8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

DISTRIBUCIÓNS CONTINUAS.DISTRIBUCIÓN NORMAL.

UNIDADE 8UNIDADE 8


1. 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.

Función de densidade.Distribución normal.Variable aleatoria da distribución normal.Función de densidade dunha normal.Distribución normal estándar.Tipificación da variable.Aproximación da binomial pola normal.


1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade 1. Idea intuitiva de distribución de probabilidade continua.continua.

Lembremos primeiro que é unha variable aleatoria continua:

Variable aleatoria: Chámase variable aleatoria a toda lei (función) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un número real.

Variable aleatoria continua: O percorrido, ao menos teórico, está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios.



EXEMPLO 1:

Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao azar un neno de 6 anos da poboación galega” e a cada posible resultado asociámoslle un número real que é a súa altura .

X=“altura do neno” é unha variable aleatoria continua pois os seus posibles resultados son números reais pertencentes a un intervalo.



Exemplo 2:

Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao azar un estudante que no curso 2008-2009 se presentou á proba de selectividade” e a cada posible resultado asociámoslle un número real que é a nota media obtida na proba .

X=“nota media de selectividade” é unha variable aleatoria continua pois os seus posibles resultados son números reais pertencentes a un intervalo.



1

p1

p2

.

.

.pn

x1

x2

.

.

.xn

pi=p(X=xi)X A variable aleatoria continua ten unha probabilidade cero de tomar exactamente calquera dos seus valores.

En consecuencia, a súa distribución de probabilidade non se pode dar de forma similar a unha variable aleatoria discreta onde definiamos a función de probabilidade mediante unha táboa coma esta ===



As distribucións de probabilidade son idealizacións dos polígonos de frecuencias. No caso dunha variable estatística continua consideramos o histograma de frecuencias relativas (ou máis exactamente o histograma das densidades das frecuencias relativas), e compróbase que ao aumentar o número de datos e o número de clases o histograma tende a estabilizarse chegando a converterse o seu perfil na gráfica dunha función.



Exemplo : (obtido de distintas páxinas de internet como http://www.tuveras.com/estadistica/normal/normal.htm ou http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidad-continua/probabilidad-continua.shtml)

Rexistráronse os tempos que tardou unha empresa de mensaxería en entregar 190 paquetes con destinatarios diferentes dentro dunha mesma cidade.

Os datos agrupáronse considerando intervalos de cinco días, para posteriormente reducir a amplitude dos intervalos, tomando unha amplitude de tres días por intervalo, a continuación de dous días e finalmente dun día.

O que interesa ao futuro cliente é a probabilidade de que se faga unha entrega nun certo tempo, polo que habería que considerar as frecuencias relativas, obtendo as seguintes táboas.

http://www.tuveras.com/estadistica/normal/normal.htm



Intervalos de dous días

Intervalos de un día



Debuxamos os histogramas e os polígonos de frecuencias correspondentes para poder ver como se aproximan, se é que ocorre, a unha curva continua.

As barras rosas (e a liña vermella) corresponden aos intervalos de cinco días; as barras e liña azuis, aos intervalos de tres días; as barras e liña amarelasamarelas, aos intervalos de dous díasdous días; e as barras e liña verdes, aos intervalos dun día.

Pódese ver que as barras das frecuencias relativas "achapárranse" e as liñas están tan separadas do lado esquerdo (neste caso) que non se pode falar dunha aproximación continua a unha soa liña



intervalo do lonxituderelativa frecuenciaintervalo do densidade =

Unha posible solución é utilizar a densidade do intervalo, que se vai definir como o cociente da frecuencia relativa entre a amplitude do intervalo:

Deste xeito, ás distribucións de frecuencias anteriores pódeselles engadir a columna correspondente á densidade:



densidadfrec.rel.

frecIntervalo

0.0130.06312[15,20)

0.0110.05310[20,25)

0.0050.0265[25,30)

0.0180.08917[10,15)

0.0330.16331[5,10)

0.1210.605115[0,5)

densidadfrec.rel.frecIntervalo

0.0050.0163[27,30)

0.0070.0214[24,27)0.0110.0326[21,24)0.0110.0326[18,21)0.0140.0428[15,18)

0.0160.0479[12,15)0.0230.06813[9,12)0.0320.09518[6,9)0.0530.15830[3,6)

