6ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI PARA ALUMNADO DE 2º DE ... · 28 sigma nº 33 • sigma 33...

28 SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.

SIGMA

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6ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI PARA ALUMNADO DE 2º DE E.S.O

OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA

Alberto Bagazgoitia (*)

Durante el curso 2007-08 se celebró en Euskadi la 6ª Olimpiada Matemática para alum-nos de 2º de ESO, Olimpiada Eduardo Chillida, convocada por el Departamento de Educación Universidades e Investigación del Gobierno Vasco.

Haciendo un somero balance hay que empezar diciendo que la participación ha sido de 86 Centros, lo que supone una muy buena respuesta por parte del profesorado, a quien desde estas líneas queremos reconocerle y agradecerle su dedicación y esfuerzo, sin los cuáles esta actividad no podría llevarse adelante.

Así pues, en este sentido, el balance, positivo. Y no está de más recordar que en este nuevo curso quedarán implantados los nuevos currícula para toda la Educación Secundaria Obligatoria. Curriculum en el que se introduce el concepto de competencia matemática con lo que, entre otras cosas, conlleva de aplicación de los conocimientos y destrezas a distintos contextos, la importancia de la resolución de problemas o el desarrollo de las capacidades de razonamiento.

Y en esta línea de trabajo la Olimpiada Matemática cobra, si cabe, mayor actualidad, pues éstos son los grandes ejes que guían la propuesta de actividades que se plantean desde esta Olimpiada. Bien es verdad que todavía puede ser vista, en algunos centros, como una actividad interesante pero aislada y sería necesario que la resolución de pro-blemas, en sentido amplio, se incorporase a la enseñanza habitual.

Los objetivos, convocatoria y desarrollo de la 6ª Olimpiada pueden encontrarse en la página web www.saretik.net/mateolinpiada. Simplemente recordaremos aquí que se estructura en dos fases:

La primera, que se realiza en cada uno de los centros participantes, (se celebró el 7 de marzo) y en la que cada centro selecciona dos o tres alumnos, dependiendo del número de grupos de 2º de ESO. Éstos son los que pasarían a la segunda fase.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Vitoria.

Diciembre 2008 • 2008ko Abendua 29

SIGMA

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EUSKADIKO 6. OLINPIADA MATEMATIKOA D.B.H.ko 2.MAILAKO IKASLEENTZAT

EDUARDO CHILLIDA OLINPIADA

Alberto Bagazgoitia (*)

Aurreko ikasturtean, 2007-08 alegia, DBHko 2.mailako ikasleentzat 6. Olinpiada Matematikoa, Eduardo Chillida Olinpiada, Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza Sailak deituta, burutu zen Euskadin.

Balorazio azkarra eginda, esan behar den lehenengo gauza da 86 ikastetxek hartu dutela parte. Beraz, irakasleen erantzuna oso ona izan da eta hemendik eskertu nahi diegu beraien esfortzu eta laguntzagatik, ezinbestekoa baita Olinpiada aurrera eraman ahal izateko.

Hortaz, zentzu horretan, balantzea positiboa izan da. Eta gogoratu nahi dugu ikasturte berri honetan Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzarako curriculum berria indarrean sartuko dela. Curriculum honetan konpetentzia edo gaitasun kontzeptua sartu da eta horrek, besteak beste, ezagutza eta prozedurak testuinguru ezberdinetara aplikatzera, problemen ebazpenaren garrantzia kontuan hartzera eta arrazoinamendu-gaitasunen garapena indartzera garamatza.

Eta lan-ildo honetan Olinpiada Matematikoak gaurkotasun gehiago hartzen du, izan ere horiek dira Olinpiada honetatik bultzatzen diren jardueren lerro nagusiak. Egia da ikastetxe batzuetan oraindik jarduera hori interesgarria baina isolatuta moduan ikusten dela eta beharrezkoa litza-teke problemen ebazpena, zentzu zabalean, ohiko lanera eranstea.

6. Olinpiadaren helburuak, deialdia eta garapenari buruzko informazio zehatza www.saretik.net/mateolinpiada web orrialdean aurkituko duzue. Bakarrik hemen gogoratuko dugu bi aldi-tan egin zela:

Lehenengoa martxoaren 7an burutu zen, ikastetxe partehartzaile bakoitzean. Ikastetxe bakoi-tzak bigarren aldira pasatuko ziren bi edo hiru ikasle hautatu behar zituen, DBHko 2.mailako talde-kopuruaren arabera.

(*) Gasteiz Berritzeguneko Matematika Aholkularia.

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Para esta primera fase se inscribieron 86 centros de la Comunidad, repartidos de la siguiente forma:

CENTROS PÚBLICOS PRIVADOS TOTAL

ÁLAVA 10 10 20

GIPUZKOA 12 11 23

BIZKAIA 16 27 43

TOTAL 38 48 86

La 2ª Fase se realizó el sábado 10 de mayo de 10h. a 12h., en cada una de las tres capitales de la CAV:

• En Bilbao: en el IES Miguel de Unamuno.

• En Donostia: en el IES Usandizaga-Peñaflorida.

• En Vitoria-Gasteiz: en el IES Samaniego.

Tenemos que agradecer especialmente la colaboración de los profesores de estos centros, que ayudaron a organizar esta 2ª fase en la que en total tomaron parte 182 alumnos.

La entrega de premios tuvo lugar en Lakua, en el edificio del Gobierno Vasco en Vitoria, y a ella estuvieron invitados además de los 12 alumnos clasificados en los primeros lugares, sus padres y profesores. El acto fue presidido por el Sr. Consejero de Educación, Universidades e Investigación D. Tontxu Campos, acompañada en la mesa por D. Luis Chillida quien, en una breve intervención, recordó la relación de su padre con las matemáticas y por el Director de Innovación Pedagógica D. Juanjo Agirrezabala.

