Ingenieriacutea 19 (2) 91-114 ISSN 1409-2441 2009 San Joseacute Costa Rica

ESTIMACIOacuteN DE LA INCERTIDUMBRE EN LA CALIBRACIOacuteN DE UN MATRAZ

Mariacutea Lorena Blanco RojasPaulina Silva Trejos

Resumen

Se presenta el desarrollo de un meacutetodo para la estimacioacuten de la incertidumbre aplicado a un matraz volumeacutetrico de 100 cm3 calibrado utilizando el principio gravimeacutetrico

Los resultados de la calibracioacuten fueron obtenidos de la participacioacuten en la ronda costarricense de volumen denominada Comparacioacuten interlaboratorial en volumen ENA-MET-001 organizada por el Laboratorio Costarricense de Metrologiacutea (LACOMET) que consistioacute en la calibracioacuten de un matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico y la estimacioacuten de la incertidumbre En el ejercicio participaron catorce laboratorios de ensayo y tres laboratorios de calibracioacuten las autoras participaron desde dos laboratorios de ensayo de la Universidad de Costa Rica obteniendo participaciones satisfactorias

La estimacioacuten de la incertidumbre se realizoacute para informar los resultados de la intercomparacioacuten y se consideroacute importante su divulgacioacuten a fin de que pueda ser utilizada de ejemplo para laboratorios de ensayo y de calibracioacuten y tambieacuten para fines didaacutecticos en la preparacioacuten de personal teacutecnico en metrologiacutea

Palabras claves volumen metrologiacutea incertidumbre meacutetodo calibracioacuten laboratorio matraz

Abstract

A method for estimation of uncertainty in volume measurement of a 100 cm3 flask calibrated by the gravimetric method is presented The results of the calibration were obtained from the participation in the Costa Rican volume comparison round labeled Interlaboratory volume comparison ENA-MET-001 organized by LACOMET (Laboratorio Costarricense de Metrologiacutea) that consisted of the calibration of a 100 cm3 flask using the gravimetric method and the estimation of uncertainty Fourteen testing laboratories and three calibration laboratories participated in this exercise The authors participated in two of the testing laboratories of the University of Costa Rica obtaining satisfactory results

The estimation of uncertainty was done in order to communicate the results of the inter comparison round These results are considered very important for testing and calibration laboratories and for teaching purposes to prepare technical personnel in Metrology

Keywords volume metrology uncertainty method calibration laboratory glass volumetric

Recibido 17 de setiembre del 2009 bull Aprobado 17 de noviembre del 2009

1 INTRODUCCIOacuteN

Las mediciones volumeacutetricas son esenciales para muchos de los ensayos que se practican rutinariamente en los laboratorios de ensayo en estos laboratorios muchas veces se debe verificar la cristaleriacutea por lo que es importante contar con meacutetodos de estimacioacuten de la incertidumbre del resultado

En los laboratorios el uso de cristaleriacutea como matraces y pipetas es muy comuacuten se requieren para preparar disoluciones patroacuten En la mayoriacutea de los casos la contribucioacuten a la incertidumbre de esta etapa del ensayo es variable de influencia en el caacutelculo de la incertidumbre del resultado final de la medicioacuten por tanto se debe demostrar su trazabilidad lo que hace obligatorio calibrar

Cuadro 1 Requerimientos para los matraces

Tipo Capacidad Tolerancia Diaacutemetro interno al aforo

(cm3) (cm3) (cm3)

1 100 008 125

2 100 008 145

2 200 010 150

2 500 020 185

3 100 a 110 008 135

3 200 a 220 010 205

Fuente (ASTM 2009c)

la cristaleriacutea o bien comprar cristaleriacutea calibrada acompantildeada de su certificado

Seguacuten Saacutenchez Picado Saacutenchez y Sequeira (2001) ldquolos equipos volumeacutetricos utilizados en los anaacutelisis afectan los resultados de aacutereas tan importantes como la salud el ambiente y la investigacioacuten de ahiacute que es necesario garantizar los niveles de exactitud de estos equiposrdquo Por razones econoacutemicas es inusual que un laboratorio de ensayo enviacutee a calibrar toda la cristaleriacutea la praacutectica es enviar a calibrar un instrumento por clase y verificar internamente el resto de la cristaleriacutea utilizando como patrones internos de referencia la cristaleriacutea calibrada externamente por laboratorios de calibracioacuten acreditados

El equipo volumeacutetrico utilizado corrientemente incluye pipetas micropipetas matraces o balones y probetas La cristaleriacutea se clasifica seguacuten la tolerancia o maacuteximo error permitido en Clase A los de mayor exactitud y en Clase B los de menor exactitud los de clase A son los utilizados en los laboratorios de ensayo La capacidad de estas medidas variacutea desde 01 cm3 hasta 2 000 cm3 y el error maacuteximo permisible depende del tipo la capacidad y la clase de exactitud

En el Cuadro 1 se presentan los requerimientos para matraces tomados de la norma ASTM E1878-97 (ASTM 2009c)

Para los matraces aforados la capacidad de un matraz se define como el volumen de agua a 20 degC expresado en centiacutemetros cuacutebicos contenida o vertida por el matraz a 20 degC con

respecto a su trazo El cuerpo del matraz tiene forma semejante a una pera con una base en el fondo sobre la cual el matraz puede mantenerse en posicioacuten vertical cuando se coloca en una superficie horizontal La boca de un matraz puede ser o no esmerilada y tener diferentes formas Estos instrumentos son utilizados generalmente para contener voluacutemenes en la preparacioacuten de disoluciones patroacuten El meacutetodo de ajuste del menisco maacutes comuacutenmente utilizado para disoluciones transparentes consiste en que el punto maacutes bajo del menisco coincida tangencialmente con la liacutenea de graduacioacuten del instrumento de acuerdo con el meacutetodo ASTM E 694-99 (ASTM 2009d) La capacidad de un matraz no debe diferir de su capacidad nominal por un valor mayor que el error maacuteximo permisible informado en el Cuadro 2 y tomado del meacutetodo ASTM E 288-06 (ASTM 2009a)

Existen diversos factores que afectan la exactitud de la medicioacuten del volumen para instrumentos de vidrio entre ellos se pueden citar los siguientes

Temperatura del recipiente La medida da valores correctos del volumen de liacutequido medido para la temperatura de referencia a la cual se determina su capacidad durante la calibracioacuten inicial El coeficiente cuacutebico de expansioacuten teacutermica del vidrio del cual se fabrican los instrumentos volumeacutetricos estaacute comprendido aproximadamente en el intervalo entre (10middot10-6 y 25middot10-6) degC-1 Como medida de seguridad se

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

93

Cuadro 2 Tolerancia permitida para matraces o balones aforados

Capacidad nominalTolerancia (plusmn cm3)

Clase A Clase B

5 002 004

10 002 004

25 003 006

50 005 010

100 008 016

200 010 020

250 012 024

500 020 040

1000 030 060

2000 050 100

Fuente (ASTM 2009a)

recomienda que el equipo volumeacutetrico de vidrio no se someta a calentamiento por encima de 150 degC pues puede provocar cambios permanentes en la capacidad de las mismas (ASTM 2009b)

Un instrumento volumeacutetrico cuyo coeficiente de expansioacuten teacutermico sea de 25middot10-6

ordmC-1 y cuya capacidad estaacute referida a 20 degC pero es usado a27 degC tendriacutea un error adicional a la temperatura de uso del 002 el cual es pequentildeo en comparacioacuten con el liacutemite de error volumeacutetrico para la mayoriacutea de los tipos de medidas Sin embargo el error que se introduce por la diferencia entre la temperatura de medicioacuten y la temperatura de referencia del instrumento de vidrio depende del valor de esta diferencia y su incidencia en el resultado de la medicioacuten de la exactitud que se pretenda alcanzar en la misma (ASTM 2009b)

La correccioacuten que se debe aplicar a la medicioacuten del volumen de un liacutequido a una temperatura t con un instrumento volumeacutetrico de vidrio calibrado a una temperatura tref (por lo general 20 degC) se calcula a partir de ecuacioacuten (1) tomada de la informacioacuten de ASTM E542-01 (ASTM 2009b)

(1)

Donde

Vt volumen del instrumento a la temperatura ten cm3

Vref volumen nominal del instrumento a la temperatura tref en cm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermico delvidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

El error relativo en la medicioacuten del volumen debido al efecto de la temperatura sobre el vidrio del instrumento estaacute dado por la ecuacioacuten (2) tomada de la informacioacuten de ASTM E542-01 (ASTM 2009b)

(2)

Donde

ΔV diferencia entre el volumen nominal y el volumen calibrado en cm3

Vref volumen nominal del instrumento a la temperatura tref en cm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermicodel vidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

Temperatura del liacutequido el volumen de los liacutequidos variacutea con la temperatura por lo general se trabaja con el volumen medido a la temperatura de trabajo intervalo de plusmn 3 degC La temperatura del agua se debe medir con una exactitud de plusmn 01 degC No obstante cuando se usan instrumentos volumeacutetricos de vidrio se debe tomar en consideracioacuten que las temperaturas de los diferentes liacutequidos interrelacionados para un anaacutelisis dado esteacuten proacuteximas a un cierto valor comuacuten a todos cuando sus voluacutemenes se miden (Las autoras 2009)

El error debido a la diferencia de temperatura del liacutequido a la temperatura de medicioacuten t y el volumen del liacutequido a una temperatura de referencia tref estaacute dado por la ecuacioacuten (3) (Elert1998)

(3)

donde

β coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica del liacutequido con la temperatura Para el agua este coeficiente tiene un valor de 21 bull 10-4

degC-1

Limpieza de la superficie del vidrio el volumen contenido o vertido por un instrumento volumeacutetrico de vidrio depende de la limpieza de la superficie interna de este Una limpieza deficiente puede dar lugar a errores debido a una forma incorrecta del menisco lo que puede provocar dos efectos mojado deficiente de la superficie del vidrio o sea la superficie del liacutequido toca el vidrio formando un aacutengulo apreciable en lugar de formar una curva tal que toque tangencialmente la pared de la medida o un aumento del radio de curvatura del menisco debido a contaminacioacuten de la superficie del liacutequido que provoca una disminucioacuten de la tensioacuten superficial (Las autoras 2009)