0.1630.48993[0,3)

Intervalos de 5 diasIntervalos de 3 dias

Intervalos de 2 días



0.0050.0051[29,30)

0.0050.0051[28,29)

0.0050.0051[27,28)

0.0050.0051[26,27)

0.0050.0051[25,26)

0.0110.0112[24,25)

0.0110.0112[23,24)

0.0110.0112[22,23)

0.0110.0112[21,22)

0.0110.0112[20,21)

densidadFrec. Rel.frecIntervalo

Intervalos de un día



Debuxamos os histogramas e polígonos de frecuencias correspondentes. As barras rosas, e a liña vermella, corresponden aos intervalos de cinco días; as barras e liña

verdes, aos intervalos de tres días; as barras e liña amarelasamarelas, aos intervalos de dous díasdous días; e as barras e liña azuis, aos intervalos dun día.

Observamos que coa densidade se se aproximan os histogramas a unha liña continua (a mellor aproximación presentada é a liña azul) cando os intervalos se reducen continuamente.

O resultado é unha liña continua que é a gráfica dunha certa función denominada función de densidade da distribución probabilística.



Agora, considerando a maneira na que se definiu a densidade dun intervalo como:

e lembrando que a frecuencia relativa se pode identificar coa probabilidade dun suceso (no exemplo da mensaxería sería a probabilidade de entregar un paquete dentro dun intervalo dado de tempo):

Entón, despexando no primeiro cociente a frecuencia relativa e igualando con esta segunda expresión obtemos que

probabilidade do suceso = (densidade do intervalo)· (lonxitude do intervalo)

intervalo do lonxituderelativa frecuenciaintervalo do densidade =

suceso do adeprobabiliddatos de total nº

absoluta frecuenciarelativa frecuencia ==



É dicir, que a probabilidade de que ocorra un suceso corresponde á área das barras do histograma construído tendo en conta a densidade dos intervalos; e que cando tales intervalos teñen unha amplitude que tende a cero, e a gráfica convértese na curva continua da función de densidade, entón a probabilidade de que un suceso ocorra nun intervalo (a,b) é a área baixo a curva da función nese intervalo:



E, polo tanto, o cálculo de tal probabilidade realízase utilizando cálculo integral:

onde f(x) é a función de densidade da probabilidade correspondente.

No caso das variables continuas só se pode calcular a probabilidade de que un suceso caia dentro dun intervalo, debido a que a exactitude dos instrumentos de medición sempre é relativa e está moi lonxe da "exactitude" dos cálculos matemáticos. Por isto, a probabilidade de que a variable aleatoria tome un valor exacto é nula:

Isto pódese explicar do seguinte xeito: se, como xa dixemos, a probabilidade (frecuencia relativa) é igual á densidade do intervalo pola amplitude do intervalo, entón non importa o grande que sexa a densidade de tal intervalo porque, como xa tamén se dixo, por ser variable continua a amplitude do intervalo tende a cero e, polo tanto, a probabilidade é igual a cero.

( ) ( )( ) ( )∫=∈=<<b

adxxfbaXpbXap ,

( ) 0)( === ∫a

adxxfaXp



Outros exemplos:

Nas seguintes páxinas web atopamos aplicacións que nos amosan con exemplos como pasamos do histograma de frecuencias relativas á gráfica dunha función que chamaremos función de probabilidade ou función de densidade.

http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/WebQuestyProyectos/BinomialNormal/VariablesAleatoriasDescartes/Variablecontinua.htm

http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/variablesestadisticas/archivos/continua.htm



















2. Función de densidade,función de 2. Función de densidade,función de distribución,media,varianza e desviación típicadistribución,media,varianza e desviación típica

Unha función y=f(x) é función de densidade dunha variable aleatoria continua X se:

f(x) é non negativa en todo o seu dominio.

A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores nun intervalo [a,b] é a área baixo a curva correspondente a ese intervalo.

A área total baixo a curva vale 1.



Sexa X unha variable aleatoria continua e f a súa función de densidade.

Defínese función de distribución F de X de xeito similar a como se facía en variables aleatorias discretas.

