su magnitud es: C=7

Y sus direcciones:

θx=arcos 37

=64,6º

θy=arcos 6 7− =149 º

θz=arcos 27

=73,4º

2.1.15 Productos entre Vectores.

Existen dos formas de multiplicar

vectores, siendo una denominada

producto escalar (interno o de punto) y la

otro producto vectorial (exterior o de

cruz), puesto que ofrecen como resultado

un escalar y un vector respectivamente.

Producto Escalar.

Dados dos vectores Ar

yBr

, su producto

escalar se define como el producto de sus

módulos por el coseno del ángulo que

forman.

Ar•Br

=ABcosθ (π≥θ≥0)

La definición de producto escalar tiene

aplicaciones muy relevantes, pues permite



expresar magnitudes muy importantes

para la física en forma muy sencilla.

Las propiedades del producto escalar son:

1.- A B=B A• •r rr r

(Conmutatividad)

2.- ( )A B+C =A B+A C• • •r rr rr r r

(Distributividad

respecto de la suma).

3.- ( ) ( ) ( )m A B = mA B=A mB• • •r r rr r r

siendo m

un escalar.

Aplicaciones:

1.- 2A A=A•r r

El producto escalar entre un vector y si

mismo, constituye el cuadrado del vector,

y corresponde al cuadrado de su módulo.

Esto se debe a que si aplicamos la

definición, tenemos:

Ar•Ar

=AAcos0º=AA(1)=A2

2.- i • i =1 j • j =1 k • k =1

Por las razones expuestas en el punto 1.

3.- Si dos vectores son perpendiculares,

entonces según la definición se tiene:

Ar•Br

=ABcos90º=AB(0)= 0

Esta es condición de perpendicularidad.

4.- De acuerdo a lo anterior, entonces:

i • j =0 j • k =0 i • k =0

pues los vectores unitarios i , j , k forman

un sistema trirectangular.

5.- Ahora estamos en condiciones de

encontrar una expresión que permita

multiplicar escalarmente dos vectores

expresados en coordenadas cartesianas.

Sean los vectores:

x y zˆˆ Â=A i A j A k+ +

r; x y z

ˆˆ ˆB=B i B j B k+ +r

Si queremos multiplicarlos escalarmente,

tenemos, recordando la propiedad de

distributividad del producto escalar

respecto de la suma de vectores:

( ) ( )x y z x y zˆ ˆˆ ˆˆ Â B A i A j A k B i B j B k• = + + • + +

rr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

ˆˆ ˆ ˆ ˆÂ B A B i i A B i j A B i k

ˆˆˆ ˆ ˆ Â B j i A B j j A B j k

ˆ ˆ ˆ ˆˆ Â B k i A B k j A B k k

• = • + • + • +

+ • + • + • +

+ • + • + •

rr

Por tanto:

x x y y z zA B A B A B A B• = + +rr



Ejemplo 2.5

Sean los vectores: ˆˆ ˆA=3i+4j+2kr

;

ˆˆ ˆB=i+3j-5kr

. Encontrar su producto

escalar.

Solución: De acuerdo a la definición, se

tiene:

A B•rr

=(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5

Ejemplo 2.6

Dados los vectores del ejercicio anterior,

calcular el ángulo entre ellos.

Solución: De acuerdo a la definición de

producto escalar, se tiene que:

A B•rr

=ABcos θ

Donde θ es el ángulo entre los vectores

que nos solicitan. Por lo tanto:

θ=arcos A BAB•rr

note que aquí AB es el producto entre las

magnitudes de los vectores Ar

y Br

respectivamente. Entonces:

A2=32+42+22 A=5,4

B2=12+32+(-5)2 B=5,9

A B•rr

=5 según el ejercicio 2.5.

Así que:

θ=arcos( )( )

55,4 5,9

=arcos0,16= 81º

Producto Vectorial

Sean los vectores Ar

y Br

; entonces su

producto vectorial se define como:

Ar

XBr

= (ABsenθ) u (π≥θ≥0)

Donde A y B son las magnitudes de los

vectores Ar y B

r respectivamente; θ es el

ángulo que forman ambos vectores y u es

un vector unitario cuya dirección es

perpendicular al plano que forman Ar yBr

.

θ

B

u

A

A X B

Fig 2. 21 Producto vectorial

Entonces el vector A B×rr

es un vector

libre, perpendicular al plano Ar

Br

, cuya

magnitud es (A B sen θ) .

Los vectores Ar

, Br y A B×

rr forman un

trío a derechas (un sistema dextrosum),



lo que quiere decir que la dirección A B×rr

es la que indica el dedo pulgar de la mano

derecha cuando esta se cierra desde el

vector Ar

hacia el vectorBr

, en el plano

Ar

Br

.

B

A

A X B

Fig 2. 22 Regla de la mano derecha.

Las propiedades del producto vectorial

son:

1.- A B×rr

= B A− ×r r

Anticonmutatividad

2.-Ar

x(Br

+ Cr

)=Ar

xBr

+Ar

x Cr

Distributividad respecto de la suma).

3.- m(Ar

xBr

)=(mAr

)xBr

=Ar

x(mBr

) siendo m

un escalar

Aplicaciones:

1.- Si los vectores Ar

y Br

son paralelos,

entonces, por definición:

A B×rr

=(ABsen0º) u = 0r

Esta es condición de paralelismo.

2.- i X i = 0r

; j X j = 0r

; k X k = 0r

Según la aplicación anterior.

3.- También se tiene aplicando la

definición que:

i X j =(1)(1)(sen90º) k = k

j X k =(1)(1)(sen90º) i = i

k X i =(1)(1)(sen90º) j = j

Y según la propiedad de

anticonmutatividad:

j X i =- k

k X j =- i

i X k =- j

El gráfico siguiente resume lo

encontrado, proporcionando además una

buena forma de recordarlo en el futuro.

Fig 2. 23 Producto vectorial entre versores.

Note que el producto vectorial entre 2

versores es el tercer versor, y es positivo

cuando el producto sigue la dirección de

i

k

j



las flechas en el gráfico, es decir, cuando

el sentido es contrario al movimiento de

las manecillas de un reloj (sentido

antihorario).

4.- Ahora estamos en condiciones de

encontrar una expresión que permita

encontrar el producto vectorial para

vectores que están expresados en función

de sus componentes rectangulares

(cartesianas) y sus respectivos versores.

Sean los vectores:

Ar

=AX i +AY j +AZ k y Br

=BX i +BY j +BZ k .

Si queremos multiplicarlos

vectorialmente, tenemos, recordando la

propiedad de distributividad del producto

vectorial respecto de la suma de

vectores:

Ar

XBr

=(AX i +AY j +AZ k )X(BX i +BY j +BZ k )

=AXBX( i X i )+AXBY( i X j )+AXBZ( i X k )+

+AYBX( j X i )+AYBY( j X j )+AYBZ( j X k )+

+AZBX( k X i )+AZBY( k X j )+AZBZ( k Xk )

reemplazando los productos vectoriales

entre paréntesis, se tiene:

Ar

XBr

=AXBY k +AXBZ(- j )+AYBX(- k )+

+AYBZ i +AZBX j +AZBY(- i )

Ar

XBr

=(AYBZ–AZBY) i +(AZBX–AXBZ) j +

+(AXBY-AYBX) k

Que equivale al desarrollo del

determinante siguiente:

X Y Z

X Y Z

ˆˆ ˆi j kA B A A A

B B B× =rr

5.- La magnitud del producto vectorial es

numéricamente igual que el área del

paralelógramo formado por los vectores

multiplicados y las paralelas que pasan por

sus extremos.

Para mostrar esto, consideraremos la

figura siguiente, que muestra dos

vectores unidos por el origen y las

paralelas a ellos.

θB

AAB sen θ

A sen θ

B

Fig 2. 24 Área del paralelogramo formado por 2 vectores.

El área de este paralelógramo se calcula

multiplicando la base (B) por la altura

(Asenθ):



Area=BAsenθ

Que es igual a la magnitud del producto

vectorial entre los vectores Ar

yBr

.

Note que el área del triángulo formado

por los vectores y alguna de sus

diagonales es justamente la mitad del

área calculada.

Ejemplo 2.7

Encontrar el producto vectorial entre los

vectores:

ˆˆ Â=3i+4j+2kr

; ˆˆ ˆB=i+3j-5kr

.

Solución: de acuerdo a la definición se

tiene:

ˆˆ î j kA B 3 4 2

1 3 5× =

−

rr

( ) ( ) ( ) ˆˆ ÂXB= -20-6 i 15 2 j 9 4 k− − − + −rr

ˆÂXB=-26i 17j 5k+ +rr

Ejemplo 2.8

Encontrar un vector unitario

perpendicular al plano formado por los

vectores del ejemplo 7.

Solución: Según la definición de producto

vectorial se tiene que:

ÂXB= AXB ur rr r

De donde:

A BuA B

×=

×

rr

rr = ˆˆ ˆ-26i 17j 5k

676 289 25+ +

+ +

ˆˆ ˆ-26i 17j 5 k ˆˆ û 0,83i 0,54 j 0,16k31,5+ +

= = − + +

Que es el vector solicitado, cuya

magnitud es 1 y dirección es la del vector

A B×rr

.



2.1.16 Ejercicios resueltos de

vectores.

Ejercicio 2.1.- Dos vectores Ar y B

r

de 3 y 5 unidades de magnitud

respectivamente, forman un ángulo de

37º. Determine analíticamente la

magnitud de la resultante y de la

diferencia entre ambos vectores.

Solución:

La resultante (R= A+Br rr

) así como la

diferencia o la suma del opuesto

(D= A-Br rr

) se puede ver en forma gráfica

en la figura siguiente:

A

37º

A

B

B

R= A + B

37º

A

B

D= A - B

37º

180º - 37º

Entonces aplicando el teorema del coseno

R2=A2+B2–2ABcos(180º-37º)

R2=9+25–2(3)(5)(- 0,8)

R=7,6

y la diferencia es:

D2=A2+B2–2ABcos(37º)

D2=9+25–2(3)(5)(0,8)

D=3,2

Ejercicio 2.2.- Hallar el vector

resultante entre los vectores Ar y B

r de 4

y 3 unidades de magnitud

respectivamente, que forman un ángulo de

60º entre ellos.

Solución:

En la siguiente figura se observan los

vectores y sus ángulos:

θ

B

A120º

R = A + B

La magnitud de la resultante se puede

calcular con el teorema del coseno:

R2=A2+B2–2ABcos120º

R2=14+9–2(4)(3)cos 120º

R=6,1



El ángulo entre la resultante y el vector

Ar

se puede calcular con el teorema del

seno:

sen sen120ºB R

θ=

sen 0,873 6,1

θ=

θ=arcsen0,43=25,5º

Ejercicio 2.3.- Un avión se mueve

hacia el norte con una rapidez de 30 Kmh

,

cuando es sometido a la acción del viento

que sopla con rapidez de 40 Kmh

en

dirección este. Encontrar el movimiento

resultante del avión.

Solución:

En este problema se trabaja con la

magnitud vectorial denominada

velocidad.

Para nosotros sin embargo, solo será un

vector en este momento, y por tanto, la

velocidad resultante no será más que la

suma de los vectores velocidad

correspondiente al movimiento del avión

propiamente tal, y la velocidad del viento.

En la siguiente figura se ilustra el

ejemplo:

V

VV

VA

θE

N

VA = velocidad del avión

VV = velocidad del viento

Entonces el vector velocidad del viento

será el vector: vKmˆV 40 ih

=r

mientras que

la velocidad del avión será: AKm ˆV 30 jh

=r

si consideramos que el plano geográfico

es el plano cartesiano XY.

De esta manera, la resultante debe ser:

( )Kmˆ ˆV= 40i+30jh

r

Cuya magnitud es

V2=(40 Kmh

)2+ (30 Kmh

) 2

V=50 Kmh

.

Que es la rapidez resultante con que se

moverá realmente el avión.

La dirección de la velocidad resultante

será:



θ=arctg A

V

VV

=arctg 30 kph40 kph

=36,9º

Es decir, la velocidad resultante tiene una

dirección de 36,9º medidos desde el este

hacia el norte (E36,9ºN).

Ejercicio 2.4.- Otra magnitud

física vectorial interesante es el

denominado desplazamiento.

Por desplazamiento se entiende el vector

de posición que une los puntos inicial y

final de un movimiento, sin importar la

forma del camino recorrido entre ambos.

Supongamos que dos personas caminan

perdidas por un desierto plano y hostil de

manera tal que finalizado cada día anotan

en su diario de viaje lo siguiente:

• Día 1: caminamos 30 kilómetros en

línea recta hacia el norte; no

encontramos agua.

• Día 2: hoy solo hemos logrado caminar

20 kilómetros en línea recta, en

dirección norte 37º hacia el este

(N37ºE); nos encontramos

extenuados. No encontramos agua.

• Día 3: Por fin hemos encontrado agua.

El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00

horas, luego de caminar en línea recta

durante 20 kilómetros hacia el sur.

Nos encontramos a salvo.

El relato anterior puede traducirse en

términos de los desplazamientos diarios y

del desplazamiento final en forma

analítica:

53º

D1

D2

D3

R

N (Y)

E (X)

Entonces los desplazamientos diarios son:

1Dr

=30Km j

2Dr

=20Km cos53º i +20Km sen53º j

2Dr

=12Km i +16Km j

3Dr

=20Km(- j )

Por tanto, el desplazamiento resultante

es

1 2 3R D D D= + +r r rr

ˆ ˆR=12Kmi+26Kmjr

´

Cuya magnitud es:



R2=(12Km)2+(26Km)2

R=28,6Km

y cuya dirección es:

θ=arctg 26 Km12 Km

=arctg2,17=65,3º

En otras palabras, si nuestros viajeros

hubiesen sabido la ubicación del pozo de

agua, habrían caminado solo 28,6Km en

línea recta, en dirección E65,3ºN.

Ejercicio 2.5.- Encontrar el valor de

a, de forma que Ar

y Br sean

perpendiculares.

ˆˆ ˆA=2i+aj+kr

; ˆˆ ˆB 4i -2j -2k=r

Solución:

La condición de perpendicularidad es que

el producto escalar entre ambos debe ser

cero:

Ar

•Br

=8–2a–2=0

De donde se obtiene a = 3

Ejercicio 2.6.- Hallar la proyección

del vector ˆˆ ˆA=i-2j+kr

sobre el vector

ˆˆ ˆB=4i-4j+7kr

Solución:

En la figura se observa la proyección

pedida

θ B

A

AB = A cos θ

De la definición de producto escalar se

tiene que:

A B=ABcos• θrr

Que se puede escribir como:

BA B=A B•rr

Ya que AB=Acosθ , como se observa en la

figura anterior.

En consecuencia:

BA BA

B•

=

rr

4 8 79

+ += =2,1



Ejercicio 2.7.- Dados los vectores

ˆÂ=2i-jr

; ˆˆB i k= +r

y ˆˆC=j+kr

, determinar:

a) Un vector unitario en la dirección del

vector A+B-3Crrr

.

b) Un vector perpendicular al plano

formado por los vectores Br

y Cr

.

c) Área del paralelógramo formado por

Ar

y Br

.

Solución:

a) A+B- 3 CuA+B-3C

=

rrr

rrrˆˆ ˆ3i-4j-2k

9+16+4=

ˆˆ ˆ3i-4j-2k5,39

=

u =0,56 i –0,74 j –0,37k

b) Pr

=Br

XCr

ˆˆ î j kˆˆˆ1 0 1 -i-j+k

0 1 1= =

c) El Área es el módulo del producto

vectorial entre Ar y B

r, por tanto:

ˆˆ î j kˆˆ Â B 2 -1 0 -i-2j+k

1 0 1× = =rr

AXB 2,4=rr

Ejercicio 2.8.- Dados los siguientes

vectores: ˆˆ Â=3i+2j+2kr

; ˆˆ ˆB i -3j 4k= +r

y

ˆˆ ˆC=2i+3j-kr

.

a) Determine analíticamente si Ar y B

r son

o no perpendiculares.

b) Calcular ( )A BXC•rrr

Solución:

a) Para ser perpendiculares deben cumplir

con la condición A B•rr

=0

A B•rr

=3–6+8=5

Luego no son perpendiculares.

b) La única interpretación posible de este

producto, denominado producto triple (y

que geométricamente representa el

volumen del paralelogramo cuyas aristas

son los vectores Ar

, Br y C

r) es la

operación ( )A BXC•rrr

) pues se tiene el

producto escalar entre los vectores Ar y

(BXCrr

).

En cambio la operación ( )A BXC•rrr

no

está definida pues es la multiplicación

vectorial entre un escalar (A B•rr

) y un

vector ( Cr

). Recordemos que el producto

vectorial está definido entre vectores.



Por tanto:

ˆˆ î j kˆˆ ˆBxC 1 -3 4 -9i+9j+9k

2 3 -1= =

rr

( ) ( )ˆ ˆˆ ˆˆ Â BXC= 3i+2j+2k 9i 9j 9k• • − + +rrr

A BXC=-27+18+18=9•rrr

Ejercicio 2.9.- Hallar los productos

siguientes:

a) ˆˆ2jX3k

b) ( )ˆˆ3iX -2k

c) ( ) ˆˆˆ2jXi -3k

Solución:

a) ˆ ˆˆ2jX3k=6i

b) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ3iX -2k = 3 -2 iXk 6k=

c) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ2jXi -3k=2 -k 3k 5k− = −

Ejercicio 2.10.- Demostrar que los

vectores: ˆˆ Â=2i+j-4kr

; ˆˆ ˆB i -3j 5k= +r

y

ˆˆ ˆC 3i -2j k= +r

forman un triángulo

rectángulo.

Solución:

En primer lugar hay que demostrar que

forman un triángulo, para lo que se

necesita que la resultante de dos de ellos

sea el tercero o que la resultante de los

tres sea el vector nulo, como se ve en la

figura siguiente.

C

A

BC

A

B

A + B = C A + B + C = 0

En segundo lugar, para que sea

rectángulo, el producto escalar entre dos

de ellos debe ser nulo.

En nuestro ejemplo, A+B=Crrr

por lo que son

un triángulo y A C•rr

=6–2–4= 0 por lo que

Ar ⊥ C

r.

Ejercicio 2.11.- Deducir el teorema

del seno.

Solución:

Suponer un triángulo formado por los

vectores de la figura.



C

A

B

θAB

θCA

θBC

α

β γ

Entonces A B C 0+ + =rr rr

Multiplicando vectorialmente por Ar

:

AxA AXB AXC AX0+ + =rr rr r r r r

AXB AXC 0+ =rr rr r

( i )

Si la multiplicamos vectorialmente por Br

:

BXA+BXB+BXC=BX0rr r r r r rr

BXA+BXC=0rr r rr

( ii )

si la multiplicamos vectorialmente por Cr

:

CXA CXB CXC 0+ + =r r r rr rr

CXA CXB 0+ =r r r rr

( iii )

De (i): AXB=CXArrr r

De (ii): BXA=CXBrr rr

De (iii): CXA=BXCr rr

Pues el producto vectorial es

anticonmutativo.

De donde se tiene:

AXB CXA BXC= =r rr rr r

Es decir:

AB senθAB u =CA senθCA u =BC senθBC u

por igualdad de vectores, se tiene:

AB sen θAB = CA sen θCA = BC sen θBC

y debido a que sen (180-θ)=senθ:

AB senγ=CA senβ=BC senα

Dividiendo por ABC:

sen sen senC B A

γ β α= =

Conocido con el nombre de teorema del

seno.

Ejercicio 2.12.- Deducir el teorema

del coseno.

Solución:

Suponer que se tiene un triángulo

formado por los vectores de la figura.

C

A

B

β

Entonces: C=A-Br rr



Elevando al cuadrado la expresión:

( ) ( )C C= A-B A-B• •r r r rr r

( ) ( ) ( ) ( )C C= A A - A B - B A + B B• • • • •r r r r r rr r r r

( ) ( ) ( )C •C A•A -2 A•B B •B= +r r r r rr r r

C2=A2+B2–Bcosβ

Conocido como teorema del coseno.


3.1 Movimiento.


El estudio del movimiento de los cuerpos

permite conocer y determinar muchos

otros aspectos, entre ellos: si está

interactuando con otros o si se encuentra

aislado, el tipo de interacción a la que se

encuentra sujeto, etc.

En esta unidad, sin embargo, lo

analizaremos sin que tengamos que

preocuparnos de la causa. Es lo que se

denomina un estudio cinemático y para

ello será necesario definir determinadas

variables con las cuales analizaremos

semejanzas y diferencias de

determinados tipos de movimiento que

tomaremos como modelo.

El movimiento no es un fenómeno tan

simple como parece, basta detenernos a

pensar en la respuesta a la pregunta

¿Cuando nos asiste la seguridad de que un

cuerpo se mueve?; quizás podamos

responder cuando vemos que su posición

no cambia pero ¿respecto de que?; Sin ir

más lejos al observar una lámpara colgada

desde el techo en una habitación

podríamos decir que está en reposo pero

ella gira, traslada, nuta, precede y

ejecuta varios otros movimientos junto

con nuestro planeta Tierra, por lo tanto

un mínimo de cautela nos hará decir que

está en reposo solo respecto de la

habitación.

De esta forma nos damos cuenta que es

importante precisar respecto de qué

estamos analizando el movimiento en

estudio, es decir, el sistema de

referencia espacial a considerar, la

medida del tiempo también es importante

y se requiere de un sistema de referencia

temporal. Para el primero, se pueden

escoger uno o más cuerpos, no obstante,

para simplificar nuestro análisis

escogeremos el sistema cartesiano

ortogonal de coordenadas XYZ como un

sistema idealizado de referencia el cual

será considerado arbitrariamente fijo y

dado que un sistema con estas



características no existe, todos los

movimientos en estudio son relativos;

para el segundo, un instante arbitrario

denominado habitualmente como inicial

cumplirá como referencial temporal. Al

mismo tiempo, nuestro estudio se

referirá a la partícula o punto como un

ente idealizado pero que permitirá un

análisis más simplificado en los

movimientos, a pesar de que podamos

utilizar ejemplos referidos a cuerpos de

dimensiones mayores lo haremos

pensando en que se trata de partículas,

es decir, de objetos cuyas dimensiones

sean mucho menores que las distancias

que los separan de otros similares.

Fig 3. 1 Un objeto grande comparado con el

hombre puede ser considerado una partícula si se lo compara con el planeta.

La posición de un punto P o partícula

referida a un sistema de referencia XYZ

(S) está determinada por el vector de

posición:

ˆˆ ˆr x i y j z k= + +r

Z

X

Yx i

y j

r = x i + y j + z k

z k

Fig 3. 2 Vector de posición de una partícula P

respecto de un sistema de referencia S.

Si la partícula P está en reposo respecto

de S, entonces las componentes x,y,z

serán constantes en cambio si está en

movimiento respecto de S estas se

modificarán en el tiempo; en general

puede afirmarse que en este caso dichas

componentes son funciones del tiempo.

En este caso la partícula describirá una

curva en el espacio, y de acuerdo con la

forma que tenga la curva podemos

clasificar los movimientos en:

Rectilíneos: Aquellos cuyo camino es una

recta, pueden describirse mediante uno

de los vectores siguientes si se mueven

en uno de los ejes cartesianos:

ˆr(t) x(t) i =r (y; z=ctes.)

ˆr(t) y(t)j=r (x; z=ctes.)

ˆr(t) z(t) k=r (x; y=ctes.)



Z

X

Yr = y j

Fig 3. 3 Partícula moviéndose rectilíneamente en

la dirección del eje y.

Entre los que analizaremos en este curso

están los movimientos rectilíneos

uniformes, acelerados y armónicos

simples.

Planos: Son aquellos cuya trayectoria es

una curva plana. Si se mueven en uno de

los planos cartesianos, pueden

describirse mediante vectores del tipo:

ˆ ˆr(t) x(t)i y(t)j = +r (z cte.)

ˆˆr(t) x(t)i z(t)k = +r (y cte.)

ˆˆr(t) y(t)j z(t)k= +r (x cte.)

Z

X

Y

r = y j + z k

Fig 3. 4 Pelota moviéndose en plano YZ.

De éstos estudiaremos el movimiento

parabólico y el circunferencial.

Curvilíneos en el espacio: Aquellos cuya

trayectoria es una curva en el espacio, se

describen con las tres componentes:

ˆˆ ˆr(t) x(t)i y(t)j z(t)k= + +r

Ejemplo de este tipo es el movimiento

helicoidal cuya trayectoria se denomina

hélice. Estos movimientos no serán

tratados en este curso.

3.1.2 Descripción del cambio en la

posición.

Se puede describir el cambio en la

posición a través de las cantidades

denominadas trayectoria y

desplazamiento.

Trayectoria.

Se denomina así a longitud de la curva que

queda determinada por todos los puntos

por los que pasa el cuerpo en su

movimiento.



Ejemplo 3.1. En la figura 3.5 se puede

observar una partícula que cambia de

posición entre los puntos A y B. Calcular

la trayectoria de los caminos:

a) AC b) CB c) ACB d) ADB e) AB

y (m)

A

BC

D

x (m)84

3

6

Fig 3. 5 Figura para el ejemplo 3.1.

Solución:

a) El camino AC es rectilíneo y tiene una

longitud de 3 m, por tanto la trayectoria

de la partícula es 3m.

b) El camino CB también es rectilíneo, en

consecuencia su trayectoria es de 4m.

c) El camino ACB no es rectilíneo, pues

está compuesto de las rectas AC cuya

longitud es 3m y CB cuya longitud es 4m.

En consecuencia la trayectoria del camino

ACB es de 7m.

d) El camino ADB no es rectilíneo y está

compuesto de las rectas AD cuya longitud

es 4m y DB cuya longitud es 3m. En

consecuencia la trayectoria del camino

ADB es de 7m.

e) El camino AB es rectilíneo y su longitud

es equivalente a la longitud de la

hipotenusa del triángulo ADB de catetos

4m y 3m. En consecuencia la trayectoria

del camino AB es de 5m.

Desplazamiento.

Se define el desplazamiento como el

vector cuya dirección es la que va desde

la posición fina hacia la posición final del

movimiento de la partícula.

Supongamos que en un instante t0 el

vector posición del móvil P sea 0rr y que en

otro instante posterior t su posición esté

determinada porrr , entonces se define el

vector desplazamiento en el lapso entre

t0 y t como:

0r r - r∆ =r r r

x

y

∆rr

r0

t0

t

Fig 3. 6 Vector desplazamiento.



Es decir, dos partículas pueden moverse

entre dos puntos empleando caminos

distintos, pero con igual desplazamiento.

Z

X

Y

camino A

camino B

desplazamiento

Fig 3. 7 Caminos distintos, igual desplazamiento.

Ejemplo3.2. Calcular los desplazamientos

para los siguientes caminos de la figura

3.5.:

a) AC b) CB c) ACB d) ADB e) AB

Solución:

a) El camino rectilíneo AC produce un

desplazamiento equivalente al vector:

ACˆr - r 3jm=

r r .

La magnitud de este vector es de 3m.

b) El camino CB produce un

desplazamiento equivalente al vector:

B Aˆr - r 4im=

r r .

La magnitud de este vector es de 4m.

c) El camino no rectilíneo ACB produce

un desplazamiento igual a:

( )B A ˆ ˆr - r = 4i 3j m+

r r .

Su magnitud es: ( )2 2 24 3 m 5m+ = ,

distinta que la trayectoria calculada en el

ejemplo 3.1 para igual camino.

d) y e) Los caminos ADB y AB producen el

mismo desplazamiento que el camino ACB,

puesto que los puntos final e inicial son

los mismos.

Note que el desplazamiento tiene

magnitud igual que la trayectoria solo si

el camino es rectilíneo.

Velocidad media e instantánea.

Si una partícula ha experimentado un

desplazamiento r∆r durante un lapso ∆t,

se define el vector velocidad media mvr

en dicho lapso como:

mrvt

∆=

∆

rr

Puesto que 1t∆

>0 , el vector mvr tiene la

misma dirección y sentido que el vector

cambio de posición r∆r .



Z

X

Y

t0 = 0

t = t

r0

r

∆rvm

Fig 3. 8 El vector mvr tiene la misma dirección

Si queremos calcular la velocidad en un

instante determinado (velocidad

instantánea), consideramos las posiciones

en los instantes t y t´ en que t´es un

instante variable que lo podemos

considerar tan lejano o próximo a t como

queramos. Se observa que al aproximarse

t´ a t, los sucesivos vectores

desplazamiento van cambiando de

dirección, provocando un cambio

equivalente en la dirección del vector

velocidad media entre los puntos

correspondientes a ambos instantes. En

el caso límite en que la diferencia entre t

y t´ se haga tan breve como pueda

imaginarse, los vectores desplazamiento y

velocidad media tenderán a la dirección

tangente a la curva en el punto

correspondiente al instante t (ver figura

3.9). Esta dirección corresponderá a la

de la velocidad instantánea en ese

momento definiéndose como:

t 0 m t 0r drv lim v limt dt∆ → ∆ →

∆= = =

∆

r rr r

Que matemáticamente coincide con la

definición dada para la derivada de la

función posición respecto del tiempo.

Z

X

Y

t0 = 0

t `

r0

r`

t ` t `

r` r`

∆r´∆r´

∆r´

Fig 3. 9 la dirección de r∆r

se aproxima a la tangente a la curva en la medida que r´r se aproxima a rr .

Ejemplo 3.3. Calcule la velocidad media

en los siguientes caminos de la figura 3.5:

a) AC si demora 3s en recorrerlo.

b) CB si demora 6s en recorrerlo.

c) ACB si demora 9s en recorrerlo.

d) ADB si demora 10 s en recorrerlo.

e) AB si demora 6 s en recorrerlo.

f) ACBDA si demora 25 s en recorrerlo.



Solución:

a) m AC

ˆ3jmr mˆv 1jt 3s s

∆= = =

∆

rr

cuya magnitud es 1 ms

b) m CB

ˆr 4im 2 mˆv it 6s 3 s

∆= = =

∆

rr

cuya magnitud es 2 m3 s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

( )m ACB

m ACB

ˆ ˆ4i 3j mrvt 9s4 3 mˆ ˆv i j9 9 s

+∆= =

∆⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

rr

r

cuya magnitud es:

2 2

m ACB4 3 5 mv9 9 9 s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

d)

( )m ADB

m ADB

ˆ ˆ4i 3j mrvt 10s4 3 mˆ ˆv i j10 10 s

+∆= =

∆⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

rr

r

Cuya magnitud es:

2 2

m ADB4 3 5 mv10 10 10 s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

e)

( )m A B

m A B

ˆ ˆ4 i 3 j mrvt 6 s4 3 mˆ ˆv i j6 6 s

+∆= =

∆⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

rr

r

Cuya magnitud es:

2 2

m A B4 3 5 mv6 6 6 s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

f) El desplazamiento es el vector nulo.

Rapidez media e instantánea

Si durante el lapso transcurrido entre t0

y t, es decir ∆t, el móvil ha recorrido una

distancia s a lo largo de la curva, se

define su rapidez media en dicho lapso

como el escalar:

msvt

=∆

La rapidez instantánea, se define como el

límite de la rapidez media cuando el

intervalo de tiempo tiende a 0.

t 0s dsv limt dt∆ →= =

∆

Ejemplo 3.4. Calcule la rapidez media en

los siguientes caminos de la figura 3.5:

a) AC si demora 3s en recorrerlo..

b) CB si demora 6 s en recorrerlo..

c) ACB 9 s en recorrerlo.

d) ADB si demora 10 s en recorrerlo.

e) AB si demora 6 s en recorrerlo.

f) ACBDA si demora 25 s en recorrerlo.



Solución:

a) mAC3m mv 13s s

= =

b) mCB4m 2 mv6s 3 s

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) mACB7 mv9 s

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) mADB7 mv10 s

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e) mAB5 mv6 s

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

f) mACBDA14m 14 mv15s 15 s

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Como era de esperarse, la rapidez media

solo es igual a la magnitud de la velocidad

media cuando el camino es rectilíneo.

Aceleración media e instantánea

El concepto de aceleración tiene que ver

con la rapidez con la que se experimenta

un cambio de la velocidad de una

partícula. La definición del vector

aceleración media es:

mvat

∆=

∆

rr

El vector aceleración media mar tiene la

misma dirección y sentido que el vector

cambio de velocidad v∆r (al ser ∆t > 0)

como lo muestra la figura 3.10.

Z

X

Y

t0

t

v0

v∆v

Fig 3. 10 El vector aceleración tiene igual dirección que el vector v∆

r.

La aceleración se mide en unidad de

velocidad dividida en unidad de tiempo, en

el Sistema Internacional: 2ms

.

Es decir, un móvil tendrá la aceleración

de 1 2ms

si su rapidez cambia en 1 ms

en

cada segundo.

La aceleración instantánea es el límite de

la aceleración media en la medida que

∆t → 0.

m t 0va limt∆ →

∆=

∆

rr



3.2 Movimiento Rectilíneo.

El tipo de movimiento más simple posible

es el movimiento rectilíneo.

Estudiemos el movimiento de una

partícula que se mueve a lo largo del eje

x. Entonces su desplazamiento, velocidad

y aceleración serán:

ˆr x(t)i=r

ˆv v(t)i=r

ˆa a(t)i=r

Se tomó el eje x para ejemplificar a

estos movimientos, pero no se debe

perder de vista que el movimiento puede

ocurrir en otra dirección, incluso distinta

que la de un eje del sistema cartesiano.

Las funciones se pueden comportar de

distintas maneras en el tiempo. En este

curso, se estudiarán movimientos con

funciones x(t) donde x es directamente

proporcional al tiempo ∆t transcurrido

(movimiento uniforme rectilíneo, MRU) y

movimientos con funciones V(t) en los

cuales v es directamente proporcional al

tiempo ∆t transcurrido (movimientos

uniformes acelerados, MUA).

3.2.1 Movimiento Uniforme Rectilíneo

Son movimientos en los que la función de

la posición x respecto de la posición

inicial x0 es directamente proporcional al

tiempo ∆t transcurrido.

Si el movimiento ocurre en x, se tiene:

x(t) t∆ ∝ ∆

Donde la constante de proporcionalidad

corresponde a la rapidez, por lo que se

puede escribir:

0 0x- x v (t-t )=

o, lo que es lo mismo,

0 0x x v(t-t )= +

El vector posición del móvil quedará dado

por:

( )0 0x x v t-t= +r r r

Donde xr

y 0xr

son los vectores de

posición de la partícula en los instantes t

y t0 respectivamente y vr es el vector

velocidad que es constante en ese

intervalo de tiempo.

Esta función se conoce como función de

itinerario del movimiento rectilíneo

uniforme y establece la posición en cada

instante.



La función de itinerario puede ser

representada en un gráfico x vs t,

resultando una recta cuya pendiente es la

velocidad, como se ve en la figura 3.11.

x

tx0

t0 t

x

Fig 3. 11 Gráfico x(t) para MRU

En este tipo de movimiento la magnitud

de la velocidad no cambia en el tiempo,

por lo que una gráfica v vs t resultará una

recta paralela al eje del tiempo, como se

muestra en la figura 3.12.

v

tt0 t

v

Fig 3. 12 Gráfico v(t) para MRU

Note que si calculamos el área encerrada

en la figura, como se muestra en la figura

3.13 se tiene que coincide con la magnitud

del vector desplazamiento, que coincide

con la trayectoria por ser el movimiento

rectilíneo. Es necesario recordar que si el

gráfico representa el comportamiento de

la velocidad en movimientos no

rectilíneos, ambas cantidades no

coincidirán.

v

tt0 t

varea = (base)(altura)area = (t-t0) v area = x - x0

Fig 3. 13 El área bajo la curva v(t) equivale a la magnitud del vector desplazamiento.

Este resultado es extensivo a cualquier

movimiento. Si la velocidad no es

constante, entonces existirá aceleración,

y en el caso más general, esta tampoco

será constante, ofreciendo

comportamientos en el gráfico v(t) como

el ejemplo que se observa en el gráfico de

la figura 3.14.

v

tt0 t

v(t)

Fig 3. 14 Gráfico v(t) para un ejemplo de movimiento de aceleración no constante en el tiempo.



En estos casos el cálculo del área para

encontrar la magnitud del vector

desplazamiento no es tan sencillo como en

la figura 3.13.

La solución está dada por tomar n

rectángulos de bases iguales ∆t

n 0t -tcon tn

⎛ ⎞∆ =⎜ ⎟⎝ ⎠

que cubran toda la

superficie como se ve en la fig. 3.15.

v

tt0 t1 t2 t3... ti... tn

vo

vi

vn v(t)

Fig 3. 15 Se divide el área en rectángulos de bases iguales.

Si calculamos la suma de las áreas de los

rectángulos, se tendrá un error, puesto

que no coincide exactamente con el área

encerrada por la curva entre t0 y tn.

El área del primer rectángulo es (t1–t0)v1;

el área del rectángulo i-ésimo es (ti+1–ti)vi.

De tal manera que si sumamos las áreas

de todos los rectángulos podemos

escribir:

i n

ii 1

Area v t=

=

= ∆∑

puesto que las bases son iguales.

Es evidente que en la medida en que ∆t

disminuye, la suma de las áreas de los

rectángulos se aproxima cada vez más al

área real encerrada bajo la curva.

Cuando el número de rectángulos tienda a

infinito, se tendrá el valor límite de la

suma:

Área = i n

n ii 1

lim v t=

→∞=

∆∑

Expresión que se denomina integral

definida de la función v(t) entre los

límites t0 y tn.

Esta expresión se representa mediante el

símbolo n

0

t

t

v(t)dt∫ , por tanto:

Área de curva v(t) en el plano = n

0

t

t

v(t)dt∫

En este curso no se consideran funciones

de esta naturaleza, quedando circunscrito

al cálculo de áreas de figuras

geométricas sencillas.



3.2.2 Movimiento Rectilíneo con

Aceleración Constante (MRUA).

En este movimiento la posición y tiempo

transcurrido no son directamente

proporcionales, en cambio sí lo son los

cambios producidos en la velocidad y los

lapsos de tiempo transcurridos para ello.

Por tanto:

( )v t t∆ ∝ ∆


corresponde a la aceleración, por lo que

se puede escribir:

( )0 0v-v a t-t=

o, lo que es lo mismo,

( )0 0v v a t-t= +

el vector velocidad quedará determinado

por:

( )0 0v v a t-t= +r r r

donde vr y 0vr son los vectores velocidad

instantánea en los instantes t y t0

respectivamente y ar es el vector

aceleración que es constante durante el

mismo intervalo de tiempo.

Esta función puede representarse en un

sistema de coordenadas v vs t, resultando

una recta cuya pendiente es la magnitud

de la aceleración (a).

v

tv0

t0 t

v

Fig 3. 16 Gráfico v(t) para MRUA

Tal como se discutió, el área bajo la curva

de la figura 3.16 representa la magnitud

del vector desplazamiento, que coincidirá

con la trayectoria aquí también, puesto

que el movimiento analizado es rectilíneo.

Por tanto, si dividimos el área bajo la

curva en el intervalo comprendido entre

los instantes t0 y tn de manera

conveniente, se tiene (ver figura 3.17):

v

tv0

t0 t

v

A1

A2

Fig 3. 17 Área bajo la curva v(t) entre t0 y tn para MRUA.



Área=A1+A2= ( ) ( )( )0 0 0 01v t-t t-t v-v2

+

y ya que:

v - v0 = a (t – t0)

Reemplazando en la ecuación anterior se

obtiene:

( ) ( )20 0 0 0

1x-x v t-t a t-t2

= +

Con x-x0=magnitud del vector

desplazamiento entre t0 y t.

De la ecuación anterior se tiene:

20 0

1x x v t at2

= + +

denominada Ecuación de Itinerario del

M.R.U.A.

Gráficamente esta función es una

parábola, en la que x0, v0 y a son

constantes, y la pendiente a la tangente

en cualquier punto de la curva representa

la rapidez instantánea.

x

t

t0 t1

x0

t2

x1

Fig 3. 18 Una forma de la función x(t) para MRUA

La figura 3.18 muestra una de las formas

posibles de una parábola. Note que la

posición x0 de la partícula es alcanzada

dos veces, cuando t=t0 y cuando t=t2.

Esto es una consecuencia de la función

cuadrática, que tiene 2 valores de t para

cada x.

La pendiente representa la velocidad

instantánea de la partícula, que es

negativa mostrando que se mueve hacia

los negativos y disminuyendo hasta

hacerse cero en t1. Entre t1 y t2 se vuelve

positiva mostrando que se mueve hacia los

positivos y aumentando su magnitud. En

todo momento existe aceleración

constante pues el cambio en la pendiente

siempre tiene igual valor en iguales

intervalos de tiempo.

Las funciones v(t) y x(t) descubiertas

permiten obtener una tercera ecuación

que relaciona la velocidad y la posición

v(x), la cual se logra eliminando el tiempo

entre ellas:

2 20 0v v 2a(x-x )= +



3.2.3 Movimiento con aceleración

constante igual a gr .

Un cuerpo moviéndose libremente en las

inmediaciones de la superficie terrestre

en condiciones de roce con el aire

despreciables y ausencia de otras

fuerzas no gravitacionales (esto es cierto

solo en el vacío, aunque existen

numerosos ejemplos reales que se pueden

estudiar con suficiente aproximación con

esta teoría), describe un movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado como

los estudiados. Anteriormente.

Con independencia de su masa, y de la

dirección de su movimiento (cayendo o

subiendo verticalmente) su aceleración es

la denominada aceleración de gravedad,

cuya magnitud es de 9,8 2ms

o 32 2

piess

.

Este hecho lo descubrió y experimentó

Galileo Galilei durante el siglo XVI

demostrando así que las hipótesis de

Aristóteles respecto de este tipo de

movimiento no eran correctas.

En la figura 3.19 se representan los

movimientos de ascenso (izquierda) y

descenso (derecha) verticales de una

partícula libre lanzada hacia arriba.

y

v1

v4

v3

v2

suelo

g

y1

y2

y3

y4

y0

y

v7

v4

v5

v6g

y5

y6

y7

y8

y9 suelo

Fig 3. 19 Partícula libre moviéndose verticalmente con aceleración gr .

La velocidad está dirigida hacia arriba

mientras la partícula va subiendo,

disminuyendo su magnitud a una tasa de

9,8 ms

.

El vector aceleración en el intervalo

(y1,y2) está dado por 2 1v -v ˆa g -gjt

= = =∆

r rr r ,

es decir, hacia abajo y con magnitud

9,8 2ms

. En cualquier intervalo la

aceleración será igual.

Al llegar a la posición y4 la velocidad es

nula, invirtiendo su dirección en ese

momento. La aceleración provoca el

cambio de dirección del vector velocidad

y su magnitud sigue siendo g.



De allí en adelante la velocidad aumenta a

una tasa de 9,8 ms

y está dirigida hacia

abajo, de manera tal que por ejemplo al

tomar el intervalo (y7, y8) se tiene que

8 7v -v ˆa g -gjt

= = =∆

r rr r .

Lo anterior muestra que mientras la

partícula estuvo moviéndose libremente,

sujeta solo a la acción de la fuerza

gravitacional, su aceleración fue

constante.

Adicionalmente, se tiene que a iguales

alturas la magnitud del vector velocidad

será siempre igual.

El valor de la aceleración de gravedad

depende de factores como la distancia al

centro de la Tierra y su valor disminuye a

medida que ésta aumenta, de hecho es

levemente menor en la línea ecuatorial

que en los polos confirmándose así que

nuestro planeta no es perfectamente

esférico.

En este curso, por comodidad,

consideraremos g = 10 2ms

.

Las ecuaciones que dan cuenta de la

evolución cinemática de un movimiento

como estos, son:

Para la posición instantánea:

( ) ( )20 0 0 0

1y(t): y y v t-t g t-t2

= + −

Los valores de y (posición instantánea en

el tiempo t); y0 (posición instantánea

cuando el tiempo es t0); v0 (magnitud de la

velocidad cuando el tiempo sea t) tendrán

el signo que corresponda de acuerdo a sus

respectivas direcciones relativas al eje Y.

Para la velocidad instantánea, su magnitud

es:

V(t): V=V0- gt

Para la velocidad en función de la

posición:

V2=V02-2g(y-y0)

Ejemplo 3.5. Desde el balcón de un

edificio situado a una altura de 30 metros

sobre el suelo es arrojado verticalmente

hacia abajo un objeto con una rapidez

inicial de 10 m/s. Desprecie todo tipo de

roce y suponga que su aceleración tiene

un valor de 10 2ms

. Determinar:

a) El tiempo que demora en llegar al suelo.

b) La velocidad que presenta luego de

haber descendido 10 m.



c) La velocidad al llegar al suelo.

d) La representación gráfica del

movimiento desde su lanzamiento

hasta que toca el suelo en sistemas Y

vs t ; V vs t.

Solución:

a) Considerando como referencia del

movimiento el eje Y con el origen en el

suelo, aplicamos la ec. de itinerario que

relaciona posición y tiempo, en que de

acuerdo al enunciado, la posición final

deberá ser 0 dado que llega al suelo; la

posición inicial +30m dado que desde allí

fue arrojado y V0 deberá tener el valor

-10 ms

dado que fue lanzado hacia abajo.

Luego sustituyendo:

0 = 30 - 10 t - 5 t2

Cuyas raíces son:

t1=+1,65s; t2=-3,65s

La respuesta correcta es t1.

Note que t2 corresponde al instante,

anterior al del lanzamiento (de allí su

signo) para el cual se cumple que y=0, es

decir, si se hubiese lanzado desde el

suelo y hubiera pasado por y=30m con una

rapidez hacia abajo de 10 ms

.

b) Se plantea aquí una relación entre la

velocidad y la posición, en que la posición

inicial es de 20m, que es la altura a la que

se encuentra por lo tanto es conveniente

aplicar la ecuación v(y).

V2= (-30)2-2(10)(20-30 )

V=±33,2 ms

En este caso la respuesta que debiéramos

considerar es V=-33,2 ms

pues el signo

negativo nos indica que está dirigida hacia

abajo.

c) Dado que para esta pregunta

conocemos el tiempo que tarda en llegar

al suelo y las posiciones, podemos aplicar

indistintamente las ecuaciones v(t) o bien

v(y). Apliquemos la primera:

V=-10-10(1,65)=-26,5 ms

Aplique Ud. la otra ecuación y verifique

este resultado.

Sabemos que en un gráfico y vs t la

representación del movimiento será la de

una parábola:



y (m)

t (s)

0

30

1,65

m = - 10

m = - 26,5

Fig 3. 20 gráfico y(t)

Las pendientes de las tangentes a la

parábola en los instantes t=0s y t=1,65s

tienen los valores -10 ms

y -26,5 ms

respectivamente. En consecuencia, la

gráfica v vs t es:

v (m/s)

t (s)

-10

1,65

- 26,5

0

Fig 3. 21 gráfico v(t)

3.3 Movimiento parabólico.

Cuando en el campo gravitacional

terrestre un objeto es lanzado en

dirección vertical, hacia arriba o hacia

abajo, su movimiento será el descrito en

el punto anterior, sin embargo, si el

lanzamiento no es en dirección vertical

entonces la trayectoria descrita será una

curva y el movimiento presentará ciertas

particularidades que estudiaremos ahora;

ejemplos aproximados de este movimiento

son: el que sigue la jabalina, la bala o el

martillo arrojado por un atleta, el seguido

por una gota de agua que sale de la

manguera mientras estamos regando un

jardín, etc.

En primer lugar se trata de un

movimiento plano, luego lo podemos

referir a un sistema plano XY y por tanto

sus vectores posición, velocidad y

aceleración en cualquier instante pueden

expresarse como:

ˆ ˆr(t) x(t)i y(t)j= +r

x yˆ ˆv(t) v (t)i v (t)j= +

r

x yˆ ˆa(t) a (t)i a (t)j= +

r

Donde las funciones dependerán de las

características cinemáticas del

movimiento estudiado en cada eje.

En segundo lugar, cualquier partícula que

presente este movimiento estará afecta

al campo gravitacional de la Tierra por lo

tanto la aceleración experimentada será

ˆg -gj=r siempre que no se considere roce

alguno, que estemos próximos a la

superficie de la Tierra y se mueva

libremente.



En la figura 3.22 se muestra la curva

seguida por una partícula lanzada con un

ángulo θ0 respecto de la horizontal

referido a un sistema de referencia

inercial a través del plano coordenado

cartesiano XY. Se identifican en la

figura los vectores posición velocidad y

aceleración en el instante t, medido a

partir del lanzamiento de la partícula

(t0=0s).

θ0 x

y

vr g

v0t

Fig 3. 22 Movimiento parabólico.

Podemos imaginar el movimiento de un

cuerpo como el de la figura 3.22 que

proyecta sombras sobre el suelo (eje X) y

sobre una pared vertical imaginaria (eje

Y). Evidentemente cuando el cuerpo

inicia el movimiento en el origen del

sistema la sombra en la vertical

comenzará un movimiento rectilíneo

vertical de ascenso y luego de descenso,

por otra parte, la sombra en el suelo

tendrá un movimiento rectilíneo en un

solo sentido.

Se comprueba experimentalmente que el

movimiento de la sombra en la vertical o

componente vertical del movimiento es

exactamente igual a un MRUA con

aceleración constante gr ; en cambio, el de

la sombra sobre el suelo o componente

horizontal del movimiento es un MRU, es

decir, con velocidad constante.

Por lo tanto rr puede expresarse en

función del tiempo como:

( ) 20 0x 0 0y

1ˆ ˆr x v t i y v t- gt j2

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

r

x

y

r

x

y

x = x0 + v0x t

y =

y 0 +

v0y

t - (

gt2 )/

2

Fig 3. 23 Componentes del vector rr en el tiempo t.

Si el objeto fue lanzado inicialmente con

una velocidad 0vr cuyas componentes

horizontal y vertical son:

v0x=V0 cosθ0

v0y=V0 senθ0

Con θ0 = ángulo de tiro.

Entonces las componentes del vector

posición serán:

x(t)=x0+(V0 cosθ0)t

20 0 0

1y(t) y (v sen )t- gt2

= + θ



De la misma manera, el vector velocidad

instantánea representado por un vector

tangente a la curva en cualquier punto,

puede analizarse a partir de sus

componentes horizontal y vertical,

señaladas en la figura 3.18 como vx y vy

respectivamente y puesto que la

componente horizontal del movimiento es

uniforme (rapidez constante) entonces:

vx=V0 cosα constante,

en cambio la componente vertical, es:

vy=V0 senα-gt

x

v

vx = v0 cos θ0

v y =

v0 s

en θ

0 - g

t vx

vy

Fig 3. 24 Componentes del vector velocidad

instantánea en el tiempo t.

Por lo tanto el vector velocidad

instantánea quedará de la forma:

0 0 0 0ˆ ˆv(t) v cos i (v sen -gt)j= θ + θ

r

También podría aplicarse la ec. V(y) a

esta componente del movimiento, la cual

relaciona la componente vertical de la

velocidad con la posición en la vertical :

VY2= V0Y

2-2g(y-y0)

O bien:

VY2=(V0senθ0)2-2g(y-y0)

Si tomamos las ecuaciones de itinerario

x(t) e y(t) para este movimiento y

despejamos el tiempo se obtiene la

ecuación de la curva descrita por la

partícula:

De la ecuación: x(t)=x0+(V0cos θ0)t

Se tiene: 0

0 0

x-xtv cos

=θ

Y reemplazándolo en

20 0 0

1y(t) y (v sen )t- gt2

= + θ

Se tiene:

( ) ( )20

0 0 0 2 20 0

g x-xy(x) y tg x-x -

2v cos= + θ

θ

Que es la ecuación de una parábola, razón

por la que el movimiento recibe el nombre

de parabólico.

La aceleración en este movimiento, por lo

ya indicado, corresponde a la de gravedad

gr en todo momento, puesto que en la

horizontal es un MRU . ˆa -gj=r



x

y

gg

gg

g

g

g Fig 3. 25 La aceleración siempre es gr

El análisis efectuado en términos de

reconocer a este movimiento como

compuesto de otros dos con

características muy diferentes entre sí

pero que en conjunto lo describen

correctamente, hacen que sea éste un

claro ejemplo del principio de

independencia de los movimientos o de

superposición según como quiera verse.

Ejemplo 3.6. Un atleta lanzador de la

bala mide 1,8 m de estatura al lanzar el

implemento lo hace con una velocidad

inicial de magnitud 10 ms

que forma un

ángulo de 30º sobre la horizontal.

Determinar, despreciando el roce con el

aire:

a) El tiempo durante el cual la bala estuvo en el aire.

b) El alcance horizontal alcanzado.

c) La altura máxima lograda respecto al suelo.

d) La velocidad con la que impactó en el suelo y su módulo.

Solución.

a) Para determinar el tiempo durante el

cual estuvo en el aire a partir de la

información dada, podemos recurrir a la

componente vertical del movimiento y

aplicar específicamente la ecuación y(t)

que establece la posición vertical

instantánea para las condiciones:

y0=+1,8m (punto inicial de lanzamiento en la vertical).

y=0m (punto final o de llegada en la vertical).

v0y=V0 senα= 10(0,5)=5 ms

Reemplazando:

0=1,8+5t-5t2 ⇒ t=1,28 s

b) El alcance horizontal lo

determinaremos obviamente recurriendo

a la componente horizontal del

movimiento, aplicando la ec. X(t) para las

condiciones:

x0=0 (situando al atleta en el origen)

vx=V0 cosα=10(0,87)=8,7 ms

Reemplazando:

x=8,7(1,28)=11,1 m



c) La altura máxima la encontraremos

recurriendo nuevamente a la componente

vertical del movimiento. Esta vez existe

un dato implícito en la pregunta puesto

que al lograrse la altura máxima, la

componente de la velocidad es nula, es

decir vy=0 en el punto y=hmax (altura

máxima sobre el origen)

Aplicando entonces la ec. v(y):

0=(10)(0,5)2-(2)(10)(hmax-1,8)

Resolviendo: hmax=12,2m

d) La velocidad en cualquier instante a lo

largo de la trayectoria está determinada

por la ec. ( )v tr en la que se recuerda que

la componente horizontal de ella es

constante, en cambio la vertical cambia

en el tiempo, así:

vx=v0 cosα=(10)(0,87)=8,7 ms

vy=v0senα-gt=(10)(0,5)–(10)(1,28)=-7,8 ms

Luego: ( ) mˆ ˆv 8,7i-7,8 js

=r

Su módulo será:

( )22 mv 8,7 - 7,8 11,7s

= + =r

Parábola de seguridad.

Como se ha visto en el ejemplo anterior,

si la partícula tiene velocidad inicial de

magnitud constante (v0), entonces es

sencillo calcular la máxima altura (ymax) y

el alcance horizontal (xmax).

En general, la máxima altura se puede

calcular desde la función v(y), puesto que

en ese lugar la velocidad tiene

componente vertical cero.

Si suponemos y0=0:

2 2y 0y 0

20y max

20y

max

2 20 0

max

v v 2g(y y )

0 v 2gy

vy

2gv seny

2g

= − −

= −

=

θ=

Note que la altura máxima depende del

ángulo de lanzamiento.

Como la función seno tiene valores

comprendidos entre 0 y 1, entonces el

máximo valor de esta expresión es:

2* 0max

vy2g

=

Lo que ocurrirá cuando el ángulo sea de

90º (sen90º=1).



El alcance horizontal cuando recupere la

altura del lanzamiento se puede obtener

de la función x(t), para el tiempo que

demora en llegar a ese punto (tv). Este

tiempo se puede calcular en forma

sencilla, puesto que será el doble del

tiempo que demore en alcanzar la altura

máxima. Como hemos visto, esto ocurre

cuando la componente vertical de la

velocidad es nula.

y 0 0

0 0 s

0 0s

v (t) v sen -gt0 v sen -gt

v sentg

= θ

= θθ

=

Por tanto:

0 0v s

2v sent 2tg

θ= =

Entonces el alcance horizontal será:

( )

( )

0 0max 0x s o 0

2o

max 0 0

2o

max 0

2v senx v 2t v cosg

vx 2sen cosg

vx sen2g

⎛ ⎞θ= = θ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= θ θ

= θ

El mayor valor posible se obtiene cuando

sen2θ0=1, cuando 2θ0=90º, es decir, para

un ángulo de lanzamiento de θ0=45º.

2* omax

vxg

=

En resumen, hemos encontrado que para

un lanzamiento con velocidad inicial de

magnitud v0 se pueden obtener

movimientos parabólicos que no pueden

estar mas lejos que 2

ovg

en la dirección

horizontal y que 2

0v2g

en la dirección

vertical, como lo grafica la figura

siguiente.

y

x

45º

v02

2g ymax=

v02

2g sen2θ0

xmax=v0

2

gsen2θ0

v02

g

Fig 3. 26 Las parábolas posibles con v0 constante.

En general, se puede encontrar el ángulo

para alcanzar un punto del plano, es decir

la función θ0(x,y).

Para ello, tomaremos la función y(x):

( ) ( )20

0 0 0 2 20 0

g x-xy(x) y tg x-x -

2v cos= + θ

θ

Que puede expresarse en función de tgθ0,

debido a que 202

0

1 tg 1cos

= θ +θ



Por lo que, si además consideramos x0=0 e

Y0=0:

( )2

20 02

0

gxy tg x- tg 12v

= θ θ +

2 22

0 02 20 0

gx gxy tg x- tg2v 2v

= θ θ −

( )2 2

20 02 2

0 0

gx gxtg - x tg + + y 02v 2v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Que es una cuadrática para tgθ0, cuya

solución es:

2 22

2 20 0

0 2

20

gx gxx x 4 + y2v 2v

tggx2

2v

⎛ ⎞⎛ ⎞± − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠θ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 22 220 0

0 2 2 2 20 0

gx gxv x vtg x 4 +yx g x g 2v 2v

⎛ ⎞⎛ ⎞θ = ± − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠22 4 2

0 0 00 2 2

0

22 42 00 0

0 2

gxv v v1tg 2 +yxg x g g 2v

v yv v1tg x 2xg x g g

⎛ ⎞θ = ± − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

θ = ± − −

Que permite calcular el ángulo que se

necesita para que la partícula alcance el

punto (x,y) deseado.

Note que la ecuación no tiene solución

real cuando la cantidad subradical es

negativa, es decir cuando:

242 00

2v yv x 2 0

g g− − <

Donde:

22

02

0

gxvy2g 2v

> −

Condición que contiene la región del plano

que resulta inalcanzable para una

partícula cuya velocidad inicial tenga una

magnitud v0.

Lo anterior permite decir que la frontera

de puntos (x,y) posibles está contenida en

la función:

220

20

gxvy2g 2v

= −

Que es una parábola envolvente de las

parábolas posibles (sin variar la magnitud

de la velocidad inicial). Por esta razón, se

le denomina parábola de seguridad.

y

x

v02

2g

y =

v02

2g

v02

g

parábola de seguridadregión inalcanzablegx2

2v02

Fig 3. 27 Parábola de seguridad y la región inalcanzable para una partícula lanzada con v0.

Note que si Y=0, entonces 2

ovxg

= , que es

el máximo alcance horizontal.



Si x=0, entonces se encuentra que 2

0vy2g

= , la máxima altura.

Fig 3. 28 En las actividades deportivas que implican lanzar implementos lo más lejos posible, es intuitivo hacerlo en ángulos de 45º, aunque el movimiento no sea en el vacío. Esto se debe a que se puede considerar que la altura de lanzamiento y de caída están a la misma altura.

Es conveniente hacer notar que el análisis

ha considerado el caso de una partícula que

finalmente recupera la ordenada del

lanzamiento.

Si el lanzamiento se realiza desde una

altura distinta (Y0) del punto en que toca la

superficie (donde y=0), entonces la

parábola de seguridad toma la forma:

220

0 20

gxvy y2g 2v

= + −

Ejemplo 3.6. Desde una altura de

500m se lanza un proyectil con una

velocidad de 100 ms

.

a) Si el ángulo de lanzamiento respecto

de la horizontal es de 45º, determine el

alcance horizontal cuando llega al suelo.

b) Determine el máximo alcance

horizontal posible.

Solución:

y

x

x1,y1,t1,v1

x0,y0,t0,v0

θ0

x=0y=0

v0

De acuerdo a la información disponible:

v0x=V0 cos45º= 100(0,71)=71 ms

v0y=V0 sen45º= 100(0,71)=71 ms



a) Como en el ejemplo anterior, x1 se

calcula con el tiempo t1 que demora en

llegar al suelo. Este tiempo se puede

encontrar con la función y(t) para y1=0m,

y0=500m, t0=0s.

21 0 0y 1 1

21 1

21 1

2

1

1

1

1y y v t - gt210 500 71t - (10)t2

5t 71t 500 0

142 71 (4)(5)( 500)t10

t ´ 19,4st ´´ 5,16s

= +

= +

− − =

± − −=

=

= −

Descartamos t´´ y entonces se tiene:

X1=v0xt1´=(71)(19,4)= 1377,4m

b) El alcance máximo se puede encontrar

con la parábola de seguridad, con Y=0m.

2210

1 0 20

221

2

23 1

3

61

gxvy y2g 2v

(10)x1000 5002(10) 2(100)x0 10

2x10x 2x10 1414,21m

= + −

= + −

= −

= ± = ±

Cuya solución es la raíz positiva.

3.4 Movimiento Circunferencial

Este movimiento está caracterizado por

que la trayectoria es una circunferencia,

es decir es un movimiento plano como el

parabólico. Para referirlo a un sistema

cartesiano de coordenadas como los

anteriores, por comodidad haremos

coincidir el centro de la circunferencia

con el origen del sistema, como lo ilustra


x

xx

y p

rθ

y

Fig 3. 29 Partícula moviéndose en una

circunferencia.

Imaginemos que la partícula P recorre la

circunferencia de radio R en el sentido

indicado, el tiempo que tarda en dar una

vuelta completa, se define como período

(T) y se mide en segundos. Su valor

recíproco representa el número de

vueltas que gira la partícula durante la

unidad de tiempo y se define como

frecuencia (f) midiéndose en Hertz (Hz)

o cicloss

(cps).

Por lo tanto: T = 1f



El vector posición rr que va desde el

origen del sistema hasta el punto donde

se ubica P en cualquier momento, va

modificando su dirección y sentido no así

su módulo R; el ángulo θ medido desde el

eje X y en el sentido contrario a como se

mueven las agujas de un reloj (sentido

antihorario) determina su dirección, por

lo que el vector rr puede expresarse

como:

ˆ ˆr Rcos i Rsen j= θ + θr

Es decir, podemos describir la posición

de la partícula a través del cambio en la

posición angular.

El comportamiento de la posición angular

en el tiempo puede indicarse mediante la

función θ = θ(t) medida en radianes.

Los cambios en la posición angular pueden

estudiarse mediante la rapidez angular

media definida como,

m t∆θ

ω =∆

, medida en rads

.

En un instante determinado, la rapidez

angular instantánea será:

ddt

θω =

Los cambios en la rapidez angular media

pueden estudiarse mediante la magnitud

de la aceleración angular media definida

como,

m t∆ω

α =∆

, medida en 2rads

En un instante determinado, la magnitud

de la aceleración angular instantánea

será:

ddt

ωα =

∆θ

∆sR

R

Fig 3. 30 Arco y ángulo descrito por una partícula

en un movimiento circunferencia.

Dar cuenta de la posición angular en

radianes es conveniente, puesto que nos

permite entre otras cosas, encontrar

relaciones simples entre las variables

cinemáticas lineales y angulares.

Si un punto P que se mueve a lo largo de

una circunferencia recorre un arco ∆s

durante un lapso ∆t describiendo un

ángulo del centro ∆θ como se observa en

la figura anterior, entonces se cumple

que:

∆s=R∆θ



Al dividir la igualdad por el lapso ∆t

transcurrido resulta:

s Rt t

∆ ∆θ=

∆ ∆

El primer miembro corresponde a la

rapidez lineal o tangencial del movimiento,

luego las rapideces lineal y angular están

relacionadas por:

v R= ω

Esto significa que en un movimiento

circunferencial, a mayor distancia al

centro de la circunferencia mayor es la

rapidez tangencial V, esto lo vemos

ilustrado en un desfile, cuando la

formación debe experimentar un giro o

doblar en una esquina, con el objeto de no

romper la formación (ω constante); los

que se encuentran en el centro del giro

prácticamente no deben moverse, en

cambio los del extremo opuesto (mayor

radio) deben dar grandes zancadas.

Aceleraciones tangencial y centrípeta.

Los cambios en el vector velocidad lineal

pueden ocurrir en magnitud, dirección o

en ambas. En la figura siguiente se

observa el comportamiento de la

velocidad instantánea de una partícula

que se mueve circunferencialmente.

Entre t0 y t1 el vector velocidad cambió

su dirección y su magnitud. Se observa

que el vector cambio de velocidad, que se

encontró trasladando 1vr hasta 0vr tiene

dirección hacia adentro de la

circunferencia. En consecuencia el vector

aceleración media entre ambos debe

dirigirse hacia adentro.

t0

t1v0

∆vv1

Fig 3. 31 El vector v∆

r apunta hacia adentro.

Se puede describir el vector aceleración

en un sistema cartesiano de coordenadas

móviles, consistente en dos ejes de

direcciones tangente y centrípeto en

cada punto, como se ve en la figura 3.32.

NTa

atac

tn

Fig 3. 32 Componentes centrípeta y tangencial de

la aceleración.



En consecuencia, se tiene que, respecto

de este nuevo sistema de coordenadas:

c tˆˆa a n a t= +

r

Donde n y t son vectores unitarios en las

direcciones centrípeta y tangente a la

curva respectivamente.

A la componente de la aceleración en

dirección hacia el centro se le denomina

aceleración centrípeta ( ca ) y a la

componente en dirección tangente,

aceleración tangencial (at).

Si la partícula deja de estar sometida a la

fuerza que la obliga a girar (fuerza

centrípeta), entonces seguirá moviéndose

en la dirección tangente a la curva en el

punto en que se encontraba. De allí en

adelante su movimiento será rectilíneo. Si

le es aplicada una fuerza en la dirección

del movimiento, entonces aparecerá una

aceleración tangente a la recta.

Entonces, la aceleración tangencial

proviene de los cambios en la magnitud

del vector velocidad instantánea.

Note que si aparece una fuerza en otra

dirección, provocará que el vector

velocidad cambie de dirección,

apareciendo una aceleración centrípeta.

En consecuencia, la aceleración

centrípeta es provocada por los cambios

en la dirección del vector velocidad

instantánea.

Aprovechando estas observaciones se

pueden encontrar las expresiones que

permiten calcular ambas aceleraciones a

partir de las variables angulares.

Respecto de la aceleración tangencial,

considerando los cambios en la magnitud

de vs , se tiene:

0t

R -Rva R Rt t t

ω ω∆ ∆ω= = = = α

∆ ∆ ∆

Por otra parte, entre otras formas, la

aceleración centrípeta se puede calcular

a partir de una construcción geométrica.

Consideremos las velocidades

instantáneas 0vr y 1vr en los instantes t0

y t1 respectivamente en la figura 3.33;

traslademos el vector 1vr para que ambos

tengan un origen común; los ángulos ϕ del

centro y entre los vectores son iguales,

dado que son ángulos agudos de lados

respectivamente perpendiculares.



v1

E

O

v0

∆v

D

ϕϕ

R0

R1

Fig 3. 33 Construcción geométrica para ac

La figura 3.34 corresponde a triángulos

que contienen las magnitudes de los

vectores de posición, velocidad y cambio

de velocidad y el arco DE de la figura

3.33, bajo algunos supuestos:

Los triángulos OMN y HFG son

semejantes, siendo OM=ON=R ;HF= 1vr ;

HG = 0vr y GF= ⎢ v∆r

⎢.

El arco DE es igual que la cuerda MN

cuando ∆t tiende a cero.

La semejanza es perfecta cuando las

magnitudes de las velocidades son iguales.

ϕ

R

R ∆S

MO

N

v0

∆v

ϕv1

FG

H

Fig 3. 34 Triángulos de fig. 3.33.

Para ser más ilustrativos, podemos girar

el triángulo HFG, de manera tal que los

vértices que contienen el ángulo ϕ

coincidan.

Como se observa claramente en la figura

3.35, los triángulos son semejantes.

ϕ

R

R∆S

MO,

N

v

∆vv

F

GH

Fig 3. 35 Triángulos de fig. 3.34.

Entonces es posible establecer la

siguiente proporcionalidad:

GF MN v s FH NO v R

∆ ∆= ⇒ =

De aquí: v svR∆

∆ =

Dividiendo la igualdad por ∆t se tiene:

v v st R t

∆ ∆=

∆ ∆

En esta relación, el primer miembro

corresponde al módulo de la aceleración

centrípeta o normal ac y en el segundo

miembro el cuociente s vt

∆=

∆

Luego: 2

2 c

va RR

= = ω



Finalmente, la aceleración lineal es:

2

c tvˆ ˆˆ ˆa a n a t n RtR

= + = + αr

Cuya magnitud es:

( ) ( )2 22 4 2a R R R= ω + α = ω + α

3.4.1 Movimiento circunferencial

uniforme (MCU).

Son movimientos en los que existe una

proporcionalidad directa entre el ángulo

descrito y el lapso transcurrido, es decir:

t∆θ ∝ ∆


corresponde a la rapidez angular, por lo

que se puede escribir:

t∆θ = ω∆

El movimiento para el cual se cumple esta

relación se conoce como Movimiento

Circunferencial Uniforme (MCU).

De la expresión anterior se tiene,

( )0 0(t) t-tθ = θ + ω

Que permite determinar la posición

angular θ en el tiempo t, si cuando el

tiempo era t0 la partícula se encontraba

en θ0 y la rapidez angular se ha mantenido

sin variaciones.

Como la rapidez angular es constante, se

tiene que la magnitud de la velocidad

lineal será constante para todas las

partículas que estén a igual distancia del

eje de giro, pues debe cumplirse la

relación v=ωR.

En la figura siguiente se ve que el arco

entre t1 y t2 va creciendo a medida que

nos vamos alejando del centro; en cambio

el ángulo descrito es el mismo no importa

cual sea el radio considerado. Esto

explica claramente que la magnitud de la

velocidad lineal aumente pero no la

rapidez angular, en la medida que

consideramos partículas más lejanas del

centro, puesto que en todos los casos el

intervalo de tiempo considerado es el

mismo.

v3

v2

v1

∆θ

∆S 1

∆S 2

∆S 3

t0

t1

Fig 3. 36 La velocidad lineal crece a medida que

nos alejamos del eje de giro.



Otra consecuencia de ω constante dice

relación con la aceleración, puesto que

entonces α será nula debido a que su

magnitud depende de los cambios en la

rapidez angular.

Si α es nula, entonces la aceleración

tangencial será nula pues at=αR.

En cambio la aceleración centrípeta será

constante y no nula pues ac=2

Rω como

hemos visto en el capítulo anterior

En resumen, en los MCU la aceleración

será solo centrípeta y por tanto su

dirección será hacia el centro.

a

a = ac n

v

v = v t

Fig 3. 37 En los MCU la aceleración es centrípeta.

En este movimiento se aprecia claramente

la importancia que tiene destacar la

diferencia entre rapidez y velocidad dado

que se trata de un movimiento con

rapidez lineal constante, sin embargo, es

acelerado puesto que su velocidad lineal

está cambiando continuamente (en

dirección).

3.4.2 Movimiento circunferencial

uniformemente acelerado

(MCUA).

Si la rapidez angular cambia en el tiempo,

se tiene un movimiento circunferencial

acelerado.

Si dichas variaciones son proporcionales

al cambio en el tiempo, se tiene,

t∆ω ∝ ∆


es la magnitud de la aceleración angular,

por lo que se puede escribir:

( )0 0- t-tω ω = α

O, lo que es lo mismo:

( )0 0t-tω = ω + α

Que permite calcular la rapidez angular

en el tiempo t, si la rapidez angular

cuando el tiempo es t0 es ω0 y la magnitud

de la aceleración angular es constante.

Puede compararse la similitud de esta

ecuación con la ecuación v(t) del

movimiento rectilíneo con aceleración



constante, por lo que podemos

legítimamente suponer entonces que las

restantes ecuaciones que describen este

movimiento guardan también igual

similitud con las del movimiento

rectilíneo,

Entonces la función θ(t) será:

20 0

1t t2

θ = θ + ω + α

Que es la ecuación de itinerario del

movimiento circunferencial con

aceleración angular de magnitud

constante. Finalmente la función análoga

a v(x) es para este movimiento:

( )2 20 02 -ω = ω + α θ θ

Que resulta de eliminar el tiempo en las

ecuaciones ω(t) y θ(t).

Solo restaría agregar que una partícula P

moviéndose de esta forma está

modificando su velocidad no solo en

dirección sino que también en su

magnitud, por tal razón no solo tendrá

aceleración centrípeta (variable puesto

que ω lo es) sino además aceleración

tangencial debido a la variación en la

magnitud del vector velocidad

instantánea, por lo tanto dicha

aceleración podemos expresarla de la

forma:

n tˆˆa a n a t= +

r

Cuya magnitud es:

4 2a R= ω + α

En la figura siguiente se pueden ver las

aceleraciones lineal, tangencial y normal

para este movimiento

at

ac

a

Fig 3. 38 Aceleración lineal y sus componentes

normal y tangencial para MCUA.

Ejemplo 3.7. El eje de un motor está

girando con una frecuencia de 1200r.p.m.

( revmin

), una polea de 5cm de radio está

fija a él y hace girar mediante una correa

a otra polea de 40cm de radio sin que se

produzca resbalamiento. El motor luego

de funcionar uniformemente durante 10

segundos se desconecta comenzando a

detenerse con aceleración angular de



magnitud constante hasta quedar en

reposo, demorando en este último

proceso 30 segundos. Determinar:

a) El número de vueltas que gira la última

polea durante los 10 segundos.

b) La aceleración centrípeta durante los

primeros 10 segundos de un punto en

el borde de la polea mayor.

c) La aceleración angular durante los

últimos 30 segundos.

Solución:

a) En primer lugar debemos encontrar la

rapidez angular con la que gira el eje del

motor cuya frecuencia es 1200r.p.m.

( )( ) 1 rad2 f 2 3,14 1200 4060s s

⎛ ⎞ω = π = = π⎜ ⎟⎝ ⎠

La rapidez lineal de los puntos situados en

el borde de la polea menor será:

( )rad cmv r 40 5cm 200s s

= ω = π = π

La rapidez lineal de la segunda polea debe

ser la misma, porque está unida a la

anterior, de tal manera que se puede

calcular la rapidez angular con que está

girando:

22

2 2

v v 200 rad5r r 40 s

πω = = = = π

Si gira con rapidez constante, entonces el

ángulo descrito en 10 s será:

2 2 2radt 5 10s 50 rad s

∆θ = ω ∆ = π = π

Como 2 2 2 n∆θ = π donde n2 es el número

de vueltas descritas,

22

50 radn 25 vueltas2 2 rad∆θ π

= = =π π

b) la polea mayor gira con rapidez angular

constante durante los 10 primeros

segundos, de tal manera que la

aceleración es solo centrípeta, cuya

magnitud es:

22

c2 2 2rad cma r 5 25cm 125s s

⎛ ⎞= ω = π = π⎜ ⎟⎝ ⎠

c) la rapidez angular final ω2f de las

partículas situadas en el borde de la polea

2 es cero al cabo de 30 segundos desde

que empezó a detenerse (∆t2*). Por

tanto:

*2 22f tω = ω + α∆

con ω2f=0, de donde:

22 2*

2

rad-5 - rads30s 6 st

π−ω π⎛ ⎞α = = = ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠


4.1 Introducción

Se entiende por dinámica al estudio de

las causas del movimiento.

Las leyes que describen el movimiento de

un sistema más grande que un átomo,

moviéndose con velocidades de magnitud

mucho menor que la de la luz, están

contenidas en las denominadas leyes de

Newton del movimiento.

Tales leyes, de una simpleza

extraordinaria, y de gran belleza,

permiten dar cuenta del movimiento de

pequeños y grandes cuerpos, de fluidos,

de resortes, cargas eléctricas tanto como

del movimiento de los cuerpos celestes.

Se citan como uno de los grandes logros

de la humanidad, puesto que no solo logró

unificar la explicación de movimientos

celestes y terrestres, sino que durante

mucho tiempo fueron considerados como

la explicación de los hechos

fundamentales del universo.

Con la publicación del magnífico libro

“Principios Matemáticos de Filosofía

Natural” conocido como Principia, Newton

proporciona las bases fundamentales de

la denominada Mecánica Clásica.

4.2 Leyes de Newton.

4.2.1 Primera ley de newton:

NOTA: En toda la discusión que sigue,

cuando se hable de cuerpos, se

entenderán como partículas, a objeto de

no considerar sus deformaciones (salvo

en el caso de los resortes) ni su

movimiento de rotación.

Basado en el trabajo de Galileo, Newton

sostiene que un sistema abandonado a si

mismo en un sistema aislado debe tener

velocidad constante.

Newton en cambio, sostiene que un

sistema aislado puede estar en reposo

(velocidad de magnitud constantemente

cero) o moviéndose con velocidad



constante (velocidad de magnitud y

dirección constante, MUR).

En consecuencia, no se podría diseñar

experimento alguno en el interior del

sistema que permitiera distinguir el

reposo del MUR (ver fig. 4.1 y 4.2.)

Esta afirmación contiene el concepto de

inercia expresado por Galileo: “inercia es

la tendencia natural de un objeto de

mantener su reposo o su movimiento

uniforme en línea recta”.

Por tanto, cualquier cuerpo que esté en

reposo o se esté moviendo con velocidad

constante, se dice que está en estado

inercial.

Fig 4.1 Una persona trabajando en un escritorio en reposo respecto de la calle

Fig 4.2 La misma persona no sentiría diferencia si estuviera encima de un camión que se mueve con velocidad constante (en una carretera rectilínea y plana)

Newton define el concepto de masa como

una forma de medir la inercia, lo que

representa una gran contribución puesto

que explica que un cuerpo que tiene mas

masa posee una mayor inercia y por

consiguiente una mayor capacidad de

oponerse a un cambio en su velocidad.

Fig 4.3 Un camión tiene más inercia que un automóvil

Newton introduce también el concepto de

fuerza, como todo aquello que es capaz de

sacar al cuerpo de este equilibrio.

La idea de que un cuerpo puede estar en

equilibrio no solo cuando está en reposo

sino también cuando se está moviendo con

velocidad constante fue largamente

resistida, puesto que el pensamiento de

Aristóteles establecía que “el estado

natural de los cuerpos era el reposo”.

Esta idea no es equivocada, sino en cuanto

restringe al reposo las posibilidades de

equilibrio.



La observación Aristotélica de un cuerpo

deteniéndose luego de dejar de empujarlo

parece confirmar su opinión, la que solo

es descartada a la luz de las indicaciones

de Galileo de considerar la fuerza de roce

en el análisis.

Fig 4.4 Un cuerpo se mueve mientras es empujado. Si se deja de empujar se detiene debido a la acción de la fuerza de roce entre el bloque y la superficie de apoyo.

.

Fig 4.5 Sin embargo, se detiene más lejos si las superficies son más pulidas. Esto es debido a que la fuerza de roce es de menor magnitud

Un análisis de fuerzas mejora la

comprensión del fenómeno.

Mientras la mano empuja al bloque, sobre

él existen dos fuerzas en dirección

horizontal, la fuerza de la mano y la

fuerza de roce entre el bloque y la

superficie de apoyo. Si las fuerzas no se

equilibran aparece una aceleración,

producto del aumento en la magnitud del

vector velocidad.

Fig 4.6 Fuerza resultante hacia la derecha produce aceleración hacia la derecha.

Cuando la mano deja de ejercer fuerza

sobre el bloque, la fuerza resultante es la

fuerza de roce, que provoca una

aceleración distinta de la anterior, puesto

que tiene dirección opuesta, disminuyendo

la magnitud del vector velocidad hasta

detenerlo.

Fig 4.7 Fuerza resultante hacia la izquierda produce aceleración hacia la izquierda.

Si no existen fuerzas, no existe

aceleración, por tanto la velocidad es

constante (MUR).



aceleración resultante cerovelocidad constante

fuerza neta cero (equilibrio)

Fig 4.8 Si la fuerza resultante es nula, no hay aceleración.

La ley de inercia es valida para un

observador en reposo o moviéndose con

rapidez constante. Para una persona que

está sobre un vehículo que se mueve con

velocidad constante de magnitud 30 Kmh

,

un objeto dispuesto a su lado está en

reposo y por tanto la fuerza resultante

sobre él será nula.

Para un observador que está en reposo en

el exterior, vehículo, objeto y persona se

mueven con velocidad constante de

magnitud 30 Kmh

y por tanto para él

también la fuerza resultante sobre el

objeto será nula.

Se dice que un sistema de referencia en

reposo o moviéndose con velocidad

constante son marcos de referencia

inerciales.

Fig 4.9 Para la persona del camión, los libros están en reposo. Para la persona en la calle, viajan con velocidad constante. Para ambos, el objeto no está acelerado.