En el equipo volumeacutetrico para verter la falta de limpieza puede causar errores sistemaacuteticos debido a que la capa de liacutequido adherida a la pared de la medida puede ser incompleta o estar irregularmente distribuida (ASTM 2009b)

En los anaacutelisis quiacutemicos la contaminacioacuten de los liacutequidos medidos debido a la limpieza deficiente del equipo volumeacutetrico de vidrio utilizado puede introducir un error en la composicioacuten de la disolucioacuten preparada aun cuando la exactitud de la medicioacuten del volumen no esteacute significativamente afectada por ejemplo residuos de aacutecido pueden afectar la concentracioacuten de una disolucioacuten alcalina cuyo volumen se mide (Las autoras 2009)

Para lograr una limpieza satisfactoria del equipo volumeacutetrico de vidrio o cristaleriacutea de laboratorio se debe proceder como sigue una vez eliminadas mecaacutenicamente las partiacuteculas soacutelidas adheridas al vidrio y la grasa o el aceite mediante un disolvente adecuado se lava la cristaleriacutea con agua y detergente agitando vigorosamente y se enjuaga varias veces con agua corriente hasta eliminar todos los vestigios de detergente posteriormente se enjuaga con agua destilada dos o tres veces Luego se coloca en posicioacuten vertical hacia abajo para escurrir completamente la peliacutecula de agua no debe interrumpirse si estaacute completamente limpia (ASTM 2009b)

Si despueacutes de esto se detecta que auacuten la cristaleriacutea no estaacute completamente limpia se debe lavar con una de las mezclas siguientes

bull una mezcla de partes iguales de 30 gdm3

de disolucioacuten de permanganato de potasio y una disolucioacuten de 1 moldm3 de hidroacutexido de sodio o

bull una mezcla de hidroacutexido de potasio en alcohol etiacutelico al 5

Esta mezcla se deja reposar en la cristaleriacutea durante varias horas Finalmente se enjuaga abundantemente con agua del tubo y luego con agua destilada varias veces Si la limpieza auacuten es deficiente lo que se determina por la interrupcioacuten de la peliacutecula de agua se repite el procedimiento descrito El equipo volumeacutetrico que se limpia de esta forma y no va a ser usado de forma inmediata debe mantenerse lleno con

agua destilada o bien se guarda bien cerrado para evitar su contaminacioacuten (Las autoras 2009) Se puede obtener maacutes informacioacuten al respecto en ASTM E 542-01 (ASTM 2009b)

Colocacioacuten del menisco la mayor parte de los instrumentos volumeacutetricos de vidrio emplean el principio de lectura mediante la colocacioacuten del menisco en el trazo dado de la escala Esta puede convertirse en una importante fuente de error experimental en la determinacioacuten del volumen por lo tanto deben tomarse cuidados especiales para realizar una lectura correcta de la posicioacuten del menisco

La iluminacioacuten debe ser adecuada de forma que el menisco aparezca oscuro y definido como tal Con este propoacutesito este debe ser visto contra un fondo blanco y libre de iluminacioacuten indeseable Esto puede lograrse por ejemplo colocando una tira de papel negro alrededor del tubo donde se forma el menisco a una distancia no mayor de 1 mm por debajo del nivel donde se realiza la medicioacuten

El error de paralaje se evita cuando la liacutenea de graduacioacuten es de suficiente longitud para ser vista al frente y al fondo de la vasija simultaacuteneamente En las medidas cuyas liacuteneas de graduacioacuten abarcan solamente la parte frontal el paralaje puede hacerse despreciable cuando se utiliza la tira de papel negro antes descrita teniendo

cuidado de que el borde de esta se encuentre en un plano horizontal En este caso el ojo estaraacute localizado de forma tal que el frente y la porcioacuten posterior del borde superior de la tira de papel se vean coincidentes

El error que provoca el ajuste del menisco en la medicioacuten del volumen depende de la experiencia y cuidado del observador y del diaacutemetro del tubo donde se lee la posicioacuten del mismo En el Cuadro3 se dan algunos valores del error que provoca en la medicioacuten del volumen el error lineal cometido en la posicioacuten del menisco en dependencia del diaacutemetro interno del tubo de medicioacuten (cuerpo ciliacutendrico o cuello) Los valores fueron tomados de las normas ISO 384 e ISO 4787 (ISO 19781984)

Tiempo de vertido en el equipo volumeacutetrico de vidrio para verter la observacioacuten del tiempo de vertido establecido es fundamental para lograr que el volumen vertido corresponda con el valor nominal hasta el trazo dado de la escala

Un error por la capa de liacutequido que se queda adherida a las paredes del equipo volumeacutetrico de vidrio puede ocurrir tambieacuten debido a una variacioacuten del tiempo normal de vertido previsto debido a cualquier alteracioacuten (obstruccioacuten parcial o rotura) de la punta de las pipetas o buretas Este error no puede calcularse y afectaraacute la exactitud de la medicioacuten realizada del volumen de forma

Cuadro 3 Errores en la posicioacuten del menisco de acuerdo al diaacutemetro del cuello del instrumento volumeacutetrico

Error en la posicioacuten del menisco (mm)

Valores tiacutepicos del diaacutemetro del cuello

10 mm 20 mm 30 mm

01 001 cm3 003 cm3 007 cm3

05 004 cm3 016 cm3 035 cm3

1 008 cm3 031 cm3 071 cm3

2 016 cm3 083 cm3 141 cm3

Fuente (ISO 1978 ISO 1984)

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Cuadro 1 Requerimientos para los matraces

Tipo Capacidad Tolerancia Diaacutemetro interno al aforo

(cm3) (cm3) (cm3)

1 100 008 125

2 100 008 145

2 200 010 150

2 500 020 185

3 100 a 110 008 135

3 200 a 220 010 205

Fuente (ASTM 2009c)

la cristaleriacutea o bien comprar cristaleriacutea calibrada acompantildeada de su certificado

Seguacuten Saacutenchez Picado Saacutenchez y Sequeira (2001) ldquolos equipos volumeacutetricos utilizados en los anaacutelisis afectan los resultados de aacutereas tan importantes como la salud el ambiente y la investigacioacuten de ahiacute que es necesario garantizar los niveles de exactitud de estos equiposrdquo Por razones econoacutemicas es inusual que un laboratorio de ensayo enviacutee a calibrar toda la cristaleriacutea la praacutectica es enviar a calibrar un instrumento por clase y verificar internamente el resto de la cristaleriacutea utilizando como patrones internos de referencia la cristaleriacutea calibrada externamente por laboratorios de calibracioacuten acreditados

El equipo volumeacutetrico utilizado corrientemente incluye pipetas micropipetas matraces o balones y probetas La cristaleriacutea se clasifica seguacuten la tolerancia o maacuteximo error permitido en Clase A los de mayor exactitud y en Clase B los de menor exactitud los de clase A son los utilizados en los laboratorios de ensayo La capacidad de estas medidas variacutea desde 01 cm3 hasta 2 000 cm3 y el error maacuteximo permisible depende del tipo la capacidad y la clase de exactitud

En el Cuadro 1 se presentan los requerimientos para matraces tomados de la norma ASTM E1878-97 (ASTM 2009c)

Para los matraces aforados la capacidad de un matraz se define como el volumen de agua a 20 degC expresado en centiacutemetros cuacutebicos contenida o vertida por el matraz a 20 degC con

respecto a su trazo El cuerpo del matraz tiene forma semejante a una pera con una base en el fondo sobre la cual el matraz puede mantenerse en posicioacuten vertical cuando se coloca en una superficie horizontal La boca de un matraz puede ser o no esmerilada y tener diferentes formas Estos instrumentos son utilizados generalmente para contener voluacutemenes en la preparacioacuten de disoluciones patroacuten El meacutetodo de ajuste del menisco maacutes comuacutenmente utilizado para disoluciones transparentes consiste en que el punto maacutes bajo del menisco coincida tangencialmente con la liacutenea de graduacioacuten del instrumento de acuerdo con el meacutetodo ASTM E 694-99 (ASTM 2009d) La capacidad de un matraz no debe diferir de su capacidad nominal por un valor mayor que el error maacuteximo permisible informado en el Cuadro 2 y tomado del meacutetodo ASTM E 288-06 (ASTM 2009a)

Existen diversos factores que afectan la exactitud de la medicioacuten del volumen para instrumentos de vidrio entre ellos se pueden citar los siguientes

Temperatura del recipiente La medida da valores correctos del volumen de liacutequido medido para la temperatura de referencia a la cual se determina su capacidad durante la calibracioacuten inicial El coeficiente cuacutebico de expansioacuten teacutermica del vidrio del cual se fabrican los instrumentos volumeacutetricos estaacute comprendido aproximadamente en el intervalo entre (10middot10-6 y 25middot10-6) degC-1 Como medida de seguridad se

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

93

Cuadro 2 Tolerancia permitida para matraces o balones aforados

Capacidad nominalTolerancia (plusmn cm3)

Clase A Clase B

5 002 004

10 002 004

25 003 006

50 005 010

100 008 016

200 010 020

250 012 024

500 020 040

1000 030 060

2000 050 100

Fuente (ASTM 2009a)

recomienda que el equipo volumeacutetrico de vidrio no se someta a calentamiento por encima de 150 degC pues puede provocar cambios permanentes en la capacidad de las mismas (ASTM 2009b)

Un instrumento volumeacutetrico cuyo coeficiente de expansioacuten teacutermico sea de 25middot10-6

ordmC-1 y cuya capacidad estaacute referida a 20 degC pero es usado a27 degC tendriacutea un error adicional a la temperatura de uso del 002 el cual es pequentildeo en comparacioacuten con el liacutemite de error volumeacutetrico para la mayoriacutea de los tipos de medidas Sin embargo el error que se introduce por la diferencia entre la temperatura de medicioacuten y la temperatura de referencia del instrumento de vidrio depende del valor de esta diferencia y su incidencia en el resultado de la medicioacuten de la exactitud que se pretenda alcanzar en la misma (ASTM 2009b)

La correccioacuten que se debe aplicar a la medicioacuten del volumen de un liacutequido a una temperatura t con un instrumento volumeacutetrico de vidrio calibrado a una temperatura tref (por lo general 20 degC) se calcula a partir de ecuacioacuten (1) tomada de la informacioacuten de ASTM E542-01 (ASTM 2009b)

(1)

Donde

Vt volumen del instrumento a la temperatura ten cm3

Vref volumen nominal del instrumento a la temperatura tref en cm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermico delvidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

