8 Geometria lauarecursostic.educacion.es/descartes/web/materiales... · 2012. 4. 12. · Zuzenak...

MATEMATIKA 1 DBH 109

Helburuak

Hamabostaldi honetan, hau

ikasiko duzu:

Planoaren oinarrizko elementuak ezagutzen.

Zuzenak eta bere propietateak ezagutzen.

Zuzenak eta zuzenekin erlazionaturiko elementuak

erabiltzen.

Angelu motak bereizten.

Angeluen propietateak eta angeluen arteko erlazioak

ezagutzen.

Angeluak neurtzen eta angeluen arteko

eragiketak egiten..

Geometria lauaren problema errazak ebazten.

Hasi baino lehen

1. Zuzenak. Paralelismoa eta perpendikulartasuna ...................... 112. orr.

Planoa Puntuak eta zuzenak

Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia Zuzenaren propietateak Posizio erlatiboak

Paralelismoa Perpendikulartasuna

2. Zuzenki naten erdibitzailea ............. 119. orr. Erdibitzailearen definizioa Erdibitzailea nola marraztu

Simetria

3. Angeluak. Sailkatzea eta neurtzea ... 122. orr.

Definizioa Angelu motak Angeluen arteko erlazioak

Angelua nola neurtu Sistema hirurogeitarra

4. Angelu baten erdikaria ................... 123. orr. Erdikariaren definizioa Erdikaria nola marraztu

5. Angeluen arteko eragiketak ............ 124. Orr. Angeluen arteko batuketak

Angeluen arteko kenketak Angelu baten eta zenbaki baten arteko

biderketa

Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa

Eragiketak sistema hirurogeitarrean

Egiteko ariketak

Gehiago jakiteko

Laburpena

Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

Geometria laua 8

110 MATEMATIKA 1 DBH


Hasi baino lehen

Aztertu

Bilar jokoan geometría lauaren elementu asko (puntua, zuzena, angelua,

simetria…) agertzen dira. Eskuineko eszenan, ikusiko duzu bolak zer

ibilbide eraman behar duen bola gorriarekin talka egiteko; badago modu

bat baino gehiago: banda batean eman ondoren, bi bandetan eman ondoren…

Jaurtiketa zuzen batean bola gorriari apuntatzen diogu. Jaurtiketa albo batera bada, eta gorriari eman

nahi badiogu, gure bilarreko mahaiaren ondoan

irudizko mahai bat jarriko dugu (irudizko bola gorri

batekin). Irudizko bola gorri horri apuntatuko diogu benetakoari emateko.

Jaurtiketa bi alboetara

bada, gure mahaia halako

4 egingo dugu (mahai bat

erreala, eta 3 irudizko

mahai). Eskuineko goiko

bolari apuntatuko diogu,

eta, bi alboaetan jo

ondoren benetako bola

gorria joko du.

Bilar jokoan, honako

elementu hauek daude:

zuzenak, puntuak,

simetriak, angeluak...

Geometria laua

IRUDIZKO MAHAIAK IRUDIZKO BOLAK


1. Zuzenak. Paralelismoa eta

perpendikulartasuna.

Planoa.

Gizakia beti saiatu da inguruan ikusten dituen objetu

eta irudiak marrazten.

Hori dela eta, gainazal batean puntuak, lerroak,

zirkuluak eta beste irudi batzuk marraztu ditu.

Adibidez: harrietan zizelkaturiko lehen petroglifoak,

errenazimenduko pinturak, edo gaur egungo arkitekturan eta ingeniaritzan erabilitako planoa.

Planoa geometriaren garrantzi handiko objetua da;

izan ere, planoaren gainean irudiak marrazten dira.

Puntuak eta zuzenak.

Euklidesek, historiako lehen matematikari handiak,

puntua eta zuzena ,definitu zituen. Bi elementu horiek dira planoaren oinarrizko bi elementuak.

Horregatik, zeruko izar bat puntu baten, hegazkinak

utzitako arrastoa zuzen baten eta gure laneko mahaia plano baten moduan identifikatuko ditugu.

Hori behar dugu geometria lantzeko.

Geometriarekin badugu ondo pasatzeko aukera; izan ere, gure inguruan dauden objetuetan,

elemetu geometriko asko daude.

Eta geometriak informazio baliagarria ematen digu..

Puntua luzerarik eta zabalerarik ez

duen elementua da. Zuzena luzerarik

baduen eta zabalerarik ez duen elementua da.

Trenbidea behatzen badugu, errailak paralelo,,baina infinituan elkar ebakitzen dutela ikusten dugu. Behaketa horrek distantziari buruzko informazioa ematen du.

Bilatu zure inguruan dauden objetu eta propietate geometrikoak.. Askotan harrituta geldituko zara..

Geometria laua


Bi puntu lotzeko, modu asko daude, eta aukera horien artean zuzenkia da bereziena; izan ere, motzena da..

Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia.

