9 A LAS INTEGRALES INICIACIÓN - editorialrubinos · PDF fileComo queda por debajo del...

Unidad 9. Iniciacin a las integrales 1
Pgina 209
REFLEXIONA Y RESUELVE
Dos trenes
Un Talgo y un tren de mercancas salen de la misma estacin, por la misma va yen idntica direccin, uno tras otro, casi simultneamente.
Estas son las grficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.
Como podemos ver en la grfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad:
A qu puede deberse?
Por qu no aminora la marcha tambin el otro tren en ese instante?
A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el Talgo se detiene durantebreves minutos, mientras que el tren de mercancas va muy despacio durantemedia hora.
Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos clculos:
a) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. Cuntos kilmetros recorre a esa velo-cidad?
b)De 2 a 2 , el Talgo disminuye su velocidad.
Cuntos kilmetros recorre a esa velocidad?
14
1 2 3 4
TIEMPO(en horas)
TALGOMERCANCAS
120
100
80
60
40
20
VELOCIDAD(en km/h)
INICIACIN A LAS INTEGRALES9
www.librospdf1.blogspot.com www.gratis2.com www.miacademia1.blogspot.com

c) El tren de mercancas aminora la marcha a las 3 h. Qu distancia ha reco-rrido hasta ese momento?
d) Qu distancia recorre el tren de mercancas durante la media hora en queva a baja velocidad?
e) A qu distancia de la estacin de salida est esta otra en la que para el Talgo?
f ) Observa que en todos los clculos que has realizado hasta ahora se han ob-tenido reas bajo las grficas, roja o azul. Seala los recintos cuyas reas hascalculado y asigna a cada uno su rea correspondiente.
a) 120 2 = 240 km.
b) A 60 km/h durante de hora, recorre = 15 km.
c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 3 = 240 km.
d) Va a 30 km/h durante hora, luego recorre 30 = 15 km.
e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:
120 2 = 240 km en las dos primeras horas
60 = 15 km el siguiente cuarto de hora
120 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora
Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.
f)
1 2 3 4TIEMPO (horas)
TIEMPO (horas)
120
100
80
60
40
20
VELOCIDAD (km/h)
VELOCIDAD (km/h)
1 2 3 4
80
60
40
20
rea 240
rea 240
rea15
rea 90
rea 15
TALGO
MERCANCAS
34
14
12
12
604
14
Unidad 9. Iniciacin a las integrales2www.librospdf1.blogspot.com www.gratis2.com www.miacademia1.blogspot.com

Cul es la funcin cuya derivada es?
La funcin cuya derivada es 2x es ... x2.
La funcin cuya derivada es cos x es ... sen x.
La funcin cuya derivada es es ... .
Di cul es la funcin cuya derivada es:
a) 2x b) x c) 5x d) 3x2 e) x2
f) 5x2 g) 4x3 h) x3 i) 2x3 j) 1
k) 4 l) m) 3x2 + 4x3 n) 5x2 + 7x3 ) sen x
o) sen x p) 5sen x q) cos x r) ex s) 3ex
t) ex u) 2x ln2 v) 2x w) 5 2x
a) 2 b) 1 c) 5 d) 6x e) 2x
f) 10x g) 12x2 h) 3x2 i) 6x2 j) 0
k) 0 l) 0 m) 6x + 12x2 n) 10x + 21x2 ) cos x
o) cos x p) 5cos x q) sen x r) e x s) 3ex
t) ex u) 2x (ln2)2 v) 2x ln2 w) 5 2x ln2
Pgina 211
1. Calcula las siguientes integrales:
a) 7x4 dx b) dx c) dxd) dx e) dx f) dx
a) 7x4 dx = 7 + k = + k
b) dx = x2 dx = + k = + k
c) dx = x1/2 dx = + k = + k
d) dx = x2/3 dx = + k = + k 3 35x55
x5/3
5/3
35
35
35x2
2x33
x3/2
3/2x
1x
x1
11x2
7x5
5x5
5
5x333x
3x +
5x3
3x35x2
x1x2
2
x12
x
9UNIDAD

e) dx = dx + dx = x2/3 dx + x1/2 dx =
= + + k = + + k
f ) dx = dx = x7/6 dx = + k = + k
2. Calcula:
a) dx b) (5 cos x + 3x ) dxc) dx d) (10x 5x ) dx
a) dx = (x3 5x + 3 ) dx = + 3x 4 ln |x | + kb) (5 cos x + 3x ) dx = 5 cos x dx + 3x dx = 5 senx + + k
c) dx = ( ) dx ( ) dx + ( ) dx ( ) dx = = 7x2 dx 5 dx + dx dx =
= 5x + 3 ln |x | + + k
d) (10x 5x ) dx = 10x dx 5x dx = + k
Pgina 213
3. Halla las primitivas de estas funciones:
a) f (x) = (x3 5x + 3)2
(3x2 5) b) f (x) = (5x + 1)3
c) f (x) = d) f (x) =
e) f (x) = cos x sen3 x
a) (x3 5x + 3)2(3x2 5) dx = + kb) (5x + 1)3 dx = + k = + k(5x + 1)
4
20(5x + 1)4
415
(x3 5x + 3)3
3
x2 1x3 3x
3x2 3x3 3x
5x
ln 510x
ln 10
4x
7x3
3
4x2
3x
4x2
3xx2
5x2
x27x4
x2
7x4 5x2 + 3x 4x2
3x
ln 3
5x2
2x4
44x
x4 5x2 + 3x 4x
7x4 5x2 + 3x 4x2
x4 5x2 + 3x 4x
65
6x13
133
3
x13/6
13/6
5
33
5
33
5 x3/2
33 x1/3
5x333x
25x39
3xx
3/2
3/253
x1/3
1/313
53
13
5 x3/2
3xx1/3
3x
3x +
5x3
3x

