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2010 Msc. Ing. Mario García 01/03/2010 SEÑALES Y SISTEMAS
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2010
Msc. Ing. Mario García
01/03/2010
SEÑALES Y SISTEMAS
Página 2
SEÑALES Y SISTEMAS
Contenido SISTEMAS LINEALES ............................................................................................................... 5
CAPITULO I ................................................................................................................................. 5
1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 6
2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ...................................................................... 6
2.1. SISTEMA DETERMINÍSTICO ............................................................................... 6
2.2. SISTEMA NO ANTICIPATIVO .............................................................................. 6
2.3. SISTEMA REALIZABLE ........................................................................................ 7
2.4. SISTEMA LINEAL .................................................................................................. 7
2.5. SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO ............................................................ 7
3. EJEMPLOS ..................................................................................................................... 7
3.1. DIFERENCIADOR ........................................................................................................ 7
3.2. ELEVADOR AL CUADRADO .................................................................................... 8
CAPITULO II ............................................................................................................................... 9
1. SEÑALES CONTINUAS Y SEÑALES DISCRETAS ............................................... 10
2. SEÑALES CUANTIZADAS ........................................................................................ 10
3. FUNCIONES SINGULARES: ..................................................................................... 11
3.1. FUNCIÓN PASO O ESCALÓN UNITARIO: ....................................................... 11
3.2. FUNCIÓN RAMPA: .................................................................................. 12
3.3. FUNCIÓN PARÁBOLA: ....................................................................................... 13
3.4. FUNCIÓN IMPULSO: ........................................................................................... 13
4. EJEMPLOS: .................................................................................................................. 16
CAPITULO III ............................................................................................................................ 21
ANÁLISIS DE TRANSITORIOS POR EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE ................................................................................................................................... 21
1. INTRODUCCION: ....................................................................................................... 22
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.- ................................................................... 22
2.1. EJEMPLOS ............................................................................................................. 22
2.2. APLICACIÓN EN EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS.- ........................................... 24
2.3. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.- ................................. 27
2.4. TEOREMA DEL VALOR INICIAL.- .................................................................... 32
2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL.- ....................................................................... 33
2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO TIEMPO.- .......................................................... 34
CAPITULO IV ............................................................................................................................ 37
SERIE DE FOURIER ................................................................................................................. 37
Página 3
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN: ....................................................................................................... 38
2. SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER: .......................................................... 38
2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE: ........................................ 39
2.2. EJEMPLOS: ............................................................................................................ 40
2.3. CONDICIONES DE SIMETRÍA ............................................................................ 42
3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER: ................................................................... 44
3.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES: ................................................................. 44
3.2. EJEMPLOS ............................................................................................................. 45
4. REPRESENTACIÓN DE LA SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER EN
TODO EL INTERVALO ............................................................................... 46
4.1. EJEMPLO: .............................................................................................................. 47
4.2. ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER ............................................................... 48
CAPITULO V ............................................................................................................................. 53
TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................................................... 53
1. INTRODUCCIÓN: ....................................................................................................... 54
2. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. ..................................... 57
2.1. TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES ÚTILES. ...... 58
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES IMPULSO
61
3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER .................................. 77
3.1. PROPIEDAD DE SIMETRÍA.- .............................................................................. 78
3.2. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD .................................................................... 80
3.3. PROPIEDAD ESCALAR ....................................................................................... 80
3.4. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA ......................... 81
3.5. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO ................................... 83
CAPITULO VI ............................................................................................................................ 84
1. INTRODUCCIÓN.- ...................................................................................................... 85
2. CARACTERÍSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS LINEALES. ..... 87
3. TRANSMISIÓN SIN DISTORSIÓN .......................................................................... 89
4. FILTROS IDEALES ..................................................................................................... 90
5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGÍA ............................................................. 93
6. PROBLEMAS PROPUESTOS. ................................................................................... 97
CAPITULO VII .......................................................................................................................... 99
CONVOLUCIÓN ....................................................................................................................... 99
1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 100
Página 4
SEÑALES Y SISTEMAS
2. INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN: .......................................................................... 100
2.1. CONVOLUCIÓN EN EL TIEMPO ...................................................................... 100
2.2. CONVOLUCIÓN EN LA FRECUENCIA ........................................................... 101
3. LEYES DE CONVOLUCIÓN ................................................................................... 102
3.1. CONMUTATIVA. ................................................................................................ 102
3.2. DISTRIBUTIVA ................................................................................................... 103
3.3. ASOCIATIVA. ..................................................................................................... 103
4. INTERPRETACIÓN GRAFICA DE LA CONVOLUCIÓN .................................. 103
5. CONVOLUCIÓN CON UN IMPUSO UNITARIO ................................................. 106
6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIÓN. ........................................................................ 108
CAPÍTULO VIII ....................................................................................................................... 112
LA TRANSFORMADA Z ........................................................................................................ 112
1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 113
2. LA TRANSFORMADA Z .......................................................................................... 113
3. TRANSFORMADA DE FUNCIONES IMPORTANTES ................................... 116
3.1. FUNCIÓN IMPULSO MODIFICADA .................................................. 116
3.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL ........................................................................ 117
3.3. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO ................................................................. 117
3.4. FUNCIONES SENO Y COSENO ........................................................................ 117
3.5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS SENO Y COSENO ........................................... 118
3.6. FUNCIÓN RAMPA .................................................................................. 118
3.7. FUNCIÓN EXPONENCIAL ..................................................................... 119
4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES .............................................. 119
5. CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS .......................................... 122
6. PROBLEMAS ............................................................................................................. 123
Página 5
SEÑALES Y SISTEMAS
SISTEMAS LINEALES
CAPITULO I
1.- INTRODUCCIÓN.-
2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS.-
2.1. DETERMINÍSTICO
2.2. NO ANTICIPATIVO
2.3. REALIZABLE
2.4. LINEAL
2.5. INVARIANTE EN EL TIEMPO
3.- EJEMPLOS.-
Página 6
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN
Al ingeniero interesado en el estudio de los atributos observables de un sistema físico,
se le presenta el problema de poder representar y clasificar las señales. Al considerar las
señales como entidades en sí mismas, más o menos separadamente de los sistemas que
lo producen, se presenta con una variedad inmensa de posibilidades de representación y
clasificación.
La escogencia apropiada de las diferentes técnicas depende en mucho de cómo desee el
observador la información suministrada por las señales. En gran parte, un estudio
unificado y general de estas técnicas requieren el estudio matemático del análisis
funcional.
Trataremos las técnicas de análisis aplicables a sistemas físicos que presumen respuesta
cuando estos son excitados.
Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, independientes o dependientes del tiempo.
2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
Se impone reconocer cuando un sistema reúne las características de un sistema lineal o
invariante con el tiempo para evitar inútiles esfuerzos tratando de analizar sistemas para
los cuales las técnicas que expondremos, conducirán a resultados de ningún valor.
Consideremos el sistema de la figura, cuya excitación es y su repuesta .
Asumamos que el sistema no contiene fuentes de energía independientes, está en estado
de equilibrio.
La relación de causa y efecto, se indica simbólicamente como:
[ ]
Donde L es un operador que caracteriza al sistema. L puede ser una función de y, v, t y
puede contener operaciones de diferenciación o integración, además puede ser
expresada en lenguaje probabilístico.
2.1.SISTEMA DETERMINÍSTICO
Un sistema es determinístico si a cada excitación , corresponde una y solamente
una respuesta .
2.2.SISTEMA NO ANTICIPATIVO
Página 7
SEÑALES Y SISTEMAS
Un sistema es no anticipativo, si la respuesta en cualquier instante no depende de
valores de futuros de excitación.
2.3.SISTEMA REALIZABLE
Un sistema es realizable si no es anticipativo y si la respuesta es una función real
de t para toda excitación real de .
2.4.SISTEMA LINEAL
Un sistema es lineal si las respuestas a dos excitaciones diferentes , son
. Y si la respuesta a la excitación:
Es
Donde
Y son constantes.
Simbólicamente: [ ] [ ] [ ]
A esta ecuación se la conoce como principio de superposición.
2.5.SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO
Si la relación entre la respuesta y la excitación es independiente del tiempo, la respuesta
a la excitación es . En este caso la magnitud y la forma de la respuesta
son independientes del tiempo al cual se le aplica la excitación
Forma simbólica:
[ ]
3. EJEMPLOS
3.1. DIFERENCIADOR
Es un sistema lineal
PRUEBA:
[ ]
El sistema es realizable, pues es no anticipativo y si es real.
Página 8
SEÑALES Y SISTEMAS
3.2. ELEVADOR AL CUADRADO
No es lineal
PRUEBA:
Si
[ ] [
]
3.3.
Es una función lineal.
Si
[ ]
[ ] [ ]
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SEÑALES Y SISTEMAS
CAPITULO II
1. SEÑALES CONTINUAS Y DISCRETAS.
2. SEÑAL CUANTIZADA.
3. FUNCIONES SINGULARES:
3.1. FUNCIÓN PASO O ESCALÓN.
3.2. FUNCIÓN RAMPA.
3.3. FUNCIÓN PARÁBOLA.
3.4. FUNCIÓN IMPULSO.
4. EJEMPLOS
Página 10
SEÑALES Y SISTEMAS
1. SEÑALES CONTINUAS Y SEÑALES DISCRETAS
En los capítulos anteriores hemos dado una clasificación de los diferentes sistemas que
podemos encontrar en nuestro estudio y hemos hablado de excitación y de respuesta.
Pudiéndose denominar también, SEÑAL DE ENTRADA Y SEÑAL DE SALIDA. Es
necesario conocer las clases de señales disponibles y cuál el tratamiento matemático al
que pudo ser sometido para poder conocer la respuesta de determinado sistema.
Las diferentes señales podemos clasificarlas en 3 subclases: SEÑALES DISCRETAS,
SEÑALES CONTINUAS Y SEÑALES CUANTIZADAS.
SEÑALES CONTINUAS: Es una función de la variable continua e independiente del
tiempo (t). Esta señal debe ser definida de una forma única para todos los valores de t
dentro de un rango dado, para los cuales la función es continua.
La función de la figura 1 no es continua para a < t < b a causa de la continuidad en
t = pero representa una señal continua para a < t < de acuerdo a la definición
anterior.
Figura Nº 1
SEÑAL DISCRETA: Es aquella que solo está definida en una secuencia de valores
discretos de la variable independiente t. En muchos casos la señal puede ser cero,
excepto en los valores de t; esto no es esencial a la definición. En otros casos de interés
practico, los instantes en que se define la señal, están igualmente espaciados, es decir
, donde T es el tiempo entre los instantes de definición de la señal y K =0, 1,
2,3,…. En estos casos la señal es una función de la variable discreta a independiente K.
2. SEÑALES CUANTIZADAS
Es aquella que solo puede asumir un numero desmesurable de valores diferentes.
Cuantizar quiere decir redondear hasta el valor aceptable más cercano. Las señales
cuantizadas pueden ser continuas o discretas
Página 11
SEÑALES Y SISTEMAS
La señal de la fig.1 representa una señal continua. Si redondeamos los valores de
la señal hasta el valor aceptable (0, 1, 2, o 3), considerando solo los tres niveles
anteriores, obtendremos la señal cuantizada de la fig.2. Si muestreamos en siete
instantes discretos del tiempo obtendremos la señal discreta de la fig.3. Si
muestreamos obtendremos la señal discreta cuantizada .
Figura Nº 3
Figura Nº 4
3. FUNCIONES SINGULARES:
Las funciones singulares son funciones continuas del tiempo para todos los valores de t,
menos uno, además todas las funciones singulares pueden obtenerse de una, a través de
diferenciaciones o integraciones sucesivas.