Tras la entrega de premios intervinieron D. Pedro Alegría, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la UPV, y D. Juan Carlos Ruiz de Arcaute, experto en juegos de magia, que presentaron el espectáculo “Magia y Matemáticas” en el que pusieron de manifiesto la presencia de las matemáticas en numerosos juegos y actividades lúdicas y que fue seguido con mucho interés por el diverso público presente.

Terminamos agradeciendo a todo el profesorado su participación y esperamos contar de nuevo con todos vosotros y también con aquellos que todavía no se han animado en la 7ª Olimpiada Matemática de Euskadi “Olimpiada Eduardo Chillida”, de cuya convocatoria tendréis puntual información a lo largo de este curso 2008-09.

6ª. Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de E.S.O. Alberto Bagazgoitia


Euskadiko 6. Olinpiada Matematikoa D.B.H.ko 2.mailako ikasleentzat Alberto Bagazgoitia

Lehenengo aldi honetarako Erkidegoko 86 ikastetxek eman zuten izena. Hona hemen lurralde bakoitzeko zenbakiak:

IKASTETX. PUBL. PRIB. GUZT.

ARABA 10 10 20

GIPUZKOA 12 11 23

BIZKAIA 16 27 43

GUZTIRA 38 48 86

2. aldia E.A.E.ko hiru hiriburuetan burutu zen, maiatzaren 10ean 10etatik 12etara:

• Bilbon: Miguel de Unamuno BHI.• Donostian: Usandizaga-Peñaflorida BHI.

• Vitoria-Gasteizen: Samaniego BHI.

2. aldi honetan 182 ikasle hartu zuten parte eta eskerrak eman nahi dizkiegu bereziki antola-tzen lagundu zuten ikastetxe hauetako irakasleei.

Sari-banaketa Eusko Jaurlaritzaren Lakuako egoitzan burutu zen, eta 12 ikasle sarituez gain guraso eta irakasleak ere bertan izan ziren. Hezkuntza Unibertsitate eta Ikerkuntza Sailburua den Tontxu Campos jauna ekitaldiaren buru izan zen eta berarekin batera Luis Chillida jauna –nork bere aitak matematikarekiko zituen harremanak gogoratu zituen- eta Hezkuntza Berriztatzeko Zuzendaria Juanjo Agirrezabala bertan egon ziren.

Sari-banaketaren ondoren Pedro Alegríak, EHUko Matematika Departamenduko irakasle titu-larrak, eta Juan Carlos Ruiz de Arcautek, magia jokoetan adituak “Magia eta Matematika” ikuskizuna aurkestu ziguten. Agerian utzi ziguten matematikaren presentzia joko askotan eta bertaratuok interesez eta arretaz jarraitu genituen hizlarien hitzak.

Bukatzeko, eskerrik asko berriro guztiei zuen parte hartzeagatik eta Euskadiko 7.Olinpiada Matematikoan elkar ikusiko dugulakoan, jakinarazi nahi dizuegu ikasturte honetan zehar, deiaren informazio zehatza jasoko duzuela eta dagoeneko gonbidatuta zaudete parte har-tzera.

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SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.

ANEXOS1.- Problemas de la 1ª Fase.

2.- Problemas de la Fase Final.

3.- Relación de Ganadores.

4.- Relación de Premios.

5.- Centros Participantes.

6.- Entrega de premios. Fotografías.

7.- Prueba Individual de la Olimpiada nacional.

ANEXO 1: PROBLEMAS DE LA 1ª FASE

1. ADIVINANZA

a) Le pides a un compañero que piense un número de dos cifras y que siga las siguientes indicaciones:

i) Tomar la cifra de las decenas y multiplicarla por 2.

ii) Sumar 13 a ese resultado.

iii) Multiplicar por 5 el resultado anterior.

iv) Sumarle la cifra de las unidades del número pensado.

“Ahora dime el resultado final y te adivinaré el número que habías pensado”. Explica el proceso que sigues para poder adivinar ese número.

b) Inventa tú un proceso que te permita adivinar un número de tres cifras.

Solución:

a) Si el número pensado es ab, el resultado final será 10a+65+b, por tanto bastará con restar 65 a dicho resultado para obtener el número inicial.

2. EMBALDOSANDO EL PATIO

Kepa y Ane tienen un patio cuadrado con 16 grandes baldosas que quieren colorear, unas de blanco y otras de negro. Kepa quiere pintarlo de manera que las cuatro filas respeten el diseño siguiente: (b:blanco,, n:negro):

(b,b,b,n),, (b,b,n,b),, (n,b,b,n),, (n,n,b,n)

Ane, en cambio, quiere que las 4 columnas respeten su diseño de la forma:

(n,n,n,b),, (b,b,n,b),, (b,b,b,n),, (n,b,n,b)

¿Puedes encontrar un diseño que contente a los dos?

Explica cómo lo haces.



ERANSKINAK1.- 1.aldiko problemak.

2.- Azken aldiko problemak.

3.- Irabazleen zerrenda.

4.- Sari-zerrenda.

5.- Parte hartu duten ikastetxeen zerrenda.

6.- Sari-banaketa: argazkiak.

7.- Olinpiada nazionaleko banakako froga.

1. ERANSKINA: 1.ALDIKO PROBLEMEN SOLUZIOAK

1. ASMAKIZUNA

a) Ikaskide bati 2 zifrako zenbaki bat pentsatzea eskatzen diozu eta gero ondoko pausuak jarrai ditzan:

i) Hartu hamarreko zifra eta biderkatu 2tik.

ii) Gehitu emaitza horri 13.

iii) Biderkatu aurreko emaitza 5-etik eta

iv) Ateratako emaitzari, gehitu hasierako zenbakiaren bateko zifra.

