9 ECUACIONES DESEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado son aquellas enlas que la incognita aparece elevada al cuadrado. Unaecuacion de segundo grado con una incognita tiene laforma ax2 + bx + C :::: 0, con a *- O.Los numeros a,b, c, se llaman, respectivamente, primer coeficien-te, segundo coeficiente y h~rmino independiente.Cuando esta expresada de esta forma, se dice que ]aecuacion esta escrita en su forma general 0 estandar.

Toda ecuacion de segundo grado, despues de efec-tuar operaciones como quitar denominadores y pasartodos los terminos al primer miembro, se puede re-ducir a su expresion general. Si el termino ax2 es ne-gativo, se convierte en positivo a] multiplicar por -1todos los miembros de la ecuacion.

Cada uno de los otros terminos puede ser positivo,negativo 0 cero. En este ultimo caso, la ecuacion sellama incompleta, y toma una de las dos formas si-guientes:

Se han estudiado las ecuaciones de primer grado,que tenfan una sola solucion, y los sistemas 2 x 2 deecuaciones de primer grado, para los que 0 bien seencontraba un punto del plano cartesiano que era susolucion, 0 bien se encontraba una recta cuyos infi-nitos puntos eran soluciones del sistema, 0 bien ca-redan de cua]quier solucion. Tambien se ha ofrecidouna introduccion sobre como solucionar los sistemasde ecuaciones lineales 3 x 3. En todos estos casos,la ecuacion 0 ecuaciones a resolver eran de primergrado, es decir, las variables estaban elevadas a expo-nente uno.

Las ecuaciones que a partir de ahora se resolveranson ecuaciones de segundo grado. Si una ecuacion deprimer grado tiene una solucion, parece logico queuna ecuacion de segundo grado tenga dos soluciones.Los procedimientos para determinar estas dos solu-ciones dependen de ]a forma escrita de la ecuacionde segundo grado, es decir, si se trata de una ecua-cion en forma estandar 0 incompleta.

EI caso mas simple es el de las ecuaciones incom-pIetas de forma ax2 + C :::: O. Al pasar c a] segundomiembro, se obtiene ax2 :::: -c. Si se dividen por aambos miembros, la ecuacion pasa a tener la forma:

? Cx-:::: --

a

Para despejar la variable buscada x, basta con ex-traer la rafz cuadrada del segundo miembro:

NIELSABEL (1802-1829)

Siendo muy joven, tras la muerte de su padre, Niels Abel tuvo quehacerse cargo de su familia. Esta situaci6n dificult6 su acceso a launiversidad. En 1821, por fin consigui6 ingresar en la Universidadde Cristiania (Ia actual Oslo), en la cual se gradu6 en 1822.Public6 en 1823 escritos sobre ecuaciones funcionales e integrales, yen 1824 prob6 que es imposible resolver mediante radicales lasecuaciones de quinto grado.

Gan6 un premio del gobiernoque Ie permiti6 viajar alextranjero, y visit6 Alemania yFrancia. En Alemania pas6 porla redacci6n del diario (relle,el primer peri6dico dedicadopor entero alas matematicas,que alios mas tarde publica riasu mas importante trabajo,Investigacion sobre lasfunciones elfpticas (1827).

Regres6 a Noruega de suestancia en Paris con lasalud muy deteriorada: Ie fuediagnosticada tuberculosis.A pesar de esta situaci6n, ensombrecida aun mas por la po breza,continu6 sus trabajos matematicos, de gran importancia para eldesarrollo de esta ciencia. Muy enfermo, durante la Navidad de1828 Abel se desplaz6 para visitar a su familia en Froland. Su saludcomenz6 a decaer con rapidez, y muri6 a los pocos meses.

Este brillante matematico noruegorealizo notables descubrimientos enalgebra y analisis matematico. En suhonor, los grupos conmutativos sedenominan grupos abelianos.

Es de notar que resultan dos soluciones, una positi-va y otra negativa, pues, por la regIa de los signos delproducto, se tiene que x·x es igual a (-x)·( -x), asi queambos valores son soluciones de la raiz de x2. Vease unejemplo: sea la ecuaci6n de segundo grado incomple-ta 3x2 - 27 = O.Se pasa -27 al segundo miembro paraobtener 3x2 = 27. Se dividen ambos miembros por elcoeficiente de a, es decir, por 3, y queda x2 = 9. Alextraer la raiz cuadrada, se obtienen los dos valoresque satisfacen la ecuaci6n inicial: x = ± Y9 = ±3.Asi pues, Xl = +3 YX2 = -3 son las dos soluciones. Secomprueba al sustituir ambos valores en la ecuaci6n:3.32-27 = 27-27 = 0, y 3·( -3?-27 = 27-27 = O.

EI siguiente metodo de resoluci6n se aplica alasecuaciones de segundo grado incompletas de formaax2 + bx = O. Si se saca x como factor comun, seobtiene x . (ax + b) = O. Para que el primer miembrode la igualdad sea 0, es necesario que sea 0 uno delos factores; es decir, debe pasar que 0 bien x = 0, 0bien que ax + b = O. En este ultimo caso, se resuelvela ecuaci6n de primer grado, y se obtiene la f6rmula:

bx =--

aLas dos soluciones son, por tanto, Xl = 0 Y X2 =

b= --. Vease un ejemplo: sea 3x2 - 6x = O. Si se sacaa

factor comun x, se obtiene x- (3x - 6) = O. Si el primermiembro de la igualdad debe ser igual a cera, es por-que 0 bien X = 0 (primera soluci6n), 0 bien porque3x - 6 = O. De esta ultima ecuaci6n se deduce quex = 2. Por tanto, Xl = 0 Y X2 = 2 son las solucionesde la ecuaci6n dada. Al sustituirlos en la ecuaci6noriginal, se comprueba con facilidad que la ecua-ci6n esta bien resuelta: para Xl = 0, 3 . 02 - 6 . 0 == 0 - 0 = 0, y para X2 = 3,3.22 - 6·2 = 12-12 = O.

