1CALCULO DE RESERVAS

Las reservas constituyen el activo valorizado de mineral que puede ser extrado econmicamente, parallegar a estos resultados es necesario realizar un anlisis y clculo de costos de produccin, recuperacinmetalrgica y eleccin del precio del metal o metales dentro de los plazos de recuperacin de la inversinms utilidades.

Estas tres variables, al parecer simples, definen con certeza la ley de corte (cut off) requerida para eltrabajo cotidiano de las operaciones mineras.

Ley * T * R * P > Ci

En donde las variables son tonelaje (T), recuperacin metalrgica (R), precio del metal a vender (P),costos (Ci)para cada actividad minera i. En las operaciones mineras siempre se tiene que buscar que el ladoizquierdo de la expresin sea mucho mayor que el lado derecho, sin embargo estas expresiones al seriguales se encuentra la Ley que indica el valor mnimo de la ley que se debe extraer y enviar a la plantametalrgica.

Ley * T * R * P = Ci

La Ley del mineral (ley equivalente si son varios elementos, por ejemplo Pb, Ag, Zn) en este caso significael Cut Off o Ley de Corte. Hoy se manejan trminos como cut off operativo, cut off empresarial y otros, quese van adoptando en un proyecto minero a medida que avanzan las operaciones y se tienen que interactuarcon activos depreciados (pero con importante valor en el mercado), con costos financieros pagados orefinanciados.

Con esta ley de corte podemos identificar los cuerpos o zonas mineralizadas de inters, sin embargo esnecesario que este volumen de mineral identificado pueda pagar su extraccin, tanto en minera subterrneacomo en minera superficial, este concepto es de igual significado.

En minera subterrnea, si luego de la estimacin de recursos, encontramos que algunos tajeos tienen leymayor a la ley de corte, sin embargo se encuentran muy alejados de la planta metalrgica, no formar partede las reservas (hasta encontrar alguna forma que reduzca los costos de extraccin o minado).

De forma similar en minera superficial, los recursos pueden indicar volmenes con leyes superiores a laley de corte, pero si estos se encuentran en profundidad que no puede pagar el desbroce, no formarn partede las reservas.

1. CONCEPTO DE CLCULO DE RESERVAS

Los recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos mantienen esta calificacin en base a laprecisin de la estimacin que depende de la cantidad de muestras y la proximidad de las mismasutilizadas en la estimacin de recursos, sin embargo esta clasificacin de recursos mantienen unarelacin directa con las reservas probadas y probables, pero aqu es muy importante precisar que lacalificacin de reservas depende ms de la facilidad de extraccin del mineral.

De esta manera se entiende con facilidad que no todos los recursos medidos e indicados podrnconvertirse en reservas probadas o probables. Es aqu en donde se destaca que las reservas (probadas oprobables) se definen por anlisis de costos, precios y recuperacin metalrgica.

Las reservas constituyen el activo valorizado de mineral que puede ser extrado econmicamente, parallegar a estos resultados es necesario:

1) Anlisis y clculo de costos de produccin

22) Determinacin de la Recuperacin Metalrgica3) Determinar el precio ms confiable y seguro del metal4) Determinar el tiempo de proyeccin de estas variables5) Determinacin de los accesos y volmenes de extraccin del mineral

El conocimiento y control de estas variables permiten definir con mayor certeza la ley de corte (cut off)requerida para el trabajo cotidiano de las operaciones mineras.

En la siguiente expresin el lado izquierdo indica las variables: tonelaje (T), recuperacin metalrgica(R), precio del metal a vender (P) y el lado derecho la suma de, costos (Ci). En toda operacin minera ellado izquierdo debe ser mayor que el lado derecho.

Sin embargo al igualar estas expresiones se determina la condicin que debe cumplir la ley de corte ocut-off, en donde la ley de corte subir en valor directamente proporcional al alza de los costos, tambin laley de corte subir en valor cuando la recuperacin metalrgica o el precio disminuyan en valor.

En trminos simples la ley de corte indica la mnima ley de mineral que debe ser enviada a la planta detratamiento.

Con esta ley de corte podemos identificar los cuerpos o zonas mineralizadas de inters, sin embargoes necesario que este volumen de mineral identificado pueda pagar su extraccin, tanto en minerasubterrnea como en minera superficial, este concepto es de igual significado.

En minera subterrnea, si luego de la estimacin de recursos, encontramos que algunos tajeos tienenley mayor a la ley de corte, sin embargo se encuentran muy alejados de la planta metalrgica, no formarparte de las reservas (hasta encontrar alguna forma que reduzca los costos de extraccin o minado).

De forma similar en minera superficial, los recursos pueden indicar volmenes con leyes superiores ala ley de corte, pero si estos se encuentran en profundidad que no puede pagar el desbroce y extraccin,no formarn parte de las reservas.

La ley de corte puede indicar tambin la ley de corte equivalente (conformado por la ley mnima decada uno de los metales presentes en el mineral de inters).

Otra de las principales preocupaciones de las empresas constituye encontrar la diferenciacin entre lasleyes de corte operativa, empresarial y corporativa, que algunas veces pasan por un mayor anlisis dedepreciacin de activos, costos de refinanciamiento y su influencia en el tonelaje de recursos y reservas.

El control anlisis y control comparativo de la ley de corte, costos y reservas permiten proveer yproyectar el desarrollo sostenido de las operaciones mineras.

2. CLCULO DE RESERVAS EN MINAS SUBTERRNEAS

CRITERIOS PARA EL CLCULO DE RESERVAS EN MINERA SUBTERRNEA

Partiendo del clculo de recursos, con el cual se puede determinar la cantidad de metal presente encada punto posible de extraccin, es posible valorizar cada uno de los volmenes con recursosestimados. Si tenemos tajeos de vetas en mina subterrnea con tonelajes y leyes de metal, stasrecibirn un valor de acuerdo al contenido de metal, precio y recuperacin metalrgica.

El siguiente paso es iniciar en forma virtual la extraccin de estos tajeos siempre y cuando paguen elproceso de minado hasta colocarlo en la planta de tratamiento.

Si bien la ley de corte es un importante clasificador de zonas de explotacin, en minera subterrneatambin es importante determinar el tonelaje suficiente que pueda pagar cada tajeo en los desarrollos quese requieren para su extraccin.

Para poder calcular las reservas, es necesario realizar el diseo de la mina subterrnea, este diseodebe suministrar seguridad durante la extraccin del mineral de cada tajeo considerando aspectos yconsideraciones netamente operativas, como por ejemplo:

1) Certeza de la estimacin clasificado en Reservas Probadas y Reservas Probables2) Distancia de la planta que permita costos de transporte de mineral incluidos en la Ley de Corte3) Consideraciones de distancia, accesibilidad, transporte y acarreo4) Condiciones de trabajo (seguridad, ventilacin, etc.)

En el grfico N 1 se observa, a manera de ejemplo, un conjunto de tajeos con "recursos estimados" ycalificados de la forma siguiente: (A) Medidas, (B) Indicadas, (C) Inferidas.

Realizando una evaluacin de cada tajeo y la factibilidad de su extraccin, se determina que de losrecursos medidos (A) se extraen econmicamente los tajeos A1 al A10 conformando las "reservasprobadas".

De los recursos indicados (B) se determina que solo pueden ser extrados econmicamente los tajeosB1 al B4 conformando las "reservas probables".

3Se observan tajeos con recursos medidos (A) y recursos indicados (B) que no podrn ser extrados,por posible falta de algunas de las condiciones de operatividad (2), (3) (4), indicadas en prrafosanteriores.

Tambin se observa a los recursos inferidos que no son tomados en cuenta en la evaluacin dereservas para extraccin.

Fig. 1

Hoy en da con el conocimiento de las operaciones y aplicando intensivamente software de diseopodemos determinar con mayor rapidez y certeza, no solo cuales son los tajeos que se debe extraereconmicamente, sino tambin la secuencia de extraccin (plan de minado) a corto, mediano y largoplazo, plasmando en tres dimensiones el modelo geolgico del yacimiento, las rutas de acceso y comoquedarn la mina al final de sus operaciones.

3. CLCULO DE RESERVAS EN MINERA SUPERFICIAL

CRITERIOS PARA EL CLCULO DE RESERVAS EN MINERA SUPERFICIAL

Para calcular las reservas en minera superficial, es necesario realizar el diseo de la mina a tajoabierto, el diseo se sustenta en lograr identificar los bloques estimados con ley superior a la ley de corte(cut off) y al mismo tiempo su extraccin pague el estril o desmonte que se encuentra sobre ellos.

Fig. 1

Entre las consideraciones ms importantes que se deben tener en cuenta para el diseo de una mina acielo abierto, se presentan las siguientes:

1) Modelo de bloques con valores de ley y certeza de la estimacin de bloques de mineral2) Recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos3) Modelo topogrfico del terreno, en una extensin suficiente para la extensin de los taludes del tajo4) Altura del banco de explotacin y gradiente de los taludes en direcciones5) Recuperacin metalrgica, Costos de Mina y de Planta, Precios de los metales a explotar

4Fig. 2 Fig. 3

Con esta informacin se procede a calcular el diseo ptimo del tajo mediante cualquiera de lossoftware disponibles en el mercado que garantice la optimalidad del clculo.

El diseo ptimo es nico, por ser una funcin matemtica, sin embargo constituye un diseo por logeneral no aplicable en 100%, debido a que muchas veces presenta contornos no compatibles con laoperacin de los equipos de minado.

Para ello, es necesario introducir ajustes en el diseo aplicando criterios operativos, si bien estosajustes alejarn en un pequeo porcentaje el diseo ptimo matemtico, estaremos logrando un ptimotcnico operativo para el proceso de produccin.

Fig. 4 Fig. 5

Una vez obtenido el "diseo ptimo tcnico" de la mina a cielo abierto (Fig. 4), se procede a calcular eltonelaje de mineral que se encuentra en su interior (Fig. N 5), el mineral dentro del pit es calificado comoreservas. Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos medidos" y que se encuentran alinterior del diseo, reciben el calificativo de "reservas probadas".

Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos indicados" y que se encuentran al interior deldiseo, reciben el calificativo de "reservas probables".

Los recursos inferidos no son tomados en cuenta para el clculo del diseo del pit y tampoco comocontribucin en los tonelajes de reservas.

5DISEO DE MINAS

1. OPTIMALIDAD EN EL DISEO DE MINAS

Para iniciar el diseo de una mina, ya sea subterrnea o superficial, es necesario contar previamentecon toda la informacin de recursos, es necesario establecer las condiciones y formas de acceso para laextraccin de mineral, as como las condiciones y restricciones de seguridad y medio ambiente durantelas operaciones.