El error relativo en la medicioacuten del volumen debido al efecto de la temperatura sobre el vidrio del instrumento estaacute dado por la ecuacioacuten (2) tomada de la informacioacuten de ASTM E542-01 (ASTM 2009b)

(2)

Donde

ΔV diferencia entre el volumen nominal y el volumen calibrado en cm3

Vref volumen nominal del instrumento a la temperatura tref en cm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermicodel vidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

Temperatura del liacutequido el volumen de los liacutequidos variacutea con la temperatura por lo general se trabaja con el volumen medido a la temperatura de trabajo intervalo de plusmn 3 degC La temperatura del agua se debe medir con una exactitud de plusmn 01 degC No obstante cuando se usan instrumentos volumeacutetricos de vidrio se debe tomar en consideracioacuten que las temperaturas de los diferentes liacutequidos interrelacionados para un anaacutelisis dado esteacuten proacuteximas a un cierto valor comuacuten a todos cuando sus voluacutemenes se miden (Las autoras 2009)

El error debido a la diferencia de temperatura del liacutequido a la temperatura de medicioacuten t y el volumen del liacutequido a una temperatura de referencia tref estaacute dado por la ecuacioacuten (3) (Elert1998)

(3)

donde

β coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica del liacutequido con la temperatura Para el agua este coeficiente tiene un valor de 21 bull 10-4

degC-1

Limpieza de la superficie del vidrio el volumen contenido o vertido por un instrumento volumeacutetrico de vidrio depende de la limpieza de la superficie interna de este Una limpieza deficiente puede dar lugar a errores debido a una forma incorrecta del menisco lo que puede provocar dos efectos mojado deficiente de la superficie del vidrio o sea la superficie del liacutequido toca el vidrio formando un aacutengulo apreciable en lugar de formar una curva tal que toque tangencialmente la pared de la medida o un aumento del radio de curvatura del menisco debido a contaminacioacuten de la superficie del liacutequido que provoca una disminucioacuten de la tensioacuten superficial (Las autoras 2009)

En el equipo volumeacutetrico para verter la falta de limpieza puede causar errores sistemaacuteticos debido a que la capa de liacutequido adherida a la pared de la medida puede ser incompleta o estar irregularmente distribuida (ASTM 2009b)

En los anaacutelisis quiacutemicos la contaminacioacuten de los liacutequidos medidos debido a la limpieza deficiente del equipo volumeacutetrico de vidrio utilizado puede introducir un error en la composicioacuten de la disolucioacuten preparada aun cuando la exactitud de la medicioacuten del volumen no esteacute significativamente afectada por ejemplo residuos de aacutecido pueden afectar la concentracioacuten de una disolucioacuten alcalina cuyo volumen se mide (Las autoras 2009)

Para lograr una limpieza satisfactoria del equipo volumeacutetrico de vidrio o cristaleriacutea de laboratorio se debe proceder como sigue una vez eliminadas mecaacutenicamente las partiacuteculas soacutelidas adheridas al vidrio y la grasa o el aceite mediante un disolvente adecuado se lava la cristaleriacutea con agua y detergente agitando vigorosamente y se enjuaga varias veces con agua corriente hasta eliminar todos los vestigios de detergente posteriormente se enjuaga con agua destilada dos o tres veces Luego se coloca en posicioacuten vertical hacia abajo para escurrir completamente la peliacutecula de agua no debe interrumpirse si estaacute completamente limpia (ASTM 2009b)

Si despueacutes de esto se detecta que auacuten la cristaleriacutea no estaacute completamente limpia se debe lavar con una de las mezclas siguientes

bull una mezcla de partes iguales de 30 gdm3

de disolucioacuten de permanganato de potasio y una disolucioacuten de 1 moldm3 de hidroacutexido de sodio o

bull una mezcla de hidroacutexido de potasio en alcohol etiacutelico al 5

Esta mezcla se deja reposar en la cristaleriacutea durante varias horas Finalmente se enjuaga abundantemente con agua del tubo y luego con agua destilada varias veces Si la limpieza auacuten es deficiente lo que se determina por la interrupcioacuten de la peliacutecula de agua se repite el procedimiento descrito El equipo volumeacutetrico que se limpia de esta forma y no va a ser usado de forma inmediata debe mantenerse lleno con

agua destilada o bien se guarda bien cerrado para evitar su contaminacioacuten (Las autoras 2009) Se puede obtener maacutes informacioacuten al respecto en ASTM E 542-01 (ASTM 2009b)

Colocacioacuten del menisco la mayor parte de los instrumentos volumeacutetricos de vidrio emplean el principio de lectura mediante la colocacioacuten del menisco en el trazo dado de la escala Esta puede convertirse en una importante fuente de error experimental en la determinacioacuten del volumen por lo tanto deben tomarse cuidados especiales para realizar una lectura correcta de la posicioacuten del menisco

La iluminacioacuten debe ser adecuada de forma que el menisco aparezca oscuro y definido como tal Con este propoacutesito este debe ser visto contra un fondo blanco y libre de iluminacioacuten indeseable Esto puede lograrse por ejemplo colocando una tira de papel negro alrededor del tubo donde se forma el menisco a una distancia no mayor de 1 mm por debajo del nivel donde se realiza la medicioacuten

El error de paralaje se evita cuando la liacutenea de graduacioacuten es de suficiente longitud para ser vista al frente y al fondo de la vasija simultaacuteneamente En las medidas cuyas liacuteneas de graduacioacuten abarcan solamente la parte frontal el paralaje puede hacerse despreciable cuando se utiliza la tira de papel negro antes descrita teniendo

cuidado de que el borde de esta se encuentre en un plano horizontal En este caso el ojo estaraacute localizado de forma tal que el frente y la porcioacuten posterior del borde superior de la tira de papel se vean coincidentes

El error que provoca el ajuste del menisco en la medicioacuten del volumen depende de la experiencia y cuidado del observador y del diaacutemetro del tubo donde se lee la posicioacuten del mismo En el Cuadro3 se dan algunos valores del error que provoca en la medicioacuten del volumen el error lineal cometido en la posicioacuten del menisco en dependencia del diaacutemetro interno del tubo de medicioacuten (cuerpo ciliacutendrico o cuello) Los valores fueron tomados de las normas ISO 384 e ISO 4787 (ISO 19781984)

Tiempo de vertido en el equipo volumeacutetrico de vidrio para verter la observacioacuten del tiempo de vertido establecido es fundamental para lograr que el volumen vertido corresponda con el valor nominal hasta el trazo dado de la escala

Un error por la capa de liacutequido que se queda adherida a las paredes del equipo volumeacutetrico de vidrio puede ocurrir tambieacuten debido a una variacioacuten del tiempo normal de vertido previsto debido a cualquier alteracioacuten (obstruccioacuten parcial o rotura) de la punta de las pipetas o buretas Este error no puede calcularse y afectaraacute la exactitud de la medicioacuten realizada del volumen de forma

Cuadro 3 Errores en la posicioacuten del menisco de acuerdo al diaacutemetro del cuello del instrumento volumeacutetrico

Error en la posicioacuten del menisco (mm)

Valores tiacutepicos del diaacutemetro del cuello

10 mm 20 mm 30 mm

01 001 cm3 003 cm3 007 cm3

05 004 cm3 016 cm3 035 cm3

1 008 cm3 031 cm3 071 cm3

2 016 cm3 083 cm3 141 cm3

Fuente (ISO 1978 ISO 1984)

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

93

Cuadro 2 Tolerancia permitida para matraces o balones aforados

Capacidad nominalTolerancia (plusmn cm3)

Clase A Clase B

5 002 004

10 002 004

25 003 006

50 005 010

100 008 016

200 010 020

250 012 024

500 020 040

1000 030 060

2000 050 100

Fuente (ASTM 2009a)

recomienda que el equipo volumeacutetrico de vidrio no se someta a calentamiento por encima de 150 degC pues puede provocar cambios permanentes en la capacidad de las mismas (ASTM 2009b)

Un instrumento volumeacutetrico cuyo coeficiente de expansioacuten teacutermico sea de 25middot10-6

ordmC-1 y cuya capacidad estaacute referida a 20 degC pero es usado a27 degC tendriacutea un error adicional a la temperatura de uso del 002 el cual es pequentildeo en comparacioacuten con el liacutemite de error volumeacutetrico para la mayoriacutea de los tipos de medidas Sin embargo el error que se introduce por la diferencia entre la temperatura de medicioacuten y la temperatura de referencia del instrumento de vidrio depende del valor de esta diferencia y su incidencia en el resultado de la medicioacuten de la exactitud que se pretenda alcanzar en la misma (ASTM 2009b)

La correccioacuten que se debe aplicar a la medicioacuten del volumen de un liacutequido a una temperatura t con un instrumento volumeacutetrico de vidrio calibrado a una temperatura tref (por lo general 20 degC) se calcula a partir de ecuacioacuten (1) tomada de la informacioacuten de ASTM E542-01 (ASTM 2009b)

(1)

Donde

Vt volumen del instrumento a la temperatura ten cm3

Vref volumen nominal del instrumento a la temperatura tref en cm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermico delvidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

El error relativo en la medicioacuten del volumen debido al efecto de la temperatura sobre el vidrio del instrumento estaacute dado por la ecuacioacuten (2) tomada de la informacioacuten de ASTM E542-01 (ASTM 2009b)

(2)

Donde

ΔV diferencia entre el volumen nominal y el volumen calibrado en cm3

Vref volumen nominal del instrumento a la temperatura tref en cm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermicodel vidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

Temperatura del liacutequido el volumen de los liacutequidos variacutea con la temperatura por lo general se trabaja con el volumen medido a la temperatura de trabajo intervalo de plusmn 3 degC La temperatura del agua se debe medir con una exactitud de plusmn 01 degC No obstante cuando se usan instrumentos volumeacutetricos de vidrio se debe tomar en consideracioacuten que las temperaturas de los diferentes liacutequidos interrelacionados para un anaacutelisis dado esteacuten proacuteximas a un cierto valor comuacuten a todos cuando sus voluacutemenes se miden (Las autoras 2009)

El error debido a la diferencia de temperatura del liacutequido a la temperatura de medicioacuten t y el volumen del liacutequido a una temperatura de referencia tref estaacute dado por la ecuacioacuten (3) (Elert1998)

