CAPITULO 6

ESTABILIDAD

6.1. Introduccin

Se dice que un sistema de potencia est en una condicin de operacin de estado estable si todas las cantidades fsicas que se miden (o se calculan) y que describen la condicin de operacin del sistema, se pueden considerar constantes para propsitos de anlisis. Si, cuando se est en una condicin de estado estable, ocurre un cambio repentino o una secuencia de cambios en uno o ms parmetros del sistema o en una o ms de sus cantidades de operacin (variables), se dice que el sistema experimenta un disturbio o una perturbacin de su condicin de operacin de estado estable. Las perturbaciones pueden ser grandes o pequeas de acuerdo con su origen.

Una perturbacin grande es aquella para la cual las ecuaciones no lineales que describen la dinmica del sistema de potencia no se pueden linealizar de forma vlida para propsitos de anlisis. Las fallas en los sistemas de potencia, los cambios repentinos y grandes de carga, la prdida de unidades generadoras y las maniobras en lneas son ejemplos de perturbaciones grandes y se estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria. Los estudios de estabilidad transitoria, normalmente se hacen en base a la primera oscilacin lo que significa considerar un tiempo de hasta un segundo.

Si el sistema de potencia est operando en una condicin estable y experimenta un cambio que puede ser analizado de manera apropiada a travs de versiones linealizadas de sus ecuaciones dinmicas, se dice que ha ocurrido una perturbacin pequea. Como ejemplos, podemos mencionar, un cambio pequeo y gradual de carga, un cambio en la ganancia de un regulador automtico de voltaje en el sistema de excitacin de una gran unidad generadora, etc.; los que se estudian bajo el nombre de estabilidad permanente. Los estudios de estabilidad permanente consideran mltiples oscilaciones lo que significa tiempos bastante mayores que los de la estabilidad transitoria (del orden de los minutos) y por lo tanto, en algunos casos pueden ser importantes los efectos de los sistemas de control de las unidades generadoras.

En resumen entonces, la estabilidad es la propiedad de un SEP o de sus partes componentes de mantener un estado de equilibrio (sincronismo), cuando ha sido sometido a acciones perturbadoras. El concepto puede ser aplicado a una o un grupo de mquinas sincrnicas para sealar la condicin de que ellas permanecen en sincronismo respecto de otras cuando se producen perturbaciones.

6.2. Estabilidad transitoria

6.2.1. Objetivos

Los estudios de estabilidad transitoria suministran la informacin necesaria para conocer la capacidad de un SEP de permanecer en sincronismo durante grandes perturbaciones tales como: cambios bruscos momentneos o sostenidos de grandes cargas, prdidas de generacin, prdida de lneas importantes y fallas tipo cortocircuitos y fases abiertas. Especficamente se obtienen: en las mquinas sncronas: Los cambios de tensin, corriente y potencia, velocidad y torque.

en la red del SEP: Los cambios en las tensiones de las barras y en el flujo de potencia a travs de las lneas.

6.2.2. Suposiciones bsicas para los estudios simplificados de estabilidad transitoria Usualmente, los generadores se analizan individualmente. Sin embargo, en sistemas multimquinas se

pueden concentrar grupos de ellos (mquinas equivalentes) para realizar los estudios. El comportamiento de cada generador se describe mediante una ecuacin diferencial, denominada

102

ecuacin de oscilacin. Cada generador se representa por una fem constante tras la reactancia transitoria.

Como variable fundamental se emplea la posicin angular del rotor . Debido a la gran inercia de las mquinas, las variaciones de velocidad son pequeas, por lo que los

elementos estticos del SEP (lneas, transformadores, etc.) se suponen operando a frecuencia nominal y las tensiones, corrientes y potencias se calculan mediante ecuaciones algebraicas.

Los motores sncronos se representan como una mquina ms. Generalmente no se consideran los efectos de amortiguacin. En el caso de una perturbacin balanceada, las ecuaciones algebraicas de acoplamiento son las

correspondientes al flujo de potencias. Si la perturbacin es no balanceada, se deben emplear las ecuaciones correspondientes a la secuencia positiva, modificando convenientemente la red equivalente del SEP segn el tipo particular de perturbacin. Esto significa que en fallas asimtricas, se utiliza la malla de secuencia positiva, agregndose las de secuencia negativa y cero segn corresponda.

6.2.3. Ejemplo Ilustrativo

Consideremos un generador de rotor cilndrico suministrando potencia a una barra infinita a travs de una lnea de doble circuito, tal como se muestra en la Figura 6.1, donde:

E' : Tensin interna del generador (tensin inducida) XA : Reactancia total entre la tensin E' del generador y la de la barra infinita V, con ambas

lneas conectadas. XB :Reactancia total entre las tensin E' del generador y la de la barra infinita V, con una lnea desconectada.

G

X'd

Pg

V 0

Barra infinitaE'

Figura 6.1.- Sistema generador-linea-barra infinita

Las ecuaciones potencia ngulo para cada caso son:

==

sin X

'E VP

sin X

'E VP

BgB

AgA

(6.1)

La Figura 6.2 muestra las curvas potencia ngulo para las ecuaciones (6.1).

Supongamos que inicialmente el generador est entregando una potencia Pg0 correspondiente a un ngulo 0 (curva PgA). Si en estas condiciones se corta bruscamente una lnea, entonces el generador pasa a operar segn la curva PgB. Debido a la inercia del rotor, el ngulo no puede cambiar instantneamente y en consecuencia el punto inicial de operacin en la curva PgB es a0 y el generador entrega una potencia P1 Pg0. Como la potencia motriz no ha disminuido, existe un P = Pg0

- P1 0 que acelera el rotor por sobre la velocidad sincrnica, alcanzndose un punto tal como a1 en el cual la velocidad es an mayor que la sincrnica y en consecuencia este punto es sobrepasado pudindose llegar al punto a2 o bien al punto a3.

103

PP

P1

23

PP g0=

PgA

PgB

Pg

/2 0 1 2 3 1a0

a1

a2

a3M

Fmec

Figura 6.2.- Curvas potencia-ngulo, para el sistema de la Figura 6.1

En estas condiciones el generador suministra mayor potencia que la recibida de la mquina motriz a expensas de su energa cintica, o sea existe:

)-( /2 para 0 PPP/2 para 0 PPP

130g

20g = = (6.2)

Se produce entonces una desaceleracin y el generador vuelve al punto M si haba llegado al punto a3, pero an P 0 y el rotor continua desacelerndose (ya bajo la velocidad sincrnica), alcanza y sobrepasa el punto a1 producindose ahora una P 0 que acelera nuevamente el rotor. El resultado de este proceso es una serie de oscilaciones alrededor del punto a1, las que se van amortiguando a medida que transcurre el tiempo debido a factores tales como: accin electromagntica, friccin, etc.; hasta que se alcanza el punto de equilibrio (Pg0, 1). En estas condiciones se dice que el sistema generador-lnea-barra infinita tiene "estabilidad transiente".

Supongamos ahora que debido a la falla, el generador se acelera de tal forma que alcanza y sobrepasa el punto F correspondiente al ngulo -1. En este caso, al sobrepasar el punto F, el generador queda sometido a un P 0 y continua acelerndose hasta que pierde el sincronismo. De lo anterior se concluye que el sistema generador-lnea-barra infinita tiene "inestabilidad transiente" al sobrepasar el punto F.