Con esta informacin se realiza una proyeccin de extraccin de los recursos de las formas mseconmicas posibles, plantendose un gran nmero de opciones de extraccin de mineral a travs deltiempo hasta que se culmine con la extraccin de la mxima cantidad de recursos disponible y con lamxima rentabilidad de inversin.

Observando el Grfico N 1, para un depsito con recursos, encontraremos un tonelaje de minado (t)que proporcionar una rentabilidad (r), a cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva lecorresponde a un (t) que suministra una rentabilidad (r). La nube de puntos debajo de la curva es infinita,es decir las posibilidades de obtencin de rentabilidad de acuerdo al tonelaje (t) tambin es infinita, sinembargo para fines prcticos se debe evaluar el diseo ptimo en los tonelajes que generanrentabilidades mximas (por ejemplo en los puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.). Para lograr encontrar la mximarentabilidad, entre (c) y (f) se aplican modelos matemticos de optimizacin apoyados por softwaredesarrollados para este fin.

Fig. 1: Rentabilidad vs tonelaje de minado

Es importante mencionar que la rentabilidad es tambin funcin de N variables que intervienen en todoel proceso de clculo del cash flow.

El hecho de conocer ms opciones de optimalidad nos permite obtener la curva que nos expresa elresultado de la sensibilidad de la rentabilidad para todo proyecto nuevo de inversin o proyecto deampliacin de operaciones.

6Para determinar si en un depsito se debe aplicar minado subterrneo o superficial, se recomiendadesarrollar previamente un estudio de minado a cielo abierto, incluso cuando se trata de una veta conpotencia importante y poco recubrimiento. Si queda sin explotar un importante tonelaje de recursos, sepasa a etapa de comparacin de rentabilidades con minado subterrneo o a minado aplicando ambosmtodos.(Fig. N 2).

Fig. 2: Minado superficial y subterrneo

2. DISEO DE MINAS EN VETAS

En el diseo de una mina subterrnea en vetas, se requiere tener evaluado el volumen de mineralexistente en cada frente de trabajo, se requiere establecer la secuencia de extraccin del mineral hasta el

7final de la vida de la mina, se detallan las formas de explotacin en cada zona de trabajo, las rutas deacceso, las rutas de ventilacin, la forma de extraccin del mineral desde cada frente de produccin y lascondiciones de seguridad de las operaciones de minado.

El minado subterrneo en Per se orienta en su mayora de los casos a vetas angostas, y en menorescasos a estructuras con potencia aproximada de 20 o 50 metros. Es menos frecuente la presencia demantos mineralizados a profundidad.

Una de las variables importantes que inciden directamente en los costos y por lo tanto en losresultados del diseo es el ancho de minado, toda variacin del ancho de minado en los frentes de lostajeos de explotacin ocasionar variacin en la ley y en el tonelaje de recursos y reservas.

Fig. 1: Tajeos subterrneos

Fig. 2: Minado subterrneo y superficial

En la fig. N 1 se observan tajeos de los cuales aquellos con nomenclatura A y B sern extrados porsu proximidad con las rutas de acceso (1, 2, 3). El mineral de los tajeos C no pagarn la extraccin, por lotanto el diseo de la mina est definido por la opcin ms rentable de secuencia de minado que englobaun tonelaje total de reservas.

Dependiendo de la cantidad de tajeos, el procedimiento para determinar el diseo en una minasubterrnea, requiere el registro de cada tajeo con su particular identificacin de calidad, cantidad demineral, costo de extraccin y recuperacin metalrgica.

Luego de este registro e identificacin de tajeos se procede a plantear todas las opciones factibles deextraccin de mineral de los tajeos, los mismos que pueden requerir extraccin simultnea de dos o mstajeos para cumplir objetivos de mezclas de mineral para fines de mejor recuperacin metalrgica.

Para mediana minera, por lo general se presentan varias vetas a explotar simultneamente, en cadaveta se disponen de decenas de tajeos con tonelaje y leyes estimadas. El uso intensivo de herramientasde cmputo con algoritmos que permitan administrar la informacin de las combinaciones posibles paralos procesos de clculo que sirvan para encontrar el diseo de mina ms rentable, forma parte de ladisciplina de la ingeniera de software minero para alcanzar la optimalidad de la relacin costo / beneficio.

Esto significa plantear un gran nmero de posibilidades para la extraccin de la mayor cantidad demineral de recursos posible, evaluando y ajustando en cada tajo la variacin de los costos operativos

8mina y su influencia en el cut off, identificando con claridad los tajeos que presentan leyes marginales muycercanas al cut off, por tratarse de mineral con slidas expectativas econmicas ante eventuales alzas deprecios de los metales.

La presentacin de los resultados del diseo de minas en vetas, consta de planos descriptivos concuadros de reservas (tonelajes y leyes) con identificacin de tajeos a extraer relacionado a un cronogramade trabajo hasta el agotamiento de las reservas. Dentro de este cronograma tambin se presenta lasfechas y duracin de construccin de accesos, preparacin de la mina, rutas de ventilacin yconstrucciones para ventilacin, seguridad y contingencia.

3. DISEO DE MINA A TAJO ABIERTO (OPEN PITS)

El diseo de una mina a tajo abierto ( cielo abierto) es una de las actividades ms importantes en elestudio tcnico econmico de un proyecto minero, pues no solo nos proporcionar las reservaseconmicas a explotar, sino la forma de la mina al final de su vida en cada banco de explotacin, lapendiente de los taludes en diferentes niveles, el tonelaje de material estril a extraer, la ubicacin deltonelaje y ley que suministrar la mayor rentabilidad.

Fig.1: Secuencia para llegar a reservas

Consideramos importante en esta parte introducir el concepto de optimalidad que involucra el aplicarun algoritmo de diseo de minas mediante alguno de los software disponibles en el mercado. Es tambinimportante mencionar la histrica trayectoria de investigacin en varios pases para lograr el software queobtenga, en primer lugar el diseo ptimo matemtico del tajo abierto, y en segundo lugar que presenteversatilidad y flexibilidad en la aplicacin en depsitos de gran dimensin y complejidad.

Para entender la magnitud de la complejidad de clculo en el diseo ptimo de una mina a cieloabierto, se muestra en el grfico N 3

Fig. 3: Tajo con bloques seleccionados

9En este diseo de tajo abierto, se observan bloques de 10 x 10 x 10 m3, la magnitud del modelo debloques se encuentra en el orden de 180 x 120 x 80 (1,728,000 bloques) limitado en la parte superior poruna topografa.

En el grfico se observan bloques seleccionados encima de la topografa del tajo diseado y debajo desta se observan los bloques que no son posibles de extraer, ya sea por que estar ms profundos o demenor ley, que no paga su extraccin.

Para el diseo ptimo del tajo abierto es necesario que el algoritmo a aplicar seleccione los bloquescon ley que puedan pagar la extraccin del material estril que la recubre, respetando las condiciones deestabilidad de los taludes indicados.

Se podr entender que la combinatoria de seleccin de bloques de mineral con bloques con materialestril requiere de un software comprobado, validado y reconocido y aceptado internacionalmente por lasprincipales entidades que financian proyectos mineros.

Un software de alta versatilidad presenta como resultado en un solo proceso de clculo varios diseosde minas, cada uno diferenciado del parmetro (Pit (i)), que est en funcin de los costos de mina, planta,precios del metal y recuperacin.

Fig. 4: Diseos de tajos con bloques de reservas

Considerando las variables que intervienen en el clculo del cut-off, se entiende que es posible disearpits anidados que estn en funcin de las variables que determinan el cut-off. Por lo tanto Cada Pit esfuncin del, precio (P) del metal, recuperacin (R), tonelaje (T), ley del metal (L) y costos (C).

Los software disponibles actualmente en el mercado pueden suministrar en un solo proceso decenasde pits, simulando un anlisis de sensibilidad para variaciones del parmetro tcnico econmico,indicando tambin el diseo ptimo para las condiciones actuales de costos y precios.

En la figura 4 se presentan tajos generados mediante la variacin de parmetros tales como el Costo(mina + planta), Precio del metal, Recuperacin Metalrgica, Tonelaje de Mineral y ley del metal.

Estos parmetros en conjunto generan el cut off o ley de corte, entonces cada tajo que puedagenerarse mantiene una relacin directa y proporcional con el cut off

Fig. 5: Diseos de tajos para diferentes parmetros

En el grfico 5, se muestra como incrementando el valor del precio del metal se puede lograr que sevuelva econmico las profundidades de un pit. Lgicamente est relacionado a la presencia de buena leyy a la relacin estril mineral.

Si observamos un depsito con recursos, podremos realizar un gran nmero de diseos que generarnun tonelaje de minado y una rentabilidad, segn la Fig. 6 podremos encontrar un tonelaje (t) queproporcionar una rentabilidad (r), para cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva

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Fig. 6: Curva de Optimalidad de la Rentabilidad

Si evaluamos la rentabilidad de un proyecto que tiene como mximo 120 millones de toneladas, larentabilidad puede partir desde valores muy bajos (para mnimos tonelajes) como indica la curva, y se vaincrementando gradualmente hasta un mximo, luego del cual la rentabilidad ir decreciendo.

Es interesante imaginar que los puntos debajo de la curva tambin son relaciones que puedenpresentarse entre valores de tonelaje y la rentabilidad, estos puntos debajo de la curva definitivamente noconstituyen valores ptimos para cada tonelaje total a producir en el proyecto. Probablemente estosvalores debajo de la curva podran ser utilizados en los casos que no se apliquen criterios de optimalidadocasionando prdidas en el proyecto por mala concepcin.

La cantidad de puntos existente debajo de la curva es muy grande. Los diseos ptimos de tajosabiertos que se pueden encontrar con un software especializado se ubican en el borde superior de lacurva (puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.), de los cuales para cierta condicin de las variables que intervienenen un determinado momento, encontraramos el ptimo entre los puntos (e) y (g).

El hecho de conocer la mayor cantidad de opciones de optimalidad para distintos valores delparmetro Pit(i) nos permite definir un espectro de opciones de pits ptimos que contribuyen a definirmejor el horizonte de trabajo principalmente en perodos de inestabilidad de los precios y costos.

En todo proyecto que involucra inversin y riesgo es necesario contar con un anlisis de sensibilidadde los retornos de inversin acorde a las fluctuaciones de precios y costos.

4. ALGORITMOS DE DISEO DE MINAS

BSQUEDA DEL PTIMO

La Minera al igual que en otros procesos industriales requiere de un anlisis profundo de la forma deexplotacin de los minerales, una de las etapas cruciales que definen la rentabilidad o no de un proyectominero a cielo abierto corresponde al diseo final ptimo del tajo abierto.

La tecnologa de procesamiento de informacin en base a modelos matemticos de optimizacin, hasido desarrollada durante muchos aos por los principales centros de investigacin de pasesdesarrollados con importante influencia en inversiones mineras de gran magnitud.

