71412551 Diseno Columnas Concreto Armado

TEMAS DE HORMIGN ARMADO

1. FUNDAMENTOS DEL HORMIGN SIMPLE

Introduccin Los Materiales Cementantes Los ridos Dosificacin de Hormigones Los Aditivos

2. DISEO Y FABRICACIN DE HORMIGONES

Introduccin Caractersticas de los Materiales Especificaciones del Hormign Proceso de Diseo de Mezclas Control en Obra

3. EL ACERO ESTRUCTURAL EN EL HORMIGN ARMADO

Introduccin Tipos de Aceros Propiedades Mecnicas de los Aceros

4. DISEO DE VIGAS A FLEXIN

El Principio de Navier-Bernoulli La Flexin en Materiales Elsticos La Flexin en Materiales Inelsticos Diseo por Esfuerzos Admisibles La Teora de ltima Resistencia Las Combinaciones de Carga El Bloque Rectangular Equivalente Diseo a Flexin de Vigas de Seccin Rectangular Diseo a Flexin de Vigas T Diseo de Vigas a Flexin con Armadura de Compresin

5. EL CORTANTE EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO

Introduccin Los Esfuerzos Cortantes La Resistencia a Cortante en Vigas de Hormign Reforzado, sin Refuerzo en el Alma La Resistencia a Cortante en Vigas de Hormign Reforzado, con Refuerzo en el Alma

6. EL MTODO DEL PRTICO EQUIVALENTE

Introduccin Principios Tericos del Mtodo del Prtico Equivalente Aplicaciones para Cargas Verticales Limitaciones del Mtodo para Cargas Ssmicas

7. DISEO DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO

Introduccin Tipos de Losas Especificaciones Codificadas para Losas Tablas para el Diseo de Losas Macizas y Nervadas Rectangulares Sustentadas

Perimetralmente en Vigas

8. DISEO DE CIMENTACIONES DE HORMIGN ARMADO

Introduccin El Suelo de Cimentacin Tipos de Cimentaciones Criterios para El Diseo de Plintos

9. LA COMPRESIN AXIAL EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO

Introduccin Columnas de Hormign Armado La Resistencia del Hormign a Procesos de Carga Lentos y a Cargas de Larga Duracin Resistencia a la Compresin de Columnas de Hormign Armado con Estribos

Transversales Resistencia a la Compresin de Columnas de Hormign Armado con Zunchos

Transversales Pandeo en Elementos Sometidos a Compresin Axial Carga Critica de Pandeo

10. TENSORES DE HORMIGN ARMADO

Introduccin Criterios de Anlisis, Diseo y Construccin de Tensores

11. LA FLEXOCOMPRESIN EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO

Introduccin Diagramas de Interaccin con Flexin Unidireccional Diagramas de Interaccin Adimensionales para Flexin Unidireccional Utilizacin de los Diagramas Auxiliares de Interaccin Adimensionales para Columnas

Rectangulares con Flexin Unidireccional Utilizacin de los Diagramas Auxiliares de Interaccin Adimensionales para Columnas

Zunchadas Circulares con Flexin Unidireccional Efecto del Pandeo en el Diseo a Flexocompresin Flexocompresin Biaxial Diseo de Columnas a Corte Unidireccional Diseo de Columnas a Corte Bidireccional Caractersticas del Refuerzo Lateral en Columnas con Estribos Caractersticas del Refuerzo Lateral en Columnas Zunchadas

12. ESTUDIO DE LAS ESPECIFICACIONES CODIFICADAS DE PANDEO - PROPUESTA DE MODIFICACIN DE LOS CDIGOS DE DISEO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGN ARMADO

Introduccin Estudio de Las Deformaciones de Segundo Orden por Pandeo

Propuesta de Evaluacin del Efecto P-D Anlisis Comparativo entre las Disposiciones de los Cdigos y la Presente Propuesta

para Evaluar el Efecto P-D Otros Aspectos Conflictivos de los Cdigos de Diseo Propuesta de Modificacin de los Cdigos de Diseo Incremento de las Deformaciones Transversales de Segundo Orden Causado por las

Cargas Axiales

13. LA TORSIN EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO

Introduccin El Flujo de Esfuerzos Cortantes Diagonales El Comportamiento ante la Torsin de los Elementos de Hormign Armado con

Seccin Transversal Rectangular Diseo Combinado a la Torsin y al Corte

COLUMNAS

MIEMBROS A COMPRESIN Y A FLEXIN

Se puede definir una columna como un miembro que soporta principalmente cargas axiales de

compresin y cuya relacin , siendo L la altura o longitud total del elemento y b la menor

de sus dimensiones en planta.

Si el elemento a analizar tiene una relacin de , el elemento es demasiado corto, su tipo

de falla puede ser por aplastamiento o transferencia de esfuerzos de contacto y por lo tanto se

podran disear como pedestales en concreto simple.

TIPOS DE COLUMNAS:

Segn su tipo de falla se pueden clasificar en columnas cortas y largas.

Las columnas largas fallan por esbeltez y las cortas por resistencia.

Tipos de falla:

Por esbeltez en columnas. Columnas con una relacin de esbeltez, , alta, siendo r el

radio de giro de la seccin transversal.

El radio de giro se calcula por : y representa el sitio donde se concentra todo

el rea para hallar el momento de inercia

Por resistencia: para columnas poco esbeltas, o sea aquellas donde la falla por esbeltez no sea posible, la falla est determinada por la resistencia del material (correspondiente a la fluencia en un material homogneo) de la seccin transversal.

Esta falla segn el ACI, se alcanza cuando la fibra externa a compresin alcanza una deformacin de 0.003.

El primer paso sera determinar si el elemento se comporta como columna, esto es, y despus verificar si es esbelta o no.

1. COLUMNAS ESBELTAS:

Para calificar si una columna fallar por esbeltez o por resistencia se debe determinar la relacin de esbeltez definida en el prrafo anterior. Se sabe que las columnas esbeltas fallarn por pandeo antes que por resistencia, siendo esta una falla tpica de elementos a compresin independientemente de la resistencia.

Las mayores resistencias alcanzadas en el concreto y la optimizacin de los mtodos de diseo han llevado a utilizar secciones ms esbeltas as el problema de estabilidad se ha incrementado enormemente. Adicionalmente se debe considerar el efecto P* . Este consiste en que cualquier miembro sometido a compresin y momento, se ver sometido a un momento secundario adicional debido a la excentricidad de la carga por la deflexin producida por la flexin. Este efecto se conoce tambin como Efecto de segundo orden ya que solo se presenta cuando la columna se ha flectado.

El factor de esbeltez depende de la longitud libre de pandeo del elemento. Esta longitud est regida por el tipo de unin de los extremos del elemento a analizar. Elementos sin restriccin a rotacin se pandean en toda su longitud por lo tanto su longitud libre es igual a su longitud real. Elementos en voladizos tendrn una longitud efectiva de sufrir pandeo igual al doble de un elemento simplemente apoyado y elementos con arriostramiento total en sus extremos tendrn una longitud efectiva menor que la propia del elemento.

Para tener en cuenta el efecto de las restricciones de rotacin en los extremos se trabaja con el factor K que multiplica a la longitud real del elemento.

K: factor de arriostramiento (braced or unbraced)

Si el miembro se considera arriostrado y su longitud efectiva para sufrir pandeo ser menor que la real . En ingls se consideran: braced member

Si sera un elemento no arriostrado. unbraced member

Para disear una columna como elemento corto, es decir, omitir los efectos de esbeltez, se debe verificar que:

para sistemas arriostrados o con restriccin lateral.

para sistemas sin arriostramientos o sin restriccin lateral a rotacin

donde:

M1b: El menor de los momentos de extremo de un elemento a compresin

M2b: momento mayor

EFECTOS DE ESBELTEZ DE LA NSR-98: La norma considera los efectos de esbeltez en el captulo C.10.11.8.

All se tienen en cuenta por separado los efectos locales, correspondientes a la falla de un solo elemento, y los efectos globales de esbeltez correspondientes a todo un piso de una edificacin considerando que estos pueden ser susceptibles de ladeo.

Efectos locales de esbeltez del a Norma:

Considerando los efectos de segundo orden en elementos a compresin y flexin vemos que el momento de diseo debe obedecer a un momento mayor al que est actuando en primera instancia en la columna. Este momento de diseo correspondera a:

donde:

Mc: Momento de diseo despus de considerar efectos de segundo orden

, siendo e la excentricidad de la carga P para producir el momento Mo inicial en la columna.

Este momento se puede aproximar a:

Ecuacin aproximada de Thimoshenko

Donde o es la deflexin causada por Mo tomando P=0

Y haciendo otra sere de simplificaciones podemos llegar a:

Donde Pc es la carga crtica de Euler: , siendo EI la rigidez de la seccin

fisurada.

Siendo Mo el momento mximo dentro de la altura de la columna dependiendo de los momentos en los extremos

Entonces el factor correspondera a un factor de ampliacin del momento inicial

de diseo y sera equivalente a mayorar las cargas inciales para tener en cuenta los posibles momentos extras que se dan por los efectos de segundo orden.

En la norma este factor se nombra con la letra y el momento de diseo es:

, donde la l indica local. Ecuacin C.10-9

Aplicando los factores de reduccin de resistencia y el factor de longitud efectiva nuestras ecuaciones quedaran as:

o bien

donde M1/M2 es positivo si la columna est deformada en curvatura simple. Para elementos con fuerzas transversales entre apoyos el valor de Cm debe tomarse como la unidad.

Para mas informacin sobre estas ecuaciones consultar el captulo C.10.11.9 de la NSR-98. (www.asosismica.org.co).

Una vez encontrados los momentos modificados se procede a disear la columna como si fuera un elemento corto.