Luego, el lmite de estabilidad transiente est en = - 1

Si ( - 1) Operacin estable despus de un cierto nmero de oscilaciones

Si ( - 1) Operacin inestable

Puesto que un ngulo 1 de operacin se alcanza despus de un tiempo determinado, el anlisis anterior puede visualizarse tambin a partir de la denominada "curva de oscilacin" (Figura 6.3), para lo cual es necesario resolver la "Ecuacin de oscilacin" que se estudiar ms adelante.

104

Inestable

Estable

t

1

1

0

Figura 6.3.- Curvas de oscilacin de una mquina sncrona

6.2.4. Ecuacin de oscilacin de una mquina sncrona

Consideremos el i-simo generador de un SEP que contiene m unidades de la Figura 6.4, donde:

Pmi : Potencia mecnica suministrada al generador, va eje del rotor. Pgi : Potencia elctrica generada y suministrada a la red, va barras del SEP. Si Pmi = Pgi, el generador funciona a velocidad constante Si Pmi Pgi, la diferencia de estas potencias se emplear en :

a. Modificar la energa cintica o la velocidad de la unidad motriz-generador.

b. Vencer el torque de amortiguacin que se desarrolla fundamentalmente en los enrollados de amortiguacin de la mquina.

Generador

Pmi

Pgi

Figura 6.4.- Generador i en un sistema de m unidades

Es decir:

Diigimi P)EC(dtdPP += (6.3)

donde:

ECi

: Energa cintica de la mquina i PDi : Potencia de amortiguacin de la mquina i

105

Energa cintica ECi: representa la energa cintica total de la unidad i. Se expresa habitualmente en Megawatt-segundo (MW-s) o MegaJoule (MJ) de acuerdo a la expresin (6.4).

2ii2

1i JEC = (6.4)

Ji : Inercia de la i-sima mquina i : Velocidad angular del generador i

Derivando ECi respecto al tiempo y haciendo Mi = Ji i se obtiene

2i

2

ii

iiit d

dMdt

d J)EC(

dtd == (6.5)

donde:

i : Posicin angular del rotor de la mquina i respecto a un eje fijo en grados o radianes elctricos.

Mi : Momento angular del Mquina i

Se ha determinado que es ms conveniente medir la posicin angular del rotor i y su velocidad angular i respecto a un eje de referencia que gira a velocidad sincrnica, que hacerlo respecto a un eje estacionario. De este modo, si consideramos la Figura 6.5, donde s es la velocidad sincrnica y i es el desplazamiento angular del rotor respecto al eje que gira a la velocidad sincrnica, se puede escribir:

tsisii +=+= (6.6)

y por lo tanto:

2i

2

iit d

dM)EC(

t dd = (6.7)

i

i

st= s

sTmi

giT

Figura 6.5.- Representacin esquemtica de un generador sncrono

Torque o potencia de amortiguacin: A medida que la velocidad del rotor se desva respecto a la sincrnica, se inducen corrientes en los enrollados de amortiguacin del rotor que desarrollan un torque resistente. Este torque resistente aumenta con la velocidad relativa (di/dt) y usualmente se supone proporcionalidad entre el torque o la potencia PDi y la velocidad, a travs de un parmetro positivo Di del generador medido en MW/(rad elect/seg) o sea:

t d dDP iiDi= (6.8)

106

Por lo tanto, la ecuacin de oscilacin de la mquina i queda:

t d dD

t d dMPP ii2

i2

igimi+= (6.9)

Debido a que el trabajo bsico del enrollado de amortiguacin es suministrar un torque extra de estabilizacin, normalmente se desprecia su efecto en la ecuacin de oscilacin. De este modo se obtienen resultados ms seguros en el anlisis y se simplifican los clculos. Segn esto, la ecuacin de oscilacin es:

2i

2

igimiait d dMPPP == (6.10)

donde gimiai PPP = , es la potencia de aceleracin.

Constante de Inercia H: Se define como la razn entre la energa cintica almacenada por la mquina girando a velocidad sncrona y la potencia aparente nominal de la mquina. Es decir:

i

ii G

ECH = (6.11)

Donde Gi es la potencia aparente nominal de la mquina. Si ECi se mide en MegaJoule y Gi en MVA, H resulta medida en segundos. El valor de H vara muy poco con el tamao de la mquina (2-8 segundos); en cambio M depende del tamao y tipo de mquina, por lo que se prefiere utilizar H en la ecuacin (6.10).

A partir de (6.4) y considerando (6.11), se puede escribir:

iiii212

ii21

i GHMJEC === (6.12)

de donde se obtiene:

f 180HG

f HG

HGM iiii

i21

iii === (6.13)

Segn el ngulo i se mida en radianes elctricos o grados elctricos, respectivamente y donde f representa la frecuencia de operacin del sistema. Por lo tanto la ecuacin (6.10) queda:

2i

2ii

gimiait d d

f 180HGPPP == (6.14)

Con i medido en grados elctricos. La expresin (6.14) puede expresarse en tanto por unidad base propia, dividindola por la potencia aparente nominal de generador. De esta forma se tiene finalmente:

2i

2i

gimiait d d

f 180H)pu(P)pu(P)pu(P == (6.15)

La potencia elctrica entregada por el generador durante la perturbacin depende de la fem detrs de la reactancia transitoria E' y de la corriente I, de manera que: { }*gi I 'E alReP &= (6.16)

La corriente I depende del comportamiento de toda la red elctrica. Como la potencia mecnica permanece prcticamente constante mientras no se modifique el control de velocidad (en el primer segundo)

107

las variaciones de frecuencia son pequeas, de manera que se puede suponer sin gran error que todos los elementos estticos del sistema (lneas, transformadores, etc.) operan en condiciones cuasi estacionarias, hecho que simplifica los clculos. En vez de la corriente I puede usarse tambin la tensin en bornes V (o la tensin constante en alguna otra barra cercana).

6.2.5. Ecuaciones de oscilacin en un sistema multigenerador

Consideremos un SEP alimentado por m generadores como se indica en la Figura 6.6, donde se supone que las reactancias transientes de los generadores estn incluidas en la red pasiva del sistema.

Empleando el mtodo nodal de resolucin de circuitos, para la red de un SEP de m barras (nudos) se puede escribir:

[ ] [ ][ ]BBB E YI = (6.17)

donde: [ ]BI es el vector de corrientes inyectadas en las barras; [ ]BE vector de tensiones de barras e [ ]BY es la Matriz de admitancia de barras, que se pueden escribir como: [ ] [ ] tmi21B IIIII &&&&= (6.18)

[ ] [ ] t'm'i'2'1B EEEEE &&&&= (6.19)

[ ]

=

mmmi2m1m

imii2i1i

m2i22221m1i11211

B

YYYY

YYYY

YYYYYYYY

Y

MMMM

MMMM (6.20)

E'

E'

E'

E'

1

2

i

m

I

I

I

I

1

2

i

m SEP

PASIVA

RED

DEL

Figura 6.6.- Sistema multigenerador

Considerando las ecuaciones (6.17) a (6.20), se puede escribir: ==+++++= m1j 'jij'mim'iii'22i'11ii EYEY EY EYEYI &&&&&& (6.21)

por lo tanto, la potencia compleja suministrada por el i-simo generador es: ===+= m1j *'j*ij'i*i'igigigi EYEIEjQPS &&& (6.22)

108

suponiendo que:

j'

j'

j EE =& ijijij YY =& (6.23)

Se tiene que: = =+ m1j ijjiij'j'igigi )( YEEjQP (6.24)

de donde: = += m1j ijijij'j'igi )cos(YEEP (6.25)

Es decir, la potencia suministrada a la red por una unidad cualquiera, depende de las posiciones angulares j de todo el resto de los generadores, adems de la propia i, ambas funciones del tiempo. La admitancia Yij sufre cambios discontinuos debido a los cambios topologa de la red (prefalla, en falla, falla despejada, reconexin, etc.)