Har ditzagun planoko bi puntu eta lot ditzagun lerro

batez. Lortzeko modu asko daude, baina badago lerro

bat beste edozein lerro baino motzagoa. Motzena den lerroari zuzenki deritzo.

Puntuak A eta B izendatzen baditugu, biak lotzen

dituen zuzenkia AB moduan izendatuko dugu. Hori dela eta, A eta B zuzenkiaren muturrak dira.

Zuzenkia bi muturretatik mugarik gabe luzatzen badugu, zuzen bat lortzen dugu.

AB zuzenkia mutur batetik bakarrik luzatzen badugu,

zuzenerdi bat lortzen dugu. Adibidez B-tik luzatzen

badugu, A muturra zuzenerdiaren hasiera dela esaten zaio.

Zuzenaren propietateak.

Euklidesek zuzenaren zenbait propietate definitu

zituen. Propietate horiek sinpleak dira, eta ezinbestekoak dira geometría ulertzeko.

Hona hemen horietako batzuk:

1. Bakarra da bi puntuak lotzen dituen zuzena.

2. Edozein zuzenek bi eremutan zatitzen du planoa, eta planoerdi dute izena.

Bakarra da bi puntuak lotzen dituen

zuzena.

Puntu bat zuzenaren gainean ez badago,,planoerdi batean egongo da.

Zuzen batek planoa bi zatitan banatzen du. Zati bakoitzari planoerdi deritzo.

Geometria laua


Posizio erlatiboak.

Marraz ditzagun plano baten gainean bi zuzen.

Zenbait egoera sor daitezke: besteak beste, zuzen bat

bestearen gainean egon. Hori gertatzen bada, biak

bereiztea ezinezkoa da; hau da, zuzen bera dira eta bi

zuzen horiek bat egiten dutela esaten da.

Bi zuzenak desberdinak badira, bi egoera sor

daitezke. Gerta liteke inoiz ez ukitzea: paraleloak dira. Edo puntu batean elkartzea: ebakitzaileak dira.

Elkar ebakitzen ez duten bi zuzenak

paraleloak dira. Puntu bakar batean

elkar ebakitzen duten bi zuzenak ebakitzaileak dira.

Kanpoko puntu batetik zuzen bati zuzen

paralelo bakar bat marraz diezaiokegu.

Paralelismoa.

Puntu komunik ez duten zuzenak paraleloak dira.

Definizio hori, K.a. III. mendean Euklidesek eman

zuen. Horri esaten zaio 5. Postulatua: kanpoko

puntu batetik zuzen bati zuzen paralelo bakar bat

marraz diezaiokegu.

Erregelarekin eta konpasarekin marraz daiteke

zuzen batekiko paraleloak. Metodoa ondoko marrazkian agertzen da.

Euklidesekin bat etorriz gero, paralelismoa

geometriaren oinarrizko kontzeptu bat da. Hori dela

eta, ezagutzen ari garen geometriari geometria euklidearra deritzo.

Zuzen ebakitzaileak Puntu bakar batean elkar ebakitzen dute.

Geometría laua


Perpendikulartasuna

Puntu batean elkar ebakitzen duten bi zuzenek planoa

lau eremutan banatzen dute. Planoa zatitzean

lortutako lau eremuen anplitudeak berdinak badira, zuzenak perpendikularrak direla esango dugu.

Zuzen bat eta haren puntu bat ezagutzen baditugu,

puntu horretatik igaro, eta perpendikularra den

zuzena bakarra da..

Erregelarekin eta konpasarekin marraz daiteke zuzen batekiko perpendikularrak..

Bi zuzenek planoa lau eremu berdinetan

banatzen badute, zuzen horiek

perpendikularrak dira.

ARIKETA ebatziak

1. Marraztu A puntutik igarotzen diren hiru zuzen. Xenbat zuzen gehiago marraz

dezakezu?

Sol Puntu batetik infinitu zuzen marraz daiteke.

2. Marraztu A eta B puntuetatik igarotzen diren bi zuzen. Posiblea al da? Adierazi

zergatia.

Sol A eta B puntuetatik igarotzen den zuzena bakarra da.

3. Marraztu A, B eta C puntuetatik igarotzen den zuzen bat. Nola

kokatu behar dira hiru puntu horiek zuzen bat marrazteko?

Sol Ezinezkoa da. Posiblea izateko lerrokatuta egon behar lirateke.

4. Marraztu honako elementu hauek: AB zuzenkia, C jatorriko

zuzenerdia, zuzenerdi bat B puntutik igaro eta D puntuan jatorria

duena, A-tik igarotzen den zuzena eta A eta C puntuetatik igarotzen

den zuzena

Sol Begiratu Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia orrian.

5. Marraztu A eta B puntuetatik igarotzen den zuzena. Adierazi zuzen horren

puntubat. Adierazi planoerdi desberdinetan dauden bi puntu.(Zuzenak planoa bi

planoerditan banatzen du)

Sol Begiratu Zuzenaren propietateak orrian.

