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CONTROL 1 | ANLISIS DE ERROR

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INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE

TANTOYUCA

UNIDAD VI: ANLISIS DE ERROR ING. ELECTRONICA

MATERIA: CONTROL I

V SEMESTRE

M.C. RAL HERNNDEZ RIVERA

INTEGRANTES:

ANTONIO MORALES ANA GABRIELA

DEL ANGEL DEL ANGEL FERNANDO

JUAN FERNANDEZ SOLEDAD

SOLIS DIAZ LUIS ENRIQUE

03 de diciembre de 2010


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UNIDAD VI: ANLISIS DE ERROR

INTRODUCCION

Los controladores automticos como parte esencial en el desarrollo de la industria, han ido evolucionando tanto en la tecnologa utilizada para su fabricacin, como en la bsqueda de criterios y mtodos que optimicen el funcionamiento de estos en los distintos procesos de produccin.

El mtodo de sintonizacin de un controlador, requiere el estudio previo de los factores que puedan afectar o beneficiar la planta de produccin y las condiciones que se requieran para el proceso.

En el diseo de los parmetros que rigen el comportamiento de los controladores, es comn prestar especial atencin al comportamiento del error, el cual es la diferencia entre la respuesta de la planta y el valor deseado de operacin.

El error en un sistema de control se ve afectado por las modificaciones en el valor deseado o por perturbaciones del proceso, imperfecciones en los componentes del sistema y deterioro del equipo.

En los sistemas de control se tienen dos tipos de error:

Error estacionario.

Error dinmico.

El error estacionario es la diferencia entre la salida y el valor deseado en rgimen permanente, esto es, cuando t . Este error es causado por la incapacidad de un sistema de seguir diferentes tipos de entradas, generalmente entradas tipo escaln o rampa. El error es utilizado como criterio de diseo para medir la exactitud de un sistema de control. As, un sistema puede tener error nulo ante una entrada tipo escaln.

El error dinmico representa la variacin del error cuando se presenta un cambio en la entrada o cuando se produce una perturbacin en el sistema.


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DESARROLLO

6.1 ERROR ESTATICO Y DINAMICO

Errores aditivos y errores multiplicativos: Los errores estticos pueden

ser constantes con respecto a la magnitud de entrada, o puede que varen con

esta. En el primer caso se denomina errores aditivos; El segundo caso se

denomina multiplicativo, si son directamente proporcionales a la entrada, y no

tienen nombre especfico si no lo son. Otros nombres equivalentes son:

respectivamente errores de cero y errores de ganancia (o de factor de escala).

6.1.1 ERROR ESTTICO:

Los sistemas de control se pueden clasificar de acuerdo a su

capacidad de seguir entradas escaln, rampa, parablica y otras. Este esquema

de clasificacin es razonable, ya que las entradas reales se suelen considerar

como combinaciones de tales entradas. Los valores de lo errores estacionarios

debidos a esas entradas individuales son indicativos de la bondad del sistema.

Considere las siguiente funcin de transferencia de lazo abierto G(s)H(s):

Esta ecuacin incluye el termino sN en el


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La constante Kp de error esttico de posicin se define como: formula

As, el error esttico en trminos de la constante Kp de error esttico

de posicin esta dado por: formula:

Para un sistema tipo 0, formula

Para un sistema tipo 1 o superior, formula

Por lo tanto, para un sistema tipo 0, la constante Kp de error esttico

de posicin es finito, mientras que para uno de tipo 1, Kp es infinito.

Para una entrada escaln unitario, el error estacionario ess como

sigue:

Para un sistema tipo 0

:

Para sistemas tipo 1 o superiores

Si se pueden tolerar pequeos errores para entradas en escaln , se

pueden admitir un sistema tipo 0, siempre que la ganancia K sea suficientemente

elevada. Sin embargo, si la ganancia es excesivamente grande es difcil lograr

una estabilidad relativa razonable. Si se desear un error estacionario nulo para

una entrada en escaln el sistema debera ser de tipo 1 o superior.

