7. variables aleatorias discretas. distribución binomial

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISTRIBUCIÓN BINOMIAL

UNIDADE 7UNIDADE 7


1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria

discreta.3. Función de distribución dunha variable aleatoria

discreta.4. Media, varianza e desviación típica dunha variable

aleatoria discreta.5. Distribución binomial ou de Bernouilli6. Función de probabilidade dunha distribución

binomial.7. Función de distribución dunha distribución binomial. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e

desviación típica dunha distribución binomial.


1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.

Variable aleatoria: Chámase variable aleatoria a toda lei (función) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un número real.



Exemplo 1:Consideramos o experimento aleatorio lanzar 3 moedas, e a cada posible resultado de dito experimento asignámoslle o número real que indica o número de caras que obtivemos.Esta función que

denotamos por X (X=nº de caras obtidas) é unha variable aleatoria e ten por percorrido {0, 1, 2, 3}

1ª moeda

C X

C X C X

C X C X C X C X

CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX

3 2 2 1 2 1 1 0

2ª moeda

3ª

moeda



Exemplo 2: Consideramos o experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, e a cada un dos puntos mostrais asociámoslle un número real que é a suma dos puntos obtidos entre os dous dados.

Esta función X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria e ten por percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}



1º dado

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

32 4 5 6 7 3 4 5 6 7 48 5 6 7 8 9

(4,1)

5

(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)

(5,6)(5,5)

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

6 7 8 9 10 6 7 8 9 1011 7 8 9 101112

2º dado



Exemplo 3: Consideremos o experimento

aleatorio “elixir ao chou un alumno do noso instituto”; os puntos mostrais son os 700 alumnos do instituto. A cada posible resultado

asignámoslle un número real que será a estatura de dito alumno. X=estatura do alumno é unha

variable aleatoria; o percorrido desta variable aleatoria é máis complicado de establecer, aínda que podemos supor que se trata dun intervalo, por exemplo [1.40, 1.95] m, a variable podería tomar calquera valor entre os infinitos do intervalo.



Exemplo 4: Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha

certa marca etiquetado como 1Kg “. Os puntos mostrais do experimento son todos os paquetes de café de dita marca e

etiquetados con ese peso. Asignámoslle a cada resultado do experimento un número real que será o peso real

do paquete. X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria; o seu percorrido podemos

consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg, e pode tomar calquera valor dos infinitos de dito intervalo.



O percorrido, ao menos teórico, está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios.

Continuas

O percorrido da variable aleatoria é finito ou infinito numerable

Discretas

Tipos de variables aleatorias



Exemplos:No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” a variable aleatoria X=nº de caras obtidas é unha variable aleatoria discreta, pois o seu percorrido {0,1,2,3} é finito.No experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, a variable aleatoria X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria discreta, pois o seu percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} é finito.



No experimento aleatorio “elixir ao chou un alumno do noso instituto”; X=estatura do alumno é unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido é un intervalo [1.40, 1.95] m

No experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha certa marca etiquetado como 1Kg”; X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido podemos consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg


2. Función de probabilidade dunha variable 2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.aleatoria discreta.

Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta Chámase función de

probabilidade dunha variable aleatoria discreta X á aplicación que asocia a cada un dos valores que pode tomar dita variable, e que denotamos como xi, a súa probabilidade. Dita función pódese expresar

mediante unha táboa, e soe representarse mediante un diagrama de barras.

1

p1

p2

.

.

.pn

x1

x2

.

.

.xn

pi=p(X=xi)X



Exemplo 1 No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas” con percorrido {0,1,2,3}.