3.1. FUNCIÓN PASO O ESCALÓN UNITARIO:
De la figura 5 se puede deducir:
{
Página 12
SEÑALES Y SISTEMAS
Figura Nº 5
Si la función se desplaza a la derecha a unidades, la discontinuidad estará en
y por lo tanto:
{
Figura Nº 6
3.2. FUNCIÓN RAMPA:
Si integramos entre y obtenemos la función rampa
∫
{
Página 13
SEÑALES Y SISTEMAS
Figura Nº 7
3.3. FUNCIÓN PARÁBOLA:
Integrando la función rampa podemos obtener otra función singular
∫
8
Figura Nº 8
3.4. FUNCIÓN IMPULSO:
Si tratamos ahora de diferenciar la función paso unitario obtendremos otra función
singular. La derivada es cero para y no existe para t = 0. Consideramos
una función que se aproxima al paso unitario fig. 9. Esta función tiene como
derivada la función ósea:
Página 14
SEÑALES Y SISTEMAS
Figura Nº 9
∫
Cuando
Y se convierte en un pulso más angosto y alto, siendo su área igual a la unidad.
Podemos entones decir que:
Excepto para
De igual manera podemos decir que:
{
(1)
Página 15
SEÑALES Y SISTEMAS
Donde se llama función impulso unitario. Su área se conserva igual a la unidad
Figura N’ 10
Por lo tanto tomando límites en la ecuación (1) tenemos:
[
]
∫
Lo cual nos permite escribir:
∫
Página 16
SEÑALES Y SISTEMAS
4. EJEMPLOS:
1.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
2.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
3.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
Página 17
SEÑALES Y SISTEMAS
4.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
5.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
6.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
Página 18
SEÑALES Y SISTEMAS
[ ]
9.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular y
obtener la derivada de la función.
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
10.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular y
obtener la derivada de la función.
Página 19
SEÑALES Y SISTEMAS
11.- Dado el gráfico de la función escribir la en términos de función singular.
[ ]
[ ]
12.- ejemplo propuesto:
Determinar
=?
13.- Determinar gráficamente la función:
Página 20
SEÑALES Y SISTEMAS
14.- Determinar gráficamente la función analítica de:
[ ] [ ]
15.- Representar gráficamente:
16.- Representar analíticamente y gráficamente la función
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN IMPULSO O DELTA DE DIRAC
1.-
2.-
3.-
Página 21
SEÑALES Y SISTEMAS
CAPITULO III
ANÁLISIS DE TRANSITORIOS POR EL MÉTODO DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. INTRODUCCIÓN.
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
2.1. EJEMPLOS
2.2. APLICACIÓN EN ANÁLISIS DE CIRCUITOS
2.3. MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
2.3.1. Método de las fracciones parciales: 3 casos
2.3.2. Formula del desenvolvimiento de HEAVISIDE
2.4. TEOREMA DEL VALOR INICIAL
2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL
2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
2.6.1. EJEMPLOS
2.7. PROBLEMAS
Página 22
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCION:
Se han analizado las corrientes transitorias en circuitos que tienen elementos
almacenadores de energía como son los condensadores (C) y los inductores (L). La
aplicación de las leyes de Kirchhoff a tales circuitos desemboca en la utilización de una
o dos ecuaciones diferenciales en el dominio tiempo dependiente de la configuración del
circuito. Estas ecuaciones fueron o son resueltas por los métodos clásicos, en muchos
pasos, entretanto, tales métodos no son convenientes.
En este capítulo introduciremos el método llamado de transformada de Laplace, que nos
da las soluciones más directas a las ecuaciones diferenciales. Además de eso, algunas
funciones irregulares, que no pueden ser fácilmente resueltas por los métodos clásicos,
tienen inmediata solución con la transformada de Laplace.
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.-
Si es una función de t definida para , la transformada de Laplace de ,
indicada por el símbolo [ ], es definida por:
[ ] ∫
Donde puede ser un parámetro complejo o real en las aplicaciones en circuitos, se
admite como:
La operación [ ] transforma una función del dominio tiempo a una función
del dominio frecuencia compleja o simplemente dominio . Las dos funciones
y constituyen un par de transformadas, siendo estas dadas en tablas.
Son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace, que la
función sea:
Continua en intervalos
De orden exponencial
La función es considerada de orden exponencial si | | para todo
, donde A, son constantes positivas.
En análisis de circuitos todas las condiciones son satisfactorias por las funciones.
2.1. EJEMPLOS
1.- la función representada en la figura es definida por para . Determinar
la transformada de Laplace correspondiente.
Página 23
SEÑALES Y SISTEMAS
{ } [
] [
] [
]
{ }
2.- Obtener la transformada de Laplace de , donde a es una constante.
{ } ∫
[
]
{ }
3.- Encontrar la transformada de Laplace de:
{ } ∫
*
+
4.- Encontrar la transformada de Laplace de la derivada de
{ } ∫
Integrando por partes, usando ∫
∫ ] ∫
Y
Página 24
SEÑALES Y SISTEMAS
{
} [ ]
∫
∫
{
}
Donde es el valor de la función cuando para
5.- Encontrar la transformada de Laplace de la integral ∫
{∫ } ∫ ∫ ⏟
⏟
Integrando por partes: ∫ ∫
∫ Y
{∫ } [∫ (
)]
∫
{∫ }
∫ |
Donde
∫ | es el valor de la integral para que también se
{∫ }
2.2. APLICACIÓN EN EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS.-
En el circuito que aparece en el circuito RC serie de
la figura tiene una carga inicial
La fuente de tensión constante V es aplicada al
circuito, cuando la llave se cierra, la ecuación
diferencial es entonces:
∫ (1)
Llamando de a la corriente en el dominio S y tomando la transformada de Laplace
de cada uno de los términos de la ecuación (1) tenemos:
Página 25
SEÑALES Y SISTEMAS
{ } {
∫ } { }
Así: ∫ | entonces tenemos:
Calculemos
(
)
(
)
(
)
(
)
{ }
8
9
⁄ (3)
La ecuación (3) es la corriente en el dominio tiempo que aparece en el circuito inicial
RC cuando cerramos la llave, con una carga inicial en el condensador C. las condiciones
iniciales fueron consideradas en la ecuación (2) en el dominio S, en consecuencia el
tomar la transformada inversa la ecuación resultante (3) ya contiene las constantes.
La función [ ] gráficamente es como indica la figura con una corriente inicial de
Si
no hay transitorio ya que la
carga en el capacitor origina una tensión
igual a la tensión de la fuente.
Página 26
SEÑALES Y SISTEMAS
Consideremos ahora un circuito RL como indica el grafico. Cuando el interruptor es
cerrado, aplicase una tensión constante V al circuito RL aplicando las leyes de
Kirchhoff después de cerrar la llave tenemos:
(1)
Aplicando la transformada de Laplace a cada término tenemos:
{ } 2
3 { }
(2)
La corriente inicial en un circuito RL cuya constante era nula antes de cerrar la
llave, es también nula para . Entonces reemplazando en la ecuación
(2) tenemos:
.
(
)/
(3)
Encontrando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3) observamos que no
existen formulas directas para encontrar entonces tenemos que usar algún método
para la resolución de esta antitransformada, por ahora admitamos que la
antitransformada es igual a:
{ }
(
) (4)
La ecuación (4) representa el conocido incremento exponencial con el valor ⁄ para la
corriente en régimen estacionario.
Página 27
SEÑALES Y SISTEMAS
2.3. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.-
En el análisis de circuitos, generalmente, la corriente en el dominio S es la relación de
polinomios en S.
El desenvolvimiento de cuociente en la suma de varias fracciones es frecuentemente
necesario para la obtención de la transformada inversa de Laplace.
Examinemos, ahora, la aplicación del método de desenvolvimiento de cuocientes de
polinomios y el método llamado de formula de Heaviside, su aplicación conduce a la
transformada inversa.
2.3.1. Método de desenvolvimiento en fracciones parciales.-
La ecuación
en que es de grado superior al de , puede ser escrita como
una suma de fracciones cuyos denominadores sean cada uno, uno de los factores de y
cuyos numeradores sean constantes.
Desenvolviendo el cuociente ⁄ debemos considerar las raíces de . Ellas pueden
ser reales, o complejas dando origen a tres casos.
Caso 1.- Las raíces de son reales y desiguales.
Ejemplo:
Factorando tenemos:
(1)
Para y la expresión se torna infinito y se dice que existen polos simples
para esos valores de S. El coeficiente de un polo simple es dado por
| Así para determinar el coeficiente de A multiplicar ambos
miembros por .
Para
|
Página 28
SEÑALES Y SISTEMAS
Para determinar el coeficiente de B multiplicamos por la ecuación (1)
Para S
Entonces nuestra ecuación (1) quedara así:
La transformada inversa será:
{ }
Este caso también puede ser resuelto de otra manera:
- multiplicando la ecuación (1) por después igualando los coeficientes
de las potencias iguales de S así:
}
Este método siempre conduce a ecuaciones simultáneas, el primer método resuelto
siempre en ecuaciones independientes para cada coeficiente.
Caso 2.- Las raíces de son reales e iguales
Ejemplo: ( )
( )
. /
( )
Luego:
Multiplicando ambos miembros por S y haciendo tenemos:
Página 29
SEÑALES Y SISTEMAS
En caso de raíces repetidas, el coeficiente del término cuadrático es dado por:
|
Entonces:
Para
Para la determinación del coeficiente B tenemos que:
[
]
Entonces tenemos:
⌋
Entonces nuestro
De donde:
De otra forma podemos realizar la misma operación así:
Si multiplicamos los dos miembros de:
Por tenemos:
Página 30
SEÑALES Y SISTEMAS
Si igualamos los coeficientes S tenemos:
(1)
(2)
(3)
En (1)
En (2)
Que coincide con los valores anteriormente calculados.
Caso3.- Las raíces de son complejas por ejemplo:
( )
( )
( )
( )( )
Como tiene raíces complejas conjugadas las constantes en los numeradores de las
fracciones parciales son también complejos conjugados:
Multiplicando ambos miembros por y haciendo tenemos:
Página 31
SEÑALES Y SISTEMAS
{
}
{
}
[ ] ;
[ ]
Otra forma de efectuar el mismo cálculo es la siguiente:
-Multiplicando ambos miembros por así:
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de S tenemos:
2.3.2. Formula de desenvolvimiento de HEAVISIDE
La formula de Heaviside establece que la transformada inversa de Laplace del cuociente
( )
( ) es dada por:
2 ( )
( )3 ∑
( )
( )
Donde son n raíces distintas de por ejemplo:
Página 32
SEÑALES Y SISTEMAS
( )
( )
( )( )
Las raíces son ;
2
3 ∑
2.4.TEOREMA DEL VALOR INICIAL.-
{
} ∫
Si tomamos el límite para tenemos:
∫
{ }
El integrando tiende para 0 cuando por entonces:
{ }
Como es una constante podemos escribir:
{ } (1)
La ecuación (1) exprime el teorema del valor inicial. Podemos encontrar el valor inicial
de una función del tiempo multiplicando la función correspondiente del dominio
, por S y tomando el límite cando .
Ejemplo: En el circuito RC y analizado Q0 caiga del capacitor la corriente en el dominio
S en
.
/
Determinar la corriente inicial i empleando el teorema del valor inicial:
2
3
Página 33
SEÑALES Y SISTEMAS
2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL.-
{
} ∫
Si tenemos el límite para tenemos:
2∫
3
De donde tenemos:
∫
{ }
{ } (2)
La ecuación (2) nos indica el teorema del valor final. Por analogía de aplicación del
teorema y del valor inicial, se puede encontrar el valor final de una función del tiempo
, multiplicando por S la función correspondiente del dominio S, y tomando el
límite cuando . La ecuación (2) entretanto, solo puede ser aplicada cuando todas
las raíces del denominador de tengan las partes reales y negativas. Esta restricción
excluye las funciones senoidales, pues estas son indeterminadas en el infinito.
