66088581 PSU MATEMATICA II Ejercicios Resueltos

Matemática

Ejercicios

RESUELTOS

Patricio Alcaíno Martínez

Derechos Reservados

PSU

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PSU Matemática-Ejercicios resueltosPatricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Palabras iniciales

Estimados usuari@s:

• Este material que pongo a su disposición está creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemática año 2011, en cuanto los ejes temáticos y contenidos que abarca y el tipo de ejercicios que comprende.

• La prueba original consta de 75 ejercicios y se debe responder en un máximo de 2 horas y 25 minutos.

• Este documento contiene 25 preguntas similares a las que se encuentran en la prueba original.

• Para trabajar con este material el usuario NO deberá hacer uso de calculadora.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

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PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

3

1. Es divisible por tres:

I: La suma de tres números naturales consecutivos

II: La suma de un número natural con su antecesor y su sucesor

II: La suma de tres números impares consecutivos

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

Solución:

I: La suma de tres números naturales consecutivos

La suma de ellos es: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Es divisible por 3.

II: La suma de un número natural con su antecesor y su sucesor

La suma de ellos es: n + (n - 1) + (n + 1) = 3n. Es divisible por 3.

II: La suma de tres números impares consecutivos

La suma de ellos es: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 6n + 9 = 3(2n + 3). Es divisible por 3.

Alternativa correcta: E.


4

2. Se ha observado en cierta variedad de pez, que entre los 10 y 100 días de vida, su peso (gr) es directamente proporcional a su longitud (cm) y a su edad (días). De este modo, un ejemplar de un mes tiene una longitud de 20 cm y pesa 90 gramos.

Si esto es así, un ejemplar de 2 meses de edad que mide 15 cm, pesa:

A) 120 gramos

B) 135 gramos

C) 150 gramos

D) 180 gramos

E) 225 gramos

Solución:

Haciendo E = edad, L = longitud, P = peso y K = constante de proporcionalidad, la relación entre las variables pueden ser expresadas algebraicamente así:

ELKP

Reemplazando valores dados:

3020K90

Despejando, K = 0,15

La relación es:

EL15,0P

Reemplazando para E = 60 días y L = 15 cm.

601515,0P

135P gramos.

Alternativa correcta: B.


5

3. De las siguientes igualdades:

I: 279 5,1 II: 48 32

III: 5,25 42

Es (son) verdadera(s):

A) I, II y III

B) Solo II y III

C) Solo I y III

D) Solo I y II

E) Solo II

Solución:

I: 279 5,1

Convirtiendo el exponente decimal a fracción:

279 23

Convirtiendo la potencia de exponente fraccionario a raíz:

2793

Resolviendo la raíz:

2733 (verdadero)

II: 48 32

Convirtiendo la potencia de exponente fraccionario a raíz:

4823

Resolviendo la raíz:

422 (verdadero)

III: 5,25 42

Convirtiendo la potencia de exponente fraccionario a raíz:5,225 )2(2

55 22 (verdadero)

Alternativa correcta: A.


6

4. Si 1xlog 231 , entonces xlog1

A) 1/2

B) 3/2

C) 5/2

D) 1/3

E) 1/6

Solución:

1xlog 231 / 3

3xlog 2

Aplicando propiedad del logaritmo de una potencia:

3xlog2 /:2

2

3xlog

Entonces, xlog12

5

2

31

Alternativa correcta: C.


7

5. En la expresión siguiente, si x = 10, entonces, 3

52

3 2

x

x5=

A) 5

B) 3

C) 2,5

D) 0,33

E) 0,2

Solución:

Como tanto el numerador como el denominador de la expresión tienen el mismo índice de raíz, se puede expresar así:

3

52

2

352

3 2

x

x5

x

x5

Simplificando una x:

3

52

3

52

2

352

3 2x5

x

x5

x

x5

Reemplazando x = 10 y operando la fracción:

3

52

x5= 3

52

105 = 3

25105

= 32

250= 3125 = 5



8

6. Al reducir la expresión 9m6m

9m2

2

queda:

A) m + 3

B) 3m

3m

C) 3m

1m

D) 3m

1

E) 3m2

3

Solución:

El numerador de la expresión es una suma por su diferencia, mientras que el denominador es un cuadrado de binomio. Haciendo las factorizaciones correspondientes:

9m6m

9m2

2

=

2)3m(

)3m()3m(

Simplificando (m – 3), queda:

2)3m(

)3m()3m(

=

)3m(

)3m(



9

7. El polinomio pp2p 23 es divisible por:

I: p II: p – 1 III: p + 1

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

Solución:

Factorizando la expresión:

pp2p 23 = )1p2p(p 2 .

