69540608 Folleto Fisica Nivel a2

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ING. JOSÉ SAQUINAULA Derechos Reservados ING. ERICK LAMILLA

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VECTORES EN EL PLANO Ejercicio # 1 Los vectores mostrados en la figura están inscritos en una circunferencia de radio R. La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es:

a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R

Para encontrar la magnitud de la resultante de la suma entre dos o más vectores sólo basta con unir el punto inicial del primer vector con la saeta o punta de flecha del último vector; de tal manera que:

Solución:

Al sumar los tres vectores de arriba tenemos un vector resultante cuya magnitud es 2R dirigido hacia la derecha; de la misma manera, al sumar los dos vectores de abajo tenemos un vector resultante cuya magnitud es 2R dirigido hacia la derecha; sumado ambos vectores tenemos el vector resultante de los cinco, el cual tendría una magnitud de 4R.

Ejercicio # 2 Las casillas numeradas el 1 al 9 muestran respectivamente la suma de vectores (todos de igual magnitud) de la primera fila y la primera columna de la tabla. NO ES CORRECTO el vector indicado en la casilla número:

a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9

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Ejercicio #3 En un campo de golf horizontal, un jugador necesita dar dos golpes a la bola para acertar en el hoyo. El primer golpe mueve la bola 3m al norte y el segundo la mueve 2.5m a 60º al norte del este. El lanzamiento que hubiera necesitado efectuar el jugador para meter la bola en el hoyo al primer golpe es:

a) 28.24m a 76.4º al este del norte b) 28.24m a 13.6º al este del norte c) 5.31m a 76.4º al este del norte d) 5.31m a 13.59º al este del norte

Dibujemos los vectores en el plano cartesiano según la información que nos proporciona el ejercicio interpretando las coordenadas geográficas:

Solución:

A = 3m al norte: El vector A tiene magnitud 3m y su dirección es hacia arriba.

El vector que no concuerda con la suma vectorial es el casillero (6), por lo tanto la respuesta incorrecta es la alternativa (c)

Solución: Una operación vectorial es muy diferente a una operación escalar puesto que los vectores poseen magnitud y dirección; de tal manera, tenemos que:

CORRECTO

CORRECTO

CORRECTO

CORRECTO

CORRECTO

INCORRECTO

CORRECTO CORRECTO

CORRECTO

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B = 2.5m a 60º al norte del este: El vector B tiene magnitud 2.5m y estando en el este nos dirigimos hacia el norte formando un ángulo de 60º; por lo que los 60º nacen del eje positivo de las x’s. Dibujando los vectores y su resultante tendríamos que:

Usamos la ley del coseno para hallara la magnitud del vector resultante:

Observamos que el ángulo β que dirige al vector resultante nace del eje positivo de las y que interpretándolo en coordenadas

geográficas el ángulo β nace del norte hacia el este, podemos hallar dicho ángulo a través de la ley del seno:

Al escribir el ángulo β en coordenadas geográfica tendríamos lo siguiente: 13.59º al este del norte

Ejercicio #4 Dados los vectores A y B en el plano mostrado en la figura, las componentes ortogonales de cada uno de ellos serán: OPCION AX AY BX BY

A 17.32u 10u -8.66u -5u B -17.32u -10u 8.66u 5u C 17.32u -10u -8.66u 5u D -10u 17.32u 5u -8.66u E 17.32u 10u 8.66u 5u

2 2 2

2 2 2

2 2

R =A +B -2ABcosθR =(3) +(2.5) -2(3)(2.5)cos150º

R = (3) +(2.5) -2(3)(2.5)cos150ºR = 5.31m

Solución:

( )

sen sen150º=B R

sen sen150º=2.5m 5.31m

2.5m sen150ºsen =

5.31m =13.59º

β

β

β

β

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Para hallar las componentes ortogonales de un vector dado su módulo y la dirección respecto al eje de las x+ procedemos con el siguiente criterio:

Para la componente ortogonal en el eje x AX = Acosθ Para la componente ortogonal en el eje y Ay = Asenθ

Por lo que para el vector A tenemos:

AX = 20u (cos120º) = -10u AY = 20u (sen120º) = 17.32u Para el vector B el ángulo que parte del eje de las x+ sería el siguiente:

El ángulo a usarse en el caso del vector B según la metodología aplicada sería: θ=270º + 30º = 300º De tal manera que sus componentes serían las siguientes: BX = 10u (cos300º) = 5u BY = 10u (sen300º) = -8.66u

Otra metodología a usarse para obtener los valores de las componentes es usando los ángulos dentro de los cuadrantes respetando las siguientes reglas:

a) Con respecto al valor de la componente: Si el ángulo que direcciona el vector con el cuadrante nace del eje de las x; su relación con las componentes serán:

VX= Vcosθ ; VY= Vsenθ

Si el ángulo que direcciona el vector con el cuadrante nace del eje de las y; su relación con las componentes serán:

VX= Vsenθ ; VY= Vcosθ

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b) Con respecto al signo de la componente: el signo de la componente se basa en el signo del cuadrante, lo definiremos de la siguiente manera:

Retomando el problema veamos como quedan nuestros vectores A y B con la metodología definida:

Por tanto tendremos para cada uno de los vectores según la ubicación en el cuadrante y su ángulo respecto al eje lo siguiente:

AX = -20u (cos60º) = -10u AY = 20u (sen60º) = 17.32u BX = 10u (sen30º) = 5u BY = -10u (cos30º) = -8.66u

Ejercicio #5 Dados los vectores A = 6u; 20º y B = 12u; 150º, Halle la magnitud y dirección de la suma de ambos vectores por el método de las componentes.

a) R = 9.35u; 79.46º b) R= 9.35u; 120.54º c) R = 6u; 130º d) R = -9.35u; 79.46º e) R = -9.35u; 80.54º

Solución:

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Grafiquemos las componentes ortogonales de los vectores A y B en el plano cartesiano:

Para el vector A tenemos:

AX = Acos20º = 6cos20º = 5.64u AY = Asen20º = 6sen20º = 2.05u Para el vector B tenemos:

BX = Bcos150º = 12cos150º BX = -10.39u BY = Bsen150º = 12sen150º BY = 6u El vector resultante tendrá las siguientes ortogonales:

RX = AX + BX = 5.64u – 10.39u RX = - 4.75u

RY = AY + BY = 2.05u + 6u

RY = 8.05u El módulo del vector resultante según sus componentes está definido de la siguiente manera:

Para encontrar el ángulo del vector resultante utilizamos la función trigonométrica arctg de la siguiente manera:

Ahora construimos el triángulo según el signo de las componentes ubicando de forma correcta el valor de β:

Observamos en el gráfico que el ángulo de la resultante es:

θ = 180º - β = 180º - 59.46º

θ =120,54º

2 2X Y

2 2

R = R R

R = ( 4.75) (8.05)R = 9.35u

+

− +

Y-1

X

-1

R= tan

R

8.05= tan4.75

= 59.46º

β

β

β

8


2 2 2

2 2 2

2 cos(20) (10) (15) 2(10)(15)cos

104,48º

R A B AB θ

θθ

= + −

= + −=

180º180º 104,48º75,5º

θ φφφ

+ == −=

Ejercicio #6 La cuadrícula de la figura tiene divisiones de 1cm por lado. Para los vectores A y B indicados, evalúe la operación 2A - B.

a) 0i + 5j b) 8i + 5j c) -8i + 5j d) -8i + 11j e) -4i + 11j

Encontremos las componentes ortogonales de los vectores A y B según los cuadros que cada uno de los vectores abarca:

Solución:

AX = -2cm BX = 4cm AY = 4cm BY =- 3cm Un vector también se puede denotar a través de vectores unitarios; la componente en x se identifica con el vector unitario i y la componente en y se identifica con el vector unitario j, de tal manera que:

A = -2i + 4j cm y B = 4i – 3j cm

Si realizamos la operación 2A – B tendremos que: 2A – B = -4i + 8j – 4i + 3j = (-4 - 4)i + (8 + 3)j = -8i + 11j

Ejercicio #7 Dos vectores A y B tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ángulo entre los vectores es:

a) 75,5º b) 70º c) 65,5º d) 60º e) 55,5º

Solución: Teniendo la magnitud de dos vectores y el de su resultante, es sencillo encontrar el ángulo entre dichos vectores usando la LEY DEL COSENO:

Construimos el triángulo que contenga la suma de los vectores A y B cuya resultante se representa con el vector R.

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Ejercicio #8 La figura muestra una circunferencia de centro ”O”. El vector X en función de los vectores A y B es:

a) X = B/2 + A/2 b) X = B/2 - A/2 c) X = B - A d) X = A - B e) X = B - A/2

Ejercicio #9 ¿cuál es la relación correcta entre los vectores A, B y C ilustrados en el diagrama?:

a) A – B = - C b) A + B = - C c) A = B + C d) A – C = B

Observemos que el ángulo entre los vectores A y B no es θ, es el ángulo ф por lo que podemos relacionarlos ambos como suplementos entre sí (la suma de ambos ángulos debe ser 180º)

2 2 2

2 2 2

R =A +B -2ABcosθ(20) =(10) +(15) -2(10)(15)cosθθ=104,48º

θ+φ=180ºφ=180º-104,48ºφ=75,5º

Solución:

Solución: Observamos rápidamente que la suma vectorial C + A debe darnos como resultado el vector B, por lo que podemos decir: C + A = B B – A = C ; cambiando el signo a ambos términos: A – B = - C Respuesta. (a)

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Ejercicio #10 Para el conjunto de vectores mostrado en la figura, el vector D que equilibra (que al sumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es:

a) 2i – 4j b) 2i + 4j c) -2i + 4j d) -2i – 4j e) 2i + 2j

Ejercicio #11 Los vectores A, B y C se muestran en la figura, sus magnitudes son 10u, 15u y 20u, respectivamente. El vector A – B – C es:

a) 15 unidades dirigido hacia la derecha b) 5 unidades dirigido hacia la derecha c) 5 unidades dirigido hacia la izquierda d) 25 unidades dirigido hacia la izquierda e) 40 unidades dirigido hacia la derecha

Solución: Realicemos la suma vectorial de cada elemento observando los resultados en sus componentes:

El vector que equilibra a la suma debe estar en dirección contraria a D, por lo tanto sus componentes deben tener signos contrarios

Solución: Tomemos como referencia positiva a los vectores cuya dirección es hacia la derecha y como referencia negativa a los vectores cuya dirección es hacia la izquierda; de tal manera que los vectores pueden ser representados como: A = -10u; B = 15u; C = - 20u Realizando la operación: A – B – C tendríamos: -10u – 15u – (-20u) = -25u + 20u = -5u El vector resultante tendrá 5u y será dirigido hacia la izquierda

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Ejercicio #12 Si la magnitud de la diferencia entre los vectores A y B es igual a la magnitud de la suma entre los vectores A y B. Se puede decir que los vectores A y B:

a) Son perpendiculares b) Son paralelos y apuntan en la misma dirección c) Son paralelos y apuntan en dirección contraria d) Forman entre ellos un ángulo de 45º e) Forman entre ellos un ángulo de 30º

Ejercicio #13 De acuerdo al gráfico mostrado, si A + B = 3i, entonces el vector B es:

a) 5i – 4.6j b) 8i + 4.6j c) 11i + 4.6j d) -11i – 4.6j e) 5i – 3

Solución: Para que magnitud de la suma y la diferencia entre dos vectores sea la misma, es necesario que ambos vectores formen entre sí 90º, es decir SEAN PERPENDICULARES ENTRE SÍ

Solución: Encontremos primero las componentes ortogonales del vector B según los datos del gráfico:

Hallamos las componentes ortogonales del vector A por medio de las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo:

y y

x

y

A Atg30º= =

A 8A =8tg30º=4.61

La dirección del vector apunta hacia el tercer cuadrante, por tanto sus componentes son negativas según la convención tradicional, de tal manera que:

ˆ ˆ= -8i - 4.61jAPara obtener el vector B sencillamente realizamos una suma algebraica respetando las componentes ortogonales de cada vector:

x y

ˆ ˆ= -8i - 4.61jˆ ˆ= B i + B jˆ ˆ= 3i + 0j

ABR

Observando que: Bx = 11 y By =4.61

ˆ ˆ = 11i + 4.61jB

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Ejercicio #14 Dados los vectores A, B y C de la figura, con A = 6, B = 4, C = 5. El resultado de A●(B + C) es:

a) 28,54 b) 2,64 c) -28,54 d) 10,14 e) 32,21

A●(B + C) = A●B + A●C

A●(B + C) = ABcos30º + ACcos75º

A●(B + C) = (6)(4)cos30º + (6)(5)cos75º

A●(B + C) = 28.54

Ejercicio #15 Los vectores A y B forman entre sí un ángulo de 30º. El módulo de A vale 3. Hallar el módulo de B para que A – 2B sea perpendicular a A

a) 1.73 b) 6.00 c) 3.00 d) 0.77 e) 0.57

(A – 2B)●A = 0

A●A – 2B●A = 0

AAcos0º – 2BAcos30º = 0

3(3)cos0º - 2B(3)cos30º= 0

B = 32/(2)(3)cos30º

B = 1,73

Solución: Se define el producto punto entre dos vectores como una operación escalar definida por: A●B = ABcosθ; donde θ es el ángulo entre los vectores A y B. Apliquemos la propiedad distributiva del producto punto:

Solución: Si dos vectores son perpendiculares entre sí, SU PRODUCTO ESCALAR (PUNTO) ES CERO. Por lo que tendremos que:

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES EN EL PLANO

1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso • La magnitud de una cantidad vectorial es positiva • Si A y B son cantidades vectoriales paralelas, la suma de A + B es igual a A

+ B • El producto de una cantidad escalar por una cantidad vectorial es una

cantidad vectorial • Existe la posibilidad que entre dos cantidades vectoriales su suma vectorial

sea igual a la resta vectorial en magnitud. • La expresión = 6m es correcta

2. Dado los vectores A y B. En cuál de los siguientes casos el resultado de la suma entre estos dos vectores tiene el mayor valor.

a) En caso 1 b) En caso 2 c) En caso 3

3. Si la magnitud de la diferencia entre los vectores A y B es igual a la magnitud

de la suma entre los vectores A y B. Se puede decir de los vectores A y B: a) Son perpendiculares b) Son paralelos y apuntan en la misma dirección c) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias d) Forman entre ellos un ángulo de 45º e) Forman entre ellos un ángulo de 30º

4. Los vectores A, B y C tienen la misma magnitud. Dada la dirección de los vectores que se indican en la figura, ¿Cuál podría ser la dirección del vector A – 2B – C?

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES EN EL PLANO

5. Los vectores A y B de la figura tienen la misma magnitud. De estos vectores se puede afirmar:

• A + B = 0

(a) VERDADERO (b) FALSO • A + B = 0

(a) VERDADERO (b) FALSO • A – B = 0

(a) VERDADERO (b) FALSO

6. Sean los vectores en el plano A, B y C, entonces la operación (A●B)C es un escalar

(a) VERDADERO (b) FALSO

7. Si A + B + C = 0, entonces la suma de dos de ellos es igual al tercero (a) VERDADERO (b) FALSO

8. Dados dos vectores A y B paralelos. Determine cuál de las siguientes

afirmaciones es cierta: a) El módulo del vector A + B será igual al módulo del vector A – B b) La dirección del vector A + B será opuesta a la dirección del vector A – B c) El módulo del vector A + B puede ser igual a A + B d) La operación vectorial A●B representa el área de un cuadrado e) El ángulo entre los vectores A y B es de 0º

9. ¿Cuál es la relación correcta ente los vectores A, B y C ilustrados en el

diagrama? a) A – B = - C b) A + B = - C c) A = B + C d) A – C = B

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE VECTORES

1. Las componentes del vector Q representado en el gráfico son:

Respuesta: QX = -2; QY = -3

2. Las componentes del vector A en las direcciones de los ejes X y Y como se muestran en la figura son AX = 26.5u y AY = 46u. Encuentre la magnitud del vector A

Respuesta: 40 u

3. Sean los vectores A, B y C. La magnitud de A = 3u la de B = 4u. Del diagrama

mostrado. Encuentre la resultante de A + B + C

Respuesta: B/2

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4. Las componentes de los vectores D1 y D2 son respectivamente D1X = 4, D1y = 0, D2X = -1, D2Y = 5 ¿Qué vector D3 debe ser sumado a D1 para obtener D2 ?

Respuesta: D3 = -5i + 5j

5. Determine la magnitud y dirección del vector R donde R = A + B + C

Respuesta: R = 6.32u; 18.43º

6. Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10u, 15u y 20u respectivamente, como se muestran en la figura. Encuentre el valor de la operación (A●C) + (B●C)

Respuesta: - 275.8

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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO: CINEMÁTICA

Ejercicio # 1 Una pequeña hormiga se mueve en un terrón de azúcar cuyas dimensiones se muestran en la figura. La distancia que recorre la pequeña hormiga es:

a) 7.07 cm b) 9.41 cm c) 10 cm d) 11.02 cm e) 12 cm

Se define como distancia a la longitud de la trayectoria que recorre un objeto. Por tanto debemos medir lo que recorre la hormiga en el terrón de azúcar:

Solución:

La distancia que recorre la hormiga es: D = 4 cm + 5 cm + 3 cm = 12 cm.

Ejercicio # 2 El desplazamiento de la pequeña hormiga del ejercicio anterior es:

a) 5i + 4j + 3k cm b) 5i + 4j - 3k cm c) -5i - 4j + 3k cm d) -5i - 4j - 3k cm e) 3i + 4j + 5k cm

Definimos al desplazamiento como un vector que representa la diferencia entre la posición final y la inicial, dependiendo dicho vector únicamente de estos valores, así:

Solución:

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Observamos en el gráfico que la hormiga parte del punto (0,0,3) cm y culmina su trayectoria en el punto (5,4,0) cm. Aplicando la definición de desplazamiento tenemos:

(5-0)i + (4-0)j+(0-3)k cm

El vector desplazamiento será: 5i + 4j -3k cm

Ejercicio # 3 Un helicóptero parte y sube verticalmente 100 m. De aquí vuela horizontalmente hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El módulo del desplazamiento del helicóptero es:

a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m

Realicemos una gráfica en 3D con el fin de apreciar con más claridad el movimiento que realiza el helicóptero:

Solución:

El desplazamiento del Helicóptero será:

(200-0)i + (100-0)j+(200-0)k m

El módulo del desplazamiento del Helicóptero será:

Ejercicio # 4 Un corredor realiza una trayectoria semicircular de 5 m de radio en un tiempo de 10 s. La rapidez media del corredor es:

a) 0,5 m/s b) 1 m/s c) 1.6 m/s d) 2 m/s e) 3.1 m/s

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La distancia recorrida es la mitad de una circunferencia por lo que se recorre la mitad del perímetro de la misma.

Solución: Se define a la rapidez media (S) como la distancia recorrida del objeto en un tiempo determinado; ya que la distancia y el tiempo son cantidades escalares; la rapidez media por ser dependiente de estos dos factores también es una cantidad escalar:

S = 1.6 m/s

Ejercicio # 5 Una trapecista se suelta de la posición mostrada en la figura. Determine la amplitud de la velocidad media de la trapecista entre los puntos A y B sabiendo que el tiempo empleado en regresar a su posición inicial fue de 3 s.

a) 23.09 m/s b) 15.39 m/s c) 8.22 m/s d) 7.69 m/s e) 5.77 m/s

Una trapecista se suelta de la posición mostrada en la figura. Determine la amplitud de Solución:

Encontremos el desplazamiento de la trapecista desde el punto A hasta el punto B:

Podemos encontrar la magnitud del vector desplazamiento de A hasta B con el triángulo rectángulo formado en la figura:

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La magnitud de la velocidad media de A hasta B en un tiempo de 1.5 s (El tiempo de 3 s es de ida y regreso de la trapecista y solo necesitamos el tiempo de ida) es:

Ejercicio # 6 Un auto viaja en línea recta una distancia de 20 Km a una rapidez constante de 30Km/h. Durante los siguientes 20 Km su rapidez es de 40 Km/h y los últimos 20 Km los realiza a una rapidez constante de 50 Km/h. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad media en Km/h del auto durante todo el viaje?

a) 1.2 b) 37.0 c) 38.3 d) 40.0 e) 45.2

Dos partículas parten simultáneamente como se indica en la figura. ¿Cuál es el tiempo que demora en chocar?

