7.1 Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos

7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos

ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 125

1. La Oficina de Planificación Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporción

de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias

18 presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000.

1.1) Estime con 98% de confianza la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a

$ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el

error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000 no

excederá de 0,05?

1.1) Solución: Sean:

“Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”

“Proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”

Debido a que el problema habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar

el intervalo confidencial:

Con:

Nota: El valor de se calcula dividiendo la número de datos de la muestra que cumplen la

característica que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a

$200.000, dividido por el tamaño de la muestra.

Reemplazando, obtenemos:

Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

Respuesta: El intervalo tiene un 98% de contener a la proporción de familias con un

ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A.

1.2) Solución: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:

Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la fórmula de error está dada por:



Página 126 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Reemplazando:

Respuesta: Para asegurar que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso

inferior a $200.000, no exceda a 0,05, el tamaño de la muestra debe ser igual a 246, considerando

una confianza del 95%.

2.- Se realizan estudios sobre la contaminación producida por descargas de aguas residuales,

en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por

el decreto 90/2000, que establece niveles de concentración de Plomo de a lo más 0.02 mg/l. En

una muestra aleatoria de tamaño 20, de volúmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en

días distintos, se encontró un nivel medio de concentración de plomo de 0,28 mg/l, con una

desviación estándar de 0,01 mg/l.

Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una población normal, estime el nivel

medio de concentración de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los

valores estimados en función de la norma.

2) Solución: Sea: “Concentración de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos”

Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:

Se supone que:

Debido a que desconocemos la varianza de la distribución, utilizaremos la siguiente fórmula para

obtener el intervalo de confianza:

Reemplazando:


Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener el nivel medio de concentración

de plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.




3.- Se está estudiando la duración de ciertos procesos productivos y se toma una muestra

aleatoria, de tamaño 10. Se define como "Proceso Corto” cuando su duración es menor que 5

minutos, los datos obtenidos, en minutos, fueron:

3 5 8 6 10 5,5 4 4,2 4,5 2

3.1) Se pide estimar por intervalo de confianza del 98% la proporción de Procesos Cortos.

3.2) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra si la proporción estimada disminuyen en un

10% y utilizamos un 95% de confianza manteniendo el mismo error probable antes de la

modificación?

3.3) Estimar la varianza de dichos tiempos con un nivel de confianza del 99%.

3.1) Solución: Sea: “Muestra del tiempo de duración de ciertos procesos productivos”

“Proporción con Procesos Cortos (duración menor a 5 minutos)”

Debido a que el problema nos habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para

determinar el intervalo confidencial:

Con:



Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporción de “Procesos cortos”

3.2) Solución: Lo primero que debemos hacer en este ítem es determinar una nueva variable, como

se ve a continuación:

"Proporción con Procesos Cortos disminuida en un 10%”

En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente fórmula:

Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamaño de la muestra, lo que se realiza

despejando la fórmula que sigue:




Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser 8, si la proporción disminuye en un 10% y se mantiene

el error probable antes de la modificación, con un 95% de confianza.

3.3) Solución: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente

fórmula:

Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial está dado de la

siguiente forma:

Con:

Reemplazando:

Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo contenga a la varianza poblacional

de los procesos productivos.

4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen más o

menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razón se vigila constantemente

la cantidad de producto enlatado. Considere una compañía que produce un cemento de hule

de secado rápido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas.

Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18

onzas y una desviación estándar de 0,645 onzas.

Considere que el peso de las latas se distribuye normal.

4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las

latas es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significación de 5%.

4.2) ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el

peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se está dispuesto a cometer un

error máximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores

que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2




4.1) Solución: Sea: “Cantidad de cemento en una lata, en onzas”

Con: ; ; ;

Las hipótesis que nos interesan contrastar son:

Entonces, el estadístico de prueba es:

El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:

La Región Crítica:

Respuesta: Como , no se rechaza la hipótesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de

cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas)2.