Ejemplo:
En el circuito RL de la figura ya analizada tenemos que:
4
( )
5
Determine el valor de la corriente en
4
( )5
Página 34
SEÑALES Y SISTEMAS
2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO TIEMPO.-
La ecuación para el circuito serie RLC de la figura es:
∫
Aplicando la transformada de Laplace tenemos:
( )
(3)
En ,
-
En la ecuación (4)
es la impedancia en el dominio S. todos los
métodos empleados en análisis de circuitos en el tiempo pueden ser usados con los
parámetros S.
La ecuación (3) puede ser representado gráficamente así:
Debe tenerse mucho cuidado con los signos de y
.
Co0nsideremos ahora el circuito de la figura abajo, donde existe una corriente inicial i0,
con el interruptor en la posición 1. Cuando el interruptor es llevado a la posición
2, introduciéndose en el escrito una fuente constante V y en capacitor con una carga
inicial. El sentido positivo de la corriente i fue arbitrario.
Página 35
SEÑALES Y SISTEMAS
Así podemos notar que la fuente de tensión constante fue transformada en ⁄ y la
corriente resultante es . Los términos de las condiciones iniciales son ahora fuentes
con los sentidos indicados y la ecuación será la indicada (3).
2.6.1. EJEMPLOS
1.- El interruptor de RL figura, se mantiene en la posición 1 durante tiempo variante
para que se establezca condiciones de régimen estacionario y en , es deslocado
para la posición. Determinar la corriente resultante.
Para
[ ]
Página 36
SEÑALES Y SISTEMAS
|
|
Página 37
SEÑALES Y SISTEMAS
CAPITULO IV
SERIE DE FOURIER
1. INTRODUCCIÓN.
2. SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER.
2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE
2.2. EJEMPLOS
2.3. CONDICIONES DE SIMETRÍA
3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER
3.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES
3.2. EJEMPLOS
4. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA MEDIANTE LA
SERIE DE FOURIER EN TODO EL INTERVALO [ ]
4.1. EJEMPLOS
4.2. ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER
Página 38
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN:
En los circuitos examinados hasta aquí se puede encontrar 2 tipos de excitaciones,
excitaciones constantes o de forma senoidal. En esos casos, una expresión simple
describe las funciones excitadoras para cualquier valor del tiempo.
Algunas formas de ondas periódicas entre las cuales está por ejemplo, la diente de
sierra, solo pide ser expresada en una forma simple dentro de un intervalo.
Así por ejemplo la figura: diente de sierra.
{
Sin embargo de que estas expresiones describen satisfactoriamente la forma de onda, no
permite la determinación de la respuesta del circuito. Entre tanto, sea una función
periódica, puede ser expresada como una suma de un numero finito o infinito de
funciones senoidales, las respuestas de estructuras lineales a excitaciones no senoidales
podrán ser determinadas por el teorema de la superposición. El método de Fourier nos
permite solucionar este problema.
2. SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER:
Toda forma de onda periódica, esto es, para lo cual , puede ser
expresada por una serie de Fourier, desde que:
siendo discontinua, haya un número finito de discontinuidades en el periodo T.
tenga un valor medio finito en el periodo T
tenga un número finito de máximos positivos y negativos.
Satisfechas estas condiciones, de Dirichlet, existe la serie de Fourier que puede ser
escrita en la forma trigonométrica.
Página 39
SEÑALES Y SISTEMAS
Pudiendo ser escritas también de la siguiente forma:
∑
Para
2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE:
Los coeficientes de Fourier, son determinados para una forma de onda dada, por el
cálculo de integrales. Se obtiene la integral para los coeficientes cosenoidales
multiplicando ambos miembros de la serie trigonométrica por e integrando
parra todo un periodo. El periodo de la fundamental es ⁄ , es el periodo de la serie,
ya que la frecuencia de cada término de la serie es un múltiplo de la fundamental.
∫ ⁄
∫
⁄
∫ ⁄
∫ ⁄
∫ ⁄
∫ ⁄
∫ ⁄
Las integrales definidas del segundo miembro son todas nulas, con excepción de:
∫ ⁄
∫
⁄
∫
Multiplicando miembro a miembro la serie de Fourier por e integrando como
en el caso anterior podemos determinar el coeficiente de la serie así:
∫
⁄
∫
El termino constante se obtiene de la ecuación general para
∫
Otra forma de expresar estas integrales con la variable y con periodo
radianes es:
Página 40
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
∫
El termino constante en la serie es el valor promedio de en el intervalo así
es la componente de corriente directa.
La serie trigonométrica de Fourier puede ser también expresada de forma compacta así:
∑
∑
√
(
)
∑
√
(
)
2.2.EJEMPLOS:
1.- Determinar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura.
Página 41
SEÑALES Y SISTEMAS
∑
∫
∫
∫
[
]
∫
[
]
∑(
)
2.- Determinar la serie trigonométrica de Fourier de la onda dada de la figura.
8
∑
Página 42
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
∫
⁄
⁄
[ ]
⁄
⁄
(
)
∫
(
)
∑ {
}
2.3.CONDICIONES DE SIMETRÍA
La serie obtenida en el ejemplo 1 a más del término constante, contiene apenas términos
en seno, otras formas de onda como la del ejemplo 2 contiene apenas términos en
coseno y a veces existen apenas armónicos impares. Esto resulta de cierto tipo de
simetría asociada a las formas de onda. El conocimiento de esta simetría, simplifica los
cálculos para la determinación de la serie.
1.- Una función es par si es un ejemplo de
función par, pues el valor de la función es la misma para x como para –x; la función
coseno es par ya que puede ser expresada así:
La suma de dos o más funciones pares da como resultado otra función par y la adición de una
constante mantiene la naturaleza par de la función.
Las formas de onda representadas son funciones pares: son simétricas en relación al eje vertical.
Página 43
SEÑALES Y SISTEMAS
2.- Una función se dice que es impar si , es un
ejemplo impar pues para valores de x y –x el valor de la función tiene signos diferentes. El seno
es una función impar.
La suma es dos o más funciones impares da como resultado otra función impar, pero la
suma de una constante elimina la naturaleza impar de la función. El producto de dos
impares da como resultado una función par, ejemplo de funciones impares.
3.- Una función periódica posee simetría de media onda si (
) donde T
es el periodo; ejemplos de funciones que poseen simetría de media onda.
Página 44
SEÑALES Y SISTEMAS
Cuando el tipo de simetría de una onda es determinado se llega a las siguientes
conclusiones.
Si la forma de onda es par, todos los términos de la serie son cosenoidales.
. Por tanto no es necesario calcular los coeficientes de pues
no existen.
Si la función es impar la serie contiene únicamente términos senoidales.
. Por tanto no es necesario calcular . Cuando la onda posea
simetría de media onda existe apenas armónicas impares. Salvo la hipótesis en
que la función sea también impar o par, la serie tendrá términos en seno o en
coseno, en cualquier caso y son nulos para . en toda forma de
onda que posea simetría de media onda.
3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER:
Si cada uno de los términos en seno y coseno de la serie trigonométrica fuera expresado
en su forma exponencial, tendremos una serie de términos exponenciales.
.
/ .
/ .
/
.
/
Reagrupando:
(
) (
)
(
)
(
)
3.1.CALCULO DE LOS COEFICIENTES:
Definiremos ahora una constante completa A tal que:
Quedando nuestra función:
{
}
Para obtener las integrales de los coeficientes , multiplicar los dos miembros por
e integrándose en el intervalo de un periodo completo así:
Página 45
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Todas las integrales del segundo miembro son nulas excepto:
∫
∫
O con t como variable.
∫
Del mismo modo que en el cálculo de las integrales de y los limites de
integración deben abarcar un periodo completo que sea conveniente, no necesariamente
de .
Los coeficientes de la serie trigonométrica son obtenidos a partir de los coeficientes de
la serie exponencial, sumándose y sustrayéndose las expresiones de y así:
Donde
Y
donde
3.2.EJEMPLOS
1.- Determinar la serie exponencial de Fourier para la forma de onda demostrada en la
figura. Empleando los coeficientes de esa serie obtenga y para la serie
trigonométrica.
Página 46
SEÑALES Y SISTEMAS
{
}
∫
0
1
Entonces tendremos:
Los coeficientes de la serie trigonométrica son:
(
) (
)
Así la serie trigonométrica será:
4. REPRESENTACIÓN DE LA SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
EN TODO EL INTERVALO [ ]
Hasta aquí hemos representado una función como serie de Fourier en un intervalo
finito o . Fuera del intervalo la función y la serie de Fourier
correspondiente no son necesariamente iguales. Sin embargo si la función es
periódica se puede demostrar que su representación en serie se aplica a todo el intervalo
. Esto se demuestra fácilmente si se toma una función y su representación
en serie exponencial de Fourier en el intervalo .
Página 47
SEÑALES Y SISTEMAS
∑
La igualdad es válida en el intervalo los dos miembros de la ecuación no
son necesariamente iguales fuera del intervalo. Es fácil ver sin embargo, que el segundo
miembro de la ecuación es con periodo
. Esto se deduce que:
Por lo tanto es obvio que, si es periódica con periodo T, entonces la igualdad de la
ecuación (1) es válida en todo el intervalo . Así par una función periódica
∑
En donde
∫
4.1.EJEMPLO:
Considérese la onda seno rectificada de la figura. En esta función.
∑
∫
∑
Página 48
SEÑALES Y SISTEMAS
4.2.ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER
El desarrollo en serie de Fourier de una función periódica, equivale realmente a la
transformación de la función en términos de sus componentes de diferentes frecuencias.
Una función periódica de T tiene componente de frecuencia angulares
en donde
. Si se especifica , se puede encontrar su
espectro. Inversamente si se conoce el espectro, se debe encontrar la función
correspondiente. Por lo tanto tenemos dos maneras de representar la función : la
representación en el dominio tiempo, con el cual se expresa como función tipo, y
la representación en el dominio frecuencia con el cual se especifica el espectro (es decir,
las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencia). Nótese que el espectro
existe únicamente en . Así es el espectro no es una forma
continua, sino que existe solamente en algunos valores discretos . Por consiguiente es
un espectro descrito y a veces se llama espectro de líneas. Se puede expresar
gráficamente al espectro al trazar líneas verticales en con alturas
proporcionales a la amplitud de la componente correspondiente a la frecuencia.
Así, en una grafica, es el espectro de frecuencia discreto con una serie de líneas
verticales igualmente espaciadas con alturas proporcionales a la amplitud de la
componente correspondiente de frecuencia.
Para representar el espectro se puede utilizar cualquiera de las representaciones sea esta
exponencial o trigonométrica. Sin embargo, para nuestros fines, resulta más útil la
forma exponencial, en esta serie la función periódica se expresa como suma de
funciones exponenciales de frecuencia , etc.
No es difícil entender el significado de las frecuencias negativas. Las dos señales y
oscilan a la frecuencia , sin embargo, se les puede ver como dos fasores que
giran en direcciones opuestas y que cuando se suman, producen una función real del
tiempo así:
En una función periódica T, la serie exponencial está dada por:
Por consiguiente tenemos las frecuencias
, etc. Y las amplitudes de las
componentes son respectivamente , etc.
Las amplitudes suelen ser complejas y, por lo tanto se les describe por su magnitud y
fase. Por consiguiente, en general, se requiere de dos espectros para la representación de
una función periódica en el dominio de la frecuencia: el espectro de magnitud y el
espectro de fase, sin embargo en la mayoría de los casos, las amplitudes de las
Página 49
SEÑALES Y SISTEMAS
componentes de frecuencia son o bien reales o imaginarias, de modo que se puede
describir la función mediante un solo espectro.