Solución: Para encontrar la magnitud de la velocidad media, se necesita la magnitud del desplazamiento durante todo el viaje. Si el auto se mueve en línea recta, la magnitud de su desplazamiento será:

Ahora necesitamos el tiempo total, para eso usaremos la definición de rapidez media y encontraremos el intervalo de tiempo de cada tramo:

t1 = (20Km/h)/(30Km) = 0.66 h

t2 = (20Km/h)/(40Km) = 0.5 h

t3 = (20Km/h)/(50Km) = 0.4 h La magnitud de la velocidad media tendría el siguiente valor:

Ejercicio # 7

a) 0.014h b) 0.028h c) 0.054h d) 0.14h e) 0.28h

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Este ejercicio es un caso de MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) cuya característica principal es que su velocidad es constante durante todo el recorrido del objeto.

Solución:

Hagamos una relación los módulos de los desplazamientos y la distancia de separación de los objetos:

Ya que los desplazamientos de las partículas suceden al mismo tiempo tendríamos que:

Ejercicio # 8 Dos móviles se encuentran en las posiciones x1 = 5i m y x2 = 20i m en el instante t=0. Si las partículas se mueven en direcciones contrarias con rapidez constante de 2 m/s y 4 m/s respectivamente. Determine la posición en metros y el tiempo en segundos en que las partículas se cruzan.

a) 5i; 2.5s b) 10i; 2.5s c) 7.5i; 1.5s d) 15i; 5s e) 17i; 6s

Realicemos el bosquejo del movimiento de las partículas en función de sus posiciones, TOMANDO CUIDADO DE QUE SI TRABAJAMOS CON POSICIONES, DEBEMOS UBICAR LOS SIGNOS CORRESPONDIENTES A LA POSICIÓN Y A LA VELOCIDAD SEGÚN LA REFERENCIA TOMADA, de tal manera tendremos:

Solución:

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Las posiciones finales de las dos partículas se definen a continuación:

Xf1 = Xo1 + ΔX1 Xf2 = Xo2 + ΔX2 Xf1 = 5 + v1Δt Xf2 = 20 + v2Δt

Xf1 = 5 + 2t Xf2 = 20 + (-4)t

Cuando las dos partículas se encuentran, ambas coinciden con la posición final en la referencia usada por lo que:

Xf1 = Xf2 5 + 2t = 20 + (-4)t

6t = 15 t = 2.5s Reemplazando el tiempo obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones de posición final obtenemos que: Xf1 = Xf2 = 5 + 2t = 5 + 2(2.5) = 10; Xf = 10i Ejercicio # 9 Un tren de carga que va a 42 Km/h es seguido tres horas después por un tren de pasajeros, que parte del mismo punto inicial y tiene velocidad de 60 Km/h. ¿En cuántas horas el tren de pasajeros alcanzará al de carga y a qué distancia del punto de partida?

a) 1h y 60 Km b) 2h y 120 Km c) 7h y 420 Km d) 10h y 600 Km e) 10h y 420 Km

Este problema consiste en un desfase en el tiempo entre los dos objetos en movimiento; por lo que podemos resolverlo de la siguiente manera:

Solución:

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Un tren de carga…. es seguido tres horas después por un tren de pasajeros: El tren de carga lleva 3 horas de adelanto (t + 3h) o el tren de pasajeros lleva 3 horas de atraso (t – 3h). Cualquiera de las interpretaciones mencionadas es válida pero recomendamos usar siempre la relación de suma (adelanto) para evitar complicaciones en los signos durante el despeje de la ecuación. Partiendo de la interpretación tendremos lo siguiente:

Las posiciones finales de los trenes son iguales puesto que parten del mismo punto e interceptan en un mismo punto. Hemos llamado VC a la velocidad que tiene el tren de carga y VP a la velocidad que tiene el tren de pasajeros.

XC = XoC + ΔXC = 0 + VCΔt1 = 42(t+3) XP = XoP + ΔXP = 0 + VPΔt2 = 60t Si las posiciones finales son las mismas: XC = XP, entonces tenemos:

42(t+3) = 60t 42t+126 = 60t

t = 7h Reemplazando en cualquiera de las dos posiciones tendremos el punto de intersección de los dos trenes: XC = XP = 60(7) = 420 Km Ejercicio # 10 Dos vehículos cuyas velocidades son 10 Km/h y 12 Km/h respectivamente se cruzan perpendicularmente en su camino. Al cabo de seis horas de recorrido, ¿Cuál es la distancia que los separa?

a) 3.64 Km b) 39.79 Km c) 87.84 Km d) 93.72 Km e) 132,5 Km

Solución: Realicemos un bosquejo de los vehículos de tal manera que sus direcciones de movimiento sean perpendiculares entre sí:

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Se forma un triángulo rectángulo con la trayectoria que recorre cada móvil; relacionamos a través del teorema de Pitágoras los desplazamientos de cada vehículo: D2 = ΔX12 + ΔX22 D2 = (V1Δt)2 + (V2Δt)2 D2 = (10x6)2 + (12x6)2 D2 = (60)2 + (72)2 D = D = 93.72 Km

Ejercicio # 11 Un objeto se mueve en forma circular de tal manera que sus velocidades en los puntos A y B son VA = 5i m/s y VB = - 5i m/s respectivamente. Si para moverse del punto A al punto B, el objeto tardó 2s, entonces el módulo de la aceleración del objeto es:

a) 0 b) 2.5 m/s2 c) 5 m/s2 d) 10 m/s2 e) 25 m/s2

Definimos a la aceleración como el cambio de la velocidad en función del tiempo, por tanto si el cambio de la velocidad es un vector, entonces la aceleración también lo será.

Solución:

De tal manera podemos definir al vector aceleración como:

Si deseamos obtener el módulo de la aceleración tendríamos lo siguiente:

La magnitud de la aceleración del objeto será:

Ejercicio # 12 Una partícula parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2. La distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t =2s y t=3s es:

a) 1m b) 3 m c) 4 m d) 5 m e) 9 m

26


Usemos una formula básica que relacione directamente la posición del objeto con la aceleración:

Solución:

Δt2

Si parte del reposo su velocidad inicial es cero y suponiendo que su movimiento se realiza desde el origen de coordenadas de tal manera que la magnitud de la posición final sea igual a la distancia recorrida tendríamos:

X = 0 + 0(3s – 2s) + (2 m/s2)(3s – 2s)2 = 1 m Ejercicio # 13 ¿Cuál es la aceleración en m/s2 que debe imprimírsele a un móvil para que su velocidad final sea igual a 4 veces su velocidad inicial al cabo de 10 segundos y después de recorrer 10 m?

a) 1.2 b) 1.8 c) 2.4 d) 12 e) 18

Este ejercicio hace referencia a un movimiento rectilíneo uniformemente variado, cuya propiedad primordial es su aceleración constante.

Solución:

Tenemos las siguientes definiciones: Vf = Vo + a∆t … Si en este caso Vf = 4Vo tendríamos que:

4Vo = Vo + a∆t 3 Vo = a(10)

Vo = (10/3) a … (1) X =Xo + Vo∆t + (1/2)a∆t2… En este caso la posición final es 10m y suponemos que la posición inicial de la partícula es cero:

10 = 0 + Vo(10) + (1/2)a(10)2 10 = 10Vo +50a … (2)

Sustituimos la ec. (1) en la (2) teniendo el valor de la aceleración:

10 = 10(10/3)a +50a 100 = 83.33a a = 1.2 m/s2

Ejercicio # 14 Si la ecuación de movimiento de una partícula es: X – 6t2 = 5 + 3t, donde X está dada en metros y t en segundos. El tiempo que se demora la partícula en duplicar su velocidad inicial es:

a) 0.25 s b) 0.75 s c) 3 s d) 4 s e) 36 s

27


Para la resolución de este ejercicio debemos dejar expresada la ecuación del movimiento en una forma más generalizada:

Solución:

Realizando una comparación entre las ecuaciones podemos deducir las siguientes variables:

Xo = 5 Vo = 3 Teniendo estos datos de la partícula podemos obtener el tiempo en el cual se duplica su velocidad inicial:

Ejercicio # 15 El tiempo que tarda en reaccionar un conductor medio entre el instante en que percibe una señal de parar y la aplicación de los frenos es de 0.5 s. Si el automóvil frena a 5m/s2, la distancia total recorrida, hasta detenerse una vez percibida la señal cuando la velocidad es de 60Km/h, es:

a) 8 m b) 36 m c) 55 m d) 28 m e) 83 m

Realicemos el bosquejo correspondiente para analizar la situación del conductor: Solución:

Primero que nada debemos de convertir todas las variables e una unidad en común, por lo que es conveniente cambiar la velocidad de Km/h a m/s:

Cuando el conductor reacciona el auto todavía se mueve con velocidad constante (v = 60 Km/h), luego de la reacción comienza el evento de frenado (a = - 5m/s2) de tal manera que:

28


X1 = Xo1 + V1Δt1

X1 = 0 + (16.67m/s)(0.5s) = 8.34 m

V22 = (Vo2)2 + 2aΔX (0)2 = (16.67)2 + 2(-5)(X2 – Xo1)

X2 = 27.79 m/s2 Por tanto la distancia total que recorre el conductor sería la suma de los dos tramos:

X = X1 + X2 = 16.67m + 27.79m = 36.12 m

Ejercicio # 16 La función de posición de una partícula es: X(t) = 16t2 – 4t (m). La velocidad media de la partícula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es:

a) 12 m/s b) 34 m/s c) 44 m/s d) 56 m/s e) 68 m/s

Para encontrar la velocidad media necesitamos el desplazamiento, para eso necesitamos la posición inicial y final de la partícula:

Solución:

POSICION INICIAL: X(t =1)= 16(1)2 – 4(1) = 12 m

POSICION FINAL : X(t =2)= 16(2)2 – 4(2) = 56 m

Usando la definición de velocidad media tenemos:

Ejercicio # 17 Una pelota se mueve con MRUV, a partir del reposo, sobre una pendiente con velocidad media de 0.8 m/s durante 10s. Su aceleración a los 10s es:

a) 0 b) 0.016 m/s2 c) 0.08 m/s2 d) 0.16 m/s2 e) Falta conocer el ángulo de la pendiente

Solución:

29


Con la velocidad media podemos encontrar el desplazamiento que ha realizado la pelota a los 10 s de su movimiento:

ΔX = VΔt = (0.8 m/s)(10s) = 8 m

Podemos relacionar la aceleración de la pelota con el desplazamiento realizado por el objeto:

Ejercicio # 18 Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba adquiere una rapidez de 25 m/s cuando alcanza las dos terceras partes de su altura máxima sobre el punto de lanzamiento. Determine la altura máxima que alcanza

a) 32 m b) 48 m c) 64 m d) 96 m

Solución: Los movimientos verticales están influenciados por la aceleración de la gravedad cuyo vector es de 9.8 m/s2 dirigido hacia abajo. Las características del movimiento son EXACTAMENTE LAS MISMAS QUE UN MRUV. Usemos una referencia ubicada AL INICIO DEL MOVIMIENTO:

Definimos un nivel de referencia y una convención: Las variables que están sobre dicho nivel o con dirección hacia arriba son positivos, las variables que están debajo de este nivel o con dirección hacia abajo son negativos.

En la gráfica, la pelota falta por recorrer 1/3 de la altura de la cual podemos definir la siguiente formula de MRUV:

V2 = Vo2 + 2aΔy 02 = (25m/s)2 + 2(-9.8 m/s2)(H/3)

H =95.66 m

30


Ejercicio # 19 Un objeto es lanzado desde el suelo, verticalmente hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. Despreciando la resistencia del aire, el objeto retornará al suelo al cabo de:

a) 15 s b) 10 s c) 7.5 s d) 5.0 s e) 2.5 s

Solución: Si el objeto retorna al punto de partida, el tiempo que tarda en subir es el mismo que el tiempo que tarda en bajar, de tal manera que podemos obtener el tiempo que tarda el objeto en alcanzar su altura máxima y duplicarlo para tener el tiempo total:

Aplicamos la ecuación que describe el movimiento con el fin de encontrar el tiempo de subida del objeto:

V = Vo + aΔt 0 = 50m/s + (-9.8 m/s2)tS tS = (50 m/s)/(9.8 m/s2)

tS = 5.1 s

El tiempo total es el doble del tiempo de subida: t = 2tS = 2(5.1s) = 10.2 s

Ejercicio # 20 Al instante t = 0 un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una colina con velocidad inicial de 25 m/s. El objeto impacta el suelo 7 segundos después de ser lanzado. ¿Cuál es la altura H de la colina?

a) H = 46.2 m b) H = 53.2 m c) H = 65.3 m d) H = 76.0 m e) H = 82.1 m

Solución: Para resolver este ejercicio una vez más debemos ubicar en el lugar más conveniente nuestro nivel de referencia, el lugar propicio es al inicio de la trayectoria, por tanto:

31


Usamos la siguiente fórmula de descripción del movimiento, (observe que el desplazamiento del objeto es –H según nuestra referencia):

Ejercicio # 21 Para el problema anterior. ¿Cuál es la rapidez |V| de la bola en el instante que golpea el suelo?


Usando la misma referencia que el ejercicio anterior y la fórmula que vincula el movimiento con la velocidad tenemos:

Solución:

V = Vo + at V = (25 m/s) + (-9.8 m/s2)(7s)

V = 43.6 m/s

Ejercicio # 22 Un objeto es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s desde un edificio de 60 m de altura. En ese mismo instante un segundo objeto es lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. ¿A qué altura estarán al mismo nivel del suelo ambos objetos?

a) 53 m b) 41 m c) 46 m d) 57 m

32


La relación entre la altura del edificio y la magnitud de los desplazamientos es la siguiente:

Solución: Analicemos el movimiento de los objetos para encontrar una relación entre los desplazamientos de los mismos:

ΔY1 + ΔY2 = H ΔY1 + ΔY2 = 60m . . . . . (1)

Para la pelota 1, (N.R.1) tenemos la siguiente ecuación del movimiento:

ΔY1 = Vo1Δt + aΔt2

-ΔY1 = -10t + (-9.8)t2

ΔY1 = 10t + 4.9t2 . . . . . (2)

Para la pelota 2, (N.R.2) tenemos la siguiente ecuación del movimiento:

ΔY2 = Vo2Δt + aΔt2

ΔY2 = 40t + (-9.8)t2

ΔY2 = 40t - 4.9t2 . . . . . (3)

Sustituyendo la ec.(2) y la ec.(3) en la ec.(1):

10t + 4.9t2 + 40t – 4.9t2 = 60 50t = 60 t = 1.2 s

Para encontrar la altura con respecto al nivel del suelo sustituimos el tiempo obtenido en la ec. (3):

ΔY2 = 40t - 4.9t2 = 40(1.2) – 4.9(1.2)2 = 40.94 m

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE CINEMÁTICA

1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso • Una partícula debe ser siempre un cuerpo muy pequeño. • Si la rapidez media de una partícula en un determinado intervalo de tiempo es

cero, su velocidad media también es cero. • La rapidez media es una cantidad escalar positiva • Es posible para una partícula moverse con aceleración constante y regresar

después de un determinado tiempo a su posición inicial . • Si en determinado momento la aceleración de una partícula es positiva, su

velocidad también debe ser positiva. 2. Este es un diagrama de movimiento de un objeto moviéndose a lo largo del

eje x con aceleración constante. Los 1,2,3… muestran la posición del objeto en iguales intervalos de tiempo. En el instante etiquetado 3, el objeto tiene:

a) Velocidad negativa y aceleración cero b) velocidad negativa y aceleración positiva c) velocidad negativa y aceleración negativa d) velocidad positiva y aceleración positiva e) velocidad positiva y aceleración negativa

3. Abajo se muestran esferas idénticas. Cada círculo representa la posición de la

bola a sucesivos instantes de tiempo. Cada intervalo de tiempo entre posiciones sucesivas es el mismo. Ordene las siguientes figuras, de mayor a menor, en base a la aceleración sobre la bola en cada una de las figuras. Asuma constante el valor de la aceleración para cada uno de los casos.

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE CINEMÁTICA

4. ¿Cuál de estos cohetes alcanzarán la máxima altura si todos son lanzados desde la misma posición?

5. Alicia y Pedro se encuentran en la parte superior de un edificio de altura H.

Los dos lanzan una bola con rapidez inicial Vo, Alicia hacia abajo y Pedro verticalmente hacia arriba. La rapidez de las bolas cuando ellas golpean el suelo es VA y VB respectivamente. ¿Cuál de las alternativas es verdad?:

6. Se muestra un set de fotos

que se toman cada segundo a esferas que se mueven de izquierda a derecha. ¿Cuál de las esferas experimenta la mayor velocidad media durante los Primeros tres segundos?

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMÁTICA DEFINICIONES DE CINEMATICA

1. Una partícula pasa sucesivamente por los puntos A, B y C de coordenadas: (2, -3, 5) m, (3, 2, -4)m y (4, 2, 3)m. El desplazamiento de la partícula entre los puntos A y C, en coordenadas rectangulares es:

Respuesta: 2i +5j – 2k m

2. Una partícula se mueve en una pista circular con rapidez constante de 10 m/s. Si demora 1 segundo al moverse de A hasta B. Encuentre la magnitud de la aceleración media entre los puntos A y B

Respuesta: 10 m/s2 3. Un cuerpo parte con aceleración constante del origen de un sistema de

coordenadas con una velocidad inicial v = 10i + 2j m/s. Si después de 10 s llega a la posición dada por r = 300i + 200j m. Encuentre la aceleración que experimentó la partícula.

Respuesta: 4i + 3.6j m/s2

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMÁTICA DEFINICIONES DE CINEMATICA

4. Una partícula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con velocidad media 20i m/s en 10 s, a continuación experimenta un desplazamiento de 25i + 30j m durante un tiempo de 5s hasta un punto Q. Encuentre la velocidad media durante los 15s de su movimiento hasta el punto Q.

Respuesta: 15i + 2j m/s 5. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es

horizontal y BC un tramo de circunferencia de 10m de radio. Determine el módulo de la velocidad media de la partícula entre los puntos A y C sabiendo que ésta se mueve a una rapidez constante de 8m/s y tarda 10 seg. en realizar el recorrido.

Respuesta: 4.4 m/s

A B

C

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TALLER No. 3 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMÁTICA M.R.U.

1. Dos partículas A y B están inicialmente en la posición que se indica en la figura. Si la velocidad de las partículas es constante. Encuentre la distancia recorrida por la partícula A hasta alcanzar a B.

Respuesta: 12m

2. Un carro parte del punto A a 60 Km/h, otro carro sale de B, al mismo tiempo a 90 Km/h. Si los dos carros se dirigen el uno hacia el otro, encuentre a qué distancia se encuentran los carros un minuto antes de chocar.

Respuesta: 2.5 Km 3. Un móvil recorre un tercio de su recorrido total en línea recta con una rapidez

de 60 Km/h, si el resto del recorrido lo realiza a 80 Km/h. ¿Cuál es su rapidez media durante todo su recorrido?

Respuesta: 72 m/s

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMÁTICA M.R.U.V.

1. Un cuerpo con aceleración constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t

= 5s y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s. Encuentre la aceleración y la velocidad media del cuerpo entre el intervalo de tiempo de 5s a 8s.

