9 Funtzio linealak eta koadratikoak - DBHko Matematika · 2018. 5. 16. · 116 9 Funtzio linealak...

116

9 Funtzio linealak eta koadratikoak

116

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetanfuntziolinealakerasistematikoanaztertukodira,etafuntziokoadratikoakaztertzenhasikogara.Horrelabukatukodugufuntzioenazterketaikasturtehonetan.

•Ikasleekdagoenekobadakitezuzenakzerdiren,ekuaziolineale-tanlandudituztelako.Orainarteaztertubezala,zuzenbatekopuntuakbi ezezagundituenekuaziobateko soluzioakdira.Unitatehonetan,aldiz,zuzenakfuntziogisaaztertukoditugu,etahorietan,x-renbaliobakoitzariy-renbaliobakarradagokio.

•Ikasleekargiulertubehardutezuzenbatidagokionmaldarenesanahiaetamaldahorinolalortubeharden,bikasuhauetan:batetik,zuzena,eraabstraktuan,dagokionekuazioarenbitartezematendigutenean(halakoetan,ybakanduetagero,x-renko-efizienteabegiratubehardugu);bestetik,zuzenakegoerajakinakadieraztendituenean:ekonomiaridagozkionenuntziatuak(kos-tua),fisikaridagozkionenuntziatuak(abiadura)edobestebatzuk.

Maldarenbitartez,x-renunitatebakoitzekoy-renaldakuntza(handiagotzeaedotxikiagotzea)adieraztenduelapentsatuzge-ro,zuzenaketengabekogorapenaedobeherapenaadieraztendutenfuntzioakizangodira.Hortaz,zuzenarenedozeinbipuntuaztertuzjakingodugumaldazeinden.

•Ikasleekeurenburuaktrebatubeharkodituztezuzenahainbatadierazpenanalitikoerabilizadierazteko:ekuazioaemanda,mal-daadierazteko;maldarenadierazpengrafikoaaztertu(edozeinbi

puntuadierazitabaditu,edomaldaetapuntubakarbatadierazi-tabaditu),etamaldaridagokionekuazioalortzeko.

Horrela,aurrekounitateanaztertzenhasiginenenuntziatuarenetagrafikoarenartekoelkarketaaberastuegingoda,etahauekikasikodituzte:enuntziatuarenetaadierazpenanalitikoarenelkarketa,etagrafikoarenetaadierazpenanalitikoarenelkarketa,funtzioaklinealakdirenean.

•Funtziokoadratikoaksakonagoikasikodiradatorrenikasturtean;halaere,ikasleakfuntziokoadratikoakerabiltzenetainterpretatzenhasikodiraaurten,funtzioberrigehiagorenadierazpenanalitikoakjakiteko.Horrezgain,ikasleekhigidurauniformeariburuzkoproble-mentrataeraanalitikoaetagrafikoaegitenikasikodute,baitahigi-durarenazeleraziouniformeaadieraztendutenproblemakere.

•Unitatehonetanaztertutakoenbidez,ikasleekikasitakobaliabidearitmetikoaketaalgebraikoakberrikusikodituzte;esaterako,pro-portzionaltasunzuzenariburuzkoproblemak,hitzezkolengoaia-tiklengoaiaalgebraikorakoitzulpenaketalehenetabigarrenmailakoekuazioenebazpena.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•y=mxproportzionaltasun-funtzioaktrebetasunezerabiltzea:

Unitatearen eskema

FUNTZIO LINEALAK FUNTZIO KOADRATIKOAK

•a>0izanezgero,adarrakgorantzdituzte.•a<0izanezgero,adarrakbeherantzdituzte.•Zenbateta|a|handiagoaizan,orduanetalirainagoaizangodaparabola.

etahonelairudikatzenda:

etahonelairudikatzendira:

zeinakhoneladeitzendiren:

honelasailkatzendira: zeinenadierazpenanalitikoaden

honakohauekdira:

horietan

zeinetan

honakohauekdira:

formaa-renaraberakoada

proportzionaltasun-funtzioak

mdamalda

betac-kbalioenaraberakokokapenadute

y=ax2+bx+c,etaa≠0

jatorritikpasatzendenzuzena

(0,n)pasatzendenzuzena

y=mxfuntzioak

y=mx+nfuntzioak

zuzenenbidezirudikatzendirenfuntzioak

parabolabatenbidezirudikatzendirenfuntzioak

117

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

169.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 165.or.3.ariketa.(*) 171.or.1.ariketa.(*)

166.,167.(*)eta168.(*)or.Ariketaebatziak. 174.or.2.ariketa.(*)

169.(*)eta170.(*)or.Problemaebatziak. 175.or.17.ariketa.(*)

172.or.2.(*)eta3.(*)ariketak. 176.or.23.ariketa.(*)

173.or.Ariketaetaproblemaebatziak.(*) 177.or.36.ariketa.

174.or.3.ariketa.(*) 178.or.«Pentsatuetaerabaki.Zeindazein?»(*)

175.or.13.ariketa.(*)

177.or.30.ariketa.(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

176.or.25.ariketa.(*) 162.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

163.or.«Ebatzi».3.(*)eta4.ariketak.

Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

176.or.27.ariketa.(*) 163.or.«Ebatzi».1.ariketa.(*)(sakonduinformazioa)

164.or.1.ariketa.(*) 170.or.1.ariketa.(*)

177.or.28.ariketa.(*) 166.or.2.ariketa.(*) 176.or.24.(*)eta26.(*)ariketak.