Considérese la función periódica del ejemplo de la onda seno rectificada. Se encontró
que la serie exponencial de Fourier para esta onda seno rectificada es:
Cuyo espectro es:
El espectro existe en , etc. Y las magnitudes correspondientes
son
, etc., nótese que todas las amplitudes son reales y, por eso,
solo es necesario dibujar un espectro. Este espectro se dibujo en la figura arriba. Se ve
en esta figura que el espectro es evidentemente simétrico con respecto al eje vertical que
pasa por el origen. El coeficiente esta dado por:
∫
∫
Estas ecuaciones nos indican claramente que los coeficientes y son complejos
conjugados es decir:
En consecuencia
Página 50
SEÑALES Y SISTEMAS
| | | |; Y
Se concluye, por tanto que el espectro de magnitud es simétrico con respecto al eje
vertical que pasa por el origen y por consiguiente, es función par de .
Si es real, entonces también lo es y es igual .
Si es compleja tal que:
| | Entonces
| |
La fase es , sin embargo la fase es por lo tanto es obvio que el espectro
de fase es simétrico (función impar) con respecto al eje horizontal y el espectro de
magnitud es simétrico (función par) con respecto al eje vertical que pasa por el origen.
EJEMPLOS:
1.- Desarrolle la función rectangular periódica de la figura como serie exponencial de
Fourier y dibuje el espectro de frecuencia.
{
Por conveniencia, escogemos
y (
), como limites de integración.
∫
∫
|
Página 51
SEÑALES Y SISTEMAS
(
)
6 (
)
7
La función entre paréntesis es de la forma
. Esta función desempeña un papel muy
importante en la teoría de la comunicación y se la conoce como función de muestreo,
abreviando .
Esta constituye la función de muestreo en la figura arriba, puede notarse que la función
oscila con periodo , con amplitud decreciente en ambas direcciones de x, y que tienen
ceros en . De la ecuación.
(
)
Y
Por lo tanto:
.
/
Página 52
SEÑALES Y SISTEMAS
∑ .
/
Es evidente que es real y, en consecuencia necesitamos un espectro para la
representación en el dominio de la frecuencia, además como es par, se desprende
que .
La frecuencia fundamental
. El espectro de frecuencia es función discreta y
existe solamente en ⁄
⁄ ⁄ con amplitudes:
⁄ (
⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) respectivamente.
Página 53
SEÑALES Y SISTEMAS
CAPITULO V
TRANSFORMADA DE FOURIER
1. INTRODUCCIÓN.
1.1. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUALQUIERA EN TODO EL
INTERVALO [ ]
2. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER.
2.1. TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES ÚTILES
2.1.1. Señal exponencial unilateral
2.1.2. Señal exponencial bilateral | |
2.1.3. La función pulso rectangular
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES
IMPULSO
2.2.1. Transforma de Fourier de la función impulso-
2.2.2. Transformada de Fourier de una constante
2.2.3. Transformada de Fourier de
2.2.4. Transformada de Fourier de la función escalón unitario
2.2.5. Señales perpetuas y
2.2.6. Transformada de una exponencial perpetua
2.2.7. La transformada de una función periódica.
3. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
3.1. PROPIEDAD DE SIMETRÍA
3.2. PROPIEDAD DE LINEALIDAD
3.3. PROPIEDAD ESCALAR.
3.4. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA.
3.5. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO.
Página 54
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN:
Hemos aprendido a representar cualquier función en términos de una serie exponencial,
o trigonométrica en un intervalo finito. En caso especial de una función periódica, se
puede extender la representación a todo el intervalo .
Sin embargo, conviene representar cualquier función periódica o no, en todo el intervalo
en términos de señales exponenciales. Veamos a una señal no periódica se
puede expresar generalmente como una suma (integral) continua de señales
exponenciales, en contraste con la señal periódica, que se puede representar mediante
una suma discreta de señales exponenciales.
Consideremos la función que se ilustra en la figura. Se requiere representar a esta
función como suma de funciones exponenciales en todo el intervalo . Con este
fin construiremos una nueva función periódica.
Con periodo T en lo que la función se repite cada T segundos como nos
indica la figura. El periodo T se hace lo suficientemente grande. La nueva función
es periodica y se lo puede representar por una serie exponencial de Fourier. En el límite,
si suponemos que T tiende al infinito, entonces los pulsos de la función periódica se
repiten después de un intervalo infinito. Por lo tanto, en el límite , y
son idénticas es decir:
Página 55
SEÑALES Y SISTEMAS
Así la serie de Fourier que representa a en todo el intervalo también representara a
en todo el intervalo si hacemos en la serie.
Podemos expresar la serie exponencial de Fourier de como
∑
En donde:
, entonces
∫
Representa la amplitud de la componente de frecuencia .
Supongamos que T aumenta, a medida que T aumenta, disminuye (frecuencia
fundamental) y el espectro se vuelve más denso, disminuyendo la amplitud de los
componentes del espectro de frecuencia, sin embargo, no cambia de forma.
En el límite, cuando , la magnitud de cada componente se vuelve
infinitesimamente pequeña, pero también existe un número infinito de componentes
espectrales. El espectro existe en cualquier valor y ya no es un espectro discreto sino
función continua de . Para aclarar esta cuestión cambio de notación. Sea
, entonces.
Es una función de y denotaremos mediante . Además, sea:
, entonces
∑
Tenemos:
∫
Página 56
SEÑALES Y SISTEMAS
Si substituimos el valor de
en (2) obtenemos:
∑
La ecuación (3) nos enseña que se puede expresar como su suma de señales
exponenciales de frecuencia , etc. La amplitud de la componente de
frecuencia es
⁄ (esta es igual a ). Observe a la amplitud de dicha
componente no es igual sino proporcional a .
La figura ilustra el diagrama de esta cantidad como función de . La función existe
solamente en valores discretos de , es decir en en donde
.
La distancia que separa cada exponente de frecuencia es . Por lo tanto, el área de
rectángulo sombreada de la figura es .
La ecuación:
∑
Representa la suma de las aéreas bajo todos los rectángulos que corresponden a valores
de n desde hasta . La suma de las áreas rectangulares representa
aproximadamente el área bajo la curva. La aproximación mejorada cuando disminuye el
valor . En el límite cuando se vuelve infinitésimamente pequeño de modo
que se le puede representar por entonces tenemos que el área bajo la curva es igual a
la suma de los rectángulos y , transformándose en:
∫
En donde:
Página 57
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
En esta manera se ha logrado representar una función no periódica en términos de
funciones exponenciales en todo el intervalo . Se presenta como una suma
continua de funciones exponenciales con frecuencia comprendidas en el intervalo
. La amplitud de cualquier componente es proporcional a representando
el espectro de . En general las ecuaciones:
∫
∫
Se conocen como par de transformada de Fourier de
Es la transformada directa de Fourier.
Es la transformada inversa de Fourier de .
En forma simbólica:
[ ] Y [ ]
Entonces tenemos:
[ ] ∫
[ ]
∫
2. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER.
De la ecuación:
∫
Página 58
SEÑALES Y SISTEMAS
Que define la transformada de Fourier, se desprende claramente que si:
∫
es finita, entonces existe la transformada de Fourier. Pero, como la
magnitud de es la unidad; una condición suficiente para la existencia de la
transformada de Fourier de es que:
∫ | |
Sea finita
Sin embargo, si se consideran funciones singulares (por ejemplo función impulso),
entonces esta condición de absoluta integrabilidad no es siempre necesario. La
integrabilidad absoluta es condición suficiente pero no necesaria para la
transformada de Fourier de .
Las funciones como no satisfacen la condición anterior y, en
sentido estricto, no ponen transformada, sin embargo, esas funciones si tienen
transformada en el límite.
2.1.TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES ÚTILES.
2.1.1. Señal exponencial unilateral
∫
∫
|
√ ⁄
| |
√ (
)
Se ha representado el espectro de magnitud | | y el espectro de fase .
Página 59
SEÑALES Y SISTEMAS
2.1.2. Señal exponencial bilateral | |
| |
∫ | |
∫
∫
Obsérvese que en este caso, el espectro de fase el espectro de magnitud
se ilustro en la figura.
Página 60
SEÑALES Y SISTEMAS
2.1.3. La función pulso rectangular.
Se define la función pulso rectangular como:
{ | |
⁄
| | ⁄
La transformada de Fourier de esta función está dada por:
∫
⁄
⁄
(
⁄ ⁄ )
( ⁄ )
⁄
( ⁄ )
Nótese que es una función real y en consecuencia, se le puede representar
gráficamente por una sola curva.
Página 61
SEÑALES Y SISTEMAS
2.2.TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES
IMPULSO
2.2.1. Transformada de Fourier de la función impulso.-
La transformada de Fourier de la función impulso unitario esta dado por:
[ ] ∫
Por definición
∫
∫
También
∫
Entonces la transformada de Fourier de es:
[ ] ∫
Página 62
SEÑALES Y SISTEMAS
Así la transformada de Fourier de la función impulso unitario es la unidad, por lo tanto,
es evidente que la función impulso unitario tiene densidad espectral uniforme en todo el
intervalo de frecuencia. En otras palabras la función impulso contiene todas las
componentes de frecuencia con amplitudes relativas iguales.
2.2.2. Transformada de Fourier de una constante.
Sea
Esta función no satisface la condición de integrabilidad absoluta, pero en el límite,
posee transformada de Fourier. Consideremos la transformada de Fourier de una
función pulso rectangular de altura A y de duración T segundos como la que fue
analizada anteriormente. En el límite cuando , la función rectangular tiende a
convertirse en una función constante A En consecuencia la transformada de Fourier de
una constante A es igual a la transforma de Fourier de un pulso rectangular cuando
entonces:
[ ] ( ⁄ )
[ ]
( ⁄ )
[ ]
(
⁄ )
Página 63
SEÑALES Y SISTEMAS
Sabemos que:
De lo que se concluye:
[ ]
[ ]
Así cuando es una constante, contiene solamente una componente de frecuencia
. Como es de esperarse una señal constante de corriente directa no
contiene otra componente de frecuencia.
Función constante y su transformada
2.2.3. Transformada de Fourier de
La función se define como:
{
También puede ser escrita:
Página 64
SEÑALES Y SISTEMAS
Podemos encontrar la transformada de Fourier al hacer la siguiente relación:
[ ]
Entonces:
[ ]
6∫ ∫
7
[ ] *
+;
2.2.4. Transformada de la función escalón unitario
Sabemos que:
[ ]
[ ]
[ [ ] [ ]]
Sabemos que: [ ]
Y que [ ]
Entonces:
[ ]
[
]
Página 65
SEÑALES Y SISTEMAS
Cuyo espectro es:
La función espectral contiene un impulso en . Por consiguiente, la función
contiene una gran componente de corriente directa y, además, otras componentes de
frecuencia.
La función aparenta ser una señal pura de corriente directa, de modo que resulta
raro que existan otras componentes de frecuencia diferentes de . Sin embargo, la
función no es una verdadera señal de corriente directa ya que vale cero en
y tiene una discontinuidad pronunciada en que da lugar a otras componentes de
frecuencia.
2.2.5. Señales sinusoidales perpetuas y
Estas señales no satisfacen la condición de integrabilidad absoluta; no obstante, su
transformada de Fourier existe y se lo puede obtener mediante un proceso de límites
similar al que empleamos con la función constante .
Suponga primero que dichas funciones existen únicamente en el intervalo de ⁄ a
⁄ , siendo cero fuera de él. En el límite T tenderá a infinito.
