8M Dinamica de Los Sistemas

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL MENDOZA

MECANICA Y MECANISMOS AÑO 2012

Chung Roger, Legajo 3441, TP N°8 - TPN°8 Dinámica de los Sistemas Página 198

TPN°8 Dinámica de los Sistemas

Ejercicio N°8.1.63

El siguiente mecanismo en V gira con velocidad angular constante en sentido contrario a las agujas del reloj

alrededor del punto O. las 2 ramas de la V están en el mismo plano axial ubicadas como se muestra en la

figura. Diseñar un contrapeso que balancee estáticamente dicho mecanismo.

Resolución:

Tenemos que ambas masas están sobre un mismo plano de rotación que es perpendicular al eje de rotación,

por lo tanto la sumatoria de fuerzas centrifugas es igual a cero, que es una condición necesaria y suficiente.

∑

Planteamos las sumatorias de fuerza centrifugas en X e Y.

∑

∑

Donde

Masa equilibrante

: radio equilibrante en x





De la misma forma en y.

Despejamos: supongamos que todos los términos son positivos, luego el signo nos lo da el coseno o seno de

cada término.

Debido a que se encuentra en todos los términos de la ecuación simplificamos : por eso en algunos libros

se encuentra como el producto del radio por la masa, que dimensionalmente no es una fuerza. Pero si

conceptualmente.

Si las relacionamos la fuerza equilibrante en x y la fuerza equilibrante en y:

Si la sumamos en forma cuadrática:

√( ) ( )

√( ) ( )

Adopto un radio intermedio de los datos.





Representamos gráficamente:





Ejercicio N°8.2.64

Un ventilador que envía aire frio a un horno horizontal de cemento está compuesto por 3 paletas “X” distribuidas angularmente. Su eje de rotación es horizontal. Determinar el peso del mayor contrapeso que se necesitará a un radio de 10cm para el balanceo estático en el peor caso constructivo posible. Peso de cada paleta 1kg + - 5%. El centro de masa de cada paleta se encuentra a 3cm + - 10% respecto del centro de rotación. Resolución:

Tendremos las 3 paletas de 10cm distribuidas a 120° equidistantes.

Planteamos los peores casos posibles:

Caso 1: ponemos el mayor peso a la mayor distancia para que tenga una mayor fuerza centrífuga, luego

ponemos el menor peso a la menor distancia lo que daría la menor fuerza centrifuga

1.05 kg

1 kg

0.95 kg

Caso 2: ponemos dos paletas con el mayor peso posible a mayor distancia, y una paleta con el menor peso

posible a la menor distancia,

1.05 kg

1kg

0.95 kg





Todas las paletas (masa) están sobre el mismo plano de rotación, Por lo tanto la sumatoria de fuerzas

centrifugas es igual a cero, que es una condición necesaria y suficiente.

∑

Planteamos las fuerzas centrifugas en X e Y:

∑

∑

Para el 1 caso tendremos:

√( ) ( )

√( ) ( )

Para un radio de r=10cm:

Para el 2 caso tendremos:





√( ) ( )

√( ) ( )

Para un radio de r=10cm:

El peor caso es el número 2.

Calculo del módulo de las fuerzas centrifugas

Gráfico de la fuerza equilibrante en escala de

La suma vectorial de la fuerza equilibrante seria:

Debido a que se forma un triángulo equilátero

Conociendo la fuerza equilibrante en 1 y 2 y el radio

despejamos las masa distribuidas en 1 y 2





Ejercicio N°8.3.65

(Balancero dinámico) El sistema mostrado en la figura tiene los siguientes datos

M1=1.2 kg M2=1.8 kg M3=2.4 kg MA=? MB=?

r1=1.15m r2=0.8m r3=1m rA=1m rB=1m

L1=0.85m L2=1.7m L3=2.4m LB=3m

Encontrar los valores de las masas a colocar en las masa A y B para = 1m.

Determinar los valores de , Verificar en forma gráfica.