Respuesta: 6 m/s2; 17 m/s 2. Dos partículas se hallan en reposo en las posición X1 = 20m y X2 = - 40m. En t =

0 las partículas acelereran desde el reposo con a1 = - 4m/s2 y a2 = 2m/s2. Cuando la partícula (1) pasa por la posición X = 0. ¿Dónde se encuentra la partícula (2)?

Respuesta: - 30 m 3. Un auto parte del reposo del punto A y se desplaza en línea recta con una

aceleración de 2 m/s2. Después de 10s otro auto parte del reposo desde el mismo punto y alcanza al primer vehículo en 30s. ¿Cuál es la aceleración del segundo auto?

Respuesta: 3.56 m/s2

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TALLER No. 5 PROBLEMAS DE DESARROLLODE CINEMÁTICA CAÍDA LIBRE

1. Una persona lanza un objeto desde la terraza de un edificio. El objeto abandona

la mano de la persona cuando se encuentra a una distancia de 20m medidos desde el suelo, como se indica en la figura. a) Si el objeto tarda 6s en llegar al suelo. Encuentre la velocidad con que fue

lanzado el objeto.

Respuesta: 26 m/s b) Determine la velocidad con la que el objeto impacta el suelo

Respuesta: 32.8 m/s

c) ¿Cuál es el valor de la velocidad del objeto un segundo antes de llegar a su altura máxima?

Respuesta: 9.8 m/s2

2. Lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Un segundo después lanzamos otra pelota con la misma velocidad. ¿Cuánto tardan en chocar desde que se lanzó la segundo pelota?

Respuesta: 0.52 s

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ANALISIS GRAFICO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Ejercicio # 1 El movimiento de una partícula en línea recta se representa en el diagrama x –t adjunto. Su velocidad a los 4 segundos es:

a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) -4 m/s e) -5 m/s f)

Vamos a analizar el movimiento de la partícula durante todo el recorrido.

Solución:

Durante el tiempo, 0<t<5 segundos la velocidad es la misma. La ecuación que rige el MRU es:

Despejando:

Ejercicio # 2 El grafico representa el movimiento de una partícula en línea recta. La rapidez media y la velocidad media para todo el recorrido son respectivamente:

a) 10 m/s 0 b) 2.25 m/s 5 m/s c) 0 0 d) 5m/s 0 e) 20 m/s 20 m/s

Analizando el grafico se obtienen los siguientes valores:

Solución:

Rapidez media,

Velocidad media

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Ejercicio # 3 El grafico velocidad – tiempo representa el movimiento de un cuerpo en línea recta. Determine la rapidez media y la velocidad media para todo el viaje.

a) 12 m/s 6 m/s b) 6 m/s 12 m/s c) 18 m/s 6 m/s d) 12 m/s 10 m/s e) 30 m/s 4 m/s

El área bajo la curva en el grafico velocidad – tiempo nos da el desplazamiento. Si la región está arriba del eje del tiempo el desplazamiento es positivo si está debajo el desplazamiento será negativo. Observe el grafico siguiente.

Solución:

Los desplazamientos corresponden a áreas de rectángulos por lo tanto:

La distancia recorrida es la suma de los valores absolutos de los desplazamientos (sumar todo con positivo).

La rapidez media será:

El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos de cada región con su respectivo signo.

La velocidad media será:

Ejercicio # 4 Para la partícula cuyo movimiento está descrito en la figura, la velocidad media es:


43


Para calcular la velocidad media nos hace falta la posición inicial. Lo que vamos hacer primero es calcular la velocidad en el intervalo de tiempo 2<t<5 segundos.

Solución:

Utilizando la misma ecuación para el intervalo 0<t<2 segundos sacamos la posición inicial.

Por lo tanto la velocidad media será:

Ejercicio # 5 El grafico velocidad vs tiempo que se indica, representa el movimiento de un móvil en línea recta. Determine la velocidad instantánea de la partícula a los 8 segundos.


La pendiente de la recta en el grafico v – t es el valor de la aceleración. Observando el grafico vemos que durante los primeros 5 s se mueve a la izquierda disminuyendo la velocidad y luego a la derecha aumentado su velocidad. Pero en todo el viaje el vector aceleración es el mismo.

Solución:

Vamos a calcular la aceleración para el intervalo 0<t<5 segundos

Luego utilizamos la misma ecuación para calcular la velocidad a los 8 segundos.

44


Ejercicio # 6 El movimiento de una partícula en línea se representa en el diagrama x – t adjunto. La velocidad media de la partícula durante los primero 4 s es:


La velocidad media será:

Solución:

Ejercicio # 7 El movimiento de un auto en una carretera se representa en el grafico de este problema. Si durante los dos primeros segundos recorrió 60 m y su velocidad media durante todo el viaje fue de 25 m/s. Determine las aceleraciones adquiridas por el auto.

a) 5 m/s2 ; -10 m/s2 b) 15 m/s2 ; -20 m/s2 c) 20 m/s2 ; -15 m/s2 d) 10 m/s2 ; -10 m/s2 e) 10 m/s2 ; -20 m/s2

Para calcular la aceleración, tenemos:

Solución:

Para calcular la velocidad inicial podemos utilizar el área del trapecio:

Despejando Luego reemplazamos en la ecuación (1) para calcular la aceleración en el primer tramo.

45


Para calcular la segunda aceleración utilizamos:

Para calcular el tiempo vamos a utilizar la información de la velocidad media para todo el viaje. Para aquellos nos hace falta el desplazamiento total.

La velocidad media es:

Despejando el tiempo:

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

Ejercicio # 8 Dos móviles que inicialmente están separados por 1200 m entre sí parten simultáneamente en el tiempo t = 0, como se ilustra en el grafico. Si el móvil B tiene una rapidez de 10 m/s y el móvil A se acelera desde el reposo a razón de 5 m/s2. El tiempo en que se encuentran es:

a) 10 s b) 12 s c) 15 s d) 20 s e) 30 s

El móvil B se mueve a velocidad constante (negativa), por lo tanto:

Solución:

El móvil A se mueve acelerado partiendo del reposo ( ), por lo tanto:

Si restamos las posiciones iniciales debe dar los 1200 m de separación inicial.

Como deben encontrarse tenemos que igualar la posición final:

Resolviendo la ecuación cuadrática, tenemos:

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Ejercicio # 9 E grafico representa el movimiento de dos vehículos en línea recta (A y B). El vehículo A parte a +5 m del origen, mientras que B lo hace del origen. El tiempo que tardan en encontrarse es:

a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s

Ejercicio # 10

Solución: El grafico indica que los dos vehículos viajan a velocidad constante. La velocidad de A es 10 m/s y su posición inicial es +5 m, por lo tanto:

La velocidad de B es 15 m/s y su posición inicial es cero, por lo tanto:

Como se encuentran debemos igualar las posiciones finales

Despejando

El movimiento de una partícula en línea recta se representa en el diagrama adjunto a – t. Si la partícula arranca con una velocidad de 10 m/s, la velocidad al cabo de 10 s es:


Esta partícula no viaja con MRU o MRUV pero si lo podemos resolver dándonos cuenta que el área bajo la curva en un grafico aceleración tiempo nos da el cambio de velocidad.

Solución:

La velocidad a los 10 segundos es:

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t(s)

X(m)

8 5 1

20

40

60

TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES ANÁLISIS GRÁFICO DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

1. El gráfico representa el movimiento de tres atletas que se mueven en línea recta

sobre una pista de 200m de longitud. Si los atletas arriban a la meta al mismo instante. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) El atleta B parte 6s después que A y

C. b) El atleta B es más rápido de todos c) Los atletas A y C parten al mismo

tiempo de posiciones diferentes d) La velocidad de C es de 5m/s e) El atleta C a los 30s ha recorrido

200m

2. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Se puede afirmar que: a) El desplazamiento fue de 20m b) La rapidez media fue de

10m/s c) La distancia recorrida fue de

100m d) La velocidad media fue de

5m/s e) No cambia la dirección de

movimiento

3. El gráfico mostrado (posición - tiempo) representa al movimiento de una partícula en línea recta. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto? a) La velocidad del objeto en el punto

D es mayor que la velocidad en B b) Desde A hasta B el objeto tiene

velocidad negativa c) En el punto C, la velocidad del

objeto es cero d) La velocidad del objeto es

constante y positiva

B

A C

X(m)

t(s)

6

50

200

30

48


TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE ANÁLISIS GRÁFICO

1. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Encuentre la rapidez media y la velocidad media para todo el recorrido.

Respuesta: 20 m/s; 0

2. Un vehículo viaja con velocidad constante, repentinamente aplica los frenos. El gráfico adjunto representa el movimiento del vehículo desde el instante en que aplicó los frenos. Encuentre la velocidad con que venía el vehículo

Respuesta: 15m/s

3. El gráfico representa el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba. Determine el instante en que la partícula cambia la dirección de su movimiento

Respuesta: 4s

40

4 8 t(s)

X(m)

t(s)

X(m)

4

30

t(s)

V(m/s)

20

2

49


TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE ANÁLISIS GRÁFICO DEL MOVIMIENTO

4. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la velocidad media para todo el recorrido fue nula, la distancia total recorrida es: a) 66,9m b) 100m c) 200m d) 400m e) 500m

5. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la velocidad media durante los primeros 10 primeros segundos es cero., El valor de la rapidez media durante este intervalo es: a) 6m/s b) 10m/s c) 15m/s

d) 20m/s e) 60m/s

6. Para un gráfico v-t indicado, la velocidad media entre t=0 hasta el instante en que la velocidad es igual a cero es: a) 5,03m/s b) 4,23m/s c) 18,33m/s d) 5,76m/s e) 8,33m/s

20

10

20 30 60

V(m/s)

t(s)

-10

10

20

V(m/s)

t(s)

-20

3 10

V(m/s)

t(s)

50


51


MOVIMIENTO Y FUERZA: DINÁMICA

Ejercicio # 1 Tres fuerzas actúan sobre un objeto como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza neta actuando sobre el objeto?

a) 366 N b) 535 N c) 677 N d) 1224 N e) 2000 N

La fuerza neta es un vector que representa la suma de todas las fuerzas que actúan SOBRE EL OBJETO en todas sus componentes, por tal motivo es de suma importancia la correcta

descomposición de las fuerzas en su forma rectangular:

Solución:

F1X = -F1sen30º = -1000sen30º = -500 N F1Y = F1cos30º = 1000cos30º = 866 N Obtenemos la fuerza resultante (neta) en cada componente:

FNX = F2 + F1X = 500 N – 500 N = 0

FNY = F1Y + F3 = 866 N – 500 N = 366 N

FN = 366N; 90º

Su magnitud será FN = 366 N

Ejercicio # 2

El objeto mostrado en la figura tiene un peso de 40 N y la tensión en la cuerda A en esas condiciones es de 30N. Para que el objeto se encuentre en equilibrio, la tensión en la cuerda B debe ser de:

a) 8.9 N b) 10.9 N c) 12.5 N d) 15.6 N e) 82.4 N

Podemos usar en este caso un triángulo de fuerzas puesto que su resultante es nula (EQUILIBRIO) de tal manera encontraremos de una forma gráfica la magnitud de la tensión:

Solución:

52


Usemos la Ley del coseno para hallar TB:

TB2 = TA2 + W2 – 2TAWcos20º

TB2 = (30 N)2 + (40 N)2 – 2(30 N)(40 N)cos20º

TB2 = (30 N)2 + (40 N)2 – 2(30 N)(40 N)cos20º

TB2 = 244.74 N2

TB = 15.6 N

Ejercicio # 3 Resuelva el ejercicio anterior a través del método de las componentes rectangulares

Solución: Equilibrio indica que la fuerza neta actuante sobre un cuerpo es CERO por tanto podemos resolver el ejercicio realizando una suma de fuerzas e igualándolas a cero:

TAX = -TAcos70º = -30cos70º = -10.26 N TBX = TBcosθ TAY = TAsen70º = 30sen70º = 28.19 N TBY = TBsenθ

FNX = TBX + TAX = TBcosθ – 10.26 N = 0 TBcosθ – 10.26 N = 0

TBcosθ =10.26 N TB = 10.26 N/cosθ . . . (1)

FNY = TBY + TAY + W= TBsenθ + 28.19 N – 40 N = 0

TBsenθ + 28.19 N = 40N . . . (2)

Sustituímos la ec. (1) en la ec. (2) con el fin de encontrar el ángulo:

senθ + 28.19 N = 40N

53


10.26 N(tanθ) + 28.19N = 40 N

Tanθ = (11.81/10.26); θ = 48.28º

Sustituyendo el ángulo θ en la ec. (1) tenemos que:

TB = 10.26 N/cos48.28º = 15.5 N

Ejercicio # 4 Suponga que el sistema que se presenta en la figura siguiente está en equilibrio. Considerando que las cuerdas tienen una masa despreciable. Determine la tensión en cada una de las cuerdas. a) TA = 762,3 N TB = 411,4N

b) TA = 640,0 N TB = 411,4N

c) TA = 762,3 N TB = 584,0N

d) TA = 640,0 N TB = 584,0N

e) TA = 320,0 N TB = 256,0N

Solución: Tenemos a este objeto en una situación de equilibrio, en este caso nos proporcionan la masa del objeto, sobre un objeto con masa se ejerce el PESO (W) que es la fuerza de interacción entre el objeto y la tierra, cuya magnitud es mg y su dirección es hacia abajo.

Ubiquemos las fuerzas ejercidas del sistema con el fin de encontrar las tensiones TA y TB:

TB - TAX = 0 TB -TAcos40° = 0

TB = TAcos40° . . . (1)

TAY - W = 0

TAsen40° - (50Kg)(9.8m/s2) = 0 TA = (50Kg)(9.8m/s2)/sen40°

TA = 762.3 N

Sustituyendo el valor de la Tensión en la cuerda A en la ec. (1) Obtendremos la tensión en la cuerda B: TB = TAcos40° = (762.3N)cos40° = 583.96 N

40º

90º A

B

50Kg

54


Ejercicio # 5 Un bloque de 3 Kg masa se encuentra sobre una superficie lisa sujetado por una cuerda cuya que impide su movimiento hacia abajo. La cuesta tiene 30° de inclinación con respecto a la horizontal. La normal que ejerce la superficie sobre el bloque tiene una magnitud de:

a) 29.40 N b) 25.46 N c) 16.97 N d) 14.70 N

La normal (se denota con N) es una componente de la reacción de la superficie sobre los objetos en contacto. Dicha componente o normal ES UNA FUERZA PERPENDICULAR A LA SUPERFICIE DE CONTACTO.

Solución:

Para resolver ejercicios donde involucra el estudio de fuerzas es necesario bosquejar un DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) que es un diagrama muy parecido al de los ejercicios anteriormente analizados en el que dibujamos las fuerzas que se EJERCEN SOBRE EL OBJETO.

N – WY = 0

N – mgcos30° = 0 N = (3Kg)(9.8m/s2)cos30°

N = 25.46 N Ejercicio # 6 La fuerza F mantiene moviendo a velocidad constante al bloque de 200Kg. El valor de la tensión T en la cuerda que sostiene la polea es:

a) 980N b) 1960N c) 3002N d) 3920N

D.C.L. m = 3Kg

200Kg F

55


Un objeto que se mueve a velocidad constante también cumple la condición de equilibrio y por tanto la fuerza neta actuando sobre dicho objeto es nula.

Solución:

Observamos que la fuerza se transmite a través de la cuerda puesto que la misma tiene masa despreciable, por tanto nuestro D.C.L. se reduce a:

T – W = 0 T – mg = 0 T = (200Kg)(9.8m/s2) T = 1960 N

Ejercicio # 7 Un ascensor desciende con una aceleración de 1.8 m/s2. Si dentro de él lleva una caja de 40 Kg. Entonces la magnitud de la fuerza que ejerce la caja sobre el piso del ascensor es:

a) 464 N b) 392 N c) 320 N d) 0N

La fuerza que ejerce la caja sobre el ascensor tiene la misma magnitud que la fuerza que ejerce el ascensor a la caja pero en direcciones opuestas, a esta aplicación se la llama LA TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO O LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN. Note que las fuerzas de acción y reacción JAMÁS se ejercen sobre el mismo cuerpo, estas se ejercen sobre cuerpos diferentes. Realicemos el D.C.L. correspondiente para hallar dicha fuerza qué es la fuerza normal sobre la caja:

Solución:

W – N = ma N = W - ma N = (40Kg)(9.8m/s2) – (40Kg)(1.8m/s2) N = 320 N

56


Ejercicio # 8 Una caja que pesa 800 N, descansa sobre el piso de un elevador. En un determinado instante, el elevador tiene una velocidad hacia debajo de 5 m/s y una aceleración hacia arriba de 2.45 m/s2. En ese instante, la fuerza que el piso del elevador ejerce sobre la caja es:

a) ≤ 175 N b) > 175 N, pero ≤ 350 N c) > 350 N, pero ≤ 525 N d) > 525 N, pero ≤ 700 N e) > 700 N

Solución: La fuerza que el piso del elevador ejerce sobre la caja es la fuerza normal que se ejerce sobre la caja. Recordemos que debemos tomar la referencia positiva a favor del movimiento (a favor de la velocidad) para evitar complicaciones con los signos:

W – N = -ma N = W + ma. . . (1) Obtenemos el valor de la masa del objeto a través de la definición de peso:

m = W/g = 800 N/(9.8m/s2) = 81.63 Kg

Reemplazando en la Ec. (1) tenemos que: N = 800 N + (81.63 Kg)(2.45m/s2) = 1000 N

La fuerza que ejerce le piso sobre la caja supera los 700 N.