c) dx = ln |x 3x | + kd) dx = ln |x3 3x | + ke) cos x sen3 x dx = + k
4. Busca las primitivas de:
a) f (x) = x 2x2 ln 2 b) f (x) = x 2x
2
c) f (x) = 23x 5 d) f (x) = sen 3x
e) f (x) = sen (x3 4x2) (3x2 8x) f) f (x) =
a) x 2x2 ln 2 dx = 2x2 + k = +kb) x 2x2 dx = 2x2 + k = + kc) 23x 5 dx = 23x 5 + k = + kd) sen 3x dx = cos 3x + ke) sen (x3 4x2) (3x2 8x) dx = cos (x3 4x2) + kf) dx = ln | sen x | + k
Pgina 217
1. Halla e interpreta estas integrales:
a) 4
0sen x dx
b) 2
2(x2 4) dx
a) G (x) = sen x dx = cos xG (4) = 1; G (0) = 1
4
0sen x dx = 1 (1) = 1 + 1 = 0
cos xsen x
13
23x 5
3 ln 21
3 ln 2
2x2
2 ln 21
2 ln 2
2x2
212
cos xsen x
sen4 x4
13
x2 1x3 3x
3x2 3x3 3x
9UNIDAD

Interpretacin geomtrica:
La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da como resultado 0:
rea de I rea de II + rea de III rea de IV = 0
b) G (x) = (x2 4) dx = 4xG (2) = ; G (2) =
2
2(x2 4) dx = =
Como queda por debajo del eje X, la integral es el rea del recinto sealado consigno negativo, es decir:
rea del recinto =
2. Halla la siguiente integral e interprtala geomtricamente: 2
0ex dx
G (x) = 2
0ex dx = ex
G (2) = e2; G (0) = 1
2
0ex dx = e2 1 6,39
rea del recinto = e2 1 6,39
1 2
y = ex
12
8
323
2
y = x2 4
2
4
323
163
163
163
163
x3
3
y = sen x
2
I
II
III
IV
3 4

Pgina 219
1. Halla el rea comprendida entre la funcin y = (x2 1) (x2 4), el eje X y lasrectas x = 0, x = 5.
Puntos de corte con el eje X :
(x2 1)(x2 4) = 0 8 x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 2
Solo nos sirven x = 1, x = 2 (estn entre 0 y 5).
Hay tres recintos: I [0, 1]; II [1, 2]; III [2, 5]
G (x) = (x2 1(x2 4) dx = (x4 5x2 + 4) dx = + 4x
G (0) = 0; G (1) = ; G (2) = ; G (5) =
rea del recinto I = |G (1) G (0) | =
rea del recinto II = |G (2) G (1) | = =
rea del recinto III = |G (5) G (2) | =
rea total = + + = = 439,6 u2
2. Halla el rea comprendida entre y = x3 x2 2x y el eje X.
Puntos de corte con el eje X :
x3 x2 2x = 0 8 x (x2 x 2) = 0 8 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2
Hay dos recintos: I [1, 0]; II [0, 2]
G (x) = (x3 x2 2x) dx = x2
G (1) = ; G (0) = 0; G (2) =
rea del recinto I = |G (0) G (1) | =
rea del recinto II = |G (2) G (0) | =
rea total = + = 3,08 u23712
83
512
83
512
83
512
x3
3x4
4
2 1985
2 1785
2215
3815
21785
2215|2215|
3815
13103
1615
3815
5x3
3x5
5
9UNIDAD

Pgina 220
1. Halla el rea encerrada entre las grficas de las funciones siguientes:
f (x) = x3 x2 + 4
g (x) = x2 + 3x + 4
f (x) g (x) = x3 x2 + 4 x2 3x 4 = x3 2x2 3x
x3 2x2 3x = 0 8 x (x2 2x 3) = 0 8 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 3
Hay dos recintos: I [1, 0]; II [0, 3]
G (x) = (x3 2x2 3x) dx = G (1) = ; G (0) = 0; G (3) =
Recinto I: rea [1, 0] = |G (0) G (1) | =
Recinto II: rea [0, 3] = |G (3) G (0) | =
rea total: + = 11,83 u2
1
5
10
15
20
25
2 3 41234
I
II
716
454
712
454
712
454
712
3x2
22x3
3x4
4

Pgina 226

9 A LAS INTEGRALES INICIACIÓN - editorialrubinos · PDF fileComo queda por debajo del...

Documents

Transcript of 9 A LAS INTEGRALES INICIACIÓN - editorialrubinos · PDF fileComo queda por debajo del...