Resolución:

En el balanceo estático la sumatoria de fuerzas centrifugas es igual a cero, esta es una condición necesaria y

suficiente porque todas las bases se encontraban sobre un mismo plano que era perpendicular al eje de rotación,

ahora en el balanceo dinámico tenemos que las masas se encuentran ubicadas en diferentes planos

perpendiculares al eje de rotación, lo que hace que la sumatoria de fuerzas centrifugas igualadas a cero no sea

una condición suficiente, ahora tenemos que trabajar con la sumatoria de momentos, donde pasaría a ser una

condición necesaria y suficiente.

Planteamos nuestra condición necesaria y no suficiente

∑ ∑

Planteamos las fuerzas centrifugas en X e Y:

∑

∑





Despejando y remplazando los valores.

Planteamos una nueva ecuación de tal manera poder tener dos ecuaciones con dos incógnitas.

Entonces planteamos que la sumatoria de momentos es igual a cero.

∑

∑

Luego esto será una condición necesaria y suficiente

En los planos perpendiculares al eje colocados en A y B, tenemos que multiplicar cada uno de las determinadas

fuerzas por la distancia que tienen al plano de interés, esta sumatoria de momentos de fuerzas centrifugas en x

e y lo podría hacer en el plano A o B,

Nota: Se puede ubicar un plano en cualquier posición del eje dentro de los apoyos, nunca fuera de los apoyos y

es mejor trabajar con los planos que estén fuera de las masas.

Para considerar el signo de los términos de los momentos de fuerzas centrifuga, establecemos que los que están

al lado derecho del plano son positivos y los que están a la izquierda son negativos.

Debido a que todas las masas están del lado derecho del plano A, considero que todos los términos del lado

derecho tienen signo positivo, luego debido a que todos son positivos el signo lo corregirá el cuadrante de la

función seno o coseno de la sumatoria.





Luego para hacer los cálculos más prácticos establecemos:

Si nosotros aplicamos el momento a la fuerza de inercia 1 el vector momento estaría perpendicular al vector de

la fuerza de inercia 1.

si el vector de fuerza de inercia 1 lo descomponemos en sus componentes X e Y, vamos a tener

el vector de la fuerza de inercia en x va a generar un momento en la dirección Y.

el vector de la fuerza de inercia en y va a generar un momento en la dirección X.

Luego para determinar los momentos en X, tendríamos sumar todos las fuerzas de inercia en Y, lo cual nos

complica los cálculos.

Con el fin de mejorar el procedimiento de cálculo, vamos a considera que las sumatorias de fuerzas están

determinadas para un instante t=1 y la sumatoria de momentos están determinadas para un instante t=2, de tal

manera que el tiempo transcurrido entre 1 y 2 sea un desfasaje de 90°. Por lo cual la dirección de la fuerza va a

coincidir con la dirección del momento. En consecuencia las componentes X de las fuerzas de inercia la

multiplico por la distancia y me dará los momentos en X , ya no en Y como ocurría anteriormente.

Luego:

∑ ⏞

∑ ⏞

Como estamos haciendo sumatoria de momentos respecto del plano A, la masa A me provoca una fuerza

centrífuga A pero multiplicada por una distancia que es igual a cero, por lo que solo participe como incógnita el

término de la masa B.

Despejando me quedaría

Sustituyendo los valores





Si relacionamos miembro a miembro

√( ) ( )

Teniendo en cuenta

Reemplazo 2 en 1

Verificación en forma grafica

( )

( )

( )





Gráfico de las fuerzas de inercias en escala de , en el instante t=1

Para tener el sistema de vectores en equilibrio necesitamos cerrar el polígono de

vectores de fuerzas por lo cual necesitamos de 2 vectores, esto se debe a que las

masas están en distintos planos y la sumatoria de fuerzas centrifugas es una

condición necesaria y no suficiente.

Gráfico de vectores de momento en escala de , en el instante t=2 (desfasados 90°)

Para el plano A: Para el plano B:





Los vectores M1, M2, M3 son los momentos de las masas 1, 2,3 respectivamente. El vector que cierra el

polígono de momentos es el vector equilibrante en el caso del plano A, el vector de momento equilibrante es

MB, en el caso del plano B es MA.

