TENSIONES INDUCIDAS EN MÁQUINAS A ANILLOS

Norberto A. Lemozy

1 INTRODUCCIÓN El objetivo del presente capítulo es obtener las expresiones de las tensiones inducidas en una

fase de un arrollamiento a anillos, que gira dentro de un campo magnético.

Primero se analiza la tensión inducida en una espira diametral, luego en una espira acortada, en un grupo de bobinas y en bobinas con sus lados inclinados respecto de la generatriz del cilindro rotórico, es decir formando una hélice, estos conceptos son generales y pueden aplicarse a cualquier tipo de arrollamiento.

Luego se calcula el flujo por polo, suponiendo una máquina de entrehierro constante, y se determinan las tensiones inducidas en una fase completa de un arrollamiento a anillos ubicado en el rotor y se consideran tres casos:

a) El arrollamiento gira dentro de un campo constante. b) El arrollamiento gira dentro de un campo rotante. c) El arrollamiento gira dentro de un campo alterno.

2 TENSIONES INDUCIDAS Se considera que en el entrehierro de la máquina hay un campo magnético constante en el

tiempo y fijo en el espacio, el que podría estar producido por una corriente continua circulando en el estator o por imanes permanentes colocados en el mismo.

Si bien en la práctica la distribución de la inducción B en el entrehierro, nunca es perfectamente sinusoidal, si se hace el análisis armónico de la misma, cada una de las componentes tiene distribución sinusoidal, por lo tanto es lícito realizar el estudio para este tipo de distribuciones de campo en el entrehierro y aplicarlo, primero a la componente fundamentas y luego a las armónicas.

2.1 Una espira diametral Se estudia una máquina, como la representada en la figura 1, que por sencillez se tomó de

entrehierro constante, con una espira diametral ubicada en el rotor, el que gira con velocidad angular ωr en radianes eléctricos por segundo. Cabe recordar que se definen los ángulos eléctricos como:

geométricoeléctrico p θθ ⋅= (1)

Y las velocidades angulares como las derivadas respecto del tiempo de esos ángulos:

[ ] [ ] [ ]60

rpm2s

1s

1 npprπω =Ω⋅= (2)

1

Donde:

p: es el número de pares de polos de la máquina. Ω: es la velocidad angular en radianes geométricos por segundo [1/s]. n: es la velocidad angular en revoluciones por minuto [rpm].

π

Fig. 1: Espira diametral.

Por comodidad se dibujan y analizan máquinas de un par de polos para que coincidan los ángulos eléctricos y geométricos, pero si se consideran todos los ángulos, en todas las expresiones, como ángulos eléctricos, salvo que se diga lo contrario; las conclusiones que se obtienen son aplicables a máquinas de cualquier polaridad.

Haciendo una representación desarrollada de la espira que se mueve dentro de la componente fundamental del campo magnético de inducción B [T], se tiene la figura 2.

B

ee

e

B

BY = τ

θ1 2

1

2p1

v

Fig. 2: Espira diametral moviéndose en el campo magnético.

Como la inducción magnética en el entrehierro es radial y los lados de la espira están dispuesto según la generatriz del cilindro rotórico, los mismos cortan perpendicularmente a las líneas de fuerza del campo magnético. Si la longitud activa de dichos lados es l [m], la tensión inducida en bornes de la espira será:

vBleeee 22 121 ==+= (3)

2

Donde v [m/s] es la velocidad tangencial, que vale:

rr ⋅= ωv (4)

Siendo r [m] el radio del cilindro rotórico.

Todas estas tensiones inducidas son alternas y están en fase, ya que los dos lados de la espira pasan simultáneamente por los ceros y por los máximos del campo magnético. Si se las representa fasorialemente resultan todos los fasores en fase, como se muestra en la figura 3.

E

EE1 2

π

Fig. 3. Tensiones inducidas en espira diametral.

En este caso la tensión resultante vale:

2121 EEEEE &&&&& +=+= (5)

2.2 Una espira acortada Si en las condiciones anteriores se acorta la espira, como se muestra en la figura 4, las

tensiones inducidas en sus lados ya no estarán en fase, la tensión inducida en el lado 2 tendrá un desfase, de la correspondiente al lado 1 en un ángulo ( )πc−1 , donde c es el paso relativo:

11 <=p

Ycτ

(6)

Siendo Y1 el paso de la espira y τp el paso polar.