4.2.2 Segunda ley de Newton.

La primera ley ha establecido una forma

operacional de determinar si existe una

fuerza neta actuando sobre un cuerpo: si

la velocidad con que se mueve un cuerpo

no es constante, entonces sobre él debe

haber actuando una fuerza resultante o

neta.

Si queremos cuantificar la magnitud de la

fuerza neta se podrían realizar algunos

experimentos sencillos:

En primer lugar, dispongamos un cuerpo

de cierta masa y apliquemos sobre él una

fuerza neta determinada; entonces

aparece en él una aceleración.

Si aumentamos la fuerza neta aplicada,

observamos un aumento proporcional en la

aceleración.



Fig 4.10 La fuerza resultante es directamente proporcional a la aceleración resultante.

Es decir, si la masa es constante, se

cumple que: na F∝

En segundo lugar, se puede averiguar que

pasaría si la misma fuerza neta se aplica a

cuerpos de masas distintas.

Fig 4.11 La aceleración resultante es inversamente proporcional a la masa.

Se observa que la aceleración es

inversamente proporcional a la masa

cuando la fuerza es constante, es decir:

1am

∝

Combinando ambas, podemos escribir:

nFam

∝

Desde donde,

nF =kma

Si escogemos unidades de masa y fuerza

adecuadas, la constante de

proporcionalidad vale 1.

Como ya hemos discutido en capítulos

anteriores, fuerza y aceleración son

cantidades vectoriales, por lo que la

expresión se debe escribir:

F ma∑ =r r

Puesto que la fuerza neta o resultante, no

es más que la suma vectorial de todas las

fuerzas aplicadas sobre el cuerpo.

Es necesario indicar que esta formulación

matemática no fue obra de Newton sino

de Leonhard Euler muchos años después

de la publicación de los Principia.

Si ambos vectores están en el espacio

coordenado cartesiano, se tiene:

( )x y z x y zF i F j Fk m a i a j a kΣ + Σ + Σ = + +) )) )) )

De donde, por igualdad de vectores,



x xF maΣ =

y yF maΣ =

z zF maΣ =

Sistema de ecuaciones algebraicas que

resulta inapreciable para resolver un

sinnúmero de aplicaciones.

Dimensionalmente se tiene que:

[ ] -2F MLT⎡ ⎤= ⎣ ⎦

En el Sistema Internacional de Unidades

la unidad de fuerza es

[ ] 2mF Kgs

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Denominado Newton [N].

En el sistema CGS, la unidad será:

[ ] 2cmF gs

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Denominada dina [dina].

En el Sistema Inglés, la unidad de fuerza

será:

[ ] 2

pieF slugs

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Denominada libra [lb].

Las equivalencias respectivas son fáciles

de encontrar y son:

1N=105dinas=0,225lb

1lb=4,45N

Ejemplo 4.1. Un barco es arrastrado

por tres remolcadores como se observa

en la figura 4.12 cada uno ejerce una

fuerza de magnitud 3000N.

y

- y

20º10º

20º x

y

- y

20º10º

Ra

Rc

Rb

Fig 4.12 Figura para ejemplo 4.1.

a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza

resultante?

b) ¿y la magnitud de la aceleración?

Solución.

a) Las fuerzas de los remolcadores se

pueden escribir como

a a aˆ ˆR R cos20ºi R sen20ºj= +

r

b b bˆ ˆR R cos-10ºi R sen-10ºj= +

r

b bˆ ˆR R cos-30ºi R sen-30ºj= +

r

Donde Ra=Rb=Rc=3000N



Por lo que:

a cbˆ ˆF R R R 8371,58Ni - 994,88NjΣ = + + =

r r r r

b) de la segunda ley, se tiene

ˆ ˆ8371,58Ni - 994,88NjFam 10000KgΣ

= =

sr

( ) 2mˆˆa 0,84 i - 0,10 js

=r

Cuya magnitud es:

( )2

2 22 2

m ma 0,84 0,10 0,85s s

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

4.2.3 Tercera Ley de Newton

Cuando un camión choca a un automóvil

observamos en este último un cambio en

su velocidad que nos hace indicar que le

fue suministrada una fuerza, de acuerdo

a la segunda ley. Sin embargo, al observar

al camión, vemos que este también

experimentó un cambio de velocidad en la

interacción y por tanto le fue aplicada

una fuerza (ver figs. 4.13 a 4.15).

Este sencillo fenómeno sirve para ilustrar

el tercer principio de Newton que indica

que un cuerpo sometido a una fuerza

reaccionará ejerciendo una fuerza de

igual magnitud pero de dirección opuesta

sobre el cuerpo que se la ejerció.

Fig 4.13 Un carro bomba con VCI constante mayor que la velocidad de un auto (VAI), que esta en su camino.

Fig 4.14 Al chocar, ambos se ejercen fuerzas.

Fig 4.15 Las fuerzas de acción y reacción se manifiestan cambiándole la velocidad a ambos.

En términos matemáticos:

12 21F -F=r r

La fuerza que el cuerpo 1 hace sobre el

cuerpo 2 tiene como reacción la fuerza

que el cuerpo 2 hace sobre el cuerpo 1.

Ambas fuerzas son de igual magnitud y

dirección opuesta y no se pueden anular



entre sí, pues están aplicadas sobre

cuerpos distintos.

El hecho de que las fuerzas de acción y

reacción vengan de a pares establece una

relación de simetría que no permite

identificar a alguna de ellas como la

acción. Cualquiera de ellas puede serlo.

Existe la idea errónea de que los cuerpos

dotados de movimiento y los seres vivos

son los que ejercen acciones y los cuerpos

sobre los que actúan, ejercen las

reacciones.

Los siguientes ejemplos ayudarán a

desvirtuar estas creencias y permitirán

observar los pares de fuerzas de

interacción.

FSM

FMSFTM

FMT

Fig 4.16 Aquí las fuerzas son verticales, y sus puntos de aplicación y líneas de acción son distintos a las observadas por razones de dibujo. La tierra atrae a la máquina (peso) y la máquina atrae a la tierra. Ambas fuerzas están aplicadas sobre sus centros de gravedad. La máquina presiona hacia abajo a la superficie y la superficie empuja hacia arriba a la máquina.

Fig 4.17 Si se analizan solo las fuerzas horizontales, se encuentran varios pares acción y reacción. Las ruedas no rotan. Las interacciones son las fuerzas entre: hombre y suelo; hombre y cuerda; cuerda y máquina; rueda delantera y suelo; rueda trasera y suelo. Note que sobre el hombre ejercen fuerzas la cuerda y el suelo; sobre la cuerda ejercen fuerzas el hombre y la máquina; sobre la máquina ejercen fuerzas la cuerda y el suelo.

Fig 4.18 El invento del reactor representó un gran avance para la navegación al no depender de los gases de la atmósfera para obtener reacción. A cambio, expulsa con extraordinaria fuerza los gases producto de la reacción química de su combustible, obteniendo la fuerza de reacción a cambio. Esto permite obtener propulsión en ausencia de atmósfera.



Fig 4.19 La luna atrae a la tierra con igual fuerza que la tierra atrae a la luna. la aceleración de la luna es mayor pues su masa es menor. La fuerza sobre la luna le produce aceleración centrípeta que la obliga a girar sobre la tierra. La fuerza de la luna sobre la tierra produce las mareas y un ligero movimiento zigzageante.

Fig 4.20 El dibujo está muy exagerado, pretendiendo solo ejemplificar el efecto de la fuerza de la luna sobre la tierra en relación con su movimiento de traslación alrededor del sol.

Fig 4.21 Existe un gran número de aparatos que funcionan empujando fluidos como el aire o el agua, hacia atrás o hacia abajo o diversas otras combinaciones, para obtener movimiento gracias a la fuerza de reacción del fluido sobre la nave. Básicamente esto se hace con hélices, ruedas, toberas, etc.

Ejemplo 4.2. Una lámpara L cuelga de

una cuerda C. La lámpara pesa P. Ver

figura 4.22.

Fig 4.22 figura para ejemplo 4.2.

a) ¿Qué fuerzas actúan sobre la lámpara?

b) ¿Qué fuerza hace la lámpara sobre la

cuerda?

c) ¿Son un par acción-reacción el peso de

la lámpara y la fuerza de la lámpara

sobre la cuerda?

Solución.

Siempre es conveniente un diagrama de

cuerpo libre.

F cuerda sobre lámpara

F gravitacional sobre lámpara (peso)

Fig 4.23 Diagrama de fuerzas sobre lámpara.



a) Sobre la lámpara existen dos fuerzas:

la fuerza de atracción gravitacional

dirigida hacia abajo y la fuerza de la

cuerda, dirigida hacia arriba.

De nuevo, un diagrama de cuerpo libre

ayuda a la comprensión del problema.

F lámpara sobre cuerda

F soporte sobre cuerda

Fig 4.24 Diagrama de fuerzas sobre cuerda.

b) Sobre la cuerda existen dos fuerzas,

la fuerza de la lámpara sobre ella,

dirigida hacia abajo y la fuerza del

soporte dirigida hacia arriba. Aquí se

considera a la cuerda con peso

despreciable, por lo que no participa en el

análisis.

c) No, pues el peso de la lámpara es la

fuerza con que la tierra atrae a la

lámpara y por tanto la reacción será la

fuerza con que la lámpara atrae a la

tierra hacia arriba.

4.3 Fuerzas

4.3.1 Fuerzas fundamentales

Son el resultado de las interacciones

elementales entre partículas. Explican

fenómenos que no pueden atribuirse a

otras fuerzas. A lo largo de la historia

se observa una tendencia hacia la

unificación de las fuerzas, esperándose

que finalmente se alcance el conocimiento

de una fuerza fundamental última,

determinando que la naturaleza posee una

estructura extraordinariamente simple.

El cuadro siguiente muestra el camino

seguido hacia la unificación.

GravedadCeleste

GravedadTerrestre

GravitaciónUniversal(Newton)

FuerzaEléctrica

FuerzaMagnética

FuerzaElectromagnética

(Maxwell)

FuerzaNuclear

débil

FuerzaElectrodébil

(Glashow, Salamy Weinberg)

FuerzaNuclearFuerte

Unificaciónposible

Unificaciónúltima

Fig 4.25 Fuerzas fundamentales y su evolución hacia la unificación última.



Por consiguiente, hoy se sabe que en la

naturaleza existen tres fuerzas

fundamentales: de gravitación universal,

electro débil y nuclear o fuerte.

La fuerza de gravitación universal fue

descubierta por Newton quien logró

describir la fuerza que existe entre dos

cuerpos de cualquier masa (1687). Un

caso particular de gran importancia para

nosotros es la fuerza que existe entre la

Tierra y los cuerpos que están en su

cercanía, que estudiaremos más adelante.

La fuerza electro débil, propuesta a

mediados de la década de 1970 por

Glashow, Salam y Weinberg, quienes

unificaron las fuerzas nucleares débiles y

las fuerzas del electromagnetismo. Las

fuerzas nucleares débiles existen entre

partículas llamadas hadrones (entre las

que se incluyen mesones y bariones) y

entre partículas denominadas leptones

(entre las que se incluyen electrones,

positrones, muones y neutrinos),

responsables de la radioactividad beta y

de la inestabilidad en los núcleos y

partículas elementales. Las fuerzas

electromagnéticas a su vez son el

resultado de la unificación de las fuerzas

magnéticas y eléctricas, consideradas

independientes antes del trabajo de

Maxwell en el siglo XIX.

La fuerza nuclear fuerte es la

responsable de mantener unidos los

núcleos de los átomos.

Existe entre nucleones (protones y

neutrones) solo si están muy cercanos

(10-15m entre sí), decreciendo

rápidamente con la separación. A una

distancia mayor de 1,5x10-14m la fuerza

nuclear es mucho menor que la fuerza

eléctrica entre los nucleones y puede

despreciarse.

Si bien es cierto las fuerzas nucleares

son muchísimo más intensas que las

electro débiles y gravitacionales, su

acción a distancias muy cercanas

permiten a las restantes ser percibidas.

A escala astronómica sin embargo,

prevalecen las fuerzas gravitacionales,

debido a la disposición eléctricamente

neutra de los cuerpos celestes.

A escala macroscópica en nuestra vida

cotidiana, la mayor parte de las fuerzas

que observamos entre los cuerpos, son de

naturaleza gravitacional o de naturaleza

electro débil (electromagnéticas casi en

su totalidad).



Entre ellas se pueden citar las fuerzas de

contacto, y de rozamiento, así como las

fuerzas ejercidas por cuerdas y resortes,

que son manifestaciones muy complejas

de interacciones electromagnéticas.

A estas fuerzas se les denomina

secundarias.

En este curso, trabajaremos con fuerzas

de este último tipo por lo que nos

detendremos para analizar en detalle

fuerzas tales como roce, tensión, normal

y elástica.

A continuación analizaremos una fuerza

fundamental que ocuparemos en este

curso, como es el peso. Luego

analizaremos algunas fuerzas

secundarias.

Ley de Atracción Gravitacional. Peso.

Enunciada por Newton, establece que

entre dos cuerpos de masas m1 y m2 que

están separados una distancia r, existe

una fuerza de atracción gravitacional

cuya magnitud está determinada por la

expresión:

1 22

G m mF r

=

G es una constante universal cuyo valor

es 6,67x10-11 Nm2/Kg2, determinada con

gran exactitud por Cavendish en 1798.

Note que si queremos calcular la magnitud

de la fuerza con que el cuerpo de masa m1

atrae al cuerpo de masa m2 , obtenemos la

mismo valor que si calculamos la fuerza

con que m2 atrae a m1, lo que resulta

coherente con la tercera ley de Newton.

F12F21

r

m1 m2

Fig 4.26 Fuerzas de acción y reacción entre partículas

En la figura 4.27 se puede apreciar la

posición relativa de las partículas

respecto a un sistema de referencia.

r2

m1 m2

r1

r2-r1

x

y

Fig 4.27 Diagrama de posición de las partículas respecto de un sistema de referencia

Se tiene un sistema de referencia desde

el cual 1rr

y 2rr

son los vectores de



posición de las partículas 1 y 2.

Evidentemente 2 1r r−r r

da la dirección

desde la partícula 1 hacia la partícula 2,

de tal modo que se puede definir un

vector unitario en ese sentido que

denominaremos r .

Entonces vectorialmente la ley de

gravitación universal de newton puede

expresarse como:

1 22

G m m ˆF - rr

=r

Siendo Fr

la fuerza con que m1 atrae a m2,

cuya dirección es hacia m1, como muestra

el signo negativo.

Lo verdaderamente relevante de esta

expresión es que permite calcular la

fuerza con que se atraen dos cuerpos

cualesquiera, y el genio de Newton está

justamente en determinar que esta

relación que era estudiada para fuerzas

entre cuerpos celestes, tenía un valor

universal.

La fuerza de atracción gravitatoria es la

causa del peso de los cuerpos que nos

rodean y de nosotros mismos, definido

este como la fuerza con que la tierra y

los cuerpos que están en su cercanía se

atraen.

El peso es una gran fuerza comparado con

las fuerzas gravitatorias generadas por

los cuerpos cercanos a la tierra entre sí,

razón por las que estas últimas no son

percibidas.

Por ejemplo, la fuerza de atracción entre

dos cuerpos de masa 1Kg separados 10cm

es de 6,67x10-9 Newton, cerca de un

millón de veces menor que el peso de un

cuerpo de masa 1 gramo puesto en la

superficie de la tierra.

Otra conclusión importante de la ley de

gravitación universal dice relación con la

rápida disminución de la magnitud de la

fuerza con la distancia entre los cuerpos,

debida a su relación cuadrática inversa.

En efecto, un cuerpo cuya masa es de 1Kg,

en la superficie de la tierra es atraído

con una fuerza (peso) de 9,81N

(considerando masa de la tierra =

5,97x1024Kg, y radio medio de la tierra =

6,37x106m).

Si aumentamos al doble la distancia su

peso disminuye a 2,45N; si aumentamos al

triple la distancia, disminuye a 1,09N y

finalmente, al cuádruplo la distancia

produce solo una fuerza de 0,613N.



Por otra parte, aunque la fuerza de

atracción de la tierra sobre el cuerpo y la

fuerza de atracción del cuerpo sobre la

tierra son dos vectores opuestos (igual

magnitud y dirección opuesta), en

términos prácticos solo observamos la

primera, en razón de la extraordinaria

diferencia entre sus masas

Finalmente, en razón de la geometría de

la tierra, puede considerarse a esta como

si fuera una esfera (en realidad es un

esferoide achatado en los polos), con su

masa concentrada en su centro (centro

de masas).

De esta manera, se puede considerar que

cualquier cuerpo situado en su superficie

estará sometido a una fuerza dirigida

hacia el centro (centrípeta)

En términos locales, consideraremos que

un cuerpo cualquiera está sometido a la

acción del peso, fuerza que en el plano XY

será representada por el vector

ˆP P( j)= −r

Mientras que en el espacio, será el

vector:

ˆP P( k)= −r

peso delcuerpo

fuerza con que el cuerpo atrae a la tierra

Fig 4.28 Fuerza de interacción entre la tierra y los cuerpos que están en su cercanía.

j

-P j

y

xlínea tangente a lasuperficie de la tierra

k

-P k

y

x plano tangente a lasuperficie de la tierra

z

Fig 4.29 Representación vectorial del peso en el plano y en el espacio.



4.3.2 Fuerzas Secundarias.

Son aquellas que se pueden explicar a

partir de las fuerzas fundamentales. Las

fuerzas de contacto por ejemplo, son

causadas por fuerzas de naturaleza

electromagnética entre átomos y

moléculas, que operan al nivel de

partículas constituyentes: electrones y

núcleos. Son por tanto, una manifestación

compleja de una fuerza fundamental.

En términos macroscópicos, es decir al

nivel de lo observado en nuestra

experiencia cotidiana a través de

nuestros sentidos, las fuerzas de

contacto tales como la Normal, el Roce y

la Tensión.

Para estudiar estas fuerzas, en este

curso tomaremos dos cuerpos rígidos en

contacto a través de sus superficies

planas. Los cuerpos serán considerados

como partículas, de manera tal que las

fuerzas serán en todo momento

concurrentes.

Normal.

Consideremos un cuerpo de masa m,

sometido a la fuerza de atracción de la

Tierra, puesto sobre la superficie de una

mesa:

P

Fig 4.30 Cuerpo depositado sobre una mesa.

Obviamente el cuerpo está en equilibrio y

puesto que el peso es una fuerza que no

ha dejado de existir, necesariamente la

superficie de la mesa en contacto con el

cuerpo debe haber proporcionado una

fuerza opuesta al peso para anularlo. A

esa fuerza se le denomina Normal.

N

Fig 4.31 Efecto de la superficie de la mesa sobre el cuerpo

Ambas fuerzas están aplicadas sobre

puntos distintos. El peso sobre el centro

de gravedad del cuerpo y la normal en el

punto de contacto entre las superficies.

Sin embargo, puede suponérselas

aplicadas sobre el mismo punto cuando el



cuerpo pueda considerarse como una

partícula.

La Normal en general, es una fuerza

perpendicular a la superficie de contacto,

y su magnitud equivale a la fuerza

necesaria para equilibrar el sistema de

fuerzas en esa dirección.

En otras palabras, la normal tiene una

magnitud equivalente a la resultante de

las fuerzas perpendiculares a la

superficie.

Veamos esto en detalle, puesto que es

frecuente fuente de equivocaciones en

los alumnos iniciados en el tema:

Ejemplo 4.3 Calcular la fuerza normal a

la superficie en los ejemplos siguientes:

a) En la figura anterior si el peso es de

magnitud 20N.

Solución:

Si realizamos un diagrama de cuerpo libre

y suponemos que el cuerpo se comporta

como partícula se tiene:

N

P

Fig 4.32 Diagrama de cuerpo libre

Si el sistema está en equilibrio, entonces

debe cumplir con la condición F 0Σ =r r

, por

lo que se tiene, suponiendo que están en

el plano XY:

ˆ ˆNj Pj 0− =r

de donde N – P = 0

o sea N = P = 20N

b) Si además, se ejerce una fuerza hacia

arriba de magnitud 5N

Solución:

Entonces se tiene el siguiente diagrama

de cuerpo libre:

N

P

F




Entonces: ˆ ˆ ˆNj Pj Fj 0− + =r

de donde N – P + F = 0

o sea N = P – F = 20N – 5N

N = 15N

c) Si tenemos un cuerpo en equilibrio

sobre un plano inclinado sin roce como en

la figura siguiente (θ = 37º):

N

P

F

θ

N

P

F

θ

Psenθ

Pcosθx

y


Solución:

El diagrama de cuerpo libre muestra a las

tres fuerzas ubicadas en un plano

cartesiano que por conveniencia se ha

definido con uno de sus ejes (X) paralelo

al plano inclinado.

De esta manera, la normal tiene dirección

j+ , Fr

tiene dirección i− y Pr

forma un

ángulo θ (el ángulo de inclinación del

plano) respecto del eje –Y, debido a la

geometría del problema.

El vector Pr

se ha descompuesto en los

ejes mencionados, de manera que se

tiene: ˆ ˆP Psen i Pcos j= θ − θr

Y debido a que el cuerpo se encuentra en

equilibrio estático, debe cumplirse que

F 0Σ =r r

por lo que:

N P F 0+ + =r r r r

ˆ ˆˆ ˆNj Psen i Pcos j Fi 0⎡ ⎤+ θ − θ − =⎢ ⎥⎣ ⎦

r

desde donde, por igualdad de vectores,

se tienen las ecuaciones:

Psenθ - F = 0

N – Pcosθ = 0

por lo que:

F = Psen θ ⇒ F = 12N

N = Pcos θ ⇒ N = 16N



Fuerza de Roce.

El roce (o fricción) es una fuerza de

contacto que según los primeros

científicos provenía del entrelazamiento

mecánico de las irregularidades de las

superficies (asperezas).

En efecto hasta los materiales

aparentemente más lisos, se observan

irregulares al microscopio, mostrando

crestas y valles que se concatenan con los

de las superficies de otros cuerpos en

contacto impidiendo o dificultando en

mayor o menor medida el movimiento

relativo entre ellos.

El conocimiento actual del fenómeno sin

embargo, aun cuando no está totalmente

comprendido, lo muestra proviniendo de

tres fuentes principales: la mencionada

trabazón de las irregularidades, la

atracción entre los puntos de contacto

(que producen enlaces o uniones de

carácter electromagnético) debida a las

fuerzas entre las moléculas de los dos

cuerpos (fenómeno particularmente

importante para los metales) y el

desprendimiento de los materiales más

débiles por parte de los más fuertes

(efecto de “arado”).

Desde el punto de vista macroscópico,

quien más contribuyó al conocimiento de

esta fuerza fue Leonardo Da Vinci, el

que descubrió que el roce entre las

superficies de cuerpos en reposo o en

movimiento relativo era independiente del

área de contacto aparente entre ellos y

proporcional a la magnitud de la fuerza

Normal proporcionada por la superficie

de apoyo.

Este hecho sorprendente lo mostró al

encontrar igual valor de la fuerza de roce

entre una mesa y un cuerpo de madera

(con caras de áreas distintas), no

importando cual cara de este se pusiera

en contacto con la mesa.

También encontró que la fuerza necesaria

para mover un cuerpo en reposo relativo

sobre otro cuerpo (fuerza de roce

estática) es mayor que la fuerza de roce

entre dos cuerpos en contacto que

presentan movimiento relativo (cinética).

Esto es mejor entendido hoy, pues se

sabe que desde el punto de vista

microscópico la superficie real de

contacto es extraordinariamente inferior

a la superficie aparente de contacto.

Se explica así que la superficie real de

contacto sea prácticamente igual, no



importa cual cara del cuerpo se deposite

sobre la mesa.

En cambio, al aumentar la Normal se

aumenta la superficie real de contacto al

estar las superficies de los cuerpos mas

presionadas entre sí.

Adicionalmente, se obtiene mayor fuerza

de roce con superficies más ásperas pues

la superficie real de contacto es mayor al

trabarse más estrechamente las

irregularidades.

Fuerza de roce Estático

Desde un punto de vista cuantitativo,

analizaremos acá la fuerza de roce

existente entre dos cuerpos cuyas

superficies están en reposo relativo

entre sí. El caso de las fuerzas de roce

cuando exista movimiento, lo

analizaremos en el capítulo de dinámica.

Consideremos un cuerpo A cuyo peso es

Pr

dispuesto sobre otro B como se indica

en la figura. Las superficies son rugosas

(ásperas), y supondremos las fuerzas

aplicadas sobre el centro de gravedad de

A.

A

P

N

B

Fig 4.35 Fuerzas verticales aplicadas sobre A

Ambos cuerpos están sometidos a la

acción de la fuerza de atracción

gravitatoria vertical y no existiendo

fuerzas en dirección horizontal, no se

espera que A deslice sobre B.

Al estar en equilibrio estático, las

fuerzas aplicadas sobre el cuerpo A

cumplen con la condición F 0Σ =r r

, por lo

que entonces su normal tiene magnitud P

y como no existe ninguna fuerza

horizontal, no existe fuerza de roce.

Empujemos entonces levemente hacia la

derecha el cuerpo mediante una fuerza

Fr

, sin moverlo. Como continúa en

equilibrio estático, entonces se mantiene

la condición, lo que exige la existencia de

una fuerza hacia la izquierda que la

equilibre: la fuerza de roce. (se dibujará

fuera del cuerpo por razones didácticas,

aunque ud. debe recordar que está

aplicada entre las superficies).



P

N

B

Ff

Fig 4.36 Fuerzas aplicadas sobre cuerpo A.

Entonces claramente la magnitud de fr

es

igual que la magnitud de Fr

.

Si continuamos aumentando la magnitud

de Fr

y aún no se mueve el cuerpo A,

entonces necesariamente debe aumentar

proporcionalmente la magnitud de la

fuerza de roce. Sin embargo esta

situación no se puede mantener

indefinidamente, observándose en cambio

que para algún valor de Fr

(que

denominaremos fuerza crítica cFr

) el

cuerpo se encuentra “a punto de

moverse”. De hecho, si se incrementa

infinitesimalmente la magnitud de Fr

, el

cuerpo se mueve.

Cuando se ejerza sobre A la fuerza cFr

,

entonces la fuerza de roce alcanza el

mayor valor posible en equilibrio estático,

razón por la que le denomina fuerza de

roce estático ( sfr

).

P

N

B

Fcfs

Fig 4.37 La fuerza de roce estático equivale en magnitud a la fuerza crítica.

Es decir, cuando un cuerpo está apoyado

en condición de equilibrio estático, la

fuerza de roce entre ambos tiene

magnitudes que van desde 0 hasta fS,

alcanzándose este último valor, cuando los

cuerpos están a punto de moverse uno

sobre el otro.

Como lo preveía Leonardo, si repetimos el

experimento apoyando cualquier cara del

cuerpo A sobre B, se obtiene el mismo

resultado: fS no depende de la

superficie de contacto (la magnitud de la

normal no ha variado).

Pongamos ahora otro cuerpo sobre A.

P2

N2

B

Fc2fs2

Fig 4.38 Al aumentar el peso, aumentan proporcionalmente la fuerza crítica y la normal.



El peso del nuevo cuerpo provoca que el

peso total sobre B aumente en magnitud

hasta P2 lo que a su vez se traduce en un

aumento proporcional en la magnitud de la

normal hasta N2. Naturalmente esto

provoca que la fuerza que “casi mueve” al

sistema de cuerpos sobre C también

aumente su magnitud hasta FC2 lo que a

su vez exige que la fuerza de roce

estático aumente su magnitud hasta fS2.

Sin embargo, las superficies en contacto

no han cambiado.

Si uno mide las magnitudes de las fuerzas

involucradas, encuentra que el cuociente

entre la fuerza de roce estático y la

normal en ambos casos, se mantiene

constante.

Si se repite el experimento muchas

veces, aumentando o disminuyendo el peso

del cuerpo A, cada vez se encuentra el

mismo valor para el cuociente entre las

fuerzas mencionadas, o sea:

ss

fN

µ =

siendo µS el coeficiente de roce estático.

Si volvemos a repetir la experiencia, pero

ahora cambiando el cuerpo A por otro

cuya superficie tenga una rugosidad

distinta (o el cuerpo B se cambia por otro

de rugosidad distinta), se encuentra lo

mismo que en el caso anterior, solo que el

valor de µS será distinto. En consecuencia

µS depende de la rugosidad de ambas

superficies en contacto.

En la actualidad se tiene conocimiento de

los valores de esta constante para un

gran número de superficies, algunos de

los cuales se muestran en la siguiente

tabla.

µS Superficies en contacto secas lubricadas

Acero-acero 0,76 0,01 – 0,23

Aluminio-aluminio 1,05 0,30

Vidrio-vidrio 1,94 0,35

Madera-madera 0,58

Teflón-teflón 0,04

Goma-concreto seco 1,2

Goma-concreto húmedo 0,80

Madera-acero 0,50

Fuente: Wilson. Física con aplicaciones

Esto permite evaluar la fuerza de roce

estático que se tendrá entre dos

superficies conocidas, si se dispone de la

Normal, pues de la ecuación anterior se

tiene:

fS = µS N



Fuerza de roce cinético.

A diferencia de lo que observamos cuando

un cuerpo esta en reposo, la existencia de

movimiento relativo entre dos cuerpos

cuyas superficies están en contacto

produce una fuerza de oposición

denominada fuerza de roce cinético (fK)

que es constante, independiente de la

velocidad.

La magnitud de fK es igual que la magnitud

de la fuerza externa que se necesita para

mantenerlo moviéndose con velocidad

constante. De esta manera, si la fuerza

externa es mayor o menor que fK, el

cuerpo tendrá fuerza neta positiva o

negativa respectivamente (amentando o

disminuyendo la magnitud de la velocidad)

Fig 4.39 Fuerza neta cero. Cuerpo en equilibrio. Movimiento inercial

Fig 4.40 Si aumenta la fuerza externa, se produce una fuerza neta positiva y una aceleración positiva, manifestada por un aumento en la magnitud de la velocidad.

Fig 4.41 En cambio, si se disminuye la fuerza externa, se produce una fuerza neta negativa, una aceleración negativa y una disminución en la magnitud del vector velocidad.

La fuerza de roce cinética es

directamente proporcional a la Normal,

tal como la fuerza de roce estático.

Kf N∝

Que da lugar a la expresión:

K Kf N= µ

Donde µK es una constante de

proporcionalidad denominada coeficiente

de roce cinético, que depende de las

superficies en contacto.

Como la fuerza de roce cinético equivale a

la fuerza necesaria para mantener a un

cuerpo en estado inercial, su magnitud es

menor que la fuerza de roce estático, que

equivale a la magnitud de la fuerza

necesaria para sacar a un cuerpo del

reposo relativo con respecto del otro

cuerpo en contacto.

Esta es una experiencia común a todos

quienes hemos tratado de mover a un



automóvil descompuesto. Cuesta mucho

moverlo, pero una vez que lo logramos,

necesitamos mucho menor esfuerzo para

mantenerlo en movimiento.

FZA APLICADA

FZA DE ROCE

REPOSO MOVIMIENTO

fS

fK

Fig 4.42 La gráfica muestra la fuerza de roce en función de la fuerza externa aplicada al cuerpo y el estado de movimiento.

La siguiente tabla incluye algunos valores

de los coeficientes de roce cinético y

estático. Los valores son aproximados y

deben usarse solo como referencia.

MATERIALES µS µK

Madera-madera 0,4 0,2

Hielo-hielo 0,1 0,03

Metal-metal (lubricado) 0,15 0,07

Acero-acero(sin lubricar) 0,7 0,6

Acero-aluminio 0,6 0,5

Caucho-concreto seco 1,0 0,8

Hule-concreto mojado 0,7 0,5

Teflón-teflón en aire 0,04 0,04

Rodamientos de bolas, < 0,01 < 0,01

Articulaciones cuerpo humano 0,01 0,01 FUENTES: D. GIANCOLI, FISICA: PRONCIPIOS CON APLICACIONES. J WILSON, FISICA.

Tensión

Se entiende por tensión de cuerdas,

alambres, cables o hilos, a la fuerza que

ejercen sobre cuerpos a los que están

unidos. La dirección es siempre a lo largo

de la cuerda tirando a los cuerpos a los

que está unida y en el caso de cuerdas

con masa despreciable, es de igual

magnitud a lo largo de toda la cuerda.

Cuando se trabaja con cuerdas de masa

despreciable y poleas ideales sin masa ni

roce, se encuentra que la cuerda

mantiene su tensión aún cuando cambia de

dirección.

La tensión se debe a las fuerzas

intermoleculares que permiten a la cuerda

existir y ser flexible.

Ejemplo 4.4 Dibuje el diagrama de

cuerpo libre de la cuerda, el cuerpo C y el

cielo de la habitación de la que cuelgan,

en la siguiente figura:

Fig 4.43 Figura del ejemplo 4.4.



Solución:

En la figura se observan las fuerzas que

actúan sobre el cuerpo, sobre la cuerda y

sobre el cielo.

Fig 4.44 Diagrama de cuerpo libre para cuerda, cielo y cuerpo del ejemplo 4.4

Aquí se ha supuesto que la cuerda y el

cielo tienen masas despreciables.

Note que sobre el cuerpo existen dos

fuerzas que se anulan: el peso ( Pr

) y la

tensión de la cuerda ( cTr

).

Sobre la cuerda existen dos fuerzas

también: la reacción a la tensión de la

cuerda sobre el cuerpo ( *cTr

) y la reacción

de la tensión de la cuerda sobre el cielo

( *TTr

).

Sobre el cielo existen tres fuerzas: la

tensión de la cuerda ( TTr

) y las fuerzas de

las paredes ( 1Rr

y 2Rr

).

Debido a que están en equilibrio, la

resultante de las fuerzas sobre cada uno

de ellos debe ser igual al vector nulo.

4.3.3 Pesar y masar

Pesar

El Peso es una magnitud fácil de medir

(“pesar”) con un sencillo dispositivo

consistente en un resorte y una escala

graduada, denominada Dinamómetro

(Pesa).

Un resorte es un sistema que tiene la

propiedad de deformarse

apreciablemente bajo la acción de

fuerzas. Si la magnitud de las fuerzas

aplicadas es la apropiada, el resorte

retornará a su largo natural después de

ser liberado. Mientras esto suceda, se

tendrá que la fuerza aplicada y el

alargamiento serán directamente

proporcionales. La reacción a esta fuerza

sigue la denominada Ley de Hooke, que se

verá con detalle mas adelante.



X0

∆X1

∆X2

∆X3

F1

F2

F3

F1

F2

F3

∆X1

∆X2

∆X3

∆X

F

Fig 4.45 Gráfico magnitud de la fuerza aplicada sobre un resorte versus alargamiento desde el largo natural.

Por tanto se tiene que F=k∆x donde k

es una constante de proporcionalidad que

depende de la constitución del resorte.

Si colgamos el resorte desde un soporte

su propio peso le proporcionará un nuevo

largo natural. Si a continuación le

colgamos un cuerpo de masa 1Kg se

elongará una determinada cantidad.

L0 0

∆L1

1 Kg

0

1

Fig 4.46 En el papel se marca 0 frente al largo natural y 1 frente al largo que alcanza cuando se cuelga un cuerpo de masa 1Kg

Como el cuerpo quedará en reposo,

entonces la fuerza que hace el resorte

sobre el cuerpo debe tener igual

magnitud que el peso del cuerpo.

Según la tercera Ley, esta fuerza tendrá

una reacción que es una fuerza de igual

magnitud, dirigida hacia abajo, del cuerpo

sobre el resorte. Es decir, el nuevo largo

del resorte es una indicación del peso del

cuerpo colgado en él.

Un diagrama de cuerpo libre siempre

aclara estas discusiones:

1 Kg

fza resorte sobre cuerpo

fza tierra sobre cuerpo (peso)

fza cuerpo sobre resorte

fza soporte sobre resorte

Fig 4.47 Ambos cuerpos están en equilibrio. Todas las fuerzas tienen igual magnitud.

Si colgamos un cuerpo de 2 Kg de masa, la

elongación será el doble de la anterior.



∆L1

1 Kg

0

1

∆L2

2 Kg

0

1

2

Fig 4.48 La elongación es proporcional a la fuerza

Se tiene ahora una escala graduada que

permite comparar el peso de un cuerpo

cualquiera con el peso de una masa

patrón, simplemente observando la

elongación resultante y el número en la

escala.

0

1

2

peso (Kf)

Fig 4.49 La cámara pesa igual que un cuerpo patrón de masa 2 Kg, pues elonga el resorte hasta el número 2 de la escala graduada en Kf.

El instrumento permite medir pesos, por

lo que se denomina dinamómetro.

La escala está graduada en una unidad

nueva de fuerza, denominada Kilógramos-

fuerza o Kilógramos-peso [Kf] en el

denominado Sistema Técnico

Gravitacional (STG).

En nuestra vida diaria encontramos un

sinnúmero de estos aparatos, que no solo

utilizan la ley de hooke sino otras

variables físicas que dependen

linealmente del aumento de peso. Algunas

presentan escalas lineales, otras

circulares, otras digitales, etc.

Es común que se presente una confusión

con estas unidades. Cuando nos subimos a

una pesa en la farmacia, observamos una

lectura de 60Kg, erróneamente indicados,

puesto que debería decir Kf como

acabamos de ver. Lo mismo ocurre en la

mayoría de las tiendas que nos pesan los

artículos (verduras, frutas, clavos,

azúcar, etc) y nos dan indicaciones en

Kilogramos, cuando realmente está en

Kilogramos fuerza.

La confusión en términos cotidianos no es

tan grave si uno observa que la masa en

Kg es numéricamente igual que el peso en

Kf. Desde el punto de vista de la física

sin embargo, la diferencia es notable,

puesto que Kg es una unidad de masa en el

SI, en cambio Kf es una unidad de fuerza

en el STG.



Es fácil advertir que este instrumento

tendrá validez solo en el lugar en el que

fue calibrado, puesto que una masa patrón

en la superficie de la Luna por ejemplo,

pesará solo la sexta parte de lo que pesa

en la Tierra. Deberá calibrarse

nuevamente allí.

Esto no es extraño, puesto que sabemos

que el peso es una fuerza de atracción

gravitacional, que depende de las masas

de ambos objetos.

Adicionalmente, también depende del

inverso del cuadrado de las distancias

entre ambos, por lo que en distintos

lugares de la Tierra también deberá

calibrarse nuevamente, puesto que cada

punto de la superficie de la tierra no está

a la misma distancia desde el centro de

gravedad de la Tierra.

Masar.

Un caso distinto es el procedimiento

destinado a medir masas (masar), para el

que se utiliza un aparato denominado

balanza analítica compuesto básicamente

de un soporte vertical con dos brazos

horizontales de igual largo con

dispositivos para colocar cuerpos.

FIZQ FDER

Fig 4.50 Balanza analítica. La fuerza con que la tierra atrae a ambos brazos es igual. Existe equilibrio de rotación y traslación. La barra se mantiene horizontal.

Cuando se pone un cuerpo en uno de los

platos, se observa que la barra se inclina,

debido a que al aumentar el peso, existe

desequilibrio de rotación produciéndose

un torque resultante. Note que no existe

desequilibrio de traslación, de modo tal

que la barra solo rota alrededor del eje

ubicado en el punto de unión con la barra

vertical.

FIZQ

FDER

Fig 4.51 El peso del lado izquierdo es mayor que el peso sobre el lado derecho. El torque resultante produce la inclinación.



El equilibrio se puede restablecer

poniendo cuerpos con igual masa al lado

derecho. Si ponemos cuerpos de masas

conocidas, la suma de sus masas equivale

exactamente a la masa del cuerpo del

lado izquierdo.

Note que se necesita que las fuerzas a

ambos lados sean iguales,

independientemente de su magnitud. Es

decir, este instrumento permite medir

masas en cualquier lugar. El

procedimiento se denomina “masar”.

1 Kg

FIZQ FDER

Fig 4.52 El equilibrio se restablece cuando las fuerzas sobre el lado derecho e izquierdo son iguales. Esto ocurre cuando las masas son iguales. Aquí, la masa del balón es de 1 Kg.

Fig 4.53 balanza analítica

4.4 Aplicaciones de los principios de Newton a sistemas de cuerpos.

En los siguientes ejemplos, revisaremos

las formas de aplicar las leyes de Newton

en la resolución de problemas que

involucran interacción entre cuerpos

sometidos a la acción del campo

gravitacional e interacción entre ellos

mismos.

Ejemplo 4.5. Una fuerza de magnitud

50N es aplicada sobre un cuerpo (A) de

masa 30Kg, el que a su vez se encuentra

en contacto con un cuerpo (B) de masa

20Kg como se indica en la figura. Ambos

se encuentran sobre una superficie lisa

(sin roce).

a) ¿Cuál es la aceleración del sistema?

b) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas de

interacción entre los cuerpos?.

BAF

Fig 4.54 Figura para el ejemplo 4.5

Solución.



a) Primero haremos un diagrama de

cuerpo libre para ambos bloques.

PB

FBAF

NA

NB

FAB

PA

A

B

Fig 4.55 Diagrama de cuerpo libre para los bloques del ejemplo 4.3

Las aceleraciones de los cuerpos A y B

son iguales en magnitud pues ambos

conforman el sistema y se mueven unidos.

A B S sˆa a a a i= = =

r r r

Como sabemos que la segunda ley tiene la

forma vectorial:

( )x y z x y zF i F j Fk m a i a j a kΣ + Σ + Σ = + +) )) )) )

Si la aplicamos al cuerpo A, se tendrá:

( )Ax Ay A Ax AyF i F j m a i a jΣ + Σ = +) )) )

De donde se tienen las ecuaciones

escalares:

xA A AxF m aΣ = (1)

yA A AyF m aΣ = (2)

si suponemos que los cuerpos A y B están

en el plano XY, entonces las ecuaciones

(1) y (2) serán,

BA A sF-F m a= (1)

A AN -P 0= (2)

pues ayS es cero.

Por las mismas razones, se tiene para B:

AB B SF m a= (3)

B BN -P 0= (4)

Disponemos por tanto, de un sistema de 4

ecuaciones. Si sumamos las ecuaciones

(1) y (3), tenemos:

F-FBA +FAB =mAaS+mBaS (5)

Pero FBA=FAB pues son las magnitudes de

las fuerzas de interacción entre los

cuerpos A y B, que constituyen un par de

Acción y Reacción.

Por tanto la ecuación resulta,

F=aS(mA+mB)

De donde

S 2A B

F 50N ma 1m m 30Kg 20Kg s

= = =+ +



b) La fuerza de interacción es posible de

obtener de la ecuación (1) o de la

ecuación (3). Tomemos la ecuación (3):

( )AB B S 2mF m a 20Kg 1 20Ns

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Por lo que

ABˆF 20Ni=

r

Note que si toma la ecuación (1) tiene:

BA A sF-F m a=

De donde

( )BA A S 2mF F-m a 50N- 30Kg 1 20Ns

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Pero FBA está definida como negativa, por

lo que BAˆF - 20 N i=

Como era de esperarse pues son un par de

acción y reacción.

Ejemplo 4.6. Calcular las tensiones de la

figura, si m1=10Kg; m2=20Kg,

m3=30Kg; F=6Kf y g=10 2ms

.

21

F3

Fig 4.56 Figura para el ejemplo 4.6.

Solución.

Nuevamente, la solución se facilita

enormemente si se considera un diagrama

de cuerpo libre para cada cuerpo, como se

observa en la figura.

1

2

3 FT23

T22T12

T11

N1

N2

P1

P2

P3

N3

Fig 4.57 Diagrama de cuerpo libre para ejemplo 4.6.

Sobre cada cuerpo existen 2 fuerzas

verticales, la fuerza de atracción

gravitacional, que es distinta pues cada

uno tiene masa distinta, y la fuerza con

que la superficie se opone al movimiento

hacia abajo, que es distinta para cada

uno.

Horizontalmente se tiene la acción de Fr

sobre el cuerpo 3 y la acción de las

cuerdas 1 y 2 sobre los cuerpos 1,2 y 3.

La cuerda 1 afecta a los cuerpos 1 y 2 con

una fuerza que hemos denominado

tensión.

La cuerda ejerce un esfuerzo hacia la

derecha sobre el cuerpo 1 ( 11Tr

) pero



hacia la izquierda sobre el cuerpo 2 ( 12Tr

),

por lo que produce vectores distintos,

aunque de igual magnitud ( 1T ).

La cuerda 2 también ejerce fuerzas de

igual magnitud sobre ambos cuerpos ( 2T ),

pero sobre el cuerpo 2 la ejerce hacia la

derecha ( 22Tr

) y sobre el cuerpo 3 hacia la

izquierda ( 23Tr

).

Analíticamente, de acuerdo a la segunda

Ley de Newton:

x1 1 x1F m aΣ = (1)

y1 1 y1F m aΣ = (2)

Por lo que:

T1=m1 aS (1)

N1–P1=0 (2)

Debido a que la aceleración es de igual

magnitud en la horizontal (x) para todos

los cuerpos (aS) y por tanto es la

aceleración del sistema y cero en la

vertical puesto que no se mueve en la

dirección y.

Para el cuerpo 2 se tiene, aplicándole la

segunda Ley de Newton:

x2 2 x2F m aΣ = (3)

y2 2 y2F m aΣ = (4)

De donde:

T2–T1=m2as (3)

N2–P2=0 (4)

Finalmente para el cuerpo 3, se tiene:

x3 3 x3F m aΣ = (5)

y3 3 y3F m aΣ = (6)

De donde:

F–T2=m3as (5)

N3–P3=0 (6)

Se cuenta entonces, con un sistema de 6

ecuaciones, que permite resolver hasta 6

incógnitas.

En este caso, resolveremos el sistema

para calcular las tensiones. Para ello,

ocuparemos las ecuaciones (1), (3), y (5).

T1=m1aS (1)

T2–T1=m2as (3)

F–T2=m3as (5)

Donde T1, T2 y as son incógnitas.

Resolveremos primero la aceleración.



Sumando las ecuaciones, se tiene:

F=(m1+m2+m3)as

De donde:

s 21 2 3

F 60N ma 1m m m 10Kg 20Kg 30Kg s

= = =+ + + +

Puesto que F=6Kf=6(10N)=60N

Ahora reemplazamos la aceleración en la

ecuación (1):

T1=m1as=(10Kg)(1 2sm )=10N

En la ecuación (3):

T2–T1=m2as

T2=m2as+T1=(20Kg)(1 2sm )+10N=30N

Es necesario destacar que:

11ˆT 10Ni=

r 12

ˆT 10N(-i)=r

22ˆT 30Ni=

r 23

ˆT 30N(-i)=r

Ejemplo 4.7. Determinar la tensión de

la cuerda en el sistema de la figura si

entre el plano y los cuerpos no existe

roce.

Considere: m1=30Kg, m2=20Kg, θ=30º.

θ

12


Solución:

Las figuras siguientes muestran los

diagramas de cuerpo libre para los

cuerpos 1 y 2 respectivamente.

El sistema de referencia para el cuerpo 1

se ha escogido de manera tal que el eje x

es paralelo a la superficie del plano y el

eje y es perpendicular a él.

θ θ

P1

N1x1Tc1

y1

P1 cos θ

P1 sen θ

x1y1

P1

Fig 4.59 Diagrama de cuerpo libre para cpo. 1



Las fuerza normal es perpendicular al

plano y por tanto tiene dirección 1j ; la

Tensión tiene dirección 2i ; el peso del

cuerpo 1 tiene componentes en ambos

ejes y se puede escribir como

1 1 1 1 1ˆ ˆP Pcos i Psen j= θ + θ

r puesto que el ángulo

se copia contra el semieje –y.

El ángulo se copia allí debido a que las

direcciones del plano de deslizamiento y

el eje y son perpendiculares, de igual

forma que la dirección del peso y el plano

de la base.

Si aplicamos segunda Ley de Newton al

cuerpo 1, se tiene:

x1 1 x1F m aΣ = (1)

y1 1 y1F m aΣ = (2)

De donde:

Tc1–P1senθ=m1ax1 (1)

N–P1cosθ=0 (2)

La aceleración del cuerpo 1 en la

perpendicular al plano es nula puesto que

no se mueve en esa dirección.

Las ecuaciones (1) y (2) se pueden

rescribir para expresarlas en función de

la masa del cuerpo 1:

Tc1–m1g senθ=m1ax1 (1)

N–m1gcosθ=0 (2)

Ya que P1=m1g

P2

y2

x2

Tc2

Fig 4.60 Diagrama de cuerpo libre para cpo. 2

Respecto al cuerpo 2 se tiene:

x2 2 x2F m aΣ = (3)

y2 2 y2F m aΣ = (4)

Pero como no existen fuerzas en el eje

horizontal y tampoco hay movimiento, solo

podemos escribir la ecuación (4):

Tc2–P2=m2(-ay2) (4)

Puesto que la dirección de la aceleración

del cuerpo 2 es la del semieje negativo de

las y en su sistema de referencia.

En función de la masa del cuerpo 2:

Tc2–m2g=m2(-ay2) (4)



Lo anterior nos ha proporcionado un

sistema de 3 ecuaciones, que cuenta con

un número de incógnitas mayor que 3.

Estas se pueden reducir, puesto que

sabemos que si la cuerda es inextensible

las magnitudes de las tensiones de la

cuerda sobre ambos cuerpos son iguales,

es decir:

Tc1=Tc2=T

y las aceleraciones de los cuerpos son de

igual magnitud: ax1=ax2=as.

Por tanto:

T–m1g senθ=m1as (1)

N–m1g cosθ=0 (2)

T–m2g=m2(-as) (4)

Haciendo (1)–(2), se tiene:

m2g–m1g senθ=(m1+m2)as

De donde:

2 1 s

1 2

g(m -m sen )a m m

θ=

+

( )( )2

s 2

m 10 20Kg 30 Kg 0,5 msa 130Kg 20Kg s

⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠= =+

Por lo tanto:

1 12m ˆa 1 is

=r ; ( )2 22

m ˆa 1 js

= −r

La ecuación (4) permite calcular

rápidamente la magnitud de la cuerda:

T=m2(g-as)= 2 2m m20Kg 10 -1 180Ns s

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Es decir,

c1 1T 180Ni=r

; c2 2T 180Nj=r

Ejemplo 4.8. Determine la magnitud de

la fuerza necesaria parra arrastrar el

cuerpo de la figura hacia la derecha con

velocidad constante, si m=20Kg; µk=0,2 y

θ=37º.

θ

F


Solución:

En la figura siguiente se encuentra un

diagrama de cuerpo libre.

θ

FN

P

fk




Si está en movimiento, entonces la fuerza

de roce es cinética, de manera que:

x xF maΣ = (1)

y yF maΣ = (2)

De donde:

Fcosθ–fk=0 (1)

Fsenθ+N–P=0 (2)

Puesto que la velocidad es constante en x,

y no hay movimiento en y.

La fuerza de roce cinético se puede

calcular como fk=µkN y el peso como

P=mg, por lo que:

Fcos37º–µkN=0 (1)

Fsen37º+N–mg=0 (2)

De (2);

N=mg–Fsen37º

Reemplazándola en (1):

Fcos37º-µk(mg–Fsen37º)=0

De donde:

( )k

k

mgF cos37º sen37º

µ=

+µ

( )( )

( )( )2

m0,2 20Kg 10sF 44,4N

0,8 0,2 0,6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+

Ejemplo 4.9. Sobre el cuerpo A de la

figura actúa una fuerza de magnitud F e

inclinación 37º respecto de la horizontal.

Si la cuerda es inextensible y de masa

despreciable, mA=6Kg; mB= 8Kg; µs=0,1 y

µk=0,05:

a) ¿Cuál es la magnitud máxima que puede

tener Fr

para que el sistema siga en

reposo?

b) Determine la aceleración del sistema si

la magnitud de la fuerza fuera de

100N.

c) Para el caso de la pregunta b),

determine la magnitud de la tensión de

la cuerda.

θ

F

BA


Solución:

La figura muestra un diagrama de cuerpo

libre para cada cuerpo.



A

PA

fSA TcA

NA

yA

xA

θ

B

PB

fSB

yB

TcBxB

NB


a) Aplicando segunda Ley de Newton

sobre cuerpo A:

xA A xAF m aΣ = (1)

yA A yAF m aΣ = (2)

xB B xBF m aΣ = (3)

yB B yBF m aΣ = (4)

Según lo discutido en los ejemplos

anteriores.

De la figura 4.64 se tiene:

T–µSANA=0 (1)

NA–mAg=0 (2)

Fcos37º-T-µSBNB=0 (3)

Fsen37º+NB–mBg=0 (4)

Pues las magnitudes de las tensiones son

iguales, las aceleraciones son nulas pues

las velocidades en x e y son nulas, los

pesos y las fuerzas de roce estático se

pueden calcular según lo discutido

anteriormente.

En las ecuaciones se ha considerado la

fuerza de roce estática, pues cuando el

cuerpo está a punto de moverse, se tiene

la fuerza máxima para conservar el

reposo.

Se puede calcular el valor de las normales

sobre los cuerpos a partir de las

ecuaciones 2 y 4 respectivamente,

resultando:

NA=mAg de la ecuación (2)

NB=mBg -Fsen37º de la ecuación (4)

Reemplazando estos valores en las

ecuaciones (1) y (2) respectivamente, se

tiene:

T–µSAmAg=0 (5)

Fcos37º-T-µSB(mBg -Fsen37º)=0 (6)

De (5):



( )( ) 2mT 0,1 6Kg 10 6Ns

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Mientras que de la ecuación (6) se tiene:

S B

S

T m gFcos37º sen 37º

+ µ=

+ µ

Reemplazando los valores, finalmente:

( )( )

( )( )2

m6N 0,1 8Kg 10 14NsF 16,3N0,8 0,1 0,6 0,86

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

+

b) Si la magnitud de F fuera de 100N,

entonces sería suficiente para mover el

sistema. Entonces la fuerza de roce sería

cinética, y el sistema de ecuaciones

quedaría:

T–µkANA= mAaS (7)

NA–mAg=0 (8)

Fcos37º-T- µkBNB=mBaS (9)

Fsen37º+NB–mBg=0 (10)

Las ecuaciones (8) y (10) permiten

calcular las normales:

NA=mAg de la ecuación (8)

NB=mBg-Fsen37º de la ecuación (10)

Note que la situación en y no ha

cambiado.

Reemplazando en las ecuaciones (7) y (9),

se tiene:

T–µkAmAg= mAaS (11)

Fcos37º-T-µkB(mBg -Fsen37º)=mBaS (12)

Sumando, y reemplazando los valores, se

tiene:

aS=5,43 2ms

c) reemplazando la aceleración en la

ecuación (11), se tiene T=35,6N.

4.5 Cantidad de Movimiento e Impulso.

Como hemos dicho, la formulación

matemática de la segunda Ley fue

presentada por Euler. Newton en su

segunda ley de newton no se refiere a la

masa y a la aceleración sino a la variación

del movimiento (lo que hoy denominamos

cantidad de movimiento o momentum

lineal):

“la rapidez de cambio del movimiento de

un cuerpo es proporcional a la fuerza neta

aplicada sobre él, y tiene lugar en la

misma dirección”.



Definida la cantidad de movimiento como

el vector que resulta de multiplicar la

masa por la velocidad ( p mv=r r ), entonces

podemos escribir:

dpFdt

Σ =rr

En términos discretos:

pFt

∆Σ =

∆

rr

O en otras palabras: fuerza es todo

aquello que es capaz de cambiar la

cantidad de movimiento de un cuerpo.

Note que esta expresión puede

escribirse como:

d(mv) dvF m madt dt

Σ = = =r rr r

Es decir: F maΣ =r r

Expresión que es válida solo si la masa es

constante, de lo contrario sería

derivable y tenemos una expresión

distinta, como sucede con sistemas de

masa variable, de los cuales los cohetes

que van perdiendo masa al quemar el

combustible son los ejemplos más

emblemáticos.

Es importante reconocer el genio de

Newton en esta formulación mucho más

general que la consideración de masa

variable, puesto que se sintoniza

perfectamente con la teoría de la

relatividad, en donde la relación entre la

fuerza y la aceleración depende de la

velocidad. En efecto, en la medida en que

la velocidad se acerca a la de la luz, se

tiene que la masa va aumentando.

En este curso, consideraremos que la

masa es constante, pues los fenómenos

que estudiamos están muy lejos de las

dimensiones o velocidades relativistas.

La ecuación de la variación de momentum

lineal se puede escribir como:

F dt dpΣ =r r


F t pΣ ∆ = ∆r r

Donde FΣr

representa la fuerza neta

media aplicada sobre el cuerpo en el

intervalo de tiempo ∆t.

Esta ecuación explicita que el cambio en

la cantidad de movimiento depende del

tiempo en que estuvo aplicada la fuerza.

A la cantidad de la izquierda se le

denomina Impulso ( )Ir

y es un vector en

la misma dirección que la fuerza neta.



I Fdt= Σr r


I F t= Σ ∆r r

Las unidades de la cantidad de

movimiento e impulso son las mismas como

es natural y son mKgs

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

o [ ]Ns .

El impulso puede ser representado como

el área bajo la curva en un gráfico fuerza

versus tiempo.

t1t0

F

F

t

Fig 4.65 Aquí se representa la fuerza constante recibida por un cuerpo. Entre t0 y t1 el área bajo la curva es F(t1–t0), es decir, el impulso recibido durante ese lapso.

Se puede rescribir la segunda ley de

Newton en función de la cantidad de

movimiento y el impulso, quedando en

términos discretos como:

I p= ∆r r

La cantidad de movimiento es

particularmente importante por cuanto

nos permite estudiar fenómenos

complejos en los que participan varios

cuerpos, con gran sencillez.

En el caso de colisiones, las fuerzas de

interacción están presentes durante

intervalos de tiempo extremadamente

pequeños, a lo que se debe sumar la

dificultad de que no son constantes.

v v v

F1 F2 F3

Fig 4.66 Una pelota golpea una pared. La velocidad de la pelota disminuye en magnitud pues la fuerza de la pared tiene dirección opuesta al movimiento. La magnitud de la fuerza aumenta en la medida que la deformación de la pelota también lo hace.

vvv

F6 F5 F4

Fig 4.67 Finalmente la pelota se detiene, invierte el sentido de la dirección de la velocidad y se devuelve, aumentando la magnitud hasta separarse. La fuerza de la pared sobre la pelota está en igual dirección que el movimiento y su magnitud va disminuyendo.

Una gráfica de la fuerza versus el tiempo

es una curva como la siguiente:



F

tF2 , F5

F3 , F4

F1 , F6

t1t0

Fig 4.68 Gráfica F(t) para interacción entre cuerpos

El impulso es el área bajo la curva, cuyo

cálculo no es trivial.

Sin embargo, si reemplazamos la fuerza

variable por una fuerza constante de

magnitud igual que la fuerza media

actuando en el mismo intervalo de tiempo,

tenemos un área igual.

F

tFmedia

t1t0

Fig 4.69 El área bajo la curva F(t) es el Impulso.

Que se puede calcular simplemente como

mediaI F t= ∆r r

Por tanto, si queremos evaluar el

complejo fenómeno de la colisión,

podemos usar la expresión:

mediaF t p∆ = ∆r r

Fig 4.70 Foto ultrarrápida del choque de una raqueta y una pelota de tenis.

4.6 Conservación de la cantidad de movimiento.

Observemos una interacción a la luz de la

tercera Ley y de la cantidad de

movimiento.

Para ello consideremos dos esferas que

chocan linealmente luego de lo cual salen

separadas, como se observa en la figura

siguiente.



vA vBmA mB

mA mB

uA uBmA mB

Fig 4.71 Las bolitas de masas mA y mB viajan en la misma dirección, chocan y salen separadas con velocidades distintas. No hay roce con la superficie

En este ejemplo, si el roce entre las

bolitas y la superficie es despreciable, las

fuerzas que se hacen entre ellas son las

únicas que participan en la dirección del

movimiento.

La fuerza que A ejerce sobre B, le

produce un cambio en la cantidad de

movimiento a B, según lo previsto en la

segunda Ley:

( )AB B B BF t m u -v∆ =r r r

La fuerza que B ejerce sobre A está en la

dirección opuesta y le produce un cambio

en la cantidad de movimiento a A:

- ( )BA A A AF t m u -v∆ =r r r

Según la Tercera Ley ambas fuerzas son

iguales en magnitud; además estuvieron

actuando durante el mismo lapso de

tiempo, por tanto:

( ) ( )B B B A A Am u -v -m u -v=r r r r

Es decir la misma cantidad de movimiento

que pierde una bolita es ganada por la

otra, y por tanto si consideramos que

ambas bolitas constituyen un sistema, la

cantidad de movimiento del sistema ha

permanecido inalterable.

Este resultado, que puede extenderse a

sistemas de muchas partículas, incluso

gases u otros sistemas, es una forma del

denominado Principio de conservación de

la cantidad de movimiento (publicado por

primera vez por el matemático John

Wallis en 1668, antes de la publicación de

los Principia; se cree que Newton se basó

en este principio para la formulación de

su Tercera Ley).

El principio se enuncia así:

“si sobre un sistema no actúan fuerzas

externas, su cantidad de movimiento es

constante”.

Note que la expresión matemática

anterior se puede reordenar como:

A A B B A A B Bm v m v m u m u+ = +r r r r



Conocida en la mayoría de los textos como

la formulación matemática del principio

de conservación de la cantidad de

movimiento lineal, aunque es solo la

versión restringida a la colisión de dos

partículas.

En general, si el sistema tiene n

partículas:

i n i n

i i i ii 1 i 1

m v mu= =

= =

=∑ ∑r r

Esta es una expresión vectorial, por tanto

podemos tener el caso de que se conserve

en una dirección y en otra no, como en el

caso de la explosión de una granada que

está sujeta al peso en la dirección

vertical pero no tiene fuerza externa

actuando en la dirección horizontal y por

tanto conservará la cantidad de

movimiento solo en la última dirección.

Retornaremos a la discusión de las

colisiones, luego que discutamos el

principio de conservación de la energía

Ejemplo 4.10. Una pelota de golf cuya

masa es 50g recibe un golpe que le

proporciona una rapidez inicial de 30 ms

.

Determine:

a) La cantidad de movimiento adquirida.

b) El impulso que adquirió

c) Si el impulso duró 0,01, determine la

magnitud de la fuerza media que actuó

sobre la pelota.

Solución:

a) p m v∆ = ∆r r de modo que:

( ) gcmcmp 50g 3000 150000s s

⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Como I p= ∆r r

entonces:

I=150000 gcms

c) la fuerza no es constante, pero en la

expresión: I F t= ∆r

, F es la fuerza media

que actuó sobre la pelota, por tanto:

4

62

gcm15X10I sF 15X10 Dt 10 s−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

∆

Ejemplo 4.11. Un bloque de masa 10Kg

desliza a partir del reposo por un plano

inclinado. Determinar su rapidez 3s

después de iniciado su movimiento, si

µk=0,25 y θ=25º.



θ


Solución:

Como siempre, confeccionaremos un


P

θ θ

N xfk

y

mg cos θ

mg sen θ

xy

P

Fig 4.73 Diagrama de cuerpo libre para ej.4.11.

Aplicando segunda Ley de Newton:

x xF maΣ = (1)

y yF maΣ = (2)

Por lo que:

fk–mgsenθ=m(-a) (1)

N–mgcosθ=0 (2)

De (2): N=mgcosθ

En (1), ya que fk=µkN,

µkmgcosθ−mgsenθ=-ma

Ordenando:

mgsenθ−µkmgcosθ=ma

mg(senθ−µkcosθ)=ma


xFΣ = mg(senθ−µkcosθ)

y como sabemos que I p= ∆r r

que se puede

escribir como: xF t m vΣ ∆ = ∆ , para la

dirección del movimiento,

mg(senθ−µkcosθ) t∆ =m(v3–v0)

de donde, como v0=0:

v3=g(senθ–µkcosθ)∆t

( )( )( )3 2mv 10 sen25º- 0,25 cos25º 3ss

=

3mv 5,88s

=

Ejemplo 4.12. Un cuerpo de masa 4Kg

y rapidez u=6 ms

se divide en dos

fragmentos que se separan en direcciones

que forman ángulos de 60º y 30º

respectivamente, con respecto de la



dirección original del movimiento. Si la

masa del primer fragmento es 1Kg. ¿Cuál

será la rapidez de cada fragmento?.

30º60º

m2 = 3 Kg

m1 = 1 KgM= 4 Kg


Solución:

En una explosión, la cantidad de

movimiento debe conservarse, pues es un

evento interno al sistema, por tanto:

Si SfP P=r r

1 1 2 2Mu m v m v = +r r r

( ) ( )x 1x 1y 2x 2yˆ ˆ ˆˆ ˆ4u i 1 v i v j 3 v i v j= + + +

con: xˆu u i=

r

1 1 1ˆ ˆv v cos60ºi v sen60ºj= +

r

2 2 2ˆ ˆv v cos30ºi-v sen30ºj=

r

En consecuencia:

( )x 1 1ˆ ˆ ˆ4u i v cos60ºi v sen 60ºj= + +

( )2 2ˆ ˆ3v cos30ºi-3v sen30ºj+

De donde, por igualdad de vectores se

tiene las ecuaciones:

x 1 24u v cos60º 3v cos30º= + (1)

1 20 v sen60º- 3v sen30º= (2)

Reemplazando los valores conocidos:

24=0,5v1+2,5v2

0=0,87v1–1,5v2

De donde:

V2=6,94 ms

; V1=11,94 ms

M x

y

u

v2

x

y-v

2 sen

30º

v2 cos 30º

30º

v1

x

y

v 1 s e

n 6 0

º

v1 cos 60º

Fig 4.75 Vectores velocidad antes y después de la explosión del ejemplo 4.12.



4.7 Trabajo Mecánico.

Se define como Trabajo mecánico (W) a

la cantidad:

0

r

r

W F dr= •∫v r

Donde Fr

es la fuerza aplicada sobre el

cuerpo y drr es el desplazamiento.

Si existen varias fuerzas aplicadas sobre

el cuerpo, entonces el trabajo neto será

simplemente el trabajo realizado por la

fuerza neta

Esta definición constituye uno de los

pilares fundamentales de la física, como

veremos a continuación.

Consideremos un cuerpo que se mueve en

el eje x, por simplicidad. Si ninguna

fuerza actúa sobre el, entonces se

moverá con velocidad constante de

acuerdo a lo señalado por Newton.

Sin embargo, si la fuerza neta sobre el no

es nula, entonces tendrá una aceleración,

y las relaciones entre estas variables

fueron estudiadas en el capítulo de

dinámica con suficiente rigor.

El trabajo permite otro punto de vista, al

permitir estudiar la relación entre las

variables dinámicas y cinemáticas. Como

veremos, algunos de los ejemplos

posteriores nos permitirán estudiar

algunos de los complejos problemas de la

cinemática y de la dinámica, con gran

simplicidad y belleza.

La figura siguiente nos muestra a nuestro

cuerpo afectado por una fuerza cuya

dirección con respecto a la dirección del

movimiento es θ.

Recuerde que en este curso los cuerpos

son considerados como partículas, de

modo tal que no se deforman ni rotan.

x

F

F cos θ

mθ

Fig 4.76 Cuerpo sometido a una fuerza no paralela a la dirección del movimiento

Entonces, si consideramos que el cuerpo

sufre un desplazamiento infinitesimal

( )dx , el trabajo realizado por la fuerza

es:

0

x

x

W Fcos dx= θ∫

De acuerdo a la definición de producto

escalar entre vectores.



Gráficamente, representa el área bajo la

curva en el plano F vs x, como se ve en la

figura.

F cos θ

xx0 x

FX(x)

Area = W

Fig 4.77 El área bajo la curva en el plano F vs x representa el trabajo.

Si la fuerza es constante, entonces Fcosθ

es constante, y entonces se tiene que:

0

0 0

x xxx

x x

W Fcos dx Fcos dx Fcos x/= θ = θ = θ∫ ∫

De donde:

W Fcos x= θ∆

Es decir, si la fuerza es constante, el

trabajo es simplemente el producto entre

la componente de la fuerza en la

dirección del movimiento y la magnitud

del desplazamiento.

Gráficamente el área bajo la curva en el

plano F vs X , que representa el trabajo,

es simple de calcular, como se observa en

la figura.

F cos θ

xx0 x

Area = W

FX

Fig 4.78 El área bajo la curva en el plano F vs x es fácil de calcular si la fuerza es constante

Si el ángulo entre la fuerza y el

desplazamiento está en el intervalo entre

0º y menos que 90º, entonces el valor de

cos θ es positivo y el trabajo también, por

lo que se denomina trabajo motor.

Si el ángulo es de 90º, entonces el coseno

es nulo y por tanto la fuerza no realiza

trabajo.

F FF

∆x ∆x

Fig 4.79 No trabajan, pues fuerza y desplazamiento son perpendiculares

Si el ángulo es mayor que 90º y menor o

igual que 180º, entonces el coseno es

negativo y el trabajo es resistente.



∆xF ∆x

FF

Fig 4.80 Si trabajan, pues fuerza y desplazamiento no son perpendiculares.

Si el ángulo es de 0º, se tiene el máximo

trabajo motor; mientras que se tendrá

máximo trabajo resistente si el ángulo es

de 180º.

.

F

F

∆x

Fig 4.81 Máximo trabajo motor

Respecto de las unidades:

En el Sistema Internacional de unidades

las unidades de Trabajo mecánico son:

[W]=[Nm]=[Joule]=[J]

También: [W]=[Dcm]=[Erg]

En el Sistema Técnico Gravitatorio:

[W]=[Kfm]=[Kilográmetros]=[Kgm]

Sus equivalencias son:

1J=107 Erg; 1Kgm=9,8J

Ejemplo 4.13. Un cuerpo pesa 40Kf y

es arrastrado 20m subiendo en un plano

inclinado 37º respecto de la horizontal,

por una fuerza que forma un ángulo de

14º respecto al plano inclinado y cuya

magnitud es de 200N. No existe roce.

Calcule:

a) El Trabajo realizado por la fuerza.

b) El Trabajo realizado por el peso

c) El Trabajo neto hecho sobre el cuerpo

en la dirección paralela al plano

inclinado.

d) El Trabajo neto hecho sobre el cuerpo

en la dirección perpendicular al plano

inclinado.

P

14ºN x

F

y

37º

P

14ºN

F

y

37º



mg cos 37º

mg sen 37º

xy

P

F sen 14º

F cos 14º

x

yF

14º

Fig 4.82 Figura para el ejemplo 4.13, incluyendo diagrama de cuerpo libre y descomposición de fuerzas.

Solución:

a) El trabajo realizado por Fr

es:

WF=Fcos14ºx=(200N)(0,97)(20m)

WF=3880J

b) El Trabajo realizado por el peso es:

WP=Pcos233ºx=(200N)(-0,6)(20m)

WP=4800J.

c) El trabajo neto realizado en la

dirección y es cero pues el

desplazamiento es cero en esa dirección.

d) El trabajo neto realizado en la

dirección x es el trabajo realizado por la

resultante de las fuerzas en esa

dirección:

WRx=FR x=(Fcos 14º-mgsen37º)x

WRx=-920J. es un trabajo resistente

Ejemplo 4.14. El registro de la

componente de la fuerza neta realizada

sobre un cuerpo en la dirección del

desplazamiento en un experimento,

permitió confeccionar el gráfico de la

figura. A partir de esta información,

determine el trabajo efectuado sobre el

cuerpo durante los primeros 30m.

Fx (N)

x(m)

30

00

50

20 30 40


Solución:

El trabajo es el área bajo la curva, por

tanto:

W=(30N)(20m)+(30N)(10m)+½(20N)(10m)

W=1000J

Ejemplo 4.15. Un cuerpo que se mueve

sobre una superficie horizontal sin roce

es sometido a una fuerza neta constante

de magnitud F paralela a ella. Calcule el

trabajo realizado sobre el cuerpo.



v0

m

aF

r = x i

Fig 4.84 Cuerpo sometido a la acción de una fuerza constante paralela a la dirección del desplazamiento.

Solución:

El cuerpo está sometido a la acción de la

fuerza constante, por tanto debe

moverse con aceleración constante.

El trabajo realizado por la fuerza es:

W=Fcos0º∆x (1)

Donde ∆x es la magnitud del vector

desplazamiento ocurrido durante la

aplicación de la fuerza.

Según la Segunda Ley de Newton, la

magnitud de la fuerza puede expresarse

como:

F=ma (2)

Donde la aceleración puede calcularse a

partir de la función v(x) para un MUA

rectilíneo:

V2=v02+2a ∆x

De donde:

2 20v -va

2 x=

∆ (3)

Reemplazando en (2) se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=

x 2v - v

m F2

02

(5)

y reemplazando (5) en (1):

2 20v -vW m x

2 x⎛ ⎞

= ∆⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Que se puede expresar como:

2 20

1 1W mv - mv2 2

= (6)

Es decir, el cuerpo venía moviéndose con

una cantidad equivalente a ½mv02

constante. Al actuar la fuerza sobre él,

esta cantidad aumentó hasta el valor ½ m

v2 pues v es mayor que v0 y ambas son

muy pequeñas comparadas con la

velocidad de la luz por lo que la masa se

ha mantenido constante.

La expresión (6) nos dice que el cambio es

equivalente al trabajo realizado por la

fuerza, y es un hallazgo notable.



4.8 Energía Cinética (K).

El ejemplo 4.13 mostró que el trabajo

realizado por una fuerza se acumula en el

cuerpo en forma de la cantidad ½mv2.

Esta cantidad es denominada Energía

Cinética (K), y es una de las formas que

toma la Energía en la naturaleza.

En consecuencia, diremos que el cambio

en la energía cinética de un cuerpo es

igual al trabajo realizado sobre él por la

fuerza neta, expresión conocida con el

nombre de teorema del trabajo y la

energía.

WFN=∆K

A pesar de que este teorema fue

obtenido a partir de una fuerza

constante, es válido también para el caso

de que las fuerzas sean funciones del

tiempo o de la posición del cuerpo.

Ejemplo 4.16. Calcular el

desplazamiento total de un cuerpo hasta

detenerse, a partir del ingreso a un

sector rugoso en un plano horizontal.

Suponga que mk=0,1 y que la rapidez antes

de entrar a la zona rugosa es constante y

de magnitud 5 ms

.

m

v0

afk

∆r = ∆x i

v = 0

N

P

Fig 4.85 cuerpo moviéndose sobre un plano rugoso

Solución:

La fuerza neta aplicada sobre el cuerpo

es:

( )kˆF f -iΣ =

r

El trabajo realizado por la fuerza neta

es, por tanto:

( )FN k k kW f x cos180º N -1 x - mg x= ∆ = µ ∆ = µ ∆

ya que N = mg.

Aplicando teorema del trabajo y energía,

2 21 10k 2 2mg x mv - mv−µ ∆ =

Multiplicando por 1m

y ya que v=0, y x0=0

se tiene:

210k 2g x - v−µ ∆ =

De donde:



( )

2

20

k2

m5v s x 12,5mm2 g 2 0,1 10s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∆ = = =

µ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Se ha resuelto una cantidad cinemática

con gran sencillez.

4.9 Energía.

Básicamente por energía se entiende una

magnitud que poseen los cuerpos,

mientras que el trabajo es una forma de

alterar su magnitud. La energía es un

escalar.

Realizar trabajo no es la única forma de

alterar la cantidad de energía que un

cuerpo posee, como veremos en otros

cursos de nuestra formación académica,

de igual forma que movimiento no es la

única forma de energía que el cuerpo

posee.

Una forma de definir energía es como “la

capacidad de realizar trabajo”.

Esto se entiende bien si se observa a un

cuerpo que se mueve con una velocidad

determinada e interacciona con otro que

se encuentra en su camino, como vimos en

el ejemplo de las colisiones. Entonces le

transferirá parte de su cantidad de

movimiento, disminuyendo su velocidad.

Bajo el nuevo concepto desarrollado aquí,

diremos que le realizó trabajo, a costa de

su energía cinética.

Al perder energía cinética el cuerpo

disminuyó la capacidad de realizar

posteriores trabajos sobre otros

cuerpos. El cuerpo colisionado aumentó su

energía cinética aumentando de esa

manera su capacidad de realizar trabajo.

Si la energía cinética ganada por el

cuerpo colisionado equivale a la energía

cinética del cuerpo que lo colisiona,

entonces el sistema compuesto por ambos

cuerpos se dice que es conservativo. Esto

es un sistema idealizado, puesto que en la

interacción participan otras formas de

energía, algunas de las cuales se

transfieren a otros sistemas.

Si el sistema pierde parte relevante de la

energía disponible, se dice que es

disipativo.

La energía es una forma de energía

denominada mecánica, como también lo es

la energía debida a la posición,

denominada energía potencial (U).



Otras formas de energía son: eléctrica,

térmica, electromagnética química,

nuclear, etc. Todas estas son formas

idénticas de representar una cantidad

que está contenida en los cuerpos y que

se puede cambiar de una forma en otra si

las condiciones son las apropiadas.

En una central hidroeléctrica, la energía

potencial del agua es transformada en

energía eléctrica; un cuerpo cae y se

golpea contra el piso deteniéndose: su

energía mecánica se disipa en forma de

calor y ruido; una “honda” transforma la

energía contenida en la deformación del

elástico en energía cinética; el cuerpo

humano transforma la energía química de

los alimentos en energía térmica y

muscular entre otras; las plantas

transforman la luz del sol en energía

química a través de la fotosíntesis; etc.

Note que no existe una idea clara de lo

que es la energía, sino que es descrita a

través de sus manifestaciones en los

cuerpos.

Incluso estas definiciones operacionales,

están basadas en nuestra capacidad de

medir los cambios experimentados en las

magnitudes básicas de los cuerpos (masa,

velocidad, temperatura y otras), pero no

indican “lo que es”.

4.10 Energía Potencial.

Como hemos indicado, un cuerpo tiene

capacidad de realizar trabajo sobre otro,

cuando posee energía cinética.

Además tiene capacidad de realizar

trabajo de acuerdo a su posición o a su

deformación. Un cuerpo dispuesto sobre

una mesa, un resorte comprimido y otros

ejemplos, son formas de trabajo

acumulado “potencialmente” disponible. Si

se deja caer el cuerpo desde la mesa o se

suelta el resorte, se manifestará la

energía potencial, realizando un trabajo,

como analizaremos a continuación.

4.10.1 Energía potencial gravitatoria.

Consideremos primero el caso del cuerpo

sobre la mesa.

Si se mueve hasta el borde, cae con

aceleración de gravedad. Este

movimiento se hace en dirección al centro

de gravedad de la tierra a menos que en

su camino se encuentre con otra

superficie u otra fuerza que se lo impida.



En la figura 4.70 se observa un cuerpo de

masa m, dispuesto sobre una mesa a una

altura y0 desde el piso que se le permite

caer hasta otra superficie, cuya altura es

medida desde el piso. Al caer, el peso

( )ˆP mg - j=r

trabaja a lo largo del

desplazamiento ( ) ( )0 0ˆ ˆ ˆy yj-y j y-y j∆ = =

r ,

que tiene dirección j− puesto que y0>y;

por tanto:

P 0W mg (y-y ) cos0º =

De donde,

P 0W mgy- mgy =

y0

yP

∆y

Fig 4.86 Cuerpo cayendo bajo la acción del peso

El trabajo hecho por el peso le ha

provocado un cambio a la cantidad mgy

que poseía el cuerpo y por tanto esta es

la energía potencial gravitatoria.

En otras palabras, la energía potencial de

un cuerpo es:

U=mgy

Que es una cantidad relativa al sistema

de referencia utilizado. En rigor, y

debería ser la distancia entre los centros

de gravedad del cuerpo y de la Tierra.

Como esta distancia es difícil de conocer,

se acostumbra determinar una referencia

conocida y calcular la diferencia de

energía potencial que el cuerpo tendrá

entre dos puntos, que resulta igual que el

trabajo necesario para trasladarlo.

Ejemplo 4.17. Calcular el trabajo

necesario para levantar a un cuerpo h

metros desde la superficie de la tierra.

Solución:

Si consideramos a la superficie de la

tierra como origen del sistema de

referencia, entonces allí y0=0. Se

quiere levantar al cuerpo hasta que la

posición sea y = h

Se necesita una fuerza de magnitud a lo

menos igual a la magnitud del peso para

levantarlo. Por tanto:

W=mgy–mgy0=mgy=mgh



Note que si llevamos al cuerpo por un

camino no vertical, tal como un plano

inclinado o una escalera, el resultado

será el mismo.

y0= 0

y = h

F = m g jF = m g j

∆y = h j

Fig 4.87 El trabajo para levantar un cuerpo es independiente del camino.

Esto es debido a que la fuerza

gravitatoria es una fuerza conservativa.

Son fuerzas conservativas todas aquellas

cuyo trabajo no depende del camino. De

otra manera dicho, si el trabajo para un

camino cerrado es cero.