EI tercer procedimiento se aplica alas ecuacionesde segundo grado de forma general ax2 + bx + c = O.En primer lugar, se pasa c al segundo miembro, y seobtiene ax2 + bx = -c. Se multiplican ambos rniem-bros por 4a, de forma que resulta 4a2x2 + 4abx == -4ac. Se suma b2 a ambos miembros de la expre-si6n anterior, para obtener la forma 4a2x2 + 4abx++b2 = b2 -4ac. Se sabe de capitulos anteriores que elcuadrado de una suma, (a+b)2, es igual aa2+2ab+b2;por tanto, resulta que:

(2ax + b)2 = 22a2x2 + 4abx + b2 = 4a2x2 + 4abx + b2

Si se compara esta expresi6n con el primer miembrode la ultima de las transformaciones de la ecuaci6nque se quiere resolver, 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac,se observa que son iguales, por 10 que la ecuaci6n

puede pasar a escribirse del siguiente modo (2ax++b)2 = b2 -4ac. Al extraer la raiz cuadrada de ambosmiembros, se tiene:

Si se transpone b y se despeja la variable x, se ob-tiene por fin:

-b ± Yb2 - 4acx=------

2a

Observese que de la raiz cuadrada se obtienen dossoluciones, la positiva y la negativa. De este hechose deriva que de la f6rmula establecida surjan las dossoluciones de una ecuaci6n de segundo grado, siem-pre y cuando el resultado del calculo b2 - 4ac seapositivo. En caso que este valor resulte igual acero,la raiz de cero es cera, y a este numera no tiene sen-tido atribuirle signo positivo 0 negativo, por 10 ques610 resultara una soluci6n, denominada soluci6n do-ble. En caso que al calcular b2 - 4ac resulte un valornegativo, la ecuaci6n de segundo grado no tendra nin-guna soluci6n, ya que no existen las rakes reales denumeros negativos.

Vease un ejemplo en el que se obtienen dos solu-ciones para la ecuaci6n de segundo grado: considere-se la ecuaci6n 3x2 - 12x + 9 = O. Para encontrar lasdos soluciones de esta ecuaci6n, se aplica la f6rmuladeducida con anterioridad. En este caso particular, setiene que a = 3, b = -12, Y c = 9; si se sustituyenestos valores en la f6rmula, se tiene:

-b ± Yb2 - 4acx=------

2a12± Y122 - 4·3 ·9

2·3

Para calcular X se llevaran a cabo las siguientes ope-raciones:

12± Y122 - 4 . 3 . 92·3

12 ±...f36 12 ± 6=6 6

12 ± Y144 - 1086

Todas las personas que asistieron a una reunion se estrecharon lamano. Una de ellas advirti6 que se dieron 66 apretones de mano.iCuantas personas concurrieron a la reunion?

Solucion al final del capitulo

En este punto ya se pueden diferenciar las dos so-luciones: la primera es

12 + 6 18XL = --- = - = 36 6

12 - 6 6X2 = -- = - = 16 6

Saber calcular las soluciones, rakes 0 ceros de unaecuaci6n de segundo grado resulta util en divers assituaciones. Entre otras, recuerdense los polinomios desegundo grado, estudiados en capitulos anteriores,y su representaci6n grafica: para representarlos, seasignaban distintos val ores numericos al literal X, sesustitufan en el polinomio y se encontraba el valornumerico correspondiente; luego, se dibujaban lospuntos con coordenadas formadas por los pares va-lor numerico asignado de X, valor numerico del po-linomio para X, con los que se trazaba una parabola.Tambien se aprendi6 a buscar el vertice de la parabo-la y a deducir su abertura y orientaci6n. Pues bien, alsaber resolver la ecuaci6n ax2 + bx + C = 0, se pue-den calcular las coordenadas de los puntos donde laparabola corta el eje de abscisas, ya que son preci-samente estos puntos, los que satisfacen la ecuaci6nanterior.

Vease un ejemplo: considerese el polinomio de se-gundo grado x2 - X - 2, Y sup6ngase que se quierehacer su representaci6n grafica. Si se observa el coe-ficiente a del termino de segundo grado, se comprue-ba que a = 1,10 que indica que la parabola tiene for-ma de valle y su abertura es ({normal». Si se buscanlas coordenadas del vertice mediante la f6rmula:

(_~ _ b

2- 4ac)

2a' 4a

se tiene que el vertice se encuentra en las siguientescoordenadas:

(1 1+8) (1 9)- -- = - -- = (05 -225)2' 4 2' 4 ",

Tambien se pueden asignar unos cuantos val ores a X

y calcular el valor numerico del polinomio para ellos.Se ordenan en una tabla como la siguiente:

x x2-x-20 - 2

1 -2

2 0

Se puede observar en la tabla de valores que 2 esun cero del polinomio, 0 10 que es 10 mismo, que elpunto (2, 0) de la parabola es un punto pertenecienteal eje de abscisas. Pero si no se ha tenido la suertede hallar este numero al azar, 0 si se quiere conocertambien el otro cero del polinomio, se puede utilizarla f6rmula de resoluci6n de ecuaciones de segundogrado para hallar los valores de x2 - x- 2 = 0, es decir,aquellos valores de X para los que el valor numericodel polinomio es igual a cero. Entonces:

-b ± -...Ib2- 4ac

2a

1± -.../92

I± -Y1+82

1 + 3 4Xl = -- = - = 2

2 2

que ya se habia hallado en la tabla de valores, y de larafz negativa, se deduce que la segunda soluci6n es:

1 - 3 2X2 = -- = -- = -12 2

De esta forma, se ha calculado que los dos puntosen los que la parabola interseca con el eje de abscisasson los de coordenadas (2,0) Y (-1, 0). Si se consi-deran todos los datos y se representa la grafica de lafunci6n, su trazado es:

Una ecuaci6n bicuadrada es una ecuaci6n de cuar-to grado que s610 contiene potencias pares de lainc6gnita, es decir, que se puede escribir de la formaax4 + bx2 + C = 0, donde a, bye son numeros conoci-dos. Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolvermediante la aplicaci6n de los metodos de resoluci6nde las ecuaciones de segundo grado.

Para conseguirlo, se establece la equivalencia y == x2

, tras 10que se sustituye este literal en la ecuaci6n

bicuadrada, teniendo en cuenta que, si y = x2, enton-ces y2 = (x2)2. Se tiene asi que:

Mediante este cambio de variable se ha obtenidouna ecuacion de segundo grado. Una vez se resuel-va esta, bastani con extraer la raiz cuadrada de cadauna de las soluciones obtenidas, con 10 que se conse-guiran las cuatro soluciones de la ecuacion bicuadra-da planteada.

Vamos a explicar un ejemplo que hara que se yeamas claro 10 expuesto: supongase que se desea resol-ver la ecuacion 3x4 - 75x2 + 432 = O. Si se estableceque y = x2, se tiene la ecuacion de segundo grado3y2- 75y + 432 = O. Ahora se aplica la formula:

-b ± "";b2 - 4acy=

2a

teniendo en cuenta que en este caso a = 3, b = -75 Yc = 432:

75 ± ~(-75)2 - 4·3·432y = 2·3

Al realizar las operaciones de la expresion anterior,se van obteniendo de manera consecutiva las siguien-tes equivalencias:

75 ± "";5 625 - 5 184 75 ± -Y44l=6 6

75 ± 216

Por tanto, ahora se puede proceder a calcular lasdos soluciones de la ecuacion de segundo grado, esdecir:

_ 75 + 21 _ 96 _ 6YI - --6-- - 6 -1

75 - 21 54Y2 = --6- = 6 = 9

A continuacion, como se habia establecido que y == x2, si se sustituyen en esta expresion las solucio-nes obtenidas, se observa que xf = 16 Y que x~ = 9.Al extraer la raiz cuadrada para cada uno de las dosvalores, resultan las cuatro soluciones de la ecuacioninicial: Xl = ±4 y X2 = ±3, es decir, Xl = 4; X2 = 3;X3 = -4; YX4 = -3.

Se ha aprendido a solucionar ecuaciones de pri-mer, y segundo grado y bicuadradas, es decir, ungrupo concreto de ecuaciones de cuarto grado. Pero,l,que pasa con las ecuaciones de tercer grado, 0 dequinto grado, 0 de grado 1O? Si se piensa en estasecuaciones como polinomios de estos grados, igua-lados acero, l,es posible encontrar sus rakes? Paraello, se puede utilizar el metodo de Ruffini, que per-mite encontrar las rakes de los polinomios de gradomayor 0 igual a 3, aunque solo en caso de que seanenteras, es decir, con valores como - 2, - 3, 1, 5, 0

Alumno destacado, el italiano Paolo Ruffini, tras estudiar medicina,literatura y filosofia, comenz6 la carrera de matematicas, cuyotitulo consigui6 con tan s610 22 aiios de edad. En 1787 ingres6 en elcuerpo de profesores de la Universidad de M6dena, donde habracursado su carrera. Tambien consigui6 la catedra de matematicasde la escuela militar de la misma ciudad, pero tuvo que abandonarestos cargos por razones pollticas. Tiempo despues, recuper6 suscatedras, tanto de medicina como de matematicas, lIegando aejercer el cargo de rector.En el ambito de lasmate mati cas, Ruffini con-sigui6 importantes avancesen teorfa de numeros ydiseii6 metodos para laresoluci6n de ecuaciones ypolinomios. Entre sus obras,destaca Teoria general dela ecuaciones, en la que sedemuestra la imposibilidadde las soluciones algebraicaspara las ecuaciones generalesde grado superior al cuarto(1798). En esta obra plante6de modo incompleto la teoriaque justifica la imposibilidadde hallar una soluci6n generalpara las ecuaciones algebraicasde este tipo. Su trabajo fue corregido y concluido por el matematiconoruego Niels Abel.

Otras obras notables de Ruffini son Algebra (1807), Reflexionessobre la solucion de ecuaciones algebraicas generales (1813) YReflexiones criticas sobre el ensayo filosofico del senor Laplace sobrela probabilidad (1821).

EI nombre de Ruffini ha quedadoasociado a la regIa que permite,de un modo simple, encontrar elresultado de la division de unpolinomio por un binomio de laforma (x - a).

cualquier otro numero entero, pero no si es fraccio-

nario (como ~) 0 real no entero (como 7f a -Y2).Para utilizar el metoda de Ruffini para encontrar

los ceros de un polinomio dado, ax" + bx,.-l + ... + s,en el que r ~ 3, 10 primero que se debe haceres completar el polinomio si est! incompleto. Con-siderese, por ejemplo, el polinomio de tercer gradox3 + 5x2 + 9x + 45. En este caso el polinomio es com-pleto, puesto que es de grado 3 y los coeficientes delos terminos de grado menor que 3 son todos diferen-tes de cero.