π

π

c

(1-c)

Fig. 4. Espira acortada.

Si se vuelven a representar el entrehierro y la espira en forma desarrollada, figura 5, se puede ver que cuando el lado 1 alcanzó el máximo de la inducción B, y en consecuencia el máximo de la tensión inducida, el lado 2 todavía no lo alcanzó, por ese motivo se dice que la tensión 2 está atrasada de la 1.

3

B

ee

e

B

BY = cτ

θ1 2

1

2p1

v

Fig. 5. Espira acortada moviéndose en el campo magnético.

Por lo dicho los fasores representativos de las tensiones inducidas tendrán el mismo módulo (los máximos son iguales, pero ocurren en momentos distintos) pero el fasor estará atrasado un ángulo

2E&

( )πc−1 , como se muestra en la figura 6.

E

EE1

2πcAB

C

Fig. 6. Tensiones inducidas en espira acortada.

Como el triángulo que se forma es isósceles, la tensión resultante vale:

2

sin22 1πcEBACBBAE && ==+= (7)

Se define factor de paso kp a la relación de los módulos de la tensión inducida resultante en la espira acotada respecto a la tensión inducida resultante en la espira diametral:

diametral espiraen acortada espiraen

EE

k p = (8)

Donde 21 EEE && == , reemplazando resulta:

2

sin2

2sin2 π

π

cE

cEk p == (9)

Teniendo en cuenta que un ángulo θ1 para la fundamental, vale ν⋅θ1 para el armónico de orden ν . 1θνθν ⋅= (10)

4

La expresión (9) se puede generalizar para un armónico de orden ν simplemente multiplicando al argumento de la función por el orden del armónico:

2

sin πνν ck p = (11)

Entonces, cuando se necesita calcular la tensión inducida en una espira acortada, se la calcula primero como si fuera diametral y luego se la multiplica por el correspondiente factor de paso:

diametral espiraen acortada espiraen ννν EkE p ⋅= (12)

Lo mismo vale para la tensión inducida en una bobina.

2.3 Bobinas distribuidas

Sea un grupo de tres (q=3) bobinas diametrales, iguales, separadas un ángulo eléctrico α entre sí, y conectadas en serie, como se muestra en la figura 7.

α

α

NN

N

b

b

b

Fig. 7. Tres bobinas diametrales distribuidas.

Como las tres bobinas tienen el mismo número de espiras, sus tensiones inducidas van a tener el mismo módulo pero van a estar desfasadas un ángulo eléctrico α entre sí, formando un polígono regular, en este caso de tres lados, como se muestra en la figura 8; donde se agrega una construcción auxiliar para establecer las relaciones entre las tensiones.

E

EE1 2

3EA

BC D

O

r

αα

α α α

α/2

Fig. 8. Tensiones inducidas en las bobinas distribuidas.

5

En la figura 8 se han trazado las mediatrices (perpendiculares en los puntos medios de los lados) correspondientes a las tres tensiones, las que se cortan el punto O que es el centro de la circunferencia circunscripta al polígono o circuncentro. También se han trazado los radios r de dicha circunferencia.

Los ángulos α de desfase entre las tensiones, son los ángulos exteriores del polígono, los que a su vez son iguales a los ángulos interiores del mismo. En este ejemplo la suma de los ángulos interiores resulta 3α , porque son tres bobinas; en general si se tienen q bobinas en serie en el grupo, la suma de los ángulos interiores sería qα .

El módulo de la tensión resultante E se puede expresar como:

2

sin22odistribuid αqrCADAE ⋅=⋅==& (13)

Si las tres bobinas del ejemplo estuvieran superpuestas en las mismas ranuras, sus tensiones estarían en fase y la resultante sería el triple de la correspondiente a una de las bobinas; en general si el grupo tiene q bobinas en serie, el módulo de la resultante sería:

2

sin22oconcentrad 1αrqBAqEqE ⋅=⋅== && (14)

El factor de distribución kd es el cociente de los módulos de las tensiones resultantes con distribución y sin distribución:

oconcentrad

odistribuid

E

Ekd &

&= (15)

Reemplazando resulta:

2sin

2sin

2sin2

2sin2

α

α

α

α

q

q

rq

qrkd =

⋅

⋅= (16)

Generalizándola para el armónico ν :

2sin

2sin

αν

ανν

q

qkd = (17)

Donde, como ya se dijo, q es el número de bobinas del grupo y α es el ángulo eléctrico entre las mismas.

