8. Biderkadura Eskalarra. Planoko Geometria Metrikoa

7/25/2019 8. Biderkadura Eskalarra. Planoko Geometria Metrikoa

1/13

ZIENTIFIKO-TEKNIKOA

MATEMATIKA I

2. ebaluazioa

8. Biderkadura eskalarra

ARRASATE B.H.I. (ARRASATE)


2/13

B. Zientifiko Teknikoa (1. maila)

21

OX ardatzarekiko zuzen paraleloak

OX ardatzaren ekuazioay = 0denez, OX ardatzarekiko

paraleloa den edozein zuzenen ekuazioa y = kizango

da, dennon Rk .

OY ardatzarekiko zuzen paraleloak

OY ardatzaren ekuazioax = 0denez, OX ardatzarekiko

paraleloa den edozein zuzenen ekuazioa x = kizango

da, dennon Rk .

2.4 Bi bektoreren arteko biderketa eskalarra

Biderketa eskalarra eragiketa berezi bat da. Eragiketa berri hori oso

baliagarria izango dugu bektoreen luzerak eta angeluak

kalkulatzeko, baita distantziak kalkulatzeko ere (bi punturen artean,

puntu batetik zuzen batera...).

Bi bektoreren biderkadura eskalarrari zenbaki errealbat

dagokio: R22 . VV

Era honetan definitzen dugu: . . . cosu v u v =r r r r

Ondorio garrantzitsua: Bi bektore perpendikularrak badira, haien biderkadura eskalarra zero da.

0. = vuvu da.090coscosere,Izan 0 ==

Eta alderantziz: Nuluak ez diren bi bektoreren biderkadura eskalarra zero bada, bektoreak

perpendikularrak dira.

X

Y

x = 3

y = 2

Bai , eta bai cosu v uur

r

zenbakiak dira; beraz, .u v

r r

zenbaki bat da. Hortik

datorkio, hain zuzen, izena:

eskalar hitza.

vr

u

r

2-h.Adibidea.

Eman dezagun03 , 4 60 :u v eta direla= = =

uur uur

62

1.1260cos.4.3.

0===vu


3/13


22

Propietateak

1.- Bi bektoreren biderkadura eskalarra hauxe

da: bektore baten moduluaren eta beste

bektoreak lehenengoaren gainean sortzen

duen proiekzioaren arteko biderkadura.

Angelua zorrotza bada, emaitzaren zeinua +izango da; ordea, kamutsa bada, zeinua

izango da.

. . ( . cos )

. ( ren proiekzioa u -ren gainean)

. , angelua zorrotza denean

eta angelua kamutsa bada, . .

u v u v

u v

u OM

u v u OM

=

=

=

=

ur ur ur ur

ur ur ur

ur

ur ur ur

2.- Trukatze-propietatea: . .u v v u=r r r r

Izan ere, . . .cos( ) . . cos( ) . ,

zeren cos( ) cos baita.

v u v u v u u v

= = =

=

r r r r r r r r

3.- Banatze-propietatea: . ( ) . .u v w u v u w+ = +r r ur r r r ur

4. Elkartze-propietatea:( ) . ( . ) , edozein zenbaki erreal izanik.

Adibidez, (3 ) . 3 ( . )

u v u v

u v u v

=

=

r r r r

r uur r r

Adierazpen analitikoa

Demagun oinarria ortonormala dela eta oinarri horretan1 2 1 2eta v bektoreen osagaiak ( , ) eta ( , )u u u v v

r r

direla, hurrenez hurren.

Ondokoa betetzen da:

1 1 2 2. . .u v u v u v= +r r

Esaterako,

(1 , -2) eta v (3,4) bektoreak

emanda, u . 1 . 3 ( 2) . 4 5

u

v

= =

= + =

r r

r r

O

u

v

gaineanuproiekzioa

cos.

renrenv

v

M

-

v

u

O

ur

=(u1,u2)

1 2(v , )v v=r

M


4/13


23

2.11 Ariketa-.

Oinarri ortonormal batean )2,2(veta2)-,(1 ==u bektoreak emanda,

kalkulatu:

) .