170.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

177.or.29.(*)eta34.(*)ariketak.

178.or.«Goraetabehera».(*) 179.or.«Trebatuproblemakebatziz».(*)

Jarraianaurkeztukoduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatukodugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagokionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,proposamendi-daktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

adierazpengrafikoaegitekogaiizatea,ekuazioalortzea,maldakalkulatzeaetaesanahiaazaltzea.

•y=mx+nfuntzioarenerabilerantrebatzea:adierazpengrafikoaegiteaetakoefizienteenesanahiaazaltzea.

•Zuzenbatenekuazioalortzea,puntubatetamaldajakinda,edobipuntujakinda(puntu-maldaekuazioa).

•Enuntziatuetanerlaziofuntzionallinealakerabiltzendituztenpro-blemakebaztekogaiizatea.

•Bifuntziolinealenazterketabateraegitekogaiizatea:horienar-tekoebaki-puntualortzeaetainterpretatzea.

Osagarrigarrantzitsuak

Komenidaikasleekedukiosagarriakerabiltzea,ikasketa-prozesuaosatzeko.Unitatehonetan,honelakoekintzakproposatukodira:

•Grafikobatenbidezirudikatutakofuntziokoadratikoaaztertzea,etaemandakoadierazpenanalitikoenartetikfuntziohorridago-kionaaukeratzea.

•Funtziokoadratikoarenadierazpenanalitikoagrafikobatenbidezadieraztea.

•Funtziolinealaketakoadratikoakbateraaztertzea:eurenebaki-puntuaklortzeaetainterpretatzea.

Lanakaurreratu

•GeoGebraprogramaerabiliz,hainbat jardueraegingodira.Ikasleek,programarenirristatzekotresnaerabiliz,maldarenetajatorrikoordenatuarenbalioarenaraberazuzenanolaaldatzendenadierazibeharkodute.

•GeoGebraprogramaerabiliz,hainbatariketaegingodira,x2-renkoefizienteakontuanhartuz,parabolabatenformanolaaldatzendenaztertzeko.Horrezgain,parabolakformarikaldatuezarren,bes-tekoefizienteenbalioaaldatzeannolamugitzendenerakutsikoda.

118

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 Erantzunirekia.

2 Armiarmakhormanduenposizioafinkatzeko,sistemakbikoordenatu-ardatzbeharditu.Alabaina,eulihegalaribatenposizioafinkatzeko,hirukoordenatu-ardatzbeharditu.

3 A(0,6);B(4,8);C(6,9);D(8,10);M(10,11)

4 LUZAPENA (cm)

100 200 MASA (g)

1020304050607080

163162

9 Funtzio linealak eta koadratikoak

Ebatzi

1. Jo informazio bila eta laburtu, lerro batzuetan, Descartesen bizitzako daturik nabarmenenak.

2. Zenbat koordenatu-ardatz ditu horman zehar mugitzen ari den eulia-ren posizioa finkatzeko gauza den kartesiar sistemak? Eta gelan zehar hegan ari den euliaren posizioa finkatzeko?

3. Adierazi zein diren A, B, C , D eta M-ren puntuen koordena-tuak armiarmaren eta euliaren margolanean. Egiaztatu puntu guztiak aipatu den ekuazioari dagozkiola.

4. Adierazi kartesiar ardatzetan masa eta malgukiaren luzapena erlazioan jartzen dituen taularen balioak. Egiaztatu lerroan daudela eta, gutxi go-rabehera, A = 0,29 · M formulari erantzuten diotela.

Funtzio linealak

Funtzio linealak bi ezezaguneko lehen mailako ekuazioei dagozkie eta zuzen baten bidez irudikatzen dira.Descartesen eulia azkenean margolan batean jarri dela joko dugu. Armiarmak ikusi eta eulia dagoen tokira doa lerro zuzenean.

Armiarma pasatzen den pun-tuak (ibilbideko puntuak) x2 + 6 ekuazioarenak dira.

A

BC

DM

5 10

5

10

Beste funtzio lineal bat

Malgukitik pisuak esekiko ditugu. Pisua zenbat eta handiago izan, orduan eta gehiago luzatuko da malgukia.Honako taula honek esekitako pisuak (M) eta pisuei dagozkien malgukiaren luzapenak (A ) ematen dizkigu:

M (g) 2 30 60 90 120 150 180 210 240 270

A (cm) 0 9 17 26 35 43 52 61 70 79

Malgukitik esekita dagoen masaren eta malgukiaren luzapenaren arteko erlazio horri Hookeren legea esaten zaio.

MASA

LUZ

APEN

A

(M)

(A)A

M

XVII. mendeko zientzialari handia…Frantziako René Descartes (1596-1650) filosofo eta matematikariak era-gin handia izan zuen bere aldiko pentsaeran eta hurrengo mendeetakoan.Bizitza osoan zehar osasun gutxikoa izan zen. Horregatik, gaztetan, etzanda ikasteko baimena izan zuen. Jarrera hori ohitura bihurtu eta ohean egin zuen bere lanaren zati handia.

… Ideia zoragarriaKoordenatuen sistema ohean bururatu zitzaion: behin, euliaren hegal- diari begira denbora ematen ari zela, euliaren posizioa une bakoitzean, horma batetik besterako distantzia zeharkatzen ari zela, nola adieraziko zuen pentsatzen hasi zen.Ordurako, koordenatu geografikoak, latitudea eta longitudea, ezagunak ziren eta ideia hori ez zen guztiz originala; hala ere, egin zuen asmakizunari esker, kurbak beren koordenatuak ekuazioen bidez lotuz adieraztea lortu zuen. Zientziaren mundura egindako ekarririk handienetakoa izan zen hori.