[ ]
∫
⁄
⁄
[ ]
8 *
+
*
+
9
[ ]
2
0
1
0
13
Página 66
SEÑALES Y SISTEMAS
Según:
En el límite una función de muestreo se transforma en una función impulso y tenemos:
[ ] [ ]
De igual manera se puede demostrar que:
[ ] [ ]
Por lo tanto el espectro de Fourier de estas funciones consta de grandes impulsos en
y en . Es interesante observar el comportamiento del espectro en el proceso
de límite cuando T tiende a infinito. Si T es infinito, la función densidad espectral está
dada por:
[ ]
2
0
1
0
13
El grafico a continuación muestra dicha función en el ciclo en que:
Es decir el grafico, representa la función densidad espectral de la señal en un
intervalo de 8 ciclos:
{
| |
| |
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SEÑALES Y SISTEMAS
Note que existe una gran concentración de energía en las frecuencias cercanas a . A
medida que incrementa el intervalo T, la densidad espectral se concentra alrededor de la
frecuencia .
En el límite cuando , la densidad espectral es cero en cualquier punto con la
excepción de , en donde es infinita, de tal manera que el área bajo la curva en cada
una de estas frecuencias es . Por lo tanto, en el límite, la distribución se convierte en 2
impulsos de intensidad unidades cada uno localizados en las frecuencias como
indica la figura.
En cambio las funciones contienen componentes de alguna
otra frecuencia, diferentes de así por ejemplo:
[ ]
∫
⁄
⁄
[ ]
[ ]
De la misma forma tenemos:
Página 68
SEÑALES Y SISTEMAS
[ ]
[ ]
Aparentemente las señales y son señales puras y tal vez nos parezca
extraño que contengan componentes de frecuencia diferentes de . Debemos recordar,
sin embargo, que estamos una función en términos de funciones exponenciales
perpetuas desde hasta . Las funciones y no son
funciones perpetuas ya que solo existe para valores positivos de t. Por lo tanto, también
contienen otras componentes además de aquellas en . Todas estas componentes se
suman de manera que producen un valor cero, como en la figura, de para y
un valor con , o para .
Si las señales sinusoidales son perpetuas entonces, como lo indican las ecuaciones:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Contienen efectivamente componentes de frecuencia
Densidad espectral de la función .
2.2.6. Transformada de una exponencial perpetua
Vamos a encontrar la transformada de Fourier de una señal exponencial perpetua
en el intervalo tenemos:
La transformada de Fourier:
[ ] [ ]
Sabemos que:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Página 69
SEÑALES Y SISTEMAS
Entonces:
[ ] [ ]
[ ]
Por lo tanto la transformada de Fourier de es un solo impulso de intensidad
localizado en . Se puede ver que la señal no es una función real del
tiempo, por lo tanto tiene un espectro que existe solamente en .
2.2.7. Transformada de Fourier de una función periódica.
Hemos demostrado que la transformada de Fourier es el caso límite de la serie de
Fourier, al suponer que el periodo de una función periódica se vuelve infinito .
Ahora procederemos que la serie de Fourier es un caso límite de la transformada de
Fourier, este tratamiento es muy útil pues permite unificar ambas funciones la periódica
y la no periódica.
En un sentido estricto la transformada de Fourier de una función periódica no existe, ya
que esta no satisface la condición de integrabilidad absoluta. La función periódica
es:
∫| |
Sine embargo, la transformada existe en el límite. Suponemos que la función periódica
existe únicamente en el intervalo finito ⁄ ⁄ y que T se vuelve infinito en el
límite.
También podemos expresar la función periódica mediante su serie de Fourier. La
transformada de Fourier de una función periódica es, la suma de la transformada de
Fourier de sus componentes. Podemos expresar la función periódica con periodo T
así:
∑
Si tomamos las transformadas de Fourier de ambos miembros tenemos:
[ ] [ ∑
]
[ ] ∑
[ ]
Página 70
SEÑALES Y SISTEMAS
Sabemos que:
[ ]
Entonces tenemos que:
[ ] ∑
[ ] ∑
Este es un resultado significativo, la ecuación anterior establece que la función de
densidad espectral o la transformada de Fourier de una señal periódica está compuesta
por impulsos localizados en la frecuencia armónicas de dicha señal siendo la intensidad
de cada impulso igual a multiplicada por el valor del coeficiente correspondiente de
la serie exponencial de Fourier.
La secuencia de pulsos equidistantes no es más que la forma límite de una función
densidad continua. Este resultado no sorprende pues, sabemos que una función
periódica, contiene solamente componentes de frecuencias armónicas discretas
EJEMPLOS:
EJEMPLO 1.-
Encuéntrese la transformada de Fourier de una función pulso rectangular periódica,
pulso rectangular de duración segundo que se repite cada T segundos.
2
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Sabemos que:
Página 71
SEÑALES Y SISTEMAS
∑
(
)
Como ya fue demostrado anteriormente, la serie exponencial de Fourier esta dado por:
∑
(
)
Entonces la transformada de Fourier es:
[ ] ∑
[ ]
[ ] ∑
[ ]
∑ (
)
Así la transformada de Fourier de consta de impulsos localizados en
.
La magnitud o intensidad del impulso localizado en esta dado por
(
).
En la figura que representamos a continuación se muestra el espectro en el caso en que
⁄ segundos y ⁄ segundos y
Página 72
SEÑALES Y SISTEMAS
EJEMPLO 2.-
Encontrar la transformada de Fourier de una secuencia o tren de impulsos equidistantes
de intensidad unitaria a………. los T segundos.
Esta función tiene
mucha importancia en
la teoría del muestreo.
∑ Es una función periódica T.
Determinemos la serie de Fourier:
∑
Página 73
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
⁄
⁄
La función en el intervalo ⁄ ⁄ es igual a , entonces:
∫
⁄
⁄
Entonces, tenemos que:
∑
Para encontrar la transformada de Fourier de , usaremos la formula de la
transformada de Fourier de una función periódica dada por:
[ ] ∑
Esta fórmula aplicada a tenemos:
[ ] [ ] ∑
[ ]
∑
[ ] ∑
[ ]
Esta relación establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsos de
intensidad unitaria con periodo T es otro tren de impulsos de intensidad a intervalos
de la frecuencia de impulsos con periodo ⁄ y segundos y sus respectivas
transformadas se muestran en las figuras de abajo. Evidentemente, a medida que
aumenta el periodo del tren de pulsos, el espectro de frecuencia se vuelve más denso.
Página 74
SEÑALES Y SISTEMAS
Cuando ⁄
Cuando
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Determinar la serie exponencial y trigonométrica de la siguiente forma de onda.
2.- Determinar la serie trigonométrica y exponencial de la siguiente forma de onda.
Página 75
SEÑALES Y SISTEMAS
3.-Determinar la serie exponencial de la siguiente función.
4.- Determinar la transformada de Fourier de la siguiente forma de onda.
;
Página 76
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
0
∫
1
( )
|
( )
|
( )
0
∫
1
( )
|
( )
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SEÑALES Y SISTEMAS
|
( )
( )
5.- Comprobar que la transformada de Fourier de , también se puede expresar
como:
[ ] ∫
∫
6.- Determinar la transformada de Fourier de la función
3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier constituye un instrumento para expresar una señal en
términos de sus componentes exponenciales de diferentes frecuencias. La transformada
de Fourier no es más que otra forma de describir una función, es así como una función
puede ser expresada en el dominio tiempo y la del dominio frecuencia.
Es ilustrado estudiar lo que ocurre en uno de los dominios al efectuar ciertas
operaciones con la función en el otro, por ejemplo como se afecta el espectro de una
función si esta fuese derivada o desplazada en el dominio tiempo. A continuación
Página 78
SEÑALES Y SISTEMAS
trataremos de evaluar los efectos que algunas operaciones importantes con la función en
uno de los dominios sobre el otro:
Existen simetría en las ecuaciones correspondientes a ambos dominios, esto puede verse
en las ecuaciones que definen la transformada de Fourier.
∫
∫
Es evidente que se refleje la misma simetría en las propiedades que vamos a analizar a
continuación.
Por conveniencia, denotaremos la correspondencia entre ambos dominios por una flecha
bidireccional así:
Donde es la transformada directa de Fourier de y que es la transformada
inversa de Fourier de .
3.1.PROPIEDAD DE SIMETRÍA.-
Si
Entonces
Para esto, da la ecuación:
∫
∫
Se desprende que:
∫
En esta integral ω es una variable simbólica que podemos sustituir por cualquier otra
variable x por ejemplo, tendremos entonces:
Página 79
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
Entonces:
∫
De la misma manera, sustituyendo la variable simbólica por x por otra variable t,
obtenemos:
∫
[ ]
Así tenemos que:
Se manifiesta claramente la propiedad de simetría cuando es una función par. En
ese caso, y la ecuación entonces será:
Como ejemplo tenemos estas funciones que representamos a continuación:
Página 80
SEÑALES Y SISTEMAS
Puede verse fácilmente que la transformada de Fourier de una función pulso rectangular
es una función de muestreo y que la transformada de Fourier de una función de
muestreo es una función pulso rectangular. La propiedad de simetría se cumple n todas
las funciones pares. Si no es par, la simetría no es perfecta.
3.2. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD
Si
Para cualquier constante arbitraria y se tiene:
3.3. PROPIEDAD ESCALAR
Si
Para una constante , real tenemos:
| | (
)
Para demostrar esto supongamos como una constante real positiva. Entonces:
[ ] ∫
Supongamos ahora que:
[ ] ∫ (
)
Página 81
SEÑALES Y SISTEMAS
[ ]
∫
(
)
[ ]
(
)
Por lo tanto:
[ ]
(
) Si
(
)
Entonces como conclusión tenemos:
| | (
)
La función representa comprimida en la escala del tiempo por el factor . De
la misma forma, la función (
) representa la función expandida en la escala de
frecuencia por el mismo factor . En consecuencia la propiedad escalar establece que el
comprimir una función en el dominio tiempo equivale a una expansión en el dominio de
la frecuencia y viceversa.
Como ejemplo considérese la señal que contiene componentes de frecuencia en
, la señal representa una compresión de en un factor de 2 y sus
componentes de frecuencia se encuentran en . Por lo tanto es evidente que se ha
expendido el espectro de frecuencia en un factor de 2.
3.4. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA
Si
Entonces:
Para demostrar tenemos:
[ ] ∫
[ ] ∫
[ ]
El teorema establece que un desplazamiento de en el dominio de la frecuencia,
equivale a multiplicar por en el dominio tiempo. Es evidente que la
multiplicación por el factor traslada todo el espectro de frecuencia en la
Página 82
SEÑALES Y SISTEMAS
cantidad . Por eso a este teorema también se le llama Teorema De Translación De
Frecuencia.
En los sistemas de comunicación, a menudo hay que trasladar espectro de frecuencia,
para esto se multiplica la señal por una señal senoidal, este proceso se llama
modulación. Se puede expresar una señal senoidal como suma de exponenciales, es
claro que la multiplicación de la señal por una señal sinusoidal (modulación)
trasladará todo el espectro de frecuencia. Esto se demuestra fácilmente si se observa la
identidad.
[ ]
Por el teorema de traslación de frecuencia se deduce que
[ ]
De igual manera, se puede demostrar que:
[ ]
Este resultado es muy útil en la teoría de la comunicación, en la figura a continuación se
muestra un ejemplo de traslación de frecuencia producida por la modulación. Las
ecuaciones anteriores también se conocen con el nombre de Teorema de la Modulación.
Página 83
SEÑALES Y SISTEMAS
3.5. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO
Si
Entonces
Para demostrar esta afirmación tenemos que:
[ ] ∫
Hacemos:
[ ] ∫
[ ]
Este teorema establece que, si se desplaza una función en el dominio del tiempo en la
cantidad de segundos, entonces no se altera su espectro de magnitud | |, pero el
espectro de fase sufre un cambio . Resumiendo, como un desplazamiento de
en el dominio del tiempo es equivalente a una desviación de fase , es decir, a la
multiplicación por en el dominio de la frecuencia.