) 2 .

) ( ) .

) ren proiekzioa u ren gainean.

a u v

b u v

c u v v

d v

+

r r

r r

r r r

r r

2.5 Zenbait aplikazio

Bektore perpendikularrak

(u1, u2) eta (-u2,u1) bektoreak elkarren perpendikularrak dira, bien arteko biderkadura

eskalarra nulua baita:

(u1, u2) .(-u2,u1) = -u1.u2+ u2.u1= 0

2.12 Ariketa-.

Aurkitu k-ren balioa, ondoko bektoreak ortogonalak

(perpendikularrak) izan daitezen:

(1,3) ; ( , 2)a b k= = r r

Oh.: bektore jakin baten ortogonala den bektore bat

lortzeko, nahikoa da beraren osagaiak ordenaz

aldatzea eta bietako baten zeinua aldatzea.

Adibidez, (2 , -3) eta (3 , 2) bektoreak

perpendikularrak dira, zeren 2.3 + (-3).2 = 0 baita.

KONTUAN IZAN!

Biderketa eskalarraren hiru definizio:

I) cos... vuvu =

II) OMuvu .. =

III) 2211 ... vuvuvu += (oinarria ortonormala den kasuan)

Emaitza: ZENBAKI ERREAL BAT da.


5/13


24

Bektore baten modulua

Izan bedi ),( 21 uuu = bektorea. Oinarri ortonormalean, hauxe betetzen da:

2

2

2

1

2

2

2

12211

2

...,

0cos...uuu

uuuuuuuuBestalde

uuuuu+=

+=+=

==

Adibidez, (3 , 1)a = r

bektorearen modulua

2 23 ( 1) 10a = + =r

da.

Bektore unitarioa1 balioko modulua duten bektoreei bektore unitariodeitzen zaie.

ur

bektore bat emanda, zein da ur

-ren norabide berbera eta noranzko

berbera dituen bektore unitarioa? Ondoko bektorea da:

u

u

Bi punturen arteko distantzia

Planoko A eta B puntuen arteko distantzia puntu biek

determinaturiko bektore finkoaren modulua da. Eta

),( BAd bidez adieraziko dugu.

),( 2211 ababAB =

2

22

2

11 )()(),( ababABBAd +==

Esate baterako, A = (-1 , 4) eta B = (4 , 2) puntuak badira:

29425)42()14(),(22

=+=++=BAd

2-i. Adibidea.

Demagun (2 , 1)u = r

dela.

Modulua:2 2

2 ( 1) 5u = + =

r

ur

-ren paraleloa den eta noranzko bera duen bektore unitarioa

hauxe da: )5

1,

5

2(

-1

X

Y

3

(3 , 1)a = uur

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4A

B

A=(a1,a2)

B=(b1,b2)AB

X

Y


6/13


25

Bi bektoreren arteko angelua

Izan bitez 1 2( , )u u u=r

eta 1 2( , )v v v=r

bektoreak oinarri

ortonormal batean. Ondokoa betetzen da:

1 1 2

2 2 2 2

1 2 1 21 1 2 2

. . . cos . ..cos

. ., . . .

u v u v u v u vu v

u v u u v vBestalde u v u v u v

= + = =

+ += +

r r r r

r r

r r

r r

Ariketak-.

22..1122 Oinarri ortonormal batean )2,3()1,2( == vetau bektoreak

emanik, kalkula itzazu:

a) vu .

b) u

c) v

d) ),(cos vu

22..1133 Lortu )2,3(=v bektorearen paraleloa izan eta 1 modulua

duen bektorea.