4.2) Solución: El problema nos otorga la siguiente información:

Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que

conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:

Reemplazando:

Respuesta: El mínimo tamaño de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real

promedio de las latas de cemento de hule, es igual a 40.

5.- Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea menos de 150 psi. Se sabe que la

desviación estándar de la resistencia a la ruptura es 3 psi. En una muestra aleatoria de 25

trozos de fibra se obtiene una resistencia media a la ruptura de 148 psi y una desviación

estándar de 2,8 psi.




5.1) ¿Puede considerarse aceptable este tipo de fibra? Use α = 0,05.

5.2) Determine el tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este

tipo de fibra con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi.

5.1) Solución: Sea: “Resistencia a la ruptura de una fibra”

Con:


Entonces, como conocemos la varianza, el estadístico de prueba es:



Respuesta: Debido a que , hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es

decir, es aceptable este tipo de fibra, con un 5% de significación.

5.2) Solución: El ejercicio proporciona los siguientes datos:

Como consecuencia que estamos trabajando con la resistencia media de este tipo de fibra, y que

conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:

Reemplazando:

Respuesta: El tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra

con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi, es 139.

6.- El administrador de una flota de automóviles está probando dos marcas de neumáticos

radiales. Instala un neumático de cada marca al azar en las ruedas traseras de 8 automóviles y

los usa hasta que los neumáticos se desgastan. Los datos de la duración de los neumáticos,

en kilómetros, se presentan a continuación:




Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8

Marca 1 36.925 45.300 36.240 32.100 37.210 48.360 38.200 33.500

Marca 2 34.318 42.280 35.500 31.950 38.015 47.800 37.810 33.215

6.1) Basándose en la información presentada, rechazaría la hipótesis que las duraciones

promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, use .

6.2) Estime un nivel de confianza del 90%, la proporción de neumáticos de la Marca 1, que

presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.

6.1) Solución: Debido a que el problema nos pide probar que ambas marcas de neumáticos radiales

poseen promedios iguales, o en su defecto diferentes, utilizaremos la siguiente notación:

“Diferencia entre la distancia que dura la Marca 1 y la Marca 2 de neumáticos, en kilómetros”

Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8

Marca 1 36.925 45.300 36.240 32.100 37.210 48.360 38.200 33.500

Marca 2 34.318 42.280 35.500 31.950 38.015 47.800 37.810 33.215

D 2.607 3.020 740 150 - 805 560 390 285


Entonces, como desconocemos la varianza, el estadístico de prueba es:



Respuesta: Debido a que , no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es

decir, las duraciones promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, con un 5% de

significación.

6.2) Solución: Sea: “Proporción de neumáticos de la Marca 1, que presentan una duración

superior a 37.500 kilómetros”




De la muestra que nos expone el ejercicio, podemos calcular el estimador , ya que tres de los ocho

automóviles con los neumáticos de la Marca 1 superan los 37.500 kilómetros, lo que llevado a los

números es .

Debido a que el problema nos pide proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar

el intervalo confidencial:

Con:



Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener la proporción de neumáticos de la

Marca 1, que presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.

7.- En la manufactura de semiconductores, es común el uso de un proceso de grabado por

remojo químico para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la

metalización. La rapidez de grabado es una característica importante en este proceso y se

sabe que es una variable aleatoria con distribución normal. Se compararon dos soluciones de

grabado diferentes, usando dos muestras aleatorias de obleas, una para cada solución. La

rapidez de grabado (milipulgadas/minuto), observada fue la siguiente:

Solución 1 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1

Solución 2 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3

7.1) Apoyan los datos la afirmación de que la rapidez media de grabados es la misma para

ambas soluciones, use α = 0,05

7.2) Estime con un nivel de confianza del 90% la rapidez media de grabado para la solución

1.