6. Esan ea zuzenak bat egiten duten, paraleloak diren edo

ebatzitzaileak diren..

Sol r eta s paraleloak dira. t zuzena ebakitzailea da r eta s zuzenekin.

C puntutik igaro, eta r zuzenarekiko perpendikularra.

Geometria laua


Hemen, perpendikularrak eta paraleloak

marrazteko adibideak agertzen dira.

(konpasa eta erregela erabiliz)

Puntu batetik perpendikularra

Puntu batetik paraleloa

ARIKETA ebatziak

7. Marraztu r zuzenarekiko bi zuzen paralelo eta ebakitzaile bat.

Sol Begiratu Posizio erlatiboak orrian.

8. Marraztu r zuzenarekiko paralelo bat, eta s zuzenarekiko

beste paralelo bat. Zer irudi osatzen dute lau zuzen horiek?

Sol Paralelogramo bat osatzen dute.

9. Marraztu zuzen bat: C puntutik igarotzen da, eta r

zuzenarekiko paraleloa da. Erabili erregela eta konpasa.

Sol Begiratu Paralelismoa orrian.

10. Marraztu beste zuzen paralelo bat r zuzenarekiko. Adierazi marraztutako zuzenen

arteko posizio erlatiboa

Sol Zuzena paraleloa da aurreko zuzenarekiko.

11. Marraztu zuzen bat (s): C puntutik igaro, eta perpendikularra r-

rekiko. Erabili erregela eta konpasa.

Sol Begiratu Perpendikulartasuna orrian.

12. Adierazi D puntua (r zuzenaren ez den puntu bat). Marraztu zuzen bat: D-tik

igarotzen da, eta perpedikularra da s-rekiko. Zer erlazio dago marraztutako

zuzenaren eta r zuzenaren artean?

Sol Paraleloak dira.

13. Marraztu hiru zuzen perpendikular r zuzen batekiko. Adierazi hiru zuzen horien

arteko posizio erlatiboa

Sol Hiru zuzenak paraleloak dira.

Geometria laua


Erdibitzailea AB zuzenkiaren

perpendikularra da; eta bi zati berdinetan zatitzen du.

2. Zuzenki baten erdibitzailea.

Erdibitzailearen definizioa.

A eta B puntuak ezagutzen baditugu, puntu horiek

lotzen dituen AB zuzenkia marraz dezakegu.

Zuzenki horren erdigunetik pasatzen den eta

zuzenkiaren perpendikularra den zuzenari erdibtzaile deritzo..

Erdibitzaileak zuzenkia bi zuzenki berdinetan zatitzen

du..

Zuzen erdibitzaileak propietate garrantzitsu bat du:

zuzen horren edozein puntutik AB zuzenkiaren edozein puntura dagoen distantzia bera da.

Erdibitzailea nola marraztu.

Aurreko kasuetan bezala, erdibitzailea marrazteko,

erregela eta konpasa erabiliko ditugu.

Horretarako, bi puntu adierazi, eta erregela erabiliz marraztu bi puntuak lotzen dituen zuzenkia.

Mutur baten gainean konpasa jarri, eta ireki beste

muturreraino iritsi arte. Marraztu zirkunferentzia bat. Egizu gauza bera zuzenkiaren beste muturretik.

Lotu marraztutako bi zirkunferentzien ebaki-puntuak.

Lortu duzun zuzenki berri hori hasierako zuzenkiaren

perpendikularra da, eta luzatuz gero, erdibitzaile bihurtzen da.

Zuzenki baten erdibitzailea

Geometria laua


Puntu baten simetrikoa

Simetria.

Zuzen bat eta kanpoko C puntu bat ezagutzen ditugu.

Honako baldintza hau betetzen duen puntu bat (C’)

bilatuko dugu: CC’ zuzenkia zuzenaren erdibitzailea izango da.

Aurkitutako C’ puntuari C puntuaren simetrikoa

deritzo, eta zuzenari simetría-ardatza.

Simetria mota honi islatze esaten zaio, eta edozein

irudi geometrikoari aplika diezaiokegu. Alegia,

emandako irudiaren erpin guztien simetrikoak

marraztu, eta jatorrizko irudiaren simetrikoa lortu

dugu..

Islatzeak irudi

simetrikoak sortzen

ditu, ispiluak egiten duen antzera

ARIKETA ebatziak

14. Marraztu AB zuzenkia, eta AB-ren erdibitzailea. Horretarako, erabili erregela eta

konpasa.

Sol Begiratu Erdibitzailea nola marraztu orrian.

15. Adierazi puntu bat aurreko ariketan marraztutako erdibitzailean. Neurtu puntu

horretatik zuzenkiaren muturretara zer distantzia dagoen. Zer erlazio dago

distantzia horien artean?

Sol Erdibitzailearen edozein puntutatik AB zuzenkiaren edozein muturretara distantzia bera da.