Gráfico de las fuerzas de inercia:

Si se traza una paralela a la dirección de los vectores momentos MA y MB se

obtiene la dirección de las fuerzas equilibrante Fca y FcB . ( esto se debe al

desfasaje de los tiempos de 90°)

Estos resultados concuerdan con lo hecho analíticamente.





Ejercicio N° 8.4.66

En la figura se muestra un sistema de partículas móviles las masas son , ,

, y sus respectivas velocidades en pies/segundos:

.

Determinar la velocidad del centro de masas del sistema.

Resolución:

Por el teorema de Varignon del centro de masa podemos plantear

∑ ( )

Despejamos ( ) ∑ ( )

Derivamos ( )

∑ ( )

Debido a que O es fijo la expresión nos queda

∑

∑

( )

[ ]

Slug es la unidad de masa del sistema inglés, y se define como la masa que se desplaza a una aceleración de 1

ft/s² cuando se ejerce una fuerza de una libra sobre ella.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ft

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Libra_fuerza






Tres partículas cuyas masas son m, 2m, 3m se están moviendo en el plano XY con velocidades constantes. En

el instante t=0 sus posiciones son las indicadas en la figura. Encontrar la velocidad del centro de masa.

Resolución:

Para la resolución de este problema utilizamos la misma ecuación que en el problema anterior:

∑

∑

( ) ( ) ( )






Determinar la energía cinética del sistema de partículas del ejercicio N°8.4 de dos maneras:

a) A partir de las velocidades, las partículas tomadas individualmente

b) Aplicando el teorema de Konig

Resolución:

a)

∑

(

)

( ( ) ( ) ( ) ( ) )

( )

b) konig nos da la energía cinética cuando el punto O1 de la terna móvil coincide con el centro de masa.

∑

∑

( )

( )






Hallar el momento angular con respecto al punto O del sistema de partículas del ejercicio N°8.4

Resolución:

∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) |

|

( ) |

|

( ) |

|

( ) |

|






Determinar el momento angular con respecto al centro de masa del sistema de partículas tratado en el ejercicio N°8.4.

Después a partir de determinar , el momento angular con respecto al punto O.

Resolución:

la expresión de Drall para en centro de masa es

∑ ( )

Por lo que es lo mismo ∑ ( )

Determinamos el centro de masa.

∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Para determinar a partir de vemos lo siguiente:

∑ ( )

Si analizamo vectorialmente ( ) observamos que:

( ) ( ) ( )

A partir de la expresion anterior:

∑ [( ) ( )]

∑ ( ) ∑ ( )

∑ ( )

( )

Verificado el resultado con el ejercicio 8.7






un cuerpo rígido con masa m=750kg se mueve con velocidad angular constante relativa a un marco de referencia

newtoniano. El Drall respecto G, relativo a los ejes del cuerpo con origen en G es:

[ ] ( )

Tambien los momentos de inercia y centrifugos respecto a los ejes son:

[ ]

[ ]

[ ]

Determinar:

a) La velocidad angular del cuerpo

b) El momento ejercido sobre el cuerpo por la fuerza externa

c) La energia cinetica del cuerpo dado que

Resolucion:

La velocidad angular del cuerpo :

El calculo de Drall cuando los momentos centrifugos son nulos es:

Comparando 1 y 2

| |





El momento ejercido sobre el cuerpo por la fuerza externa

Para el momento de las fuerzas exteriores podemos aplicar las euaciones de euler debido a que los ejes son principales de

inercia. Cosiderarndo que la velocidad angular es constante.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

√

La resultante de las fuerzas exteriores sera nula debido a que la velocidad del centro de masa es constante.

∑

luego ∑

Aplicando la expresion para el calculo de la energia cinetica de un solido

donde debido a que no tenemos productos de inercia la expresion se reduce ah:

(

)






Considerar la placa oscilante cuadrada de espesor constante montada excentrica y oblicuamente sobre un eje rígido . la

masa de la placa es

y gira a n=400 vueltas por minuto, constante. Usando las ecuaciones de Euler

determine el momento que el eje ejerce sobre la placa y las reacciones sobre el eje por los cojinetes.

Resolucion:

Para aplicar euler hay dos condiciones:

esta fijo o

los ejes tienen que ser principales de inercia.