Es as que podemos recopilar importantes esfuerzos cientficos desarrollados en Estados Unidos,Inglaterra, Rusia, Francia, Blgica, etc. con miras a encontrar la frmula o el algoritmo matemtico mseficiente y flexible para conseguir un diseo ptimo matemtico de una mina a cielo abierto.

Entre los algoritmos ms importantes podemos destacar:

Cono Mvil o Mtodo de Incrementos (USA) Algoritmo de Korobov (Ruso) Programacin Dinmica (Lerchs y Grossman) (Ingls y USA) Grafos de Lerchs y Grossman (Ingls y USA) Bosque Subcompactado de Ren Vallet (Belga) Parametrizacin de Reservas Minables de Mathern (Francia)

Casi todos estos mtodos o algoritmos descritos, logran obtener o llegar con bastante aproximacin alptimo matemtico (a excepcin del Cono Mvil), pero la diferencia se encuentra en la flexibilidad para elprocesamiento y velocidad para converger en el ptimo matemtico, que como se sabe es nico.

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Ejemplo Figurativo Simple: Para lograr transmitir en forma simple el mensaje sobre el significado deoptimizacin de un tajo, y saber por que se llama ptimo, que hace el software que optimiza y por queutilizarlo, podemos imaginar un modelo de bloques (figurativamente) del tamao de una caja de cartn deunos 30 cm de alto x 60 cm de ancho y 88 cm de largo. Los "bloques de mineral" los colocaremos alinterior de esta caja de cartn, tomando para ello cajas pequeas de fsforo cerillos (de 1 cm de alto x 3cm de ancho x 4 cm de largo) distribuidas en forma ordenada. Asumiremos en este modelo simulado quela topografa es horizontal.

En total podramos colocar 30 x 20 x 22 cajas de fsforo (simulando 30 bloques en direccin de la cota,20 bloques en direccin norte, 22 bloques en direccin este), esto significa que se requeriran 13,200cajas al interior del modelo simulado. Si a 5,000 cajas de fosforo ubicados con cierta aleatoriedad enprofundidad le cargamos con monedas de valores diferentes entre 1$ y 5$ (obtendremos bloques quesimulan la valorizacin del metal dentro de cada uno).

A este conjunto de cajas con valores positivos, las rodeamos hasta llenar el modelo con bloques quecontengan un material estril pesado y con valor negativo porque su extraccin cuesta, de esta maneratendremos un modelo de bloques que simula a los depsitos de mineral.

El objetivo en este conjunto de cajas de fosforo es extraer los bloques (tanto con valor positivo onegativo) que en conjunto sumen el mximo valor a extraer de todas las combinaciones de extraccinposibles. As mismo se deber tener cuidado en darle una forma y gradiente a las paredes del hoyo paraque tenga estabilidad.

Esta combinatoria de extraccin de bloques de mineral que se encuentran en profundidad cubierto porbloques de material estril es la que buscan los algoritmos de diseo de minas para encontrar el diseoque proporcione el mximo beneficio (mayor cantidad de metal y menor cantidad de desmonte).

A esta complejidad debemos adicionarle las condiciones de variacin de los precios, costos, topografairregular, recuperacin metalrgica de acuerdo al tipo de mineral.

MTODO DEL CONO MVIL

Mtodo del Cono Mvil o mtodo de incrementos

Es un mtodo que an es utilizado con cierta frecuencia para obtener los primeros resultados en undiseo, se aproxima al mtodo manual de diseo por su fcil aplicacin.

Existen muchas variantes de este mtodo, pero en esencia consiste en remover material en forma deconos o porciones de estos conos. Las consideraciones generales que guan la metodologa son:

Definir el volumen de minado inicial, fijando la forma del fondo de este volumen Sumar los valores de los bloques que caen dentro de la porcin a incrementar (parte de un cono) Considerar a la porcin como incremento efectivo al primer volumen si su valor es mayor de cero Cuando no se introduce el criterio econmico, se parte con volmenes de geometra del fondo

diferente, y luego se efecta la ampliacin considerando solamente la relacin desmonte / mineral.

Las desventajas de este mtodo son: Al ser utilizadas, la solucin a menudo depende de la formacomo se parti dando por lo tanto muchas soluciones que no conducen al ptimo. Particularmente eltraslape de volmenes no es fcil de controlar. Por ejemplo:

Fig. 1: Ejemplo de Multiconos

Tanto el cono 1 como el cono 2, ningunode los dos independientemente puedenser minados en forma econmica, pero

considerando ambos a la vez, resulta unvalor positivo = 1.

Tanto el cono 1 como el cono 2, ninguno de los dos independientemente pueden ser minados en formaeconmica, pero considerando ambos a la vez, resulta un valor positivo = 1.

ALGORITMO DE KOROBOV

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Este mtodo es particularmente aproximado al de multiconos y se muestra simple permitiendo ciertaflexibilidad en la eleccin de las pendientes de los taludes en direcciones principales (X e Y).

La diferencia que se encuentra con el mtodo anterior, es que no se necesita del anlisis combinatoriotedioso. La metologa es simple, pero no introduce criterios de optimalidad estricta pues el resultadodepende de la direccin en que se trabaja el mtodo. En el ejemplo que sigue se trabajar de izquierda aderecha, el contenido del ejemplo se extrajo a partir de un reporte tcnico de Sergey Korobov,investigador del Instituto de Minas de Mosc, editado en el Dpto. de Minerales de la Escuela Politcnicade Montreal.

El proceso de este algoritmo puede ser explicado con el siguiente ejemplo, partiendo de la Fig. N 1 endonde los nmeros en color es el nmero del bloque, el nmero a su derecha es la evaluacin inicial y elnmero debajo de estos dos, la evaluacin resultante que se forma haca arriba.

Empezamos a explorar el primer nivel y extraemos todos los bloques cuya valuacin sea positiva.Encontramos los bloques 1, 2, y 7 que dan la primera evaluacin V = 1+1+3 = 5. Resulta el siguientegrfico.

A continuacin pasamos al segundo nivel y analizamos su influencia en el primer nivel, en el segundonivel identificamos los bloques con valor positivo 13, 14, y 17. Para cada uno de estos bloquesidentificamos los bloques necesarios a extraer, que se encuentran en el primer nivel (ver el siguientegrfico). Para el bloque 13 vemos que es necesario extraer el bloque 3 y 4. La suma de los valores deestos bloques resulta valor negativo, por lo tanto el cono que se forma a partir del bloque 13 no puede serextrado. Marcamos con valor cero a los bloques de este cono que pueden ser pagados por el bloque 13,en este caso queda pagado solo el bloque 3 y el mismo bloque 13, queda sin ser pagado el bloque 4.

Pasamos al bloque 14 que esta "cubierto" por los bloques 3, 4 y 5, para ser extrado tiene que pagar elcosto del bloque 4 y 5, pues el bloque 3 ya lo pag el bloque 13. Vemos que la valuacin resultante delbloque 14 es cero, por lo tanto tampoco puede extraerse. Sin embargo el bloque 14 paga los bloques 4 y5 por ello se les asigna a stos valores cero como pagados. Por lo tanto hasta el momento contamoscomo pagados (con valor cero) los bloques 3, 4, 5, 13 y 14.

En el mismo nivel encontramos al bloque 17, el cual slo puede ser extrado junto con los bloques 6 y8. La valuacin resultante del bloque 17 es V = +5 -1-1 = 3. Esto significa que si sumamos los valores delos bloques de los conos extrados el valor total hasta el momento se incrementara a V = 5 + 3 = 8.

Agregando el tercer nivel (siguiente grfico), encontramos en este nivel un solo bloque positivo, el 23;el cual contiene en su cono de extraccin a los bloque superiores 3, 4, 5, 14, 15, 16. El bloque 23 solodebe y puede pagar la extraccin de 15, debido a que los bloques 3, 4, 5, 14 ya fueron pagadas. (Lospagos se realizan de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, en aquellos bloques que no fueronpagados por otros bloques anteriormente). Por lo tanto la valuacin del cono resultante desde el bloque23 es cero y no puede ser extrado.

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Adicionando el cuarto nivel (en el siguiente grfico), analizamos el bloque con valor positivo nmero28, el cual puede solo pagar a 12, 16 y 21 dando como valor resultante del cono igual a cero y no puedeser extrado.

El siguiente bloque positivo de este nivel es el 31 que contiene en su cono a los bloques 4, 5, 9, 10, 15,16, 18, 19, 24, 25 y 26, de los cuales solo pueden ser pagados (sin considerar los bloques ya pagados) 9,10, 18, 19, 24 y 25, no se podr pagar el bloque 26, resultando un valor cero para el cono que parte delbloque 31 sin poder ser extrado

En el mismo nivel 4 se tiene el bloque positivo 32, que paga los bloques 11, 20, 26 y 27 dando un valorresultante del cono igual a 3 (valor del bloque 32 = 7, menos los valores recientemente pagados quesuman - 4).

Por lo tanto este cono si puede ser extrado. (Notar que este cono tiene 11 bloques de valor -1). Conello la valuacin total hasta el momento disminuir a V = 8 + 7 - 11 = 4.

Luego de culminar la extraccin del cono desde el cuarto nivel se obtiene el siguiente grfico.

El siguiente paso es comenzar nuevamente el anlisis desde el primer nivel, esta vez borrando todoslos valores resultantes (ceros en este caso).

Segn el siguiente grfico, en el nivel 1 no se obtienen bloques positivos, en el segundo nivelencontramos el bloque 13 que paga la extraccin del bloque 3, dando un valor resultante cero sin poderextraerse este cono.

El bloque 14 paga la extraccin del bloque 4, dando como valor resultante 1. Por lo tanto los bloques 3,4 y 14 pueden ser extrados.

Volviendo a analizar el mismo nivel vemos que podemos extraer el bloque 13 por ya no tener bloquessuperiores. Hasta aqu la valuacin total ser V = 4 + (3-2) = 5.

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Continuamos con el nivel 3 y vemos que ningn bloque puede ser extrado, pues la valuacinresultante desde el bloque 23 es cero.

En nivel 4 el bloque 28 paga el minado de 12, 21, 22 dando valor resultante del cono igual a cero, porlo tanto no puede extraerse.

En el nivel 4 el bloque 31 paga la extraccin del bloque 24, dando como valor resultante igual a 5, porlo tanto los bloques 15, 24 y 31 pueden ser extrados.

La nueva valuacin ser V = 5 + (6 - 2) = 9 como se indica en el grfico siguiente.

Volviendo a analizar desde el nivel superior, se encuentra que el bloque 23 puede ser minado, lavaluacin se incrementar a V = 9 + 1 = 10. Examinando el cono del bloque 28 vemos que no puede serminado, por lo tanto la valuacin final es V = 10, con el diseo final que se observa.