16. Marraztu AB zuzenkia. Marraztu A eta B puntuen simetrikoak r-

rekiko. Marraztu puntu simetrikoak lotzen dituen zuzenkia. Zer

erlazio dago bi zuzenkien artean?

Sol Zuzenkiak r-rekiko simetrikoak dira, eta luzerak berdinak dira.

17. Marraztu ABC triangelua. Marraztu triangeluaren simetrikoa

zuzenarekiko. Idatzi zer erlazio aurkitu duzun.

Sol Lortutako irudia beste triangelu bat da.

18. Marraztu irudiaren simetrikoa.

Sol Begiratu Simetria orrian.

Geometria laua


Angelua hau da: jatorri bera duten bi

zuzenerdik sortzen duten eremuetako

bakoitza.

Angelu motak.

Anplitudearen arabera angelu batzuk bereiztuko

ditugu:

Angelu zuzena: aldeak perpendikularrak ditu.

Angelu laua: angelu hau osatzen dute jatorri bera eta aurkako noranzkoa duten

zuzenerdiek.

Angelu nulua: angelu hau osatzen dute jatorri bera eta bereko noranzko duten

zuzenerdiek.

Angelu zuzenarekin alderatuz gero:

Zuzena baino anplitude txikiagoa duen angelua

zorrotza da. Zuzena bsino anplitude handiagoa,

eta laua baino txikiagoa duen angelua kamutsa da.

Angelu lauarekin alderatuz gero:

Angelu laua baino anplitude txikiagoko angelua

ganbila (konbexua) da. Anplitude handiagoa bada, ahurra (konkaboa) da.

3. Angeluak. Sailkatzea eta

neurtzea.

Angelu baten definizioa.

Plano bat dugu: planoan, A puntu bat, eta puntu

horretan jatorria duten bi zuzenerdi. A puntuari erpin eta zuzenerdi bakoitzari alde esaten zaie.

Bi zuzenerdik planoa bi zatitan banatzen dute.

Hauetako eremu bakoitzari angelu esaten zaio.

Bi eremuak tamaina desberdinekoak izan daitezke.

Tamainari angelu-anplitude esaten zaio. Anplitude

horren arabera angeluak sailka daitezke. Horretarako,

anplitudeak neurtuko ditugu eta haien arteko

erlazioak definituko ditugu.

ZORROTZA

ZUZENA

KAMUTSA

Geometria laua


Angeluen arteko erlazioak.

Erpin bera eta alde komun bat duten bi angelu ondoz

ondoko angeluak dira, eta anplitude bera badute, berdinak dira.

Angelu zuzen bat osatzen duten ondoz ondoko angeluek angelu osagarriak dute izena.

Angelu lau bat osatzen duten ondoz ondoko angeluek

angelu betegarriak dute izena.

Puntu batean elkar ebakitzen duten bi zuzenek binaka

berdinak diren lau angelu zehazten dituzte. Anplitude

bera duten angelu bikoteak erpinez aurkako angeluak dira.

Bi angelu osagarri eta angelu zuzen bat

baliokideak dira. Bi angelu betegarri eta angelu lau bat baliokideak dira.

Zirkunferentzia bat 360 zati

berdinetan zatituz gero, angeluen unitate neurra lortzen dugu: gradua.

Angelua nola neurtu.

Angelu baten anplitudea neurtzeko unitate moduan

gradua erabiliko dugu, eta "º" ikurraz adieraziko

dugu. Angelu nuluari 0º anplitudea egokitzen zaio, eta 90º angelu zuzenari.

Bi angelu zuzen angelu lau baten baliokideak dira, eta

ondorioz, 180º-ko anplitudea izango du. Lau angelu

zuzenek (edo bi lauk) plano osoa betetzen dute; horregatik, planoaren anplitudea 360º da.

Beste edozein angelu neurtzeko, aipatutako

angeluekin alderatuko dugu. Adibidez: angelu zuzena

bi angelu berdinetan zatituz gero 45º-ko bi angelu

lortuko ditugu. Era berean, hiru zati berdinetan zatituz gero,30º-ko hiru angelu lortuko ditugu.

Angelu osagarriak

Angelu betegarriak

100º

Geometria laua


ARIKETA ebatziak

19. Adierazi irudian erpina, aldeak eta angeluak.

Sol Begiratu Angeluaren definizioa orrian.

20. Adierazi irudian angeluak zorrotzak, zuzenak,

kamutsak edo lauak diren.

Sol a laua da, b zorrotza da, c zuzena da eta d kamutsa da.

21. Marraztu honako hauek: angelu kau bat, angelu nulu bat, angelu zorrotz bat,

angelu kamuts bat, angelu ahur bat eta angelu ganbil bat.

Sol Begiratu Angelu motak orrian.

22. Marraztu angelu bat: B puntuan erpina du, eta irudiko angelua

bezalakoa izan behar du.

Sol Bi zuzen marraztuko ditugu: paraleloak angeluaren aldeekiko, eta b puntutik igarotzen dira.