2. COLUMNAS CORTAS

2.1 Comportamiento de columnas cargadas axialmente

Columnas sin refuerzo: debido a la forma de vaciar las columnas la parte inferior tiende a ser ms resistente que la parte superior (el agua del vaciado tiende a subir y crea una porosidad en la parte superior de la columna). Dividiendo la columna en tres tramos se ha encontrado que las resistencias de los concretos a diferentes alturas corresponden a la grafica indicada:

A: zona de concreto que controla la resistencia de la columna

Por estas razones se sugiere tomar como resistencia base de diseo un valor de

que corresponde a un promedio estadstico y es un valor encontrado experimentalmente.

Columnas con refuerzo: Tipos de columna de acuerdo con el refuerzo transversal.

Las columnas se clasifican de acuerdo con el refuerzo transversal ya que este determina la forma en que el refuerzo longitudinal esta soportado. Los tipos de columnas y su respectivo factor de reduccin de resistencia son:

Columnas con estribos

Columnas con espirales

Ensayos han mostrado que hasta la fluencia del acero, ambas columnas trabajan igual pero una vez alcanzada esta, la columna con estribos falla en una forma inmediata y frgil tal cual si fuera un cilindro de ensayo de resistencia a compresin, como si no tuviera refuerzo. Esta falla se produce por el pandeo de las barras longitudinales entre estribos, mientras que en la de espirales, en el punto de fluencia, se bota el recubrimiento y se empieza a deformar antes de fallar

(tomado de Park and Priestley)

Se entiende por ductilidad de un elemento la capacidad de deformacin despus de alcanzar el rango elstico, en este caso se comprueba que esta propiedad vara con los estribos y con la forma de colocar las barras longitudinales.

El hecho de que las columnas con espiral se comporten de una manera mas dctil se refleja en que el efecto de confinamiento en ellas es mucho mayor.

Miremos el efecto de confinamiento:

Si la muestra no puede deformarse libremente en la direccin transversal se aumenta la carga axial resistente, siendo esta igual a:

Pero para que f2 sea efectivo, f1 debe ser tal que produzca deformaciones transversales en la muestra. En similitud con la columna, para poder tener en cuenta el efecto de confinamiento la columna debe estar esforzada a mas de 0.85fc.

En el caso de tener estribos el efecto de confinamiento es menor ya que estos se deslizan y abren centro de la columna.

Considerando todos estos efectos podemos decir que la carga axial que soporta una columna es:

El trmino corresponde a la carga de fluencia para una columna con espirales y solo se debe tener en cuenta cuando fs=fy y la columna se ha deformado considerablemente.

Ac: rea de concreto

Ast: rea de acero longitudinal

Asp: rea de espirales

Ks: constante de 1.5 a 2.5 promedio 1.95

Asy: esfuerzo en los espirales.

Kc=0.85

El coeficiente de reduccin de resistencia, , usado en columnas es mucho menor que el de vigas ya que su tipo de falla es explosiva, frgil y no da aviso. Sabemos que para esfuerzos de traccin y flexin t es igual a 0.90, para columnas netamente a carga a compresin varia entre 0.70 y 0.75 de acuerdo con el refuerzo transversal y en columnas sometidas a esfuerzos combinados de fuerza axial y flexin el varia desde 0.70 a 0.90.

2.2 Columnas con refuerzo

Efectos de la carga axial sostenida:

Para los dos tipos de columnas reforzadas podemos decir que el comportamiento bsico es el de una seccin compuesta, acero y concreto trabajando a compresin.

Inicialmente la relacin de esfuerzos es entre los dos materiales es igual a la relacin

modular: (tal como se calcula en la teora elstica), pero a medida que se

producen los fenmenos de (creep) flujo plstico y (shrinkage) retraccin de fraguado el

acero empieza a cargar ms haciendo que la proporcin de fuerza que carga cada material varie continuamente durante el tiempo en que la fuerza acta.

Despreciando el trabajo de la espiral, la carga axial mxima para una columna cargada concntricamante es:

a nivel de cargas de servicio (columnas en el rango elstico) podemos determinar los esfuerzos en el concreto para una carga axial P.

Determinando el rea de acero equivalente en concreto tenemos:

El reemplazo del rea de acero por una equivalente a concreto se hace teniendo en cuenta que las deformaciones son iguales en un punto dado del elemento, s=c, entonces:

y

Por flujo plstico el concreto se deforma y terminara cargando menos de lo calculado. Esto quiere decir que la relacin modular n vara con el tiempo al variar los esfuerzos en cada uno de los materiales.

La seccin se deforma pero el acero lo impide producindose una transferencia de fuerzas del concreto al acero, el acero es responsable de mucha carga y esta es una de las razones por la que se estipula en la norma una cuanta mnima

2.3 Diseo de columnas cortas sometidas a momentos y fuerzas axiales:

Efectos de flexo-compresin:

Los esfuerzos mximos totales son:

Dependiendo de la relacin de momento a carga axial, Mn/Pn ,el diagrama de esfuerzos se presentar de tres formas:

Compresin en toda la seccin de tal manera de que la fibra externa de concreto alcanza e = 0.003 antes de la fluencia en el acero. Control por

Tensin en gran parte de la seccin de tal manera de que el acero fluye antes de que el concreto alcance

Control por tensin

Condicin balanceada:

Tanto el concreto como el acero llegan simultneamente a y

en el acero.

Debido a que una columna se puede ver sometida a infinitas parejas de momento y carga en su vida til se dibujan todas estas combinaciones en un diagrama de interaccin. Este consiste en graficar las parejas de P y M que conducen a la falla del elemento. Se idenfican inicialmente en este diagrama tres puntos crticos:

El punto de mxima carga axial neta a compresin

El punto de falla balanceada de ambos materiales

El punto de mxima carga axial a traccin

Par el caso especfico del concreto la forma del diagrama de interaccin sera as:

Algunos diagramas de interaccin se presentan en funcin de la excentricidad, e, de la carga P:

e: excentricidad de aplicacin de la carga P.

Diagramas de interaccin en funcin de las resistencias mximas de los materiales: Expresando la ecuacin de interaccin en funcin de la resistencia del material tenemos:

Se puede considerar que la seccin falla cuando se alcanza el esfuerzo mximo a comprensin, max a compresin= a compresin o cuando el esfuerzo a traccin alcanza el esfuerzo mximo a traccin

Entonces las ecuaciones de falla son:

Definiendo Pmaxc y Mmaxc las cargas mximas o causantes de falla, tenemos.

solo compresin

solo flexin

ecuacin unitaria de falla a compresin

Al graficarlo quedara:

2.4 Construccin del diagrama de interaccin

Consideraremos que el concreto siempre estar trabajando al mximo y por lo tanto

Hiptesis:

1. Materiales elsticos, las deformaciones son proporcionales a la distancia al eje neutro, secciones planas permanecen planas.

2.3. proporcionalidad. Para el caso que se alcance la fluencia del

acero se considerar fs=Fy teniendo en cuenta la plasticidad de este material. 4. en kg/cm2. El concreto no aguanta esfuerzos de traccin 5. Se puede considerar un bloque rectangular equivalente para el diagrama de esfuerzas a

compresin del concreto.

Falla a compresin:

falla a traccin:

solo trabaja el acero

Punto para la falla balanceada:

con el valor de y se determina cuanto valen las fuerzas

Otros puntos:

Variacin de la profundidad del eje neutro manteniendo .

DOCUMENTO PREPARADO POR EL PROFESOR JUAN CARLOS RINCN

LA FLEXOCOMPRESION EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGON ARMADO

11.1 INTRODUCCION

La mayor parte de los elementos estructurales sometidos a compresin tambin estn solicitados por momentos flectores, por lo que en su diseo debe tomarse en consideracin la presencia simultnea de los dos tipos de acciones.

En zonas ssmicas, como las existentes en nuestro pas, el efecto flexionante usualmente domina el diseo con relacin a las solicitaciones axiales por lo que, a pesar de que los momentos por cargas gravitacionales sean importantes, se suelen escoger columnas con armadura simtrica, dada la reversibilidad de los sismos.

11.2 DIAGRAMAS DE INTERACCION CON FLEXION UNIDIRECCIONAL:

El comportamiento de secciones especficas de columnas de hormign armado es descrito ms claramente mediante grficos denominados curvas o diagramas de interaccin. Sobre el eje vertical se dibujan las cargas axiales resistentes y sobre el eje horizontal se representan los correspondientes momentos flectores resistentes, medidos con relacin a un eje principal centroidal de la seccin transversal de la columna.

A continuacin se presenta una curva de interaccin unidireccional de una columna tipo, en la que no se han incluido ni el factor f de reduccin de capacidad (solamente se manejan cargas axiales y momentos flectores nominales), ni la reduccin de carga axial ltima por excentricidad mnima de las cargas axiales, para que su interpretacin sea ms sencilla.

Cualquier combinacin de carga axial y de momento flector nominales, que defina un punto que caiga dentro de la curva de interaccin (o sobre la curva de interaccin), indicar que la seccin escogida es capaz de resistir las solicitaciones propuestas. Cualquier punto que quede por fuera de la curva determinar que la seccin transversal es incapaz de resistir las solicitaciones especificadas.

Es importante observar que la presencia de pequeas cargas axiales de compresin (parte inferior de la curva de interaccin), tericamente puede tener un efecto beneficioso sobre el momento flector resistente de la columna (falta an cuantificar el efecto del factor de reduccin de capacidad f para tener la visin completa). Este comportamiento poco usual se debe a que el hormign, sometido a esfuerzos de traccin por la flexin, se fisura en gran medida, y la presencia de cargas axiales de compresin pequeas permite disminuir la seccin transversal fisurada y aumentar la seccin efectiva de trabajo del material.

La presencia de grandes cargas axiales (parte superior de la curva de interaccin), por otro lado, disminuye considerablemente la capacidad resistente a la flexin de las columnas.