Este mtodo de diseo que puede extrapolarse es facilidad a tres dimensiones, no requiere del anlisistedioso e incorrecto del mtodo del cono mvil. Por ejemplo si aplicamos el cono mvil en este ejemplo elcono que se forma desde el bloque 31 o el que cono que se forma desde el bloque 32 no pueden serincluidos en el pit final, sin embargo ambos calculados en forma simultnea si pueden ser incluidos en elpit final. La nueva valuacin ser V = 5 + (6 - 2) = 9.

Adems en el primer grfico si evaluamos (con el mtodo de multiconos) solo el cono desde el bloque28 obtenemos (12 - 9) = 3, no estamos tomando en cuenta que los bloques superiores con valor positivoestaran pagando incorrectamente algunos bloques negativos de niveles inferiores. En este mtodo deKorobov se tiene cuidado de que los bloques negativos de niveles superiores solamente sean pagadospor los bloques positivos que se encuentran en niveles inferiores.

ALGORITMO DE LEARCHS Y GROSSMAN A 2D

Este algoritmo est limitado a dos dimensiones, debido a su simplicidad es fcil de programar, lasprincipales desventajas para un diseo se encuentran justamente por ser a 2D que lo aleja del ptimo,ms an cuando se requiere aplicar los alisados para un pit operativo.

Para dar inicio a una explicacin prctica se definirn los siguientes trminos:

"Precedentes" de un bloque x: son los tres bloques que existen a la izquierda de un bloque x (cuandoel pit es diseado de izquierda a derecha)

El pit pasa por el bloque x, si x pertenece al pit y toca el lmite con sus caras

15

En la Fig. N 1 se tiene una seccin de J = 9 columnas con I = 4 niveles, con valorizacin de bloques(negativo cuando el material es estril y requiere un costo para extraerlo). Se adiciona una fila artificial (0)con costo nulo, con un elemento adicional en la columna J+1 (se ignoran los bloques con color gris).

FASE 1

A partir de las valorizaciones de bloques C(i,j) de la Fig. 1, se calcula el valor de M(i,j) con la siguienteexpresin:

Fig. 1: Seccin con Valorizaciones C(i,j)

Para i = 0,..., I

j = 1,..., J.

Se observa que para cualquier pit que pase por el bloque (i,j), M(i,j) representa la participacin delvalor de la columna en el pit.

Fig. 2: Seccin con Valores M(i,j)

Por ejemplo para el bloque M(3,5) se tiene:

M(3,5) = c(3,5) + c(2,5) + c(1,5) + c(0,5) = -3

FASE 2

Para todas las columnas desde j = 2 hasta j = j + 1, se trata cada bloque aadindole el mayor valor desus precedentes. Es decir se calculo P(i,j).

Se debe notar que cuando se trata la columna j, la columna j-1 ya ha sido tratada y tiene valores Pij enlugar de Mij. Por ejemplo en la Fig. 3 se tiene:

P(2,3) = M(2,3) + Max [ P(1,2), P(2,2), P(3,2) ]

P(2,3) = 5 + Max [ 1,0,-4 ] = 5 + 1 = 6

16

Fig. 3: Seccin con Valores P(i,j)

Si nos detenemos a ver el significado de cada valor de P(i,j), vemos que indica el mximo valor de unpit que se puede construir desde el bloque (i,j).

Fig. 4: Valores de C(i,j) que suman P(2,5)

En la Fig. 3 al disear el pit desde el bloque P(2,5)=1 haca la izquierda (siguiendo los mximosprecedentes) encontramos el contorno del la Fig. 4. Si sumamos los valores de C obtenemos el valor 1.

FASE 3

En la primera fila de la Fig. 3 se busca el elemento de mayor valor, si hay varios se toma el que seencuentra ms a la derecha. Segn lo indicado en la fase 2 este valor representara la valuacin del pitptimo encontrado.

FASE 4

Se entiende con facilidad que se puede dibujar el pit solucin a partir del bloque de la columna 9,siguiendo al bloque precedente P de mayor valor.

Fig. 5: Seccin con Valores P(i,j) con el Pit ptimo

OBTENCION DE UN DISEO HASTA UN NIVEL DESEADO

Por definicin el pit ptimo en una matriz de valores como la descrita en la seccin (o de cualquierseccin real de terreno) es uno solo, por lo tanto llega hasta un solo nivel.

Sin embargo para propsitos de lograr la extrapolacin a tres dimensiones, se requiere lograr el diseoptimo hasta un nivel deseado, este diseo si bien no ser el ptimo, ser el diseo que suministre elmximo valor que llega al nivel que uno desea.

Partiendo con la misma seccin de valores de bloques (Fig. 1) pero ignorando la existencia del nivel 4se tiene la Fig. 6. A esta seccin se aplica el procedimiento de la Fase 1 y tambin lo descrito en la Fase2.

Fig. 6: Seccin C(i,j) sin el nivel 4

17

Los valores de M se presentan en la Fig. 7, segn la frmula siguiente:

Fig. 7: Valores de M(k,p)

Los valores de P se presentan en la Fig. 8, que se obtienen con la siguiente expresin:

En donde se tendr en cuenta que cuando k = i, r es diferente de 1, para no tomar en cuenta losvalores de P d la fila 3

Fig. 8: Valores de P(k,p)

A continuacin calculamos los valores de P par la fila 3 aplicando la siguiente expresin hasta obtenerla Fig. 9.

Fig. 9: Seccin con Valores P(i,p)

PROCESO PARA LLEGAR DEL NIVEL i HASTA SUPERFICIE

Considerando que para realizar el diseo ste se delimita dese la superficie, en los siguientes pasos sedescribir el proceso para delinear el ptimo desde el ltimo nivel hasta la superficie.

CASO 1

A partir del primer bloque del ltimo nivel (de izquierda a derecha) subimos la diagonal de izquierda aderecha de la forma siguiente:

Con valores de s = 1, 2, 3,... Para cada bloque (i - s, p + s) de la diagonal, se calcula:

18

En donde los sub ndices indican las siguientes coordenadas:

Bloque Z de coordenadas (i,p), X de coordenadas (i-s,p+s).

Fig. 10: Diagonal y Precedentes de (i,p)

Los precedentes de x son:

a : de coordenadas (i-s-1,p+s-1)b : de coordenadas (i-s,p+s-1)c : de coordenadas (i-s+1,p+s-1)

Cuando:

Y se contina subiendo la diagonal, aumentando el valor de s.

Pero si:

Se detiene el ascenso en la diagonal (se detiene el incremento de s) y se pasa a otra diagonal,retornando el clculo desde la fila i , para una columna (p+1) siguiente, en el bloque P(i,p+1).

Por ejemplo si empezamos esta aplicacin desde el bloque (i,p) = (3,2), de la Fig. 9, tenemos losiguiente:

P(3,2) = M(3,2) + Max [ P(3,1), P(2,1) ]

P(3,2) significa el mximo valor de un pit que se puede construir desde (3,2), sin pasar por los niveles4 y 5.

Para subir la diagonal empezamos con s = 1 (subimos un bloque).

Encontramos que el resultado es P(2,3) que tambin tiene valor 6, por lo tanto cambiamos de diagonal,por que el nivel i no incrementa el valor de los P superiores (se puede comprobar si seguimos subiendoesta misma diagonal).

Al cambiar de diagonal tenemos:

P(3,3) = M(3,3) + Max [ P(3,2), P(2,2) ] = 4 + Max ( 0, -4 ) = 4

Que es lo que se muestra en la Fig. 9. Para subir la diagonal, empezamos con s = 1.

Vemos que este resultado es igual a P(2,4) por lo tanto cambiamos de diagonal y pasamos al siguientebloque (3,4), y as sucesivamente hasta terminar la fila i = 3 (que no hace posible ascender hasta el nivel

19

cero).

CASO 2

Si no se llega al nivel cero en ninguna diagonal, aplicamos el algoritmo de optimizacin simple quevimos en la Fase 1 y 2 pero de derecha a izquierda, de la siguiente forma:

A partir de la Fig. 7 aplicamos la siguiente frmula similar a la utilizada en la Fase 1 y 2.

Por ejemplo de la matriz M Fig. 7 obtenemos el resultado siguiente:

PD(1,7) = M(1,7) + Max [ PD(0,8), PD(1,8), PD(2,8) ] = -1 + Max [0, -1] = -1

Tambin obtenemos:

PD(1,6) = M(1,6) + Max [ PD(0,7), PD(1,7), PD(2,7) ] = -1 + Max [9, -1, -3 ] = -1

De esta forma completamos el clculo y obtenemos el resultado de la Fig. 11 y 12.

Fig. 11: Resultado PD(i,j) Hasta el Nivel 2

Fig. 12: Resultado PD(i,j) Hasta el Nivel 3

De esta forma conseguimos dos matrices P(i,j) de la Fig. 9, y PD(i,j) de la Fig. 12. Recordando P(i,j) esel procedimiento de clculo de izquierda a derecha hasta el nivel 3, y PD(i,j) resulta del procedimientoaplicado de derecha a izquierda hasta el nivel 3.

A continuacin, utilizando las matrices P(i,j), PD(i,j) y M(i,j), esta ltima de la Fig. 7, calculamos losvalores de la siguiente expresin:

En donde V(i,m) representa el mximo valor total de cualquier pit que se trace desde (i,m), el mximovalor de V(i,m) se obtiene eligiendo entre todos los valores V(i,m) que se encuentran desde los bloquesde la fila 3. En la expresin se resta M porque est incluido dos veces (tanto en P como en PD).

Como ejemplo de clculo de V(i,m) tenemos:

20

El valor mximo es V(3,3) = -1, por lo tanto el pit debe ser diseado desde el bloque (3,3), haca laizquierda en la matriz P(i,j) como se indica en la Fig. 13 y haca la derecha en la matriz PD(i,j) como seindica en la Fig. 14. Al unirse ambos trazos resultar un solo diseo del pit ptimo que llega hasta el nivel3.

Fig. 13: Diseo haca la izquierda en P(i,j)

Fig. 14: Diseo haca la derecha en PD(i,j)

CASO 2 (continuacin)

En el caso que aplicando las frmulas relacionadas a la Fig. 7, y se llega al nivel cero en cualquiera delas diagonales analizadas, significa que la fila "i" si contribuye con valor a los niveles superiores, por lotanto existe un ptimo hasta el nivel "i". En este caso el valor del bloque del nivel cero, a donde se llegsubiendo la diagonal, indica el valor del pit que se puede construir desde l.

Entonces cuando se ha intentado subir al nivel cero en todas las diagonales y habiendo llegado enalgunas, a continuacin se busca el mayor valor de todos los bloques del nivel cero y que se encuentremas a la derecha, y desde all se construye el pit ptimo.