Las fuerzas conservativas no dependen

del tiempo, la velocidad ni de la

aceleración del cuerpo.

4.10.2 Energía potencial elástica.

Consideremos ahora el caso de un cuerpo

que se deforma, como un resorte.

Como ya hemos visto, la fuerza ejercida

por un resorte es variable, y depende de

la desviación de su posición de equilibrio,

siguiendo la Ley de Hooke: F=-kx

El signo se debe a que es una fuerza

restauradora, es decir, tiende a devolver

al resorte hacia la posición de equilibrio.

Consideremos un resorte que está sobre

una mesa y sujeto a una pared vertical,

como se observa en la figura siguiente.

Fm

-Fm1

−x1x

F = k ∆x

(0)

(1)

largo natural; x=0(0)

Fm = Fm (- i )

Fm1 = Fm1(- i )

∆x= x (- i )

(1)

Fig 4.88 Fuerza de una mano sobre un resorte.

Despreciemos el efecto del roce entre el

resorte y la mesa.

El resorte está en su posición de

equilibrio (0). Con la mano lo

comprimiremos ejerciéndole una fuerza



hacia la izquierda, hasta que alcance la

posición (1). En la misma figura se

muestra una gráfica de la fuerza ejercida

por la mano versus el desplazamiento

obtenido.

Se observa una fuerza negativa y un

desplazamiento negativo. La curva

obtenida es una recta de la forma

F=k(x-x0) con x0=0. La fuerza no es

constante, sino que ha aumentado

progresivamente hasta alcanzar el valor

Fm1 en el punto (1), cuando llegó a -x1.

El trabajo que hizo la mano es el área

bajo la curva en este gráfico, como ya

hemos visto antes, de manera que:

W=½(-Fm1)(-x1)

Pero: F1=kx1

Por lo que:

W=½(-kx1)(-x1)=½kx12

Fm

-Fm1

−x1x(0)

(1)

W

Fig 4.89 El trabajo es el área bajo la curva.

Es decir, el trabajo realizado por la

fuerza sobre el resorte le ha ido

aumentando progresivamente la cantidad

½kx2 en exactamente la misma cantidad

que trabajo le hacía. El resorte ha ido

acumulando el trabajo en deformación; en

cambio de posición relativa de sus

partículas. Es por tanto una forma de

energía potencial, denominada energía

potencial elástica.

Por tanto:

Ue=½kx2

Como el trabajo hecho por la mano ha

provocado un cambio en esa cantidad, se

tiene que en general,

Wexterno=½k∆x2

Donde ∆x es la compresión o elongación

del resorte y Wext es el trabajo realizado

sobre el resorte por cualquier agente

externo.

Ejemplo 4.18. Si se dispone de un

resorte cuya constante elástica es de

600 Nm

, cuanto debe comprimirse para

almacenar una energía potencial de 50J.

Solución:



W=∆U=½k∆x2

( )2 50J2 Ux 0,41mNk 600m

∆∆ = = =

Si el resorte hubiera sido estirado en

lugar de comprimido, el resultado es el

mismo, como se puede apreciar en la

figura.

Fm

Fm2

x2

xF = k ∆x

(0)

(2)

largo natural; x=0(0)

(2)

∆x= x2 (+ i )

Fm = Fm (+ i )

Fm2 = Fm2(+ i )

W = (1/2)Fm2 x2

W = (1/2)(k x2)x2

W = (1/2)k x22

Fig 4.90 Mano elongando un resorte.

Observemos ahora el trabajo realizado

por el resorte. Para ello, atemos un

cuerpo a su extremo libre y empujemos

con la mano comprimiéndolo hasta -x1.

Una vez hecho esto, soltémoslo y

grafiquemos para estudiar el

comportamiento de la fuerza

restauradora.

(0)

(1)x1 = x1(- i )

FR1 = FR1 (+ i )

FR2 = FR2(+ i )(2)

(3)

(4)

x4 = x4( i )

FR3 = 0 x3 = 0

FR4 = FR4(- i )

x2 = x2(- i )

FR

FR1

−x1

xF = - k ∆x

(1)

-FR4

−x2

(3)

(2)

(4)

x4

FR2

Fig 4.91 Trabajo realizado por la fuerza restauradora de un resorte

En (1) se ha soltado el resorte. La fuerza

restauradora tiene dirección hacia la

derecha (es positiva) pero se encuentra a

la izquierda de la posición de equilibrio

por tanto su posición es negativa.

Entre (1) y (2) la fuerza restauradora

siempre es positiva pero su magnitud va

disminuyendo. Su posición sigue siendo



negativa, pero cada vez es menos

negativa. Por tanto su desplazamiento es

positivo. Esto ocurre hasta el punto (3),

donde se encuentra el punto de equilibrio.

Allí, la posición es cero y la fuerza

restauradora es nula. A partir de ese

momento, la fuerza restauradora invierte

su dirección, volviéndose negativa pues

trata de que el cuerpo vuelva a su

posición de equilibrio. Al llegar al punto

(4) invierte la dirección de su movimiento.

Hasta ese punto estudiaremos el

fenómeno en esta parte del curso.

Note que la función que regula el

comportamiento de la magnitud de la

fuerza restauradora es F=-k∆x, conocida

como Ley de Hooke.

La figura muestra las áreas que

representan el trabajo hecho por la

fuerza restauradora.

FR

FR1

−x1

x

(1)

-FR4

(3)

(4)

x4

W1

W2

Fig 4.92 Trabajo hecho por la fuerza restauradora de un resorte.

El trabajo hecho por la fuerza sobre el

cuerpo es positivo entre (1) y (3), pues el

área resulta ser:

Area=WFR=½(FR3-FR1)(x3–x1)=

=½[0–[-k(x3-x1)](x3-x1)=½[k(-x1)](-x1)

Pues x3=0, FR3=0 y FR1=-k(x3-x1).

Por tanto:

W1=½kx12

El resorte le está realizando trabajo al

cuerpo a costa de perder su energía

potencial acumulada en deformación, que

ganó cuando el cuerpo lo comprimió.

Ambas son iguales como era de esperarse.

Entre (3) y (4) el trabajo realizado por la

fuerza restauradora es, midiendo el área

respectiva:

Area=WFR=½(FR4 –FR3)(x4–x3)=

=½[-k(x4-x3)](x4-x3)=½[-k(x4)](x4)

Pues x3=0 , FR3=0 y FR4=-k(x4-x3).

Es decir:

W2=-½kx42



El trabajo es negativo (lógico pues la

fuerza va hacia la izquierda y el

desplazamiento hacia la derecha).

Ahora el resorte está acumulando energía

potencial.

Note que si x1=x4, entonces las áreas son

iguales, indicando que el trabajo neto

realizado por el resorte entre ambos

puntos es cero.

Este es un resultado muy importante,

pues muestra que si esperamos que el

resorte se devuelva desde x4 hasta x1 (si

no existen otras fuerzas que disipen

energía en el proceso), pasará lo mismo.

En efecto, entre (4) y (3) el trabajo será

positivo pues fuerza y desplazamiento

serán hacia la izquierda. Entre (3) y (1) el

trabajo será negativo pues la fuerza

estará hacia la izquierda y el

desplazamiento hacia la derecha. Sus

magnitudes deben ser equivalentes.

El ciclo completo tendrá entonces un

trabajo total neto cero, mostrando que la

fuerza de restauración es conservativa.

En general, se tiene que el trabajo

realizado por el resorte sobre otros

sistemas, viene dado por los cambios en la

energía potencial elástica (tal como pasó

con la gravitacional):

W=½kx02–½kx1

2

Donde x1 es la posición final y x0 es la

posición inicial en el tramo considerado.

Ejemplo 4.19 Calcular el trabajo

realizado por un resorte cuya constante

elástica es k=100 Nm

sobre un cuerpo de

masa 50kg, si el cuerpo se mueve desde

un punto situado 3cm a la izquierda del

punto de equilibrio (largo natural del

resorte) hasta un punto situado a 2cm a

la derecha de este último.

Solución:

W=½kx02–½kx1

2

W=½(100 Nm

)[(-3)2cm2]-½(100 Nm

)(22cm2)

Pero 1cm2=10-4 m2, por tanto:

W=½(100 Nm

)(9x10-4m2)-

-½(100 Nm

)(4x10-4m2)= 250x10–4J

Gráficamente:



FR (N)

−3x(cm) 2

-F2

F1

W1 = 450 x 10-4 J

W2 = - 200 x 10-4 J

=-

Fig 4.93 Gráfico del ejemplo 4.19

4.11 Potencia Mecánica.

Hasta ahora hemos calculado el trabajo

que hace una fuerza y su acumulación en

los cuerpos, pero no hemos prestado

atención a la rapidez con que ello ocurre.

En situaciones industriales es vital la

obtención de trabajo mecánico: levantar

objetos, trasladarlos, deformarlos,

cortarlo, molerlos, hacerlos girar, y

muchas otras, son actividades que

demandan trabajo.

Las primeras actividades de manufactura

obtuvieron el trabajo a partir de la

energía muscular de los humanos y luego

de los animales. Posteriormente fueron

aprovechadas las fuerzas de la naturaleza

con la construcción de molinos de agua y

de viento. Hoy en día se cuenta con

dispositivos muy sofisticados que

transforman energía en trabajo. A estos

dispositivos que en este curso son

considerados cajas negras, les

denominaremos muy genéricamente

motores.

En una planta, tan importante como

especificar el trabajo que necesitamos de

un motor es la tasa de trabajo que es

capaz de entregarnos en el tiempo. No

solo deseamos trasladar botellas en una

planta de embotellado, sino que deseamos

que circulen a una determinada velocidad

para que sea eficiente el proceso de

llenado, tapado, etiquetado y embalado.

Una magnitud física que da cuenta de

esta necesidad es la denominada Potencia

mecánica (P), definida como cantidad de

trabajo por unidad de tiempo.


mWPt

∆=

∆

La potencia instantánea será:

mdWPdt

=

Cuyas unidades serán:

En el SI: [ ] [ ]JP Watts

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦



En honor del escocés James Watt, cuyo

trabajo en la eficiencia de las máquinas

de vapor y su industrialización en

sociedad con el industrial inglés Matthew

Boulton provocó una gran revolución en la

industria.

A raíz de la idea de Thomas Savery de

estandarización de la potencia en función

de la rapidez de realizar trabajo de un

caballo, fue el propio Watt quien

determinó que eran capaces de realizar

un trabajo de 360 libras fuerza pie por

cada segundo, aunque lo aumentó en 50%

por razones de estrategia comercial para

la venta de sus máquinas. Esta unidad que

fue denominada HP (Horse Power),

equivale entonces a 550 lbfuerza pies

o

a 746Watt.

Desgraciadamente la unidad HP está tan

enraizada en la cultura industrial que aún

pasará algún tiempo en dejar de usarse en

su argot.

En Francia se desarrolló una idea

equivalente, definiendo un caballo de

vapor (CV) como 746W.

A pesar de que estas unidades son

todavía usadas en países de habla inglesa

o francesa, y en aquellos que compran

maquinaria de ellos cuyas

especificaciones técnicas las usan, están

en retirada bajo la atenta mirada de la

Conferencia General de Pesas y Medidas,

quien los conmina a establecer sus

magnitudes dentro de lo definido en el

Sistema Internacional de Unidades.

Una unidad muy extendida para medir la

energía eléctrica consumida ha sido

diseñada a partir de la unidad del SI de

potencia: se denomina un Kwatt-hora a la

energía eléctrica consumida durante una

hora, por un sistema cuya potencia es de

1 Kwatt; equivale al trabajo realizado por

un motor cuya potencia sea de 1Kw, o la

energía consumida por una ampolleta en

10 horas si su potencia es de 100W.

La equivalencia con el Joule es:

1Kwh=(103W)(3600s)=3,6x106J.

En términos generales, se compra energía

a las compañías distribuidoras de

electricidad, quienes la miden en Kwhora.

Esto es muy práctico, puesto que

conocemos las potencias de nuestros

aparatos de calefacción e iluminación, así

como de los artefactos

electrodomésticos, de manera que es muy

sencillo calcular el valor de la factura

mensual por ese concepto.



Se puede relacionar la potencia y la

velocidad de una manera muy sencilla y

conveniente, pues:

dW F dr drP F F vdt dt dt

•= = = • = •

r r rr r r

En términos discretos, si se mueve

rectilíneamente en x:

m xW Fcos x xP Fcos F vt t t

∆ θ∆ ∆= = = θ =

∆ ∆ ∆

Donde Pm es la potencia media, Fx es el

módulo de la fuerza si está hecha en la

misma dirección que la velocidad, de lo

contrario, será la componente de ella en

esa dirección y v es el módulo de la

velocidad.

Ejemplo 4.20. Determine la potencia

que necesita un automóvil de masa

1000Kg para subir una pendiente inclinada

en 30º con una rapidez constante de

36 Kmh

. Considere que la fuerza de

resistencia al movimiento producto del

roce de los neumáticos y el pavimento y

del viento con la carrocería es de 800 N.

Solución:

El diagrama de cuerpo libre de la figura

muestra las fuerzas que participan.

30º

y

x

P

30º

N

FR

FP


Aquí PFr

es la reacción a la fuerza que las

ruedas hacen hacia atrás sobre el

pavimento. Este reacciona y ejerce una

fuerza sobre el automóvil hacia delante.

RFr

es la suma de todas las fuerzas que se

oponen al movimiento. Como veremos en

otro curso, estas son la fuerza con que el

aire afecta a la carrocería y depende

entre otras cosas, de su forma y de la

velocidad con que se mueve (Newton

descubrió que las fuerzas de roce viscoso

de un fluido son directamente

proporcionales al cuadrado de la

velocidad), y la fuerza de roce entre

pavimento y ruedas, que es una fuerza de

roce estático, pues al roto trasladarse la

velocidad de traslación del punto de

apoyo de las ruedas se compensa con su

velocidad de rotación (este efecto se

visualiza bien cuando observamos las



orugas de un tanque que están en

contacto con el piso).

El motor proporciona a las ruedas la

capacidad de ejercer fuerzas sobre el

pavimento, mediante un complejo juego de

trasmisiones mecánicas (en las que se

pierde parte importante de su potencia)

de tal manera que se puede calcular la

potencia desarrollada por PFr

para estimar

la que un auto necesita para subir la

cuesta.

En consecuencia:

x P RF F -F -mgsen30º 0Σ = = (1)

Porque la velocidad es constante (a=0)

x P RF F -F -mgsen30º 0Σ = = (2)

de (1)

FP=FR+mgsen30º

FP=800N +(1000Kg)(10 2ms

)(0,5)

FP = 850N

Por tanto la potencia será:

Pm=Fv=(850N)(40 Kmh

)

Pm= (850N)[36( m3,6s

)]=8500W

En HP, la potencia media será:

Pm=8500W=8500 HP746

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=11HP

Considerando que los automóviles

standard hoy desarrollan potencias de

alrededor de 80HP o más, esto no es una

dificultad para ellos.

4.12 Conservación de la energía.

Los principios de conservación son

probablemente las ideas teóricas más

importantes de la física. Si una magnitud

física permanece constante en un sistema

a pesar de los cambios que existan en su

interior, la convierte en una magnitud

fundamental. Por ello los físicos han

destinado parte importante de su vida a

buscarlas.

Hoy se estima como piedras angulares de

la física los principios de conservación de

la energía y de la cantidad de movimiento.



4.12.1 Conservación de la energía mecánica.

A pesar de que el principio de

conservación de la energía escapa

largamente de las denominadas energías

mecánicas que hemos estado estudiando,

es posible restringirlo para ellas,

enunciándolo como:

“en un sistema aislado la energía mecánica

total en un sistema aislado permanece

constante”. Esto significa que las

energías pueden cambiar de formas

transformándose unas en otras, pero sin

alterar su suma total.

Esto es verdad absoluta si el sistema es

el universo.

En general, consideraremos a un sistema

conservativo si las fuerzas que actúan en

él, son conservativas (como el peso y la

fuerza restauradora de los resortes), es

decir, aquellas que no dependen del

camino, produciendo que el trabajo neto

en un camino cerrado es cero.

Adicionalmente, en ellas el trabajo

provoca solo un cambio en la energía

potencial como hemos visto en el caso de

las fuerzas conservativas peso y elástica.

En cambio un sistema es disipativo si

actúan en él fuerzas disipativas (como las

fuerzas de roce), es decir, fuerzas que

dependen del camino, produciendo que el

trabajo neto en un camino cerrado sea

distinto de cero. En el caso del roce,

parte de la energía del sistema se

perderá en calor migrando a otro sistema.

4.12.2 Sistemas conservativos.

La energía mecánica se define como la

suma de las energías cinética y potencial

de un cuerpo.

EM= K+U

Por tanto el principio de conservación de

la energía mecánica puede enunciarse

como:

EM= K+U=constante


∆EM=0

Consideremos un cuerpo que es lanzado

verticalmente hacia arriba con velocidad

de magnitud v0. La única fuerza que actúa

sobre él es el peso por tanto está

moviéndose en un sistema conservativo.



En ese momento tiene la máxima rapidez

del movimiento (K máxima) pero la mínima

altura, si consideramos ese punto como

referencia (U=0).

En la medida que sube su rapidez

disminuye, (disminuye K) pero su posición

respecto del centro de gravedad de la

tierra aumenta (aumenta U).

Cuando su velocidad es nula (K=0) alcanza

su máxima altura (U máximo), invierte su

movimiento y empieza a aumentar su

rapidez (K aumenta) pero disminuye su

altura (U disminuye).

En todo momento debe cumplirse que:

U+K=EM=cte.

En la figura se observa una gráfica de la

evolución de ambas formas de energía en

función de la altura.

K,U

t0 t1 t2 t3 t4

K

U

Fig 4.95 Comportamiento de U y K en un lanzamiento vertical hacia arriba

En t1 y t3 U=K, en cualquier otro tiempo

son distintas, pero siempre suman igual.

En t0 U es mínima (cero) y K máxima

sobre el nivel de referencia. A partir de

t4, K sigue aumentando, pues está

moviéndose bajo el nivel de referencia.

Note que después de t4, U se hace

negativa. Se dice entonces que está en

un pozo de energía potencial, lo que se

puede evitar simplemente escogiendo un

nivel de referencia más bajo.

En t2 K es mínima (cero) mostrando el

lugar de inversión de la dirección del

movimiento; allí U es máxima pues ya no

sigue subiendo.

Ejemplo 4.21. Se lanza una piedra de

masa 1Kg hacia arriba con una rapidez de

20 ms

. Calcular energía cinética y

potencial al lanzarse, 1 segundo después

de lanzada, cuando llega a la altura

máxima y cuando regresa al nivel del

lanzamiento.

Solución:

Al lanzarse tiene energía cinética

solamente si consideramos ese punto

como referencia.



K0=½mv02=½(1Kg)(20 m

s)2=200J

Esa es la energía mecánica de la piedra,

que debe conservarse durante todo su

movimiento

EM=K0+U0=200J

1 segundo después su rapidez será:

v1=v0–gt=20 ms

-(10 ms

)(1s)=10 ms

Por tanto

K1=½mv12=½(1Kg)(10 m

s)2=50J

Su altura será:

X1=v0t–½gt2=(20 ms

)(1s)–½(10 2ms

)(1s)2

X1=15m

Por tanto:

U1=mgh=(1Kg)(10 2ms

)(15m)=150J

Entonces:

EM1=K1+U1=50J+150J=200J

Como era de esperarse, pues EM0= M1.

Cuando llega a su altura máxima entonces

v2=0 por tanto toda su energía es

potencial, de modo que allí

EM2=U2=200J.

Cuando regresa al nivel de lanzamiento U3

se hace cero y K3 debe ser la única

energía, por tanto:

EM3=K3=200J.

Lo que es razonable pues como vimos en

cinemática, la rapidez con que llega de

vuelta al nivel de lanzamiento vertical es

la misma.

No solo para los movimientos sujetos a la

fuerza gravitatoria siguen estos

comportamientos, por supuesto.

La figura siguiente muestra el

comportamiento de las energías potencial

elástica y energía cinética de un cuerpo

unido a un resorte en función de la

posición.

K,U

-x1 x2= 0 x3

K

U

x

Fig 4.96 Comportamiento de U y K en un cuerpo



El resorte es liberado en –x1, lugar donde

tiene U máximo y K mínimo (cero) y se

mueve hacia la derecha disminuyendo su

U y amentando K. Cuando llega a x2, U se

hace cero pues es la referencia (largo

natural) allí la velocidad es máxima así

que K es máxima. A partir de ese lugar,

la fuerza invierte su dirección

disminuyendo su velocidad (K disminuye)

pero empieza a aumentar su posición

hacia la derecha (U aumenta) hasta que

llega a x3. En ese lugar la velocidad se

hace cero nuevamente (K=0) y se invierte

la dirección del movimiento. Allí se tiene

nuevamente U máximo y empieza el

camino de retorno hacia –x1, lugar que

alcanzará si no existen fuerzas

disipativas.

Si solo existe la fuerza restauradora del

resorte, entonces el movimiento será

oscilatorio alrededor de x2.

La energía mecánica en todo momento

será igual. El sistema es conservativo.

Ejemplo 4.22. Una piedra es lanzada

verticalmente con una honda provista de

un resorte de constante elástica

k=500 Ns

. Si el elástico recorre 10cm

antes de soltar la piedra, calcular:

a) La rapidez con que suelta la piedra y

b) La altura máxima que alcanza.

Solución:

a) El elástico le hará a la piedra un

trabajo: We=½k∆x2. La piedra será

lanzada con una velocidad v0.

Si en el lugar que se suelta la piedra

escogemos nuestra referencia, entonces

allí la energía será solo cinética:

K0=½mv02.

Todo el trabajo elástico se transferirá a

la piedra en forma de energía cinética,

por tanto:

½ k∆x2 =½mv02

De donde:

( )22

0 2

N500 0,1mk x msv 10

m 0,5Kg s

⎛ ⎞⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠= = =

b) En la máxima altura K=0, toda la

energía es potencial:

EM=U=mghmax



Y es igual que la cinética inicial, pues la

fuerza es conservativa:

mghmax=½mv02

2

2 20 0

max

2

m10mv v sh 5mm2gm 2g 2 10s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Note que es independiente de la masa, y

la ecuación es igual que la encontrada en

cinemática.

4.12.3 Sistemas no conservativos.

Un caso más general que el anterior es

aquel en que participan fuerzas

conservativas y no conservativas

(disipativas).

A pesar de que la relación general puede

encontrarse deductivamente, pues la

diferencia entre las energías inicial y

final en un sistema deben ser igual que la

energía perdida a través del trabajo

hecho por las fuerzas disipativas u otras

formas de pérdida no mecánicas, es

conveniente encontrar esta relación a

través de un ejemplo.

Consideremos para ello a un cuerpo cuya

masa es m, que desliza subiendo por un

plano inclinado θº por medio de una

fuerza paralela al plano, como se muestra

en la figur, donde también se muestran

las fuerzas que participan.

Entre el plano y el cuerpo existe roce; el

coeficiente de roce cinético es µk.

θº

y

x

P

θº

N

FR

F

Fig 4.97 Cuerpo subiendo un plano sujeto a fuerzas conservativas y no conservativas.

Si el cuerpo pasa por el punto (0) con una

rapidez v0, que se encuentra a una altura

y1 respecto de un punto mas abajo que la

base del plano, entonces tendrá allí

energía cinética y potencial. Si la fuerza

Fr

es constante y paralela al plano, y con

una magnitud convenientemente grande,

entonces el movimiento será

uniformemente acelerado con aceleración

positiva.



L

y1

y2

v1

v2

θ

y = 0

Fig 4.98 Consideraciones cinemáticas.

Cuando llegue a la altura y2 su rapidez

habrá aumentado hasta v2 y habrá

recorrido L metros.

Si aplicamos segunda ley de Newton al

cuerpo, se tiene:

x kF F-mgsen -f maΣ = θ = (1)

yF N-mgcos 0Σ = θ = (2)

de (1), se tiene:

kF-mgsen -f maθ =

Pero de la figura 4.82 resulta

( )2 1y -ysen

Lθ =

Además, como es un MUAR, se puede

calcular su aceleración con la función v(x):

2 22 1v v 2aL= +

De donde:

2 22 1 v - va 2 L

=

Reemplazando todo en (1)

( ) 2 22 1 2 1

ky -y v - vF-mg -f m

L 2L⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Si multiplicamos la expresión por L:

( )2 2

2 12 1 k

v -vFL-mg y y -fL m2

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Donde:

FL es el trabajo realizado por F,

mg(y2–y1) es el cambio en la energía

potencial,

fkL es el trabajo realizado por la fuerza

de roce y

2 22 1v -vm2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

es el cambio en la energía

cinética.

Entonces la expresión (3) se puede

escribir como:

WF -∆U–Wfk=∆K


WF=∆K+∆U+Wfk



Pero ∆K+∆U=∆EM (es el cambio en la

energía mecánica total):

WF=∆EM+Wfk

Es decir, el trabajo que la fuerza F le

realiza al cuerpo se ocupó en parte en

cambiar la energía mecánica del cuerpo y

en parte se perdió a través del trabajo

disipativo de la fuerza de roce, migrando

en forma de calor a otro sistema.

Ejemplo 4.23. Un bloque de masa 50Kg

es empujado una distancia de 6m, a partir

del reposo, subiendo por la superficie de

un plano inclinado 37º, mediante una

fuerza de magnitud 50Kf paralela a la

superficie del plano inclinado. Si µk=0,2;

calcule:

a) ¿Cuánto trabajo realiza F?

b) ¿Cuánto ha aumentado la energía potencial del bloque?

c) ¿Y la energía cinética?

d) El trabajo realizado por la fuerza de roce.

L = 6 m

y0 = 0

y1v0 = 0

v1

θ

y

x

P

θº

N

fR

F

Fa


Solución:

a) WF=F∆x=(50Kf)(6m)=[50(10N)](6m)

WF=3000 J

b) ∆K=K1–K0=K1 pues v0=0

∆K=½mv12

Necesitamos calcular v1. Sabemos que es

un MUAR, por lo tanto:

v12=v0

2+2aL=2aL (1)

Donde a es desconocido, y lo calculamos

aplicando segunda Ley de Newton,

x kF F-f -mgsen maΣ = θ = (2)

x kF F- N-mgsen maΣ = µ θ = (3)



yF N-mgcos 0Σ = θ = (4)

de (4): N=mgcosθ

Reemplazando en (1),

F–mkmgcosθ-mgsenθ=ma

De donde:

( )

k

k

F - mgcos - mgsenam

Fa g cos senm

µ θ θ=

= − µ θ + θ

( )( )2500N ma - 10 0,2 0,8 0,650Kg s

⎛ ⎞= +⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

2ma 2,4s

=

en (1) v12=(2)(6m)(2,4 2

ms

)=28,82

2ms

Por tanto:

∆K=½(50Kg)(28,82

2ms

)=720J

c) Si consideramos la base del plano como

referencia, entonces:

∆U=U1-U0=U1=mgh1=mg(Lsenθ)

∆U= (50Kg)(10 2ms

)(6m)(0,6)=1800J

d) Sabemos que en caso de fuerzas

disipativas:

WF=(∆U+∆K)+Wfk

Por tanto:

Wfk=WF–(∆U+∆K)=3000J–(1800J+720J)

Wfk=480 J

Note que en la expresión

WF=(∆U+∆K)+Wfk el trabajo se ha

considerado negativo, por tanto el

resultado debe interpretarse como

negativo.

Lo mismo se obtendría si lo calculamos

como:

Wfk=fkLcos180º=µkNL(-1)

Wfk=-mkmgcosθL

Wfk=-(0,2)(50Kg)(10 2ms

)(0,8)(6m)

Wfk=-480J

4.13 Choques unidimensionales y los teoremas de la conservación.

El teorema de la conservación de la

cantidad de movimiento es otro de los

pilares fundamentales de la física.

De acuerdo a lo que sabemos, la segunda

ley de Newton puede escribirse como:



I p= ∆r r

Donde Ir

es el impulso que recibe un

cuerpo y p∆r

es el cambio en su cantidad

de movimiento.

Ahora que contamos con el concepto de

energía, podemos estudiar más

apropiadamente las colisiones.

La ecuación anterior implica que si no

existen fuerzas externas, no existe

cambio en la cantidad de movimiento del

sistema. En otras palabras, puede

cambiar la cantidad de movimiento de

cada uno de los cuerpos presentes, pero

su suma se mantiene inalterable en el

tiempo.

Ahora sabemos que si bien es cierto que

una colisión no implica un cambio en la

cantidad de movimiento del sistema

(siempre y cuando no exista intercambio

de materia entre el sistema y el

ambiente), bien puede ser que en el

proceso se obtenga una pérdida de

energía si existen fuerzas no

conservativas.

En consecuencia, podemos dividir a los

choques entre aquellos que son

perfectamente elásticos (conservan su

energía) y perfectamente inelásticos (no

conservan su energía). Ambos choques son

ideales y no se observan entre cuerpos

macroscópicos (choques perfectamente

elásticos se observan entre átomos y

partículas subatómicas), aunque existen

numerosos ejemplos que se pueden

considerar como tales, como hemos dicho.

Los choques reales pueden dividirse en

elásticos e inelásticos, en ninguno de los

cuales se conserva la energía.

Como una forma de diferenciarlos, se

harán observaciones teóricas y

experimentales.

Si los cuerpos resultan separados

después de la colisión, el choque se llama

elástico; si además el sistema conserva su

energía, se llama perfectamente elástico.

En ellos no existe deformación residual

en los cuerpos.

Si los cuerpos resultan unidos se llama

inelástico, si la deformación resultante es

igual que la máxima obtenida en el

proceso, se denomina perfectamente

elástica.



4.13.1 Choques perfectamente elásticos

Para encontrar la forma matemática del

coeficiente de restitución, estudiaremos

un choque perfectamente elástico.

Sabemos que en ellos se deben conservar

ambos teoremas de la conservación y la

forma no debe alterarse, es decir la

razón entre la forma pre y postcolisión

debe ser igual a 1.

La siguiente figura presenta el caso más

sencillo de este choque, constituido por

dos esferas (que se comportan como

partículas) que están moviéndose en un

plano paralelo a la superficie de la tierra

de forma tal que ningún evento les

produce un cambio en su energía potencial

gravitatoria.

v1 v2m1 m2

m1 m2

u1 u2m1 m2

Fig 4.100 Esferas de masas m1 y m2 experimentando una colisión perfectamente elástica. No hay roce con la superficie.

Antes del choque, las esferas tienen

velocidades 1vr y 2vr respectivamente.

Después del choque, tienen velocidades

1ur y 2ur .

Debe conservarse la cantidad de

movimiento, por tanto:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +r r r r (1)

También debe conservarse su energía, de

modo que:

2 21 11 1 1 1 2 2 2 22 2m v m gh m v m gh+ + + =r r

2 21 11 1 1 1 2 2 2 22 2m u m gh´ m u m gh´= + + +r r

Donde todas las alturas son iguales, por

tanto:

2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2m v m v m u m u+ = +r r r r

Si multiplicamos por 2, tenemos:

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +r r s r (2)

Las ecuaciones (1) y (2) pueden

reordenarse del modo siguiente:

1 1 1 1 2 2 2 2m v -m u m u -m v=r r r r

Todos los vectores tienen igual dirección,

por tanto, se puede escribir:

1 1 1 1 2 2 2 2m v -m u m u -m v=



De donde:

( ) ( )1 1 1 2 2 2m v -u m u -v= (3)

Mientras que (2) queda como:

2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2m v m u m u -m v− =

( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 2 2m v u m u -v− =

( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2m v u v u m u -v u v− + = + (4)

Si dividimos (4) y (3), tenemos:

( )( )( )

( )( )( )

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

m v u v u m u v u vm v u m u v

− + − +=

− −

1 1 2 2v u u v+ = +

De donde:

(v1–v2)=- (u1– u2) (5)

El término de la izquierda es la velocidad

relativa de una esfera respecto de la

otra, antes del choque; el signo positivo

muestra que es una velocidad de

acercamiento. El término de la derecha es

la velocidad relativa entre las esferas

después del choque; el signo negativo

muestra que es una velocidad de

alejamiento.

La ecuación (5) indica que las velocidades

relativas en un choque perfectamente

elástico se mantienen constantes.

Ejemplo 4.24. Una partícula de masa

m1=5Kg moviéndose con rapidez v1=2 ms

choca con una partícula de masa m2=8Kg

inicialmente en reposo. Determinar la

rapidez de cada partícula después del

choque si es perfectamente elástico.

Solución:

Debe conservar la cantidad de

movimiento:

m1v1+m2v2=m1u1+m2u2 (1)

Puesto que es un choque unidimensional.

Debe conservar la energía mecánica. Si

suponemos que el evento completo ocurrió

en un plano equipotencial, se tiene:

½m1v12+½m2v2

2= ½m1u12+½m2u2

2

Multiplicando por 2,

m1v12+m2v2

2=m1u12+m2u2

2 (2)

Reemplazando los valores en la ecuación

(1), se tiene:

(5Kg)(2)+(8)(0)=(5)u1+(8)u2

10=5u1+8u2 (3)

Y en la ecuación (2):

(5Kg)(4)+(8)(0)=(5)u12+(8)u2

2

20=5u12+8u2

2 (4)



De donde:

u1´=2 ms

u2´=0 ms

u1´´=-0,46 ms

u2´´=1,39 ms

El primer juego de soluciones es

imposible, porque el cuerpo 2 no puede

quedar en reposo y menos que 1 pase a

través de 2.

El segundo juego de soluciones es el

correcto, e indica que el cuerpo 1 se

devuelve con rapidez de 0,46 ms

y el

cuerpo 2 se mueve hacia la derecha con

rapidez de 1,39 ms

.

4.13.2 Coeficiente de restitución.

Se define como coeficiente de

restitución (e) al módulo del cuociente

entre las velocidades relativas antes y

después del choque. Para choques en una

dimensión:

1 2

1 2

(u u )e(v v )− −

=−

(6)

Este coeficiente da cuenta del

porcentaje de deformación permanente

de los cuerpos a causa del evento.

En el caso de los choques perfectamente

elásticos este cuociente es 1, como se

observa en la ecuación (5).

Note que si los choques son

perfectamente inelásticos siguen juntos y

las velocidades después del choque son

iguales (u1=u2), por lo que e=0; es decir,

la deformación máxima que experimentan

en el evento, es la definitiva; se

recuperan 0%.

4.13.3 Choques perfectamente inelásticos (plásticos).

Son aquellos en los que los cuerpos siguen

juntos después de colisionar.

Aquí no se conserva la energía, pero se

conserva la cantidad de movimiento.

En la figura siguiente se tienen dos

esferas que se comportan como

partículas, que se mueven hacia la

derecha, chocan y siguen juntas. Se

mueven en un plano equipotencial sin roce.

Entonces se tiene que:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +r r r r

Pero 1 2u u u= =r r r

( )1 1 2 2 1 2m v m v m m u+ = +r r r



De donde:

1 1 2 2

1 2

m v m vum m

+=

+

r rr

v1 v2m1 m2

m1 m2

u1 = u2m1 m2

Fig 4.101 Dos esferas chocando inelásticamente.

Note que si consideramos el coeficiente

de restitución:

1 2

1 2

(u u )e(v v )− −

=−

=0 pues u1=u2.

En resumen, se tiene que los choques se

pueden clasificar de acuerdo a la tabla

siguiente.

Clasificación de choques. Choque ∆EM> ∆P>0 e siguen

Perfect. elástico si si 1 Separados Inelástico no si 0<e<1 juntos Perfect. inelástico no si 0 juntos

Ejemplo 4.25. En el ejemplo 4.24,

determine la rapidez después del choque

si es perfectamente inelástico.

Determine además, la variación de

energía cinética del sistema.

Solución:

Si el choque es perfectamente inelástico,

entonces:

1 1 2 2

1 2

m v m vu m m

+=

+

r rr

( )1 1

1 2

m 5 Kg 2m v msu 0,77m m 5Kg 8Kg s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

+ +

Antes del choque, la energía cinética del

sistema es la energía cinética del cuerpo

1:

k1=½m1v12=½(5Kg)(2 m

s)2 =10J

Después del choque:

K1´=½(m1+m2)u2=½(5Kg+8Kg)(0,77 ms

)2

K1´=3,85J

Por tanto:

∆K=-6,15J

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5.1 Centro de masa de sistemas de partículas.

5.1.1 Posición del centro de masa.

Hasta ahora hemos estudiado partículas y

cuerpos rígidos o deformables sometidos

a fuerzas aplicadas en puntos claramente

identificables y hemos conseguido

describir cualitativa y cuantitativamente

sus estados cinemáticas y dinámicos,

aunque hemos hecho ciertos supuestos

simplificadores, algunos de las cuales

ahora podemos tratar un poco más

profundamente.

Empezaremos considerando que tenemos

un sistema de dos partículas sometidas a

fuerzas externas y definiremos algunas

cantidades que nos permitan estudiarlo

de una manera sencilla.

Un sistema formado por dos partículas de

masas m1 y m2 sometidas a fuerzas

externas 1Fr

y 2Fr

como se observa en la

figura 5.1 tiene un comportamiento

equivalente al de una partícula de masa

m1+m2 sometido a una fuerza 1Fr

+ 2Fr

ubicada en un punto que denominaremos

centro de masas.

Recuerde que una partícula es un

concepto físico geométricamente dotado

de cero dimensiones y de masa, de tal

manera que el punto de aplicación de la

fuerza es la partícula misma.

F2

m2m1+m2

F1

m1

F1+F2

Fig 5.1 Una partícula dotada de masa equivalente a la masa total del sistema, ubicada en el centro de masa, se comporta igual que el sistema.

En otras palabras: se define como centro

de masa de un sistema compuesto de más

de 1 partícula al punto donde podría

suponerse concentrada la masa total del

sistema.

Sobre este punto se puede suponer que

actúa la fuerza externa neta aplicada

sobre el sistema, de manera tal que por



complejo que sea el movimiento, puede

describirse a través del movimiento de su

centro de masa.

La ubicación del centro de masas en el

caso de que las partículas tengan igual

masa es simplemente el centro

geométrico de la línea que las une. Su

posición viene dada por el vector de

posición respecto de un sistema de

referencia arbitrariamente definido y su

comportamiento en el tiempo permite

describir el movimiento del sistema con

las mismas definiciones que hemos

adoptado para el caso de una partícula.

En el caso en estudio, podemos suponer

que las partículas se ubican en el eje x de

un sistema de coordenadas cartesianas,

de tal manera que si ubicamos el origen a

la izquierda de la partícula 1, los vectores

de posición serán 1rr y 2r

r

respectivamente, como se observa en la

figura 5.2, donde se han dibujado en

líneas separadas por razones didácticas.

También se identifica la posición del

centro de masa cmrr .

m2m1+m2m1

r1 r2

0

rcm

Fig 5.2 Posición de las partículas y del centro de masa del sistema, respecto de un sistema de referencia arbitrario.

Entonces se define la posición del centro

de masas como:

1 1 2 2cm

1 2

m r m rrm m

+=

+

r rr

Donde:

1 1 2 2cm

1 2

m x m xxm m

+=

+

si x1=2m, x2=8m, m1=m2=6Kg, entonces

( )( ) ( )( )cm

6Kg 2m 6Kg 8mx 5m

6Kg 6Kg+

= =+

Justo a la mitad de la distancia existente

entre las partículas, es decir 3m a la

derecha de la partícula 1, como intuíamos.

Note que si las masas no son iguales, la

posición del c.m. varía. Por ejemplo, si

m2=9Kg entonces xcm=5,6m; es decir

ahora se ubica 5,6m a la derecha de la

partícula 1. En la medida que una partícula



tiene más masa, el centro de masa del

sistema se va acercando hacia ella.

Le recomendamos que calcule el centro de

masa del sistema para distintos valores

de m2 creciendo a razón de 10Kg cada

vez.

Si el sistema estuviera compuesto de n

partículas cuyas masas fueran diferentes,

la ubicación del punto en donde se puede

suponer concentrada su masa será:

i n

i i1 1 2 2 i 1

cm i n1 2

ii 1

mrm r m r ......rm m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

rr r

r

si el sistema de partículas está en el

espacio coordenado cartesiano, entonces

sus componentes serán:

i n

i i1 1 2 2 i 1

cm i n1 2

ii 1

mxm x m x ......xm m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

i n

i i1 1 2 2 i 1

cm i n1 2

ii 1

mym y m y ......ym m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

i n

i i1 1 2 2 i 1

cm i n1 2

ii 1

mzm z m z ......zm m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

Ejemplo 5.1

Localice el centro de masa de las

partículas de la figura 5.3, cuyas masas

son: mA=20g; mB=30g; mC=30g y mD=40g.

x

z

y

12 cm8 cm

10 cm

Fig 5.3 Dibujo para ejemplo 5.1

Solución:

De acuerdo a la figura tenemos:

( )Aˆˆ ˆr 0i 12j 10k cm= + +

r

( )Bˆˆ ˆr 0i 12j 0k cm= + +

r

( )Cˆˆ ˆr 8i 12j 0k cm= + +

r

( )Dˆˆ ˆr 0i 0j 0k cm= + +

r

Por lo tanto:

( )( )cm

30g 8cmx 2cm

120g= =

( )( ) ( )( ) ( )( )cm

20g 12cm 30g 12cm 30g 12cmy

120g+ +

=

cmy 8cm=



( )( )cm

20g 10cmz 1,6cm

120g= =

es decir:

( )cmˆˆ ˆr 2i 8j 1,6k cm= + +

r

Fig 5.4 Posición del c.m. del sistema de partículas del Ejemplo 5.1

Ejemplo 5.2

En la figura, mA=25g; mB=35g; mC=15g,

mD=28g y mE=16g. Encontrar el centro de

masa del sistema.

Fig 5.5 Dibujo para ejemplo 5.2

Solución:

De acuerdo a la figura tenemos:

( )Aˆˆ ˆr 10i 0j 0k cm= + +

r

( )Bˆˆ ˆr 10i 11j 0k cm= + +

r

( )Cˆˆ ˆr 0i 16j 0k cm= + +

r

( )Dˆˆ ˆr 10i 160j 11k cm= + +

r

( )Eˆˆ ˆr 0i 0j 11k cm= + +

r

por lo tanto:

( )( ) ( )( ) ( )( )cm

25g 10cm 35g 10cm 28g 10cmx

(25 35 15 28 16)g+ +

=+ + + +

xcm=7,39cm

( )( ) ( )( ) ( )( )cm 119g

35g 11cm 15g 16cm 28g 16cmy

+ +=

ycm= 9,02cm

( )( ) ( )( )cm 119g

28g 11cm 16g 11cmz

+=

zcm=4,07cm



5.1.2 Velocidad del Centro de masa

La velocidad con que se mueve el centro

de masa de un sistema de partículas es:

i n

i i1 1 2 2 i 1

cm i n1 2

ii 1

mvm v m v ......vm m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

rr r

r

donde:

ii i ii

dydr dx dz ˆˆ ˆv i j kdt dt dt dt

= = + +r

r

por tanto, sus componentes cartesianas

son:

i n

i xi1 x1 2 x2 i 1

xcm i n1 2

ii 1

mvm v m v ......vm m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

i n

i yi1 y1 2 y2 i 1

ycm i n1 2

ii 1

mvm v m v ......v

m m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

i n

i zi1 z1 2 z2 i 1

zcm i n1 2

ii 1

mvm v m v ......vm m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

5.1.3 Aceleración del Centro de masa

La aceleración del centro de masa de un

sistema de partículas es:

i n

i i1 1 2 2 i 1

cm i n1 2

ii 1

mam a m a ......am m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

rr r

r

donde:

22 2 2ii i i

i 2 2 2 2d yd r d x d z ˆˆ ˆa i j k

dt dt dt dt= = + +

rr

o,

yixi ziii

dvdv dvdv ˆˆ ˆa i j kdt dt dt dt

= = + +r

r

por tanto, sus componentes cartesianas

son:

i n

i xi1 x1 2 x2 i 1

xcm i n1 2

ii 1

mam a m a ......am m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

i n

i yi1 y1 2 y2 i 1

ycm i n1 2

ii 1

mam a m a ......a

m m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

i n

i zi1 z1 2 z2 i 1

zcm i n1 2

ii 1

mam a m a ......am m ..... m

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑



5.1.4 Centro de masa y movimiento de traslación.

Como se entiende intuitivamente, la

cinemática de un sistema de partículas es

sencilla una vez que se estudia a través

de una partícula que contiene la masa del

sistema, ubicada en el centro de masa del

sistema. El comportamiento en el tiempo

puede ser estudiado como lo hacíamos con

una partícula simple.

Por otro lado, lo verdaderamente

importante de la definición del centro de

masa de un sistema de partículas es que

relaciona su movimiento con la fuerza

externa al sistema.

Consideremos un sistema de partículas

cuyo movimiento es de traslación;

entonces por definición:

i n

i ii 1

cm i n

ii 1

mrr

m

=

==

=

=∑

∑

r

r

si consideramos que la masa del sistema

es:

i n

ii 1

m M=

=

=∑

entonces se puede escribir:

i n

cm i ii 1

M r mr=

=

= ∑r r

que se puede escribir como:

cm 1 1 2 2 n nM r m r m r ...... m r= + + +r r r r

si tomamos la primera derivada respecto

del tiempo, se tiene:

cm n21 2 n

1

dr drdrdrM m m ...... mdt dt dt dt

= + + +r rrr

es decir:

cm 1 1 2 2 n nMv m v m v ...... m v= + + +r r r r (*)

note que la expresión de la derecha

contiene la suma de la cantidad de

movimiento lineal de cada partícula del

sistema, es decir, la cantidad de

movimiento lineal del sistema de

partículas

SPr

, y en el lado izquierdo se tiene la

cantidad de movimiento lineal del centro

de masa cm cmP Mv=r r , por lo que entonces:

cm SP P=r r

es decir, el comportamiento de la

cantidad de movimiento lineal del centro

de masa de un sistema de partículas es

equivalente al comportamiento de la

cantidad de movimiento lineal del sistema.

Si tomamos la derivada de la ecuación (*)

tenemos:



cm n1 21 2 n

dv dvdv dvM m m ...... mdt dt dt dt

= + + +r rr r

es decir:

cm 1 1 2 2 n nMa m a m a ...... m a= + + +r r r r

desde donde:

i n

cm i ii 1

Ma ma=

=

= ∑r r

El término de la derecha representa la

suma de las fuerzas aplicadas sobre cada

partícula (i n

ii 1

F=

=∑

r).

Note que sobre cada partícula se ejercen

fuerzas provenientes desde el exterior

del sistema y desde el interior del

sistema, producto de la interacción con

las restantes partículas.

i n i n i n

i i(internas) i(externas)i 1 i 1 i 1

F F F= = =

= = =

= +∑ ∑ ∑r r r

Si por ejemplo consideramos las

partículas 1 y 2, notamos que la fuerza de

interacción de 1 sobre 2 tiene una

reacción (de acuerdo al tercer principio

de Newton), que es una fuerza de 2 sobre

1 igual en magnitud, pero opuesta en

dirección que la anterior.

F12F21

Fig 5.6 Fuerzas internas entre 2 partículas

Si tomamos el sistema completo

observamos que las fuerzas internas

vienen de a pares de fuerzas de igual

magnitud pero direcciones opuestas, de

tal manera que si las sumamos obtenemos

un vector nulo.

Por tanto:

i n i n

i i(externas)i 1 i 1

F F= =

= =

=∑ ∑r r

Se tiene entonces, que la fuerza externa

que actúa sobre el sistema equivale al

producto entre la masa del sistema y la

aceleración de su centro de masa.

i n

cm i(externa)i 1

Ma F=

=

= ∑rr

este resultado es muy importante, pues

permite estudiar movimientos de

sistemas complejos, observando el

comportamiento de una partícula que

contiene la masa del sistema, sobre la que

actúa la fuerza neta externa al sistema.

Este resultado justifica lo que hemos

hecho en los capítulos iniciales del curso,

donde hemos tomado cuerpos y los hemos

considerado como partículas. Ahora

sabemos que esto es válido, pues un

cuerpo puede considerarse como un



sistema de partículas sometidas a los

principios de Newton.

Las siguientes figuras muestran cuerpos

moviéndose en el vacío bajo la acción de

fuerza neta externa nula (fig 5.7), y

fuerza neta externa igual al peso (fig 5.8

y 5.9).

En el primer caso la aceleración del

centro de masa es nula y en los dos casos

siguientes, la aceleración es la

aceleración de gravedad, como vimos al

estudiar el movimiento de traslación de

una partícula en capítulos anteriores.

Fig 5.7 Cuerpo con fuerza externa neta nula. El c.m. se mueve con MUR.

centro de masa

Fig 5.8 El centro de masa de un cuerpo moviéndose en un campo gravitacional se comporta como una partícula con masa igual que la del cuerpo, sobre la que actúa la fuerza externa igual al peso.

Fig 5.9 El mismo objeto de la figura 7.7 se rompe y sus pedazos siguen curvas distintas, pero el centro de masa del sistema no sufre variaciones pues la fuerza externa no ha variado.

Finalmente, observamos que la ecuación

i n

cm i(externa)i 1

Ma F=

=

= ∑rr

puede escribirse como:

i ncm

i(externa)i 1

dvM Fdt

=

=

= ∑r r

que es igual que:

i ncm

i(externa)i 1

d(Mv ) Fdt

=

=

= ∑r r

de donde:

i ncm

i(externa)i 1

dP Fdt

=

=

= ∑r

r

es decir, la fuerza neta externa aplicada

sobre el centro de masa equivale al

cambio en la cantidad de movimiento

lineal del centro de masa.



Este resultado puede parecer igual a la

ecuación obtenida para una partícula, sin

embargo no lo es, puesto que aquí

tenemos cuerpos tratados como sistemas

de partículas, es decir cuerpos con

extensión. Este concepto es importante

al tratar cuerpos rígidos, como veremos

en el capítulo siguiente.

Naturalmente, si la fuerza externa es

nula, se tiene:

cmdP 0dt

=

rr

que reafirma el concepto de conservación

de la cantidad de movimiento lineal

estudiada en el capítulo correspondiente.

Ejemplo 5.3

Considere una partícula que cae

libremente y explota dividiéndose en dos

partes cuando se encuentra a 1000m de

altura y se mueve con rapidez de 40 ms

.

Como resultado de la explosión una de las

partes se mueva hacia abajo

verticalmente y con una rapidez de 60 ms

.

Encontrar la posición del centro de masas

5s después de la explosión. Considere que

el movimiento ocurre en el vacío.

Solución:

La figura 5.10 muestra un esquema de la

situación. En t=0s el cuerpo se encuentra

en y0=1000m respecto de un punto

ubicado verticalmente abajo, escogido

como referencia arbitraria, moviéndose

libremente en el vacío, sujeto a la fuerza

de atracción gravitacional. En

consecuencia, su movimiento es

uniformemente acelerado, siendo su

aceleración de magnitud igual a g.

m1=m/2

m2=m/2

v2

v1

mv0

y0

y2

y1

t=0s

y=0

t=5s

m cmycm ycm

Fig 5.10 Explosión de cuerpo de masa m

En t=5s el sistema está sujeto a igual

fuerza externa pues la explosión se

generó por fuerzas internas. En

consecuencia la cantidad de movimiento

del sistema se ha conservado y el centro



de masas del sistema se ha comportado

como si no hubiera habido explosión.

Por tanto, de acuerdo a la nomenclatura

sugerida en la figura 5.10:

mv0=m1v1+m2v2

con m1=m/2 y m2=m/2, se obtiene:

0 1 2m mmv v v2 2

= +

de donde, considerando que v0=-40 ms

y

v1=-60 ms

se obtiene que v2=-20 ms

.

Observe que las rapideces v1 y v2 son las

iniciales de movimientos de partículas

sujetas a sus pesos, de manera tal que 5 s

después, sus posiciones respecto del

sistema de referencia escogido serán:

( ) ( )

21 0 1

21 2

1

1y y v t gt2

m 1 my 1000m 60 5s 10 5ss 2 s

y 575m

= + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

( ) ( )

21 0 2

22 2

2

1y y v t gt2

m 1 my 1000m 20 5s 10 5ss 2 s

y 775m

= + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Entonces el centro de masa del sistema

en ese instante es:

( ) ( )1 1 2 2

cm1 2

cm

m m575m 775mm y m y 2 2ym m m

y 675m

++= =

+=

También podría haberse supuesto que el

centro de masa del cuerpo sin explosionar

se encontrará a los 5s simplemente en:

( ) ( )

2cm 0 0

2cm 2

cm

1y y v t gt2

m 1 my 1000m 40 5s 10 5ss 2 s

y 675m

= + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

5.2 Centro de gravedad.

Un concepto similar al de centro de masa

es el centro de gravedad (c.g.), definido

como el punto donde puede considerarse

que actúa la fuerza de atracción

gravitacional.

Matemáticamente:

i n

i i i1 1 1 2 2 2 i 1

cg i n1 1 2 2

i ii 1

mgrm g r m g r ......rm g m g ..... mg

=

==

=

+ += =

+ +

∑

∑

rr r

r

Note que en la práctica las dimensiones

de los cuerpos son despreciables

respecto de la distancia que existe entre

ellos y el centro de gravedad de la Tierra,

de manera tal que se puede suponer que

todas las partículas que lo componen



tienen igual aceleración de gravedad y

que además estos son vectores paralelos.

Con esto:

i n i n i n

i i i i i i ii 1 i 1 i 1

cg cmi n i n i n

i i i ii 1 i 1 i 1

mgr g mr mrr r

mg g m m

= = =

= = == = =

= = =

= = = =∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

r r r

r r

En consecuencia: para sistemas de

partículas, o cuerpos que pueden

suponerse constituidos de partículas,

cuyas dimensiones sean despreciables

respecto de las dimensiones de la Tierra,

el centro de gravedad y el centro de masa

coinciden.

Una forma de determinar en forma

práctica el centro de gravedad de un

cuerpo irregular consiste en colgarlo con

una cuerda como se muestra en la figura

5.11.

centro de gravedad

Fig 5.11 Determinación práctica del c.g.

En dicha figura se ha colgado un cuerpo

plano y se ha dibujado una “línea de

plomada”, consistente en una línea que

sigue la dirección de la cuerda que

sostiene al cuerpo. Luego se ha colgado

de otro punto y la nueva línea de plomada

interfecta a la anterior en el centro de

gravedad. Si el cuerpo tuviera tres

dimensiones, el método también sirve.

Es importante recordar que aquí se

considera al cuerpo como la suma de

partículas, de tal manera que si se toma

una de ellas (de masa mi), como se

observa en la figura 5.12, experimenta

una fuerza gravitacional ( imgr ) que realiza

un torque respecto del c.g. igual a

( )( )i iˆmgx kτ = −

r si se considera al cuerpo

en el plano XY.

centro de gravedad

mig

xi

Fig 5.12 Fuerza gravitacional sobre una partícula i y su brazo de momento respecto del c.g.

Como las partículas que están a la

derecha de la línea de plomada hacen

torques positivos, pero las que están a la



izquierda hacen torques negativos, es

evidente que la suma de los torques

hechos por todas las partículas que

componen el cuerpo debe ser nulo.

En otras palabras, el centro de gravedad

es el punto del cuerpo respecto del cual

el torque neto producto de las fuerzas

gravitacionales sobre las partículas que lo

componen, es nulo. Si se corta la cuerda,

el cuerpo cae sin girar.

Igual cosa ocurre para el centro de masa,

solo que las fuerzas aplicadas sobre cada

partícula no son gravitacionales.

Una forma práctica de determinar el

centro de masa de un cuerpo es

depositarlo sobre una mesa y empujarlo

de manera tal que se traslade sin rotar.

La intersección de las líneas de acción de

las fuerzas que permiten dicha acción, es

el centro de masa del cuerpo.

Fig 5.13 Determinación práctica del c.m. de un cuerpo tridimensional, aplicando fuerzas sobre sus caras, sin producirle rotación. El único movimiento posible es traslación.

5.3 Centro de masa de cuerpos continuos.

Este capítulo excede el objetivo del

curso. Sin embargo, el método de

resolución de ejercicios, especialmente

los de cuerpos que pueden descomponerse

en cuerpos geométricamente sencillos

cuyos centros de masa se conocen es de

gran utilidad, por lo que le recomendamos

revisarlo con especial atención.

Cuando se requiera conocer la ubicación

del centro de masa de un cuerpo

geométricamente sencillo, este será un

dato dado.

Si el cuerpo es continuo, es decir no

puede representarse como la suma de

partículas (algunas veces erróneamente

denominadas masas puntuales), entonces

el centro de masa se debe calcular de

manera distinta.

Fig 5.14 Elemento de volumen de masa dmi perteneciente a un cuerpo continuo de forma irregular de masa total M.



5.3.1 Cuerpos con tres dimensiones.

Consideremos un cuerpo continuo como el

de la figura 5.14.

Si suponemos al cuerpo formado por n

partículas de masa ∆mi ubicadas en una

posición i i i iˆˆ ˆr xi y j zk= + +

r respecto de un

sistema de referencia coordenado

cartesiano, entonces de acuerdo a la

definición de centro de masa se tiene

que:

i n

i ii 1

cm i n

ii 1

mrr

m

=

==

=

∆=

∆

∑

∑

r

r

cuyas componentes son:

i n

i ii 1

cm i n

ii 1

mxx

m

=

==

=

∆=

∆

∑

∑

i n

i ii 1

cm i n

ii 1

myy

m

=

==

=

∆=

∆

∑

∑

i n

i ii 1

cm i n

ii 1

mzz

m

=

==

=

∆=

∆

∑

∑

Tomemos el primer término:

No tenemos porque suponer que la

distribución de masa en la dimensión x es

constante de manera tal que resulta

conveniente definirla a través de una

cantidad denominada densidad lineal de

masa en función de la coordenada x:

( ) i

i

mxx

∆ρ =

∆

de donde:

( )i im x x∆ = ρ ∆

entonces la coordenada x del centro de

masa queda:

( )

( )

i n

i ii 1

cm i n

ii 1

x xxx

x x

=

==

=

ρ ∆=

ρ ∆

∑

∑

la suma del numerador corresponde a una

suma de Riemann para la función continua

x ρ(x) y la del denominador una suma de

Riemann para la función ρ(x), cuyos

límites cuando ∆xi tienda a infinito

conducen a la expresión:

( )

( )

f

i

f

i

x

xcm x

x

x x dxx

x dx

ρ

=

ρ

∫

∫

donde dm=ρ(x)dx.

por extensión, las restantes coordenadas

del centro de masa serán:



( )

( )

f

i

f

i

y

ycm y

y

y y dyy

y dy

ρ

=

ρ

∫

∫

( )

( )

f

i

f

i

z

zcm z

z

z z dzz

z dz

ρ

=

ρ

∫

∫

en general, se tiene:

( )

( )V

cm

V

x, y,z rdVr

x, y,z dV

ρ=

ρ

∫

∫

r

r

donde dm=ρ(x,y,z)dV.

Es decir, se puede escribir también:

Vcm

V

rdmr

dm=

∫

∫

r

r (**)

Un caso particular se tiene cuando el

cuerpo tiene densidad constante

[ρ(x,y,z)=ρ; medida en 3Kgm

], pues

entonces: dm=ρdV.

Y reemplazándolo en (**):

V Vcm

V V

r dV rdVr

dV dV

ρ ρ= =

ρ ρ

∫ ∫

∫ ∫

r r

r

Vcm

V

rdVr

dV=

∫

∫

r

r

con V

dV V=∫

por tanto:

cmV

1r rdVV

= ∫r r

desde donde:

cmV

1x xdVV

= ∫

cmV

1y ydVV

= ∫

cmV

1z zdVV

= ∫

Este resultado es muy importante, pues

significa que cuando el cuerpo tiene

densidad constante, el centro de masa (y

el de gravedad si el campo gravitacional

es uniforme) dependen solo de la

configuración geométrica del cuerpo y no

de sus propiedades físicas.

En resumen, cuando la densidad es

constante, centro de masa y centro de

gravedad (si la aceleración de gravedad

es constante) coinciden con el centroide

de volumen.



Esto motiva que algunas veces se les

denomine erróneamente centroides,

expresión que tiene connotación

únicamente geométrica.

La figura 5.15 ilustra lo anterior. Un cono

compuesto de dos materiales diferentes

(densidades constantes pero distintas)

tiene centroide de volumen (C) y centro

de masa (cm) ubicados en lugares

distintos.

Fig 5.15 Cuerpo con densidad no constante tiene centroide de volumen y centro de masa en lugares distintos.

5.3.2 Centroides de otros cuerpos.

Fig 5.16 Cilindro de revolución

Fig 5.17 Semicilindro

Fig 5.18 Semiesfera



Fig 5.19 Paraboloide

5.3.3 Cuerpos con dos dimensiones.

Existen numerosos ejemplos de cuerpos

que poseen una arista de dimensiones tan

pequeñas con respecto a las otras, que

puede considerarse como un cuerpo de

dos dimensiones. Las láminas delgadas son

el ejemplo más usado.

En este caso, resulta conveniente definir

una densidad superficial de masa σ

medida en Kg/m2, de manera tal que:

dmdA

σ =

de donde: dm=σdA

y para este caso, se tiene:

A Acm

A A

rdm r dAr

dm dA

σ= ≡

σ

∫ ∫

∫ ∫

r r

r

si la densidad superficial es constante:

A A Acm

A A A

r dA rdA rdAr

dA dA dA

σ σ= ≡ ≡

σ σ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

r r r

r

que corresponde al centroide de área.

De aquí:

cmA

1x xdAA

= ∫

cmA

1y ydAA

= ∫

pues A

dA A=∫

Ejemplo 7.4

Encontrar el centro de masa de la placa

delgada triangular de la figura 5.20 si la

densidad (σ) es constante.

Fig 5.20 Placa delgada triangular



Solución:

Si suponemos que el espesor es

despreciable respecto de las otras

dimensiones, puede dibujarse como se ve

en la figura 5.21, donde se ha tomado una

superficie triangular de ancho a y alto h.

Fig 5.21 Placa delgada triangular. Elemento de masa vertical

Para calcular el centro de masa se ha

considerado un elemento vertical de área

rectangular de base dx y altura y (con y

una función de x); siendo su área por

tanto: dA= y(x)dx.

Por tanto, como hemos visto:

A A Acm

A A A

r dA rdA rdAr

dA dA dA

σ σ= ≡ ≡

σ σ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

r r r

r

en consecuencia:

cmA A

1 1x xdA xy(x)dxA A

= =∫ ∫

en general, podemos suponer que y=mx,

donde m es la pendiente de la arista

inclinada del triángulo, cuyo valor es

hma

= y el intercepto n=0 ya que hemos

supuesto el origen del sistema de

coordenadas ubicado en el vértice

izquierdo del triángulo.

Por otra parte, el área del triángulo es: 1A ah2

=

Entonces:

a a2

cm0 0

a3 3

cm 2 20

h21 h ax x x dx x dx1 a ahah2

2 x 2 a 2x aa 3 a 3 3

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

Para calcular la coordenada y del centro

de masa se tiene, tomando un elemento

horizontal de área dA=(a-x)dy, como se

observa en la figura 5.22

Fig 5.22 Placa delgada triangular. Elemento de masa horizontal



y y ayx hm ha

= = =

por tanto: dA=(a- ayh

)dy

ydA a 1 dyh

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

h

cmA 0

h 2

cm0

h2 3 2 3

cm0

cm

y1 1y ydA a y(1 )dy1A hah2

y2y (y )dyh h

y y2 2 h hyh 2 3h h 2 3h

hy3

= = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

el centro de masa del triángulo está en el

punto:

cm2a hˆ ˆr i j3 3

= +r ´

como se puede ver en la figura 5.23.

Observe que el centro de masa se ubica

en la intersección de las medianas.

Fig 5.23 Centro de masa de una placa triangular.

5.3.4 Centroides de otras superficies.

A=(ah)/2

Fig 5.24 Centro de masa de un triángulo no rectángulo

A=(πr2)/2

Fig 5.25 Centro de masa de un semicírculo

A=(πr2)/4

Fig 5.26 Centro de masa de un cuadrante de círculo



A=(πab)/4

Fig 5.27 Centro de masa de un cuadrante de elipse

A=(2ah)/3

Fig 5.28 Centro de masa de un cuadrante de parábola

5.3.5 Cuerpos con una dimensión.

También existen cuerpos en los que una

de sus aristas es mucho mayor que las

restantes y podemos considerarlos como

cuerpos en una dimensión. Entre estos, se

cuentan alambres o varillas delgadas.

En este caso, resulta conveniente definir

una densidad lineal de masa λ medida en

Kg/m, de manera tal que:

dmdL

λ =

desde donde:

dm=λdL

en cuyo caso, se tiene:

L Lcm

L L

rdm r dLr

dm dL

λ= ≡

λ

∫ ∫

∫ ∫

r r

r

si la densidad lineal es constante:

L L Lcm

L L L

r dL rdL rdLr

dL dL dL

λ λ= ≡ ≡

λ λ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

r r r

r

que corresponde al centroide de línea.

De aquí:

cmL

1x xdxL

= ∫

pues L

dx L=∫

Ejemplo 5.5

Determine el centro de masa de una

varilla recta y delgada, cuya densidad es

constante.

Solución:

Considere la varilla de la figura 7.29:



Fig 5.29 Varilla delgada con densidad constante

En casos como este, se puede considerar

que el cuerpo tiene una dimensión, de tal

manera que posee una densidad lineal de

masa dmdx

λ = , desde donde dm=λdx

En consecuencia:

L L L L

0 0 0 0cm L L L L

0 0 0 0

xdm x dx xdx xdxx

dm dx dx dx

λ λ= = = =

λ λ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

[ ] [ ]

LL 2 2 2

0 0cm L L

0

0

x L 0xdx2 2 2 Lx

L 0 2Ldx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = = =−

∫

∫

lo que era muy evidente. El centro de

masa de una varilla homogénea debe

encontrarse en su centro geométrico.

Ejemplo 5.6

Suponga que la varilla anterior tiene una

densidad que varía de izquierda a derecha

acuerdo a la función λ(x)=1+x, y una

longitud de 6,00cm. Encuentre su centro

de masa.

Solución:

En este caso, se tiene dm=λ(x)dx, por

tanto:

( )

( )

( )

( )

L L L

0 0 0cm L L L

0 0 0LL 2 3 2 3

2

0 0cm L L 22

0 0

2

cm

cm

xdm x (x)dx x 1 x dxx

dm (x)dx 1 x dx

x x L Lx x dx2 3 2 3

xLx1 x dx Lx 22

1 L 1 LL2 3 2 3x L

L LL 1 12 2

1 L2 3x L

L12

λ += = =

λ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤++ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =

⎡ ⎤⎡ ⎤+ ++ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

1 6,002 36 cm 3,75cm

6,0012

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

es decir, el cm se encuentra a una

distancia de 3,75cm del extremo

izquierdo.

Si la densidad fuera constante, se

encontraría a 3,00cm del extremo

izquierdo según lo determinado por el

ejemplo anterior.



5.3.6 Cuerpos con ejes de simetría.

En muchos ejemplos tenemos cuerpos que

tienen ejes de simetría. En esos casos,

algunas sencillas reglas ayudan a

encontrar los centroides, que en los casos

de densidad constante, coincidirán con el

centro de masas como hemos explicado.

Para figuras planas más comunes:

Placa triangular: intersección de las

medianas.

Fig 5.30 Centro de masa de un triángulo

Polígonos regulares: centro geométrico.

Fig 5.31 Centro de masa de un pentágono

Fig 5.32 Centro de masa de un octaedro

Fig 5.33 Centro de masa de un cuadrado

Fig 5.34 Centro de masa de un rectángulo

En general, si la figura tiene un eje de

simetría de 180º, el centroide se

encuentra en el eje; si tiene dos ejes de

simetría de 180º, el centroide se

encuentra en la intersección de los ejes.

Fig 5.35 Centro de masa de una figura plana con un eje de simetría



Fig 5.36 Centro de masa de una figura plana con dos ejes de simetría

Para figuras tridimensionales más

comunes:

a) Pirámides y conos: en L/4, siendo L la

recta que une el vértice con el centro de

la base, medida desde la base.

Fig 5.37 Centro de masa de una pirámide

Fig 5.38 Centro de masa de un cono

b) cilindros y esferas: en el centro

geométrico.

Fig 5.39 Centro de masa de un cilindro

Fig 5.40 Centro de masa de una esfera

5.3.7 Centros de masa de sistemas compuestos de cuerpos con geometría sencilla.

Cuando se tienen varios cuerpos, o cuando

un cuerpo se puede dividir artificialmente

en cuerpos de geometría sencilla,

entonces se puede simplificar el cálculo

del centro de masas.

Supongamos que tenemos dos cuerpos

homogéneos, cuyos volúmenes son V1 y V2,



y cuyos centros de masa respecto a un

sistema de referencia arbitrario sea 1rr y

2rr respectivamente, entonces por

definición el centro de masas viene dado

por:

Vcm

V

rdVr

dV=

∫

∫

r

r

donde:

1 2

1 2

1 2V VV

cm

V V V

rdV r dVrdVr

dV dV dV

+

= =+

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

r rr

r

Note que el término 1

1V

rdV∫r se puede

escribir como 1

1 11 V

1v rdVv ∫

r que es

equivalente a escribir11 cmv rr .

Lo mismo puede hacerse con el otro

término del numerador, por lo que

entonces se tiene que:

1 21 cm 2 cmcm

1 2

Vr V rr

V V+

=+

r rr

si se tienen n cuerpos, o el cuerpo se

puede subdividir en n cuerpos sencillos:

i

n

i cm1

cm n

i1

Vrr

V=

∑

∑

r

r

Si el cuerpo tiene una distribución

superficial de masa:

i

n

i cm1

cm n

i1

Arr

A=

∑

∑

r

r

Finalmente, si tiene distribución lineal de

masa:

i

n

i cm1

cm n

i1

Lrr

L=

∑

∑

r

r

Ejemplo 5.75

Consideremos el caso de una lámina

delgada, cuya representación gráfica en

un sistema de coordenadas cartesianas

conduce al trapecio de la figura 5.41.

y

x

a

c

b

Fig 5.41 Trapecio para el ejemplo 5.7



Solución:

El trapecio se puede subdividir en un

rectángulo más un triángulo, que poseen

centroides conocidos (corresponde a la

intersección de las medianas) como se

observa en la figura 5.42.

xcm1 xcm2

ycm2

ycm1

y

x

A2

A1

a

c

b

Fig 5.42 Subdivisión del trapecio del Ejemplo 5.7

Entonces:

1 21 cm 2 cmcm

1 2

Ar A rr

A A+

=+

r rr

donde:

1 21 cm 2 cmcm

1 2

A x A xx

A A+

=+

1 21 cm 2 cmcm

1 2

A y A yx

A A+

=+

si consideramos que a=18cm, b=10cm,

c=19cm, entonces:

9 12

13

5

y(cm)

x(cm)

A2

A1

18

19

10

Fig 5.43 Centros de masa de subdivisiones del Ejemplo 5.7.

A1=(ab)=180cm2;

A2=1 (c b)a2

− =81cm2;

xcm1=a2

=9cm; ycm1=b2

=5cm;

xcm2= ( )2 2a 18cm 12cm3 3

= = ;

ycm2= ( ) ( )1 1b c b 10cm 19cm 10cm3 3

+ − = + −

ycm2=13cm.

Por tanto:

( )( ) ( )( )2 2

cm 2 2

180cm 9cm 81cm 12cmx

180cm 81cm+

=+

cmx 9,9cm=

( )( ) ( )( )2 2

cm 2 2

180cm 5cm 81cm 13cmy

180cm 81cm+

=+

cmy 7,5cm=



El centro de masa calculado se puede

observar en la figura 5.44

9 12

13

5

y(cm)

x(cm)

A2

A1

18

19

10

9,9

7,5

cm

Fig 5.44 Centro de masa del trapecio

Ejemplo 5.8

Encuentre el centro de masa de la placa

delgada cuya representación gráfica y

dimensiones se ven en la figura 5.45.

y(mm)

x(mm)

50

50

25

25

100

Fig 5.45 Placa de ejemplo 5.8

La superficie se puede subdividir en un

círculo de área A1, un cuadrado de área

A2 y un cuadrante de círculo de área A3

como se observa en la figura 5.46. Se

indican allí los centros de masa de cada

subdivisión con un círculo pequeño.

y(mm)

x(mm)

50

50

25

25

A3

A1

100

Fig 5.46 Subdivisión de figura del Ejemplo 5.8

La novedad es que el área del círculo A1

es negativa pues debe restarse del área

del cuadrado cuya área es A2.

Por tanto:

A1=-πr2=-(3,14)(12,5mm)2

A1=- 490,63mm2

A2=(50mm)(50mm)

A2= 2500mm2

A3=( )( )22 3,14 50mmr

4 4π

=

A3= 1962,5mm2

Es decir:



A=A1+A2+A3= 3971,87mm2

Además:

Xcm1=12,5mm; ycm1=37,5mm

Xcm2=25mm; ycm2=25mm

Xcm3=( )( )

4 50mm4r 21,23mm3 3 3,14

= =π

ycm3=50mm+ 4r3π

=71,23mm

ahora podemos calcular el centro de masa

de la placa:

1 2 31 cm 2 cm 3 cmcm

1 2 3

A x A x A xx

A A A+ +

=+ +

( )( ) ( )( ) ( )( )cm

490,63 12,5 2500 25 1962,5 21,23x

3971,87− + +

=

xcm=24,7mm

( )( ) ( )( ) ( )cm

490,63 37,5 2500 25 1962,5 (71,23)y

3971,87− + +

=

ycm=46,3mm

En la figura 5.47 se puede ver el centro

de masa de la placa.

y(mm)

x(mm)

50

46,3

24,7

25

100

cm

Fig 5.47 Centro de masa de la placa del ej.5.8



6.1 Definiciones

Se entiende por rígido un cuerpo

macroscópico idealizado cuya forma no

varía en el tiempo. Todos los sólidos

comunes pueden entenderse como rígidos

bajo la acción de un sistema de fuerzas

que no lo deformen apreciablemente. Los

sistemas de partículas se comportan

como un rígido si las posiciones relativas

entre ellas no cambian apreciablemente

en el tiempo.

cilindrohueco sólido esferacilindro

Fig 6.1 Ejemplos de cuerpos idealizados considerados rígidos

Una consecuencia inmediata de tener un

cuerpo con extensión es que ahora su

movimiento no solo puede ser de

traslación sino también de rotación, e

incluso de roto traslación.

Consideremos un cuerpo idealizado como

el cilindro sólido de la figura 6.2. Se está

moviendo hacia la derecha de tal manera

que el movimiento de traslación de las

partículas que lo componen puede ser

descrito a través del movimiento de una

partícula cuya masa sea la masa total del

cilindro ubicada en su centro de masa.

Fig 6.2 Cilindro roto trasladándose visto de frente.

Pero además de trasladarse, las

partículas rotan alrededor de un eje, que

por simplicidad hemos supuesto ubicado

en el mismo punto que el centro de masa.

En la figura 6.3 se observan los vectores

velocidad instantánea lineal y angular del

cilindro.

Fig 6.3 Velocidades de traslación y de rotación.



Las ecuaciones cinemáticas que describen

traslación y rotación han sido estudiadas

en capítulos anteriores para el caso de

partículas, y nos servirán aquí para

describir el movimiento del rígido. La

dinámica del rígido también está basada

en la teoría desarrollada para la partícula

aunque necesita algunas definiciones

adicionales que serán introducidas a su

debido tiempo.

6.2 Cinemática de rotación de un cuerpo rígido con eje fijo.

El caso más sencillo de analizar es el de

un rígido cuyas partículas rotan alrededor

de un eje que está fijo en un sistema de

referencia inercial (no se traslada). La

figura 8.4 muestra un cuerpo cualquiera

dotado de un eje fijo de rotación cuya

dirección es la del eje z de un sistema de

coordenadas cartesianas en el espacio.

Fig 6.4 Rígido con eje de rotación fijo.

Una partícula P cualquiera contenida en el

plano xy de la figura anterior (sombreado

para distinguirlo mejor) describirá una

circunferencia con centro en O. Note

que cualquier otra partícula

perteneciente al cuerpo describirá

circunferencias alrededor del eje z.

Desde arriba se vería como se observa en

la figura 6.5.

Fig 6.5 Vista desde arriba de una partícula rotando alrededor de eje z.

Entonces se tiene que P gira con una

velocidad angular media de magnitud:

mrad

t s∆θ ⎡ ⎤ω = ⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦

y una velocidad angular instantánea de

magnitud:

d raddt sθ ⎡ ⎤ω = ⎢ ⎥⎣ ⎦

cuya dirección es la del eje perpendicular

al plano de giro en el sentido que da la

regla de la mano derecha.



Fig 6.6 Vectores velocidad y aceleración angular.

Esta regla establece en términos

sencillos que la velocidad angular es

positiva cuando la rotación es en el

sentido opuesto del movimiento de los

punteros del reloj (antihorarias); y

negativa cuando la rotación es en igual

sentido que los punteros del reloj

(horaria).

x

y+z sale del plano

giro antihorario

y

z

+x sale del plano

giro antihorario

Fig 6.7 Una “llave de agua” de un baño común. La vista desde arriba muestra un giro antihorario que produce un avance positivo lo que se traduce en que la válvula suba (z positivo sale del plano del dibujo), permitiendo el paso del agua. En la vista lateral el eje x positivo sale del plano del dibujo y se observa mejor el avance de la válvula hacia arriba siguiendo la regla de la mano derecha.

Otra forma de recordarlo, es que la

dirección de la velocidad angular es igual

que la dirección de avance de un tornillo,

perno u otro dispositivo con rosca

dextrosum (tornillos y pernos comunes).

La aceleración angular media de la

partícula tiene una magnitud:

m 2rad

t s∆ω ⎡ ⎤α = ⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦

Siendo su aceleración angular instantánea

un vector cuya magnitud es:

2d raddt sω ⎡ ⎤α = ⎢ ⎥⎣ ⎦

La dirección del vector aceleración

angular es la del eje de rotación, siendo

de igual sentido que la dirección de la

velocidad angular cuando la magnitud de

esta última aumenta en el tiempo.

Naturalmente, si la magnitud de la

velocidad angular disminuye en el tiempo,

entonces las direcciones de los vectores

velocidad y aceleración angulares son

opuestos.



Fig 6.8 Vectores velocidad y aceleración angular de una partícula perteneciente a un cuerpo que gira en sentido antihorario, con rapidez angular aumentando.

Fig 6.9 Vectores velocidad y aceleración angular de una partícula perteneciente a un cuerpo que gira en sentido antihorario, con rapidez angular disminuyendo.

Es importante que recuerde que todas las

partículas del cuerpo situadas en este

plano se mueven con igual velocidad

angular puesto que describirán ángulos

iguales en tiempos iguales.

Fig 6.10 Las partículas P1 y P2 situadas a distancias distintas del eje de rotación, describen iguales ángulos entre t1 y t2.

Esto significa que cualquier partícula del

cuerpo queda descrita cinemáticamente

en cuanto a su rotación, con los vectores

velocidad y aceleración angulares.

Si la velocidad angular tiene magnitud

constante (ω=constante), se tiene un

movimiento circunferencial uniforme y

entonces:

( )0 0t tθ = θ + ω −

Si la aceleración angular tiene magnitud

constante (α=constante), entonces se

trata de un movimiento circunferencial

uniformemente acelerado, y se tiene:

( ) ( )20 0 01t t t t2

θ = θ + ω − + α −

( )0 0t tω = ω + +α −



Ejemplo 6.1

Una polea y dos bloques A y B están

unidos por cuerdas livianas e

inextensibles, como se muestra en la

figura 6.11. En t0=0s el bloque A asciende

con aceleración constante A 2m ˆa 0,3 js

=r

con una rapidez de v0A=0,5 ms

.

Fig 6.11 Figura para Ejemplo 6.1

Determinar, si los radios de las poleas son

RA=0,2m y RB=0,4m:

a) Velocidad angular y aceleración angular

de la polea en t=0s

b) Número de vueltas que describe la

polea entre t=0s y t=3s.

c) Aceleración del punto C de la polea.

d) Velocidad y aceleración del bloque B en

t=3s.

Solución:

a) La velocidad del bloque A es igual que

la velocidad del punto C pues la cuerda es

inextensible ( A Cv v=r r ). Igual cosa se tiene

para la aceleración tangencial ( A TCa a= )

Por otra parte, mientras el bloque A sube,

el bloque B baja y la polea gira en sentido

horario, luego la aceleración angular de la

polea tiene sentido negativo ( k− ).