Nondik dator «kartesiar» hitza?Aldi hartan, zientzialariek latinez idazten zutenez, Descartesi bere abizenak latinez zuen formaren bidez esaten zioten: Cartesius. Hortik datoz, esate-rako, kartesiar pentsaera edo kartesiar koordenatuak.

Descartesen «Geometria» liburuaren hasierako orrialdea. 1637an argitaratu zen.

René Descartes (1596-1650).

René Descartes Suediako Kristina erreginari astronomia irakasten 1649an.

Unitatea hasteko•162.orrialdeandagoeneuliariburuzkopasadizoaoinarrianhartudaite-

kekartesiarkoordinatuakhirudimentsiotanpraktikatzeko(zergatikez?).Horretarako,nahikoaizangodapuntuakikasgelabarrukohainbattoki-tanezartzea(arbelekoizkinan,lanparan...).Jokoarenbitartez,irakasleakjakingoduedukihauetatikzeinazaldubeharduenzehatzago:

– Koordenadenerdiguneanolaaukeratu.

– Ardatzakadieraztekozerordenajarraitu.

– Zerunitateerabilibeharden(metroak,arrak…).

– Ardatzakperpendikularrakizatearenabantailahandia.

IKT

Honakoariketahauiradokitzendugu:

Bilatuinformazioaetalaburtu,lerrogutxitan,RenéDescartesenbizitzakodaturikaipagarrienak.

OHARRAK OHARRAK

119

165164

1 y = mx proportzionaltasun-funtzioak

1. Paper koadrikulatua erabiliz, kartesiar ardatzetan, marraztu jatorritik pasatzen diren eta malda positiboak dituzten bi zuzen eta malda negatiboak dituzten beste bi zuzen.

Pentsatu eta egin

Y

X

y = 3x

y = –2x

1y = —x 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10DENBORA (min)

DISTANTZIA (km)

AUTOA

MOTORRA

BIZIKLETA

123456789

101112131415161718

Grafikoa bere ekuaziotik abiatuta irudikatzeaProportzionaltasun-funtzio bat, y = mx, adierazteko, honako hau hartuko dugu kontuan:

— Zuzen bat da, x-ren aldakuntza berdinei y-ren aldakuntza berdinak dagoz-kienez gero.

— (0, 0) puntutik pasatzen da, x = 0 izanez gero, orduan, y = m · 0 = 0.

Ondorioz, zuzena irudikatzeko, beste puntu bat lortzea baino ez da falta. Hori x-ri balio bat emanez eta y-ren dagokion balioa ateraz lortzen da.

Adibidez, y = 53 x , irudikatzeko, x = 5 dagokion puntua lortuko dugu:

x = 5 izanez gero, orduan, y = 53 · 5 = 3

(0, 0) eta (5, 3) puntuetatik pasatzen den zuzena da.

Ekuazioa grafikoan oinarrituta. Malda lortzeaFuntzioaren grafikoa jatorritik pasatzen den zuzen bat izanez gero, orduan, pro-portzionaltasun-funtzioa, y = mx da. Horren ekuazioa determinatzeko, m-ren balioa (maldarena) zenbat den kalkulatzea baino ez dago.

Y

X4 aurrera

3 igo

Y

X

Y

X

5 aurrera

3 behera

3 aurrera

3 behera

3Malda m = — 4

3Malda m = –— 5

–3Malda m = — = –1 3

Malda (x-ren koefizientea) y-k izaten duen aldakuntza da (positiboa edo negatiboa), x unitate bat handiagotzen denean. Aldakuntza hori zenbat den aurkitzeko, y-ren aldakuntza x-ren bi punturen arteko aldakuntzarekin zatitzen da.

2. Irudikatu honako funtzio hauek:

a) y = x b) y = 2x c) y = –x

d) y = –2x e) y = 31 x f ) y = –

31 x

g) y = 23 x h) y =

23– x i) y =

32 x

3. Aurkitu honako zuzen hauen ekuazioak:Y

X

a

b

cY

X

d

Pentsatu eta egin

Y

(0, 0)

(5, 3)

X

3y = —x 5

Atal honetan, bi aldagaiak proportzionalak diren funtzioak ikasiko ditugu. Adibidez:higikaria abiadura konstantean mugitzen den denbora → egiten duen distantzia

Zuzenen bidez adierazten diren funtzioak dira eta antzeko adierazpen analitikoa dute: y = mxdenbora → distantzia ereduari erantzuten dioten hiru funtzio aztertuko ditugu.•motorra: kilometro bat egiten du minutu bakoitzean. Zuzen berdeak denbo-

ran zehar egiten duen distantzia deskribatzen du.

1 min → 1 km (1, 1) puntutik pasatzen da.4 min → 4 km (4, 4) puntutik pasatzen da.y (distantzia) berdin x (denbora).

Ekuazioa: y = x

•autoa: 2 km egiten ditu minutu bakoitzean. Zuzen urdinak denboran zehar egin duen distantzia deskribatzen du.

1 min → 2 km (1, 2) puntutik pasatzen da.3 min → 6 km (3, 6) puntutik pasatzen da.y (distantzia) x (denbora) bi halako da.

Ekuazioa: y = 2x

•bizikleta: 0,5 km egiten du minutu bakoitzean. Zuzen gorriak denboran zehar egin duen distantzia deskribatzen du.