)0()0()()(lim0

HGsHsGKs

P

Pes

Ke

1

1

KeK

sTsT

sTsTKK es

ba

sP

1

1

)1)(1(

)1)(1(lim

210

0)1)(1(

)1)(1(lim

210

esN

ba

sP e

sTsTs

sTsTKK


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Constante Kv de error esttico de velocidad. El error estacionario del sistema,

parauna entrada rampa unitaria esta dado por. Formula:

El constante Kv de error esttico de velocidad se define como: formula

As, el error esttico en trminos de la constante Kv de error esttico

de velocidad esta dado por formula

El termino error de velocidad se ha utilizado aqu para expresar el

error estacionario ante una entrada rampa unitaria. La dimensin del error de

velocidad es la misma que el error del sistema. Es decir, el error de velocidad no

es en la velocidad, si no en la posicin debido a una entrada rampa.

El error en estado estacionario ess para la entrada rampa unitaria se

puede resumir como sigue:

Para un sistema tipo 0:

Para un sistema tipo 1

Para un sistema tipo 2 o superior.

El anlisis anterior indica que un sistema tipo 0 es incapaz de a tender

una entrada rampa en estado estacionario. El sistema tipo 1 con retroalimentacin

)()(

1lim

1

)()(1lim

020 sHssGssHsG

se

ssss

)()(lim0

sHssGKs

V

Ves

Ke

1

Ves

ba

sV

Ke

sTsT

sTsTsKK

10

)1)(1(

)1)(1(lim

210

KKeK

sTsTs

sTsTsKK

Ves

ba

sV

11

)1)(1(

)1)(1(lim

210

01

)1)(1(

)1)(1(lim

210

VesN

ba

sV

Ke

sTsTs

sTsTKK


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unitaria puede seguir la entrada rampa con error finito. El estado estacionario, la

velocidad de salida es exactamente igual a la velocidad de entrada, pero hay un

error de posicin. Este error es proporcional a la velocidad de entrada e

inversamente proporcional a la ganancia k.

Constante ka de error esttico de aceleracin. El error en estado estacionario

del sistema con una entrada parablica unitaria (entrada aceleracin), que esta

definida por. : formulas

La constante ka de error esttico de aceleracin est definida por la ecuacin:

Entonces el error en estado estacionario es:

Ntese que el error de aceleracin, que es el error en estado

estacionario causado por una entrada parablica, es un error en posicin.

Los valores ka se obtienen como siguen, de tipo:


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6.1.2 ERROR DINMICO:

Es la diferencia entre las seales de entrada y salida durante el

perodo transitorio, es decir el tiempo que tarda la seal de respuesta en

establecerse.

En la respuesta de un sistema a una seal de entrada, se puede

distinguir entre dos etapas o fases: la transitoria y la estacionaria. La primera es la

que media desde que se aplica la entrada hasta que la salida abarca su valor final,

mientras que la segunda se cuenta a partir de dicho momento. Cuando se habla

de error dinmico suele sobreentenderse en la fase estacionaria, pero antes de

medir la salida hay que asegurarse de que a acabado la fase transitoria.

El error dinmico depende de la forma concreta de la entrada

aplicada, si bien en el acondicionamiento de seal suelen considerarse entradas

senoidales. No hay que olvidar entonces que la funcin de transferencia no recoge

la respuesta transitoria a dichas entradas.

Cuando la operacin realizada es lineal los errores se pueden dividir

en aditivos y multiplicativos, aparte del posible error de linealidad. Por ejemplo el

ruido de un amplificador es una fuente de error aditivo tpica, mientras que la

limitacin del ancho de banda produce un error multiplicativo. El error total puede

expresarse tambin como error absoluto o como error relativo.

La respuesta de un sistema en rgimen transitorio se analizar al

final de este captulo; por ahora slo diremos que para estudiar este tipo de


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respuesta se utilizan seales de prueba, el siguiente cuadro muestra las

transformadas de Laplace de las mismas:

El siguiente grafico muestra la respuesta de un sistema ante una

entrada escaln y el error as generado:

Caractersticas de un instrumento de medida

DINMICAS

Los instrumentos de medida, como todos los sistemas, tienen un

comportamiento dinmico que puede evaluarse en trminos de tiempo de


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respuesta, tiempo de subida, constante de tiempo, factor de amortiguamiento,

frecuencia natural, respuesta en frecuencia.