Para la elaboracin de las curvas de interaccin nominales, para una seccin dada, se utiliza el siguiente procedimiento:

Se definen diferentes posiciones del eje neutro

Para cada posicin del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias en cada fibra de la pieza, tomando como base una deformacin mxima en el hormign e u = 0.003

En funcin de las deformaciones en el acero y en el hormign se determinan los diagramas de esfuerzos en el hormign y la magnitud de los esfuerzos en el acero, y

Se calculan los momentos flectores centroidales y cargas axiales internos que, por equilibrio, deben ser iguales a los momentos flectores y cargas axiales externos solicitantes

EJEMPLO 11.1:

Dibujar la curva de interaccin de cargas nominales y momentos flectores nominales respecto al eje centroidal x de la columna de la figura, tomando ejes neutros paralelos a dicho eje, si la resistencia a la rotura del hormign es fc = 210 Kgf/cm2 y el esfuerzo de fluencia del acero es Fy = 4200 Kgf/cm2.

As1 = 3 x 2.54 = 7.62 cm2

As2 = 2 x 2.54 = 5.08 cm2

As3 = 3 x 2.54 = 7.62 cm2

La deformacin unitaria que provoca fluencia en el acero es:

Cualquier deformacin unitaria en el acero que est por debajo de la deformacin de fluencia (e s < e y) define esfuerzos en el acero que se pueden calcular con la siguiente expresin:

fs = Es e s

Cualquier deformacin unitaria en el acero que supere la deformacin de fluencia (e s > e y) determinar un esfuerzo en el acero igual al esfuerzo de fluencia:

fs = Fy

Punto # 1 del Diagrama de Interaccin: Se supone que todas las fibras tienen una deformacin unitaria igual a la mxima deformacin permitida en el hormign e u = 0.003, lo que es equivalente a que el eje neutro se encuentre en el infinito.

Clculo de deformaciones unitarias:

e 1 = 0.003 > 0.002

e 2 = 0.003 > 0.002

e 3 = 0.003 > 0.002

Clculo de esfuerzos en el acero:

fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs3 = Fy = 4200 Kgf/cm2

Clculo de la fuerza de compresin en el hormign:

Cc = 0.85 fc . b . d = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (40 cm) = 285600 Kgf

Clculo de las fuerzas de compresin en el acero:

P1 = As1 . fs1 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf



Clculo de la carga axial nominal:

Pn = Cc + P1 + P2 + P3 = 285600 Kgf + 32004 Kgf + 21336 Kgf + 32004 Kgf

Pn = 370944 Kgf = 370.9 T

Clculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x:

Mn = (285600 Kgf) (0 cm) + (32004 Kgf) ( 9 cm) + (21336 Kgf) (0 cm) - (32004 Kgf) (9 cm)

Mn = 0 Kgf-cm = 0.0 T-cm

Punto # 2 del Diagrama de Interaccin: El eje neutro es paralelo al eje x, y coincide con el borde inferior de la seccin transversal de la columna. La deformacin unitaria en el borde superior es la mxima admitida en el hormign e u = 0.003.



fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Es . e 2 = (2100000 Kgf/cm2) (0.0015) = 3150 Kgf/cm2



Cc = 0.85 fc . b. a = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (34.0 cm) = 242760 Kgf




P3 = As3 . fs3 = (7.62 cm2) (945 Kgf/ cm2) = 7201 Kgf


Pn = Cc + P1 + P2 + P3 = 242760 Kgf + 32004 Kgf + 16002 Kgf + 7201 Kgf

Pn = 297967 Kgf = 298.0 T

Clculo del momento flector nominal con relacin al eje centroidal x:

Mn = (242760) (20 - 34.0/2) + (32004) (14) + (16002) (0) - (9601) (14 )

Mn = 1041922 Kgf-cm = 1041.9 T-cm

Punto # 3 del Diagrama de Interaccin: El eje neutro es paralelo al eje x, y est 10 cm por encima del borde inferior de la seccin transversal de la columna. La deformacin unitaria en el borde superior es la mxima admitida en el hormign e u = 0.003.



fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2




Cc = 0.85 fc . b . a = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (25.5 cm) = 182070 Kgf






Pn = Cc + P1 + P2 - P3 = 182070 Kgf + 32004 Kgf + 10668 Kgf - 6401 Kgf

Pn = 218341 Kgf = 218.3 T


Mn = (182070) (20 - 25.5/2) + (32004) (14) + (10668) (0) + (6401) (14)

Mn = 1857678 Kgf-cm = 1857.7 T-cm

Punto # 4 del Diagrama de Interaccin: El eje neutro es paralelo al eje x, y est 20 cm por encima del borde inferior de la seccin transversal de la columna. La deformacin unitaria en el borde superior es la mxima admitida en el hormign e u = 0.003.


e 2 = 0


fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Es . e 2 = (2100000 Kgf/cm2) (0) = 0 Kgf/cm2

fs3 = Fy = 4200 Kgf/cm2


Cc = 0.85 fc . b . a = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (17.0 cm) = 121380 Kgf






Pn = Cc + P1 + P2 - P3 = 121380 Kgf + 32004 Kgf + 0 Kgf - 32004 Kgf

Pn = 121380 Kgf = 121.4 T


Mn = (121380) (20 - 17.0/2) + (32004) (14) + (0) (0) + (32004) (14)

Mn = 2291982 Kgf-cm = 2292.0 T-cm

Punto # 5 del Diagrama de Interaccin: El eje neutro es paralelo al eje x, y est 32.66 cm por encima del borde inferior de la seccin transversal de la columna (la posicin fue obtenida por tanteo hasta alcanzar flexin pura). La deformacin unitaria en el borde superior es la mxima admitida en el hormign e u = 0.003.



fs1 = (2100000 Kgf/cm2) (0.000548) = 1151 Kgf/cm2

fs2 = 4200 Kgf/cm2

fs3 = 4200 Kgf/cm2


Cc = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (6.24 cm) = 44554 Kgf


P1 = (7.62 cm2) (1151 Kgf/cm2) = 8771 Kgf

P2 = (5.08 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 21336 Kgf

P3 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf


Pn = Cc + P1 - P2 - P3 = 44554 Kgf + 8771 Kgf - 21336 Kgf - 32004 Kgf

Pn = -15 Kgf = -0.0 T


Mn = (44554) (20 - 6.24/2) + (8771) (14) + (21336) (0) + (32004) (14)

Mn = 1322922 Kgf-cm = 1322.9 T-cm

Se puede preparar una tabla con todos los pares de solicitaciones nominales obtenidos (Mn, Pn):

Punto Mn

(T-cm)

Pn

(T)

1 0.0 370.9

2 1041.9 298.0

3 1857.7 218.3

4 2292.0 121.4

5 1322.9 0.0

La curva de interaccin nominal es la representacin grfica de la tabla anterior:

Empleando una hoja electrnica o un programa de computacin resulta ms gil la preparacin de la tabla, y el nmero de puntos obtenidos ser mayor, con lo que la calidad de la curva de interaccin ser mejor.

Existen dos aspectos adicionales que deben ser considerados para transformar las curvas de interaccin nominales en curvas de interaccin para diseo de columnas:

a. El factor de reduccin de capacidad f para compresin pura en columnas rectangulares es 0.70 y para flexin pura es 0.90, lo que determina la existencia de una transicin entre los dos

factores para el caso combinado de flexocompresin. De cualquier modo, las solicitaciones de rotura se calcularn con las siguientes expresiones:

Pu = f . Pn

Mu = f . Mn

En flexocompresin de columnas con estribos, en que la dimensin del ncleo (zona entre los ejes de las capas ms externas del acero) de hormign en la direccin de diseo represente al menos el 70% de la dimensin exterior de la columna, el Cdigo Ecuatoriano de la Construccin y el ACI especifican que se debe mantener un factor de reduccin de capacidad de 0.70 para todos los valores de carga axial que superen 0.10 fc.Ag, y se puede realizar una interpolacin lineal del factor desde 0.70 hasta 0.90, cuando la carga axial decrece de 0.10 fc.Ag hasta 0.

En flexocompresin de columnas zunchadas, la variacin del factor de reduccin de capacidad es similar a las columnas con estribos, pero se produce entre 0.75 y 0.90.

Cuando la dimensin del ncleo de hormign en columnas con estribos y columnas zunchadas es inferior al 70% de la dimensin exterior de la columna, el cambio en el coeficiente de reduccin de capacidad se realizar entre la carga balanceada Pb (en lugar de 0.10 fc.Ag) y 0.

b. El ACI-95 especifica que en columnas con estribos se debe reducir en un 20% la carga axial ltima mxima para cubrir el efecto de los momentos flectores causados por pequeas excentricidades de la carga, cuya existencia no puede ser controlada por el diseador.

Las versiones anteriores del cdigo ACI, y el Cdigo Ecuatoriano de la Construccin manejan excentricidades mnimas del 10% de la dimensin mxima de la columna con estribos, en la direccin de la excentricidad (0.10 b, 0.10 t en el grfico anterior).

As mismo, en el caso de columnas zunchadas, se debe reducir en un 15% la carga axial ltima mxima para cubrir el efecto de los momentos flectores causados por pequeas excentricidades de las cargas axiales, cuya existencia no puede ser controlada por el diseador.

El Cdigo Ecuatoriano de la Construccin y las versiones anteriores del ACI manejan excentricidades mnimas del 5% del dimetro de la columna zunchada en la direccin de la excentricidad (0.05 D en el grfico anterior).

La excentricidad puede ser calculada con las siguientes expresiones:

e = Mu / Pu

ex = Muy / Pu

ey = Mux / Pu

Donde:

Mu: momento ltimo

Mux: momento ltimo alrededor del eje x

Muy: momento ltimo alrededor del eje y

Pu: carga axial ltima

e: excentricidad de la carga axial con respecto al centroide de la seccin

ex: excentricidad de la carga axial medida en la direccin x

ey: excentricidad de la carga axial medida en la direccin y

En la curva de interaccin, estas ecuaciones pueden ser representadas mediante rectas que pasan por el origen.