Ejercicio # 9 Una caja de 70 Kg resbala a lo largo de un piso debido a una fuerza de 400 N como se muestra en la figura. ¿Cuál es la aceleración de la caja?

a) 6 m/s2 b) 5 m/s2 c) 4 m/s2 d) 3 m/s2 e) 2 m/s2

Recordemos que un D.C.L. es la base para la realización correcta de un ejercicio que involucren fuerzas, por tanto es imprescindible el correcto manejo de esta herramienta:

Solución:

57


FX = ma (400 N)cos30º = (70 Kg)a a = (400 N)cos30º/70 Kg a = 5 m/s2

Ejercicio # 10 Del ejercicio anterior, la fuerza normal que se ejerce sobre la caja tiene magnitud de:

a) 886 N b) 686 N c) 486 N d) 346 N e) 186 N

Realizamos la sumatoria de fuerzas en el eje de las y obtenemos el valor de la normal:

Solución:

FY + N - W = 0 N = W - FY

N = (70 Kg)(9.8 m/s2) – 400 N (sen30º) N = 486 N

Ejercicio # 11 ¿Cuál es la aceleración que adquiere el sistema sin fricción al soltarse desde el reposo? (ver figura)

a) gmmmm

+−

21

12

b) gm2

c)21

2

mmgm

+

d) gmm

m

− 12

2

m1

m2

58


e) gmm

m

+ 21

1

Solución: En este ejercicio tratamos a las masas de los objetos literalmente, es importante que te familiarices con este tipo de análisis pues de esta forma puedes corregir errores en el álgebra rápidamente que cuando tienes los valores numéricos. Procedemos a realizar los respectivos D.C.L’s a cada bloque:

T = m1a . . . (1)

W2 - T = m2a m2g - T = m2a . . . (2)

Las tensiones son iguales en ambos objetos puesto q su masa es despreciable por lo que podemos sustituir la Ec. (1) en la Ec. (2) teniendo:

m2g – m1a = m2a m2g = m1a + m2a m2g = (m1 + m2)a

a = m2g/( m1 + m2) Ejercicio # 12 Sobre el cuerpo de la figura de masa de 20Kg actúan solo las fuerzas F1 y F2, tal como se muestra en la figura. Hallar la aceleración con que se mueve el cuerpo

a) a = 0,85 m/s2 ; θ = 26,56º b) a = 0,85 m/s2 ; θ = -26,56º c) a = 0,63 m/s2 ; θ = 63,44º d) a = 0,63 m/s2 ; θ = -63,44º

59


Una vez más es imprescindible un diagrama de fuerzas para la realización de este tipo de ejercicios, recordemos que si el objeto NO ESTA EQUILIBRADO en una de sus componentes, por ende TENDRÁ ACELERACIÓN EN DICHA COMPONENTE:

Solución:

F1X + F2X = max F1cos30º + F2cos45º = max (5 N)cos30º + (15 N)cos45º = (20 Kg)ax ax = 0.8 m/s2

F1y - F2y = may F1sen30º - F2sen45º = may (5 N)sen30º - (15 N)sen45º = (20 Kg)ay ay = -0.4 m/s2

Hallemos la magnitud de la aceleración:

Hallemos la dirección de la aceleración:

Ejercicio # 13 El bloque de 50 Kg de la figura tiene que ascender 20 m en 10 s. Determine el valor de la fuerza F. (g = 10 m/s2)

a) 560 N b) 540 N c) 520 N d) 480 N e) 450 N

A fin de cumplir con las condiciones del movimiento que requiere el problema es necesario encontrar la aceleración que experimentará el bloque mientras se ejerce la fuerza constante F:

Solución:

X = Xo +Vot+ (1/2)at2

20 m = 0 + 0(10s) + (1/2)a(10s)2 a = 2(20 m)/(10s)2

a = 0.4 m/s2

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Ahora realicemos un D.C.L. del objeto en movimiento con el fin de encontrar la fuerza F responsable de dicho movimiento:

F - W = ma F - mg = ma F = ma + mg F = m(a + g) F = 50 kg(0.4 m/s2 + 10 m/s2) F = 520 N

Ejercicio # 14 Un astronauta con masa MA = 75 Kg empuja su nave espacial imprimiéndose el mismo una aceleración de 1.5 m/s2, y su nave una aceleración de -2.8x10-4 m/s2. ¿Cuál es el valor de la masa de la nave?

a) 0.51x105 Kg b) 1.02x105 Kg c) 2.01x105 Kg d) 4.02x105 Kg e) 8.04x105 Kg

La tercera Ley de Newton de ACCIÓN Y REACCIÓN nos dice que las fuerzas vienen en pares ejercidas sobre cuerpos diferentes que tienen direcciones contrarias pero con la misma magnitud, por tanto en magnitud:

Solución:

F(astronauta/nave) = F(nave/astronauta)

Maaa = Mnan Donde Ma es la masa del astronauta y Mn es la masa de la nave espacial

Por tanto:

(75 Kg)(1.5 m/s2) = (2.8x10-4 m/s2)Mn Mn = (75 Kg)(2.8x10-4 m/s2)/(2.8x10-4 m/s2)

Mn = 4.02x105 Kg

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE DINÁMICA

1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso • Si la fuerza neta aplicada sobre una partícula es nula, entonces la partícula

deberá estar en reposo • Para que un objeto se encuentre en movimiento, necesariamente debe estar

actuando sobre el una fuerza neta • Si un cuerpo se mueve horizontalmente sobre una superficie, entonces la

normal es igual al peso del cuerpo en magnitud. • La fuerza neta se define como amF

= • Un objeto puede moverse en dirección contraria a la fuerza neta

2. Dos bloques 1 y 2 de masas M1 y M2 = 2M1, avanzan uno hacia el otro sobre

una superficie horizontal lisa. Entonces, al chocar se cumple que: a) Al ser la superficie lisa, la fuerza que 1 ejerce sobre 2 y la que 2 ejerce sobre 1

es cero. b) La magnitud de la fuerza que 1 ejerce sobre 2 depende de la aceleración de 1

y de 2. c) La magnitud de la fuerza que 1 ejerce sobre 2 es el doble de la magnitud de

la fuerza que ejerce 2 sobre 1. d) La magnitud de la fuerza que 1 ejerce sobre 2 es la mitad de la magnitud de

la fuerza que ejerce 2 sobre 1. e) La magnitud de la fuerza que 1 ejerce sobre 2 es igual a la magnitud de la

fuerza que ejerce 2 sobre 1.

3. Las figuras muestran situaciones donde una persona está parada sobre una báscula en ocho elevadores idénticos. Cada persona pesa 600N cuando el elevador está en reposo. Cada elevador se mueve (acelera) de acuerdo como lo indica la flecha ubicada en la figura. En todos los casos el elevador se está moviendo hacia ARRIBA. Ordene las figuras de mayor a menor, sobre la base de la lectura del peso indicado por la báscula (Use g=9,8 m/s2)

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4. Los siguientes dibujos indican el movimiento de una bola sujeta a una o más fuerzas sobre varias superficies de izquierda a derecha. Cada círculo representa la posición de la bola a sucesivos instantes de tiempo. Cada intervalo de tiempo entre posiciones sucesivas es el mismo, y cada bola tiene la misma masa. Ordene las siguientes figuras, de mayor a menor, en base a la fuerza neta sobre la bola en cada una de las figuras. .

5. ¿Cuál de las alternativas es falsa, para las afirmaciones que se dan a

continuación? I. La inercia es una tendencia que se opone a que los cuerpos cambien su

estado de movimiento. II. Las fuerzas de acción y reacción se presentan simultáneamente y sólo

cuando los cuerpos se encuentran en contacto. III. La inercia que presentan los cuerpos depende del campo gravitacional a que

están sometidos. IV. Debido a su inercia, los cuerpos que se lanzan horizontalmente alcanzarán

mayor distancia que los lanzados verticalmente hacia arriba a) II b) I, III c) II, III d) III, IV e) II, III, IV

6. Si un bloque de peso W es reemplazado por una fuerza igual a W cual de las siguientes opciones es válida con respecto a la aceleración del bloque de masa m:

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30°

50°

A B

TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE DINÁMICA MOVIMIENTO Y FUERZA

1. La tensión en la cuerda A es de 50N, calcule:

a) La tensión en la cuerda B b) La masa del cuerpo colgante

Respuesta: a) 67.37 N; b) 7.82 Kg

2. El gráfico describe el movimiento de un cuerpo de 200Kg. Determine: a) La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo entre

t = 0 y t = 3s b) La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo entre

t = 3s y t = 7s c) La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo entre

t = 7s y t = 12s

Respuesta: a) 800N; b) 0; c) -640 N 3. Sobre un objeto de 2 Kg actúan dos únicas fuerzas: F1 = (3i – 8j)N y F2 = (5i +

3j)N. Encuentre la magnitud de la aceleración que experimentó el cuerpo.

Respuesta: 4.7 m/s2

3 7 12

16

V (m/s)

t (s) 4

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4. Pepito (60Kg) acepta una apuesta

con “chiquilín” (120Kg) el chico más grande y grueso de la escuela. “chiquilín” dice que puede pesar menos que pepe y lo lleva a un ascensor de 500 Kg. Para evitar trampas pepe se pesa en su casa para estar seguro de su peso y lleva su propia balanza al ascensor para que chiquilín pueda pesarse en el lugar pactado. La balanza marca 55Kg para chiquilín y Pepito pierde la apuesta sin más ni más: a) ¿Cuál es la dirección y la aceleración del ascensor para que ocurra este evento? b) ¿Cuál es la tensión que soporta la cuerda del ascensor durante todo el recorrido?

Respuesta: a) 5.3m/s2 hacia abajo; b) 3060 N

5. Un cuerpo de 1 Kg de masa apoyado sobre el piso de un ascensor, es halado por una fuerza T = 3 N a través de una polea sin fricción sujeta al techo del ascensor y una cuerda de masa despreciable. Si el ascensor desciende con una aceleración de 2 m/s2, Encuentre la fuerza normal que ejerce el piso sobre el cuerpo (g=10m/s2)

Respuesta: 5N

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1. La cuerda B mostrada en la figura soporta una tensión

máxima de 1500 N. Determine el valor máximo de F para que la cuerda B no rompa.

Respuesta: 2000 N

2. Una barcaza de 3700 Kg es halada por dos mulas. La tensión en cada cuerda es de 1100 N y las cuerdas forman un ángulo de 25º como se indica en la figura. Si la aceleración de la barcaza es de 0.16 m/s2, Encuentre la magnitud de la fuerza que ejerce el agua sobre la barcaza.

Respuesta: 1400 N

3. El bloque A de la figura parte del reposo y tarda 3 s en llegar al suelo. Determine el valor de su masa. (MB = 5 Kg; g = 10m/s2)

Respuesta: 78.5 Kg

66


67


TRABAJO Y ENERGÍA Ejercicio # 1 Bajo la acción de cierta fuerza, un cuerpo de masa 2 Kg tiene una aceleración de 3 m/s2. ¿Cuál es el trabajo de esta fuerza si el cuerpo se desplaza 5 m?

a) 10 J b) 15 J c) 20 J d) 30 J e) 100 J

Solución: El trabajo de una fuerza se define como el producto punto entre la fuerza y el desplazamiento o definido a través de la siguiente fórmula:

Realicemos la sumatoria de fuerzas y encontrar la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo:

F = ma = (2 Kg)(3 m/s2) = 6 N

Ahora apliquemos la definición de trabajo de una fuerza:

Ejercicio # 2 Las fuerzas de la figura tienen todas de magnitud de 10 N. ¿Cuál es el valor del trabajo total de todas estas fuerzas que se realizará sobre dicho cuerpo si el mismo se desplaza 5m?

a) 0 b) 30 J c) 40 J d) 50 J e) 60 J

El trabajo total de estas fuerzas podemos calcularlo de dos maneras, calculando el trabajo de cada uno y luego sumarlo algebraicamente u obteniendo la fuerza total y hallar el trabajo realizado por dicha fuerza total.

Solución:

Si calculamos el trabajo de cada fuerza tendríamos lo siguiente:

68


El trabajo total de todas estas fuerzas será:

Si calculamos la fuerza resultante de todas las fuerzas mencionadas en el ejercicio tendríamos lo siguiente:

FNX = F1 + F2cos37º - F4 = 10 N + 10 Ncos37º - 10 N = 8 N

FNY = F3 + F2sen37º = 10 N + 10 Nsen37º = 16 N

Ejercicio # 3 Un bloque de 8.25 Kg se levanta del piso hasta una altura de 85 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza al levantar el bloque?

a) – 68.72 J b) 68.72 J c) -7 J d) 7 J

El trabajo que realizaremos para levantar el bloque debe ser el mismo trabajo que debemos vencer del realizado por el peso del objeto por tanto tendríamos lo siguiente:

Solución:

Si F = mg (Suponemos que se levanta el objeto con velocidad constante), tendremos entonces:

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Ejercicio # 4 Un jardinero empuja una podadora de césped por una cancha de futbol con una fuerza constante de 250 N a 30º hacia abajo con respecto a la horizontal ¿Qué distancia empuja la podadora al efectuar 1440 J de trabajo?

a) 5.76 m b) 6.65 m c) 11.52 m d) 14.4 m e) 16 m

Como lo hemos observado en los ejercicios anteriores, solo la componente horizontal de la fuerza que se ejerce sobre la podadora realiza trabajo sobre la misma, puesto que la fuerza normal, el peso de la podadora y la componente vertical de dicha fuerza son perpendiculares al desplazamiento y por consiguiente su trabajo es nulo.

Solución:

Ejercicio # 5 Una fuerza neta constante de 75 N actúa sobre un objeto de masa 0.2 Kg en reposo y lo mueve una distancia paralela de 0.6 m. ¿Qué energía cinética final tiene el objeto?

a) 1.18 J b) -1.18 J c) 45 J d) -45 J e) 43.8 J

El trabajo que realiza una fuerza sobre un objeto se relaciona directamente con la energía cinética que adquiere dicho objeto de la siguiente forma:

Solución:

Donde K es la energía cinética del objeto también medida en Joules.

Por tanto:

70


Ejercicio # 6 En el problema anterior. ¿Qué rapidez final adquiere el objeto?


La energía cinética es la energía que se adquiere en el movimiento y se encuentra relacionada con la rapidez del maismo a través de la siguiente fórmula:

Solución:

Por tanto la rapidez final del objeto será:

Ejercicio # 7 Si el trabajo requerido para aumentar la rapidez de un automóvil de 10 Km/h a 20 km/h es de 5000 J. ¿Qué trabajo se requerirá para aumentar la rapidez de 20 Km/h a 30 Km/h?

a) 5000 J b) 6469 J c) 8297 J d) 10000 J e) 16469 J

Antes de resolver el ejercicio a través del teorema del trabajo – energía debemos convertir la rapidez de cada instante en m/s, así:

Solución:

71


Con el trabajo que requiere el vehículo para cambiar su rapidez de 10 Km/h a 20Km/h podemos hallar la masa del vehículo a fin de usarla en el siguiente análisis de trabajo:

Ahora que tenemos la masa del vehículo encontremos el trabajo que se necesita imprimirle para aumentar su rapidez de 20 Km/h a 30 Km/h:

Ejercicio # 8 Una balsa de 40000 Kg se remolca a lo largo de un canal a una velocidad constante de 3 Km/h. La cuerda de remolque hace un ángulo de 24º con la velocidad de la balsa y la tensión en la cuerda es de 650 N. Encuentre la energía cinética de la balsa.

a) 13.8 KJ b) 27.6 KJ c) 55.2 KJ d) 110.4 KJ e) 220.8 KJ

La energía cinética es la energía del movimiento, caracteriza el movimiento de los objetos y se define por:

Solución:

72


Ejercicio # 9 Del ejercicio anterior. Encuentre la potencia utilizada para moverla en el canal

a) 30.81 W b) 61.63 W c) 123.25 W d) 246.50 W e) 493.00 W

La potencia instantánea de un objeto se define como:

Solución:

Ejercicio # 10 Un libro de 1 Kg de masa se encuentra sobre una mesa de 1 m de altura. La energía potencial del objeto con respecto al suelo es:

a) 4.9 J b) -4.9 J c) 9.8 J d) – 9.8 J e) 19.6 J

La energía potencial gravitacional es una energía de almacenamiento, depende del punto de referencia al cual estemos midiendo dicha energía. Para nuestro ejercicio tendríamos lo siguiente:

Solución:

La energía potencia gravitacional se define como:

EP = mgh

Por tanto:

EP = (1 Kg)(9.8 m/s2)(1m) = 9.8 J

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Ejercicio # 11 Un proyectil de 80 Kg es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 95 m/s. ¿Qué energía potencial alcanza en su altura máxima?

a) 180 KJ b) 361 KJ c) 722 KJ d) 1444 KJ e) 2888 KJ

V2 = Vo2 - 2gΔy

Solución: Para obtener la energía potencial que el proyectil ha almacenado en su altura máxima, debemos encontrar dicha altura. Usemos los conceptos de caída libre para determinar la atura máxima:

0 = (95 m/s)2 – 2(9.8 m/s2)H

H = (95 m/s)2 /2(9.8 m/s2)

H = 460.5 m

La energía potencial gravitacional del proyectil en el punto de altura máxima es:

EP = mgH

EP = (80 Kg)(9.8 m/s2)(460.5 m) = 361 KJ

Ejercicio # 12 Una niña se desplaza sobre un tobogán irregularmente curvo de altura h = 6 m, como se muestra en la figura. La niña parte desde el reposo en la parte superior. Determine la velocidad de la niña en la parte inferior del tobogán.


Cuando en un sistemas actúan fuerzas conservativas (aquellas cuyo trabajo a efectuarse NO DEPENDE DE LA TRAYECTORIA) la energía mecánica permance constante, por tanto podemos decir que la energía mécanica en cualquier punto de la trayectoria es la misma.

Solución:

74


Ei = Ef

Mgh = (1/2)Mv2

2gh = v2

V = = 10.8 m/s

Ejercicio # 13 Una pequeña esfera se suelta desde el reposo en el punto A y se desplaza hasta el final de la pendiente, encontrándose con un riso de 35 cm de diámetro como se muestra en la figura. La rapidez que adquiere el objeto en el punto C es de:


En este caso también estan actuando únicamente fuerzas conservativas (peso) por lo que la energía mecánica del punto A hasta el punto C se conserva:

Solución:

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE TRABAJO Y ENERGÍA

1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso • El trabajo hecho por una fuerza es una cantidad vectorial • El trabajo neto es el efectuado solo por las fuerzas cuya dirección está entre 0º y

90º • La fuerza normal en ningún caso realiza trabajo • Si la fuerza o el desplazamiento aumentan, también aumenta el trabajo • Toda fuerza constante realizará trabajo sobre un objeto

2. En las figuras se muestran cajas idénticas

de 5 kg que se mueven a la misma velocidad inicial a la derecha. La misma magnitud de fuerza F es aplicada a cada caja para la distancia d que se indica. ¿Cuál de ellos realiza trabajo para aumentar la energía cinética?

a) Solo en el grafico A b) En el grafico A y D c) Solo en el grafico C d) En todos los gráficos

3. Si el cuerpo A tiene dos veces la masa del cuerpo B, y la velocidad de A es la

mitad de la de B, entonces la energía cinética de A es: a) Igual a la energía cinética de B b) El doble de la energía cinética de B c) La mitad de la energía cinética de B d) La cuarta parte de la energía cinética de B

4. Un cuerpo se mueve en una superficie horizontal empujado por una fuerza

paralela a su desplazamiento. Se puede concluir que para el cuerpo: a) Existe variación de la energía potencial. b) Existe variación de la energía cinética. c) El trabajo de la fuerza vale cero. d) El trabajo de la fuerza es negativo.

5. Una fuerza es conservativa cuando:

a) Conserva la energía cinética del cuerpo b) El trabajo realizado entre dos puntos sólo depende del camino seguido c) El trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido

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1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso • Si la velocidad de un cuerpo es duplicada, su energía cinética se incrementa

a dos veces su valor original • La energía cinética no depende de la dirección en la que se mueve el cuerpo • Un cuerpo que cambia constantemente su velocidad tiene energía cinética

variable • Si el trabajo realizado es nulo, el cuerpo está en reposo • Si se realiza trabajo positivo sobre un cuerpo, su energía cinética aumenta

2. Si una partícula se mueve de un punto a otro verticalmente, su energía

potencial gravitacional es -6 J con respecto al punto de partida ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta con respecto al trabajo hecho por la fuerza gravitatoria? a) -6 J y la partícula se mueve hacia abajo b) -6 J y la partícula se mueve hacia arriba c) 6 J y la partícula se mueve hacia abajo d) 6 J y la partícula se mueve hacia arriba

3. Un vagón se desplaza sin rozamiento por los rieles de una montaña rusa. A

continuación se muestran cinco formas de la montaña rusa: Si el vagón parte del reposo del punto a, alcanzará el punto c en: a) Una de las cinco situaciones b) Dos de las cinco situaciones c) Tres de las cinco situaciones d) Todas las situaciones

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TALLER No. 3 PROBLEMAS DE DESARROLLODE TRABAJO Y ENERGÍA

1. Un bloque de 15 kg se mueve debido a las fuerzas que se muestran en la figura. Después de desplazar al bloque 4 m, determinar: (a) el trabajo realizado por cada fuerza, (a) el trabajo neto,

Respuesta: (a) WF1 = 280J; WF2 = -108.76J (b) WNETO = 171.24J

2. Un bloque de 5 Kg parte desde la base de un plano inclinado con una rapidez de 3 m/s. La superficie forma un ángulo de 40° con la horizontal. El objeto adquiere una aceleración de 4 m/s2 hacia arriba del plano. Calcule el trabajo hecho por la fuerza neta ejercida sobre el bloque cuando se desplaza 5 m sobre el plano

Respuesta: 100J

3. Un bloque de 1 kg se desliza sobre una superficie sin fricción con una rapidez de 6 m/s. Un tramo de la superficie de 1 m de longitud se vuelve rugoso como se indica en la figura. Se observa que el bloque abandona el tramo rugoso con una rapidez de 5 m/s. Determine el valor del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el tramo rugoso.