Una vez se ha completado el polinomio, se dispo-nen los coeficientes siempre ordenados de mayor gra-do a menor grado, y se hacen dos Ifneas, una verticaly una horizontal, de la siguiente manera:

~_1 __ 5 __ 9__ 4_5_

Ahora se considera el termino independiente, 45.Se trata de averiguar que numero entero sera una raizdel polinomio original. Pues bien, los posibles can-didatos son todos los numeros enteros que dividen altermino independiente del polinomio, es decir, 1, - I,3, - 3, 5, - 5, 9, - 9, 15, - 15,45 y - 45. l,C6mo sa-ber cual de ellos es? Se debe ir probando, empezandopor el divisor menor, es decir, - 1, y si se compruebaque no es una raiz, se repetira el mismo proceso conel resto de candidatos, siempre de menor a mayor envalor absoluto.

Sup6ngase que se va a comprobar para - 1. Se debecolocar en el esquema que aparece a continuaci6n dela siguiente forma:

~ 5__ 9__ 4_5_

Posteriormente, se baja el primer mimero de la pri-mera columna:

~ __ :__ 5 __ 9__ 4_5_

Luego se multiplica por - 1, Yel resultado se colocadebajo del mimero de la segunda columna, para luegosumar los numeros de esta:

~I

Se procede de igual manera con el resultado de lasuma, es decir, se multiplica por - 1, el resultado secoloca ahora bajo el mimero de la tercera columna yse suma:

Finalmente, se efectua el mismo proceso en la ulti-macolumna:

Una vez se ha llegado al final, se debe observar elultimo numero obtenido, 40. Como 40 "* 0, esto in-dica que - 1 no es una raiz del polinomio inicial, 0 10

que es 10 mismo, el valor numerico obtenido al susti-tuir la x por el valor probado ( - 1) no resultaria O.

Puesto que no se ha conseguido un resultado sa-tisfactorio, se intenta con el siguiente candidato, esdecir, con 1. El proceso es el mismo de antes:

Se puede observar de nuevo que 1 no es una raizdel polinomio. EI siguiente numero con el que se pro-bara el metoda de Ruffini es el - 3:

Tampoco se ha conseguido un cero. Con el candi-dato 3 el resultado seria similar, pero vease 10 quesucede al considerar -5:

45-45

oAhora si que se ha conseguido el O. De este hecho

se deduce que - 5 es un cero 0 raiz del polinomio ini-cial, 0 10 que es 10 mismo, el valor numerico obtenidoal sustituir x por - 5 en el polinomio x3 + 5x2 + 9x + 45es cero: ( - 5)3 + 5 . ( - 5)2 + 9 . ( - 5) + 45 == -125 + 125 - 45 + 45 = O.

Puede darse el caso que se lleguen a probar todoslos candidatos a ser ceros del polinomio y que paraninguno de ellos se obtenga un resultado igual a cero.

Esto no significa que el polinomio no tenga rakes,sino que estas, si las hay, no son enteras. Se recuerdaque dado un polinornio de grado r, con r mayor 0igual que 3, posee, como maximo, tres rakes reales.

La regIa Ruffini no solo da la informacion de que,en el ejemplo, - 5 es un cero del polinornio: tambienimplica que el polinornio x - ( - 5) = x + 5, divide ax3 + 5x2 + 9x + 45 de manera exacta. Si esto es asi, elresultado de dicha division es otro polinornio, llama-do polinornio cociente. Pues bien, los coeficientesde tal polinornio cociente vienen dados por la ultimafila del metodo de Ruffini, marcada en azul:

45-45

oSin contar el cero final, hay tres numeros: se con-

sidera que el ultimo de ellos es el terrnino indepen-diente, el penultimo el coeficiente del termino en xy el primero el de terrnino en x2, de manera que setiene que el resultado de dividir x3 + 5x2 + 9x + 45por x + 5 es x2 + 9. Para comprobarlo, se pro cede arealizar dicha division:

x3 + 5x2 + 9x + 45 ~_ x3 - 5x2 x2 + 9

9x + 45- 9x - 45

0 0

Se verifica que el resultado de la division es x2 + 9y que es exacta.

De esta manera se ha descompuesto un polinomiode tercer grado en el producto de un polinornio desegundo grado, del que se saben hallar las rakes, porotro de primer grado, que tambien se sabe resolver:x3 + 5x2 + 9x + 45 = (x + 5) . (x2 + 9). Por tanto, yano hace falta volver a aplicar el metoda de Ruffini.

Vease que sucede: se sabe que la ecuacion x2 + 9 == 0 se resuelve despejando x y extrayendo la raiz cua-drada. Pero en este caso, al despejar el terrnino en x2,

resulta x2 = -9 y, al ser -9 un numero negativo, nose puede calcular su raiz cuadrada. En consecuencia,el polinorniox3 +5x2 +9x+45 solo tiene una raiz, -5,que es tambien la solucion de la ecuacion x + 5 = O.