Calculemos a súa función de probabilidade:



p1+p2+p3+p4=1

P1=p(X=0)=p(“nºde caras obtidas sexa 0”)==p({XXX})=1/8=0.125p2=p(X=1)=p(“nº de caras obtidas sexa 1”)==p({CXX, XCX, XXC})=3/8=0.375p3=p(X=2)=p(“nº de caras obtidas sexa 2”)==p({CCX, CXC, XCC})=3/8=0.375p4=p(X=3)=p(“nº de caras obtidas sexa 3”)==p({CCC})=1/8=0.125

x1=0

x2=1

x3=2

x4=3

pi=p(X=xi)X=nº de caras obtidas



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3

0.125

0.375 0.375

0.125



Exemplo 2: No experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, a variable aleatoria X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria discreta e o seu percorrido é {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Calculemos a súa función de probabilidade:



p1+p2+p3+p4+...+p11=1

p1=p(X=2)=p(“a suma de puntos sexa 2”)=p({(1,1)})=1/36=0.028p2=p(X=3)=p(“a suma de puntos sexa 3”)=p({(1,2),(2,1)})=2/36=0.056p3=p(X=4)=p(“a suma de puntos sexa 4”)=p({(1,3),(2,2),(3,1)})=3/36=0.083p4=p(X=5)=p(“a suma de puntos sexa 5”)=p({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)})=4/36=0.111

p5=p(X=6)=p(“a suma de puntos sexa 6”)==p({(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)})=5/36=0.139p6=p(X=7)=p(“a suma de puntos sexa 7”)==p({(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)})=6/36=0.167p7=p(X=8)=p(“a suma de puntos sexa 8”)==p({(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)})=5/36=0.139p8=p(X=9)=p(“a suma de puntos sexa 9”)=p({(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)})=4/36=0.111p9=p(X=10)=p(“a suma de puntos sexa 10”)=p({(4,6),(5,5),(6,4)})=3/36=0.083p10=p(X=11)=p(“a suma de puntos sexa 11”)=p({(5,6),(6,5)})=2/36=0.056

p11=p(X=12)=p(“a suma de puntos sexa 12”)=p({(6,6)})=1/36=0.028

x1=2x2=3x3=4x4=5

x5=6

x6=7

x7=8

x8=9x9=10x10=11

x11=12

pi=p(X=xi)X= suma dos puntos dos dous dados



00.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.10.110.120.130.140.150.160.17

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


3. Función de distribución dunha variable aleatoria 3. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta.discreta.

Función de distribución dunha variable aleatoria discreta X.

A función de distribución, F, dunha variable aleatoria discreta X é aquela que a cada valor x, nº real, lle asigna a probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores menores ou iguais que x. F(x)=p(X≤x)

Como consecuencia desta definición:

0≤F(xi)=p(X≤xi)=p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xi)≤1



Exemplo 1: Calculemos a función de

distribución F para a variable aleatoria X=“nº de caras” no experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”.

Lembremos a súa función de probabilidade:

p1+p2+p3+p4=1

p1=p(X=0)=1/8=0.125p2=p(X=1)=3/8=0.375p3=p(X=2)=3/8=0.375p4=p(X=3)=1/8=0.125

0123

pi=p(X=xi)X=nº de caras obtidas



A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada:

( )

≤=+++==+=+=+==≤=≤

<≤=++==+=+==≤=≤

<≤==+==+==≤=≤

<≤===≤=≤

<=≤

=

xseXpXpXpXpXpxXp

xseXpXpXpXpxXp

xseXpXpXpxXp

xseXpXpxXp

xsexXp

xF

318

1

8

3

8

3

8

1)3()2()1()0()3()(

328

7

8

3

8

3

8

1)2()1()0()2()(

212

1

8

4

8

3

8

1)1()0()1()(

108

1)0()0()(

00)(


f(x)=0

f(x)=1/8

f(x)=1/2

f(x)=7/8

f(x)=1

Serie 1

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x

y


E a súa gráfica é escalonada:



Exemplo 2: Calculemos a función de

distribución F para a variable aleatoria X=“suma dos puntos das caras superiores” no experimento aleatorio “lanzar 2 dados”. Lembremos a súa función de probabilidade:

p1+p2+p3+p4+...+p11=1

p1=p(X=2)=1/36

p2=p(X=3)=2/36

p3=p(X=4)=3/36

p4=p(X=5)=4/36

p5=p(X=6)=5/36

p6=p(X=7)=6/36p7=p(X=8)=5/36

p8=p(X=9)=4/36

p9=p(X=10)=3/36

p10=p(X=11)=2/36

p11=p(X=12)=1/36

23456789101112

pi=p(X=xi)X= suma dos puntos dos dous dados



A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada:

( )