Las ecauciones de momento de euler para ejes principales son:

( )

( )

( )

Debido a que la velocidad angular es constante nos queda:

( )

( )

( )





Calculo de los ejes principales de inercia:

Si el plano X, Y es un plano de simetría, el eje Zo es un eje principal de inercia en O.

Si el plano Yo, Zo es un plano de simetría, el eje Xo es un eje principal de inercia en O

La unión de dos planos de simetría X,Y y Yo,Zo ,nos da un eje principal de inercia Yo en O. Estos ejes principales rotan con la placa. Descomponemos según las direcciones de los ejes principales Según el eje Zo no tenemos componentes de , debido a que este se encuentra en el plano Xo y Yo.

Luego

( )

( )

( )

Solo nos queda:

( )

Graficamente:

Calculamos el valor del modulo de la velocidad angular:

De tablas obtenemos y





Calculo :

( )

( )

Calculo :

Aplicamos Steiner

( )

( )

Reemplazamos los valores en Mo1

( )

Luego este momento positvo en el eje Zo es positivo, es debido a las fuerzas exteriores que son las reacciones.

Estas reacciones forman una cupla. Donde

Entonces:

Donde RA y RB son las reacciones en los cojinetes

Luego el momento que aplica el eje sobre la placa es el inverso al momento Mo1






Idéntico al anterior pero con una aceleración angular de 5 rad/s2, en sentido contrario a la velocidad angular.

Resolución:

Como ahora existe una variación en la velocidad angular, los términos de las ecuaciones de Euler que antes se anulaban

ahora poseerán un valor:

( )

( )

( )

Calculamos las componentes de la aceleración angular | |

Además Luego reemplazando en las ecuaciones de Euler:

( )





Sumando las componentes de

( )

| |

Luego el momento que aplica el eje sobre la placa en inverso

( ⏞

⏞

⏞

)

Proyectamos las componentes de los momentos sobre

los ejes fijos

El momento produce reacciones en el plano XY

en los puntos y

El momento produce reacciones en el plano XZ

en los puntos y

El momento no produce reacciones, este es el

que produce la aceleración angular.

Estas reacciones en A y B van girando con el cuerpo, para

calcular la máxima reacción se tendría que calcular las

reacciones estáticas y sumarlas.

Calculo de las reacciones:

Las reaciones debido a seran:

Las reaciones debido a seran:

De acuerdo a terna X,Y,Z las reaccione total en A y en B serán:

| |

| |





Ejerció N° 8.13 .75

Idéntico al ejercicio N°8.11 y determinar la energía cinética y el Drall de la placa giratoria para los ejes principales.

Resolución:

Para el cálculo de la Ec considéranos toda la masa concentrada en el CM de la placa, entonces:

⏞

(

)

Para el cálculo del Drall utilizamos la siguiente expresión:

( )

(

)

( ) ( )

|

| ( )






Un cigüeñal puede representarse como una barra delgada doblada en el plano del papel. El cigüeñal pesa 0.3 libras por

pulgada lineal y gira libremente sobre los rodamientos en A y B con una velocidad constante . Calcule

el Drall del cigüeñal alrededor del punto A cuando este se encuentre en el plano xy.

Resolución:

Las componentes de Drall son:

Donde

Nos queda:

Si el plano YX es un plano de simetría el eje z que pasa por A será eje principal de inercia.

Por lo tanto las expresiones que tengan momento de inercia respecto a z se anulan.

(z principal de inercia)

Quedando:





Calculo de los momentos de inercia

Dividimos en 7 partes el cigüeñal, y suponemos que cada una es una barra esbelta.

Momentos de inercia en X :

( )

( )





Calculo de producto de inercia

Reemplazando: en






El cohete Saturno V se usó en el programa Apolo de la NASA con una masa inicial de , un empuje de

un caudal másico de

y una carga útil de 25% determinar:

a) Velocidad relativa de los gases

b) Tiempo de quemado de los gases

c) Aceleración en el despegue

d) Velocidad final cuando se termina de quemar todo el combustible.

| |

Resolución:

Velocidad relativa de los gases

Por el teorema de la conservación del impulso llegamos a la siguiente expresión, que vos permitirá conocer la velocidad

relativa.