2 min → 1 km (2, 1) puntutik pasatzen da.10 min → 5 km (10, 5) puntutik pasatzen da.y (distantzia) x-ren (denbora) erdiaren pareko da.

Ekuazioa: y = 21 x

Proportzionaltasun-funtzioak y = mx ekuazioa du.(0, 0)-tik pasatzen den zuzen baten bidez irudikatzen da.Proportzionaltasun-konstanteari, m, (negatiboa edo positiboa izan daiteke) zuzenaren malda esaten zaio eta zerikusia du zuzenaren inklinazioarekin.

Alboan irudikatu diren hiru zuzenetako bakoitzak zer malda duen adie-raztea.

Maldak, hurrenez hurren, 3, 1/2 eta –2 dira. Malda zenbat eta handiago izan, inklinazioa ere handiago dela ageri da. Malda positiboa izanez gero, zuzena gorakorra da eta, negatiboa izanez gero, zuzena beherakorra da.

Ariketa ebatzia

Ez ahaztuProportzionaltasun-konstantea zenbat eta handiago izan, orduan eta malda handiagoa izango du zuzenak; hau da, inklinatuago egongo da X ardatzari dagokionez.

Garrantzitsuay = mx zuzenaren malda x-ren koefiziente da y bakanduta dagoenean.y = 0 funtzioa ere proportzionaltasu-nekoa da. Malda 0 du.

Indartu: y = mx proportzionaltasun-funtzioa.Webgunean

Iradokizunak•Proportzionaltasun-funtzioarenezaugarriakgogoratuzgero(harengra-

fikoajatorririkpasatzendenzuzenada),osoerrazaizangozaiguhurairudikatzea;izanere,bestepuntubatlortubeharkodugusoilik,x-rize-roezdenbesteedozeinbalioemanez.

•Grafikoaoinarrihartutaekuaziobatidatzinahibadugu,honakohaueginbeharkodugu:koordenatuosoetakopuntubathartukodugu,etax-renhandiagotzeay-renigoerarekinedojaitsierarekinerlazionatuz(koorde-natu-jatorritikhartuz),maldalortukodugu.

Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:

Indartzeko:15.orrialdeko2.eta3.ariketak.16.orrialdeko1etik4rakoariketak.18.orrialdeko2.ariketa.

Sakontzeko:17.orrialdeko5etik8rakoariketak.18.orrialdeko3.ariketa.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUmaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2.Ariketetakoc)atala.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

2

X

Y

2

2

4

4

a

e

bd

c

X

Y

2

2

4

4

g

f

hi

3 a→y=43 x b→y=–

23 x c→y=4x d→y=–

31 x

Iradokizunak

•Epigrafehonetan,y=mxfuntzioaaurkeztudugu,proportzionaltasunzuzenekoerlazioakadieraztekoeredugisa.Garrantzitsuadamunitate-kokostuedoproportzionaltasun-konstantegisaidentifikatzea;horrela,maldakontzeptudefinitukodugu.Gero,zuzenareninklinazioarenerla-zionatukodugu,etahainbatzuzenenmaldeninklinazioarierreparatuz,handiagoakedotxikiagoakdirenaztertukodugu.

•Ariketahori,leheniketabehin,maldapositiboa,osoaedozatikiarradu-tenzuzenekinegingodugu.Gero,maldanegatiboadutenadibideetarapasatukogara(ariketaebatzibatdagoorrialdehonetan),eta,amaitze-ko,maldarenzeinuazuzenarengorapenarekinedobeherapenarekinlo-tukodugu.

•Ikasleakgaiizanbeharkodutey=mxadierazpenakoordenatu-jatorri-tikpasatzendenzuzenadelajakiteko.Horrezgain,zuzenhorietakobatidagokionekuazioaidaztenjakinbeharkodute;horretarako,maldarenbalioabainoezdutelortubeharko.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:

Indartzeko:15.orrialdeko1.ariketa.18.orrialdeko1.ariketa.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:


Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.


1 Erantzunirekia.

120

167166

3 Zuzena, puntu bat eta malda ezagututa2 y = mx + n funtzioaHiri bateko uraren fakturan, 3 euroko kantitate finkoa gehi 1,50 kontsumitzen den metro kubiko bakoitzeko ordaintzen da.Enuntziatuan ikusten dugunez, hasierako kantitatea, 3 , ordainduta, gainerako kostua uraren kontsu-moaren (m3-tan) proportzioan dago.kontsumoa → kostua funtzioak ekuazio hau du:

y = 3 + 1,5xHorren grafikoa 1,5 malda duen zuzena da (uraren kontsumoa 1 gehituz gero, kostua igotzen dena).Hasierako kantitatea, 3, Y ardatzeko puntua da eta funtzioa puntu horretatik abiatzen da.

y = mx + n ekuazioa honako ezaugarri hauek dituen zuzen baten bidez iru-dikatzen da:— Horren malda m da (malda x-ren koefizientea da y = mx + n ekuazioan).

Horrek y-ren aldakuntza adierazten du x-ren unitate bakoitzeko.— Horren jatorriko ordenatua n da. Hau da, x = 0 izanez gero, orduan,

y = n. Ondorioz, Y ardatza (0, n) puntuan ebakitzen du.