6.2 SENSIBILIDAD

Propiedad de los sistemas con posibilidad de alterar la sensibilidad de

toda la funcin de transferencia variando parmetros especficos del sistema. Si la

variable transformada S se fija a cero, la funcin de transferencia Y/R describe

entonces la razn de transferencia que es aplicable bajo condiciones del

controlador esttico y la planta son finitas, entonces

Y si K1K2H>>1, entonces

Por lo tanto con una ganancia de lazo grande, toda la funcin de

transferencia es sensible a variaciones en el factor de ganancia de la

realimentacin, pero relativamente insensible a variaciones en las funciones de

transferencia que describen la ganancia del camino directo. Normalmente los

componentes de la planta incluyen actuadores y otros elementos que deben

proporcionar una elevada ganancia en potencia y las caractersticas de la

sensibilidad estn a menudo en conflicto con otras variaciones. Sin embargo, la


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ganancia de realimentacin esta generada por dispositivos de monitorizacin de

baja potencia, que generalmente son susceptibles a tcnicas de diseo que

proporcionan un comportamiento casi invariante. Por lo tanto, la transferencia de

sensibilidad desde los parmetros del camino directo al camino de realimentacin

es un intercambio deseable. Para un anlisis ms preciso se introduce una

expresin que se puede utilizar para calcular la sensibilidad. La sensibilidad S de

una funcin de transferencia T a variaciones de los parmetros (designados por

a) es

La expresin describe la variacin normalizada en T (debido a un

cambio en a) debido por el cambio normalizado en a. Dada una expresin

matemtica que relacione a con T, normalmente es de alguna forma ms simple

evaluar el limite cuando a tiende a cero. La expresin de la sensibilidad es

entonces:

Una evaluacin de la sensibilidad con magnitud igual a 1, 0 indica una

correspondencia uno a uno en la variacin normalizada de a y T. Una magnitud

menor que la unidad indica que la variacin normalizada en a esta produciendo

una variacin normalizada menor en T y un nmero real negativo indica que existe

una relacin inversa entre un cambio en a y el correspondiente cambio en T.

Si en el clculo de la sensibilidad se aplica la ec. 7.83 (con T= Y/R) entonces

La sensibilidad a variaciones de K1 es obviamente pequea si la

ganancia del lazo es grande. Si se determina la sensibilidad con respecto a K2, el

resultado final no vara. Si se considera la sensibilidad con respecto a las

variaciones de H, entonces


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Si la ganancia de lazo es grande, la sensibilidad de T con respecto a

las variaciones en H es aproximadamente igual a 1. L a aparicin del signo

negativo se debe a la relacin inversa entre T y H.

En el ejemplo de la fig. 7.33 representa la situacin esttica, pero el

concepto bsico se puede extender a situaciones dinmicas considerando la

sensibilidad como funcin de la frecuencia. Hay dos tcnicas ligeramente

diferentes que se pueden aplicar a este proceso. Una opcin consiste en sustituir s

por j en la funcin de transferencia y despus formular las expresiones para la

magnitud, M () y la fase, (). Ambas son funciones reales y la sensibilidad de la

ganancia ( desplazamiento de fase) frente a variaciones de los parmetros del

sistema se puede calcular como funcin .

Otra tcnica consiste en aplicar el clculo de la sensibilidad

directamente a la funcin de transferencia (sin convertir a una funcin de magnitud

o fase). L diferenciacin se hace con respecto a un parmetro del sistema, pero la

presencia de una variable de frecuencia compleja j produce una funcin de

sensibilidad que es compleja. L a variacin de la magnitud y del ngulo se ven

reflejadas en la magnitud de la funcin sensibilidad y el resultado normalmente se

presenta dibujando la magnitud de la sensibilidad frente a la frecuencia.

L a segunda tcnicas relativamente directa y se puede demostrar

considerando un ejemplo que utiliza el


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Y la magnitud de la sensibilidad es

Este resultado se presenta en la fig. 7.35 y las curvas adicionales que

muestran la magnitud de la ganancia en lazo abierto y en lazo cerrado se presenta

en la fig. 7.36. Puesto que la funcin de la magnitud de la ganancia en lazo abierto

es muy elevada en el rango de frecuencia 0 y 1 rad/s, la sensibilidad de

variaciones K0 es muy baja en este rango. La presencia de un integrador en el

camino directo produce ganancia infinita en igual a cero. Por lo tanto, la

sensibilidad de variaciones de K0 es cero bajo condiciones de estado estacionario

con una entrada constante. Si se aplica una entrada escaln a este sistema, el

valor de T bajo condiciones de estado estacionario es insensible a variaciones de

K0.