≤==++++++++++==++=+==≤

<≤=+++++++++==++=+==≤

<≤=++++++++==++=+==≤

<≤=+++++++==++=+==≤

<≤=++++++==++=+==≤

<≤=+++++==++=+==≤

<≤=++++==++=+==≤

<≤=+++==+=+=+==≤

<≤=++==+=+==≤

<≤=+==+==≤

<≤===≤

<

=≤=

xseXpXpXpXp

xseXpXpXpXp

xseXpXpXpXp

xseXpXpXpXp

xseXpXpXpXp

xseXpXpXpXp

xseXPXpXpXp

xseXpXpXpXpXp

xseXpXpXpXp

xseXpXpXp

xseXpXp

xse

xXpxF

12136

36

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)12(...)3()2()12(

121136

35

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)11(...)3()2()11(

111036

33

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)10(...)3()2()10(

10936

30

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)9(...)3()2()9(

9836

26

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)8(...)3()2()8(

8736

21

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)7(...)3()2()7(

7636

15

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1)6(...)3()2()6(

6536

10

36

4

36

3

36

2

36

1)5()4()3()2()5(

5436

6

36

3

36

2

36

1)4()3()2()4(

4336

3

36

2

36

1)3()2()3(

3236

1)2()2(

20

)(


f(x)=0

f(x)=1/36

f(x)=3/36

f(x)=6/36

f(x)=10/36

f(x)=15/36

f(x)=21/36

f(x)=26/36

f(x)=30/36

f(x)=33/36

f(x)=35/36

f(x)=1

Serie 1

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

x

y


E a súa gráfica é escalonada:



Propiedades da función de distribución:

•F(x) é constante en cada intervalo [xi,xi-1) e a súa gráfica é, polo tanto, escalonada.

•F(x) é discontinua en xi

•F(x) é crecente pois é unha suma acumulativa de probabilidades e estas son sempre positivas.

•p(a<X≤b)=F(b)-F(a). A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores no intervalo (a, b] é a diferenza entre os valores da función de distribución nos extremos do intervalo.


4. Media, varianza e desviación típica dunha 4. Media, varianza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta.variable aleatoria discreta.

Media, esperanza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta.

Retomemos agora o noso primeiro exemplo: Experimento aleatorio=“lanzar 3 moedas” Variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”

E realicemos de xeito empírico 40 veces, por exemplo, dito experimento anotando de cada vez o nº de caras obtidas.

Supoñamos que o nº de caras obtidas en cada un dos 40 experimentos é:

2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1.



X é entón unha variable estatística discreta, e os resultados obtidos pódense colocar nunha táboa de frecuencias. Tamén podemos calcular a súa media aritmética e a súa varianza. Á hora de calcular a media aritmética, empregaremos a fórmula:

Do mesmo xeito, á hora de calcular a varianza:

∑ ∑ ∑∑

= = =

= ⋅=⋅=⋅=⋅

=n

i

n

i

n

iii

ii

ii

n

iii

hxN

fx

N

fx

N

fxx

1 1 1

1

∑ ∑ ∑∑

= = =

= −⋅=−⋅=−⋅=−⋅

=n

i

n

i

n

iii

ii

ii

n

iii

xhxxN

fxx

N

fxx

N

fxs

1 1

2

1

22222

21

2

2



∑ xi2.hi

=123/40∑ xi.hi

=63/401N=40

015/4072/4036/40

0149

015/4036/4012/40

3/4015/4018/404/40

315184

0123

xi2.hixi

2xi.hihi=fi/Nfixi

Obtemos:

594.0575.140

123

575.140

63

24

1

222

4

1

=−=−⋅=

==⋅=

∑

∑

=

=

iii

iii

xhxs

hxx



Pero se lembrades a lei dos grandes números, cando un experimento aleatorio se repite un nº de veces moi elevado, as frecuencias relativas dun suceso estabilízanse ao redor dun número ao que chamábamos probabilidade.

Traballemos coas probabilidades e pensemos nos resultados esperados á vista de ditas probabilidades.