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SEÑALES Y SISTEMAS
CAPITULO VI
1. INTRODUCCIÓN.
2. CARACTERÍSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS LINEALES
3. TRANSMISIÓN SIN DISTORSIÓN
4. FILTROS IDEALES
5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGÍA
Página 85
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN.-
Los sistemas lineales están caracterizados por el principio de la superposición.
El teorema de la superposición es también conocido como el principio de linealidad de
los sistemas, expresados así:
Si es la función excitación y es la respuesta, y es otra función
excitación y la respuesta.
Para que un sistema sea lineal debemos tener: como excitación y la respuesta
debe ser:
Si
Para determinar la respuesta de un sistema lineal a una función de excitación dada, se
puede emplear el principio de superposición. Se puede expresar una función de
excitación como suma de funciones simples, para las cuales se calcula fácilmente la
respuesta del sistema. Ya vimos en clases anteriores que podemos expresar una función
arbitraria de excitación como suma continua de exponenciales por medio de la
transformada de Fourier. Podemos utilizar esto para obtener la respuesta de un sistema
con los métodos de Fourier o Laplace.
Expresaremos una señal como suma continua de funciones así:
∫
Podemos considerar la ecuación anterior como la representación de en términos de
componentes impulso. La integral
∫
Representa una suma de funciones impulso. La ecuación
∫
Podemos expresarla en forma de límite de la suma discreta así:
∑ [ ]
Página 86
SEÑALES Y SISTEMAS
Aquí queda expresado como una suma de impulsos característicos localizados en
y con una intensidad . Si es la respuesta del sistema a un impulso
unitario entonces la respuesta del sistema a:
[ ]
Será:
Y la respuesta total a la función excitación estará dada por:
∑ [ ]
∫
De donde en el dominio frecuencia tenemos:
Sabiendo que;
Conocido también como función de transferencia del sistema.
Si la señal empieza en y es cero en , entonces se puede reemplazar el
límite inferior de la integral de la ecuación ∫
por cero. Si
además en lo cual se verifica en cualquier sistema físico, entonces
cuando . Por lo tanto, podemos reemplazar el límite superior de la
misma integral anterior por t así, entonces tenemos que para sistemas físicos y cuando
en .
∫
La ecuación anterior es un caso especial en que tanto como son cero en
mientras que:
∫
Es una formula general.
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SEÑALES Y SISTEMAS
2. CARACTERÍSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS
LINEALES.
Si se tiene un sistema en el cual una excitación de entrada produce una respuesta
, de forma característica propia del sistema. La función de densidad espectral de la
respuesta es . Por lo tanto se ve que el sistema modifica la función de
densidad espectral de la señal de entrada. Se ve como el sistema actúa como si fuese un
filtro de las diferentes componentes de frecuencia. La intensidad de algunas
componentes aumenta, mientras de otras se atenúa y otras quedan o pueden quedar
iguales. De manera semejante, cada componente sufre un cambio de fase diferente en el
proceso de transmisión, por lo tanto, el sistema modifica la función densidad espectral
de acuerdo a sus características de filtro, esta modificación depende mucho de la
función de transferencia , que representa la respuesta del sistema a las diferentes
componentes de frecuencia. Así, actúa como una función de ponderación según
las diferentes frecuencias. La respuesta tiene densidad espectral: así:
Donde tiene como densidad espectral y la función de transferencia está dada
por y la respuesta tiene como densidad espectral .
Consideremos el circuito R-C dado
En los terminales de entrada del se aplica un pulso rectangular como el que se
indica en la figura , la respuesta del circuito R-C es la que aparece en los
terminales de salida .
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SEÑALES Y SISTEMAS
La función densidad espectral de la señal de entrada dado en la figura y la densidad
espectral de la respuesta es al lado en el grafico.
La función de transferencia, que relaciona el voltaje de entrada con el de salida es
obviamente:
La figura que representa | | corresponde a las características del filtro:
Por el momento no llevaremos en cuenta la fase. Obsérvese que este circuito atenúa las
frecuencias altas y permite que las bajas pasen con atenuación pequeña.
Así este circuito es la forma más simple de un filtro pasa bajo.
La función de densidad espectral de la respuesta es el producto dado en la
figura. La comparación entre las figuras de | | y | | muestra claramente
la atenuación causada por el circuito a las frecuencias altas. La función de respuesta
es obviamente una réplica distorsionada de la señal de entrada, debido a que el
circuito no permito el mismo acceso a la transmisión de todas las componentes de
frecuencia de la señal de entrada. La señal de entrada sube abruptamente en , la
elevación súbita, que significa un cambio rápido, implica componentes. Ya que el
circuito no permite el paso de las componentes de frecuencia alta, el voltaje de salida no
puede cambiar con esa rapidez, por lo que sube y baje menos abruptamente con la señal
de entrada.
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SEÑALES Y SISTEMAS
3. TRANSMISIÓN SIN DISTORSIÓN
Un sistema debe atenuar igualmente todas las componentes de frecuencia, es decir
debe tener una magnitud constante para todas las frecuencias. Esta condición no
es suficiente para garantizar la transmisión sin distorsión, el cambio de fase de cada
componente también debe satisfacer ciertas relaciones y hasta el momento no hemos
tomado en cuenta su efecto.
En una transmisión sin distorsión es necesario que la respuesta sea una réplica exacta de
la señal de entrada. Por supuesto, la réplica puede tener magnitud diferente; lo que
importa es la forma de onda y no su magnitud relativa. Por lo tanto, podemos decir que
se transmite sin distorsión una señal si la respuesta es se ve que la
respuesta es la réplica exacta de la entrada con una magnitud de veces la señal
original y retraso de segundos. Así, si es la señal de entrada necesitamos, que la
respuesta sea una transmisión sin distorsión.
Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo que dice que:
Tenemos:
Entonces:
En un sistema sin distorsión tenemos:
Concluimos que para lograr una transmisión sin distorsión, a través de un sistema, la
función de transferencia debe ser de la forma:
Página 90
SEÑALES Y SISTEMAS
Es evidente que | |, la magnitud de la función de transferencia es , que es
constante para todas las frecuencias. Por otra parte el desplazamiento es proporcional a
la frecuencia es decir:
Si dos componentes de frecuencia diferentes se desfasan en el mismo intervalo de
tiempo, los cambios de fase correspondientes son proporcionales a la frecuencia. Por
ejemplo, si una señal se desfasa segundos; la señal resultante puede
expresarse como:
Es evidente que el cambio d fase de la nueva señal es , proporcional a la
frecuencia .
En un sentido estricto la ecuación debe ser: donde es un
número entero positivo o negativo ya que la adición de la fase radianes no puede
tener más efecto que cambiar el signo de la señal. Por lo tanto, la función de fase de un
sistema sin distorsión debe ser de la forma mostrada por la ecuación y en la figura
anterior.
Ancho de banda, se define arbitrariamente, como el intervalo de frecuencia en el cual la
magnitud | | es mayor que √
⁄ multiplicado por su valor en la mitad del
intervalo. Para nuestro ejemplo el ancho de banda de | | es
4. FILTROS IDEALES
Un filtro ideal de paso bajo transmite, sin distorsión alguna, todas las señales de
frecuencia menores que una determinada frecuencia de radianes por segundo. Las
señales de frecuencia superior a las de se atenúan completamente. Por consiguiente la
respuesta en frecuencia de este filtro es una función pulso rectangular .
La función de fase correspondiente a la transmisión sin distorsión es entonces la
función de transferencia de ese filtro es:
| |
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SEÑALES Y SISTEMAS
Se puede encontrar la respuesta al impulso unitario de ese filtro si se calcula la
transformada inversa de así:
[ ]
[ ]
Como sabemos que:
[ ]
(
)
Concluimos que desplazada en el tiempo es:
[ ]
El grafico de , anterior, nos demuestra que la respuesta al impulso existe en valores
negativos de . En vista de que se aplico la función de excitación (impulso unitario) en
, el resultado anterior parece extraño, es decir, se produce la respuesta antes de que
se aplico la función de excitación; el sistema parece anticiparse a la función de
excitación. Prácticamente es imposible construir un sistema con esa propiedad. Por lo
tanto, se debe concluir que, aun cuando sería muy conveniente tener un filtro ideal de
paso bajo, no es físicamente realizable. Se puede demostrar de manera parecida, que
tampoco son realizables físicamente otros filtros ideales como los de paso alto y los de
paso de banda.
En la práctica es suficiente tener filtros cuyas características se aproximan de los filtros
ideales.
En la figura tenemos un filtro paso bajo, sus funciones de transferencia están:
√
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SEÑALES Y SISTEMAS
Dados por:
( )
( )
Puesto que:
√ y √
√
√
( )
.√ /
La respuesta de al impulso es:
[ ]
√
⁄ .√
/
En la figura a continuación se muestra la magnitud y la fase de la respuesta en
frecuencia
√
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SEÑALES Y SISTEMAS
Y la respuesta dibujaremos a continuación.
Comparándose estas características de magnitud y fase con las de filtro ideal. La
respuesta al impulso es similar a la de un filtro ideal con la salvedad que empieza en
5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGÍA
Un parámetro útil de una señal es su energía normalizada. Se define la energía
normalizada o simplemente energía de una señal como la energía disipada por
un resistor de cuando se le aplica el voltaje o por una corriente que pasa
por el mismo resistor así:
∫
El concepto de energía de señal solo tiene significado si la integral anterior es finita. Las
señales cuya energía es finita se llaman señales de energía. Para señales periódicas la
integral es infinita y el concepto de energía no tiene sentido, en estos casos
consideramos el promedio en el tiempo de las energías que es evidentemente el
promedio de la potencia de señal.
A esas señales se les denomina señales de potencia.
Si es la transformada de Fourier de
∫
∫
∫ [
∫
]
Página 94
SEÑALES Y SISTEMAS
Al intercambiar el orden de integración en el segundo miembro, obtenemos:
∫
∫ [ ∫
]
La integral dentro del corchete ya sabemos que es igual a en consecuencia
tenemos:
∫
∫
Y sabemos que:
| |
Cuando es una función real. Y
∫
∫| |
Es interesante considerar la interpretación física de la densidad de energía de una señal.
Tenemos:
∫| |
Consideremos la señal aplicada a la entrada de un filtro pasa banda cuya función
de transferencia es:
Este filtro suprime todas las frecuencias con la excepción de las que están comprendidas
dentro de una banda angosta cuya frecuencia central es . Si es la
transformada de Fourier de la respuesta de este filtro, entonces:
Página 95
SEÑALES Y SISTEMAS
Y la energía de la señal de salida esta dada por la ecuación
∫| |
Ya que en cualquier punto excepto en una banda angosta en donde vale
1. Cuando tenemos:
| |
Así, la energía de la señal de salida es:
| |
Solo se transmite sin alteración por el filtro las componentes de que quedan dentro
de la banda angosta . Las demás componentes quedan totalmente suprimidas. Es
evidente que | | representa la aportación a la energía de de las
componentes que quedan dentro de la banda angosta con centro en , por lo
tanto | | es la energía por ancho de banda unitario aportado por las
componentes de frecuencia con el centro en . Obsérvese que las unidades del
espectro de densidad de energía son JOULES por Hz, la aportación de energía procede
de componentes de frecuencia negativo o positivo.
| | | |
Podemos interpretar que la cantidad | | , la mitad de la energía | | ha sido
aportada por las componentes de frecuencia positiva y la otra mitad por las
componentes de frecuencia negativas, por esta razón | | se llama espectro de
densidad de energía, representa la energía por ancho de banda unitario, ya sea positivo o
negativo, entonces el espectro de densidad de energía se define como:
| |
Del espectro de densidad de energía procede la aportación relativa de energía de las
diferentes componentes de frecuencia. La figura a continuación muestra la función
pulso rectangular así como su transformada de Fourier y el espectro de densidad
de energía | |
Página 96
SEÑALES Y SISTEMAS
La energía total esta dada por:
∫| |
∫| |
∫
Como sabemos que:
| | | |
Es evidente que la función de densidad de energía es función real par de , en
consecuencia, se puede expresar la ecuación.