Supongase que el polinomio dado es de grado 4 0mayor: cada vez que se aplica el metodo de Ruffini,el polinornio que se obtiene en la ultima fila es ungrado menor. Por consiguiente, se debe aplicar este

procedirniento tantas veces como sea necesario hastallegar a un polinornio de grado 2, del cual ya se sabencalcular las rakes. Vease un ejemplo: considerese elpolinornio: x4 -2x3 -16x2 +2x+ 15. Los divisores de15 son - 1, 1, - 3, 3, - 5, 5, - 15 y 15. Para comen-zar a aplicar el metodo de Ruffini, se disponen loscoeficientes del polinornio completo de la siguienteforma:

_ 1_1 __ -2__ -_1_6__ 2__ 1_5_

15-15

o

-163

-13Se ha obtenido un cero como ultimo numero de la

ultima fila por 10 que, en consecuencia, - 1 es raiz dex4 - 2x3 - 16x2 + 2x + 15. Como resultado de dividireste polinornio por x+ 1, se obtiene de los coeficientesde la ultima fila el polinornio x3 - 3x2 - 13x + 15, cu-yo grado es, efectivamente, un grado men or que elinicial. Para seguir buscando las rakes del polino-rnio inicial, se reitera el metodo de Ruffini, pero aho-ra con el polinornio de tercer grado obtenido.

El terrnino independiente continua siendo 15, por10 que los candidatos a ser ceros del polinornio sonlos rnismos de antes. Asi pues, se prueba de nuevocon -1:

1 -2 -16 2 15-1 -1 3 13 -15

1 -3 -13 15 0-1 -1 4 9

1 -4 -9 24

Asi, - 1 no es una raiz de x3 - 3x2 - 13x + 15. Seintenta ahora con 1:

1 -2 -16 2 IS-1 -1 3 13 -IS

-3 -13 15 01 1 -2 -15

1 -2 -15 0

1 es raiz de x3 - 3x2 - 13x + 15, y el resultado dedividir x3 - 3x2 - 13x + 15 por x-I es x2 - 2x - 15,un polinornio de grado 2.

Ahora, ya se puede utilizar la formula conocida pa-ra calcular las dos rakes que restan. Se recuerda que

si el polinomio de segundo grado tiene la forma ax2 ++ bx + c, entonces sus rakes 0, 10 que es 10 mismo,las soluciones de la ecuaci6n ax2 + bx + C = 0 vienendadas por la f6rmula siguiente:

-b ± -Yb2 - 4acx=

2a

2± ~(-2)2-4.1.(-15)

2·12± V64 2±8

=2 2

2 ± -v'4+6O2

De considerar la soluci6n positiva de la rafz, se ob-tiene la soluci6n:

2 + 8 10Xl = -- = - =52 2

Al considerar la soluci6n negativa de la rafz, la so-luci6n es:

2 - 8 -6X2 = -- = - =-32 2

En resumen, se concluye que las rakes del polino-mio x4 - 2x3 - 16x2 + 2x + 15 son -1 (soluci6n dela primera aplicaci6n del metodo de Ruffini), 1 (de lasegunda aplicaci6n del metodo), -3 y 5 (de la solu-ci6n de la ecuaci6n de segundo grado).

Se observa que la expresi6n x2 - 4 = 0 es una ecua-ci6n incompleta de segundo grado con una inc6gnita.Se sabe que, para solucionarla, se debe pasar el termi-no independiente al otro lado de la igualdad, con 10que se obtiene la forma x2 = 4. Tras ello, se extrae larafz cuadrada y se obtienen dos soluciones: XI = -2YX2 = 2. Se comprueba que 22- 4 = 4 - 4 = 0,y que ( - 2)2- 4 = 4 - 4 = O.

2 Hallar las rakes de la ecuacion:

Si se considera la ecuaci6n x2 + 36 = 0 yse despeja el termino cuadnitico, se obtie-ne x2 = -36. Al intentar extraer la raiz cua-drada de ambos miembros de la igualdad,se observa que no se puede calcular la rafzcuadrada de -36, por ser la de un numeronegativo. Por tanto, se concluye quex2 + 36 = 0 no tiene soluci6n.

Se observa que el coeficiente a del termino de se-gundo grado no es positivo, por 10 que se multipli-ca toda la ecuaci6n por -1 antes de proceder a bus-car las soluciones. Se obtiene la ecuaci6n equivalentex2 - 36 = O. Se despeja el termino cuadnitico y seobtiene que x2 = 36. Al extraer la rafz cuadrada,se llega a que las dos soluciones de la ecuaci6n son:

8 Determinar las soluciones de la ecuaci6n de se-gundo grado:

11 Especificar si el polinomio de segundo grado_x2 + 64 tiene soluciones y, en caso afirmativo, in-dicar cu<ilesson.

13 Decir si el polinomio x2 + 49 tiene soluciones.En caso de respuesta afirmativa, indicar cuales son.

14 Resolver la ecuaci6n 3x2 - 27 = O. (,Cuantassoluciones tiene?

17 Decir cual es la soluci6n doble de la ecuaci6nde segundo grado:

bSoluci6n: Xl = 0 y X2 = --

a

Se observa que se trata de una ecuaci6n de segundogrado incompleta, en la que falta el termino indepen-diente. Este tipo de ecuaciones se resuelve median-te el praceso de sacar factor comun X en el primertermino: x2 + X = X • (x + 1) = O. Una vez se tieneeste producto de factores igualado a cera, para que la

igualdad se de, 0 bien el primer factor debe ser iguala cera, 0 bien 10 es el segundo. De esta condicion, seobtienen las dos soluciones de la ecuaci6n.

Si el primer factor es igual acero, resulta que Xl = 0,mientras que si es el segundo factor el que es igual acera, se tiene la siguiente ecuacion de primer grado:X + 1 = O. Al transponer terminos, se deduce queX2 = -1. As) pues, Xl = 0 y X2 = -1 son las dossoluciones.

22 Dibujar la Cuncion:

y=x2-3x

Indicar los puntos en los que la gnifica de la Cun-cion corta el eje de abscisas.