En el clculo de Pgi se ha supuesto que las velocidades de las mquinas permanecen constantes, en consecuencia se tendr un sistema de ecuaciones diferenciales simultneas de la forma:

2m

2

mmi21gmmm

2i

2

imi21gimi

22

2

2mi212g2m

21

2

1mi211g1m

tdd

M),,,,,(PP

tdd

M),,,,,( PP

tdd

M),,,,,(PP

tdd

M),,,,,(PP

===

=

(6.26)

En general, la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales anterior resulta laboriosa, an para el caso simplificado de representacin de los generadores aqu supuestos.

6.2.6. Estudio de la ecuacin de oscilacin de un generador conectado a una barra infinita

Esta situacin, si bien es cierto, es la ms simple posible, tiene importancia desde un punto de vista didctico y prctico ya que muchas situaciones reales pueden ser reducidas a esta forma simple equivalente. Segn (6.15) , la ecuacin de oscilacin en este caso es de la forma:

2

2

2

2

gma td

df 180

H td

dMPPP === (6.27)

donde Pa ,Pm , Pg y M estn en tanto por unidad y en grados elctricos.

Potencia mecnica suministrada al generador: Los cambios de Pm dependen enteramente de la accin de los controles potencia-frecuencia. En el instante de la perturbacin e inmediatamente despus hasta el lapso de 1 segundo aproximadamente, la potencia de la mquina motriz Pm es sustancialmente constante, o sea:

mmm P)0(P)0(P == + (6.28)

109

Potencia suministrada por el generador durante la perturbacin al sistema: En rgimen permanente, la potencia activa suministrada por un generador de polos cilndrico o de polos salientes est dada respectivamente por:

+==

2sinVXX2XX

sinXEVP

sinXEVP

2

qd

qd

dg

dg

(6.29)

En los estudios simplificados de estabilidad transiente, para calcular la potencia activa suministrada por un generador, ya sea de polos cilndricos o de polos salientes, se utiliza el circuito equivalente aproximado que se muestra en la Figura 6.7, en cuyo caso:

jX 'd

+

-

+

-

VE'

Figura 6.7.- Circuito equivalente de una mquina sncrona para estudios de estabilidad transiente = sin

'XV'EPd

g

(6.30)

Anlisis de la ecuacin de oscilacin: Supongamos por ejemplo, que la lnea que une el generador y la barra infinita (o sea el resto del sistema) sufre un cortocircuito trifsico. Los rels de proteccin harn desconectar la lnea y una fraccin de segundo despus, la lnea ser reconectada. Suponiendo que la falla ha terminado se volver a la situacin original o se producir el fenmeno de inestabilidad segn sea la situacin que corresponda y que se analizar luego. Consideraremos dos perodos:

Durante la falla: En este perodo Pg=0 y Pm=constante y la ecuacin (6.27) queda:

2

2

m td

dMP = (6.31)

La solucin de esta ecuacin diferencial, considerando que en t=0, = 0 y d/d t = 0, queda:

2m0 tM2

P)t( += (6.32)

En la Figura 6.8 se ha dibujado esta solucin, donde se aprecia que la mquina aumenta indefinidamente su ngulo de torque. En consecuencia se producir una aceleracin brusca de la mquina, perdindose rpidamente el sincronismo, si no se elimina la causa; es decir si no actan las protecciones. Reconexin de la lnea: Inmediatamente despus que se reconecta la lnea (y suponiendo que la falla

ha sido eliminada) la potencia Pg pasa bruscamente al punto a de la Figura 6.8, en que:

rg sinXV'EP =

(6.33)

110

X corresponde a la reactancia existente entre E' y V es decir, incluye la reactancia de la lnea. Se establece entonces una potencia desacelerante Pdes que depende de , es decir: = sin

XV'EPP mdes (6.34)

PP g0mc =

Pg

t

/20 lm

a

t

t

p

r

p r

sin reconexin

con reconexin

Figura 6.8.- Solucin de la Ecuacin de oscilacin para una mquina sncrona

Por lo tanto, la ecuacin de oscilacin en este perodo es:

2

2

m td

dMsinXV'EP = (6.35)

que no tiene solucin analtica simple y en su resolucin se deben utilizar mtodos numricos, pero se comprende que crecer a menor velocidad y que el resultado final depende del instante de reconexin. Si la reconexin ocurre oportunamente deja de crecer y a pesar de que lm /2, se conserva el sincronismo, tal como se muestra en la Figura 6.8.

Es conveniente hacer notar que en muchos casos, durante la falla, el generador sigue suministrando potencia (cortocircuitos monofsicos, bifsicos, fases abiertas), es decir, Pg 0 durante este perodo y por lo tanto, la ecuacin de oscilacin en esta etapa, tendr la misma forma indicada en (6.35).

Ejemplo 6.1. El sistema de la Figura 6.9 est entregando la potencia indicada a la barra infinita, cuyo voltaje es el nominal, cuando se produce un cortocircuito monofsico a tierra en el punto P (al medio de la lnea). La falla es despejada simultneamente por ambos interruptores (en forma monopolar). Determine las ecuaciones de Pg() antes de falla, en falla y en falla despejada. Todos los datos en % estn en base 50 MVA.

LneaV

X =X =X =5%1 2 0

X =X =20%1 2X =20%0

PBarra

Infinita

(50+j20) MVA

X =X =X =5%1 2 0X =10%0

X' =X =30%d 1X =15%2

1 2

E'

Figura 6.9

111

Solucin:

a) Antes de falla o en condiciones de prefalla: El circuito equivalente por fase se muestra en la Figura 6.3

En el circuito de la Figura 6.10, con ,01V =& se tiene:

====+=

=== sin 2958,2 sin

6,01*3775,1

sin X

V 'EP

82,253775,18,21077,16,0j01'E

8,21077,1014,0j1

VSI

abgAF

*

&

&

+

j0,2j0,05j0,3 j0,05

E'

I+

V

a b

Figura 6.10

b) En falla: Las mallas de secuencia cero y negativa se muestran en las Figuras 6.11 y 6.12.