“Orain esadazu azken emaitza eta hasieran pentsatu zenuen zenbakia asmatuko dizut”. Azaldu zenbaki hori asmatzeko erabilitako prozedura.

b) Sor ezazu 3 zifrako zenbaki bat asmatzeko prozeduraren bat.

Soluzioa:

a) Pentsatutako zenbakia ab bada, azkeneko emaitza 10a+65+b izango da, beraz hasierako zenbakia lortzeko nahikoa izango da emaitza horri 65 kentzea.

2. PATIOA BALDOSATZEN

Kepak eta Anek 16 baldosa handiko patio karratua margotu nahi dute; batzuk beltzez eta besteak zuriz. Kepak 4 lerroak ondorengo diseinuaren arabera margotu nahi ditu: (z:zuria ,, b:beltza):

(z,z,z,b),, (z,z,b,z),, (b,z,z,b),, (b,b,z,b)

Anek, ordea, 4 zutabeak ondorengo diseinuaren arabera margotu nahi ditu:

(b,b,b,z),, (z,z,b,z),, (z,z,z,b),, (b,z,b,z)

Aurkituko al duzu diseinuren bat biak pozik izateko?

Azaldu nola egin duzun.

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Solución:

Hay diferentes maneras de comenzar:

Por ejemplo:

Partiendo del diseño de Kepa la 1ª columna tendrá que tener dos baldosas blancas y dos negras y la única que cumple esa condición es la última columna dada por Ane. Análogamente la 4ª columna tendrá 1 blanca y 3 negras. Y eso se corres-ponde de forma única con la primera opción dada por Ana. Por tanto, ya podemos fijar la 1ª y 4ª columnas:

La 2ª y 3ª columnas se completan por simple eliminación.

3. PAPILGRADIS

En una clase de Aritmética se les pregunta a los alumnos cuántas patas tienen en total una gallina, seis perros y siete “papilgradis” (es el nombre en latín de un pequeño arácnido). Koldo dice que 44, Ion que 72, Ane que 65 y Edurne que 82.

a) ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?b) Edurne ha recogido 77 papilgradis y quiere agruparlos en cajas de 4 y de 5.¿Cuántas

cajas deberá utilizar? Da todas las soluciones.

Solución:

a) Nº total de patas: 2+6 . 4 + 7 x ==> Sólo Edurne tiene razón y cada papilgradi tiene 8 patas.

b) 4x+5y = 77 ➡ (18,1), (13,5),(8,9), (3,13).

Cajas de 4 18 13 8 3

Cajas de 5 1 5 9 13

4. LA FUENTE

Alrededor de una fuente circular se ha construido un cuadrilátero como el de la figura.

¿Cuánto mide el lado DC?



Soluzioa:

Hasteko badaude modu desberdinak:

Adibidez:

Keparen diseinutik abiatuta, 1. zutabeak 2 baldosa zuri eta 2 beltz izan beharko ditu eta baldintza hori betetzen duen aukera bakarra Anek emandako azken zutabea da. Era berean, 4. zutabeak 1 zuri eta 3 beltz izango ditu. Eta hori, era bakarrean, Anek emandako 1. aukerari dagokio. Beraz, lehenengo eta laugarren zutabeak finkatzeko aukera dugu:

2. eta 3. zutabeak ezabapen prozesu sinple baten bidez lor daitezke.

3. PAPILGRADISA

Aritmetika klasean, oilo batek, sei txakurrek eta zazpi papilgradisek guztira zenbat hanka dauzkaten galdetzen zaie ikasleei . Koldok 44 dio, Ionek 72, Anek 65 eta Edurnek 82.

a) Nork du arrazoia? Zergatik?b) Edurnek 77 papilgradis bildu ditu eta 4ko eta 5eko kutxetan sartu nahi ditu. Zenbat kutxa

erabili beharko du? Eman soluzio guztiak.

Soluzioa:

a) Guztira 2+6 . 4 + 7 x anka ==> Bakarrik Edurnek du arrazoia eta papilgradis bakoitzak 8 hanka dauzka.

b) 4x+5y = 77 ➡ (18,1), (13,5),(8,9), (3,13).

4ko kutxak 18 13 8 3

5eko kutxak 1 5 9 13

4. ITURRIA

Zirkulu formako iturri baten inguruan lauki bat egin da, ondoko irudian bezala.

Zein da DC aldearen luzera?

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Solución:

Basta ver que:

a + b = 4b + c = 7a + d = 3

Por tanto: a + b + c + d = 10

Luego c + d = 10 - a – b = 10 – 4 = 6

O bien darse cuenta que la suma de los dos lados opuestos son iguales y DC = 10 – 4 = 6.



Soluzioa:

Hau ikusita:

a + b = 4b + c = 7a + d = 3

Beraz: a + b + c + d = 10

Eta c + d = 10 - a – b = 10 – 4 = 6

Edo beste era batean, konturatuko bagina kontrako aldeen batura berdina dela: 3+7 = 4+ DC eta DC = 6.

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ANEXO 2: PROBLEMAS DE LA FASE FINAL

1. EMBALDOSADO BICOLOR

L = 5 L = 7 L = 9

i) ¿Cuántas baldosas blancas se necesitarán para pasar del cuadrado de lado 9 al de lado 11?

ii) ¿Cuántas se necesitarán para pasar del cuadrado de lado 21 al de 23? ¿De qué color tendrán que ser?

iii) En general, para pasar del cuadrado de lado L al de L+2, ¿cuántas baldosas se necesi-tarán? ¿De qué color serán?

Explica cómo lo haces.

Solución:

i) 40 ii) 88. Blanco iii) 4L+4 ,,o equivalentemente (L+2)2 – L2

Si L = 2n + 1

2. FIGURA GEOMÉTRICA

Si el lado del hexágono es de 10 cm. ¿cuánto mide la superficie no sombreada interior a la circunferencia mayor?