23. Marraztu angelu bat: B puntuan erpina du, DEF angelua

bezalakoa da, eta ABC angeluaren ondoz ondokoa..

Sol Erabili angelu-garraiagailua.

Sistema hirurogeitarra

Angeluen anplitudea zehaztasun handiagoz neurtzeko,

sistema hirurogeitarra erabiltzen da.

Sistema horren arabera, gradu bakoitza 60 zati

berdinetan zatitzen da. Horietako zati bakoitzari

minutu esaten zaio. Era berean, minutu bakoitza 60

zati berdinetan zatituz gero, 60 segundo lortuko

ditugu; beraz, honako baliokidetasun hau lortuko dugu:

1 gradu = 60 minutu = 3 600 segundo

Neurri sistema hori erabiltzen badugu, angelu baten

anplitudea 25 gradu, 31 minutu eta 7 segundo izan

daiteke; eta honela idatziko dugu:

25º 31' 7''

Geometria laua


ARIKETA ebatziak

24. Adierazi zer angelu diren osagarriak eta betegarriak.

Sol Osagarriak: 37º-koa eta 53º-koa. Betegarriak: 105º-koa

eta 75º.koa.

25. Identifikatu anplitude bereko angeluak. Zer izena dute

angelu horiek?

Sol a eta e angeluak berdinak dira (zuzenak dira); b eta d

ere bai.

26. Adierazi honako angeluak: 30º, 60º, 90º, 45º, 10º, 135º eta 240º.

Horretarako, erabili marrazketarako tresnak.

Sol Begiratu Angelua nola neurtu orrian.

105º

Geometria laua


Angelu baten erdikaria

Erdikariak angelua bi angelu

berdinetan zatitzen du

4. Angeluaren erdikaria.

Erdikariaren definizioa.

Angelu baten erdikaria da angelua bi zati berdinetan

banatzen duen zuzenerdia

Angeluaren erdikariak honako ezaugarri hau betetzen

du: erdikariaren edozein puntutik angeluaren edozein aldetara distantzia bera dago.

Erdikaria nola marraztu.

Geometria lauan, oinarrizko tresnekin angelu batean

erdikaria marraz daiteke.

A erpineko angelu bat dugu. Jarri konpasa A

puntuan, eta marraztu angeluaren bi aldeak ebakitzen dituen arku bat (ebaki-puntuak B eta C).

Marraztu honako ezaugarri hauek dituzten bi arku:

aurreko atalean aipatutako ebaki puntuetan dute zentroa, eta erradioa, edozein.

Marraztu zuzen bat: A puntutik pasatzen dena, eta bi

arkuen arteko ebaki-puntutik ere bai. Hori da angeluaren erdikaria..

ARIKETA ebatziak

27. Adierazi angeluen ardikariak

Sol Erdikariak honako hauek dira: b, d eta f.

28. Marraztu angeluaren erdikaria.

Sol Begiratu Erdikaria nola marraztu orrian.

29. Marraztu ondoz ondoko angeluen erdikariak. Zer erlazio dute

erdikari horiek?

Sol Angelu osagarriak badira, erdikariak perpendikularrak dira.

Geometria laua


Batuketa analitikoa hau da: bi angeluen

anplitudeen arteko batura.

Bi angeluen arteko kenketa

kalkulatzeko, handiaren anplitudearen

eta txikiaren anplitudearen arteko aldea kalkulatu behar da.

5. Angeluen arteko eragiketak.

Angeluen arteko batuketak.

Bi angelu edo gehiago batu daitezke veste angelu bat

sortzeko.

Batuketa analitikoa zein grafikoa egin daiteke.

Batuketa grafikoa egiteko, batu behar diren

angeluak ondoz ondoko posizioan jartzen dira; hau

da, erpina eta alde bat batera, eta bi angeluek bere

barnean hartzen duten angelua bien arteko batura da.

Analitikoa eragiketa egiteko, emandako bi angeluen

anplitudeak batzen dira. Anplitude berri hori angeluen arteko batura da.

Angeluen arteko kenketak.

Kenketa eragiketa, batuketaren moduan analitikoa

zein grafikoa egin daiteke.

Kenketa grafikoa egiteko, erpina eta alde bat batera

marraztuko ditugu, eta handienak txikiena bere

barnean hartuko du. Angelu handiaren eta txikiaren

artean gelditzen den angelua kendura da.

Kenketa analitikoa egiteko, handienaren anplitudeari

txikienaren kentzen zaio.

ADIBIDE BAT

ººº 23597138

ADIBIDE BAT

ººº 87166253

Geometría laua


Angelu baten eta zenbaki baten arteko biderketa.

Angelu bat zenbaki batekin biderkatzea da zenbakiak

halako aldiz angelua batzea.

Angelu bat zenbaki arrunt batekin grafikoki

biderkatzeko, angelu bera ondoz ondoko posizioan zenbakiak halako aldiz jartzea da.