Si se dibuja la funcion y = x2 - 3x, se obtiene lasiguiente representacion:

Se observa que la parabola tiene forma de valle y quesu abertura es normal. Tambien que corta el eje deabscisas en los puntos (0,0) y (3,0). Pues bien, si sesoluciona la ecuacion x2 - 3x = 0, se obtienen losmismos valores de x, 0 y 3 como soluciones. Estoindica que solucionar una ecuacion de segundo grado

del tipo ax2 + bx es equivalente a encontrar las anti-imagenes de 0 para la funcion y = ax2 + bx.

23 Dibujar la funcion:

y=x2+2x

Mediante la grMica, indicar las soluciones de la ecua-cionx2 + 2x = O.

e indicar los puntos de corte con el eje de abscisas.

Solucion:

x2 - 4 = 0 corta el eje de abscisas en(-2,0) y en (2, 0)

25 Considerese la ecuacion:

x2 + 7x+ 12 = 0Encontrar las soluciones.

Se pasa el termino independiente 12 al otro lado dela igualdad, y se tiene x2 + 7x = -12. Se multiplicatoda la ecuaci6n par 4a, es decir, por 4, ya que en estecaso se tiene que a = 1, y se obtiene 4x2 +28x= -48.Se suma b2 a ambos miembros de la igualdad, con 10que toma la forma 4x2 + 28x+ 49 = -48 + 49. Sise hacen las cuentas en el miembro derecho, queda4x2 + 28x+ 49 = 1.

EI miembro izquierdo de la igualdad es un productonotable, pues resulta que 4x2 + 28x+ 49 = (2x+ 7)2,por 10 que la ecuaci6n anterior queda escrita como(2x + 7)2 = 1. Se extrae ahora la raiz cuadrada deambos miembros de la igualdad, con 10 que se lograla expresi6n 2x + 7 = ± -{l = ± 1. Si se transpone el7, queda 2x = ± 1 - 7. Por fin, se despeja x:

±1-7x= ---

2

1-7 6Xl = -- = -- = -32 2

La soluci6n que se obtiene de considerar la soluci6nnegativa de la raiz, es decir, -1, es:

-1-7 8X2 = --- = - - = -42 2

Si se hace el mismo razonamiento con la ecuaci6nax2 + bx+ C = 0, se llega a que las soluciones de lasecuaciones se obtienen mediante la f6rmula:

Conviene recordar esta f6rmula, pues su aplicaci6ndirecta a la resoluci6n de ecuaciones completas desegundo grado con una variable facilita en gran me-dida las operaciones.

Para encontrar las posibles soluciones de x2 +2x+ 1 = 0,se aplica la f6rmula:

-b ± Yb2 - 4ac2a

Se tiene que a = 1, b = 2 Yc = 1. Si se sustituyen estosvalores en la f6rmula, se obtiene:

-2 ± Y4 - 4 -2 ± .yox=-----=---=-12 2

Como es absurdo distinguir el 0 con signa positivoo negativo, resulta una unica soluci6n, -1. En estoscasos, se dice que la soluci6n es doble.

para que solo tenga una raiz 0 solucion doble. De-cir cu:il es dicha raiz.Para que una ecuaci6n de segundo grado tenga unaunica soluci6n 0 soluci6n doble, debe pasar que eldiscriminante, es decir, la expresi6n Yb2 - 4acde laf6rmula

-b ± Yb2 - 4acx= 2a

sea equivalente a cero. En 2x2 + 8x - m = 0, se tieneque a = 2, b = 8 y c = -m, por 10 que se tiene que eldiscriminante es

Para que el discriminante sea igual acero, debe cum-plirse que 64 + 8m = 0, de donde se deduce, al trans-poner terminos, que 8m = -64 y, en consecuencia,que m = -8. De esta manera, si m = -8, se tiene quela unica raiz de 2x2 + 8x - m = 0 es:

-8 ± .yox=---=-2

4

Sl ' 1 1o UClOn: 2 y 3

95x2 - 3x+ - = 020

3Soluci6n: 10

34 Decir cuanto tendrfa que valer r para que la si-guiente ecuaci6n

tenga discrirninante cero e indicar cual es la rafz quese obtiene.

Para poder resolver la ecuaci6n dada, primero se debedesarrollar el producto notable que hay en el miem-bra izquierdo de la igualdad. Se sabe que

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

por 10 que (2x - If = 4x2 - 4x + 1. Entonces, laecuaci6n anterior queda escrita de la siguiente for-ma: 4x2 - 4x + 1 = 5x - 1. Se reducen terrninos seme-jantes tras agruparlos en un s610miembro, y se tieneque 4x2 - 9x + 2 = O.Se obtiene de esta manera unaecuaci6n completa de segundo grado en una variable.Mediante la f6rmula

-b ± -...Ib2 - 4acx=

2a

se encuentran las posibles soluciones de la ecuaci6n.Se tiene entonces que:

9 ± -...181 - 4 . 4 . 2x=

89±Y49

89±7

8

AI considerar el valor positivo resultante de la rafz,se tiene que:

9 + 7 16Xl =-- =- =2

8 8

Si se toma el valor negativo resultante de la rafz, sellega a:

9-7 2 1X2 =-- =- =-

8 8 4

1 4 1-+-+-=0x2 3x 3

Se sabe que para sumar fracciones algebraicas, estasdeben tener el rnismo denominador. Si se hace el mi-nimo comun multiplo de los denominadores de lafracci6n propuesta, resulta que

A continuaci6n se expresa la ecuaci6n anterior concomun denorninador:

3 4x x2-+-+-=03x2 3x2 3x2

AI multiplicar ambos miembros por 3x2, queda 3++4x + x2 = 0, es decir, una ecuaci6n completa desegundo grado en una variable. Se resuelve mediantela f6rmula:

-b ± "";b2 - 4ac

2a

41 Indicar cuales son las soluciones de la siguienteecuacion:

Solucion: 4 Y-~

42 Encontrar las soluciones de la ecuacion de frac-ciones algebraicas:

I I I-+---=054 18x x2

2 -x 443 Resolver -- + -- = I

2 2+x

(x + 2)2 x2 - 9 (x + 3)2 I---- -- = ---+-

5 4 2 5

45 Representar gnificamente la funcion

y=x2 + 4x-12indicando el vertice y los puntos de interseccioncon el eje de abscisas.