2. ERANSKINA: AZKEN ALDIKO PROBLEMAK

1. BI KOLORETAKO ZOLADURA

L = 5 L = 7 L = 9

i) Zenbat baldosa zuri beharrezkoak dira 9 unitateko aldea daukan karratutik 11 unitate daukanera pasatzeko?

ii) Zenbat beharrezkoak dira 21eko aldea daukan karratutik 23kora pasatzeko? Zein kolo-retakoa izan beharko dira?

iii) Orokorrean, L aldeko karratutik L+2 karratura pasatzeko, zenbat baldosa beharko ditugu? Zein koloretakoa izango dira? Azaldu nola egin duzun.

Soluzioa:

i) 40

ii) 88. Zuria

iii) 4L+4 ,,edo (L+2)2 – L2

Si L = 2n + 1

2. IRUDI GEOMETRIKOA

Hexagonoaren aldeak 10 cm neurtzen badu, zenbat neurtuko du koloreztaturik ez dagoen zirkunferentzia handiaren barruko azalerak?

40



Solución:

3. NÚMEROS TRILLIZOS

Si elegimos un número natural al azar, es difícil que sea a la vez divisible por 13 y por 37. Sin embargo comprueba que si a partir del número 35 construimos el número de 6 cifras que se obtiene repitiéndolo tres veces, en este caso el 353535, resulta que sí es divisible por 37 y por 13.

¿Ocurrirá siempre lo mismo partiendo de cualquier otro número de dos cifras?

Explica la respuesta.

Solución:

ababab = ab * 10101 y 10101 = 3*7*13*37



Soluzioa:

3. ZENBAKI HIRUKIAK

Zoriz aukeratuz gero zenbaki arrunt bat, aldi berean 37kin eta 13kin zatigarria izatea oso zaila da. Ordea, 35 zenbakia hiru aldiz errepikatuz gero lortzen den sei zifrako zenbakia, 353.535 alegia, bai dela.

Gauza bera gertatuko al da beste edozein bi zifrako zenbakikin?

Azaldu erantzuna.

Soluzioa:

ababab = ab * 10101 y 10101 = 3*7*13*37

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4. EL CONCURSO

i) En un concurso televisivo se va a repartir un premio entre 10 personas siguiendo el siguiente procedimiento: Los participantes se colocan en fila y

a) se eliminarán todos los que estén en lugares impares: 1,3,5,...

b) entre los que queden, se volverán a eliminar los que ocupen lugares impares y así sucesivamente, hasta que quede sólo uno, que será el ganador.

Si te ofrecen la posibilidad de elegir el lugar en el que colocarte, ¿cuál elegirías? Justifica tu respuesta.

ii) Y si fuesen 35 participantes, ¿en qué lugar te colocarías? ¿Y si fuesen 100?

¿Puedes dar un resultado general para cualquier número de participantes? ¿Al cabo de cuántas rondas se decidirá el ganador?

Solución:

i) 1ª Vuelta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2ª Vuelta: 2 4 6 8 10

3ª Vuelta: 4 8

Gana el que inicialmente ocupaba el lugar 8º.

ii) En la 1ª vuelta quedan los que ocupan lugares pares.

En la 2ª vuelta quedan los que ocupan lugares múltiplos de 4.

En la 3ª vuelta quedan los que ocupan lugares múltiplos de 8.

....

En la n-sima vuelta quedan los que ocupan lugares múltiplos de 2n.

Si el número N de concursantes es tal que 2n ≤ N < 2n+1 harán falta n rondas y ganará el concursante colocado en el lugar 2n.

• Si hay 35 participantes: ganará el colocado en el lugar 32 en la 5ª ronda.

• Si hay 100 participantes: (26 ≤ 100 < 27 ) ganará el colocado en el lugar 64 en la 6ª ronda.



4. LEHIAKETA

i) Telebistako lehiaketa batean 10 pertsonen artean sari bat emango da hurrengo prozedu-rari jarraitzen: Partehartzaileak hilaran kokatuko dira eta

a) Leku bakoitietan (1,3,5,...) dauden guztiak kanporatuko dira.

b) Geratzen diren artean, berriro kanporatuko dira leku bakoitietan daudenak eta horrela hurrenez hurren, bakar bat geratu arte, irabazlea izango dena.

Aukera emango balizute aukeratzeko lekua zu kokatzeko, zein aukeratuko zenuke? Azaldu erantzuna.

ii) Eta 35 partehartzaile izango balira, zein lekutan kokatuko zenuke zure burua? Eta 100 balira?

Emango al duzu ebazpen orokorra edozein partehartzaile kopurua izanda ere? Zenbat txanda pasa eta gero erabakiko da irabazlea?

Soluzioa:

i) 1. Txanda: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. Txanda: 2 4 6 8 10

3. Txanda: 4 8

Irabazlea hasieran 8.lekuan kokatuta zegoena izango da.

ii) 1. txandan leku bikoitietan daudenak geratzen dira.

2. txandan 4ren multiploko lekuetan daudenak geratzen dira.

3. txandan 8ren multiploko lekuetan daudenak geratzen dira.

....

n. txandan 2n multiploko lekuetan daudenak geratzen dira.

N partehartzaileen kopurua baldin badago: 2n ≤ N < 2n+1 n txanda beharko dira eta iraba-zlea 2n lekuan kokatuta dagoena izango da.

• 35 partehartzaile baldin badaude: 32. lekuan kokatuta dagoena irabaziko da, 5. txandan.

• 100 partehartzaile baldin badaude: (26 ≤ 100 < 27 ) 64. lekuan dagoena irabaziko da, 6. txandan.