Eragiketa analitikoa egiteko, zenbakia anplitudearekin biderkatzen da.

Analitikoki angelu bat zenbaki arrunt

batekin biderkatzeko, angeluaren anplitudea zenbakiarekin biderkatzen da.

Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa.

Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa da

zenbakia halako zati berdinetan zatitzea angelua.

Zatiketa analitikoa egiteko, angeluaren anplitudea zenbakiarekin zatitzen da.

Zatiketa grafikoa egitea zailagoa da, konpasa eta

erregela erabiliz ezin baita beti egin. Hori gertatzen

da, adibidez, angelu bat hiru zati berdinetan zatitzen

saiatzen garenean (angeluaren trisekzioaren

problema famatua); angelu gehienekin ezinezkoa da.

Angelu bat bi zati berdinetan zati daiteke; izan ere,

angelu baten erdikaria da.

ADIBIDE BAT

º:º 2311253

ADIBIDE BAT

ºº 322467

Zatidura zehatza ez bada, beste trena matematiko batzuk behar ditugu Horietako batzuk hurrengo atalean agertuko dira

Geometria laua


Eragiketak hirurogeitarrean.

Era konplexuan (gradutan, minututan eta

segundotan) adierazitako angeluekin eragiketo,

eszenan ematen diren urratsak emango ditugu (gradu

bat 60 minutu (1º=60') eta 1 minutu 60 segundo(1'=60'').

Hori dela eta, beharrezkoa eta ahal den guztietan, 60

segundo eta 60 minutu elkartuko ditugu 1 gradu eta 1

minutu lortzeko. Era berean, beharrezkoa bada, 1

gradu 60 minutu edo 1 minutu 60 segundo eraldaketak egingo ditugu.

Era konplexuan: graduak, minutuak eta segundoak modu askean eragiten dira.

Angeluen arteko BATUKETA era konplexuan

Hasteko, segundoak batuko ditugu. Batura 60'' edo gehiago bada, minutu bat izango dugu eta gainontzeko segundoak kontuan hartuko ditugu.

Minutuekin eragiketa bera egingo dugu . Batura 60’ edo gehiago bada,

gradu bat izango dugu eta gainontzeko minutuak kontuan

hartuko ditugu..

Bukatzeko, graduak batuko ditugu, eta aurreko urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu.

Angeluen arteko KENKETA era konplexuan

Hasteko, segundoen arteko kenketa egingo dugu. Kenkizuna kentzailearen berdina edo handiagoa bada, zuzenean egiten da. Kenkizuna kentzailea baino txikiagoa

bada, kenkizunatik minutu batkenduko dugu eta segundoei 60’’

batuko dizkiegu, horrela kenkizuna kentzailea baino handiagoa izango da, eta kenketa egingo dugu

Minutuekin prozesu bera; hau da, , kenkizuna kentzailea berdina edo handiagoa bada, zuzenean egiten da. Kenkizuna kentzailea baino txikiagoa

bada, kenkizunatik gradu bat 60’ bihurtuko dugu, horrela kenkizuna kentzailea baino handiagoa izango da, eta kenketa egingo dugu

Bukatzeko, graduen arteko kenketa

egingo dugu, eta aurreko

urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu.

Geometria laua


Angelu baten eta zenbaki baten arteko BIDERKETA

Hasteko, segundoak, minutuak eta graduak zenbakiarekin biderkatuko ditugu. Unitate bakoitzaren emaitzarekin honako hau egingo dugu: segundoak 60naka

taldekatuko ditugu (60’’=1’, 120’’=2’...). Minutu horiek beste minutuekin batera jarriko ditugu.

Minutuekin prozesu bera egingo dugu. Minutuak 60naka taldekatuko ditugu (60’=1º, 120’=2º...). Gradu horiek beste graduekin jarriko ditugu, eta aurreko

urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu.

Angelu baten eta zenbaki baten arteko ZATIKETA

Hasteko, graduen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. Hondarraren graduak minutu bihurtuko ditugu, eta dauden minutuekin batuko ditugu. Hori egin

ondoren, minutuen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. Hondarraren minituak segundo bihurtuko ditugu, eta dauden segundoekin batuko ditugu. Bukatzeko, segundoen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu.

ARIKETA ebatziak

30. Egin 110º eta 40º angeluen arteko batuketa (modu analitikoa eta grafikoa).

Sol Batuketa grafikoa egiteko, begiratu Angeluen arteko batuketak orrian.

Batuketa analitikoa honako hau da: ººº 15040110 .

31. Egin 163º eta 34º angeluen arteko kenketa (modu analitikoa eta grafikoa).

Sol Kenketa grafikoa egiteko, begiratu Angeluen arteko kenketak orrian.

Kenketa anlitikoa honako hau da: ººº 2934163 .