- Secuencia cero

j0,1j0,05

j0,1

j0,1 j0,05

X0

Figura 6.11

Las impedancias de secuencia cero y negativa son respectivamente:

(pu) 1,015,03,015,03,0X

)pu( 075,0215,0X

2

0

=+===

Estas reactancias se agregan a la malla de secuencia positiva en serie en el punto de falla, tal como se indica en la Figura 6.13

- Secuencia negativa

j0,1j0,05j0,15 j0,1 j0,05

X2

Figura 6.12

- Malla de secuencia positiva incluyendo las impedancias de secuencia cero y negativa

+

j0,1j0,05j0,3

E'+

V

j0,1 j0,05

jX0

jX2

a b

Figura 6.13

La reactancia Xab se encuentra utilizando la expresin de transformacin de estrella a delta en la Figura 6.13; es decir:

9857,0175,0

45,0175,0175,015,015,045,0Xab =++= === sin 3975,1 sin

9857,013775,1

sin X

V 'EPab

gF

c) En falla despejada: Queda una fase abierta en dos puntos. Las mallas de secuencia cero, negativa y positiva son las indicadas en las Figuras 6.14 a 6.16

112

- Secuencia cero

j0,05

j0,1

j0,05P0 Q0

Figura 6.14

Las mallas de secuencia quedan conectadas tal como se muestra en la Figura 6.17, que corresponde a la Figura 4.45, donde:

05,0jZZ05,0jZ ;2,0jZ05,0jZ ;35,0jZ

VE y EE

'

00

'

22

'

11

'

B''

A

== ==== ==

- Secuencia negativa

j0,05j0,15 j0,05P2 Q2

Figura 6.15

- Malla de secuencia positiva

+

j0,05j0,3

E'+

V

P1 j0,05a bQ1

Figura 6.16

ZA= y ZB corresponde a la impedancia de la lnea que est abierta en dos puntos (se abrieron los dos interruptores simultneamente); es decir:

)pu( 2,0jjXjXjXZ 021B ====

Por lo tanto, la reactacia Xab entre E y V queda:

'

1B'

0B0'

2B2

'

0B0'

2B21ab XX)XXX()XXX(

)XXX()XXX(XX +++++++ +++++=

++++++ +++++= )05,02,005,0()05,02,02,0( )05,02,005,0()05,02,02,0(35,0Xab

78,005,02,0 =++ === sin 766,1 sin

78,013775,1

sin X

V 'EPab

gFD

Z1

+ -

Ia1

Z

+ -

I2 a2

Z

+

I0 a0

Va1

Va0

1Z'

2Z'

0Z'

P1 Q1

2Q2P

0P-

Q0

Va2

ZB

ZB

ZB

BA1/3(Z - Z )

+

-

BE'

b+

-

E'A

a

Figura 6.17

6.2.7. Algunos mtodos de solucin de la Ecuacin de Oscilacin

Existen diferentes mtodos para la evaluacin numrica de las ecuaciones planteadas en (6.35), tales como Punto a Punto, Euler, Euler Modificado, Runge-Kutta, etc. La mayora de ellos son prcticos solamente cuando se emplean computadores, sobre todo si se estudia sistemas de gran tamao. Se trata de determinar como funcin de t, graficando la respuesta y de esta forma saber si el sistema es estable o no. Se estudiar a continuacin algunos de ellos, con el fin de ver sus caractersticas y posibilidades de aplicacin.

a. Mtodo punto a punto (Solucin por partes): Es un mtodo simple, que permite realizar clculos a mano y por lo tanto es aplicable slo a sistemas pequeos. Se divide el tiempo total de estudio en n intervalos

113

de duracin t segundos cada uno, tal como se indica en la Figura 6.18. Generalmente se utiliza un t = 0,05 segundos y el clculo se hace bajo las siguientes suposiciones:

La potencia de aceleracin determinada al comienzo de un intervalo, es constante desde la mitad del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo considerado. En algunos casos, en vez de la potencia de aceleracin se emplea la aceleracin angular.

La velocidad angular es constante en cada intervalo e igual al valor calculado para la mitad del mismo.

Por supuesto, ninguna de las condiciones anteriores es exacta ya que est cambiando continuamente y tanto Pa como ' son funciones de . A medida que el intervalo de tiempo disminuye, la curva de oscilacin calculada de esta forma se hace ms exacta.

La Figura 6.18 ayuda a visualizar estas suposiciones. La potencia de aceleracin se calcula en los puntos encerrados en crculos en los extremos de los intervalos n-2, n-1 y n, que son los comienzos de los intervalos n-1, n y n+1 respectivamente. La velocidad angular ' corresponde a d/dt, es decir al exceso de la velocidad angular de la mquina, sobre la velocidad sncrona s. Entre las ordenadas n-3/2 y n-1/2 hay un cambio de velocidad originado por la potencia de aceleracin constante.

Pa,n-1Pa,n-2

a,nP

aP

t

SupuestoReal

n-2 n-1 n ' '

n-1/2 'n-3/2

n-3/2 n-1/2 t

'Real

Supuesto

n

n-1

n

n-1t

n-2

Figura 6.18.- Valores supuestos y reales de Pa, ' y

El cambio de velocidad es igual al producto de la aceleracin por el intervalo de tiempo:

t PH

f 180t

tdd

'' 1n,a2

2

2/3n2/1n == (6.36) La variacin del ngulo en un intervalo cualquiera es igual al producto de la velocidad ' en el intervalo por el tiempo. As, el cambio de durante el intervalo n-1 es

t ' 2/3n2n1n1n == (6.37)

y durante el intervalo n

t ' 2/1n1nnn == (6.38)

Restando (6.37) a (6.38) e introduciendo el resultado en (6.36), se obtiene:

21n,a1nn )t (H

f 180=kcon P k += (6.39)

114

Luego:

n1nn += (6.40)

La ecuacin (6.40) permite obtener como funcin del tiempo o sea corresponde a la solucin paso a paso de la ecuacin de oscilacin. Por otra parte, la velocidad ' se puede determinar a partir de (6.39), dividiendo por t y se obtiene:

1n,a1nn Pt k

'' += (6.41) Discontinuidad en la potencia de aceleracin: Cuando ocurre una falla, se produce una discontinuidad en la potencia de aceleracin Pa que tiene un valor cero antes de la falla y un valor distinto de cero despus de sta. Esta discontinuidad ocurre al comienzo del fenmeno (cuando t = 0). Lo mismo sucede cuando se producen aperturas de interruptores, reconexiones, etc. Teniendo en cuenta que este mtodo supone que la potencia de aceleracin calculada al comienzo del intervalo es constante desde la mitad del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo que est siendo considerado y que en este caso se tiene dos valores distintos para la potencia acelerante, se debe tomar el valor promedio de estos valores como la potencia acelerante constante. En general, para una discontinuidad en un tiempo t se tiene:

2)t(P)t(P)t(P aaa

+ += (6.42)

En el caso en que la discontinuidad ocurra en el punto medio del intervalo no hay necesidad de emplear (6.42) pues el mtodo contempla una discontinuidad justamente en ese punto. En otro caso, conviene aproximar al ms cercano, esto es, al comienzo o al medio del intervalo, segn corresponda.

Ejemplo 6.2. Las ecuaciones de Pg=Pg() de un sistema generador-barra infinita son las siguientes: PgAF=3 sin (pu); PgF=0,5 sin (pu) y PgFD=1,5 sin (pu). La potencia mecnica de entrada es de 1,2 (pu), la frecuencia es de 50 Hz y la constante de inercia es de 4 seg. Si la falla se despeja a los 0,2 seg de iniciada y se realiza una reconexin exitosa 0,15 seg despus del despeje: a. Dibujar las curvas de Pg=Pg(), indicando en forma aproximada, las reas acelerantes y desacelerantes. b. Determinar (utilizando exclusivamente la curva de oscilacin) si el sistema es estable,.