(3)

donde

β coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica del liacutequido con la temperatura Para el agua este coeficiente tiene un valor de 21 bull 10-4

degC-1

Limpieza de la superficie del vidrio el volumen contenido o vertido por un instrumento volumeacutetrico de vidrio depende de la limpieza de la superficie interna de este Una limpieza deficiente puede dar lugar a errores debido a una forma incorrecta del menisco lo que puede provocar dos efectos mojado deficiente de la superficie del vidrio o sea la superficie del liacutequido toca el vidrio formando un aacutengulo apreciable en lugar de formar una curva tal que toque tangencialmente la pared de la medida o un aumento del radio de curvatura del menisco debido a contaminacioacuten de la superficie del liacutequido que provoca una disminucioacuten de la tensioacuten superficial (Las autoras 2009)

En el equipo volumeacutetrico para verter la falta de limpieza puede causar errores sistemaacuteticos debido a que la capa de liacutequido adherida a la pared de la medida puede ser incompleta o estar irregularmente distribuida (ASTM 2009b)

En los anaacutelisis quiacutemicos la contaminacioacuten de los liacutequidos medidos debido a la limpieza deficiente del equipo volumeacutetrico de vidrio utilizado puede introducir un error en la composicioacuten de la disolucioacuten preparada aun cuando la exactitud de la medicioacuten del volumen no esteacute significativamente afectada por ejemplo residuos de aacutecido pueden afectar la concentracioacuten de una disolucioacuten alcalina cuyo volumen se mide (Las autoras 2009)

Para lograr una limpieza satisfactoria del equipo volumeacutetrico de vidrio o cristaleriacutea de laboratorio se debe proceder como sigue una vez eliminadas mecaacutenicamente las partiacuteculas soacutelidas adheridas al vidrio y la grasa o el aceite mediante un disolvente adecuado se lava la cristaleriacutea con agua y detergente agitando vigorosamente y se enjuaga varias veces con agua corriente hasta eliminar todos los vestigios de detergente posteriormente se enjuaga con agua destilada dos o tres veces Luego se coloca en posicioacuten vertical hacia abajo para escurrir completamente la peliacutecula de agua no debe interrumpirse si estaacute completamente limpia (ASTM 2009b)

Si despueacutes de esto se detecta que auacuten la cristaleriacutea no estaacute completamente limpia se debe lavar con una de las mezclas siguientes

bull una mezcla de partes iguales de 30 gdm3

de disolucioacuten de permanganato de potasio y una disolucioacuten de 1 moldm3 de hidroacutexido de sodio o

bull una mezcla de hidroacutexido de potasio en alcohol etiacutelico al 5

Esta mezcla se deja reposar en la cristaleriacutea durante varias horas Finalmente se enjuaga abundantemente con agua del tubo y luego con agua destilada varias veces Si la limpieza auacuten es deficiente lo que se determina por la interrupcioacuten de la peliacutecula de agua se repite el procedimiento descrito El equipo volumeacutetrico que se limpia de esta forma y no va a ser usado de forma inmediata debe mantenerse lleno con

agua destilada o bien se guarda bien cerrado para evitar su contaminacioacuten (Las autoras 2009) Se puede obtener maacutes informacioacuten al respecto en ASTM E 542-01 (ASTM 2009b)

Colocacioacuten del menisco la mayor parte de los instrumentos volumeacutetricos de vidrio emplean el principio de lectura mediante la colocacioacuten del menisco en el trazo dado de la escala Esta puede convertirse en una importante fuente de error experimental en la determinacioacuten del volumen por lo tanto deben tomarse cuidados especiales para realizar una lectura correcta de la posicioacuten del menisco

La iluminacioacuten debe ser adecuada de forma que el menisco aparezca oscuro y definido como tal Con este propoacutesito este debe ser visto contra un fondo blanco y libre de iluminacioacuten indeseable Esto puede lograrse por ejemplo colocando una tira de papel negro alrededor del tubo donde se forma el menisco a una distancia no mayor de 1 mm por debajo del nivel donde se realiza la medicioacuten

El error de paralaje se evita cuando la liacutenea de graduacioacuten es de suficiente longitud para ser vista al frente y al fondo de la vasija simultaacuteneamente En las medidas cuyas liacuteneas de graduacioacuten abarcan solamente la parte frontal el paralaje puede hacerse despreciable cuando se utiliza la tira de papel negro antes descrita teniendo

cuidado de que el borde de esta se encuentre en un plano horizontal En este caso el ojo estaraacute localizado de forma tal que el frente y la porcioacuten posterior del borde superior de la tira de papel se vean coincidentes

El error que provoca el ajuste del menisco en la medicioacuten del volumen depende de la experiencia y cuidado del observador y del diaacutemetro del tubo donde se lee la posicioacuten del mismo En el Cuadro3 se dan algunos valores del error que provoca en la medicioacuten del volumen el error lineal cometido en la posicioacuten del menisco en dependencia del diaacutemetro interno del tubo de medicioacuten (cuerpo ciliacutendrico o cuello) Los valores fueron tomados de las normas ISO 384 e ISO 4787 (ISO 19781984)

Tiempo de vertido en el equipo volumeacutetrico de vidrio para verter la observacioacuten del tiempo de vertido establecido es fundamental para lograr que el volumen vertido corresponda con el valor nominal hasta el trazo dado de la escala

Un error por la capa de liacutequido que se queda adherida a las paredes del equipo volumeacutetrico de vidrio puede ocurrir tambieacuten debido a una variacioacuten del tiempo normal de vertido previsto debido a cualquier alteracioacuten (obstruccioacuten parcial o rotura) de la punta de las pipetas o buretas Este error no puede calcularse y afectaraacute la exactitud de la medicioacuten realizada del volumen de forma

Cuadro 3 Errores en la posicioacuten del menisco de acuerdo al diaacutemetro del cuello del instrumento volumeacutetrico

Error en la posicioacuten del menisco (mm)

Valores tiacutepicos del diaacutemetro del cuello

10 mm 20 mm 30 mm

01 001 cm3 003 cm3 007 cm3

05 004 cm3 016 cm3 035 cm3

1 008 cm3 031 cm3 071 cm3

2 016 cm3 083 cm3 141 cm3

Fuente (ISO 1978 ISO 1984)

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermicodel vidrio del que estaacute fabricado en degC-1

t temperatura del liacutequido de trabajo en degCtref temperatura de calibracioacuten en degC

Temperatura del liacutequido el volumen de los liacutequidos variacutea con la temperatura por lo general se trabaja con el volumen medido a la temperatura de trabajo intervalo de plusmn 3 degC La temperatura del agua se debe medir con una exactitud de plusmn 01 degC No obstante cuando se usan instrumentos volumeacutetricos de vidrio se debe tomar en consideracioacuten que las temperaturas de los diferentes liacutequidos interrelacionados para un anaacutelisis dado esteacuten proacuteximas a un cierto valor comuacuten a todos cuando sus voluacutemenes se miden (Las autoras 2009)

El error debido a la diferencia de temperatura del liacutequido a la temperatura de medicioacuten t y el volumen del liacutequido a una temperatura de referencia tref estaacute dado por la ecuacioacuten (3) (Elert1998)

(3)

donde

β coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica del liacutequido con la temperatura Para el agua este coeficiente tiene un valor de 21 bull 10-4

degC-1

Limpieza de la superficie del vidrio el volumen contenido o vertido por un instrumento volumeacutetrico de vidrio depende de la limpieza de la superficie interna de este Una limpieza deficiente puede dar lugar a errores debido a una forma incorrecta del menisco lo que puede provocar dos efectos mojado deficiente de la superficie del vidrio o sea la superficie del liacutequido toca el vidrio formando un aacutengulo apreciable en lugar de formar una curva tal que toque tangencialmente la pared de la medida o un aumento del radio de curvatura del menisco debido a contaminacioacuten de la superficie del liacutequido que provoca una disminucioacuten de la tensioacuten superficial (Las autoras 2009)

En el equipo volumeacutetrico para verter la falta de limpieza puede causar errores sistemaacuteticos debido a que la capa de liacutequido adherida a la pared de la medida puede ser incompleta o estar irregularmente distribuida (ASTM 2009b)

En los anaacutelisis quiacutemicos la contaminacioacuten de los liacutequidos medidos debido a la limpieza deficiente del equipo volumeacutetrico de vidrio utilizado puede introducir un error en la composicioacuten de la disolucioacuten preparada aun cuando la exactitud de la medicioacuten del volumen no esteacute significativamente afectada por ejemplo residuos de aacutecido pueden afectar la concentracioacuten de una disolucioacuten alcalina cuyo volumen se mide (Las autoras 2009)

Para lograr una limpieza satisfactoria del equipo volumeacutetrico de vidrio o cristaleriacutea de laboratorio se debe proceder como sigue una vez eliminadas mecaacutenicamente las partiacuteculas soacutelidas adheridas al vidrio y la grasa o el aceite mediante un disolvente adecuado se lava la cristaleriacutea con agua y detergente agitando vigorosamente y se enjuaga varias veces con agua corriente hasta eliminar todos los vestigios de detergente posteriormente se enjuaga con agua destilada dos o tres veces Luego se coloca en posicioacuten vertical hacia abajo para escurrir completamente la peliacutecula de agua no debe interrumpirse si estaacute completamente limpia (ASTM 2009b)

Si despueacutes de esto se detecta que auacuten la cristaleriacutea no estaacute completamente limpia se debe lavar con una de las mezclas siguientes

bull una mezcla de partes iguales de 30 gdm3

de disolucioacuten de permanganato de potasio y una disolucioacuten de 1 moldm3 de hidroacutexido de sodio o

bull una mezcla de hidroacutexido de potasio en alcohol etiacutelico al 5

Esta mezcla se deja reposar en la cristaleriacutea durante varias horas Finalmente se enjuaga abundantemente con agua del tubo y luego con agua destilada varias veces Si la limpieza auacuten es deficiente lo que se determina por la interrupcioacuten de la peliacutecula de agua se repite el procedimiento descrito El equipo volumeacutetrico que se limpia de esta forma y no va a ser usado de forma inmediata debe mantenerse lleno con

agua destilada o bien se guarda bien cerrado para evitar su contaminacioacuten (Las autoras 2009) Se puede obtener maacutes informacioacuten al respecto en ASTM E 542-01 (ASTM 2009b)