Entonces, cuando se desea calcular la tensión inducida en un arrollamiento distribuido, se la calcula primero como si fuera concentrado y luego se la multiplica por el correspondiente factor de distribución:

oconcentrad odistribuid ννν EkE d ⋅= (18)

6

2.4 Bobinas helicoidales En algunas máquinas las ranuras del rotor se inclinan respecto de la generatriz del cilindro que

lo representa, en esos casos las ranuras, y en consecuencia los lados de las bobinas que se encuentran en las mismas, dejan de ser rectas y se transforman en curvas de doble curvatura: en hélices cilíndricas de un paso muy grande. Si las ranuras del estator, como es lo habitual, son rectas en la dirección de las generatrices del mismo, el campo magnético producido por las bobinas estatóricas mantendrá su simetría axial. En la figura 9 se muestra como una ranura rotórica, que a la izquierda está enfrentada con una ranura estatórica, en el extremo derecho del rotor se encuentra girada un ángulo γ respecto de la misma ranura estatórica.

γRotor

Ranura rotóricaRanura estatórica

RotorRotor

Estator

Estator

Fig. 9. Ranura rotórica inclinada.

Ese ángulo γ es la rotación de la hélice cuando se desplaza una longitud igual al largo del rotor.

Cuando un conductor rotórico helicoidal se mueve dentro del campo magnético producido por un estator con ranuras rectas, sus elementos de longitud dl cortan distintos valores de inducción magnética B. El ángulo eléctrico entre los diferenciales de tensión inducida, correspondientes al primer y al último elemento conductor, es el ángulo de rotación γ.

El diagrama fasorial correspondiente a los infinitos diferenciales de tensión inducida en el conductor es un arco de circunferencia cuyo ángulo central es γ y la tensión resultante es la cuerda, figura 10.

dE

A B

r

O

E

γ

γ

Fig. 10. Diagrama fasorial.

7

El factor de hélice kh es el cociente de los módulos de las tensiones resultantes con ranuras helicoidales y con ranuras rectas:

hélicesin

hélicecon

E

Ekh &

&= (19)

La tensión resultante con ranuras helicoidales es la cuerda de la figura 10 que se puede expresar como:

2

sin2hélicecon γrEdE == ∫ && (20)

Mientras que la suma de todos los módulos de los diferenciales de tensión inducida es la longitud del arco subtendido por el ángulo γ:

γrEdE ∫ === arcohélicesin && (21)

Reemplazando en la (19) resulta:

2

2sin

2sin2

arcocuerda

γ

γ

γ

γ

===r

rkh (22)

Que generalizando para un armónico de orden ν:

2

2sin

γν

γνν =hk (23)

Entonces, cuando se desea calcular la tensión inducida en un arrollamiento con ranuras helicoidales, se la calcula primero como si fueran ranuras rectas y luego se la multiplica por el correspondiente factor de hélice:

hélicesin hélicecon ννν EkE h ⋅= (24)

A fin de no cometer un error de cálculo conviene destacar que el ángulo que figura en el denominador de las expresiones (22) y (23), además de ser un ángulo eléctrico, debe estar expresado en radianes.

El factor de hélice puede considerarse como un caso límite del factor de distribución en el que:

0→∞→

αq (25)

Además: γαα

=→

∞→q

q0

lim (26)

Es decir:

2

2sin

2

2sin

2sin

2sin

lim0

γν

γν

αν

αν

αν

αν

αν ===

→∞→

q

q

q

qk

qh (27)

8

Cuando los arrollamientos están muy distribuidos, como los de colector, el factor de distribución se calcula directamente como la relación entre la cuerda y el arco, es decir como si se tratase de un caso de hélice.

Este factor de hélice no es propio del estator ni del rotor, ya que el ángulo γ se define entre las ranuras del rotor respecto de las del estator. Si se inclinaran ambas ranuras hacia el mismo lado y el mismo ángulo, no aparecería el factor de hélice.