Solucin:

a) Curvas de Pg=Pg(): Se muestran en la Figura 6.19, donde:

4218,156)3/2,1(sin180

5782,23)3/2,1(sin

lm

1lm

10

= ===

b) Estabilidad: Se debe resolver la ecuacin de oscilacin. Usando el mtodo punto a punto, con t=0,05 seg, se tiene:

0

2,0

3,0

90 180

1,2

PgAF

P gFD

PgF

0 d r lm

P =P g0m

Pg Acelerante Desacelerante

1,5

0,5

Figura 6.19

625,54

)05,0(*50*180H

)t(*f*180K22 ===

115

Tabla 6.1. Aplicacin del Mtodo punto a punto

T Pm Pg Pa K*Pa 0- 1,2 1,2 0 - 0 23,5782 0 0+ 1,2 0,2 1 - 0 23,5782 0 0p - - 0,5 2,8125 0 23,5782 0 0,05 1,2 0,2222 0,9778 5,5001 2,8125 26,3907 0,9817 0,1 1,2 0,2847 0,9153 5,1486 8,3126 34,7033 2,9016 0,15 1,2 0,3725 0,8275 4,6547 13,4612 48,1645 4,6988 0,2 1,2 0,4578 0,7422 4,1749 18,1159 66,2804 6,3236 0,2- 1,2 0,4578 0,7422 - 18,1159 66,2804 6,3236 0,2+ 1,2 1,3733 -0,1733 - 18,1159 66,2804 6,3236 0,2p - - 0,2845 1,6003 18,1159 66,2804 6,3236 0,25 1,2 1,4963 -0,2963 -1,6667 19,7162 85,9966 6,8823 0,3 1,2 1,4552 -0,2552 -1,4355 18,0495 104,0461 6,3005 0,35 1,2 1,2903 -0,0903 -0,5081 16,6140 120,6601 5,7994 0,35- 1,2 1,2903 -0,0903 - 16,6140 120,6601 5,7994 0,35+ 1,2 2,5806 -1,3806 - 16,6140 120,6601 5,7994 0,35p - - -0,7355 -4,1372 16,6140 120,6601 5,7994 0,4 1,2 2,1892 -0,9890 -5,5631 12,4770 133,1371 4,3553 0,45 1,2 1,9263 -0,7263 -4,0854 6,9139 140,0510 2,4134 0,5 1,2 1,8105 -0,6105 -3,4341 2,8285 142,8795 0,9873 0,55 1,2 1,8357 -0,6357 -3,5758 -0,6056 142,2739 -0,2114

Conclusin: Como el ngulo deja de crecer y empieza a disminuir, el sistema es estable transitoriamente.

b. Mtodo de Euler: Constituye un algoritmo relativamente sencillo, aunque poco preciso para determinar y en la ecuacin diferencial dy/dt = f (y). La frmula de recurrencia es:

)f(y t yy ii1i +=+ (6.43)

Es decir, el valor al final del intervalo se obtiene a partir del que se tiene al comienzo del mismo y de la derivada evaluada tambin al inicio de ste. Esto hace que sea poco preciso cuando la derivada cambia con rapidez dentro del intervalo, lo que obliga a trabajar con intervalos pequeos.

En este problema, el tiempo total t se divide en n intervalos de t seg y se supone potencia acelerante constante en cada intervalo e igual al valor que tiene al comienzo. La ecuacin (6.35), se puede escribir:

M)(PP

tdd gm

2

2 = (6.44)

para luego transformarla en dos ecuaciones de primer orden de la forma:

M)(PP

td'd

'

tdd

gm ==

(6.45)

cuyas ecuaciones de solucin de acuerdo con (6.43), son:

t M

)(PP''

180 t '

igmi1i

ii1i

+= +=

++

(6.46)

116

Como Pg( ) sufre cambios discontinuos es necesario acomodar t para que cuando ocurra algn caso de stos, se quede al comienzo del intervalo, lo que significa dejar flexibilidad en cuanto al intervalo.

c. Mtodo de Euler Modificado: En este mtodo, la ecuacin diferencial dy/dt = f (y) se resuelve utilizando la expresin:

t 2

)y(f)y(fyy i1ii1i ++= ++ (6.47)

donde y*i+1 es un valor auxiliar que corresponde a una prediccin del valor de yi+1, que se obtiene utilizando la frmula de Euler, ecuacin (6.43). El valor yi+1 de (6.47) es el valor mejorado o corregido.

Aplicado al problema dado por (6.45), la predicin se obtienen usando (6.46) y luego se aplica (6.48):

tM 2

)(P)(P2P ''

180 t

2''

ig*

1igmi1i

i*

1ii1i

+=++=

++

++ (6.48)

d. Mtodo de Runge-Kutta de 4 orden: Este mtodo es ms conveniente que los anteriores, ya que mejora la precisin y se pueden considerar intervalos mayores de tiempo, lo que significa resolver una menor cantidad de flujos de potencia en el sistema. Aunque la cantidad de clculos es mayor en cada punto, la disminucin en el nmero de veces que hay que resolver las ecuaciones algebraicas, lo hace de todas formas muy conveniente Las expresiones quedan:

t )WW2W2W('' t )DD2D2D(

432161

i1i

432161

i1i ++++= ++++= ++ (6.49)

con: [ ]

[ ] ( ) t W'D) t D(PPT

W

t W'D2 tW'D)

2 tD(PP

TW

2 tW'D

2 tW'D)

2 tD(PP

TW

2 t W

'D

' D)(PPT

W

'D

3i3igma

s4

3i4

2i2igma

s3

2i3

1i1igma

s2

1i2

iigma

s1

i1

++=+=

+ +=+=

+ +=+=

==

(6.50)

En las expresiones anteriores se ha incluido la constante asociada a los roces mecnicos y efecto de los enrollados amortiguadores D y el tiempo de arranque del generador o constante de aceleracin Ta, definido como el tiempo necesario para alcanzar la velocidad sncrona, al partir con torque nominal constante. El tiempo de arranque Ta equivale a 2 veces la constante de inercia H.

117

6.2.8. Criterio de Areas Iguales

La curva de oscilacin permite determinar si un sistema formado por un generador conectado a una barra infinita (o una situacin equivalente) es estable o inestable despus de una perturbacin brusca e importante. Si la curva muestra que el ngulo tiende a crecer sin lmite, el sistema es inestable, por otra parte, si despus de todas las perturbaciones (incluyendo desconexin y reconexin de lneas, por ejemplo), el ngulo alcanza un mximo y luego disminuye, puede decirse que el sistema es estable.

En general, la estabilidad o inestabilidad del sistema depende en forma decisiva del hecho de si la falla es sostenida (permanente) o si se elimina en un tiempo determinado. Existe un tiempo mximo permisible para eliminar la falla tal que el sistema sea estable. Este tiempo medido respecto a la iniciacin de la falla, se denomina "tiempo crtico de aclaramiento".

El emplear la curva de oscilacin en forma exclusiva para determinar el tiempo crtico de despeje, por ejemplo, es un mtodo de aproximaciones sucesivas, por lo que no es eficiente. El mtodo consiste en calcular la curva de oscilacin para falla sostenida y luego para distintos tiempos de despeje supuestos. Del anlisis de todas las diferentes curvas se determina el tiempo crtico de despeje.

El criterio de reas iguales, permite determinar fcilmente el ngulo crtico de despeje y a partir de la curva de oscilacin calculada para falla sostenida (permanente) o empleando un procedimiento indirecto, calcular el tiempo correspondiente a este ngulo crtico.