22..1144 Kalkula ezazu zein den P = (-2 , 3) eta Q = (3 , -4) puntuenarteko distantzia

u

v

2- .Adibidea

(2 , 3) (5 , 4)u eta v= =r r

badira

2 2 2 2

0

. 2 . 5 ( 3) . 4

cos . 2 ( 3) . 5 4

20,0866 ,

13 . 41

eta cos ( 0,0866) 94 58'

u v

u v

da

arc

+

= = =+ +

= =

= =

uur ur

uur uur

2 3 4 5

-3-2-1

12345

u

v


7/13


26

Zuzen perpendikularrak

Dakigunez, r: Ax + By + C = 0 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailearen osagaiak

(-B,A) dira, eta maldaB

Am =1 da.

Beraz, r-ren perpendikularra den zuzen batek (A, B) edo (-A,-B) moduko bektore zuzentzailea

eduki behar du, biderkadura eskalarra zero izan dadin.

Izan ere, (-B).A + A.B = 0 da, eta beraren maldaA

B

v

vm ==

'

1

'

22

Beraz, bi zuzen perpendikularren maldakelkarren alderantzizkoaketa aurkakoakdira;

hots,1

2

1

mm =

Ariketa ebatzia

Lor ezazu, kasu bakoitzean, A=(2 , 0) puntutik pasatu eta r-ren perpendikularra den zuzena:

a) r: y = 3x 6

a) r: 3x + 2y +1 = 0

b) 2

4

1: =

+y

xr

Ebazpena:

a) r-ren malda 3 da; beraz, zuzen perpendikularrarena3

1

izango da, alderantzizkoa eta aurkakoa, hain zuzen.

Zuzena bxy +=3

1motakoa izango da. A(2, 0) puntutik

pasatu behar duenez,3

22.

3

10 =+= bb

Beraz, zuzen perpendikularra 0233

2

3

1=++=

yxxy da.

b)r-ren zuzen perpendikularrak,x-ren etay-ren koefizienteak elkar trukatuz eta bati zeinuaaldatuz, 2x - 3y + k = 0 motakoa izan behar du.

A(2,0) puntutik pasatu behar duenez, 2.2 3.0 + k = 0 ; hau da, k = -4

Beraz, 2x 3y 4 = 0 zuzena da.

c) r-ren bektore zuzentzailea (4 , 1) da. Beraz, zuzen perpendikularraren osagaiak (-1 , 4)

izango dira. Gainera, A(2,0) puntutik pasatu behar duenez,41

2 yx=

da aurkitu nahi

dugun zuzenaren ekuazioa.

2-k. Adibidea. Demagun r: 2x 5y + 1 = 0 zuzena. Beraren malda5

2

5

2=

==

B

Am da.

Zuzen horren perpendikularra den zuzen bat aurkitu nahi izanez gero, badakigu horren

malda25 izan behar duela, hots, mota honetako zuzena dela: 5x + 2y + k= 0

-1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

y=3x-6

AH2,0L


8/13


27

Ariketak

22..1155 Lor ezazu, kasu bakoitzean, A = (1 , -1) puntutik pasatu etas-ren perpendikularra den zuzena:

a) s: x 4y + 1 = 0 ; b) y = -2x +5 ; c)

+=

=

ty

tx

22

3

22..1166 P = (1, 2) puntua eta r: x + 3y = 0 zuzena emanda, aurkituondoko hauek:

a) P-tik pasatu eta r-ren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.

b) P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den zuzenaren

ekuazioa.

Puntu baten eta zuzen baten arteko distantzia

Adibide baten bidez azalduko dugu.

Eman ditzagun r: x 2y 1 = 0 zuzena eta A(3 , 6) puntua. Bien arteko distantzia minimoa

zuzenarenperpendikularrakemango diguna kalkulatu behar dugu. Bi eratan egingo dugu:

arrazoituz eta formula erabiliz.

