9-Ecuaciones Diferenciales de Energía

1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA

En esta clase se obtendrán expresiones para las ecuaciones diferenciales de energía total y energía interna.

Con estas ecuaciones se concluye el planteo de las tres leyes de conservación:

• Conservación de la masa

• Conservación de la Cantidad de Movimiento

• Conservación de la Energía

Por otra parte, estas ecuaciones nos permitirán:

• Ampliar nuestra capacidad para resolver problemas.

• Conocer el transporte de energía en un fluido o sólido homogéneo.

Dra. Larrondo - Ing. Grosso 2° cuatrimestre de 2015

2


La metodología para hallar estas ecuaciones será aplicar la conservación de energía a un pequeño elemento de volumen ΔxΔyΔz a través del cual circula un fluido


3


Se van a considerar los siguientes aportes de energía:

1. El transporte convectivo de energía cinética.

2. El transporte convectivo de energía interna

3. El ingreso y egreso de energía por conducción en el fluido.

4. Los esfuerzos que pueden realizar trabajo sobre el fluido en movimiento:

• Fuerzas de Presión

• Fuerzas Viscosas

5. El aporte de las fuerzas externas (ej. la fuerza de gravedad)


qvvpvv ue 2

21

4


Velocidad de aumento de las energías cinéticas e interna en el interior del elemento de volumen ΔxΔyΔz:

u

2

1 2 vt

zyx (a)

Para simplificar el planteo de la energía que entra y sale a través de cada una de las caras del elemento de volumen, se define el vector ê:

De esta forma, el vector ê incluye el transporte convectivo de energía interna y energía cinética, la conducción de calor en el fluido y el trabajo asociado a las fuerzas de presión y los procesos moleculares.

5


Entonces, la energía que entra y sale por cada una de las caras del elemento de volumen queda:

zzzzz

yyyyyxxxxx

eeyx

eezxeezy

ˆˆ

ˆˆˆˆ(b)

Por último, sólo resta considerar la velocidad con la cual realizan trabajo las fuerzas externas sobre el fluido:

zzyyxx gvgvgvzyx (c)


6


(a) = (b) + (c)

zzyyxx

zzzzzyyyyy

xxxxx

gvgvgvzyx

eeyxeezx

eezyvt

zyx

ˆˆˆˆ

ˆˆu2

21

Ahora, se puede plantear la siguiente igualdad:


7


zzyyxx

zyx

gvgvgv

z

e

y

e

x

ev

t

ˆˆˆ

u2

21

Si se hace que el elemento de volumen ΔxΔyΔz tienda a cero, se obtiene:

Reemplazando por las componentes de ê, se podrá obtener la ecuación de energía.

ikikjijiiiiiii qvvvvpvv ue 2

21


8


zzyyxx

zyxzzzyzyxzx

zyzyyyxyx

zxzyxyxxx

zzyyxx

zy

x

gvgvgv

z

q

y

q

x

qvvv

z

vvvy

vvvx

vpz

vpy

vpx

vvz

vvy

vvx

vt

uu

uu

2

212

21

2

212

21

9


gvqv

vpvvvt

uu 2

212

21

La ecuación anterior puede escribirse de forma más breve empleando notación vectorial:

Esta ecuación no incluye las formas de energía nuclear, radiactiva, electromagnética o química.

Si se define la energía potencial por unidad de masa:

g

(d)


10


vgvEntonces, se cumple:

Usando la identidad vectorial: bababa

vvgv

Si se recuerda la ecuación de continuidad: vt

vt

gv


11


Si ϕ≠f(t), éste puede entrar en la derivada como constante.

vt

gv

qvvp

vvvt

uu 2

212

21

Reemplazando esta expresión en la ecuación (d), se obtiene la ecuación diferencial de energía total:

(e)


12

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Sin embargo, por lo general resulta más útil la ecuación de energía interna. Para hallarla, se va a restar la ecuación de energía mecánica a la ecuación (e).

En la ecuación diferencial de energía mecánica aparecen los siguientes términos:

2

21 v

t

Velocidad de incremento de energía cinética por unidad de volumen.

vv2

21

Velocidad de adición de energía cinética por convección por unidad de volumen.

vpVelocidad de trabajo realizado por la presión del entorno sobre el fluido.


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vp Velocidad de conversión reversible de energía cinética en energía interna.

v Velocidad de trabajo realizado por las fuerzas viscosas sobre el fluido.

v :Velocidad de conversión irreversible de energía cinética en energía interna o calentamiento viscoso.

gv Velocidad de trabajo realizado por la fuerza externa sobre el fluido.