32. Kalkulatu: a. ºº 3673 ,

b. ººº 11812328 , c. ºº 153722 , d. 590 :º , e. 360180202130 :ºººº

Sol a. ººº 373673 , b. ºººº 2311812328 , c. ººº 189153722 , d. º:º 18590 , e. º:ºººº 150360180202130

33. Kalkulatu 3:20 eta 4:00 orduen artean minutuen orratzak zer angelu egiten duen.

Sol Minutuen orratzak 360º-ko angelua egiten du 60 minututik behin; beraz, minutu

batean 6º . eta 40 minututan 240º.

34. Kalkulatu erloju baten ordu-orratzak zer angelu egiten duen honako ordu tarte

hauetan: 2:00 eta 2:47; 2:34 eta 7:11.

Sol Ordu-orratzak 30º-ko angelua egiten du 60 minututik behin; beraz, minutu batean 0,5º. 2:00 eta 2:47 orduen artean ordu-orratzak 23,5º-ko angelua egiten du; eta

2:34 eta 7:11 orduen artean 138,5º-koa.

Geometria laua


Praktikatzeko

1. Bi zuzenek puntu komun bat dute.

Zein da zuzenen arteko pisizio

erlatiboa? Bi puntu komun dituzte.

Zein da zuzenen arteko posizio

erlatiboa? Puntu komunik ez dute.

Zein da zuzenen arteko posizio

erlatiboa?

2. m da AB zuzenkiaren erdibitzailea; D

m-ren puntu bat; eta D-tik B-ra

distantzia 525, da. Zer distantzia

dago D-tik A-ra?

3. Sailkatu honako angelu hauek: 0º,

45º, 90, 135º, 180º y 225º

(anplitudearen arabera,angelu

zuzenarekin alderatuz gero eta angelu

lauarekin alderatuz gero).

4. Angelu baten anplitudea 37º da.Zer

anplitude du osagarriak? Eta

betegarriak?

5. Erdikariak planoa lau eremutan

banatzen du. Hasierako angeluak

170º ditu. Kalkulatu lau angeluak.

6. Kalkulatu:: ººº 2412495

7. Kalkulatu: ºº 195273

8. Kalkulatu: 452 :º

9. Kalkulatu:

'''º'''º 4932912328128

10. Kalkulatu: '''º'''º 4756834332330

11. Kalkulatu: 793831 '''º

12. Kalkulatu: 83415117 :'''º

13. Marraztu zuzen perpendikularra zuzen

batekiko. Horretarako, erabili erregela

eta konpasa.

14. Marraztu zuzen paraleloa zuzen

batekiko. Horretarako, erabili erregela

eta konpasa.

15. Marraztu zuzenki baten erdibitzailea.

Horretarako, erabili erregela eta

konpasa.

16. Marraztu angelu baten erdikaria.

Horretarako, erabili erregela eta

konpasa.

17. Marraztu puntu baten simetrikoa

zuzen batekiko. Horretarako, erabili

erregela eta konpasa.

Geometria laua


Gehiago jakin

E Euklides maisua

Uklides, askorentzat, historiako lehen matematikari

handia da. Zergatik? Ia ezeretik abiatuta eta matematika-

arrazonamendu (matematika beste zientzietatik bereizten

duen metodo zientifikoa)soila erabiliz, lehen matematika-

diskurtsoa antolatzeko gai izan zen lehen lehen

matematikaria izan zelako.

Geometria-elementuak izeneko liburua-bost ataletan

antolaturik-da haren ekarpen handia. Horretan, puntu,

zuzen, gainazal eta angelu oinarrizko kontzeptuetatik

abiatuta, geometriako bost postulatu famatuak ezarii

zituen. Erreminta xume horiekin garai hartatik gure

garaiara geometriako ia ezagutza guztiak biltzen dituen

“eraikin” handi bat sortu zuen. Gaur egun, ezagutzen

ditugun angelua, zuzena, tiangelua, zirkunferentziako

moduko irudi laua, paralelismoa eta perpendikulartasuna, azalerak eta askoz gehiago berak definitu zituen.

XIX. mendetik aurrera, ordea, matematika modernoaren zenbait

izen handiek Euklidesek markatutako eremua zabaltzeko aukera

izan zuten. Horretarako “Paraleloen postulatua” izenez ezaguna

den 5.postulatua kendu zuten, eta zeharo bestelakoak ziren

mundo geometrikoak topatu zituzten, geometria berri horretan

lerro paraleloak elkartzen ziren, eta triangeluen angeluen batura 180º-tik bestelakoa izan zitekeen.

Jende asko mundo berriaren eta arraroaren aurrean aztoratuta

sentitu zen, baina,, denbora piska bat pasa ondoren, zenbait

kasutan, mundo horiek gure munduarekin espero baina antza

handiagoa izan dute. Informazio gehiago nahi izanez gero, izen

hauetara jo,Riemann, Lobatchevski, Bolyai edo Gauss. Horiek

dira, neurri batean, geometriaren eboluzioaren sortzaileak eta Unibertsoaren sorrerari buruzko teoria berrien bide-urratzaileak.

o

Geometría laua


Gogora ezazu garrantzitsuena

Zuzenak

Puntuak eta zuzenak geomatria lauaren

oinarrizko elementuak dira.