Colocacioacuten del menisco la mayor parte de los instrumentos volumeacutetricos de vidrio emplean el principio de lectura mediante la colocacioacuten del menisco en el trazo dado de la escala Esta puede convertirse en una importante fuente de error experimental en la determinacioacuten del volumen por lo tanto deben tomarse cuidados especiales para realizar una lectura correcta de la posicioacuten del menisco

La iluminacioacuten debe ser adecuada de forma que el menisco aparezca oscuro y definido como tal Con este propoacutesito este debe ser visto contra un fondo blanco y libre de iluminacioacuten indeseable Esto puede lograrse por ejemplo colocando una tira de papel negro alrededor del tubo donde se forma el menisco a una distancia no mayor de 1 mm por debajo del nivel donde se realiza la medicioacuten

El error de paralaje se evita cuando la liacutenea de graduacioacuten es de suficiente longitud para ser vista al frente y al fondo de la vasija simultaacuteneamente En las medidas cuyas liacuteneas de graduacioacuten abarcan solamente la parte frontal el paralaje puede hacerse despreciable cuando se utiliza la tira de papel negro antes descrita teniendo

cuidado de que el borde de esta se encuentre en un plano horizontal En este caso el ojo estaraacute localizado de forma tal que el frente y la porcioacuten posterior del borde superior de la tira de papel se vean coincidentes

El error que provoca el ajuste del menisco en la medicioacuten del volumen depende de la experiencia y cuidado del observador y del diaacutemetro del tubo donde se lee la posicioacuten del mismo En el Cuadro3 se dan algunos valores del error que provoca en la medicioacuten del volumen el error lineal cometido en la posicioacuten del menisco en dependencia del diaacutemetro interno del tubo de medicioacuten (cuerpo ciliacutendrico o cuello) Los valores fueron tomados de las normas ISO 384 e ISO 4787 (ISO 19781984)

Tiempo de vertido en el equipo volumeacutetrico de vidrio para verter la observacioacuten del tiempo de vertido establecido es fundamental para lograr que el volumen vertido corresponda con el valor nominal hasta el trazo dado de la escala

Un error por la capa de liacutequido que se queda adherida a las paredes del equipo volumeacutetrico de vidrio puede ocurrir tambieacuten debido a una variacioacuten del tiempo normal de vertido previsto debido a cualquier alteracioacuten (obstruccioacuten parcial o rotura) de la punta de las pipetas o buretas Este error no puede calcularse y afectaraacute la exactitud de la medicioacuten realizada del volumen de forma

Cuadro 3 Errores en la posicioacuten del menisco de acuerdo al diaacutemetro del cuello del instrumento volumeacutetrico

Error en la posicioacuten del menisco (mm)

Valores tiacutepicos del diaacutemetro del cuello

10 mm 20 mm 30 mm

01 001 cm3 003 cm3 007 cm3

05 004 cm3 016 cm3 035 cm3

1 008 cm3 031 cm3 071 cm3

2 016 cm3 083 cm3 141 cm3

Fuente (ISO 1978 ISO 1984)

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

agua destilada o bien se guarda bien cerrado para evitar su contaminacioacuten (Las autoras 2009) Se puede obtener maacutes informacioacuten al respecto en ASTM E 542-01 (ASTM 2009b)

Colocacioacuten del menisco la mayor parte de los instrumentos volumeacutetricos de vidrio emplean el principio de lectura mediante la colocacioacuten del menisco en el trazo dado de la escala Esta puede convertirse en una importante fuente de error experimental en la determinacioacuten del volumen por lo tanto deben tomarse cuidados especiales para realizar una lectura correcta de la posicioacuten del menisco

La iluminacioacuten debe ser adecuada de forma que el menisco aparezca oscuro y definido como tal Con este propoacutesito este debe ser visto contra un fondo blanco y libre de iluminacioacuten indeseable Esto puede lograrse por ejemplo colocando una tira de papel negro alrededor del tubo donde se forma el menisco a una distancia no mayor de 1 mm por debajo del nivel donde se realiza la medicioacuten

El error de paralaje se evita cuando la liacutenea de graduacioacuten es de suficiente longitud para ser vista al frente y al fondo de la vasija simultaacuteneamente En las medidas cuyas liacuteneas de graduacioacuten abarcan solamente la parte frontal el paralaje puede hacerse despreciable cuando se utiliza la tira de papel negro antes descrita teniendo

cuidado de que el borde de esta se encuentre en un plano horizontal En este caso el ojo estaraacute localizado de forma tal que el frente y la porcioacuten posterior del borde superior de la tira de papel se vean coincidentes

El error que provoca el ajuste del menisco en la medicioacuten del volumen depende de la experiencia y cuidado del observador y del diaacutemetro del tubo donde se lee la posicioacuten del mismo En el Cuadro3 se dan algunos valores del error que provoca en la medicioacuten del volumen el error lineal cometido en la posicioacuten del menisco en dependencia del diaacutemetro interno del tubo de medicioacuten (cuerpo ciliacutendrico o cuello) Los valores fueron tomados de las normas ISO 384 e ISO 4787 (ISO 19781984)

Tiempo de vertido en el equipo volumeacutetrico de vidrio para verter la observacioacuten del tiempo de vertido establecido es fundamental para lograr que el volumen vertido corresponda con el valor nominal hasta el trazo dado de la escala

Un error por la capa de liacutequido que se queda adherida a las paredes del equipo volumeacutetrico de vidrio puede ocurrir tambieacuten debido a una variacioacuten del tiempo normal de vertido previsto debido a cualquier alteracioacuten (obstruccioacuten parcial o rotura) de la punta de las pipetas o buretas Este error no puede calcularse y afectaraacute la exactitud de la medicioacuten realizada del volumen de forma

Cuadro 3 Errores en la posicioacuten del menisco de acuerdo al diaacutemetro del cuello del instrumento volumeacutetrico

Error en la posicioacuten del menisco (mm)

Valores tiacutepicos del diaacutemetro del cuello

10 mm 20 mm 30 mm

01 001 cm3 003 cm3 007 cm3

05 004 cm3 016 cm3 035 cm3

1 008 cm3 031 cm3 071 cm3

2 016 cm3 083 cm3 141 cm3

Fuente (ISO 1978 ISO 1984)

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Fuente (ISO 1978 ISO 1984)

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

significativa Por tal motivo cuando se utiliza una pipeta o bureta debe revisarse que la punta de ellas se encuentre en perfecto estado asiacute tambieacuten las bocas de los matraces y cilindros y siempre debe respetarse el tiempo de vertido sentildealado por el fabricante

Meacutetodo de medicioacuten el meacutetodo de calibracioacuten de la cristaleriacutea es el meacutetodo gravimeacutetrico La capacidad de esta se determina mediante la diferencia entre la masa de la medida (si es de llenado) o de la vasija auxiliar (si es de vertido) vaciacutea y la masa de la misma llena con el agua destilada hasta el trazo que se comprueba Un meacutetodo estandarizado es el descrito en el apartado11 de la norma E 542-01 (ASTM 2009b)

Estabilizacioacuten entre las variables que afectan la densidad del agua se encuentran el aire disuelto la pureza los isoacutetopos la presioacuten la temperatura y la presioacuten debido a la columna del liacutequido Para propoacutesitos de calibracioacuten se debe utilizar agua destilada bidestilada o desionizada Las altas concentraciones de sales en especial sales de cobre y la materia orgaacutenica pueden hacer variar la densidad El agua debe tener un pH neutro y su conductividad no debe exceder 1middot10-4

μSCuando se realiza una calibracioacuten lo maacutes

recomendable es utilizar una habitacioacuten con aire acondicionado para igualar las temperaturas del aire del vidrio y del agua con una estabilidad deplusmn 1 degCh por lo que se recomienda mantener el agua y todos los equipos por lo menos 6 h antes en la misma habitacioacuten

2 EQUIPO REACTIVOS Y OTROS

El equipo utilizado y los reactivos poseiacutean las siguientes caracteriacutesticas

bull Matraz aforado de vidrio con capacidad de100 cm3 clase A

bull Balanza analiacutetica marca Ainsworth modeloM-220D con una resolucioacuten de 01 mg

bull Termoacutemetro marca Thermo Schneider de 0degC a 20 degC con resolucioacuten de 01 degC

bull Medidor eleacutectrico de humedad relativa y temperatura marca TESTO

bull Agua desionizada con un pH de 647 a 216 degC

y con una conductividad eleacutectrica de 14 microSbull Disolucioacuten limpiadora disolucioacuten de

hidroacutexido de potasio (KOH) en alcohol etiacutelico al 5

3 METODOLOGIacuteA EXPERIMENTAL

La metodologiacutea utilizada para la limpieza y el secado del matraz y el procedimiento de calibracioacuten utilizado fueron propuestos por los organizadores de la ronda de intercomparacioacuten (Saacutenchez 2001)

31 Limpieza secado y estabilizacioacuten del matraz

Despueacutes de enjuagar el matraz por dentro y por fuera con agua destilada se colocoacute una pequentildea cantidad de disolucioacuten limpiadora dentro del matraz y con la tapa en su lugar se agitoacute por aproximadamente dos minutos y se descartoacute la disolucioacuten

Se lavoacute el matraz con suficiente agua del tubo agitaacutendolo vigorosamente cada vez hasta eliminar toda la disolucioacuten limpiadora y luego se enjuagoacute con agua destilada o desionizada al menos tres veces Se secoacute el matraz por fuera con papel adsorbente y se colocoacute invertido dentro de un anillo colocado sobre un soporte para que escurriera el agua interna al menos diez minutos El procedimiento debioacute repetirse si el matraz no quedaba perfectamente limpio a la vista

Luego se colocoacute el matraz en una estufa a (105 plusmn 5) degC por al menos 4 h despueacutes de ese periacuteodo se desconectoacute el equipo y se permitioacute que ambos se enfriaran lentamente hasta que alcanzoacute la temperatura ambiente en ese momento se sacoacute el matraz de la estufa

Tanto el agua destilada como el matraz se colocaron seis horas antes en un cuarto con las condiciones controladas de humedad relativa y de temperatura los valores fueron de (23 plusmn 2) degC respectivamente En ese mismo lugar luego de la estabilizacioacuten de ambos se realizaron las mediciones

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

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Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