Consideremos nuevamente la ecuacin de oscilacin de un generador conectado a una barra infinita.

gm2

2PP

tddM = (6.51)

Multiplicando toda la expresin por 2(d/dt)/M y arreglando adecuadamente se puede escribir:

= 0 d)PP(M2tdd gm (6.52)

donde 0 es el ngulo inicial de la perturbacin y d/dt = ' (exceso de la velocidad angular respecto a la sncrona). Cuando d/dt = 0 significa que ' = 0; es decir, la velocidad del generador es igual a la velocidad sncrona y se ha alcanzado el valor mximo de la curva de oscilacin. Por supuesto la mquina no permanecer en reposo respecto a la barra infinita , la primera vez que d/dt se haga cero, pero el hecho que deje de variar momentneamente puede interpretarse como una indicacin de estabilidad.

Para d/dt = 0, la expresin (6.52) queda: 0 0=d )PP( gm (6.53)

Ecuacin que puede interpretarse grficamente mediante la curva Pg = f () del generador conectado a la barra infinita y considerando una perturbacin o falla especfica.

Supongamos que la lnea que une al generador con la barra infinita sufre un cortocircuito trifsico y que despus de un cierto intervalo de tiempo se la reconecta cuando la falla ha sido eliminada. La situacin puede ilustrarse como se indica en la Figura 6.20.

En la Figura 6.20, el rea A1 es acelerante (A1 0) y A2 es rea desacelerante (A2 0). La ecuacin (6.53) aplicada a este caso resulta:

==+0 2121gm AA 0)A(A=d )PP( (6.54)

118

Pg

/2 0

PP g0= m

lm 1rA

A

1

2

Pg mxP sin =

Figura 6.20.- Aplicacin del criterio de reas iguales a un sistema generador-lnea-barra infinita, falla trifsica

Esto significa que el sistema ser estable si despus de reconectar la lnea en un tiempo correspondiente a r, el generador oscila hasta un ngulo mximo 1, tal que A1 = A2. Lo anterior constituye el criterio de reas iguales para determinar la estabilidad transiente.

Por otra parte si r es tal que 1 lm, el sistema ser inestable y A1 A2, de modo que el valor mximo de r o sea el ngulo crtico de aclaramiento (de reconexin, en este caso) rc se podr determinar aplicando el criterio de reas iguales segn se muestra en la Figura 6.21, de la siguiente forma:

Pg

0

PP g0= m

lmr

Pg mxP sin=

c

A1

A2

Figura 6.21.- Determinacin del ngulo crtico de aclaramiento =+lm0 rc0 lmrc 0d )sin PP(d P=d )PP( mxmmgm (6.55)

de donde se obtiene que:

+= mx lmmx0lmm1rc P cos P)(Pcos (6.56)

Ejemplo 6.3. Un generador conectado a una barra infinita tiene las siguientes curvas de Pg=Pg(): PgAF=2,5 sin , PgF=0,8 sin , PgFD=1,5 sin . El ngulo de torque antes de falla es de 30 y todos los datos estn en pu base comn. a. Determinar si el sistema es estable, al despejar la falla en un tiempo tal que d=60, sin reconexin. b. Si el sistema se reconecta 20 despus que la falla ha sido despejada, calcular el ngulo crtico de despeje.

119

a) Sin reconexin: Las curvas de Pg() se muestran en la Figura 6.22, donde:

rad 0472,160

rad 1565,256,123

5,125,1

sin180

25,130 sin*5,2PP

rad 5236,030

d

lm

1lm

gom

0

====

====

==

2,5

60

1,25

PgAF

P gFD

PgF

0 d lm

g0P =Pm

Pg

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

30 90 180

Figura 6.22 Aplicando el criterio de Areas iguales se puede escribir:

0 169,0d ) sin*5,125,1(d ) sin*8,025,1( lmd

d

0=+ el sistema es inestable

a) Con reconexin: Las curvas de Pg() se muestran en la Figura 6.23, donde:

rad 5236,0300 ==

15030180'lm ==

rad 618,2lm =

20cdr +=

Para determinar el ngulo crtico de despeje se debe cumplir que: [ ] 0 d )(PP'lm

0gm =

2,5

1,25

PgAF

P gFD

PgF

0 cd ' lm

g0P =Pm

Pg

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

30 90 180 r20

Figura 6.23

Es decir: =++ lmrrcdcd0 0d ) sin*5,225,1(d ) sin*5,125,1( d ) sin*8,025,1(

0)20( cos cos*7,02399,0 cdcd =+++

0 sin 342,0 cos*6397,12399,0)(F cdcd =+= cd=86,45; con F()=8,574 *10-5

6.2.9. Reduccin a un sistema simple

Ya se ha dicho que las distintas caractersticas elctricas y mecnicas de las mquinas de un sistema hacen necesario tratarlas en forma individual. Sin embargo, en algunos casos excepcionales (por ejemplo, mquinas de una misma central o elctricamente cercanas entre si y ubicadas lejos de la perturbacin) es

120

posible reemplazar dos o ms mquinas por una sola que les sea equivalente. En tal caso, la energa cintica de la mquina equivalente debe corresponder a: == = =n1i n1i iiieq GHECEC (6.57)

Como las mquinas estn en paralelo, sus potencias se suman. Luego, la potencia de la mquina equivalente Geq es: = =n1i ieq GG (6.58)

Dividiendo ambos miembros de (6.57) por Geq se obtiene la constante de inercia equivalente, Heq:

==

===

n

1ii

n

1iii

n

1ii

eqeq

G

GH

G

ECH

(6.59)

para que esta mquina oscile junto con las mquinas que reemplaza. Como las mquinas estn en paralelo en alguna barra del sistema, la reactancia de la mquina equivalente ser igual a la combinacin en paralelo de las reactancias individuales hasta esa barra y la fem E' ser igual a la tensin transitoria que se tendra en vaco en la barra de unin.

6.2.10. Ecuacin de oscilacin de dos mquinas finitas

Dos mquinas sncronas conectadas por medio de una reactancia pueden ser reducidas a una mquina equivalente alimentando una barra infinita a travs de la reactancia. Este modelo se utiliza en algunos casos con propsitos demostrativos. Al respecto, consideremos la Figura 6.24, en que adems supondremos que existen consumos en las barras, para hacer ms general el anlisis.

E'1 1 E' 2 2M1 M2

Figura 6.24.- Dos mquinas finitas

Las ecuaciones de oscilacin son:

2

2a

2

2g2m22

21

1a

1

1g1m21

2

MP

MPP

tdd

MP

MPP

tdd

====

(6.60)

Es decir, varan los dos ngulos. Es posible reducir estas dos ecuaciones a una sola considerando que slo interesa la diferencia entre ellos. Si sta aumenta indefinidamente, el sistema es inestable. Restando las ecuaciones (6.60), se tiene:

121

2

2a

1

1a22

2

21

2

MP

MP

tdd

tdd = (6.61)

haciendo = 1 - 2 en la expresin (6.61) y amplificndola por M1 M2 / (M1+M2), se puede escribir:

21

12a21a2

2

MMMPMP

tddM += (6.62)

donde M = M1 M2 / (M1+M2) es el momento angular equivalente a las dos mquinas

Desarrollando la expresin (6.62) considerando (6.60) se obtiene:

gm2

2PP

tddM = (6.63)

con:

21

12g21gg

21

12m21mm

MMMPMP

P

MMMPMPP

+=+=

(6.64)

La ecuacin (6.63) es equivalente a la de un generador conectado a una barra infinita y por lo tanto se puede aplicar todo lo estudiado en 6.2.6.

6.2.11. Factores que condicionan la estabilidad transitoria

El anlisis hecho hasta el momento, con todas las simplificaciones que contiene, permite determinar los factores que ms influyen en la estabilidad transitoria de un sistema, los que se pueden visualizar mejor a partir del criterio de reas iguales y considerando el sistema generador-lnea-barra infinita de la Figura 6.1.