EJEMPLO 11.2:

Modificar la curva de interaccin del ejemplo anterior para tomar en consideracin los factores de reduccin de capacidad apropiados, la excentricidad mnima de la carga axial (CEC), y la reduccin de la carga axial ltima mxima (ACI-95).

Se puede preparar una tabla que incluya valores de carga axial y de momentos flectores que incluyan los factores de reduccin 0.70 y 0.90, basada en la tabla del ejemplo anterior.

Punto Cargas Nominales Cargas Ultimas

f = 0.90

Cargas Ultimas

f = 0.70

Mn

(T-cm)

Pn

(T)

MU,1

(T-cm)

PU,1

(T)

MU,2

(T-cm)

PU,2

(T)

1 0,0 370,9 0,0 333,8 0,0 259,6

2 1041,9 298,0 937,7 268,2 729,3 208,6

3 1857,7 218,3 1671,9 196,5 1300,4 152,8

4 2292,0 121,4 2062,8 109,3 1604,4 85,0

5 1322,9 0,0 1190,6 0,0 926,0 0,0

La carga axial que define una variacin en el factor de reduccin de capacidad es:

0.10 fc . Ag = (0.10) (210) (1600) = 33600 Kgf = 33.6 T

La curva de interaccin de las cargas ltimas, incluyendo el efecto del factor de reduccin de capacidad es:

Para tomar en consideracin la excentricidad mnima (10% de la dimensin respectiva de la columna = 4 cm, por ser no zunchada) especificada por el CEC, se dibuja sobre la curva de interaccin la ecuacin

e = Mu / Pu = 4 cm

Para el efecto, se definen dos puntos sobre la recta mencionada, los que permiten su representacin grfica:

Mu = 0 ; Pu = 0

Mu = 400 T-cm ; Pu = 100 T

Desde el punto de cruce de la recta de excentricidad mnima con la curva de interaccin anterior se traza una recta horizontal para completar la curva de interaccin definitiva.

De igual manera, si utilizamos el criterio del ACI-95, el recorte horizontal de la curva de interaccin debe producirse al nivel de la carga axial ltima mxima (una reduccin del 20% con relacin a la carga ltima terica).

Pu,mx = 0.80 f (0.85 fc . Ac + As . Fy)

Pu,mx = (0.80) (259.6 T) = 207.68

El diagrama que se obtiene es muy similar al que se dedujo anteriormente.

11.3 DIAGRAMAS DE INTERACCION ADIMENSIONALES PARA FLEXION UNIDIRECCIONAL:

Existe una gran variedad de curvas de interaccin adimensionales que evitan la preparacin de curvas de interaccin especficas para cada columna, cuya utilizacin facilita enormemente el diseo a flexocompresin. El propio ACI ha publicado curvas que contienen algunos de los criterios detallados en el numeral anterior, dejando los restantes criterios para la aplicacin por parte del diseador.

La presentacin tpica de estos diagramas es la de una familia de curvas para determinados valores de: esfuerzo de rotura del hormign (fc), esfuerzo de fluencia del acero (Fy), relacin entre la dimensin del ncleo de hormign y la dimensin exterior de la columna (g), y distribucin de la armadura en la seccin de hormign.

Como anexo al presente documento se ha incluido un conjunto de familias de Diagramas de Interaccin para Columnas Rectangulares con Armadura Simtrica Respecto a los Ejes Principales, sometidas a flexin en una direccin principal; Diagramas de Interaccin para Columnas Circulares con Armadura Simtrica; Diagramas de Interaccin para Columnas Zunchadas Circulares con Armadura Transversal Mnima Simtrica; y Diagramas de Interaccin para Columnas Cuadradas con Flexin a 45 Respecto a los Ejes Principales con Armadura Simtrica, elaboradas por el autor, en las que, adems de los criterios expuestos en el prrafo anterior, se han incluido: la excentricidad mnima establecida en el Cdigo Ecuatoriano de la Construccin, y el cambio del valor del factor de reduccin de capacidad. Estos factores usualmente no son incluidos explcitamente en otras curvas de interaccin disponibles, por lo que para el uso de otras curvas de interaccin siempre es recomendable revisar la metodologa propia de uso de sus diagramas.

11.4 UTILIZACION DE LOS DIAGRAMAS AUXILIARES DE INTERACCION ADIMENSIONALES PARA COLUMNAS RECTANGULARES CON FLEXION UNIDIRECCIONAL:

Para utilizar los diagramas de interaccin adimensionales para columnas rectangulares, se definen en primer lugar las solicitaciones mayoradas que actan sobre la columna (carga axial ltima Pu y momento flector ltimo Mu), se especifican las dimensiones de la columna (b, t) que fueron utilizadas en el anlisis estructural, y se escoge una distribucin tentativa del acero de refuerzo longitudinal, respetando los recubrimientos mnimos y la separacin mnima entre varillas.

Se define, en primer lugar, la resistencia ltima del hormign (fc) y el esfuerzo de fluencia del acero (Fy), que en nuestro medio son usualmente 210 Kgf/cm2 y 4200 Kgfr/cm2 respectivamente. Ocasionalmente se utilizan hormigones de 280 Kgf/cm2 y 350 Kgf/cm2, y aceros importados en varilla con esfuerzo de fluencia de 2800 Kgf/cm2.

Se proceden a calcular dos parmetros que definen la abscisa (x) y la ordenada (y) de un punto dentro del diagrama de interaccin, mediante las siguientes expresiones:

Se escoge el diagrama adimensional que mejor se ajuste a las condiciones del diseo real, y en l se identifica el punto de abscisa y ordenada anteriormente sealados.

El punto as obtenido puede coincidir sobre una de las curvas de interaccin o puede ubicarse entre dos curvas de interaccin, definidas para diferentes cuantas de armado (0.00, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07 y 0.08).

En el primer caso se lee directamente la cuanta de armado total r t de la curva de interaccin de la columna adimensional, y en el segundo caso se interpola la cuanta de armado mediante apreciacin visual o medicin de longitudes.

La cuanta de armado as obtenida ser la mnima requerida por la columna real para resistir la carga axial ltima y el momento flector ltimo, siempre que se encuentre entre las cuantas mnima y mxima permitidas por los cdigos.

En caso de ser necesario se interpolar linealmente entre los resultados de la lectura en varios diagramas de interaccin.

La cantidad de acero total de la columna se obtiene mediante la siguiente expresin:

As = r t . b . t

EJEMPLO 11.3:

Una columna corta rectangular de hormign armado, de 40 cm x 60 cm, est sometida a una carga axial ltima Pu de 150 T y a un momento flector ltimo Mu de 50 T-m en la direccin ms larga de la seccin transversal de la culumna (alrededor del eje principal ms corto). El hormign tiene una resistencia a la rotura fc de 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy de 4200 Kg/cm2. Definir el armado longitudinal requerido para resistir estas solicitaciones.

El recubrimiento mnimo del acero es de 4 cm, al que debe aadirse el dimetro de los estribos que puede estimarse en 0.8 cm, y suponiendo un dimetro de las varillas longitudinales de 25 mm, se tiene una distancia aproximada desde la cara exterior de la columna hasta el centro de gravedad de las varillas de 6 cm (4 cm + 0.8 cm + 1.25 cm =

6.05 cm). Adicionalmente se puede suponer una distribucin igual del nmero de varillas en las cuatro caras de la columna, como en el siguiente grfico:

Se determina el factor de dimensin del ncleo (g) en la direccin de accin del momento flector:

g = 48 cm / 60 cm = 0.80

Se calculan la abscisa y la ordenada para utilizarlas en los diagramas auxiliares para columnas rectangulares adimensionales:

Se escoge el grfico # 3 de los Diagramas de Interaccin Adimensionales para Columnas Rectangulares, para la determinacin del armado de la columna, el que est definido por fc = 210 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras (6 varillas en cada cara).

En el grfico se busca el punto de coordenadas x = 0.165, y = 0.298. El punto mencionado se ubica entre las curvas de interaccin con cuantas de armado total de 0.02 y 0.03, lo que al interpolar grficamente proporciona una cuanta de armado para la columna r t = 0.025, que por ser mayor a la cuanta mnima en columnas (r mn = 0.01), e inferior a la cuanta mxima en zonas ssmicas (r mx = 0.06), es un valor aceptable. Adems, por aspectos de economa en el diseo, una cuanta de armado del 2.5% es razonable.

La seccin transversal de acero es:

As = r t . b . t = 0.025 (40 cm) (60 cm) = 60.00 cm2

La distribucin escogida inicialmente determina que se requerirn 20 varillas de hierro de 20 mm de dimetro, lo que proporciona 62.8 cm2 de seccin transversal de acero (ligeramente superior a la cantidad requerida).

Tambin podran escogerse 16 varillas de 22 mm que proporcionan 60.79 cm2 de acero, lo que significa 5 varillas en cada cara de la columna, que no est muy alejado de la hiptesis inicial de 6 varillas en cada cara.

11.5 UTILIZACION DE LOS DIAGRAMAS AUXILIARES DE INTERACCION ADIMENSIONALES PARA COLUMNAS ZUNCHADAS CIRCULARES CON FLEXION UNIDIRECCIONAL:

De manera similar a la utilizacin de los diagramas de interaccin para columnas rectangulares, para utilizar los diagramas de interaccin adimensionales para columnas zunchadas circulares, se definen las solicitaciones mayoradas que actan sobre la columna (carga axial ltima Pu y momento flector ltimo Mu), se especifica el dimetro de la columna (D) que fue utilizado en el anlisis estructural, y se escoge una distribucin tentativa del acero de refuerzo longitudinal (8, 12, 16 o 20 varillas uniformemente distribuidas), respetando los recubrimientos mnimos y la separacin mnima entre varillas.

Se define, en primer lugar, la resistencia ltima del hormign (fc) y el esfuerzo de fluencia del acero (Fy).