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v

vvp

vpvvvt

:

2

212

21

Incluyendo la energía potencial por unidad de masa (ϕ), de la misma forma que se hizo en la ec. (e), se obtiene la ecuación diferencial de energía mecánica:

(f)

Restando las ecuaciones (e) - (f), se llega a la ecuación de variación para la energía interna:

vqvpvt

:uu (g)

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Comparando las ecuaciones de energía mecánica (ec. f) con la

ecuación de energía interna (ec. g), se observa que en ambas ecuaciones se repiten términos con signo opuestos.

vp Este término puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el fluido se expande o se contrae. Por lo tanto, representa un modo de intercambio reversible.

v:Este término siempre es negativo (para fluidos Newtonianos) y en consecuencia representa una degradación irreversible de energía mecánica en energía interna.

Estos términos describen la interconversión de energía mecánica y energía interna.


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vqvpvt

:uu (g)

Otras formas de la ecuación de energía interna

Se puede escribir de forma más breve empleando la derivada sustancial:

vvpqDt

D :u (h)

Si se considera que û=f(V,T):

(i)

17

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Otras formas de la ecuación de energía interna


18


19



20


21


Para fluidos newtonianos de ρ, µ y k constantes:

vTkDt

DTC 2 (j)

En esta ecuación se empleó la siguiente igualdad vv :La función v cambiará según el sistema de coordenadas adoptado. Sin embargo, se puede ver que expresión toma para el sistema de coordenadas rectangulares:

22

2222

2

y

v

z

v

x

v

z

v

x

v

y

v

z

v

y

v

x

v

zyzx

yxzyxv

22


La última forma de la ecuación de energía que se verá es la de un sólido de propiedades constantes y sin generación interna de calor:

Tkt

TC 2

(k)

“Ecuación de Calor” o “Segunda Ecuación de Fourier”

Por lo tanto, la función v en coordenadas rectangulares queda:

22

2222

2

y

v

z

v

x

v

z

v

x

v

y

v

z

v

y

v

x

v

zyzx

yxzyxv

Se demuestra que para fluidos Newtonianos el producto –( :v)=µv es siempre positivo.


ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna para el

caso de un fluido newtoniano de ρ, µ y k constantes que se mueve entre dos placas separadas por un espacio e.

vTkDt

DTC 2 (j)

23 2° cuatrimestre de 2015

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Adimensionalización de la ecuación de energía interna

•En este momento, se conoce la ecuación diferencial que describe el sistema en estudio (ec. j).

•Esta ecuación cumple con la homogeneidad dimensional.

•El cociente o razón entre un término y otro, no debe tener dimensiones.

•Si se conoce el sentido físico de cada término de la ecuación, se podría dar alguna interpretación física a los parámetros adimensionales que se formen por este método.

•Los valores de longitud, velocidad y otros parámetros característicos serán los valores más representativos o significativos del sistema en estudio.


25


Las variables de la ecuación son: ixtvT

Las variables adimensionales que se proponen:

Consideraciones: • Los perfiles de velocidad y temperatura se encuentran totalmente

desarrollados.

• Las temperaturas de ambas placas permanecen constantes a T0 y T1.

01

0*

TT

TTT

v

vv*

CL

vtt

*

C

ii

L

xx

*

e

vtt

*

e

xx i

i *

26


Reemplazando por estas nuevas variables se obtiene:

*

2

vve

v

*

*

01

Dt

DT

v

e

TTC

Dt

DTC

*2*

2

012 Te

TTkTk

27


Entonces, la ecuación adimensional queda:

*

2

*2*

2

01

*

*

01v

e

vT

e

TTk

Dt

DT

v

e

TTC

En este momento tenemos una ecuación de variables adimensionales con constantes dimensionales.

Ahora, nuestro objetivo es eliminar las dimensiones de las constantes de esta ecuación.


28


Si se divide toda la ecuación por una de las constantes dimensionales, se obtiene una ecuación totalmente adimensional:

*

01

*2*

*

*

veTTC

vT

evC

k

Dt

DT

Ahora, sólo resta hallar que números adimensionales describen este sistema.