Chámase función de distribución de X á función definida por:

F(x)=área comprendida pola función de densidade, o eixe OX e a recta t=x

( ) ( ) ( )∫ ∞−=≤=

xdttfxXpxF


Media ou esperanza dunha variable aleatoria continua. Sexa X unha variable aleatoria continua que ten por percorrido o intervalo [a,b] e sexa f(x) a súa función de densidade, defínese media ou esperanza da variable aleatoria continua X como:

Varianza dunha variable aleatoria continua. Nas mesmas condicións definimos varianza da variable aleatoria continua X como:

Desviación típica dunha variable aleatoria continua.


( )∫ ⋅=b

adxxfxµ

( ) ( )dxxfxb

a⋅−= ∫

22 µσ

2σσ =



( )

≤≤

=restono

xsexxf

0

102

Exemplo: A función de densidade dunha variable aleatoria continua ven definida por:

•Representa dita función e comproba que se trata dunha función de densidade.•Calcula a función de distribución da variable aleatoria continua F(x) e represéntaa.•Calcula esperanza, varianza e desviación típica.



Representa dita función e comproba que se trata dunha función de densidade. f(x) é unha función de densidade pois:

Todas as súas imaxes son positivas ou 0. Toda a gráfica está no eixe OX ou por enriba del.

A área encerrada pola gráfica e o eixe OX é: Área do triángulo=(base . altura)/2=(1 . 2)/2=1



f(x)=0

f(x)=2x

Relleno 2

f(x)=0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

x

y

f(x)



Calcula a función de distribución da variable aleatoria continua F(x) e represéntaa. Se x<0 Se 0≤x≤1

Se x>1

( ) ( ) ( )∫ ∫∞− ∞−=⋅==≤=

x xdtdttfxXpxF 00

( ) ( )

2

0

2

0

0

0

0

2

20

20)()()(

xt

dttdtdttfdttfdttfxXpxF

x

x x x

=

+=

=⋅+⋅=+==≤= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∞− ∞− ∞−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] 1000201

02

1

1

0

0

1

1

0

0

=++=⋅+⋅+⋅=

=++==≤=

∫∫∫∫ ∫∫∫

∞−

∞− ∞−

tdtdttdt

dttfdttfdttfdttfxXpxF

x

x x



f(x)=0

f(x)=x^2

f(x)=1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

x

y

( )

>

≤≤

<

=

11

10

00

2

xse

xsex

xse

xF



Calcula esperanza, varianza e desviación típica.

003,018

1

18

1

9

4

2

1

9

4

9

8

2

1

18

8

9

8

4

2

18

8

9

8

4

2

9

8

3

822

3

2

3

2

3

222

1

0

1

0

23423

21

0

2

1

0

31

0

21

0

==

=−=+−=+−=

=

+−=⋅

+−=⋅⋅

−=

=

=⋅=⋅⋅=

∫∫

∫∫

σ

σ

µ

xxxdxxxxdxxx

xdxxdxxx


3. Distribución normal.3. Distribución normal.

Experimento de Galton. Unha primeira aproximación á distribución normal pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce) no que experimentalmente obtiña a curva da distribución normal.Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos distribuídos

regularmente. Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas

procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar.As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no borde

inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da distribución normal.

Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/quincunce.html



Existen unha grande cantidade de fenómenos naturais, como talle e peso dunha persoa, frecuencia cardíaca, altura dunha árbore de certa especie... que presentan unhas características comúns. Os resultados concéntranse ao redor dunha media, e os escasos valores afastados dela fano simetricamente a un e outro lado desa media.

Os histogramas e polígonos de frecuencias correspondentes a ditos fenómenos cando o número de datos é alto e os intervalos son moi pequenos seméllanse á curva obtida mediante o experimento de Galton.



Exemplo (obtido da páxina http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.asp)

1ª Figura - Valores de tensión arterial sistólica nunha mostra de 1000 pacientes isquémicos ingresados en UCI. 2ª Figura - Valores de tensión arterial sistólica dunha mostra de 5000 pacientes ingresados en UCI.

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.asp



Podemos ver como os polígonos de frecuencias deste exemplo aseméllanse á seguinte curva chamada curva ou campá de Gauss:



A distribución normal chámase así porque durante moito tempo se pensou que ese era o comportamento normal de todos os fenómenos.

Os exemplos empregados para explicar a idea intuitiva de distribución de probabilidade continua deixan constancia de que isto non é certo.