7.1) Solución: Sea: “Rapidez de grabado de la Solución 1, en milipulgadas/minuto”

“Rapidez de grabado de la Solución 2, en milipulgadas/minuto”

Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de ambas

muestras:




En seguida, debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras poseen

varianzas poblacionales iguales o diferentes:

Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:

El punto crítico está dado por:


Resultado: Debido a que , no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es

decir, las varianzas poblacionales de ambas soluciones son iguales.

Continuando con el desarrollo del ejercicio, procedemos a contrastar las siguientes hipótesis:



Finalmente, la Región Crítica:

Respuesta: Como , en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula,

es decir, la rapidez media de grabado es la misma, con α = 0,05.




7.2) Solución: Debido a que el problema nos pregunta por la media de grabado para la Solución 1,

debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial:

Con:



Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener la rapidez media de grabado

para la solución 1.

8.- La resistencia mínima especificada, transcurridos 28 días, de un hormigón para pavimento

de 20 cm de espesor es de 250 kg/cm². En dosificaciones con materiales provenientes de la

cantera A y B, las resistencias se distribuyen aproximadamente normal.

Se realizan 16 ensayos con materiales de la cantera A y 32 ensayos de la cantera B,

obteniendo al término del tiempo especificado, en pruebas de roturas a la compresión, las

siguientes resistencias:

Resistencia Cantera A 200 - 218 218 - 236 236 - 254 254 - 272 272 - 290

2 4 5 4 1

Resistencias Cantera B

218 220 225 230 235 237 241 245 269 270 270 272 272 274 276 278

250 254 255 258 260 262 264 268 280 285 289 290 290 290 295 300

Ayuda:

8.1) El ingeniero sospecha que la resistencia media de las dosificaciones proveniente de la

cantera A está muy por debajo de la resistencia media de aquellas dosificaciones

provenientes de la cantera B. ¿Qué concluiría usted respecto a la sospecha del

Ingeniero, con α = 0,01?

8.2) Con nivel de significación del 2,5%, ¿Puede usted afirmar que las dosificaciones cuyo

material proviene de la cantera B que está bajo la resistencia mínima especificada es de

un 20%?

8.1) Solución: Sea: “Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera A”

“Resistencia de los Materiales provenientes de la cantera B”




Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de ambas

muestras:

Para A: Para B:







decir, las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.









es decir, se concluye que lo sospechado por el Ingeniero es real, o sea, la resistencia media de A

está muy debajo de la resistencia media de B.

8.2) Solución: Sabemos que la resistencia mínima especificada es 250 kg/cm², por ende, podemos

calcular el estimador , o sea, la proporción de la muestra de los materiales provenientes de la

cantera B, que cumplen la condición de ser inferiores a la resistencia mínima especificada. Lo que

llevándolo a números es igual a

Las hipótesis a contrastar son:


La Región Crítica (Con ):

Respuesta: Debido a que , no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es

decir, las dosificaciones que están bajo la resistencia mínima, en la cantera B, representan el 20%.




9.- La utilización de materiales sintéticos tales como nylon, poliéster y látex en la producción

de telas, ha provocado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas

con las fibras naturales.

Un fabricante de una nueva fibra sintética asegura que en promedio su producto (Y) posee una

mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales (X). Para tal efecto se seleccionan al

azar 10 fibras sintéticas y 12 fibras naturales, a cada una de las cuales se les midió la

resistencia a la tracción. Los resultados muestrales obtenidos se dan a continuación:

¿Confirman estos datos lo asegurado por el fabricante? Fundamente adecuadamente su

respuesta y use ?

9) Solución: Sean: “Resistencia a la tracción de las fibras naturales, en Kg”;

“Resistencia a la tracción de la nueva fibra sintética, en Kg”;









Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos la siguiente expresión:





Finalmente, la Región Crítica (Con ):

Respuesta: Como , en conclusión existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula

con un 10% de significación, es decir, podríamos concluir que el fabricante estaría en lo cierto, ya que

la nueva fibra sintética posee mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales.