Por lo tanto, el factor de hélice, se debe utilizar cuando se estudian las interacciones entre el estator y el rotor, por ejemplo en el cálculo de las tensiones inducidas en el rotor debidas al campo producido por el estator, o viceversa, o en el cálculo de la cupla electromagnética y debe aparecer una sola vez en la productoria de los distintos factores del estator y del rotor. Si en cambio se estudian las tensiones inducidas en un arrollamiento, debidas al campo producido por el propio arrollamiento, la hélice, si la hubiera, no produciría ningún efecto.

La razón por la cual se inclinan las ranuras del rotor, lo que no deja de ser una complicación constructiva, a fin de que aparezca el factor de hélice, es atenuar armónicos de orden superior. A modo de ejemplo en la figura 11 se grafica el factor de hélice en función del orden de la armónica, para un rotor de 24 ranuras, cuatro polos y con valores de rotación de la hélice (arco rotórico correspondiente al ángulo gama) correspondientes a media, una y una y media ranuras del rotor.

-0,4-0,2

00,20,40,60,8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Armónico

Fact

or d

e hé

lice

Media ranuraUna ranuraRanura y media

Fig. 11. Factor de hélice

En la figura 11 se puede observar que cuanto mayor es la inclinación, más rápidamente se atenúan los armónicos.

9

2.5 Caso general A fin de conseguir una buena reducción de armónicos, el arrollamiento puede tener bobinas

acortadas, distribuidas y con las ranuras inclinadas, de esa forma se combinan los distintos efectos y se pueden obtener resultados muy satisfactorios.

En ese caso la tensión resultante se calcula como si el arrollamiento fuera diametral, concentrado y con ranuras rectas y luego se la multiplica por el producto de los tres factores:

recto o,concentrad diametral, inclinado o,distribuid acortado, ννννν EkkkE hdp ⋅= (28)

Al producto de los tres factores se lo suele llamar factor del arrollamiento:

νννν hdpw kkkk ⋅⋅= (29)

Si las bobinas del grupo o de la fase poseen distinto número de espiras, si los ángulos α no son todos iguales, o los grupos poseen distinta cantidad de bobinas, como en los arrollamientos fraccionarios; las expresiones de los factores dadas más arriba, no son aplicables y se debe recurrir a otros procedimientos de cálculo. Afortunadamente la mayoría de los arrollamientos se ajustan a las condiciones estudiadas.

10

3 FLUJO POR POLO A fin de poder obtener el flujo concatenado por cada fase, y luego la fuerza electromotriz

inducida, primero hay que determinar el flujo por polo. En las mayoría de las máquinas eléctricas, cuando están en carga, se encuentran presentes dos fuerzas magnetomotrices, por ejemplo la del estator Fe y la del rotor Fr que, si se considera cada armónica por separado, cada una de ellas tiene una distribución sinusoidal en el entrehierro y es representable por medio de un vector en el espacio. En virtud de esa distribución espacial, la fuerza magnetomotriz resultante FR se puede obtener haciendo la suma vectorial de las mismas aplicando, por ejemplo, la regla del paralelogramo:

reR FFF += (30)

La suma anterior (30) es común hacerla tomando los valores máximos de las fuerzas magnetomotrices.

En la figura 12 se muestra, en una representación desarrollada, la inducción magnética B1 debida a la componente fundamental de la fuerza magnetomotriz resultante . 1RF

B

B

τ

θ

1

p

∧

π0l

S

1

p1

Fig. 12. Superficie polar de fundamental.

Donde τp es el paso polar y l es la longitud axial del rotor. La superficie polar para la fundamental Sp1 corresponde a un sector de la superficie lateral del

cilindro rotórico correspondiente a un paso polar, figura 13.

Si el cilindro rotórico tiene un diámetro medio D, la superficie polar de fundamental se puede expresar como:

p

lDS p 21π

= (31)

Siendo p el número de pares de polos.

11

p

p

S

Dl

τ

Fig. 13. Superficie polar en el rotor.

Como la distribución de la inducción es sinusoidal, una forma sencilla de calcular el flujo por polo es tomando el valor medio de la misma y multiplicándola por la superficie polar:

g

FBB Rmed

1011

ˆ2ˆ2 µππ

== (32)

Donde: 7

0 104 −= πµ [H/m]

1B es el valor máximo de la componente fundamental de la inducción [T].