Se proceden a calcular dos parmetros que definen la abscisa y la ordenada de un punto dentro del diagrama de interaccin, mediante las siguientes expresiones:

Donde:

Se escoge el diagrama adimensional para columnas zunchadas que mejor se ajuste a las condiciones del diseo real, y en l se identifica el punto de abscisa y ordenada anteriormente sealados. Se lee el valor de la cuanta total r t. En caso de ser necesario se interpolar linealmente entre los resultados de la lectura en varios diagramas de interaccin.

La cantidad de acero total de la columna se obtiene mediante la siguiente expresin:

As = r t . Ag

EJEMPLO 11.4:

Disear una columna zunchada corta cuyo dimetro es de 60 cm, que est sometida a una carga axial ltima Pu de 160 T y a un momento flector ltimo Mu de 55 T-m, si la resistencia del hormign fc es 210 Kg/cm2 y el esfuerzo de fluencia del acero Fy es 4200 Kg/cm2.

Con un recubrimiento de 4 cm, un zuncho de aproximadamente 8 mm de dimetro y un dimetro de las varillas longitudinales de 25 mm, se tiene una distancia de 6 cm. desde la superficie exterior de la columna al centroide de cada varilla principal de acero, por lo que el factor de dimensin del ncleo g es:

g = 48 / 60 = 0.80

La seccin transversal geomtrica de la columna circular es:

Ag = (60)2 p / 4 = 2827.43 cm2

Se calculan la abscisa y la ordenada para utilizarlas en los diagramas auxiliares para columnas zunchadas circulares adimensionales:

Se escoge el grfico # 3 de los Diagramas de Interaccin Adimensionales para Columnas Zunchadas Circulares, para la determinacin del armado de la columna, el que est definido por fc = 210 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en toda la periferie.

En el grfico se busca el punto de coordenadas x = 0.154, y = 0.269. El punto mencionado se ubica entre las curvas de interaccin con cuantas de armado total de 0.02 y 0.03, lo que al interpolar grficamente proporciona una cuanta de armado para la columna r t = 0.0225, que por ser mayor a la cuanta mnima en columnas (r mn = 0.01), e inferior a la cuanta mxima para zonas ssmicas (r mx = 0.06), es un valor aceptable. Adems, por aspectos de economa en el diseo, una cuanta de armado del 2.25% est por debajo del mximo recomendado de 2.5%.

La seccin transversal necesaria de acero es:

As = r t . Ag = (0.0225) (2827.43) = 63.62 cm2

La distribucin escogida inicialmente determina que se requerirn 20 varillas de hierro de 20 mm de dimetro, lo que proporciona 62.80 cm2 de seccin transversal de acero.

11.6 EFECTO DEL PANDEO EN EL DISEO A FLEXOCOMPRESION:

Las columnas esbeltas tienen una capacidad resistente a flexocompresin menor que las columnas cortas, lo que debe ser tomado en consideracin durante el diseo.

Tanto el Cdigo Ecuatoriano de la Construccin como el Cdigo ACI establecen que, para cuantificar la reduccin de capacidad por pandeo en columnas, se deben mayorar los momentos flectores de diseo.

Los mencionados cdigos establecen tres alternativas fundamentales para enfrentar el problema de pandeo en columnas:

a. Las columnas pueden disearse empleando anlisis estructural de segundo orden, que implica el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio sobre la estructura deformada, o la utilizacin de procesos iterativos, por lo que requiere la resolucin de ecuaciones diferenciales. Este mtodo es el ms exacto pero tambin el ms laborioso de utilizar.

b. Las columnas arriostradas contra desplazamiento transversal, o cuyas cargas no provocan desplazamientos transversales importantes (usualmente la carga permanente y la carga viva), pueden disearse empleando un mtodo aproximado basado en anlisis estructural de primer orden (las ecuaciones de equilibrio se plantean sobre la estructura sin deformar) y en la ecuacin de Euler.

El mtodo consiste en utilizar la carga axial de diseo Pu obtenida en el anlisis estructural convencional (anlisis de primer orden), y un momento flector de diseo amplificado Mc, definido por la siguiente expresin:

Mc = d . M2

Donde:

Mc: momento flector amplificado, utilizado para el diseo de secciones en las que se considera el efecto del pandeo

M2: mayor momento flector ltimo en el extremo de barra

d : factor de mayoracin de los momentos flectores por efecto del pandeo

Para calcular el factor de mayoracin de momentos flectores se utiliza la siguiente expresin:

Donde:

Cm: factor de sensibilidad al primer modo de deformacin por pandeo del elemento de compresin

Pu: carga axial ltima de compresin que acta sobre el elemento estructural

Pcr: carga crtica de pandeo de Euler

La carga crtica de pandeo de Euler deber calcularse con la siguiente expresin:

Donde:

E: modulo de elasticidad del hormign armado con hormign fisurado

I: inercia de la seccin transversal compuesta por hormign y acero

k: coeficiente de longitud de pandeo

Lu: longitud geomtrica de pandeo del elemento

Para miembros arriostrados contra el desplazamiento lateral y sin cargas transversales entre los apoyos, Cm se puede calcular mediante la siguiente expresin:

Donde:

M1: momento flexionante ltimo menor de diseo en el extremo de miembros sujetos a compresin, calculado mediante un anlisis elstico convencional de prticos. Es positivo si el miembro est flexionado con curvatura simple, y negativo si est flexionado con doble curvatura.

M2: momento flexionante ltimo mayor de diseo en el extremo de miembros sujetos a compresin, calculado por anlisis elstico convencional de prticos (en el extremo opuesto a M1). Siempre se considera positivo.

Para todos los dems casos, Cm debe tomarse como 1.0

El producto E.I se puede calcular con la siguiente expresin aproximada:

o mediante la siguiente expresin simplificada:

Donde:

Ec: mdulo de elsticidad del hormign simple

Ig: inercia de la seccin geomtrica de hormign armado

Es: mdulo de elsticidad del acero de refuerzo

Is: inercia del acero de refuerzo

b d: razn entre la carga permanente factorada y la carga axial factorada (PD/PT)

El valor del momento factorado M2 no debe ser menor que la siguiente expresin:

M2,MIN = Pu (1.5 cm + 0.03 h)

Donde:

Pu: carga axial ltima

h: espesor del elemento en la direccin en que se mide el momento flector

En este punto cabe mencionar que la ecuacin para el clculo del factor de mayoracin del momento flector (d ) proporciona valores comprendidos entre uno e infinito. Mientras ms cercano sea el valor de Pu al de 0.75 Pcr, el factor de mayoracin es mucho ms alto.

El pandeo, en columnas reales (en contraposicin de las columnas ideales), no se produce repentinamente al alcanzarse la carga crtica de pandeo, sino que se manifiesta progresivamente desde los nivel bajos de carga axial, y se vuelve cada vez ms importante conforme la carga axial se aproxima a la carga crtica de pandeo.

A continuacin se presenta un grfico con la variacin del factor de mayoracin de momentos d , conforme lo proponen los cdigos de diseo vigentes, para diferentes valores de Pu / (0.75 Pcr), y para distintos valores de Cm.

Vale la pena mencionar que la ecuacin definida por los cdigos de diseo para Cm, en el caso de columnas sin desplazamiento transversal de los nudos extremos, trata de corregir la manera muy simple de modelar el efecto del pandeo en columnas, tomando en consideracin la influencia de la elstica de deformacin provocada por los momentos flectores de primer orden sobre la geometra de la elstica de deformacin de pandeo. El valor natural de Cm es 1.

El criterio bsico utilizado para definir el valor de Cm es que los cdigos de diseo consideran que los momentos flectores constituyen el factor ms importante para definir el comportamiento de las columnas ante el pandeo, por lo que la geometra de pandeo, en sus inicios, sera muy similar a la elstica de deformacin provocada por la flexin de primer orden, aunque en los estadios finales siempre ser semejante al primer modo de deformacin de pandeo.

En el grfico siguiente se presentan las elsticas de deformacin iniciales de columnas de eje recto, provocadas por las cuatro posibles combinaciones de direccin de los momentos extremos de barra que son contempladas en los cdigos, para el caso de que las columnas no puedan tener desplazamientos transversales relativos entre los extremos de barra (ste es el nico caso en que los cdigos admiten que el valor de Cm puede ser diferente de 1).

Las dos primeras combinaciones de momentos extremos de barra, en el grfico anterior, generan elsticas de deformacin muy similares al primer modo de deformacin por pandeo detallado en el captulo IX. Es evidente que, en estos dos primeros casos, el comportamiento de las columnas ante el pandeo debera estar definido casi directamente por la ecuacin bsica de Euler para ese primer modo de deformacin.

Cm en estos casos debera tener un valor de 1 o muy cercano a 1, como en efecto ocurre al emplear los criterios de los cdigos.

Las dos ltimas combinaciones de momentos extremos de barra, en el grfico anterior, generan elsticas de deformacin muy similares al segundo modo de deformacin por pandeo. En estos dos casos se esperara que el comportamiento de las columnas ante el pandeo est dominado por la ecuacin de Euler para el segundo modo de deformacin, al menos en sus primeras fases.

Dado que la carga crtica de pandeo para el segundo modo de deformacin es 4 veces mayor a la carga crtica de pandeo para el primer modo de deformacin, los dos ltimos modelos de columnas podran ser hasta 4 veces menos sensibles al efecto del pandeo, en sus inicios, lo que significa que Cm podra tericamente variar entre 0.25 y 1. Los cdigos han tomado una variacin ms conservadora de Cm entre 0.40 y 1.00, lo que resulta razonable.

c. Las columnas no arriostradas contra desplazamiento transversal pueden disearse empleando un segundo mtodo aproximado, tambin basado en anlisis estructural de primer orden y la ecuacin de Euler.