En consecuencia, para t=0s se tiene que:

V0A=0,5 ms

Y como v0A=w0R2, entonces

0A0

2

0

m0,5v rads 1,25R 0,4m s

rad ˆ1,25 ks

ω = = =

ω = −r

En cuanto a la aceleración, se tiene que

A 2TC

2A

22

2

a a R de donde:m0,3a rads 0,75

R 0,4m srad ˆ0,75 ks

= = α

α = = =

α = −r

b) Como la aceleración del bloque a es

constante, la aceleración angular de la

polea también lo es, luego el movimiento

de cualquiera de sus partículas es

circunferencial uniformemente acelerado



pudiendo calcularse el ángulo descrito en

función del tiempo con la ecuación:

( ) ( )20 0 0 01t t t t2

θ = θ + ω − + α −

De donde, con t0=0s y θ0=0rad:

20

1t t2

θ = ω + α

Luego:

20

12 N t t2

π = ω + α

Por tanto:

( ) ( )

20

22

1t t2N

2rad 1 rad1.25 3s 0,75 3ss 2 sN

2 radN 1,13vueltas

ω + α=

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

π=

C) La aceleración en el punto C tiene

componentes tangencial y normal, por lo

que, en t=0s, respecto del sistema

cartesiano de referencia:

C

aT

aCx

y

T Cˆâ a j a i= +

r

con AT 2ma a 0,3s

= = y

( )2

22C 2

rad ma R 1,25 0,4m 0,63s s

⎛ ⎞= ω = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Luego:

( ) 2mˆ â 0,63i 0,3js

= +r

d) Como la cuerda que une la polea y el

cuerpo B también es inextensible,

entonces aT=aB; y como aT=αR1:

aT= ( )2 2rad m0,75 0,2m 0,15s s

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Entonces:

B 2m â 0,15 js

= −r

La velocidad a los 3 segundos es:

( )( )( )

( ) ( )

B 0 B

0 0 1

B 2

B

ˆv v a t j

rad mcon v R 1,25 0,2m 0,25s s

por tanto:m m ˆv 0,25 0,15 3s js s

m ˆv 0,7 js

= + −

⎛ ⎞= ω = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= −

r

r

r



6.3 Dinámica de rotación de un cuerpo con eje fijo.

Cuando tenemos cuerpos rígidos, a

diferencia del caso de las partículas, las

fuerzas que actúan sobre él pueden tener

puntos de aplicación distintos. Ahora es

relevante definir un concepto denominado

línea de acción de la fuerza, que no es

más que la línea sobre la que se ubica la

dirección de la fuerza.

Fig 6.12 Fuerzas aplicadas sobre un rígido. Los puntos de aplicación y las líneas de acción de cada fuerza son distintas.

Consideremos el cuerpo rígido de la

figura 6.13 (cuadro superior) que posee

un eje fijo de rotación, cuya posición

respecto de un sistema de referencia

inercial no cambia en el tiempo.

Supongamos que el cuerpo no rota

respecto del eje.

Entonces, si aplicamos una fuerza cuya

línea de acción esté en un plano

perpendicular al eje, aparece una

aceleración angular en el rígido, como se

observa en la figura 6.13 (cuadro

inferior).

Fig 6.13 Una fuerza aplicada en un plano perpendicular al eje, produce aceleración angular en el cuerpo.

Pero, ¿será la Fuerza la “acción motriz”

que justifique la aceleración angular?.

Parece que si, puesto que al aumentar la

magnitud de la fuerza, también aumenta

la magnitud de la aceleración angular. Sin

embargo, la misma fuerza con línea de

acción paralela, pero más cercana al eje,

produce aceleración angular menor.

En consecuencia, es necesario realizar un

análisis más cuidadoso

Una vista del plano de la fuerza permite

observar mejor el punto de aplicación y su

línea de acción. Por conveniencia se ha

definido un vector de posición que va



desde el eje fijo hasta el punto de

aplicación de la fuerza.

Fig 6.14 El plano perpendicular al eje, contiene la fuerza y un vector de posición respecto del eje fijo de rotación. α es el ángulo entre ambos vectores.

Se puede estudiar con facilidad el efecto

de la fuerza si analizamos el

comportamiento de la partícula ubicada

en su punto de aplicación.

La partícula es obligada a describir un

movimiento circunferencial con centro en

el eje. La fuerza ejercida sobre ella

puede describirse por conveniencia, a

través de sus componentes tangencial y

radial en esa circunferencia, de radio r.

La componente tangencial de la fuerza

provoca una aceleración tangencial, cuya

relación con la magnitud de la aceleración

angular es conocida (aT=αr).

En consecuencia, aplicando 2º principio de

Newton, se tiene:

FT=maT=mαr

Y si multiplicamos la expresión por r,

tenemos:

FTr =mαr2

Expresión que nos permite identificar al

producto FTr como la causa (“acción

motriz”) de la aceleración angular y al

producto mr2 como el factor de

proporcionalidad.

Fig 6.15 Componentes tangencial y radial de la fuerza y componente tangencial de la aceleración de la partícula.

A la cantidad FTr se le denomina

Momento de la Fuerza o torque (respecto

del punto donde el eje de giro corta el

plano de rotación) designada con la letra τ

y a la cantidad mr2 como Momento de

Inercia de la partícula, designada con la

letra I.

En consecuencia, se tiene que:

τ=Iα

Es necesario recalcar nuevamente que en

esta expresión, a la izquierda se

encuentra la causa (el torque) y a la



derecha el efecto (la aceleración

angular). La cantidad I representa la

inercia rotacional de la partícula.

Otra consecuencia directa de esta

expresión es que la dirección del torque

es igual que la dirección de la aceleración

angular:

Iτ = αrr

Por otra parte, se ve en el dibujo de la

figura 6.15 que FT=Fsenα, de tal manera

que el torque se puede escribir como

τ=(Fsenαr), que resulta igual que la

magnitud del vector rxFrr .

Cada partícula que compone el cuerpo

tiene una masa mi y está ubicada a una

distancia ri del eje. Sobre cada una

existen fuerzas internas producto de las

interacciones entre partículas y fuerzas

externas.

La suma total de los efectos sobre cada

partícula conduce a:

( )2i i imrΣτ = Σ α

rr

Puesto que como ya hemos visto, todas las

partículas del cuerpo tienen igual

aceleración angular.

La expresión iΣτr representa la suma de

los torques (torque neto: τ) realizados

por las fuerzas internas y externas sobre

cada partícula.

( ) ( )i i i externasinternasΣτ = Στ + Στr r r

Pero de acuerdo a la tercera ley de

Newton la suma de los torques internos

es nula, por tanto al torque neto solo

concurren las fuerzas externas al cuerpo.

En la parte derecha de la ecuación se

tiene la cantidad ( )2i imrΣ , que representa

el Momento de Inercia del cuerpo (I).

En consecuencia, se tiene que el toque

neto sobre el cuerpo es directamente

proporcional a su aceleración angular,

siendo el factor de proporcionalidad el

momento de inercia del cuerpo:

Torque.

Como se encontró en la sección anterior,

un cuerpo rígido tendrá una aceleración

angular de magnitud no nula cuando sobre

él actúe una fuerza neta que genere un

torque no nulo.

El torque es una magnitud física muy

relevante, que estudiaremos con más

atención a través de algunos ejemplos.



La definición de torque realizado por una

fuerza Fr

respecto de un punto según

observamos es:

[ ]rxF Nmτ =rrr

Fig 6.16 Direcciones de los vectores Torque y aceleración angulares.

En esta expresión se tiene fuerza neta,

torque neto y el vector de posición desde

el eje de giro hasta el punto de aplicación

de la fuerza neta.

Si miramos el plano de rotación desde

arriba, y ubicamos en él un sistema de

referencia con centro en el eje de giro se

tiene:

Fig 6.17 Vectores Fuerza y posición respecto del eje que pasa por el centro de masas de un cuerpo que rota.

Note que los vectores torque y

aceleración angulares tienen direcciones

hacia adentro de la página y se

representan con una x en el interior de

una circunferencia (la pluma de la flecha

con que se identifican gráficamente los

vectores) y por tanto, en la dirección k− .

Esto indica que cuando el cuerpo gira en

dirección horaria (en el sentido de los

punteros del reloj), el torque resultante

es negativo. Esto es una característica de

los sistemas dextrosum como los que

estamos estudiando (siguen la “regla de la

mano derecha”). Como el producto

vectorial es anticonmutativo, se tiene que

cuando el giro del cuerpo sea en dirección

antihoraria, entonces el torque resultante

es positivo.

Por otra parte, se tiene que la longitud de

la línea perpendicular a la línea de acción

de la fuerza que pasa por el eje de giro

es rsenθ, que es denominado brazo de

momento (d).

d r x

y

θθ

Fig 6.18 Definición de brazo de momento



Entonces, el torque se puede expresar en

función de d, puesto que por definición de

producto vectorial se tiene que:

ˆrxF rFsen uτ = = θrrr , donde u es un vector

unitario perpendicular al plano de los

vectores fuerza y posición (en este caso,

el versor k ) y θ es el ángulo formado por

ambos, por lo que:

ˆdFkτ =r

Naturalmente el sentido del versor está

dado por la regla de la mano derecha.

Esta expresión es particularmente útil,

puesto que permite fácilmente entender

que fuerzas cuya línea de acción pasen

por el eje de giro producirán torque nulo

(su brazo de momento es 0).

Fig 6.19 Vectores Fuerza 1Fr y 3F

r producen

torque puesto que d1 yd3 son mayores

que cero. En cambio 2Fr

no produce torque puesto que d2=0.

Esto explica con sencillez algunos

ejemplos prácticos de la vida diaria como

se ve en las figuras 6.20 a 6.23

bisagras

z

y

x

F

τ

vista desde arriba

pomo

bisagra

x

y

F

d

dirección de giro

τ

Fig 6.20 La puerta gira en el plano XY en sentido horario. F produce un torque

en dirección k− , cuya magnitud es dF. Por eso los pomos se ponen lo mas lejos posible de las bisagras.

Fig 6.21 Existe un número importante de pernos, tornillos, tuercas y otros, que tienen “hilos” que avanzan en sentido dextrosum. Para ello cuentan con distintos tipos de “cabezas”, que se hacen girar en un plano perpendicular al cuerpo del objeto con distintos tipos de instrumentos.



d3

d2

d1

F4

F3F2F1

Fig 6.22 La llave hace girar a la cabeza de la tuerca. Todas las fuerzas tienen igual

magnitud. Las fuerzas 1 2 3F, F , y Fr r r

provocan giros antihorarios, es decir positivos, sacando la tuerca. La magnitud del torque aumenta en la

medida en que aumenta d. 4Fr

provoca un giro horario, es decir negativo apretando la tuerca pues la introduce

en el plano. Los torques de 1 4F, y Fr r

tienen igual magnitud. Herramientas de mango más largo requieren esfuerzos menores pero encarecen su costo al necesitar materiales mejores para conservar su rigidez.

Fig 6.23 Existe un número importante de utensilios cuya función es aprovechar el efecto de rotación de una fuerza sobre un eje fijo.

Ejemplo 6.2

Considere un cuerpo rígido que está

sometido a una fuerza neta igual a

( )ˆ ˆF 5i 6j N= +r

respecto de un sistema de

referencia cuyo plano XY está situado en

el plano de rotación (con centro en el eje

de giro), siendo el vector de posición del

punto de aplicación de la fuerza, el

vector ( )ˆ ˆr 3i 2j m= +r .

Solución:

Por definición rxFτ =rrr , por tanto:

Si ˆ ˆr xi yj= +r y x y

ˆ ˆF F i F j= +r

se tiene

( )[ ]

[ ]

x y

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆi j k i j kˆx y 0 3 2 0 18 10 Nm k

F F 0 5 6 0

ˆ8 Nm k

τ = = = −

τ =

r

r

Es decir, el cuerpo gira en dirección

antihoraria, pues el torque resultó

positivo.


Note que los vectores torque y

aceleración angulares salen de la página y

se representan con un punto en el interior

de una circunferencia (la punta de la



flecha con que se identifican

gráficamente los vectores)

Ejemplo 6.3

Si la fuerza del ejemplo 6.2

fuera 1ˆF 5iN=

r, se tendría que:

( )[ ]

[ ]

1

1

F

F

ˆˆ ˆi j kˆ3 2 0 0 10 Nm k

5 0 0

ˆ10 Nm k

τ == = −

τ = −

r

r


El cuerpo gira en sentido horario, el

torque y la aceleración angular son

negativos (entran).

En cambio, si la fuerza es 2ˆF 6jN=

r,

entonces el torque que produce es:

( )[ ]

[ ]

2

2

F

F

ˆˆ ˆi j kˆ3 2 0 18 0 Nm k

0 6 0

ˆ18 Nm k

τ == = −

τ =

r

r


Note que al sumar los vectores 1Fr

y 2Fr

del ejemplo 6.3 se obtiene el vector Fr

del ejemplo 6.2. Además la suma de los

torques realizados por 1Fr

y 2Fr

corresponde al torque realizado porFr

,

como era de esperarse: 1 2F F Fτ = τ + τ

r r r .

Este hecho es importante para resolver

algunas situaciones presentadas en los

ejercicios de aplicación, donde las

fuerzas pueden descomponerse de

manera conveniente, como se observa en

los ejemplos siguientes.

Ejemplo 6.4

Calcule el torque que la fuerza Fr

ejerce

sobre la barra de la figura 6.27.

F




Solución:

Se puede suponer que la barra es un

cuerpo unidimensional y fijar un sistema

de referencia tal que se sitúe sobre el

eje x, con origen en el eje fijo de

rotación ubicado en la bisagra.

F

r x(m)

y(m)

Fig 6.28 La barra se puede suponer como un cuerpo en una dimensión.

El vector de posición es ˆr xi=r , y la

fuerza está en el plano XY, de manera tal

que el torque respecto del eje fijo de

rotación es:

( )F y

x y

F y

ˆˆ ˆi j kˆx 0 0 xF 0 k

F F 0

ˆxF k

τ == = −

τ =

r

r

Note que

Fr θ

Fy

Fx

Fig 6.29 Componentes cartesianas de la fuerza.

Fy=Fsenθ por lo que

( )FˆxFsen kτ = θ

r

También podría haberse resuelto

suponiendo que la fuerza es la suma de los

vectores componentes, es decir

suponiendo que actúan las fuerzas

1 xˆ ˆF F i Fcos i= = θ

r y 2 y

ˆ ˆF F i Fsen i= = θr

F2=Fyj= Fsenθj

F1=Fxi=Fcosθi

d

Fig 6.30 Fuerza descompuesta como la suma de sus vectores componentes.

Claramente se observa que el brazo de

momento del vector fuerza componente

en X es nulo, por lo que no hace torque

respecto del eje. En cambio el vector

componente de la fuerza en Y si produce

torque pues su brazo de momento no es

nulo.

Como sabemos que ˆdFuτ =r , entonces:

yˆ ˆ ˆdF k dFsen k xFsen kτ = = θ = θ

r

Igual que con el método anterior. k es

positivo porque yFr

produce que el cuerpo

gire en sentido antihorario.



Ejemplo 6.5

Calcule el torque que el sistema de

fuerzas 1Fr

, 2Fr

y 3Fr

ejerce sobre el

cuerpo rígido de la figura 6.31 respecto

de un eje fijo que pasa por:

a) el punto A.

b) el punto B.

c) el punto C.

F1 F2

F3

A

13m

20m 10m

B

8m

C

Fig 6.31 Cuerpo rígido del ejemplo 6.5.

F1=10N; F2=20N; F3=30N.

Solución:

a) El torque neto respecto del punto A es:

1 2 3A FA F A F AΣτ = τ + τ + τr r r r

( )( ) ( )( ) ( )( )Aˆ ˆ ˆ10 13 k 20 30 k 30 20 k Nm⎡ ⎤Στ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦

r

Aˆ130kNmΣτ =

r

b) El torque neto respecto del punto B:

( )( ) ( )( ) ( )( )Bˆ ˆ ˆ10 0 k 20 18 k 30 8 k Nm⎡ ⎤Στ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦

r

Bˆ120kNmΣτ =

r

c) El torque neto respecto del punto C:

( )( ) ( )( ) ( )( )C

C

ˆ ˆ ˆ10 13 k 20 0 k 30 10 k Nm

ˆ430kNm

⎡ ⎤Στ = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Στ =

r

r

Ejemplo 6.6


fuerzas ejerce sobre el cuerpo rígido de

la figura 6.32 respecto de un eje fijo que

pasa por:

a) el punto A.

b) el punto B.

F1=10N; F2=20N; F3=30N; F4=40N.

F1

F2

A

15m

10m

B60º

45º

F3

F4

15m

10m




Solución:

a) El torque neto que el sistema de

fuerzas ejerce sobre el cuerpo respecto

del punto A es:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

A

A

ˆ ˆ10 10 kNm 20 15 kNmˆ ˆ30cos45º 15 kNm 40sen60º 15 kNm

ˆ-602,5 kNm

Στ = − − +

+ −

Στ =

r

r

b) El torque neto respecto del punto B:

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

B

B

ˆ ˆ10 0 kNm 20 30 kNmˆ ˆ30cos45º 30 kNm 30sen45º 10 kNmˆ40cos60º 10 kNm

ˆ26kNm

Στ = − +

+ − +

+

Στ =

r

r

Ejemplo 6.7


fuerzas ejerce sobre el cuerpo rígido de

la figura 6.33 respecto de un eje fijo que

pasa por su centro. F1=100N (tangente a

la superficie del rígido); F2=200N.

La vista del plano de rotación proporciona

las coordenadas de los puntos de

aplicación de las fuerzas respecto de un

plano cartesiano con centro en el eje de

rotación.

x

y

F2

F1

x

y

F2

F1

30cm

50cm

20cm


Solución:

Las fuerzas están en el plano XY, por

tanto el torque neto que el sistema de

fuerzas ejerce sobre el cuerpo respecto

del eje que pasa por su centro es:

( )( ) ( )( )

( )o

o

ˆ ˆ100 50 kNm 200 30 kNcmˆ11000 kNm

Στ = − −

Στ = − +

r

r

Note que el brazo de momento de 1Fr

es

igual que el radio de la circunferencia,

pues tiene dirección igual que la recta

tangente a ella.



6.4 Momentos de Inercia de sistemas de partículas.

Hemos definido el momento de inercia de

una partícula como “la inercia rotacional”,

es decir la capacidad de la partícula a

resistirse a un cambio en su movimiento

de rotación.

La expresión mr2 permite calcular la

inercia rotacional de una partícula de

masa m respecto de un sistema de

referencia determinado. Esta expresión

muestra que la resistencia al cambio será

mayor en la medida en que la partícula se

encuentre más lejos del eje de rotación.

Fig 6.34 Una partícula de masa m tiene mayor momento de inercia en la medida en que r1>r0.

Si tenemos un sistema formado por n

partículas, entonces su momento de

inercia será:

i n2

i ii 1

I mr=

=

= ∑

Ejemplo 6.8

Calcule el momento de inercia del sistema

formado por las partículas de masas

m1=10Kg y m2=20Kg respecto del eje

ubicado en O en la figura 6.35.

Fig 6.35 Sistema de partículas para ejemplo 6.8

Solución:

Sabemos que i n

2i i

i 1I mr

=

=

= ∑ , por lo tanto:

( )( ) ( )( )

2 21 1 2 2

2 2

2

I m r m r

I 10Kg 2m 20Kg 6mI 720Kgm

= +

= +

=

Ejemplo 6.9

Calcule el momento de inercia del sistema

del ejemplo 6.8 respecto de su centro de

masas.

Solución:



El centro de masas del sistema está

ubicado en el punto:

1 1 2 2cm

1 2

m r m rrm m

+=

+

( )( ) ( )( )cm

cm

10Kg 2m 20Kg 6mr 4,6m

10Kg 20Kgr 4,7m

+= =

+

≈

Por tanto, como se ve en la figura 6.36:

Fig 6.36 Posiciones de las partículas respecto del eje que pasa por su centro de masas.

En consecuencia:

( )( ) ( )( )

*2 *2cm 1 1 2 2

2 2cm

2cm

I m r m r

I 10Kg 2,7m 20Kg 1,3mI 106,7Kgm

= +

= +

=

Ejemplo 6.10

Existen numerosos ejemplos en la

literatura que se pueden resolver de esta

manera. Considere las dos esferas de

igual masa (m=1Kg) de la figura 6.37

unidas a través de una varilla rígida de

masa muy pequeña apoyada sobre una

base vertical en el punto en el que se

encuentra el centro de masas del

conjunto.

Fig 6.37 Cuerpo para el ejemplo 6.10.

Entonces se puede suponer que las

esferas se comportan como partículas

separadas por 1m, de manera tal que el

momento de inercia respecto del centro

de masas es:

( ) ( )

*2 *2cm 1 1 2 2

2 2

cm

2cm

I m r m r

1 1I 1Kg m 1Kg m2 2

I 0,5Kgm

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Ejemplo 6.11

Encuentre el momento de inercia de los

objetos de la figura 6.38 unidos por

barras muy delgadas, rígidas y de masa

despreciable formando un rectángulo de



dimensiones 0,5m y 1,0m

respectivamente. Suponga que se

comportan como partículas. Sus masas

son: m1=m2= 0,2Kg; m3=m4= 0,4Kg;

m1

0,5m

x

y

1,5mm2

m3m4

0,5m

Fig 6.38 Cuerpos puntuales (partículas) ubicados en una estructura de alambre rígido liviana, rectangular.

Encuentre el momento de inercia del

sistema de partículas respecto de ejes de

rotación ubicados en los ejes del sistema

de referencia.

Solución:

Respecto del eje x, se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2x 1 1 2 2 3 3 4 4

2 2

x

2 2

2x

I m r m r m r m r

1 1I 0,2Kg m 0,2Kg m4 4

1 10,4Kg m 0,4Kg m4 4

I 0,0075Kgm

= + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Respecto del eje y, se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2y 1 1 2 2 3 3 4 4

2 2

y

2 2

2y

I m r m r m r m r

1 3I 0,2Kg m 0,2Kg m2 2

1 30,4Kg m 0,4Kg m2 2

I 1,5Kgm

= + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Respecto del eje z, se tiene:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2z 1 1 2 2 3 3 4 4

2 2

z

2 2

2z

I m r m r m r m r

5 37I 0,2Kg m 0,2Kg m16 16

5 370,4Kg m 0,4Kg m16 16

I 1,25Kgm

= + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

6.5 Momentos de Inercia de cuerpos rígidos.

Si la distribución de masa es continua y

no se pueden hacer los supuestos

simplificadores de partícula o de sistema

de partículas, entonces el cálculo es más

complejo y requiere del cálculo integral.

La discusión que haremos a continuación

excede los objetivos de este curso. Sin

embargo, para aquellos que ya dominan

estas herramientas matemáticas, y para

los que vuelvan a revisar este capítulo al

preparar el examen final (fecha en que

dominarán el cálculo diferencial e

integral).



Por mientras, se puede saltar la discusión

matemática y tomar solo la tabla de

momentos de inercia de cuerpos comunes

que se observa al final de este capítulo.

Consideremos una barra delgada de

densidad homogénea de masa M y

longitud L, como se muestra en la figura

6.39. Allí hemos dibujado un sistema de

coordenadas con centro en el punto donde

se ubica el centro de masas de la barra.

En la figura se ha agregado una vista del

cuerpo idealizándolo a una dimensión.

Esta idealización se hace considerando

que el espesor y el ancho de la barra son

despreciables comparados con su

longitud.

cm

dm

Fig 6.39 Varilla delgada de longitud L y masa M.

Si suponemos que la barra está

compuesta de elementos de volumen muy

pequeños de masa im∆ , con el i-ésimo

elemento ubicado a una distancia xi del

centro de masas, entonces el momento de

inercia de los i elementos será igual a: i n

2cm i i

i 1I x m

=

=

= ∆∑ , que es una suma de

Riemman, cuyo límite cuando im∆ tienda

a cero es el momento de inercia de la

barra:

i

i n2 2

cm i im 0 i 1I lim x m x dm

=

∆ → =

= ∆ =∑ ∫

El elemento de volumen seleccionado

tiene una masa dm y una longitud dx, los

que se pueden expresar a través de la

densidad lineal de masa λ:

dmdx

λ =

De donde:

dm dx= λ

Si la densidad es constante, entonces se

puede calcular considerando la masa total

M y la longitud total de la barra L, siendo:

ML

λ =

Entonces:



Mdm dxL

=

Por lo tanto, el momento de inercia de la

barra es:

2 2cm

MI x dm x dxL

= =∫ ∫

L22

Lcm2

MI x dxL −

= ∫

L3 2

cmL2

M xIL 3 −

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

3 3

cm

L LM 2 2IL 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

cmMLI12

=

La expresión encontrada será la misma

para cualquier cuerpo que se comporte

como un rígido, cuya densidad sea

constante y cuyas dimensiones sean tales

que su largo sea muy grande comparado

con las restantes dimensiones (varillas

delgadas, alambres delgados, etc.).

Si quisiéramos calcular el Momento de

Inercia de la barra respecto de un eje

fijo que pasa por el extremo izquierdo,

entonces se tiene:

dm

Fig 6.40 I respecto de un eje en el extremo izquierdo

2 2O

MI x dm x dxL

= =∫ ∫

L 2O 0

MI x dxL

= ∫

L3

O0

M xIL 3⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3

OM LIL 3⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

OMLI

3=

En este caso, resulta sencillo, pero para

cuerpos que tienen más de una dimensión

apreciable el cálculo del Momento de

Inercia para ejes que pasan por el centro

de masas u otros puntos puede ser

demasiado complejo para este curso.



En la literatura es posible encontrar los

Momentos de Inercia de cuerpos comunes

respecto de ejes paralelos a los ejes de

simetría que pasan por los centros de

masa, que son incluidos en este apunte.

Muy útil resulta el Teorema de Steiner

que permite calcular a partir de estos

valores, los Momentos de Inercia para

ejes paralelos a estos, lo que será

tratado en la siguiente sección.

6.6 Momentos de Inercia para cuerpos comunes.

I=(ML2)/12

Fig 6.41 Varilla delgada respecto a un diámetro central

I=(ML2)/3

Fig 6.42 Varilla delgada respecto de una línea perpendicular que pasa por un extremo.

Fig 6.43 Cascarón cilíndrico respecto a su eje central.

Fig 6.44 Cilindro sólido respecto a su eje central.

Fig 6.45 Cilindro hueco (anular) respecto a su eje central.

Fig 6.46 Cilindro sólido respecto a un diámetro central.



Fig 6.47 Lámina delgada respecto a eje central perpendicular a la cara mayor.

Fig 6.48 Lámina delgada respecto a un eje paralelo al borde mayor que pasa por el centro de masa.

Fig 6.49 Esfera maciza respecto al diámetro.

Fig 6.50 Cascarón esférico (hueco) respecto al diámetro.

R

I=MR2/2

Fig 6.51 Cascarón anular (anillo delgado) respecto a cualquier diámetro.

R

I=MR2

Fig 6.52 Cascarón anular (anillo delgado) respecto a su eje central.

6.7 Teorema de Steiner.

El teorema de Steiner o de los ejes

paralelos establece que el Momento de

Inercia (I) de un cuerpo respecto de

cualquier eje paralelo a un eje que pase

por el centro de masa es igual al Momento

de Inercia respecto del centro de masa

(Icm) más el producto entre la masa del

cuerpo multiplicada por el cuadrado de la

distancia (d) entre ambos ejes.

I=Icm+Md2



Ejemplo 6.12

Encuentre el Momento de Inercia de una

barra delgada respecto de un eje fijo que

pasa por el extremo izquierdo:

Solución:

Sabemos que el Momento de Inercia de

un eje paralelo al eje Y, que pasa por el

centro de masas es:

2

cmMLI12

=

La distancia que media entre este eje y

uno paralelo que pasa por el extremo

izquierdo es Ld2

= , por tanto según el

Teorema de Steiner:

2 2

O

2

O

ML LI M12 4

MLI3

= +

=

Igual que el resultado obtenido con la

integral.

Ejemplo 6.13

Encuentre el Momento de Inercia de una

lámina delgada respecto de un eje

perpendicular al plano y que pase por un

punto O situado en una esquina.

Solución:

Sabemos que el Momento de Inercia de

un eje paralelo al plano, que pasa por el

centro de masas de una lámina delgada

es:

2 2cm

MI (a b )12

= +

La distancia entre este eje y la esquina

es:

( )22

2 2 2a b 1d a b2 2 4

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2 2O

2 2O

2 2O

M 1I (a b ) M a b12 4

1 1I M(a b )12 4

MI (a b )3

= + + +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

Ejemplo 6.14

Encuentre el Momento de Inercia de un

cilindro sólido respecto de un eje que

pase por la tangente de su superficie,

paralelo al eje de simetría.

Solución:



De la tabla de Momentos de Inercia

tenemos que: 2MRI

2= y que el eje

escogido se encuentra ubicado a una

distancia R del anterior, por lo que

entonces, de acuerdo a Steiner:

22

R

2R

MRI MR2

3I MR2

= +

=

6.8 Momentos de Inercia de cuerpos compuestos.

En muchas ocasiones tenemos ejemplos

donde un cuerpo puede descomponerse en

cuerpos de geometría sencilla cuyos

Momentos de Inercia son conocidos.

En ese caso se debe tener en cuenta que

el Momento de Inercia del cuerpo

compuesto respecto a un eje cualquiera

es igual a la suma de los Momentos de

Inercia de los cuerpos que lo componen,

respecto del mismo eje.

Ejemplo 6.15

Encuentre el Momento de Inercia del

cuerpo de la figura, formado por dos

barras homogéneas de largo L y masa M,

respecto de un eje perpendicular al plano

de la figura y que pasa por la intersección

(O) de las barras.

desde arriba, se ve así:

L/3

L/3

Solución:

Para cada barra, el centro de masa está

ubicado en L2

y el Momento de Inercia

respecto de ese punto es2

cmLI M12

= .

L/3

L/6

L/2 cm

O

Entre este punto y O existe una

distancia L L Ld2 3 6

= − = , por tanto según

Steiner:



22

oL LI M M12 6

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

oLI M9

=

Como las dos barras están en igual

situación geométrica, entonces el

Momento de Inercia del conjunto será:

2o

2I ML9

=

Ejemplo 6.16

Encuentre el Momento de Inercia del

rígido de la figura, compuesto de un anillo

homogéneo de masa M y tres barras

delgadas homogéneas de largo L y masa

m, respecto de un eje perpendicular al

plano.

Desde arriba, se ve así:

L

Para una barra: 2

cm barraLI m12

=

Respecto de O:

22 2

O barraL L mLI m m12 2 3

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Para el anillo: 2cm anillo O anilloI I ML= =

Para el cuerpo:

( )

22

O cuerpo

2O cuerpo

mLI 3 ML3

I L m M

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠= +



6.9 Aplicaciones de la dinámica de rotación.

Ahora podemos estudiar una serie de

casos que contienen rotación de cuerpos

rígidos con eje fijo. Lo haremos a través

de ejemplos.

Ejemplo 6.17

Calcule la aceleración angular de una

puerta respecto de un eje que pasa por

las bisagras (sin roce) si se le ejerce una

fuerza constante perpendicular como se

observa en la figura 6.53. Esto es una

idealización, puesto que la fuerza va a

dejar de ser perpendicular en la medida

en que la puerta se abra. Supondremos

aquí que la mano sigue ejerciendo la

fuerza perpendicular o que consideramos

solo un instante muy pequeño del evento.

Desde arriba, se ve así:

Fig 6.53 Figura para ejemplo 6.17

Solución:

Sabemos que Iτ = αrr y del dibujo se tiene

que el Momento de Inercia de la puerta

es el correspondiente al de un eje

paralelo a la dimensión mayor de una

lámina rectangular delgada que pase por

un extremo.

De la tabla se tiene que el Momento de

Inercia de una lámina delgada respecto a

un eje paralelo al borde mayor que pasa

por el centro de masa es:

En nuestro ejemplo a es el ancho de la

puerta ( a d= ), y las bisagras se

encuentran sobre un eje paralelo al que



pasa por el centro de masas a una

distancia dL2

= , de manera que el

Momento de Inercia respecto de las

bisagras según Steiner, será:

22 2

OMd d MdI M12 2 3

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

La magnitud del torque que la fuerza hace

respecto de O es dFτ = , y su dirección es

k− (gira en el sentido de los punteros del

reloj), según se puede apreciar

claramente en la figura 6.53. Claramente

esta dirección es la misma que la

dirección del vector aceleración angular.

En consecuencia, se tiene que:

( ) ( )2Mdˆ ˆdF k k

3− = α −

Cuya magnitud es, por igualdad de

vectores:

2MddF3

= α

Esta expresión nos permite calcular por

ejemplo, la aceleración angular, sin

recurrir a la cinemática angular.

Si la puerta tuviera 0,75m de ancho y una

masa de 20Kg, la magnitud de la

aceleración angular que una fuerza

perpendicular de magnitud 50N le

produciría sería de:

( )( )( ) 2

3 50N3F rad10Md 20Kg 0,75m s

α = = =

Para aquellos que aún tienen dificultades

con las unidades, se les recuerda que la

definición de radian (rad) es: ángulo (θ)

descrito cuando el radio (r) es igual al

arco (s), de manera tal que se tiene s=rθ.

Esto implica que el radian es adimensional

( mradm⎡ ⎤=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

).

En el cálculo que acabamos de hacer, las

unidades se reducen de la siguiente

manera:

[ ]2

2 2

mKgN 1 m radsKgm Kgm s m s

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤α = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Note que si la fuerza se aplica a una

distancia menor del eje entonces cambia

el torque y la aceleración angular.

Apliquemos la fuerza a una distancia r

menor que d respecto de las bisagras.

Entonces el torque es rFτ = y se tiene

que

( ) ( )2Mdˆ ˆrF k k

3− = α −



De donde: 23rFMd

α =

Si la línea de acción de la fuerza pasa por

las bisagras, entonces r=0 y la

aceleración angular de la puerta es nula,

como esperábamos.

Ejemplo 6.18

Se necesita sacar una barra muy pesada

del segundo piso de una planta industrial,

para lo que se adaptó la máquina de la

figura 6.54, uniéndole un eje en un

extremo, que puede girar sin roce

apreciable.

Se jala la barra uniéndola al eje de

manera tal que esta finalmente queda

colgando del eje, pudiéndose transportar

a su destino final.


La barra, que es homogénea, gira debido a

la acción de su peso (Mg). La máquina

detuvo su retroceso en el momento en

que la barra salió de la plataforma

horizontal.

La aceleración angular con que gira se

puede calcular considerando el esquema

de la figura 6.55.

F

ταO x

yd

θ

θ

d/2

Fcosθ

d/2O

Fig 6.55 Esquema para ejemplo 6.18

La magnitud del torque que el peso de la

barra realiza respecto de O es

d mgcos2

τ = θ . Su dirección es k− .

El momento de inercia de la barra

respecto del eje que pasa por O es 2

OMdI

3= según vimos en el ejemplo 6.17.



Por lo tanto:

( ) ( )2d Mdˆ ˆMgcos k k

2 3θ − = α −

De donde:

3 gcos2d

α = θ

La aceleración angular no es constante

puesto que el torque que produce el peso

no le es. Dependen del ángulo θ.

Ejemplo 6.19

Tomemos una polea de masa M y radio R

de la cual pende un balde de masa m a

través de una cuerda inextensible como

se observa en la figura 6.56


Si no existe roce entre la polea y la barra

que la sostiene, se tienen los siguientes

diagramas de cuerpo libre:


Sobre la polea existen 3 fuerzas,

ejercidas por la tierra:, el eje: y la

cuerda:. Sobre el balde existen dos

fuerzas, ejercidas por la cuerda: bTr

y por

la tierra:mgr .

El balde acelera trasladándose hacia

abajo, por lo tanto, de acuerdo al segundo

principio de Newton:

( )b b b

b b

ˆ ˆ ˆF : T j mgj ma j

T mg ma

Σ − = −

− = −

r

b bmg T ma− = (1)

No olvide las consideraciones vectoriales.

Por otra parte, la polea rota alrededor

del eje con aceleración angular debida al

torque neto hecho por las fuerzas que

están aplicadas sobre ella, por lo tanto,

de acuerdo al segundo principio de

Newton para la rotación:



IΣτ = αrr

Sobre la polea existen tres fuerzas, pero

solo la tensión produce torque respecto

del eje fijo de rotación, que pasa por el

centro de masas de la polea:

( )pˆ ˆ: RT k I kΣτ = α

r

De donde: pRT I= α

Y el momento de inercia para un disco

respecto de un eje perpendicular que

pasa por su centro de masas es:

21I MR2

=

Por tanto:

2p

1RT MR2

= α (2)

Debido a que la cuerda es inextensible,

entonces las magnitudes de las tensiones

que ejerce sobre balde y polea son iguales

(Tp=Tb=T). Las aceleraciones lineales

también son iguales por la misma razón

(ap=ab=a).

Entonces las ecuaciones (1) y (2) se

pueden escribir de nuevo:

mg T ma− = (1)

21RT MR2

= α (2)

Este sistema de ecuaciones permite

resolver numerosos ejercicios

encontrados en la literatura tradicional.

Como un ejemplo, si conocemos la masa

del balde, masa y radio de la polea,

podemos calcular la aceleración angular

del sistema y la tensión de la cuerda:

De (1):

T mg ma= −

pero a=αR:

T mg m R= − α

Reemplazando en (2):

21R(mg m R) MR2

− α = α

2mgR(M 2m)

α =+

Si la masa del balde es m=5Kg, la masa de

la polea es de M=1Kg y su radio es

R=0,2m:

( )2

2

m2(5Kg)(10 )s

0,2m (1Kg 10Kg)rad45,45s

α =+

α =



2 2

T m(g R)m radT 5Kg (10 ) (45,45 )(0,2m)s s

T 4,55N

= − α

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦=

Ejemplo 6.20

Tomemos ahora dos cuerpos de masas m1

y m2 atados a una cuerda inextensible que

pasa por una polea de masa M y radio R,

como se muestra en la figura 6.58.


Los diagramas de cuerpo libre son los de

la figura 6.59.

¡Ahora las magnitudes de las tensiones

que la cuerda ejerce sobre los cuerpos no

son iguales!. La explicación está mas

adelante.


El brazo izquierdo de la cuerda, que

hemos denominado A, ejerce tensiones de

igual magnitud sobre la polea y sobre el

cuerpo 1:

Ap A1 AT T T= =

De igual modo, el brazo derecho de la

cuerda, que hemos denominado B, ejerce

tensiones de igual magnitud sobre la polea

y sobre el cuerpo 2:

Bp B2 BT T T= =

Las aceleraciones lineales de polea y

cuerpos 1 y 2 son de igual magnitud (a).

Entonces, aplicando segundo principio de

Newton para los cuerpos 1 y 2 se tiene:



( )1 A 1 1

1 A 1

ˆ ˆ ˆF : T j m gj m a j

m g T m a (1)

Σ − = −

− =

r

si suponemos que el cuerpo 1 baja.

2 B 2 2

B 2 2

ˆ ˆ ˆF : T j m gj m ajT m g m a (2)Σ − =

− =

r

Puesto que el cuerpo 2 sube.

Ahora aplicamos el segundo principio de

Newton para la rotación en la polea:

El torque neto sobre la polea es causado

solo por las tensiones de la cuerda,

puesto que la fuerza del soporte y el peso

de la polea tienen líneas de acción que

pasan por el eje de rotación. Entonces:

( ) ( )O A B

A B

ˆ ˆ ˆ: RT k RT k I kRT RT I (3)Στ − = α

− = α

r

Note que si las tensiones aplicadas por la

cuerda a ambos lados de la polea fueran

iguales, entonces no tendría aceleración

angular.

El momento de inercia de una polea (es el

de un disco sólido) respecto de un eje

perpendicular a su superficie, que pasa

por su centro de masas es 21I MR2

= y la

magnitud de la aceleración lineal de las

partículas situadas en su borde es a=αR,

de modo que se podría escribir la

ecuación (2) como:

2A B

1 aRT RT MR (4)2 R

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Naturalmente, las ecuaciones (1),(2) y (3)

o (4) permiten resolver 3 incógnitas.

Por ejemplo, si la masa de la polea es

M=2Kg, si su radio es R=0,1m, si las masas

de los cuerpos es m1=10Kg, m2=4Kg, si la

cuerda tiene masa despreciable y no

existe roce entre la cuerda y la polea ni

entre la polea y su eje, entonces podemos

calcular las magnitudes de las tensiones

de las cuerdas y la aceleración del

sistema.

de (1): A 1 1T m g m a = −

De (2): B 2 2T m a +m g =

Reemplazando en (4):

( ) ( )

( ) ( )

21 1 2 2

1 2 1 2

1 aR m g m a R m a +m g MR 2 R

1g m m Ma a m +m2

⎛ ⎞− − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

− = +

( )

( )

( )

1 2

1 2

2

2

g m ma 1 M m +m

2m10 10Kg 4Kg msa 41 s2Kg 10Kg+4Kg

2

−=

+

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+



Si el roce entre la polea y su eje no se

puede despreciar, existirá un torque

producido por la fuerza de roce ( )fτr que

debemos incluir en la ecuación dinámica

de la polea.

En nuestro ejemplo, al rotar la polea en

dirección antihoraria, se tiene que el

torque producido por la fuerza de roce

tiene dirección horaria, por tanto la

ecuación (3) debe incluirlo:

( ) ( )O A B f

A B f

ˆ ˆ ˆ ˆ: RT k RT k k I kRT RT I (3*)Στ − − τ = α

− − τ = α

r

Ejemplo 6.21

Tomemos ahora dos cuerpos de masas m1

y m2 (considere que se comportan como

partículas) unidos por una cuerda

inextensible y de masa despreciable que

pasa por una polea de masa M y radio R

como se indica en la figura 6.60.

Supongamos que no existe roce entre

polea y su eje de rotación y que la cuerda

no desliza en la polea. Entre el cuerpo 1 y

la superficie horizontal en cambio, existe

roce apreciable.


Hemos supuesto que el cuerpo 1 se mueve

hacia la derecha.

Aplicando segundo principio de Newton

para los cuerpos considerados como

partículas 1 y 2 se tiene:

x1 A 1k

y1 1

F : T f m a (1)F : N m g 0 (2)

Σ − =

Σ − =

y2 B 2 2F : T m g m a (3)Σ − = −



y aplicando segundo principio de Newton

para la rotación de la polea se tiene:

( ) ( )O A B

B A

ˆ ˆ ˆ: RT k RT k I kRT RT I (4) Στ − = − α

− = α

r

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones

que permite resolver varias preguntas.

Calculemos la aceleración lineal del

sistema por ejemplo:

De (2) obtenemos la normal sobre el

cuerpo 1: 1N m g=

Y la ocupamos para calcular kf que se

necesita en la ecuación (1) considerando

que k kf N= µ , por lo que:

A 1 1kT m g m a (5)− µ =

Ahora reemplacemos el momento de

inercia respecto del eje de rotación y

expresemos la magnitud de la aceleración

angular de la polea en función de la

aceleración lineal de las partículas que se

encuentran en su borde, en la ecuación

(4):

2B A

B A

1 aRT RT MR 2 R

1T T Ma (6)2

⎛ ⎞⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− =

Resumiendo, tenemos el siguiente sistema

de ecuaciones expresadas de manera

conveniente:

2 B 2m g T m a (3)− =

A 1 1kT m g m a (5)− µ =

B A1T T Ma (6)2

− =

Si las sumamos:

2 1 1 2k

2 1k

1 2

1m g m g a(m m M)2

g(m m )a 1(m m M)2

− µ = + +

− µ=

+ +

Reemplazando la aceleración en (3) se

puede calcular la tensión ejercida por la

cuerda sobre el cuerpo 2:

2 1kB 2 2

1 2

g(m m )T m g m 1(m m M)2

⎡ ⎤⎢ ⎥− µ

= − ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

y con un poco de álgebra:

1 1kB 2

1 2

2m M 2 mT m g(2m 2m M)⎡ ⎤+ + µ

= ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

La tensión de la cuerda sobre el cuerpo 1

se puede obtener de la ecuación (5):

A 1 1kT m g m a= µ +



2 1kA 1 1k

1 2

2 2k kA 1

1 2

g(m m )T m g m 1(m m M)2

2 m M 2m )T m g2m 2m M

⎡ ⎤⎢ ⎥− µ

= µ + ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤µ + µ += ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Si m2=20Kg, m1=5Kg, mk=0,1 y M=4Kg,

entonces:

( )2

2

m10 20Kg 0,1 5Kgsa 1(5Kg 20Kg 4Kg)

2ma 7,2s

⎛ ⎞ ⎡ ⎤−⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠=+ +

=

( ) ( )( )B 2

B

10Kg 4Kg 2 0,1 5KgmT 20Kg 10s (10Kg 40Kg 4Kg)

T 55,5N

⎡ ⎤+ +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎣ ⎦=

( ) ( )( ) ( )( )A 2

A

2 0,1 20Kg 0,1 4Kg 40Kg)mT 5Kg 10s (10Kg 40Kg 4Kg)

T 41,1N

⎡ ⎤+ +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎣ ⎦=

Ejemplo 6.22

Si el plano se inclina, como se observa en

la figura 6.61:


Se tienen los siguientes diagramas de

cuerpo libre:


Entonces demuestre que:

2 1 1k

1 2

g(m m cos m sen )a 1(m m M)2

− µ α − α=

+ +

1 1 2k kA 1

1

2 m cos cos M 2m sen sen M 2mT m g4m M

⎡ ⎤µ α + µ α + α + α += ⎢ ⎥+⎣ ⎦

2 1 1kB 2 2

1 2

g(m m cos m sen )T m g m 1(m m M)2

⎡ ⎤⎢ ⎥− µ α − α

= − ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦



6.10 Trabajo y energía de rotación.

Tal como en el movimiento de traslación

de una partícula, cuando tenemos rotando

un rígido con eje fijo las fuerzas

externas a él efectúan trabajo mecánico.

Consideremos el cuerpo rígido de la

figura 6.63, que puede rotar alrededor

del eje fijo Z del sistema de coordenadas

que usaremos como sistema de

referencia.

Fig 6.63 Cuerpo rígido con eje fijo.

Si ejercemos una fuerza en el plano xy

sobre una partícula cualquiera, realizará

un trabajo mecánico puesto que habrá un

desplazamiento angular.

Esto se observa mejor cuando se ve

desde arriba.

Fig 6.64 Vista desde arriba.

Sobre el cuerpo se ha aplicado una fuerza

constante en magnitud y dirección

respecto de la tangente a la curva. La

fuerza Fr

se puede suponer como la suma

de dos vectores cuyas direcciones son

radiales y tangenciales respectivamente.

La componente radial no trabaja pues no

existe desplazamiento en esa dirección.

La componente tangencial trabaja, pues

existe desplazamiento angular ∆θque se

puede relacionar con el desplazamiento

angular s.

El trabajo que la fuerza tangencial

realiza será: dW=FTds

Si se toma un desplazamiento

infinitesimal ds, se tiene que: ds=Rdθ

Por lo tanto: dW=FT Rdθ



y como la magnitud del torque que la

fuerza tangencial realiza sobre la

partícula es τ=FTR, se tiene que:

dW=τ dθ

Integrando a ambos lados, y considerando

que W0=0 para θ0, se tiene:

0 0

w

W

dW= dθ

θ

τ θ∫ ∫

0

w0W θ

θ= τθ

De donde finalmente:

W = τ∆θ

Que permite calcular el trabajo que una

fuerza constante realiza sobre el cuerpo,

puesto que es una partícula de un rígido.

6.11 Energía cinética rotacional.

Si consideramos ahora la velocidad lineal

de la partícula del cuerpo (cuya masa es

∆m), citada en el punto anterior respecto

de su centro de masas y calculamos su

energía cinética, tenemos que:

2i i i

1K mv2

= ∆

Su velocidad lineal puede expresarse en

función de su velocidad angular:

v=ωR

Por tanto:

2 2i i i i

1K m R2

= ∆ ω

La energía cinética de todas las

partículas del cuerpo será:

i n i n2 2

i i i ii 1 i 1

1K m R2

= =

= =

= ∆ ω∑ ∑

Donde la velocidad angular es igual para

todas las partículas, y tomando el límite

cuando ∆m tienda a 0, se tiene:

i n2 2

m 0 i ii 1

2 2

1K lim mR21K R dm2

=

∆ →=

= ω ∆

= ω

∑

∫

2cm

1K I2

= ω

Expresión que permite calcular la energía

cinética de rotación de un cuerpo

respecto del centro de masas.

Ejemplo 6.23

Esto permite resolver algunas situaciones

interesantes. Consideremos por ejemplo,

el caso de un cuerpo de masa m que baja a

partir del reposo por un plano inclinado,

unido a una polea cilíndrica de masa M y



radio R, a través de una cuerda

inextensible y de masa despreciable

enrollada varias veces en la polea.

Suponga que no existe roce entre la polea

y su eje ni entre el cuerpo y el plano.


Al inicio, el cuerpo tiene solo energía

potencial gravitatoria (mgh). Cuando ha

bajado d metros por el plano llega al

punto arbitrariamente definimos U=0

(y=0), donde su energía se ha

transformado parte en Energía Cinética

de traslación del cuerpo 21 mv2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y parte

en Energía Cinética de rotación de la

polea 2cm

1 I2⎛ ⎞ω⎜ ⎟⎝ ⎠

, debido a que el sistema

es conservativo.

2 21 1mgh mv I2 2

= + ω

Conocido el momento de inercia de la

polea respecto del centro de

masas 2cm

1I MR2

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

, y que v=ωR:

22 2

21 1 1 vmgh mv MR2 2 2 R

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

De donde, con un poco de álgebra:

2 2mghv Mm2

=+

Es la velocidad con que el cuerpo llega al

plano horizontal.

La aceleración constante con la que baja

se puede calcular debido a que como v0=0,

entonces 2v 2ad= pues todas las fuerzas

son constantes, y que h=dsenθ quedando:

2mgdsen2ad Mm2

mgsena Mm2

θ=

+

θ=

+

Si existe roce entre el plano y el cuerpo

la situación es distinta.

Demuestre que entonces, la aceleración

con que el cuerpo baja el plano es:

kmg(sen cos )a Mm2

θ − µ θ=

+



6.12 Teorema del Trabajo y la Energía para rotación.

Interesante resulta ahora calcular el

trabajo neto efectuado sobre un rígido,

el que se puede obtener a partir de la

segunda ley de Newton para la rotación,


Iτ = α∑ rr

y como hemos visto, si el eje es fijo:

Iτ = α∑


dIdtd dId dt

ωτ =

ω θτ =

θ

∑

∑

Donde ddtθ= ω por lo que:

dIdω

τ = ωθ∑

d I dτ θ = ω ω∑

Pero d dWτ θ =∑ :

dW I d= ω ω

Integrando a ambos lados:

0 0

W

W

dW I dω

ω

= ω ω∫ ∫

0

2

220

W I2

W I I2 2

ω

ω

ω=

ωω= −

En consecuencia, el trabajo realizado por

el torque neto que produce una

aceleración angular es igual a la variación

de la energía cinética de rotación.

6.13 Energía Cinética de Rototraslación


estudiar el caso de un cuerpo que posee

movimiento de traslación y rotación

simultáneamente.

Consideremos el cuerpo de la figura 6.66,

donde se tiene traslación del centro de

masas respecto de un sistema de

referencia inercial y movimiento de

rotación alrededor. Supondremos además,

que el eje de rotación pasa por el centro

de masas, perpendicular al plano de

rotación, y que el eje se desplaza solo

linealmente. Miremos una partícula:



Fig 6.66 desde arriba:

Fig 6.67 Rígido roto trasladándose.

Entonces, la velocidad de la i-esima

partícula Pi ( ivr ) es la suma de las

velocidades respecto del sistema inercial

( cmvr ), que es la velocidad de traslación

del centro de masas del cuerpo que se

comporta como una partícula libre, y la

velocidad de la partícula respecto del

centro de masas del cuerpo ( oivr ), ubicado

en el punto O.

El eje de rotación es perpendicular al

plano de rotación (paralelo al eje z).

oi i cmv v v= +r r r

La energía cinética de la i-ésima partícula

es:

( )22 oi i i i i cm

1 1K mv m v v2 2

= = +r r r

Mientras que la energía cinética del

rígido (K) será la suma de las energías

cinéticas de sus n partículas.

( )i n i n 2o

i i i cmi 1 i 1

1K K m v v2

= =

= =

= = +∑ ∑ r r

Que corresponde a:

( ) ( )i n

o oi i cm i cm

i 1

1K m v v v v2

=

=

= + +∑ r r r r

( )i n

o o oi i i cm i cm cm

i 1

1K m v v 2v v v v2

=

=

= + +∑ r r r r r r

Expresándola por conveniencia como:

i n i n i no2 o 2

i i cm i i cm ii 1 i 1 i 1

1 1K mv v mv v m2 2

= = =

= = =

= + +∑ ∑ ∑r r r r

Donde i n

ii 1

M m=

=

= ∑ por lo que:

i n i no2 o 2

i i cm i i cmi 1 i 1

1 1K mv v mv Mv2 2

= =

= =

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑r r r r

Si recordamos que la definición de

velocidad del centro de masa de un

sistema de partículas es: i n

cm i ii 1

Mv mv=

=

= ∑r r ,

entonces vemos que el segundo término



es cero, puesto que i n

oi i

i 1mv

=

=∑ r representa el

producto entre la masa del cuerpo y la

velocidad del centro de masa respecto

del centro de masa.

El primer término es la energía cinética

de rotación como vimos en el punto 6.13 y

el tercer término es la energía cinética

de traslación del centro de masas, por lo

que se tiene:

2 2cm cm

1 1K I Mv2 2

= ω +

6.14 Eje instantáneo de rotación.

En todo este análisis no han intervenido

las fuerzas. Podemos suponer que si las

hubo, su resultante era nula, de manera

tal que el centro de masas del cuerpo se

mueve con velocidad constante

(movimiento uniforme rectilíneo). Además

el torque resultante respecto del centro

de masas de esas fuerzas era nulo, por lo

que la aceleración angular era nula, lo que

entonces significa que el cuerpo rotaba

con velocidad angular constante.

Estudiemos ahora el efecto que las

fuerzas.

Consideremos una esfera de radio R y

masa M sin movimiento de rotación inicial

que se lanza sobre una superficie rugosa.

Entonces sobre la esfera existe una

fuerza de roce cinético que produce que

la velocidad del centro de masas

disminuya, puesto que le proporciona una

aceleración cuya dirección es opuesta a la

velocidad del centro de masas. El peso de

la esfera y la reacción normal de la

superficie no participan en la dirección

del movimiento, ni hacen torque respecto


Como la fuerza de roce cinético es

constante, entonces la aceleración del

centro de masas es constante y el

movimiento del eje es rectilíneo.

Fig 6.68 Rígido roto trasladándose.

Pero la fuerza de roce cinético además

produce un torque sobre la esfera cuya

magnitud respecto del centro de masas

es fkR, y cuya dirección es k− . Entonces,



de acuerdo a la segunda ley de Newton

para la rotación, aparece una aceleración

angular en dirección k− , que produce una

rotación del cuerpo alrededor del eje z.

Esto es interesante. Fíjese que la fuerza

de roce es la que produce la rotación. Si

no existe roce, solo desliza.

La velocidad angular también tiene

dirección k− pues gira en dirección

horaria, de manera que su magnitud

aumenta.

Fig 6.69 Esfera roto trasladándose sobre superficie rugosa. Los vectores están exagerados.

Se encuentra un punto crítico cuando la

magnitud de la velocidad del centro de

masas iguala la magnitud de la velocidad

de las partículas del borde de la esfera

respecto del centro de masas, es decir

cuando se cumple que vcm=ωR pues solo

entonces la velocidad de la partícula que

toca la superficie es nula (¡estar en

reposo respecto de la superficie es

condición de no resbalar!).

Esto queda bien claro en la figura 6.70

donde se muestra la velocidad de 4

puntos de la esfera. Se han dibujado las

velocidades respecto del centro de masas

(que como usted sabe son tangentes a la

superficie) y las velocidades del centro

de masas, en condición de no deslizar (no

resbalar).

Fig 6.70 Velocidad respecto de la superficie de la partícula de la esfera en contacto con ella es cero, si no desliza.

Esto, que puede parecer curioso al

estudiante no es muy evidente cuando uno

ve esferas como bolitas de vidrio, de

billar, e incluso ruedas de automóvil. Sin

embargo, cuando recordamos el

movimiento de la “oruga” de un bulldozer

grande, lo entendemos claramente.



vovcm

v=0

Fig 6.71 La cadena de un bulldozer en contacto con el piso está en reposo respecto del piso, aunque el bulldozer se traslada.

Se tiene entonces que en condiciones de

no deslizar (movimiento que a veces la

literatura denomina rodadura), la energía

cinética del cuerpo será:

2 2cm cm

1 1K I Mv2 2

= ω +

con vcm=ωR, por lo que:

( )22cm

2 2cm

1 1K I M R2 21K (I MR )2

= ω + ω

= ω +

Pero la expresión: 2cm(I MR )+ es el

momento de inercia del cuerpo respecto

de un eje paralelo al eje que pasa por el

centro de masas situado a una distancia R

de él de acuerdo al teorema de Steiner.

En particular, es el momento de inercia

del cuerpo respecto del punto P del

cuerpo en contacto con la superficie.

Entonces se tiene que cuando no hay

deslizamiento:

2P

1K I2

= ω

Al punto P, se le denomina eje instantáneo

de rotación, y simplifica mucho los

cálculos en varios ejemplos.

Ejemplo 6.24

Se tiene una esfera homogénea de masa

M=2Kg y radio R=10cm rodando sobre una

superficie rugosa horizontal con una

velocidad de 4 ms

. ¿Cuál es su energía

cinética?. ¿Se detiene?. ¿Porqué?.

Solución:

Fig 6.72 Velocidades lineal y angular de la esfera del ejemplo 6.24

La energía cinética del cuerpo es:

2 2cm cm

1 1K I Mv2 2

= ω +



Si la esfera no desliza, por lo que cumple

con la condición vcm=ωR, en consecuencia

se puede expresar como:

22 2

cm1 2 v 1K MR Mv2 5 R 2⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

22 2

cm

2cm

2

1 v 1K MR Mv5 R 27K Mv107 mK 2Kg 410 s

K 22,4J

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Pero el sistema es conservativo, puesto

que la fuerza de roce estática no disipa

energía. En consecuencia la esfera no se

detiene. De hecho, el trabajo hecho por

la fuerza neta en dirección opuesta del

movimiento del centro de masas necesaria

para detenerlo es de 22,4J.

Esta paradoja aparente se debe a que la

fuerza de roce actúa disminuyendo la

velocidad de traslación, pero aumentando

la velocidad de rotación. Sin embargo en

la vida real la esfera se detiene

finalmente!.

Esto no significa que lo anterior no es

válido, sino solo lo que sucedería en

condiciones ideales como hemos hecho en

el resto del curso.

Existen numerosos objetos reales que se

comportan aproximadamente como

esferas o discos ideales. Sin embargo,

sometidos a esfuerzos de determinado

rango, tienen cierto grado de

deformabilidad inevitable, e incluso, a

veces deseable.

Consideremos el caso de un material real.

El contacto del cuerpo y la superficie no

es un punto, sino un área apreciable, como

se observa en la figura 6.73.

Fig 6.73 Superficie de contacto de una esfera no ideal.

Como la esfera avanza hacia la derecha y

rota en dirección horaria, la fuerza que

ejerce sobre la superficie, y por tanto la

reacción normal de la superficie, debe ser

mayor en r (esta bajando) que en q (está

subiendo). Esto genera un sistema de

fuerzas distribuidas cuya resultante es

una fuerza normal de igual magnitud que

el peso del cuerpo, pero con línea de

acción ubicada d metros a la derecha del

centro de masas. Esta fuerza genera el



torque (d es muy pequeño, por tanto se

desprecia cuando existen otras fuerzas

aplicadas sobre la esfera) en dirección

antihoraria que justifica que el cuerpo se

detenga.

Fig 6.74 Esfera rígida: Normal y Peso son colineales. Si se deforma, no lo son, generando un torque que detiene al cuerpo. La normal es una fuerza distribuida.

Ejemplo 6.25

Analice una esfera de radio R y masa M

rodando hacia abajo por un plano rugoso

inclinado αº respecto de la horizontal.

Fig 6.75 Esfera rodando por un plano inclinado

Solución:

a) Por energía:

El centro de masas desciende h=dsenα

metros desde la posición inicial hasta la

posición final, donde se supone el origen

de la energía potencial gravitatoria. Se ha

trasladado d metros medidos en el plano

inclinado.

Fig 6.76 Cambio de posición del centro de masas al bajar por el plano inclinado.

En el punto inicial la energía mecánica del

centro de masas es E0=U0 si se suelta

desde el reposo. En el punto final la

energía mecánica es E=K puesto que allí

U=0. La fuerza de roce es estática si no

desliza, por tanto no se realiza trabajo

disipativo y la energía se conserva.

En consecuencia:

0E E=

2 2cm cm

1 1Mgh Mv I2 2

= + ω



con v=ωR

22

cm cm 21 1 vMgh Mv I2 2 R

= +

De donde, con un poco de álgebra:

2

cm2

2ghv I1mR

=+

b) A través de las ecuaciones de

movimiento:

Segunda ley de Newton para la traslación

del centro de masas:

cmx s cm

s cm

cmy

F : f Mgsen M( a )

Mgsen f Ma (1)F : N Mgcos 0 (2)

− α = −

α − =

− α =

∑

∑

Segunda ley de Newton para la rotación

alrededor del centro de masas:

cmz s cm: Rf I (3)τ = α∑

Pues solo fs produce torque.

Condición de rodadura:

cma R (4)= α

Reemplazando α de (4) en (3) y

despejando la fuerza de roce:

cms cm 2

af I (5)R

=

Reemplazando (5) en (1)

cmcm cm2

aMgsen I MaR

α − =

De donde la aceleración del centro de

masas resulta:

cmcm

2

gsena (6)I1MR

α=

+

Como todas las fuerzas son constantes,

entonces el movimiento es uniformemente

acelerado, por lo que cuando ha bajado d

metros en el plano inclinado a partir del

reposo, entonces la magnitud de la

velocidad será:

2cm cmv 2a d (7)=

Reemplazando (6) en (7):

2cm

cm2

gsenv 2 d I1MR

⎛ ⎞⎜ ⎟α

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pero h=dsenα, por lo que se tiene la

misma ecuación conseguida con energía.

2cm

cm2

2ghv I1MR

=+



Ejemplo 6.26

Un cilindro sólido, un cilindro hueco y una

esfera son soltados desde la misma altura

y al mismo tiempo rodando sin deslizar

por el plano inclinado de la figura 6.77.

¿Llegarán al mismo tiempo al plano

horizontal?

Fig 6.77 Cuerpos bajando por un plano inclinado.

Solución:

En el ejemplo anterior hemos calculado la

velocidad de un cuerpo que rueda por un

plano inclinado sin deslizar, obteniéndose

que es independiente de la masa, pero

dependiente del momento de inercia.

2cm

cm2

2ghv I1MR

=+

Y como sabemos:

2cm

2I MR5

= para una esfera

2cm

1I MR2

= para un cilindro sólido

2cmI MR= para un cilindro hueco

Entonces:

cmv 3,780 h = para una esfera

cmv 3,651 h = para un cilindro sólido

cmv 3,162 h = para un cilindro hueco.

Llega primero la esfera, luego el cilindro

sólido y finalmente el cilindro hueco.

Fig 6.78 Llega primero el cuerpo de menor momento de inercia.

Esto se debe a que un cuerpo con mayor

momento de inercia adquiere mayor

energía cinética de rotación, por tanto en

la medida en que la energía potencial se

va convirtiendo en energía cinética, una



fracción mayor será de rotación y una

menor de traslación.

Ejemplo 6.27

Considere un disco de radio R que rueda

sin deslizar a lo largo de un plano

horizontal. Sabiendo que la magnitud de

la aceleración del centro de masas es acm

y la aceleración angular de rotación

alrededor del centro de masas tiene

magnitud α, determine la magnitud de la

aceleración del punto más alto del disco.

Fig 6.79 Disco rodando sobre superficie con roce

Solución:

Sirve para repasar los conceptos.

Sabemos que la magnitud de la velocidad

de traslación del centro de masas es vcm y

que la velocidad angular en cualquier

punto del cuerpo es ω. En el punto A la

velocidad es la suma de las velocidades de

traslación y rotación, de manera tal que:

vA=vcm+ωR. Pero como no hay

deslizamiento, entonces vcm=ωR.

Fig 6.80 Velocidades en puntos A,B y O.

En consecuencia la velocidad en A es de

magnitud: vA=2vcm.

Si derivamos la expresión anterior,

tenemos que aA=2acm.

Ejemplo 6.28

Utilizando el resultado anterior, en el

sistema de la figura 8.82, calcule las

magnitudes de la aceleración del centro

de masas del disco, de la aceleración del

bloque (m=1,5Kg), de la tensión de la

cuerda en el punto A y de la fuerza de

roce. El disco tiene un radio de R=30cm y

masa M=8Kg y rueda sin deslizar. La polea

tiene una masa despreciable.



A

Fig 6.81 Sistema de cuerpos del ejemplo 6.28

Solución:

a) Considerando traslación del centro de

masas más rotación en torno de un eje

que pasa por dicho centro:

La polea no tiene masa por lo que:

T1

T2T2

α

Fig 6.82 Tensiones sobre la polea

cmp 1 2 cmp

1 2

1 2

: RT RT I

RT RT 0T T T

τ − = − α

− =

= =

∑

El bloque baja trasladándose:

ab

mg

T2T2

Fig 6.83 Fuerzas sobre el bloque

my mF : T mg ma (1)− = −∑

El disco rueda sin deslizar:

T1

f

α

Fig 6.84 Fuerzas horizontales sobre el disco.

cm s cm: RT Rf I (2)τ − − = α∑

Mx s cmF : T f Ma (3)− =∑

cma R (4)= α

2cm

1I MR2

= (5)

(5) y (4) en (2):

2 cms

a1RT Rf MR2 R⎛ ⎞⎛ ⎞− − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

s cm1T f Ma2

+ = (6)



(3)+(6)

cm cm12T Ma Ma2

= +

cm3T Ma4

= (7)

Reemplazando T en (3):

cm s cm3 Ma f Ma 4

− =

s cm1f Ma 4

= − (8)

Interesante. Significa que nos hemos

equivocado en la elección de la dirección

de la fuerza de roce.

Es decir, el diagrama de fuerzas

horizontales correcto es el siguiente:

T1

f

Fig 6.85 Dirección verdadera de la fuerza de roce

No era tan obvio, ¿verdad?.

Reemplazando (7) en (1):

cm b3 Ma mg ma 4

− = −

Pero la aceleración ab del bloque es igual

que la aceleración aA del punto donde la

cuerda está unido al disco, que como

vimos en el ejemplo anterior, es el doble

que la aceleración del centro de masas:

aA= 2acm.

( )cm cm3 Ma mg m 2a 4

− = −

( )cm cm

cm

3 Ma m 2a mg4

mga 3( M 2m)4

+ =

=+

Reemplazando valores:

( )

2

cm

cm 2

3 mKg 102 sa

3 38Kg 2 Kg4 2

5 ma3 s

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

La aceleración del bloque: am= 2acm

m cm 210 ma 2a3 s⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

la tensión de la cuerda:

( )

( )

cm 2

2

3 3 5 mT Ma 8Kg4 4 3 s3 5 mT 8Kg4 3 s

T 10N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

La fuerza de roce tiene dirección hacia la

derecha:



( )s cm 2

s

1 1 5 mf Ma 8Kg 4 4 3 s10 f N 3

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

b) Resolvamos el problema de nuevo,

considerando ahora una rotación

alrededor del eje instantáneo:

El bloque traslada, de manera que su

ecuación es la misma:

my mF : T mg ma (1)− = −∑

La polea no participa como vimos.

El punto A del disco gira en torno del

punto B, lugar donde se ubica el eje

instantáneo de rotación. Luego:

T1

f

A

B

T1

A

B2R

Fig 6.86 El punto A parece rotar alrededor del eje instantáneo ubicado en B, sobre una circunferencia de radio 2R.

Entonces la 2da ley de Newton para la

rotación alrededor del eje

instantáneo:

B B: 2RT I (9)τ − = − α∑

El momento de inercia respecto de B, se

calcula con el teorema de Steiner de los

ejes paralelos:

2 2 2B cm

2B

1I I MR MR MR2

3I MR2

= + = +

=

La aceleración del punto A tiene igual

magnitud que la aceleración del bloque:

aA=ab=2Rα

Entonces la ecuación (9) queda:

2 ba32RT MR2 2R⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

b3T Ma8

=

Que permite calcular la aceleración del

bloque, reemplazándola en la ecuación (1)

mb3 Ma mg ma 8

− = −

( )

( )b

b 2

3 10mg 2a 3 3 3m M 88 2 8

10 ma3 s

= =+ +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠



La tensión:

( )b3 3 10T Ma 88 8 3

T 10N

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Las demás variables se pueden calcular de

la misma forma.

Ejemplo 6.29

En la figura 6.87 se observa un carrete

que contiene soga enrollada en un eje de

radio R2=15 cm. El carrete tiene una masa

M=2kg y radio R1=30cm y rueda sin

deslizar a lo largo de un plano horizontal.

La soga está unida a través de una polea

en forma de disco de masa mp=0,5 kg a un

bloque de masa mb=10kg, que pende del

extremo de la misma tal como se indica en

la figura. Suponga que el carrete es muy

delgado de manera que se comporta como

un cilindro (de otra manera se

comportará como cuerpo compuesto)

Calcule:

La aceleración del bloque, del centro de

masas del disco y la(s) tensión(es) de la

cuerda.

La velocidad del bloque una vez que haya

descendido 5 m partiendo del reposo

Fig 6.87 Sistema de cuerpos del ejemplo 8.30

Solución:

Se resolverá por traslación y rotación,

por energía y por eje instantáneo de

rotación.

a) Por traslación más rotación alrededor


Fig 6.88 Velocidades del carrete

Claramente:

vcm=ωR1 y vA= vcm+ωR2.

Derivando respecto del tiempo, se

obtiene: acm=αR1 y aA= acm+αR2



De donde:

cm 1 2A cm 2 cm

1 1

a R Ra a R aR R

⎛ ⎞+= + = ⎜ ⎟

⎝ ⎠


A cm

A cm

30cm 15cma a30cm

3a a (1)2

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Para el bloque:

ab

mbg

T2T2

Fig 6.89 Fuerzas sobre el bloque

2by b b bF : T m g m a− = −∑

2b b bm g T m a− =


( ) ( )2 b2m10Kg 10 T 10Kg as

⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 b100 T 10a (2)− =

Para la polea:

p p 1 p 2 p p: R T R T I τ − = − α∑

T2

T1Rp

Fig 6.90 Tensiones sobre la polea

Con 2cmp p p

1I M R2

= y p p pa R= α

Entonces:

p2p 1 p 2 p p

p

1 2 p p

a1R T R T M R2 R

1T T M a2

− = −

− = −


1 2 A A1 1 1T T Kg a Kg a2 2 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 p1T T a4

− = (3)

Para el carrete:

Fig 6.91 Fuerza sobre el carrete



cm 2 1 1 s cm: R T R f Iτ − − = − α∑

Con cm 1a R= α y 2cm 1

1I MR2

=

2 cm2 1 1 s 1

1

2 1 1 s cm 1

a1R T R f MR2 R1R T R f a MR2

⎛ ⎞⎛ ⎞− − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )1 s cm115cm T 30cm f a 2Kg 30cm2

+ =

1s cm

T f a2+ = (4)

Por otro lado:

cx 1 s cmF : T f Ma− =∑


1 s cmT f 2a − = (5)

Sumando (4) y (5):

11 cm cm

1 cm

T T a +2a2T 2a (6)

+ =

=

También se obtiene fs=0 de (5).

Ahora disponemos de un juego de

ecuaciones que nos permiten calcular la

aceleración del centro de masas y las

tensiones:

A cm3a a (1)2

=

2 b100 T 10a (2)− =

2 1 p1T T a (3)4

− =

1 cmT 2a (6)=

Si sumamos (2), (3) y (6) y recordamos

que ap=aA=ab=a, entonces:

2

1 4100 10a a a4 3

ma 8,63s

= + +

=

por tanto:

cm 2

cm 2

2a 2 ma 8,633 3 s

ma 5,75s

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Entonces:

De (6): 1 cmT 2a =2(8,63) 17,26N = =

de (2):

2 cmT 100 10a =100-10(8,60)=14N= −

Todas las fuerzas son constantes, por

tanto el movimiento del bloque es

uniforme acelerado, de manera tal que su

velocidad cuando ha descendido 5m a

partir del reposo es:



25b

5b

5b

v 2ah

v 2(8,63)(5)mv 9,29s

=

=

=

b) También se puede calcular por energía:

Debido a que el sistema es conservativo,

la energía inicial es igual que la energía

cuando ha bajado 5m a partir del reposo.

E0c+E0p+E0b= E5c+E5p+E5b

En el estado inicial la energía del sistema

es solo potencial gravitatoria.

hoc hop hob

U=0

estado inicial

v0cm=0

v0b=0

ω0p=0ω0c=0

v0A=0

Fig 6.92 Estado inicial del sistema

Cuando el bloque ha bajado 5 metros

carrete y polea no han cambiado su

energía potencial gravitatoria, pero han

adquirido energía cinética. El bloque ha

cambiado su energía potencial

gravitatoria y adquirido energía cinética.

Fig 6.93 Estado final del sistema.

Entonces se puede escribir:

U0c+U0p+U0b= (U5c+K5c)+(U5p+K5p)+(U5b+K5b)

Reordenando:

(U0c-U5c)+(U0p-U5p)+(U0b-U5b)=K5c+K5p+K5b

Y como las energías potenciales de

carrete y polea no han cambiado:

U0b-U5b=K5c+K5p+K5b

Por tanto:

2 20 5 5cm cmc 5cb

2 2cmp 5p b 5b

1 1m g(h h ) Mv I2 2

1 1I m v2 2

⎛ ⎞− = + ω +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ω +

y sabemos que:



2cmc 1

1I MR2

= ; 2cmp p p

1I m R2

= ;

v5p=ω5pRp; v5c=ω5cR1

Reemplazando:

22 2 5cm

0 5 5cm 1b 21

25p2 2

p p b 5b2p

v1 1 1m g(h h ) Mv MR2 2 2 R

v1 1 1m R m v2 2 R 2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 20 5 5cm 5cmb

2 2p 5p b 5b

1 1m g(h h ) Mv Mv2 4

1 1m v m v4 2

⎛ ⎞⎛ ⎞− = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Recuerde que en esta expresión v5p es la

magnitud de la velocidad tangencial de la

polea, que es de igual magnitud que la

velocidad del bloque (v5b), y que la

magnitud de la velocidad del punto A del

carrete v5A. En cambio v5cm es la velocidad

del centro de masas del carrete que está

relacionada con v5A a través de la

expresión v5A= v5cm+ωR2.

Como v5cm= ω5R1, entonces:

5cm5A 5cm 2

1

5A 15cm

1 2

vv v RR

v RvR R

= +

=+

Queda más sencilla si reemplazamos

valores:

5A5cm 5A 5b

v 0,3 2 2v v v0,3 0,15 3 3

= = ≡+

Entonces la expresión de la energía se

puede dejar en función de la magnitud de

la velocidad del bloque.

2 2

0 5b 5b 5b

2 2p 5b b 5b

1 2 1 2m g(h h ) M v M v2 3 4 3

1 1m v m v4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Reemplazando valores y recordando que

todas las unidades están en el SI:

( )( )( ) ( ) ( )

( )

2 25b 5b

2 25b 5b

2v 2v1 110 10 5 2 22 3 4 3

1 1 1v 10 v4 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2 25b 5b 5b 5b

4 4 1500 v v v 5v9 18 8

= + + +

25b139v500

24⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

25bv 86,33=

5bmv 9,29s

=

Hemos mostrado algunos pasos del cálculo

intermedio para enfatizar el hecho de

que cuando se trabaja con fracciones, los

resultados no arrastran errores de

aproximación.



c) Por eje instantáneo de rotación:

Fig 6.94 A parece rotar alrededor del eje instantáneo que pasa por C, en circunferencia de radio R1+R2.

Entonces, para la rotación del carrete

delgado:

( )1 2 1C C: R R T Iτ − + = − α∑

La aceleración de A tiene una magnitud

de: aA=ab=ap=(R1+R2)α

El momento de inercia respecto de C es:

2 2 2cm 1 1 1C

21C

1I I MR MR MR2

3I MR2

= + = +

=

Entonces:

( ) 2 A1 2 1 1

1 2

a3R R T MR2 R R

⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

21 A

1 21 2

3MR aT2 R R

=+


( )( )( )

2A

1 2

3 2 0,3 aT

2 0,3 0,15=

+

1 A4T a3

= (8)

El bloque cumple con (2):

2 b100 T 10a (2)− =

La polea cumple con la ecuación (3):

2 1 p1T T a4

− = (3)

Sumando (8)+(2)+(3) y recordando que

aA=ap=ab:

b b b

b 2

4 1100 a 10a a3 4

1200 ma 8,63139 s

= + +

= =

Lo demás sigue igual.


7.1 Equilibrio de un cuerpo rígido.


El equilibrio de un cuerpo rígido es

definido como la ausencia de aceleración

respecto de un sistema de referencia

inercial. Puede ser estático (velocidad

nula) o dinámico (velocidad constante).

Para que esto ocurra el cuerpo debe

experimentar fuerza externa neta nula.

Pero como ya sabemos, esto solo explica

la ausencia de traslación acelerada, pero

no explica la ausencia de aceleración

angular. El equilibrio también exige que no

exista aceleración angular respecto de

algún eje, para lo que se necesita que el

torque neto realizado por las fuerzas

externas sobre el cuerpo sea nulo.

En este capítulo analizaremos las

condiciones de equilibrio estático, es

decir, las condiciones para las que un

cuerpo rígido que está en reposo respecto

de un sistema de referencia inercial,

continúe en reposo.

Fig 7.1 Rocas en equilibrio respecto del piso.

7.1.2 Equilibrio estático.

Consideremos un cuerpo rígido plano en

reposo respecto de un sistema de

referencia, como el de la figura 7.2.

Fig 7.2 Sistema de Fuerzas sobre un cuerpo plano.



Sobre el cuerpo existen varias fuerzas no

colineales, cuya suma contribuye a la

aceleración lineal del centro de masas y

por tanto un cuerpo que está en reposo

debe estar sometido a una fuerza

externa neta nula:

i n

ii 1

F 0=

=

=∑r r

Como la expresión anterior es vectorial,

puede expresarse también como:

i n i n i n

i Xi yii 1 i 1 i 1

ˆ ˆF F i F j 0= = =

= = =

= + =∑ ∑ ∑r r

de donde por igualdad de vectores, se

tiene:

i n

Xii 1

F 0=

=

=∑

i n

yii 1

F 0=

=

=∑

O sea, debe cumplirse que las

componentes rectangulares de las

fuerzas sumen cero.

La condición anterior implica que la

aceleración lineal es nula, pero no que la

aceleración angular sea nula. Para ello,

debe cumplirse que el torque resultante

de las fuerzas respecto de un eje

escogido como origen sea nulo, es decir:

i n

ii 1

0=

=

τ =∑rr

En este capítulo supondremos que todos

los cuerpos son rígidos, homogéneos y

simétricos y las fuerzas serán coplanares,

actuando en el plano XY de un sistema de

referencia cartesiano inercial, lo que

produce que el vector torque solo tenga

componente en la dirección k ; de manera

tal que tenemos la condición:

i n

zii 1

0=

=

τ =∑

Ejemplo 7.1

Sean las fuerzas coplanares

1ˆ ˆF 2i 3j= +

r, 2

ˆ ˆF 5i 4j= − +r

; y 3ˆ ˆF 5i 7j= −

r

medidas en Newton, aplicadas sobre un

cuerpo en reposo en un SRI. Determinar

si el cuerpo se encuentra en equilibrio

estático.

Solución:

Si el cuerpo está en reposo, se

encontrará en equilibrio estático si

cumple con la condicióni n

ii 1

F 0=

=

=∑r r

, por

tanto es necesario determinar la



resultante. Sumando los vectores, se

tiene:

( ) ( )1 2 3ˆ ˆF F F 2 5 5 Ni 3 4 7 Nj+ + = − + + + −

r r r

Es decir, i n

ii 1

ˆF 2Ni=

=

=∑r

por lo que no se

encuentra en equilibrio estático. Por

tanto, el cuerpo se mueve con su centro

de masas acelerado en la dirección i . No

se tiene información para decidir sobre el

estado de su rotación.

Ejemplo 7.2

Un cuerpo en reposo es sometido a la

acción de las fuerzas que se indican en la

figura Determine si rota y/o se traslada:

(F1= 10 N; F2 = 40 N y F3 = 30N).