Tiempo de quemado de los gases

Para el tiempo de quemado, este es cuando el caudal agota toda la masa de combustible:

Aceleración en el despegue

En el cálculo de la aceleración utilizamos la siguiente expresión: ( )

Para el despegue t=0

( )

( )

Velocidad final cuando se termina de quemar todo el combustible.

Aplicamos la fórmula:

Nota: despreciando la resistencia del aire






Un vagón de carga vacío tiene una masa inicial de 12000kg. El vagón se mueve a una velocidad de 1km/h mientras es

cargado con granos a razón de 200kg/s. Calcule la magnitud de la fuerza F necesaria para mantener constante la

velocidad del vagón mientras este se carga despreciando las resistencias. Si el vagón se mueve ahora con velocidad inicial

de 2 km/h cuando empieza a ser cargado, calcule su velocidad 20 segundos después suponiendo que no existen fuerzas

horizontales que actúan durante este tiempo.

Resolución:

Calculo de la fuerza para mantener el vagón con velocidad constante

∑

Si no existiera una fuerza exterior el vagón va perdiendo velocidad, calculamos para v=cte. Entonces la expresión nos

queda:

∑

Para determinar la velocidad relativa detenemos la vagoneta con velocidad –V y la aplicamos la misma velocidad horizontal

a los granos que caen

Luego

∑





Calculo de la velocidad 20 segundos después

Ahora la velocidad inicial de la vagoneta es

y la sumatoria de las fuerzas exteriores es cero ∑ .

Dónde:

Debido a que Vamos ganando masa

La masa en

La velocidad final está dada por la integral de la aceleración: donde se consideró que la masa es constante

Para verificarlo vamos a analizarlo infinitesimalmente.

Integramos

∫

∫

∫

∫

[ ( )] [ (

* ( )]

Verificando el cálculo anterior






Un vehículo espacial de 5000kg se encuentra con velocidad 0 en el espacio exterior (sin atmosfera sin gravedad) cuando

su motor de propulsión iónica se enciende. El motor expulsa masa a una razón constante de con una

velocidad relativa (al vehículo) de 6000 km/h. Calcule las velocidades del vehículo después de que el motor haya operado

1h y 100h.

Resolución:

Calculo de la aceleración:

( )

( )

Calculo de la velocidad:

( )

( )






Un mecanismo transportador está diseñado para mover a las personas horizontalmente a una velocidad de 5 pie/s. un

grupo de personas empieza a pisar sobre el transportador vacío, añadiendo peso a razón de 300 lb/s.

a) Calcule la fuerza requerida para mantener el mecanismo moviéndose a una velocidad constante si

desprecie la fricción.

b) Calcule esta fuerza si suponemos que las personas no permanecen inmóviles sobre el mecanismo en

movimiento sino que caminan hacia adelante a una velocidad relativa al mecanismo de 4 pie/s.

Resolución:

Calculo de la fuerza requerida para mantener el mecanismo moviéndose a una velocidad constante si

Tenemos

∑

Luego

∑

Es decir no causamos ninguna reacción al mecanismo cuando tenemos una velocidad relativa igual a 0, (osea nos quedamos

parados en encima del mecanismo)

Calcule esta fuerza si suponemos que las personas no permanecen inmóviles sobre el mecanismo en movimiento sino que

caminan hacia adelante a una velocidad relativa al mecanismo de 4 pie/s.

Tenemos

∑

⏞

Concluimos que cuando caminamos por el mecanismo nosotros damos un empuje, por lo tanto la fuerza para equilibrar

tiene que ser positiva.





Ejercicio N°8.19.81

Una nave espacial de 1200 lb está montada en la parte superior de un cohete que pesa 42600 lb, lo cual incluye 40000 lb

de combustible. Si el combustible se quema a razón de 500 lb/s y se expulsa con una velocidad relativa de 12000 pie/s,

determínese la que se comunica a la nave cuando el cohete se dispara verticalmente desde el suelo.