10.- En una planta industrial se quiere determinar cuál de dos tipos de fuentes de energía, gas

o electricidad, produce más energía útil a menor costo. Una medida de la producción

económica de energía, llamada “inversión de planta por quad suministrado”, se calcula

dividiendo la cantidad de dinero (en dólares) invertida por la planta en la fuente de energía en

cuestión y la cantidad suministrada de energía (en quads, miles de billones de unidades

térmicas británicas [BTU]). Cuanto menor sea este cuociente, menos pagará una planta

industrial por la energía suministrada. Se seleccionaron muestras aleatorias de 11 plantas que

utilizan electricidad y 16 plantas que utilizan gas y se calculó la inversión de la planta por quad

para cada una. Los datos se presentan en la tabla:

Asumiendo normalidad en la inversión por quad suministrado

10.1) ¿Se podría afirmar que existe diferencia significativa entre los promedios de inversión

de planta por quad suministrado para estos dos tipos de fuentes de energía, con un

nivel de significación de 0,10?

10.2) Estime con una confianza del 99% la proporción de plantas de gas que invierten más de

10 [BTU].

10.1) Solución: Sean: “Inversión de una planta eléctrica por quad suministrado”

“Inversión de una planta a gas por quad suministrado”

Lo primero será determinar el tamaño de la muestra, la media y desviación estándar de cada

muestra:

ELECTRICIDAD 14,15 9,57 7,76 9,72 5,35 8,46 7,78 4,38

9,28 8,60 17,13

GAS 16,66 10,14 9,18 10,11 8,45 7,91 11,03 10,70

15,05 18,22 12,50 9,40 9,67 9,21 15,3 12,1











Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hipótesis:




Respuesta: Como , en conclusión existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula

con un 10% de significación, es decir, se puede afirmar que existe una diferencia significativa en el

promedio de inversión de planta por quad suministrado por estos dos tipos de energía.




10.2) Solución: Lo primero, será determinar el estimador , el que corresponde al número de plantas

a gas que invierten más de 10 quad, en la muestra, dividido en el tamaño de la muestra, que llevado

a los números es igual a .

Luego, el intervalo confidencial está dado por:

Con:



Respuesta: El intervalo tiene un 90% de probabilidad de contener a la proporción de

plantas de gas que invierten más de 10 [BTU].

11.- El PM10 (material particulado respirable), son partículas de diámetro menor o igual a 10

micrones. Por su tamaño, el PM10 es capaz de ingresar al sistema respiratorio del ser humano;

mientras menor es el diámetro de estas partículas mayor es el potencial daño en la salud; es

por esta razón, que diariamente se monitorea la calidad del aire,

calculando un Índice de calidad de Aire (AQI por sus siglas en

Inglés). Un AQI de 100 para PM10, corresponde a un nivel de 150

PM10 en microgramos por metro cúbico (promediado en 24

horas).

Se toman muestras aleatorias independientes del AQI, de tamaño

40, correspondientes a dos comunas C y M, del Gran Santiago, en

meses de invierno, obteniendo la siguiente información:

Suponiendo válidos los supuestos necesarios:

11.1) Estime el mínimo tamaño de muestra que se debe considerar para estimar el AQI

promedio en la comuna M, considerando un error de estimación de a lo más 18 μg/m3

y

una confianza de 95%, si de estudios previos se sabe que la desviación estándar del

AQI es de 110 μg/m3

.

11.2) ¿Es posible asegurar que el porcentaje de episodios en que el AQI es de al menos 200

(episodio dañino para la salud) es superior al 4% en la comuna C, con 5% nivel de

significación?

11.3) ¿Es posible, afirmar que no existen diferencias significativas en el índice de calidad

medio del aire en ambas comunas en estudio, con un nivel de significación del 1%?

