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NÚMEROS RACIONALES I: FRACCIONES

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales y enteros que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a −9 le sigue −8 y a este a su vez le sigue −7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad. Representación de los números racionales en la recta numérica Ejemplo: Represente en la recta numérica los siguientes números racionales: a) 3/2 b) 7/2 c) −1/2 d) −5/2

Solución:

1. Número racional

Es aquel número que puede expresarse como: ab

donde ∈a ∧ ∈*b El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q.

. { } ∗ ∗ = ∈ ∧ ∈ = −

a a b ; 0b

.

Ejm.: 4 7 12 0 16; ; ; ; ; ...3 3 6 4 10−

2. Número fraccionario

Es aquel número racional que no es entero.

Ejm.: 2 3 1 23; ; ; ; ...5 4 7 2

−−

3. Fracciones

Una fracción es un número fraccionario de términos positivos.

Ejm.: 2 7 4; ; ; ...5 9 8

4. Clasificación de las fracciones

Sea la fracción af (b 0)b

= ≠

Recuerde a y b +∈ I. Por la comparación de sus términos:

a) Propia a / b es propia ↔ a < b Su valor es menor que la unidad

Ejm.: 3 7 1; ;5 1000 2597

b) Impropia

a / b es impropia ↔ a > b Su valor es mayor que la unidad

Ejm.: 5 8 125; ;2 3 7

Observación Una fracción impropia a / b puede convertirse a número mixto efectuando la división entera:

A B r q

⇒ El número mixto es: rqb

r r q q B B= +

II. Por su denominador:

a) Decimal Cuando el denominador es una potencia de 10.

Ejm.: r r q q B B= +

b) Ordinario

Cuando el denominador no es una potencia de 10.

Ejm.: 3 4 5; ;7 6 2

ARITMÉTICA

8 CIENCIAS

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III. Por grupos de fracciones:

a) Homogéneas Cuando todas las fracciones de un grupo tienen el mismo denominador.

Ejm.: Las fracciones 5 9 11; ;7 7 7

son homogéneas

b) Heterogéneas

Cuando todas las fracciones de un grupo no tienen el mismo denominador.

Ejm.: 5 7 5; ;8 4 6

IV. Por los divisores comunes de sus términos:

a) Reductibles a / b es reductible ↔ a y b no son PESI.

Ejm.: 20 15 80; ;12 75 30

b) Irreductibles

a / b es irreductible ↔ a y b son PESI.

Ejm.: 7 6 12; ;5 11 25

5. Fracciones equivalentes

Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; por ejemplo:

a) Simplificación de una fracción Sea f = a / b ¡simplificar! Primero calculemos al M.C.D. de a y b entonces:

I

abM.C.D.(a,b)f PESI

b qM.C.D.(a,b)

= =

b) Ampliación de una fracción

Sea f = p / q irreductible, la fracción equivalente se obtiene:

epKfqK

= con k +∈

Ejm.: Obtener las fracciones equivalentes a 559731

,

cuyos términos son menores que 1000. 6. Propiedades

1. Si a ambos términos de una fracción propia se le agrega una misma cantidad positiva, la fracción resultante es mayor que la original.

2. Si a ambos términos de una fracción impropia se le agrega una misma cantidad positiva, la fracción resultante es menor que la original.

3. Sea 1afb

= y 2cfd

= entonces:

I) f1 > f2 ↔ a ⋅ d > b ⋅ c II) f1 < f2 ↔ a ⋅ d < b ⋅ c ∀ a, b, c y d +∈

4. Si la suma de dos fracciones irreductibles resulta un número entero, entonces sus denominadores son iguales.

7. Fracciones continuas

Una expresión de la forma: badc

e ...

++

+

Se denomina fracción continua

Fracción continua simple

Es aquella fracción continua de la forma:

1

23

1a1a

a ...

++

+

La cual representaremos como: [ ]1 2 3a ; a ; a ; ...

Ejm.: 1213 14

5

++

+

se representa [ ]2; 3; 4; 5

M.C.D. y M.C.M. para fracciones

Sean a c e, ,b d f

fracciones irreductibles.

I. M.C.D.(a, c, e)M.C.D.M.C.M.(b, d, f )

=

II. M.C.M.(a, c, e)M.C.M.M.C.D.(b, d, f )

=

Ejm.: Encuentre el M.C.D. y el M.C.M. de 27 12,35 25

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EJERCICIOS DE CLASE

1. Hallar la fracción irreductible mn

que se duplica si

se agrega a sus dos términos el denominador. Dé como respuesta el valor de 2(m n)+ .

A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

2. El denominador de una fracción es 3 unidades

mayor que el doble del numerador, si el numerador de la fracción anterior aumenta en 4 unidades y el denominador aumenta en 10 unidades, se obtiene una fracción equivalente a la anterior, halle la suma de cifras del denominador. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

3. Si el número de fracciones propias e irreductibles

cuyo denominador es 84 y sean mayores que 75103

es “x”; halle el valor de 2(x 2)− . A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

4. El número de fracciones propias de términos

impares consecutivos menores que 0,95 es “a”, Halle el valor de 2(a 17)− . A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36

5. El numerador de dos fracciones irreductibles es 4 y el MCD de sus denominadores es 3.Se sabe

también que la suma de dichas fracciones es 3245

;

hallar la diferencia positiva de dichas fracciones.