Como ejemplo se desarrollar el pit ptimo hasta el nivel i = 2 en la matriz de costos C(i,j) de la Fig. 6.El clculo de la matriz M(i,j) se presenta en la Fig. 7.A continuacin calculamos P(i,j) hasta el nivel (i - 1) = 1. Como se muestra en la Fig. 15.

Fig. 15: Calculo de P(i,j) hasta el Nivel (i - 1)

Al igual que para la Fig. 9, calculamos los P(i,p) que se muestra en la Fig. 16 siguiente. Luego desdecada uno de los bloques de la fila 3 aplicamos la expresin siguiente que se utiliz anteriormente.

A modo de ejemplo obtenemos lo siguiente:

Fig. 16: Clculo de P(i,p) hasta el nivel "i" igual a 2.

21

Para

Luego s=1 segn lo indicad en la frmula, se tiene:

Cambiamos la diagonal por condicin ya indicada, y tenemos nuevamente:

Luego s=1

Entonces cambiamos de diagonal y tenemos:

Luego s=1

Vemos que:

Entonces cambiamos el valor de P (1,4) segn la frmula establecida.

A continuacin incrementamos s al valor 2, y tendremos:

Vemos que:

Por lo tanto el nivel cero es alcanzado, lo cual indica que es posible construir desde este bloque (0,5)un pit que llegue hasta el nivel i = 2, por lo tanto existe un diseo ptimo que llega hasta el nivel 2.

Esta parte del algoritmo indica que el procedimiento descrito debe aplicarse para todas las columnasdesde p = 2,....., J para buscar otros contornos posibles que se encuentren mas a la derecha y quepuedan proporcionar un mejor valor.

En este ejemplo particular, al continuar con los clculos no encontraremos un mejor pit, por que no seencuentra un valor mayor de P(0,5) = 3.

Aplicado este procedimiento a todas las columnas, buscamos en la fila artificial (primera fila) el bloquede mayor valor que se encuentre ms a la derecha, vemos que es el bloque (0,9).

Este valor 3 es el valor del pit que se puede construir desde l y que llegar hasta el nivel i = 2, comose muestra en la Fig. 17.

22

Fig. 17

Comparando este resultado, que tiene una particular metodologa que fuerza encontrar el diseoptimo hasta cierto nivel, con la obtenida por un mtodo ms simple (Fig. N 5) se encuentran igualesresultados, es decir suministran el mismo diseo que llega hasta el nivel 2 y adems el mismo valoreconmico.

Por lo tanto si el concepto de diseo ptimo nos permite encontrar un solo diseo que proporcione elmximo valor, tambin podemos forzar encontrar el ptimo que llegue a cada nivel (i) deseado,obteniendo como resultado el mejor diseo que proporcione el mayor valor del pit hasta el nivel (i).

Fig. 18

Entonces podemos obtener para una seccin una columna de valores, por ejemplo para una seccincon valores de C(i,j) como se indica en la Fig. N 18, podemos obtener los siguientes resultados:

Fig. 19

En donde el valor econmico del Pit es:

S(1,1) = 1 + 1 = 2

Fig. 20

S(2,1) = 1 + 1 -2 -3 = -4

Fig. 21

S(3,1) = 0

Fig. 22

23

S(4,1) = -8

La columna de valore estar formada por los resultados: 2, -4, 0, -8.

Si tomamos otra seccin adyacente, con valores C(i,j), obtendremos tambin otra columna de valoresde los diseos hasta cada nivel como el obtenido para la Fig. N 18.

As sucesivamente obtendremos similares valores para las dems secciones, que nos permitir formarotra matriz como se indica en el lado lateral derecho de la Fig. N 23.

A continuacin con esta nueva matriz de valores ubicado en el lado lateral derecho de la Fig. 23,procedemos a aplicar los mismos conceptos descritos, de donde podremos obtener un pit queproporcione el diseo con mejor valor econmico.

Fig. 23

As si el diseo llega hasta llega hasta el valor 5 del 3er nivel, indica que en el pit en la primera seccinllegar hasta el nivel 1, de donde se tomar el diseo obtenido previamente hasta este nivel.

Si en la seccin 2, el diseo llega hasta el 2do nivel, se tomar en esta seccin 2, el diseo encontradopreviamente que lleg hasta este 2do nivel.

De esta forma se procede a tomar el diseo encontrado y elegido en cada seccin para hacer elensamblado de secciones y obtener una presentacin similar a la Fig. N 24.

Fig. 24

ALGORITMO DE GRAFOS DE LEARCHS Y GROSSMAN

Este algoritmo se sustenta en la teora de grafos que define entidades y relaciones bsicas simplespara lograr la seleccin mxima de entidades agrupadas con valor.

En las siguientes lneas se observar como estas entidades son representadas por bloques de mineral,y como la relacin entre ellas se soportan en definiciones bsicas de relacin entre ellas.

DEFINICIONES BSICAS

24

Fig. 1 Fig. 1a

Camino: Es una secuencia de arcos tal que el vrtice final de cada uno de ellos corresponda al vrticeinicial del siguiente. No interesa la orientacin de los arcos, Fig. 2.

Circuito: Es un camino donde el vrtice inicial y final coinciden, es decir las orientaciones son en unsolo sentido, Fig. 3.

Fig. 2 Fig. 3

Arista: Es un conjunto e(i) = (X,Y) de dos elementos que pueden ser (X,Y) pertenecientes al conjuntoA de arcos, o (Y,X) tambin pertenecientes a A. Se diferencian del arco porque la arista no implicaorientacin.

Cadena: Es una secuencia de aristas (e1, e2,...., en) donde cada arista tiene un vrtice en comn conel siguiente, Fig. 4.

Ciclo: Es una cadena donde los vrtices inicial y final coinciden, Fig. 5.

Fig. 4 Fig. 5

Sub-Grafo: Se llama sub-grafo de G(X,A) al conjunto de vrtices Y de X, y comprendiendo a todos losarcos que conectan los vrtices de Y en G, se denota por G(Y,Ay), Fig. N 6a y 6b.

Fig. 6a Fig. 6b

En donde:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {(2,1), (3,2), (4,3), (8,3), (3,5), (8,6), (6,5), (9,6), (6,7), (9,10)}

25

Y = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

Ay = {(4,3), (8,3), (8,6), (6,5), (6,7)}

Fig. 6a Fig. 6b

Grafo Parcial: El grafo parcial G(X,B) de un grafo G(X,A) es un conjunto de arcos B contenido en A yconteniendo todos los vrtices de G(X,A), Fig. 7.

Fig. 7a Fig. 7b

En donde:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {(2,1), (3,2), (3,4), (5,4), (5,6), (7,3), (8,3), (8,5), (9,5), (9,10)}

B = {(2,1), (7,3), (8,3), (8,5), (5,6), (9,10)}

Cierre de un Grafo Orientado: Se denomina cierre de un grafo orientado G(X,A) a un conjunto devrtices Y perteneciente a X que cumplen la condicin.

Para todo vrtice X perteneciente al conjunto de vrtices Y, implica que cualquier elementoperteneciente al cono (formado a partir de X) pertenezca al conjunto Y.

Sea el conjunto Y de vrtices pertenecientes a un "pit". Fig. 8.

Y = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 18}

Tomemos un punto x del conjunto Y. Por ejemplo el 18, vemos que x pertenece a Y, adems que todoslos elementos del cono (es decir los primeros vrtices a minar antes de llegar a X) estn contenidos en?(x) = ?(18) = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 18}

26

Vemos que si Y es un cierre de G(X,A), entonces G(Y,Ay) es un sub-grafo cerrado de G(X,A). Ademspor definicin el conjunto nulo Y=0 es tambin un cierre de G(X,A).

rbol: Es un grafo orientado que no contiene ningn ciclo. Se le denomina por T=(X,C). Fig. 9:

Raz: Cualquier vrtice de un rbol puede ser raz. Fig. 10:

Fig. 10a Fig. 10b

Por ejemplo en la figura si suprimimos un arco (2,6) se obtienen 2 componentes. El componente T1 =(X1, A1) que no contiene la raz se llama ramo de T = (X,C), la raz del ramo es el vrtice del ramoadyacente del arco (2,6). Este vrtice adyacente es el 2.

Los ramos de un ramo le llamaremos "ramitos".

EL PROBLEMA

Con estas definiciones de base pasamos a anunciar el problema:

Dado un conjunto de bloques v(i) de valor m(i), que encierra el yacimiento, estos bloques puedenformar un grafo orientado G(X,A), es decir cada v(i) constituye un vrtice x(i) del grafo con un valor m(i), ytodos los arcos A estn orientados hacia la "superficie", Fig. N 11.

Fig. 11

Se necesita hallar el cierre G(Y,Ay) tal que la suma de las masas m(i) que lo contienen, sea mxima.

Todo vrtice Xi que pertenezca a Y (vrtices del cierre mximo) implica que el rbol (o ramo) queforman los vrtices Xi , tambin pertenezcan a Y, Fig. 12:

27

Fig. 12

Los vrtices x = 1, 2, 3, 4, 5 pertenecen a Y, para que sea un cierre mximo T(X) debe pertenecer a Y.

DESARROLLO DEL ALGORITMO

El procedimiento que se explicar en pocos pasos ms adelante, empieza con la construccin de unrbol To en G. Luego To es transformado en sucesivos rboles T1, T2,...., Tn, segn determinadas reglashasta que ya no sea posible ninguna transformacin. Entonces el cierre mximo viene formado poraquellas ramas conocidas del rbol final.

La transformacin de los sucesivos rboles Ti, pueden ser realizados teniendo en cuenta ciertaspropiedades que describiremos a continuacin:

Cada arista ek (arco ak) de un rbol T, define una rama; Tk = (Kk, Ak) Se llamar a Xk, la raz de la rama Tk La masa Mk de una rama Tk es la suma de las masas de los vrtices

En la Fig. 13 la masa M de la rama es +8.6 podemos decir que la arista ek soporta la masa +8.6

Fig. 13

En una rbol con una raz ficticia Xo, cada arista ek, es caracterizada por una orientacin del arco ek,respecto a Xo

Arista positiva (P), cuando el arco ek, est orientado hacia la rama Tk (no haca la raz) es decir si elvrtice final del arco ak es parte de la rama Tk

En la Fig. 13 los arcos (8,4), (7,2) y (8,3) son positivos.

Arista Negativa (N), cuando el arco est orientado hacia afuera de Tk en este caso Tk es llamado ramanegativa. Ejemplo en la rama que soporte (7,13) sta es una arista negativa y la rama que la soportaes negativa.

Arista fuerte (F), cuando la masa que soporta una arista P es positiva, o cuando la masa que soportauna arista N es negativa. Las aristas que no son fuertes se les llaman dbiles (D).