Malda m = 0 denean, y = n zuzena X ardatzaren paralelo da. Funtzio kons-tante esaten zaio y-k balio bera duelako beti (n), nahiz eta x aldatu.Zuzenen bidez irudikatzen diren funtzioei funtzio lineal esaten zaie

1. Paper koadrikulatua erabiliz, irudikatu kartesiar ar-datzetan honako ekuazio hauek:

a) y = 3x – 2 b) y = 3 – 2x c) y = 43

41– x

d) y = 32 x – 5 e) y = –2 f ) y = x

25 3–

2. Bilduma bateko liburuen lodiera neurtu dugu. Azaletako bakoitza 5 mm lodi da. Jakinik 200 orrial-dek zentimetro bateko lodiera dutela, idatzi orrialde kopu-rua → liburuaren lodiera funtzioa eta irudikatu arda-tzen gainean.

3. Idatzi honako zuzen hauetako bakoitzaren ekuazioa:

a

b

cY

X

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziaHonako zuzen hauek irudika-tzea:

a) y = 5x – 1 b) y = –2

c) y = –45 x + 3

a) b) c) Y

X

y = – —x + 354

Y

X

y = 5x – 1Y

Xy = –2

Y

X

n

y = mx + n

(0, n)

1 2 3 4 5 6 7

123456789

101112

KONTSUMOA (m3)

KOSTUA (€)

Zuzen baten puntu bat, (x0, y0), eta horren malda ezagutzen ditugula joko dugu. Orduan, horren ekuazioa honela jar daiteke: y = y0 + m(x – x0) puntu-malda ekuazioa

•Argi dago zuzena (x0, y0) puntutik pasatzen dela, zeren:x = x0 izanez gero, orduan, y = y0 + m(x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0

•Malda m da, y bakantzen denean x-ren koefiziente denez gero.

1. Kasu bakoitzean, idatzi P-tik pasatzen den eta m mal-da duen zuzenaren ekuazioa:

a) P (4, –3), m = 4 b) P (0, 2), m = –21

c) P (–3, 1), m = 45 d) P (0, 0), m = –1

e) P (–1, 3), m = –53 f ) P (0, –2), m = 0

2. Idatzi beren grafikoen bidez irudikatuta dauden a eta b zuzenen ekuazioa. Bakoitzean, aukeratu ekuazioa idazteko har-tu ez duzun puntu bat. Idatzi berriz ekuazio bat beste puntu horrekin. Egiaztatu ekuazio bera dela bi kasuetan.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak1. Puntu eta maldaren bidez

emandako honako zuzen ekuazioak idaztea:

a) P (3, 7) m = 4

b) P (–2, 5) m = –32

c) P (4, –1) m = 1,2

d) P (–3, 0) m = 51

Zuzenetako bakoitzarentzat, puntu-malda ekuazioa lortuko dugu.

a) ekuazioa: y = 7 + 4(x – 3) Hau da, y = 4x – 5

b) ekuazioa: y = 5 – 32 (x + 2) Hau da, y = –

32 x +

311

c) ekuazioa: y = –1 + 1,2(x – 4) Hau da, y = 1,2x – 5,8

d) ekuazioa: y = 51 (x + 3) Hau da, y = x

51

53+

2. a, b eta c zuzenen ekua-zioa idaztea.

(–7, 5)(2, 2)

(2, –5)

3

3

3

4 2

4

X

a

bc

Y

a) (2, 2)-tik pasatzen da. Horren malda 42

21= da.

ekuazioa: y = 2 + 21 (x – 2)

b) (–7, 5)-etik pasatzen da. Horren malda –34 da.

ekuazioa: y = 5 – 34 (x + 7)

c) (2, –5)-etik pasatzen da. Horren malda 33 = 1 da.

ekuazioa: y = –5 + (x – 2)

X

a

bY

Oharra Goi-matematikan, y = mx motakoei esaten zaie funtzio lineal.Honako beste hauei, y = mx + n, funtzio afin esaten zaie.Hala ere, matematika aplikatuan, ekonomian, kasurako, funtzio lineal zuzenen bidez irudikatzen direnei esaten zaie.Honela egiten dugu hemen:

linealak → y = mx + nproportzionaltasunekoak → y = mx

Indartzea: y = mx + n funtzioa.Webgunean

Praktikatu y = mx + n funtzioekin.Webgunean

Hartu kontuany = y0 + m(x – x0) ekuazioak sinpli-fikatu egin daitezke y = mx + n forma lortu arte.Adibidez:

y = 3 + 52 (x – 1) ⇒ y =

52 x +

513

Indartu: puntu-malda ekuazioa.Webgunean

Kontzeptua: zuzenaren malda.Webgunean

1 f(x)=201 x+10(Irudikapena:(0,0)eta(200,20)puntuetatikpasatzen

denzuzena).

2 a→y=–32 x–1 b→y=2x–3 c→y=4

Iradokizunak

•Zuzenarenpuntu-maldaekuazioakeraginkortasunhandiadu.Ikasleektrebetasunezerabiltzenikasibehardute,1.ariketaebatzianegindenbezala.

•Puntu-malda ekuazioa garatzeak aurreko epigrafean ikasi duguny = mx +nfuntzioraeramangogaitu.

•Osointeresgarriadaikasleekhonakohauegiaztatzea:y = y0+m(x–x0)ekuazioan,(x0,y0)puntuazuzenarenedozeinpuntuizandaitekeela,etaekuazioarenamaierakoadierazpena,edozeinpuntuhartzendugularikere,ezdelaaldatzen.Horretarako,bigarrenariketaebatziahardezake-gu,etaedozeinzuzenetan,bestepuntubathartu;horrela,ekuazioaga-ratuondoren,berdingelditzendelaikusikodugu.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:22.orrialdeko1etik5erakoariketak.