32 Calibracioacuten

Se realizaron tres mediciones del volumen del matraz de vidrio de 100 cm3 utilizando el meacutetodo gravimeacutetrico descrito por Saacutenchez (2001) y semejante al meacutetodo E 542-01 presentado en ASTM (2009b) Se registraron los datos de temperatura y humedad relativa ambiente asiacute como los de la temperatura del agua y las masas antes y despueacutes del llenado

4 ANAacuteLISIS Y DISCUSIOacuteN DE RESULTADOS

41 Modelo matemaacutetico

de repetibilidad es decir utilizando el mismo equipo de medicioacuten en condiciones ambientales similares con patroacuten similar y hecho por el mismo individuo Lo mismo se aplica para la masa del patroacuten Mb+agua la cual se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente lleno de agua hasta su marca de aforo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones de repetibilidad similares a las anteriormente mencionadas

La densidad del aire ρaire es aproximada mediante la informacioacuten contenida en la OIML R111 (OIML 2004) y expresada mediante la ecuacioacuten (5)

El modelo matemaacutetico para la medicioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 por el meacutetodo gravimeacutetrico (4) se define en la norma ASTM E542-01 (ASTM 2009b) expresado aquiacute mediante la ecuacioacuten (4)

Donde

V20 ordmC volumen contenido por el instrumento

Donde

ρaire densidad del aire en gcm3

hr humedad relativa en p presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmC

(5)

en cm3

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno) en g

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo) en g

ρagua densidad del agua en gcm3

ρaire densidad del aire en gcm3

ρ pesas densidad de las pesas de la balanza en

gcm3

α coeficiente cuacutebico de dilatacioacutenteacutermica en ordmC-1

tagua temperatura del agua en ordmCtref temperatura de referencia en ordmC

La masa del patroacuten Mb se obtiene a partir de tres mediciones de la masa de recipiente vaciacuteo utilizando una balanza analiacutetica en condiciones

La humedad relativa hr para un psicroacutemetrose estima mediante la ecuacioacuten de Ferrel descrita en la norma ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) y representada aquiacute por la ecuacioacuten (6)

(6)

Donde

hr humedad relativa en tbh temperatura de bulbo huacutemedo en ordmCp presioacuten atmosfeacuterica en hPataire temperatura del aire en ordmCA coeficiente psicomeacutetrico en ordmC-1

(4)

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Cuadro 4 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del aire

Nomenclatura DefinicioacutenMa

1

gnitudes de entr

2

ada

3

p Presioacuten atmosfeacuterica en San Joseacute Costa Rica (hPa) 880 880 880

taire Temperatura del aire o de bulbo seco (degC) 2200 2050 2375

tbh Temperatura de bulbo huacutemedo (degC) 1650 1475 1600

A Coeficiente psicomeacutetrico (ordmC-1) 66∙10-4 66∙10-4 66∙10-4

g1 Coeficiente (K) -6096 939∙103 -6096 939∙103 -6096 939∙103

g2 Coeficiente (adim) 21240 964∙10-2 21240 964∙10-2 21240 964∙10-

2

g3 Coeficiente (K-1) -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5 -2711 193∙10-5

g4 Coeficiente (K-2) 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5 1673 952∙10-5

g5 Coeficiente (K-3) 0 0 0

g6 Coeficiente (K-4) 0 0 0

g7 Coeficiente (adim) 2433 502 2433 502 2433 502

e(taire)Presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente

(hPa)26453 24127 29412

e(tbh)Presioacuten de vapor de agua a la temperatura de bulbo

huacutemedo (hPa)18777 16784 18187

hr Humedad relativa () 589 557 465

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

Densidad estimada del aire 0001 039 gcm3

e(tbh) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo en hPa

e(taire) presioacuten de vapor de agua a temperatura ambiente en hPa

La presioacuten de vapor de agua puede aproximarse mediante el uso de la ecuacioacuten (7) descrita por Sonntag (Sonntag 1990 citado en Daacutevila amp Martines Daacutevila 2006 2009)

(7)

Donde

e(T) presioacuten de vapor de agua a la temperaturaT en Pa

T temperatura de intereacutes en K

Los teacuterminos y los valores de las ecuaciones(5) (6) y (7) se definen en el Cuadro 4

Cabe resaltar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del aire es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar el documento CIPM-2007 de Picard Davis Glaumlser y Fujii (2008)

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Cuadro 5 Teacuterminos y valores utilizados para el caacutelculo de la densidad del agua

Nomenclatura DefinicioacutenM

1

agnitudes de entra

2

da

3

tagua Temperatura del agua (degC) 203 204 204

A Coeficiente (kgm3) 999853 08 999853 08 999853 08

B Coeficiente (degC-1 kgm3) 6326 9310-2 6326 9310-2 6326 9310-2

C Coeficiente (degC-2 kgm3) -8523 82910-3 -8523 82910-3 -8523 82910-3

D Coeficiente (degC-3 kgm3) 6943 24810-5 6943 24810-5 6943 24810-5

E Coeficiente (degC-4 kgm3) -3821 21610-7 -3821 21610-7 -3821 21610-7

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

Densidad estimada del agua 0998 127 gcm3

Cuadro 6 Teacuterminos y valores para la ecuacioacuten del volumen del matraz

Magnitudes de entradaNomenclatura Definicioacuten

1 2 3

Mb Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) (g) 79659 4 79659 8 79658 9

Mb+agua Masa del patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) (g) 179385 6 179385 9 179385 1

ρagua Densidad del agua (gcm3) 0998 141 0998 120 0998 120

ρaire Densidad del aire (gcm3) 0001 039 0001 044 0001 033

ρpesas Densidad de las pesas de la balanza (gcm3) 80 80 80

α Coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica (degC-1) 0000 01 0000 01 0000 01

tagua Temperatura de trabajo del agua (degC) 203 204 204

tref Temperatura de referencia (degC) 20 20 20

V20degCVolumen contenido o vertido por el instrumento a 20 degC

(cm3)100002 77 100005 15 100004 24

Volumen estimado del matraz a 20 degC = 100004 05 cm3

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

La temperatura del agua se toma con un termoacutemetro de inmersioacuten parcial y la densidad del agua ρagua se aproxima mediante la ecuacioacuten de Kell expresada por la ecuacioacuten (8) tomada de Jones y Harris (1992) Los teacuterminos utilizados para la estimacioacuten del caacutelculo se presentan en el Cuadro 5

Es importante mencionar que este procedimiento para la determinacioacuten de la densidad del agua es una aproximacioacuten Para una estimacioacuten maacutes exacta se puede revisar Tanaka Girard Davis Peuto y Bignell (2001)

Para la construccioacuten del equipo volumeacutetrico se utilizan vidrios resistentes a los cambios bruscos de temperatura Es necesario conocer el tipo de vidrio para utilizar el coeficiente de dilatacioacuten teacutermica En este caso el matraz era de boro silicato y el valor del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica se consideroacute de α = 10 10-5

degC-1 Para el valor de la densidad de las pesas (ρpesas) utilizadas en la medicioacuten de la masa del agua se tomoacute como8 000 kgm3 del certificado de calibracioacuten de las masas 12-03 del Centro Territorial de Metrologiacutea de Villa Clara Cuba En el Cuadro 6 se presentan junto con las definiciones de cada uno de los

teacuterminos los valores obtenidos para tres reacuteplicas en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC

42 Estimacioacuten de la incertidumbre de la medicioacuten

421 Identificacioacuten de las fuentes de incertidumbre

Se detectaron y analizaron un total de dieciseacuteis fuentes de incertidumbre en la medicioacuten derivadas a partir del modelo matemaacutetico estudiado (4) las cuales se presentan a continuacioacuten y en el diagrama de espina de pescado mostrado en la Figura 1

1 Incertidumbre por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco (u1)

2 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura de bulbo huacutemedo (u2)

3 Incertidumbre por el caacutelculo de la humedad

Figura 1 Diagrama de espina de

pescado para las fuentes de

incertidumbre identificadas

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

(8)

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

relativa (u3)4 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

presioacuten atmosfeacuterica (u4)5 Incertidumbre por resolucioacuten de la balanza

analiacutetica (u5)6 Incertidumbre por repetibilidad de la balanza

analiacutetica (u6)7 Incertidumbre por linealidad de la balanza

analiacutetica (u7)8 Incertidumbre por observacioacuten del menisco

para el matraz lleno (u8)9 Incertidumbre por el caacutelculo de la densidad

del agua (u9)10 Incertidumbre por la estimacioacuten de la

densidad del aire (u10)

11 Incertidumbre por la variacioacuten de latemperatura del agua (u11)

12 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente de dilatacioacuten teacutermica (u12)

13 Incertidumbre por la estimacioacuten de ladensidad de la pesas de la balanza (u13)

14 Incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico (u14)

15 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura del aire (u15)

16 Incertidumbre por la estimacioacuten de la presioacutende vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (u16)

422 Evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar

Las estimaciones de incertidumbre presentadas a continuacioacuten fueran determinadas siguiendo las normativas establecidas en la GUM (1995)

A) Densidad del aire

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del aire o de bulbo seco u1 corresponde al co- ciente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-24 calcu- lada en el registro LPF-R-60-4 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (9)

(9)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura de bulbo huacutemedo u2 corresponde al cociente de 018 ordmC incertidumbre expandida reportada para el termoacutemetro LPF-T-25 calculada en el registro LPF-R-60-5 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se muestra en la ecuacioacuten (10)

(10)

La incertidumbre por la estimacioacuten de lapresioacuten atmosfeacuterica u4 corresponde al cociente de 005 kPa incertidumbre expandida reportada por la Oficina Nacional de Normas y Unidades de Medida (ONNUM) seguacuten el reporte LM422-2000 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (11)

(11)

La incertidumbre por la estimacioacuten delcoeficiente psicomeacutetrico u14 corresponde al cociente de 2middot10-5 ordmC-1 incertidumbre expandida informada en ASTM E337-84 (ASTM 1996 citado en Daacutevila amp Martines 2006) entre su factor de cobertura k = 1 para un nivel de confianza del68 como se muestra en la ecuacioacuten (12)

(12)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire u15 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

de incertidumbre para la presioacuten de vapor de

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

agua a temperatura del aire (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios Los coeficientes de sensibilidad son valores que al multiplicarse por las incertidumbres estaacutendar respectivas dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando Matemaacuteticamente son definidos como la derivada parcial de cada una de las variables que conforman el modelo matemaacutetico