1ˆ

RF es el valor máximo de la fuerza magnetomotriz resultante [A]. g es entrehierro equivalente [m].

El entrehierro equivalente es el entrehierro geométrico multiplicado por los factores de Carter del estator y del rotor. El entrehierro equivalente, sin ranuras, presenta la misma reluctancia que el entrehierro real ranurado.

Haciendo el producto se obtienen el flujo por polo para la fundamental:

101ˆ

RFpgDlµ=Φ [Wb] (33)

Si se considera un armónico, por ejemplo el tercero, donde hay un ciclo de la fundamental habrá tres ciclos de ese tercer armónico, y la superficie de uno de esos polos, se reduce a la tercera parte de la superficie de un polo de fundamental, figura 14:

En general se puede poner:

p

lDSS p

p 211 πννν == (34)

Resultando el flujo por polo:

ν

µ νν

RFpgDl ˆ

0=Φ [Wb] (35)

12

2π 1

B

B

τ

θ3

p

∧

π0l

Sp3

Fig. 14. Superficie polar para el tercer armónico.

4 FLUJO CONCATENADO

Todo lo estudiado hasta ahora, tiene un carácter bastante general, lo que sigue está orientado a los arrollamientos de fases, es decir arrollamientos abiertos con un principio y con un final.

El valor máximo del flujo concatenado por una fase, es decir cuando el eje magnético de la fase coincide con la dirección del campo magnético, está dado por:

νννλ Φ= ws kNˆ [Wb] (36)

Donde kwν es el factor de arrollamiento para el armónico ν definido por la (29) y Ns es el número de espiras en serie por fase es decir el número de espiras en serie que hay entre los bornes de la fase. Cuando las fases tienen ramas en paralelo, estas ramas deben ser todas iguales, a fin de evitar corrientes de circulación entre ellas, ésta es una condición de simetría del arrollamiento y Ns es el número de espiras de una de esas ramas.

13

5 TENSIONES INDUCIDAS EN UNA FASE A continuación se estudian las tensiones inducidas en una fase rotórica que gira en un campo

magnético, primero constante, luego rotante y finalmente alterno. Al rotor se lo considera girando con velocidad angular ωr constante definida por la ecuación (2).

5.1 Fase en campo constante Como ya se dijo en el párrafo 2 un campo magnético constante es el que tiene amplitud

constante y está fijo respecto al arrollamiento que lo produce, en este caso el campo estatórico podría estar generado por medio de corriente continua o imanes permanentes. En la figura 15 se muestra esquemáticamente un rotor cilíndrico bipolar girando dentro de un flujo constante Φ :

Φ

ω

θ

r

= cte.

Fig. 15. Fase en campo constante.

Si bien el esquema de la figura 15, por sencillez, muestra una máquina bipolar, si se consideran ángulos eléctricos, las conclusiones que se obtienen, son aplicables a máquinas de cualquier polaridad. Además se omitió el estator, el que puede ser cilíndrico o de polos salientes indistintamente, ya que al considerar las componentes armónicas de la inducción en el entrehierro, las mismas estarán distribuidas en forma cosenoidal en el entrehierro.

El ángulo girado por el rotor será:

0θωθ += tr (37)

El ángulo de fase inicial 0θ está incluido a fin de generalizar la expresión. El flujo concatenado por la componente fundamental vale:

θλ cosΦ= ws kN (38)

La expresión anterior (38) solamente es válida cuando el rotor es cilíndrico ya que si posee saliencias la variación del flujo concatenado no sería una función coseno del ángulo y el resultado resultaría aproximado. En realidad esta restricción no es muy limitativa, ya que la mayoría de las máquinas poseen inducidos cilíndricos.

Para obtener la tensión inducida se aplica la ley de Faraday:

dtde λ

= [V] (39)

Derivando el flujo concatenado, dado por la (38), la componente fundamental queda:

14

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++Φ=

2cos 0

πθωω tkNe rwsr (40)

Que es una tensión alterna de pulsación:

rr fπω 2= (41)

Cuya amplitud depende de la frecuencia de rotación y su valor eficaz es:

Φ= wsr kNfE2

2π (42)

Como tanto la frecuencia como la amplitud dependen de la velocidad de giro, a esta tensión inducida se la suele denominar de rotación. Este es el tipo de tensión inducida que aparece en las máquinas sincrónicas.