3 a)y=4x–19 b)y=2–21 x c)y=

45 x+

419

d)y=–x e)y=512

53– x f) y=–2

4 a→y=–32 x b→y=

23 x+1

Iradokizunak•y=mx+nfuntzioaaurkezteko,adibidebaterabilikodugu.

•Ezinbestekoadamaldarenesanahia jakiteaeta, y bakandutada-goenean,x-renkoefizientearengisakoadierazpenanalitikotikabiatuz,maldalortzekogaiizatea.Horrezgain,beharrezkoadan(jatorrikoor-denatua)y-renbaliogisainterpretatzea,x=0denean.Halaber,ikas-leekjakinbeharkodutex-renbaliopositiboentzatdefinitutakofun-tzioenkasuan,funtzioarengrafikoarenabiapuntuadela.

•Ikasleekgaiizanbeharkodutey=mx+nadierazpenammaldadueneta(0,n)puntutikpasatzendenzuzenaridagokiolajakiteko.


Indartzeko:19.orrialdeko1etik3rakoariketak.20.orrialdeko4.eta5.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketakob)etac)atalak.Afitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.


1

X

Y

2

2

4

4

a

b

c

X

Y

2

2

4

4

d

e

f

121

169168

5 Funtzio linealaren aplikazioak. Higidurei buruzko problemak

4 Bi puntutatik pasatzen den zuzenaZuzen baten bi puntu ezagutuz gero, horietatik abiatuta, zuzenaren malda lor dezakegu eta, gero, maldarekin eta puntuetako batekin, horren ekuazioa aurki dezakegu, aurreko orrialdean ikusi dugun bezala.

Malda lortzea bi puntu ezagutuzEzagun ditugun bi puntutatik pasatzen den zuzenaren malda aurkitzeko, era gra-fikoan joka daiteke, x-ren aldakuntza eta y-ren aldakuntza neurtuz (edo karra-tutxoak zenbatuz).Baina honako kalkulu honen bidez ere lortzen da (bizkorrago eta eraginkorrago):

( , )( , ) ren aldakuntza

ren aldakuntza8P x yP x y m x

yx xy y

––1 1 1

2 2 2 2 1

2 1=-- =4

1. Kasu bakoitzean, aurkitu P eta Q puntuetatik pa-satzen den zuzenaren ekuazioa:a) P (2, 5), Q (–3, 6) b) P (3, – 4), Q (–2, –1)c) P (–1, 0), Q (5, 5) d) P (–7, 1), Q (3, 4)e) P (3, 1), Q (–2, 1) f ) P (2, –2), Q (2, 5)

2. Aurkitu a, b eta c zu-zenen ekuazioak. Era-bili markatuta dauden puntuak maldak kalku-latzeko.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak1. Bi punturen bidez eman-

dako zuzen hauen maldak kalkulatzea:

a) (2, –5), (6, 1)

b) (–1, 0), (3, 2)

c) (–3, –1), (2, –2)

era grafikoan:a) b) c)

(2, –5)

(6, 1)

4

6X

Y(3, 2)

(–1, 0)4

2X

Y

(–3, –1)(2, –2)

15

X

Y

m = 46

23= m =

4 22 1= m = –

51

eragiketak eginez:

a) m = ( )6 2

1 546

23

–– – = = b) m =

( )3 12 0

42

21

– –– = =

c) m = ( )( )

2 32 1

51

– –– – – –=

2. P eta Q-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa lortzea:

a) P (5, 3), Q (–3, 4)

b) P (–3, 5), Q (–2, 3)

a) m = 3 5

4 38

181

– ––

––= = ekuazioa: y = 3 –

81 (x – 5)

b) m = ( )2 3

3 512

– – –– –= = –2 ekuazioa: y = 5 – 2(x + 3)

X

ab

c

Y

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

y2 – y1(y-ren aldakuntza)

x2 – x1(x-ren aldakuntza)

Funtzio linealak baliozkoak dira era proportzionalean aldaturiko bi magnitude erlazionatzen dituzten fenomeno asko deskribatzeko. Adibidez: produktu baten pisua → horren kostua higidura uniformearen denbora → egindako distantziaHigidura uniformeak ageri diren egoerak deskribatzen dituzten funtzio batzuk ikusiko ditugu.

Eskalak ardatzetanEguneroko egoeretatik ateratako fun-tzioak adierazteko, ohikoa izaten da ardatzetan testuinguruari egokitu-tako eskalak erabiltzea.

1. Robotak 7 m egiten ditu minutuko (7 m/min). Zer distantzia egingo du t minututan?

2. Robotak 7 metro egiten ditu minutuko. Orain dela 2 min jarri dugu martxan. Gugandik zer distantziatan egongo da t minutu barru?

3. Robota gugandik 40 metrora dago eta 5 m/min-ko abia-duran hurbiltzen ari da. Non egongo da t minutu barru?

4. 10:00etan, bizikleta orduko 5 euroan alokatu dugu eta 100 € utzi ditugu aurrerakin eran. Zenbat itzu-liko digute egun horretako t orduan bueltatuz gero?

Pentsatu eta egin

Problema ebatziak1. Alizia 5 km/h-ko abiaduran

atera da etxetik. Zer distan-tzia egingo du t ordu barru?

Distantzia kilometrotan eta denbora ordutan adieraziz gero, Aliziak, honako distantzia hau egingo du t ordutan:

d = 5t

2. Jagoba orain dela 2 ordu atera da hemendik orduko 4 km-ko abiaduran. Gugan-dik zer distantziatan egongo da t ordu barru?