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLODE TRABAJO Y ENERGÍA

1. El trabajo neto realizado por un objeto de 5 Kg es de -30 J. ¿Cuál es la rapidez del objeto después de que el trabajo sea realizado, suponiendo que el objeto parte con una rapidez de 5m/s?

Respuesta: 3.6 m/s 2. Un elevador de 500 Kg está sostenido por un cable de acero. El elevador acelera

hacia arriba de forma constante y después que ha subido 1.6 m su rapidez es de 4 m/s. Calcule la tensión en el cable

Respuesta: 7400 J

3. Un bloque de 8 Kg parte del reposo del punto A y se desliza por la pista curva que es lisa. Encuentre la rapidez en el punto B y C

Respuesta: 10.8 m/s; 14 m/s

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VECTORES EN EL ESPACIO Ejercicio # 1 Cuál de las siguientes opciones representa la magnitud del vector:

a) 2 b) 26 c) 13 d) 5.1

Un vector en el espacio se lo denota de la siguiente manera , para calcular la magnitud o modulo del vector utilizamos el Teorema de Pitágoras.

Solución:

Ejercicio # 2 Dado el vector , la dirección del vector A es: α β γ

a) 36.6° 57.9° 74.4° b) 143.1° 122.3° 74.4° c) 36.6° 57.9° 105° d) 143.1° 57.9° 74.4° e) 36.6° 122.3° 74.4°

Un vector que se encuentra en el plano es fácil saber su dirección porque es suficiente con un ángulo para dibujarlo. Para un vector en tres dimensiones necesitamos saber los ángulos directores.

Solución:

Primero calculamos el modulo:

El ángulo que forma con el eje x+ se llama alfa ( ):

El ángulo que forma con el eje y+ se llama beta ( ):

El ángulo que forma con el eje z+ se llama gama ( ):

Ejercicio # 3 El vector A es tal que sus tres ángulos directores son iguales y están entre 0° y 90°. La suma de estos ángulos es:

a) 164.1° b) 180° c) 135° d) 105.9° e) 90°

Como son iguales: . Los ángulos directores cumplen con la ecuación:

Solución:

= 54.73° La suma de los ángulos es: 3

81


Ejercicio # 4 Sean los vectores . El ángulo que forma el vector A+B con el eje positivo de las x es:

a) 16.2° b) 20.4° c) 23.5° d) 26.2° e) 32.5°

Primero llamemos C al vector A+B. Para sumar los vectores debemos sumar sus respectivas componentes:

Solución:

+

La magnitud de C es:

El ángulo que forma el vector C con el eje x se llama alfa ( )

Ejercicio # 5 El vector B está dado por:

a) b) c) d) e)

El origen de B tiene coordenadas P1 (0, 0,3) y el final tiene coordenadas P2 (5, 4,0). Solución:

Para encontrar el vector debemos restar el punto final del punto inicial.

Por lo tanto el vector B es:

Ejercicio # 6 Cuál de las opciones representa un vector en la misma dirección del vector y de modulo 10.

a) b) c) d) e) No es posible encontrarlo por falta de información

82


Debemos encontrar el vector unitario de , este vector tiene modulo uno y está en la misma dirección. Para que tenga modulo 10 simplemente multiplicamos por este valor al vector unitario, matemáticamente tenemos:

Solución:

Un vector unitario se lo obtiene dividiendo el vector para su magnitud

Por lo tanto el vector que piden será:

Ejercicio # 7 Para el diagrama vectorial mostrado, el resultado de es:

a) b) c) d) e)

Al igual que el problema 5 debemos restar las coordenadas extremas de los vectores, por lo tanto:

Solución:

, , Reemplazando en la condición;

Ejercicio # 8 Si el producto escalar de dos vectores de módulos 5 y 10 unidades vale 25 entonces el ángulo entre ellos es:

a) 60° b) 20° c) 30° d) 40° e) 20°

El producto escalar (producto punto) se define como el producto de los módulos y el coseno del ángulo entre ellos.

Solución:

83


Ejercicio # 9 Determine el valor del ángulo formado entre A y B.

a) 45° b) 23° c) 32° d) 148.2° e) 10°

Al sacar los vectores, tenemos:

Solución:

Luego debemos obtener el producto escalar. Sumamos la multiplicación de sus respectivas componentes de la siguiente manera:

Las magnitudes son:

De la definición del producto escalar despejamos el ángulo;

Ejercicio # 10 Dado los vectores para que los vectores sean ortogonales el valor de es:

a) 0 b) 12 c) -2.2 d) 2.2 e) -12

Si dos vectores son ortogonales (perpendiculares) el ángulo entre ellos es 90° y por lo tanto su producto escalar es cero ya que es cero.

Solución:

84


Ejercicio # 11 En el grafico adjunto encuentre la proyección escalar del vector M en la dirección del vector N.

a) 35 b) 2.72 c) 0.21 d) 5.21 e) 10.35

Al sacar los vectores, tenemos:

Solución:

Para la proyección escalar debemos calcular el producto punto.

Luego, para calcular la proyección escalar utilizamos la ecuación:

Ejercicio # 12 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al plano representado por el triángulo de la figura?

a) b) c) d) e)

Lo primero que debemos hacer es dibujar dos Solución:

vectores que llamaremos A y B pero que su origen coincidan y pertenezcan al plano. Una opción será la siguiente: Al obtener los vectores, tenemos:

85


Para encontrar un vector perpendicular al plano triangular de la figura necesitamos realizar el producto vectorial (producto cruz). Primero realizar una determinante de dimensión 3x3

Segundo, esa determinante la dividiremos en tres determinantes de 2x2. Observe que los signos se alternan.

Signos alternados Tercero, multiplicamos en cruz teniendo en cuenta que cuando se multiplica de en esta forma / se cambia el signo.

Cambiamos el signo de este producto

Este vector es perpendicular al plano pero si nos damos cuenta ninguna de las posibles respuestas tiene este vector. La resolución no es errónea, solo que existe otro vector que cumple con ser perpendicular y es el negativo de AXB. No es necesario hacer todo el proceso solo hacer lo siguiente:

Ejercicio # 13 ¿Cuál es el valor del ángulo que se indica en la figura?

a) 51.31 b) 120 c) 60 d) 30 e) Falta información

86


Justo en el vértice donde se encuentra Solución:

el ángulo debemos dibujar dos vectores como se indica en la figura. De esta manera si obtenemos el ángulo entre los vectores debe ser igual al ángulo β. Al sacar los vectores, tenemos:

Las magnitudes son:

El producto punto será:

= 64 El ángulo β es:

Ejercicio # 14 Del problema anterior ¿Cuál es el valor del área del triángulo?

a) 110.9 u2 b) 55.5 u2 c) 2.8 u2 d) 11.6 u2 e) 10 u2

Debemos dibujar dos vectores que tengan un origen común desde uno de los vértices del triángulo. Vamos a tomar el vértice donde esta β porque ya tenemos esos vectores.

Solución:

Luego realizamos el producto vectorial de la misma manera como lo hicimos en el ejercicio 13. Podemos realizar cualquiera de los dos ya que de estos vectores nos interesa la magnitud.

Para calcular el área del triángulo debemos sacar el modulo y dividirlo para dos.

87


Ejercicio # 15 Una fuerza tiene una magnitud de 260 N y está dirigida a lo largo de la recta que une los puntos A (3, 2,-1) y B (6,-2,11). Las componentes ortogonales de la fuerza son:

a) b) c) d) e)

Del vector solo tenemos la magnitud que es de 260 N pero nos falta conocer la dirección. Para aquello el problema nos indica que este vector está en la misma dirección que la recta que une los puntos A y B.

Solución:

Por lo tanto vamos a encontrar un vector que parta de A y termine en B.

Por lo tanto el vector que está en la misma dirección que la fuerza es:

Lo siguiente es obtener su vector unitario (magnitud 1) y multiplicarlo por 260

Ejercicio 16 Encuentre la proyección vectorial del vector

sobre la recta L que se muestra en la figura.

a) b) c) d) e)

Primero definamos un vector que pase por la Solución:

recta L. La proyección vectorial del vector sobre el vector L es:

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES

1. Seleccione la opción correcta con relación al resultado de las siguientes operaciones vectoriales son escalares

• a) Vector b) escalar c) no es posible realizarlo

• a) Vector b) escalar c) no es posible realizarlo

• • Vector b) escalar c) no es posible realizarlo •

a) Vector b) escalar c) no es posible realizarlo

2. Dado los vectores A y B. En cuál de los siguientes casos el resultado de │AXB│ tiene el mayor valor.

a) En caso 1 b) En caso 2 c) En caso 3

3. Clasifique las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas.

• El mayor ángulo que pueden tener dos vectores en el espacio es igual a 180°

• La suma de los cuadrados de los ángulos directores es igual a uno • El producto escalar es mínimo cuando son ortogonales • La proyección de un vector A sobre otro B, puede en algún momento

ser igual a la proyección del vector B sobre el vector A. • El área del paralelogramo formado por dos vectores A y B es igual al

modulo del producto cruz entre estos vectores.

4. Para la operación entre vectores C = AXB se dan las siguientes afirmaciones: I) La proyección del vector A sobre C es cero II) III) Cuantos son correctos: a) Solo I b) Solo III c) I y III d) I, II y III e) Todas las afirmaciones son falsas

89


TALLER No. 2 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VECTORES

5. Con relación al grafico que se muestra, determine el valor de verdad de los siguientes enunciados:

a) La magnitud de la suma de A con B es igual a la coordenada en Z b) La magnitud de la resta del vector C - A es igual a la coordenada en Z c) Como el vector B se encuentra en el plano x-z y el vector C en el plano x-y el

ángulo entre estos vectores es igual a 90° debido a que estos planos son perpendiculares

d) El ángulo entre A y C es menor al ángulo entre A y B

6. Para cada gráfico vectorial dibuje el vector que falta para que se cumpla la condición.

G

7. Si la magnitud de la diferencia entre dos vectores en el espacio A y B es igual a la magnitud de la suma entre A y B ¿Qué se puede decir de los vectores?....... a) Son perpendiculares b) Son paralelos c) Tienen direcciones contrarias d) Forman entre ellos un ángulo de 45 e) Forman entre ellos un ángulo de 30

90



Las siguientes cuatro preguntas corresponde al gráfico vectorial adjunto:

1. Denotar los vectores A, B y C en función de los vectores unitarios i,j y k

Respuesta:

2. ¿Cuál es el resultado de la operación A+B - 4C?

Respuesta: 3. ¿Cuál es el ángulo que el vector -2A forma con el eje y+?

Respuesta: 112 4. Calcular el ángulo que forman los vectores A y C

Respuesta: 120

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1. Los vectores A y B mostrados en la figura tienen una magnitud de 6 y 2 unidades respectivamente, el vector A está en el plano x-y mientras que el vector B está en el plano y-z, para el sistema de coordenadas mostrado determine el vector AXB.

Respuesta: 2. Para el grafico de la siguiente figura determine

Respuesta: 0.5 3. Dado el vector encontrar otro vector en dirección contraria a

A y que tenga un módulo de 6 unidades.

Respuesta:

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93


MOVIMIENTO PARABÓLICO Ejercicio # 1 Desde una plataforma que se mueve con velocidad constante de 20 m/s sobre una superficie horizontal, se lanza verticalmente un objeto con una velocidad de 10 m/s. El desplazamiento horizontal que experimentará el objeto hasta llegar al suelo es: (desprecie la altura de la plataforma) (g = 9.8m/s2)

a) 10.2 m b) 20.4 m c) 30.6 m d) 40.8 m e) 51.0 m

El objeto realiza una trayectoria parabólica debido a que no solo es disparada con una velocidad vertical, la velocidad de la plataforma también afecta al objeto.

Solución:

El desplazamiento se lo obtiene recordando que en el eje horizontal la velocidad es constante:

…. (1)

El tiempo de vuelo depende de la velocidad vertical que cambia debido a que le afecta la gravedad. En el punto de altura máxima la velocidad vertical es cero por lo que hallaremos el tiempo que se demora en subir ( ) de esta forma:

El tiempo de bajada ( ) también es igual al tiempo de subida no siempre ocurre esto, lo que sucede es que al final se encuentra al mismo nivel que el punto de lanzamiento. Por lo tanto el tiempo total de vuelo ( ) es:


Ejercicio # 2 La figura representa el movimiento parabólico de un proyectil. Encuentre la altura con que fue lanzado el proyectil. (g = 9.8 m/s2)

a) 75 m b) 85 m c) 95 m d) 105 m e) 120 m

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Vamos a obtener las componentes de la velocidad inicial del proyectil:

Solución:

Analizando el eje x, tenemos:

Con el tiempo de vuelo vamos a analizar el eje y, según los datos utilizamos la siguiente ecuación:

Poniendo el origen del sistema de coordenadas en O vemos que la posición vertical inicial es y la posición final vertical es porque llegó al suelo.

Despejando h = 105.6 m Ejercicio # 3 Del problema anterior la rapidez con que el proyectil impacta el suelo es:


Tenemos que calcular las componentes de la velocidad cuando llega al piso. La componente en x ya la tenemos es la componente vertical será:

Solución:

El signo negativo es porque esta velocidad apunta hacia abajo. Por lo tanto la rapidez (magnitud de la velocidad) con la que fue lanzado el proyectil es:

Ejercicio # 4 Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 37 . En el punto más alto de su trayectoria tiene una velocidad de 16 m/s. La velocidad vertical con que se lanzó el proyectil es: (9.8 m/s2)


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La velocidad de 16 m/s es en el punto más alto por lo tanto esa es la velocidad horizontal que como no cambia debe ser la misma al inicio del lanzamiento.

Solución:

Con la ayuda del grafico podemos utilizar una función trigonométrica para relacionar la rapidez de lanzamiento Vo y la rapidez horizontal inicial.

Despejando, tenemos:

Ejercicio # 5 ¿Con que rapidez debe ser lanzado un proyectil a un ángulo de 30 si debe alcanzar los 20000 m de altura en 10 segundos? (g = 9.8 m/s2)

a) 1115 m/s b) 2049 m/s c) 3549 m/s d) 4098 m/s e) Falta la aceleración del proyectil

Ejercicio # 6

Solución: Conociendo el desplazamiento vertical de 20000 m y el tiempo de 10 s podemos encontrar la velocidad vertical con que fue lanzado.

Despejando: La rapidez con que fue lanzado será

Un proyectil es lanzado desde la parte superior de una montaña como se indica en la figura. El proyectil alcanza el suelo después de 5 segundos de haber sido disparado. Si el alcance fue de 70 m. La rapidez con la que se lanzó es: (g = 9.8m/s2)

a) 14 m/s b) 17.2 m/s c) 20.1 m/s d) 34.5 m/s

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Ejercicio # 7

Solución: Vamos a calcular la velocidad horizontal.

Vamos a calcular la velocidad vertical inicial.

Despejando: Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la rapidez con que fue lanzado, tenemos:

Una persona se lanza de un risco tratando de alcanzar el lago con una rapidez de 10 m/s Justo llega al lago desplazándose 55 m como se muestra en la figura. ¿Cuál es aproximadamente la altura H del risco?

a) 27 m b) 54 m c) 150 m d) 300 m e) 730 m

Analizando el eje y, tenemos:

Solución:

Poniendo el origen del sistema de coordenadas en el punto O, vemos que

y la posición vertical final es cero. La velocidad vertical inicial es cero también porque se lanza horizontalmente:

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Ejercicio # 8 Determine el valor mínimo con que se debería lanzar un objeto desde el fondo de un pozo, como se indica en la figura, para que el objeto salga de él. (g = 10 m/s2)


Según los datos para resolver el problema en una sola ecuación es recomendable utilizar la ecuación general de la trayectoria.

Solución:

La posición inicial vertical es cero y la final es 20 m.

Reemplazando los valores:

Despejando tenemos:

Ejercicio # 9 Un proyectil es lanzado desde el suelo y 3 s después su velocidad es ; la posición de la partícula al cabo de 5 s es: (g = 9.8 m/s2)

a) b) c) d) e)

La componente en x de la velocidad a los 3 s es la misma en cualquier tiempo, por lo tanto . La velocidad vertical luego de 3s es de -4 m/s, con esta información vamos a encontrar la velocidad inicial vertical:

Solución:

Ahora vamos a encontrar la posición luego de 5 s de lanzamiento.

Expresado en función de los vectores unitarios

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE MOVIMIENTO PARÁBOLICO

1. Las figuras muestran bolas de cañón disparadas al aire con determinados

ángulos de elevación. Los proyectiles son lanzados con distinta velocidad inicial, pero todos tienen la misma componente vertical inicial. Ordene los proyectiles, de mayor a menor, en base al tiempo de vuelo.

2. Clasifique cada una de las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas • Para un lanzamiento parabólico, en el punto de altura máxima su

velocidad es cero. • Para que un proyectil tenga mayor tiempo de vuelo el ángulo de

lanzamiento debe ser 90°. • En algún punto de la trayectoria parabólica de un proyectil, la

aceleración y la velocidad son perpendiculares. • Una partícula es lanzada desde el suelo con cierta velocidad Vo ,

describiendo una trayectoria parabólica entonces la velocidad de llegada es Vo

3. Dos esferas de masas m1 y m2 se lanzan desde una mesa horizontal de altura h con velocidades horizontales V1 y V2 respectivamente (V1>V2). De los siguientes enunciados, son falsos I) Las dos esferas llegan al piso simultaneamente II) La esfera de masa m2, tiene mayor alcance III) La esfera de masa m2 llega primero al piso IV) La esfera de masa m1 llega primero al piso porque tiene mayor

velocidad a) Solo I b) III y IV c) Solo IV d) I y III e) Todos

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE MOVIMIENTO PARÁBOLICO

4. Cuatro esferas de diferente masa son lanzadas desde la misma posición con

diferente velocidad inicial, en el gráfico se dan las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial de cada una de las esferas. ¿Cuál de ellas experimentará el mayor alcance?

a) A b) B c) C d) D

5. Los vectores graficados en el punto

C de la trayectoria de un proyectil representan las componentes de la velocidad en dicho punto. a) Verdadero b) falso

6. Un proyectil se lanza horizontalmente desde una torre alta. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la componente vertical de la velocidad desde el momento de su lanzamiento hasta el momento en que choca contra el suelo?

7. Dadas las siguientes afirmaciones para un tiro parábolico, cuales son falsas:

I. La velocidad vertical de la velocidad no cambia debido a que la aceleración de la gravedad es contante

II. En un terreno plano el maximo alcance se logra con un ángulo de a) Solo I b) solo II c) I y II

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE MOVIMIENTO PARÁBOLICO

Las siguientes tres preguntas hacen referencia a la siguiente información: Un proyectil es lanzado desde la parte superior de un acantilado de altura H. Al instante de llegar al suelo se determina que lo impacta con una velocidad cuya componente horizontal es de 30 m/s y la componente vertical es de 60 m/s, si el proyectil tradó 10 segundos en llegar al suelo, determine:

a) El valor de la velocidad inicial con la que fue lanzado el proyectil

Respuesta: 48.4 m/s

b) El valor de la altura H del acantilado

Respuesta: 110 m

c) El valor del ángulo con que fue lanzado el proyectil

Respuesta:

101


TALLER No. 3 PROBLEMAS DE DESARROLLODE MOVIMIENTO PARÁBOLICO

La siguiente información sirve para responder las siguientes tres preguntas:

Un auto de competencia de alta velocidad parte del reposo y se acelera a razón de 10 m/s2. A los 5 s después de su partida el vehículo se incendia y el piloto es expulsado automáticamente del vehículo en dirección vertical. El piloto cae al suelo a una distancia de 200 m del punto de donde partió el vehículo (el piloto no lleva paracaídas)

a) Determine la velocidad vertical con que fue expulsado el piloto

Respuesta: 7.35 m/s b) Determine la velocidad con la que el piloto impacta el suelo

Respuesta: 50.5 m/s c) Determine la altura máxima que alcanzó el piloto después de ser expulsado.