Se pensamos teoricamente no que acontecería ao realizar o experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” 40 veces, de acordo coas probabilidades obteríamos:

∑ xi2.hi=∑xi

2.pi =24/8=3

∑ xi.hi=∑xi.pi =12/8=1.5

1N=40

03/812/89/8

0149

03/86/83/8

5/40=1/815/40=3/815/40=3/85/40=1/8

515155

0123

xi2.hi=xi

2.pixi2xi.hi=xi.pihi=pifixi



Calculando a media aritmética e a varianza desta situación absolutamente teórica obtemos:

A media aritmética desta situación teórica chámase media ou esperanza da variable aleatoria X e represéntase por μ, e a varianza desta situación teórica chámase varianza da variable aleatoria X e represéntase por σ2.

75.025.235.18

24

5.18

12

24

1

24

1

2222

4

1

4

1

=−=−=−⋅=−⋅=

==⋅=⋅=

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

ii

iiii

i iiiii

xpxxhxs

pxhxx



Media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta X.

Chámase media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta X, e represéntase por μ, á expresión :

Varianza dunha variable aleatoria discreta Chámase varianza dunha variable aleatoria discreta X e represéntase por σ2, á expresión:

Ou ben :Desviación típica dunha variable aleatoria discreta É a raíz cadrada da súa varianza

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=n

iiinn pxpxpxpx

12211 ...µ

∑=

−⋅=−⋅++⋅+⋅=n

iiinn pxpxpxpx

1

22222

221

21

2 ... µµσ

∑=

⋅−=⋅−++⋅−+⋅−=n

iiinn pxpxpxpx

1

222

221

21

2 )()(...)()( µµµµσ

2σσ =



Exemplo 2: Calculemos agora a media ou esperanza matemática μ e a varianza

σ2 da variable aleatoria X=“suma dos puntos” asociada ao experimento aleatorio “lanzar dous dados”

∑xi2.pi = 1974/36Μ = ∑ xipi = 252/36 = 71

4/3618/3648/36100/36180/36294/36320/36324/36300/36242/36144/36

49162536496481100121144

2/366/3612/3620/3630/3642/3640/3636/3630/3622/3612/36

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

23456789101112

xi2.pixi

2xipipixi



Obtemos

38.54938.54736

1974 211

1

222

=−=−=−⋅= ∑=i

ii px µσ

711

1

=⋅= ∑=i

ii pxµ

41.238.52 ===

σσ


5. Distribución binomial ou de Bernouilli5. Distribución binomial ou de Bernouilli

Distribución binomial ou de Bernouilli (Ars coniectandi 1713)

Unha variable aleatoria discreta X dise que segue unha distribución binomial se se verifica:

•O experimento aleatorio é un experimento composto de varios simples iguais ou probas.

•Estes experimentos simples ou probas teñen só dous posibles resultados, A e B.



•O resultado obtido en cada un dos experimentos simples é independente dos obtidos nos exp. simples anteriores.

•A probabilidade do resultado A, e polo tanto a de B, non varia ao longo do experimento.

•Se chamamos p á probabilidade de que se verifique o resultado A e q á de que se verifique B, p+q=1



B A

B A

B A B A

B A

B A B A

B A B A B A B A

B A B A B A B A

B A B AB AB A



Unha variable aleatoria binomial X queda perfectamente determinada coñecendo o nº de probas (n) e a probabilidade (p) de que se verifique o suceso que contabiliza e, polo tanto, exprésase B(n,p), n e p reciben o nome de parámetros de distribución.



Exemplo 1: A variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” asociada ao experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”, segue unha distribución binomial.

O experimento aleatorio está composto por tres experimentos simples iguais “lanzar unha moeda”.

Cada experimento simple “lanzar unha moeda” ten dous posibles resultados A=“saír cara” e B=“saír cruz”.



O resultado de cada lanzamento dunha moeda é independente do acontecido nos lanzamentos anteriores.

As probabilidades dos sucesos A e B non varían nos tres lanzamentos. p=p(A)=p(“saír cara”)=1/2 q=p(B)=p(“saír cruz”)=1/2

Vemos tamén que p+q=1



O esquema do experimento, como podemos obter nesta aplicación obtida na páxina de recursos educativos do ITE, sería:


6. Función de probabilidade dunha distribución 6. Función de probabilidade dunha distribución binomial.binomial.

Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta de tipo binomial.

Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, é dicir:

Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais.Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con

probabilidades p e q que se manteñen constantes en tódalas probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores.X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)



O espazo mostral do experimento aleatorio está formado por 2.2.2...2=2n elementos.