Por lo tanto, la expresión ya es divisible por p.

Al seguir la factorización, se advierte que en la expresión )1p2p(p 2 , el trinomio

es un cuadrado de binomio.

)1p2p(p 2 = 2)1p(p .

Por lo tanto la expre4sión original también es divisible por (p – 1).



10

8. Un estudio realizado a una población de peces determinó la relación entre su longitud y peso, llegando a la siguiente función:

W = 0,02 L3; siendo W el peso, en gramos, y L la longitud, en centímetros.

Según este modelo, un pez de 160 gramos de peso tiene una longitud de:

A) 82 cm.

B) 53 cm.

C) 32 cm.

D) 25 cm.

E) 20 cm.

Solución:

Se conoce W = 160 y se debe calcular L.

Reemplazando:

160L02,0 3 /:0,02

02,0

160L3

000.8L3 / 3

3 000.8L

20L cm.



11

9. Se tiene una magnitud h, dada por la expresión:

2r

MGh

, en donde G se mide en

2

3

segKg

m

, M se mide en Kg y r en metros.

Entonces, las unidades de h son:

A) seg

m

B) 2seg

m

C) 2

2

seg

m

D) 2seg

mKg

E) 2

2

seg

mKg

Solución:

En la igualdad2r

MGh

, se reemplazan las unidades de cada factor.

2

2

3

m

KgsegKg

m

h

Se simplifica Kg. Además, 3m con 2m , quedando:

2

2

1

seg

m

1

1seg1

m

h



12

10. Un vendedor de diarios tiene 75 diarios para vender. De estos, hay con un precio de venta de $200 y el resto con un precio de venta de $250. Si, por la venta de todos los periódicos este señor junta la suma de $16.500, ¿cuántos diarios de $250 tenía?

A) 55

B) 45

C) 35

D) 30

E) 25

Solución:

Sea X = diarios a $200 e Y = diarios a $250. Entonces:

X + Y = 75

200X + 250Y = 16.500

Es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, en la cual interesa despejar Y.

En la primera ecuación: X = 75 – Y

Reemplazando esta en la segunda ecuación:

200 (75 – Y) + 250Y = 16.500

15.000 – 200Y + 250Y = 16.500

15.000 + 50Y = 16.500

50 Y = 1.500

Y = 1500/50 = 30

Alternativa correcta: D.


13

11. La ecuación 21x52 tiene como solución:

A) –3/10

B) –7/20

C) 20/7

D) 7/20

E) 3/40

Solución:

Elevando la ecuación al cuadrado:

21x52 / 2()

2)21

(x52

4

1x52 / 4

1x208

x2018

x207



14

12. ¿Cuál de las rectas siguientes es paralela a la recta 2x + 5y – 5 = 0?

A) y = 1 + 2x

B) y = 1x52

C) y = x125

D) 5x2y

E) y = x952

Solución:

Se puede distinguir recta paralelas por su pendiente. Para ello, se expresa la recta 2x + 5y – 5 = 0 a su forma principal:

2x + 5y – 5 = 0

5y = -2x + 5

1x5

2y

La pendiente de la recta es -2/5. Por lo tanto, una recta paralela tendrá la misma pendiente.



15

13. Se ha establecido en microbiología que bajo ciertas condiciones de cultivo, una población de microorganismos crece en función del tiempo según la función:

N = 3 · 2t, siendo N los miles de bacterias del cultivo en el tiempo t, en horas desde que se inicia el cultivo.

Según el modelo, el tiempo para el cual habrá 30 mil bacterias en el cultivo está dado por la expresión:

A) log 3

B) log 30

C) 2log

1

D) 210log

E) 10

Solución:

En la ecuación N = 3 · t2 , se conoce N = 30 y se debe calcular t:

Reemplazando:

3023 t

3

302t

102t

Para calcular t se aplica logaritmo:

102t /log

10log2log t

10log2logt

2log10log

t

Pero log 10 = 1. Entonces:

2log1

t



16

14. En la figura, la distancia entre los puntos P y Q es:

A) 12

B) 17

C) 13

D) 130

E) 223

Solución:

La distancia entre dos puntos en el plano está dada por:

221

221 )yy()xx(d , que es una aplicación del teorema de Pitágoras.