AQI (μg/m3

) C M

0 – 50 2 5

50 – 100 9 5

100 – 150 11 11

150 – 200 15 13

200 – 300 3 4

300 – 550 0 2




11.1) Solución: Sean: “Cantidad de material particulado en la comuna C”

“Cantidad de material particulado en la comuna M”

El enunciado del problema nos otorga la siguiente información:

Ya que el conocemos la varianza, y estamos estimando el AQI promedio en la comuna, la fórmula del

error está dada por:

Reemplazando:

Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser como mínimo de 144.

11.2) Solución: Con los datos entregados por la tabla, podemos determinar el estimador , que

corresponde a la cantidad de episodios de la muestra, en que el AQI es de al menos 200, dividido en

el tamaño de la muestra, lo que llevado a los números es igual a .

Luego, las hipótesis a contrastar son:

El estimador de prueba a utilizar es:

La Región Crítica (Con :

Respuesta: Como , en conclusión no existe suficiente información para rechazar la hipótesis

nula con un 5% de significación, es decir, se puede afirmar que el porcentaje o proporción de

episodios en que el AQI es de al menos 200, es equivalente o menor al 4% en la Comuna C.

11.3) Solución: Para este ítem lo primero que debemos hacer es calcular el tamaño de la muestra, la

media y desviación estándar, de cada muestra:

AQI (μg/m3

) C M

0 – 50 25 2 5

50 – 100 75 9 5

100 – 150 125 11 11

150 – 200 175 15 13

200 – 300 250 3 4

300 – 550 425 0 2

40 40









Resultado: Debido a que , hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir,

las varianzas poblacionales de ambas soluciones son diferentes.

Continuando con el desarrollo del ejercicio, tenemos que contrastar las siguientes hipótesis:


Después para calcular los grados de libertad tenemos la siguiente fórmula:


Respuesta: Como , en conclusión no existe suficiente información para rechazar la hipótesis

nula con un 1% de significación, es decir, se puede afirmar que no existen diferencias significativas

en el índice de calidad medio del aire en ambas comunas en estudio.




12.- Una empresa de telecomunicaciones realizó un estudio a fin de comparar el tráfico

mensual de los clientes que han tomado los planes A ó B y conocer la opinión de éstos

respecto de los servicios prestados por la empresa.

Para este efecto, tomó de cada plan, una muestra aleatoria de 121 clientes. La información

recolectada, se presenta a continuación:

Plan A

Tiempo (min) 60 a 100 100 a 140 140 a 180 180 a 220 220 a 260

N° de clientes 13 32 30 27 19

Plan B

Tiempo (min) 120 a 156 156 a 192 192 a 228 228 a 264 264 a 300

N° de clientes 20 26 33 30 12

Además 98 clientes del plan A y 80 del plan B evaluaron satisfactoriamente los servicios

prestados por la empresa.

12.1) Estime, con un nivel de confianza del 95% el tiempo medio de tráfico de los clientes del

plan B.

12.2) Si el Gerente de la empresa se planteó la hipótesis: “el porcentaje de clientes que

evalúa satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa es igual en ambos

planes”, ¿Qué concluye, si utilizó un nivel de significación del 1%?

12.3) Docime la hipótesis de que el tiempo de tráfico de los clientes del plan A, es una v.a.

con distribución normal de varianza 2500 (min2).

12.1) Solución:

Sea: “Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en minutos”

“Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan B, en minutos”

Lo primero será calcular el tamaño, media y desviación estándar de cada muestra dada:

Para A Para B

Dado que el problema nos pide estimar el tiempo medio de tráfico de los clientes del plan B,

utilizaremos la siguiente fórmula para poder determinarlo




Evaluando:

Respuesta: El intervalo tiene un 95% de probabilidad de contener el tiempo

medio de tráfico de los clientes del plan B.