28

Ejemplo de tipos de aristas:

Arista de aristas fuertes y positivas: (8,4), (7,2), (8,3) Arista positiva y dbil: (7,1) Arista negativa y dbil: (2,8), (4,10), (7,13) Arista negativa fuerte: (11,6), (7,11)

Fig. 14

Un vrtice Xk es de carcter fuerte cuando la cadena que lo une con el vrtice raz tiene alguna aristafuerte

rbol Normalizado: si su raz es comn a todas las aristas fuertes, cada rbol T de un grafo G puedeser normalizado, reemplazando los arcos P fuertes (Xk, Xe) por un arco que una el vrtice final (deeste arco fuerte) con el vrtice ficticio, es decir (Xo, Xe) y el arco (Xq,Xr) de una arista N fuerte por unarco ficticio (Xo ,Xq). Iterando este procedimiento hasta que todas las aristas fuertes tenga Xo comoextremidad

El rbol normalizado de la Fig. N 13 se representa en la Fig. N 14. Vemos que todas las aristasfuertes son positivas. El vrtice Xo ser la raz de todos los vrtices considerados.

PRINCIPALES PASOS DEL ALGORITMO

Se construye un rbol To en el grafo G, y se entra a un proceso iterativo siguiente: La iteracin (i + 1)transforma el rbol normalizado To en un nuevo rbol normalizado Ti+1. Cada rbol Ti = (X, Ai) escaracterizado por sus arcos Ai y sus vrtices fuertes Yi. El Proceso termina cuando Y es un cierre de G.Cada iteracin Ti+1 es realizado por los siguientes pasos (Fig. N 15):

1) Buscar un arco (Xk, Xe) en G, tal que Xk ? Yi (tal que un vrtice Xk sea fuerte) y Xe ? (X- Yi) ( Xe seadbil), si existe, entonces ir al paso 2, sino ir al paso 4

2) Determinar el vrtice Xm la raz de la rama fuerte que contiene a Xk . Construir el rbol Tjsubstituyendo el arco (Xo, Xm) de Ti con el arco (Xk, Xe). Ir al paso 3

3) Normalizar el rbol Tj , con lo cual obtenemos el rbol Ti+1 , regresa al paso 14) Se termina el proceso. Yi es el cierre mximo de G

Fig. 15

29

El mecanismos mencionado, implica el investigar arcos, una gran cantidad de veces, que depende delnmero de vrtices existentes yd e la situacin de ellos con las consecuencias de clculos muy pesados,difciles de predecir en tiempo de computacin.

APROXIMACIN DE LIPKEWICH Y BORGMAN

A partir de una publicacin de Michael P. Lipkeweich y Leon Borgman, se ha podido obtener unavariante de la aplicacin de la teora de grafos que simplifica el nmero de clculos y obtiene resultadosbien aproximados al ptimo.

La simplificacin consiste en tratar a los vrtices (bloques econmicos) nivel por nivel, trabajandoprimero el nivel superior (1 nivel), luego el 1 con el 2 y as sucesivamente.

Fig. 16 Fig. 17: PD=positivo dbil, PF=positivo fuerte

Para aplicar mas al detalle esta optimizacin, se expondr un ejemplo numrico a dos dimensionesobtenido de la mencionada publicacin. Partiendo de la Fig. 16 iniciamos el algoritmo con el 1 nivel.

Al normalizar el grafo nicamente con los vrtices del 1 nivel, tenemos el rbol de la Fig. 17. Seextraen los bloques nicamente con vrtices fuertes.

El rbol queda reducido a la Fig. 18:

Fig. 18 Fig. 19

Aadimos el 2 nivel y tenemos la Fig. N 19. Vemos que el vrtice 7 est condicionado a la extraccinde 1, pues esto lo tenemos registrado en el grafo original. Por lo tanto podemos conectar 7 a 1 con unarco, y el arco ficticio desde Xo ir a 1.

Vemos en la Fig. N 20 que 1 ser un vrtice fuerte por lo tanto (Xo,1) es una arista positiva fuerte,necesariamente a extraer.

Del mismo modo, los vrtices 9 y 10 estn condicionados a la extraccin de 5 (ver grfico inicial).Podemos conectar el vrtice 10 a 5 que formar as una masa positiva cuyo vrtice 5 ser fuerte, unido alXo por una arista positiva fuerte (PF). Fig. N 20.

Fig. 20 Fig. 21

30

Realizando la extraccin de las masas que tienen como soporte a una arista fuerte obtenemos la Fig.21.

A este resultado le agregamos el siguiente nivel. Fig. 22. Para poder extraer los vrtices fuertes esnecesario extraer los que condicionan su extraccin. Por ejemplo para extraer 11 es necesario extraer 6.Por lo tanto ambos unidos forman una masa negativa que ser unido a Xo por una arista positiva dbil(Fig. 23). De igual modo para extraer 13 es necesario extraer 8. Ambos forman una masa negativa queunido al vrtice Xo resulta ser este arco (Xo,8) positivo dbil.

Fig. 22 Fig. 23

Vemos que no podemos realizar ms extraccin por no existir aristas fuertes positivas, por lo tanto elfondo del pit est conformado por vrtices negativos.

Esto significa que el cierre mximo est formado por los vrtices 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 y 10, constituyendola solucin ptima, Fig. 23.

EXTENSIN A TRES DIMENSIONES

Para fines de mejor claridad se present el procedimiento y ejemplo a dos dimensiones, en donde nose consider la variable de la pendiente de los taludes del pit. Orientndonos a una evaluacin similar atres dimensiones, es necesario considerar las variables de gradiente de los taludes en diferentesdirecciones, siendo necesario establecer una funcin matemtica del cono (Fig. 24) que permita identificarlos bloques superiores condicionantes para poder extraer los de menor nivel.

Fig. 24

Si bien la funcin del cono nos permite identificar los bloques superiores que condicionan la extraccinde bloques inferiores, puede ser interesante visualizar las diferentes opciones de configuracin debloques superiores que se pueden presentar de acuerdo a la pendiente de los taludes.

Por ejemplo en la Fig. 25 se presenta dos alternativas visualizadas a tres dimensiones, analizando lasgradientes que generan se presentan los ngulos segn la orientacin en la Fig. 26

Fig. 25

31

En donde manteniendo una disposicin de bloques uniforme y similar a la 1 alternativa, se obtienen(Fig. 26) ngulos diferentes en direcciones: 45 en la direccin A-A y 55 en la direccin B-B.

Fig. 26

De aplicarse la 2 alternativa en forma genrica, se obtendran 45 en la direccin A-A y 35 en ladireccin B-B.

Fig. 27

Realizando la combinacin de ambas alternativas, se obtiene un comportamiento simtrico en ambasdirecciones (Fig. 28), siendo esta forma de disposicin la que permite obtener mejor control en lasgradientes. Es importante considerar que en algunos casos al aplicar mtodos numricos que nos facilitenla identificacin de los bloques condicionantes, podran tambin evaluarse la posibilidad de utilizartamaos de bloques en la estimacin de recursos segn las gradientes deseadas en los taludes.

Fig. 28

En la construccin de un modelo de identificacin de bloques condicionantes, la relacin de extraccinde un bloque con respecto a otro que se ubica encima de l, se presentara segn la Fig. 29. Por lo tantoes posible establecer los arcos de dependencia de un bloque Xk con los que condicionan su extraccin.

Fig. 29

32

Esta identificacin de los bloques dependientes vienen a ser objetivamente para el caso de un Pit, lafuncin Y= ?(x), con el conocimiento de esta funcin, se procede a la optimizacin a tres dimensiones,avanzando nivel por nivel, anlogamente al caso visto a dos dimensiones.

ALGORITMO DEL BOSQUE SUBCOMPACTADO

Esta metodologa fue creada por informticos belgas, el anlisis que se describe es parte de unapublicacin de Ren Vallet en la revista "Annales des Mines de Belgique". Lo interesante de estealgoritmo es que tambin emplea la terminologa y fundamentos de la teora de grafos, pero ampla susconceptos con nuevos trminos que hacen fcil su comprensin y aplicacin. A continuacin se inicia conalgunas definiciones de grafos.

Un grafo es conexo, si para todo par de vrtices existe una cadena desde un vrtice hacia el otro. Fig.1:

Fig. 1 Fig. 2

El sub grafo A del grafo G, es un componente conexo si las dos condiciones siguientes se cumplen:

1) A, es conexo2) No existe ninguna cadena que una un vrtice desde A haca un vrtice G-A

Los diferentes componentes conexos de G constituyen una particin de G A, es libre relativamente a G si ningn vrtice de G-A es antecedente de un vrtice de A. Fig. N 2

(3,5,2) A, es neutro relativamente a G si ningn vrtice de A es antecedente de G-A. Fig. N 3 (3,5,3)

Fig. 3 Fig. 4

Todo componente conexo de G es a la vez libre y neutro relativamente a G Si dos sub grafos son libres relativamente a G, su reunin interseccin diferencia es libre relativamente

a G Si el sub grafo A es libre relativamente a G y si el sub grafo B es libre relativamente a G-A, su reunin

o interseccin es libre relativamente a G, Fig. 4

Densidad de un sub grafo es igual a la masa del sub grafo dividido por el nmero de vrtices que locontiene.

Raz de un rbol, es un vrtice que se distingue de los otros porque se le define y considera como tal Rama es un sub grafo conexo de un rbol, ligado al resto de su rbol por un solo arco Un tronco es un sub grafo conexo de un rbol que contiene la raz de este rbol Rama verdadera es un sub grafo conexo cuando no contiene la raz del rbol Bosque subcompactado es un bosque donde todos los rboles tienen una raz y que posee la

propiedad siguiente: La densidad de toda rama libre es igual o superior a toda rama verdadera neutra

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Bosque es un grafo donde cada componente es un rbol

RESOLUCIN DEL ALGORITMO

Paso 1: A partir del grafo G = G(X, A), se construye un grafo parcial G` que es un bosque donde todoslos rboles tienen una raz y que no contienen ninguna verdadera rama neutra.

Paso 2: Seleccionar dentro de G` la rama libre A` que tenga la densidad mxima. Sea A el sub grafode G que contiene los mismos vrtices de A`. Si un vrtice de j de (G-A) es antecedente de un vrtice i deA, ir al paso 3.

Si A es libre relativametne a G se debe ir al paso 4.

Paso 3: Si A es una verdadera rama, suprimir del grafo parcial G`, el arco que dentro de G une A` con(G` - A`). Si A` es un rbol entero, la raz de este rbol pierde su calidad de raz. Agregar el grafo parcialG` el arco que dentro de G une j con i. Regresar al paso 2.

Paso 4: El sub grafo A toma lugar dentro de la secuencia de sub grafos libres de densidad mxima.Retirar A del grafo G. Retirar A` del grafo parcial G`.

Si los dos grafos son vacios el proceso se termina. Si no se debe ir al paso 2.