Se debe representar la funcion y = x2 + 4x - 12. Sise observa el coeficiente a, se nota que es igual a I,par 10 que la parabola tiene forma de valle y aberturanormal.

Para hallar el vertice, se sabe que, dad a la funcion desegundo grado y = ax2 + bx + c, el vertice viene dadopor la formula:

(_!!- _ b2- 4ac)

2a' 4a

Se sustituyen en la formula a = 1, b = 4 y c = -12, Yse obtienen las coordenadas del vertice:

(4 16 + 48)-2' - 4 = (-2, -16)

Se ca1culan a continuacion los puntos de interseccioncon el eje de abscisas mediante la formula

-b ± "";b2 - 4acx=

2a

-4 ± "";16+ 48x=

2

-4 ± ....[642

-4± 82

-4 + 8 -4 - 8XI = -- = 2 X2 = -- = -62 2

Los datos que se tienen son suficientes para hacer unesbozo aproximado de la gnifica de la funcion y == x2 + 4x - 12.

indicando cuales son los puntos de interseccion conel eje de abscisas.

Los puntos de corte son (-3, 0) y(2,0)

Los puntos de interseccion son(- 3,0) Y (- 4,0)

Para resolver una ecuacion bicuadrada se utilizan losmetodos conocidos para resolver ecuaciones de se-gundo grado, tras efectuar la operacion conocida co-mo cambio de variable: se establece que y = x2, y sesustituye esta variable en la ecuacion bicuadrada pro-puesta, que se transform a en la ecuacion de segundogrado l- 20y + 64 = O.Para hallar las soluciones deesta ecuacion, se aplica la formula:

-b ± -Yb2 - 4ac2a

20 ± ...)(20)2- 4· 1 ·64 20 ± -v'i44=2 2

20 ± 12= 2

20 + 12YI = --2- = 16

20 - 12Y2 = --2-=4

Como Y = x2, deshaciendo el cambio de variable seobtiene que x~ = 16 Y que x~ = 4. Se extraen lasrakes cuadradas y se obtienen las cuatro solucionesde la ecuacion inicial: XI = -4, X3 = 4,X2 = -2 YX2 = 2.

50 Calcular las soluciones de la siguiente ecuacionbicuadrada:

51 Decir cuales son las rafces de la siguiente ecua-cion bicuadrada:

Solucion: Esta ecuacion solo tiene dos solucio-nes, - 3 y 3

54 Aplicar el metodo de Ruffini hasta encontraruna raiz del polinomio:

Antes de aplicar el metoda de Ruffini, se debe com-probar que el polinornio sea completo; en caso con-trario, hay que completarlo. En el polinomio propues-to faltan los terrninos de grados 3 y 1. Por tanto elpolinornio completo se escribe de la siguiente forma:x4 + Ox3 + 5x2 + Ox - 36. Ahora se disponen los coe-ficientes de manera ordenada de izquierda a derecha,correspondientes a los terrninos de mayor a menorgrado, hasta el terrnino independiente. Se trazan tam-bien dos Ifneas, una horizontal y la otra vertical, de lasiguiente forma:

~ 0__ 5__ 0__ -_3_6_

A continuacion se considera el terrnino independien-te, - 36. En este caso, se trata de averiguar que nume-ro entero sera una raiz del polinornio original. Puesbien, los posibles candidatos son todos los enterosque dividen al terrnino independiente del polinornio,es decir, - 1, 1, - 2, 2, - 3, 3, - 4,4, - 6, 6, - 9, 9, -12, 12, - 18, 18, - 36 y 36. l,Como saber cual de el10ses? Se debe ir probando, comenzando por el divisormenor, es decir, - 1, Ysi se comprueba que no es unaraiz, se repetira el rnismo proceso con el resto de loscandidatos, siempre de menor a mayor en valor abso-luto. Supongase que se va a comprobar para - 1. Sedebe colocar en el siguiente esquema de la forma quese muestra:

I1 0 5 0 -36

-1 -1----

A continuacion se multiplica por - 1 y el resultadose coloca debajo del numero de la segunda columna,para sumarlos:

Se procede de igual manera con el resultado de lasuma, es decir, se vuelve a multiplicar por - 1, y elresultado se coloca ahora bajo el numero de la terceracolumna, y se suman:

Se hace 10 mismo con las dos ultimas columnas, deforma que resulta:

-366

-30El ultimo numero obtenido ha sido - 30.Como -30 "*"* 0, se concluye que - I no es una raiz del polinomiox4 + Sx2 - 36, 0 10 que es 10 mismo, el polinomiox - ( - 1) = x + 1 no divide de manera exacta alpolinomio x4 + Sx2 - 36.