En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire e(taire) solo depende de la temperatura del aire (taire) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a taire como se muestra en la ecuacioacuten (13)

Evaluando la taire promedio (2208 ordmC) e(taire) promedio (26588 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(14)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para e(taire) y al poseer solo un componente se obtiene que

Donde

u2c(e(taire)) varianza estaacutendar del error correspondiente a e(Taire) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a temperatura del aire uc(e(Taire)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (16)

(16)

La incertidumbre estaacutendar asociada al errorpor estimacioacuten de la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo u16 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (7) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo (Figura1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (7) presioacuten de vapor de agua a temperatura de bulbo huacutemedo e(Tbh) solo depende de la temperatura de bulbo huacutemedo (tbh) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tbh como se muestra en la ecuacioacuten (17)

Evaluando la tbh promedio (1575 ordmC) e(Tbh) promedio (17899 hPa) y los coeficientes respectivos (Cuadro 4) se da como resultado

(13)

(15)

(17)

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

(18)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre para e(Tbh) y al poseer solo un componente se obtiene que (ver ecuacioacuten 19)

Donde

u2c(e(Tbh)) varianza estaacutendar del error

correspondiente a e(Tbh) hPa2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la presioacuten de vapor de agua a de bulbo huacutemedo uc(e(Tbh)) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (20)

(20)

La varianza estaacutendar de la humedad relativa se determina calculando las incertidumbres estaacutendar de cada seccioacuten de la ecuacioacuten (6) Primeramente se toma la diferencia entre la temperatura del aire taire y la de bulbo huacutemedo tbh Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a dichas temperaturas se reducen a la unidad resultando asiacute (ver ecuacioacuten 21)

Cabe mencionar que no se presenta una correlacioacuten entre taire y tbh ya que fiacutesicamente al encontrarse las fases de vapor y liacutequido en equilibrio el sistema formado no posee grados de libertad es decir tbh tiene valor definido Por su parte la mezcla de aire con vapor de agua a presioacuten constante siacute posee un grado de libertad permitiendo que para un valor dado de presioacuten de vapor de agua se pueda mantener la fase presente para una combinacioacuten infinita de temperaturas (Daacutevila amp Martines 2006)

Seguidamente se toma la seccioacuten del producto del coeficiente psicomeacutetrico A la presioacuten atmosfeacuterica p y la diferencia de temperaturas anteriormente analizada (taire - tbh) Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta seccioacuten se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho producto (22) Utilizando los valores promedio de cada argumento se obtiene

(19)

(21)

(22)

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Posteriormente la ecuacioacuten (23) corresponde al numerador de la ecuacioacuten (6) y se utiliza para estimar su incertidumbre estaacutendar Al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en esta funcioacuten lineal los coeficientes de sensibilidad correspondientes a los argumentos se reducen a la unidad resultando asiacute la ecuacioacuten (24) Se utilizando los valores promedio de cada argumento

(23)

(24)

Por uacuteltimo se estima la incertidumbreestaacutendar de la humedad relativa aplicando la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en el cociente entre el numerador (num) y el denominador (e(Taire)) Se obtiene una incertidumbre estaacutendar relativa para dicho cociente (25) la cual se estima utilizando los valores promedio de cada argumento

La incertidumbre por la estimacioacuten de la densidad del aire u10 corresponde al cociente de 0000 003 gcm3 incertidumbre expandida reportada en el PTB-MA-311 entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del95 como se ilustra en la ecuacioacuten (26)

(26)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a

ρaire

se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre en la ecuacioacuten (5) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del aire (Figura 1) se debe proceder a calcular los coeficientes de sensibilidad pertinentes En este caso como se nota en (5) ρaire depende de taire hr y p por lo que es necesario calcular tres coeficientes El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a taire estaacute dado por la ecuacioacuten (27)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a hr estaacute dado por la ecuacioacuten (28)

(28)

(25)

(27)

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Cuadro 7 Teacuterminos y valores para la incertidumbre estaacutendar combinada del volumen del matraz

Nomenclatura Definicioacuten Valor promedioIncertidumbre

estaacutendarCoeficiente desensibilidad

Contribucioacuten

Mb

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz vaciacuteo)79659 4 g 0000 072 g 1002 786 cm3g 234 middot 10-4 cm6

Mb+agua

Masa del patroacuten que indica la balanza

(matraz lleno)179386 9 g 0015 30 g -1002 786 cm3g 521 middot 10-9 cm6

ρagua Densidad del agua 0998 127 gcm3 1052 4 middot 10-5 gcm3 -100296 10 cm6g 111 middot 10-6 cm6

ρaire Densidad del aire 0001 039 gcm3 156 middot 10-6 gcm3 87793 97 cm6g 188 middot 10-8 cm6

taguaTemperatura de trabajo del agua

2037 degC 005 ordmC -0001 cm3ordmC 25 middot 10-9 cm6

α Coeficiente cuacutebico de0000 01 ordmC-1 577 middot 10-6 ordmC-1 -37002 cm3 middot ordmC 456 middot 10-8 cm6

ρpesasDensidad de las pesas

de la balanza80 gcm3 0019 999 gcm3 0001 623 cm6g 105 middot 10-7 cm6

Incertidumbre estaacutendar combinada para el volumen estimado del matraz a 20 degC = 0015 381 cm3

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a p estaacute dado por la ecuacioacuten (29)

(29)

Evaluando los valores promedio de cadavariable considerada en el Cuadro 4 en cadacoeficiente de sensibilidad se obtiene que

(30)

(31)

(32)

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de laIncertidumbre para ρaire se obtiene la ecuacioacuten (33)

dilatacioacuten teacutermica

(33)

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

donde

u2c(ρaire) varianza estaacutendar de a ρaire (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del aire uc(ρaire) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar aplicando la ecuacioacuten (34)

En este punto hay que mencionar que se desprecian las contribuciones por correlacioacuten entre la presioacuten atmosfeacuterica la temperatura ambiente y la humedad relativa

B) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz vaciacuteo)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por resolucioacuten de la balanza analiacutetica u5 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde a la mitad del valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de 3 como se presenta en la ecuacioacuten (35)

(35)

Se debe tomar en consideracioacuten que el error por resolucioacuten se presenta tanto al tomar la medicioacuten como al tomar el cero como valor de partida ya que la lectura tomada es en realidad una diferencia entre la masa inicial (cero) y la masa final Esto causa que esta incertidumbre deba ser considerada dos veces a la hora de realizar los caacutelculos respectivos

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por repetibilidad de la balanza analiacutetica u6 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se muestra en la ecuacioacuten (36)

(36)

La incertidumbre estaacutendar asociada alerror por linealidad de la balanza analiacutetica u7 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor reportado por el fabricante entre la raiacutez cuadrada de tres tal y como se observa en la ecuacioacuten (37)

(37)

(34)

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se ilustra en la ecuacioacuten (38)

(38)

Donde

u2c(Mb) varianza estaacutendar de Mb g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la masa del patroacuten que indica la balanza (matraz vaciacuteo) uc(Mb) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar presentada en la ecuacioacuten (39)

C) Masa del patroacuten que indica la balanza(matraz lleno)

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por observacioacuten del menisco para el matraz lleno u8 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al diferencial de masa de agua perteneciente al menisco entre la raiacutez cuadrada de tres como se presenta en la ecuacioacuten (40)

(40)

Para calcular el diferencial de masa se

procedea aproximarlo mediante el uso de las ecuaciones

(41) y (42) para el caacutelculo del volumen de un cilindro y la densidad del agua respectivamente

(41)

(42)

Donde

Δm diferencial de masa del menisco gΔV diferencial de volumen del menisco

cm3

d diaacutemetro interno del cuello de un matraz de 100 cm3 13 mm (ISO 1042 tabla 10)

Δh diferencial de altura del menisco 02 mm(ISO 384)

ρagua densidad del agua 0998 127 gcm3

(Cuadro 5)

Al despejar el diferencial de volumen de la ecuacioacuten (42) y sustituirlo en la ecuacioacuten (41) se obtiene una expresioacuten para el diferencial de masa de la forma que se presenta en la ecuacioacuten (43)

(43)

Al unir la ecuacioacuten (40) con la (43) y sustituirpor los valores numeacutericos correspondientes se obtiene la ecuacioacuten (44)

(39)

(44)

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

Cabe mencionar que se podriacutea tomar la incertidumbre por el menisco como un diferencial de volumen y agregarlo como un factor de incertidumbre separado de la masa del matraz lleno

Las incertidumbres estaacutendar asociadas a los errores por resolucioacuten repetibilidad y linealidad de la balanza analiacutetica u5 u6 y u7 fueron calculadas en (35) (36) y (37) respectivamente

Asiacute la varianza estaacutendar correspondiente a Mb+agua se determina a partir de los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre de esta como se observa en la ecuacioacuten (45)

del LABCALMACNOR de calibracioacuten del termoacutemetro utilizado entre su factor de cobertura k = 2 para un nivel de confianza del 95 como se muestra en la ecuacioacuten (47)

(47)

Al poseer solamente un componentela incertidumbre estaacutendar combinada de la temperatura del agua u(tagua) es igual a (u11)

(45)

(48)

Donde

u2c(Mb+agua) varianza estaacutendar de Mb+agua g2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la patroacuten que indica la balanza (matraz lleno) uc(Mb+agua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (46)

D) Temperatura del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la variacioacuten de la temperatura del agua u11 corresponde al cociente de 010 ordmC incertidumbre expandida tomada del certificado 168-2001 T

E) Densidad del agua

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por el caacutelculo de la densidad del agua u9 se obtiene al aplicar la Ley de Propagacioacuten de la Incertidumbre en la ecuacioacuten (8) Tras identificar las fuentes de incertidumbre para la densidad del agua (Figura 1) se debe proceder a estimar los coeficientes de sensibilidad necesarios En este caso como se observa en la ecuacioacuten (8) la densidad del agua (ρagua) solo depende de la temperatura del agua (tagua) por lo que solo es necesario un coeficiente de sensibilidad correspondiente a tagua como se muestra en la ecuacioacuten (49)

Evaluando la tagua promedio (2037 ordmC) y loscoeficientes (Cuadro 5) se da como resultado

(46)

(49)

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

(50)Al solamente poseer un componente la

incertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente cuacutebico de dilatacioacuten teacutermica u(α) es igual a u12