Criterios de comportamiento y algunos ejemplos de realimentacin,


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La alta sensibilidad que se produce cerca de = 3,12 es una

consecuencia de introducir un valor de K0 que produce un coeficiente de

amortiguamiento muy bajo. Una sensibilidad que es mayor que 1, 0 es un

fenmeno que normalmente est asociado con la realimentacin positiva. En esta

situacin se representa un pico tanto en sensibilidad como en ganancia en lazo

cerrado por que el coeficiente de amortiguamiento es pequeo. Si se introduce

una entrada escaln la salida incluir una componente oscilatoria amortiguada

que produce aproximadamente un 60% de sobre elongacin y presenta una

variacin de frecuencia aproximada de 3,12 rad/s. la magnitud de la respuesta

transitoria ser altamente sensible a variaciones en el factor de ganancia del lazo.

Sin embargo, los sntomas de una situacin inferior con respecto a la

estabilidad se corrigen fcilmente incrementando el coeficiente de

amortiguamiento a un nivel razonable. Un aumento del coeficiente de

amortiguamiento producir un pico en la funcin de sensibilidad y la funcin de

ganancia del lazo disminuye o desaparece.


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ANEXOS

EJEMPLO DE ERROR ESTTICO

Ejemplo 1

Sea el sistema de control automtico de realimentacin unitaria definido por la

funcin de transferencia:

Determinar

1. El coeficiente esttico de error de posicin Kp el de velocidad Kv y el de

aceleracin Ka as como los errores estticos de posicin essp de velocidad essv de

aceleracin essa.

2. Si el error permitido es essa = 5 seg2 determinar la nueva funcin de

transferencia G`(s) manteniendo los polos del origen -1

Solucin

1. Determinacin de KP Y essp.

El coeficiente de esttico de error de posicin Kp es:

El error esttico de posicin es:

En la siguiente figura se muestra la grafica y se observa como el error esttico de

posicin vale cero.


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El error esttico de aceleracin es:

Ejemplo 2


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EJEMPLO DE ERROR DINMICO


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CONCLUSIONES

Se utilizan distintos criterios para proporcionar medidas del comportamiento

del sistema el criterio de comportamiento incluye medidas del

comportamiento transitorio (tanto en respuesta relativa como en respuesta

temporal); selectividad espectral; error en estado estacionario; rechazo a

perturbacin y sensibilidad de la funcin de transferencia a variaciones de

los parmetros del sistema.

Un error dinmico afecta a las seales rpidas, y es una consecuencia de la

presencia de elementos que almacenan energa. Dado que en la respuesta

dinmica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuesta

estacionaria, se habla de error dinmico transitorio y error dinmico

estacionario.

El error dinmico de un sistema depende de su orden y de la forma de la

seal de entrada. Las seales consideradas habitualmente son el escaln,

la rampa y las senoidales.

Los sistemas de orden cero no tienen error dinmico. Los sistemas de

primer y de segundo orden tienen un error dinmico para las entradas en

rampa y senoidales, incluso en rgimen estacionario, y tienen un error

dinmico para las entradas en escaln slo durante la fase transitoria.

En los sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto ms cuanto

menor sea el amortiguamiento. El error dinmico para entradas senoidales

incluye un retardo y un error de amplitud, pero normalmente al hablar de

error dinmico se suele sobrentender el error de amplitud.


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BIBLIOGRAFA

Control de Sistemas Dinmicos: - "Sistemas Automticos ", Martnez Iranzo y otros, Valencia Universidad Politcnica de Valencia 2000 - "Ingeniera de control moderna",Ogata, Katsuhiko, " Prentice-Hall D.L. 2003 - "Sistemas de control automticos de control", Kuo, Benjamin C., Mxico [etc.]

Prentice Hall cop.1996 - "Apuntes de sistemas de control", eco Garca, R. P., Club Universitario 2003 - "Problemas de ingeniera de control utilizando MATLAB", Ogata, Katsuhiko,

Madrid Prentice-Hall cop.1999 - "Control de sistemas continuos problemas resueltos", Barrientos, Antonio, Madrid McGraw-Hill cop.1996 11v

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