I) Zein da r-ren perpendikularra den eta A(3,6) puntutikpasatzen den zuzenaren ekuazioa?

r-ren malda 1/2 da; beraz, zuzen perpendikularraren malda 2 da.r-ren perpendikularraren ekuazioa:

y 6 = -2(x 3) edo 2x + y 12 = 0

Orain kalkula dezagun bi zuzen perpendikularren arteko ebaki-

puntua (P), ondoko ekuazio-sistema ebatzita:x - 2y -1 = 0

2x + y -12 = 0

Soluzioa x = 5 eta y = 2 ; P(5 , 2)

Apuntutik rzuzenera arteko distantzia eta A-tik P puntura

artekoa bat dira; hau da:

d(A , r) = d(A , P) = 20)35()62( 22 =+

II) Formula erabilita:

r: Ax + By + C = 0 zuzena eta A (a1, a2) puntua emanda:22

21 ..),(

BA

CaBaArAd

+

++=

Gure adibidean, r: x 2y 1 = 0 eta A(3 , 6) direnez gero,

205.25

5.10

5

10

5

10

)2(1

)1(6.)2(3.1),(

22====

=

+

++=rAd

22..1177 Ariketa.- Kalkulatu P(-3 , 1) puntutik x y + 2 = 0zuzenera dagoen distantzia.

KONTUAN IZAN!

Demagun bi zuzen m eta m maldadunak:

Paraleloak badira: m = m

Perpendikularrak badira:'

1

mm =

2 4 6

2

4

6

r: x-2y-1=0

d

AH3,6L

P


9/13


28

Bi zuzen paraleloren arteko distantzia

reta szuzen paraleloen arteko distantzia zuzen bateko edozein

puntutatik beste zuzenera dagoen distantzia da.

22..1188 Ariketa.-Har itzazu r: x 2y 1 = 0 eta s: x 2y + 4 = 0 zuzenak

Aukera ezazu r-ren puntu bat esaterako (1 , 0) eta

kalkulatu puntu horretatik s zuzenera dagoen distantzia,

metodo bata zein bestea erabilita. Em.: 5

Puntu baten simetrikoa zuzenarekiko

A

r

s

Ariketa ebatzia.

Kalkula ezazu P = (4 , 3) puntuaren simetrikoa r: 2x y + 3 = 0 zuzenarekiko.

Ppuntua lortu behar dugu, hain zuzen P-tik pasatu eta r-ren

perpendikularra den zuzenean dagoena.

Problema hori ondoko hiru pausuak emanda ebatziko dugu:

I) P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den szuzenabilatu.

II)

reta szuzenen artekoQ ebaki-puntua aurkitu.III)Q puntuaPPzuzenkiaren erdiko puntutzat hartu.

Hau da:

I) r-ren bektore zuzentzailea (1,2) da; beraz, szuzenperpendikularraren zuzentzailetzat (-2,1) har daiteke.

0102:1

3

2

4:

)3,4(

)1,2(=+

=

=

=yxs

yxs

P

v

II)reta szuzenen ebaki-puntua kalkulatzeko ondoko ekuazio-sistema ebatziko dugu:

)523,

54(

0102032 =

=+

=+Q

yxyx

III) Demagun P-ren koordenatuak (x , y) direla. Qpuntua erdikopuntua denez:

)5

31,

5

12('

5

31yeta

5

12

2

3

5

23eta

2

4

5

4 ===

+=

+= Px

yx

-3 -2 -1 1 2 3 4

2

4

6

8

r: 2x-y+3=0

s

PH4,3L

P

Q


10/13


29

Ariketa ebatzia.

Kalkula ezazu A=( 2 , 1), B=(6,2) eta C=(3,5) erpinak

dituen triangeluaren azalera.

)(2

1altueraoinarriaAzalera ====

Oinarri A eta B puntuen arteko distantzia hartuta, altuera C

puntutik AB zuzenera arteko distantzia da.

17)12()26(),( 22 =+== BAdOinarria

Altuera (h) = d(C , rAB)

Lehenik, A eta B-tik pasatzen den zuzena kalkulatuko dugu:

024

1

1

4

2

)1,2(

)1,4(=+

=

=

==yx

yx

A

ABv

Ondoren, d(C , r) kalkulatuko dugu:17

15

17

15

)4(1

25.43),(

22=

=

+

+=rCd

Azkenik, azalera:

.2

15

17

15.17.