Aplicando la Ley de Propagacioacuten de la

Incertidumbre para ρagua y al poseer solo uncomponente se obtiene que

(54)

Donde

u2c(ρagua) varianza estaacutendar del error

correspondiente a ρagua (gcm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada de la densidad del agua uc(ρagua) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar como se muestra en la ecuacioacuten (52)

F) Coeficiente de dilatacioacuten teacutermica

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u12 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de1middot10-5 ordmC-1 tomado del ENA-034-01 entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (53)

(53)

G) Densidad de los patrones de masa de la balanza

La incertidumbre estaacutendar asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de los patrones de masas de la balanza u13 considerando que obedece a una distribucioacuten rectangular corresponde al valor de 0034 64 gcm3 tomado de la norma alemana entre la raiacutez cuadrada de 3 tal y como se ilustra en la ecuacioacuten (55)

(55)

Al solamente poseer un componente laincertidumbre estaacutendar combinada del coeficiente de dilatacioacuten teacutermica u(ρpesas) es igual a la incertidumbre asociada al error por la estimacioacuten de la densidad de las pesas de la balanza u13

(56)

(51)

(52)

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

423 Coeficientes de sensibilidad

Como se mencionoacute en el apartado de la evaluacioacuten de las fuentes de incertidumbre estaacutendar los coeficientes de sensibilidad son valores que junto a las incertidumbres estaacutendar dan como resultado las contribuciones directas de estas sobre la incertidumbre del mensurando A continuacioacuten se presentan los coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables presentes en la ecuacioacuten (4)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb+agua estaacute dado por la ecuacioacuten (57)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a Mb estaacute dado por la ecuacioacuten (58)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρagua estaacute dado por la ecuacioacuten (59)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρaire estaacute dado por la ecuacioacuten (60)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a tagua estaacute dado por la ecuacioacuten (61)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a α estaacute dado por la ecuacioacuten (62)

(62)

El coeficiente de sensibilidad para la incertidumbre asociada a ρpesas estaacute dado por la ecuacioacuten (63)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(63)

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

BLANCO - SILVA Estimacioacuten de la incertidumbre en la

111111

Evaluando los valores promedio de cada variable considerada (Cuadro 6) en cada coeficiente de sensibilidad se obtiene que

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

contribuciones son el resultado del producto de cada incertidumbre por su respectivo coeficiente de sensibilidad

Donde

u2c(V20 ordmC) varianza estaacutendar del error

correspondiente a V20ordmC (cm3)2

La incertidumbre estaacutendar combinada del volumen contenido por el matraz a 20 ordmC uc(V20 ordmC) se obtiene a partir de la raiacutez cuadrada de la varianza estaacutendar calculada mediante la ecuacioacuten (72)

A manera de resumen se presenta el Cuadro 7 para las variables consideradas su valor promedio incertidumbre coeficiente de sensibilidad y contribucioacuten a la incertidumbre global en la determinacioacuten del volumen de un matraz de 100 cm3 a 20 ordmC Cabe mencionar que para esta estimacioacuten de incertidumbre se despreciaron las contribuciones por correlacioacuten entre la temperatura del agua y la densidad de la misma ademaacutes de la correlacioacuten entre la masa del matraz vaciacuteo y la masa del matraz lleno

425 Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida del volumen

(70)

contenido por el matraz a 20 ordmC UV

determina a partir de la ecuacioacuten (73) se

20 ordmC

(73)

424 Incertidumbre combinada estaacutendar

La varianza estaacutendar (71) se calcula a partir de

Donde

UV 20 ordmCincertidumbre expandida del volumen del matraz a 20 ordm C

los cuadrados de cada una de las contribuciones a la incertidumbre del mensurando Las

k factor de cobertura para un nivel de confianza del 95

(71)

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

(72)

Los valores numeacutericos se sustituyen en la ecuacioacuten (73)

426 Estimacioacuten del resultado de la medicioacuten

El resultado de la medicioacuten pueden expresarse de una de las dos maneras siguientes

a) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001 el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de 2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de 100004 cm3 con una incertidumbre estaacutendar combinada de 0015 cm3

b) Para el matraz de 100 cm3 analizado en el periacuteodo del 30 al 31 de mayo del 2001

el volumen promedio a 20 ordmC (V20 ordmC) medido a una temperatura promedio de2208 ordmC y una humedad relativa promedio del 537 es de (10000 plusmn 003) cm3 donde la incertidumbre reportada es una incertidumbre expandida como lo define el Vocabulario Internacional de Metrologiacutea primera edicioacuten en espantildeol del VIM-3ordf del 2008 calculada usando un factor de cobertura k = 2 que da una probabilidad de cobertura aproximada del 95

427 Error del matraz

El error del matraz se calcula con la ecuacioacuten(74)

(74)

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009a) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks E 288-06 In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 3 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

428 Reproducibilidad en el tiempo

La reproducibilidad en el tiempo se calcula con la ecuacioacuten (75)

of laboratory volumetric apparatus E542-01 (Reapproved 2007) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 8 p

CONCLUSIONES

(75) ASTM (American Society for Testing Materials) (2009c) Standard specification for laboratory glass volumetric flasks special use E 1878-97 (Reapproved 2008) In Annual Book of ASTM Standards

La experiencia obtenida en la realizacioacuten de un ensayo intercomparacioacuten ha sido transmitida en este documento para que sirva como base en los procedimientos y meacutetodos de caacutelculo de situaciones semejantes que se puedan presentar en laboratorios de calibracioacuten y ensayo ademaacutes ha sido para las autoras una experiencia interdisciplinaria de gran enriquecimiento

AGRADECIMIENTOS

Al sentildeor Pedro Antonio Rojas Camacho teacutecnico en metrologiacutea del Laboratorio de Productos Forestales del Instituto de Investigaciones en Ingenieriacutea de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la consecucioacuten de los resultados analiacuteticos y su gran intereacutes por el desarrollo de la metrologiacutea en Costa Rica asiacute como al asistente Gabriel Ignacio Molina Castro estudiante de Ingenieriacutea Quiacutemica de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la comprobacioacuten de resultados matemaacuteticos y estadiacutesticos

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

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ASTM (American Society for Testing Materials) (2009b) Standard practice for calibration

Volume 1404 Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 2 p

ASTM (American Society for Testing Materials) (2009d) Standard specification for laboratory glass volumetric apparatus E 694-99 (Reapproved 2005) In Annual Book of ASTM Standards Volume 1404Laboratory Apparatus Degradation of Materials SI Oxygen Fire Safety Philadelphia 7 p

BIMP IEC IFCC ILAC ISO IUPAP y OIMLVocabulario Internacional de Metrologiacutea Conceptos fundamentales y generales y teacuterminos asociados (VIM) JCGM 20020081ordf Edicioacuten en espantildeol del VIM- 3ordf 2008 88p

Daacutevila J (2009) Necesidades industriales en la medicioacuten del contenido de humedad en gases CENAM Meacutexico 27 p Extraiacutedo el10 de febrero del 2010 de httpww w cenam mxDMEpdfPRE_E-Mie_6pdf

Daacutevila J amp Martines E (2006) Propagacioacuten de incertidumbre en la conversioacuten de algunas magnitudes de humedad Simposio de Metrologiacutea 6 p

Elert G (1998) Thermal expansion Extraiacutedo el05 de abril del 2010 de httpphysicsinfoexpansion

ISO (International Organization for Standardization) (1978) International standard laboratory glassware Principles of design and construction of volumetric

glassware ISO 384 First edition19780115 13p

ISO (International Organization for Standardization) (1983) International standard laboratory glassware One mark volumetric flasks ISO 1042 Third edition19830201 5p

ISO (International Organization for Standardization) (1984) International standard laboratory glassware Volumetric glassware Methods for use and testing of capacity ISO 4787 (1a ed) 19841115 15p

Jones F amp Harris G (1992) ITS-90 Density of water formulation for volumetric standards calibration Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology 97(3) 335-340

OIML (Organizacioacuten Internacional de Metrologiacutea Legal) (2004) Weights of classes E1 E2 F1 F2 M1 M1-2 M2 M2-3 and M3 Part1 Metrological and technical requirements OIML R 111-1 80p

Picard A Davis R Glaumlser M amp Fujii K (2008)

Revised formula for the density of moist air(CIPM-2007) Metrologia 45 149-155

Saacutenchez M E (2001) Limpieza del matrazLaboratorio Costarricense de Metrologiacutea(LACOMET) San Joseacute 2p

Saacutenchez M E (2002) Calibracioacuten de equipo volumeacutetrico meacutetodo gravimeacutetrico Laboratorio Costarricense de Metrologiacutea LACOMET

Saacutenchez M E Picado C Saacutenchez H amp Sequeira M Comparacioacuten interlaboratorios en Costa Rica ENA-MET-101 Calibracioacuten de un matraz de 100 cm3 Informe final 2001

Schimd W A amp Martiacutenez R (2004) Guiacutea para estimar la incertidumbre de la medicioacuten CENAM Meacutexico 27 p

Tanaka M Girard G Davis R Peuto A amp Bignell N (2001) Recommended table for the density of water between 0 ordmC and 40ordmC based on recent experimental reports Metrologia 38 301-309

REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS RECOMENDADAS

Becerra L O amp Guardado M E (2003)Estimacioacuten de la incertidumbre de la densidad del aire CENAM Meacutexico 23 p

Trujillo S amp Arias R (2002) Incertidumbre en la calibracioacuten de un matraz volumeacutetrico CENAM Meacutexico 18 p

SOBRE LAS AUTORAS

Mariacutea Lorena Blanco RojasLicenciada en Ingenieriacutea Quiacutemica de laUniversidad de Costa RicaM Sc en Ciencia y Tecnologiacutea de la Madera de la Universidad de Satildeo Paulo BrasilProfesora de la Escuela de Ingenieriacutea Quiacutemica Investigadora del Instituto de Investigaciones en IngenieriacuteaUniversidad de Costa RicaTeleacutefono (506) 2511-6163Correo electroacutenico lorenainiiuc r accr

Paulina Silva TrejosLicenciada en Quiacutemica de la Universidad deCosta RicaProfesora de la Escuela de Quiacutemica Universidad de Costa Rica Teleacutefono (506) 2511-6163Correo electroacutenico stpaulinitagmailcom

Anaacutelisis ycomentarios