Solución:

El torque que cada fuerza causa respecto

del eje fijo situado arbitrariamente en O

es:

( ) ( )( )( )1F 1 1ˆ ˆ ˆFd k 10N 11m k 110Nmkτ = − = − = −

r

( ) ( )( )( )2F 2 2ˆ ˆ ˆF d k 40N 5m k 200Nmkτ = = =

r

( ) ( )( )( )3F 3 3ˆ ˆ ˆF d k 30N 3m k 90Nmkτ = − = − = −

r

Sumando:

1Fˆ ˆ ˆ ˆ110Nmk 200Nmk 90Nmk 0kΣτ = − + − =

r

Por tanto el cuerpo no rota.

La fuerza neta actuando sobre el cuerpo

es:

1 2 3F F F F= + +∑r r r r

ˆ ˆ ˆF 10Nj 40Nj 30Nj 0= − + =∑r r

Por tanto tampoco se traslada. En

consecuencia, el cuerpo se encuentra en

equilibrio estático.



Ejemplo 7.3

Un cuerpo cuyo peso tiene una magnitud

de 400N cuelga de la barra de la figura

(de longitud 4 metros). La barra, cuyo

peso es de 1000N está unida a una pared

a través de la articulación en el punto A.

Una cuerda unida la barra en el punto B

situado a 3 metros sobre el punto A,

permite sujetar la barra al ser unido su

otro extremo en el extremo libre de la

barra (punto O).

Calcular las tensiones de las cuerdas y la

fuerza de la pared sobre la barra.

Fig 7.4 Figura para ejemplo7.3

Solución:

La barra está en equilibrio estático, por

lo que debe cumplir con las condiciones:

i n

ii 1

F 0=

=

=∑r r

y i n

ii 1

0=

=

τ =∑rr

El diagrama de cuerpo libre para la barra,

se muestra en la figura 7.5. Se ha

supuesto que la barra tiene ancho

despreciable.

Fig 7.5 Diagrama de fuerzas sobre la barra

En el diagrama se observan las tensiones

de las cuerdas y el peso de la barra, las

que no necesitan mayor explicación. La

fuerza Rr

es la reacción de la pared sobre

la barra y su dirección se debe a que la

pared ejerce fuerzas horizontales y

verticales.

Esto se entiende mejor a la luz de la

tercera ley de Newton. La componente

horizontal de la tensión de la cuerda 1 es

una fuerza hacia la derecha sobre la

barra ( 1ˆT cos iα ). Esta causa que la barra

ejerza una fuerza de igual magnitud y

dirección sobre la pared ( bpxˆF i ), quien

reacciona con una fuerza horizontal sobre

la barra ( )pbxˆF i⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

que denominaremosHr

.



Fig 7.6 Componentes de las Fuerzas sobre la barra

Las dos fuerzas horizontales sobre la

barra explican su no desplazamiento

horizontal.

Si miramos las fuerzas verticales sobre

la barra, observamos que además de la

componente de la tensión de la cuerda 1,

la tensión de la cuerda 2 y del peso de la

barra, existe una fuerza vertical ( pbyˆF j )

que denominaremosVr

, que es la reacción

de la fuerza vertical que la barra ejerce

sobre la pared ( )bpyˆF j⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Entonces la fuerza que la pared ejerce

sobre la barra proviene de las reacciones

a las interacciones horizontal y vertical

entre ambos cuerpos.

Aplicamos ahora las condiciones de

equilibrio estático:

No traslada, por tanto i n

ii 1

F 0=

=

=∑r r

de donde:

i n

Xi 1i 1

F : T cos H 0 (1)=

=

α − =∑

i n

yi 1 2b bi 1

F : Tsen V T W 0 (2)=

=

α + − − =∑

No rota, por tantoi n

ii 1

0=

=

τ =∑rr , de donde, si

calculamos los torques respecto del punto

B:

i n

zi 12b bi 1

: 4T +2W -4Tsen 0 (3)=

=

τ α =∑

ya que la barra mide 4m y es homogénea

por lo que su centro de gravedad se

encuentra a 2m de B.

En estas ecuaciones existen 5 incógnitas

(T1,T2b, α, H y V), pero el cuerpo que

cuelga se comporta como una partícula en

equilibrio de modo que aplicando segunda

ley de Newton sobre él se tiene:

Fig 7.7 Fuerzas sobre el cuerpo C.



i n

yi 2c ci 1

F : T W 0 (4)=

=

− =∑

De donde T2c=Wc=400N

Además, la cuerda 2 une a la barra con el

cuerpo C, de modo que las magnitudes de

las tensiones T2c y T2b son iguales:

T2c=T2b= Wc=400N

Hemos querido enfatizar esto, a pesar de

que ya lo hemos tratado en capítulos

anteriores, pues existe la tendencia

nociva de pensar que el peso del cuerpo C

es una fuerza sobre la barra, o lo que es

peor, que el peso de C se “trasmite” hasta

la barra, lo que es incorrecto

conceptualmente; solo son iguales

numéricamente debido al correcto

análisis a través de la segunda ley de

Newton.

El ángulo puede calcularse por

trigonometría simple:

AO=5m

AB=3m

OB=4mα

Fig 7.8 Triángulo de referencia para ejemplo 7.3

De la figura 7.8, se tiene: 4cos5

α =

y 3sen5

α = . Ahora podemos reemplazar

valores en las ecuaciones (1), (2) y (3):

En (1): 14T H 05

− =

En (2); 13T V 400 1000 0 5

+ − − =

En (3): ( ) ( ) 13 4 400 +2 1000 -4T 05

=

De (3): 1 T 1500N=

De (1): H 1200N=

De (2): V 500N=

Entonces ( )ˆ ˆR 1200i 500j N= − +r

;

También: ( )R 1300;37º N=r

Pues, ( )2 2R 1200 500 1300N= − + =

3arctg 37º4

α = =



Ejemplo 7.4

Para sacar a un automóvil de una zanja, se

ata el extremo A de una cuerda AOB a un

árbol y el otro extremo B al automóvil. En

el punto medio O de la cuerda AB se

ejerce una fuerza de 1000N en dirección

perpendicular a AB. Calcular la tensión Tr

en la cuerda, si el ángulo AOB es de 170°.

F

O B


Solución: Primero debe confeccionarse el


En este caso, haremos el diagrama del

punto O, al cual concurre la fuerza Fr

y

las tensiones de las cuerdas:

F

170ºTA TB

5º 5º x

y

Fig 7.10 Diagrama de fuerzas sobre punto O.

Note que las cuerdas son de igual longitud

por lo que el triángulo AOB es isósceles,

así que los ángulos exteriores son de 5°.

Si expresamos las fuerzas en función de

sus componentes en el plano XY definido

en la figura, se tiene:

ˆF 1000Nj=r

A A Aˆ ˆT T cos5º i T sen5º j= − −

r

B B Bˆ ˆT T cos5º i T sen5º j= −

r

Debido al equilibrio estático, se cumple

con la condición F 0Σ =r r

, por lo que.

( )( )

A B

A B

ˆT cos5º T cos5º iˆ1000 T sen5º T sen5º j 0

− + +

+ − − =r

y por igualdad de vectores,

A BT cos5º T cos5º 0 (*)− + =

A B1000 T sen5º T sen5º 0 (**)− − =

En estas ecuaciones se tienen solo 2

incógnitas que son TA y TB, de tal manera

que permiten conocer las magnitudes de

las tensiones de las cuerdas:

TB cos 5° = TA cos 5° (*)

De donde TA = TB y reemplazando en

(**)



1000N – TB sen 5° - TB sen 5° = 0

TB = 5555,5N

Como la cuerda está unida al punto O y al

automóvil, ejercerá una fuerza de igual

monto sobre esta último (5555,5N). Si

se hubiera aplicado directamente sobre

el automóvil, solo se ejercerían sobre

este 1000N; el sistema estudiado en

cambio, permite aumentar en

aproximadamente 5,5 veces esta fuerza,

aumentando notablemente la probabilidad

de sacarlo de la zanja. Naturalmente, una

vez que se rompe el equilibrio estático, el

automóvil se mueve, y el valor de las

fuerzas cambia.

Ejemplo 7.2

Encontrar la fuerza que equilibra el

sistema de la figura y el punto en que

debe ser aplicada.


Las magnitudes de las fuerzas son:

F1=500N; F2=100N; F3=400N; F4=50N.

Solución:

La equilibrante será aquella fuerza que

sumada a las existentes, permita cumplir

con la condición F 0Σ =r r

, por lo que:

1 2 3 4R F F F F 0+ + + + =r r r r r r

ˆ ˆ ˆ ˆR 500j 100j 400j 50j 0

ˆR 250Nj

− − + − =

=

r r

r

Además debe cumplir con la condición de

equilibrio estático para la rotación

i 0τ =∑rr . Respecto del punto O se tiene:

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

d 250N 0m 500N 0,6m 100N

0,8m 400N 1m 50N 0

+ − +

+ − =r

De donde: d= -0,84m.

La equilibrante está a 0,84m a la derecha

del punto O. Note que el signo no tiene

ninguna interpretación física, pues d es

simplemente la longitud del trazo medido

perpendicularmente a la línea de acción

de la fuerza, que pasa por el eje de giro.



Ejemplo 7.6

Averiguar en que punto de una barra de

peso despreciable se debe colgar un

cuerpo de manera que el peso soportado

por un muchacho en uno de sus extremos

sea la tercera parte del que soporta un

hombre en el otro.


Solución:

En la figura se observan las fuerzas que

el hombre ( hFr

), el muchacho ( mFr

) y la

cuerda que une el cuerpo ( CFr

) con la barra

ejercen sobre la barra

Fm

Fh

xm

xh

Fc

A

Fig 7.13 Diagrama de fuerzas sobre la barra.

Si consideramos el eje de giro en el punto

donde colgamos el cuerpo, entonces las

distancias desde él hasta el muchacho y

hasta el hombre serán Xm y Xh

respectivamente.

Si F es la magnitud de la fuerza ejercida

por el muchacho, entonces se debe

cumplir que mˆF Fj=

r y que h

ˆF 3Fj=r

.

La barra está en equilibrio estático, por

lo que debe cumplir la condición AM 0∑ =r r

;

por lo que respecto del eje de giro, se

tiene:

Xm F – Xh (3 F) = 0

Xm = 3 Xh (*)

Pero se sabe que el largo de la barra (L)

es: L = Xm + Xh

De donde: Xh = L - Xm

Y reemplazándolo en (*):

Xm = 3 (L - Xm)

De donde

Xm = L ¾

Es decir, el cuerpo se debe ubicar a ¾ de

la longitud de la barra hacia la izquierda

del muchacho.



Ejemplo 7.7

La tabla delgada AB de la figura 7.14 cuyo

peso tiene una magnitud W=400N se

apoya en una pared vertical. La

superficies de contacto del piso, tabla y

pared son perfectamente lisas. Si la

tabla forma un ángulo de 60° con el piso,

calcular la fuerza (Fr

) que hay que aplicar

en A, paralela al piso, y las reacciones en

A (Ar

) y en B (Br

), para que la tabla esté

en equilibrio estático.

Fig 7.14 Tabla para el ejemplo 7.7

Solución:

Un diagrama de cuerpo libre ayuda como

siempre a mejorar la comprensión del

problema.

Fig 7.15 Diagrama de cuerpo libre.

Se ven aquí las fuerzas que intervienen y

la simetría del problema. Las fuerzas Ar

y Br

son las reacciones a las fuerzas que

la escalera ejerce sobre el piso y la pared

respectivamente, y sus direcciones se

deben a la inexistencia de roce con las

superficies. La fuerza Fr

equilibra al

sistema de modo que debe cumplirse con

las condiciones de equilibrio estático para

la traslación y para la rotación:

Del equilibrio de traslación: F 0Σ =r r

.

Por tanto debe cumplir con:

i n

Xii 1

F : B F 0 (1)=

=

− =∑

i n

yii 1

F : A W 0 (2)=

=

− =∑

Del equilibrio de rotación: 0Στ =rr

Por tanto debe cumplir con:

z 0Στ =

Para determinar los torques conviene

considerar los vectores componentes

tangencial y perpendicular a la escalera,

los que se ven en la figura siguiente:



Fig 7.16 Descomposición conveniente para determinar torques que las fuerzas ejercen sobre la tabla.

Note que es conveniente escoger el punto

O para calcular torques, pues la mayoría

de los vectores componentes tienen

direcciones que pasan por ese punto. Esto

significa que sus brazos de momento (y

por tanto sus torques), serán nulos.

En la figura 7.17 se han dibujado solo las

componentes que hacen torque respecto

del punto O, y sus respectivos brazos de

momento:

Fig 7.17 Fuerzas que hacen torque y sus brazos de momento.

Entonces se tiene:

i n

zi w p B pi 1

: d W d B 0

L Wsen30º LBsen60º 021 Wsen30º Bsen60º 0 (3)2

=

=

τ − =

− =

− =

∑


( ) ( )1 1400N B 0,87 0 2 2

⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

100NB 114,9N 0,87

= =

Reemplazando B en (1)

B – F = 0

F = B = 114,9N

Finalmente de (2)

A – W = 0

A = W = 400N



8.1 Definiciones.

Se entiende por fluido a las sustancias

que tienen la capacidad de escurrir, de

fluir, que no posee la capacidad de

conservar su forma ante la presencia de

fuerzas cortantes (líquidos y gases).

Recuerde que según las circunstancias en

que se encuentren, las sustancias se

pueden encontrar en fase sólida, líquida o

gaseosa, y esto dependerá de las

condiciones físicas en que se encuentre

en el momento en que se hace la

observación.

Fig 8.1 Laguna de San Rafael. Agua en sus tres fases.

Existe una cuarta fase en la que se puede

encontrar a una sustancia, denominada

plasma; en esta fase, casi todos los

átomos están disociados faltándoles

algunos o todos los electrones. Un átomo

con un número de electrones mayor o

menor que los correspondientes a su

estado neutro, se dice que está ionizado o

que es un ion. La materia, en la fase de

plasma está formada entonces, por

electrones libres e iones. Una fase tal,

puede existir de manera estable,

solamente a temperaturas

extremadamente elevadas. Esta fase de

la materia es la que interviene en las

reacciones termonucleares y su

existencia es necesaria para controlar

dichas reacciones.

Esta es también la fase en que se

encuentra la materia en el interior de las

estrellas.

Fig 8.2 Las auroras boreales son otro ejemplo de plasma observado en la ionosfera.



Fig 8.3 Aurora boreal. Foto de Alaska University

Existen hoy día un número elevado de

aplicaciones tecnológicas del plasma, en

sistemas de iluminación, en sistemas de

televisión y computación (display), etc,

que han puesto esta fase de la materia

más cerca de nuestras vidas que lo que

imaginamos.

Fig 8.4 “Plasmavision SlimScreen” modelo PDS4222 de Fujitsu.

Fig 8.5 Lámpara de arco de plasma de alta intensidad de OSRAM.

La explicación de las características de

cada fase está dada por la magnitud de

las fuerzas de interacción entre sus

moléculas, las que a su vez, dependen de

la separación entre ellas.

Si la separación es suficientemente

grande (comparada con las dimensiones

de la molécula), la fuerza es pequeña, las

moléculas no interaccionan salvo cuando

chocan entre sí, y se tiene a un gas, con

gran facilidad de compresión y de cambio

de forma. Ocupará el volumen del

recipiente que lo contiene.

Si la separación es muy pequeña (de

magnitud semejante a las dimensiones de

la propia molécula) las fuerzas entre

moléculas vecinas será muy grande y la

sustancia tomará formas determinadas,

en algunos casos tomando formas de

redes cristalinas, en otros casos formas

no definidas (amorfas); se tendrá un

sólido, capaz de resistir a la acción de

fuerzas cortantes (tangentes a la



superficie), de manera que conservará su

forma.

Fig 8.6 Estructura molecular del hielo. (WWW.nyu.edu)

En el caso de los líquidos, también se

tiene a las moléculas cercanas, pero no lo

suficiente para formar redes cristalinas

(en cierta forma la estructura de los

líquidos se asemeja a la de los sólidos

amorfos), por lo tanto no resisten

fuerzas de corte por lo que no pueden

conservar su forma ante fuerzas

tangenciales, aunque están lo

suficientemente cercanas para tener

resistencia a la compresibilidad. Se

asumirán aquí, líquidos ideales, los que no

se comprimen.

Fig 8.7 Estructura molecular del agua. (www.nyu.edu)

En realidad, los líquidos son muy poco

compresibles y perfectamente elásticos.

Un líquido se comprimirá como todos los

cuerpos, pero presentan esta propiedad

en tan ínfimo grado que ha sido preciso

realizar experiencias muy delicadas para

hacerla evidente. Los aparatos destinados

a comprobar esta propiedad y a

determinar su coeficiente de

compresibilidad son los piezómetros.

Fig 8.8 Piezómetro de Oersted.

Para entender esto cabe citar que el

coeficiente de compresibilidad del agua

es 0,000 05; el coeficiente del

mercurio es 0,000 009 3 (el menos

compresible de todos los líquidos), y el

del alcohol es 0,000 09. Es decir que si

por ejemplo, tenemos un litro de agua, al

aumentar su presión en un kilogramo

fuerza por cada centímetro cuadrado, su

volumen se reduce en 0,05 centímetros

cúbicos.



Adicionalmente se ha encontrado además,

que los líquidos son perfectamente

elásticos, pues recuperan exactamente su

volumen original cuando cesan las fuerzas

que lo reducían.

Separaremos el estudio en dos partes:

primero miraremos a los fluidos en reposo

y luego en movimiento. Aplicaremos a

ellos las leyes de la mecánica estudiadas

en el curso anterior, aunque será

necesario realizar antes algunas

definiciones atendiendo al hecho de que

no podremos seguir con el concepto de

partícula: trabajaremos con los conceptos

de densidad y presión en lugar de los

conceptos de masa y fuerza.

8.1.1 Densidad:

Se entiende por densidad absoluta o

simplemente densidad de un fluido

homogéneo, al cuociente entre la masa y

el volumen de la sustancia, expresada por

tanto, en kilogramos por cada metro

cúbico o en otras unidades equivalentes.

mv

ρ = (1)

La densidad depende de la presión y de la

temperatura (especialmente la de los

gases). En condiciones normales (1

atmósfera de presión y 0 °C de

temperatura), la densidad del agua es 1

gr/cm3. Interesante resulta ver una

tabla con algunas densidades a

condiciones normales:

sólidos y otros ρ g/cm3 líquidos ρg/cm3

Aluminio

Hierro, Acero

Cobre

Plomo

Oro

Platino

Núcleo tierra

Núcleo del sol

Plata

Hielo

Granito

Madera ( pino)

2,7

7,8

8,9

11,3

19,3

21,4

9,5

1600

10,5

0,92

2,6

0,42

Mercurio

Agua de mar

Agua (100°C, 1 atm)

Agua (0°C, 50 atm)

Glicerina

Alcohol etílico

Aceite de oliva

Gasolina

Benceno

Sangre (25 ºC)

13,6

1,025

0,958

1,002

1,26

0,81

0,92

0,66

0,90

1,060

gases ρ g/cm3 (X10-3)

Hidrógeno

Oxígeno

Helio

Anhídrido carbónico

Aire

Aire (100°C, 1 atm)

0,0899

1,43

0,179

1.977

1,293

0,95



8.1.2 Peso específico:

Se entiende por peso específico absoluto,

o simplemente peso específico (Pe), al

peso de una unidad de volumen de la

sustancia, expresado por tanto, en

Newton por cada metro cúbico o en otras

unidades equivalentes.

WPe V= (2)

Note que entre densidad y peso

específico existe la relación :

eP g= ρ (3)

8.1.3 Densidad relativa y Peso

específico relativo:

Se entiende por densidad relativa al

cuociente entre la masa de la sustancia y

la masa de un volumen igual de agua.

substanciar

volumen igual de agua

mm

ρ = (4)

y por peso específico relativo, al

cuociente entre el peso de la sustancia y

el peso de un volumen igual de agua:

substanciaer

volumen igual de agua

WPW

= (5)

Note que ambas cantidades son

adimensionales y representan números

abstractos.

Además, como W=mg, resultan de igual

valor numérico, es decir:

r erPρ = (6)

Esto es importante, puesto que por

ejemplo, que el mercurio tenga una

densidad de 13,6 3

gcm

significa que su

densidad relativa será de:

3

3

g13,6cm 13,6g

cm

=

mismo valor de su peso específico

relativo. Esto significa que su masa es

13,6 veces mayor que la masa de un

volumen igual de agua. También que su

peso es 13,6 veces mayor que el peso de

un volumen igual de agua.

Sin embargo, su peso específico es de:

13,6 3

gcm

X980 2cms

=13330 3dinascm



8.1.4 Presión.

Se entiende por presión sobre una

superficie a la fuerza por unidad de área

que actúa perpendicularmente a la

superficie; de tal manera que se medirá

en Newton por cada metro cuadrado

(denominado Pascal o Pa), o en cualquier

otra unidad equivalente.

dFPdA

= (7)

Otras unidades usadas son: libra/pulgada2

(psi, proveniente del inglés: pound square

inches); atmósfera (presión atmosférica a

nivel del mar en condiciones normales,

atm); el bar; el torr; el Kgf/cm2; y el

milímetro de mercurio (mm Hg). Todas

ellas de uso en la actualidad.

Sus equivalencias son:

1 Pa = 1 N/m2

1 psi = 6,9 X 103 Pa

1 mm Hg = 132,89 Pa

1 atm = 1,01 X 105 Pa = 14,7 psi

1 bar = 105 Pa

1 Kf/cm2 = 14,2 psi= 0,976 X 105 Pa

1 torr = 133,32 Pa

Para casos en los que la fuerza es

uniformemente distribuida en toda la

superficie:

FPA

= (8)

Expliquemos este concepto con cuidado:

8.1.5 Presión en sólidos.

Consideremos un monitor de computador

puesto sobre un escritorio como se

observa en la figura.

Para el análisis, supondremos que el

monitor es un cuerpo homogéneo y

simétrico:

El monitor es atraído hacia abajo

producto del campo gravitacional (Peso)

que hasta ahora siempre hemos

representado como una fuerza aplicada

sobre el centro de gravedad del cuerpo

(punto que se ubica en el centro

geométrico del cuerpo si la distribución

de masa es homogénea y el cuerpo es

simétrico) y empujado hacia arriba por la

mesa (Normal), que es una fuerza

aplicada en el punto de contacto (M)

entre ambos cuerpos; este punto está en

la línea de acción de la fuerza peso. La

reacción a la normal es una fuerza sobre

la superficie de la mesa, que suponemos

uniformemente distribuida sobre la

superficie de contacto.



Entonces, la presión que existe en la

superficie es la que define la ecuación

(8), donde F es la resultante de las

fuerzas aplicadas sobre la mesa.

sobre la mesasobre la mesa

de contacto

FPA

=

8.1.6 Presión en fluidos.

Consideremos un tubo de vidrio C, abierto

por sus dos extremos y sostengamos fija

a uno de ellos una lámina de vidrio L, con

una cuerda H, como se ve en la figura:

Fe

L

C

H

Al introducirla en el líquido y soltar la

cuerda H, se observa que la lámina

permanece adherida al tubo.

Fe

L

C

Sin embargo, al sacar el tubo del líquido,

la lámina se suelta.

C

L



Esto significa que el líquido ejerce fuerza

(Fe) que oprime a la lámina contra el tubo,

sea cual fuere el ángulo que sus paredes

formen respecto de la superficie superior

del líquido.

Si hubiéramos mantenido el tubo en el

interior del líquido y hubiésemos

introducido una cantidad del mismo

líquido en el tubo cuidadosamente,

habríamos notado que la lámina se

mantiene adherida hasta que el nivel del

líquido en el interior del tubo alcanzara al

nivel del líquido en el exterior a él.

Esto demuestra que el líquido en el

interior del tubo ejerce una fuerza sobre

la cara interior de la lámina (Fi) igual en

magnitud y opuesta en dirección a la

ejercida por el líquido exterior sobre la

parte exterior de esta (Fe).

Fe

L

C

Fi

La generalización que se obtiene de estos

dos casos es muy importante: En el

interior de un fluido sobre cualquier

superficie S muy pequeña existen dos

fuerzas normales iguales y contrarias

(producto de la acción de la masa de

fluido sobre una de sus caras, y de la

reacción de la masa de fluido en la otra

cara), independientes de la orientación de

la superficie alrededor de un punto

determinado. Si suponemos que la

superficie es muy pequeña, podemos decir

que la fuerza está uniformemente

distribuida, de donde resulta que la

presión ejercida sobre una superficie

sumergida en un fluido, en un punto dado

de él, es independiente de la orientación

de la superficie. En otras palabras,

cuando un fluido está en reposo, la

presión en un punto determinado, debe

ser igual en todas direcciones; si no lo

fuera, habría una fuerza neta sobre el

elemento del fluido en ese punto y por

tanto fluiría, lo que no ocurre por cierto.

De esta manera, también se puede

calcular la presión en un fluido, con la

ecuación (8).

Esta presión que se llamará presión

hidrostática, dependerá de la

profundidad, como se verá a continuación.



8.2 Hidrostática.

8.2.1 La presión y la profundidad.

Para calcular la forma en que cambia la

presión en un fluido en equilibrio, en

función de la profundidad (bajo la

influencia de la fuerza de atracción

gravitacional), se considerará a un fluido

confinado en un recipiente como se

observa en la figura siguiente.

Ay

dyP

y = 0 Po

y +dyP +dP

F1

dwF2

Se observa aquí a un elemento imaginario

de fluido en su interior, de espesor dy

(muy delgado), un volumen dV, una

densidad homogénea ρ y una masa dm.

Sus caras tienen área A. Está en

equilibrio.

La condición de equilibrio exige de

acuerdo a la estática, que todas las

fuerzas que están siendo aplicadas a este

elemento, se anulen.

Como vemos, estas fuerzas son las

siguientes:

1.- En la cara superior, a la profundidad Y,

existe una presión P, por tanto, hacia

abajo existe una fuerza:

F1=PA (según ec. 8 ).

2.- En la cara inferior, a la profundidad

y+dy existe una presión P+dP, por tanto

hacia arriba existe una fuerza:

F2=(P+dP)A.

3.- También existe sobre el elemento de

fluido una fuerza hacia abajo,

correspondiente al peso del elemento:

dw=dmg=(ρdV)g=(ρAdy)g,

Esta última es una expresión mas

apropiada por tratarse de un fluido, como

sostuviéramos anteriormente.

Por lo tanto, debe cumplirse que:

F2-dw-F1=0

O, lo que es igual:

(P+dP)A-(ρAdy)g-PA=0

Dividiendo por A y resolviendo la

ecuación, se tiene:



dP=ρgdy (9)

Que nos proporciona la relación que

existe entre una variación diferencial de

presión en relación con una variación

diferencial de profundidad. Si queremos

encontrar la relación entre una variación

finita de presión y una variación finita de

profundidad, debemos integrar la

ecuación (9) :

∫dP=∫ρgdy

Si tenemos un fluido incompresible ρ no

cambia con la profundidad por lo que

tenemos:

∫dP=ρg∫dy

Si integramos entre el punto donde y=0

(donde la presión es P0, que puede ser la

presión atmosférica o en general, la que

allí exista), y el punto donde y=y (donde la

presión es P), se tiene:

P-P0=ρg(y-0)

P-P0=ρgy (10)

Denominada presión manométrica.

De la ecuación anterior se tiene:

P=P0+ρgy (11)

Denominada presión absoluta.

Esta expresión muestra que la presión

varía linealmente con la profundidad en un

fluido incompresible (en los gases esta

expresión no es válida). Recuerde que y

representa la profundidad.

Esta expresión puede escribirse de forma

bien interesante reemplazando (3) en

(11):

P=P0+Pe y 12)

En el caso de fluidos compresibles, como

en los gases, esta expresión es más

compleja, por cuanto la densidad variará

con la profundidad, produciendo

integraciones distintas será necesario

conocer la forma de la función ρ (y).

8.2.2 Presión atmosférica.

La atmósfera está compuesta de una

mezcla de gases, que son atraídos por la

fuerza gravitacional de la tierra:

Nitrógeno (N2) : 78%

Oxígeno (O2) : 21%

Argón (Ar) : 0,99%

Dióxido de Carbono (CO2) : 0,03%

Cantidades muy pequeñas (trazas) de

Hidrógeno (H), Ozono (O3), Metano (CH4),



Monóxido de Carbono (CO), Helio (He),

Neón (Ne), Kriptón (Kr). Xenón (Xe) y

cantidades variables de vapor de agua.

Esta mezcla gaseosa está en movimiento

relativo en forma permanente y tiene

composición química y física distinta en

distintos puntos geográficos y a distintas

alturas. Es un sistema dinámico de

comportamiento y composición complejos.

Cerca de la superficie de la tierra, se le

agregan sólidos en suspensión (tierra,

arena, y otros), producto de la actividad

humana o de eventos naturales, y también

líquidos en suspensión (fundamentalmente

agua, producto de la evaporación).

Debido a la acción de la fuerza de

atracción gravitatoria, encontramos una

concentración mayor de moléculas más

pesadas en la medida que estamos más

cerca de la superficie de la tierra.

Fig 8.9 La composición química de la atmósfera es variable, debido a actividades humanas o naturales. Fotos tomadas de http://www.ecoworld.com/

En virtud de lo anterior, si quisiéramos

evaluar la presión debida a la atmósfera

(presión atmosférica), no podríamos

hacerlo con las ecuaciones anteriores,

puesto que es un fluido compresible y su

densidad no es homogénea. Por otra

parte, el nivel de referencia superior de

este “mar gaseoso” es complejo de

manejar, por lo que se acostumbra a

referirse al nivel inferior, que coincida

con la intersección con la superficie no

gaseosa del planeta.

Escoger un nivel de referencia inferior

no es una tarea sencilla, pues la tierra no

es una esfera (actualmente tiene una

forma mas bien parecida a una pera) y su

superficie es irregular y dinámica.

Por convención se ha definido como

referencia el “nivel del mar”, aunque

debido a la acción de las mareas, el

movimiento de rototraslación de la tierra,

los diferenciales de temperatura entre

distintas zonas de la superficie y a la

forma de la tierra, tal nivel es bastante

menos simple que el lugar en que se

encuentra la superficie del mar local en

un instante determinado.

La solución a este problema viene dado

por los geógrafos en 1929 quienes a



través de instrumentos para medir en

forma permanente el nivel medio del nivel

del mar (en 21 diferentes lugares de

Estados unidos y 5 de Canadá)

establecieron el denominado “Nivel de

Referencia Geodésico Vertical Nacional”

(National Geodetic Vertical Datum of

1929: NGVD`29). Este es un plano

horizontal en el espacio desde el cual las

elevaciones del terreno y del agua son

medidos (Nivel cero). Asi se establece

por ejemplo, que la elevación del Everest

sobre el nivel del mar es de 8848 m.

Posteriores correcciones fueron hechas

en 1973 y en 1988 (NGVD´88).

Se monitorea el nivel del mar a lo largo

del planeta con una extensa red de

instrumentos, cuya información es

analizada e informada por la Permanent

Service for Mean Sea Level (PSMSL)

desde 1933.

Antes de eso, los griegos y muchas otras

culturas pensaban que el nivel del mar era

igual en todo el planeta, y la primera

referencia conocida en contrario está en

los registros de las mediciones de mareas

hechas por el físico Hyarne en

Ámsterdam entre 1682 y 1702; el

estableció del primer Datum local para

medir elevaciones del nivel del mar. En

Europa y USA se registraron muchos

intentos posteriores para definir un nivel

de referencia con mayor exactitud, con

resultados diversos.

Fig 8.10 Red mundial de monitoreo del nivel del mar. Los puntos rojos muestran las puntos de medición. Foto tomada de: http://www.pol.ac.uk/

Hoy día, se ha evolucionado desde los

primeros datum basados en concepciones

esféricas griegas a modelos elipsoidales

corroborados y precisamente definidos a

través de muchos años de mediciones

satelitales.

La presión atmosférica a una altura

respecto de un nivel de referencia

arbitrario se encuentra hoy día

estandarizada, según se ve en el cuadro

siguiente.

La medición experimental de la presión

local se puede hacer a través de

instrumentos que han evolucionado a

través del tiempo.



Presión Altura aproximada

Temperatura aproximada

Nivel del mar

1000 mb

850 mb

700 mb

500 mb

300 mb

200 mb

100 mb

0 m

100 m

1500 m

3000 m

5000 m

9000 m

12000 m

16000 m

15ºC

15 ºC

05 ºC

-05 ºC

-20 ºC

-45 ºC

-55 ºC

-56 ºC

Los principales instrumentos conocidos se

analizan brevemente a continuación.

8.2.3 Barómetros.

Los barómetros de mercurio son

probablemente los más conocidos y los

primeros utilizados en la medición de la

presión atmosférica, pero no son los

únicos:

Barómetro de Torricelli.

El barómetro de mercurio es un

instrumento utilizado para medir la

presión atmosférica inventado por el

Italiano Evangelista Torricelli (estudiante

de Galileo) en 1643.

Fig 8.11 Retrato de Torricelli tomado de: http://galileo.imss.firenze.it/museo/

Fig 8.12 http://galileo.imss.firenze.it/museo/

Para tener idea de su funcionamiento,

considérese el esquema del dispositivo de

la figura:

y0 = 0 P0 = 0

y1 = H

y1 P1



Un tubo lleno con mercurio es introducido

boca abajo en un recipiente que contiene

mercurio. Se observa que el nivel del

mercurio en el tubo desciende hasta un

punto, generando sobre ese nivel

prácticamente vacío (solo habrá un poco

de vapor de mercurio).

Tenemos entonces que en el punto donde

se ha escogido la referencia la presión es

cero y en la superficie del líquido del

recipiente (y1) la presión es la

atmosférica (P1).

Entonces, según la expresión (11) :

P1=P0+ρgy1

Con P0=0 e y1=H se tiene:

P1=ρgH

De donde:

1PHg

=ρ

Si estamos a nivel del mar:

5

33 2

1,01x10 PaHKg m14,6x10 9,8m s

=⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

H=0,76m=760mm

En la figura siguiente se puede observar

un barómetro de mercurio comercial.

Fig 8.13 http://www.barometers.com/

Barómetro de agua:

Un barómetro de agua como el de la

figura siguiente permite detectar

variaciones en la presión atmosférica

local, a través de la elevación o la

disminución de la columna de agua en la

columna externa. Cuando se vierte el

agua en el interior, se tiene que sobre

ambas superficies la presión es igual; al



aumentar la presión atmosférica

exterior, se observa una disminución en la

altura del líquido del tubo externo.

Naturalmente, se observarán cambios en

la presión interior al elevarse la

temperatura ambiente

significativamente, de tal manera que

estos barómetros, muy usados en los

navíos desde épocas muy remotas para

predecir tormentas, solo permiten tener

ideas muy generales del comportamiento

de la presión atmosférica.

Se tienen registros del uso de aparatos

como estos desde la invasión árabe a

España en el año 711, fecha de fundación

del califato de Córdova. Algunos autores

sindican al Holandés Gheijsbrecht de

Donckere como su inventor en siglo XVI.

Sin embargo, no fue sino hasta la llegada

del escritor Johann Wolfgang von

Goethe’s a Ilmenau/Thuringia (Alemania)

en 1792 luego de uno de sus extensos

viajes, que su uso se generalizó en

Europa. La asociación de Goethe con la

industria de vidrio local, muy

desarrollada, permitió la construcción

masiva del aparato, que recibió el nombre

de barómetro de Gohete, olvidándose

luego el origen real del aparato.

Fig 8.14 http://www.secure.sciencecompany.com

Barómetro aneroide (sin líquido):

Fue desarrollado en términos prácticos

por el Francés Lucien Vidie en 1843,

aunque la idea data aproximadamente de

1700. Usa un resorte en lugar de un

líquido, es más fácil de construir y

transportar que el de Torriccelli. Aunque

más resistente, no es muy preciso.

Fig 8.15 Barómetro aneroide vendido en Sydney en 1870. Foto tomada de http://www.usyd.edu.au/

Básicamente consiste en una balanza de

resorte, que utiliza una cámara metálica

parcialmente al vacío, con paredes



flexibles y un mecanismo acoplado para

detectar variaciones en la elongación del

resorte.

Fig 8.16 Barómetro aneroide actual fabricado por Dalvey. Foto tomada de http://www.stanleylondon.com/

Las variaciones permiten calibrar la

respuesta del sistema en cualquier

sistema de unidades e indicadas en una

gran variedad de presentaciones, desde

rotaciones de una aguja sobre un círculo

calibrado, hasta registradores en papel

(barógrafos) o sistemas digitales de

presentación y/o procesamiento de datos.

Fig 8.17 Barómetro aneroide de la Russell Scientific Instruments Ltd. Foto tomada de http://www.russell-scientific.co.uk

Fig 8.18 Barógrafo aneroide foto tomada de: http://www.fa-gluck-clocks.co.uk/

Barómetros digitales.

Hoy día se encuentran disponibles una

gran variedad de instrumentos que

cuentan con sensores que permiten medir

distintos tipos de variables físicas

ambientales, tales como presión y

temperatura e incluso la altitud.

El barómetro de precisión digital como el

de la foto siguiente de la Paroscientific

permite medir presión barométrica,

altitud y temperatura, compensadas a las

condiciones locales, en diferentes escalas

de unidades con una pantalla plana VGA

electro luminescente que permite leer

números a una distancia de 9 m. posee

MODEM telefónico y conexión a PC o

Laptop. Dispone de memoria capaz de

almacenar data de 35 días (ampliable a

120 días) con adquisición de datos

configurable. Es portátil y resistente a

las condiciones atmosféricas extremas.



Fig 8.19 http://www.paroscientific.com

Mide temperaturas entre -40 y55 ºC y

detecta cambios en la presión

atmosférica del orden de 0,06 pulgadas

de mercurio.

Fig 8.20 Termómetro - barómetro - altímetro digital modelo 43 de Wheather Instruments. Foto tomada de: http://www.sciencecompany.com

Mide alturas entre 0 y 8000 m con

resolución de 1 metro; presiones

atmosféricas entre 350 y 1040 mbar con

resolución de 0,1 mb; y temperaturas

entre -10 y 60 ºC con resolución de 1 ºC.

No dispone de otros sistemas de unidades

en pantalla. Es capaz de almacenar

valores máximos y mínimos.

Barómetros ecológicos.

Debido al extendido uso del mercurio en

termómetros y barómetros, al acabado

conocimiento de su poder como agente

nocivo para la salud humana y el medio

ambiente y a la presión de organizaciones

civiles en pos del desarrollo de aparatos

ecológicos, se han desarrollado

instrumentos tales como el “eco-celli”,

consistente en un tubo en U lleno de un

gas y un fluido rojo en base a silicona

para medir presión atmosférica y un tubo

lleno de un líquido azul (metilalcohol

coloreado) para medir temperaturas.

Entre ambos tubos existe una regla móvil

que permite corregir las lecturas de la

presión atmosférica de acuerdo a la

temperatura ambiente.



Fig 8.21 http://www.barometers.com/.Permite lecturas de temperatura entre 0 y 50 ºC y de presión atmosférica entre 975 y 1054 mbar.

8.2.4 Vasos comunicantes.

Una consecuencia importante de la

ecuación fundamental de la hidrostática

es la que se observa del análisis del

siguiente ejemplo.

En la figura se ha dispuesto un

recipiente que tiene dos brazos de

formas distintas.

Se observa que el nivel del líquido en los

dos brazos es el mismo.

y1

h

y = 0

y2

a b

c d

Note que si aplicamos (10) a los puntos a y

c, encontramos que

Pc-Pa=rgh .

Si consideramos ahora los puntos b y d,

encontramos que

Pd-Pb=rg h.

Debido a que la presión en a y en b es la

misma (presión atmosférica), y que la

profundidad h también es la misma,

entonces la presión en los puntos c y d es

la misma.

Esto muestra que la presión a la misma

profundidad en un líquido en equilibrio es

la misma, con independencia de la

cantidad de fluido que exista en cada

brazo. En particular, como a y b están a

la misma presión, deben encontrarse a la

misma altura, lo que justifica que en los

vasos comunicantes, abiertos a la

atmósfera, siempre tienen superficies del

líquido a la misma altura.

Es decir, la fuerza que existe en el fondo

es independiente de la cantidad de líquido



que existe en ambos brazos, dependiendo

solo del área del fondo y de la altura del

líquido respecto de él.

Esto permite enunciar la Paradoja

Hidrostática, según la cual, la fuerza en

el fondo de un recipiente puede ser

mayor, igual o menor que el peso del

líquido.

En la siguiente figura se observan cuatro

vasos de formas distintas, pero con áreas

de la base iguales e iguales alturas del

mismo líquido.

Según la paradoja hidrostática, las

presiones en el fondo así como las

fuerzas totales sobre él, son iguales en

todos los vasos.

Sin embargo esta fuerza es menor que el

peso del líquido en a), igual que el peso en

b) y superior al peso en los casos c) y d).

a) b) c) d)

8.2.5 Manómetros.

Otra aplicación interesante es el

manómetro de tubo abierto, aparato que

es usado para medir presiones de gases (y

de líquidos si se tiene la precaución de no

mezclarlo con el fluido manométrico). En

la figura, se observa un manómetro de

tubo abierto:

P

y2

P0

y1

H

y=0

Consideraremos la referencia en el fondo

del tubo del manómetro.

Un manómetro de tubo abierto consiste

en un tubo en forma de U, uno de cuyos

brazos está abierto a la atmósfera y el

otro está conectado al sistema cuya

presión se quiere medir. El tubo

contiene generalmente mercurio, aunque

pueden usarse otros líquidos para medir

presiones pequeñas.

Como vimos en el ejemplo anterior, las

presiones en el fondo deben ser iguales.

En el tubo de la izquierda la presión en el

fondo será

P+rgY1

Mientras que en el de la derecha será de



P0+rgY2.

Por tanto se tendrá:

P+rgY1=P0+rgY2.

De donde:

P-P0=rg(Y2-Y1)=rgh

En consecuencia, si el fluido es mercurio,

la sola lectura de la altura, proporcionará

la presión manométrica en milímetros de

mercurio.

Fig 8.22 Manómetro de Bourdon NM1-94. Escala de 0 a 400 bar.

8.2.6 Principio de Pascal.

Una nueva lectura de la ecuación (11) nos

proporciona una consecuencia muy

importante para la física; en ella se

tiene :

P=P0+rgy

Si P es la presión que tenemos a una

profundidad y, y P0 la presión en la

superficie del fluido, si el fluido es

homogéneo e incompresible, cada vez que

se experimente un aumento en P0 se

tendrá un aumento exactamente igual en

P.

Este es el enunciado del denominado

Principio de Pascal y su extraordinaria

importancia queda bien graficada en los

siguientes ejemplos:

Prensa hidráulica:

La prensa hidráulica es un aparato basado

en el principio de Pascal. En la figura

siguiente se observa un esquema de una

prensa.

A2

A1

F2

F1

En el émbolo de la izquierda se ejerce una

fuerza pequeña F1 sobre el área pequeña

A1.

Esto produce que la presión bajo el

émbolo aumente en P y tenga magnitud:



1

1

FP A=

Bajo el émbolo de la derecha la presión

también aumentó en P según el Principio

de Pascal, siendo su magnitud:

2

2

FP A=

En consecuencia igualando las presiones

se puede escribir:

1 2

1 2

F FA A

=

De donde se tiene:

22 1

1

AF FA

=

Es decir si por ejemplo:

A2=2A1

Entonces:

F2=2F1.

Se ha duplicado la

fuerza!

Con este dispositivo se pueden ejercer

grandes fuerzas con esfuerzos pequeños.

Equilibrio de líquidos no miscibles en

vasos comunicantes:

Este es un caso interesante de analizar

por su aplicación a un sinnúmero de

ejercicios.

En la figura se observa un tubo en U con

mercurio y agua. Ambos extremos están

abiertos en la parte superior.

yA

yM

mercurio

agua

Según Pascal, a la misma altura debemos

tener igual presión en un fluido en

equilibrio, por tanto en la superficie de

separación existe igual presión.

Esta presión se debe a la columna de agua

en el brazo de la izquierda:

(Patm+rAgYA)

Y a la columna de mercurio en el de la

derecha;

(Patm+rMgYM )

De tal manera que:



Patm+rAgYA=Patm+rMgYM

De donde:

MA

M A

ygg y

ρ=

ρ

Es decir :

MA

M A

yPePe y

=

Por tanto: en un vaso comunicante, las

alturas de la columna de dos líquidos no

miscibles en equilibrio son inversamente

proporcionales a sus pesos específicos.

8.2.7 Principio de Arquímedes.

Este, que es uno de los principios

fundamentales de la hidrostática, es

fácilmente recordado, pero exige de gran

atención para ser comprendido

cabalmente. Es imprescindible recordar

que Arquímedes vivió entre el 287 y el

212 A.C. para asombrarse por el rigor y la

belleza del razonamiento.

Pensemos en un cuerpo C de volumen

conocido V sumergido en un líquido

confinado en un recipiente, en estado de

equilibrio, como se ve en la figura.

Observe que antes de que C estuviera allí,

existía un volumen de fluido que ha sido

desplazado por él.

Este volumen estaba en equilibrio con el

resto del fluido, y estaba sujeto a la

acción de fuerzas perpendiculares a

todos los puntos de su superficie, como

ya hemos discutido anteriormente. La

resultante de esas fuerzas debe ser una

fuerza dirigida hacia arriba e igual al

peso del fluido que allí estaba, puesto que

deben anularse para justificar el

equilibrio.

Además esa resultante también está

aplicada a C puesto que es independiente

de lo que allí exista.

Básicamente, esto puede enunciarse como

sigue: La resultante de todas las acciones



de un líquido en equilibrio sobre un cuerpo

sumergido en él, es una fuerza vertical,

dirigida hacia arriba e igual en magnitud

al peso del volumen del líquido desalojado

por el cuerpo (Principio de Arquímedes).

A esta fuerza se le acostumbra llamar

Empuje, y la hemos definido simplemente

como la fuerza ejercida por el resto del

fluido para mantener en reposo la porción

de fluido considerada.

En consecuencia, matemáticamente:

E=[Mvol desalojado]g

E=[rfluidoVfluido desalojado]g (13)

Note que este efecto es independiente

de la compresibilidad del fluido, por lo

que se comporta bastante bien en el caso

de líquidos y gases.

Además, el empuje está aplicado sobre el

centro de gravedad de la porción del

líquido desalojado (puesto que se le opone

a su peso), el que no necesariamente

coincide con el centro de gravedad del

cuerpo puesto en su lugar.

Tampoco necesariamente coincide el peso

del cuerpo con el empuje que allí

encuentra.

Según lo anterior, podría ocurrir que el

cuerpo no necesariamente tenga que

estar a su vez en equilibrio, pudiendo

subir, bajar o mantenerse en algún lugar

al interior del fluido. Si además no es

homogéneo, su centro de gravedad no

coincidirá con el centro de gravedad del

fluido desalojado, generándose un par que

producirá un torque neto sobre el cuerpo

y el correspondiente movimiento de

rotación.

En las siguientes figuras se muestran

tres cuerpos de formas distintas que

ilustran lo antes dicho.

(A)

E

Pc

En el caso del cuerpo (A), se tiene un

cuerpo simétrico, cuyo peso es menor que

el empuje del fluido (su densidad es

menor que la del fluido). Subirá con

movimiento uniforme acelerado rectilíneo

y finalmente quedará flotando, con parte

de su volumen sumergido. Esto se debe a

que al ir emergiendo, disminuye el

volumen del agua desalojada,

disminuyendo su empuje. Por tanto



emerge hasta que el empuje iguala al peso

del cuerpo, restableciendo el equilibrio.

Pc

E

Note que en ese instante:

E–Pc= 0

(rfluidoVsumergidog)-(mCg)=0

De donde puede calcularse el volumen

sumergido:

csum

fluido

mV =ρ

Visto de otra manera, ya que mC también

se puede expresar como rC VC la

expresión anterior conduce a la relación:

c csum

fluido

VV ρ=

ρ

Que también puede escribirse como:

sum c

c fluido

VV

ρ=

ρ (14)

Es decir, el cuociente de las densidades

es igual a la fracción de volumen

sumergido.

Esta expresión nos será muy valiosa en

adelante.

(B)

Pc

E

En el caso del cuerpo (B), se tiene un

cuerpo simétrico, cuyo peso es mayor que

el empuje del fluido (su densidad es

mayor que la del fluido). Bajará con

movimiento uniforme acelerado

rectilíneamente y finalmente se

depositará en el fondo, quien le

proporcionará una fuerza normal que

anulará la resultante, restableciendo el

equilibrio.

Pc

EN

En ese instante:

N+E=Pc

En el caso del cuerpo (C), se tiene un

cuerpo asimétrico, cuyo peso es mayor

que el empuje del fluido.



E

Pc

(C)

Como se ve allí, el empuje estará aplicado

en el lugar en que se encontraba el centro

de masas del volumen de agua (que fue

desplazado de allí por el cuerpo) cuya

forma era igual a la forma del cuerpo,

pero de densidad homogénea.

En cambio el cuerpo tiene distribución de

masa no homogénea y su centro de

gravedad está en un lugar distinto, de tal

manera que el peso está aplicado en un

lugar distinto.

Producto de lo anterior se genera un

torque neto sobre el cuerpo el que

bajará girando hasta topar el fondo, lugar

en donde se restablece el equilibrio

debido a las normales:

Pc

ENN

Cálculo de densidades con la balanza:

Una aplicación interesante del principio

de Arquímedes lo constituye la

posibilidad de calcular con sencillez la

densidad de un cuerpo desconocido

simplemente con una balanza. Para

describir esto, consideraremos una

balanza a uno de cuyos brazos se ata un

cordel de masa despreciable al que está

atado el cuerpo cuya densidad queremos

determinar (ver figura siguiente).

TE

w

Sobre el cuerpo actúan las siguientes

fuerzas: La tensión de la cuerda (T), el

peso (W), y el empuje (E). Además al

estar en equilibrio, su resultante es nula.

Es decir :

T-W+E=0

El empuje es (rfluidoVfluido desalojado g) según

lo explicado en (13).

Por tanto:

T-W+(rfVfdesg)=0



De donde :

rfVfdes g=(W-T)

Dividiendo ambos términos por el peso del

cuerpo, nos queda:

f fdes ρ V g W - TW W

=

Pero W puede escribirse como: rC VC g,

por lo que:

f fdes

c c

ρ V g W - T V g W

=ρ

Y como el volumen del fluido desalojado

es igual que el volumen del cuerpo,

f

c

ρ W - TW

=ρ

O, también :

c

f

ρ W W - T

=ρ

(15)

Esta expresión es muy relevante, por

cuanto la cantidad de la izquierda es la

densidad relativa (numéricamente igual

que el peso específico relativo), del

cuerpo directamente si el líquido es agua.

A la derecha tenemos el cuociente entre

el peso del cuerpo en el aire (medido con

la balanza) y la diferencia entre el peso

en el aire y la tensión de la cuerda

(también denominada pérdida de peso

aparente del cuerpo), que se obtiene

pesando con la balanza el cuerpo

sumergido en el líquido.

En la industria hoy se utilizan

densímetros electrónicos que calculan la

densidad a través de un software, pero

que esencialmente utilizan el principio de

Arquímedes, como la serie 200 de

Mirage, o el densímetro electrónico de

Densimat (usado en la industria

alimentaria) que se observan en las fotos

siguientes.

Fig 8.23 http://www.gibertini.com/

Fig 8.24 http://www.miragejp.com/densimeter.htm



Picnómetros:

Son frascos de vidrio mediante los cuales

es posible determinar densidades de

líquidos y sólidos pequeños no solubles en

agua. Usualmente son de 10 a 20 cm3

provistos de un tapón de vidrio hueco

prolongado en un capilar en el cual hay

una señal de enrase, como se ve en la foto

siguiente:

Fig 8.25 http://www.tecnotest.it/

En la figura siguiente se observa un

esquema de un picnómetro y las

indicaciones generales para su uso:

Procedimiento :

1.- Llenar el picnómetro con agua

destilada hasta la señal de enrase y

pesarlo (P1).

2.- Poner a su lado el cuerpo cuya

densidad desea medirse y volver a pesar

(P2).

Note que (P2 - P1) es el peso del cuerpo.

3.- Luego se pone el cuerpo en el interior

del picnómetro. Sube el nivel en el

capilar.



Se retira agua hasta que el nivel vuelva al

enrase y vuelve a pesar el picnómetro

(P3).

Note que (P2 - P3) representa el peso del

agua desalojada y por tanto al empuje

sobre el cuerpo.

4.- Entonces, según lo dispuesto en (15),

se puede calcular la densidad relativa del

cuerpo como:

2 1r

2 3

P - PP - P

ρ = (16)

También se puede calcular la densidad de

líquidos con el picnómetro. Para ello, se

tienen que efectuar las siguientes

pesadas:

1.- Picnómetro vacío (P1)

2.- Picnómetro lleno de agua destilada

hasta el enrase (P2)

3.- Picnómetro lleno del líquido de

densidad desconocida, hasta el enrase

(P3)

Note que (P2 - P1) es el peso del agua y

que (P3 - P1) es el peso del líquido, por lo

que entonces, la densidad relativa del

líquido será:

3 1r

2 1

P - PP - P

ρ = (17)

Naturalmente, hoy existen aparatos que

calculan automáticamente las densidades

de sólidos y polvos, como el

Pentapycnometro o el Ultrapycnómetro

1000 de la Quantacrome, que se observan

en la foto siguiente:

Fig 8.26 http://www.quantachrome.com/

Estos aparatos son picnómetros de gas,

detectando el cambio en la presión de un

gas desplazado por un objeto sólido.



Balanza de Mohr-Westphal .

Este aparato de muy sencilla

construcción, permite simplificar el

método de la balanza para determinar la

densidad de los líquidos.

En la figura siguiente se ve un esquema

simplificado de este instrumento.

Es una balanza de brazos iguales o

desiguales (existen varios modelos, pero

el funcionamiento es el mismo), uno de los

cuales (generalmente el más largo),

presenta una serie de nueve muescas, m,

equidistantes numeradas del 1 al 9, cuyo

cero corresponde al cuchillo de

suspensión en tanto que la división 10 cae

exactamente en el cuchillo del cual pende

un gancho que lleva un hilo, (generalmente

de platino), que sostiene un flotador, f,

(generalmente un termómetro). El brazo

más corto tiene una punta en un extremo,

que oscila frente a otra punta fija al

soporte (fiel). Todo el sistema puede

bajar o subir a través del tornillo de

ajuste, T.

Cuando se sumerge el flotador en el

líquido cuya densidad se desea

determinar, experimenta un empuje hacia

arriba que debe equilibrarse con

jinetillas, J, dispuestas en las muescas

del brazo largo.

Existen jinetillas de varias dimensiones.

La mayor de las jinetillas, colgada en la

muesca más lejana al eje de giro,

equilibra al flotador cuando está

sumergido en agua destilada. Por tanto,

si para conseguir el equilibrio hubiera que

colgarlo en la 8a división contada a partir

de la más próxima al eje de giro, la

densidad del líquido sería de 0,8. Existen

además otras jinetillas menores, cuyos

pesos son la décima, la centésima y aún la

milésima parte del primero, que añadidos

en las convenientes divisiones, nos

permitirán apreciar las unidades

decimales de órdenes más elevados en el

valor de la densidad.

La siguiente figura muestra una balanza

de mohr del Museo Virtual del Politécnico

de Torino.

T

fvaso

Jm Z fiel



Fig 8.27 http://www.museovirtuale.polito.it

Aerómetros.

Comúnmente llamados densímetros o

hidrómetros, son flotadores que dan, a

veces mediante una manipulación y a

veces por lectura directa, las densidades

de sólidos o líquidos en el primer caso, la

densidad o una indicación convencional

sobre la concentración de ciertos líquidos

en el segundo. Suelen clasificarse en

tres tipos: aerómetros de peso variable y

volumen constante; de peso constante y

de volumen variable; y aerómetros en los

cuales ambos elementos son variables.

Fig 8.28 Hidrómetros de propósito general de la Stevenson-Reeves Co. http://.stewwwvenson-reeves.co.uk

En términos generales, básicamente

consisten en un flotador que en algunos

casos va provisto de un termómetro para

tomar nota al mismo tiempo de la

temperatura a que se está determinando

la densidad. Una larga varilla está dividida

de forma que indica directamente la

densidad del líquido que corresponde a la

división en que enrasa. Suelen fabricarse

separadamente para líquidos más o menos

densos que el agua. Los primeros tienen



la división 1 (densidad del agua), en su

parte superior y al colocarlos en líquidos

de mayor densidad, el mayor valor del

empuje del líquido los hace sobresalir en

forma que enrasa el líquido en divisiones

inferiores. Por el contrario, los

destinados a líquidos de menor densidad

que el agua se sumergen más en aquellos

líquidos que en el agua y por tal motivo, el

1 de la escala debe situarse en su parte

inferior.

Algunos de los más importantes son los

siguientes:

Aerómetro de Nicholson:

Aparato del primer tipo, permite medir

directamente pesos específicos de

sólidos mediante un dispositivo que

permite colgarlos en un gancho en el

interior del líquido.

Aerómetro de Farenheit:

Aparato de volumen constante, permite

determinar densidades de líquidos.

Construido de vidrio, permite trabajar

con líquidos corrosivos.

Aerómetro de peso constante:

Aparato de volumen sumergido variable

construido generalmente con un tubo

cilíndrico que se dilata en una cavidad

esférica de mayor diámetro, pero

siempre de revolución alrededor del eje

del tubo y en cuyo extremo llevan otra

dilatación, en la cual se introduce un

lastre, normalmente municiones o

mercurio para darle estabilidad al

aparato.

Aerómetro de Baumé:

Aerómetro muy usado, de peso constante

y de graduación arbitraria. Se les gradúa

de dos maneras distintas según haya de

emplearse para líquidos más o menos

densos que el agua.

Los destinados a líquidos más densos que

el agua se gradúan lastrándolos de

manera tal que se sumergen en el agua

hasta cerca del extremo superior del

vástago a la temperatura de 12,5 °C. En

ese punto se marca cero. Una vez

marcado el cero, se extrae el aerómetro

del agua, se seca y se introduce, a la

misma temperatura, en una solución de 15

partes en peso de sal marina y 85 partes



de agua destilada. Cuando el aerómetro

queda quieto, se marca el grado 15 en el

punto de enrase. Se retira el aparato de

la solución, se seca, se divide el espacio

comprendido entre las marcas en 15

partes iguales y se prolongan las

divisiones hacia la parte baja del tubo,

hasta donde permita su longitud.

Cuando se conoce la naturaleza del

líquido, al introducir en él uno de estos

aparatos obtenemos una lectura que nos

permite saber el grado de concentración

de este líquido. Así pues, se sabe que en

el ácido sulfúrico comercial bueno, debe

marcar 66 grados; si indicación es

inferior se concluye que el ácido no es lo

suficientemente concentrado.

Cuando se trata de líquidos ligeros se

gradúan disponiendo el lastre de manera

que el aparato se sumerja hasta la parte

baja del vástago en una solución de 10

partes de sal marina por 90 de agua

destilada, a la temperatura de 12,5° C. En

el punto de enrase correspondiente se

marca el cero de la escala. Si se

introduce el aparato en agua destilada,

como este líquido empuja menos que el

anterior, el nuevo punto de enrase queda

más alto que el primero y se marca en él

la graduación 10. Se divide el espacio

comprendido entre estas dos marcas en

10 partes iguales y se prolongan las

divisiones hacia arriba. Las cosas se

disponen de manera tal que en el vástago

quepan 60 o más divisiones.

Cuando se sumerge el aparato en éter

ordinario se considera este líquido como

de buena concentración si marca en él 56

grados baumé.

Puede deducirse una fórmula que permita

conocer las densidades de los líquidos

conociendo los grados Baumé, es decir, la

graduación hasta la cual se sumerge en

ellos uno de estos aparatos. Las fórmulas

resultantes dependen de cierta constante

del aparato, cuyo valor depende de su

construcción y por esta razón se

encuentran fórmulas distintas en los

diferentes autores. En realidad, lo mejor

es determinar experimentalmente estas

fórmulas.

Existen dos fórmulas de amplia difusión:

Para líquidos más densos que el agua, si r

es la densidad del líquido y N la

graduación Baumé que le corresponde, se

tiene:

144,3144,3 N

ρ =−



Para líquidos menos densos que el agua:

146136 N

ρ =+

Fig 8.29 Hidrómetros para productos de aceites y petróleo. Foto tomada de http://www.stevenson-reeves.co.uk/

Alcoholímetro de gay-lussac:

Con él se puede determinar con rapidez el

porcentaje de alcohol puro contenido en

una mezcla de alcohol y agua. La

graduación se hace a la temperatura de

15 °C. Se lastra el aerómetro de manera

que puesto en agua destilada se sumerja

hasta la parte mas baja de la varilla y en

el enrase se marca cero. Se toman 5

volúmenes de alcohol puro y se completa

hasta 100 volúmenes agregando agua

destilada; se introduce el aerómetro en

esa solución y se marca 10 en el enrase.

Se sigue así, aumentando de 5 en 5 los

volúmenes de alcohol y completando hasta

100 volúmenes con agua y se marca 15,

20, 25,..., en los enrases sucesivos, hasta

llega a sumergir el aparato en alcohol

absoluto en cuyo enrase se marca la

graduación 100. Se divide en 5 partes

iguales cada uno de los espacios de la

escala así obtenidos.

En adelante, para obtener la riqueza de

una solución de alcohol en agua es preciso

disponerlo todo a 15 °C, introducir el

aerómetro en la solución y hacer la

lectura.

Si el resultado es 27 por ejemplo, quiere

decir que la solución está formada por 27

partes de alcohol puro y el resto hasta

100, de agua.

En caso de que la temperatura sea

distinta de 15 ºC, se debe hacer una

corrección de acuerdo a la ecuación:



X = g + 0,4(t-15)

Donde x es el grado de de alcohol

verdadero, g es el grado de alcohol

aparente leído en el instrumento y t es la

temperatura de la mezcla.

Naturalmente, existen aparatos

graduados a distintas escalas

dependiendo de los usos habituales de

cada industria.

La figura siguiente muestra

alcoholímetros de precisión de 30 cm

graduados entre 30% y 60% o entre 0 y

100%, usados en la industria vitivinícola.

Fig 8.30 http://www.ibrew.com.au/html/equipment/

Aerómetro de balling-brix: Es usado

para determinar el porcentaje de azúcar

disuelto en agua, aunque permite en

general determinar porcentaje de

cualquier materia sólida disuelta en agua,

aunque esto último se hace con menor

precisión. El aparato es de forma

semejante a la del aerómetro de Baumé.

El instrumento se gradúa a 20° C. Cuando

el aerómetro es de escala completa, se

hace flotar en agua destilada a la

temperatura citada, se hace una marca en

el enrase y se marca 0 en él. La división

20 por ejemplo, se obtiene disolviendo 20

g de azúcar en 80 de agua y marcando 20

en el enrase. A veces estos aparatos se

gradúan a otras temperaturas en

dependencia del clima del lugar en donde

van a ser usados.

Las lecturas de estos aparatos, a veces

llamados sacarómetros, se llaman

generalmente grados Brix o simplemente

Brix de la solución.

También se puede determinar el

porcentaje de azúcar en una solución a

través de un aparato que detecta cambios

en el plano de polarización de la luz,

método que no será explicado aquí.

Dicho aparato, también denominado

sacarómetro óptico, (en realidad es un

polarímetro) fue diseñado por Frederick

John Bates de la National Bureau of

Standard de USA en 1942 y adoptado



como norma en la industria del azúcar y

sus derivados.

En la actualidad, un aparato muy vendido

en el mundo es el SUCROMAT VIS/NIR,

que se ve en la foto siguiente.

Fig 8.31 http://www.kernchen.de/

8.3 Problemas resueltos de Hidrostática.

Ejercicio 8.1.- Una estrella de

neutrones tiene un radio de 10 Km y

una masa de 2X1030 Kg. ¿Cuánto

pesaría un volumen de 1cm3 de esa

estrella, bajo la influencia de la atracción

gravitacional en la superficie de la tierra?

Solución:

El peso debe calcularse multiplicando la

masa por la aceleración de gravedad. En

consecuencia debemos calcular la masa

primero. Eso puede hacerse a través del

concepto de densidad, puesto que:

masa estrellaρ=volumen estrella

Es decir, cada cm3 de la estrella tendrá

una masa de 0,5x1012 Kg, por lo tanto en

la superficie de la tierra pesará:

W=(0,5x1012Kg)(9,8 2ms

)=0,5x1012N.

Ejercicio 8.2.- Júpiter tiene un

radio R=7,14X104Km y la aceleración

debida a la gravedad en su superficie es

gJ=22,9 2ms

. Use estos datos para

calcular la densidad promedio de Júpiter.

Solución: La densidad es

simplemente el cuociente entre la masa y

el volumen del planeta. Por tanto, hay que

calcular previamente ambas cantidades.

El volumen se puede calcular

geométricamente con la expresión:

(i) 34 r3

π

y la masa se puede calcular recordando

que el peso es una fuerza de atracción

gravitacional que se puede encontrar con

la expresión:

(ii) 2m MP G R

=



(donde G es una constante universal de

valor 6,67x10-112

2N mKg , m es la masa de

un objeto cualquiera en las cercanías del

cuerpo que genera el campo gravitacional,

en este caso el planeta Júpiter, M es la

masa del planeta y R es la distancia entre

el cuerpo y el planeta). Por otra parte, el

peso de un cuerpo cualquiera cercano al

planeta puede calcularse también con la

expresión proveniente de la segunda ley

de Newton :

P=mg (iii).

en consecuencia, igualando (ii) con (iii) :

2m M G m gR

=

de donde :

2g R M = G

ahora podemos calcular la densidad :

2

3

g R3 gM G 4V 4 G R R

3

ρ = = =ππ

( )( )( )( )( ) ( )11 7

3 22,9 =

4 6,67x10 7,14x10 3,14−ρ

3Kg = 1 148,5 m

ρ

Ejercicio 8.3.- ¿ Cuál es la presión

a 1m y a 10m de profundidad desde la

superficie del mar?. Suponga que

r=1,03x103Kg/m3 como densidad del agua

de mar y que la presión atmosférica en la

superficie del mar es de 1,01X105Pa.

Suponga además que a este nivel de

precisión la densidad no varía con la

profundidad.

Solución: En función de la

profundidad la presión es:

P=P0+rgh

Por tanto:

P=1,01x105Pa+(1,03x103 3Kgm )(9,8 2

ms

)( h)

Si h=1m: P=1,11x105Pa.

Si h=10m : P=2,02x105Pa

Ejercicio 8.4.- Las dimensiones de

una piscina rectangular son 25m de largo,

12m de ancho y 2m de profundidad.

Encontrar:

a) La presión manométrica en el fondo de

la piscina.

b) La fuerza total en el fondo debida al

agua que contiene.



c)La fuerza total sobre una de las

paredes de 12m, por 2m.

d) La presión absoluta en el fondo de la

piscina en condiciones atmosféricas

normales, al nivel del mar.

Solución:

a) La presión manométrica se calcula con

la expresión (10) :

P-P0=rgh

P-P0=(13

gcm

)(980 2cms

)(200cm)

P-P0=196000 2D

cm=1,96 2

Ncm

b) Como la profundidad es constante, se

puede ocupar directamente la expresión

(8), pues la fuerza estará uniformemente

distribuida:

F=PA

donde P es la presión manométrica. Por

tanto :

F=(1,96 2N

cm) (1200cm)(2500cm)

F=5,88x106N

c) La fuerza total sobre una de las

paredes no puede calcularse de la misma

forma, puesto que la presión varía con la

profundidad, por lo que debe ocuparse la

expresión (7):

dF=PdA

Donde dF es la fuerza debida a la presión

manométrica P, existente en un elemento

de área dA de largo L y alto dh.

La presión manométrica varía con la

profundidad según r g h.

Por tanto :

dF=(rgh)(Ldh)

La fuerza requerida se encontrará

integrando esta expresión:

ÚdF= ÚrgLhdh

Que resulta :

2hF gL2

= ρ

Integrada y evaluada entre 0 y h.

Con los datos del problema :

F= (13

gcm

)(980 2cms

)(1200cm)(2200

2 cm2)

F=2,352x1010D=235200N



(d) La presión absoluta en el fondo de la

piscina es la suma de las presiones

manométrica y atmosférica, que a nivel

del mar vale 1,01x1052

Nm

=10,1 2N

cm ,

Por tanto :

P=1,96 2N

cm+10,1 2

Ncm

=12,06 2N

cm

Ejercicio 8.5.- En el tubo en U de la

figura, se ha llenado la rama de la

derecha con mercurio y la de la izquierda

con un líquido de densidad desconocida.

Los niveles definitivos son los indicados

en el esquema.

Hallar la densidad del líquido desconocido.

14 cm

2 cm

mercurio

líquido L

Solución:

En el nivel de la superficie de separación

la presión es la misma en los dos líquidos,

En dicho nivel la presión debida al

mercurio vale:

PM=P0+rMghM

y la del líquido desconocido vale:

PL=P0+rLghL

En ambas, P0 es la presión atmosférica

pues están abiertos.

Igualando ambas expresiones:

P0+rMghM=P0+rLghL

de donde :

M ML

L

h = h

ρρ

( )3

L

g13,6 2cmcm = 14 cm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ρ

rL=(1,94 3g

cm)

Ejercicio 8.6.- Un recipiente

cerrado que contiene líquido

(incompresible) está conectado al

exterior mediante dos pistones, uno

pequeño de área A1=1cm2 , y uno

grande de área A2=100cm2 como se ve

en la figura. Ambos pistones se



encuentran a la misma altura. Cuando se

aplica una fuerza F=100N hacia abajo

sobre el pistón pequeño. ¿Cuánta masa m

puede levantar el pistón grande?.

A2

A1

F2

F1

d1

d2

Solución:

Cuando actúa F1 sobre el pistón pequeño,

la presión P del líquido en ese punto es :

261

1 2 -4 21

F 100 N 10 NP = = = = 10 PaA 1 cm 10 m

Como el pistón grande está a la misma

altura, tendrá la misma presión P que el

otro pistón, por tanto la fuerza F2 que

actúa sobre él, es

F2=PA2

Y el peso que puede levantar es:

F2=mg

Por lo que se puede escribir:

PA2=mg

De donde:

( )( )6 2 22

2

10 Pa 10 mP Am = = mg 9,8 s

−

m = 1 020 Kg

Ejercicio 8.7.- Calcular el empuje

que ejerce (a) el agua y (b) el alcohol

sobre un cuerpo enteramente sumergido

en estos líquidos cuyo volumen es de

350cm3. El peso específico del alcohol es

de 0,8 3gf

cm.

Solución:

a) El empuje del agua es igual al peso de

los 350cm3 de este líquido que el cuerpo

desaloja y vale por lo tanto 350gf.

(b) En alcohol corresponde al peso de

350cm3 de este líquido. Conocido su peso

específico, que es el cuociente entre el

peso del líquido y su volumen:

Peso=PeV=(0,8 3gf

cm)(350cm3)=280 gf

Ejercicio 8.8.- ¿Cuál es el peso

específico de un cuerpo si flota en el agua

de modo que emerge el 35% de su

volumen?

Solución:



Si emerge el 35% de su volumen, está

sumergido el 65% del cuerpo. Esto

significa que sobre él existe aplicado un

empuje equivalente al peso de un volumen

de agua equivalente a 0,65V (siendo V el

volumen del cuerpo). Este puede ser

expresado como en el ejercicio anterior,

como:

Pagua desalojada=Empuje=PeV=(1 3

gfcm

)(0,65V)

Por otra parte, si flota es porque está en

equilibrio, para lo que es necesario que el

peso del cuerpo sea igual al empuje. El

peso del cuerpo es:

Pcuerpo=PeV.

Debido a lo antes expuesto:

(0,65 V)gf=PeV

De donde:

Pe=0,65 3

gfcm

Ejercicio 8.9.- Una esfera

metálica pesa 1Kf en el aire y 880gf

sumergida en agua. Calcular su densidad

absoluta y relativa y su peso específico

absoluto y relativo.

Solución:

De acuerdo a lo encontrado en (15):

r1000 gfW = = = 8,3

E 1000 gf - 880 gfρ

La densidad relativa es numéricamente

igual que el peso específico relativo por lo

que este también vale 8,3.

La densidad absoluta será 8,3 3g

cm por

definición.

El peso específico absoluto se puede

encontrar con la expresión (3):

Pe=rg=(8,3 3g

cm)(980 2

cms

)

3DPe = 8 134

cm

Ejercicio 8.10.- Un objeto de masa

180 gramos y densidad desconocida (r1),

se pesa sumergido en agua obteniéndose

una medida de 150gf. Al pesarlo de

nuevo, sumergido en un líquido de

densidad desconocida (r2), se obtiene

144gf. Determinar la densidad del objeto

y del segundo líquido.

Solución:



Al pesarlo en agua se obtiene:

T1+E1-W1=0

Pues el peso debe ser equilibrado por la

suma de la tensión de la cuerda y el

empuje del fluido.

E1 W1

T1

En algunas ocasiones a la lectura del

instrumento, que aquí mide la tensión de

la cuerda (T1) se le denomina peso

aparente.

Al pesarlo en el otro líquido:

T2+E2-W2=0

Note que aumentó el empuje y disminuyó

la tensión en la cuerda. Entre ambos

equilibran el peso del cuerpo, que no ha

cambiado, pues es la fuerza con que la

tierra lo atrae (W1=W2).

Y según Arquímedes:

E1=r1gV

E2=r2gV

Donde V es el volumen del cuerpo.

Reemplazando en las ecuaciones

anteriores, se tiene:

T1+r1gV-W1=0

T2+r2gV-W2=0

De este sistema de ecuaciones se

obtiene:



( )1 2 22

1 1

W - T =

W - Tρ

ρ

Donde:

W1=W2=W=mg=(180g)(980 2cms

)

W=176400D

T1=150gf=150(980D)=147000D

T2=144gf=144(980D)=141120D

Reemplazando:

[ ]3

2

g1 176400 D 141120 Dcm

176400 D - 147000 D

−ρ =

2 3g1,2

cmρ =

La densidad del cuerpo es fácil de

obtener, puesto que es igual a cmV

.

El volumen V se puede obtener del

sistema de ecuaciones:

1 1

1

W - TV g

=ρ

Reemplazando:

3 2

176400 D - 147000 DV g cm1 980cm s

=⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=30cm3

Con lo que:

rc= 3180 g

30 cm=6,00 3

gcm

Ejercicio 8.11.- Un recipiente

contiene una capa de agua (r2 1,00 3g

cm),

sobre la que flota una capa de aceite, de

densidad r1=0,80 3g

cm. Un objeto

cilíndrico de densidad desconocida r cuya

área en la base es A y cuya altura es h, se

deja caer al recipiente, quedando a flote

finalmente cortando la superficie de

separación entre el aceite y el agua,

sumergido en esta última hasta la

profundidad de 2h3

como se indica en la

figura. Determinar la densidad del

objeto.

El cuerpo está parcialmente sumergido en

aceite y parcialmente sumergido en agua.

Esta siendo sujeto de la acción de tres

fuerzas: El peso, el empuje del

volumen de aceite desplazado por el



cuerpo y el empuje del volumen de agua

desplazado por el cuerpo.

Está en equilibrio por lo que las fuerzas

se anulan, por lo que:

E1+E2-W= 0

con: E1=r1gV=r1gAh

E2=r2gV=r2gAh

Reemplazando los datos:

r1gAh+r2gAh-rgAh=0

Dividiendo por gAh se tiene:

r1+r2-r=0

Resolviendo para r y reemplazando:

r=0,800 3g

cm+1,00 3

gcm

=0,933 3g

cm

Ejercicio 8.12.- Una esfera de

plomo llena de aire, con radio R=0,1m, se

encuentra totalmente sumergida en un

tanque de agua como se ve en la figura.

¿ Cuál es el espesor e de la capa de plomo,

si la esfera ni flota ni se hunde?. La

densidad del plomo es r=11,3x103 3

Kgm .

Solución:

Si está en equilibrio, las fuerzas que

participan deben anularse. Estas son el

peso de la esfera y el empuje del líquido.

El Peso de la esfera es W=mg=rplomoVg

donde el volumen de la capa de plomo se

calculará usando una aproximación, que

consiste en calcular la superficie de una

esfera de radio R, es decir 4pR2, y

multiplicarla por el espesor e de la capa

de plomo.

Entonces el volumen que necesitamos es:

V=4pR2e

Por tanto, el peso es:

W=(4pR2e)(rplomog)

Y el empuje es:

E=raguaVg=raguag(4p3R

3)

Pues es el peso del volumen de agua

desplazada correspondiente a una esfera

de radio igual al radio exterior de la capa

de plomo.



Igualando ambas expresiones:

(4pR2e)(rplomog)= raguag(4p3R

3)

e=ragua plomo

R3ρ

e= ( )3

3

33

Kg10 0,1 mm

Kg3 11,3x10m

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=0,003m

8.4 Fuerzas de presión sobre paredes verticales

Las fuerzas de presión que los fluidos

ejercen sobre paredes verticales son

horizontales pues sabemos que estas

fuerzas son perpendiculares a la

superficie.

Supongamos un recipiente de vidrio

transparente con forma de paralelepípedo

que contiene un fluido de densidad

constante.

En una de sus paredes se ha pintado una

superficie de negro para identificar una

lámina de vidrio sobre la cual el fluido

ejerce fuerzas de presión que son de

nuestro interés en este capítulo. A esta

lámina le denominaremos compuerta.

Sobre la cara interior existen las ya

mencionadas fuerzas de presión, además

de las fuerzas de presión atmosférica,

mientras en su cara exterior existen solo

fuerzas debidas a la atmósfera. Debido a

que las fuerzas de presión atmosférica

son iguales en magnitud y de sentidos

opuestos en cada punto de la lámina, se

anulan. De esta forma, la fuerza neta es

debida solo a las fuerzas del fluido

contenido en el recipiente.

Las fuerzas de presión que el fluido

ejerce sobre la cara a la que pertenece la

compuerta se muestran en la figura.

Aquí se observa que la fuerza va

aumentando linealmente en magnitud en

función de la profundidad proporcionando

un perfil de fuerzas de presión

distribuidas con forma geométrica de

cuña. Esto se debe a que hemos supuesto

constante la densidad del fluido.



Como las fuerzas son paralelas, resulta

conveniente calcular la fuerza resultante

en el centro de fuerzas, que aquí se

denominará centro de presión. Respecto

de ese punto, el torque neto de las

fuerzas distribuidas es nulo.

Para hacer esto, consideraremos un

elemento de área dA, ancho w y altura dy,

sobre el cual actúa una fuerza neta

equivalente a:

dF=pdA

pero dA=wdy

La presión p a la profundidad y a la que se

encuentra el elemento es p=rgy, por lo

que:

dF =(ρgy)wdy

Entonces se tiene sobre el elemento una

fuerza distribuida cuya magnitud por

unidad de longitud varía linealmente de la

forma:

dF wgydy

= ρ


estudiar la fuerza neta sobre la

compuerta.

Un corte transversal del perfil de

fuerzas distribuidas sobre la lámina y

sobre la compuerta se observa en las

figuras siguientes

y1

y2b

a

com

puer

ta

Como hemos visto, si la densidad del

fluido es constante y el ancho de la

compuerta (w) no varía con la

profundidad, entonces se tiene que la

magnitud de la fuerza perpendicular a la

compuerta cuando la profundidad del

fluido es y1 viene dada por la



expresión 11

dF wgydy

⎛ ⎞= ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠, que llamaremos

a, por comodidad. De igual manera, cuando

la profundidad sea y2 entonces la fuerza

por unidad de longitud sobre la

compuerta será:

22

dF wgydy

⎛ ⎞= ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠, que llamaremos b.

