CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS Fuerza coulombiana

Problema 2.2 Suponga que dentro de el núcleo de un átomo dos protones (q = 1.6021× 10-19 C) se encuentran separados a una distancia de r = 1 × 10-15 m. Calcular fuerza de repulsión entre ambos protones. Investigue por qué si la fuerza de repulsión es tan grande, los protones permanecen fijos en el núcleo y éste no se desintegra por la repulsión coulombiana.

2

'

r

qqFe κ=

229C/Nm1099.8 ×=κ

( ) ( )( )

N75.230m101

C106021.1C/Nm1099.8

215

219

229 =×

××=

−

−

eF

CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS Campo eléctrico El campo eléctrico es la fuerza que sentiría la unidad de carga al ser colocada el algún punto del espacio. Sus unidades son las de fuerza por unidad de carga: N/C. Su símbolo es E. Ejemplo: a) Campo de fuerzas para una carga q’ positiva. Estas fuerzas son las que sentiría una carga de 1 C. b) Campo de fuerzas para una carga q’ negativa.

Una vez creado el concepto de campo eléctrico, podemos calcular la fuerza que sentiría una carga q en cualquier punto del espacio simplemente por la ecuación:

qEF e =

Cuando se tuvieran dos cargas eléctricas de signos diferentes, el campo eléctrico “saldría” siempre hacia fuera de la carga positiva y “entraría” hacia la carga negativa, como puede verse en el diagrama:

Mientras que si las dos cargas tuvieran signo positivo, saldrían de ellas las líneas del campo eléctrico:

CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS Energía potencial De acuerdo con la ley de conservación de la energía, cuando se traslada una carga del punto 1 al punto 2 se realiza un trabajo, w, que es igual a la diferencia de energías potenciales en 1 y 2:

Por convención, V = 0 para los puntos donde no se ejerza atracción o repulsión sobre la carga q, lo cual ocurre si se encuentra a una distancia infinita de cualquier otra carga. EJEMPLO (La energía potencial eléctrica a una distancia r de una carga q’) Escojamos el punto 1 a una distancia infinita de la carga q’ y el punto 2 a una distancia r de la carga q’ y calculemos la energía potencial en el punto 2 como el trabajo (fuerza por distancia) para llevar a la carga q del punto 1 al 2, a través de la variable a, desde infinito hasta r. En este caso la fuerza eléctrica va a representarse como:

wVVV =∆=− 12

2

'

a

qqFe κ=

El trabajo, que es fuerza por distancia sería una suma infinita (integral) de pequeños trabajos, porque la fuerza depende de la distancia y ésta va cambiando conforme se mueve la carga q:

El signo menos de esta expresión proviene de que fuerza y

desplazamiento tienen direcciones opuestas si q y q’ son positivas, pero tienen la misma dirección si tienen cargas opuestas. Esta es la expresión de la energía potencial de una carga q’ a una distancia r de una carga q. Si q’ se tratara de un electrón con carga -e, y q se tratara de Z protones, de carga +e, la energía potencial sería:

Vamos a emplear esta fórmula en lo que sigue.

r

qq

rqq

a

aqqaFw

ra

a

r

e

'1'

d'd

2

κκκ =

−−=−=−= ∫ ∫

=

∞→ ∞

r

qqVw

'2

κ==

( )( )r

Ze

r

eZeV

2. κκ

−=−

=

CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS Campo magnético La electrodinámica estudia las cargas en movimiento. La fuerza que se ejerce sobre dos cargas en movimiento se puede expresar como:

me FFF += donde la fuerza eléctrica depende del campo eléctrico

qEFe = y la fuerza magnética depende de un nuevo campo, llamado magnético, que hace que la carga q sienta una fuerza adicional que depende de la carga misma, de su velocidad y de la magnitud y dirección del campo magnético (θ es el ángulo que forman los vectores v y B):

θsenqvBFm = De aquí que las unidades del campo magnético sean

)tesla(TmA

N

m/sC

NB de Unidades ===

En notación vectorial:

( )BvqFm

rrr×=

Lo que implica que el vector Fm es perpendicular a los vectores v y B

EL DESCUBRIMIENTO DEL ELECTRÓN El electrón lo descubre Joseph John Thomson, en 1897, cuando detecta que los llamados ‘rayos.catódicos’ están compuestos de partículas cargadas con una relación carga/masa = 1.7588 × 1011 C/kg

Los rayos catódicos viajan en línea recta y por ello dan sombras de la forma de los objetos sobre los que golpean. Además, tienen masa, porque hacen girar una rueda de paletas.