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ANEXO 3: RELACIÓN DE GANADORES 1.- Ander García San Miguel Co. P. Andrés de Urdaneta-Loiu 2.- Javier Canto Llorente Co. Niño Jesús-Vitoria-Gasteiz 3.- Jon Asier Bárcena Petisco Co. Vizcaya-Zamudio 4.- Fco. Javier Martínez Aguinaga IES Samaniego-Laguardia 5.- Rolando Barry Laso Co. Vizcaya-Zamudio 6.- Iñaki Dorronsoro Maioz IES Loinazpe-Beasain 7.- Teresa Terroba Elizalde IES Mogel Isasi-Eibar 8.- Daniel Pérez Rodríguez IES Mendebalde-Vitoria-Gasteiz 9.- Mikel Aranburu Guridi IES J.Mª Iparagirre-Urretxu 10.- Jon Ander Gómez Anuncibay IES Badaia-Iruña de Oca 11.- Itziar Ruiz Oar-Arteta IES M. Unamuno-Bilbao 12.- Irene Alonso Sanz Co. Ayalde-Loiu

ANEXO 4: RELACIÓN DE PREMIOS

1º Y 2º CLASIFICADOS

• Diploma.

• Beca del G.V. para estudiar inglés durante un mes en Inglaterra.

• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.

• Invitación a participar en la Olimpiada Española, que se celebró del 24 al 28 de junio en Murcia.


• Diploma.

• Beca del G.V. para estudiar inglés durante un mes en Inglaterra.



• Cámara digital.


7º al 12º CLASIFICADOS

• Calculadora gráfica.


PROFESORADO

• Libro: Matemagia.



3 ERANSKINA: IRABAZLEEN ZERRENDA 1.- Ander García San Miguel Co. P. Andrés de Urdaneta-Loiu 2.- Javier Canto Llorente Co. Niño Jesús-Vitoria-Gasteiz 3.- Jon Asier Bárcena Petisco Co. Vizcaya-Zamudio 4.- Fco. Javier Martínez Aguinaga IES Samaniego-Laguardia 5.- Rolando Barry Laso Co. Vizcaya-Zamudio 6.- Iñaki Dorronsoro Maioz IES Loinazpe-Beasain 7.- Teresa Terroba Elizalde IES Mogel Isasi-Eibar 8.- Daniel Pérez Rodríguez IES Mendebalde-Vitoria-Gasteiz 9.- Mikel Aranburu Guridi IES J.Mª Iparagirre-Urretxu 10.- Jon Ander Gómez Anuncibay IES Badaia-Iruña de Oca 11.- Itziar Ruiz Oar-Arteta IES M. Unamuno-Bilbao 12.- Irene Alonso Sanz Co. Ayalde-Loiu

4 ERANSKINA: SARI-ZERRENDA

1. ETA 2. SAILKATUAK:

• Diploma.

• E.J.ko hilabeteko beka bana Ingalaterrean ingelesa ikasteko.

• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.

• Mertzian ekainaren 24-28 bitartean, egin zen Olinpiada espainarrean parte hartzeko gonbidapena.


• Diploma.

• E.J.ko hilabeteko beka bana Ingalaterrean ingelesa ikasteko.



• Kamara digitala.


7.ETIK 12.ERA SAILKATUAK:

• Kalkulagailu grafiko bana.


IRAKASLEENTZAT

• Liburua: Matemagia.

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ANEXO 5: RELACIÓN DE CENTROS PARTICIPANTES 5. ERANSKINA PARTE HARTU DUTEN IKASTETXEEN ZERRENDA

ÁLAVA / ARABA

AGURAIN/SALVATIERRA IES ANITURRI BHI

ARRAZUA-UBARRUNDIA IPI IKAS BIDEA IKASTOLA IPI

IRUÑA OKA/IRUÑA DE OCA IES BADAIA BHI

KANPEZU/CAMPEZO IES CAMPEZO BHI

LAGUARDIA IES SAMANIEGO-LAGUARDIA BHI

LAUDIO/LLODIO CPEIPS LA MILAGROSA HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS HOGAR SAN JOSE HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS NIÑO JESUS HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS PADRE RAIMUNDO OLABIDE HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS URSULINAS HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS VIRGEN NIÑA HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPES JESUS OBRERO BHIP

VITORIA-GASTEIZ IES EKIALDEA BHI

VITORIA-GASTEIZ IES KOLDO MITXELENA BHI

VITORIA-GASTEIZ IES MENDEBALDEA BHI

VITORIA-GASTEIZ IES MIGUEL DE UNAMUNO BHI

VITORIA-GASTEIZ IES SAMANIEGO BHI

GIPUZKOA

ANDOAIN IES LEIZARAN BHI

AZPEITIA IES UROLA IK. AZKOITIA-AZPEITIA BHI

BEASAIN IES LOINAZPE BHI

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS AXULAR LIZEOA HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS EKINTZA HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS ESKIBEL HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS INGLES HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS LA ASUNCION HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS NIÑO JESUS DE PRAGA HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS NTRA. SRA. DE ARANZAZU HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS SAN ALBERTO MAGNO HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN IES LAUAIZETA IKASTOLA BHI

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN IES USANDIZAGA-PEÑAFLORIDA-AMARA BHI