12.2) Solución: Ya que el ejercicio nos entrega la cantidad de clientes, de cada plan, que evalúa

satisfactoriamente los servicios prestados por la empresa, podemos determinar las proporciones

respectivas de las muestras:

Definimos las hipótesis a contrastar

El estadístico de prueba está dado por:

El Punto Crítico corresponde a:


Respuesta: Como , se llega a la conclusión que existe suficiente información para rechazar la

hipótesis nula con un 1% de significación, o sea, el gerente de la empresa no se encontraba en lo

correcto cuando planteaba que el porcentaje de clientes que evalúa satisfactoriamente los servicios

prestados por la empresa es igual en ambos casos.

12.3) Solución: Sea: “Tiempo tráfico mensual de los clientes que han tomado el plan A, en min.”

Con:


Nota: Debido a que el ejercicio no nos entrega los grados de libertad suponemos




Luego, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los números del conjutno de los reales,

es decir, desde el al , donde también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de

cada uno de ellos:

En seguida, como se debe cumplir que , se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo

sumando las dos primeras filas y las dos últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:

Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:

Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:

Con:




Debido a que ocupamos el estimador de la media, el valor de es igual a uno y el número de filas

después de la modificación es cinco, por lo tanto, reemplazando tenemos:

Ya que el valor del nivel de confianza no es entregado por el ejercicio, tenemos que interpolar para

determinarlo:

Resultados:

Caso 1: La hipotesis nula se rechaza si

Caso 2: La hipotesis nula no se rechaza si

Considerando que el nivel de significación debe ser el menor posible para que la estimación sea

adecuada, por lo que es correcto elegir el caso 2, ya que así se cumple lo antes expuesto.

Respuesta: Ya que , es decir, no existe información suficiente para

rechazar la hipotesis nula, por lo tanto, el tiempo de tráfico de los clientes del plan A se distribuye

normalmente con varianza igual a 2500 min2.

13.- En el mercado existen dos tipos de plásticos (A y B), los que son utilizados en la

fabricación de diversos artículos. Una variable importante que se maneja es su tensión de

ruptura (en psi) y por lo tanto se ha diseñado un experimento para medir la variable en ambos

tipos. Los resultados en 41 ensayos de plástico A fueron los siguientes:

Tensión de Ruptura 144 a 150 150 a 156 156 a 162 162 a 168

5 12 16 8

Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensión a la ruptura en el plástico B,

se obtuvo un promedio de 154 psi con desviación estándar de 5,2 psi.

13.1) Considerando un nivel de significación del 5% y la información que entregan los datos.

¿Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quién

señala que el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi?

13.2) El ingeniero de procesos tiene la sospecha que el plástico A tiene una tensión media a

la ruptura más alta de lo que se observa para el plástico B. Admitiendo como válidos




los supuestos de normalidad de las variables en estudio y considerando un niel de

significación del 5% ¿Qué puede concluir usted respecto de la sospecha del ingeniero

de procesos?

13.3) Con un nivel de significación del 2,5% ¿Muestran los datos la evidencia suficiente para

corroborar que efectivamente la distribución de probabilidad de la tensión a la ruptura

del plástico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi)2.

13.4) Con un 5% de nivel de significación, ¿es posible corroborar que más de un 30% de las

unidades del plástico A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi?

13.1) Solución: Sea: “Tensión de ruptura del tipo de plásticos A, en psi”

“Tensión de ruptura del tipo de plásticos B, en psi”

Para :

Para :


Luego, como desconocemos la varianza el estadístico de prueba se determina de la siguiente forma:

La Región Crítica (Con ):

Respuesta: Debido a que , no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es

decir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que señaló que

el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi, con un 5% de significación.

13.2) Solución: Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras

poseen varianzas poblacionales iguales o diferentes:

144 – 150 147 5

150 – 156 153 12

156 – 162 159 16

162 – 168 165 8

41








decir, las varianzas poblacionales de ambas muestras son iguales.






es decir, las sospechas del ingeniero de proceso están en lo correcto, ya que por los resultados

obtenidos el plástico A tiene una tensión media a la ruptura más alta de lo que se observa para el

plástico B.