Adicionalmente, tienen carga, porque son desviados por campos eléctricos y magnéticos.

Este es el aparato de Thomson con el que obtuvo la relación de la carga entre la masa de “los corpúsculos” constituyentes de los rayos catódicos.

Si sólo el campo eléctrico actúa sobre los electrones, la fuerza eléctrica

eEFe = los desvía hacia arriba, alcanzando el punto a.

Si sólo actuara sobre los electrones el campo magnético, la fuerza magnética

evBFm = los haría moverse hacia abajo en una trayectoria circular (mientras pasan por el campo), alcanzando la pantalla en el punto c. En el movimiento circular, la partícula tendría una aceleración centrípeta, porque la fuerza siempre apunta hacia el centro del círculo:

R

va

2

=

donde R es el radio de curvatura del movimiento circular. Aplicando la segunda ley de Newton, la fuerza magnética debe ser igual a la masa por la aceleración:

R

mvevB

2

=

De donde la relación e/m para estas partículas sería igual a:

BR

v

m

e= …(1)

Desafortunadamente, la velocidad, v, es una variable desconocida. Sin embargo, se puede aplicar ahora el campo eléctrico para que la fuerza eléctrica se iguale a la magnética y el haz de electrones vuelva a caer sobre el punto b de la pantalla. En ese punto:

me FF =

evBeE = De donde podemos despejar a la velocidad en función de variables conocidas:

B

Ev =

Lo que substituido en la ecuación (1), nos lleva a:

RB

E

m

e2

=

Aplicando esta ecuación, J. J. Thomson obtuvo e/m= 1.7588 × 1011 C/kg

DETERMINACIÓN DE LA CARGA DEL ELECTRÓN Fue en el periodo de 1909 a 1913 en el que Robert Millikan hizo la primera determinación directa de la carga del electrón, para la cual encontró e= 1.591 × 10-19 C El valor actualmente aceptado es e = 1.6021 × 10-19 C. Veamos con un problema cómo fue que Millikan determinó la carga del electrón.

Determinación de la carga. Problema 15 págs 135-6

La figura anterior muestra el esquema experimental empleado por Millikan para determinar la carga del electrón. La mayor parte de las gotitas de aceite se ionizan por la fricción al salir del atomizador. En ausencia del campo eléctrico E, el observador puede seguir la caída de una gota con carga q, masa M y radio r. Aunque en principio la gota cae aceleradamente, la fuerza de resistencia del aire, que vale:

F. = 6πηrv (ley de Stokes)

(η es la viscosidad del aire y v la velocidad de caída), crece hasta igualarse con la fuerza de la gravedad:

Fg = Mg

a) Iguale ambas fuerzas y despeje la velocidad final de caída o velocidad terminal. b) ¿Qué unidades tendrá en el SI la viscosidad η? c) Obtenga la masa de la gota esférica como la densidad del aceite por su volumen y sustitúyala en el resultado de a) para obtener

η

ρπρ

9

2;

3

423gr

vr

M =

=

d) Una gota de aceite (ρ = 800 kg/m3) en un aparato de Millikan cae una distancia de 2 mm en 22.7 s en ausencia de campo eléctrico. La viscosidad del aire es 1.7 x 10-5 Ns/m2. Calcule el radio y la masa de la gota. e) Al aplicar un campo eléctrico de 7788 N/C, la gota del inciso anterior permanece quieta al igualarse las fuerzas eléctrica y gravitacional. Calcule la carga que porta la gota. f) ¿Cuántas veces supera q a la carga del electrón, e?

RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA Fue James Clerk Maxwell quien en 1864 halló una teoría dinámica del campo electromagnético. Sus ecuaciones predecían la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz (3 × 108 m/s). Esas ondas fueron observadas 23 años más tarde por Heinrich Hertz, pero: ¿Qué es una onda electromagnética? En toda onda:

1) Se propaga energía a puntos distantes 2) La perturbación viaja a través del medio sin desplazarlo como un

todo. En un estanque lo que se perturba es la altura del mismo o en una cuerda vibrante es la amplitud de la vibración, en el sonido es la presión del aire que llega al tímpano. Pero ¿Cuál es la perturbación en una onda electromagnética? SE TRATA DE UN CAMPO ELÉCTRICO Y UN CAMPO MAGNÉTICOS OSCILANTES QUE VIAJAN EN UNA DIRECCIÓN Al tiempo t=0 si se el campo eléctrico E es, por ejemplo, una sinusoide con longitud de onda λ

Cuya ecuación es:

xsenAxEλ

π2)0,( = (1)

Donde A es la máxima amplitud de la onda.

Pero esta onda se mueve conforme transcurre el tiempo, con una velocidad c:

y ahora X es la variable que mide la onda desde el origen desplazado, o sea que la ecuación de la nueva onda, al tiempo t, es:

XsenAtxEλ

π2),( =

pero como

ctxX −= podemos escribir la ecuación anterior en términos de x, como

)(2

),( ctxsenAtxE −=λ

π

que es la ecuación de nuestra onda eléctrica (todavía no es magnética porque todo lo que viaja es una perturbación eléctrica, representada por el campo E). Para que sea electromagnética deben desplazarse dos campos, uno eléctrico y uno magnético (curiosamente perpendicular el uno ante el otro) como se dan en la figura:

La onda eléctrica anterior va a perturbar a una carga eléctrica que se encuentre en su camino, haciéndola oscilar:

Las ondas electromagnéticas tienen longitud de onda y frecuencia. La λ es la distancia entre dos oscilaciones máximas y la υ es el número de ondas que pasan en un segundo por un punto dado. Ambas variables están relacionadas por la expresión:

c=λν Esta relación viene de que la longitud de una onda multiplicada por el número de ellas que viajan por segundo nos da la distancia total viajada en un segundo, o sea, la velocidad. La totalidad de las ondas electromagnéticas se acostumbra representar en un diagrama llamado “Espectro electromagnético”, que incluye su longitud de onda, su frecuencia o ambos parámetros:

ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

Los límites entre cada uno de los tipos de onda, como se acostumbra clasificarlos, vienen dados a continuación: Ondas de radio frecuencia: λ desde varios km hasta 0.3 m

Microondas: λ desde 0.3 m hasta 1 × 10-3 m

Infrarrojo: λ desde 1 × 10-3 m hasta 7.8 × 10-7 m

Visible: λ desde 7.8 × 10-7 m hasta 3.8 × 10-7 m

Ultravioleta: λ desde 3.8 × 10-7 m hasta 1 × 10-9 m

Rayos X: λ desde 1 × 10-9 m hasta ≈ 6 × 10-12 m

Rayos γ: λ menores que las de los rayos X, pero se acostumbra superponer ambas radiaciones

En particular, las longitudes de onda en el visible corresponden a diferentes colores, de acuerdo con la siguiente tabla.

TRANSFERENCIA DE ENERGÍA A TRAVÉS DE LA RADIACIÓN DE UN CUERPO CALIENTE El calor puede transmitirse por conducción, convección y radiación. Este último mecanismo se da porque los cuerpos calientes alcanzan a emitir y a recibir radiación electromagnética de sus alrededores:

Este fenómeno fue estudiado durante el siglo XIX por varios investigadores, entre ellos Gustav Robert Kirchhoff, quien en 1860 obtuvo una relación entre la energía absorbida y emitida por los cuerpos: El cociente entre Eλ y aλ resulta ser una función J que solamente depende de la longitud de onda y de la temperatura en el equilibrio, pero para nada del material que emite y absorbe la radiación.