Respuesta: 2.8 m

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Ejercicio # 1 En un taller de mecánica industrial se analiza la velocidad de la polea de un motor. El diámetro de la polea es de 50 cm y ésta gira a 500rpm. Determine la aceleración centrípeta de un punto de la periferia de la polea.

a) 685.39 m/s2 b) 13.09 m/s2 c) 26.18 m/s2 d) 52.36 m/s2 e) 500 m/s2

Como tenemos información de la velocidad angular (500rpm) la aceleración centrípeta la podemos obtener con la ecuación:

Solución:

Tenemos que tener la precaución de que la velocidad angular debe estar en rad/s:


Ejercicio # 2 Un motor realiza 100 revoluciones por minuto. ¿Cuánto será su velocidad angular en grados /segundo?

a) 0.05 b) 5 c) 300 d) 600 e) 36000

Solución:

Debemos convertir la velocidad angular que nos la dan en revoluciones por minuto (rpm), recordando que 1rev = 360° y que 1 min = 60 s.

Ejercicio # 3 El periodo de un cuerpo con MCU es de 4 s. Su velocidad angular es:

a) 0.25 rad/s b) 0.225 rad/s c) 1.57 rad/s d) 0.157 rad/s e) 4 rad/s

Solución:

La ecuación que debemos utilizar es:

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Ejercicio # 4 Cuando se realiza el balanceo de las ruedas de los automóviles en los talleres de mecánica automotriz, las ruedas pueden alcanzar bajas velocidades angulares, aproximadamente de 150rpm. El desplazamiento angular de la rueda en un intervalo de 5 segundos y su frecuencia son respectivamente.

a) 78.55 rad ; 2.5 Hz b) 15.7 rad ; 2.5 Hz c) 78.55 rad ; 15.7 Hz d) 2.5 rad ; 78.55Hz e) 78.55 rad ; 0.4 Hz

Primero convertimos la velocidad angular a rad/s:

Solución:

El desplazamiento angular es:

La frecuencia será:

Ejercicio # 5 La Tierra 6380 km de radio y gira una vez sobre su eje en 24 horas. ¿Qué aceleración radial tiene un objeto en el ecuador?

a) 24 m/s2 b) 0.034 m/s2 c) 1.67x m/s2 d) 4.3x m/s2 e) 7.27 m/s2

Las 24 h es el tiempo que se demora la Tierra en girar sobre su propio eje, por lo tanto nos están dando el periodo de rotación. .

Solución:

Teniendo en cuenta que el radio tiene que estar en metros; 6380000 m, tenemos:

La aceleración radial será:

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Ejercicio # 6 Una partícula gira por una trayectoria circular de radio R = 65 cm como se indica en la figura a una velocidad angular constante de 5 rad/s. ¿Cuál es el valor de su velocidad tangencial?


Solución:

a) +3.25 grados

La velocidad tangencial es:

Ejercicio # 7 Del problema anterior, si la partícula parte desde t = 0 en el instante que se muestra. La posición angular luego de 2 segundos es:

b) -1.39 grados c) +1.39 grados d) +5 grados e) -140.4 grados

La posición angular inicial es de 70° (medido desde eje x+). Y como gira en sentido anti horario la velocidad angular apunta en el eje Z- (entrando al papel) por lo que es negativa,

Solución:

La posición angular a los dos segundos es:

Reemplazando:

La posición está medido desde el eje x+. Como ha girado 1.39 vueltas (anti horario) vamos a sacar que ángulo equivale 0.39 vueltas.

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

1. En un movimiento curvilíneo, el vector velocidad media es:

a) perpendicular a la aceleración b) tangente a la trayectoria c) paralelo a la aceleración d) perpendicular al desplazamiento e) paralelo al desplazamiento

2. Clasifique como verdadero o falso las siguientes afirmaciones:

• La velocidad angular en el movimiento circular uniforme es constante. • La velocidad tangencial en el movimiento circular uniforme es

constante. • El número de revoluciones que da un cuerpo en la unidad de tiempo

recibe el nombre de frecuencia. • La distancia recorrida en una trayectoria circular y el desplazamiento

angular no están relacionados.

3. Un móvil tiene movimiento circular uniforme ¿Qué opción(es) representa correctamente los vectores velocidad lineal, velocidad angular y aceleración?

a) solo el grafico A b) gráficos B y D c) solo el grafico C d) solo el grafico D e) solo el grafico B

4. Un vehículo viaja por una pista circular a rapidez constante, ¿cuáles son las características del vector aceleración? a) Su módulo es cero. b) Su dirección es constante. c) Su dirección es siempre perpendicular a la velocidad. d) Su dirección es tangente a la trayectoria.

5. La figura muestra la vista superior de una carretera. En el punto A la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta son: a) Paralelos b) Perpendiculares c) No es posible determinarlo porque no se sabe si la velocidad angular no es

constante.

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

1. Una rueda de la fortuna de 14 m de radio gira sobre un eje horizontal en el

centro (ver figura). La rapidez lineal de un pasajero en el borde es constante e igual a 7 m/s. ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración del pasajero al pasar por el punto más bajo de la trayectoria?

Respuesta: 3.5 m/s2, hacia arriba 2. Se dispara una bala con una velocidad v = 200 m/s contra un cascarón esferico

de papel que gira con movimiento circular uniforme respecto a un eje vertical. Sabiendo que el radio del cascarón es 10 m, calcular con que velocidad angular mínima deberá girar el cascarón para que el proyectil haga un solo agujero. La dirección del movimiento de la bala pasa por el centro de la esfera.

3. En una prueba de un “traje g” un voluntario gira en un circulo horizontal de 7 m de radio. ¿con que periodo la aceleración centrípeta tiene una magnitud de 3g (donde g = 9.8m/s2)?

Respuesta: 3.07 s

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VELOCIDAD RELATIVA Ejercicio # 1 Imagine que viaje al Norte en un camino recto de dos carriles a 88 km/h. Un camión que viaja a 104 km/h se acerca a usted (en el otro carril, no se preocupe) ¿Qué velocidad tiene el camión relativa a usted?

a) 192 km/h hacia el Norte b) 192 km/h hacia el Sur c) 16 km/h hacia el Norte d) 16 km/h hacia el Sur e) 136 km/h hacia el Norte

a) 260 km/h

Solución: Las velocidades del auto y del camión con respecto a Tierra (calculada por una persona en reposo desde la carretera) es:

Velocidad del auto Velocidad del camión

La velocidad del camión relativa al auto es:

El signo negativo indica que esta velocidad es hacia el Sur. Ejercicio # 2 La brújula de un avión indica que va al Norte, y su velocímetro indica que vuela a240 km/h. Si hay un viento de 100 km/h de Oeste a Este, ¿Cuál es la velocidad del avión relativa a la Tierra?

b) 340 km/h c) 140 km/h d) 218 km/h

Velocidad del avión relativa al viento es: Solución:

Hacia el Norte Hacia el Este.

Para el piloto el avión viaja al Norte pero el viento lo desplaza hacia un costado por lo que vista respecto a Tierra es:

Como forman un triangulo rectángulo, usamos Pitágoras:

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE VELOCIDAD RELATIVA

1. Dos autos viajan en una carretera recta uno de ellos viaja a 50km/h mientras

que el otro lo hace a 70km/h. Uno de ellos observa que la velocidad del otro es de 120km/h. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la situación de los autos ?

a) Solo A b) Solo B c) A y C d) B y D e) Todos son posibles

2. Un carro se conduce con

velocidad y en el instante mostrado en la figura una bola de playa se mueve a través del aire con una velocidad rlativa al suelo. La velocidad de la bola relativa al carro es: a) b) c) d) –( ) e) Ninguna es correcta.

3. Consteste las siguientes preguntas a) ¿Reposo y movimiento son relativos? b) Un muchacho que está sentado en un carro de ferrocarril que se mueve a

velocidad constante lanza una pelota en el aire directamente hacia arriba. ¿caerá la pelota en sus manos, delante de él o atrás ded él?

c) Si un amigo que nunca miente le dice que observa un carro en reposo ¿usted le cree?

d) Un paquete se deja caer de un avión en vuelo horizontal. ¿Qué tipo de trayectoria observa el piloto? ¿y una persona parada en tierra?

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE VELOCIDAD RELATIVA

1. Una lancha es capaz de desarrollar una velocidad de 5 m/s respecto al río. Si la

corriente del río es de 3 m/s y la lancha avanza río arriba en principio durante 30 segundos. Realizar un grafico de la situación y calcular con que rapidez y que distancia recorrío río arriba

Respuesta: 2 m/s, 60 m 2. Del proble anterior, si la lancha retorna alpunto de partida. Determine con que

rapidez retorna, asi como el tiempo total que invierte en ir y regresar.

Respuesta: 8 m/s, 37.5 s 3. Un estudiante se presta a cruzar un río de 150 m de ancho, y quiere hacerlo de

manera directa, es decir desea terminar exactamente enla orilla opuesta de donde se lanza. Si el estudiante es capaz de desarrollar una velocidad de 1.67 m/s y la corriente del río es de 0.5 m/s. ¿realice el gráfico de velocidades y determine el rumbo (dirección) que debe seguir?

Respuesta: 17.42°, al este del Norte 4. Del problema anterior, determine la rapidez del estudiante respecto a la orilla y

el tiempo que emplea en cruzar el río.

Respuesta: 1.59 m/s, 94.14 s

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MOVIMIENTO Y FUERZA Ejercicio # 1 En el sistema de la figura conformada por dos bloques de masa M1 = 5kg y M2 = 2 kg se desprecia la fricción. Al aplicarle la fuerza F = 60 N ¿Cuál será la aceleración de los bloques?

a) 11.4 m/s2 b) 5.8 m/s2 c) 15.6 m/s2 d) 26.5 m/s2 e) 8.6 m/s2

…. (1) …… (2) Resolviendo el sistema de ecuaciones al despejar la aceleración, tenemos:

Solución: Realizamos el diagrama de cuerpo libre de cada bloque para posteriormente sacar las ecuaciones correspondientes. Asuma las fuerzas que están a favor del movimiento como positivas.

Ejercicio # 2 Un objeto de 44.5 N cuelga de un dinamómetro, el cual a su vez cuelga de una cuerda. Todo el sistema se acelera hacia abajo a razón de 4.9 m/s2. ¿Qué lectura indicara el dinamómetro?

a) 0 N b) 22.2 N c) 44.5 N d) 66.7 N e) 71.2 N

La lectura del dinamómetro será el valor de la tensión en la cuerda Solución:

112


Ejercicio # 3 El bloque de 20 kg mostrado en la figura resbala con velocidad constante. Si el coeficiente de rozamiento cinetico entre el bloque y la pared es de 0.3, el valor de la fuerza P es:

a) 59 N b) 453 N c) 553 N d) 623 N e) 653 N

Solución: Realizamos el diagrama de cuerpo libre para luego aplicar la primera ley de Newton (velocidad constante).

Reemplazando la normal N por la fuerza P, tenemos:

Ejercicio # 4 El sistema mostrado en la figura está a punto de resbalar, determine el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie en contacto.

a) 0.28 b) 0.49 c) 0.57 d) 0.67 e) 0.76

El sistema a punto de resbalar por lo que la fuerza de fricción es la máxima y el sistema está en equilibrio.

Solución:

Despejando el coeficiente estatico, tenemos:

La tensión que trata de mover al bloque de 30 kg lo genera el bloque de 20 kg. Vamos a realizar el diagrama de cuerpo libre.

113


Reemplazando en la ecuación (1) el coeficiente nos da:

Ejercicio # 5 Un bloque de masa M = 6 kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con velocidad constante. El plano inclinado hace un ángulo de 40 con respecto a la horizontal, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinetico entre el bloque y el plano inclinado?

a) 0.92 b) 0.84 c) 0.76 d) 0.65 e) 0.24

El grafico muestra el diagrama de cuerpo libre del bloque. Cuando el bloque resbala por un plano inclinado es recomendable poner los ejes de la manera que se indica y obtener las componentes del peso.

Solución:

Despejando el coeficiente:

Vamos a analizar el eje y para encontrar la fuerza normal.

Reemplazando en la ecuación (1), el coeficiente es:

Ejercicio # 6 Un carro de 2000 kg que viaja a 30 m/s alcanza el reposo en una distancia de 60 m. ¿Qué fuerza constante actuó sobre él para detenerlo?

a) 15000 N b) 10000 N c) Cero d) 1000 N

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Como el carro se detiene debe estar actuando una fuerza para detenerlo provocandole una aceleración en direccion contraria a su movimiento.

Solución:

Nos falta la aceleración y para calcular utilizamos los datos de cinemática que nos da el problema recordando que como se detiene su velocidad al final es cero.


Ejercicio # 7 Un ascensor que tiene una masa de 800 kg. Se acelera verticalmente hacia arriba arazón de 1 m/s2 en un lugar donde la gravedad vale 10 m/s2. ¿Cuál es la tensión del cable que soporta al ascensor?

a) 8500 N b) 8800 N c) 8000 N d) 7200 N e) 10000 N

El grafico indica el diagrama de fuerzas actuando en el ascensor. Recordando que las fuerzas se consideran positivas a favor del movimiento aplicamos la segunda ley de Newton.

Solución:

La tensión del cable es:

Ejercicio # 8 Dos bloques descanzan en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción como se muestra. Las superficies de contacto de los dos bloques es rugosa de tal forma que no hay deslizamiento entre ellos. Una fuerza de 30 N es aplicada al bloque de 10 kg como se indica en la figura ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción entre los bloques?

a) Cero b) 10 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N

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Solución: Notemos que como el piso es liso la fuerza de 30 N acelerera a los bloques. Primero vamos a realizar un diagrama de cuerpo libre para el bloque superior (figura izquierda). La fuerza de rozamiento es la responsable de que este bloque no caiga, pero no podemos asumir que sea máxima solo que es estatica ya que no resbala.

Reemplazando (2) en la ecuación (1)

Ejercicio # 9 Suponga que usted conduce un carro con rapidez constante v = 30 m/s y sentado sobre su báscula. Cuando viaja en linea recta la báscula indica 441 N. ¿Qué lectura indica la báscula cuando usted pasa por la posición indicada en la figura, si el radio del circulo de forma vertical tiene un valor R = 90 m?

a) 223 N b) 563 N c) 734 N d) 398 N e) 891 N

El diagrama de fuerzas es el siguiente:

Solución: Como la trayectoria es curva la persona debe tener aceleración centripeta, la lectura de la báscula es igual al valor de la fuerza normal.

Reemplazando y despejando la normal, tenemos:

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Ejercicio # 10 Un carro cuya masa es de 1200 kg gira en una esquina que tiene un radio de curvatura de R = 55 m. el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el pavimento es de 0.75. ¿Cuál es la máxima rapidez que puede tener el carro sin que deslice en la curva?

a) b) 8.5 m/s c) 12 m/s d) 17 m/s e) 20 m/s

Como el carro debe girar con la máxima rapidez la fuerza de fricción estatica que actua en las llantas debe ser máxima. Esta es la fuerza centripeta que permite que el carro permanezca en la curva.

Solución:

El grafico muestra una vista superior. La normal y el peso son de igual magnitud y se cancelan (N = mg).

Reemplazando y despejando la rapidez, tenemos:

Ejercicio # 11 Un niño hace girar en un plano vertical una piedra de 75 g, atada a una cuerda de 50 cm de longitud y masa despreciable, de modo que la piedra da 120 vueltas por minuto. La tensión de la cuerda cuando la piedra pase por el punto más alto es:

a) 4.42 N b) 6.65 N c) 5.18 N d) 7.45 N e) 11.1 N

La aceleración centripeta es:

Solución: Como la trayectoria es curva debe tener aceleración centripeta pero para calcularla debemos primero calcular la velocidad angular de la siguiente manera.

La tensión de la cuerda en la parte superior es:

Reemplazando y despejando, tenemos:

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1. Clasificar cada uno de las siguientes afirmaciones como verdadero o falso • La inercia es una propiedad de la materia solo cuando esta se encuentra en

estado sólido. • Para mantener un cuerpo en movimiento es necesario aplicarle fuerza. • Un cuerpo en el espacio, fuera de todo campo gravitacional posee inercia. • Un astronauta tiene una masa de 80kg, en un planeta desconocido observa que

tiene también una masa de 80kg. El astronauta asegura que la aceleración de la gravedad de dicho planeta también es 9.8m/s2 .

• De la segunda ley de Newton las fuerzas vienen en pares.

2. Las figuras muestran carros que se mueven sobre una superficie horizontal lisa a diferente rapidez. Los carros tienen la misma forma pero distinta masa

¿Cuál de las siguientes opciones es correcta con relación a la fuerza total que actúa sobre el carro?

a) La fuerza mayor actúa en el carro 2 b) La menor fuerza actúa en los carros 1, 4 y 5 c) La fuerza mayor actúa en el carro 1 debido a que tiene mayor masa d) En todos los carros actúa la misma fuerza neta

3. Se lanza una piedra contra el vidrio de una ventana. La fuerza que rompe el

vidrio es: a) la fuerza con que se lanzó la piedra b) la fuerza que hace el vidrio para detener la piedra c) la reacción de la piedra a la fuerza del vidrio

4. Un libro está en reposo sobre una mesa. ¿Cuál es la fuerza de reacción al peso

del libro? a) la fricción entre la mesa y el libro b) la fuerza hacia arriba del libro sobre la Tierra c) la fuerza hacia arriba de la mesa sobre el libro d) la fuerza hacia abajo del libro sobre la mesa e) la fuerza hacia abajo de la Tierra sobre el libro

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5. Un bloque pequeño y otro grande (M y 2M respectivamente) se arreglan sobre una superficie horizontal como se muestra. Un estudiante empuja sobre el lado izquierdo de la caja pequeña de tal forma que todo el sistema se acelera a la derecha. ¿Cómo se compara la fuerza neta sobre la caja pequeña Fp comparada con la fuerza neta sobre la caja grande Fg?

a) Fp > Fg b) Fp = Fg c) Fp < Fg d) Falta información

6. El bloque de la figura descansa en una

superficie horizontal. Cuando se le aplica la fuerza F = 100 N hacia la derecha. Cual de las opciones es el valor de la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso. a) 100 N b) 150 N c) 250 N d) 0

7. Los bloques de la figura se encuentran dentro

de un ascensor que acelera hacia arriba.¿ Cual es el diagrama de cuerpo libre correcto para el bloque de masa M ? (N: fuerza de contacto entre el ascensor y el bloque M, N’ fuerza de contacto entre los bloques)

8. Los pares de fuerzas del tipo acción y reacción se caracterizan por: I) Actuar en dirección contraria y de igual magnitud. II) Actuar con una pequeña diferencia de tiempo: la acción primero y

luego la reacción. III) No anularse entre sì debido a que actuan en diferentes cuerpos.

a) Solo I b) solo II c) solo III d) I y III e) I, II y III

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE DINÁMICA EQUILIBRIO

1. Para cada sistema que se indica en las figuras siguientes los bloques tienen una

masa de 15 kg y estan en equilibrio. Calcular las tensiones que soportan las cuerdas. (g = 9.8 m/s2)

Respuesta: grafico izquierda: T = 423.26 N Grafico derecha: Tizq = 104.2N, Tder = 68.5N

2. Un cubo de madera que pesa 2 N se presiona contra una pared con una fuerza horizontal F. Se observa que cuando la fuerza F es de 12 N el cuerpo está a punto de resbalar, por lo tanto ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento estático?(g = 9.8m/s2)

Respuesta: 0.16

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLODE DINÁMICA EQUILIBRIO

3. Se planea elevar un bloque de 100 kg a una velocidad constante mediante el

sistema de poleas sin fricción mostrado ¿con cuanta fuerza se está tirando de la cuerda? (9.8 m/s2)

Respuesta: 490 N 4. La cuerda A de la figura está a punto de romperse. Determine la tensión en ella

si el coeficiente de rozamiento estático entre los bloques y la superficie es de 0.7.