13.3) Solución: Las hipótesis a contrastar son:

Con

Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos

que abarcan todos los números del conjunto de los reales, es decir, desde el al , donde

también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:

En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que , por

lo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las

tres últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:






Con:

Debido a que no se utiliza ningún estimador, el valor de es igual a cero y el número de filas

después de la modificación corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

Respuesta: Como

, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que la

tensión a la ruptura del plástico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y una

varianza de 25 psi2, con un nivel de significación de 0,025.

13.4) Solución: Sea: “Proporción de las unidades del plástico A que presentan una tensión a la

ruptura superior a 160 psi”

Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de fórmula de percentil, como se ve a

continuación:

Luego, las hipótesis a contrastar son:

El estadístico de prueba esta dado por:


Respuesta: Como , no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 5%

de significación, es decir, no se puede corroborar que más de un 30% de las unidades del plástico

tipo A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi.

144 – 150 5 5

150 – 156 12 17

156 – 162 16 33

162 – 168 8 41

41




14.- El encargado de control de calidad de una empresa exportadora revisó al azar un conjunto

de 700 cajas, registrando el número de unidades defectuosas encontradas en cada caja,

obteniendo la siguiente información:

N° de defectuosos 0 1 2 3

N° de cajas 542 140 10 8

Si históricamente la cantidad de defectuosos por caja, se ha comportado de acuerdo a un

modelo binomial de parámetros y . Evalúe usted si la evidencia muestral

permite corroborar que la variable en cuestión persiste en comportarse de acuerdo al modelo

histórico, con nivel de significación igual a 0,05.

14) Solución: Sea: “Número de unidades defectuosas por caja”


Con

Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye

de forma binomial, como se ve a continuación:

En seguida, como se debe cumplir que , se procede a modificar la tabla, lo que se hace

sumando las dos últimas filas, como se muestra ahora:






Con:

Debido a que no ocupamos ningún estimador, el valor de es igual a cero, y el número de filas

después de la modificación es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

Respuesta: Como

, en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar que la

cantidad de defectuosos por caja sigue el modelo histórico, o sea, distribución binomial con tamaño

de la muestra 3, y probabilidad de éxito igual a 0,08, con un nivel de significación de 0,05.

15.- En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parásitos en la

producción de doradas. Para ello, se tomó una muestra de 5 individuos cada día, repitiendo el

experimento durante 550 días. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantos

de ellos contenían parásitos. ¿Se ajusta a un modelo de distribución Binomial con 5% de

significación?

Nº de individuos con parásitos 0 1 2 3 4 5

Frecuencia Observada 17 81 152 180 104 16

18) Solución: Sea: “Número de individuos con parásitos”

Luego, como el ejercicio no nos entrega el valor de , procedemos estimar el valor:

Además, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribución binomial está

dada por la siguiente fórmula, teniendo cuidado con el es el número de veces que se repite el

experimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:


Con

Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuye

de forma binomial, como se ve a continuación:




Ya que todos los sucesos cumplen con , la tabla no se modifica.



Con:

Debido a que utilizamos el estimador de , el valor de es igual a uno, y el número de filas es seis,

por lo tanto, reemplazando tenemos:

Respuesta: Como , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar la

hipotesis nula, es decir, el número de individuos con parásitos se distribuye en forma binomial, con un

nivel de significación de 0,05.

16.- Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una

distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se

observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Número de defectos Frecuencias observadas

0 32

1 15

2 9

3 o más 4




Evalúe si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de una

distribución Poisson, con un nivel de significación igual a 0,05.

16) Solución: Sea: “Número de defectos en las tarjetas de circuito impreso”


Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datos tabulados:

Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene una

distribución Poisson, como se ve a continuación:

Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 5, se combinan las dos últimas filas.






Con:

Debido a que ocupamos el estimador , el valor de es igual a uno, y el número de filas después de

la modificación es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

Respuesta: Como

, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que el

número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson.

7.1 Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos

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