EIBAR IES MOGEL ISASI BHI

ERRENTERIA IES CRISTOBAL GAMON BHI



HERNANI IES ELIZATXO BHI

LASARTE-ORIA IES LANDABERRI BHI

LASARTE-ORIA IES LASARTE-USURBIL BHI

LEZO IES LEZO BHI

TOLOSA CPES HIRUKIDE ESKOLAPIOAK BHIP

URRETXU IES J. Mª IPARAGIRRE

ZUMARRAGA CPEIPS LA SALLE-LEGAZPI HLBHIP

BIZKAIA

AMOREBIETA-ETXANO CPEIPS EL CARMELO HLBHIP

AMOREBIETA-ETXANO CPEIPS LAUAXETA IKASTOLA HLBHIP

BALMASEDA CPEIP ZUBI-ZAHARRA IKASTOLA HLHIP

BALMASEDA IES BALMASEDA BHI

BARAKALDO CPEIPS NTRA. SRA. DE BEGOÑA HLBHIP

BARAKALDO CPEIPS SAN PAULINO DE NOLA HLBHIP

BILBAO CPEIPS ALEMAN SAN BONIFACIO HLBHIP

BILBAO CPEIPS BERRIO-OTXOA HLBHIP

BILBAO CPEIPS EL SALVADOR HLBHIP

BILBAO CPEIPS FATIMA HLBHIP

BILBAO CPEIPS IBAIGANE HLBHIP

BILBAO CPEIPS MADRE DE DIOS HLBHIP

BILBAO CPEIPS PUREZA DE MARIA HLBHIP

BILBAO CPEIPS TRUEBA DE ARTXANDA HLBHIP

BILBAO CPEPS NTRA. SRA. DE BEGOÑA LBHIP

BILBAO IES GABRIEL ARESTI BHI

BILBAO IES LUIS BRIÑAS-SANTUTXU BHI

BILBAO IES MIGUEL DE UNAMUNO BHI

BILBAO IES SAN ADRIAN BHI

BILBAO IES TXURDINAGA BEHEKOA BHI

BILBAO IPI DEUSTUKO IKASTOLA IPI

DURANGO CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP

DURANGO CPEIPS SAN ANTONIO-STA. RITA HLBHIP

DURANGO CPEIPS SAN JOSE-JESUITAK HLBHIP

ERMUA IES ANAITASUNA IKASTOLA BHI

GALDAKAO IES ELEXALDE BHI

GERNIKA-LUMO IES GERNIKA BHI

KARRANTZA HARANA/VALLE DE C IES CARRANZA BHI

LEIOA CPEPS GAZTELUETA LBHIP

LEIOA IES ARTAZA-ROMO BHI

LOIU CPEIPS AYALDE HLBHIP

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LOIU CPEIPS LAURO IKASTOLA HLBHIPLOIU CPEIPS PADRE ANDRES URDANETA HLBHIPMARKINA-XEMEIN CPEIPS BERA-KRUZ IKASTOLA HLBHIPPORTUGALETE CPEIPS ASTI-LEKU IKASTOLA HLBHIPPORTUGALETE CPEIPS STA. MARIA HLBHIPPORTUGALETE IES BALLONTI BHIPORTUGALETE IES JUAN ANTONIO ZUNZUNEGUI BHISANTURTZI CPEIPS SAN JOSE HLBHIPSANTURTZI CPEIPS STA. MARIA-HIJAS DE LA CRUZ HLBHIPSOPELANA IES SOPELANA BHIZALLA IES ZALLA BHIZAMUDIO CPEIPS VIZCAYA HLBHIP



6. ERANSKINA: SARI-BANAKETAREN

ANEXO 6: ENTREGA DE PREMIOS

Sari-banaketaren ekitaldi honetan parte hartu zuten: Tontxu Campos jaunak, Hezkuntza Unibertsitate eta

Ikerkuntza Sailburua, Luis Chillida jaunak eta Juanjo Agirrezabala.jaunak, Hezkuntza Berriztatzeko Zuzendaria

Acto de entrega de premios en el que intervinieron el Sr. Consejero de Educación Universidades e

Investigación D.Tontxu Campos, D. Luis Chillida y el Director de Innovación Educativa D. Juanjo Agirrezabala

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ANEXO 7: PRUEBA INDIVIDUAL DE LA XIX OLIMPIADA NACIONAL (MURCIA JUNIO 2008)

PROBLEMA 1

Habrás observado que los productos que se encuentran en los comercios, incluidos los libros, llevan un código de barras que permite su identificación. Formando parte de este código aparece el número de 13 dígitos correspondiente al producto.

Este número está formado por varios bloques de dígitos que represen-tan la zona geográfica, la empresa y el producto concreto. El último dígito es lo que se denomina un "dígito de control", ya que sirve para detectar algunos de los errores que pueden producirse durante el manejo de dicho número como, por ejemplo, equivocarse al introducir uno de los dígitos o intercambiar dos dígitos consecutivos.

Para determinar el dígito de control correspondiente se calcula la suma de todas las cifras que, de izquierda a derecha, ocupan un lugar par, se multiplica el resultado por tres y se le suman todas las cifras que ocupan un lugar impar; el dígito de control es el número que hay que sumar a este total para que sea múltiplo de 10.

Así, como las doce primeras cifras del código anterior son 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2,

3 x (2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 ) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1) = (3 x 22) + 26 = 66 + 26 = 92

el dígito de control que le corresponde es el 8 (92 + 8 = 100) y el número completo es el que se ve en la figura.

El ISBN actual de cada libro funciona de la misma manera.

a) En el ISBN de un libro, 9 7 8 8 4 2 3 9 6 8 n 4 5, su antepenúltima cifra está borrosa, ¿qué cifra será? (No olvides que el 5 es el dígito de control).

b) Tenemos un libro en cuyo ISBN, 9 7 8 9 5 8 7 0 4 3 6 n 6, la penúltima cifra está borrosa, ¿podemos saber qué cifra es la que debería aparecer? (No olvides que el último 6 es el dígito de control).

c) Las doce primeras cifras del ISBN de la Ortografía de la Lengua Española, de la Real Academia Española, que tenemos en nuestra biblioteca son 9 7 8 8 4 2 3 9 9 2 5 0

¿Qué dígito de control le corresponde?¿Cambiaría el dígito de control si se intercambian las dos últimas cifras del número anterior?¿Puedes poner otros ejemplos diferentes en los que el intercambio de dos cifras nohaga variar el dígito de control?¿En qué casos, al intercambiar dos cifras, no varía el mencionado dígito de control?