*

01

*2*

*

*

vvk

vk

eTTC

vT

evC

k

Dt

DT


29


*

01

2*2*

*

*

vC

k

TTk

v

evT

C

k

evDt

DT

Re1

Re1

Pr1

Pr1

Br

Número de Reynolds:

Número de Prandlt:

Número de Brinkman:

evRe

k

CPr

01

2

BrTTk

v

30


**2*

*

*

PrRe

Br

PrRe

1vT

Dt

DT

Finalmente, la ecuación adimensional expresada en función de los números adimensionales hallados queda:

(l)

Sentido físico de los adimensionales hallados:

Número de Reynolds:

evRe

Relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas viscosas

V

I

F

F

e

ve

v

ev

evev

2

2

Re

e

vFI

2

2e

vFV

31



Efectividad relativa del transporte de momento y el transporte de energía por difusión

Número de Prandlt: k

CPr

C

kk

CPr

C

k


32



2

2

e

v

012TT

e

k

Número de Brinkman: 01

2

BrTTk

v

Relación entre la generación de calor por efectos viscosos y el calor disipado por conducción

012

2

2

2

2

01

2

Br

TTe

ke

v

e

e

TTk

v


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Se propone hallar el perfil adimensional de temperatura de un fluido newtoniano de ρ, y k constantes que se mueve entre dos placas separadas por un espacio e por la acción de un gradiente de presión en la dirección x.

Influencia del número de Brinkman en el perfil de temperatura dentro del fluido:


34


Será necesario resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía interna de forma adimensional con las siguientes condiciones de contorno:


**2*

*

*

PrRe

Br

PrRe

1vT

Dt

DT

12

1* T

21* y

21* y

Condiciones de contorno:

02

1* T

35


Será necesario resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía interna de forma adimensional con las siguientes condiciones de contorno:


02

1* v

21* y

21* y

Condiciones de contorno:

02

1* v

gFr

vpDt

vDˆ

1

Re

1 *2***

*

*

36


Simplificaciones que se asumen para la resolución:

•Estado estacionario.

•Los perfiles de temperatura y flujo laminar se encuentran totalmente desarrollados.

•El gradiente de temperaturas se encontrará establecido predominantemente en la coordenada y.

•En cuanto a las dimensiones, se establecerá que el espesor de separación entre placas es mucho menor que el ancho y largo de las mismas.



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Aplicando estas simplificaciones, las ecuaciones a resolver quedan:

2

*

*

2*

*2

*

*

PrRe

Br

PrRe

1

y

v

y

T

Dt

DT x

gFr

vpEuDt

vDˆ

1

Re

1 *2***

*

*


38



Si se trabaja con la componente x* del balance de cantidad de movimiento, se tiene:

2*

*2

*

*

Re

10

y

v

x

pEu x

Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil adimensional de velocidad del fluido:

2

*

1

2*

*

**

2

ReCyCy

x

pEuvx


39



Aplicando las condiciones de contorno, se obtiene:

21*

*

2

1

8

1Re0 CC

x

pEu

21*

*

2

1

8

1Re0 CC

x

pEu

Si se suman ambas ecuaciones, se halla el valor de C2:

8

1Re

*

*

2x

pEuC

40



Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor de la constante C1:

01 C

Por lo que el perfil adimensional de velocidad queda:

4

1

2

Re 2*

*

**

yx

pEuvx


41



Ahora que se tiene el perfil adimensional de velocidad, se puede empezar a trabajar con la ecuación de energía interna:

2

*

*

2*

*2

Br0

y

v

y

T x

Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil adimensional de temperatura en el fluido:

4

*

3

4*2

*

**

12ReBr CyC

y

x

pEuT


42



Aplicando las condiciones de contorno, se obtiene:

Si se suman ambas ecuaciones, se halla el valor de C4:

432116

12

*

*

12ReBr1 CC

x

pEu

432116

12

*

*

12ReBr0 CC

x

pEu

2

*

*

4 Re192

Br

2

1

x

pEuC

43



Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor de la constante C3:

Finalmente, el perfil adimensional de temperatura queda:

13 C

*

21

4*

161

2

*

** Re

12

Bryy

x

pEuT

Entonces, se puede ver que el número de Brinkman representa cuanto se aleja el perfil de temperatura de la linealidad. Ahora, se debe analizar que representa esto físicamente.

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Número de Brinkman: 01

2

BrTTk

v

45

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENERGÍA Significado físico de los adimensionales hallados:

• El número de Reynolds se lo puede entender como la razón de las fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas.

• El número de Prandtl representa la razón de la difusividad de momento a la difusividad térmica.

• El número de Brinkman representa la razón entre la producción de calor por disipación viscosa y la capacidad de eliminarlo por conducción.


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Bibliografía recomendada

• Capítulo 11 de “Fenómenos de Transporte”, Bird R.B., Stewart W.E. & Lightfoot E.N.

•Capítulo 16 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa”, Welty J.R., Wicks C.E. & Wilson R.E.


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