El mtodo consiste en amplificar los momentos flectores extremos de barra mediante las siguientes expresiones:

M1 = M1ns + d s.M1s

M2 = M2ns + d s.M2s

Donde:

M1ns: momento factorado del extremo 1 de barra, provocado por las cargas que no causan desplazamientos transversales apreciables (permanente, viva)

M2ns: momento factorado del extremo 2 de barra, provocado por las cargas que no causan desplazamientos transversales apreciables (permanente, viva)

M1s: momento factorado del extremo 1 de barra, provocado por las cargas que causan desplazamientos transversales apreciables (sismo, viento)

M2s: momento factorado del extremo 2 de barra, provocado por las cargas que causan desplazamientos transversales apreciables (sismo, viento)

d s: factor de amplificacin de momentos en columnas no arriostradas

Los momentos flectores amplificados pueden calcularse con teora de segundo orden, o mediante las siguientes expresiones:

Donde:

Pu: carga axial factorada

D o: desplazamiento transversal entre extremos de columnas debido a la fuerza cortante Vu

Vu: cortante transversal factorado

Lc: longitud de la columna medida de centro a centro de nudo

Tambin se deber calcular la amplificacin de momentos flectores por desplazamiento del piso completo mediante la siguiente expresin:

En principio, se deber escoger el mayor de los dos valores calculados de d s.Ms. Sin embargo, cuando el valor de d s obtenido con la primera frmula supere 1.5, deber utilizarse la amplificacin de momento definida en la ltima frmula.

Las columnas reales rara vez son articuladas o empotradas. Normalmente estn elsticamente sustentadas en otros elementos estructurales, por lo que la constante de longitud de pandeo k depende fundamentalmente de la capacidad de desplazamiento transversal de los extremos de la columna y de cuan rgidas a la rotacin sean las columnas con respecto a los dems elementos que concurren a los nudos.

Existen nomogramas que permiten determinar directamente la constante de longitud de pandeo k para columnas en prticos arriostrados transversalmente (con nudos sin capacidad de desplazamiento transversal como las columnas de los subsuelos de los edificios cuando existen muros de contencin perimetrales integrados a los prticos), y columnas en prticos no arriostrados transversalmente (como las columnas que sobresalen del nivel del suelo).

Se presentan a continuacin los Nomogramas de Jackson y Morland, los que son recomendados por el ACI. Para su utilizacin se debe escoger entre los grficos para prticos arriostrados (sin desplazamientos transversales) y prticos no arriostrados (con desplazamientos transversales); se calculan las constantes Y A y Y B para los dos extremos de la columna analizada; se sealan los valores Y A y Y B en la escalas izquierda y derecha del nomograma apropiado; se traza una lnea recta desde la escala izquierda (escala de Y A ), hacia la escala derecha (escala de Y B ), y en el punto de interseccin de la recta con la escala intermedia (escala de k), se lee el valor de la constante de longitud de pandeo.

EJEMPLO 11.5:

Determinar el armado longitudinal de las columnas cuadradas de 30cm x 30cm, del prtico de la figura, si fc = 210 Kg/cm2 y Fy = 4200 Kg/cm2.

Para el anlisis estructural se puede tomar como una buena aproximacin del efecto de la fisuracin en el hormign armado de columnas y vigas, al producto E . I definido mediante las siguientes expresiones:

Las reacciones de apoyo y los diagramas de momentos flectores para cada uno de los tres estados de carga son:

Los cdigos vigentes establecen diferentes combinaciones de cargas para determinar los estados crticos. Las combinaciones ms relevantes para el presente caso son:

U = 1.4 D + 1.7 L

U = 0.75 ( 1.4 D + 1.7 L + 1.87 E)

U = 0.9 D + 1.43 E

El sismo (E) debe ser analizado considerando que puede actuar en cualquier direccin, por lo que los diagramas de esfuerzos y reacciones son reversibles, pero deben ser consistentes.

Los momentos flectores de diseo en columnas se calculan en la zona de unin con las caras de las vigas y con la cara superior de la cimentacin.

Para determinar las combinaciones crticas de carga se deben estudiar las solicitaciones tanto en cabeza como en pie de columna.

Combinacin Crtica en Pie de Columna:

U = 0.75 ( 1.4 D + 1.7 L + 1.87 E)

Mu = 0.75 [ 1.4 ( 61872 Kg-cm ) + 1.7 ( 30936 Kg-cm ) + 1.87 ( 206669 Kg-cm ) ] = 394262 Kg-cm

Pu = 0.75 [1.4 ( 3200 Kg ) + 1.7 ( 1600 Kg ) + 1.87 ( 411 Kg ) ] = 5976 Kg

Combinacin Crtica en Cabeza de Columna:

Mu = 0.75 [ 1.4 ( 137003 Kg-cm ) + 1.7 ( 68501 Kg-cm ) + 1.87 ( 141338 Kg-cm ) ] = 429418 Kg-cm

Pu = 0.75 [ 1.4 ( 3200 Kg ) + 1.7 ( 1600 Kg ) + 1.87 ( 411 Kg ) ] = 5976 Kg

Es evidente que la combinacin crtica de cargas en la cabeza de columna es dominante sobre la combinacin crtica de cargas en el pie de columna.

Cuando del anlisis no es tan evidente cul estado de solicitaciones es crtico, se deben analizar todas las combinaciones de carga y se disea para todas ellas.

a. Diseo de las Columnas Ignorando el Efecto de la Esbeltez:

fc = 210 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2

Mu = 429418 Kg-cm

Pu = 5976 Kg

Se escoge una distribucin tentativa de la armadura longitudinal:

Se calcula el factor de tamao del ncleo de hormign:

g = 18 cm /30 cm = 0.60

Se escoge el grfico # 121 de los Diagramas de Interaccin para Columnas Rectangulares, que asume fc = 210 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2 y g = 0.60

Se calculan las coordenadas adimensionales.

Interpolando en los diagramas de interaccin se obtiene:

r t = 0.011 > 0.01 (OK)

La seccin transversal de acero es:

As = r t . b . t = 0.011 (30 cm) (30 cm) = 9.90 cm2

Se requieren 4 varillas de 14 mm y 4 varillas de 12 mm que proporcionan una seccin transversal de acero de 10.68 cm2.

b. Diseo de las Columnas Incluyendo el Efecto de la Esbeltez:

Se calcula el mdulo de elasticidad del hormign no fisurado:

Se calcula el valor aproximado del producto E . I para las columnas con la siguiente expresin:

Ig = (30 cm) (30 cm)3 / 12 = 67500 cm4

b d = 137003 Kg-cm /(137003 Kg-cm + 68501 Kg-cm) = 0.667

Se calcula el valor del producto E . I para las vigas que aproximadamente es la mitad de la expresin vlida para columnas debido a un nivel mayor de agrietamiento:

Ig = (25 cm) (40 cm)3 / 12 = 133333 cm4

b d = 25260 Kg-cm / (25260 Kg-cm + 12630 Kg-cm) = 0.667

Se determina el nivel de arriostramiento en los extremos superior e inferior de la columna, mediante la siguiente expresin:

En el extremo superior de la columna se tiene:

En el caso del extremo inferior, que llega al plinto de cimentacin, se considera un semiempotramiento, lo que significa que:

Y inf = 1.00

Un empotramiento total significara que Y inf = y un apoyo articulado significara que Y inf = 0

Con los dos valores calculados (Y inf = 1 ; Y sup = 1.19) se accede al nomograma para columnas con desplazamiento transversal y se obtiene:

k = 1.34

La carga crtica de pandeo se calcula con la ecuacin de Euler:

La carga axial ltima es:

Pu = 5976 Kg

El momento flector ltimo por cargas que no producen desplazamientos transversales es:

M1ns = 0.75 [ 1.4 ( 137003 Kg-cm ) + 1.7 ( 68501 Kg-cm ) ]

M1ns = 231192 Kg-cm

El momento flector ltimo por cargas que no producen desplazamientos transversales es:

M1s = 0.75 [ 1.87 ( 141338 Kg-cm ) ]

M1s = 198227 Kg-cm

Se calcula el factor de amplificacin del momento flector que no produce desplazamientos transversales:

Cm = 1

Se calcula el momento flector de diseo, mayorado:

Mc = d . M2 = (1.050) (231192 Kg-cm) = 242752 Kg-cm

Se calcula el factor de amplificacin del momento flector que si produce desplazamientos transversales:

Donde:

Pu = 5976 Kg

D o = 0.75 [ 1.87 (0.740 cm)] = 1.038 cm

Vu = 0.75 [ 1.87 (2320 Kg)] = 3254 Kg

Lc = 340 cm - 20 cm - 20 cm = 300 cm

Se calcula el factor de amplificacin de momento d s por desplazamiento de piso:

El momento ltimo de diseo es:

Mc = 242752 Kg-cm + 1.0501(198227 Kg-cm) = 450910 Kg-cm

Se determinan las coordenadas para el uso de los diagramas de interaccin adimensionales:

Interpolando en los diagramas de interaccin se obtiene:

r t = 0.012

As = r t . b. t = (0.012) (30 cm) (30 cm) = 10.80 cm2

La cuanta determinada es ligeramente mayor a la cuanta obtenida al menospreciar el efecto de pandeo, por lo que se requieren 8 varillas de 14 mm, que proporcionan una seccin transversal de acero de 12.31 cm2.

11.7 FLEXOCOMPRESION BIAXIAL:

Las columnas en estructuras espaciales presentan simultneamente cargas axiales y momentos flectores en dos direcciones ortogonales, dando lugar a la flexocompresin biaxial.

De manera similar a la flexocompresin uniaxial, es posible determinar diagramas de interaccin para distintas orientaciones del momento flector resultante, los que integrados en un diagrama tridimensional conforman superficies de interaccin como la que se presenta en la siguiente figura:

Es indudable que las curvas de interaccin respecto de los ejes principales (x, y) pueden ser determinadas con relativa facilidad, pero las curvas de interaccin respecto a ejes diagonales guardan cierto grado de complejidad.