Respuesta: 160 N

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TALLER No. 3 PROBLEMAS DE DESARROLLODE DINÁMICA ACELERACIÓN

Las siguientes tres preguntas se refieren a la siguiente situación: Una caja de 75 kg se encuentra sobre una superficie horizontal. Queriendo mover la caja, usted aplica una fuerza horizontal como se muestra en la figura. Usted encuentra que tiene que empujar con una fuerza al menos de 300 N antes de que la caja empiece a moverse.

1) ¿Cuál es el coeficiente estático entre la caja y la superficie?

Respuesta: 0.4 2) El coeficiente de fricción cinética es 0.2. Si usted se mantiene empujando la

caja con la fuerza horizontal de 300 N despues de que se halla movido. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del bloque?

Respuesta: 2.0m/s2

3) Después de empujar la caja hasta que ella alcanza una rapidez de 2m/s, usted repentinamente deja de empujarla. ¿Cuánta distancia avanzará la caja hasta finalmente detenerse?

Respuesta: 1.02 m

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLODE DINÁMICA MOVIMIENTO CIRCULAR

1. En un parque de diversiones , un niño se para contra una pared de un gran

cilindro el cual es capaz de rotar. El piso se desplaza hacia abajo dejando al niño “pegado” contra la pared del cilindro, el cual tiene un radio de 2.15 m y un coeficiente rozamiento estático entre el niño y la pared de 0.4, ¿Cuál es la minima rapidez con la que se deberia estar moviendo el niño para que se mantenga pegado contra la pared? (9.8 m/s2)

Respuesta:7.26 m/s 2. Un automóvil de 1200 kg ingresa a una carretera curva de radio 350 m a una

rapidez constante de 36 km/h. Se observa que las llantas estan a punto de resbalar pero no lo hace. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático?

Respuesta: 0.28 3. Un móvil de 4kg se desplaza con una rapidez constante de 5 m/s por la pista de

la figura. Determine el valor de la fuerza que ejerce la pista sobre el móvil en los puntos A y B

Respuesta: NA = 72.5 N; NB = 5.86 N

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TRABAJO Y ENERGÍA Ejercicio # 1 Una caja de 5 kg es empujada a través de una superficie rugosa y horizontal por acción de una fuerza constante de 150 N como se indica en la figura. La caja parte del reposo y después de haber sido empujada una distancia D = 10 m adquiere una rapidez de 15 m/s. ¿Cuál es la magnitud del trabajo realizado por la fuerza de fricción sobre la caja?

a) 123 J b) 266 J c) 1500 J d) 937 J e) 562 J

El diagrama de cuerpo libre nos dice que de las cuatro fuerzas que se aplican al cuerpo solo dos de ellas realizan trabajo que son la fuerza F y la fricción, ya que el peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento y su trabajo es cero.

Solución:

El trabajo neto es igual a la suma del trabajo de todas las fuerzas:

Nos falta el trabajo neto, pero el teorema del trabajo y la energía dice que el trabajo neto es igual al cambio de energía cinética del cuerpo.


La respuesta es este valor con signo positivo ya que nos piden la magnitud del trabajo. Ejercicio # 2 Una fuerza actua sobre una partícula que experimenta un desplazamiento . El trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula es:

a) 7 J b) 14 J c) 20 J d) 26 J

Solución: El trabajo realizado es igual al producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento.

125


Ejercicio # 3 Se tiene un plano inclinado a 35° de pendiente. La superficie del plano es rugosa. Usted jala hacia arriba un bloque de 3 kg sobre el plano. Para una distancia de 5 m, a una rapidez constante de 2.2 m/s, usted tiene que ejercer una fuerza externa de 20 N paralela al plano como se muestra en la figura. ¿Cuál es la magnitud del trabajo hecho por la fricción sobre el bloque?

a) 4.3 J b) 7.3 J c) 15.7 J d) 20.5 J e) 40.6 J

Analizando el diagrama de cuerpo libre vemos que de las cuatro fuerzas que actúan en el bloque la Normal no realiza trabajo por ser perpendicular al desplazamiento.

Solución:

Como se está moviendo a velocidad constante el trabajo neto es cero:

Como me piden la magnitud del trabajo es este resultado con positivo. Ejercicio # 4 El grafico que se muestra representa la fuerza aplicada sobre un cuerpo y el desplazamiento que realiza. ¿Cuál fue el trabajo realizado por la fuerza?

a) 400 J b) 200 J c) 2000 J d) 1000 J e) 500 J

En un grafico F-x el área bajo la curva representa el trabajo realizado por esta fuerza variable. Si la grafica está arriba del eje x el trabajo es positivo, si esta debajo del eje x el trabajo es negativo.

Solución:

126


Ejercicio # 5 Una bola de masa M = 1 kg es suspendida de uno de los extremos de una cuerda de 0.5 m de longitud que cuelga del techo, formando un péndulo. Si la bola se suelta desde el reposo de la posición indicada en la figura. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando la bola pase por el punto más bajo de su trayectoria?

a) 0 b) 58.8 N c) 39.2 N d) 17.6 N e) 9.8 N

Solución:

En este problema actúan dos fuerzas sobre la bola; el peso y la tensión, pero la tensión no realiza trabajo porque en todo momento es perpendicular a la velocidad. Solo el peso hace trabajo y como es una fuerza conservativa se conserva la Energía Mecánica.

Vamos a poner el nivel de referencia en el punto más bajo y calcular la velocidad.

Al inicio solo tenemos energía potencial, la energía cinética es cero porque parte del reposo. Al final esta energía potencial se transforma totalmente en cinética. Despejando, tenemos:

Aplicando las leyes de Newton en el punto más bajo, tenemos:

Ejercicio #6 Un esquiador (m = 80 Kg) parte del reposo desde la parte superior de una montaña como se indica en la figura. Al llegar a la parte más baja de la montaña adquiere una rapidez de 40 m/s. Determine el valor del trabajo neto realizado sobre el esquiador.

a) 64000 J b) 80000 J c) -80000 J d) -64000 J e) 16000 J

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Aplicando el teorema del trabajo y la energía tenemos:

Ejercicio # 7 Para el ejercicio anterior, determine el valor del trabajo realizado por la fricción sobre el esquiador.

a) -14400 J b) -16000 J c) -80000 J d) -64000 J e) -142400 J

En el esquiador actúan: el peso, la fricción y la normal. De las cuales las dos primeras realizan trabajo. Como la fricción es una fuerza no conservativa no se conserva la energía mecánica.

Ubicando el nivel de referencia en el piso vemos que al inicio solo tenemos energía potencial gravitacional. Una parte de esta energía se convierte en cinética y otra parte se pierde por la fricción que calienta la superficie. Por lo tanto:

Ejercicio # 8 Un resorte de 50 cm de longitud se comprime hasta llegar a la lectura de 30 cm debido a un bloque de 5 kg. Luego se le aplica al bloque una fuerza P haciendo que el bloque llegue a la lectura de 10 cm como se indica en la figura. ¿Cuánto debe valer la fuerza P?

a) 245 N b) 9.8 N c) 49 N d) 4.9 N e) 24.5 N

Solución: Al inicio el resorte se deforma solo debido al peso del bloque. La ley de Hooke dice: la fuerza aplicada a un resorte es directamente proporcional a su deformación:

, donde k es la constante elástica del resorte La fuerza del resorte tiene el mismo valor del peso y su deformación (compresión) es de 20 cm, con esta información podemos sacar la constante.

128


Al aplicarle la fuerza P el resorte se comprime más llegando a la lectura de 30 cm, por lo que se comprime 40 cm. Como el sistema se encuentra en equilibrio la suma de fuerzas es cero, por lo tanto:

Reemplazando los datos, tenemos:

Ejercicio# 9 El bloque m2 de 60 kg de la figura parte del reposo desde la posición que se indica. Inicialmente el resorte se encuentra sin estirarse. Halle la rapidez del bloque m1 de 10 kg cuando m2 llega al piso (k = 140 N/m)

a) 6 m/s b) 10 m/s c) 9.8 m/s d) 25 m/s e) 5.83 m/s

Solución: Notemos que el sistema tiene dos bloques ubicados en posiciones diferentes por lo que recomendamos utilizar un nivel de referencia para cada uno. Las situaciones de movimiento y su nivel de referencia son presentadas a continuación

Observamos que las fuerzas que actúan en el sistema son conservativas (con excepción de la tensión pero no realiza trabajo alguno) ¿Por qué? La energía mecánica inicial del sistema será:

La energía mecánica final del sistema será:

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Como solo hacen trabajo las fuerzas conservativas (peso y la fuerza elástica), la energía mecánica se conserva.

Despejando y reemplazando datos, tenemos:

Ejercicio # 10 Un bloque de 0.5 kg se empuja contra un resorte horizontal de masa despreciable, comprimiéndolo 0.2 m (ver figura). Al soltarse el bloque se mueve 1 m sobre una mesa horizontal antes de detenerse. La constante elástica es k = 100 N/m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la mesa es:

a) 0.01 b) 0.1 c) 0.22 d) 0.41 e) 0.3

Como el bloque parte del reposo y se encuentra siempre al mismo nivel solo tenemos energía potencial elástica al inicio debido a que el resorte está comprimido.

Solución:

Al final su energía cinética es cero porque quedará en reposo, el resorte no está deformado y su energía potencial gravitacional es cero, por lo que:

Como la fricción realiza trabajo no se conserva la energía mecánica.

Reemplazando y despejando, tenemos:

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1. Complete la siguiente preposición: Una fuerza que actúa sobre un objeto se dice que es conservativa si a) Ella obedece las leyes de Newton. b) La fuerza produce un cambio en la energía cinética del objeto. c) Si siempre actúa en la dirección del movimiento del objeto. d) El trabajo que realiza sobre el objeto es independiente de la trayectoria del

movimiento. e) El trabajo que realiza sobre el objeto es igual al incremento en la energía

cinética.

2. Clasifique las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas • Una persona parada sujetando un saco de papas no realiza trabajo • El trabajo neto es el realizado solo por las fuerzas conservativas. • Una fuerza que cambia la velocidad de un cuerpo realiza trabajo. • Siempre que se aplica más fuerza a un objeto más trabajo se obtiene. • Si la velocidad de un cuerpo cambia también lo hace su energía cinética.

3. Si el cuerpo A tiene dos veces la masa del cuerpo B, y la velocidad de A es la mitad de la de B, entonces la energía cinética de A es: a) Igual a la energía cinética de B. b) El doble de la energía cinética de B. c) La mitad de la energía cinética de B. d) La cuarta parte de la energía cinética de B.

4. Los bloques de la figura se mueven sobre una superficie horizontal sin fricción. Los bloques tienen la misma masa y velocidad inicial. Sobre cada uno de ellos actúan fuerzas de diferentes magnitudes que hacen que los bloques se detengan luego de recorrer distancias diferentes. ¿Sobré que bloque se realiza mayor trabajo neto?

5. Si el ángulo entre la fuerza neta y el desplazamiento de un objeto es mayor que

noventa grados. a) La energía cinética no cambia b) La energía cinética aumenta c) La energía cinética disminuye d) El objeto se detiene

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE TRABAJO Y ENERGÍA

1. El bloque de 50 kg asciende por el plano inclinado de la figura y recorre 2 m sobre el mismo, con la fuerza horizontal constante F aplicada de 600 N. También actúa una fuerza de rozamiento de 100 N. ¿Cuánto vale el trabajo realizado por la fuerza F?

Respuesta: 958.4 J 2. Una caja de masa M = 5 kg se desliza 10 m con rapidez constante de 1 m/s

sobre un plano inclinado rugoso cuya superficie se encuentra formando un ángulo de 30° con la horizontal. ¿Cuál es la magnitud del trabajo realizado por la fricción?

Respuesta: 245 J 3. Una caja de 10 kg se arrastra hacia la parte superior de un plano inclinado con

una velocidad inicial de 5 m/s. La fuerza con que se arrastra es de 100 N, paralela al plano inclinado, la cual forma un ángulo de 20 con la horizontal. El coeficiente cinético es de 0.4 y la caja se arrastra 5m (aplicando conservación de la energía), calcular: ¿cuánto trabajo efectúa la gravedad? ¿Cuánta energía se pierde por fricción? ¿Cuál es el cambio en la energía cinética de la caja? ¿Cuál es la velocidad de la caja después de haberla arrastrado 5 m?

Respuesta: -167.58 J, 184.17 J, 148.19 J, 5.6 m/s

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1. La figura muestra dos rampas, ambas sin fricción. Las alturas y1 y y2 son iguales en cada grafica. Si un bloque de masa m se suelta del reposo desde el extremo izquierdo de cada rampa. ¿Cuál bloque tendrá mayor rapidez al llegar al extremo derecho?

a) El bloque que viaja por el plano inclinado por recorrer menor distancia b) El bloque que se mueve por la pista curva ya que al inicio aumenta más su

energía cinética c) En ambos casos se llega con la misma rapidez d) No es posible determinarlo porque tienen aceleraciones distintas

2. Todas las masas que se indican en la figura parten del reposo y deslizan sobre

planos lisos de diferente longitud y ángulo de inclinación. Ordene de mayor a menor en base a la rapidez que adquiere el bloque al llegar a la parte inferior del plano.

3. Con relación al teorema del trabajo y la energía, cual(es) enunciados son correctos: a) No toma en cuenta las fuerzas no conservativas b) La energía mecánica permanece constante c) Si el trabajo realizado es nulo, el cuerpo está en reposo d) Si se realiza trabajo activo sobre un cuerpo, su energía mecánica aumenta

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE TRABAJO Y ENERGÍA Las siguientes tres preguntas se refieren a la siguiente situación: Un esquiador con una masa de 50 kg arranca desde la parte superior de una montaña de altura h medida desde el suelo. El esquiador se desliza hacia abajo y pasa por el punto A donde su velocidad es de 20 m/s y continúa hasta una segunda colina de 8 m de altura y llega al suelo sobre el otro extremo. Considere la pista sin fricción excepto en el tramo final C-D de 48 m de longitud. El esquiador se detiene en el punto D.

1) ¿Cuál es la rapidez del esquiador cuando alcanza el punto B?

Respuesta: 15.6 m/s 2) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza supuestamente constante que detiene al

esquiador en el tramo C-D.?

Respuesta: 208.3 N 3) Un segundo esquiador de mayor masa, con 75 kg, desciende desde la misma

montaña. En el punto C, comienza a actuar la fuerza de fricción sobre el segundo esquiador. ¿cuál será la distancia que viajará antes de detenerse?

Respuesta: 48 m

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TALLER No. 5 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE TRABAJO Y ENERGÍA

1. Un bloque de masa M es liberado del reposo a una altura R sobre su superficie horizontal. El bloque desliza a lo largo de un lazo semicircular sin fricción de radio R. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal ejercida sobre el bloque por el lazo cuando este ha alcanzado el fondo?

Respuesta: 3Mg 2. En la grafica se muestra cuatro diferentes posiciones

para un balón de básquet de 2 kg lanzado verticalmente hacia arriba. En el punto C el balón alcanza su máxima altura. La rapidez en el punto B y la altura en el punto D respectivamente son:

Respuesta: 16 m/s y 7.2 m 3. Una piedra de 15 kg baja deslizándose una colina nevada partiendo del punto A

con una rapidez de 10 m/s. No hay fricción en la colina pero si en el terreno plano entre la base y la pared. Después de recorrer 100 m en la zona áspera choca con resorte muy largo de constante 200 N/m. ¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar al punto B? y ¿Qué distancia comprimirá la piedra al resorte?

Respuesta: 22.2 m/s, 16.4 m

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CARGA ELECTRICA Y CAMPO ELECTRICO

Ejercicio # 1 Considere tres esferas metálicas idénticas, A, B y C. La esfera A tiene una carga de -2uC, la esfera B tiene una carga de -6uC; y la esfera C tiene una carga de +5uC. Las esferas A y B se tocan y luego se separan. Luego las esferas B y C se tocan y luego se separan. ¿La esfera C termina al final con un exceso o un déficit de electrones y con qué número de ellos?

a) Déficit, 3.12x1012 b) Exceso, 3.12 x1012 c) Exceso, 1.87x1013 d) Déficit, 6.24x 1012 e) Déficit, 3.74x1012

Como las esferas son metálicas (material conductor) y del mismo tamaño, al momento de ponerse en contacto dos esferas con estas características, la carga neta se distribuye uniformemente entre ellas.

Solución:

Primero las esferas A y B se topan, la carga neta de ellas es: . Como son del mismo tamaño esta carga se divide por partes iguales, quedando A y B con cargas de: . Luego las esferas B y C se topan, la carga neta de ellas es: La carga final de estas esferas al separarse es: Como la esfera C tiene carga positiva tiene un déficit de electrones y para saber la cantidad de electrones eliminados recordemos que la carga eléctrica de un objeto es un múltiplo entero de la carga del electrón ( ), por lo tanto.

Donde n es la cantidad de electrones que se han quitado de C en el proceso. Si n es positiva es porque hay un exceso. Ejercicio # 2 Una esfera conductora está al inicio eléctricamente neutra. Siguiendo el proceso que se indica en las figuras, determine cuál es la condición eléctrica de la esfera al final de estos eventos.

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a) La esfera sigue neutra. b) La esfera tiene carga positiva c) La esfera tiene carga negativa d) La esfera tiene una carga de igual magnitud que la de la barra e) Falta información

En la figura A la esfera está neutra. Solución:

Luego en la figura B se acerca una barra que tiene carga negativa (un exceso de electrones). La esfera sigue neutra porque no se tocan pero lo que ocurre internamente es que se induce

(“se obliga”) a que la carga positiva de la esfera se acerque a la carga negativa de la barra (signos contarios se atraen). Mientras que la carga positiva se aleja (ver figura derecha)

En la grafica C se cierra el interruptor haciendo que la esfera se conecte a tierra. Los electrones alejados por la barra tienen un camino para irse a tierra debido a que el interruptor se cerró. Quedando la esfera con carga positiva. (Esta carga no se ve afectado por la conexión a tierra ya que está allí debido a la barra). En la grafica D simplemente se desconecta de tierra, no pasa nada la carga tiene carga positiva. Finalmente en la grafica E se retira la barra haciendo que la carga positiva se distribuya en toda la esfera. Y de esa manera termina este proceso de inducción. Ejercicio # 3 Un cascarón conductor esférico tiene una carga neta de +4uC. A través de un pequeño agujero hecho en la esfera se introduce a su interior, sin hacer contacto con su superficie, una partícula con carga eléctrica de -2uC. Determine el valor de la carga eléctrica que aparecerá en la superficie interior y exterior del cascarón esférico luego de introducir la partícula en su interior. Superficie interior superficie exterior

a) -2uC +6uC b) +2uC +6uC c) -4uC +8uC d) +2uC +2uC

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e) +2uC +4uC

En la grafica de la derecha antes de colocar la partícula la carga de la esfera se encuentra en la superficie externa “cascara”. En la parte interna es cero. Está es una propiedad de los conductores siempre y cuando estén aislados eléctricamente. Como ocurre al principio.

Solución:

Al introducir la partícula de -2uC esta induce una carga de igual magnitud pero de signo contrario a la superficie interna. La carga neta de la esfera sigue siendo +4uC debido a que no se toca con la esferita. En la superficie externa quedará:

Ejercicio # 4 Tres cargas eléctricas se ubican en los vértices del triangulo de 1 m por lado como se indica en la figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga positiva .

a) 1.8x b) 1.8x c) 3.6x d) 3.6x e) 3.1x

La carga interactúa con las dos partículas Q (ejercen fuerzas). Primero lo que hacemos es dibujar las fuerzas eléctricas aplicadas en la carga

. Como es un triangulo equilátero los ángulos internos es de 60°. Luego aplicamos la ley de Coulomb para calcular la magnitud de estas fuerzas.