A) 745

B) 845

C) 1745

D) 7145

E) 3745

6. Una bomba A puede llenar una piscina funcionando

solo en 4 horas. Otra bomba B lo puede llenar en 5 horas; pero otra bomba C lo puede descargar totalmente en 20 horas. ¿Qué tiempo emplearán las tres bombas, funcionando a la vez, para llenar totalmente la piscina? A) 5 h B) 2 h 30’ C) 3 h 15’ D) 2 h 45’ E) 6 h

7. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días; trabajan juntos durante 6 días, al cabo de los cuales se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta en 30 días ¿En cuánto tiempo terminaría la obra el ayudante trabajando solo?

A) 40 d B) 60 d C) 80 d D) 90 d E) 120 d

8. Tres obreros A, B y C pueden hacer una obra en

20, 15 y 10 días, respectivamente. El día primero empieza el trabajo A solo, empezando el tercer día se le une B y empezando el 5to día se les une C. ¿En qué tiempo total se realizó la obra?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 11 E) 1 713

9. A es el triple de rápido que B y este es el doble de

lento que C. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días, ¿cuánto le tomará hacerlo al más lento?

A) 36d B) 72 d C) 48 d D) 96 d E) 24 d

10. Un tanque está las 34

lleno. El caño A puede llenar

todo el tanque en 12 min. el caño B puede desaguarlo en 8 min. Si ambos caños están abiertos, cuánto tiempo emplearán en vaciar el tanque?

A) 21 min. B) 18 min. C) 12 min. D) 6 min. E) 24 min.

11. Tres cuadrillas de obreros podrían hacer el mismo

trabajo, la primera en 12 días; la segunda en 10

días y la tercera en 8 días. Si se toman los 34

de

la primera cuadrilla, 13

de la segunda y 12

de la

tercera; en cuántos días harán los 1920

del trabajo.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

12. Dos caños pueden llenar un tanque de 24 litros en 5 y 6 horas, respectivamente; un desagüe puede vaciar el tanque en 10 horas. Si se abren los tres a la vez y se cierran apenas se llena el tanque, calcular cuántos litros de agua se fueron por el desagüe.

A) 2 litros B) 7 litros C) 8 litros D) 9 litros E) 10 litros

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13. En un depósito hay 30 litros de vino y 40 litros de agua. Si al extraer cierta cantidad de la mezcla en el depósito quedan 24 litros de agua, qué cantidad de mezcla se ha retirado.

A) 34 litros B) 28 litros C) 30 litros D) 40litros E) 60 litros

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original?

A) 11 B) 8 C) 3 D) 13 E) 10

2. Se tienen dos números de dos cifras cada uno que tiene como cifra de unidades a la unidad. Si el segundo es mayor en 1 / 5 a los 4 / 5 del primero. ¿Calcular la suma de los números?

A) 96 B) 92 C) 94 D) 88 E) 8

3. Si el producto de los términos de una fracción equivalente a 4 / 7 tiene 14 divisores positivos, hallar la suma de los términos de dicha fracción.

A) 58 B) 30 C) 35 D) 40 E) 44

4. ¿Cuántas fracciones propias existen, tales que sean menores a 5/6 y sus términos son consecutivos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. Halle la suma de los términos de la menor fracción equivalente a 5 / 13 cuyo producto de sus términos

es un múltiplo de o

25 .

A) 75 B) 85 C) 90 D) 270 E) 180

6. Un tanque es llenado por un caño en 4 horas por otro caño en 6 horas. Estando el tanque lleno puede ser vaciado por un desagüe en 8 horas o por otro desagüe en 12 horas. Estando el tanque lleno hasta su octava parte, se abren los caños dos horas y luego los desagües ¿En cuánto tiempo se llenó el tanque?

A) 3 horas 30 min B) 3 horas 15 min C) 3 horas D) 2 horas 12 min E) 2 horas

7. Felipe entra a dos librerías en forma sucesiva; en

la primera gasta 13

de lo que tenía, más S/. 10 y en

la segunda gasta 110

de lo que le quedaba, más S/.

10. Si regresa a su casa con S/. 53, cuál es la cantidad que tenía al inicio. A) S/. 100 B) S/. 180 C) S/. 90 D) S/. 120 E) S/. 150

8. En una reunión de 38 personas, se observa que la

quinta parte de las mujeres son delgadas y la séptima parte de los hombres son gordos. ¿Cuántos hombres son delgados? A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 32

9. Un niño compra limones a 3 por S/. 2 y los vende a 4 por S/. 3 ¿cuántos limones debe vender para ganar S/. 5? A) 60 B) 80 C) 90 D) 100 E) 50

10. Tres amigos que tienen 11; 9 y 7 panes invitan a un forastero a consumir sus panes. Si los cuatro consumen partes iguales y al retirarse el forastero deja en pago S/.1,35 ¿Cuántos céntimos le corresponde al segundo amigo? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

11. Después de haber perdido sucesivamente los 38

de

su fortuna, 19

del resto y los 512

del nuevo resto,

una persona hereda S/. 60 800, de este modo la pérdida se halla reducida a la mitad de la fortuna primitiva. ¿Cuál era aquella fortuna? A) 343 400 B) 344 500 C) 345 600 D) 346 700 E) 348 700

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12. De compras al mercado hoy, gasté 13

de lo que no

gasté. De haber disminuido mi gastó en 13

, me

hubiera quedado S/. 120 más de lo que no gasté. ¿Con cuánto de dinero cuento actualmente? A) S/. 960 B) S/. 1 080 C) S/. 1 180 D) S/. 680 E) S/. 780

13. Un automóvil ya avanzó 1/5 de su recorrido ¿Qué fracción de lo que le falta debe avanzar para llegar a los 8/15 del recorrido.

A) 512

B) 115

C) 13

D) 23

E) 215