Haciendo A = (-3, -2) y B = (5, 13):

22 )132()53(d

22 )15()8(d

22564d

289d

17d


y

A

x-3

-25

13

(0,0)

B


17

15. En la figura, 21 L//L . 3L y 4L son transversales que se intersectan en P.

Con las medidas dadas, la medida de x es igual a:

A) 27/4

B) 15/2

C) 9

D) 12

E) 15

Solución:

Aplicando el teorema de Thales, se puede plantear la proporción:

9

x

6

8

Despejando x:

6

98x

12x


P

6

A

B

C

D

8

9x

3L 4L

1L

2L


18

16. En la figura, ABC es triángulo rectángulo en C y CD es altura. Con los valores dados, la medida de x es:

A) 9

B) 10

C) 12

D) 15

E) 16

Solución:

Como ABC es rectángulo, es posible calcular AB , aplicando el teorema de Pitágoras.

22 2015AB = 25

Ahora, por el teorema de Euclides:

x25152

925

225x


Ax

B

C

D

2015

A x B

C

D

2015

25


19

sitio 1 sitio 2

sitio 4sitio 3

125 m

17. Una parcela rectangular de 10.000 m2 de superficie, se ha dividido en cuatro sitios rectangulares, tal como muestra la figura. El terreno no considerado en los sitios se pavimentará, representado en forma achurada en la figura.El perímetro de la superficie a pavimentar es igual a:

A) 285 m

B) 330 m

C) 375 m

D) 410 m

E) Falta información

Solución:

Si la parcela tiene 10.000 2m de superficie y es un rectángulo de largo 125 m, entonces su ancho es:

125

000.10A = 80 m.

Como los sitios son rectangulares, entonces los lados del área achurada son paralelos. Se puede distinguir que los trazos horizontales superiores corresponden a un largo de la parcela y los inferiores también. De la misma forma, los trazos verticales corresponden a dos anchos.

Por lo tanto, el perímetro del área a pavimentar es igual a 2 largos + 2 anchos = 410 m.



20

18. En la figura, ABCD es trapecio rectángulo en B, con base BC.Si AD = 4 cm, BC = 14 cm, la altura del trapecio es 6 cm y E es punto medio de CD, entonces, el área de la región achurada es:

A) 54 cm2

B) 42 cm2

C) 33 cm2

D) 27 cm2

E) 21 cm2

Solución:

Adjuntando los datos a la figura, se tiene:

Se tiene, en resumen, que el área achurada es el área de un trapecio de bases 14 y 4 y altura 6, menos el área de un triángulo de base 14 y altura 3.

Área achurada = 2

3146

2

414

= 54 – 21 = 33 cm2


B

C

D

A

E

B

C

D

A

E

414

6

h=3


21

19. Se tiene un rectángulo de lados x y x2 . Entonces, la expresión igual a su diagonal es:

A) 5x

B) 3x

C) x5

D) x3

E) x5

Solución:

Llevando la situación al esquema de un rectángulo:

Se tiene que la diagonal d es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos x y 2x.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

222 )x2(xd

222 x4xd 22 x5d /

2x5d

5xd


x

2x

d


22

20. En la figura, ABC es triángulo isósceles rectángulo en C, con AC = 2 cm. CD y CE son arcos de circunferencia con centro en B y A, respectivamente. El área de la región sombreada en la figura es, en cm2:

A) 4 - 21

B) 2 - 21

C) 4 - 2

D) 2 -

E) 4 -

Solución:

Cada una de las regiones sombreadas de la figura corresponde al área del triángulo, menos un sector circular correspondiente a su arco. Por ello, primero se calculará una de estas regiones:

El área del triángulo es 22A21 = 2 2cm .

Como el triángulo es isósceles rectángulo, cada sector circular corresponde al de un arco de 45°. Es decir, a la octava parte de un círculo completo:

Área de un sector circular = 281 2 =

21 2cm

En 2cm , cada región sombreada corresponde, entonces: 212A )

Como son 2 regiones sombreadas: )2(2A21

sombreada = (4 - ) 2cm



23

21. En la figura, O es centro de la semicircunferencia de radio OP = 4 cm, con una circunferencia inscrita tangente en O.