Las investigaciones realizadas con columnas cuadradas, armadas de la manera tradicional, demuestran que existe una considerable disminucin de la capacidad resistente a flexin de tales columnas cuando las solicitaciones se producen aproximadamente a 45 de los ejes principales. Esta disminucin puede llegar a ser del orden de un 30% con relacin a la flexin sobre los ejes principales, por lo que la utilizacin exclusiva de las curvas de interaccin principales, para modelar la flexocompresin biaxial, puede conducir a errores importantes.

Con el objeto de mejorar la precisin en el resultado del diseo de columnas sometidas a flexocompresin biaxial, el ACI ha publicado Diagramas de Interaccin para Columnas Cuadradas, Uniformemente Armadas en sus Cuatro Caras, con Flexin a 45 Respecto a los Ejes Principales. Estas curvas de interaccin a 45 , junto con las Curvas de Interaccin Respecto a los Ejes Principales permiten una interpolacin

angular bastante ms confiable para cualquier ngulo de flexin en columnas cuadradas. Existen autores como Row y Pauley que recomiendan diagramas de interaccin para ms ngulos de flexin intermedios (15 , 30 y 45 ), con el objeto de tener una mayor precisin en la interpolacin.

Se anexan a esta publicacin familias de Curvas de Interaccin de Columnas Rectangulares para Flexin Diagonal (un caso particular son las columnas cuadradas con flexin a 45 ), con diferentes cuantas de armado en caras con distinta orientacin y armadura idntica en caras opuestas, lo que ampla el campo de utilizacin de las curvas propuestas por el ACI, y parcialmente mejora las curvas propuestas por Row y Pauley.

EJEMPLO 11.6:

Disear una columna cuadrada de hormign armado de 50 cm x 50 cm, que debe resistir una carga axial ltima Pu de 178 T, un momento flector ltimo Muy (en la direccin del eje x, y alrededor del eje y) de 37 T-m y un momento flector ltimo Mux (en la direccin del eje y, y alrededor del eje x) de 22 T-m. La resistencia del hormign fc es 280 Kg/cm2; el esfuerzo de fluencia del acero Fy es 4200 Kg/cm2.

Se escoge el tipo de distribucin tentativa de las varillas de acero:

Se calcula el factor de dimensin del ncleo de la columna:

g = 38 / 50 = 0.76 @ 0.80

El momento flector resultante se obtiene sumando vectorialmente los momentos flectores en la direccin de los ejes coordenados principales ortogonales.

Se calcula el ngulo que forma el momento flector ltimo resultante con relacin al eje x:

Tg (a ) = Mux / Muy = 22 T-m / 37 T-m = 0.595

a = 30.74

Con la carga axial ltima y el momento flector ltimo resultante se determinan los coeficientes de entrada a las curvas de interaccin adimensionales.

Se escoge el grfico # 7 de los Diagramas de Interaccin de Columnas Rectangulares y el correspondiente grfico # 7 de los Diagramas de Interaccin de Columnas Rectangulares con Flexin Diagonal, los que estn definidos por fc = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras.

En el diagrama de interaccin a 0 se obtiene una cuanta de armado r t = 0.0175

En el diagrama de interaccin diagonal a 45 se obtiene una cuanta de armado r t = 0.025

Es importante notar, que en esta columna cuadrada, el armado requerido a 45 es superior en un 43% al armado requerido a 0 .

Interpolando linealmente entre 0 y 45 , para 30.74 , se tiene:

r t es mayor a la cuanta mnima en columnas (r mn = 0.01), e inferior a la cuanta mxima en zonas ssmicas (r mx = 0.06). Adems la cuanta de armado cumple criterios de economa.

La seccin transversal de acero requerida es:

As = r t . Ag = r t . b . t = 0.0226 (50 cm) (50 cm) = 56.50 cm2

La distribucin escogida inicialmente determina que se requerirn 12 varillas de hierro esquineras de 20 mm y 8 varillas centrales de 18 mm de dimetro, lo que proporciona 58.00 cm2 de seccin transversal de acero.

Para mejorar la capacidad resistente de las columnas a flexocompresin biaxial, es preferible colocar los hierros de mayor dimetro en las esquinas.

Las investigaciones han demostrado que los grficos de flexocompresin diagonal dan los mejores resultados para columnas cuadradas, y proporcionan resultados aceptables, en columnas rectangulares cuya relacin lado mayor / lado menor no supere 2, reajustando el ngulo respectivo en funcin de la posicin de los vrtices de las columnas; reajustando el factor de tamao del ncleo g; y tomando en consideracin la geometra y la capacidad resistente en las dos direcciones ortogonales principales.

EJEMPLO 11.7:

Disear una columna rectangular de hormign de 50 cm x 30 cm sometida a una carga axial ltima Pu de 107 T, a un momento flector ltimo Muy (alrededor del eje y) de 11 T-m en la direccin de los 30 cm, y a un momento flector ltimo Mux (alrededor del eje x) de 13 T-m en la direccin de los 50 cm. El hormign tiene una resistencia caracterstica de 280 Kg/cm2 y un esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2.

Se determina el ngulo de posicin del vrtice con relacin al eje x:

Tg (b ) = 25 cm / 15 cm = 1.667

b = 59.04

Se determina el momento flector ltimo resultante:

Se determina el ngulo de accin del momento flector resultante con relacin al eje x:

Tg(a ) = 13 T-m / 11 T-m = 1.182

a = 49.76

El ngulo obtenido est comprendido entre 0 y 59.04 , por lo que para la interpolacin se requieren las cuantas de armado para esos ngulos de flexin.

Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interaccin a 0 :

Se calcula el momento flector resultante:

Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interaccin con flexin diagonal (59.04 para esta columna rectangular), que consideran la capacidad resistente en las dos direcciones principales:

Se calculan los factores de dimensin del ncleo para los ejes principales:

gx = 18 cm / 30 cm = 0.60

gy = 38 cm / 50 cm = 0.76

Se calcula el factor de dimensin del ncleo para los diagramas de flexin diagonal (a 59.04 para la columna rectangular):

g = (gx + gy) / 2 = 0.68 0.70

Se escoge el grfico # 65 de los Diagramas de Interaccin de Columnas Rectangulares definido por fc = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.60, y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras, as como el grfico # 66 de los Diagramas de Interaccin de Columnas Rectangulares con Flexin Diagonal, definido por fc = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.70, y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras.

En el diagrama de interaccin a 0 , utilizando x = 0.135 , y = 0.255, se obtiene una cuanta de armado r t = 0.033

En el diagrama de interaccin diagonal (a 59.04 para la presente columna rectangular), utilizando x = 0.105, y = 0.255, se obtiene una cuanta de armado r t = 0.0235

Interpolando para 49.76 se tiene:

r t es mayor a la cuanta mnima en columnas (r mn = 0.01), e inferior a la cuanta mxima en zonas ssmicas (r mx = 0.06). Adems una cuanta de armado de 2.50% es aceptable para nuestro medio, desde un punto de vista econmico.

Es importante notar que la cuanta de armado requerida para esta columna rectangular es menor que la cuanta de armado requerida en la direccin dbil a 0 (0.0235 < 0.033), debido a la importancia de la dimensin de la columna en la direccin y (50 cm) comparada con la dimensin en la direccin x (30 cm), que mejora la capacidad resistente diagonal. As mismo, por el motivo antes expuesto, si el momento actuara solamente en la direccin y, mucho ms resistente, la cuanta de armado sera an menor que las dos cuantas anteriores (r t = 0.004).

La seccin transversal de acero requerida es:

As = r t . b . t = 0.0250 (50 cm) (30 cm)

As = 37.50 cm2

Se escogen 12 varillas de 20 mm, que proporcionan 37.68 cm2 de seccin transversal.

11.8 DISEO DE COLUMNAS A CORTE UNIDIRECCIONAL:

Las solicitaciones de corte que actan sobre las columnas sern resistidas por el hormign, y por estribos transversales colocados apropiadamente.

Cuando las fuerzas cortantes que actan sobre las columnas en una direccin dominan sobre las fuerzas cortantes ortogonales, se puede realizar el diseo a corte unidireccional tradicional utilizando una metodologa similar a la empleada en vigas.

El hormign de las columnas podr resistir esfuerzos cortantes vc definidos por la siguiente expresin:

El esfuerzo cortante que no puede ser resistido por el hormign (vu - vc) deber ser resistido por acero transversal.

La seccin transversal resistente al corte Av de los elementos transversales se calcula con la siguiente expresin:

Para cumplir con la seccin transversal mnima requerida por cortante, adicionalmente a los estribos cerrados se podrn utilizar grapas suplementarias del mismo dimetro de los estribos, a los mismos espaciamientos que los estribos cerrados, que tengan ganchos mnimo de 135 de doblez, asegurados en sus extremos a varillas longitudinales y a los estribos cerrados.

Las grapas suplementarias o las ramas de los estribos cerrados traslapados debern espaciarse transversalmente a no ms de 35 cm entre centros.

EJEMPLO 11.8:

Determinar el armado transversal requerido por la columna cuya seccin transversal se detalla en la figura, sometida a una fuerza cortante unidireccional de 14 T, coincidente con el eje principal x. El hormign tiene una resistencia de fc = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.

Clculo del esfuerzo cortante ltimo:

b = 30 cm

d = 24 cm

f = 0.85 (corte)

Vu = 14 T. = 14000 Kg

Clculo del esfuerzo resistente del hormign:

Verificacin del esfuerzo mximo que puede resistir el acero transversal:

El esfuerzo mximo que puede absorverse con acero transversal es:

El esfuerzo que debe absorverse con acero transversal es:

vu - vc = 22.88 Kg/cm2 - 7.25 Kg/cm2 = 15.63 Kg/cm2

Debe verificarse que:

15.63 Kg/cm2 < 30.43 Kg/cm2 (O.K.)

Clculo de la armadura transversal:

La seccin transversal se calcula con la siguiente expresin:

Despejando el espaciamiento s de la ecuacin anterior se tiene:

Tomando un estribo de 8 mm de dimetro cuya seccin transversal es 0.50 cm2, y considerando que un estribo cuadrado tiene dos ramales orientados en la direccin x, se tiene que:

Av = 2 x 0.50 cm2 = 1.00 cm2

Reemplazando en la ecuacin de clculo del espaciamiento s:

Para resistir las fuerzas cortantes se requieren estribos cerrados de 8 mm espaciados cada 9 cm.