2

1)(

2

1karratuunitatealtueraoinarriaAzalera ============

Hiru puntu ez-alineatuk determinatzen duten triangeluaren azalera

ARIKETA EBATZIAK

1. A(2,-3), B(5,2),eta C(4,4) puntuak emanda:a) Aurkitu D puntua, ABCD paralelogramo bat izan dadin.b) Egiaztatu beraren diagonalen erdiguneek bat egiten dutela.

a) Ikusten duzunez, :berazda;DCAB =

)1,1(154

134

)4,4(),()4,4(

)5,3()3,2()2,5(

====

==

== Dyyxx

yxyxDC

AB

b)

dugu.lortzenberaPuntu

2

15(:erdigunearen-

2

42(:erdigunearen-

====++++++++

====++++++++

)2

1,3()

2

)1(2,

)2

1,3()

2

43,

BD

AC

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

AH2,1L

BH6,2L

CH3,5L

O

1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

A

B

C

D


11/13


30

2. P(3,8), Q(-11,3) eta R(-8,-2) puntuak triangelu baten erpinak dira.a) Egiaztatu triangelu hori isoszelea dela.b) Aurkitu triangeluaren azalera.

a) Aldeen luzerak hauek dira:

34)32()118(),(

221)82()38(),(

221)83()311(),(

22

22

22

=++=

=+=

=+=

RQd

RPd

QPd

d(P,Q) = d(P,R)delako, triangelua isoszelea da.

b) Oinarri QRzuzena hartuta, altuera (h) P-tik QRzuzenera dagoen distantzia da.QR-ren ekuazioa:

karratuunitateAzalera

QRPdAltuera

yxxym

2

85

34

85.34

2

1

34

85

35

468.33.5),(

04635)11(3

53

3

5

118

32

22

==

=

+

++==

=+++==+

=

3. A(2,1) eta B(1,-3) puntuetatik distantzia berera dagoen4x-8y+7=0 zuzeneko puntua aurkitu.

Bila gabiltzan puntua P(x,y) da, eta bi baldintza bete behar

ditu:

I) d(P,A) = d(P,B)II) P puntua 4x-8y+7=0 zuzenean egotea.

Hau da:

I) 0582)3()1()1()2(),(),( 2222 =+++=+= yxyxyxBPdAPd

II) P puntuak emandako zuzenekoa izan behar duenez, 4x-8y+7=0 ekuazioa bete behar du.

=+

=++

0784

0582

yx

yxsistema ebatzita lortzen dugu P puntua: )

8

1,2( =P

Triangelua isoszelea denez, altuera P

puntutik QR-ren erdigunera dagoen

distantziaren bidez ere kalkula daiteke.

E izu kalkulua ariketa isa.

-10 -8 -6 -4 -2 2

-2

2

4

6

8

Q

R

h

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

4x-8y+7=0

AH2,1L

BH1,-3L

P


12/13


31

Planoko geometria (ariketak)

1. Bila ezazu zein izan behar duen mparametroaren balioa, A=(1,0), B=(4,-1) eta C=(m,2)puntuak elkarrekin alineaturik egon daitezen. Em.: m=-5

2. Aurkitu ABCD paralelogramoaren D erpinaren koordenatuak, A(1,2), B(5, -1) eta C(6,3) direlajakinik.

3. A=(-4,1) eta B=(9,4) puntuen arteko segmentuakontsideraturik, lor itzazu segmentu hori hiru parte berdinetan

zatitzen dutenMetaNpuntuen koordenatuak.

direla.ANetaAMizanKontuan: ABABOharra3

2

3

1========

)3,3

14

(,)2,3

1

( ======== NM:Em.

4. (3, 5) eta b (k ,2)a = =ur ur

bektoreen biderkadura eskalarra 7 bada, aurkitu k-ren balioa.

5. eta ba nuluak ez diren bi bektore dira. Esan zein angelu eratzen duten ondoko kasuetan:

) . .

) . .