El siguiente mimero para el que se debe probar elmetodo de Ruffini es ell. Con la aplicacion de lospasos anteriores, queda 10 siguiente:

1 0 S 0 -361 1 6 6

1 1 6 6 -30Por 10 tanto, el numero 1 tampoco es raiz. Se pruebaahora para - 2:

1 o S 0 -36-2 4 -18 36

1 -2 9 -18 0Como se ha conseguido un cero en la ultima posicionde la ultima columna, se detiene el proceso. Se puedeafirmar que -2 es raiz del polinomio x4 + Sx2 - 36, 0

10 que es 10 mismo, que x + 2 divide de manera exactaax4 + sx2 - 36.

57 Con la aplicacion del metoda de Ruffini, hallaruna rafz del polinomio:

por x- 5.El metoda de Ruffini no sirve solo para divisionesexactas, sino que tambien se puede utilizar siempreque se tenga que hacer una division por un polinomiode la forma x - a, aunque sea una division inexacta.En este caso, el resto sera el numero que haya en laultima posicion de la ultima columna.

La division propuesta, ejecutada mediante el metodode Ruffini, tiene la siguiente forma:

~ -1

-1

-S-IS-20

7

-100-93

El resto de la division resulta ser -93, y el polinomiocociente sera el definido par los coeficientes - 1, - 3y - 20, es decir, _x2 - 3x - 20.

por x-I? l.Es la division exacta? En caso negativo,l.cual es el resto?

Solucion: El cociente es 6x2 + 2x + 3, y el resto, 6,por 10 que no es exacta

60 Dividir x3 - 7x2 + 11x - 5 por x - 3, indicandoel cociente y el resto.

Solucion: EI cociente buscado es 2x2 + llx + 13yel resto, 28

4x3 - 5x2 + llx - 7

por x + 9, y dar como resultado el polinomio cocientey el resto.

64 Dar todos los ceros enteros del polinomio

x4 _x3 -10x2 + 4x+ 24mediante el metodo de Ruffini.

Calcular los ceros del polinomio x4 -x3-10x2+4x+24significa encontrar los val ores de x que satisfacen quex4 - x3 - lOx2 + 4x + 24 = O. Ya se sabe como proce-der con el metodo Ruffini para hallarlos. El terminoindependiente del polinomio es 24, por 10 que los po-sibles candidatos a ser ceros del polinomio son - 1,1,- 2,2, - 4,4, - 6,6, - 8,8, - 12,12, - 24 Y24.A continuacion se prueba si el primer candidato, - 1,es un cera del polinomio:

-102

-8

24

-1212

-10o

-10

4

-10-6

Tampoco es un cera del polinomio. El siguiente can-didato es - 2:

-106

-4

24

-24o

Ha resultado que -2 es un cera del polinomio x4 -

- x3 - 10x2 + 4x + 24. El resultado de la division esel polinomio x3 - 3x2 - 4x + 12.

Se continua la busqueda de ceros mediante el metodode Ruffini. Se toma ahora el termino independientedel polinomio cociente obtenido, que continua sien-do el mismo que antes, por 10 que los candidatos sonlos mismos. Una observacion que es interesante ha-cer es que si -1 y 1no han resultado ser ceras delpolinomio original, tampoco 10 seran del polinomiocociente. Por este motivo, el primer candidato a sercero del polinomio cociente es de nuevo -2. Si seaprovecha el mismo esquema anterior, se tiene que:

-1 -10 4 24-2 -2 6 8 -24

1 -3 -4 12 0-2 -2 10 -12

-5 6 0

Ahora el polinomio cociente resultante es x2 - 5x + 6,y el resto es O. Una vez aquf, se pueden hacer doscosas: utilizar la formula

-b ± ...Jb2 - 4acx=

2a

para calcular las dos rakes restantes, 0 bien seguirprobando mediante el metoda de Ruffini. Se aconse-ja utilizar la formula, ya que es un metodo directocon el que obtener las rakes, mientras que medianteel metodo de Ruffini se deben hacer todavia divers aspruebas. De la formula propuesta, resulta:

-b ± Yb2 - 4acx=

2a5 ± Y25 - 24

25 ± I

2

Al hacer las dos cuentas que quedan, una con el valorpositivo de la raiz y otra con el negativo, se calculaque las dos rakes del polinomio de segundo gradoson 3 y 2. Por consiguiente, las cuatro rakes del po-linomio original son - 2, - 2, 3 Y 2.

65 Hallar las rakes enteras del polinomio:

x3 -x2 - 5x - 3

66 Hallar las rakes enteras del polinomio:

x4 + 7x3 - 13x2 - 103x - 84

68 Obtener las rakes enteras del polinomio que seindica a continuacion:

69 Hallar la expresion de un polinomio que tengacomo rakes - 1, 1 Y 2

71 Escribir un polinomio que tenga como rakes 10snumeros 2, - 3 y - 6.

EL APRETON DE MANOS (pag. 357): Cada una de las x personas dio la mana alas otras x - I. Por tanto, el total de apretones de manosdebe ser igual a x personas por x - I apretones por persona, es decir, x(x - I). Sin embargo, hay que tener en cuenta que cuando un individuoA da la mana a otro individuo B, tam bien B estrecha la mana de A: estos dos apretones de manos deben ser considerados como uno solo. Porconsiguiente, el numero de apretones de manos dados ha de ser dos vms menor que x(x - I), es decir:

x(x-I)2

x(x-I)-- =66

2Despues de realizar las correspondientes transformaciones se obtiene la ecuacion de segundo grade: Xl - X - 132se deduce que:

I ± -Yf+illx=

2I ± 23

---2

Las soluciones de la ecuacion son XI = 12 Y Xl = - II. Como la raiz negativa (- II personas) carece de todo senti do, se descarta. Porconsiguiente, a la reunion asistieron 12 personas.