Solución:

La otra fuerza según los datos tiene el mismo valor Sacando las componentes de las fuerzas y sumándolos, tenemos.

a la derecha

139


Ejercicio # 5 El campo eléctrico en el punto A es cero. ¿Cuál es la carga de Q1?

a) +32uC b) -32uC c) El campo en A nunca puede ser cero d) +16uC e) -16uC

En el punto A debemos poner una carga de prueba (es positiva) para el cálculo del campo eléctrico. El campo eléctrico entre la carga de prueba y la carga -8uC se dirige a la izquierda (se atraen). Y como debe anularse el campo eléctrico el otro vector debe estar hacia la derecha (se repelen), por lo que el signo de la carga Q1 debe ser positiva. Igualando los módulos de los campos eléctricos.

Ejercicio #6

Solución:

Una gota de aceite se encuentra suspendida en reposo, entre dos placas conductoras como se muestra en la figura. El campo eléctrico entre las placas tiene un valor uniforme de 1000 N/C. Si la gota de aceite tiene una masa de 1g. ¿Cuál es el valor de la carga eléctrica de la gota de aceite?

a) 9.8mC b) -0.1uC c) -9.8mC d) -9.8uC e) -4.9uC

Actúan dos fuerzas, el peso y la fuerza eléctrica. Como sabemos el peso es hacia abajo por lo que la fuerza eléctrica debe necesariamente estar apuntando hacia arriba para que la gota se quede en equilibrio.

Solución:

Como la fuerza eléctrica y el campo eléctrico apuntan en direcciones contrarias la carga debe ser negativa. (Si fuerza positiva estos vectores apuntan en la misma dirección).

140


Aquí sacamos la magnitud de la carga previamente sabemos que es negativa ( ) Ejercicio # 7 En la grafica se muestra un diagrama de fuerzas entre dos cargas Q y q donde q<Q. La relación q/Q tiene el valor de:

a) 0.25 b) 2 c) 4 d) -1.8 e) 0.5

Como las líneas salen de Q esta carga debe ser positiva, mientras que q es negativa porque entran las líneas. También vemos que en Q tiene mayor valor de carga que q porque tiene mayor cantidad de líneas. Recuerde que la cantidad de líneas de campo es proporcional a la carga eléctrica, por lo tanto:

Solución:

Ejercicio # 8 Dos cargas positivas se alinean sobre el eje de las

, como se muestra en la figura. Q = 1uC, las distancias en la figura están en metros. La componente del campo eléctrico en el punto P es:

a) -216 N/C b) +216 N/C c) +432 N/C d) -432 N/C e) 0

Colocamos la carga de prueba en el punto P y dibujamos las fuerzas (atracción y repulsión). Para luego sumar (vectorialmente) estos vectores.

Solución:

El ángulo θ es: Ahora calculamos la magnitud de estas fuerzas eléctricas:

Como la carga es de la misma magnitud y se encuentra a la misma distancia . Debido a esa configuración observar que las componentes en x se cancelan y en el eje y queda:

141


Ejercicio # 10 La fuerza entre dos cargas puntuales es F. Si una de las cargas se triplica y la distancia entre ellas se duplica, entonces la nueva fuerza será:

a) 3F/4 b) 2F/3 c) 3F/2 d) 2F/9 e) 4F/3

El gráfico de la derecha muestra la condición inicial de las partículas, vamos a decir que ellas tienen cargas Q1 y Q2 separadas una distancia d. En esa condición inicial la fuerza entre ellas vale F (puede asumir atracción o repulsión).

Solución:

Cuando una de las cargas se triplica y la distancia se duplica la fuerza eléctrica tiene un nuevo valor. Aplicando nuevamente la ley de Coulomb, tenemos:

Por último, notemos que podemos dejar F1 en función de F:

Ejercicio #11 Un protón (m = 1.67x10-27 kg, q =1.602x10-19 C) se dispara perpendicularmente a una superficie en una región donde existe un campo eléctrico uniforme de 500 N/C como se indica en la figura. El valor máximo de la velocidad inicial del protón para que éste no haga contacto con la pared es:

a) 8.63x104 m/s b) 9.79x104 m/s c) 6.22x104 m/s d) 4.28x104 m/s e) 2.13x104 m/s

Como se trata de una carga positiva la fuerza va en la misma dirección del campo. El protón disminuye su velocidad y debe llegar al reposo justo antes de topar la pared.

Solución:

La velocidad con que sale disparado es:

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE ELECTROSTÁTICA

1. Clasifique las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas

• Una carga en movimiento seguirá siempre una línea de campo a medida que se acelera.

• Si una carga no está sobre una línea de campo, ella no experimenta ninguna fuerza.

• Las líneas de campo son reales. • La ley de Coulomb se aplica a un sistema de cargas que consiste en

cargas puntuales.

2. Un conductor cargado positivamente atrae un segundo objeto

¿Cuál de los siguientes enunciados pueden ser verdad? El segundo objeto es un conductor con carga El segundo objeto es un conductor con carga neta cero El segundo objeto es un aislador con carga neta cero

a) Solo I b) solo III c) solo I y II d) I, II y III

3. El diagrama muestra la carga inicial y la posición de tres esferas metálicas y del

mismo tamaño sobre pedestales aislantes. La esfera X se pone en contacto con la esfera Y y luego se separan. Luego la esfera Y se pone en contacto con la esfera Z y luego se separan. ¿Cuál es el valor de la carga sobre la esfera Z después que este procedimiento se termina?

a) – 1uC b) + 1uC c) + 4 uC d) – 2uC

4. Dos cargas puntuales se atraen mutuamente. ¿Qué se puede decir de sus cargas? a) Ambas positivas b) Ambas negativas c) Una negativa y otra positiva d) Una positiva y la otra neutra e) Ambas neutras

5. Una esfera de caucho se cuelga de una hebra de nylon. Si se acerca a la esfera una barra de vidrio cargada positivamente, pero no se lo toca a) La esfera de caucho resulta cargada pos inducción b) La esfera de caucho se carga por conducción c) La esfera de caucho resulta polarizada d) La esfera de caucho será repelida por la barra de vidrio

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE

ELECTROSTÁTICA

1. Si dos esferas metalicas de carga -14uC y 6uC se ponen en contacto entonces, la cantidad de electrones que se transfieren es de:

Respuesta: 6.3x1013

2. Dos esferas identicas A y B, transportan identicas cargas electricas. Si las esferas se encuentran separadas una distancia d se repelen con una fuerza de magnitud F. Una tercera esfera, identica a las otras dos pero inicialmente descargada se la hace tocar a la primera esfera y luego toca a la segunda esfera, y finalmente se la retira. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza electrica entre las esferas A y B?

Respuesta: 3F/8 3. Tres partículas cargadas electricamente estan ubicadas como se indica en la

figura. Determine el valor de la carga q2, de tal forma que la fuerza resultante sobre la carga q3 sea cero. a = 5 cm, b = 10 cm, q1 =4uC.

Respuesta: -1uC

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1. Indique verdadero o falso según las siguientes afirmaciones • Un cuerpo cargado tiene solo un tipo de carga • Un cuerpo cargado positivamente ha recibido protones • El campo eléctrico y la fuerza eléctrica son la misma cosa y están en la

misma dirección • Las líneas de campo son las trayectorias de las cargas en movimiento • La fuerza existe en un punto sin importar que haya una carga en él

2. Las partículas que se muestran en la figura cuelgan del techo por medio de

cuerdas (aislantes). ¿Cuál de las opciones podría indicar el signo de la carga de cada una de ellas para la configuración dada?

a) 1 2 3 4 5 6 b) - - - + + - c) + + - + 0 - d) + + + - 0 - e) - - + - - +

3. Una esfera conductora hueca

posee una carga neta + 3Q. Si en su interior, sin hacer contacto con la esfera se coloca una partícula con carga – 2Q como se indica en la parte A y después el conductor es conectado a tierra (parte B). De las afirmaciones a continuación:

I. El conductor en la parte B sigue teniendo carga neta de + 3Q II. En la parte A la carga en la superficie externa del cascaron es de + Q

III. Al final el conductor queda neutro debido a que se lo conecto a tierra IV. Fluye – Q desde la tierra al conductor V. Fluye +3Q del conductor a tierra

Cuales son verdaderas

a) Solo II b) I, III y V c) Solo IV d) II y IV e) Todos son verdaderos

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4. Clasifique verdadero o falso las siguientes afirmaciones • La fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas se altera si colocamos

otra partícula cargada entre ellos • Todo objeto con carga eléctrica tiene un exceso o un déficit de electrones • Si una carga es mayor que la otra dicha carga ejerce mayor fuerza sobre

la otra partícula • Si la carga de prueba se reduce a la mitad el campo eléctrico en dicha

región se duplica

5. Considere tres cargas positivas situadas como se indica en la figura. Cuál de las alternativas representa mejor la fuerza neta sobre la carga Q2. Desprecie los efectos de la masa.

6. Dos esferas conductoras se unen mediante un alambre también conductor. Se acerca una barra cargada positivamente (A) luego se separan las dos esferas y la esfera 2 se conecta a tierra (B). Luego la esfera 2 se desconecta de tierra (C). Finalmente se retira la barra (D).

a) Las dos esferas quedan cargadas positivamente b) Las dos esferas quedan cargadas negativamente c) La esfera 1 queda con carga positiva y la esfera 2 queda con carga negativa d) La esfera 2 queda con carga positiva y la esfera 1 queda con carga negativa e) La esfera 1 queda con carga negativa y la esfera 2 neutra

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE ELECTROSTÁTICA

1. Para que la carga –q experimente una fuerza neta en la dirección que se indica

en la figura. ¿Cuánto debe valer la carga Q?

Respuesta: -1.5q 2. Dos cargas están en los vértices de un triangulo de lados r = 10 cm, el valor de

la carga Q del grafico es de 5uC y el de q = -5uC. El campo eléctrico en el punto P tiene un valor de:

Respuesta: 4.5x106 N/C 3. Dos cargas positivas (+8mC y +2mC) están separadas 300 m. una tercera carga

es colocada a una distancia R de la carga de +8uC, en forma tal que la fuerza eléctrica resultante en la tercera carga debido a las otras dos es cero ¿Cuánto vale R?

Respuesta: 200 m

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE ELECTROSTÁTICA

4. Dos esferas de pesos iguales w = 120 N se encuentran en equilibrio. Si ambas

poseen cargas iguales pero de diferente signo q = 40 uC, Cuanto se deforma el resorte de constante elástica k = 400 N/m.

Respuesta: el resorte se alarga 10 cm

5. Una partícula es disparada perpendicularmente a una superficie en una región donde existe un campo eléctrico uniforme de 300 N/C como se indica en la figura. Si la partícula se detiene justo antes de hacer contacto con la pared, determina qué tipo de partícula es (protón o electrón) y el valor máximo de su velocidad inicial para que no se estrelle contra la pared.

Respuesta: electrón; 3.97x106m/s

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149


MAGNÉTISMO

Ejercicio # 1 Un electrón se mueve hacia la derecha e ingresa a una región en donde coexisten dos campos. El magnético se dirige hacia abajo como se muestra en la figura. Cual debe ser la dirección del campo eléctrico para que la partícula atraviese la región sin desviarse. Desprecie los efectos gravitatorios

a) Dirigiéndose a la izquierda b) Perpendicular saliendo del papel c) Dirigiéndose hacia arriba d) Perpendicular entrando al papel e) Dirigiéndose hacia la derecha

Solución: En la misma región coexisten los dos campos (eléctrico y magnético). Al ingresar el electrón no debe desviarse, debe seguir con la misma trayectoria, eso significa que la fuerza eléctrica debe tener la misma magnitud pero dirección contraria para que se cancelen.

Ejercicio # 2 Una partícula alfa se deslpaza con una velocidad v con magnitud de 550 m/s en un campo magnético uniforme B de magnitud 0.045 T. (una partícula alfa tiene una carga de +3.2x10-19 C y una masa de 6.6x10-27 kg). El ángulo entre v y B es de 52°. ¿Cuál es la aceleración de la partícula debido a la fuerza mangentica?

a) 6.2x10-18 m/s2 b) 6.2x10-8 m/s2 c) 9.4x108 m/s2 d) 9.4x108 m/s2 e) cero

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Nos ayudamos de un gráfico para explicar ciertas cosas. Como me piden la magnitud de la aceleración las direcciones de la velocidad y el campo es arbitrario. El vector velocidad esta en el plano x-z formando un ángulo de 52° con el campo. Para cargas positivas la dirección de la fuerza magnética la sacamos con el producto cruz (regla de la mano derecha) entre v y B.

Solución:

Como tenemos los modulos de v y B es mejor utilizar la ecuación escalar para hallar la magnitud de la fuerza magnetica.

La aceleración será:

Ejercicio # 3 Un protón (q = 1.6x10-19 C) moviendose a 4x106 m/s a través de un campo magnético de 1.7 T experimenta una fuerza de magnitud 8.2x10-13 N. ¿Cuál es el ángulo entre la velocidad del protón y el campo?

a) 90 b) 37.5 c) 48.9 d) 27.5

Utilizando la ecuación escalar, tenemos:

Solución:

Ejercicio # 4 Un protón se mueve en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme a 1x107 m/s y experimenta una aceleración de 2x1013 m/s2 en dirección +x cuando su velocidad está en la dirección +z. La magnitud y dirección del campo magnético es:

a) 2.09x10-2 T, dirección –y b) 1.14x10-5 T, dirección –y c) 2.09x10-2 T, dirección +y d) 1.14x10-5 T, dirección +y e) 1.14x10-5 T, dirección –x

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La grafica nos muestran los vectores que actuan en el protón, recordando que la aceleración tiene la misma dirección de la fuerza neta (solo actua fuerza magnética). El campo debe apuntar en el eje y porque debe ser perpendicular al campo (condición del problema) y ademas la fuerza magnetica siempre es perpendicular al campo. Al realizar la regla de la mano derecha B debe apuntar en el eje –y.

Solución:

Ejercicio # 5 Una partícula cargada es lanzada con una velocidad v = 2x104 m/s, siendo su carga q = +5x10-4 C. El espacio que cruza la partícula presenta dos campos uniformes como se muestra en la figura. El campo magnético tiene un valor de 1.2 T y el campo eléctrico un valor de 3.2x104 N/C. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza neta que experimenta la partícula en ese momento? Desprecie los efectos gravitatorios.

a) 4 N b) 28 N c) 16 N d) 12 N e) 20 N

Solución: CUIDADO con sumar o restar los campos (eléctrico y magnético), lo que se puede sumar son las fuerzas (eléctrica y magnética). Nos ayudamos de un grafico en tres dimensiones para dibujar las fuerzas y los campos.

La magnitud de la fuerza magnética es:

La magnitud de la fuerza eléctrica será:

La magnitud de la fuerza neta es:

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TALLER No. 1 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE MAGNETISMO

1. Una partícula cargada positivamente de masa m atravieza un espacio en el que

se sabe hay presente un campo magnético. Si la partícula no experimenta variación en su trayectoria ¿Cuál de las siguientes opciones no puede ser verdadera? a) Existe un campo eléctrico de igual magnitud que el campo magnético b) El campo magnético está en la misma dirección a la trayectoria de la

partìcula c) La fuerza magnética tiene la misma magnitud y dirección opuesta al peso

de la partícula d) El campo magnético está en dirección opuesta a la trayectoria de la partìcula e) La partìcula experimenta una fuerza neta nula.

2. En la figura se indica cuatro situaciones en lasque se ubican en el origen del

sistema en tres dimensiones particulas (positiva o negatica). Dibuje la fuerza magnetica en cada caso.

3. ¿Cuál de las siguientes proposiciones referidas a la fuerza magnética sobre una partícula cargada en un campo magnético es verdadero? a) Es máxima si la partícula está estacionaria b) Es cero si la partícula se mueve perpendicularmente al campo c) Es máxima si la partícula se mueve paralela al campo d) Actúa en la dirección del movimiento para una partícula cargada

positivamente e) Depende de la componente de la velocidad de la partícula que es

perpendicular al campo.

4. Señale verdadero o falso las siguientes afirmaciones a) Como toda fuerza la magnética puede realizar trabajo b) La fuerza magnética no cambia la energía cinética de un cuerpo por lo que

no realiza trabajo en ningún caso.

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TALLER No. 2 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE MAGNETISMO

1. En las cámaras 1 y 2 indicadas en la figura existen un campo magnético uniforme y un campo eléctrico uniforme respectivamente. Una partícula cargada negativamente ingresa a la cámara 1 y la abandona desviando su trayectoria como se indica, la partícula abandona la cámara 2 con una rapidez de 500 m/s. Desprecie los efectos gravitacionales.

a) Determine la dirección del campo magnético en la cámara 1

Respuesta: -z b) Determine la dirección del campo eléctrico en la cámara 2

Respuesta: -x c) Calcule la magnitud del campo magnético en la cámara 1

Respuesta: 0.06 T d) Calcule la magnitud del campo eléctrico en la cámara 2

Respuesta: falta información para dar una respuesta

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TALLER No. 3 PREGUNTAS CONCEPTUALES DE MAGNETISMO

1. Un electrón se mueve en el plano de la página a través de dos regiones del espacio a lo largo de la trayectoria punteada de la figura. En la región 1 existe un campo eléctrico dirigido al interior de la página (como se muestra). No hay campo eléctrico en la región 2 ¿Cuál es la dirección del campo magnético tanto en la región 1 como en la región 2? Ignore los efectos gravitatorios.

Región 1 región 2 a) -y +y b) +y -z c) +y +z d) -y +z e) -z +y

2. En la figura se muestran las trayectorias hechas por partículas de igual masa e

igual cantidad de carga eléctrica, moviéndose en un campo magnético B uniforme perpendicular al plano del dibujo. ¿Cuál de las proposiciones es correcta? a) El trabajo hecho por la fuerza magnética sobre la partícula 1 es mayor que el

hecho sobre la partícula 2 b) El trabajo hecho por la fuerza magnética sobre la partícula 2 es mayor que el

hecho sobre la partícula 1 c) La energía cinética de la partícula 1 es mayor d) La energía cinética de la partícula 2 es mayor e) Ambas tienen igual de energía cinética

3. ¿Qué trayectoria describe una partícula cargada que se mueve con una velocidad que es perpendicular al vector campo magnético? a) Rectilínea. b) Parabólica. c) Circular. d) Helicoidal.

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TALLER No. 4 PROBLEMAS DE DESARROLLO DE MAGNETISMO

1. Partículas cargadas eléctricamente se lanzan al interior de una región en la que existen simultáneamente un campo eléctrico y otro magnético, los dos uniformes. El campo eléctrico se muestra en la figura. Desprecie los efectos gravitacionales.

a) Determine dirección del campo magnético para que las partículas lanzadas no desvíen su trayectoria.

Respuesta: -z b) Determine la magnitud del campo magnético para que las partículas

lanzadas no se desvíen de la trayectoria.

Respuesta: 25 T 2. Un campo magnético uniforme de 200 T está dirigido verticalmente hacia

arriba. La fuerza magnética sobre un electrón moviéndose horizontalmente al Norte a 2x106 m/s es aproximadamente

Respuesta: 6.4x10-11 N; Oeste

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3. ¿Qué campo magnético uniforme aplicado perpendicular a un haz de electrones que se mueven a 1.3x106 m/s, se necesita para hacer que los electrones se desplacen en un arco circular de radio 0.35 m ?

Respuesta: 21uT

4. Un protón se mueve con una velocidad de en una región en la que el campo magnético es ¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta?

Respuesta: 2.34x10-18 N 5. Un pato que vuela rumbo al Norte a 15 m/s pasa sobre Atlanta, donde el

campo magnético terrestre es de 5x10-5 T en una dirección de 60° debajo de la línea horizontal que corre de norte a sur. Si el pato tiene una carga positiva neta de 0.04uC ¿Cuál es la fuerza magnética que actúa sobre él?

Respuesta: 26*10-12 N; oeste

69540608 Folleto Fisica Nivel a2

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