Discusin del Algoritmo

El paso 1 crea un grafo parcial que es un bosque sub-compactado. Cuando se entra por primera vezen la operacin 2, A` es entonces el sub-grafo libre de densidad mxima de G`.

Si A es libre dentro del grafo completo, A es el sub grafo libre de densidad mxima de G, y laoperacin 4, sustrayendo A de G`, crea un nuevo grafo parcial G` que es siempre un bosque sub-compactado.

Si A no es libre relativamente a G, la operacin hace de A` una verdadera rama neutra creada, ellatambin hace un nuevo G` el cual es siempre un bosque sub-compactado.

Cualquiera que sea el camino seguido, cuando se regresa a la operacin 2, el grafo parcial G` quedacomo un bosque sub-compactado.

Si el nmero de vrtices que contiene G es finito, el nmero de grafos parciales posibles de G es unnmero finito. Si el algoritmo no puede generar dos veces el mismo parcial, el nmero de operaciones quenecesitar para tratar G es un nmero finito. El mismo grafo parcial no ser generado dos veces si larama libre A`, una vez transformado en rama neutra por la operacin 3, no puede resultar ms una libreen la serie de tratamientos.

Las ramas libres de densidad mxima que la serie de tratamientos encontrar son de 3 formas:

Aquellos que son contenidos por la rama A` actual Aquellos que no son contenidos por la rama A actual y que no lo contienen Aquellos que contienen la rama A` actual

Antes de resultar ramas neutras, aquellos que son contenidos dentro de A` sern separados de A`,puesto que el arco que los une a A` ser suprimido por la operacin 3. En este caso la rama A` actual lasperder, pero lo que quedar de A` ser siempre una rama neutra.

Aquellos que no son contenidos dentro de A` y que no contienen A` resultarn ramas neutras, ya seade A` mismo o del resto del grafo. En el primer caso, A` estar contenido en la nueva rama neutra. Estemismo ser un trozo de rama ni libre ni neutro. En el segundo caso, A` quedar invariable.

Cuando aquellos que contengan A` se convierten en ramas neutras, A` estar contenida dentro de lanueva rama neutra. Segn la posicin del nuevo arco, A` ser una rama neutra, o resultar un tronco derama neutra. En ningn caso A` puede resultar una rama libre.

EJEMPLO DE APLICACIN

En la Fig. N 5 se ilustra el problema de partida, en donde se presentan las valorizaciones de cadabloque a minar.

El primer paso (Fig. 6) es transformar este grafo G en un grafo parcial G` que es un bosque formadopor rboles que poseen una raz, sin presencia de ramas verdaderas neutras. La eleccin de estasraces, para cada rbol se gua por la existencia de un vrtice de alto valor que se encuentra enprofundidad. No se establece otra regla de eleccin.

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Fig. 5 Fig. 6

En este grafo parcial G` se escoge el rbol de mayor densidad Fig. 7 denominndolo A` (y en el grafoG lo denominamos A). Vemos que un vrtice de (G - A) es antecedente de un vrtice A, por lo tantocontinuamos al paso 3.

En este paso, visto que A` es una verdadera rama (pues consideramos que no contiene a la raz delgrafo), suprimimos los arcos que en G unen A` con (G` - A). Luego agregamos en este grafo G` el arcoque una (G` - A`) con la raz de A` Fig. 8. Regresamos al paso 2.

Fig. 7 Fig. 8

En este caso repetimos la bsqueda de ramas ( rboles) de mayor densidad. Encontramos al dedensidad 7. En el cual repetimos la operacin de eliminar en G` los arcos que en G unen este vrtice Acon (G - A). Fig. 9 y finalmente agregamos (Fig. 10), el arco que una la raz de A` (sera el mismovrtice A) con (G` - A`) pero con un arco cuyo antecedente se encuentra en (G`- A`) pero con un arcocuyo antecedente se encuentra en (G` - A`) pudiendo ser con la rama o rbol anteriormente conectada.

Fig. 9 Fig. 10

Continuamos buscando ramas o rboles de mayor densidad, y encontramos al de 5.5 (Fig. 5.7). En elcual repetimos la operacin de eliminar arcos que unen la nueva rama A` con G` - A`, que existen enG, y agregar el arco que una la raz de A` con G`- A` (Fig. 5.8).

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Fig. 11 Fig. 12

A continuacin encontramos al vrtice A' que se muestra en la Fig. 13 con la densidad 5, resultando laFig. 14 con las operaciones ya sealadas.

Fig. 13 Fig. 14

El siguiente paso encuentra al nuevo A, de densidad 4 (Fig. 15). Vemos en G que (G - A) no poseeningn vrtice antecedente de A, por lo tanto A es libre relativamente a G y nos trasladamos al paso 4.

En el paso 4 (Fig. 16), retiramos el sub grafo A' de G' y A del grafo G. como G - A no es vaco,continuamos el proceso con el paso 2.

Fig. 15 Fig. 16

En este paso sabemos que continuamos buscando la rama A' de mayor densidad, esta vez igual a 3.5(Fig. 17). En donde se puede trazar un arco de vrtice antecedente que se encuentra en G' - A', por locual la rama no puede ser retirada. Fig. 18.

Fig. 17 Fig. 18

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A continuacin el nuevo A' se muestra en la Fig. 19. En donde A resulta libre relativamente G,pudiendo ser extrado, pues no es posible de trazar un arco cuyo vrtice antecedente se encuentra en(G' - A). Fig. 20.

Fig. 19 Fig. 20

El nuevo A' que se presenta es de densidad 1 (Fig. 21) y puede ser extrado de la misma formaanterior. Fig. 22.

Fig. 21 Fig. 22

De igual procedimiento vemos lo que sucede en las Fig. 23, Fig. 24, Fig. 25.

Fig. 23 Fig. 24 Fig. 25

PLANEAMIENTO DE MINADO

El planeamiento de minado es establecer cual volumen de mineral, con que ubicacin y en qu momentoextraerlo, con la finalidad de mantener una produccin continua mensual.

Es conocido que el planeamiento se realiza a corto, mediano y largo plazo, en donde a corto plazo seentiende un planeamiento para un mes y unos pocos meses ms, a mediano plazo se considera desde unostrimestres hasta un ao, a largo plazo desde el primer ao hasta la culminacin de las reservas.

El planeamiento a mediano y largo plazo generalmente involucra utilizar reservas probadas y probables,el solo hecho de utilizar reservas probables, el planeamiento a mediano y largo plazo presenta ciertaincertidumbre de cumplimiento, siendo necesaria su revisin peridica.

1. PLANEAMIENTO A LARGO PLAZO

El planeamiento a largo plazo es el primer plan que se realiza desde el inicio de las operaciones, y sualcance comprende la extraccin de la totalidad de las reservas. Esta extraccin debe ser expresada en

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produccin por aos, describiendo la secuencia de extraccin, el volumen y ubicacin. Estos planes estnrelacionados a la capacidad anual de procesamiento del mineral que se cuenta predefinida en planta.

Fig. 1: Plan de Minado a Largo Plazo

En la Fig. 1 se observa una seccin con leyes de bloques de mineral y pits anidados para cada uno delos 7 aos de produccin. en la Fig. N 2 se observa otra seccin con bloques de mineral y pits tambinanidados para cada uno de los aos de produccin.

Fig. 2: Plan de Minado a Largo Plazo

Procedimiento de clculo del plan de minado a largo plazo

Por el gran volumen de informacin que se procesa en un plan de minado a largo plazo, es necesarioutilizar las opciones de variantes del software de diseo de pits. Sin bien la mayora de softwaredisponible en el mercado se utiliza para obtener un pit ptimo, sabemos que ste se presenta para lacondicin establecida de un precio, un costo y una recuperacin en un cierto momento de trabajo.

Tambin este software en su bsqueda del ptimo pit para ese momento, pasa por calcular ydeterminar los pits para diferentes condiciones de precios o costos, estos pits por lo general sonconcntricos o anidados y los objetivos en cada pit son de maximizar el beneficio. En primera intensin sepodra asumir que son los pits que uno desea extraer en cada ao de produccin, sin embargo esta ideano es compartida por todos, debido al hecho de que los pits anidados son calculados maximizando elbeneficio, estaran orientadose a extrae principalmente las zonas de mayor ley, con lo cual se estaraextrayendo la crema y solo las partes ricas del tajo final.

Esto es cierto, sin embargo, se debe considerar dos aspectos importantes, 1) El plan de minado es alargo plazo, y se presenta como una gua haca donde se orientarn las operaciones, 2) Este plan estarsujeto a mejoras y variaciones cuando se realicen los planes de minado a corto y mediano plazo, siempreque se respete el pit ptimo final.

2. PLANEAMIENTO DE MINADO A MEDIANO PLAZO

El planeamiento de minado a mediano plazo, se realiza para perodos trimestrales hasta llegar a unao de produccin proyectada. Los resultados de este planeamiento deben mantener relacin con lageometra del planeamiento del ao definido en el Largo Plazo.

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Con informacin del modelo de bloques se definen slidos (o volmenes) geomtricos por bancos quecontengan ley, tonelaje de mineral y tonelaje de desmonte. El tamao de estos slidos es muy variable ydepende de la continuidad y calidad de la mineralizacin.

Definido el lugar a donde llegar para encontrar el mineral de inters, la geometra de los slidos ovolmenes deben mantener como prioritarios las facilidades de acceso de los equipos en las operacionesmineras, y cumplir con los objetivos de produccin de mineral.

Fig. 3: Plan de Minado a Mediano Plazo

3. PLANEAMIENTO DE MINADO A CORTO PLAZO

El planeamiento de minado a corto plazo, se realiza para perodos mensuales, con informacin delmodelo de bloques se definen slidos (o volmenes) geomtricos por bancos, el tamao y forma de estosvolmenes se adecuan a la calidad del mineral, es decir tonelaje de mineral, ley, tonelaje de desmonte.

Como es de suponer el planeamiento a corto plazo no es un proceso optimal, an no se ha creado unalgoritmo que permita conseguir la optimalidad matemtica y tcnica de un planeamiento, es claro que elobjetivo ser de conseguir la mxima rentabilidad con mnimo costo, sin embargo la tcnica aplicablepasa actualmente por anlisis de multi-opciones de extraccin de mineral, consistente en una realizar unacombinatoria de volmenes de extraccin, hasta lograr una secuencia de extraccin de mineral quepermita cumplir con la produccin del mes y con las condiciones de operatividad minera.

Fig. 4: Plan de Minado a Corto Plazo

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LIXIVIACIN, ADR Y FUNDICIN

1. LA RECUPERACIN METALRGICA

La recuperacin metalrgica es el mejor indicador de la eficiencia tecnolgica para extraer el metal delmaterial que lo contiene, por lo general en minas de oro una buena recuperacin metalrgica seencuentra entre 65% a 90%, dependiendo de las caractersticas del mineral.