4. Variable aleatoria da distribución normal.4. Variable aleatoria da distribución normal.

Dise que unha variable aleatoria X segue unha distribución normal de media μ e desviación típica σ e desígnase por N(μ,σ) se se cumpren as seguintes condicións :

•A variable percorre toda a recta real, é dicir, de -∞ a +∞.•A súa función de densidade é a expresión en forma de ecuación matemática da curva de Gauss:

onde: e=2,7182… π=3,1415… μ=media da variable aleatoria X σ=desviación típica da variable aleatoria X

Os valores μ e σ son denominados parámetros da distribución normal.

( )2

2

1

2

1

−⋅−

⋅⋅

= σµ

πσ

x

exf



Na seguinte aplicación podemos observar cal sería a forma da función de densidade da distribución normal dependendo dos seus parámetros μ e σ.


Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade Exemplos doutros tipos de distribucións de probabilidade continua que aparecen en numerosas ocasiónscontinua que aparecen en numerosas ocasións

Distribución uniforme continua A función de densidade da distribución uniforme continua é:


Distribución exponencial: A distribución exponencial é unha distribución de probabilidade continua con un parámetro λ > 0 cuxa función de densidade é:




Distribución gamma. En estatística a distribución gamma é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros k e λ cuxa función de densidade para valores x > 0 é

Aquí e é o número e e Γ é a función gamma. Para valores enteiros a función gamma queda como Γ(k) = (k − 1)! (sendo ! a función factorial).



Distribución Pareto. En estatística a distribución Pareto, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros a e b cuxa función de densidade para valores é:



A distribución χ² (de Pearson) En estatística, a distribución χ² (de Pearson) é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro k que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

onde Zi son variables de distribución normal, de media cero e varianza un. O que a variable aleatoria X teña esta distribución represéntase habitualmente así: .



A distribución t de Student A distribución t de Student é a

distribución de probabilidade do cociente

onde Z ten unha distribución normal

de media nula e varianza 1 V ten unha distribución chi-

cadrado con ν graos de liberdade Z e V son independentes


Propiedades da función de densidade dunha distribución normal.

Dom f=(-∞,+ ∞)Simetrías: A función é simétrica respecto á recta x=μ.Puntos de corte cos eixes:

Co eixe OYCo eixe OX non ten puntos de corte.

Asíntotas: Ten unha asíntota horizontal x=0.Crecemento e decrecemento: f crece ata x= μ e decrece a partir

de x= μ.Máximos e mínimos: f ten un máximo absoluto en x= μ .Puntos de inflexión:Ten dous puntos de inflexión en x= μ-σ e

x= μ+ σ.Área encerrada baixo a curva =1

5. Función de densidade dunha distribución 5. Función de densidade dunha distribución normal.normal.

−2

2

2

2

1,0 σ

µ

πσe


f(x)=1/(1*sqr(2*pi))*e^(-0.5*((x-3)/1)^2)

Relleno 1

x(t)=3 , y(t)=t

Serie 1

Serie 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

x

y

μ=3

N(3,1)

Domf=(-∞,+∞)f é simétrica respecto a x=3Punto de corte (0, 0.0003 )f é crecente en (-∞,3) e é decrecente en (3, +∞)f ten un máximo absoluto en (3, 0.0254)f ten dous puntos de inflexión (2, 0.0154 ) e (4, 0.0154 )Área encerrada baixo a gráfica=1

punto de corte co eixe OY

pto de inflexión

Máximo absoluto

pto de inflexión

5. Función de densidade dunha distribución 5. Función de densidade dunha distribución normal.normal.

Exemplo: Distribución normal N(3,1)


6. Distribución normal estándar.6. Distribución normal estándar.

É fácil comprender que para cada parella de valores μ e σ a distribución N(μ, σ) terá unha función de densidade distinta. Temos unha familia de distribucións normais.

De entre todas elas, ten especial interese a distribución N(0, 1) na que a media vale cero (μ=0) e a desviación típica vale a unidade (σ=1). Esta distribución chámase distribución normal estándar e ten por función de densidade :

2

2

2

1)(

x

exf−

⋅=π


Se X é unha variable aleatoria continua que segue unha distribución normal estándar (N(0,1)) a súa función de distribución será:

= Área comprendida pola gráfica da función de densidade f, o eixe de abscisas e a recta t=x A función de distribución dunha variable normal estándar está tabulada.