Resolución:





Ejercicio N° 8.20 .82

El cohete utilizado para lanzar la nave espacial de ejercicio anterior se rediseña de manera que consiste en dos etapas A y

B, cada una con un peso de 21300 lb que incluyen 20000 lb de combustible. El combustible se sigue consumiendo a razón

de 500 lb/s y se expulsa con

. Si se sabe que cuando la etapa A expulsa su última partícula de combustible

su cubierta se desprende y es disparada, encuéntrese:

a) La velocidad del cohete en ese instante.

b) La velocidad máxima que se proporciona a la nave .

Resolución:

Velocidad final de la etapa A

Velocidad final de la etapa B

( ) [ (

) (

)]

( ) [ (

) (

)]






En una picada, un avión a reacción, viaja en un arco circular que se haya en el plano vertical. Dicho arco tiene un radio de

6000 pie. La rapidez del avión es de 600 ml/h. El rotor del motor gira a 15000 vpm en sentido horario cuando se ve desde

la cola del avión y su momento de inercia respecto a su eje de rotación es de 3 lb . Determine el par ejercido sobre

el fuselaje del avión. (Fuselaje es el cuerpo del avión)

Resolución:

La velocidades angulares y son perpendiculares, por lo tanto usamos la ecuación.

( )

Calculamos las velocidades angulares

Reemplazamos en la ecuación:

[

]

Cuando doblamos se aplica un momento de fuerzas exteriores en el eje de la turbina, donde este reacciona con una cupla

contraria al momento (cupla de reacción giroscópica).

La cupla de reacción giroscópica es el par ejercido por el eje sobre el fuselaje,

El fuselaje ejerce un momento Mo1 sobre el eje y el eje ejerce una reacción contraria

http://es.wikipedia.org/wiki/Avi%C3%B3n






El disco y el eje mostrado en la figura giran con velocidad angular respecto al eje Y del eje, y este gira con velocidad

angular respecto al eje z, una fuerza P es aplicada en el extremo derecho del eje . Describa la respuesta del eje para

los siguientes casos:

a) La Fuerza está dirigida en la dirección –x

b) La Fuerza está dirigida en la dirección +x

c) La Fuerza está dirigida en la dirección +z

d) La Fuerza está dirigida en la dirección –z

Resolución:

En todos los casos el disco precede debido al peso.

el eje del disco tiende a levantarse hacia al eje z. El eje tiende bajar hacia al eje z

El eje tiende a levantarse hacia al eje x El eje tiende a bajar hacia al eje x






Un volante de un auto gira en sentido horario visto por el conductor respecto a su eje central que está alineado con el eje

longitudinal del auto. El momento de inercia del volante respecto a este eje es de 2.7 kg(masa) m2 cuando el auto viaja a

72 km/h, el volante gira a 3600 vueltas por minuto, la distancia entre los ejes frontales y posterior es de 3m. El auto da

vuelta a la izquierda sobre una curva de 20m de radio, con una rapidez de 20m/s. Determine el cambio en la fuerza neta

sobre las ruedas frontales debido al efecto giroscópico.

V=72km/h=20m/s

Resolución:

Cuando giramos el auto a la izquierda estamos precediendo en sentido contrario a las agujas del reloj luego Wp estará en el

eje Z positivo.

Aplicamos la expresión para hallar la cupla de reacción giroscópica , vemos que este se encuentra en el

sentido negativo del eje x .

El efecto de esta cupla sobre el auto, es que levanta un poco las ruedas

delanteras y aprieta las ruedas traseras

Calculamos las velocidades angulares:

Para hallar la fuerza de la cupla






El giroscopio estabilizador de barco, es un disco solido con masa de 3450 slug y el radio de 6pie. El giroscopio gira con una

rapidez angular de 900 vpm respecto a su eje de rotación que está dirigido verticalmente hacia arriba. El barco encuentra

una ola que lo hace bascular momentáneamente respecto a su eje longitudinal a razón de 0.1 rad/s hacia estribor.

a) Determine el par ejercido sobre el barco por los soportes del giroscopio

b) Como es efectuado el movimiento del barco por el par.

Resolución:

a) Calculo del Par ejercido:

( )

( )

b) El efecto giroscópico hunde la proa (parte delantera del barco) .

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