El área de la circunferencia inscrita es:

A) 21 2cm

B) 2cm

C) 2 2cm

D) 4 2cm

E) 16 2cm

Solución:

El diámetro de la circunferencia inscrita es 4 cm. Por lo tanto, su radio es 2 cm.

El área del círculo inscrito es, entonces:

22A = 4 2cm



24

22. Se realiza un estudio con un pequeño grupo de familias, para verificar el número de lactantes por familia. El siguiente es el gráfico resultante:

De acuerdo al gráfico, ¿qué % de las familias de la muestra tiene uno o dos lactantes?

A) 47%

B) 44%

C) 28%

D) 16%

E) 11%

Solución:

De acuerdo al gráfico:

El total de familias de la muestra es: 12 + 4+ 7 +2 = 25 familias

Las familias que tienen uno o dos lactantes son: 4 +7 = 11

Llevando a %:

P = 11/25 * 100 = 44%.


Número de lactantes por familia

0 1 2 3

Núm

ero

de c

asos

1211109876543210 Nº


25

23. Una máquina tiene dos pilotos (luces), A y B, que pueden estar encendidas o apagadas independiente una de otra. La probabilidad de que A esté encendida es 0,2 y la B es 0,6.

La probabilidad de que solo una de ellas esté encendida es igual a:

A) 0,56

B) 0,48

C) 0,32

D) 0,24

E) 0,12

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

A = luz A está encendida; A’ = luz A no está encendida

B = luz B está encendida; B’ = luz B no está encendida

Entonces, de acuerdo a los datos:

P(A)= 0,2; P(A’) = 0,8

P(B)= 0,6; P(B’) = 0,4

Para que haya solo una de ellas encendida se tiene que dar lo siguiente:

Encendida la A y no la B, o: encendida la B y no la A.

Esto, en lenguaje de probabilidades es:

P(A y B’) o P(A’ y B)

Aplicando propiedad del producto en el conectivo “y” y el de la suma en el “o”:

0,2 x 0,4 + 0,8 x 0,6 = 0,08 + 0,48 = 0,56



26

24. Es posible calcular el perímetro del triángulo PQR de la figura, si:

(1) PQ = 15 cm

(2) tg = 0,75

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Solución:

Para calcular el perímetro de un triángulo se requiere tener sus lados. Ya se

conoce 9PR . Faltan PQ y QR .

(1) PQ = 15 cm

Con este dato se conocen dos lados del triángulo, pero falta uno. No hay datos que nos permitan deducir que PQR es rectángulo y, por lo tanto, nada se puede hacer

para calcular QR .

Por lo tanto, (1) por sí sola, no permite llegar a la solución.

(2) tg = 0,75

Sin saber qué tipo de triángulo, el conocer tg = 0,75 no ayuda a llegar a la solución.


Ambas juntas, (1) y (2).

Sin saber qué tipo de triángulo es PQR, esta información conjunta, sigue siendo insuficiente para llegar a la solución.

Por lo tanto, se requiere información adicional.


R

P Q

9


27

25. Una urna, cuyo contenido no puede ser visto desde afuera, contiene solo bolitas blancas y bolitas negras. Es posible calcular cuántas bolitas blancas contiene la urna, si:

(1) La caja contiene un total de 8 bolitas.

(2) En una primera extracción al azar, la probabilidad de extraer una bolita negra es 1/4.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Solución:

(1) La caja contiene un total de 8 bolitas.

Si bien se tiene el total de bolitas, falta un dato de casos favorables para poder determinar la cantidad de bolitas blancas.


(2) En una primera extracción al azar, la probabilidad de extraer una bolita negra es 1/4.

Con esta probabilidad solo es posible calcular que la probabilidad de bolita blanca es ¾, pero no permite calcular la cantidad de bolitas blancas.


Ambas juntas, (1) y (2).

Si la probabilidad de negra es ¼ y hay 8 bolitas en total, entonces sí se puedecalcular la cantidad de bolitas negras y finalmente las blancas.

Ambas juntas, (1) y (2), sí permite resolver el problema.


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