Lerro zuzena bi puntuen arteko lerrorik motzena da.

Elkar ebakitzen ez duten bi zuzenak

paraleloak dira. Puntu batean elkar

ebakitzen dutenak, berriz, ebakitzaileak dira.

Bi zuzen perpendikularrak dira, planoa

anplitude besdineko lau eremutan zatitzen badute.

Zuzenki baten erdibitzailea zuzen bat da:

perpendikularra zuzenkiarekiko, eta zuzenkia bi zati berdinetan zatitzen du.

A eta B puntuak simetrikoak dira zuzen

batekiko, zuzen hori AB zuzenkiaren erdibitzailea bada.

Ángeluak

Angelua hau da: jatorri bereko bi

zuzenerdik planoa zatitzean sortzen duten

eremu bakoitza. Angeluak hainbat irizpideren arabera sailka daitezke:

anplitudearen arabera: zuzena, llaua, nulua.

angelu zuzenarekin alderatuz: zorrotza, kamutsa.

angelu lauarekin alderatuz: konkaboa (ahurra), konbexua

(ganbila).

Gradua hau da: zirkunderentzia 360 zati

berdinetan egin, eta zati horietako

bakoitzaren anplitudea. Beraz, angelu zuzenak 90º ditu eta lauak 180º ditu.

Angelu bat bi zati berdinetan zatitzen duen

zuzenerdiari angeluaren erdikaria esaten

zaio

Angeluen arteko batuketa eta kenketa

egiteko, anplitudeak batu edo kendu behar dira.

Geometría laua


Autoebaluazioa

1. Lotu elementu bakoitza

izenarekin.

2. Adierazi zuzenen arteko

posizio erlatiboa.

3. Zuzen bat perpendikularra bada beste biekiko,

zer posizio erlatiboa dute bi zuzen horiek?

4. Zuzen bat perpendikularra da zuzen batekiko,

eta zuzenki hori bi zati berdintan zatitzen du.

Zer izena du zuzen horrek?

5. Adierazi A puntuaren

simetrikoa ardatzekiko (r, s

eta t).

6. Bi zuzen ebakitzaileek zenbat angelutan zatitzen

dute planoa?

7. Kalkulatu 64º-ko angeluaren angelu

oasagarriaren eta betegarriaren anplitudea.

8. Bi angelu betegarriak dira. Zer angelu osatzen

dute angelu horien erdikariek?

9. Kalkulatu:

17º+36º+42º

10. Kalkulatu:

ººº 16531382

Geometria laua


Praktikatzeko ariketen erantzunak

7. ººº 176195273

8. º:º 13452

9. Emaitza: '''º 121220 .

10. Emaitza: '''º 5635246 .

11. Emaitza: '''º 327221 .

12. Emaitza: '''º 263914 y resto ''6 .

13. Ikusi bideoa (perpendikularra nola

marraztu).

14. Ikusi bideoa (paraleloa nola

marraztu).

15. Ikusi bideoa (erdibitzailea nola

marraztu).

16. Ikusi bideoa (erdikaria nola

marraztu).

17. Ikusi bideoa (simetrikoa nola marraztu).

1. Zuzenak honelakoak izan daitezke:

paraleloak, puntu komunik ez

badute; ebakitzaileak, puntu komun

bat badute; eta bat datozenak, bi

puntu edo gehiago badituzte.

2. D-tik B-ra eta A-ra dagoen

distantzia bera da. Beraz,

525,A,Dd .

3. Sailkapena:

0º ......Nulua ..... Zorrotza . Ganbila

45º .....Zorrotza .. Ganbila

90º .....Zuzena ... Ganbila

135º ...Kamutsa . Ganbila

180º ...Laua

225º ...Ahurra

4. 37º-ko angeluaren osagarria 53º-

koa da; eta betegarria 143º-koa da.

5. Bi angelu 85º-koak eta beste bi

95º-koak.

6. ºººº 1952412495

Bidali jarduerak tutoreari

AUTOEBALUAZIOAREN erantzunak

1. a. zuzenerdi; b. zuzenki; c. rzuzen.

2. a. paraleloak; b. bat datoz; c. ebakitzaileak.

3. Paraleloak dira.

4. erdibitzailea.

5. Simetrikoak ondoko grafikoan agertzen dira.

6. Lau angelutan.

7. Osagarria: 26º-koa.

Betegarria: 116º-koa.

8. Perpendikularrak dira.

9. Emaitza: 95º.

10. ºººº 20716531382 .

Geometria laua

8 Geometria lauarecursostic.educacion.es/descartes/web/materiales... · 2012. 4. 12. · Zuzenak...

Documents

Transcript of 8 Geometria lauarecursostic.educacion.es/descartes/web/materiales... · 2012. 4. 12. · Zuzenak...