En todo proceso de clculo del cut off y del valor econmico del depsito, se requiere determinar elporcentaje de recuperacin metalrgica, que junto con el precio, tonelaje y costos constituyen lasvariables ms importantes para calcular la rentabilidad de un proyecto minero.

Consideramos que luego de tener los primeros indicadores de presencia de un volumen de mineralimportante para la escala de trabajo que nos permite nuestro capital de inversin, es muy importanteconocer el tipo de procesamiento de concentracin o recuperacin del metal y el porcentaje derecuperacin.

La experiencia en minera muestra importantes depsitos descubiertos, intensamente explorados conconsiderables cantidad de recursos, que tienen que esperar un perodo de tiempo hasta obtener latecnologa que haga factible y econmica la recuperacin del elemento metlico de inters.

Se recomiendan los siguientes tips para mejor seguimiento en las pruebas metalrgicas:

1) Las pruebas deben ser realizadas con profesionales con experiencia en investigaciones metalrgicas2) Antes de cada prueba metalrgica realizar la caracterizacin del mineral, mediante interpretacin

geolgica, mineralgica, determinacin de caractersticas fsicas y qumicas3) Registro del lugar de procedencia o localizacin en el depsito del mineral de cada prueba4) Las recuperaciones obtenidas deben ser factibles de escalarlas a tamaos industriales5) Para un eventual financiamiento bancario, las pruebas metalrgica y los anlisis qumicos deben estar

respaldadas por un laboratorio certificado

2. PROCESO DE LIXIVIACIN

El proceso de lixiviacin ms frecuente en nuestro medio se realiza en la extraccin de oro consolucin cianurada, para la aplicacin de este proceso es recomendable el mayor control en las siguientesvariables: Tamao de la roca y de partcula de oro, Concentracin de Cianuro, Concentracin e Oxgeno,Temperatura y Alcalinidad.

Tamao de la Roca y Partcula de Oro: El tamao de la roca indica la cantidad de superficie libre quepueda presentar para mayor contacto con la solucin cianurada, a menor tamao de la roca la solucinlograr mayor contacto con las partculas de oro. Respecto del tamao de la partcula de oro, laexperiencia indica que cuando se presenta el oro libre o grueso, es recomendable separarla con mtodosgravimtricos antes de la cianuracin, caso contrario las partculas gruesas no podrn ser disueltascompletamente dentro de los plazos previstos de cianuracin. Otra opcin para reducir el tiempo delixiviacin es la molienda y clasificacin del mineral de oro en un circuito cerrado.

Concentracin de Cianuro: Usualmente el factor restrictivo que gobierna la velocidad de disolucindel oro es la concentracin de oxgeno en la solucin en contacto con el oro. Hay variaciones muygrandes en la fuerza de la solucin que provoca la mxima velocidad de disolucin del oro,probablemente debido a la variedad de las tcnicas empleadas. Barsky, Swalson y Heddley comprobaronmediante pruebas realizadas, que la concentracin de la solucin para una rpida disolucin es de 0.05%de NaCN. En el cuadro siguiente se indica la cantidad de oro que se disuelve en una hora para diferentesconcentraciones de cianuro en una muestra particular de mineral.

NaCN % Au disuelto en 1 hrmg/cm2

0.5000.2500.1000.0500.0250.010

2.9433.0072.9863.2512.5130.338

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En la prctica la mayora de las plantas de cianuracin que tratan minerales de oro, usan solucionesconteniendo menos de 0.05% (500 ppm) de NaCN. El promedio general esta probablemente cerca de0.01 a 0.03% de NaCN, dependiendo del resultado de las pruebas metalrgicas.

Concentracin de Oxgeno: El uso del oxgeno es indispensable para la disolucin del oro, bajocondiciones normales de cianuracin. Los agentes oxidantes, tales como el perxido de Sodio, dixido deManganeso, Cloro, entre otros, han sido utilizados con mayor o menor xito en el pasado, debido al costode estos reactivos y las complicaciones inherentes en el manejo de ellos, han dejado de ser usados. Deotro lado mltiples pruebas han demostrado que una adecuada aireacin da tan buenos resultados comolo hacen los oxidantes qumicos citados. Barsky, Swainson y Hedley, determinaron la siguiente velocidadde disolucin del oro en soluciones de 0.10% de NaCN, a 25 C usando Oxgeno, Nitrgeno y mezcla deambos.

Oxgeno % Au disuelto en 1 hrmg/cm20.09.020.960.199.5

0.041.032.367.6212.62

Temperatura: El suministro de calor a la solucin de cianuro en contacto con oro metlico, producefenmenos opuestos que afectan la velocidad de disolucin. El incremento de la temperatura aumenta laactividad de la solucin, incrementndose por consiguiente la velocidad de disolucin del oro, al mismotiempo, la cantidad de oxgeno en la solucin disminuye porque la solubilidad de los gases decrece con elaumento de la temperatura. En la prctica el uso de soluciones calientes para la extraccin del oro,resulta desventajosa por el elevado costo, por lo que usualmente, se lixivia a temperatura ambiente.

Alcalinidad: El uso de la cal (en solucin) para mantener un PH de 10.5 a 11 (alcalinidad protectora)cumple las funciones de:

Evitar prdidas de cianuro por hidrlisis: (NaCN + H2O = HCN + NaOH), haciendo que la reaccin seafavorecida hacia la izquierda.

Prevenir o evitar las prdidas de cianuro por accin de dixido de carbono del aire: 2NaCN + CO2 +H2O= 2HCN + Na2CO3

Neutraliza los componentes cidos resultantes de la descomposicin de los diferentes minerales de lamina en la solucin de cianuro.

Neutraliza los componentes cidos tales como sales ferrosas, frricas y el sulfato de magnesiocontenidos en el agua antes de adicionar al circuito de cianuracin.

Facilita el asentamiento de las partculas finas de modo que pueda separarse la solucin rica clara dela mena cianurada.

LIXIVIACIN CON PADS RECARGABLES

Otro aspecto que ltimamente viene tomando forma en forma muy gradual es la construccin de Padsrecargables, principalmente por la presencia cada vez ms frecuente de ley baja de oro en los depsitos oen las etapas finales de un proceso de extraccin.

Este proceso se sustenta en el ciclo de recuperacin del oro en el proceso de lixiviacin en un pad,para ello es necesario medir el tiempo que se requiere para lograr el porcentaje de recuperacineconmica de oro en un primer piso de un pad.

La construccin de pads de un solo piso requiere que stos se encuentren en la proximidad de lasoperaciones de extraccin de mineral, para luego del proceso de lixiviacin se realice la recarga delmineral para depositarlo como material lixiviado en mltiples pisos.

La parte ms importante de este proceso es el control de calidad del mineral en los frentes de minado,en donde se debe evitar el envo de mineral contaminante a los pads. En el mejor de los casos para mejorcontrol de la calidad de la lixiviacin de los primeros pisos y administrar la calidad de la solucin ymomento de la descarga, es muy conveniente mantener mdulos independientes al interior de un pad,para de esta manera llevar un control de la caracterizacin del mineral ingresado a cada mdulo yanalizar el contenido de la solucin en cada mdulo de riego independiente.

3. ADR : ADSORCION, DESORCIN, RECUPERACIN

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ADSORCIN

Luego del proceso de lixiviacin, la solucin cianurada con oro, es recirculada en carbn activado encolumnas, El carbn activado debido a su gran rea superficial 500-1500 m2/gr y por su gran porosidad,tiene una alta capacidad adsorbente, lo que hace posible y rentable su aplicacin. Estos carbones son deestructura granular, siendo ms aptos los fabricados a partir de cscara de coco, debido a su dureza, quelo hace ms resistente a la ruptura por abrasin y tienen una mayor capacidad de adsorcin que otroscarbones activados. La tecnologa del uso del carbn activado comprende 3 tcnicas de aplicacin y sonel carbn en pulpa (CIP), el carbn en columna (CIC) y el carbn en lixiviacin (CIL). La tcnica deadsorcin vara dependiendo del tipo de cianuracin:

1) Carbn en Pulpa (CIP): Aplicable a soluciones claras salientes de lixiviacin por precolacin enbateas o pilas, normalmente en varias etapas y en contracorriente.

2) Carbn en Columna (CIC): Aplicable A pulpas salientes de cianuracin por agitacin, se trata sinseparacin slido/lquido, en tanques separados en varias etapas y en contracorriente.

3) Carbn en Lixiviacin (CIL): Consiste en absorber el oro en carbn durante y no despus de, lalixiviacin, llevndose a cabo la misma en los mismos estanques lixiviadores, pero moviendo el carbnen contracorriente con la pulpa de mineral.

DESORCIN:

El proceso de desorcin (extraccin del oro del carbn) se realiza adicionando solucin de sodacustica a alta temperatura (100 a 140 C) al carbn en un compartimento a presin. En este proceso lasolucin liberar al oro cianurado y pasar a un proceso electro deposicin, formndose aqu un cementocon alto contenido de oro.

FUNDICIN:

El cemento con alto contenido de oro pasar a fundicin a fin de extraer el oro bulln que muchasveces se presenta con contenido de plata cuando en el mineral estuvo presente.

4. PROCESO SART PARA RECUPERACIN DE MINERAL DE AU CON COBRE

Si bien el alza de precios del oro ha estado acompaada por un alza en los costos (mayores precios dereactivos como cianuro y cal, de la energa, y de otros insumos como el acero), estos altos precios hanhecho posible incorporar como recursos explotables minerales de baja ley de oro y/o minerales de oro conaltos contenidos de cobre. Existe una tecnologa que ha despertado el inters creciente de la industriapara el tratamiento de estos recursos de Au-Cu, que corresponde al Proceso SART (Sulphidization,Acidification, Recycling, and Thickening). Recientemente (2008), la planta de Telfer, en Australia, depropiedad de Newcrest Mining Limited, era pionera de la aplicacin de esta tecnologa, desarrolladainicialmente por Lakefield Research en Canad para el proyecto Lobo Marte de propiedad de un jointventure entre Teck Corporation y Mantos Blancos, en Chile. Hoy en da Yanacocha en Per, de NewmontMining Corporation, cuenta con una planta SART en sus instalaciones y se encuentran en desarrollo, enetapa de ingeniera de detalles, los proyectos de dos plantas para las operaciones de Maricunga y Mantosde Oro, de Kinross Gold Corporation, en Chile.

El proceso SART ha sido diseado para regenerar cianuro y recuperar cobre de soluciones delixiviacin de minerales de oro. El nombre hace referencia a las siglas en ingls de las operacionesunitarias del diagrama de flujos del proceso: sulfidizacin (S), acidificacin (A), recirculacin de cianuro(R), y espesamiento del precipitado de cobre (T, thickening).