∫| |
Como:
∫| |
∫| |
Si y son funciones de excitación y su respuesta correspondiente, de un sitema
línea con función de transferencia entonces:
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SEÑALES Y SISTEMAS
El espectro de densidad de energía de la función de excitación es | | y el de la
respuesta es | | ; es evidente, si se tiene que el espectro de densidad, por lo tanto,
esta dado por el espectro de densidad de energía de la señal se excitación multiplicada
por | |
| | | | | | | |
6. PROBLEMAS PROPUESTOS.
6.1.Un circuito resistivo formado por los resistores y se emplea como
atenuador para reducir el voltaje aplicado a los terminales . Los resistores
y tienen capacidad distribuida y cual debe ser la relación entre los
valores y para lograr una atenuación sin distorsión.
6.2.Determinar la función de transferencia en el circuito R-C. Representar
gráficamente las características de magnitud y fase de la función de
transferencia.
Página 98
SEÑALES Y SISTEMAS
6.3.Encontrar y construir la grafica de la respuesta de un filtro pasa bajo a la señal
mostrada en la figura de abajo. La frecuencia del filtro es y el
tiempo de retardo es .
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SEÑALES Y SISTEMAS
CAPITULO VII
CONVOLUCIÓN
1. INTRODUCCIÓN.
2. INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
2.1. CONVOLUCIÓN EN EL TIEMPO
2.2. CONVOLUCIÓN EN LA FRECUENCIA.
3. LEYES DE LA CONVOLUCIÓN
3.1. CONMUTATIVA
3.2. DISTRIBUTIVA
3.3. ASOCIATIVA
4. INTERPRETACIÓN GRAFICA DE LA CONVOLUCIÓN
5. CONVOLUCIÓN CON UN IMPULSO UNITARIO
6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIÓN
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SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN
El teorema de la convolución o integral de convolución o simplemente convolución, es
quizás uno de los instrumentos más eficaces en el análisis armónico, con su empleo, se
obtiene con facilidad muchos resultados importantes.
2. INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN:
Dadas 2 funciones y , podemos formar la integral siguiente:
∫
Esta integral llamada integral de convolución, define la convolución de las funciones
y , y también se expresa simbólicamente como:
Se puede demostrar que en realidad existen 2 teoremas o integrales de la convolución;
en el tiempo y en la frecuencia así:
2.1.CONVOLUCIÓN EN EL TIEMPO
Si y
Tenemos:
∫
Es decir:
Para demostrar tenemos:
[ ] ∫ [ ∫
]
[ ] ∫
[ ∫
]
Por la propiedad del desplazamiento en el tiempo, ya analizada anteriormente, la
integral:
∫
Página 101
SEÑALES Y SISTEMAS
Por lo tanto tenemos:
[ ] ∫
[ ] ∫
[ ]
De igual forma podemos demostrar usando la transformada de Laplace así:
[ ] [ ]
[∫
] ∫
[∫
]
Si hacemos:
∫
∫
Entonces:
6∫
7 ∫
[∫
]
6∫
7 [∫
] [∫
]
6∫
7
2.2.CONVOLUCIÓN EN LA FRECUENCIA
Si y
Entonces:
∫
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SEÑALES Y SISTEMAS
Ósea que:
[ ]
Este teorema se demuestra de la misma manera que la anterior, debido a la simetría
entre las transformadas directa e inversa de Fourier.
Concluimos que la convolución de 2 funciones en el dominio tiempo equivale a la
multiplicación de sus espectros en el dominio frecuencia y que la multiplicación de las 2
funciones en el dominio tiempo equivale a la convolución de sus espectros en el
dominio frecuencia así:
Convolución en el tiempo
Convolución en la frecuencia.
[ ]
3. LEYES DE CONVOLUCIÓN
A continuación presentamos algunas leyes de la convolución que siguen lineamientos
iguales a los de la multiplicación ordinaria.
3.1.CONMUTATIVA.
Para demostrar esto tenemos que:
∫
Si hacemos que:
Tenemos:
∫
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SEÑALES Y SISTEMAS
3.2.DISTRIBUTIVA
[ ]
Para demostrar esto hacemos que:
( )
Entonces aplicando la definición de la convolución tenemos:
∫
De donde:
∫
[ ]
Entonces:
∫
∫
De donde se concluye que:
[ ]
3.3.ASOCIATIVA.
[ ] [ ]
La demostración es obvia aplicando la definición de la convolución como en el caso
anterior o también sabiendo que:
[ ] [ ]
4. INTERPRETACIÓN GRAFICA DE LA CONVOLUCIÓN
En la teoría de las telecomunicaciones y en el análisis de sistemas, la interpretación
gráfica del teorema de la convolución es muy útil. Permite visualizar los resultados de
muchas relaciones abstractas. Si en los sistemas lineales solo se conocen en forma
gráfica y , entonces la convolución grafica resulta muy útil. Supongamos que
y son los pulsos rectangulares y triangulares como en la figura.
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SEÑALES Y SISTEMAS
Encontremos gráficamente la convolución , por definición
∫
En la integral de convolución, T es la variable independiente en consecuencia las
funciones y se muestran en la figura a continuación.
El término representa la función desplazada segundos a lo largo del
eje así:
El valor de la convolución en esta dado por la integral:
∫
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SEÑALES Y SISTEMAS
Y representa el área bajo la curva producto de y , dicha área es la
región sombreada como en la figura siguiente:
Para encontrar los valores de la función , se seleccionan diferentes valores
de , se desplaza la función según esos valores y se calcula el área bajo la curva
producto correspondiente así:
Esta área dada en el gráfico representa el valor de la función de
convolución en los valores respectivos de .
Pasos para demostrar gráficamente la función de convolución
PRIMER PASO.- Giramos la función alrededor del eje vertical que pasa por el
origen para obtener la función .
SEGUNDO PASO.- Consideramos la función girada con un cuadro rígido que se
desplazara sobre el eje T en una cantidad . Este cuadro rígido representa aquí la
función .
TERCER PASO.- La función representada por el cuadro rígido desplazado,
multiplicamos por nos da la función y el área bajo esta curva,
producto que esta dado por:
∫
[ ]
Página 106
SEÑALES Y SISTEMAS
CUARTO PASO.- Repetir este procedimiento para diferentes valores de , desplazamos
sucesivamente al cuadro en diferentes cantidades, obteniendo los valores de la función
de convolución para esos valores de .
Para encontrar la función de convolución para valores positivos de , el
cuadro se desplaza por la parte positiva del eje mientras que, para valores negativos
de , se desplaza por la parte negativa.
5. CONVOLUCIÓN CON UN IMPUSO UNITARIO
La convolución de una función con la función impulso unitario resulta en la
función misma . Esto se comprueba fácilmente con la propiedad de muestreo
∫
Entonces tenemos que:
∫
Esto también se deduce del teorema de convolución en el tiempo y del hecho de que:
y por lo tanto:
En conclusión tenemos que:
Este resultado también puede ser obtenido gráficamente. Como el impulso esta
concretado en un punto y tiene área unitaria, la integral de convolución de la ecuación
∫
Es igual a la función . Así, la convolución de la función impulso unitario
reproduce la función al generalizar la ecuación se obtiene:
Página 107
SEÑALES Y SISTEMAS
Por ejemplo determinemos gráficamente la convolución de con dos impulsos de
intensidad cada uno, como en la figura.
Giramos alrededor del eje vertical para obtener . Como es par
sabemos que la convolución de con se deduce así a la
convolución de con dos impulsos.
De la propiedad de la función impulso para reproducir por convolución la función
se desprende claramente que cada impulso genera un pulso
rectangular en el origen de altura . Por lo tanto, la altura neta del pulso
triangular en el origen es , puesto que la función se sigue desplazando en
dirección positiva, el impulso originalmente está localizado en – se encuentra con el
pulso triangular en y reproduce un pulso triangular en de altura ,
así:
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SEÑALES Y SISTEMAS
6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIÓN.
En la presente sección discutiremos y demostraremos que la respuesta a una excitación
inicial en un sistema lineal para cualquier excitación puede ser determinada una vez que
la respuesta a una función escalón sea conocida.
Llamaremos la respuesta de un sistema lineal para una función escalón en la entrada,
como respuesta al escalón unitario, cuyo símbolo sea cuya transformada de
Laplace sea . Con un escalón unitario como la función excitación:
{ }
Como sabemos que la respuesta es dada por:
Entonces tenemos que:
En donde:
Si determinamos la transformada de Laplace tenemos:
{
}
Reemplazando y realizando operaciones en la ecuación tenemos:
{ } { [
] }
Página 109
SEÑALES Y SISTEMAS
Por lo tanto
{ }
Esta ecuación expresa la respuesta al escalón con la respuesta al impulso; es
si tiene una discontinuidad para .
Retornando a la ecuación para nuestro sistema inicial tenemos:
[
] [ ]
[ ]
Esta ecuación de también puede ser escrita en la siguiente forma:
siendo que:
Podemos determinar la transformada inversa de con el auxilio dl teorema de
convolución, entonces:
{ } ∫
Es evidente de la ecuación anterior que , concluimos de la ecuación
Por el teorema de diferenciación de es la derivada de así:
[ ]
∫
O como ya habíamos demostrado que:
∫
Estas ecuaciones expresan el importante resultado que en orden para el fin de una
respuesta de un sistema lineal para una excitación, con la transformada de Laplace,
necesitamos únicamente conocer la respuesta para el escalón unitario en la entrada. La
respuesta al escalón también caracteriza la entrada – salida de un sistema.
Los resultados obtenidos en las ecuaciones:
Página 110
SEÑALES Y SISTEMAS
∫
∫
Pueden ser expresados en diferentes formas equivalentes que son mu……………
ecuación
[ ]
Podemos observar que la ecuación anterior es el producto de 2 transformadas, podemos
aplicar directamente el teorema de la convolución, primeramente.
{ }
{ } {[ ]}
{ }
{ }
Donde representa la primera derivada de con respecto al tiempo.
Aplicando el teorema de la convolución para la ecuación
[ ]
Tenemos:
∫
[ ]
∫
Donde el primer termino del 2do
miembro es el resultado de la convolución de la
función con la función impulso de acuerdo con la ecuación:
∫
Página 111
SEÑALES Y SISTEMAS
La ecuación
∫
Es en realidad la integral de superposición. Sin embargo cuando la integral de
superposición es usada sin calificación, lo que es habitualmente, tomando como la
integral de DUHAMEL. Otras formas de la integral de superposición son posibles. Por
ejemplo tomando la ecuación [ ] podemos tener otras formas de la
integral de superposición, por simple intercambio de las funciones y en la
ecuación:
∫
Obteniendo esta ecuación
∫
Página 112
SEÑALES Y SISTEMAS
CAPÍTULO VIII
LA TRANSFORMADA Z
1. INTRODUCCIÓN
2. LA TRANSFORMADA Z
3. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES IMPORTANTES
3.1.FUNCIÓN IMPULSO MODIFICADA
3.2.FUNCIÓN EXPONENCIAL
3.3.FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
3.4.FUNCIÓN SENO Y COSENO
3.5.FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3.6.FUNCIÓN RAMPA
3.7.FUNCIÓN EXPONENCIAL ESPECIAL
4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
5. CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS
6. PROBLEMAS
Página 113
SEÑALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIÓN
Hay una importante clase de sistema lineal para el cual la señal de entrada o función de
excitación es de forma de muestras discretas de corta duración o también conocida
como pulsos. Un ejemplo de un sistema de muestreo de datos es el radar, donde los
datos son recogidos en forma de pulsos discretos para la frecuencia de repetición de los
pulsos, y el multicanal, división del tiempo, modulación de pulsos o sistema de
comunicación. Hay también sistemas de realimentación de datos cuya actuación del
error es intermitentemente discreto con los instantes del tiempo.