Cada un destes elementos é do tipo ABBAAB...AB onde A repítese k veces e B n-k veces.

Tomemos un destes elementos onde as A estean agrupadas, e polo tanto as B tamén AAA...ABBB...B, repetíndose A k veces e B n-k veces.

Como os sucesos son independentes: p(AA...ABB...B)=p(A).p(A)...p(A).p(B).p(B)...p(B)= =p.p...p.q.q...q=pk.qn-k



Aínda que ocupen distintos postos, todos aqueles elementos do espazo mostral formados por k veces A e n-k veces B teñen a mesma probabilidade pk.qn-k.

E cantos elementos temos nesta situación? Dito número son as permutacións con repetición de n elementos onde A repítese k veces e B repítese k-n veces: PRn

k,n-k .

Como ( )

=

−⋅=−

k

n

knk

nPR knk

n !!

!,



Concluímos que a función de probabilidade da variable aleatoria binomial X vén dada pola fórmula:

p(X=k)= =p(“o nº de veces que aconteza A sexa k”)=

knk qpk

n −⋅⋅

=



Nota:

O termo obtido para a función de probabilidade deste tipo de variables aleatorias lembra o termo xeral do desenvolvemento do binomio de Newton.

De aí o nome de distribución binomial.

( ) ∑=

−⋅⋅

=+

n

i

inin qpi

nqp

0


5. Función de probabilidade dunha distribución 5. Función de probabilidade dunha distribución binomial binomial

Experimento de Galton.

Unha idea de distribución binomial pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce):Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos

distribuídos regularmente. Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas

procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar.Unha bóla tiña a mesma probabilidade de chocar con cada un dos

cravos e seguir un camiño (1/2)As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no

borde inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da función de probabilidade dunha binomial B(n,1/2).

Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/quincunce.html



Exemplo: Nun cuestionario de 8 preguntas só hai que contestar SI ou NON.

Acha a probabilidade de, sen coñecer a resposta, acertar 5 preguntas.

Acha a probabilidade de acertar polo menos 6.



Ao non coñecer ningunha resposta, ante unha das cuestións temos a mesma probabilidade de acertala (A) que de errala (E).

Esta situación repítese ao longo das 8 preguntas do cuestionario.



O experimento aleatorio consiste en responder ao chou as 8 cuestións, consta de 8 probas onde as probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das preguntas non inflúe nas posteriores.

A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de respostas acertadas” é unha variable aleatoria binomial B(8,½)



Acha a probabilidade de, sen coñecer a resposta, acertar 5 preguntas.

p(“acertar 5 preguntas”)=p(X=5)= = 32

7

256

56

2

56

2

1

!3!5

!8

2

1

2

1

5

8

5

88

8585585 ===

⋅

⋅=

⋅

⋅

=⋅⋅

−−qp



Acha a probabilidade de acertar polo menos 6.

p(“acertar polo menos 6 preguntas”)= =p(“acertar 6,7 ou 8”)= =p(X=6)+p(X=7)+p(x=8)=

256

37

256

11

256

18

256

128

2

1

!0!8

!8

2

1

!1!7

!8

2

1

!2!6

!8

2

1

2

1

8

8

2

1

2

1

7

8

2

1

2

1

6

8

888

081726

=⋅+⋅+⋅

=

⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅



Nota: Cando nunha binomial o parámetro n aumenta, os cálculos empezan a ser complicados polo que se recorre ás táboas da binomial para poder traballar


6. Función de probabilidade6. Función de probabilidadedunha distribución binomial.dunha distribución binomial.

TÁBOA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Exemplo:Nunha binomial B(9,0.25),

calcula p(X=6).

Búscase n=9,k=6 en vertical e p=0.25 en horizontal.

P(X=6)=0.9987

Na páxina web http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm atopamos unha aplicación que dá os resultados directamente.

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm










7. Función de distribución dunha variable aleatoria 7. Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial.discreta binomial.

Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial.

Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, é dicir:

Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais.Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con

probabilidades p e q que se manteñen constantes en todas as probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores.X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)

• X toma valores enteiros (0, 1, 2,....)