Orain dela 2 h atera denez, 2 + t orduan ibili da. Orduan, 4(2 + t) km egingo zituen.

d = 4(2 + t)

3. Rikardo gugandik 25 km-ra dago. Bizikletan atera da guganantz 15 km/h-ko abia-duran. Gugandik zer dis-tantziatan egongo da t ordu barru?

Rikardok, t ordu barru, 15t kilometro eginda izango ditu. Gugandiko distantzia kilometro kopuru horretan murriztuko da. Ondorioz:

d = 40 – 15t

4. Erromesari 50 km falta zaiz- kio Santiagora iristeko. Goi-zeko 8etan atera da bideari berriz ekiteko orduko 6 km-ko abiaduran. Hel-mugatik zer distantziatan egongo da egun horretako t orduan?

Bidean, t orduak direnean, t – 8 ordu daramatza. Egin duen distantzia 6(t – 8) da.Santiagora duen distantzia izango da:

d = 50 – 6(t – 8)Erromesak, geldialdirik egin gabe, 6 orduko ibilaldia egingo balu, defini-zio-eremua 8-14 izango litzateke.

1

5

10

2 3 4

DISTANTZIA (km)

DENBORA (h)

1

10

20

30

40

2 3 4

DISTANTZIA (km)

DENBORA (h)

1

10

0 2–2 –1

DISTANTZIA (km)

DENBORA (h)

8

10

20

30

40

50

9 10 11 12 13 14

DISTANTZIA (km)

SANTIAGOORDUA

Indartu: bi puntutatik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.Webgunean

Ardatzetako eskalak aukeratzeko laguntza.Webgunean

Iradokizunak

•Unitatehonetakolehenepigrafeanmaldakontzeptuaikasigenuen.Horilortzeko,puntubatkalkulatubehardasoilik;izanere,y=mxekua-zioarenzuzenguztiak(0,0)puntutikpasatzendira.

Orain,prozesuhoriedozeinzuzenetarakoorokortukodugu,baldinetazuzenhorrenbipuntuezagutzenbaditugu.Honakohaueklortukoditu-gu:malda(zatidurazatiy-renaldakuntzagisa)etax-renaldakuntza.

•Maldakalkulatzekoorduan,ikasleekarazoakizatendituzteemandakopuntuetatikP1etaP2.zeindirenjakiteko.Halaere,egiaztapenakegi-nez,honakohauondorioztatubeharkodute:puntuakedozeinordena-tanhartutaere,maldarenbalioaezdelaaldatzen.

•Honakoondoriohauereaterabeharkodute:puntu-maldaekuazioaidaztekobehardugunpuntuaemandakobipuntuetakoedozeinizandaitekeela,etazuzenetikhartzenditugunpuntuakbesteedozeinbipun-tuizanikere,ekuazioarenbalioaezdelaaldatzen.

Indartu eta sakondu


Indartzeko:24.orrialdeko1.,2.eta4.ariketak.

Sakontzeko:25.orrialdeko5.ariketa.


1 a)y=527

51– x b)y=–

511

53– x c)y= x

65

65+

d)y= x103

1031+ e)y=1 f) x=2

2 a→y=34

34– x b→y= x

41

23+ c→y=–2

Iradokizunak

•Funtziolinealakbaliabideonadirabimagnitudezuzenbatenbitarteznolaerlazionatzendirenazaltzekoetaaztertzeko.

•Lehenengoorrialdean,ikasleekhigidurarekinlotutakoohikoproblemakizangodituzteaztergai.Ikasleekgaiizanbeharkoduteenuntziatubatda-gokionzuzenarenadierazpenanalitikobihurtzeko,moduautomatikoan.

•Garrantzitsuadaikasleek,funtzioairudikatuaurretik,aldagaiaskeari(de-finizio-eremuari)emandakizkiokeenbalioeiburuzgogoetaegitea.

Indartu eta sakondu


Sakontzeko:26.orrialdeko1etik4rakoariketak.27.orrialdeko5etik8rakoariketak.


1 Egindakodistantziadbada,orduand=7t.

2 tminutubarru,d=14+7tdistantzianegongoda.

3 Gugandikegongodendistantziadbada,orduand=40–5t.

4 Ditzulikodigutendiruabada,orduan,D=100–5(t–10).

Lankidetzan ikasi

Grafikoakinterpretatzearietaeraikitzeariburuzkoariketaktaldetxikianegindaitezke,berdinenartekoikasketasustatzeko.

Honakoariketahauiradokitzendugu:ikasleekelkarriproposatukodizkietehainbatmetodorenbitartezdefinitutakofuntzioakgrafikoekinirudikatzeaedolotzea.

122

171170

7 Parabolak eta funtzio koadratikoak6 Bi funtzio lineal batera aztertzeaBi funtzio lineal batera aztertzeko, ardatz beretan irudikatuko ditugu. Horien ebakitze-puntua garrantzi handikoa da baterako interpretaziorako. Koorde-natuak aurkitzeko, grafikoan argi ikusi ezik, bi ekuazioek osatutako sistema ebatziko da.

Problema ebatziaPaula 10:00etan atera da etxe-tik oinez 4 km/h-ko abiaduran Alexen bila. 12:00etan, Alex bizikletan atera da Paularen bila 12 km/h-ko abiaduran. 24 km-ko distantzian bizi dira. Zer ordutan eta non elkartuko dira?