PROBLEMA 2

Si entras a Murcia por la zona norte lo harás por la Avenida D. Juan de Borbón, en la que se encuentra la Plaza de los Cubos, llamada así porque en ella hay un conjunto de tres cubos con un peso de 20 toneladas, una altura de 10 metros y un coste total de 35 millones de las antiguas pesetas, y es el que aparece en el cartel de esta olimpiada.



7. ERANSKINA: ESPAINAKO XIX. OLINPIADAKO BANAKAKO FROGA (MURTZIA 2008)

1. PROBLEMA

Dakizuenez, komertzioetan aurkitzen diren produktuek, liburuak barne, beren identifikaziorako barra kode bat daukate. Kode honetan produktuari dagozkion 13 digitu agertzen dira.

Zenbaki hau produktu bera, enpresa eta zonalde geografikoa ordezkatzen dituen digitu multzo batzuez osatuta dago. Azken digituari “kontrol digitua” deritzo, zenbaki horren erabilpe-nean gerta daitezkeen akats batzuk detektatzeko balio baititu. Esaterako, digituren bat sartzerakoan huts egiten denean edo ondoz ondoko bi digitu aldatzen direnean.

Dena delako kontrol digitua zehazteko, eskerretik eskuinera leku bikoitia hartzen duten zifra guztien batuketa kalkulatzen da, emaitza hirutik biderkatzen da eta leku bakoitia hartzen duten zifra guztiak gehitzen zaizkio; lortu dugun zifra horri hamarren multiploa izateko gehitu behar diogun zenbakia, kontrol digitua izango da.

Izan ere, ondoko kodearen lehenengo 12 zifra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 direnez:

3 x ( 2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 ) + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 ) = ( 3 x 22 ) + 26 = 66 + 26 = 92

Dagokion kontrol digitua 8a da (92 + 8 = 100) eta zenbaki osoa irudian ikusten dena da.

Liburu bakoitzaren ISBN-ek berdin funzionatzen du.

a) Liburu baten ISBN-an, 9 7 8 8 4 2 3 9 6 8 n 4 5, azken-hirugarren zifra ez da ondo ikus-ten. Zer zifra izango ote da? (ez ahaztu 5a kontrol digitua dela).

b) Beste liburu batean ISBN-ren azken aurreko zifra ez da argi ikusten, 9 7 8 9 5 8 7 0 4 3 6 n 6. Zein ote da agertu behar den zifra? (kontutan izan 6a kontrol digitua dela).

c) Gure liburutegian daukagun Ortografía de la lengua españolaren ISBNren lehenengo 12 zifra 9 7 8 8 4 2 3 9 9 2 5 0 dira.

Zein da dagokion kontrol digitua?Azken bi zifra elkar trukatzen badira, aldatuko da kontrol digitua?Bi zifren elkar trukatzeak kontrol digitua aldatzen ez duen beste adibide batzuk jar dit-zakezu?Zein kasutan, bi zifra elkar trukatzean, ez da aldatzen kontrol digitua?

2. PROBLEMA

Murtziara iparraldetik sartuz gero, D.Juan de Borbon etorbidetik izango da, hantxe Plaza de los Cubos dago, bertan 20 tonako pisua, 10 metroko altuera eta 35 milioi pesetako kostua dituen 3 kubo daude. Irudi hau aurtengo olinpiadetako kartelean ager-tzen da.

Murtziako Unibertsitatearen Matematika Fakultateko atearen aurrean, antzeko estruktura ipintzea aztertzen ari da. 3 metroko

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La Facultad de Matemáticas de la Universidad de Murcia proyecta colocar, delante de su puerta, una estructura similar al cubo exterior de esa plaza. Quieren que tenga tres metros de lado y lo van a construir con listones de madera de sección cuadrada de 20 cm de lado.

a) ¿Qué longitud total de listón se utilizará en la costrucción del cubo? Explica cómo lo calculas.

b) Si la madera utilizada tiene una densidad de 600 kg/m3, ¿cuánto pesará la escultura?c) Para protegerla del sol y la lluvia la quieren recubrir toda ella (incluso la parte que descansa

en el suelo) con una lámina plastificada. ¿Cuántos metros cuadrados se necesitarán?

PROBLEMA 3

Un Matemago propone durante su actuación las siguientes cuestiones:

• Primero nos dice que ha pensado un número natural; lo ha multiplicado por 6; al resul-tado le ha restado 4; luego ha dividido entre 2; a lo que le ha dado le ha restado 8; y finalmente ha sumado 35. Como resultado ha obtenido el número 40. ¿Puedes decir qué número pensó el Matemago?

• Ahora el Matemago piensa de nuevo un número. Le suma el triple de su consecutivo, le añade 21 al resultado y, finalmente, calcula la mitad de lo que había obtenido. El resultado final es el triple del número inicial, ¿puedes decir qué número pensó el Matemago?

A continuación el Matemago invita al público a que le plantee cuestiones a él. Una de las personas le propone lo siguiente:

• «He pensado un número, le he sumado el triple del número pensado, después he sumado 12 a lo que me dio, y el resultado lo he dividido entre 2. Finalmente he restado el doble del número pensado al principio. El resultado final ha sido 6. Adivina el número que pensé al principio».

Otro de los asistentes le propone al Matemago:

• «Piensa un número natural cualquiera; súmalo consigo mismo; a lo que obtengas súmale 15; divide el resultado entre 3; finalmente resta el número pensado al principio. Dime qué número natural obtienes y yo te diré qué número pensaste».

¿Qué opinas de estos dos aprendices de mago? ¿Qué puedes decir de cada una de estas dos propuestas?

PROBLEMA 4

El alcalde de Cubilandia quiere adornar el jardín de la ciudad con una escultura, formada toda ella por cubos, en clara alusión al nombre de ésta.