Atendendo á definición de función de distribución dunha variable aleatoria discreta, dado x un número real calquera:

F(x)=p(X≤x)=p(X≤t)= sendo t o nº enteiro maior non superior a x

=p(X=0)+p(X=1)+...+P(x=t)=

sendo k=0,1,2.....

∑≤

−

−−

⋅⋅

=

=⋅⋅

++⋅⋅

+⋅⋅

=

xk

knk

tntnn

qpk

n

qpt

nqp

nqp

n...

10110



Exemplo: Nunha urna hai 4 bólas

brancas e 6 bólas negras. O experimento consiste en facer catro extraccións con devolución. Calcula a función de probabilidade e a función de distribución da variable “nº de bólas brancas”.



O experimento aleatorio “extracción con devolución de 4 bólas dunha urna que contén catro bólas brancas e seis bólas negras”:

Consta de 4 probas con dous posibles resultados (bóla branca ou bóla negra).

As probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das probas non inflúe nas posteriores.

p=p(“sacar bóla branca”)=4/10=0.4 q=p(“sacar bóla negra”)=6/10=0.6

A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de bólas brancas” é unha variable aleatoria binomial (B(4,0.4))



Por ser unha variable aleatoria binomial, a súa función de probabilidade é:

Como o número de extraccións é 4 entón:

knk qpk

nkXp −⋅⋅

== )(

kk qpk

kXp −⋅⋅

== 44

)(



Polo tanto:

p(X=0)=p(“non obter brancas”)=

P(X=1)=p(“obter 1 branca”)=

P(X=2)=p(“obter 2 brancas”)=



1296.01296.01!4!0

!4

10

6

10

4

0

4 40

=⋅⋅⋅

=

⋅

⋅

3456.0216.04.0!3!1

!4

10

6

10

4

1

4 31

=⋅⋅⋅

=

⋅

⋅

3456.036.016.0!2!2

!4

10

6

10

4

2

4 22

=⋅⋅⋅

=

⋅

⋅

1536.06.0064.0!1!3

!4

10

6

10

4

3

4 13

=⋅⋅⋅

=

⋅

⋅

1256.010256.0!0!4

!4

10

6

10

4

4

4 04

=⋅⋅⋅

=

⋅

⋅



1

p(X=0)=0.1296p(X=1)=0.3456p(X=2)=0.3456p(X=3)=0.1536P(X=4)=0.0256

01234

p(X=xi)xi

00.020.040.060.08

0.10.120.140.160.180.2

0.220.240.260.28

0.30.320.340.36

2 3 4 5



A súa función de distribución será:

≤<≤<≤<≤<≤

<

=+==+=+=+=+==+==+=+=+=

=+==+=+==+==+=

==

=

== ∑≤

x

x

x

x

x

x

se

XpXpXpXpXp

XpXpXpXp

XpXpXp

XpXp

Xp

xF

kXpxFxk

4

43

32

21

10

0

10256.09744.0)4()3()2()1()0(

9744.01536.08208.0)3()2()1()0(

8208.03456.04752.0)2()1()0(

4752.03456.01296.0)1()0(

1296.0)0(

0

)(

)()(



f(x)=0

f(x)=0

f(x)=0.1296

f(x)=0.4752

f(x)=0.8208

f(x)=0.9744

f(x)=1

Serie 1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

x

y


8. Media ou esperanza matemática, varianza e 8. Media ou esperanza matemática, varianza e desviación típica dunha distribución binomial.desviación típica dunha distribución binomial.

Media ou esperanza matemática dunha distribución binomial.

A media μ dunha distribución binomial B(n,p) é:

μ=n.p



Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza.

X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades:

px=p(X=x)=

Aplicamos a definición de media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta:

xnx qpx

n −⋅⋅

∑=

⋅=n

xxpx

0

µ



Obtendo:

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

pnpn

qppnqpx

npn

qpxnx

npnqpp

xnx

nn

qpxnx

nqp

xnxx

nx

qpxnx

nxqp

x

nx

qpn

nnqp

nqp

npx

n

nxnxn

x

xnxn

x

xnxn

x

xnxn

x

xnxn

x

n

x

xnxn

x

xnx

n

x

nnnx

⋅=⋅⋅=

=+⋅⋅=⋅⋅

−−

⋅⋅=

=⋅⋅−⋅−

−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅−

−⋅=

=⋅⋅−⋅−

=⋅⋅−⋅−⋅

⋅=

=⋅⋅−⋅

⋅=⋅⋅

⋅=

=⋅⋅

⋅++⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅=⋅=

−

−−−

=

−−

=

−−

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

−

∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑

1

11

1

1

1

1

1

11

11

0

010

1

1

1

!!1

!1

!!1

!1

!!1

!