La fuerza resultante será entonces, el

área de la distribución de fuerzas

contenida en el trapecio de la figura

anterior, la que puede calcularse

fácilmente subdividiéndola en un triángulo

(A) y un rectángulo (B) como se indica en

la figura siguiente, donde:

( )( )A 2 11A y y b a2

= − −

( )B 2 1A y y a= −

(y2-y1)

a

B

b-a

A

Por tanto:

( )( )2 11F A a b y y2

= = + −

Reemplazando a y b:

( )( )

( )

1 2 2 1

2 22 1

1F wgy wgy y y21F wg y y2

= ρ + ρ −

= ρ −

y el punto de aplicación de esa fuerza, el

centro de presión, está ubicado en

YP=y1+yPF

donde yPF es el centro de presión del

trapecio, que coincide con su centroide,

por lo que se puede calcular con:

PA A PB BPF

A B

y A y AyA A

+=

+

yPA e yPB son los centros de presión del

triángulo y el rectángulo

respectivamente, que coinciden con sus

respectivos centroides:

( )PA 2 12y y y3

= −

( )PB 2 11y y y2

= −

Por tanto,

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 1 2 1 2 1 2 1

PF

2 1 2 1

2 1 1y y y y b a y y y y a3 2 2y 1 y y b a y y a

2

− − − + − −=

− − + −

( )( ) ( )PF 2 1a 2b1y y y

3 a b+

= −+



Reemplazando a y b en esta expresión, se

tiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

1 2PF 2 1

1 2

1 2PF 2 1

1 2

2 21 2 1 2 1 2

PF1 2

wgy 2 wgy1y y y3 wgy wgy

y 2y1y y y3 y y

y y y 2y 2y y1y3 y y

ρ + ρ= −

ρ + ρ

+= −

+

− + −=

+

Entonces el punto de aplicación de la

fuerza respecto de la superficie del

fluido será:

( )( )

( )( )

2 21 2 1 2 1 2

P 11 2

2 21 1 2 2

P1 2

y y y 2y 2y y1y y3 y y

y y y y2y3 y y

− + −= +

+

+ +=

+

Note que si y1=0 e y2=h entonces:

P2y h3

=

Si sabe cálculo es más fácil, puesto que:

dF=pdA

Con p=ρgy pues la densidad es constante,

y dA= wdy, pues el ancho w de la

compuerta es constante, por tanto:

dF=(ρgy)wdy

De donde:

( )

y

y

y

y

dF gwydy

yF gw

gwF y y

2

1

2

1

2

2 22 1

2

2

= ρ

⎡ ⎤= ρ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ρ

= −

∫ ∫

El centroide se calcula con:

( )P

ydF y gwydyy

dF dF

ρ= =∫ ∫

∫ ∫

( )

y

yP

gw y dyy

gw y y

2

1

2

2 22 1

12

ρ=

ρ −

∫

( )

2

1

y 2y

P2 2

2 1

gw y dyy 1 gw y y

2

ρ=

ρ −

∫

( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )

2

1

y3

yP 2 2

2 1

3 32 1

P 2 22 1

2 22 1 2 1 2 1

P2 1 2 1

2 22 1 2 1

P2 1

y3

y 2y y

y y2y3 y y

y y y y y y2y3 y y y y

y y y y2y3 y y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=−

−=

−

− + +=

− +

+ +=

+

Ejemplo:

Encontrar la fuerza resultante sobre la

pared de la represa de la figura si el

fluido es agua, y el ancho es 50m.



Solución:

El perfil de fuerzas es el siguiente:

Entonces, como:

( )2 22 1

1F wg y y2

= ρ −

( ) ( )233 2

6

Kg1 mF 10 50m 10 6m2 m s

F 9x10 N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠=

El centro de presiones está en:

( )( )

2 21 1 2 2

P1 2

y y y y2y3 y y

+ +=

+

P 22 2y y 6m 4m3 3

= = =

Ejemplo:

Encontrar la fuerza resultante sobre la

pared de la compuerta de la figura si el

fluido es agua, y el ancho es 1m.

Solución:


Entonces, como:

( )2 22 1

1F wg y y2

= ρ −

( ) ( ) ( )2 233 2

4

Kg1 mF 10 1m 10 3,2m 1,2m2 m s

F 4,4x10 N

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠=

y su punto de aplicación será:

( )( )

2 21 1 2 2

P1 2

y y y y2y3 y y

+ +=

+



( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2

P

P

1,2m 1,2m 3,2m 3,2m2y3 1,2m 3,2m

y 2,35m

+ +=

+

=

8.4.1 Fuerzas de presión sobre paredes rectangulares inclinadas.

Consideremos ahora un recipiente con una

pared inclinada un ángulo θ respecto de la

vertical, conteniendo un líquido de

densidad constante como se muestra en

la figura.

Calculemos le fuerza neta sobre una

compuerta ubicada en la pared inclinada y

su centro de presión.

La compuerta está ubicada entre s1 y s2

medidos a lo largo de la pared inclinada, a

partir de la superficie del líquido.

Observe el perfil de las fuerzas de

presión sobre la compuerta y a las alturas

y1 e y2 a las que se encuentran sus

extremos superior e inferior.

Este perfil de fuerzas de presión es

equivalente al perfil de fuerzas que se

tendría sobre una pared vertical como en

el ejemplo de la sección anterior entre

las profundidades y1=s1cosθ e y2=s2cosθ.

Esto se debe a que las fuerzas de presión

dependen solo de la profundidad, como

hemos explicado anteriormente.

Las fuerzas por unidad de longitud (la

compuerta tiene un ancho constante de

magnitud w), vienen dadas por:

a= ρwgy1= ρwgs1cosθ

b= ρwgy2= ρwgs2cosθ

(s2-s1)

a

B

b-a

A

Entonces se tiene que:



( )( )AA s s b a2 112

= − −

( )BA s s a2 1= −

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

A

A

A

A s s b a s s a

A s s b a a

A s s b a

2 1 2 1

2 1

2 1

12

1212

= − − + −

⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Entonces:

( ) ( )F s s wgs wgs2 1 2 11 cos cos2

⎡ ⎤= − ρ θ + ρ θ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )F wg s s s s2 1 2 11 cos2

= ρ θ − +

( )F wg s s2 22 1

1 cos2

= ρ − θ

( )F wg s s2 22 1

1 cos2

= ρ − θ

y su punto de aplicación donde el torque

es nulo, respecto de la superficie del

fluido es:

( )( )P

y y y yy

y y

2 21 1 2 2

1 2

23

+ +=

+

por igual explicación que para paredes

verticales, lo que en función de la pared

inclinada queda como:

( )( )P

s s s sS

s s

2 21 1 2 2

1 2

23

+ +=

+

Note que si θ=0º entonces s1=y1, s2=y2,

sP=yP, obteniéndose igual resultado que en

el caso de paredes verticales.

De nuevo, si sabe cálculo, es más fácil:

Consideremos un elemento de área

dA=wds a lo largo de la compuerta,

entonces:

dF=pdA

dF=(ρgy)wds

con y=scosθ, por lo que:

dF=ρg(scosθ)wds

s

s

s

s

F gw sds

sF gw

2

1

2

1

2

cos

cos2

= ρ θ

⎡ ⎤= ρ θ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫

( )F wg s s2 22 1

1 cos2

= ρ − θ



Ejemplo:

La represa de la figura tiene un ancho de

30m. Determine la fuerza neta sobre ella,

si el fluido es agua.

Solución:


Entonces:

( )F wg s s2 22 1

1 cos2

= ρ − θ

con S1=0m y ys 2

2 cos=

θ

( )yF wg

221

2 cos= ρ

θ

( ) ( )mKg mF mm s

23

3 2

101 10 30 102 0,87

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )mKg mF mm s

F x N

23

3 2

6

101 10 30 102 0,8717,24 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Su punto de aplicación es:

( )( )P

s s s ss

s s

2 21 1 2 2

1 2

23

+ +=

+

P

yy

sy

22

22

2

2

cos2 23 3 cos

cos

⎛ ⎞⎜ ⎟θ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = ⎜ ⎟θ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟θ⎝ ⎠

Pms m2 10 7,66

3 0,87⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo: Hallar la fuerza neta sobre la

compuerta de la figura si el líquido es

agua (densidad Kgm

3310 ) y el centro de

presiones.



Solución:

La fuerza neta viene dada por:

( )F wg s s2 22 1

1 cos2

= ρ − θ

( ) ( )Kg mF m m mm s

3 2 2 2 23 2

1 10 2 9,8 9 5 0,712

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

N3F=389,6x10

El centro de presiones viene dado por:

( )( )P

s s s ss

s s

2 21 1 2 2

1 2

23

+ +=

+

( )( )( )( )P

m m m ms

m m

2 2 2 25 5 9 923 5 9

+ +=

+

Ps m7,18=

Note que

( ) ( )P Py s m mcos 7,18 0,71 5,10= θ = =

Recuerde que la fuerza de presión

atmosférica no influye pues en cada

punto está actuando sobre las paredes

interna y externa de la compuerta,

anulándose.

Ejemplo:

El recipiente de la figura contiene agua.

El ancho de la compuerta rectangular es

de 4m.

Calcule la fuerza que el agua ejerce sobre

ella, el punto donde está aplicada y el

módulo del torque que ejerce sobre el

punto A.



10m

7,5m

5m

A θ

Solución:

El perfil de fuerzas de presión es el

siguiente:

L=10m

A

y0=0m

y1=7,5m

y2=12,5mθ

en este problema la presión varía según

p= ρgy+ρgssenθ, por tanto ahora se tiene

que la fuerza por unidad de longitud es:

dF a wgydy 1

1

⎛ ⎞= = ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pues allí, s=0

dF b wgy wgLsendy 1

2

⎛ ⎞= = ρ + ρ θ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pues allí s=L

Entonces, como la fuerza neta es el área

del respectivo trapecio:

L

a

B

b-a

A

( )

( )

A BF A A b a L La

F b a L

12

12

= + = − +

= +

( )F gwy gwLsen gwy L1 112

= ρ + ρ θ + ρ

( )F gwL y Lsen11 22

= ρ + θ

con Lsenθ=5m

( )( ) ( )Kg mF m m m mm s

33

1 10 10 4 10 2 7,5 52

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠

F=4x106N

Para calcular el punto de aplicación,

recordamos que:

PA A PB BPF

A B

s A s AsA A

+=

+

Con : PAs L23

= ; PBs L12

=

Entonces:

( ) ( )

( ) ( )PF

L b a L L Las

b a L La

2 1 13 2 2

12

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠



( )( )PF

b as L

b a21

3+

=+

( )( )PF

wgy wgLsen wgys L

wgy wgLsen wgy1 1

1 1

2 213

ρ + ρ θ + ρ=

ρ + ρ θ + ρ

( )( )PF

y Lsens L

y Lsen1

1

3 213 2

+ θ=

+ θ

[ ]( ) ( )( ) ( )PF

PF

m ms m

m m

s m

3 7,5 2 51103 2 7,5 5

5,42

⎡ ⎤+⎣ ⎦=⎡ ⎤+⎣ ⎦

=

En consecuencia dA=10m-5,42m=4,58m

sP

FA

dA

La magnitud del torque que F realiza

sobre el punto A es entonces:

( )( )( )

AFd

x N m

x Nm

6

6

4 10 4,58

18,32 10

τ =

τ =

τ =

27/01/2004 Jorge Lay Gajardo [email protected] 345

9.1 Hidrodinámica

9.1.1 Definiciones previas:

Trabajaremos ahora con fluidos en

movimiento. Recordemos que estamos

considerando fluidos incompresibles, y

por tanto con densidad constante. Por

constituir esta la primera aproximación a

estos fenómenos, restringiremos además

el estudio al caso de un número de

fenómenos que quedan relativamente bien

explicados con solo un número limitado de

variables, tales como la presión, la

densidad y la temperatura. En el caso de

los gases, por ser compresibles, solo

trataremos aquellos fenómenos en los que

la compresibilidad no juega ningún papel.

Además, trabajaremos con flujos

estables o estacionarios (en ellos, la

velocidad y la presión no dependen del

tiempo), laminares (no turbulentos, con

líneas de flujo bien definidas y que no se

cruzan entre si), irrotacionales (no tienen

líneas de flujo que se cierran sobre si

mismas, como en los remolinos por

ejemplo), y no viscosos (la viscosidad es

en términos simples, la resistencia al

movimiento entre las capas del fluido). Al

final de este escrito, se trataran

brevemente algunos de los aspectos más

sencillos relacionados con la viscosidad y

la turbulencia.

Esta última restricción (no viscoso),

permitirá usar la expresión de la

conservación de la energía, puesto que no

habrá energía disipada por roce.

Nuevamente, observaremos aquí que el

estudio de los fluidos, esta vez en

movimiento, puede hacerse mediante la

aplicación sencilla de los principios que

estudiamos en la Mecánica.

Se estudiará a un elemento de fluido

(pequeña porción de fluido, cuyo

movimiento seguiremos), que describe una

línea bien definida que denominaremos

línea de flujo. En un régimen estable,

cada elemento que pasa por un punto

determinado, sigue la misma línea de flujo

(sinónimo de línea de corriente en



régimen estable), que sus antecesoras.

Además, en ese tipo de régimen, se tiene

que en cada punto la velocidad es

constante, pero puede variar entre un

punto y otro.

Consideremos un haz de líneas de flujo

adyacentes en un fluido en movimiento

con régimen laminar. Forman un tubo de

flujo, de sección transversal no

necesariamente uniforme. No existe flujo

de fluido a través de este tubo pues las

líneas no se pueden cruzar.

Fig 9.1 Tubo de flujo laminar

En cada punto, la velocidad es tangente a

la línea de corriente. Cuando cada punto

del espacio define de esta manera un

vector velocidad constante, se dice que el

movimiento está especificado por un

campo de vectores velocidad.

Fig 9.2 Campo de velocidades

El comportamiento del fluido en el tubo

debe ser compatible con las leyes

fundamentales del movimiento como son

los principios de la conservación de la

masa, la cantidad de movimiento y de la

energía, que exigen el cumplimiento de

algunas condiciones al campo de

velocidades, las que estudiaremos a

continuación.

9.2 Ecuación de continuidad.

Es una expresión matemática que es

consecuencia del principio de

conservación de la masa. En términos

simples, en un tubo de fluido como el

enunciado anteriormente, por unidad de

tiempo ingresa a él la misma cantidad de

fluido que sale de él por el otro extremo.

Fig 9.3 Fluido que entra y sale del tubo es igual en el mismo tiempo.

En la figura anterior se observa a un

elemento de masa dm, ingresando al tubo



de flujo de sección A1 con una velocidad

v1, recorriendo en dt segundos, una

distancia infinitesimal dx1 ; este elemento

de masa tiene un volumen dv y una

densidad ρ1. En igual tiempo, según el

principio de conservación de la masa,

debió salir por el otro extremo del tubo,

una masa igual de fluido dm. Sin

embargo, como la sección es distinta allí,

A2, se moverá con velocidad distinta v2,

recorriendo la distancia infinitesimal dx2 ;

este elemento tiene un volumen dv igual al

anterior, y densidad ρ2 igual a la anterior

por ser el fluido incompresible.

En otros términos, entra al tubo una

masa:

dm=ρ1dv=ρ1A1(dx1)=ρ1A1(v1dt)

Y sale en el mismo tiempo, una masa :

dm=ρ2 dv=ρ2A2(dx2)=ρ2 A2(v2 dt)

Igualándolos, se tiene

ρ1A1v1 dt=ρ2A2v2 dt,

Con ρ1=ρ2, por lo tanto :

A1v1=A2v2 (18)

Esta expresión denominada ecuación de

continuidad, muestra que a lo largo del

tubo de flujo, el producto entre la

sección y la velocidad es constante. En

otras palabras, en las partes en que se

estrecha la sección, la velocidad debe

aumentar para permitir el cumplimiento

del principio de la conservación de la

masa.

A la cantidad Av también se le denomina

flujo, gasto o caudal (Q).

Note que se puede escribir como:

Q= =dx dVAdt dt

Es decir el gasto es el volumen por unidad

de tiempo que pasa a través de un área

del tubo de flujo.

9.3 Ecuación de Bernouilli.

Esta ecuación es consecuencia del

teorema del trabajo y la energía. En

términos simples, el trabajo neto

realizado sobre el fluido en el tubo de

flujo es equivalente al cambio de su

energía cinética.

Usaremos el tubo de flujo de la figura

siguiente para calcular estas cantidades.

Sobre el fluido actúan dos fuerzas

debidas a las presiones P1 y P2 ; una



fuerza sobre el elemento inferior debida

a P1 que es de magnitud :

F1=P1A1

y una fuerza sobre el elemento superior

debida a P2 que es de magnitud :

F2=P2A2

Fig 9.4 La energía se conserva.

El trabajo realizado por F1 será entonces:

dW1=F1dx1cos0°=P1A1dx1=P1dv

Y el realizado por F2 será:

dW2= F2dx2cos180°

dW2=P2A2dx2 (-1)=-P2dv.

En consecuencia, el trabajo que las

fuerzas debidas a las presiones sobre el

fluido han realizado es:

dWF=(P1-P2)dv (19)

Las fuerzas gravitacionales también

realizan trabajo sobre el elemento. El

elemento de fluido de masa dm=ρdv (por

tanto de peso =ρdv g ), es elevado desde

la altura Y1 hasta la altura Y2 por lo

que el trabajo hecho por la fuerza

gravitacional es:

dWg=(ρdvg)(Y2-Y1)(cos180°)

dWg=-ρdvg(Y2-Y1)

Lo que puesto de otra forma :

dWg=-ρdvg(Y2-Y1) (20)

Este trabajo es equivalente al cambio en

la energía potencial del elemento de

fluido.

El cambio en la energía cinética del

elemento de fluido es la diferencia entre

la energía cinética del elemento en la

parte superior y la energía cinética del

elemento en la parte inferior, puesto que

el resto del fluido no cambia su velocidad.

Es decir:

dK=½dm(v22-v1

2)

dK=½ρdv(v22-v1

2) (21)

Finalmente, recordando el teorema del

trabajo y la energía se tiene:



dWF+dWg=dK

Reemplazando (19) , (20) y (21) :

(P1-P2)dv-ρdvg(Y2-Y1)=½ρdv(v22-v1

2)

Dividiendo por dv y reordenando esta

expresión, tenemos :

P1+ρgY1+½ρv12=P2+ρgY2+½ρv2

2 (22)

Conocida como la ecuación de Bernouilli.

Note que si la velocidad es cero (fluido en

equilibrio), tenemos la ec. Fundamental de

la hidrostática.

9.3.1 Efecto Venturi.

Supongamos que tenemos un flujo en el

cual no hay diferencias significativas de

energía potencial del fluido en

movimiento. Entonces en la ecuación de

Bernouilli se puede considerar Y1 = Y2 = 0,

con lo que queda:

P1+½ρv12=P2+½ρv2

2

De donde:

P1-P2=½ρ(v22-v1

2) (23)

En esta expresión, si V1 es mayor que v2,

entonces (v22-v1

2) también lo es. En

consecuencia (P1-P2) es negativo, lo que a

su vez, es posible solo si P2 es mayor que

P1.

En términos simples, donde la velocidad

sea mayor, la presión es menor. A este

fenómeno se le conoce con el nombre de

efecto Venturi.

Este efecto se aprecia con gran facilidad

al soplar entre dos hojas de papel

separadas unos cuantos centímetros. La

velocidad del aire entre las hojas será

mayor que en las caras externas y por

tanto la presión en las caras externas

será mayor, uniéndolas.

El mismo efecto se observa cuando se

sopla por la cara superior de una hoja

dispuesta horizontalmente, levantándola;

a su vez, este ejemplo explica los techos

arrancados de las casas con puertas y

ventanas bien cerradas en un día de

viento de gran intensidad.

Otro ejemplo interesante lo constituye

una pelota golpeada de manera que se

roto traslade como se observa en la

figura, que representa una mirada desde

arriba.



lado 1

lado 2

vi

vS

vv

Fig 9.5 Pelota roto trasladándose.

La pelota se mueve hacia la derecha

girando en sentido contrario a las

manecillas del reloj. El movimiento de

rotación arrastra a una porción de aire en

las cercanías de la pelota, el que forma

una capa rotatoria que adquiere una

velocidad cuyas direcciones están

indicadas con vs y vi. El movimiento de

traslación en cambio, produce una

corriente de aire viajando hacia la

izquierda con una velocidad vV.

Se ve con claridad aquí, que la velocidad

será mayor en el lado 1 (vV+vs), que en el

lado 2 (vV–vi), y por tanto la presión será

mayor en el lado 2, produciendo una curva

en la trayectoria de la pelota, con radio

de curvatura hacia el lado 1.

Una aplicación interesante del efecto

Venturi, lo constituye el denominado Tubo

de Venturi, que permite medir la

velocidad con que se mueve un fluido en

un tubo.

9.3.2 Tubo de Venturi.

En la figura se observa un esquema de uno

de estos instrumentos, consistente en un

tubo en U que contiene un fluido, el que

se conecta a dos segmentos de secciones

distintas de un tubo por el que circula

otro fluido, cuya velocidad se desea

medir.

P1

v1

A1A2

v2

P2

h

y1

y2

Fig 9.6 Tubo de Venturi.

El fluido circula por el tubo horizontal,

que contiene un estrechamiento, de

manera tal que el área de la sección

cambia desde A1 hasta A2 (disminuyendo).

Esto provoca que la velocidad del fluido

que transporta, también cambie desde v1

hasta v2 (aumentando).



Si el fluido es incompresible y el régimen

es estable, entonces puede aplicarse la

ecuación (18):

A1v1=A2v2.

También debe cumplirse la ecuación de

Bernouilli en la forma que predice

Venturi, puesto que aquí se puede

considerar que los efectos

gravitacionales son despreciables, de

forma tal que según (23) :

P1-P2=½ρ(v22-v1

2)

Si tomamos el valor de v2 en la ecuación

(18), y lo reemplazamos en la ecuación

(23), tenemos :

P1-P2=½ρ[A12

212

1

vA

-v12]

P1- P2=½ρv12 [

212

2

AA

-1]

De donde:

v12 = [ ]−

⎡ ⎤ρ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 22

12

2

2 P PA 1A

Por otra parte,

[P1-P2]=ρmercuriogh

Según lo discutido anteriormente.

Es decir:

v12 = ρ

⎡ ⎤ρ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

mercurio2

12

2

2 ghA 1A

(24)

Expresión que permite calcular la

velocidad con que se mueve un fluido en

un tubo.

9.3.3 Medición de la presión de un

fluido en movimiento:

Un manómetro también puede usarse para

calcular la presión de un fluido en

movimiento en un tubo cerrado. El

manómetro de tubo abierto puede

conectarse a una pared del tubo, como se

indica en la figura:

Fig 9.7 Medición de la presión dinámica.

Como ya lo hemos explicado

anteriormente, en el manómetro se tiene

la relación:



P0- P=ρmercuriogh

De donde:

P=P0-ρmercuriogh

Aquí, P es la presión en el fluido del tubo,

P0 es la presión atmosférica y ρ es la

densidad del fluido del manómetro, en

este caso mercurio.

9.3.4 Tubo de Prandtl (Pitot).

Básicamente es un manómetro que

permite medir velocidades de flujos de

fluidos. En la figura se puede observar un

esquema de él: Uno de los brazos está

inserto en el flujo de manera tal que a

través de una pequeña perforación

produce que la velocidad en ella sea

prácticamente nula. El otro brazo tiene

una perforación de manera tal que allí, la

velocidad es igual a la del flujo (v).

Fig 9.8 Tubo de Pitot.

Aplicando Bernouilli, se tiene :

P2-P1 = ½ρv2

Puesto que los efectos gravitacionales

son nulos.

La lectura del manómetro es h, que

permite calcular la presión manométrica:

P2-P1=ρmercuriogh

por tanto :

v2 = ρρ

mercurio2 gh (25)

A bordo de un avión permite calcular la

velocidad de este respecto del aire.

9.3.5 Velocidad de salida de un

estanque.

Consideremos el estanque de la figura, al

que se le ha abierto un orificio pequeño

en un costado:

h

P0

1

2

P0

Fig 9.9 Velocidad de salida a lo largo de una línea de flujo



El tanque está lleno de agua, y el orificio

está a la profundidad h. El orificio es

suficientemente grande para que no

existan fenómenos de capilaridad.

Aplicaremos la ecuación de Bernouilli a los

puntos 1 y 2 indicados en la figura: la

superficie del fluido y el orificio.

P1+½ρv12+ρgy1=P2+½ρv2

2+ρgy2

La velocidad con que sale el líquido en el

orificio respecto de la velocidad con que

baja el líquido en el estanque está

relacionada por la ecuación de continuidad

(18). En consecuencia, si el área del

recipiente es suficientemente grande

respecto del diámetro del orificio,

podemos suponer que la velocidad con que

baja el líquido en el recipiente es

suficientemente pequeña como para

considerarla nula. Por otro lado, en

ambos puntos la presión es la

atmosférica, puesto que son puntos

abiertos. Finalmente, si la referencia es

tomada a partir del orificio, entonces

y1=h e y2=0.

Entonces:

P0+½ρ(0)+ρgh=P0+½ρv22+ρg(0)

De donde:

v22=2gh (26)

Esta ecuación, conocida como ecuación de

Torricelli establece que el movimiento de

un elemento de un fluido en una línea de

flujo en régimen laminar se comporta de

igual manera que una partícula cayendo

libremente bajo la influencia de la fuerza

de atracción gravitacional. Este

resultado no debiera sorprendernos,

puesto que ambas ecuaciones son el

resultado de aplicar el principio de

conservación de la energía mecánica.

Una observación interesante es que una

vez conocida la velocidad con que sale el

chorro de fluido del recipiente, la

ecuación (18) permite calcular el gasto o

caudal teóricos (Q), simplemente

multiplicando dicha velocidad por el área

del orificio. Esta cantidad a veces es

denominada rapidez de salida.

Q=A v (27)

En aproximaciones prácticas algo

mejores, se considera que el caudal real

en realidad se calcula con la expresión:

QR=cAv (28)



Donde c es una constante denominada

coeficiente de descarga, que depende de

la altura del líquido en el recipiente, de la

forma del orificio, de su diámetro y de la

naturaleza del líquido.

Como valor promedio se toma 0,62 para

orificios circulares (en recipientes de

paredes delgadas), con diámetros de

aproximadamente 10mm.

9.3.6 Sifones.

Los sifones son aparatos que permiten

trasvasijar líquidos, es decir, pasarlos

desde un recipiente a otro, donde el nivel

es más bajo, sin mover los recipientes.

Básicamente es un tubo doblado que

penetra una de sus extremidades (A) en

el primer recipiente, quedando la otra

libre o sumergida en el segundo

recipiente (ver figura 9.10).

Fig 9.10 Sifón.

Para que el aparato funciones es preciso

cebarla, operación que consiste en

llenarla del líquido en cuestión. Al

introducir entonces una de las ramas (A),

en el vaso más alto, y abrir los dos

extremos, el líquido sale por B, siempre

que esta extremidad esté más baja que el

nivel del líquido en el recipiente superior.

Para dar una teoría sencilla supongamos el

sifón cebado y consideremos la sección

más alta S del líquido contenido en él. Sea

H la presión atmosférica expresada en

altura de la columna del líquido que llena

el sifón, h la distancia vertical de la

sección S a la superficie libre en el vaso

superior y h1 la distancia vertical de S al

orificio de salida B.

La presión en S de izquierda a derecha es

H-h, y como en B también actúa la presión

atmosférica que puede suponerse igual a

H, la presión en S de derecha a izquierda

es H - h1.

La presión resultante en S actúa de

derecha a izquierda, y vale:

H-h-[H-h1]=h1-h



y si h1 es mayor que h, la superficie S

tiende a moverse a lo largo del tubo según

indica la flecha f en el dibujo. La

velocidad de salida crece evidentemente

con la presión h1 - h que actúa en S.

En este razonamiento se supone que las

presiones se reducen a columnas de un

mismo líquido.

9.4 Fluidos reales:

Como enunciáramos al inicio de este

escrito, muchas de las restricciones que

hemos considerado, son necesarias para

encontrar los principales modelos que

rigen el comportamiento de los fluidos en

movimiento. Sin embargo, en muchos

casos es necesario abandonar estas

simplificaciones, porque proporcionan

aproximaciones pobres al comportamiento

de los fluidos reales.

Por cierto, sin querer entrar en terrenos

de la ingeniería, podemos aproximarnos a

aproximaciones un poco mejores

considerando dos situaciones: primero, el

hecho de que un elemento de fluido

encuentra resistencia a desplazarse en el

interior del tubo de flujo, fenómeno que

describiremos con el nombre de

viscosidad; y segundo, el hecho de que se

puede determinar hasta que punto un

fluido se comporta de manera laminar, a

través de un coeficiente sencillo

denominado número de Reynolds.

9.4.1 Viscosidad:

Una manera sencilla de entenderla es

suponer un tubo de fluido, compuesto de

tal manera que asemeja una resma de

hojas de papel. Hasta ahora hemos

supuesto que se mueven con igual

velocidad, como se observa en el dibujo

siguiente:

V

Fig 9.11 Modelo de un fluido ideal.

Este modelo puede ser mejorado

considerando que en un fluido real, las

hojas en contacto con las paredes del

tubo tendrán la velocidad de estas, y

luego, las restantes tendrán también

distintas velocidades, considerando el

roce entre ellas (viscosidad). El



comportamiento de los vectores velocidad

en este caso, se representa en el dibujo

siguiente (flujo de Poiseuille).

V

Fig 9.12 Modelo de un fluido real viscoso.

Otra forma de apreciar este fenómeno es

suponer que cada hoja es una columna de

personas caminando. Si cada hoja viaja a

velocidad distinta, pero hay personas que

se cambian a otras hojas, se tendrá que

aquellas que se cambian a columnas de

velocidad menor, provocarán un aumento

de la velocidad promedio de esta última;

en contrario, si una persona se cambia a

una columna que tiene velocidad mayor, le

provocará una disminución de su velocidad

promedio. Este es el mecanismo básico

de la viscosidad.

El ejemplo más sencillo para estudiar el

fenómeno de la viscosidad lo constituyen

dos placas paralelas entre las que se

dispone un fluido viscoso. La placa

superior está moviéndose respecto de la

inferior, que mantendremos en reposo

(ver figura 9.13).

V

Fig 9.13 Fluido viscoso.

La placa superior está moviéndose

con velocidad constante y la inferior está

en reposo. Se muestra que si el fluido

está en contacto con estas paredes, se

mueve con igual velocidad que ellas.

Las rapideces de las capas intermedias

aumentan uniformemente de una

superficie a otra como indican las

flechas, a partir de la superficie en

reposo.

Este es otra forma de ver nuestro flujo

laminar. Observamos que esta acción

deformará cada vez más el fluido por

cizalladura.

Supondremos que el área de la placa

inferior es A y está separada de la otra

por una distancia y. Por otro lado, si

queremos mantener a la placa superior

moviéndose a una velocidad constante V



se le debe aplicar una fuerza para

compensar el roce, del mismo modo que lo

hacíamos con los rígidos en la mecánica.

Experimentalmente, se encuentra que esa

fuerza es directamente proporcional al

área de la placa que se mueve.

También se encuentra que aumenta

proporcionalmente con la velocidad y que

es inversamente proporcional a y. Lo

anterior se puede expresar en forma

matemática como:

η=

vAFy

(29)

Si la separación entre las placas es

grande, la velocidad cambia a través del

perfil del flujo laminar y se tiene

= ηdvF Ady

(30)

donde η es una constante de

proporcionalidad denominada coeficiente

de viscosidad, o simplemente viscosidad.

Las unidades de η en el S.I. son Ns/m2 o

lo que es lo mismo, Pa s, que se denomina

Poseuille (PI) en honor al francés Jean

Poiseuille (1799-1869) y a su trabajo con

la dinámica de fluidos, especialmente de

la sangre. En el sistema CGS la unidad es

Dina s/cm2 que se denomina poise (P).

como es una unidad muy grande, se

acostumbra usar el centipoise (cP), una

centésima parte de un Poise.

Respecto de los lubricantes comerciales

para motores, existe una indicación de

grados SAE (Society of Automotive

Engineers) basados en la viscosidad. En

invierno se usa aceite de viscosidad baja

SAE 10W; en cambio en verano es

necesario un aceite más viscoso SAE30 o

superior. También existen aceites

multigrado por ejemplo el SAE10-40, que

contienen otras sustancias (polímeros)

permitiéndoles mantener una viscosidad

constante.

Algunos valores del coeficiente de

viscosidad se observan en la siguiente

tabla, en donde se resalta su variación

con la temperatura.

Fluido η (Pa s)x10-3 T (ºC) Agua 1,8 0 Agua 1,0 20 Agua 0,3 100 Glicerina 830 20 Hidrógeno 0,009 0 Aceite de motor 250 30 Aire 0,0018 20 Mercurio 1,55 20 Alcohol etílico 1,2 20 Oxígeno 2,2 20 Plasma sanguíneo 2,5 20

Note que de (29) se obtiene



η =

FAvy

(31)

Por lo que la unidad de viscosidad en el

S.I. es:

−

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

1 2

NNsm

ms mm

Aunque la unidad más conocida es:

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦2dina scm

, denominada Poise.

De lo anterior:

1poise=1[dina s cm-2]=10-1 [Nsm-2].

La cantidad [F/A] es denominada

esfuerzo cortante, y la cantidad [v/y] es

denominada variación de la deformación.

En líquidos que fluyen fácilmente, como el

agua o el petróleo, el esfuerzo cortante

es relativamente pequeño para una

deformación dada, lo mismo que la

viscosidad. Para líquidos como la melaza

o glicerina, se necesita un esfuerzo

cortante mayor para la misma variación

de la deformación, y por tanto su

viscosidad será mayor.

Los fluidos que se comportan según la

ecuación (29), se denominan Newtonianos.

9.4.2 Número de Reynolds:

Existe una velocidad crítica, después de

la cual el fluido deja de comportarse en

forma laminar. Entonces se observa que

solo las líneas de flujo muy cercanas a las

paredes, que forman una capa denominada

capa límite, conservan las propiedades de

flujo laminar. Más allá de la capa límite el

movimiento es muy irregular, cesa el

sentido de líneas separadas nítidamente.

En el interior del fluido se originan

corrientes circulares aleatorias locales,

denominadas vórtices, que dan lugar a un

gran aumento de la resistencia al

movimiento. Un flujo así, se denomina

turbulento.

Existe un parámetro asociado a la

turbulencia, denominado Número de

Reynolds, que matemáticamente está

expresado por:

ρ=

ηRN vL (32)

Donde v es la velocidad del fluido, ρ es su

densidad, η es su viscosidad y L es una

longitud asociada al flujo como por



ejemplo, el diámetro del tubo, cuando el

flujo es un tubo. Es un número

adimensional y tiene el mismo valor

numérico para cualquier sistema

coherente de unidades.

Cuando el número de Reynolds es inferior

a 2000 el flujo es laminar; sobre los 3000

es turbulento; entre esas cantidades es

inestable y pasa de un régimen a otro con

facilidad.

Para tener una idea, considérese que, en

el caso del agua que pasa por un tubo de 1

cm de diámetro el número de Reynolds es

de 104v, de modo que el flujo se hace

turbulento cuando solo es de 0,3m/s.

Afortunadamente, un poco de turbulencia

no cambia mucho los valores predichos

por la ecuación de Bernouilli, de la misma

forma que un poco de viscosidad no

cambia la conservación de la energía para

períodos cortos de tiempo, de modo que

pueden seguirse aplicando las ecuaciones

aquí vistas, sin grandes errores de

aproximación.

Ejemplo 9.1

Considérese una manguera de sección

circular de diámetro interior de 2,0 cm,

por la que fluye agua a una tasa de 0,25

litros por cada segundo. ¿ Cuál es la

velocidad del agua en la manguera?. El

orificio de la boquilla de la manguera es

de 1,0 cm de diámetro interior.

¿Cuál es la velocidad de salida del agua?

Solución:

Disponemos del flujo de agua que circula

por la manguera que es de 0,25Lt/s, de

tal manera que según la ec (27):

G=Av

Por lo que :

( )

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

33

m 2 2

cm0,25x10sG cmv 79,6

A s3,14x1 cm

Ahora, la ecuación (18) permite calcular la

velocidad de salida del agua por la

boquilla, puesto que el flujo que pasa por

la manguera es el mismo que pasa por la

boquilla.

Es decir, se debe cumplir la relación:

Amvm = Abvb



De donde se tiene:

= =

= =

m mb

b b3

3

b 2 2

A V GvA A

cm0,25x10 cmsv 316,53,14x0,5 cm s

Este ejemplo es interesante, puesto que

muestra el mecanismo mediante el cual al

disminuir el diámetro de la boquilla, se

logra que el agua salga con una velocidad

que permite regar a distancias

convenientes. Note que ha disminuido el

diámetro a la mitad, sin embargo la

velocidad ha aumentado 4 veces, debido a

la relación cuadrática de las áreas.

Ejemplo 9.2

Por una tubería inclinada circula agua a

razón de 9 m3/min, como se muestra en la

figura: En a el diámetro es 30 cm y la

presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la

presión en el punto b sabiendo que el

diámetro es de 15 cm y que el centro de

la tubería se halla 50cm más bajo que en

a?

Solución:

Entre los puntos a y b se puede usar la

ecuación de continuidad, de manera tal

que:

AAvA=AB vB=G

De donde se pueden calcular las

velocidades en a y en b :

= = = =

3

A 2 2A

9mG m cm60sv 2,14 214A 3,14x0,15 m s s

= = = =

3

B 2 2B

9mG m cm60sv 8,33 833A 3,14x0,075 m s s

También se puede ocupar la ecuación de

Bernouilli para relacionar ambos puntos,

de la que se puede calcular la presión en

b:

PA+ρghA+½ ρvA2=PB+ρghB+½ ρvB

2

PB=PA+ρg[hA-hB]+½ρ[v2-vB2]



( )

6B 2 3 2

2

3 2

B 2

gDinas cmP 10 1 980 50cmcm cm s

g1 cm1 45796 6938892 cm s

DinasP 724953,5cm

= + +

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

Ejemplo 9.3

Un tubo que conduce un fluido

incompresible cuya densidad es

1,30X103Kg/m3 es horizontal en h0=0m.

Para evitar un obstáculo, el tubo se debe

doblar hacia arriba, hasta alcanzar una

altura de h1=1,00m. El tubo tiene área

transversal constante. Si la presión en la

sección inferior es P0=1,50atm. Calcule la

presión P1 en la parte superior.

Solución:

Según lo que predice la ecuación de

continuidad, al tener área transversal

constante, no debe cambiar la velocidad

del fluido en su interior, por tanto:

v0=v1=v

En consecuencia, aplicando la ecuación de

Bernouilli a puntos en la parte superior y

la parte inferior, se tiene:

P0+ρgh0+½ ρv2=P1+ρgh1+½ρv2

P0+ρgh0=P1+ρg 1

De donde:

P1 =P0+ ρg[h0-h1]

P1=1,5[1,01X105Pa]+[1,30X103Kg/m3]

[9,8m/s2][0m-1,0m]

P1=151500Pa-12740Pa=1,38atm

¡La presión bajó desde 1,5atm hasta

1,38atm!.

Esta conclusión parece contradecir lo

encontrado en el efecto Venturi, donde

las presiones eran inversamente

proporcionales a las velocidades. Sin

embargo, ha de recordarse que aquel era

cierto bajo la restricción de líneas de

flujo horizontales, en las que no hubiera

diferencias significativas en la energía

potencial del fluido en movimiento.

Ejemplo 9.4

Un fluido incompresible fluye de

izquierda a derecha por un tubo cilíndrico

como el que se muestra en la figura. La

densidad de la sustancia es de 105

utm/m3. Su velocidad en el extremo de

entrada es v0=1,5m/s, y la presión allí es

de P0=1,75Kgf/cm2, y el radio de la



sección es r0=20cm. El extremo de

salida está 4,5m abajo del extremo de

entrada y el radio de la sección allí, es

r1=7,5cm. Encontrar la presión P1 en ese

extremo.

Solución:

La presión se puede encontrar mediante

la ecuación de Bernouilli ; sin embargo,

previamente necesitaremos calcular la

velocidad v1 con la ecuación de

continuidad :

A0v0=A1 v1

De donde:

= = π =π

2 20 0 01 0 0 02 2

1 1 1

v v vv A r rA r r

( )−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

2 4

1 4

m20 x10 m 1,5 msv 10,7s7,5x10 m

Ahora, según Bernouilli :

P0+ρgh0+½ ρV02=P1+ρgh1+½ ρV1

2

P1=P0+ρg[h0-h1]+½ρ[V02-V1

2]

( )

= + +

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

41 2 3 2

22 2

3 2

B 22

Kf utm mP 1,75x10 105 9,8 4,5mm m s

1 utm m105 1,5 10,72 m s

Kf KfP 16237,9 1,62m cm

Note que si ponemos una válvula y

cortamos el flujo de agua, P1=2,21gf/m2 :

sube !

Ejemplo 9.5

Un tanque cilíndrico de 1,80m de

diámetro descansa sobre una plataforma

de una torre a 6m de altura, como se

muestra en la figura. Inicialmente, el

tanque está lleno de agua, hasta la

profundidad h0=3m.

De un orificio que está al lado del tanque

y en la parte baja del mismo, se quita un

tapón que cierra el área del orificio, de

6cm2.

¿Con qué velocidad fluye inicialmente el

agua del orificio?.

¿Cuánto tiempo necesita el tanque para

vaciarse por completo?.



Solución:

Este problema es muy importante, puesto

que por una parte revisaremos

numéricamente algunos conceptos y por

otra parte, aún cuando no trata de

conceptos directamente considerado en

la teoría aquí expuesta, contiene otros

elementos que son relevantes para los

estudiantes.

Al soltar el tapón, se tiene una situación

regulada por la ec. de Bernouilli; de tal

manera que se puede calcular la velocidad

con que sale inicialmente el agua por el

orificio, como hemos hecho hasta ahora:

P1+ρgh1+½ρV12=P2+ρgh2+½ρV2

2,

Consideraremos la referencia en el piso;

además tanto en 1 como en 2 la presión es

la atmosférica, y V1=0, puesto que la

relación entre las áreas del tanque y del

orificio permite despreciarlo a través de

la ecuación de continuidad.

(Note que: π= =

21 1

22

A r 4239A 6cm

¡La velocidad en 2 será 4239 veces mayor

que la velocidad en 1! ).

De lo anterior:

P0+ρg[H+H0]+½ρ[0]2=P0+ρgH+½ρV22

De donde:

½ρV22=ρg[H+H0]-ρgH

V22=2gH0,

Tal como lo habíamos previsto según

Torricelli.

Es interesante esta expresión, puesto que

la velocidad no depende de la densidad

del líquido, tal como la caída de un objeto

no depende de su masa en ausencia de

aire.

Por lo tanto:

( )⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠2 2

m mv 2 9,8 3m 7,7s s



Luego, aplicando nuevamente Bernouilli

para los puntos 2 y 3, podemos calcular la

velocidad con que llega el agua al suelo:

P2+ρgh2+½ρV22=P3+ρgh3+½ρV3

2

Con P2=P3=P0 :

P0+ρgH+½ρV22=P0+ρg[0]+½ρV3

2

De donde:

V32=V2

2+2gH

V32=58.8 m2/s2+2[9,8m/s2][6 m]

V3=13,3m/s

Hasta aquí, el problema es resuelto como

ha predicho la teoría expuesta. Sin

embargo, calcular el tiempo que demora el

tanque en vaciarse requiere de

consideraciones distintas, puesto que la

profundidad no será constante, como en

los casos anteriores. Esto producirá que

la velocidad con que baja el fluido en el

tanque, así como la velocidad con que sale

el líquido por el orificio, no sean

constantes en el tiempo.

Para resolver esto, consideraremos que la

altura h del líquido disminuye en dh

durante un intervalo de tiempo dt (ver

figura). Entonces, la velocidad con que

baja el fluido en el tanque V1, queda

determinada por la expresión:

= −1dhvdt

Negativa puesto que h disminuye en el

tiempo. Adicionalmente, se tiene que

V1A1=V2A2

Como ya sabemos, expresión que es cierta

para todo t, de donde:

= 21 2

1

Av vA

Al igualar ambas expresiones, se tiene:

− = 22

1

Adh vdt A

Además, según torricelli como hemos

visto:

=2v 2gh

Por lo que:

⎡ ⎤− = ⎣ ⎦2

1

Adh 2ghdt A

Que se puede expresar como :

⎡ ⎤− = ⎣ ⎦2

1

Adh 2g dtAh



Integrando la expresión para el intervalo

entre t=0, donde la profundidad es h0 y

el tiempo t=t, donde la profundidad es

h, se tiene :

− ⎡ ⎤− = ⎣ ⎦∫ ∫1

22

1

Ah dh 2g dtA

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1 122 201

A2 h h 2g tA

Despejando t:

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

⎣ ⎦=⎡ ⎤⎣ ⎦

1 12 21 0

2

2A h ht

2g A

Cuando el tanque se vacíe, h=0, por lo que:

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦=

121 0

2

2A ht

2gA

⎡ ⎤π −⎢ ⎥⎣ ⎦=

1221 0

2

2 r ht

2gA

Remplazando valores :

( )( ) ( )

( )=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

122

22

2 3,14 0,9m 3mt

m2 9,8 0,0006ms

t= 3263,3 segundos

Se recomienda revisar con especial

cuidado la lógica seguida en la solución de

este problema.

Ejemplo 9.6

Un tanque cilíndrico de 1,2m de diámetro

se llena hasta 0,3m de profundidad con

agua. El espacio encima del agua está

ocupado con aire, comprimido a la presión

de 2,026X105N/m2. De un orificio en el

fondo se quita un tapón que cierra un

área de 2,5cm3. Calcular la velocidad

inicial de la corriente que fluye a través

de este orificio. Encontrar la fuerza

vertical hacia arriba que experimenta el

tanque cuando se quita el tapón.

P2

P1

v2

v1

h

A1

A2

Solución:

Cuando el fluido sale del tanque, de

acuerdo al tercer principio de Newton,

reacciona con una fuerza hacia arriba

sobre el tanque de igual magnitud, pero

de dirección opuesta a la fuerza con que

es expulsado.

Por otro lado, el segundo principio de

Newton establece que el impuso que



recibe el fluido expulsado, debe ser

equivalente al cambio en su cantidad de

movimiento.

Justo al ser soltado la cantidad de

movimiento del líquido es cero, pero dt

segundos más tarde, habrá sido expulsado

un elemento de líquido de masa dm, que

tendrá una velocidad v2 en dirección hacia

abajo.

En consecuencia:

dp=v2dm=v2[ρdv]=v2ρ[A2dy]

dp=v2ρA2[v2dt]=v22ρA2dt

Esta cantidad de movimiento dirigida

hacia arriba será la comunicada al tanque,

la que debe ser igual al impulso de la

fuerza que actúa sobre él, de modo que :

Fdt=v22ρA2dt

De donde:

F=v22ρA2

La velocidad de salida puede calcularse

con la ecuación de Bernouilli:

P1+ρgh1+½ρv12=P2+ρgh2+½ρv2

2

Pero podemos suponer v1=0 por

continuidad y h2=0, usándola como

referencia :

De aquí:

( )−= +

ρ1 22

2 1

2 P Pv 2gh

Por lo que :

( )⎡ ⎤−= ρ +⎢ ⎥ρ⎣ ⎦

1 22 1

2 P PF A 2gh

Reemplazando:

( )( )( )

( )( )⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

6 62 2,026x10 1,013x10F 1 2,5 2 980 30

1

F=5.212.000D=52,12Newton

Cuando la presión P1 es suficientemente

grande, este es básicamente el

mecanismo de propulsión de un cohete


10.1 Temperatura.

Las palabras temperatura y calor son de

amplio uso en la vida cotidiana, aunque no

siempre son bien usadas, e incluso en

ocasiones producen gran confusión en un

estudiante de cursos de introducción a la

física. Solemos decir que “hace mucho

calor” en un día de verano cuando lo que

queremos decir es que nuestra sensación

térmica es alta. Nos asombramos cuando

alguien “tiene frío”, cuando nosotros

tenemos una sensación térmica agradable.

En una mañana de invierno evitamos tocar

objetos de metal prefiriendo objetos de

madera o de plástico, sintiéndolos menos

fríos, aunque realmente están a la misma

temperatura.

Algunos de estos ejemplos involucran

usos coloquiales del lenguaje y que son

aceptados por cumplir con el rol de

comunicación entre las personas. En otros

casos, aluden a la sensación térmica, que

es personal y por tanto distinta entre un

individuo a otro.

En este capítulo, como hemos hecho en

otros temas previos, aprovecharemos

estas experiencias personales para

introducir el concepto de temperatura o

más bien, el concepto de igualdad de

temperatura, en términos operacionales.

10.2 Equilibrio Térmico.

Aprovecharemos el conocimiento vivencial

de haber visto alguna vez el pavimento de

las calles agrietado, o el mercurio de un

termómetro expandirse. En efecto, la

mayoría de los sólidos se dilata cuando su

temperatura aumenta, incluso en

condiciones ambientales y se puede hacer

un experimento sencillo para demostrarlo,

tome un objeto de metal tal como un

alambre o una varilla delgada y con

muchísimo cuidado expóngalo a una

fuente de calor y mida su longitud antes y

después. Observará un aumento de su

longitud.



antes

exposición auna fuente de calor

L0

L0

∆L

L=L0+∆L

Fig 10.1 Un sólido expuesto a una fuente de calor se dilata.

Luego tome un tubo delgado que contiene

un recipiente en su parte inferior y vierta

en él un poco de mercurio. Mida el alto de

la columna de mercurio en su interior y

compárela con el alto que tiene luego de

ponerlo en contacto con alguna fuente de

calor (puede ser su propio cuerpo, una

ampolleta de tungsteno encendida o

simplemente la superficie de un objeto

expuesto a la luz del sol). Se observará un

aumento en el volumen del mercurio que

se detecta como un aumento en la altura

del tubo que lo contiene (cuidado, el

mercurio es extraordinariamente tóxico y

no se puede tocar con las manos por

motivo alguno).

antes

exposición a una fuente de calor

L0

∆LL=L0+∆L

Fig 10.2 Los líquidos también se dilatan ante la exposición de una fuente de calor

Finalmente tome un globo de cumpleaños,

ínflelo con cuidado y luego déjelo unos

cuantos minutos en el refrigerador (no el

en congelador), que debe considerarse

como un sistema que extra calor de los

cuerpos. Entonces observará que el globo

disminuye su volumen.

V0

antesexposición a una maquina que extrae calor V

Fig 10.3 El volumen de un gas disminuye cuando se le extrae calor.



En consecuencia, queda establecido que

un cuerpo experimenta un cambio de

volumen cuando su temperatura cambia.

Consideremos ahora un cuerpo cualquiera

A e introduzcámoslo en un recipiente

hermético que contiene un líquido B,

confeccionado de manera tal que no

permita intercambio de energía con el

exterior. Entonces observamos que el

cuerpo varía su volumen por algún tiempo,

luego de lo cual permanece sin cambios.

Fig 10.4 El cuerpo A y el líquido B están en equilibrio térmico.

A continuación sacamos el cuerpo A y

rápidamente lo introducimos en otro

recipiente aislado, que contiene un líquido

C que ha estado bastante tiempo allí.

Fig 10.5 El cuerpo A y el líquido C están en equilibrio térmico.

Si el cuerpo A no cambia de volumen,

entonces está en equilibrio térmico con el

sistema que contiene el líquido C.

Entonces, por simple transitividad, si A

está en equilibrio térmico con B y

también está en equilibrio térmico con C,

B está en equilibrio térmico con C.

B y C están a igual temperatura.

Este experimento muestra el denominado

principio cero de la termodinámica,

enunciado como sigue formalmente:

Si dos sistemas están en equilibrio

térmico con un tercero, están en

equilibrio térmico entre sí.

Además, debemos formalizar algunas

características de un sistema que hemos

usado para concluir lo anterior:

Un sistema aislado llega al equilibrio

térmico al ser abandonado a si mismo,

demorando algún tiempo en ello, que

depende de características que luego

analizaremos.

El equilibrio térmico se alcanza cuando la

temperatura es constante en todos los

puntos del sistema.



No solo el volumen, sino otras

propiedades del sistema cambian en

función de la temperatura, como se verá

más adelante.

10.3 Termoscopio. Primeros avances en termometría.

Lo anterior permite construir

instrumentos para medir temperatura

(termómetros) sobre escalas numéricas

arbitrarias (escalas termométricas).

A lo largo de la historia se han observado

muchos intentos por construir una escala

termométrica así como definir el

procedimiento para medir y construir

termómetros. En todos ellos se observan

aparatos que aprovechan propiedades de

los cuerpos que varían con la temperatura

y el establecimiento de sistemas patrones

cuyas temperaturas son constantes y

fácilmente reproducibles con los cuales

se puede construir una escala numérica.

El intento más antiguo conocido de

construir escalas termométricas data de

aproximadamente el año 170 a.C. cuando

Galeno en sus escritos médicos define una

temperatura “neutra” como la de la

mezcla de iguales cantidades de agua

hirviendo y de hielo, con una escala de

cuatro grados de calor y cuatro grados de

frío.

Incluso tan temprano como en el siglo II

a.C. Filón de Bizancio (parte del Imperio

Griego) y en el siglo I A.c. Herón de

Alejandría en Egipto (que también era

parte del Imperio Griego) habían

desarrollado un aparato denominado

Termoscopio (las comunicaron en

publicaciones denominadas “Pneumaticos”)

que también puede considerarse un

barómetro como se verá, consistente en

una esfera casi llena de agua unida a un

recipiente a través de dos tubos. Uno

recto que comunica a la esfera con el

recipiente por la parte inferior de esta, y

otro curvo que sale de la esfera por la

parte superior y se ubica sobre un

embudo que está unido al recipiente,

como se observa en la figura siguiente.

Fig 10.6 Esquema de un Termoscopio de Herón.



En la medida en que la temperatura del

aire en el interior de la esfera se eleva,

aumenta su presión haciendo que el agua

salga por el tubo curvo, retornando al

recipiente a través del embudo. En

cambio, cuando el aire se enfría, la

presión disminuye succionando el agua del

recipiente a través del tubo recto.

Posteriormente, en 1575 Commandino

traduce y publica en latín los Pneumáticos

de Herón, poniéndolo a disposición de los

científicos del renacimiento.

En 1596 Galileo reinventa el termoscopio

cuando vivía en Padua simplificando su

construcción y reemplazando el agua

coloreada por vino.

Tomó un tubo con un bulbo en su extremo,

lo llenó con aire caliente y lo sumergió en

un recipiente que contenía agua, (que

posteriormente reemplazó por espíritu de

vino debido a que mejoraba la sensibilidad

de la respuesta). Al enfriarse el aire

disminuyó su presión elevando una

columna de agua por el tubo, como se

observa en la figura 11.7.

Variaciones en la temperatura de la

habitación, provocan alteraciones en la

longitud de la columna observables a

simple vista.

aire

espíritu de vino

bulbo de vidrio

Fig 10.7 Esquema de un Termoscopio de Galileo.

Pero estos instrumentos no permiten

medir temperaturas sino solo evidenciar

alteraciones en la temperatura del aire

circundante al bulbo. El medio

termométrico era el aire del bulbo.

El otro problema es que al estar abierto

al aire, las variaciones en la presión

atmosférica también producen

variaciones en la columna del líquido,

razón por la cual se considera a este

instrumento también como precursor del

barómetro.

10.4 Primeros termómetros. Escalas termométricas.

En 1612 el médico Santorio Santorio

agregó una escala numérica al

termoscopio, pues necesitaba realizar

mediciones cuantitativas para su estudio



del metabolismo basal realizado en

Venecia.

Santorio definió como cero a la

temperatura de nieve derritiéndose y 110

a la temperatura de la llama de una vela.

Su escala contaba con graduación

uniforme, decimal.

En 1641 aparece el primer termómetro

(del griego Therme: calor y del latín

metrum: para medir) de tubo sellado con

alcohol diluido en lugar de aire como

medio termométrico, desarrollado en

Florencia gracias al impulso de Fernando

II de Medici, Gran Duque de Toscana,

introduciendo una escala de 50 grados.

El hecho de estar sellado impide las

alteraciones en la medición, producto de

las variaciones de la presión atmosférica,

de manera que se logra un avance

importante.

Fig 10.8 Fernando de Medici.

En la Academia de la Experimentación

(Accademia del Cimento) fundada por

Fernando II en 1657 se desarrollaron

gran cantidad de termómetros con

formas y escalas variadas. Se considera a

esta academia una de las mayores

precursoras en el desarrollo de la

termometría y su contribución a la ciencia

experimental es notable, convirtiéndose

en el centro de los más grandes

descubrimientos de la física del

renacimiento.

Una de las contribuciones del trabajo en

termometría de la Academia fue el

establecimiento de puntos fijos para

calibrar los termómetros, aunque no

lograron ponerse de acuerdo ni en su

elección ni en el tipo de escala

termométrica ni en el fluido

termométrico, experimentando con agua,

alcohol, aceites y mercurio entre otros.

Esto impedía comparar mediciones hechas

con instrumentos distintos.

A fines del siglo XVII existían al menos

35 tipos de escalas distintas y eran

típicos puntos fijos tales como la

temperatura del cuerpo de los animales,

del día más frío del invierno, de mezclas

de sustancias refrigerantes, etc.



Fig 10.9 Termómetros y un higrómetro. Foto del Instituto y Museo de historia de la ciencia, Florencia, Italia. http://www.imss.fi.it/presale/iprsala9.html

Entre 1660 y 1700, Hooke y Huygens

entre otros, proponen que se use solo un

punto fijo en la construcción de escalas

termométricas, consistente en la

temperatura del agua fundiéndose

(Newton además sugiere usar como punto

fijo superior la temperatura del cuerpo

humano). En cambio otros, entre los que

se encuentra también Huygens y

Amontons (quien descubrió que el agua

hervía siempre a la misma temperatura y

desarrolló un termómetro de gas a

volumen constante), recomendaban usar

el punto de ebullición del agua, e incluso

otros como Renaldini (quien fue el

primero en proponerlo), optaban por usar

ambas temperaturas como puntos fijos.

10.5 Farhenheit y Celsius.

No es sino hasta 1714 que el físico

constructor de aparatos científicos

alemán Daniel G. Fahrenheit, recogiendo

las observaciones y resultados

experimentales mencionados y sumando

su habilidad y experiencia desarrolladas

en Ámsterdam, propone un termómetro

de mercurio (influenciado por el notable

desarrollo del barómetro de Torricceli),

debido a su estable tasa de expansión, a

su opacidad, a su pureza y a su respuesta

en un rango de temperaturas mejor que el

alcohol, que se había popularizado en esa

época (Fahrenheit se dedicaba a la

fabricación de instrumentos

meteorológicos).

La idea de establecer una escala estándar

ocupó a Fahrenheit por alrededor de 30

años y después de muchos intentos

finalmente publicó en “Philosophical

Transactions”, la revista de la Royal

Society of London (D. G. Fahrenheit, Phil.

Trans. London. 33,78. 1724) su célebre

escala termométrica que se conserva

hasta nuestros días, probablemente

influenciado por los trabajos de Hookw y

Newton.



La propuesta de Fahrenheit incluye dos

puntos fijos consistentes en las

temperaturas de una mezcla refrigerante

compuesta de hielo, sal y sal de amoníaco

(o sal marina) que le permitió reproducir

la temperatura más baja registrada hasta

la época (en el invierno de 1709 en

Europa) y la temperatura de la sangre de

un ser humano sano (que en ese tiempo se

suponía constante), otorgándoles los

números 0 y 96 respectivamente, en una

escala no métrica, aunque futuras

correcciones otorgaron el número 98,6.

El extraño número 96 se debe a que

originalmente adoptó una escala de 24

grados equivalente al número de horas

que tiene un día solar propuesta por

Newton entre otros, los que subdividió en

4 partes por razones prácticas.

Fahrenheit midió las temperaturas de

congelación y ebullición del agua pura, que

correspondieron a los números 32 y 212

de su escala. Finalmente, construyó un

instrumento denominado hipsómetro, con

el que determinó que el punto de

ebullición del agua variaba con la presión

exterior.

Otro intento interesante es el realizado

por el francés Rene Antoine Ferchault de

Reaumur que en 1731 diseña un

termómetro de vidrio con alcohol y

propone una escala basada en un solo

punto fijo, la temperatura de congelación

del agua a la que asigna el número 1000 y

estableció que un grado era el aumento

del volumen de alcohol en una milésima

parte; por tanto, debido a que el

coeficiente de dilatación del alcohol es

0,0008, entonces el punto de ebullición

del agua correspondía a 1080 grados.

Posteriormente asigna 0º y 80º

respectivamente, a estos puntos.

Esta escala fue utilizada en algunos

países de Europa occidental por algunos

años, pero luego cayó en desuso.

Fig 10.10 Rene Antoine Ferchault de Reaumur

En 1742, Andrés Celsius publica su

célebre trabajo titulado: "Observations

on two persistent degrees on a

thermometer" en los anales de la Real

Academia Sueca de Ciencias, donde



establece una escala termométrica

basada en dos puntos fijos:

hielo o nieve derritiéndose y agua

hirviendo, asignándole los números 0 y

100 respectivamente, generando así por

primera vez una escala centesimal.

Fig 10.11 Portada del escrito publicado por Celsius en 1742.

A cada intervalo se le denominó grado

centígrado, aunque fue sustituido por

grado Celsius a partir de 1948.

Preocupado por el reporte de Fahrenheit

y otros, que sostenían que el punto de

ebullición variaba con la presión

atmosférica, dedicó considerable tiempo

a comprobar la estabilidad de los dos

puntos fijos.

Fig 10.12 Andrés Celsius

Durante dos años midió puntos de fusión

de la nieve en invierno y en localidades

distintas (Upsala de latitud 60ºN y

Tornea de latitud 66ºN), reportando

siempre el mismo resultado. En lo que al

punto de ebullición se refiere, reporta

igual resultado que Fahrenheit: depende

de la presión atmosférica.

Esto lo motiva a publicar un método para

estandarizar la calibración de

termómetros:

1.- Sumerja el bulbo del termómetro de

longitud AB en nieve derritiéndose y

marque en el tubo a la altura de la

columna de mercurio un punto C y luego

sumérjalo en agua hirviendo y marque en

el tubo un punto D a la altura que alcanza

la columna de mercurio.

2.- El punto D debe marcarse cuando la

presión atmosférica es de 755mm de



mercurio. Asegúrese que la distancia AC

es la mitad de la distancia CD.

3.- Divida la distancia CD en 100 partes

iguales, asignándole el número 0 al punto

de ebullición del agua y el número 100 al

punto de fusión de la nieve. Continúe

marcando con iguales intervalos hasta el

punto A, bajo el punto C. Entonces el

termómetro está calibrado y listo para

usarse.

Estos números fueron así escogidos para

evitar el uso de números negativos para

temperaturas menores que la de

congelación del agua, observadas en los

días de invierno.

Cinco años después de su muerte,

ocurrida en 1744 a la temprana edad de

42 años, el Sueco Carl von Linee presenta

la escala en la forma que hoy conocemos,

invirtiendo los números asignados a los

puntos fijos en un famoso trabajo

denominado "Hortus Cliffortianus". Sin

embargo, la Real Academia Sueca de

Ciencias en 1749 asigna a los científicos

suecos Strómer (sucesor de Celsius) y

Ekstróm (activo constructor de

termómetros) junto a Celsius, como los

autores de la escala definitiva. Aún hoy

existe una controversia al respecto.

A pesar de esto, la contribución de

Celsius de establecer dos puntos fijos

reproducibles, con un método de

calibración, el diseño del termómetro de

vidrio con mercurio como fluido

termométrico y la escala centígrada es lo

verdaderamente importante y el hecho de

revertir los números de la escala para la

comunidad científica tiene importancia

secundaria.

Alrededor de 1780 se reportaban

aproximadamente 30 tipos de escalas

distintas, pero la comunidad científica y

el uso generalizado, solo han concedido a

las escalas de Fahrenheit y Celsius su

permanencia hasta nuestros días.

La Escala Fahenheit fue adoptada por

Inglaterra y los países que fueron sus

colonias, aunque en la actualidad solo

tiene uso en Estados Unidos para uso

doméstico tales como los reportes de la

temperatura de la superficie de la tierra.

No obstante lo anterior, el Acta de

conversión al Sistema Métrico

promulgada en 1975 y el programa

federal “hacia una América métrica”

hacen actualmente serios esfuerzos para

cambiar los usos de la población a la

escala Celsius. (ver página:



(http://ts.nist.gov/ts/htdocs/200/202/

mpo_home.htm).

La comunidad científica en todo el mundo

ya usa las escalas Celsius y Kelvin

(explicada más adelante) contenidas en el

sistema métrico.

Los restantes países europeos y sus

antiguas colonias, así como muchos otros

países de los restantes continentes usan

las escalas Celsius y Kelvin.

El actual grado de globalización y la

fluidez de los intercambios comerciales,

tecnológicos y científicos, así como de las

comunicaciones es un poderoso aliciente

para la adopción de los estándares

contenidos en la Conferencia General de

pesas y medidas.

10.6 Temperatura absoluta.

Un paso adelante se obtiene a partir de

los extraordinarios descubrimientos

respecto de las leyes y propiedades de

los gases que ocurren en el siglo XVIII y

que conducen a la construcción del

termómetro de gas y a la formalización

de una escala de temperatura absoluta.

Probablemente este desarrollo parte con

el físico francés Guillaume Amontons en

1702, quien a través de su trabajo con un

termómetro de aire a volumen constante

ocupa la presión como variable de

medición, y define a la temperatura como

una cantidad medible y no solo observable

como era considerada hasta ese entonces.

También enunció la existencia de un cero

absoluto, aunque solo resultaba una

disquisición puramente intuitiva, pues sus

resultados experimentales no lo

acompañaban.

Aunque el físico-químico Irlandés Robert

Boyle (socio fundador de la Royal Society

of London) en 1660 había escrito su

célebre trabajo “New Experiments

Physio-Mechanicall, Touching the Spring

of the Air and its Effects” y en 1662 su

apéndice incluía la denominada Ley de

Boyle estableciendo que si no variaba la

temperatura el producto entre la presión

y el volumen de un gas era una constante

para bajas presiones (definió el gas ideal

como todo aquel que satisfacía la

expresión PV=constante), el pobre

desarrollo en la precisión de los

instrumentos de la época retrasó hasta la

segunda mitad del siglo XVIII el

descubrimiento.



Fig 10.13 Robert Boyle

En 1679, el físico francés autodidacta

Edme Mariotte (miembro de la Academia

Francesa de Ciencias) publica un trabajo

denominado ”De la nature de l'air”,

describiendo la naturaleza isotérmica de

un volumen constante de aire confinado

en un recipiente. Su trabajo es

equivalente al desarrollado por Boyle,

razón por la cual a veces se le denomina

“Ley de Boyle-Mariotte” e incluso “Ley de

las isotermas” a la expresión PV=Cte.

Pero no fue sino hasta 1787, que el

también francés físico-químico Jacques

Charles, descubrió que el volumen de un

gas varía en forma directamente

proporcional a su temperatura medida en

grados Celsius, si la presión se mantiene

constante. Sin embargo, no logró

solucionar el problema de que existían

gases para los que la relación se cumplía

solo aproximadamente.

Fig 10.14 Jacques Charles

Este descubrimiento permitió comprobar

el trabajo de Amonton y sugerir que si la

temperatura disminuía en directa

proporción con el volumen, entonces

debería existir una temperatura para la

condición volumen cero.

Desafortunadamente Charles no publicó

su hallazgo.

En 1802 el químico francés Joseph Gay

Lusaac, formado en la Ècole Polyteccnique

(Institución creada por la Revolución

Francesa que gobernaba el país para

generar científicos y técnicos de alto

nivel, especialmente para fines militares),

quien a la sazón contaba con termómetros

de gas mucho más precisos que sus

antecesores, publica el artículo

“Expansión de los gases mediante el

calor” en “Annales de Chimie”, reportando

el mismo resultado que Charles, para



todos los gases, al descubrir que las

dificultades de Charles se debían a la

presencia de agua en el termómetro. El

hecho de citar a Charles, hace que hoy se

identifique esta ley como de “Charles y

Gay Lussac”.

Fig 10.15 Joseph Louis Gay Lussac

La correcta formulación de la ley permite

indicar que en la medida en que disminuye

el volumen hasta alcanzar el valor cero,

sin alterar la presión, la temperatura

debe tender a un valor mínimo.

Esta temperatura era calculada

extrapolando la curva V/T a partir de los

resultados experimentales para varios

gases. Estos resultados, notables

considerando las restricciones de

precisión experimentales de entonces,

constituye la base para la formulación de

la escala de temperaturas absolutas

enunciada por Williams Thompson (Lord

Kelvin) en 1848.

Fig 10.16 Williams Thompson (Lord Kelvin)

Thompson nació en Belfast, Irlanda, en

1824, asistiendo a la Universidad de

Glasgow, Escocia, desde los 10 años, y

luego a la Universidad de Cambridge, a

partir de 1841. Estudió Astronomía,

Química y Filosofía Natural (antiguo

nombre de la física), recibiendo fuerte

influencia de la aproximación a la ciencia

física de la escuela matemática francesa

durante un breve período de estadía en

París. En 1944, a la edad de 22 años

retornó a Glasgow para hacerse cargo de

la cátedra de Filosofía Natural.

En 1866 fue nombrado como Baron Kelvin

of Largs por la Reina Victoria en

retribución a su aporte en ciencia y a la

tecnología.

En 1848 publica en "Cambridge and Dublin

Mathematical Journal", una artículo

titulado: “Acerca de una escala

termométrica absoluta en base a la teoría



de Carnot sobre la fuerza motriz del

calor y calculada a partir de las

observaciones de Regnault”, donde

comunica que sus cálculos permiten

afirmar que el movimiento molecular cesa

a -273ºC, haciendo imposible que usa

sustancia esté a temperatura menor que

esa, por lo que la denomina cero absoluto.

En 1852 publica el artículo titulado:

“sobre la teoría dinámica del calor con

resultados numéricos deducidos del

equivalente del calor del Sr. Joule y de

las observaciones sobre el vapor del Sr.

Regnault”, donde establece su acuerdo

con los puntos fijos fusión y ebullición del

agua, reportando valores de 273,7 y

373,7 respectivamente sobre su escala

de temperaturas absolutas.

Su trabajo está fuertemente influido por

Joule, y sus resultados se verán más

adelante, cuando tratemos el tema del

calor.

10.7 Equivalencias entre escalas.

En los tiempos actuales solo son usadas

las escalas termométricas Fahrenheit,

Celsius y Kelvin.

La escala Fahrenheit es usada solo en

Estados Unidos por las personas en su

vida diaria, especialmente en reportes de

la temperatura de la atmósfera en la

superficie de la tierra. En el campo de la

medicina se usa la escala Fahrenheit y la

escala Celsius. En el resto del mundo se

usa la escala Celsius y la es cala Kelvin. En

ciencia se acostumbra reportar

temperaturas en escala Kelvin o Celsius.

Las escalas Rèumur y Rankine (será

explicada más adelante) están obsoletas.

Esto obliga a tener ecuaciones de

transformación entre estas escalas.

10.7.1 Kelvin y Celsius:

Estudios posteriores a Kelvin mostraron

que la temperatura absoluta corresponde

a -273,15ºC, de modo que las escalas

Celsius y Kelvin, que son métricas, se

transforman fácilmente con la expresión:

K=ºC+273,15

Aunque por razones de facilidad del

cálculo, la mayor parte de las veces,

seguiremos usando el número 273 (igual

que lo hicimos aproximando la aceleración

de gravedad a 10 2ms

).



De esta manera, 37ºC corresponden a

K=37+273,15=310,15

Es decir 310,15K, o simplemente 310K.

Note que en el caso de la escala Kelvin, no

se habla de grados, es decir una

temperatura de 37 grados Celsius

equivale a 310 Kelvin.

Los puntos fijos y otras temperaturas de

interés se observan en la figura siguiente.

-273

-100

0

100373

310

273

0

37 cuerpo humano sano

agua hirviendo a 1atm de presión

fusión del hielo a1atm de presión

ºCºK

-200

cero absolutoebullición del hidrógeno 17

Fig 10.17 Comparación entre las escalas Kelvin y Celsius.

10.7.2 Celsius y Fahrenheit:

A diferencia del caso anterior, una

diferencia de un grado en la escala

Celsius no equivale a una diferencia de un

grado en la escala Fahrenheit.

-40

-20

0

20

40

60

80

100200

160

120

80

40

0

-40

98,6

212

32

37 cuerpo humano sano



ºCºF

Fig 10.18 Comparación entre las escalas Celsius y Farhenheit

Si tomamos los puntos fijos fusión del

hielo y ebullición del agua en ambas

escalas, se tiene que:

ºF 32 180 9ºC 100 5−

= =

Como se observa en la figura siguiente.

0

100

0

212

32

ºF-32=180 ºC=100

ºF ºC

Fig 10.19 Equivalencia entre las escalas Celsius y Fahrenheit.



De donde:

9ºF ºC 325

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Entonces una temperatura de 5ºC

equivale a: 9ºF 5 32 415

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

, es decir

41ºF.

Si la temperatura está en Fahrenheit se

puede transformar en Celsius mediante la

ecuación:

( )5ºC ºF 329

= −

Si tenemos una temperatura de 32ºF,

entonces se obtiene: ( )5ºC 32 32 09

= − = ,

es decir 0ºC, como esperábamos.

10.7.3 Celsius y Rèaumur:

Como sabemos, la escala Rèaumur cuenta

con 80 grados, correspondiendo los

números 0 y 80 a los puntos fijos fusión

del hielo y ebullición del agua.

Por tanto, como se ve en la figura

siguiente, se tiene que:

ºRe 80 4ºC 100 5

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

De donde:

4ºRe ºC5

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Y es fácil demostrar que:

( )4ºRe ºF 329

= −

10.7.4 Celsius y Rankine:

La escala Rankine está en desuso, y fue

desarrollada por el físico e ingeniero

escocés William Macquorn Rankine en

1859. Es una escala de temperaturas

absolutas basada en la escala Fahrenheit,

considerando que el cero absoluto

corresponde a la temperatura -459,67ºF.

Los valores de los puntos fijos son los que

se observan en la figura.

0

100

200

300

400

600671,67212

32



ºRºF

491,67

-459,67 cero absoluto

Fig 10.20 Equivalencia entre las escalas Fahrenheit y Rankine.



Entonces, la equivalencia será:

ºRa ºF 459,67= +

Fácilmente se puede demostrar que:

9ºRa ºC 491,675

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Resumen:

El siguiente cuadro muestra un resumen

de las escalas termométricas.

Escala Cero PFH* PEA** Uso

Celsius -273,15 0 100 Ciencia, general

Fahrenheit -459,67 32 212 USA, general

Kelvin 0 273,15 373,15 Ciencia

Rankine 0 491,67 671,67 Obsoleta

Rèaumur -218,52 0 80 Obsoleta

*Punto de fusión del hielo

**Punto de ebullición del agua

10.8 Termómetros.

Existen varios tipos de termómetros en

uso hoy en día, que ocupan distintas

sustancias termométricas y distintas

propiedades físicas que varían con la

temperatura. Naturalmente son

seleccionados de acuerdo al rango de la

temperatura y el tipo de ambiente, de su

tiempo de respuesta, de su precisión, de

su fortaleza, de su costo económico,

entre otras consideraciones.

10.8.1 Termómetros de líquido en

vidrio.

Como ya hemos visto, son los más antiguos

y de ellos, el más usado es el de mercurio.

Están basados en el principio de variación

del volumen de un líquido con la variación

de la temperatura

Fig 10.21 Termómetros de líquido en vidrio reaccionando a los cambios de temperatura.

Permiten medir temperaturas entre los

límites que proporcionan sus puntos de

fusión (que dependen de la presión) y el

punto de fusión y resistencia mecánica

del vidrio, aproximadamente entre -

200ºC y 600ºC (el pentano entre -200ºC

y 20ºC; el mercurio, entre -39ºC y

600ºC).



Fig 10.22 Termómetro de mercurio.

Fig 10.23 Termómetro de mercurio de 1896. http://www.antiquebottleconnection.com

Las figuras 10.22 y 10.23 muestran dos

ejemplos de termómetros, usados para

medir la temperatura del ambiente.

Cuentan con un reservorio, generalmente

un bulbo con mercurio, conectado a un

tubo de vidrio delgado protegido por una

cubierta de vidrio u otro material

transparente resistente a los golpes.

Cuentan con una escala numérica impresa

con escalas Celsius y/o Kelvin y/o

Fahrenheit, que permite rápidas y

sencillas lecturas. Permiten medir

temperaturas entre -39ºC y 375ºC,

debido a los puntos de fusión y ebullición

del mercurio a 1 atm de presión. Ofrecen

una precisión de 0,02ºC y una respuesta

relativamente lenta, de unos pocos

minutos.

10.8.2 Termómetros industriales de

líquido.

Existen termómetros industriales que

llenan el capilar con gas aumentando la

presión, alcanzando temperaturas de

hasta 600ºC, con presiones de 70 atm en

algunos casos.

Fig 10.24 Termómetro industrial de mercurio con escalas entre 40 y 400ºF. http://www.weissinstruments.com



Fig 10.25 Termómetro industrial de mercurio con escalas entre -60 y 950ºF.http://www.instrumentationgroup.com/

Fig 10.26 Termómetro de alcohol con escala entre -30 y 50ºC. http://www.toptestar.com/

Es imprescindible recordar que el

termómetro mide su propia temperatura

luego de alcanzar el equilibrio térmico con

el ambiente en el que está inmerso, de tal

manera que se requiere elegir con cuidado

el aparato, para que su propia carga

térmica no altere la temperatura del

ambiente que quiere medir. Por otra

parte, debe tenerse el cuidado de

esperar el tiempo suficiente para que el

termómetro alcance el equilibrio térmico,

lo que puede demorar algunos minutos. Si

el ambiente es estable, funciona bien,

pero si la temperatura varía muy

rápidamente, proporcionará lecturas

incorrectas.

10.8.3 Termómetros de máxima.

Existen termómetros de mercurio que

permiten medir temperaturas máximas,

entre los que se cuentan los termómetros

clínicos, usados para medir la

temperatura basal en personas o

animales. Fue inventado por el médico

inglés Sir Thomas Clifford Alibott en

1867.

Estos termómetros cuentan con una

estrangulación entre el bulbo y el tubo,

de manera tal que permite la elevación de

la columna de mercurio al elevarse la

temperatura, pero no le permite

devolverse al bajar la temperatura. Esto

obliga al permanecer en el tubo hasta el

nivel correspondiente a la máxima



temperatura que alcanzó el termómetro

en el lapso de tiempo de la medición.

0 60-10 40 8020 100

Fig 10.27 Termómetros clínicos de máxima.

10.8.4 Termómetros de mínima.

Existen termómetros de mínima, que

permiten medir la mínima temperatura en

un lapso de tiempo determinado.

Normalmente usan alcohol coloreado

debido a que su punto de fusión es muy

inferior al del mercurio, permitiendo

lecturas inferiores a -40ºC.

Contienen un pequeño índice de metal en

forma de una pesa de gimnasia (ver

figura) que se mueve debido a la tensión

superficial y a la fuerza de gravedad en la

dirección en que el alcohol se contrae en

la medida en que la temperatura

desciende, pero no le permite viajar en

dirección opuesta cuando la columna se

expande al elevarse la temperatura. Se

disponen inclinados entre 10 y 20º.

-80 -20 0-40-60 20

Fig 10.28 Termómetro de mínima. Se montan inclinados en un dispositivo.

En las estaciones meteorológicas

normalmente se disponen termómetros de

máxima y de mínima para registrar las

temperaturas extremas durante un día.

Fig 10.29 Termómetros de máxima y de mínima.

10.8.5 Termómetro de Six.

Existe otro instrumento que permite

medir simultáneamente máximas y

mínimas diseñado por el inglés James Six

en 1782 y consiste en un tubo en U que

contiene mercurio y alcohol y dos piezas

de metal sobre cada columna, como se

observa en la figura siguiente.



-20

0

-40

20

40

0

20

40

-20

-40

min max

temperaturamínima:lectura de la base del marcador

temperaturamáxima:lectura de la base del marcador

temperaturaactualtemperatura

actual

Fig 10.30 Termómetro de six.

Cuando la temperatura se eleva ambos

líquidos se expanden. El alcohol empuja al

mercurio produciendo que su rama

derecha se eleve, empujando el indicador

hacia arriba. Además, el alcohol sobre el

mercurio en la rama derecha se vaporiza,

ocupando el bulbo superior.

Cuando la temperatura baja, ambos

líquidos se contraen, se condensa el vapor

de la rama derecha y empuja al mercurio

hacia abajo, pero no afecta al indicador,

que de esta manera queda marcando la

temperatura máxima.

Sin embargo, esto empuja al indicador de

la rama izquierda, elevándolo.

Cuando la temperatura vuelve a subir, el

indicador de la rama izquierda no vuelve a

bajar, registrando la temperatura mínima.

Fig 10.31 Termómetro de six comercial. http://www.metcheck.co.uk/a11.html

El aparato se resetea a través de un imán

dispuesto en la parte inferior quien

empuja a los indicadores hacia el menisco

de mercurio de cada rama.

Los termómetros de líquido presentan la

desventaja que dependen del líquido

termométrico debido a las diferencias

entre sus coeficientes de dilatación. Si se

toma un termómetro de mercurio y otro

de alcohol y se calibran sumergiéndolos

en agua y hielo en equilibrio y luego en

agua hirviendo, se tiene que las marcas

respectivas en los tubos de vidrio no

coinciden. Esta diferencia es aun más

notable en la medida en que la



temperatura sea mucho mas baja que 0ºC

o mucho más alta que 100ºC.

En el dibujo siguiente, se observa que el

51 de la escala del termómetro superior

corresponde al 55 de la escala del

termómetro inferior, debido a que la

dilatación de ambos fue distinta (por

supuesto, el dibujo exagera mucho el

efecto).