Potencia elctrica inicial: Del criterio de reas iguales se deduce que mientras mayor sea la potencia elctrica que est entregando la mquina antes de ocurrir la falla, mayor ser el rea acelerante. Ello incrementar la velocidad relativa que adquiere el rotor, aumentado de esta forma la posibilidad de que el sistema sea inestable. Un criterio emprico suele ser el de limitar la potencia elctrica inicial al 80% del mximo terico E'V/X.

Tiempo de operacin de las protecciones (tp): Mientras ms rpidos son los esquemas de proteccin y los interruptores utilizados, menor es el ngulo p alcanzado, y por lo tanto, menor el rea acelerante y mayor la potencia que se podra haber estado transmitiendo. Intimamente ligada con este aspecto est la conveniencia de realizar una apertura simultnea de ambos extremos de la lnea fallada, esto es, de usar equipos de onda portadora.

Tipo de falla: El valor mximo de la curva de potencia elctrica transferible durante la falla depende del tipo y ubicacin de sta. La falla ms rigurosa es el cortocircuito trifsico, siguiendo el bifsico a tierra, bifsico, monofsico y las fases abiertas. La ubicacin ms desfavorable depende del sistema, pero corresponde generalmente a puntos cercanos al generador. La poca probabilidad de ocurrencia de fallas trifsicas hace que en Chile se use como criterio de estabilidad el cortocircuito bifsico a tierra.

Interruptores de accin monopolar: La mayora de las fallas que ocurren en un sistema elctrico es de tipo monofsico y se puede eliminar abriendo solamente la fase fallada. Ello exige disponer de interruptores de accionamiento monopolar, lo que implica un ligero sobrecosto en esos equipos y en

122

las protecciones, que se compensa por el hecho de mantener una mayor capacidad de transferencia durante la etapa que sigue a la eliminacin de la falla.

Reconexin automtica: El hecho de que la mayora de las fallas sea de carcter fugaz y la ventaja que significa para la estabilidad el volver a la curva de potencia elctrica prefalla, hace muy atractiva la reconexin automtica. El tiempo de reconexin est normalmente condicionado por la necesidad de esperar la desionizacin del espacio en torno al punto de falla, donde se estableci el arco. Este tiempo de espera es variable con la tensin, condiciones atmosfricas, etc.

Reactancia del sistema elctrico: La potencia elctrica que se puede transmitir es inversamente proporcional a la reactancia total que une las mquinas. En lo posible habr entonces que mantener valores bajos de esas reactancias (lneas fasciculadas, condensadores serie, mquinas con alta razn de cortocircuito, etc.), condiciones que por otra parte llevan a subir el nivel de cortocircuito. En casos particulares puede incluso resultar conveniente construir subestaciones intermedias de seccionalizacin, que reduzcan la longitud del tramo afectado por la falla.

Inercia de los generadores: La aceleracin de la mquina ser menor mientras mayor su inercia mecnica. Sin embargo, el alto costo ligado normalmente al aumento de la inercia de una mquina y el poco efecto relativo en la estabilidad, hacen poco atractiva su modificacin ms all de los valores naturales. Durante la operacin del sistema es posible elevar la inercia total conectada, poniendo en servicio ms generadores que los estrictamente necesarios. Sin embargo, ello va en desmedro de la operacin ms econmica, por lo que representa una medida que se emplea con reticencia.

Tensin interna de los generadores: Aumentar las fuerzas electromotrices implica tambin aumentar la estabilidad. En condiciones normales se operar entonces con una fem alta, la que se har ms alta mientras ms fuerte es la transmisin, para as mantener relativamente constante la tensin en el consumo. Sin embargo, al ocurrir una falla y crecer la corriente del estator, crece tambin el flujo desmagnetizante, producindose una paulatina reduccin de la fem en el entrehierro. La constante de tiempo es comparativamente alta, de manera que en gran medida es vlida la hiptesis de fem constante.

Frenado de los generadores: Es posible pensar en mejorar la estabilidad, sometiendo los generadores a un frenado de accin rpida cuando comienzan a acelerarse. Ello puede hacerse en las turbinas Pelton, intercalando deflectores de chorro. Para las restantes turbinas se puede recurrir al procedimiento indirecto de acrecentar la carga, conectando resistencia a los bornes del generador.

Problemas propuestos

6.1. En un sistema elctrico de potencia, se han establecido las siguientes ecuaciones de Pg=Pg(): PgAF=1,8 sin (pu); PgF=0,5 sin (pu) y PgFD=1,2 sin (pu). Determinar el tiempo crtico de despeje de la falla, si Pm=1 (pu) y M=2,5x10-4 (pu).

6.2. Dadas las ecuaciones Pg=Pg() y las curvas de oscilacin para falla sostenida, de los sistemas 1 y 2 siguientes, determinar: a. Las reas acelerantes y desacelerantes para despeje de la falla en 0,4 y 0,25 seg, indicando, en ambos

casos, si el sistema es estable o inestable b. El tiempo mximo de despeje para que el sistema sea estable

Sistema 1: PgAF=2 sin (pu); PgF=0,75 sin (pu) y PgFD=1,5 sin (pu); Pm=1,0 (pu)

t (seg) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 ( elctricos) 15 17 20 25 32 40 50 65 77

123

Sistema 2: PgAF=2 sin (+15) (pu); PgF=0,5 sin (pu) y PgFD=1,5 sin (pu); Pm=1,0 (pu)

t (seg) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 ( elctricos) 30 33,13 42,18 56,19 73,97 94,54 113,9 127,6 134,7

6.3. Un generador que tiene una constante de inercia de 2,5 seg, est suministrando una potencia de 0,8 (pu) a una barra infinita, a travs de una red completamente reactiva cuando se produce una falla que reduce la mxima potencia posible de salida a 0,5 (pu). La potencia mxima que se puede transmitir antes de la falla es de 1,5 (pu) y de 1,3 (pu) despus del despeje de la falla. Si el despeje se produce a los 0,2 seg: Dibujar a. La curva de oscilacin hasta 1 seg. b. Las curvas de Pg =Pg() indicando claramente las reas acelerantes y desacelerantes.

6.4. El sistema de la Figura 6.25, est operando en condiciones normales, esto es, el generador est entregando 125 MVA, factor de potencia 0,8 inductivo a la barra infinita; E'=1,8 (pu); Xd=0,9 (pu); V=10 (pu), H=5 seg, reactancia de cada lnea 0,4 (pu); cuando ocurre un cortocircuito trifsico en el medio de la lnea inferior. Los interruptores 1 y 2 despejan simultneamente la falla en un tiempo t1 tal que (t1)=90. Los interruptores permanecen abiertos

Barra inf.

G

E' Lnea 1

Lnea 21 2

V 0

Figura 6.25

hasta t2 seg, donde (t2)=120. En t2, los interruptores reconectan la lnea y la falla ha desaparecido. Considerando que todos los datos estn en una base comn (100 MVA), determinar si en estas condiciones, el sistema es estable o inestable.