( ) ( ) ∫ ∞−==≤=

xdttfxXpxF )(



f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=0.7 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x

F(x)=p(X ≤ x)==Área comprendida pola gráfica de f, o eixe de abscisas e a recta t=x


1.1. Distribución normal estándar.Distribución normal estándar.



Manexo de táboas:

Problema directo:

Caso 1: p(X≤x) sendo x positivo

Exemplo: p(X≤1,65)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=1,65



Solución: Como 1.65 é 1.6+0.05 a intersección da fila 1.6 coa columna 0.05 dános o resultado buscado que é 0.9505



Caso 2: p(X≥x) sendo x positivo

Exemplo: p(X≥1.65)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

Relleno 3

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=1,65

p(X≤1,65)

p(X≥1,65)

Área encerrada pola curva = 1



Solución: Tendo en conta que a área total encerrada pola curva é 1, verifícase: p(X≥1,65)=1-p(X≤1,65)=1-0.9505=0.0495



Caso 3: p(X≤x) sendo x negativo

Exemplo: p(X ≤ -1,65)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)

Relleno 2

Relleno 3

x(t)=-1.65 , y(t)=t

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

p(X≤-1,65) p(X≥1,65)

N(0,1)

x= -1,65 x= 1,65



Solución: Na táboa aparecen só valores positivos polo que empregaremos a simetría par da función de densidade.

Podemos ver no debuxo que p(X≤-1,65)=p(X≥1,65)

e polo tanto p(X≤-1,65)=p(X≥1,65)= 1-p(X≤1,65)= =1-0.9505=0.0495



Caso 4: p(X≥x) sendo x negativo

Exemplo: p(X ≥ -1,65)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=-1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=-1,65



Solución: Empregando a simetría par da

función de densidade, a área correspondente á p(X≥-1,65) é exactamente igual á correspondente a p(X≤1,65). Polo tanto p(X≥-1,65)=

p(X≤1,65)=0.9505

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=1,65



Caso 5: p(x0≤X≤x1) sendo x0 e x1 positivos.

Exemplo: p(0,85≤X≤1,65)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=0.85 , y(t)=t

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=1,65x=0,85

p(0,85≤X≤1,65)



Solución: p(0,85≤X≤1,65)= =p(X≤1,65)-p(X≤0,85)= =0,9505-0,8023=0,1482

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

Relleno 3

x(t)=0.85 , y(t)=t

x(t)=1.65 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=1,65x=0,85

p(0,85≤X≤1,65)

Relleno verde ------ p(X≤0,85)Relleno vermello--- p(X≤1,65)



Caso 6: p(x0≤X≤x1) sendo x0 e x1 negativos.

Exemplo: p(-1,65≤X≤-0,85)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

Relleno 3

x(t)=-0.85 , y(t)=t

x(t)=-1.65 , y(t)=t

x(t)=1.65 , y(t)=t

x(t)=0.85 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=1,65x=0,85

p(-1,65≤X≤-0,85) p(0,85≤X≤1,65)



Solución: Empregando a simetría par da función de densidade vemos que p(-1,65≤X≤-0,85)=p(0,85≤X ≤1,65)= de acordo co caso 5 =0.1482



Caso 7: p(x0≤X≤x1) sendo x0 negativo e x1 positivo.

Exemplo: p(-1,65≤X≤0,85)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=-1.65 , y(t)=t

x(t)=0.85 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=-1,65 x=0,85

p(-1,65≤X≤0,85)



Solución: De forma similar ó caso 5 p(-1,65≤X≤0,85)=p(X≤0,85)-p(X ≤-1,65)

f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

Relleno 3

x(t)=-1.65 , y(t)=t

x(t )=0.85 , y(t )=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x=-1,65 x=0,85

p(-1,65≤X≤0,85)

Relleno vermello --- p(X≤0,85)Relleno verde ------- p(X≤-1,65)



A partir deste punto estamos nos casos 1 e 2 p(-1,65≤X≤0,85)=p(X≤0,85)-p(X ≤-1,65)= =p(X ≤0,85)-p(X≥1,65)= =p(X ≤0,85)-(1-p(X ≤ 1,65))= =0,8023-1+0,9505=0,7528



Problema inverso:

Caso 1: A probabilidade está na táboa.Exemplo : Calcula x0 se p(X≤x0)=0,8186

Solución: Mirando na táboa a probabilidade 0,8186 corresponde a fila 0,9 e a columna 0,01 polo tanto x0=0,9+0,01=0,91


f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

x(t)=0.91 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x0

p(X≤x0)=0,8186




Caso 2: A probabilidade non está na táboa.Exemplo : Calcula x0 se p(X≤x0)=0,2981

Solución: Como a probabilidade non está na táboa, e ademais é menor de 0,5, deducimos que x0 é un número negativo.



f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 2

Relleno 3

x(t)=-0.53 , y(t)=t

x(t)=0.53 , y(t)=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

x0 -x0

p(X≤x0)=0,2981 p(X≥-x0)=0,2981



p(X≤x0)=p(X≥-x0)=1-p(X≤-x0)=0,2981 sendo –x0 positivo Polo tanto p(X≤-x0)=1-0,2981=0,7019


f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

Relleno 3

Relleno 4

x(t)=0.53 , y(t )=t

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

0.032

0.034

x

y

N(0,1)

-x0

p(X≥-x0)=0,2981

p(X≤-x0)=0,7019




A táboa dinos que : –x0=0,53 é dicir: x0=-0,53


7. Tipificación da variable.7. Tipificación da variable.

Tipificación da variable: É evidente que non se poden construír táboas similares á da N(0,1) para todos os tipos posibles de distribucións N(μ,σ) pois μ e σ toman infinitos valores. A mellor opción é transformar a variable X que segue unha distribución N(μ,σ) noutra variable Z que segue unha distribución N(0,1). Esta transformación recibe o nome de tipificación da variable.



Haberá que realizar dous pasos:•Centrar: Trasladar a media da distribución á orixe de coordenadas•Reducir a desviación típica a 1. É dicir, dilatar ou contraer a gráfica da distribución para que coincida coa lei estándar. Estes dous pasos conséguense simultaneamente co seguinte cambio de variable:

σµ−= XZ



Na seguinte gráfica vemos os dous pasos da tipificación.f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^(-(x^2/2))

f(x)=1/(0.5*sqr(2*pi))*e^((-1/2)*((x-3)^2/0.5^2))

f(x)=1/(0.5*sqr(2*pi))*e^((-1/2)*((x/0.5)^2))

f(x)=0.04

f(x)=0.01x+0.035

f(x)=-0.01x+0.045

x(t)=0.3 , y(t )=t

f(x)=0.01x+0.017

f(x)=-0.01x+0.023

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

x

y

N(0,1)

N(3,0.5)

N(0,0.5)

Centrar: X-μ

Reducir a desviación típica a 1 (X-μ)/σ



Exemplo: O peso das troitas dunha piscifactoría segue unha lei N(200,50). Extráese unha ao azar:

•Cal é a probabilidade de que o seu peso non exceda os 175 gr?.•Cal é a probabilidade de que o seu peso exceda os 370 gr?.•Cal é a probabilidade de que o seu peso estea comprendido entre 225 e 275 gr?.



Cal é a probabilidade de que o seu peso non exceda os 175 gr?.

A nosa variable aleatoria é X=“peso da troita” que segue unha distribución N(200,50). Pídennos p(X≤175), como dita normal non está tabulada debemos tipificala para poder empregar as táboas da N(0,1).



0.30850.6915-1

0.5)p(Z-10.5)p(Z-0.5)p(Z

==

=≤=≥=≤

( )-0,5Zp50

20017550200-Xp175)p(X ≤=

−≤=≤

sendo Z unha variable que segue unha distribución N(0,1)



Cal é a probabilidade de que o seu peso exceda os 370 gr?. Pídennos p(X>370); tipificamos para poder empregar as táboas da N(0,1).

( ) 0.00030.9997-13,4)p(Z-13,4Zp517Zp

50200-370

50200-Xp370)p(X

==≤=>=

=

>=

>=>



Cal é a probabilidade de que o seu peso estea comprendido entre 225 e 275 gr?. Pídennos p(225≤X≤275); tipificamos para poder empregar as táboas da N(0,1).