55

800 60

51

0

20

20

40

40 60 80

100

100

Fig 10.32 Substancias termométricas distintas producen escalas distintas.

10.8.6 Termómetro de Galileo.

Finalmente, no podemos olvidar el

magnífico termómetro de Galileo,

confeccionado en función del cambio de la

densidad de un líquido en función de la

temperatura.

Fig 10.33 http://store3.yimg.com/

Fig 10.34 http://www-toys.science.unitn.it/ Termómetro de Galileo.

El termómetro está confeccionado con un

tubo de vidrio transparente que contiene

un líquido en el que flotan burbujas de

vidrio llenas con un líquido coloreado,

provistas de una etiqueta con indicación

de la temperatura a la que se hunde.

En la medida en que la temperatura del

agua cambia, también lo hace su densidad.

Como las burbujas se han construido de



manera tal que su masa varía muy poco

unas de otras, se van hundiendo en la

medida en que su densidad llega a ser

mayor que la del líquido en el tubo.

La etiqueta de la burbuja que flota mas

bajo, corresponde a la temperatura del

sistema.

10.8.7 Termómetro de gas de

volumen constante.

Consiste en un bulbo conectado a un tubo

capilar en U que contiene mercurio y que

funciona como un manómetro de tubo

abierto.

Fig 10.35 Termómetro de gas de volumen constante.

Al sumergir el bulbo B en un ambiente

cuya temperatura quiera medirse, se

observan cambios en el volumen del gas,

lo que empuja la columna de mercurio del

tubo izquierdo del manómetro hacia

abajo. El nivel original de esa columna

puede reestablecerse simplemente

elevando el reservorio. Esta acción tiene

como consecuencia que los niveles de las

columnas de mercurio de las columnas de

mercurio cambien. Tal diferencia como

sabemos, es directamente la diferencia

entre la presión del gas y la presión

atmosférica leída directamente en

milímetros de mercurio o en otras

unidades de presión.

En efecto, la presión en el nivel del punto

“a” del fluido en el manómetro en la rama

izquierda y derecha permite escribir:

P+ρgh=P0

P-P0=ρgh

Como esperábamos; la diferencia entre

las presiones del gas y de la atmósfera es

igual que la cantidad ρgh. Si el líquido es

mercurio, entonces es directamente la

lectura de la altura y la presión es

indicada en mm de mercurio.

Estos termómetros, que como hemos

visto, existen tan temprano como en el

siglo XVIII a partir del trabajo de



Amontons y experimentaron

considerables mejorías en la precisión, y

en el medio termométrico, hasta llegar a

ser considerados como termómetros de

referencia. El alto costo de estos

aparatos, sumado al muy lento tiempo de

respuesta, hoy en día incluso, los ha

convertido en instrumentos de uso en

laboratorios de estandarización e

investigación, principalmente.

El gran aporte de este termómetro es

que es independiente del fluido

termométrico.

Para calibrarlo, se pueden usar los puntos

fijos de fusión del hielo y ebullición del

agua, obteniéndose una curva como la de


100

P(N/m2)

T(ºC)0

Fig 10.36 Curva de calibración de un Termómetro de gas de volumen constante.

Si extrapolamos la escala podemos

calcular la temperatura correspondiente

a presión nula, que resulta ser -273,15ºC;

el cero absoluto de Kelvin.

100

P(N/m2)

T(ºC)0

-273,15

Fig 10.37 Cero absoluto.

Si se repite el experimento con cualquier

gas, en todos los casos la curva

extrapolada conduce a la misma

temperatura correspondiente a presión

nula: -273,15ºC. Esto significa que este

tipo de termómetro es independiente de

la sustancia termométrica, a diferencia

de lo que observamos en los termómetros

de líquido.

P(N/m2)

T(ºC)

-273,15

gas 1

gas 2

gas 3

Fig 10.38 Todos los gases tienen temperatura igual a presión nula.

Naturalmente, ahora nos resulta muy

natural el paso dado por Kelvin, de correr



la escala hasta ese punto mínimo, que

debe ser la temperatura mínima absoluta.

373

P(N/m2)

T(K)0

273

Fig 10.39 Escala de temperaturas absolutas.

Pero esto es estrictamente cierto para

los gases ideales solamente. Los gases

reales se transforman en líquidos antes

de alcanzar esta temperatura (el helio es

el último en hacerlo, a una temperatura

de 4,2K a una atmósfera de presión), y la

curva deja de ser rectilínea puesto que no

sigue la ley de los gases ideales, por lo

que el cero absoluto no puede ser

alcanzado en un experimento real con

gases.

En consecuencia, la escala termodinámica

de Kelvin no puede ser reproducida, lo que

a su vez nos proporciona problemas para

definir la escala de temperaturas

reproducible con precisión.

373

P(N/m2)

T(K)0

273

0 4

Fig 10.40 Los gases se tornan líquidos antes de 0K.

Una solución es considerar una escala

práctica de temperaturas cuyo cero sea

el cero absoluto proveniente de la ley de

gases ideales (-273,15ºC) y un punto fijo

aceptado por la comunidad internacional.

Como veremos más adelante, esta solución

está contenida en las resoluciones de la

Conferencia General de Pesas y Medidas,

de amplia aceptación, la que considera el

punto triple del agua (temperatura y

presión en la que coexisten en equilibrio

el hielo, el agua y el vapor de agua), y el

cero de la escala Kelvin. Cada grado en

esta escala es 1273,15

de la diferencia

entre ambos puntos. Como esta escala es

teóricamente lineal, pero en la práctica

proporciona algunas dificultades cuando

se necesita mayor precisión, entonces se



ajusta cada 20 años. Hoy día contiene 16

puntos fijos correspondientes a los

puntos triples de 15 elementos más el

punto triple del agua. Entonces al

interpolar estas temperaturas se obtiene

una escala no exactamente lineal, pero

muy cercana a ello. Esta escala se

denomina Escala Práctica Internacional

de Temperaturas (IPTS por sus siglas en

inglés).

Las escalas Celsius y Fahrenheit se

definen a partir de la IPTS.

Estos termómetros son muy voluminosos y

de respuesta muy lenta (varias decenas

de minutos) son raramente usados en

actividades distintas a la de calibración

de termómetros de líquido.

10.8.8 Otros termómetros de

líquido o gas.

En muchas situaciones industriales, se

necesita medir temperatura para

propósitos de control en lugares remotos.

En algunas de ellas, se ocupan

termómetros que consisten en bulbos y

capilares llenos de líquido o gas cuyo

volumen cambia en forma proporcional al

cambio de temperatura. Estos pueden

situarse a alguna distancia del sistema

que detecta el cambio de volumen y lo

transforma en movimiento de algún

sistema indicador sobre una escala de

temperaturas previamente graduada,

como se muestra en la figura siguiente.

escala detemperaturas graduada

indicador

capilar

tubo congas olíquido

Fig 10.41 Termómetro de gas o líquido para lecturas remotas.

Es posible encontrar termómetros de gas

inerte para propósitos industriales con

escalas de temperatura en rangos

variados, entre -40 y 600ºC, y

termómetros de líquido con rangos de

temperatura entre -200 y 700ºC.

Fig 10.42 Termómetro de bulbo lleno de gas inerte para lecturas remotas.

http://www.rainbowelec.co.kr/



10.8.9 Termómetro bimetálico.

Es posible construir un termómetro

basado en la propiedad de expansión

térmica de los metales, que será

estudiado cuantitativamente en un

capítulo posterior. Para ello, se unen dos

tiras de metal cuyas tasas de dilatación

sean distintas.

Al elevarse la temperatura sus

diferentes dilataciones provocarán una

curvatura en el conjunto, que puede ser

calibrada para indicar la temperatura.

Los termómetros bimetálicos más usados

hoy en día, disponen la lámina bimetálica

en forma de rosca, helicoide o disco, de

manera tal que la contracción o dilatación

diferencial provoque un torque sobre

algún dispositivo indicador, normalmente

un dial circular. Adecuadamente

calibrado, resultan instrumentos muy

útiles para propósitos industriales dada

su fortaleza y resistencia a los golpes y

vibraciones.

Fig 10.43 Láminas bimetálicas en forma de disco y helicoide. http://www.kingfedern.de/

Graduados en Celsius y/o Fahrenheit,

proporcionan, son muy versátiles dada la

gran variedad de rangos de temperatura

en las que están calibrados. Es usual

encontrar en el comercio termómetros

bimetálicos con escalas en intervalos

intermedios entre -50 y 550ºC y

presentados en diversas formas fáciles

de montar en equipos industriales. Sus

tiempos de respuesta oscilan entre 1 y 2

minutos. Son menos precisos que los

termómetros de líquido.



Fig 10.44 http://www.moscapeng.com/bimetal.html

Fig 10.45 http://www.servonics.com/Trerice.htm Termómetros bimetálicos de uso industrial.

En el área de la producción de alimentos

también son muy usados, tanto a nivel

profesional como a nivel doméstico,

debido a su bajo costo y a que no usan

líquidos contaminantes tales como el

alcohol y especialmente, el mercurio.

Existen con escalas adecuadas para

conservación de alimentos en frío,

preparación de alimentos con calor, para

medir la temperatura de las bebidas, y

otras de larga enumeración.

Fig 10.46 http://www.fsis.usda.gov/oa/thermy/ktherms.htm

Fig 10.47 Termómetros bimetálicos para alimentos. http://www.txbeef.org/.

10.8.10 Termocuplas.

En 1821, Thomas. Johann. Seebeck nacido

en Estonia y formado en Alemania desde

los 17 años (estudió medicina en la

universidad de Göttingen) descubrió el

efecto termoeléctrico que llamó termo

magnetismo.

Seebeck descubrió que una corriente

eléctrica fluía en forma continua en un

circuito cerrado formado por dos metales

distintos si las juntas eran mantenidas a

temperaturas distintas.



T1 T2

A(+)

B(-)

fuerza electromotríz de seebeck.

flujo de corriente

Fig 10.48 Efecto Seebeck.

La fuerza electromotriz generada por

este dispositivo puede ser calibrada en

función de la temperatura, permitiendo la

construcción de un termómetro

denominado Termocupla. Estos

instrumentos son usados en la industria y

para algunos propósitos específicos.

La figura siguiente muestra el esquema

de una Termocupla.

Fig 10.49 Esquema de una Termocupla teórica.

El tipo de cables de la Termocupla

determina la diferencia de temperaturas

que se pueden medir, debido a que es una

función de la diferencia de potencial que

se genera entre ellos.

A lo largo del tiempo han aparecido

muchas combinaciones, producto de

aplicaciones particulares, siendo el

estándar más usado hoy día, el reportado

por la NIST de Estados Unidos (Nacional

Institute of Standards and Technology).

Los tipos de Termocuplas que establece

la NIST ITS-90 Thermocouple Database

son las siguientes:

tipo Cable (+) Cable (–) Rango de T

J Fe Cu/Ni -210/1200

K Ni/Cr Ni/Al -270/1372

T Cu Cu/Ni -270/400

R 87% Pt 100% Pt -50/1768

S 90% Pt 100% Pt -50/1768

B 70% Pt 94% Pt 0/1820

E Ni/Cr Cu/Ni -270/1000

N Ni/Cr/Si Cu/Ni/Mg

http://srdata.nist.gov/its90/main/

Las Termocuplas J y K son las más usadas

en la industria hoy en día, llegando a

representar casi el 90% del total.

La Termocupla tipo J es muy usada en la

industria del plástico y de la goma, en

motores, en fundición de metales a baja

temperaturas (aluminio por ejemplo) y en



general, en procesos en los que el sensor

está sometida a vibraciones. Usualmente

el cable de Cu/Ni es de una aleación

denominada Constantan (Cu57Ni43 más la

adición de pequeños porcentajes de Mn y

de Fe) cuya composición depende de la

aplicación.

La Termocupla tipo K es muy usada en

hornos, en fundición de metales a altas

temperaturas (inferiores a 1300ºC, como

el cobre por ejemplo) no ferrosos, y en

lugares en que se necesitan sensores

delgados (pulpa de fruta por ejemplo)

Las Termocuplas Tipos R, S y B son

ocupadas casi exclusivamente en la

industria siderúrgica.

Las Termocuplas tipo T son ocupadas en

la industria de alimentos, aunque hoy en

día estas han empezado a ocupar

sistemas PT100, los que serán tratados

más adelante.

En el mercado se encuentra una gran

variedad de Termocuplas, las que

básicamente siguen el esquema que se

observa en la figura 11.38. Estos

instrumentos cuentan con un dispositivo

que proporciona una temperatura de

referencia controlada electrónicamente,

que debe ser calibrada periódicamente y

con un dispositivo que soluciona el

problema de la no linealidad de la

respuesta eléctrica al cambio en la

temperatura.

Fig 10.50 Esquema de una Termocupla usual.

La figura 11.39 muestra algunas

Termocuplas de los tipos más usados. No

se aprecian en la foto los sensores que

contienen la junta de medición

Fig 10.51 Termocuplas J, K y T. http://www.process-controls.com/cyronix/



Los sensores son dispositivos

(normalmente tubos) que protegen a los

cables de la Termocupla de daños por

ambientes agresivos o de superficies que

conducen electricidad y son básicamente

de tres tipos de acuerdo a la forma en

que los cables están dispuestos en la

unión de medición, como se indica en la

figura 11.40.

cables sin contacto con elcuerpo de la sonda

cables en contacto con elcuerpo de la sonda

cables expuestos al ambiente

Fig 10.52 Tipos de sensores para Termocuplas.

Un sensor sin contacto es útil cuando la

superficie cuya temperatura se quiere

medir es eléctricamente conductora.

Un sensor expuesto es útil para medir

temperatura ambiente. Es la de mayor

rapidez de respuesta.

Fig 10.53 Sensor de inmersión para Termocupla tipo K (-50ºC a 800ºC). http://www.oka.com.tw/

El bajo costo, el amplio rango de

temperaturas que permiten medir y la

facilidad que otorga para medir

temperaturas en diversos tipos de

ambientes (corrosivos, contaminados

húmedos, etc), su rápida respuesta

(alrededor de 5 segundos) y la posibilidad

de medir en puntos muy pequeños dado lo

delgado de los sensores, han convertido a

la Termocupla en el termómetro más

usado hoy en día para propósitos

generales. Sus desventajas son que no son

muy precisos (errores típicos del orden

de 0,5ºC a 1ºC), tiene la tendencia a

producir ruido en la señal cuando la sonda

se encuentra muy lejana (10 o 20 metros)

y a que la respuesta eléctrica no es lineal

con la temperatura, lo que obliga a

realizar correcciones de la lectura de la

señal eléctrica del sensor.



Fig 10.54 Termocupla, con rango entre-50 y 400ºC. http://www.hotektech.com/Tes915_922_935.htm

10.8.11 Termómetros de resistencia.

Conocidos como RTD (Resistance

Temperatura Detectors), fueron

desarrollados por Sir William Siemens en

1871, quien encontró que la resistencia

eléctrica de un conductor de Platino

cambia linealmente con la temperatura en

términos relativamente uniforme en un

amplio rango.

Siemens nació en Prusia con el nombre de

Karl Wilhelm Siemens en 1823 y emigró a

Inglaterra en 1844, anglicanizando su

nombre por Charles William. Su trabajo

fue notable en metalurgia y en

electricidad, siendo nombrado Caballero

en 1883 por su contribución a las ciencias

y a la ingeniería.

Fig 10.55 Sir William Siemens.

El Platino es un metal que no se oxida a

altas temperaturas y constituye un

elemento termométrico altamente

confiable entre -260 y 1235ºC.

La alta precisión que puede alcanzarse

con termómetros de platino, la mayor

entre los termómetros comercialmente

disponibles, hizo que fuera usado por el

Comité General de Pesos y Medidas para

la IPTS en 1968 para definir la

temperatura entre el punto triple del

hidrógeno (259,34ºC) y el punto de

congelamiento de la plata (961,78 ºC)

En la industria, los RTD son preferidos a

las Termocuplas debido a su precisión

(aún cuando son de respuesta más lenta),

para medir temperaturas entre -200ºC y

850ºC. No necesitan mecanismos de

corrección a la respuesta eléctrica y son



estables hasta el punto en que pueden

introducirse en un medio cuya

temperatura sea 300ºC mayor que la del

medio desde el que provenía y repetir el

cambio 40 o 50 veces, sufriendo errores

de lectura del orden de solo 0,02ºC.

La precisión de los RTD viene dada en

términos de % de error en la lectura de la

resistencia eléctrica en función de la

temperatura de trabajo, debido a que los

errores provienen fundamentalmente de

los cables conductores de la señal hacia el

instrumento de medición de la resistencia

y del autocalentamiento que estos sufren.

La IEC (International Electrotechnical

Comisión de Estados Unidos) reporta

para RTD clase B una resistencia

eléctrica nominal de 100 ohm ± 0,12%

para 0ºC.

Se encuentran disponibles en el comercio

RTD de platino (lejos el más usado),

cobre y Níquel (aunque se observan

últimamente otros materiales), debido a

la pureza con que se fabrican estos

metales en la industria, propiedad

fundamental para la respuesta con la

temperatura. Además con estos metales

pueden elaborarse cables muy delgados,

indispensable para la construcción de

termómetros con sensores para distintas

aplicaciones.

Son construidos, con medidores de

resistencia eléctrica y sensores con

cables de los metales citados

anteriormente, con formas distintas para

aplicaciones particulares.

Fig 10.56 Termómetro de resistencia con sensor de platino (-200ºC hasta 300ºC con precisión de 0,1ºC). http://www.topac.com/thermcontactPT.html

Fig 10.57 Sensores RTD para diferentes aplicaciones



10.8.12 El termómetro de

resistencia de Germanio

(GRT) permite medir temperaturas en

rangos tan bajos como entre 0,05K y

100K con iguales características de

estabilidad y precisión y posibilidad de

producir sensores de dimensiones muy

pequeñas, como las necesarias en

criogenia (estudio de materiales a

temperaturas muy bajas) que los de

Platino.

La NIST lo adoptó como Standard

Primario para temperaturas entre 2K y

20K en la norma ITS-90.

Resulta sorprendente como estos

sensores son calibrados año a año sin

experimentar cambios.

La fragilidad de algunos elementos usados

en los RTD, que los hacía desventajosos

frente a las Termocuplas en lugares

donde existen vibraciones o impactos han

motivado el desarrollo de elementos RTD

denominado “de película delgada” (Thin

film), que consiste en depositar una

película de Platino en un sustrato,

normalmente de material cerámico,

mediante técnicas eléctricas de alto

vacío. Esto ha permitido construir

sensores RTD mucho más versátiles,

mucho más baratos y de formas que antes

constituían la ventaja mayor de las

Termocuplas para algunas aplicaciones,

desplazándolas rápidamente.

10.8.13 Termistores.

Son básicamente termómetros

construidos con materiales

semiconductores (de bajo costo en el

mercado actual) cuya resistencia

eléctrica es mucho más sensitiva a los

cambios de la temperatura que la de los

RTD. La palabra termistor proviene de la

expresión ”thermally sensitive resistor

(thermistor)”.

Su desarrollo teórico fue publicada por

los oceanógrafos Steinhart y Hart en

"Deep Sea Research" vol. 15 p. 497

(1968).

Fig 10.58 Termistores. http://www.ussensor.com



Existen termistores con coeficiente

resistencia/temperatura positivos (PTC)

es decir aquellos cuya resistencia

eléctrica aumenta con el aumento de la

temperatura y Termistores con

coeficiente negativo (NTC) los que

disminuyen su resistencia con el aumento

de la temperatura.

Termistores NTC son construidos con

óxidos de metales de transición

(Manganeso, Cobalto, Cobre y Niquel)

permiten medir rangos de temperaturas

entre -200ºC y 1000ºC en rangos amplios.

Termistores PTC son construidos con

Titanato de Bario y son muy buenos

cuando se requiere de un drástico cambio

en la resistencia a una temperatura

específica (como la necesaria en

protecciones eléctricas o en alarmas

contra incendios).

Fig 10.59 Relay para protección de motor, con termistor. www.ad.siemens.de

Debido a que los Termistores tienen

respuestas muy poco lineales, son

construidos para medir rangos de

temperatura estrechos (aunque esto

puede ser solucionado cuando se les

integra en circuitos puente). Esto les hizo

en sus inicios poco competitivos en la

industria, sumado a la desventaja de la

rápida descalibración a altas

temperaturas debida a su estructura

semiconductora y a su fragilidad, lo que

no le permite trabajar en zonas de

vibraciones o impactos.

Sin embargo, la aparición de

microcontroladores compactos y baratos

en el mercado, y de instrumentación

electrónica muy versátil los ha

posicionado en aplicaciones en rápido

aumento. Hoy es posible encontrar

termistores NTC en sistemas de control

industrial que requieren mediciones de la

temperatura muy precisas, en

componentes de sistemas de display, en

tarjetas de computadores, entre otros.



Fig 10.60 Tarjeta Iwill VD133 PRO con termistor. http://www.overclockers.com

Por otra parte, mejoras tecnológicas

obtenidas en los últimos tiempos en la

construcción de termistores NTC los han

ubicado en aplicaciones críticas de la

industria médica, de instrumentación

científica, militar y aeroespacial, con gran

éxito. Incluso se han desarrollado

termistores que permiten medir la

temperatura del interior del cuerpo

humano y de los alimentos en su

elaboración, debido a su precisión

(+/- 0,02ºC, mejor que los RTD y mucho

mejor que las Termocuplas), costos

accesibles, rápida respuesta y a la

ausencia de sustancias nocivas para la

salud humana en sus componentes.

Fig 10.61 Termistores libres de plomo usados en la compensación de la temperatura en circuitos de teléfonos celulares. www.mmc.co.jp

Fig 10.62 Termistor para carnes en forma de tenedor http://www.pueblo.gsa.gov/cic_text/food

10.8.14 Termómetros de circuito

integrado.

Los sensores más nuevos son aquellos

construidos con transistores de Silicio y

Germanio.

Si dos transistores trabajan a tasas

constantes, entonces la diferencia entre



los voltajes de base emitidos por ambos

será lineal. Este voltaje puede ser

convertido a corriente por un resistor de

película delgada, la que resulta

directamente proporcional a la

temperatura absoluta en Kelvin.

Las ventajas de este sensor es que la

respuesta en la corriente eléctrica es

absolutamente lineal con el cambio de la

temperatura; que puede ser usado con

sensores remotos de larga distancia

debido a que los cables de extensión no

afectan a la lectura de la corriente

eléctrica; son extraordinariamente

precisos, de bajo costo y fácilmente

integrables en circuitos de otros

aparatos.

La principal desventaja es que solo

permiten escalas termométricas en

rangos muy estrechos, con límite máximo

menor a 150ºC .

10.8.15 Termómetros de radiación.

Basados en la propiedad de que la materia

emite radiación electromagnética cuya

distribución espectral es determinada

por la temperatura, existen distintos

termómetros que son denominados

genéricamente termómetros de radiación

(pirómetros).

La teoría que sustenta esta afirmación

está fuera de los límites de este curso,

fue desarrollada por Stefan, Boltzman,

Planck y Einstein, entre otros.

En términos muy generales, si se dispone

un cuerpo en un recipiente cerrado y se

espera que se logre el equilibrio térmico,

al abrir un orificio existe una emisión de

una onda electromagnética, cuya energía

está distribuida en una banda específica

de longitudes de onda con distintas

intensidades (espectro

electromagnético). La forma de esta

curva de distribución de la energía en

función de la longitud de onda es

característica de cada temperatura.

La figura 10.63 muestra las curvas

teóricas correspondientes al espectro de

radiación electromagnética emitida por un

cuerpo negro ideal, usadas como base de

calibración de los termómetros de

radiación.

El cuerpo negro ideal es capaz de

absorber la totalidad de la energía que

recibe y es capaz de emitir la totalidad

de la energía que dispone, es decir su

emisividad es 1,0.



ultravioleta infrarojo

longitud de onda en µm

ener

gía

radi

ada

para

c/l

ong.

de

onda visible

2000K

1750K

1500K

1250K

1 2 3 4 5

long. de onda máxima

curva de intensidadpara cadatemperatura

Fig 10.63 Espectro de radiación de un cuerpo negro.

Los cuerpos reales tienen emisividades

menores que 1,0. Emisividad de 0,6

significa que radia el 60% de la energía

emitida por un cuerpo negro. La

emisividad de la superficie del cuerpo

cuya temperatura quiere medirse debe

ser conocida para ajustar la respuesta

del termómetro de radiación.

El medio existente entre el detector de

radiación y el cuerpo cuya temperatura

quiere medirse proporciona otra

dificultad, puesto que su patrón propio de

radiación altera la medición. El

instrumento debe tener un mecanismo

que permita corregir este fenómeno.

El avance en la electrónica y en la

microelectrónica hoy permite construir

equipos y detectores en bandas

estrechas de gran precisión, bajo costo y

de muy rápida respuesta. La emisividad

real se mide actualmente con un láser y

un dispositivo electrónico especial.

Esto ha significado un gran aumento en el

número de aplicaciones para estos

equipos, que hasta no hace mucho tiempo

eran considerados aptos solo para medir

desde lugares remotos las altas

temperaturas de sistemas agresivos para

los restantes instrumentos (hornos de

fusión de metales por ejemplo) y cuyo

espectro ofrecía radiación en el rango de

la luz visible. Hoy se pueden medir con

ellos la temperatura de objetos en

movimiento, de dimensiones pequeñas e

incluso la temperatura del cuerpo humano

o de sistemas que emiten fuera del rango

visible.

Fig 10.64 Termómetro infrarrojo para medir temperatura en el oído. Rápida y precisa lectura, Libre de mercurio.



En el mercado pueden encontrarse

equipos que oscilan entre aquellos que

detectan radiación en banda ancha,

bandas angostas, multicanales, en

longitudes de onda visible o infrarrojas,

con medidor de emisividad laser, con

calibradores de cuerpo negro o de

emitancia, algunos de los cuales son

descritos en las figuras siguientes.

Fig 10.65 Pirómetro óptico de banda angosta con detector de emisividad láser. Temperaturas entre 740ºC y 1538ºC. longitud de onda central:0,9 m. Precisión:+/- 3ºC. Aplicación: hornos de procesos industriales y de secado. http://www.quantumlogic.com

Fig 10.66 Pirómetro óptico. Banda: 0,4µm a 1,65 µm. Tiempo de respuesta: regulable entre 0,1s y 30s. Temperaturas entre 300ºC y 3000ºC. http://www.thermoest.com

Fig 10.67 Pirómetro infrarrojo para medir temperatura de combustión de madera en hornos. Temperaturas entre 25ºF y750ºF. Con dispositivo Láser. http://www.mugnaini.com

Fig 10.68 Pirómetro infrarrojo con control de emisividad manual. Temperaturas entre -30ºC y 100ºC. Precisión:+/- 5ºC. Tiempo de respuesta: menos de 1segundo. http://www.ossgeo.unimo.it

Fig 10.69 Termómetro infrarrojo de oído. 0,1s a 0,3s de tiempo de respuesta. Precisión:+/-0,1ºC. http://www.hyperphysics.phy-astr.gsu.edu



Fig 10.70 Lámpara Standard de carbono del laboratorio de calibración Leeds & Northrup's para temperaturas entre 2000°C - 3538°C

Fig 10.71 Fuente esférica de calibración de emitancia Isotech para pirómetros infrarrojos.

10.9 Ecuaciones de los gases ideales.

La escala de temperaturas absolutas de

Kelvin permite formular de manera muy

simple las relaciones entre las variables

que gobiernan el comportamiento de los

gases ideales, como se relatan

brevemente a continuación.

10.9.1 Ley de Boyle:

Si la temperatura es constante, entonces

se tiene que la cantidad PV de un sistema

compuesto por n moles de un gas ideal es

constante.

Como una consecuencia de lo anterior, se

tiene que: si el proceso para pasar desde

el estado E0 caracterizado por P0 y V0

hasta el estado E1 caracterizado por P1 y

V1 es isotérmico, entonces se tiene que:

P0V0=P1V1

Gráficamente, dado que PV=cte es la

ecuación de una hipérbola, se tiene:

P0

P1

V1V0

V

P

E0

E1

Isoterma T0

Fig 10.72 Isotermas. Curvas asintóticas a los ejes que representan estados de un gas ideal en un proceso a temperatura constante.

Aquí se observa claramente la relación

inversamente proporcional de la presión y

el volumen cuando el proceso es

isotérmico.



10.9.2 1º Ley de Gay Lussac o ley

de Charles:

Si la presión es constante entonces se

encuentra que la variación del volumen

(∆V) de un gas compuesto de n moles

depende de la variación de la

temperatura (∆T) y del volumen inicial

(V0) de la siguiente forma:

∆V α ∆T

∆V α V0

Ambos hechos experimentales permiten

encontrar las relaciones:

∆V = k ∆T

∆V = k V0

de donde se obtiene:

∆V = k V0 ∆T


V - V0 = k V0 ∆T

V = V0 + k V0 ∆T

Con k= β, denominado coeficiente de

dilatación a presión constante del gas.

Entonces:

V=V0[1+β (Τ−Τ0)]

Donde V0 es el volumen a la temperatura

T0. Si T0 = 0, entonces β = β0 y la función

se convierte en:

V=V0[1+β0Τ]

Experimentalmente se encontró que para

presión constante muy baja (gas ideal) el

valor de β0 es igual para todos los gases:

01 10,003660

ºC 273⎡ ⎤β = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦

Entonces se tiene:

0

0

TV V 1273

273 TV V273

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

0

V 273 TV 273

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Pero 273+T es la temperatura absoluta

en Kelvin y 273 es T0, entonces:

0 0

V TV T

=

Note que en esta expresión T y T0 son

temperaturas absolutas.

Gráficamente:



T0 T1

V1

V0

V(m3)

T(K)E0

E1

Isobara P0

0

Fig 10.73 Diagrama V/T para proceso isobárico.

Aquí se observa claramente que el

volumen que ocupa un gas ideal es

directamente proporcional a su

temperatura absoluta cuando el proceso

es isobárico (Presión constante).

Note que la extrapolación de la curva

permite calcular el valor que debería

tener el gas cuando el volumen sea cero,

es decir, el cero absoluto de Kelvin, pero

ni Charles ni Gay Lussac disponían de

instrumentos muy precisos y obtenían

valores muy distintos para cada gas.

10.9.3 2º Ley de Gay Lussac.

Si el volumen es constante entonces se

encuentra que la variación de la presión

(∆P) de un gas compuesto de n moles

depende de la variación de la

temperatura (∆T) y de la presión inicial

(P0) de la siguiente forma:

∆P α ∆T

∆P α P0

Ambos hechos experimentales permiten

encontrar las relaciones:

∆P = k` ∆T

∆P = k` P0

de donde se obtiene:

∆P = k` P0 ∆T


P - P0 = k`P0 ∆T

P = P0 + k`P0 ∆T

Con k`= β`, denominado coeficiente de

dilatación a volumen constante del gas.

Entonces:

P=P0[1+β`(Τ−Τ0)]

Experimentalmente se encontró que

β = β` para todos los gases reales a

presiones bajas.

En esta expresión P0 es presión a la

temperatura T0. Si T0 = 0, entonces

β` = β0`1

273≈ y la función se convierte

en:



P=P0[1+β0`Τ]

0

0

TP P 1273

273 TP P273

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

0

P 273 TP 273

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Pero 273+T es la temperatura absoluta

en Kelvin y 273 es T0, entonces:

0 0

P TP T

=

Note que en esta expresión T y T0 son

temperaturas absolutas.

Gráficamente,

T0 T1

P1

P0

P(N/m2)

T(K)E0

E1

Isovolumétrica V0

0

Fig 10.74 Diagrama P/T para proceso isocórico.

Aquí se observa claramente que la presión

de un gas ideal es directamente

proporcional a su temperatura absoluta

cuando el proceso es isovolumétrico

(volumen constante); a veces se denomina

isocórico.

La extrapolación de esta curva también

permite calcular el valor que debería

tener el gas cuando la presión sea cero,

es decir, el cero absoluto de Kelvin. Aún

no se contaba con instrumentos precisos.

10.9.4 Ecuación de estado de los

gases ideales.

Ahora podemos juntar todo. Tenemos

varios descubrimientos que parecen

decirnos claramente que un gas puede

caracterizarse a través de lo que

denominaremos, magnitudes

microscópicas observables, denominadas

Presión, Volumen y Temperatura. Esta

visión no es trivial, puesto que podríamos

estudiar un gas al menos en términos

generales, sin involucrarnos en la

compleja interrelación microscópica,

materia que se resolvió en el tiempo con

la teoría cinética de los gases, la

mecánica estadística y otras ramas de la

física.

Sabemos medir las tres variables y

sabemos como se relacionan de a pares,

cuando la restante es constante, a través

de las leyes de los gases antes descritas.

Se definirá el estado de un gas en función

de estas variables, de manera tal que



cuando se encuentre en el estado E0 , las

variables de ese estado serán (P0,V0,T0).

En adelante se llamará variable de estado

a todas aquellas que no dependan de la

forma en que llegó el gas a él.

Consideremos que disponemos de una

cantidad de gas cuya masa es m, que

contiene n moles, en el estado E1

(P0,V0,T0), confinado en un recipiente

cuyo volumen puede modificarse mediante

un mecanismo controlado. Suponga

además que P0=1atm y T0=0ºC

(denominadas condiciones normales de

temperatura y presión). Entonces

mediante un proceso a presión constante

se va hasta el estado E3(P0,V3,T) y luego

mediante un proceso a temperatura

constante, hasta el estado E2 (P,V,T),

según se observa en la gráfica de la

figura siguiente.

P0

P

V3V0

V

P

E2

E1

Isoterma T0

V

Isoterma T

E3

Fig 10.75 Diagrama P/V para cambio de estado compuesto de un proceso isobárico seguido de un proceso isotérmico.

El proceso E1E3 es isobárico por lo que

está gobernado por la ley Charles o de

Gay Lussac, con T0=0ºC, P0=1atm:

V3=V0(1+β0T) (1)

El proceso E3E2 es un proceso isotérmico

a la temperatura T, gobernado por la Ley

de Boyle:

P0V3=PV (2)

Reemplazando (1) en (2), se obtiene:

P0V0(1+β0T)=PV

Que se puede expresar como:

0 0 00

1PV P V ( T)= β +β

y como 01

273β =

0 0 0PV P V (273 T)= β +

Donde 273+T es la temperatura absoluta

en la escala Kelvin, de modo que:

0 0 0PV P V T= β

En esta expresión la cantidad P0V0β0 es

una constante, pues V0 es el volumen del

gas en el estado E1, bajo cuyas

condiciones y de acuerdo a la ley de

Avogadro es 22,4 litros por cada mol para

cualquier gas.



Esta constante, que se le denomina

“constante universal de los gases ideales”

(R), se puede calcular fácilmente:

( )0 0 0litros 1P V 1atm 22,4mol 273K

atm ltR 0,082mol K

⎛ ⎞⎛ ⎞β = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

En el sistema internacional de unidades,

se tiene:

3 33

0 0 0 2N 10 m 1P V 101,3x10 22,4xm mol 273K

JR 8,31mol K

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞β = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Como tenemos n moles, entonces podemos

escribir:

PV nRT

=

O, de la forma más conocida:

PV nRT=

Conocida como ecuación de estado de los

gases ideales.

Note que si se cuenta con un gas ideal

cuya masa no cambia (número de moles

constante), entonces las coordenadas

P,V,T, en un proceso cualquiera que

conduce al gas entre los estados E1 y E2

pueden relacionarse con la ecuación de

estado, pues entonces en el estado E1 se

tiene 1 1

1

PV nRT

= y en el estado E2 se tendrá

2 2

2

PV nRT

= , de manera tal que:

1 1 2 2

1 2

PV PVT T

=

Si el proceso se realiza a temperatura

constante, entonces se tiene T1=T2 y se

obtiene la ley de Boyle: 1 1 2 2PV PV= .

Si el proceso se realiza a presión

constante, entonces se tiene P1=P2 y se

obtiene la ley de Charles o 1º ley de Gay

Lussac: 1 2

1 2

V VT T

= .

Si el proceso se realiza a volumen

constante, entonces se tiene V1=V2 y se

obtiene la ley 2º ley de Gay Lussac:

1 2

1 2

P PT T

=

10.10 Escala Internacional de Temperaturas.

Como se ha establecido, la temperatura

puede definirse intuitivamente como una

medición de cuan caliente está algo. Para

que esto tenga algún valor, debe definirse

una escala de valores numéricos y una

interpolación a través de un instrumento

de medida.



Las escalas de mayor uso son la Celsius y

la Kelvin, aunque la segunda es la única

escala que tiene una base real en la

naturaleza, pues no se pueden alcanzar

temperaturas menores que 0K. Debido a

su definición lineal, basta con solo un

punto fijo para establecer la escala.

Existen distintos instrumentos, que

ocupan distintas propiedades

termométricas para medir la temperatura

(propiedades que varían de alguna manera

comprensible con la temperatura:

volumen, presión, resistencia eléctrica,

resistividad, longitud de onda de la

radiación, etc).

Pero la tarea de construir termómetros

es muy compleja puesto que algunas de las

propiedades no varían linealmente con la

temperatura, o cambian de fase en rangos

estrechos o sufren otras

transformaciones que las inutilizan como

propiedades termométricas en algunos

rangos.

La búsqueda de instrumentos,

propiedades termométricas, así como

puntos fijos fácilmente reproducibles y

exactos proviene desde hace muchos

siglos.

La comunidad científica ha logrado

establecer una escala de temperaturas

absolutas estándar, puntos fijos y los

instrumentos aceptados para rangos

específicos de interpolación de la curva,

que sufren modificaciones debidas al

avance de la física y la tecnología, cada

cierto número de años.

El primer esfuerzo destacable de

establecer un estándar lo constituye la

proposición de una escala denominada

“Escala Práctica de Temperaturas”

durante la reunión de 1889 de la British

Association for de Advancement of

Science (BAAS). Allí se propuso adoptar

un termómetro de resistencia de platino

calibrado con los puntos fijos

correspondientes al punto de

congelamiento del agua y de ebullición del

agua y del azufre. Se propuso

denominarla “Escala de temperaturas de

la Asociación Británica” y se la relacionó

con la escala ideal de temperaturas

confeccionada a partir de un termómetro

de gas calibrado con el punto de ebullición

del azufre. No existe información

confiable de que este acuerdo haya sido

establecido en esta reunión.

Varios esfuerzos posteriores de los

laboratorios nacionales de Alemania



(Physikalish-Technische Reichanstalt,

Inglaterra (National Physical Laboratory)

y Estados unidos (National Institute of

Standards and Technology, NIST, en ese

entonces denominado National Bureau of

Standards, NBS) finalmente sugieren una

Escala Internacional que fue ampliamente

discutida por la comunidad internacional,

destacándose la participación de la

Oficina Internacional de Pesas y Medidas

(Bureau International des Poids et

Mesures, BIPM) y la Universidad de

Leiden.

Esta escala, acordada en 1925, fue

aceptada en 1927 por la Conferencia

General de Pesas y Medidas (CGPM) y

considera un termómetro de resistencia

de platino para temperaturas entre

-139ºC y 650ºC calibrado a 0ºC, a 100ºC y

a 444,5ºC (punto de ebullición del

azufre). Entre 650ºC y 1100ºC la escala

fue definida a través de una Termocupla

(Pt-10 % Rh/Pt) calibrada mediante los

puntos de congelación del antimonio

(630ºC), de la plata (960ºC) y del oro

(1063ºC). las curvas de interpolación de

los termómetros eran cuadráticas. Sobre

el punto de congelación del oro se

recomendó una curva que seguía la Ley de

Wien. En la práctica se usaba un

pirómetro óptico.

En 1948, durante la 9ª CGPM se realizó la

primera revisión de la Escala Práctica

Internacional de Temperaturas (IPTS-

48), cambiando el nombre, “grado

centígrado por “grado Celsius”, cambiando

el límite inferior del termómetro de

resistencia a -182,97ºC (punto de

ebullición del hidrógeno) y el superior a

630,5ºC (punto de congelación del

antimonio). El punto de congelación de la

plata fue modificado desde 960,5ºC a

960,8ºC y la Ley de Wien fue cambiada

por la Ley de Planck, aunque exige

radiación visible.

En 1954, la 10º CGPM adoptó la propuesta

realizada por Kelvin en 1854 definiendo la

unidad de temperatura termodinámica en

términos del intervalo entre el cero

absoluto y solo un punto fijo. Se adoptó el

punto triple del agua (temperatura a la

cual el agua coexiste en equilibrio en las

fases sólida, líquida y gaseosa) como

punto fijo, cuyo valor es 273,16K,

equivalentes a 0,01K.

En 1958 la Conferencia Internacional de

pesas y medidas, CIPM adoptó una escala

de presión de vapor de 4He versus



temperatura basada en datos

provenientes de un termómetro de gas

ajustada mediante termometría

magnética (y por cálculos teóricos

termodinámicos bajo los 2,2K) para el

rango de temperaturas entre 0,5K y

5,23K. Esta escala se conoce como Escala

de 4He de 1958 y a las temperaturas

medidas por ella se denominan T58 (en

1962 el CIPM realizó cambios en la escala

basados en la comparación entre las

escalas de presión de vapor del 3He con la

escala de presión de vapor de 4He de

1958 sobre 0,9K y con cálculos

termodinámicos bajo 0,9K. Mediciones

con esta nueva escala se denominan T62).

En 1968 se realizó la segunda revisión de

la escala internacional de temperaturas

(IPTS-68), en la que se eliminó la

distinción entre los métodos de definir

temperatura a través de procedimientos

termodinámicos y prácticos.

A partir de IPTS-68 la unidad fue

definida como 1273,16

de la temperatura

termodinámica del punto triple del agua.

También allí se cambió la denominación

“grados Kelvin (ºK)”, por la denominación

“Kelvin (K)”.

IPTS fue confeccionada en cuatro

etapas:

Entre 13,81K y 273,15K la escala fue

definida en términos de un conjunto de 6

puntos fijos de bajas temperatura y una

función de referencia.

Entre 0°C to 630,74°C la escala fue

definida en términos de la Antigua

ecuación cuadrática modificándola para

considerar los valores nuevos

encontrados para los puntos fijos a partir

del termómetro de gas.

Entre 630,74°C to 1064,43°C se definió

como instrumento la Termocupla Pt-10%

Rh/Pt calibrada a 630,74ºC y los puntos

de congelación de la plata y del oro,

usando una formula de interpolación

cuadrática.

Sobre 1064,43 °C la escala fue definida

en términos de la radiación emitida por un

cuerpo negro y descrita por la ecuación

de Planck. Se levanta la restricción de luz

visible, cambiándola por radiación.

En 1976 la CIPM se establece la

denominada Escala Provisional de

temperaturas, IPTS-76 para el rango

entre 0,5K y 30K en términos de 11

puntos fijos en ese rango, en conjunto



con las diferencias entre T76 y algunas

de las siguientes escalas: IPTS-68; las

escalas de presión de vapor de 4He-1958

y 3He-1962 ; NPL-75 y la versión NBS

de IPTS-68.

En contraste con IPTS-68, la IPTS-76

puede ser construida de la manera antes

descrita, con la ayuda de unas tablas

proporcionadas por la CIPM, o usando un

de gas o un termómetro magnético

(ambos interpolados

termodinámicamente) y calibrados con

uno o más puntos fijos especificados en

IPTS-76.

En 1990 se realizó la última modificación,

que será descrita en forma más extensa

por constituir el estándar actual.

La unidad de la cantidad física

fundamental denominada temperatura

termodinámica, símbolo T, es el Kelvin,

símbolo K, definida como la fracción de

1273,16 de la temperatura termodinámica

del punto triple del agua.

Debido a la anterior definición de

temperatura, es usual expresar una

temperatura en términos de su diferencia

con 273,15, el punto de fusión del hielo.

Una temperatura termodinámica

expresada de esa forma, se denomina

temperatura Celsius, símbolo t, definida

como:

t TºC K 273,15

=−

La unidad de temperatura Celsius es el

grado Celsius, símbolo ºC, el cual es por

definición, de igual magnitud que el Kelvin.

Una diferencia de temperatura puede ser

expresada en Kelvin o en grados Celsius.

IPTS-90 define temperaturas

denominadas T90 en Kelvin y t90 en grados

Celsius.

Las definiciones dadas en IPTS-90

consisten en una serie de rangos

interpolados. Esto produce que para

algunos rangos de temperatura existan

diferentes definiciones de T90, todas las

cuales tienen igual validez. Las

definiciones adoptadas allí producen

valores mucho más precisos a los teóricos

proporcionados por la escala

termodinámica, y son más fáciles de

reproducir. Se observan tres rangos

mayores y varios subrangos, brevemente

descritos a continuación:

Entre 0,65K y 5,0K, T90 se define en

términos de las relaciones entre la



temperatura y la presión de vapor del 3He

y 4He.

i 990

0 ii 1

pln BT PaA AK C

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

los valores de las constantes A0, Ai B y C

vienen dadas en una tabla para 3He en el

rango entre 0,65K y 3,2K; y para 4He en

el rango entre 1,25K y 2,1768K en el

rango entre 1,25K y 2,1768 (punto

lambda) y en el rango entre 2,1768 y

5,0K.

Entre 3,0 y el punto triple del Neón

(24,5561K), T90 se define mediante un

termómetro de gas de volumen constante

con 3He y 4He, calibrado por el punto

triple del neón (24,5561K), el punto triple

del hidrógeno (13,8033K) y una

temperatura entre 3,0K y 5,0K

determinada mediante un termómetro de

presión de vapor de 3He o 4He según un

procedimiento especificado por la IPTS-

90. Esto puede realizarse de dos maneras

distintas:

i) Desde 4,2K al punto triple del neón

con 4He como sustancia termométrica. En

este rango T90 se define a través de la

expresión:

T90 = a + bp + cp2

Donde p es la presión en el termómetro

de gas y a,b,c son constantes obtenidas

con un procedimiento parecido al usado en

el rango anterior.

Desde 3.0K hasta el punto triple del neón

con 3He o 4He como sustancia del

termómetro de gas. Cuando estos

termómetros sean usados, debe tomarse

en cuenta la no linealidad del gas bajo

4,2K, a través de coeficientes (B3 y B4).

En este rango T90 es definida por la

expresión:

2

90

x 90

a bp cpT N1 B (T )V

+ +=

+

Donde p es la presión en el termómetro

de gas, a,b,c son constantes obtenidas

con un procedimiento parecido al usado en

el rango anterior; NV

es la densidad del

gas, N es la cantidad de gas y V el

volumen del bulbo; x es 3 o 4 dependiendo

del isótopo del gas usado y los valores de

los coeficientes son determinados por las

expresiones siguientes:

para 3He:



190

63 903 1 2 3

90 90

T16,69 336,98KB (T ) 10

m mol T T91,04 13,82K K

−

−− − −

⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Para 4He:

190

2 3690 90 904

3 1

4 590 90

T16,708 374,05K

B (T ) T T383,53 1799,2 10m mol K K

T T4033,2 3252,8K K

−

− −−

−

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

La precisión obtenida para T90 con estas

expresiones depende del diseño del

termómetro utilizado y de la densidad del

gas.

Entre el punto triple del Hidrógeno

(13,8033K) y el punto de congelación de la

plata (961,78ºC) T90 es definido por

medio de termómetros de resistencia de

platino.

Las temperaturas se determinan en

términos de la razón [W(T90)] entre la

resistencia R [R(T90)] a la temperatura

T90 y la resistencia R [R(273,16)] a la

temperatura del punto triple del agua,

definida como:

9090

R(T )W(T )R(273,16)

=

un termómetro aceptable debe estar

construido en base de platino puro, y

debe satisfacer a lo menos una de las

siguientes relaciones:

W(29,7646ºC) 1,11807W( 38,8344ºC) 0,844235

≥

− ≥

Además, si se quiere usar a la

temperatura del punto de congelación del

platino, debe satisfacer la relación:

W(961,78ºC) 4,2844≥

Este rango está dividido en dos rangos

mayores (entre 13,8033K y 0ºC) y (entre

0ºC y 961,78ºC) y varios subrangos

sobrepuestos.

Entre 13,8033K y 0ºC las funciones de

referencia son:

( )90

i 12

90 0 ii 1

Tln 1,5273,16Kln W T A A i

1,5

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

1i 15 6

90 900 i

i 1

T W(T ) 0,65B B i273,16K 0,35

=

=

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Las constantes A0,Ai,B0 y Bi estan dadas

en una tabla.

Un termómetro puede calibrarse para el

uso en el rango entero, o para rangos más

estrechos con límite superior 0ºC y

rangos menores determinados por los



puntos fijos 24,5561 K; 54,3584 K y

83,8058 K.

Lo subrangos determinados son:

i) Entre el punto triple del hidrógeno

(13,8033K) y el punto triple del agua

(273,16K) el termómetro debe calibrarse

con el punto triple del hidrógeno, neón

(24,5561 K), oxígeno (54,3584), argón

(83,8058), mercurio (234,3156) y del

agua.

ii) Entre el punto triple del oxígeno y el

punto triple del agua, el termómetro debe

calibrarse con el punto triple del oxígeno,

argón, mercurio y del agua.

iii) Entre el punto triple del argón y el

punto triple del agua, el termómetro debe

calibrarse con el punto triple del argón,

mercurio y del agua.

Entre 0ºC y 961,78 las funciones de

referencia son:

( )

i90

i 9

90 0 ii 1

T 754,151,5KW T C C

481

=

=

⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

ii 990 90

0 ii 1

T W(T ) 2,64D DK 273,15 1,64

=

=

−⎡ ⎤= + ⎢ ⎥− ⎣ ⎦

∑

Las constantes C0,Ci,D0 y Di están dadas

en una tabla.

Un termómetro puede calibrarse para el

uso en el rango entero, o para rangos más

estrechos con límite inferior 0ºC y

rangos superiores determinados por los

puntos fijos 660,323°C; 419,527°C;

231,928°C; 156,5985°C o 29,7646°C.

Lo subrangos determinados son:

i) Entre el punto triple del agua y el punto

de congelación de la plata (961,78ºC) el

termómetro debe calibrarse con el punto

triple del agua (0,01ºC) y los puntos de

congelación del estaño (231,928ºC), zinc

(419,527ºC) y de la plata.

ii) Entre 0ºC y el punto de congelación del

aluminio (660,323ºC) el termómetro debe

calibrarse con el punto triple del agua, y

los puntos de congelación del estaño, zinc

y del aluminio.

iii) Entre 0ºC y el punto de congelación

del zinc el termómetro debe calibrarse

con el punto triple del agua, y los puntos

de congelación del estaño, y del zinc.

iv) Entre 0ºC y el punto de congelación

del estaño el termómetro debe calibrarse

con el punto triple del agua, y los puntos

de congelación del indio (156,5985), y del

estaño.



v) Entre 0ºC y el punto de congelación del

indio el termómetro debe calibrarse con

el punto triple del agua, y el punto de

congelación del indio (156,5985).

vi) Entre 0ºC y el punto de congelación

del galio el termómetro debe calibrarse

con el punto triple del agua, y el punto de

fusión del galio (29,7646).

Sobre el punto de congelación de la plata,

T90 es definido en términos de un punto

fijo definido y la Ley de radiación de

Planck. Debe usarse un termómetro de

radiación.

La ecuación de referencia es:

( )( )

12 9090

190 2 90

exp c T (x) 1L (T )L T (x) exp c T 1

−

−

λ −⎡ ⎤⎣ ⎦λ=

λ ⎡ ⎤ λ −⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎣ ⎦

Donde T90(x) a uno de los siguientes

puntos de congelación: T90(Ag)=1234,93K;

T90(Au)=1337,33K; o T90(Cu)=1357,77K.

LlT90 y Ll[T90(x)] son las concentraciones

espectrales de la radiación de un cuerpo

negro a la longitud de onda (en el vacío)

para T90 y para T90(x) respectivamente.

C2 = 0,014388 mK.

T90(x) puede ser el punto de la plata, del

oro o del cobre.

Bibliografía:

• Fundamentals of Thermometry.

Henry E Sostmann. Isotech

Journal of Thermometry.

• http://www.its-90.com/onref.html

• Thermodynamic and practical

temperature scales. Bureau

International des Poids et

Mesures.

• http://www.bipm.fr/enus/3_SI/


11.1 Algunos conceptos de la teoría cinética de los gases.

Muchos de los conceptos que trataremos

en este capítulo se entienden mucho

mejor si tenemos en mente algunas de las

explicaciones microscópicas contenidas

en la denominada teoría cinética de los

gases. Como no pretendemos ahondar en

ella, se citan a continuación sus ideas

centrales, para el caso de los gases

ideales.

1. Un gas contiene un número muy

elevado de moléculas, que se mueven al

azar. Esto hace indispensable estudiar su

comportamiento con la estadística y las

probabilidades.

Fig 11.1 Un gas contiene muchas moléculas con movimiento aleatorio.

2. La separación promedio entre las

moléculas es extraordinariamente grande

comparada con sus dimensiones. Esto

significa que las moléculas ocupan un

volumen despreciable del recipiente que

las contiene.

d

h

Fig 11.2 El diámetro (d) de una molécula es muy pequeño en comparación con la separación (h) entre ellas.

3. El comportamiento de las moléculas

obedece a las leyes de Newton.

4. Las colisiones que ocurren entre las

moléculas y entre las moléculas y las

paredes del recipiente son

perfectamente elásticas.

5. Las fuerzas de interacción entre las

moléculas son despreciables, exceptuando

en las colisiones.



11.1.1 Presión en la teoría cinética

molecular:

En esta teoría, la presión de un gas en un

recipiente es debida a la fuerza promedio

que las partículas efectúan al chocar

contra las paredes del recipiente por

unidad de área.

Fig 11.3 Vista de choques sobre un área pequeña de una pared lateral y una pared frontal.

Debido a que en un gas el número de

moléculas es del orden de 1023, la

cantidad de movimiento transferida a la

pared es constante y uniforme en todos

los puntos en situación de equilibrio

térmico. En otras palabras, la presión en

un gas es la misma en todos los puntos del

recipiente cuando existe equilibrio

térmico.

11.1.2 Temperatura y Energía.

Consideremos un gas ideal monoatómico

contenido en un recipiente con forma de

un paralelepípedo rectangular de arista L.

Estudiemos a una molécula chocando a la

pared vertical izquierda, asumiendo que

se comporta como una esfera.

v0=v0x(-i) v=vx i

Fig 11.4 Colisión elástica entre una molécula y la pared.

Debido a la conservación de la cantidad

de movimiento y considerando que la

pared no se mueve se tiene que:

0

0x x

mv mvv v

=− =

r r

Es decir, las velocidades de la molécula

antes y después del choque son de igual

magnitud.

En este evento la fuerza de la molécula

sobre la pared y la fuerza de la pared

sobre la molécula son un par acción y

reacción, por lo tanto tienen igual

magnitud.

Debido a que el impulso sobre la molécula

debe ser igual que el cambio en su

cantidad de movimiento, entonces se

tiene:

I p= ∆r r



m 0

m x 0x

F t p pF t p p

∆ = −

∆ = −

r r r

Pues solo existen componentes en x.

Entonces podemos calcular la fuerza

media que actúa sobre la molécula, ya que

hemos calculado las velocidades:

x x xm

mv m( v ) 2mvFt t

− −= =

∆ ∆

El tiempo que demora en ocurrir otra

colisión es el tiempo que demora la

molécula en ir y volver desde la pared

opuesta, recorriendo una distancia 2L. Si

suponemos que la velocidad tiene

magnitud constante (en la pared opuesta

la colisión también es elástica, y no choca

con otra molécula en el camino), entonces

se tiene:

x

x

2Lvt

2Ltv

=∆

∆ =

En consecuencia, la fuerza media que la

molécula ejerce sobre la pared es:

2x x

m

x

2mv mvF 2L Lv

= =

Cuya magnitud es igual que la fuerza que

la molécula ejerce sobre la pared según

explicamos anteriormente.

La fuerza total sobre la pared la podemos

calcular considerando que el gas tiene N

moléculas, viajando con velocidades

constantes pero distintas. La distribución

de velocidades es una distribución

gaussiana de acuerdo a lo que estableció

el físico escocés James Clerk Maxwell en

1860, cuyo valor máximo varía en forma

directamente proporcional a la

temperatura absoluta.

Entonces la fuerza neta puede escribirse

como:

i N2

m xii 1

mF vL

=

=

= ∑

Expresión que puede rescribirse por

conveniencia multiplicándola y

dividiéndola por el número de partículas:

i N2

xii 1

m

vmF NL N

=

==∑

La expresión

i N2

xii 1

v

N

=

=∑

es una cantidad

interesante. Si usted no sabe estadística

todavía le explicamos el significado a

continuación.



Las moléculas viajan en todas direcciones.

Las componentes en el eje x de sus

velocidades tienen direcciones positivas y

negativas según viajen hacia la derecha o

hacia la izquierda respectivamente. Si

realizamos una distribución de sus

velocidades y encontramos que se

comportan de acuerdo a una curva

gaussiana, entonces la velocidad media

debe ser cero.

v(m/s)

frecuencia (nro de veces)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-3

-2-101

23

valor medio

Fig 11.5 Comportamiento gaussiano de una curva de distribución de velocidades de las moléculas de un gas ideal.

La teoría dice que esta distribución

siempre se obtiene cuando el número de

casos tiende a infinito. El número de

moléculas en un gas no es infinito, pero es

un número tan grande, que podemos

considerarlo como tal.

Para aclarar aún más esto, supongamos

que tenemos solo 8 moléculas,

comportándose de manera gaussiana y

graficamos sus velocidades (ver gráfico

de la figura 11.6).

Claramente se observa que:

i

i

i N

xi 1

x

vv 0

N

=

== =∑

La velocidad media es nula como

preveíamos.

v(m/s)

molecula Nº

1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2-101

23

v

Fig 11.6 Velocidades de 8 moléculas de un gas ideal.

Pero si tomamos el cuadrado de cada

velocidad, se tiene ahora que el valor

medio es:

i

i

i N2

2x2 i 1

x

vmv 3,75

N s

=

= ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑



v2(m/s)2

molecula Nº

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12345678

109

v2

Fig 11.7 Cuadrado de las velocidades de las moléculas de la figura anterior.

Y su raíz cuadrada es la denominada raíz

cuadrática media (root mean square: rms)

de las velocidades:

i

i N2

xi 1

xrms

vmv 1,94

N s

=

= ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

En consecuencia la fuerza media sobre la

pared contiene el cuadrado de la

componente x de la velocidad rms:

i N2

xi2i 1

m xrms

vm mF N N vL N L

=

== =∑

Si consideramos que las moléculas se

mueven en el espacio cartesiano XYZ,

entonces las velocidades deben tener

componentes en las tres dimensiones, por

extensión se tiene que:

rms xrms yrms zrmsˆˆ ˆv v i v j v k⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

r

Cuyo cuadrado es:

2 2 2 2rms xrms yrms zrmsv v v v= + +

Pero no existe razón alguna para que la

velocidad rms sea distinta en una

dirección que en otra, por lo tanto se

puede expresar como:

2 2rms xrmsv 3v=

De donde:

22 rms

xrmsvv

3=

Entonces tenemos que la fuerza total

sobre la pared puede escribirse como:

2rms

mvmF N

L 3=

y como en estas condiciones, la presión en

la pared es simplemente FPA

= , entonces:

2rms

2rms

2

vmN NmvL 3PL 3V

= =

Esta expresión es sumamente

interesante, pues relaciona la presión y

volumen del gas con las características de

su movimiento.



11.1.3 Energía interna media.

La expresión encontrada se puede

rescribir de la siguiente manera:

2rms

NmP v3V

=

Multiplicando y dividiendo por 2 y

arreglando:

2rms

2N 1P mv3V 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )m2 NP K3 V

=

Es decir, la presión del gas depende de

número de moléculas por unidad de

volumen (densidad de moléculas) y a la

energía cinética interna media (Km) de

ellas.

Lo verdaderamente importante de la

expresión es que relaciona una propiedad

macroscópica del gas (presión), con una

cantidad microscópica (Km).

Además, por analogía con la ley de los

gases ideales PV=nRT, se tiene que:

m2nRT NK3

=

de donde:

m3 nK RT2 N

=

Si consideramos que el número de

moléculas en un gas se puede representar

a través del número de Avogadro (NA)

como N=nNA, entonces:

mA A

3 n 3 RK RT T2 nN 2 N

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Donde A

R kN

= es una constante

denominada constante de Boltzmann, por

lo que finalmente se tiene:

m3K kT2

=

Donde 23 Jk 1,38x10K

−= .

Una extraordinaria expresión que

permite reconocer a la energía cinética

interna media como una función de la

temperatura absoluta del gas.

Desde otro punto de vista, escribiendo la

ecuación anterior como:

2rms

1 3mv kT2 2

=

Se puede calcular la velocidad rms:

rms3v kTm

=

Que manifiesta explícitamente que la

velocidad rms de las moléculas depende

de la temperatura. Es decir, a mayor



temperatura absoluta, mayor velocidad

rms de las moléculas del gas.

Ahora podemos explicar la razón de que

aumente la presión con la temperatura en

un proceso a volumen constante como el

estudiado en el termómetro de gas a

volumen constante: En la medida en que

aumenta la temperatura, aumenta la

velocidad rms, y por tanto, aumenta la

fuerza neta por unidad de área ejercida

sobre las paredes.

Finalmente, como la masa (m) de un gas es

función de la masa molar (M) y el número

de moles (n), a través de la expresión:

m=nM

Y recordando que la constante de

Boltzmann se puede escribir como:

A

R R Rnk NN Nn

= = =

Se tiene que:

rms3 3RTv kTm MN

= =

Que permite establecer que las moléculas

de menor masa molar se moverán más

rápido que las de masa molar mayor a

igual temperatura.

11.1.4 Teorema de la equipartición.

Uno de los postulados mas bellos de

Boltzmann, cuya demostración escapa de

los límites del curso, establece que para

el caso de un sistema compuesto de

moléculas en equilibrio térmico a una

temperatura absoluta T, entonces se

tiene que la energía cinética media se

distribuye igualmente entre los grados de

libertad, cuyo valor es 1 kT2

por cada

grado de libertad.

Esto es lo que observamos en el caso de

los gases ideales monoatómicos, que

tienen 3 grados de libertad (traslación

posible en tres ejes de coordenadas) que

produjo que su energía cinética interna

media tuviera el valor: m3K kT2

= .

Fig 11.8 Grados de libertad asociados a la traslación.



11.1.5 Gases biatómicos.

Las expresiones anteriores son válidas

solo para gases ideales monoatómicos, en

los cuales la energía interna se reduce

solo a la energía cinética de traslación,

puesto que se han considerado como

partículas.

En el caso de gases cuyas moléculas están

compuestas por dos o más átomos, son

posibles movimientos de rotación y de

oscilación que también tienen asociada

una cantidad de energía.

Fig 11.9 Grados de libertad asociados a la rotación.

En el caso de los biatómicos con

estructura rígida, que cuenta con tres

grados de libertad para la traslación

(movimiento posibles en ejes X,Y,Z), tres

grados de libertad para la rotación

(rotaciones posibles alrededor de los tres

ejes X,Y,Z; aunque alrededor el eje que

une ambos átomos no existe libertad de

girar a menos que la temperatura sea muy

alta, en cuyo caso tiene solo dos grados

de libertad para la rotación).

A esto hay que agregarle un número de

grados de libertad equivalente al doble de

las direcciones posibles de las

oscilaciones (debido a que en una

oscilación se tiene energía cinética y

potencial asociadas al movimiento), en el

caso de las moléculas no rígidas.

Entonces en general, se tiene que la

energía interna de un gas poliatómico es:

U= ikT2

Con i=número de grados de libertad,

considerando 2n por cada grado de

libertad correspondiente a las

oscilaciones.

Por ejemplo, gases como Oxígeno o el

Nitrógeno se pueden aproximar al caso de

moléculas de gases ideales biatómicas

rígidas, en cuy caso el número de grados

de libertad es 5 (tres para la traslación y

dos para la rotación, puesto que el grado

de libertad correspondiente a la rotación

sobre el eje que pasa por ambos átomos



no está excitado), por lo que su energía

interna media será:

U= 5kT2

11.1.6 Energía interna para gases no

ideales.

En el caso de los gases ideales o cualquier

cuerpo en fase no gaseosa la energía

interna es función de la temperatura y

del volumen ocupado por la sustancia.

Esto se debe a que en estos casos, la

energía interna se compone de la energía

cinética interna (Ki) asociada a las

moléculas y a la energía potencial interna

(Vi) asociada a la separación media entre

ellas.

En ese caso, aumentos en la energía

cinética de las moléculas se manifestarán

como aumentos en la temperatura del

cuerpo y aumentos en la energía potencial

interna se manifestarán como aumentos

en el volumen del cuerpo.

Por ejemplo, si se agrega energía a un

trozo de hielo cuya temperatura es -50ºC

a presión de 1 atmósfera, se observa que

parte de ella se usa en aumentar su

energía cinética interna (aumenta su

temperatura) y parte se usa en aumentar

su energía potencial interna (aumenta su

volumen).

En cambio, si se tiene hielo a 0ºC y se

agrega energía, entonces toda la energía

se usa para vencer las fuerzas

intermoleculares aumentando la energía

potencial interna, provocando un cambio

de fase desde hielo hasta agua y por

tanto mientras eso ocurra, la

temperatura no cambiará (proceso

isotérmico).

11.2 Dilatación térmica.

Sabemos que una sustancia puede

presentarse básicamente en 4 fases,

siendo las fases sólida, líquida y gaseosa

estudiadas aquí.

Bajo los postulados de la teoría cinética

hemos estudiado los conceptos centrales

del comportamiento de los gases y hemos

encontrado que los gases tienen moléculas

que viajan libremente con velocidad media

que es función de la temperatura. Eso es

posible porque el diámetro de una

molécula es muy grande respecto de la

separación media entre ellas. Eso explica



que un gas no pueda conservar su

volumen, ocupando el volumen del envase

que lo contiene.

En la medida en que la energía interna

disminuye, también lo hace la

temperatura y las moléculas están cada

vez más cercanas y la libertad de las

moléculas disminuye puesto que la acción

de las fuerzas intermoleculares empieza

a tener importancia en la interacción. Eso

hace que ahora se comporte diferente

pues es capaz de conservar su volumen,

aunque conserva la capacidad de cambiar

de forma (aún es un fluido).

Si disminuimos aún más la energía interna,

la velocidad media de las moléculas

seguirá disminuyendo (y su temperatura

por tanto), hasta que la fuerza

intermolecular es suficientemente

importante como confinarla en un lugar

específico, en torno al cual solo puede

oscilar y/o rotar. Se ha pasado a la fase

sólida y es capaz de conservar su volumen

y su forma.

Las sustancias al solidificarse pueden

formar estructuras regulares de

patrones definidos (cristales), existiendo

muchas formas distintas, que las

caracterizan (se denominan cristalinas) o

pueden no formarlas (sólidos amorfos;

brea, vidrio, carbón, resinas).

Los sólidos cristalinos elevan su

temperatura hasta un punto en que

cambian de fase convirtiéndose en

líquidos (poseen punto de fusión definido,

a presión constante). En cambio los

sólidos amorfos se comportan como

líquidos de gran viscosidad, de manera

que a bajas temperaturas conservan su

forma y en la medida en que su

temperatura aumenta, disminuyen su

viscosidad hasta alcanzar la capacidad de

fluir, sin que exista una temperatura

definida en que empiezan a hacerlo (no

tienen punto de fusión).

Existe la idea errada que los sólidos

amorfos fluyen a temperatura ambiente,

lo que parece confirmado en la leyenda de

que los vidrios de ciertas catedrales

antiguas son más gruesos en la base,

aunque estudios más serios lo explican

por defectos en su construcción. A

temperatura y presión ambiente un vidrio

no fluye (aproximadamente a los 270ºC un

vidrio alcanza la propiedad de fluir

apreciablemente, aunque pasará un largo

tiempo antes de que la deformación sea

apreciable a simple vista).



En consecuencia, la dilatación térmica, es

decir cuanto y como varía el volumen de

una sustancia en la medida en que la

temperatura cambia, debe estudiarse por

separado en cada fase.

11.2.1 Dilatación de sólidos (a presión

constante.

Una sustancia en fase sólida puede tener

una forma tal que una de sus dimensiones

es muy grande respecto de las restantes,

como en el caso de alambres y barras

delgadas. Entonces, su aumento de

volumen se manifiesta como un aumento

en una dimensión. Se habla entonces de

dilatación lineal.

11.2.2 Dilatación lineal a presión constante.

Experimentalmente se puede demostrar

que el aumento en la longitud de un

cuerpo (∆L) como el antes señalado, es

directamente proporcional a su longitud

inicial (L0) y al aumento en su

temperatura (∆T), en ciertos rangos

específicos de temperatura. De manera

que podemos escribir:

0L L T∆ ∝ ∆

Que conduce a la igualdad:

0L L T∆ = α ∆

Que también puede expresarse como:

( )0 0

0

L L L TL L 1 T

− = α ∆

= + α∆

La constante de proporcionalidad α es

denominada coeficiente de dilatación

lineal y depende de la temperatura.

0

L 1L T ºC

∆ ⎡ ⎤α = ⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦

Experimentalmente se encuentra que

cada sólido tiene un coeficiente de

dilatación distinto, algunos de los cuales

se muestran en la tabla siguiente (entre

paréntesis se indica el nombre del

fabricante, en el caso de materiales cuyo

coeficiente es indicado en el catálogo de

especificaciones técnicas)

Material 6 1

(x10 )º C

−α ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

valor medio

Plomo 29 Aluminio 24 Estaño 22 Bronce 19 Plata 18 Cobre 17 Oro 14 Acero 12 Platino 9 tungsteno 4,3



Material Aleación Fábrica 1

º Cα ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

x10-6

Vidrio genérico 9 Granito Genérico 3-9 Pyrex Pyrex 3 PVC-U Polímero Bronzini 8 Cerámica 20ºC

(Cheimosa) 7,4

Invar 25-100ºC

36%Ni- Fe+ otros

Ed Fagan inc

1,18

Concreto y ladrillo

genérico 12

Kovar 30-200ºC

29%Ni-17%Co-53%Fe

Ed Fagan inc

5,5

Ejemplo 11.1

Un alambre de acero de 1,00cm de largo

inmerso en un recipiente lleno de agua y

hielo en equilibrio en la playa es tomado y

rápidamente introducido en un recipiente

con agua hirviendo. ¿Cuál será la longitud

que tendrá en el último recipiente?

Solución.

En el primer recipiente alcanzó la

temperatura de equilibrio del sistema,

que en esas condiciones, es de 0ºC. En el

segundo recipiente su temperatura

finalmente debe estabilizarse en 100ºC,

de modo que entonces:

( )

( )0

6

L L 1 T1L 1,00cm 1 12x10 100ºC 0ºC

ºC−

= + α∆

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )6 1L 1,00cm 1 12x10 100ºC 0ºCºC

L 1,00cm 0,0012cm

−⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦= +

Es decir, se alargó 0,0012cm. Una

dilatación modesta, verdad?

Sin embargo, si su largo inicial fuera

10,00m, entonces, el largo a 100ºC será:

( )6 1L 1000,00cm 1 12x10 100ºC 0ºCºC

L 1000,00cm 1,20cm

−⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦= +

Ya no es tan despreciable.

Ejemplo 11.2

Un alambre conductor eléctrico de cobre

puro se ha puesto entre dos postes lo

suficientemente altos para evitar que las

personas puedan sufrir un accidente. Si

los postes están separados por 100,00m y

el cable se puso absolutamente horizontal

(eso no se puede hacer, ¿recuerda

porque?) cuando la temperatura es de

20ºC, calcule su longitud cuando la

temperatura sea de 35ºC.

Solución.



La solución es fácil de nuevo. Con estos

ejemplos queremos que ud. tenga una idea

de los órdenes de magnitud de la

dilatación térmica.

( )6 1L 100,00m 1 17x10 35ºC 20ºCºC

L 100,00m 0,0255m

−⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦= +

Aproximadamente 3cm. En un día de

intenso calor, esto provocará que el cable

se combe. Aunque es de pequeña

magnitud, este efecto debe considerarse

en los tendidos eléctricos.

Fig 11.10 El tendido eléctrico se comba debido al peso del cable y a la dilatación térmica.

En muchas situaciones industriales se

tienen tuberías por las que circulan

fluidos a altas temperaturas, los efectos

pueden ser suficientemente importantes

como para unir las secciones mediante las

denominadas “juntas de expansión”, las

que son de distintos tipos, dependiendo

de lo agresivo del fluido, de los

gradientes de temperatura del proceso y

de otras consideraciones técnicas.

Las figuras siguientes muestran algunos

ejemplos.

Fig 11.11 Junta de fuelle metálica para expansión de tuberías de una fábrica de acero. http://www.maineindustrialplasticsandrubber.com/

Fig 11.12 Juntas de expansión metálicas para tuberías. http://www.tubiflex.com/UK/expansion.htm



Fig 11.13 Junta de expansión axial para tuberías.http://www.metraflex.com/pipingproducts

Fig 11.14 Juntas de expansión de goma para tuberías.http://www.kws-industrietechnik.de

Ejemplo 11.3

¿A qué temperatura se tocan dos barras,

una de aluminio de 2m de longitud y otra

de cobre de 1m de longitud si sus

extremos están separados por 1,0x10-3m

cuando su temperatura es de 22ºC?.

Considere que no existe expansión en

otro sentido que no sea hacia la otra

barra.

Solución.

Fig 11.15 Figura para ejemplo 11.3. las dimensiones están exageradas.

La separación a la temperatura T es cero.

La dilatación experimentada por las

barras de cobre y de aluminio es,

respectivamente:

Cu0Cu CuL L T∆ = α ∆ ; Al 0Al AlL L T∆ = α ∆

La suma de las dilataciones debe ser igual

que la separación a la temperatura T0 y

ambas barras experimentan el mismo

gradiente de temperatura ∆T, por lo que:

3Cu AlL L 1x10 m−∆ + ∆ =

Considerando que:

6Al

124x10ºC

−α = y 6Cu

117x10ºC

−α =

Entonces:



Cu

Cu

30Cu Al 0Al

3

0Cu Al 0Al

L T L T 1x10 m

1x10 mTL L

−

−

α ∆ + α ∆ =

∆ =α + α

( ) ( )

3

6 6

1x10 m(T 22ºC)1 117x10 1m 24x10 2m

ºC ºC

−

− −

− =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

T 22ºC 15,4ºCT 37,4ºC

= +

=

Fig 11.16 Cuando T=37,4ºC las barras se tocan.

11.2.3 Dilatación superficial a presión

constante.

Existen casos en los que dos dimensiones

de un cuerpo son apreciables. En ese caso

puede suponerse que el cuerpo tiene

dilatación superficial.

Fig 11.17 Junta de separación para prevenir daños por dilatación del concreto. http://www.homestore.com

Fig 11.18 Junta de expansión metálica para puentes.

Considere una placa delgada con

coeficiente de dilatación lineal α, arista

L0 y área A0 cuando la temperatura es T0.

Al aumentar la temperatura hasta T se

deben dilatar todas sus dimensiones de

manera lineal, por lo que se tendrá una

nueva placa de arista L y área A.

La figura siguiente muestra la placa, a

ambas temperaturas, superpuestas de

manera imaginaria.



superficie de la placa a temperatura T0

superficie de la placa a temperatura T

LL0

Fig 11.19 Superposición de una placa a temperatura T0 (superficie clara) y de la misma placa cuando tenga una temperatura T (superficie oscura). La parte de esta última superficie que se alcanza a ver corresponde a la dilatación térmica.

En la figura siguiente se han dibujado

nuevamente las placas de la figura

anterior y en forma separada 4

superficies imaginarias de área A1

(rectángulos de aristas L0 y L2

∆ ) y 4

superficies imaginarias de área A2

(cuadrados de aristas L2

∆ ) cuya suma es

el aumento real de la superficie (∆A).

A2A2

A2 A2

A1A1

A1

A1

L0

∆L/2

∆L/2

Fig 11.20 El área de la superficie dilatada se ha dividido de manera conveniente en cuatro rectángulos de área A1 y en cuatro cuadrados de área A2

En esta figura, se observa que:

222 2 20

1 0L TL 1A L T

2 2 4α∆∆ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = α ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

202 0 0 0

L TL 1A L L L T2 2 2

α∆∆ ⎛ ⎞= = = α∆⎜ ⎟⎝ ⎠

En consecuencia, como el área de la

superficie dilatada es:

∆A = 4A1 + 4A2

Se tiene:

2 2 2 20 0

1 1A 4 L T 4 L T4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = α ∆ + α∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

pero L02=A0

2, entonces:

( ) ( )( ) ( )

2 20 0 0

2 20 0 0

A A A T 2 A T

A A A T 2 A T

− = α ∆ + α∆

= + α ∆ + α∆



Pero, si consideramos que para los sólidos

α es del orden de 10-6, entonces el

término A0α2∆T2 (el área de la superficie

cuadrada A2) es del orden de 10-12, por lo

que se puede despreciar. Entonces se

tiene que una aproximación al cálculo del

área es:

( )0 0A A 2 A T= + α∆

o, también:

0A A (1 2 T)= + α∆

Ejemplo 11.4

Consideremos un remache que se

introduce ajustadamente en un orificio de

diámetro igual a 20,00mm cuando su

temperatura es de -80ºC. ¿Cuál es su

diámetro cuando está a temperatura de

20ºC?.

Solución.

El área de la superficie se dilata según

( )0A A 1 2 T= + α∆

Reemplazando las áreas de las superficies

inicial y final en función de sus radios

queda:

( )2 20R R 1 2 Tπ = π + α∆

( )0R R 1 2 T= + α∆

Donde R0 es el radio cuando la

temperatura es -80ºC y R el radio cuando

la temperatura es 20ºC. α para el acero

es 12x10-6 1ºC

. Entonces:

( )6 1R 10,00mm 1 2 12x10 20ºC ( 80ºC)ºC

−⎡ ⎤⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

R 10,01mmd 2R 20,02mm

=

= =

También podría haberse calculado

considerando que se tiene un alambre de

longitud igual al diámetro del remache.

El diámetro se expande linealmente:

( )0d d 1 T= + α∆

( )( )( )6d 20,00mm 1 12x10 100ºC

d 20,02mm

−= +

=

Lo que muestra que la aproximación en el

cálculo de la dilatación superficial era

razonable.

Por otra parte, cualquier superficie puede

considerarse como la suma de infinitas

líneas. Esto significa que si tenemos un

cuerpo con superficie circular por



ejemplo, entonces podemos considerarla

como la suma de infinitos cuerpos lineales

circunferenciales, en cuyo caso, al

elevarse la temperatura deben alargarse

proporcionalmente a su longitud inicial y

al aumento de la temperatura.

La consecuencia de esto es que si el

cuerpo tiene un orificio, entonces al

elevarse la temperatura, el orificio

aumentará de diámetro.

Ejemplo 11.5

Un aro confeccionado con un alambre

delgado de estaño tiene un diámetro de

50cm. Se eleva su temperatura desde

20ºC hasta 50ºC al introducirlo en un

horno de pintura de temperatura

constante. Determinar su diámetro en el

horno.

Solución.

El alambre tiene una longitud L0 cuando la

temperatura es T0=20ºC, equivalente a

0L d= π , donde d0 es el diámetro.

Si extendemos el alambre que forma el

aro, se tiene un cuerpo que se comporta

linealmente, de manera tal que su longitud

en el horno será:

( )0L L 1 T= + α∆

Si nuevamente formamos el aro, tenemos

que el nuevo diámetro será:

( )0d d 1 Tπ = π + α∆

( )0d d 1 T= + α∆

6 1d 50cm 1 22x10 (50ºC 20ºC)ºC

d 50,03cm

−⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

Lo verdaderamente importante es que

muestra que el aro se dilató como si fuera

un disco macizo confeccionado con

estaño. Nuevamente nos refuerza la idea

de que un material que experimenta un

cambio en su temperatura se dilata de

manera que lo predice la dilatación lineal

en todas sus dimensiones.

Ejemplo 11.6

Considere un anillo plano de diámetro

exterior d=40cm y diámetro interior

d=20cm cuando la temperatura es

T0=20ºC. Calcular el área del anillo,

confeccionado con cobre

( 6 117x10ºC

−α = ), cuando la temperatura

aumente hasta el valor T=100ºC.



Solución:

r0

R0

R0-r0

T0

Fig 11.21 Anillo a la temperatura T0.

Puede suponerse que se tienen dos discos

macizos de radios R0 y r0 del mismo

material, cuyo coeficiente de dilatación

lineal es α. Entonces el área del anillo (A0)

cuando la temperatura es T0 corresponde

a la diferencia entre sus áreas (A0R-A0r).

0 0R 0rA A A= −

2 20 0 0A R r= π − π

2 2 2 20

2 20

20

A 20 cm 10 cmA 400 cm 100 cmA 300 cm

= π − π

= π − π

= π

Cuando la temperatura sea T, el área del

anillo (A) será la diferencia entre las

nuevas áreas de los discos, de radios R y

r: R rA A A= −

r

R

R-r

T

Fig 11.22 Anillo a la temperatura T.