6.5. El sistema de la Figura 6.25, est operando en condiciones normales, esto es, el generador entregando 120 MW a la barra infinita, E'=1,65 (pu), X'd=X1=0,6 (pu); X2=0,3 (pu); X0=0,1 (pu), V=10o (pu), H=5 seg, f=50 Hertz cuando ocurre un cortocircuito monofsico en la lnea 2, al lado de la barra del Generador. Los interruptores 1 y 2 (tripolares) despejan simultneamente la falla. Los datos de la lnea son: X1=X2=0,3 (pu); X0=0,5 (pu). Todos los parmetros estn en tanto por unidad, base comn 100 MVA. Determinar el tiempo crtico de despeje de la falla

6.6.- Un generador de 60 Hertz est suministrando el 60% de la potencia elctrica mxima a travs de una red completamente reactiva, cuando ocurre una falla que incrementa la reactancia de la red entre el voltaje interno del generador y la barra infinita en un 400%. Cuando la falla es despejada, la potencia mxima que se puede suministrar es el 80% del valor mximo original. Determine el ngulo crtico de despeje de la falla.

6.7.- Si el generador del problema anterior tiene una constante de inercia H de 6 [MJ/MVA] y la potencia mecnica es de 1 (pu), determinar el tiempo crtico de despeje de la falla. A qu velocidad gira la mquina en ese instante?

6.8.- Un generador sncrono est entregando el 25 % de la potencia mxima que es capaz de entregar a una barra infinita. Si la potencia elctrica entregada por el generador a la barra infinita se triplica bruscamente, determinar el valor mximo alcanzado por el ngulo durante las oscilaciones alrededor del nuevo punto de equilibrio. Cul es el ngulo de rgimen permanente en el nuevo punto de equilibrio?

6.9.- Un generador que est operando a 50 Hz, entrega una potencia de 1 (pu) a una barra infinita a travs de una red completamente reactiva, cuando ocurre una falla que reduce la mxima potencia transferible a 0,4 (pu), mientras que la mxima potencia transferible antes de falla era de 1,8 (pu) y de 1,25 (pu) despus que la falla es despejada. La constante de inercia es de 4 seg. La falla se despeja a los 0,2 seg y el sistema se reconecta exitosamente 0,15 seg despus que la falla ha sido despejada. Utilizando exclusivamente la curva de oscilacin, determinar si el sistema es estable en las condiciones planteadas.

124

6.10.- En el sistema de la Figura 6.26, todos los parmetros en pu estn en base 100 MVA. La potencia compleja en el punto indicado es MVA )40j80(S +=& , cuando ocurre un cortocircuito trifsico en el punto F (al medio de la lnea). La falla es despejada simultneamente por ambos interruptores. Determine las ecuaciones de Pg() antes de falla, en falla y en falla despejada.

G

13,8 KVF

S.

Barra inf.V=1,1

40 MW, F. de P.=1

j0,1

j0,4

X' =0,25d

j0,41 2

Figura 6.26

6.11.- Repetir el Problema 6.10, considerando que la falla ocurre al comienzo de la lnea; es decir, al lado del interruptor N 1).

6.12.- Repetir el Problema 6.11, considerando que la carga es un reactor de 10 MVAr.

6.13.- Las ecuaciones de Pg=Pg() de un sistema Generador-Barra infinita son: PgAF=2,5 sin ; PgF=PgFD=0. La potencia que el generador entregaba a la barra infinita en el momento de producirse la falla era de 1,0 (pu). La falla es despejada a los 0,1 seg y 0,1 seg ms tarde se hace una reconexin exitosa. Todos los datos estn en una base comn. H=5 seg., f=50 Hz. Determine el valor mximo alcanzado por el ngulo durante las oscilaciones.

6.14.- Un generador de 50 Hz con H=5 (MJ/MVA) est conectado a travs de un transformador elevador a una lnea de transmisin. En el otro extremo de la lnea hay un transformador reductor que une la lnea a una barra infinita. Las reactancias en pu del generador son: X1=0,3; X2=0,15; X0=0,05, las de los transformadores X1=X2=X0=0,1 y las de las lnea de transmisin son: X1=X2=0,25 y X0=0,70. Los transformadores estn conectados en delta en el lado de baja tensin y en estrella con el neutro a tierra en el lado de alta tensin. Se produce una falla monofsica en el lado de alta tensin del transformador conectado al generador, en el momento que ste est suministrando una potencia de 1,0 (pu). La tensin interna del generador es 1,24 (pu) y la tensin de la barra infinita es de 1,05 (pu). La falla es aislada simultneamente por interruptores monopolares a ambos lados. Estos la aislan en 0,15 seg. y se reconectan 25 ciclos despus de la apertura. Determinar si el sistema permanece estable en estas condiciones.

6.15.- El sistema de la Figura 6.27 est trabajando en las condiciones indicadas. Todos los parmetros en porcentaje estn en base 100 MVA. Determinar el tiempo mximo de despeje de la falla si ocurre un cortocircuito monofsico a tierra en el punto F, al comienzo de la lnea, y sta tiene interruptores monopolares.

6.16.- Resuelva el problema 6.15, considerando que los interruptores son tripolares y que se produce reconexin automtica exitosa 0,1 seg despus que la falla ha sido despejada.

1 2

100 MVA75 MVA15/115 KV

X =15%0

X =X =40%1 2X =100%0

G

15 KVX =X =X =5%1 2 0

1

F

E'=140%

X' =X =X =30%d 21

H=1,875 seg

3 4

75 MVA

2

Barra Infinita

V =100%4100 MW

115/15 KVX =X =X =5%1 2 0

Figura 6.27

125

6.17.- En el sistema de la Figura 6.28 ocurre un cortocircuito bifsico a tierra en el punto F, al comienzo de la lnea, cuando la potencia transmitida en el punto indicado es MVA)20j175(S +=& . Todos los datos estn en base comn 100 MVA. a. Si los interruptores son tripolares y despejan la falla en forma simultnea, calcular el tiempo de

aclaramiento de la falla (sin reconexin) b. Si los interruptores reconectan la lnea 10 despus del despeje, calcular el tiempo de aclaramiento de

la falla en esta nueva condicin.

200 MVA 200 MVAX' =X =X =25%d 1 2X =25%0

X =45%01 2X =X =35%

Barrainfinita

F

H=3 seg

X =X =X =20%1 2 0

c/u

1 2

V=100%

S.G

Figura 6.28

6.18.- El sistema de la Figura 6.29 est entregando la potencia indicada a la barra infinita, cuando se abre la fase a de la lnea en el punto P, prximo a la barra 2. Determinar el mximo valor alcanzado por el ngulo al producirse la oscilacin del rotor de generador. Todos los datos en % estn en base 50 MVA.

1 2 3 4G

X =X =X =5%1 2 0

X =X =20%1 2X =50%0

PBarra

InfinitaV =100%3

(50+j20) MVA

X =X =X =5%1 2 0X =10%0

X' =X =30%d 1X =15%2

Figura 6.29

6.19.- En el sistema de la Figura 6.30, ocurre un cortocircuito trifsico en el punto F (mitad de la lnea inferior), cuando el sistema estaba trabajando en las condiciones indicadas. Todos los datos estn en base 100 MVA. La falla es despejada por ambos interruptores en forma simultnea y luego el sistema se reconecta. Determinar: a. Las ecuaciones de PgAF, PgF y PgFD. b. La potencia elctrica que estaba entregando el generador y su ngulo de torque en el momento en que

ocurri la falla

100 MVA100 MVA 100 MVA

15/115 kVX =30% d'

X=40% c/u

115/15 kV

G

15 kV

X=10% X=5%

BarraInfinita

(15+j5) MVA (25+j10) MVA

V=100%(40+j10) MVA

F1 2

Figura 6.30