( ) ( ) ( )0,2277

0,69150,91920.5Zp1,4Zp1,4Z0,5p50

20027550200X

50200-225p275)Xp(225

==−=≤−≤=≤≤=

=

−≤−≤=≤≤


Consideremos as seguintes situacións:Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 5 veces” Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” X segue unha distribución binomial B(5, ½) que ten por media e desviación típica :

Exp. aleatorio:”lanzar unha moeda 10 veces” Variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” X segue unha distribución binomial B(10, ½) que ten por media e desviación típica :

8. Aproximación da binomial pola normal.8. Aproximación da binomial pola normal.

1,1221

215qpnσ

2,5215pnμ

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

1,5821

2110qpnσ

52110pnμ

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=





2,2421

2120qpnσ

102120pnμ

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

2,7321

2130qpnσ

152130pnμ

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=


Serie 1

Serie 2

Serie 3

Serie 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

x

y

B(5,1/2)

B(10,1/2)

B(20,1/2)

B(30,1/2)


Se representamos os polígonos de probabilidades destas distribucións obtemos:



Observamos que a medida que aumenta o número de probas, o polígono de probabilidades achégase á curva da distribución normal.

Para unha distribución B(n, ½), a media e a desviación típica veñen dadas por:

Cando o nº de probas n aumenta a distribución B(n, ½) achégase a unha distribución normal :

4n

21

21nqpnσ

2n

21npnμ

=⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

4n,

2nN



De MoivreDe Moivre demostrou que, baixo certas condicións, a distribución binomial B(n,p) se pode aproximar mediante a distribución normal

As condicións de aplicabilidade da aproximación de De Moivre son:

np≥5 e nq≥5

Nota : Canto maior sexa n e canto máis próximo sexa p a 0,5, tanto mellor será a aproximación realizada.

( )npqnp,N



Calculo de probabilidades puntuais.

Lembremos que unha distribución binomial corresponde a unha variable aleatoria discreta e, polo tanto, ten sentido calcular probabilidades puntuais. Por outra banda, a distribución normal corresponde a unha variable aleatoria continua e, polo tanto, non ten sentido calcular probabilidades puntuais, pois son todas nulas.



Como proceder para calcular unha probabilidade nunha distribución binomial cando aproximamos pola normal?

Consideraremos os valores da variable aleatoria discreta como marcas de clase de intervalos do seguinte xeito: ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )0,5aYpaXp

0,5aYpaXp0,5aY0,5apaXp

−≤=<+≤=≤

+<<−==



Exemplo:

O promedio de acertos no tiro á canastra dun xogador de baloncesto é do 73%. Se lanza 200 veces:Cal é a probabilidade de que enceste máis de 160 lanzamentos?Cal é a probabilidade de que enceste 160 veces?



O experimento aleatorio consiste en que o xogador tire 200 veces á canastra.

A variable aleatoria, en principio discreta, sería X=“nº de canastras encestadas”.

Dita variable aleatoria discreta segue unha distribución binomial B(200, 0,73).

O esquema da situación sería:



C F

C F

C F C F

C F

C F C F

C F C F C F C F C F C F C F C F

C FC FC FC F

C FC FC FC F

C FC FC FC F

C FC F

C FC F

C F

.

.

.



C=“conseguir canastra”F=“fallar o tiro”p(C)=0,73=pp(F)=0,27=qn=nº de probas=200

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

FC

F

C

F

. . .

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

F

C

FC

F

C

F

. . .



Como o número de probas é alto, podemos pensar en aproximar dita binomial a través dunha distribución normal. Vemos que se cumpren as condicións de aplicabilidade da aproximación de De Moivre:

Polo tanto a variable aleatoria discreta X pode aproximarse por unha variable aleatoria continua Y que segue unha distribución normal

5540,27200qn51460,73200pn

≥=⋅=⋅≥=⋅=⋅

( )6.27 , 146N)npqN(np, =



Cal é a probabilidade de que enceste máis de 160 lanzamentos?.

Sendo Z unha distribución normal N(0,1)

( ) ( )

( ) ( ) 0,01040,989612,31Zp12,31Zp6,27

146160,56,27

146Yp160,5Yp160Xp

=−=≤−=≥=

=

−≥−=≥=>



Cal é a probabilidade de que enceste 160 veces?

( ) ( )

( ) ( ) ( )0,00540,98420,9896

2,15Zp2,31Zp2,31Z2,15p6,27

146160,56,27

146Y6,27

146159,5p

160,5Y159,5p160Xp

=−==≤−≤=≤≤=

=

−≤−≤−=

=≤≤==

8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal

Documents

Transcript of 8.distribuciónscontinuas.distribuciónnormal