Estas áreas se pueden encontrar con la

expresión de dilatación superficial de

cada disco.

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

0R 0r

2 20 0

2 20 0

0

A A 1 2 T A 1 2 TA R 1 2 T r 1 2 T

A R r 1 2 T

A A 1 2 T

= + α∆ − + α∆

= π + α∆ − π + α∆

= π − + α∆

= + α∆

Notable. El área del anillo se comporta

como si tuviéramos un disco sólido.

( )2 6

2

1A 300 cm 1 2 17x10 80ºCºC

A 300,8 cm

−⎛ ⎞⎛ ⎞= π +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= π

También pudo obtenerse a partir de la

dilatación del radio como hemos visto en

ejemplos anteriores.

El radio del disco mayor crece según:

( )0R R 1 T= + α∆

El disco menor en cambio crece según:



( )0r r 1 T= + α∆

El cambio neto es:

( ) ( )0 0R r R 1 T r 1 T− = + α∆ − + α∆

( )( )0 0R r R r 1 T− = − + α∆

Pero (R-r) es el ancho del anillo (w) a la

temperatura T y (R0-r0) es el ancho del

anillo (w) cuando la temperatura es T0.

Por tanto:

( )0w w 1 T= + α∆

Obviamente encontramos lo mismo, pero

de manera más sencilla: el ancho del anillo

se dilata linealmente.


( ) 6 1w 20cm 10cm 1 17x10 80ºCºC

−⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

w 10,01cm=

El ancho ha aumentado en 0,01cm.

Calculemos el área final:

El radio externo aumenta según:

( )0R R 1 T= + α∆


6 1R 20cm 1 17x10 80ºCºC

R 20,027cm

−⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

Y el radio interno,

( )0r r 1 T= + α∆


6 1r 10cm 1 17x10 80ºCºC

R 10,014cm

−⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=

El área del disco entonces será:

2 2R r

2 2 2 2

2

A A A (R r )A (20,027 cm 10,014 cm )A 300,8 cm

= − = π −

= π −

= π

Igual que con el otro método.

11.2.4 Dilatación volumétrica a P constante.

Si ninguna de las dimensiones de un

cuerpo es despreciable, el cuerpo tiene

dilatación volumétrica.

Una forma interesante de entender la

dilatación volumétrica es la siguiente.

Considere un cubo hecho de un material

con coeficiente de dilatación lineal α,

arista L0 y volumen V0 cuando la

temperatura es T0.



Al aumentar la temperatura hasta T se

deben dilatar todas sus dimensiones de

manera lineal, por lo que se tendrá un

nuevo cubo de arista L y volumen V.

La figura siguiente muestra el cubo, a

ambas temperaturas, superpuestos de

manera imaginaria.

Fig 11.23 Superposición de un cubo a temperatura T0 (volumen oscuro) y del mismo cubo cuando tenga una temperatura T (volumen claro). La diferencia entre los volúmenes corresponde a la dilatación térmica.

En la figura siguiente se han dibujado

nuevamente el cubo de la figura anterior

y en forma separada 12 cuerpos

imaginarios de volumen V1

(paralelepípedos rectos de aristas L0, L

2∆

y L2

∆ ), 8 cuerpos imaginarios de volumen

V2 (cubos de arista L2

∆ ) y 6 cuerpos

imaginarios de volumen V3

(paralelepípedos rectos de aristas L0, L0

y L2

∆ ). La suma de todos estos cuerpos es

el aumento real del volumen (∆V).

L0

L0

L0

∆L/2∆L/2

V3 V2

V1

Fig 11.24 El volumen dilatado se ha dividido de manera conveniente en 12 paralelepípedos de volumen V1, en 8 cubos de volumen V2 y en 6 paralelepípedos rectos de volumen V3.

Los volúmenes de los cuerpos son los

siguientes, recordando que 0L L T∆ = α∆ :

( )

( )

2

1 0 0

20

1 0

3 2 20

1

L L LV L L2 2 4

L TV L

4L TV

4

∆ ∆ ∆⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

α∆=

α ∆=

( )

3

2

30

2

L L L LV2 2 2 8

L TV

8

∆ ∆ ∆ ∆⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

α∆=

3 3 30

2L TV

8α ∆

=



( )( ) 23 0 0 0

L LV L L L2 2

∆ ∆⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

( )

( )

23 0 0 0

023 0

30

3

L LV L L L2 2

L TV L

2L T

V2

∆ ∆⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

α∆=

α∆=

En consecuencia, como el volumen total

dilatado es:

1 2 3V 12V 8V 6V∆ = + +

Se tiene:

3 2 2 3 3 3 30 0 0L T L T L TV 12 8 6

4 8 2α ∆ α ∆ α∆

∆ = + +

3 2 2 3 3 3 30 0 0V 3L T L T 3L T∆ = α ∆ + α ∆ + α∆

Donde L03 es el volumen V0, cuando la

temperatura es T0, de modo que:

2 2 3 30 0 0V 3V T V T 3V T∆ = α ∆ + α ∆ + α∆

El mismo razonamiento del caso

superficial conduce a desechar los

términos cuadráticos y cúbicos por tener

órdenes de magnitud despreciables, de

modo que una aproximación razonable del

volumen dilatado es:

0V V 3 T∆ = α∆


( )0 0

0

V V V 3 TV V 1 3 T

− = α∆

= + α∆

A la cantidad 3α se le denomina β

(coeficiente de dilatación volumétrica).

Tal como hemos demostrado en el caso de

la dilatación superficial, una esfera hueca

esférica se dilatará en todas sus

dimensiones, de manera tal que el volumen

de la esfera interna crecerá con la

temperatura como si fuera una esfera

maciza de igual material que el cuerpo.

11.2.5 Dilatación de líquidos.

Los líquidos se comportan igual que los

sólidos respecto de la dilatación a presión

constante, aunque debido a su incapacidad

de mantener su forma se puede

considerar solo su cambio volumétrico.

Entonces, la expresión que permite

conocer el cambio en su volumen es:

0V V T∆ = β∆

Donde β es su coeficiente de dilatación

volumétrica.

La siguiente tabla muestra algunos

valores para líquidos comunes a presión

atmosférica.



Material 6 1

(x10 )º C

−α ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

valor medio

Agua 210 Gasolina 950 Glicerina 500 Alcohol etílico 110 Mercurio 180 Benceno 120 Petróleo 890

Como se puede observar, los líquidos

tienen coeficientes de dilatación mayores

que los sólidos.

Esto provoca que un líquido contenido en

un recipiente se dilate más que este.

Ejemplo 11.7

Un tanque de acero está lleno con

gasolina en un almacén subterráneo que

se mantiene a 10ºC. Calcule el porcentaje

de gasolina que se derrama cuando el

tanque se traslada a un recinto donde la

temperatura es de 40ºC.

Solución.

La gasolina se dilata según:

gas 0gas gasV V T∆ = β ∆

Por tanto:

( )6gas 0gas

6gas 0gas

1V V 950x10 30ºCºC

V 28500x10 V

−

−

⎛ ⎞∆ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ =

El tanque en cambio, se dilata según:

T 0T TV V 3 T∆ = α ∆

Por tanto:

( )6T 0T

6T 0T

1V V 3 12x10 30ºCºC

V 1080x10 V

−

−

⎛ ⎞∆ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ =

Como el volumen inicial de ambos es el

mismo, entonces se puede calcular el

porcentaje de volumen de gasolina

derramado (%VD).

( ) ( )

gas TD

0gas

6 60 0

D0

V V%V x100

V

28500x10 V 1080x10 V%V x100

V

− −

∆ − ∆=

−=

( ) ( )6 60 0

D0

D

28500x10 V 1080x10 V%V x100

V%V 2,7%

− −−=

=

Se derramó el 2,7% del volumen inicial de

la gasolina contenida en el tanque.



11.2.6 Dilatación anómala.

Es bien conocido el caso de la botella de

bebida gaseosa que reventó en el

congelador del refrigerador en la casa. A

cualquiera que haya seguido con cuidado

el análisis anterior tendría que llamarle la

atención, puesto que se esperaba que el

líquido contenido en el recipiente debiera

haberse contraído mucho más que el

vidrio del recipiente. Sin embargo, pasó al

revés.

La explicación de este fenómeno está en

los cristales que se forman en el agua al

congelarse generando espacio entre ellos

lleno de gas. Al enfriarse, el volumen

aumenta. Al contrario, al fundirse, los

cristales se destruyen liberando el gas y

disminuyendo su volumen.

El fenómeno, conocido como dilatación

anómala, en el agua ocurre a presión de 1

atmósfera, entre 0ºC y 4ºC, pero también

ocurre en forma importante en otros

sólidos en el punto de fusión. En el agua

es más notado porque el punto de fusión

ocurre a temperatura que es fácil de

encontrar en la vida diaria.

1,00000

1,00010

1,00020

1,00030

1,00040

1,00050

Volumen de un litro de agua x103m3

TºC

0 4

0,999950

1,000000

densidad en g/cm3

TºC

0 4

0,999900

0,999850

0,999800

0,999700

Fig 11.25 El volumen disminuye entre 0ºC y 4ºC. La densidad es máxima a 4ºC.

Las curvas de la figura anterior ilustran

bien el fenómeno. Entre 0ºC y 4ºC los

cristales desaparecen paulatinamente

disminuyendo el volumen del líquido. A los

4ºC ya casi no quedan, observándose de

ahí en adelante un comportamiento

clásico.

Debido a que la densidad es inversamente

proporcional al volumen, entonces a los

4ºC se tiene la densidad máxima posible

(1 3g

cm).



Esto significa que en el caso de tener la

superficie de un lago congelada a 0ºC, el

fondo tendrá agua a 4ºC puesto que es la

temperatura a la que la densidad es

mayor.

La vida de las distintas especies marinas

está acomodada a tales ambientes. Si el

comportamiento de la naturaleza fuera

distinto, se tendría vida marina de otras

características. Naturalmente esto

habría moldeado las formas de la vida en

la superficie de manera distinta al

observado hoy (si es que lo hubiere

permitido).

11.3 Calor.

Calor es energía transferida entre dos

sistemas materiales (gases, líquidos,

sólidos; o cualquier otro estado de

agregación) que tienen distinta

temperatura. Dicha transferencia

provoca cambios en la energía interna de

los sistemas.

Suponga que cuenta con dos cuerpos A y

B que tienen temperaturas distintas T0A y

T0B. Si se ponen en contacto térmico (no

necesariamente en contacto macroscópico

como veremos más adelante) entonces

fluye calor desde el que tiene mayor

temperatura hasta el que tiene menor

temperatura. Eso simplemente ocurre así

en la naturaleza; es el orden natural.

T0A

Q

T0A>T0B

T0B

Fig 11.26 El calor fluye desde el cuerpo de mayor al cuerpo de menor temperatura.

Es necesario hacer un esfuerzo por

comprender que el calor no estaba en el

cuerpo. Si el cuerpo A de temperatura

elevada T0A se conecta térmicamente con

el cuerpo frío B de temperatura T0B,

entonces siente la demanda natural de

enviar energía hasta el cuerpo B. Esto

producirá una disminución de la

temperatura de A y un aumento de la

temperatura de B. Si no existen más

sistemas para intercambiar energía (Si A

y B se encuentran en un sistema aislado),

entonces el proceso terminará con ambos

cuerpos en equilibrio a una temperatura

intermedia (TA=TB=T). Pero A tiene

energía interna (U) y no puede enviarla

hasta B pues está asociada al movimiento



de sus moléculas y átomos y a las

distancias medias entre ellos. Entonces

debe la energía interna perdida debe

transferirla de otra forma. A esta

energía, “en tránsito”, se le denomina

calor.

T

TA=TB

T

Fig 11.27 El calor aumenta la energía interna del cuerpo 2 y disminuye la energía interna del cuerpo 1 hasta que las temperaturas se igualan. Entonces cesa el flujo de calor.

Su unidad es la unidad de energía del SI,

es decir el Joule (Nm) o el Erg (Dcm).

Pero debido al uso común y a su

simplicidad, es ampliamente usada una

unidad que se definió en los inicios del

estudio del calor, denominada caloría.

Por caloría (cal) se entiende la cantidad

de calor que es necesaria para elevar la

temperatura de 1g de agua pura desde

14,5ºC hasta 15,5ºC, a presión de una

atmósfera

Esto significa que si usted tiene 500g de

agua y quiere elevar su temperatura en

1ºC, necesita 500 calorías.

Fig 11.28 Calor equivalente a 1 caloría eleva la temperatura de 1g de agua en 1ºC.

En el sistema inglés la unidad de calor es

el BTU (British Thermal Unity), que

corresponde al calor necesario para elvar

la temperatura de 1 libra de agua en 1ºF

(desde 63ºF hasta 64ºF), a presión de

una atmósfera.

La equivalencia es:

1BTU=252cal=1006KJoule



11.3.1 Equivalente mecánico del calor

Quien postuló que el calor era una forma

de energía fue Benjamín Thompson en

1799, nacido en Woburn, Massachssets al

concluir que era inútil describir cualquier

efecto del calor a partir de su peso. Esto

estaba en contradicción con la teoría

postulada por Lavoisier en 1787 que

consideraba al calor como un fluido

(calórico) con masa que se generaba a

partir de la combustión de las sustancias

y se trasmitía por conducción entre los

cuerpos.

El problema principal de la teoría del

calórico es que no cumple con ningún

principio del calor y las mediciones

cuidadosas de la masa de sustancias frías

y calientes no permitían determinarlo en

forma experimental. Se concluía que sus

órdenes de magnitud estaban fuera del

alcance de los instrumentos poco precisos

de la época.

La aceptación del calor como una forma

de energía fue principalmente debido a

que podía ser incorporado en el principio

de conservación de la energía mecánica,

ampliando el cuerpo teórico de manera

muy eficiente.

Quien dio el paso fundamental en el

camino de demostrar al calor como una

forma de energía fue el Inglés James

Prescott Joule, quien mostró

experimentalmente (entre 1843 y 1878)

que una cantidad determinada de energía

mecánica se transforma siempre en la

misma cantidad de calor.

Fig 11.29 James Prescott Joule

Para hacer esto, Joule diseñó un aparato

consistente en un vaso con agua en el que

se sumergía una rueda de paletas unida a

un sistema mecánico por medio de una

cuerda que a su vez estaba unida a un

cuerpo suspendido a cierta altura, que

pasa por una polea. Al bajar el cuerpo,

hace un trabajo mecánico sobre el agua a

través de la rotación de la rueda de

paletas. El agua eleva la temperatura, lo

que muestra que el trabajo está

incorporándose al agua. Eso no sería



posible sin la aparición de una cantidad de

calor.

Fig 11.30 Agitador de agua usado por Joule para medir la relación entre calor y trabajo mecánico. Foto de: http://www.sciencemuseum.org.uk/

Cuidadosas mediciones lo llevaron a

concluir que cada vez que se hacían 4,186

Joule de trabajo (naturalmente la unidad

SI de energía se llamó posteriormente

Joule en honor a su nombre), la

temperatura del agua se elevaba en 1ºC

por cada gramo.

Fig 11.31 La energía potencial gravitatoria perdida por el cuerpo se transforma en trabajo hecho por la rueda de paletas al agua. Esto produce un aumento en la temperatura del agua, lo que muestra un aumento en su energía interna.

Como sabemos que el calor necesario para

elevar la temperatura de 1 gramo de agua

en 1ºC es de 1 caloría, entonces se tiene

que 1cal = 4,186Joule (o 1J=0,24cal).

Suele representarse este resultado a

partir de lo que se denomina equivalente

mecánico del calor, J.

W calJ 4,186Q Joule

= =

Posteriores experimentos realizados por

Joule y muchos otros, que incluían el uso

de energía eléctrica demostraron que

existían muchas otras formas de energía,

avanzándose notablemente en el camino

del establecimiento del principio de

conservación de la energía que tan

relevante papel juega en los modelos de la

física en la búsqueda de conocer el

comportamiento de la naturaleza.

11.3.2 Energía en la naturaleza.

La energía en la naturaleza cambia de

forma pero su cantidad total permanece

invariante. Existen sistemas que pierden

energía pero otros que ganan en

cantidades equivalentes a la perdida por

el primero, a través de innumerables

tipos de transformaciones.



Cuando una planta recibe la luz del sol

(energía electromagnética radiada) la usa

para construir moléculas complejas

orgánicas. El sol perdió energía, la planta

ganó energía (aumentó su energía

química).

Fig 11.32 Los vegetales a través de la fotosíntesis acumulan la energía electromagnética radiada por el sol

Las plantas acumulan energía química que

es transferida a los animales, los que la

transforman en sus estómagos en otro

tipo de moléculas que ocupan

inmediatamente o almacenan para futuras

necesidades orgánicas.

Los animales de las cadenas superiores

comen plantas y/u otros animales. El

hombre es omnívoro. Sus alimentos

contienen energía potencial almacenada

en sus estructuras moleculares en tres

formas básicas: Carbohidratos y

proteínas (cada gramo de ellas contiene

4000cal), y lípidos (grasa, cada gramo de

ellas contiene 9000cal).

Fig 11.33 Los alimentos contienen formas de energía potencial transformables en energías útiles para los procesos orgánicos, en el estómago.

Los vegetales al morir continúan

almacenando su energía en otras formas.

Grandes volúmenes de vegetales

sepultados por eventos terrestres han

sufrido descomposiciones anaeróbicas

(sin la presencia de oxígeno) a grandes

presiones, produciendo carbón, gas y

petróleo, que concentran la energía en

cantidades enormes.

Fig 11.34 El carbón es producido por masa vegetal sometida a grandes presiones y contiene cantidades grandes de energía potencial acumulada.

Estas energías se liberan al combustionar

estos productos (elevando sus

temperaturas hasta que se rompen los



enlaces) devolviendo la energía a formas

tecnológicamente aprovechables (por

ejemplo, en centrales térmicas que

producen vapor de agua que mueven

turbinas las que a su vez producen

energía eléctrica que es fácilmente

enviada a través de una red física a

hogares o industrias de manufactura; o en

motores de combustión interna

incorporados en los vehículos motorizados

o en procesos industriales).

Fig 11.35 Planta de producción de energía eléctrica a través de la combustión de carbón.

El organismo humano también quema los

alimentos en el estómago, a través de

procesos denominados metabólicos (es un

reactor). En él, las enzimas extraen

glucosa y otros azúcares de los

carbohidratos, glicerol y otros ácidos

grasos de las grasas y los aminoácidos de

las proteínas. Estas moléculas son

transportadas a través del sistema

sanguíneo a las células donde son usadas o

almacenadas. Esto motiva que el valor

energético nutricional de los alimentos

venga expresado en función de las

calorías que desprenderían si los

quemaran (Usualmente medido en

Kilocalorías, que se denota por Cal:

1Cal=103cal).

Existen muchas otras formas de energía

así como sus transformaciones en formas

útiles que no son tratadas aquí por

razones de espacio. Existe abundante

información sobre ellas tanto en la

bibliografía tradicional como en Internet.

Investigue acerca de la energía

almacenada en el viento, en el agua, en los

núcleos de los átomos, en el interior de la

tierra, etc.

11.3.3 Calor específico.

Cada sustancia eleva su temperatura de

manera diferente al serle entregada una

cantidad de calor determinada.

Estudios experimentales revelan que la

cantidad de calor necesaria (dQ) para

elevar la temperatura de una sustancia



depende su masa (m), y del cambio de

temperatura requerido (dT).

dQ mdT∝

La constante de proporcionalidad

necesaria para transformar la proporción

en una igualdad es distinta para cada

sustancia, y es denominada calor

específico (c).

dQ mcdT=

De aquí el calor específico puede

definirse como el calor necesario para

elevar la temperatura de un gramo de la

sustancia en 1ºC.

dQ calcmdT gºC

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Pero como veremos más adelante, la

cantidad de calor necesaria para cambiar

la temperatura depende de la forma en

que se haga el proceso. Si el proceso se

realiza a volumen constante (se tiene cV)

o a presión constante (se tiene cP), el

calor necesario es distinto (el calor

depende del camino). Ambos calores

específicos varían de manera

despreciable en el caso de los líquidos y

los sólidos. En los gases la diferencia es

significativa y a su debido tiempo se

estudiará.

En consecuencia, para líquidos y sólidos

simplemente se puede definir el calor

específico como (en términos discretos):

Q calcm T gºC

⎡ ⎤∆= ⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦

Cuyo valor depende del rango de

temperaturas, aunque puede considerarse

constante si la variación no es muy

grande.

En algunas aplicaciones es conveniente

definir el calor específico molar, que

consiste en el calor necesario para

cambiar la temperatura de un mol de la

sustancia en 1ºC.

El calor empleado en la transformación

puede entonces calcularse de manera

sencilla a través de la expresión discreta:

Q mc T= ∆

El calor específico caracteriza a las

sustancias. La siguiente tabla muestra

algunos valores para presión equivalente a

1 atmósfera y a 20ºC, a menos que se

indique otro valor.



Sustancia

Calor específico

cal

gº C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Calor específico

J

Kgº C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Calor específico

molarcal

molºC⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Cobre 0,093 390 5,85 Plomo 0,031 130 6,32 Mercurio 0,033 140 6,7 Plata 0,056 230 Agua (15ºC) 1,00 4186 18,0 Hielo (-5ºC 0,50 2100 Vapor de agua (110ºC)

0,48 2010

Aluminio 0.22 900 5,82 Silicio 0,17 4,78 Alcohol etílico 0,58 2400

Muy útil resulta estudiar un sistema

aislado en que varios cuerpo intercambian

calor, puesto que en esas condiciones la

suma del calor intercambiado debe ser

nula por conservación de la energía.

En efecto en esas condiciones los cuerpos

que tengan mayor temperatura perderán

energía interna a través de la emisión de

calor hacia los cuerpos que tienen menor

temperatura, mientras que estos

incrementarán su energía interna debido

al calor recibido de los primeros. La

transferencia continuará hasta que

finalmente todos los cuerpos alcancen la

temperatura de equilibrio.

Ejemplo 11.8

En un sistema aislado cuya temperatura

es de 50ºC existen 100g de agua en

equilibrio térmico. Si se introduce un

pedazo de cobre de 20g a 80ºC,

determine la temperatura de equilibrio de

la mezcla.

Solución:

Como sabemos, en un sistema aislado la

suma de los calores es nula:

i n

ii 1

Q 0=

=

=∑

De manera tal que se tiene:

( ) ( )A A Cu CuA Cum c T m c T 0∆ + ∆ =


( ) ( )

( ) ( )

e A

e

cal100g 1 T 50ºCgºC

cal20g 0,093 T 80ºC 0gºC

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

eT 50,55ºC=



Ejemplo 11.9

En un vaso de Dewar en equilibrio térmico

a 20ºC se introducen 300 g de agua a

50ºC con la precaución de hacerlo

rápidamente a fin de no perder calor

desde el vaso hacia el ambiente. Calcular

el equivalente en agua del vaso de Dewar,

si la temperatura final de equilibrio es de

40ºC.

Solución:

Un vaso de Dewar es un sistema aislado,

que impide el intercambio de calor por

conducción con una pared doble de vidrio

en medio de la cual se hace vacío (en

realidad una presión muy baja), por

convección al estar herméticamente

cerrado y por radiación plateando las

paredes de los vidrios (espejos).

El vaso de Dewar, fue diseñado por Sir

James Dewar en 1892 y comercializado a

partir de 1904 por una empresa alemana

cuyo nombre era Thermos GMBH, razón

por la que el aparato es conocido

popularmente como termo.

Fig 11.36 Aviso publicitado vasos de Dewar de marca Thermos para propósitos domésticos en 1914.

Los termos comerciales disponibles hoy

día son fabricados por gran número de

empresas, y los materiales usados son

muy diversos. Cada uno de ellos posee una

capacidad de intercambiar calor con las

sustancias depositadas en su interior que

le son características.

Para laboratorios de investigación existen

aparatos considerablemente más

precisos, pero que conservan el mismo

principio.

En la mezcla citada en el problema

participan 2 elementos intercambiando

calor: el agua y el vaso de Dewar.

Entonces se puede plantear:

( ) ( )A A vd vdA vdm c T m c T 0∆ + ∆ =



En la ecuación, la cantidad vd vdm c es una

constante del aparato, denominada

“equivalente en agua del vaso de Dewar”

el que para estos propósitos es

denominado “calorímetro”. Entonces:

( )( )A A A

vd vdvd

m c Tm c

T− ∆

=∆

( ) ( )

( )vd vd

cal300g 1 40ºC 50ºCgºC

m c40ºC 20ºC

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠=−

( ) ( )

( )vd vd

cal300g 1 40ºC 50ºCgºC

m c40ºC 20ºC

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠=−

11.4 Cambios de fase.

El intercambio de calor cuando en el

proceso existe un cambio de fase es

distinto.

Consideremos una sustancia en fase

sólida, cuya temperatura aumenta debido

a que se le agrega calor. En el proceso, el

calor suministrado se está invirtiendo en

aumentar su energía interna, lo que

microscópicamente se traduce en

aumentos en su temperatura y en su

volumen. Sin embargo, cuando llega hasta

el punto de fusión, la temperatura deja

de subir, pues el calor se ocupa en el

proceso de vencer las fuerzas

intermoleculares, es decir en aumentar su

energía potencial interna.

De esta manera, durante el proceso de

fusión, que ocurre a temperatura

constante (punto de fusión; depende de la

presión), el calor que demanda la

sustancia es denominado “calor latente de

fusión”, Lf. Esta cantidad es

característica de cada sustancia.

En la gráfica siguiente se observa el

comportamiento de 1g de hielo cuya

temperatura cambia entre -20ºC y 0ºC,

punto en el que empieza a fundirse si la

presión es 1 atmósfera.

T (ªC)

Q(cal)

0 20.-20

-10

0

40 60 80 100

calor latente de fusión del hielo.Lf=19,7 cal/g

Fig 11.37 Comportamiento del hielo con el calor en el punto de fusión a 1 atm de presión.

Entre -20ºC y 0ºC el calor que demanda

el proceso es



1 H HQ m c T= ∆

( ) ( )( )1calQ 1g 0,5 0ºC 20ºCgºC

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1Q 10cal=

En cambio, para fundir el gramo de hielo,

se necesitaron 79,7 cal.

Es decir, para el hielo a 1 atmósfera de

presión, el calor latente de fusión es de

79,7 calg

. Entonces se puede escribir:

fQ mL=

Que para este ejemplo:

( )2 fcalQ mL 1g 79,7 79,7calg

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Para otras sustancias, la siguiente tabla

muestra los puntos de fusión y sus

respectivos calores latentes de fusión a

presión 1 atmósfera.

Sustancia Pto fusión

(ºC)

Calor de fusión

(cal/g)

Oxígeno -218,8 3,3 Nitrógeno -210,0 6,1 Alcohol etílico -114 25 Amoníaco -77,8 8,0 agua 0 79,7 Plomo 327 5,9 Plata 961 21 Hierro 1808 69,1

Traspasado el punto de fusión, el sólido

se encuentra en la fase líquida.

Los sólidos amorfos no tienen punto de

fusión, reblandeciéndose paulatinamente

en la medida en que la temperatura

aumenta, hasta que la viscosidad

disminuye hasta al punto en que empiezan

a fluir.

Si seguimos agregándole calor al agua

proveniente del hielo nuevamente se eleva

su temperatura hasta que llega al punto

de ebullición, temperatura a la cual el

agua empieza a gasificarse en el interior

del líquido, generando burbujas que son

desalojadas del interior por tener menor

densidad.

Fig 11.38 La ebullición del agua pura a 1 atm de presión, ocurre a 100ºC.

La cantidad de calor que se necesita para

ello es:



3 A AQ m c T= ∆

( ) ( )3calQ 1g 1 100ºC 0ºCgºC

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

3Q 100cal=

Una vez que el agua llega a esa

temperatura, nuevamente se observa el

fenómeno de cambio de fase, tomando el

calor para vencer las fuerzas

intermoleculares.

Experimentalmente se encuentra la curva

siguiente:

T (ªC)

Q(cal)

0 1000

100

300

calor latente de vaporización del agua.LV=539cal/g

500 900700

Fig 11.39 Comportamiento del agua con el calor en el punto de ebullición a 1 atm de presión.

Para evaporar totalmente el gramo de

agua, cuya temperatura es el punto de

ebullición, se necesitan 539cal si la

presión es de 1 atmósfera. Este es valor

del denominado calor latente de

vaporización del agua, LV. Podemos

escribir entonces:

VQ mL=

Que para este ejemplo:

( )V4calQ mL 1g 539 539calg

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

En resumen, para transformar 1 gramo de

hielo a -20ºC hasta 1 gramo de vapor a

100ºC, se necesitaron:

1 2 3 4Q Q Q Q QQ 10cal 79,7cal 100cal 539calQ 728,7cal

= + + +

= + + +

=

Equivalentes a

Q 728,7(4,186J) 3050,34J= =

Para otras sustancias, la siguiente tabla

muestra los puntos de ebullición y sus

respectivos calores latentes de

vaporización a presión 1 atmósfera.

Sustancia Pto ebullición (ºC)

Calor de vaporización (cal/g)

Oxígeno -183 51

Nitrógeno -195,8 48

Alcohol etílico 78 204

Amoníaco -33,4 33

agua 100 539

Plomo 1750 208

Plata 2193 558

Hierro 3023 1520



Ejemplo 11.10

En un sistema aislado cuya temperatura

es de 20ºC existen 100g de agua, en los

que se introducen 50g de hielo a 0ºC.

Calcular la temperatura final de la

mezcla.

Solución.

En los casos de intercambio de calor

entre sustancias de distintas fases en los

que las temperaturas son suficientemente

elevadas para provocar un cambio de

fases, primero se debe determinar si la

energía disponible es suficiente para

cambiar la fase de la totalidad del sólido.

En nuestro ejemplo, el agua desprenderá

una cantidad de calor para cambiar su

temperatura hasta 0ºC equivalente a:

A AQ m c T= ∆

( ) ( )calQ 100g 1 0ºC 20ºCgºC

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Q 200cal= −

El hielo necesita para fundirse una

cantidad de calor equivalente a:

fQ mL=

( ) calQ 50g 79,7 3985calg

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

De esto se desprende que la energía no es

suficiente para fundir todo el hielo.

En consecuencia, solo se fundirá una

cantidad de hielo equivalente a

f

Q 200calm 2,51gcalL 79,7g

= = =

Y la temperatura final de equilibrio de la

mezcla será de 0ºC, con hielo y agua

coexistiendo.

Ejemplo 11.11

Calcular el calor que 100g de vapor de

agua a 150ºC necesitan ceder para

transformarse en 150g de hielo a -30ºC a

presión de 1 atmósfera.

Solución:

Se necesita enfriar el vapor de agua

hasta el punto de condensación (Q1),

condensarlo (Q2), enfriar el agua

proveniente del vapor hasta el punto de

congelamiento (Q3), congelarlo (Q4), y

finalmente enfriar el hielo hasta -30ºC

(Q5).



1 V VQ m c T= ∆

( ) ( )1calQ 100g 0,48 100ºC 150ºCg

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1Q 2400cal= −

( )

2 V f

2

2

Q m L

calQ 100g 539g

Q 53900cal

= −

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

( ) ( )3 A A

3

3

Q m c T

calQ 100g 1 0ºC 100ºCg

Q 10000cal

= ∆

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

( )

A4 f

4

4

Q m L

calQ 100g 79,7g

Q 7970cal

= −

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

( ) ( )5 H H

5

5

Q m c T

calQ 100g 0,5 30ºC 0ºCg

Q 1500cal

= ∆

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

Es decir, se necesitan ceder 75770cal.

Ejemplo 11.12

En un sistema aislado existen 500g de

agua a 70ºC en equilibrio y se introducen

10g de vapor de agua a 130ºC. Calcular la

temperatura de equilibrio de la mezcla.

Solución.

El vapor de agua necesita entregar calor

para llegar al punto de condensación (Q1)

y para condensarse totalmente (Q2):

1 V VQ m c T= ∆

( ) ( )1calQ 10g 0,48 100ºC 130ºCgºC

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1Q 144cal= −

2 V fQ m L= −

( )2calQ 10g 539g

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2Q 5390cal= −

Entonces, el vapor entrega 5534cal para

transformarse en agua caliente a 100ºC.

El agua necesita Q3 para llegar hasta

100ºC.

3 A AQ m c T= ∆

( ) ( )3calQ 500g 1 100ºC 70ºCgºC

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

3Q 15000cal=

Es decir, para llegar al punto de

condensación el agua necesita más calor

que la suma del calor cedido por el vapor



para llegar al punto de condensación y

para condensarse.

Entonces la mezcla finalmente alcanzará

el equilibrio con todos los participantes

en fase líquida a una temperatura (Te)

entre 70ºC y 100ºC.

Por tanto:

Q1+Q2+Q3+Q4=0

Donde Q4 es el calor que el vapor

condensado necesita para pasar desde

100ºC hasta la temperatura de equilibrio.

Entonces:

( ) ( )

( ) ( )

e

e

cal144cal 5390cal 500g 1 T 70ºCgºC

cal10g 1 T 100ºC 0gºC

⎛ ⎞− − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

− =⎜ ⎟⎝ ⎠

eT 81,44ºC=

11.4.1 Punto triple.

Los puntos de fusión y de ebullición varían

con la presión de la atmósfera y con las

impurezas.

Las impurezas elevan el punto de fusión y

disminuyen el punto de fusión. Observe la

gráfica de la figura siguiente, donde se

muestra la elevación del punto de

ebullición en función de la cantidad de sal

agregada al agua pura, a presión de 1

atmósfera.

108

punto de ebullición de solución de agua con sal

T(ªC)

cantidad de sal en la solución en gramos

109

107106105104103102101100

0 10 15 20 25 30 355

Fig 11.40 Comportamiento del punto de ebullición a 1 atm de presión del agua con sal. “An investigation of how salt affects the boiling point of water”. www.soton.ac.uk/~plf/ScI-Journal/ vol3no2/v3n2a2.html

Obviamente no solo la sal eleva el punto

de ebullición del agua, sino cualquier otro

elemento diluido en ella, tal como el

azúcar, las sales minerales, etc.

Las impurezas producen una disminución

en el punto de fusión. En Punta Arenas o

en otras ciudades chilenas muy australes

que experimentan temperaturas muy

bajas en invierno, la congelación del agua

en el suelo causa numerosos accidentes

de tránsito. La municipalidad entonces

arroja sal en la calle. La sal se incorpora

al agua del piso y esto produce una



disminución en el punto de congelación de

la mezcla, evitando la congelación.

La presión produce cambios en los puntos

de ebullición como se observa en la figura

siguiente, donde se ve que a 2 atmósferas

de presión el agua hierve a 120ºC

T(ºC)puntos de ebullición

1atm

2atm

presión enmm de Hg

200400

600800

1000120014001600

20 40 60 80 100 120

Fig 11.41 Comportamiento del punto de ebullición en función de la presión del agua pura.

Un diagrama que ilustra mejor el

comportamiento de los puntos de

ebullición y de fusión en función de la

presión es el denominado diagrama de

fases. La figura siguiente muestra el

diagrama para el agua pura.

0,006

1

sólido

líquido

gas

vapor

punto crítico

punto triple

0,000 0,016

T(ºC)

P (atm)

218

374100

Fig 11.42 Diagrama de fases para el agua pura. Las curvas están deformadas para que la figura quepa en el texto. Los ejes tienen discontinuidades por lo mismo.

Las curvas en la figura son puntos de

cambio de fase en función de la presión y

la temperatura. Se observa por ejemplo,

que el punto (1atm;0ºC) es el punto de

transición entre las fases sólida y líquida

del agua; si aumenta o disminuye la

temperatura (sin variar la presión) se

convierte en agua o hielo respectivamente

a la presión de 1 atmósfera. Lo mismo se

puede lograr aumentando o disminuyendo

la presión (sin variar la temperatura), en

cuyo caso se tendrá agua o hielo

respectivamente, si la temperatura es de

0ºC. En este punto y en cualquier otro

punto de esa curva, agua y hielo coexisten

en equilibrio. La curva contiene los puntos

de fusión del hielo (o de congelación del



agua) a distintas presiones y

temperaturas.

El punto (1atm;100ºC) es el punto de

transición entre agua y vapor de agua, de

manera tal que aumentando la

temperatura (sin variar la presión) o

disminuyendo la presión (sin variar la

temperatura) producirá vapor de agua.

Los puntos de esta curva contienen los

puntos de ebullición del agua (o de

condensación del vapor de agua).

La distinción entre vapor de agua y gas es

determinada por el denominado punto

crítico (218atm;374ºC). Sobre esa

temperatura no existe presión alguna que

permita al gas transformarse en líquido.

En estos estados la sustancia tiene

algunas propiedades de los líquidos y

algunas propiedades de los gases.

Note que si las presiones son inferiores a

0,006 atmósferas, entonces al elevar la

temperatura el hielo (a partir de las

temperaturas de la curva) se transforma

en vapor sin pasar por la fase líquida (se

sublima). Lo mismo ocurre en dirección

opuesta, pues el vapor de agua se congela

directamente al disminuir la temperatura.

El mismo efecto se obtiene disminuyendo

o aumentando la presión a partir de las

temperaturas de la curva .La curva

respectiva contiene los puntos de

sublimación a diferentes presiones y

temperaturas.

Existe un solo punto en que es posible

tener las tres fases coexistiendo en

equilibrio, denominado punto triple

(0,006atm; 0,016ºC). Esta extraordinaria

circunstancia ha causado que este punto

fácilmente reproducible en cualquier

lugar se haya convertido en punto fijo

para la escala internacional de

temperaturas en 1990.

Cada sustancia tiene diagramas de fases

distintos. Los puntos triples de algunas de

ellas también han sido incorporados como

puntos fijos en la escala de temperaturas.

11.5 Transferencia de calor.

Los mecanismos de transferencia de calor

son tres. Conducción, convección y

radiación.

El Calor se transmite entre dos cuerpos o

sistemas si existe una diferencia de

temperaturas.



11.5.1 Conducción del calor.

Es el proceso de transferencia de calor

entre un punto y otro de la sustancia,

debido a los choques entre sus moléculas.

Si un extremo de un cuerpo es expuesto a

una fuente de calor, entonces las

moléculas próximas a la fuente verán

aumentada su velocidad media y su

separación molecular, chocando a sus

vecinas más frías, de velocidad menor,

transfiriéndole parte de su energía en el

proceso. Estas a su vez incrementan su

velocidad transfiriendo su energía a las

vecinas y así, a través del material.

Existe un experimento sencillo que usted

puede hacer en su casa para mostrar

esto.

Tome una varilla delgada de metal (ojalá

cobre) y sujétela con un soporte de

manera tal que quede vertical (por

comodidad), pegue clips a espacios

regulares con cera de una vela común (la

cantidad mínima que asegure que no se

caiga el clip) y caliente el extremo libre

de la varilla con la vela. Se sorprenderá.

situación a T0

situación a T1

situación a T3

situación a T2

Fig 11.43 Conducción del calor a través del material, debido a las colisiones entre las moléculas y átomos libres.

Experimentalmente se puede encontrar

que la cantidad de calor que fluye en el

tiempo (H) a través de un elemento de

volumen de una placa de caras paralelas

es directamente proporcional al área de

su superficie (A) y al gradiente térmico

entre las caras exteriores (dT), e

inversamente proporcional al espesor (s).

dTH Ads

∝ −




dTH KAds

= −

Donde

dQHdt

=

Y la constante de proporcionalidad K es

una constante que caracteriza a los

materiales.

Fig 11.44 Calor conducido en el tiempo a través de un elemento de volumen de una placa de caras paralelas.

K es mayor para los materiales que

conducen mejor el calor y tiene unidades:

[ ] JKmsºC

=

o,

[ ] calKmsºC

=

Y tienen valores relativamente estables

en algunos rangos de temperatura, de

manera tal que pueden considerarse

constantes sin mayor imprecisión.

Los valores de K para algunos materiales

típicos son mostrados en la siguiente

tabla.

Material K Kcal

msº C K

J

msº C

Aluminio 5,7x102 240 Cobre 9,4x102 390 Acero 1,1x102 46 Plata 10x102 420 Agua 14x10-5 0,57 Hielo 53x10-5 2,2 Oxígeno 0,58x10-5 0,024 Concreto 31x10-5 1,3 Vidrio común 20x10-5 0,84 Madera (pino) 2,8x10-5 0,12

Si la placa es un paralelepípedo de caras

planas paralelas, la temperatura de las

caras exteriores es constante, y si se

considera homogéneo e isotrópico,

entonces la cantidad de calor que se

conduce entre las caras en el tiempo, se

puede calcular a través de la expresión:

TH KAs

∆= −

∆

Donde: QHt

∆=

∆



Ejemplo 11.13

Calcular el calor conducido a través de

una lámina de vidrio homogéneo que forma

un paralelepípedo rectangular cuyas caras

mayores tienen un área de 1m2 y cuyo

espesor es de 1cm, si entre las caras

exteriores existe una diferencia de

temperatura constante de 10ºC.

Solución.

Con estas condiciones el calor conducido

se puede calcular con:

TH KAs

∆= −

∆


Note que para que fluya calor desde

izquierda a derecha en el dibujo,

entonces T2 tiene que ser menor que T1.

Entonces (T2-T1) debe ser negativo. Eso

explica el signo de la ecuación general. Si

conocemos el gradiente como en este

caso, debe reemplazarse negativo para

que resulte coherente con la teoría.

Por tanto:

( ) ( )5 2 10ºCKcalH 20x10 1mmsºC 0,01m

calH 200s

−−⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

En una hora, conducirá:

( )

QHT

Q H TcalQ 200 3600s 720000cals

∆=

∆∆ = ∆

∆ = =

Sorprendente, ¿verdad?. Los vidrios de

las ventanas son una fuente importante

de la pérdida del calor de las habitaciones

en el invierno. Siempre resulta más

rentable mejorar el aislamiento térmico

que aumentar las fuentes de calor de las

habitaciones.

Ejemplo 11.14

Calcular el calor conducido a través de

una pared compuesta de un paralelepípedo

rectangular de madera (pino) y otro de

concreto de igual forma geométrica.



Las caras mayores tienen un área de 10m2

y los espesores son de 2cm (la madera) y

10cm (el concreto). La cara exterior del

concreto está a 10ºC y la cara exterior

de la madera está a 20ºC. Ambas

temperaturas se mantienen constantes.

Los materiales son homogéneos.


Solución:

El flujo de calor a través de la placa de

madera es:

mm m m

m

TH K As

∆= −

∆

( ) ( )x5 2m 2

T 20ºCKcalH 2,8x10 10mmsºC 2x10 m

−−

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )m xcalH 14 T 20ºCsºC

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Y a través del concreto:

( ) ( )

cc c c

c

x5 2c 1

TH K As

10ºC TKcalH 31x10 10mmsºC 10 m

−−

∆= −

∆

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )c xcalH 31 10ºC TsºC

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Y como es evidente que en el mismo

tiempo deben existir iguales cantidades

de calor fluyendo a través de cada placa

de la pared compuesta (a pesar de que es

energía la que se conduce y por tanto no

existe flujo de materia, se puede pensar

que es equivalente a lo que sucede con el

agua en una tubería con diámetro

variable. Si fluyen n litros de agua por

segundo por una sección angosta, en la

parte de la manguera en que aumenta el

diámetro debe pasar exactamente la

misma cantidad de agua por segundo,

como vimos en la hidrodinámica):

m cH H=

( ) ( )x xcal cal14 T 20ºC 31 10ºC TsºC sºC

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xT 13,111ºC=

Ahora podemos calcular los flujos en cada

placa:



( )c

c

calH 31 10ºC 13,111ºCsºCcalH 96,44s

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )m

m

calH 14 13,111ºC 20ºCsºCcalH 96,44s

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Como era obvio.

Ejemplo 11.15

Se tienen tres cilindros sólidos y

homogéneos de paredes rectas unidos en

sus extremos como muestra la figura.

Supondremos que las paredes de los

cilindros no pierden calor debido a que se

cubren con aisladores perfectos, y que

los extremos de los cilindros se

mantienen a temperatura constante.

Todos los cilindros tienen igual área de la

sección (10-4m2) y longitud (1m).

Si el extremo libre del cilindro de cobre

está a 100ºC y los extremos libres de los

cilindros de aluminio y acero están a 0ºC,

calcular la temperatura de la unión.


Solución.

El calor que fluye por el acero y por el

aluminio proviene del calor que fluye por

el cobre. Obviamente la suma de los dos

primeros debe ser igual que este último.

HCu=HA+HAl

( ) ( )

CuCu Cu Cu

Cu

x2 4 2Cu

TH K As

T 100ºCKcalH 9,2x10 10 mmsºC 1m

− −

∆= −

∆

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3xCu

calH 9,2x10 T 100ºCsºC

−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

AA A A

A

x2 4 2A

TH K As

0ºC TKcalH 1,1x10 10 mmsºC 1m

− −

∆= −

∆

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3A x

calH 1,1x10 0ºC TsºC

−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠



( ) ( )

AlAl Al Al

Al

x2 4 2Al

TH K As

0ºC TKcalH 5,7x10 10 mmsºC 1m

− −

∆= −

∆

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3xAl

calH 5,7x10 0ºC TsºC

−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

En consecuencia:

( )( )

( )( ) ( )( )

3

x

3 3

x x

cal9,2x10 T 100º C

sº Ccal cal

5,7x10 0º C T 1,1x10 0º C Tsº C sº C

−

− −

− − =

− − − −

xT 57,5ºC=

11.5.2 Convección.

Es el mecanismo mediante el cual el calor

es conducido por las moléculas mismas de

un lugar a otro. Es un fenómeno muy

efectivo en gases y menos efectivo en

líquidos, debido a la libertad de las

moléculas de moverse libremente.

El principio básico es el principio de

Arquímedes. Veamos el caso de un vaso

con agua expuesto a una fuente de calor

en su superficie interior, como se observa

en la figura siguiente.

Fig 11.48 Convección en el agua de un recipiente expuesto a una fuente de calor.

La cubierta recibe el calor de manera

localizada, transfiriéndolo por conducción

al recipiente y mediante igual mecanismo,

a las moléculas de agua cercanas. Las

moléculas aumentan su energía interna y

se mueven más rápido (aumentan su

temperatura) y aumentan la amplitud de

sus oscilaciones alrededor de su posición

de equilibrio. De esta manera ahora

existen menos moléculas por unidad de

volumen, disminuyendo la densidad local.

Esto produce un desequilibrio en la

fuerza neta sobre las moléculas (el

empuje es mayor que el peso), elevándose.

El vacío generado por este

desplazamiento es ocupado por moléculas

más frías vecinas, generándose una

corriente de convección.

El hecho de que vivamos inmersos en un

medio gaseoso como la atmósfera y en



presencia de ciclos de grandes cantidades

de radiación provenientes del sol que son

absorbidas por los materiales de la

superficie de la tierra en formas muy

distintas, explica un número importante

de fenómenos.

Al “salir” el sol en la playa, se observa una

rápida elevación de la temperatura de la

arena comparada con la elevación de la

temperatura del agua del mar, el aire

cercano a la arena se calienta, disminuye

su densidad y se eleva, siendo

reemplazado por las moléculas de aire

más frías que se encuentran en la

superficie del agua (esto se debe a que el

agua tiene un calor específico mucho

mayor que la arena y a otros fenómenos

que no serán analizados aquí). Esto crea

una corriente de convección natural que

se siente como la brisa matinal en las

zonas costeras. En la noche el fenómeno

se invierte pues la arena se enfría más

rápido que el agua, observándose brisa

hacia el mar.

Fig 11.49 Corrientes de convección del aire en zonas costeras. La brisa cambia de dirección en la tarde respecto de la observada en la tarde.

El hecho de que el agua mantenga una

temperatura más pareja que los otros

materiales de la superficie, modera los

cambios de temperatura de la atmósfera.

El clima de la superficie de la tierra es

explicado en gran parte, por los

fenómenos de convección de los fluidos

contenidos en la atmósfera.

En nuestras casas, las estufas

proporcionan el calor (por radiación) que

genera la convección que permite que el

aire de toda la habitación esté a

temperatura agradable. Cuando

cocinamos, el agua caliente del fondo del

recipiente (más próximo al calor que



proviene de la combustión del gas en la

cocina) se eleva generando una corriente

de convección que permite cocción más

pareja de los alimentos.

Las corrientes de convección a veces no

son suficientes en algunas aplicaciones.

En el mismo ejemplo anterior, es

frecuente que tengamos que revolver el

contenido de la olla debido a que la

presencia de muchos sólidos impide una

buena convección; se tendrá entonces que

la cocción es dispareja, obligándonos a

agitar el contenido frecuentemente.

Entonces se habla de convección forzada.

Fig 11.50 Horno de convección forzada. El vapor proveniente del agua de un depósito ubicado en la base circula por los alimentos debido a la convección forzada por un ventilador. La cocción es más pareja y más rápida. http://www.kitchenemporium.com/cgi

En los sistemas de calefacción por agua

caliente (la fuente de calor es la caldera

en estos casos) en tuberías de los

edificios, la convección natural no es

suficiente para llevar agua caliente a los

pisos superiores, necesitándose forzar la

convección mediante una bomba elevadora

del agua.

Fig 11.51 El agua es calentada en una caldera, generando una corriente de convección, la que es forzada por una bomba. El agua transfiere el calor en las habitaciones por convección del aire. Se enfría en el camino y finalmente se termina de enfriar

Si la habitación es muy grande, también

necesitaremos forzar el aire a moverse

por toda la habitación. Aún así, es

frecuente encontrar zonas más calientes

que otras, entre otras cosas, por que el

fenómeno depende de más variables que

la simple convección.

Los sistemas de enfriamiento de los

motores de los automóviles consisten en

un circuito de agua forzada por una



bomba, que la obliga a moverse. Al pasar

por el motor el agua se calienta y al pasar

por el mal denominado “radiador” se

disipa fundamentalmente por convección

forzada del aire, movido por las aspas de

un ventilador dispuesto para tal efecto.

A pesar de que el efecto de convección es

pobre en los sólidos, en la tierra es el

único medio en que el núcleo puede

desprenderse del calor, debido a que la

conducción en el material del que están

compuestos el manto y la corteza es muy

mala y es opaco a la radiación emitida por

el núcleo.

La convección se debe a que a altas

temperaturas los sólidos se comportan

como fluidos viscosos.

Este efecto que está simplificado en el

dibujo, explica en parte el movimiento de

los continentes.

continentesseparándose

continentesjuntándose

Fig 11.52 Corrientes de convección en el manto de la tierra explican en parte el movimiento de los continentes.

11.6 Trabajo y energía en un sistema termodinámico.

Termodinámica es el estudio del

comportamiento y evolución de un

sistema. Por sistema se entiende una

porción del espacio que puede estar en

reposo o en movimiento, puede ser real o

virtual, a la cual se le asignan parámetros

o variables para describir el estado en un

instante determinado y su evolución en el

tiempo. Algunas de estas variables y sus

relaciones fueron tratadas en capítulos

anteriores a modo de introducción en el

tema.

En este capítulo se formalizará la

discusión respecto de la energía, el calor

y el trabajo y su conservación en

sistemas denominados termodinámicos.

Se atribuye al físico francés Sadi Carnot

el establecimiento de los orígenes de la

denominada termodinámica clásica

alrededor de 1824, habiendo contribuido

en forma notable a su cuerpo conceptual

de manera teórica y/o experimental una

gran cantidad de científicos entre los que

se puede citar a Kelvin, Gibgs y

Helmholtz, cuyos trabajos fueron o serán

citados en el texto cuando la discusión lo

amerite.



11.6.1 Trabajo en un sistema

termodinámico.

Hemos definido el calor, y la energía

interna de un sistema. definiremos ahora

el trabajo realizado por, o sobre un

sistema termodinámico, debido a que es

una cantidad relacionada con su estado

energético.

Para hacer esto, estudiaremos un sistema

compuesto de una cantidad conocida de

gas confinado en un cilindro que posee un

pistón que se ajusta herméticamente, que

puede moverse variando el volumen del

sistema.

Fig 11.53 Cambio de estado de un gas en un cilindro que tiene un pistón sobre el que se realiza trabajo mecánico.

El Trabajo (dW) que la fuerza externa

(Fr

) ha realizado sobre el sistema

desplazando el pistón hacia abajo una

distancia infinitesimal ds (exagerada en

el dibujo) es:

dW F dr= •r r

Que en la dirección del movimiento,

convenientemente expresada, conduce a:

dW Fds=

Que en términos de las variables de

interés produce la expresión:

dW PAds=

Donde P es la presión del gas y A el área

de la sección del pistón en contacto con el

gas.

Finalmente, debido a que Ads es la

variación del volumen (dV) del gas debido

a la compresión:

dW PdV=

Por tanto el trabajo realizado sobre el

gas, puede calcularse a partir de:

2

1

V

V

W PdV= ∫



Durante la compresión el gas ha sufrido

un cambio de estado, de manera que la

presión es una función del volumen y de la

temperatura. Esta función es la ecuación

de estado, que para el caso de los gases

ideales, es conocida por nosotros:

nRTPV

=

Note que si el proceso es a temperatura

constante, entonces se tiene que:

2 2

1 1

V V

V V

nRT dVW dV nRTV V

= =∫ ∫

2

1

V

VW nRTlnv=

( )2 1W nRT lnv lnV= −

2

1

vW nRT lnV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Que es una cantidad positiva si 2

1

vlnV

es

positivo. Ello ocurre cuando V2 es mayor

que V1, es decir cuando el sistema hace

trabajo al ambiente. Si el ambiente hace

trabajo sobre el sistema, entonces se

tiene una compresión del gas, V1>V2 y el

2

1

vlnV

es negativo.

Si el proceso es a presión constante,

entonces se tiene;

2 2

1 1

V V

V V

W PdV P dV= =∫ ∫

2

1

VVW PV=

( )2 1W P V V= −

Si el proceso es a volumen constante,

entonces dV=0 y no se realiza trabajo.

Lo anterior puede verse gráficamente en

un plano PV como en las figuras

siguientes.

Fig 11.54 Proceso de expansión isotérmico. El trabajo es positivo y corresponde al área bajo la curva. El sistema hace trabajo al ambiente. La curva contiene todos los puntos para los que PV=Constante (es una isoterma).

Fig 11.55 Proceso de compresión isobárico. El trabajo es negativo y corresponde al área bajo la curva. El ambiente hace trabajo al sistema. La curva contiene todos los puntos para los que P=Constante (es una isobara).



V

P

A

CPC

PA

Fig 11.56 Proceso de compresión isocórico. El trabajo es nulo. La curva contiene todos los puntos para los que V=Constante (es una isocora).

Estudiemos un ciclo cerrado. En las

figuras que siguen se observa el trabajo

realizado para cambiar el estado de un

gas desde a hasta b (Wab) y luego el

trabajo realizado en el camino de regreso

(Wba), que como hemos visto,

corresponde al área bajo la curva en un

plano PV. En la última figura se observa

el trabajo neto realizado en el ciclo, que

corresponde al área encerrada en el ciclo

y que resulta destinto de cero.

Fig 11.57 Proceso ab: dilatación (trabajo positivo). Proceso ba: compresión (trabajo negativo). Ciclo aba: dilatación mas compresión (trabajo distinto de cero).

Esto implica que no se puede repetir el

ciclo sin agregarle una cantidad de

energía al menos equivalente al trabajo

neto que acaba de realizar el sistema. De

lo contrario se tendría un proceso desde

el que se podría sacar continuamente

trabajo equivalente al área encerrada en

cada ciclo, sin reponer la energía perdida.

Un sistema que hiciera tal cosa violaría el

principio de conservación de la energía y



se denomina móvil perpetuo de primera

especie.

Un número importante de personas que

buscaba construir máquinas de esta

especie vieron desvanecerse sus

esfuerzos al comprender que las leyes

fundamentales de la física se los

impedían.

Esto es uno de los fundamentos

esenciales contenidos en la primera ley de

la termodinámica.

11.7 Primera ley de la termodinámica.

Estrictamente es una generalización del

principio de conservación de la energía

encontrado en la mecánica.

Si recordamos lo que hemos descubierto

hasta ahora, tenemos 2 mecanismos

básicos para cambiar la energía interna

de un sistema: transferencia de calor o

realización de trabajo.

Como hemos visto, el trabajo y el calor

necesario en un proceso dependen de la

forma en que el proceso ha ocurrido

(dependen del camino) en cambio la

variación en la energía interna es

independiente del camino debido a que es

una variable de estado.

Consideremos un proceso isobárico como

el siguiente: un gas confinado en un

cilindro recibe calor por la base (única

pared que permite intercambio de calor.

Las restantes son adiabáticas). Entonces

el volumen y la temperatura deben

aumentan en iguales proporciones para

que el proceso sea isobárico 1 2

1 2

V VT T

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Fig 11.58 Proceso isobárico entre los estados E1 y E2. Aumenta el volumen y la temperatura. El trabajo realizado es el área pintada.

Al aumentar la temperatura, aumenta la

energía interna (recuerde que U es

función de la temperatura).

Al aumentar el volumen, el gas realiza

trabajo al ambiente (área bajo la curva),

de manera tal que el cambio en la energía

interna se debe a la cantidad de calor

entregado al sistema menos la cantidad

de trabajo realizado al ambiente.



U Q W∆ = −

Expresión que es denominada primera ley

de la termodinámica.

Se podría haber cambiado desde el

estado E1 hasta el estado E2 por infinitos

caminos distintos, dos de los cuales se

ven en las figuras siguientes. Como

esperábamos, cada uno genera cantidades

de trabajo distinto, pero como la energía

interna cambia siempre lo mismo,

entonces la cantidad de calor que

demanda cada proceso también es

distinta.

Fig 11.59 Cualquier proceso entre los estados E1 y E2 genera el mismo cambio de U, pero distintas cantidades de Q y W.

Consideremos ahora el ciclo

termodinámico estudiado en el punto

anterior.

La temperatura inicial y final es la misma

por lo que entonces no existe variación de

la energía interna. Entonces se tiene que:

0 Q W= −

Q W=

Es decir, el calor suministrado al sistema

se invierte en trabajo realizado por el

sistema al ambiente. Esto sugiere que se

puede construir una máquina térmica cuyo

único efecto es el de transformar el calor

en trabajo.

Desafortunadamente, esto está en

desacuerdo con la segunda ley de la

termodinámica, como veremos en el punto

siguiente.

Fig 11.60 En un ciclo no hay variación de la energía interna, por lo que el trabajo realizado por el sistema es exactamente el calor que le realizó el sistema.



Si el sistema es aislado, entonces no es

posible intercambiar ni trabajo ni calor

con el ambiente. En ese caso se tiene que

U 0∆ =

Si el proceso no permite el intercambio

de calor, entonces es adiabático, en cuyo

caso Q=0, entonces se tiene que:

U W∆ = −

Ejemplo 11.16

¿Desde qué altura debe caer una masa de

cobre para que su temperatura se eleve

en 3°C al chocar contra el suelo, si el

cuerpo absorbe el 40% del calor

producido?

Solución:

La energía que posee el cuerpo es:

E=mgh (1)

Al chocar con el suelo esa energía se

transforma íntegramente en calor, pero

solo el 40% es absorbido por el cuerpo,

es decir: (0,4)mgh.

Por otro lado, el calor absorbido se puede

calcular con la expresión

Q=mc∆T (2)

Con c=0,094 calgºC

Igualando (1) con (2), se tiene:

0,4mgh=mc∆T

De donde:

( )

2

cal0,094 3ºCgºCc Th m0,4g 0,4 10

s

∆= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Para que las unidades estén en el MKS

deben transformarse las calorías a

Joules, y los gramos a kilogramos:

[1cal=4,2J=4,2Nm ]

( )( ) ( )3

2

2

4,2Nm0,094 3ºC

10 Kg ºCh m0,4 10

sNmh=296,1 296,1mmKg

s

−

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Ejemplo 11.17

Una bala de plomo que se mueve a una

rapidez de 0,4 Kms

choca contra un muro

de hormigón. En el supuesto de que la

cuarta parte de la energía cinética se

convierta en calor de la propia bala,



calcular el aumento de la temperatura que

se produce en el choque. El calor

específico del plomo es de 0,03 calgºC

.

Solución:

La energía cinética que trae la bala es:

21K mv2

=

La cantidad de energía transformada en

calor es:

21K mv (1)8

=

También puede calcularse el calor

transferido como:

Q=mc∆T (2)

Igualando (1) con (2):

21 mv =mc T (1)8

∆

De donde:

2

2

vT= 8c

Km0,4sT=cal8 0,03gºC

∆

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∆⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Lo expresaremos en unidades cgs:

Sabemos que: 1Km=103m=105cm

y que: 1cal=4,2Joule=4,2x107Erg

Por tanto:

( )

( )

25

7

2

2

2

10 cm0,4

sT=

4,2x10 Erg8 0,03

gºC

gºCcmT=158,73 cms g cms

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∆

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞

∆ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

T=158,73ºC∆

Ejemplo 11.18

En un cilindro de 5cm de diámetro, en

cuyo interior se desplaza un émbolo una

distancia de 25cm, se admite aire

comprimido a una presión de 3,5 2Kfcm

.

Calcular el trabajo realizado por el gas en

ese proceso.

Solución:

Se trata de un proceso isobárico por lo

que:

W=P(V-V0)



El volumen del proceso es posible

calcularlo geométricamente:

V-V0=πr2s

Por lo tanto:

( )( ) ( )22

KfW= 3,5 3,14 0,25cm 25cmcm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Transformando las unidades al CGS:

1Kf=10N=10(105D)=106D

( ) ( )( ) ( )6

22

10 D3,5 3,14 0,25cm 25cm

cm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

9W=1,72x10 Erg

Ejemplo 11.19

Suponga que 0,12 moles de un gas ideal

(n) están en contacto con un recipiente

térmico que mantiene fija la temperatura

en T0=9,8°C, y que el gas tiene un volumen

inicial (V0) de 1,3litros y efectúa

14Joules de trabajo (W). ¿Cuáles son la

presión y el volumen finales?.

Solución:

Como es un proceso a temperatura

constante se tiene que:

0 00

VW P V lnV

= (1)

Como es un gas ideal se tiene que:

P0V0=nRT0 (2)

Introduciendo (2) en (1):

00

VW nRT lnV

=

Por tanto:

00

VW nRT lnV

=

( ) ( )0

J V14J 0,12mol 8,134 283K lnmolK V

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

0

Vln 0,05V

=

Aplicando antilogaritmo natural:

0,05

0

V eV

=

0

V 1,05V

=

V=1,05V0

Conocido el volumen inicial, se tiene:

V=1,05 (1,3 litros) = 1,37 litros



La presión final (P) se obtiene de la

ecuación de estado del gas ideal:

( ) ( )3 3

J0,12mol 8,314 283KnRT molKP

V 1,37x10 m−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

5P 2,06x10 Pa=

Ejemplo 11.20

El gas de un cilindro se deja expandir

desde un volumen de 1,0x10-3 m-3 hasta

uno de 2,5x10-3m-3 y, al mismo tiempo la

presión varía linealmente con respecto al

volumen desde 1,3atm, hasta una presión

final de 0,85atm. ¿Cuál es el trabajo

efectuado por el gas?

Solución:

Como el proceso no tiene alguna variable

constante, se debe encontrar la función

P(V) y luego calcular el trabajo con la

expresión:

W PdV= ∫

Esto es sencillo, puesto que la

dependencia lineal de la variación de la

presión respecto del volumen implica que

la función es la de una recta, de la forma

P=mV+P0, donde m es la pendiente de la

curva en un plano P,V y P0 es el punto en

donde la curva corta el eje de las

Presiones (intercepto), que corresponde

al valor de la presión cuando el volumen es

cero.

En la figura siguiente se muestra la curva,

cuya pendiente (m) es, considerando los

puntos (P1,V1) y (P2,V2):

( )( )( )( )

2 1

2 1

3 3 3

P Pm

V V0,85 1,3 atm atmm 3002,5 1 x10 m m−

−=

−

−= = −

−

El intercepto se puede encontrar

considerando los puntos (P0,0) y (P1,V1),

con P en atm y V en m3:

( )( )

( )( )

1 0 03

1

P P 1,3 Pm 300

V 0 1 0 x10−

− −= = = −

− −

( )( )

03

0

1,3 P300

1 0 x10P 1,6atm

−

−= −

−

=



El intercepto se puede encontrar

considerando los puntos (P0,0) y (P1,V1),

con P en atm y V en m3:

( )( )

( )( )

1 0

1

03

0

P Pm

V 01,3 P

3001 0 x10

P 1,6atm

−

−=

−

−= −

−

=

De manera que la ecuación es:

P=-300V+1,6

Ahora podemos calcular el trabajo:

( )0

V

V

W 1,6 300V dV= −∫

0

0

V2VV

V

VW 1,6V 3002

= −

[con V0=1,0x10-3 m3 y V=2,5x10-3 m3]

W=1,6(2,5-1,0)x10-3-150(6,25-1,0)x10-6

W=1,61x10-3atm m3

Lo que en MKS significa:

W=1,61x10-3(1,013x105Nm-2)m3=

W=163,3Joules

También podría haber sido resuelto

calculando el área bajo la curva. ¡Hágalo!.

Ejemplo 11.21

Un gramo de agua (1cm3) se transforma

en 1671 cm3 de vapor cuando hierve a una

presión de 1atm. El calor latente de

vaporización a esta presión es de 539 calgº

.

Calcular el trabajo realizado y el cambio

en la energía interna del sistema.

Solución.

Por ser un proceso que ocurre a presión

constante:

W=P(Vf-Vi)=1atm(1671-1)cm3

Lo que en el CGS, significa:

W=(1,013x106Dcm-2)(1671-1)cm3

W=1,69x109 Ergs

Por otra parte, el calor demandado por el

proceso es:

Q=mLV =(1g)(539 calgº

)=539 cal.

En consecuencia, el cambio de energía

interna es, a partir del primer principio:

∆U=Q-W

∆U =539cal-1,69x109Ergs

∆U=539cal-1,69x109(0,24x10-7cal)

∆U=539cal-40,4cal=498,6cal



Ejemplo 11.22

Un cuerpo absorbe 60cal mientras su

volumen aumenta de 300cm3 a 800cm3 a

una presión de 4,0x106 bar. ¿Cuál es la

variación de su energía interna?

Solución:

Según el primer principio:

∆U=Q-W

∆U=Q-P(Vf-Vi)

∆U=60cal-4,0x106bar(800cm3-300cm3)

∆U=60cal-2000x106Erg

∆U=60(4,2J)-2000X106(10-7J)

∆U=252J-200J=52J

Valores de R en distintos sistemas de

unidades:

R=8,314(Nm-2)m3mol-1K-1=8,314Jmol-1K-1

R=8,314x

107 (Dinas cm-2 ) cm3 mol-1 K-1 = 8,314 X 107 erg mol -1 K-1

R = 1,99 cal mol -1 K-1

R = 0,082071 atm lt mol -1 K-1

R= 82 atm cm3 mol-1 K-1

La Presión en distintos sistemas de unidades

1Pascal=1Nm-2=1,451x10-4lbplg-2=0,209lb pie-2

1lbplg-2=6891Pa

1lbpie-2=47,85Pa

1atm=1,013x105Pa=14,7lbplg-2=2117lbpie-2


27/01/2004 Jorge Lay Gajardo [email protected]

Capítulo 1: Introducción a la Física...................................1 1.1 Evolución de la Física Clásica………………………………………………………………………. 1

1.1.1 Introducción. ………………………………………………………………………………… 1 1.1.2 Civilizaciones ancestrales: una breve introducción histórica 1 1.1.3 Primeras teorías cosmológicas. ………………………………………………….4

Civilización Sumeria. ……………………………………………………………… 4 Civilización Babilónica………………………………………………………………5 Civilización Egipcia. …………………………………………………………………7 Civilización Griega………………………………………………….……………… .9

Imperio Romano y la invasión Árabe...…………………………………16 1.1.4 La Física y el renacimiento………………………………………………..……..18

1.1.5 Física Clásica…………………………………………………………………………….…30 1.1.6 Comentario……………………………………………………………………………….….33 1.2 El Sistema Solar. …………………………………………………..…………………………………..35

1.2.1 Datos generales………………………………………………………………………….35 1.2.2 Sistema Solar interior y Exterior………………………………...………36 1.2.3 Orbitas…………………………………………………………………………....….………37 1.2.4 Eclíptica..........................................................................................38 1.2.5 Oblicuidad......................................................................................38 1.2.6 La esfera celestial........................................................................39 1.2.7 La tierra..........................................................................................44 1.2.8 Latitud y longitud.........................................................................45 1.2.9 Zonas horarias..............................................................................47 1.2.10 Estaciones del año......................................................................49

1.3 Sistema Internacional de Unidades (S.I.)................................................53 1.3.1 Introducción...................................................................................53 1.3.2 Unidades básicas...........................................................................55 1.3.3 Unidades derivadas.......................................................................56 1.3.4 Reglas para escribir y usar símbolos de unidades del SI....58 1.3.5 Unidades usadas con el SI..........................................................58 1.3.6 Unidades en uso temporal...........................................................59 1.3.7 Unidades CGS.................................................................................59.

1.4 Definiciones básicas.......................................................................................60



Capítulo 2: Matemáticas para la Física..............................64 2.1 Vectores...........................................................................................................64

2.1.1 Introducción..................................................................................64 2.1.2 Vector..............................................................................................64 2.1.3 Vectores equipolentes.................................................................65 2.1.4 Vectores opuestos........................................................................65 2.1.5 Ponderación de Vectores.............................................................65 2.1.6 Suma gráfica de vectores...........................................................65 2.1.7 Vector unitario..............................................................................66 2.1.8 Vector nulo.....................................................................................67 2.1.9 Componente de un vector............................................................67 2.1.10 Vectores unitarios en el plano..................................................68 2.1.11 Componentes cartesianas de un vector..................................69 2.1.12 Suma de Vectores en función de sus componentes............70 2.1.13 Notación polar..............................................................................71 2.1.14 En el espacio.................................................................................73 2.1.15 Productos entre Vectores........................................................74

Producto Escalar......................................................................74 Producto Vectorial...................................................................76

2.1.15 Ejercicios resueltos de vectores............................................80

Capítulo 3: Cinemática de la partícula..............................88 3.1 Movimiento.....................................................................................................88

3.1.1 Introducción.................................................................................88 3.1.2 Descripción del cambio en la posición....................................90 Trayectoria..............................................................................90

Desplazamiento.......................................................................91 Velocidad media e instantánea............................................92 Rapidez media e instantánea...............................................94 Aceleración media e instantánea........................................95

3.2 Movimiento Rectilíneo................................................................................96 3.2.1 Mov. Uniforme Rectilíneo (MRU)............................................96 3.2.2 Mov. Rectilíneo con Aceleración Constante (MRUA)........99

3.2.3 Movimiento con aceleración constante igual a gr ...............101 3.3 Movimiento parabólico..............................................................................104 Parábola de seguridad..............................................................108 3.4 Movimiento Circunferencial.....................................................................112 Aceleraciones tangencial y centrípeta..................................114

3.4.1 Mov. circunferencial uniforme (MCU)..................................117 3.4.2 Mov. Circunf. uniformemente acelerado (MUA)...............118



Capítulo 4: Dinámica de la partícula.............................121 4.1 Introducción..............................................................................................121 4.2 Leyes de Newton......................................................................................121

4.2.1 Primera ley de Newton..........................................................121 4.2.2 Segunda ley de Newton........................................................124 4.2.3 Tercera Ley de Newton........................................................127

4.3 Fuerzas .....................................................................................................130 4.3.1 Fuerzas fundamentales..........................................................130 Ley de atracción gravitacional.Peso....................................132 4.3.2 Fuerzas secundarias..............................................................135 Normal......................................................................................135 Fuerza de roce.......................................................................138 Fuerza de roce estático.......................................................139 Fuerza de roce cinético........................................................142 Tensión.......................................................................................143 4.3.3 Pesar y masar..........................................................................144 Pesar..........................................................................................144 Masar.........................................................................................147 4.4 Aplicaciones de los principios de Newton a sistemas de cuerpos.....148 4.5 Cantidad de Movimiento e Impulso......................................................157 4.6 Conservación de la cantidad de movimiento......................................160 4.7 Trabajo Mecánico....................................................................................165 4.8 Energía Cinética (K).................................................................................170 4.9 Energía.......................................................................................................171 4.10 Energía Potencial...................................................................................172

4.10.1 Energía potencial gravitatoria..........................................172 4.10.2 Energía potencial elástica.................................................174

4.11 Potencia Mecánica..................................................................................179 4.12 Conservación de la energía..................................................................182

4.12.1 Conservación de la energía mecánica.............................. 183 4.12.2 Sistemas conservativos......................................................183 4.12.3 Sistemas no conservativos.................................................187

4.13 Choques unidimensionales y los teoremas de la conservación.....190 4.13.1 Choques perfectamente elásticos.....................................192 4.13.2 Coeficiente de restitución.................................................194 4.13.3 Choques perfectamente inelásticos (plásticos)............194



Capítulo 5: Sistemas de partículas...............................196 5.1 Centro de masa de sistemas de partículas........................................196

5.1.1 Posición del centro de masas...............................................196 5.1.2 Velocidad del Centro de masa.............................................200 5.1.3 Aceleración del Centro de masa.........................................200 5.1.4 Centro de masa y movimiento de traslación....................201

5.2 Centro de gravedad................................................................................205 5.3 Centro de masa de cuerpos continuos................................................207

5.3.1 Cuerpos con tres dimensiones.............................................208 5.3.2 Centroides de otros cuerpos..............................................210 5.3.3 Cuerpos con dos dimensiones..............................................211 5.3.4 Centroides de otras superficies........................................213 5.3.5 Cuerpos con una dimensión..................................................214 5.3.6 Cuerpos con ejes de simetría.............................................216 5.3.7 Centros de masa de sistemas compuestos

de cuerpos con geometría sencilla....................................217

Capítulo 6: Cuerpo Rígido........................................222 6.1 Definiciones..............................................................................................222 6.2 Cinemática de rotación de un cuerpo rígido con eje fijo..............223 6.3 Dinámica de rotación de un cuerpo con eje fijo.............................228 Torque.......................................................................................................230 6.4 Momentos de Inercia de sistemas de partículas............................238 6.5 Momentos de Inercia de cuerpos rígidos.........................................240 6.6 Momentos de Inercia para cuerpos comunes..................................243 6.7 Teorema de Steiner..............................................................................244 6.8 Momentos de Inercia de cuerpos compuestos................................246 6.9 Aplicaciones de la dinámica de rotación...........................................248 6.10 Trabajo y energía de rotación..........................................................258 6.11 Energía cinética rotacional.................................................................259 6.12 Teorema del Trabajo y la Energía para rotación..........................261 6.13 Energía Cinética de Rototraslación..................................................261 6.14 Eje instantáneo de rotación...............................................................263



Capítulo 7: Estática Plana.......................................280 7.1 Equilibrio de un cuerpo rígido.............................................................280

7.1.1 Introducción..........................................................................280 7.1.2 Equilibrio estático...............................................................280

Capítulo 8: Hidrostática.........................................291 8.1 Definiciones............................................................................................291

8.1.1 Densidad.................................................................................294 8.1.2 Peso específico.....................................................................295 8.1.3 Densidad relativa y Peso específico relativo................295 8.1.4 Presión....................................................................................296 8.1.5 Presión en sólidos................................................................296 8.1.6 Presión en fluidos................................................................297

8.2 Hidrostática..........................................................................................299 8.2.1 La presión y la profundidad..............................................299 8.2.2 Presión atmosférica...........................................................300 8.2.3 Barómetros..........................................................................303

Barómetro de Torricelli................................................303 Barómetro de agua.........................................................304 Barómetro aneroide.......................................................305 Barómetros digitales.....................................................306 Barómetros ecológicos..................................................307

8.2.4 Vasos comunicantes...........................................................308 8.2.5 Manómetros.........................................................................309 8.2.6 Principio de Pascal..............................................................310

Prensa hidráulica.............................................................310 Equilibrio de líquidos no miscibles...............................311

8.2.7 Principio de Arquímedes....................................................312 Cálculo de densidades con la balanza..........................315 Picnómetros.......................................................................317 Balanza de Mohr-Westphal...........................................319 Aerómetros.......................................................................320 Aerómetro de Nicholson................................................321 Aerómetro de Fahrenheit..............................................321 Aerómetro de peso constante.......................................321 Aerómetro de Baumé.......................................................321 Alcoholímetro de gay-lussac..........................................323 Aerómetro de balling-brix.............................................324

8.3 Problemas resueltos de Hidrostática...............................................325 8.4 Fuerzas de presión sobre paredes verticales................................334

8.4.1 Fuerzas de presión sobre paredes inclinadas................339



Capítulo 9: Hidrodinámica.......................................345 9.1 Hidrodinámica.........................................................................................345

9.1.1 Definiciones previas.............................................................345 9.2 Ecuación de continuidad......................................................................346. 9.3 Ecuación de Bernouilli..........................................................................347

9.3.1 Efecto Venturi......................................................................349 9.3.2 Tubo de Venturi...................................................................350 9.3.3 Medición de la presión de un fluido en movimiento.....351 9.3.4 Tubo de Pitot...................................................................... 352 9.3.5 Velocidad de salida de un estanque................................352 9.3.6 Sifones..................................................................................354

9.4 Fluidos reales........................................................................................355 9.4.1 Viscosidad.............................................................................355 9.4.2 Número de Reynolds..........................................................358

Capítulo 10: Temperatura y equilibrio térmico................367 10.1 Temperatura..........................................................................................367 10.2 Equilibrio térmico................................................................................367 10.3 Termoscopio. Primeros avances en termometría.........................370 10.4 Primeros termómetros. Escalas termométricas..........................371 10.5 Farhenheit y Celsius...........................................................................373 10.6 Temperatura absoluta........................................................................377 10.7 Equivalencia entre escalas................................................................380 10.7.1 Kelvin y Celsius........................................................................380 10.7.2 Celsius y Fahrenheit...............................................................381 10.7.3 Celsius y Rèaumur....................................................................382 10.7.4 Celsius y Ranking......................................................................382 10.8 Termómetros........................................................................................383 10.8.1 Termómetros de líquido en vidrio........................................383 10.8.2 Termómetros industriales de líquido..................................384 10.8.3 Termómetros de máxima.......................................................385 10.8.4 Termómetros de mínima........................................................386 10.8.5 Termómetros de six...............................................................386 10.8.6 Termómetro de Galileo....................................................... ..388 10.8.7 Termómetro de gas de volumen constante.......................389 10.8.8 Otros termómetros de líquido o gas..................................392 10.8.9 Termómetro bimetálico.........................................................393 10.8.10 Termocuplas...........................................................................394 10.8.11 Termómetros de resistencia...............................................398 10.8.12 El termómetro de resistencia de germanio.....................400 10.8.13 Termistores.............................................................................400 10.8.14 Termómetros de circuito integrado...................................402



10.8.15 Termómetros de radiación..................................................403 10.9 Ecuaciones de los gases ideales.......................................................406 10.9.1 Ley de Boyle..............................................................................406 10.9.2 Ley de Charles o 1ª Ley de Gay Lussac..............................406 10.9.3 2ª Ley de Gay Lussac..............................................................408 10.9.4 Ecuación de estado de los gases ideales............................409 10.10 Escala Internacional de Temperaturas...........................................411 Capítulo 11: Calor y primera ley de la termodinámica.........420 11.1 Algunos conceptos de la teoría cinética de los gases..................420 11.1.1 Presión en la teoría cinética molecular................................421 11.1.2 Temperatura y energía............................................................421 11.1.3 Energía interna media..............................................................425 11.1.4 Teorema de la equipartición...................................................426 11.1.5 Gases biatómicos.......................................................................427 11.1.6 Energía interna para gases no ideales..................................428 11.2 Dilatación térmica................................................................................428 11.2.1 Dilatación de sólidos a presión constante...........................430 11.2.2 Dilatación lineal a presión constante...................................430 11.2.3 Dilatación superficial a presión constante.........................434 11.2.4 Dilatación volumétrica a presión constante.......................439 11.2.5 Dilatación de líquidos...............................................................441 11.2.6 Dilatación anómala....................................................................443 11.3 Calor........................................................................................................444 11.3.1 Equivalente mecánico del calor..............................................446 11.3.2 Energía en la naturaleza.........................................................447 11.3.3 Calor específico........................................................................449 11.4 Cambios de fase...................................................................................453 11.4.1 Punto triple................................................................................458 11.5 Transferencia de calor.......................................................................460 11.5.1 Conducción del calor.................................................................461 11.5.2 Convección..................................................................................466 11.6 Trabajo y energía en un sistema termodinámico..........................469 11.6.1 Trabajo en un sistema termodinámico.................................470 11.7 Primera ley de la termodinámica......................................................473

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