!!1

!

!!

!

...1

10

0µ



Varianza dunha distribución binomial:

A varianza dunha distribución binomial B(n,p) é: σ2=n.p.q



Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza.

X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades:

px=p(X=x)=

Aplicamos a definición de varianza dunha variable aleatoria discreta:

xnx qpx

n −⋅⋅

∑=

⋅−=n

xxpx

0

22 )( µσ



Obtemos( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] [ ]

( ) qpnppn

pnpnppnpnpnpnpnpn

pnpnpnpnnpnn

pnnpnnqppnnqpx

npnn

qpxnx

npnnqpp

xnx

nnn

qpxnx

nqp

xnxxx

nxx

qpxnx

nxxqp

x

nxxpxxpxx

Como

ppxpxxppxpxx

pxxxxpxxpx

nnn

x

xnx

n

x

xnxn

x

xnx

n

x

xnxn

x

xnx

n

x

xnxn

x

xnxn

xx

n

xx

n

xx

n

xx

n

xx

n

xx

n

xx

n

xx

n

xx

n

xxx

n

x

⋅⋅=−⋅⋅==⋅+⋅⋅−+−⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅−+⋅−⋅⋅=

=⋅+⋅⋅⋅⋅−+⋅−⋅=⋅+⋅−+⋅−⋅=

⋅−⋅=⋅⋅−⋅=+⋅⋅−⋅=⋅⋅

−−

⋅⋅−⋅=

=⋅⋅−⋅−

−⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅−−⋅−⋅=

=⋅⋅−⋅−

=⋅⋅−⋅−⋅−⋅

⋅−⋅=

=⋅⋅−⋅

⋅−⋅==⋅⋅

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅

=⋅+⋅−+⋅−⋅=⋅+⋅⋅−+⋅−⋅=

=⋅+−+−⋅=⋅+−=⋅−=

−−

=

−−

=

−−

=

−−

=

−

=

−

=

−

=

−

==

======

===

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

1

21211

2111211**

11112

21

!!2

!21

!!2

!21

!!2

!

!!21

!1

!!

!1111

**211211

212

22222

22222

2

22

2

22

2

22

22

2220

0

2

000

2

00

0

2

0

22

0

22

µµµ

µµµµ

µµµµµσ



Desviación típica dunha distribución binomial.

A desviación típica dunha distribución binomial B(n,p) é:

qpn ⋅⋅== 2σσ



Retomando o exemplo anterior: Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólas negras. O experimento consiste en facer catro extraccións con devolución. Calcula a media ou esperanza matemática, a varianza e a desviación típica da variable “nº de bólas brancas”.



Lembra que a variable aleatoria X=“nº de bólas brancas” correspondía a unha distribución binomial onde o número de probas n era 4, a probabilidade p de extraer unha bóla branca era 0.4 e a probabilidade q de extraer unha bóla negra era 0.6; é dicir, trátase dunha distribución binomial B(4, 0.4).

Polo tanto μ = n.p = 4·0.4 = 1.6 σ2= n.p.q = 4·0.4·0.6=0.96 σ = √0.96 =0.98



Lembremos o primeiro exemplo co que traballamos:

No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”.

Xa observamos con anterioridade que se trata dunha distribución binomial; de feito é unha distribución binomial B(3, ½)



Calcularamos a súa media e a súa varianza atendendo á definición xeral para unha variable aleatoria discreta.

Vexamos agora que se as calculamos de acordo co dito para unha binomial obtemos igual resultado.

μ=n.p=3.1/2=3/2=1,5 σ2=n.p.q=3.1/2.1/2=3/4=0,75

87.075.02 ==⋅⋅== qpnσσ

7. variables aleatorias discretas. distribución binomial

Documents

Transcript of 7. variables aleatorias discretas. distribución binomial