El artista encargado toma 64 bloques cúbicos de cemento de un metro de lado y los coloca, como se indica en la figura 1, formando un gran cubo que descansa en el suelo. Una vez colocados pinta todas las caras visibles con pintura roja.

a) Antes de presentar el trabajo al alcalde lo enseña al concejal de urbanismo quien, como la ve demasiado sencilla, le sugiere que traslade los cubos de las cuatro esquinas al centro de la cara superior, como se indica en la figura 2.

Al hacerlo, lógicamente, quedan al descubierto zonas sin pintar que deberán cubrirse de pintura. Si el artista se limita a trasladar (sin girarlos) los cuatro cubos a su nueva posición ¿Cuántos metros cuadrados deberá pintar para que quede, de nuevo, toda la escultura roja? Razona la respuesta.



aldea izatea nahi dute eta lauki formako ebakidura duten zurezko listoiekin eraiki gura dute, listoi hauen aldea 20 cm-koa da.

a) Zer listoi luzera osoa erabiliko da kuboaren eraikuntzan? Azaldu nola kalkulatzen duzun.

b) Erabiltzen dugun zurak 600 kg/m3-ko dentsitatea badauka, zenbat pisatuko duen eskul-tura?

c) Euritik eta eguzkitik babesteko bere osotasunean plastifikatutako xafla batekin estali nahi dute (lurrean dagoen zatia ere bai). Zenbat metro kuadro beharko dituzte?

3. PROBLEMA

Matemago batek bere emanaldian zehar ondoko galdera hauek plazaratzen ditu:

• Zenbaki natural batean pentsatu duela dio; 6tik biderkatu du; emaitzari 4 kendu dio; gero 2tik zatitu du; atera zaion zifrari 8 kendu dio eta bukatzeko 35 gehitu dio. Lortutako zenbakia 40a da. Zein da pentsatu zuen zenbakia?

• Matemagoak beste zenbaki batean pentsatu du. Ondoz ondokoaren hirukoitza batzen dio, emaitzari 21 gehitzen dio eta bukatzeko lortu duenaren erdia kalkulatzen du. Azken emaitza hasierako zenbakiaren hirukoitza da. Zein da matemagoak pentsatu duen zenba-kia?

Jarraian, matemagoak publikoa bere galderak planteatzera gonbidatzen du. Pertsona batek zera proposatzen dio:

• “ Zenbaki batean pentsatu dut, pentsaturiko zenbakiaren hirukoitza batu diot, emaitzari 12 gehitu diot eta lortutakoa 2tik zatitu dut. Bukatzeko, hasieran pentsatutako zenbakia-ren bikoitza kendu diot. Azken emaitza 6 da. Zein da hasierako zenbakia?”

Beste batek hauxe proposatzen du:

• “Nahi duzun zenbaki naturalean pentsatu. Bere buruarekin batu; emaitzari 15 gehitu; lortutakoa 3tik zatitu; bukatzeko hasieran pentsatutako zenbakia ken ezaiozu. Esan zer zenbakia lortu duzun eta hasieran pentsatu duzun zenbakia esango dizut.”

Zein da azken bi pertsona hauei buruzko daukazun iritzia? Zer esan dezakezu proposamen bakoitzari buruz?

4. PROBLEMA

Cubilandiaren alkateak kuboz eratutako eskultura batekin apaindu nahi du hiriko parkea.

Eskultoreak metro bateko aldea duten porlanezko 64 bloke kubiko hartu ditu eta lehenengo irudian agertzen diren moduan ipini ditu. Behin ipinita begi bistan dauden aurpegi guztiak gorriz pintatzen ditu.

a) Alkateari aurkeztu baino lehen hirigintza zinegotziari erakusten dio lana. Haren ustez, oso eskultura sinplea da eta lau bazterreko kuboak goiko aurpegiaren erdira pasatzea proposatzen dio bigarren irudian ikusten den bezala. Hau egitean, pintatu gabeko aur-pegi batzuk agerian geratu dira. Eskultoreak kuboak biratu barik tokiz aldatzen baditu, zenbat metro koadro pintatu beharko ditu eskultura osoa gorriz egon dadin? Arrazoitu erantzuna.

b) Hala eta guztiz ere, ezer pintatu aurretik, alkateari erakustea erabakitzen du. Honek uste du politago geratzen dela mugitutako kuboak eskulturaren alboko aurpegien erdian

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b) No obstante, antes de pintar nada, decide mostrarla al alcalde, quien opina que la escultura quedaría mucho mejor colocando los cuatro cubos que se han movido en el centro de cada una de las caras late-rales, como se muestra en la figura 3. De hacerlo así, nuevamente trasladando sin girar nada, ¿cuántos metros cuadrados es necesario pintar?

c) Dando por definitiva ésta última versión de la escultura, el artista observa que, si antes de pintar las zonas descubiertas, gira algunos cubos para aprovechar el máximo las caras ya pintadas del cubo original, se ahorra pintura. ¿Qué cubos hay que girar y cómo hay que hacerlo para que el número de metros cuadrados que haya que pintar sea mínimo? (Aclaración: se puede girar cualquiera de los 64 cubos aunque, naturalmente, sólo debe hacerse un giro si con ello ahorramos pintura).



ipiniz gero hirugarren irudian erakusten den bezala. Horrela eginez gero, eta kuboak biratu barik tokiz aldatzen badira, zenbat metro koadro pintatu beharko ditu eskultura osoa gorriz egoteko?

c) Azken eskultura hau behin-betiko aukeratuz gero, eskultorea zer-taz konturatzen da: pintatu baino lehen kubo batzuk biratzen baditu, pintatutako aurpegiak ahal den neurrian aprobetxatzeko, pintura aurrezten duela. Zeintzuk dira biratu behar dituen kuboak eta nola biratu behar dira pintatu beharreko metro kuadroak ahalik eta gutxien izateko.(Argibidea: 64 horietatik edozein kubo bira daiteke, baina bakarrik biratuko ditugu biraketa horrekin pintura aurrezten badugu).

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