Trabajo Final Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Seminario de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Facundo Ramn

RESUMEN

Resolucin de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden por mtodo de Runge Kutta de 4to orden con Software MatLab R2010a

Universidad Nacional de Tres de Febrero Ingeniera de Sonido

2do Cuatrimestre 2011

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Objetivo El objetivo del trabajo es obtener el valor de las funciones !!(!) e !!(!) en ! = 0.5 partiendo del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con valores iniciales. !!! !!" = 20!! + 10!! + 100!!! !!" = 10!! 20!! !! 0 = !! 0 = 0 (1) Que responde al comportamiento de la corriente del siguiente circuito.

E=100[v], R=10[] y L=1[h]. Desarrollo del cdigo Se utliz el mtodo Runge Kutta de 4to orden. Primero se realiz un cdigo simple con un nico loop for que resuelve el sistema y luego se lo compar con la funcin ODE45 de la librera de MatLab. El primer cdigo define en la variable h el paso de la discretizacin, y luego define el valor inicial de los vectores i1 e i3 segn la informacin del enunciado. Los vectores i1 e i3 sern los valores de la corriente en funcin del tiempo al finalizar el algoritmo. Posteriormente, ingresa en un loop for en el que se calculan los k1, k2, k3 y k4 de las funciones i1 e i3, y se obtiene el siguiente valor de i1 e i3, habiendo dado saltos definidos por h. De esta manera, a medida que el loop for avanza se generan los vectores i1 e i3 que contienen, en la posicin 0.5/h, el valor de !!(!) e !!(!) en ! = 0.5 segundos. El segundo cdigo precisa la generacin de una funcin, en este caso llamada fun, en la cual se declaran el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y los valores iniciales del problema y, por medio de la funcin ODE45, se obtienen los vectores deseados. En ambos casos se grafica la solucin. Se eligi un intervalo de resolucin de 0 a 1 segundo en ambos casos. Y por ltimo, se solicita el valor de las funciones funciones !!(!) e !!(!) en ! = 0.5 para comprar los resultados entre ambos mtodos.

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Cdigos y resultados

Cdigo 1 %% Runge Kutta de Orden 4 h=0.01; %Paso i1(1)=0; %Condicin inicial para i1 i3(1)=0; %Condicin inicial para i2 %Generacin de los vectores i1 e i3 for i=1:1/h k11=-20*i1(i)+10*i3(i)+100; k31=10*i1(i)-20*i3(i); k12=-20*(i1(i)+1/2*k11*h)+10*(i3(i)+1/2*k31*h)+100; k32=10*(i1(i)+1/2*k11*h)-20*(i3(i)+1/2*k31*h); k13=-20*(i1(i)+k12*h)+10*(i3(i)+k32*h)+100; k33=10*(i1(i)+k12*h)-20*(i3(i)+k32*h); k14=-20*(i1(i)+k13*h)+10*(i3(i)+k33*h)+100; k34=10*(i1(i)+k13*h)-20*(i3(i)+k33*h); i1(i+1)=i1(i)+(h/6)*(k11+2*k12+2*k13+k14); i3(i+1)=i3(i)+(h/6)*(k31+2*k32+2*k33+k34); end %Ploteo y=0:h:1; %Vector de referencia plot(y,i1,'b-',y,i3,'r-.') grid %Resultados valor1=i1(0.5/h) valor2=i3(0.5/h) El cdigo entrega los siguientes valores. valor1 = 6.6263 valor2 = 3.2929 Es decir, !! 0.5 = 6.6263 e !! 0.5 = 3.2929. Y se obtiene el siguiente grfico.

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Cdigo 2 %%Funcin para ODE45 function dy=fun(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=-20.*y(1)+10.*y(2)+100; dy(2)=10.*y(1)-20.*y(2); %%Resolucin con funciones de MatLab error=odeset('RelTol',1e-4); [T,Y]=ode45(@fun,[0 1],[0 0],error); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.') grid k=0; for i=1:length(T) if T(i)

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deduce que !! = !,!! !! = 3,33[!]. En 0.5 segundos el circuito prcticamente llega a su estado estacionario y las corrientes se mantienen en esos valores hasta que vare la fuente. Bibliografa MatLab R2010a, Matlab Getting Started Guide, The Mathworks Inc. 2010 Seminario de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Material y apuntes del seminario, UNTREF, Ing. De Sonido 2011 Dennis G. Zill, Ecuacuines diferenciales con aplicaciones de modelado 6ta edicin, Ed. Thomson, 1997 Tabla de contenido

Objetivo .................................................................................................................... 1 Desarrollo del cdigo ................................................................................................. 1 Cdigos y resultados .................................................................................................. 2 Cdigo 1 ....................................................................................................................................................................... 2 Cdigo 2 ....................................................................................................................................................................... 3 Comprobacin analtica ............................................................................................. 3 Bibliografa ................................................................................................................ 4