11.9 DISEO DE COLUMNAS A CORTE BIDIRECCIONAL:

El diseo de columnas a corte bidireccional tiene caractersticas especiales, que los cdigos vigentes pasan por alto pues nicamente analizan el caso de corte unidireccional. Sin embargo se pueden rescatar ciertos criterios del diseo de corte con torsin especificado en los cdigos, con el objeto de definir una metodologa apropiada.

La capacidad resistente nominal a corte del hormign simple en las dos direcciones principales (vcx, vcy) depende del nivel de esfuerzos cortantes ltimos en las dos direcciones (vux, vuy) y se calcula con las siguientes expresiones:

Donde:

vcx: esfuerzo resistente a corte del hormign simple en la direccin x

vcy: esfuerzo resistente a corte del hormign simple en la direccin y

vux: esfuerzo cortante ltimo en la direccin x

vuy: esfuerzo cortante ltimo en la direccin y

Las dos ecuaciones anteriores se interpretan como que la resistencia nominal del

hormign simple a cortante puro es (ligeramente superior al cortante que resiste el hormign bajo solicitaciones unidireccionales, de acuerdo a los cdigos). Cualquier estado tensional de corte bidireccional se describe por una circunferencia

base que tiene como radio , y una circunferencia de diseo, mltiplo de la circunferencia base, que superpone las solicitaciones en las dos direcciones.

Las solicitaciones mximas que pueden resistir las secciones rectangulares de hormign armado, incluida la colaboracin del refuerzo transversal de acero, tambin estn controladas por una circunferencia proporcional a las anteriores, en las que el esfuerzo

mximo que se admite a corte puro es . Esta nueva circunferencia es 5 veces mayor que la circunferencia base.

La expresin que define el mayor esfuerzo cortante bidireccional que puede resistir una seccin rectangular reforzada en las dos direcciones con acero es la siguiente:

El acero de refuerzo transversal (Avx, Avy) requerido para resistir las fuerzas cortantes en las dos direcciones ortogonales (x, y) se calcula con las siguientes expresiones:

Donde:

Avx: seccin transversal resistente al corte de los ramales orientados en la direccin x

Avy: seccin transversal resistente al corte de los ramales orientados en la direccin y

EJEMPLO 11.9:

Determinar el armado transversal requerido por la columna cuya seccin transversal se detalla en la figura, sometida simultneamente a una fuerza cortante en la direccin del

eje x de 10 T, y una fuerza cortante en la direccin del eje y de 16 T. El hormign tiene una resistencia de fc = 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.

Clculo del esfuerzo cortante ltimo en la direccin x:

b = 40 cm

d = 24 cm

f = 0.85 (corte)

Vux = 10 T. = 10000 Kg

Clculo del esfuerzo cortante ltimo en la direccin y:

b = 30 cm

d = 34 cm

f = 0.85 (corte)

Vuy = 16 T. = 16000 Kg

Verificacin del esfuerzo mximo que puede resistir el hormign armado:

El esfuerzo mximo que puede absorverse con hormign y acero transversal es:

El esfuerzo cortante combinado es:

Debe verificarse que:

22.15 Kg/cm2 < 38.40 Kg/cm2 (O.K.)

Clculo del esfuerzo resistente del hormign en la direccin x:

Clculo del esfuerzo resistente del hormign en la direccin y:

Clculo de la armadura transversal en la direccin x:



Tomando un estribo de 8 mm de dimetro cuya seccin transversal es 0.50 cm2, y considerando que un estribo cuadrado tiene dos ramales orientados en la direccin x, se tiene que:

Av = 2 x 0.50 cm2 = 1.00 cm2


Para resistir las fuerzas cortantes en la direccin x se requieren estribos cerrados de 8 mm de dimetro espaciados cada 13 cm.

Clculo de la armadura transversal en la direccin y:



Tomando un estribo de 8 mm de dimetro cuya seccin transversal es 0.50 cm2, y considerando que un estribo cuadrado tiene dos ramales orientados en la direccin y, se tiene que:

Av = 2 x 0.50 cm2 = 1.00 cm2


Para resistir las fuerzas cortantes en la direccin y se requieren estribos cerrados de 8 mm de dimetro espaciados cada 11.5 cm.

Los fuerzas cortantes en las dos direcciones ortogonales son resistidas por ramales diferentes de los estribos cerrados por lo que no es necesario superponer las dos armaduras calculadas.

Para resistir las fuerzas cortantes en las dos direcciones se toma el menor de los espaciamientos calculados, es decir que se requieren estribos cerrados de 8 mm de dimetro espaciados cada 11.5 cm.

11.10 CARACTERISTICAS DEL REFUERZO LATERAL EN COLUMNAS CON ESTRIBOS:

En zonas ssmicas, en columnas con estribos, todas las varillas no preesforzadas debern confinarse mediante estribos laterales (y grapas suplementarias si fueran necesarias) por lo menos de 8 mm de dimetro para varillas longitudinales de 28 mm o menores; por lo menos de 10 mm para varillas longitudinales de 32 mm; y por lo menos de 10 mm para paquetes de varillas.

Los estribos debern ser cerrados, con ngulos de doblez extremos de al menos 135 , ms una longitud de al menos 10 dimetros de la varilla del estribo, pero no menor a 10 cm en los extremos libres.

Los estribos se dispondrn de tal forma que cada varilla esquinera y cada varilla longitudinal alternada tengan un soporte lateral proporcionado por la esquina de un estribo cerrado cuyo ngulo comprendido (ngulo interior) no supere los 135 . Ninguna varilla longitudinal deber estar separada ms de 15 cm libres a cualquier lado de una varilla lateralmente soportada.

En zonas ssmicas, los estribos debern colocarse con un espaciamiento no mayor que d/2, 16 dimetros de la varilla longitudinal, 48 dimetros de la varilla del estribo, el que sea menor, en toda la longitud del miembro.

En zonas ssmicas, en los extremos de las columnas (en su unin con vigas u otros elementos estructurales) deber colocarse un refuerzo transversal especial conformado por estribos laterales cerrados de confinamiento y ocasionalmente por grapas suplementarias adicionales a los estribos, si fueran necesarias, hasta una distancia de 1/6 de su altura libre, el doble de la mayor dimensin de la seccin transversal de la columna, o 50 cm, la que sea mayor. El primer estribo medido desde la cara de la viga (o el elemento transversal a la columna) debe estar ubicado a lo sumo a la mitad del espaciamiento del refuerzo transversal especial o a 5 cm, el que sea menor.

El espaciamiento del refuerzo transversal especial no podr ser mayor que d/4, 8 dimetros de la varilla longitudinal, 24 dimetros de la varilla del estribo cerrado, o 30 cm, el que sea menor.

El refuerzo transversal especial rectangular podr ser el requerido para resistir las fuerzas cortantes y momentos torsores, pero al menos deber ser la mayor de las dos expresiones que se establecen a continuacin:

Donde:

Ash: rea total del refuerzo transversal

Ag: rea total de la seccin transversal de la columna

Ach: rea del ncleo rectangular de una columna medida entre las caras exteriores de un estribo cerrado

hc: dimensin mayor del ncleo de una columna rectangular con estribos

sh: espaciamiento centro a centro de los estribos cerrados

11.11 CARACTERISTICAS DEL REFUERZO LATERAL EN COLUMNAS ZUNCHADAS:

El refuerzo lateral en columnas zunchadas consistir en espirales continuas espaciadas regularmente, firmemente colocadas y alineadas mediante espaciadores verticales. Los zunchos tendrn un dimetro mnimo de varilla de 8 mm.

El refuerzo lateral deber ser capaz de resistir las fuerzas cortantes y los momentos torsores actuantes.

La relacin volumtrica del refuerzo en espiral r s deber cumplir con los siguientes valores mnimos:

Se requieren al menos 2 espaciadores por ramal de hlice para espirales de un dimetro del zuncho menor a 50 cm; se requieren 3 espaciadores por ramal (por cada aro de la espiral) para dimetros de 50 a 75 cm; y se requieren 4 espaciadores por ramal para dimetros superiores a 75 cm.

Cuando los dimetros de las varillas de las espirales sean de 14 mm. o ms, se requieren 3 espaciadores para espirales de 60 cm o menos de dimetro; y se requieren 4 espaciadores para espirales de ms de 60 cm. de dimetro.

El anclaje del refuerzo espiral debe ser provisto por al menos 1.5 vueltas del helicoide. El zuncho deber extenderse desde la parte superior del plinto o de la losa, hasta el refuerzo inferior de los elementos soportados superiores (columna o losa), debiendo aadirse el anclaje correspondiente.

El traslape de dos varillas del refuerzo espiral debe ser de 48 dimetros de la varilla del helicoide, pero nunca menos de 30 cm. Tambin se puede conseguir la continuidad entre dos varillas del zuncho mediante soldaduras apropiadas.

11.12 REFERENCIAS:

11.1 G. Winter y A. Nilson, Proyecto de Estructuras de Hormign, Editorial Revert, S.A.

11.2 P. Jimnez, A. Garca y F. Morn, Hormign Armado, Mateu Cromo, Artes Grficas, S. A.

11.3 R. Park y T. Pauley, Estructuras de Concreto Reforzado, Editorial LIMUSA S. A.

11.4 "Building Code Requirements for Reinforced Concrete", American Concrete Institute.

11.5 "Cdigo Ecuatoriano de la Construccin", Instituto Ecuatoriano de Normalizacin.

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