) . 0

) . 0,5 .

a a b a b

b a b a b

c a b

d a b a b

=

=

=

=

r r r r

r r r r

r r

r r r r

6. Kalkulatux-ren balioa, (5,2)eta),3( == bxa bektoreek ondoko ezaugarriak bete ditzaten:

a) Ortogonalak (perpendikularrak) izan.b) 60-ko angelua osatu.

7. Idatz ezazu era posible guztietan A = (-5,3) puntutik pasatu eta )1,1(=v bektore zuzentzailea

duen zuzenaren ekuazioa.

8. Kalkula ezazu k-ren balioa, 2x (k+1)y 4 = 0 ekuazioa duen zuzena (1 , 1) puntutik pasa

dadin. Em.: -3

9. Ondoko ekuazioek adierazitako zuzen bakoitzaren kasuan, determina itzazu zuzeneko puntubat, bektore zuzentzaile bat eta malda:

)2(312)

4

23)

73)0543)

)2,0(.)1,1(),()1

3

2

1)

+=

=

+=

+==+

+=

+=

xyfky

kxc

xyeyxb

kyxdyx

a

10.Adieraz ezazu reta szuzenen posizio erlatiboa ondoko kasuetan:

A

M

N


13/13


32

42:;1

3

2

1:)

0122:;02:)

023:;0432:)

=

+=

=+=+

=++=+

xysyx

rc

yxsyxrb

yxsyxra

11.Kalkula ezazu a-ren balioa,r: 2x+ay=3 eta s: 3x+5y=1 zuzenak elkar paraleloak izan daitezen.Em.: a = 10/3

12.Kalkula itzazur eta szuzenen ebaki puntuaren koordenatuak ondoko kasuetan:a) r: 2x-4y=5 ; s: 3x-6y=-2 Em.: a) Ez du

b) 123:;41

32: =+

+=

+=yxs

ky

kxr )

17

29,

17

25() b

13.Aurki ezazu ondoko baldintzak betetzen dituen zuzenaren ekuazioa: ordenatu-ardatza 2puntuan ebakitzen du eta 2x-3y=0 zuzenaren paraleloa da.(Oh.: zuzena (0,-2) puntutik pasatzen da)

14.Kalkula itzazu (1 , 3) puntutik pasatu eta2

4

6

2:

=

yxr zuzenaren paraleloa eta

perpendikularra diren zuzenen ekuazio orokorrak.

15.Erpinak A=(1,1), B(-3,5) eta C(-1,-2) puntuetan dituen triangelua emanik, kalkula itzazuondoko zuzenen ekuazioak:

a) A puntutik pasatu eta BC aldearen paraleloa den zuzena. Em.: a) 7x+2y=9b) B puntutik irteten den erdibidekoa. Em.: b) 11x+6y+3=0c) C puntutik irteten den altuera. Em.: c) x-y-1=0

16.Aurkitu A(-3,4) eta B(1,0) segmentuaren zuzen erdibitzailearen ekuazioa. Em.: y=x+3

17.Kalkula ezazu P = (2 , -5) puntuaren eta 3x + 2y + 1 = 0 ekuazioko zuzenaren arteko distantzia.

18.r: x+3y+1=0 eta s: x+3y-2=0 emanda, kalkulatu reta szuzenen arteko distantzia.

10

103:Em.

19.Kalkulaezazu k-ren balioa, r: -3x+2y=0 eta s: -3x+2y+k=0 zuzenen arteko distantzia 3unitatekoa izan dadin. 133:Em. =k

20.r: 3x + ay 2 = 0 zuzenak 60-ko angeluarekin mozten du OX ardatza. Kalkulatu a-ren balioa.

21.Lor ezazu (2 , 6) puntuaren simetrikoa lehenengo koadrantearen erdikariarekiko.

22.Lor ezazu ABC triangeluaren azalera: A=(-1, 4) ; B=(2 , 3) ; C=(-6 , -4)Em.: 29/2 unitate karratu

8. Biderkadura Eskalarra. Planoko Geometria Metrikoa

Documents

Transcript of 8. Biderkadura Eskalarra. Planoko Geometria Metrikoa