No obstante que la transformada de Laplace puede ser usado, el análisis del sistema de
muestreo de datos se facilita grandemente con la utilización de la transformada Z,
especialmente cuando la respuesta es una muestra en el instante considerado. En este
capítulo definiremos primero la transformada Z y discutiremos sus propiedades.
La transformada es aplicada para la solución de ecuaciones diferenciales y para el
análisis del sistema lineal de lazo abierto y lazo cerrado. Finalmente, la estabilidad de la
realimentación de muestras de datos y el método de determinación de respuestas entre
muestras instantáneas será discutida.
2. LA TRANSFORMADA Z
El componente esencial en el diagrama en bloques de un sistema de muestra de datos es
el SAMPLER (muestreador), que convierte la señal continua para un tren de pulsos de
espacios regulares de amplitud modulada.
La función de un muestreador (SAMPLER) es ilustrada en la figura.
Como se puede ve el muestreador está representado por un interruptor. Si la duración de
la muestra de pulsos es pequeña en comparación con la constante de tiempo del sistema
(SAMPLER), la salida puede ser considerada como una secuencia de impulsos
que ocurre a intervalos de tiempo iguales etc. Las áreas de los pulsos
individuales sumadas tienen el mismo valor de la función de la entrada. Así
podemos escribir:
Página 114
SEÑALES Y SISTEMAS
Donde el asterisco se usa para indicar que la función del tiempo de una función
discreta del tiempo o función muestreada.
Representa un tren periódico de pulsos unitarios espaciados T segundos
∑
∫
Si para la ecuación será igual a:
∑
Si tomamos la transformada de Laplace de la función de salida y el resultado es
tenemos:
[ ] [∑
]
[ ] ∑
Como vemos que aparece en el exponente de introduciremos en nuestro símbolo
que:
Entonces de la ecuaciones
{ } ∑
Tenemos que:
∑
{ }
{ }
No obstante que la notación en la ecuación anterior ha sido largamente aceptada por
conveniencia, no es con la reemplazando a Z, estrictamente sería:
{ } |
(
)
Página 115
SEÑALES Y SISTEMAS
Algunos autores usan el asterisco en y escriben:
{ }
Pero esto no es necesario porque la apariencia de como el argumento ya implica que
la transformación es para una función muestreada o discreta, esto se puede sintetizar
escribiendo que:
{ }
Visto que { } { }, pero el asterisco en debe sr llevado muy en cuenta
para la transformada inversa puesto que:
{ }
La ecuación:
∑
{ } { }
Define la transformada o , de una función muestreada o discreta .
También puede ser vista como una serie infinita de potencia de . Si es dado en
la forma de una proporción de 2 polinomios en o en , todo lo que tenemos que
hacer para encontrar la transformada inversa es expresarlo en serie de potencia de
por divisiones sucesivas; el coeficiente de la serie corresponderá a los valores de
para el instante de la muestra.
EJEMPLO:
Determinar la transformada inversa de la siguiente expresión:
{ } {
}
Sabemos que puede ser descompuesta en
∑
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SEÑALES Y SISTEMAS
Por tanto:
[
] ∑
El gráfico de dado por la ecuación anterior se muestra en la figura
Representa un tren de impulsos de espacios iguales, impulsos que crecen con el
aumento del tiempo de muestra. Debe ser notado que, a más de la sugerencia del
gráfico, no podemos determinar de una conocida porque la
transición de una función para una función continua no es única. Hay un
número infinito de que tendrán la misma . En el presente ejemplo todo
que son iguales para para tendrán la misma y como
consecuencia la misma transformada independiente de que valores debe asumir la
función entre los intervalos de muestreo.
3. TRANSFORMADA DE FUNCIONES IMPORTANTES
Estudiaremos las transformadas de las más importantes funciones y operaciones,
también daremos una tabla de transformada importantes.
3.1.FUNCIÓN IMPULSO MODIFICADA
Para este caso particular . Tenemos:
[ ] Como ya vimos anteriormente
[ ]
Si tenemos un impulso unitario para y:
[ ]
Página 117
SEÑALES Y SISTEMAS
3.2.FUNCIÓN EXPONENCIAL
Cuando la relación fundamental:
∑
{ }
Podemos escribir directamente
{ } ∑
{ }
{ }
{ }
3.3.FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
La transformada de puede ser obtenida de la ecuación:
{ }
Cuando entonces:
{ } { }|
3.4.FUNCIONES SENO Y COSENO
Sustituyendo en la ecuación { } tenemos:
{ }
{ }
{ } [ ]
{ } { }
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SEÑALES Y SISTEMAS
La transformada del y se obtiene de la parte imaginaria y real de la
ecuación respectiva.
{ }
{ }
3.5.FUNCIONES HIPERBÓLICAS SENO Y COSENO
Puesto que:
La transformada del se puede obtener de la ecuación:
{ }
Como sigue:
{ } { }
{ }
De la misma forma de la ecuación:
{ }
Tenemos:
{ }
3.6.FUNCIÓN RAMPA
∑
Página 119
SEÑALES Y SISTEMAS
De aquí tenemos:
3.7.FUNCIÓN EXPONENCIAL
Tenemos:
∑
∑
Comparando las ecuaciones anteriores y la:
∑
Se puede deducir que puede ser obtenido de si reemplazamos por
así:
[ ]
4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
En sistemas eléctricos y mecánicos se obtiene de su estructura ecuaciones diferenciales
por ejemplo, un sistema eléctrico (circuito) como filtro de microondas, amplificadores,
etc. son analizados usando las ecuaciones diferenciales porque, en lugar de resolver las
ecuaciones diferenciales por el método tradicional que también lo satisface, pueden ser
resueltas usando la transformada . En esta sección demostraremos como la técnica de
la transformada puede ser usada en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales.
Considerando las ecuaciones diferenciales con derivadas constantes de la variable
independiente, ecuaciones diferenciales con diferenciales constantes de los valores de
las variables dependientes para espacios iguales, valores discretos de la variable
independiente.
La ecuación siguiente es típica ecuación diferencial lineal de segundo orden
Página 120
SEÑALES Y SISTEMAS
Donde los coeficientes, alguno de los cuales puede ser negativo, se……… ser constante
por simplicidad, y la función con un asterisco es definido solamente par para
. Esta es una ecuación de segundo orden porque la constante de 2do
orden es (valor de la variable dependiente cuando la variable independiente
es espaciada 2 periodos regulares); y es lineal porque no contiene………….. Productos
de la ordenada dependiente. En problemas insolubles de estructuras periódicas, t
representa la posición indicada de la estructura en consideración. Es conveniente poner
y escribir como w . La atención anterior quedará:
Sustituyéndose en un caso especial de la ecuación .
El método clásico para resolver ecuaciones lineales diferentes es similar a la resolución
de ecuaciones diferenciales. La solución consiste en dos partes:
1.- La función complementar.- La función complementar es la solución general
de la ecuación homogénea con la función excitación así:
Para resolver la ecuación arriba para , asumimos la solución exponencial de la
forma . Tenemos:
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación tenemos:
Desde que no disminuya, la ecuación anterior puede ser satisfecha si:
Esta ecuación algebraica de segundo grado en tiene dos raíces denominándose y
has 2 valores tal que:
De ahí dos posibilidades o soluciones para son:
Página 121
SEÑALES Y SISTEMAS
La solución general para la ecuación:
Será entonces:
Si la ecuación característica
Las dos raíces son iguales la función complementar puede ser modificada,
pudiéndose escribir:
Para ecuaciones que contienen múltiples raíces.
2.- La integral particular.- La integral particular es la solución característica de la
solución no homogénea.
En general la integral particular puede ser obtenida en forma más simple por el método
de los coeficientes indeterminados. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones
diferenciales encontradas en problemas de ingeniería son variadas y homogéneas.
Si es la integral o solución particular, la solución completa para las ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden:
Con coeficientes constantes se transformo en la siguiente solución
Las dos constantes arbitrarias y en pueden ser determinados aplicando las
condiciones iniciales.
Para resolver la ecuación diferencial por el método de la transformada , tomamos
la transformada de toda la ecuación así:
{ }
{ }
De donde tenemos:
[ ] [ ]
O también:
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SEÑALES Y SISTEMAS
Usando la transformada hemos transformada la ecuación diferencial dada en una
ecuación algebraica entonces tenemos que:
[ ( ) ]
Aplicando la solución para una ecuación diferencial de segundo orden usando la
antitransformada de Laplace
Usando la transformada de Laplace:
{ } { } { } { }
{ }
{ }
{ }
Entonces:
[ ] [ ]
De donde
[ ]
{ } 0
1
Observando las ecuaciones (1) y (2) y sabiendo que en (1) tenemos y es
necesario determinar constantes arbitrarias
[ ]
Cuando
5. CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS
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SEÑALES Y SISTEMAS
6. PROBLEMAS
1.- Determinar la transformada inversa
*
+
Este problema puede ser solucionado por el método de las divisiones sucesivas en
potencias ascendentes de . Dividiendo por tenemos:
( )
4
5
4
5
De la tabla Nº 1 tenemos:
*
+ ∑
6
7 (
⁄)
∑
Combinando estas ecuaciones tenemos:
*
+
[( ⁄ ) ]
*
+
∑
2.- Determinar { }
Si usamos la relación fundamental que:
∑
{ }
Tendremos:
{ } ∑
[ ]
Puede ser expresado esta serie en forma cerrada, procederemos con la siguiente forma:
Página 124
SEÑALES Y SISTEMAS
Restando las dos:
De la ecuación:
{ } { }
La transformada de la ecuación:
{ }
Haciendo la transformada del segundo miembro de la ecuación (1) de las
ecuaciones
{ }
{ }
{ } [
]
{ }
De las ecuaciones (2) y (3) obtenemos:
{ }
3.- Resolver la ecuación lineal de primer orden diferencial
Dado
Tomando la transformada tenemos:
{ } [ ]
Página 125
SEÑALES Y SISTEMAS
De la cual puede ser resuelta:
Para determinar la transformada inversa del primer término descomponemos en
fracciones parciales.
|
|
[
(
)]
Entonces tenemos que:
[
]
Finalmente tenemos:
[(
) ⁄
]
∑ [(
) ]
La solución en la ecuación anterior es dada en forma de tren de impulsos de
varias magnitudes para un particular instante el valor de la variable dependiente
es:
[(
) ]
Página 126
SEÑALES Y SISTEMAS
4.- 21 Resistencias de son conectadas a una fuente DC de voltios como en la
figura. Determinar la corriente en la resistencia
Escribiendo la ecuación de los nudos para este circuito en forma general usando 3 nudos
tenemos:
Siendo que . Lo es en forma simplificada la diferencia es superficial, si
escribimos tenemos:
Donde vale de 0 a 9. Esto es una ecuación diferencial de 2do orden. Determinando la
transformada tenemos:
[ ] [ ]
De la figura vemos que:
En la ecuación
[ ] [ ]
Obtenemos:
[ ]
O también
(
)
[ ]
Comparando los términos de esta ecuación con las ecuaciones
{ }
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SEÑALES Y SISTEMAS
{ }
Se puede observar
Que son exactamente la transformada de las funciones hiperbólicas y para
y que:
√ √
De donde:
{ }
√ [ ]
Para determinar , note que sustituyendo en en la ecuación
tenemos:
√ [ ]
√
La solución general para la ecuación diferencial:
Es:
[ ]
Como la resistencia es de la corriente será:
[ ]
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SEÑALES Y SISTEMAS
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determinar { }
2. Determinar { }
3. Determinar { }
4. Determine la transformada de
a)
b) *
+
c)
( )( )
5. Determine la solución general de la siguiente ecuación diferencial por el método
de la transformada