Si se considera un armónico de flujo de orden ν , por cada vuelta del rotor el mismo encuentra ν p pares de polos, entonces la frecuencia y la pulsación de la tensión inducida resultarán ν veces la correspondiente a la fundamental:

rr ff ⋅=νν (43)

La velocidad de rotación en radianes eléctricos por segundo se puede generalizar para el armónico de orden ν considerando la relación (10) que establece que para los armónicos los ángulos se deben multiplicar por el orden del armónico. Entonces la relación (1) se puede generalizar como:

geométricoeléctricoeléctrico p θνθνθ ν ⋅⋅=⋅= (44)

Que si se la deriva respecto del tiempo, da las respectivas velocidades angulares de rotación:

Ω⋅⋅=⋅= prr νωνω ν (45)

Reemplazando en la expresión (40) resulta:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅Φ=

2cos 0

πθωνων ννν tkNe rwsr (46)

Cuyo valor eficaz es:

ννν νπΦ= wsr kNfE

22

(47)

5.2 Fase en campo giratorio

Cuando por el estator de la máquina circula un sistema polifásico de corrientes, se produce un campo giratorio en el cual cada componente armónica de la fuerza magnetomotriz, posee amplitud y velocidad de giro constantes y algunas se pueden anular. A continuación se analiza la tensión inducida en una fase rotórica, que gira con velocidad angular ωr dentro de un flujo que rota con velocidad de campo ωc la que, en general y para la fundamental, coincide con la pulsación de las corrientes que lo están produciendo. Esta situación se muestra esquemáticamente en la figura 16 donde se tomaron al rotor y al campo girando en el mismo sentido.

15

Φω

θ

rθ

ω

c

c

Fig. 16. Fase en campo giratorio.

Si:

t

t

cc

r

ωθθωθ

=+= 0 (48)

El flujo concatenado por la fase será:

( )( )[ 0cos

cosθωωλ ]

θθλ−−Φ=

−Φ=tkN

kN

rcws

cws (49)

La tensión inducida en la fase se obtiene haciendo la derivada respecto del tiempo:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−Φ−==

2cos 0

πθωωωωλ tkNdtde rcwsrc (50)

Ésta es una tensión alterna cuya amplitud y cuya frecuencia dependen de la diferencia de velocidades entre el campo giratorio y la de rotación de la fase. Frecuentemente se utiliza una variable denominada resbalamiento s definida como:

c

rcsω

ωω −= (51)

Si el rotor gira en sentido opuesto al campo rotante, en las expresiones (49), (50) y (51), las velocidades angulares se deberán sumar.

La tensión inducida dada por la ecuación (50) se puede poner en función del resbalamiento como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−Φ=

2cos 0

πθωω tskNse cwsc (52)

De esta forma se puede ver que tanto la amplitud como la frecuencia dependen del resbalamiento, por ese motivo a esta tensión inducida se suele llamar tensión de resbalamiento y es la que aparece en los rotores de motores asincrónicos o de inducción.

Como ya se dijo, en la mayoría de los casos, la velocidad de giro del campo de fundamental coincide con la pulsación de las corrientes que lo producen, es decir:

fc πωω 2== (53)

16

Entonces la frecuencia de resbalamiento vale:

fsfss

f cs ⋅=

⋅=

⋅=

ππ

πω

22

2 (54)

Donde se toma el módulo del resbalamiento a fin de no obtener frecuencias negativas. El valor eficaz de la tensión de resbalamiento (52), resulta:

Φ⋅= wskNfsE2

2π (55)

Como ya se habrá podido apreciar, esta tensión inducida es un caso particular de la tensión inducida cuando el rotor gira dentro de un campo constante, estudiada en el punto 5.1, y surge de reemplazar la velocidad de rotación ωr por la velocidad relativa entre el campo y el rotor ωc - ωr.

Si se tienen en cuenta lo flujos armónicos habrá que considerar sus respectivas velocidades angulares y sus respectivos sentidos de giro. Si el campo giratorio es producido por un sistema trifásico balanceado de corrientes hay solamente campos armónicos impares, los múltiplos de tres se cancelan y las velocidades de giro valen:

νωω ν =c (56)

Además los campos armónicos de orden k32 +=ν con k = 0; 1; 2… giran en sentido opuesto al de fundamental.