( )TJa

E,λ

λ

λ =

Eλ es la energía radiada por el cuerpo por unidad de área, tiempo y unidad de intervalo de λ aλ es la fracción de la energía radiante absorbida por el cuerpo, siendo 1-aλ la fracción que resulta reflejada. Según Kirchhoff:

Hallar la función J(λ ,T) es una tarea sumamente importante. Se prevén grandes dificultades para su determinación experimental. Pero existen razones para esperarla, ya que sin duda debe tener una forma simple como la de todas las funciones que no dependen de las propiedades específicas de cada cuerpo.

Para evitar el cálculo de Eλ y aλ Kirchhoff sugirió trabajar con un cuerpo negro (para el cual aλ =1) y posteriormente con una cavidad, que es similar a un cuerpo negro.

Pasaron casi 20 años después de la aportación de Kirchhoff para que pudiera medirse la Jtotal, que es una integración para toda lambda, con la medida que realizó Josef Stefan en 1879 del calor total emitido por el cuerpo caliente en todas las longitudes de onda del espectro. ¡Stefan encontró que Jtotal era proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta!

Jtotal = σT4 Posteriormente, fue Wilhelm Wein quien logró gráficas enteras de J(λ ,T), como las de la figura (no tenía datos tomados a muy altas T ni λ).

Osado, en 1897, Wien propuso la siguiente ecuación como la que seguían sus datos,:

T

c

W

e

cE

λ

λ λ2

15

1

−=

En junio de 1900, como producto de un trabajo teórico impecable desde el punto de vista clásico, luego confirmado por James H. Jeans como aplicable solamente a un cuerpo negro, lord Rayleigh obtiene la siguiente Eλ :

48

−= λπλ kTERJ

Esta función es conocida como “la catástrofe del ultravioleta”, porque a longitudes de onda pequeñas crece indefinidamente. es decir, no sigue la curva de la distribución obtenida por Wien, con un máximo. La curva de Rayleigh-Jeans, sin embargo parece que se acerca a los datos experimentales obtenidos a grandes longitudes de onda. Max Planck, en 0ctubre de 1900 obtiene una nueva ecuación que solamente difiere por un 1 en el denominador con relación a la propuesta por Wein. Con ello logra aproximarse a la función de Rayleigh-Jeans a λ larga:

1

1

2

5

1

−

= −

T

c

P

e

cE

λ

λ λ

Los resultados experimentales obtenidos en 1900 por Lummer y Pringsheim; así como por Rubens y Karlbaum (los cuatro trabajaban en el mismo Instituto Keiser Guillermo donde laboraba Planck) confirmaron que la ecuación más apropiada era la de Max Planck.

Gráficas de las tres funciones

Con una escala semilogarítmica puede observarse mejor cómo la función de Planck se aproxima a la de Rayleigh y Jeans

En diciembre de 1900 Planck encuentra la razón por la que su ecuación es la más afortunada. al desarrollar una teoría por la que alcanza la ecuación definitiva:

−

=

1

185

2

kT

hc

P

e

hcE

λ

λλ

π

Planck ha supuesto dentro de su teoría que la energía que llega o sale del cuerpo negro lo hace en forma cuantizada, es decir, que sólo se absorben o emiten paquetes de energía, de magnitud

νε h= el valor de h obtenido por Planck era muy pequeño: h = 6.55 ×10-34 J s El valor actual de la llamada ‘constante de Planck’ es: h = 6.6262 ×10-34 J s Esos paquetes o cuantos de energía dieron su nombre a la “teoría cuántica”. Estos resultados sorprendieron a los científicos (y a Planck) porque todo el mundo esperaba que la energía pudiera transferirse de una forma continua entre la materia y la radiación; y no de una manera discontinua (por paquetes). xx