Se puede definir un resbalamiento para cada armónico haciendo:

ωωω

ωωω ν

ν

ν

ν

ν

ν

νν

r

c

rc

c

c

c

c

nnns ±

=±

=±

=Ω

Ω±Ω= (57)

Correspondiendo el signo menos del numerador al caso en que el rotor y el campo rotante giran en el mismo sentido, como en la figura 16, y el signo más al caso contrario.

Las relaciones entre las velocidades angulares ω ; Ω y n son las dadas por la ecuación (2) y además:

pp

cc ν

ωω νν ==Ω (58)

pfnc νν

60= (59)

Con las salvedades hechas más arriba respecto a las componentes que se anulan y las que rotan en sentido contrario. En todas las expresiones el número de pares de polos p es el que le corresponde a la componente fundamental del campo. La frecuencia de resbalamiento dada por la ecuación (54) se puede generalizar para las armónicas poniendo:

fsf s ⋅= νν (60)

Por lo expuesto, la tensión inducida por los armónicos del campo giratorio resulta:

17

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅Φ⋅=

2cos 0

πθωνων ννννννν tskNse cwsc (61)

Cuando el campo giratorio está producido por un sistema polifásico de corrientes, y de acuerdo a la ecuación 56, resulta:

fc πωων ν 2==⋅ (62)

Igual a la pulsación de las corrientes. El valor eficaz de la tensión (61) es:

ννννπ

Φ⋅= ws kNfsE2

2 (63)

5.3 Fase en campo alterno

Si el arrollamiento estatórico está recorrido por una corriente alterna monofásica, la fuerza magnetomotriz y el campo magnético que se desarrollan serán alternos: es decir sus amplitudes dependerán del valor instantáneo de la corriente, que se supone perfectamente sinusoidal, y estarán fijos respecto al arrollamiento inductor; por lo tanto el valor instantáneo del flujo por polo será:

tωφ sinmáxΦ= (64)

Donde la pulsación del flujo es la de la corriente que lo está produciendo y vale:

fπω 2= (65)

En la figura 17 se muestra esta situación.

φ

ω

θ

r

= Φ ωsen tmáx

Fig. 17. Fase en campo alterno.

Igual que en los casos anteriores, el ángulo θ está dado por la expresión (37); y el flujo concatenado por toda la fase rotórica será:

( )0máx cossin θωωλ +⋅Φ= ttkN rws (66)

Aplicando la ley de Faraday (39) se obtiene la tensión inducida en la fase rotórica, la que posee dos términos:

( )

( )0máx

0máx

sinsin

coscos

θωωω

θωωωλ

+⋅Φ−

−+⋅Φ==

ttkN

ttkNdtde

rwsr

rws (67)

18

Para interpretar más fácilmente la expresión anterior (67), conviene desarrollar los productos de funciones trigonométricas de acuerdo a las siguientes igualdades:

( ) ([ ])

( ) ( )[ ]βαβαβα

βαβαβα

+−−=⋅

++−=⋅

coscos21sinsin

coscos21coscos

(68)

Resultando:

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] 00máx

00máx

coscos21

coscos21

θωωθωωω

θωωθωωω

++−−−Φ−

−+++−−Φ=

ttkN

ttkNe

rrwsr

rrws

(69)

Ordenándola queda:

( )[ ]

( )[ ]0máx

0máx

cos2

cos2

θωωωω

θωωωω

−−Φ−

+

+++Φ+

=

tkN

tkNe

rwsr

rwsr

(70)

En la expresión anterior (70) se puede ver que la tensión inducida es alterna y posee dos componentes: una de las cuales tiene amplitud y frecuencia proporcionales a la suma y la otra proporcional a la diferencia de las pulsaciones de la excitación ω y de rotación ωr , por tal motivo suele llamarse “biarmónica”.

En la figura 18 se muestra un ejemplo de una tensión biarmónica en la que ω = 300 1/s y ωr = 250 1/s.

Este tipo de tensión inducida y las corrientes por ella producidas, se encuentran presentes en los rotores de los motores de inducción monofásicos.

Si ωr = ω, es decir el rotor gira a velocidad sincrónica, la componente diferencia de la tensión inducida, se anula y solamente queda la componente suma, con una frecuencia igual al doble de la del flujo alterno que la está produciendo, normalmente el doble de la frecuencia de red, ecuación (71).

Si ωr = 0 la tensión inducida solamente posee una componente de la frecuencia con la que pulsa el flujo y la amplitud de la misma depende del coseno del ángulo θ0 , ecuación (72), cuando éste ángulo vale cero, hay máximo acoplamiento y la tensión es máxima. La máquina se comporta como un transformador de acoplamiento variable.

Si ωr = ω : ( )0máx 2cos θωω +Φ= tkNe ws (71)

Si ωr = 0 : (72) tkNe ws ωθω coscos 0máxΦ=

Los valores eficaces de cada una de las componentes de la (70) serán:

19

( )

( ) máx

máx

2

2

Φ−=

Φ+=

−

+

wsr

wsr

kNffE

kNffE

π

π

(73)

0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,175

Tiempo [s]

e

Fig. 18. Tensión biarmónica.

Donde las frecuencias fr y f son las que resultan de las ecuaciones (41) y (65). El valor eficaz de toda la tensión biarmónica (70) se puede determinar como en el caso de una poliarmónica:

( ) ( )22 −+ += EEE (73)

Una justificación más fenomenológica del por qué se produce una tensión inducida con dos componentes se puede realizar en base al teorema de Leblanc. Figura 19.

φ

ω r

= Φ ωsen tmáx

Φmáx2

ωω2máxΦ

Fig. 19. Teorema de Leblac.

En efecto, de acuerdo a dicho teorema, un campo alterno se puede descomponer en dos campos giratorios, de amplitud igual a la mitad del máximo del alterno, que rotan a velocidad sincrónica ω y en sentidos opuestos. Por lo tanto se puede considerar que la tensión inducida es la suma de dos tensiones de resbalamiento: una debida la campo que gira en mismo sentido que el rotor, dando una amplitud y una frecuencia proporcionales a la diferencia de velocidades; y otra

20

debida al campo que gira en sentido opuesto al rotor, dando una amplitud y una frecuencia proporcionales a la suma de las velocidades.

Si se consideran las componentes armónicas de flujo que genera el arrollamiento, cada una de ellas pulsará de la misma forma que lo hace la corriente es decir con ω , es decir:

tmáx ωφ νν sinΦ= (75)

Mientras que los ángulos en el entrehierro y, consecuentemente la velocidad angular de rotación, se verán multiplicados por el orden del armónico, ecuaciones (44) y (45). Por lo tanto el flujo concatenado por la fase resultará:

( )0máx cossin θωνωλ ννν +⋅⋅Φ= ttkN rws (76)

Haciendo la derivada de esta expresión y ordenando los términos, como se hizo para la componente fundamental, se llega a:

( )[ ]

( )[ ]0máx

0máx

cos2

cos2

νθνωωνωω

νθνωωνωω

νν

ννν

−−Φ−

+

+++Φ+

=

tkN

tkNe

rwsr

rwsr

(77)

Expresión a la que también se puede llegar aplicando el teorema de Leblanc.

6 BIBLIOGRAFÍA Manuel Cortés Cherta: “Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas” Tomo I La

máquina Eléctrica en General. Editores Técnicos Asociados S. A., 1970.

M. P. Kostenko y L. M. Piotrovski: “Máquinas Eléctricas” Volumen II, Montaner y Simon S. A., 1968.

Michael Liwshitz-Garik y Clyde C. Whipple: “Máquinas de Corriente alterna” Compañía Editorial Continental CECSA, 1971.

Alexander S. Langsdorf: “Teoría de las Máquinas de Corriente Alterna” Editorial Mac. Graw Hill, México, 1967.

Clifford B. Gray: “Máquinas Eléctricas” Ediciones Alfaomega, México, 1993.

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John Hindmarsch: “Máquinas Eléctricas y sus Aplicaciones” Urmo S. A. de Ediciones, 1975.

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Norberto A. Lemozy: “Fuerzas Magnetomotrices en Arrollamientos a Anillos” Apuntes de Cátedra, 2007.

Norberto A. Lemozy, agosto de 2008

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