Distantziak eta denborak erlazioan jarriko ditugu. Distantziak Paularen etxetik hartuko ditugu eta denbora, aldiz, Alex ateratzen denetik.Alexen mugimenduaren ekuazioa:

t unean, 12t km hurbildu da Paularen etxera; ondorioz, Paularen etxe-rako distantzia d = 24 – 12t da.

Paularen mugimenduaren ekuazioa:Hasierako unerako, Paulak 2 ordu egin ditu oinez. Beraz, t unean (t + 2) h darama. Ondorioz, Paularen bere etxerako distantzia t unean d = 4(t + 2) da.

Elkartzen diren unean, toki berean daude. Denborari eta posizioari dagokien bat etortze horrek problema ebaz-tera darama bi ekuazioek deskribatzen dituzten zuzenek elkar ebaki-tzen duten puntua lortuz.

DENBORA (h)

10(1, 12)

20

1–1–2

DISTANTZIA (km)ALEXd = 24 – 12t

PAULAd = 4(t + 2)

Zuzenen ebakitze-puntuak, (1, 12), esan nahi du Alex etxetik atera eta ordubete barru elkartu direla Paularen etxetik 12 km-ra.eraginez:Ebakitze-puntuaren koordenatuak bi ekuazioek eratutako sistema ebatziz ere aurki daitezke:

( )d td t

2 14 24 2–=

= +4 → 24 – 12t = 4t + 8 → 16t = 16 → t = 1 → d = 12

Soluzioa: 13:00etan elkartu dira Paularen etxetik 12 km-ra.

1. AHT bat goizeko 10etan atera da gure hiritik 750 km-ra dagoen hiri jakin batetik eta 200 km/h-ko abiaduran dator. Beste alde batetik, merkantzien trena bi ordu lehenago atera da gure hiritik eta 50 km/h-ko abiaduran doa AHTren bide paraleloan zehar.a) Adierazi bi funtzioren bidez gure hiritik trenetako

bakoitzera t ordu barru dagoen distantzia.

b) Irudikatu koordenatuen ardatzetan funtzioei dagoz-kien bi zuzenak.

c) Adierazi zer puntutan ebakitzen duten elkar bi zuzenek eta azaldu zer esan nahi duen koordena-tuetako bakoitzak.

d) Kalkulatu ekuazio-sistema baten bidez zer ordutan gurutzatu diren trenak eta gure hiritik zer distan-tziatan dauden.

Pentsatu eta egin

x y

– 4–2–1

0124

1641014

16

1. Elkartu funtzio koadratikoen honako adieraz-pen analitiko hauek eskuinean irudikatuta ageri diren eta dagozkien parabolekin:i) y = 2x 2 – 2x + 1 ii) y = –x 2 + x – 3

iii) y = 21 x 2 – 1 iv) y = –3x 2 + 8x

Pentsatu eta egin

20

5

Y

X

10

15

4–4 –2

Y

X

y = 3x2 – 42x + 138

y = –x2 + 2x – 4

1y = —x2 + x 4

Y

ab

c

d

X

Indartu: bi funtzio batera aztertzea.Webgunean

Ebatzi «Txangoa» izeneko problema.Webgunean

Saskira jaurtitzen dugunean baloiak deskribatzen duen kurba parabola da. Gol-feko pilotek edo ur-txorrotek ere parabolak deskribatzen dituzte. Satelite artifi-zialetatik datozen emisioak jasotzen dituzten antenen sekzioak eta automobilen argienak ere parabolak dira.Parabolen bidez irudikatzen diren funtzio asko daude:— Karratuaren azalera aldearen funtzioan (A = l 2) edo zirkuluarena, erradioaren

funtzioan (A = πr 2).— Gorantz jaurti dugun harriak une jakin batean duen altuera jaurti denetik

igaro den denboraren funtzioan (a = v0t – 4,9t 2).— Automobil batek, galgatzea erabaki dugun unetik, benetan gelditu arte egiten

duen bidea, zeraman abiaduraren funtzioan (e = 0,0074v 2 + 0,21v).

Parabola eredua: y = x2 funtzioaParabola motarik sinpleena adieraziz hasiko gara; parabola mota hori y = x 2 funtzioari dagokio.Eskuinean, horren balio-taula ikus dezakezu eta, ezke-rrean, horren adierazpen grafikoa.Y ardatzari dagokionez, kurba simetrikoa da; minimo bat du (0, 0) puntuan, eta puntu horri erpin esango diogu.Bi adar ditu, bat beherakorra da eta bestea, gorakorra.

Funtzio koadratikoaky = ax 2 + bx + c funtzioei, a ≠ 0 izanik, koadratiko esaten zaie eta guztiak parabolen bidez irudikatzen dira; simetria-ardatza Y ardatzari paralelo dute.Horren forma (beherantz, gorantz, zabalago…) x 2-ren koefiziente den a-ren mende dago, honela:•Bi funtzio koadratikok x 2-ren koefiziente bera izanez gero, dagozkien parabo-

lak berdin-berdinak dira; hala ere, posizioak desberdinak izan daitezke.•a > 0 izanez gero, adarrak gorantz dituzte eta a a < 0 izanez gero, beherantz.•Zenbat eta | a | handiago izan, orduan eta estuagoa izango da parabola.

Iradokizunak•Ardatzbereanirudikatutakobigrafikoaztertzenbaditugu,bigrafikoho-

riekdituztenaldakuntzaerrazagohautemangoditugu:bakoitzarengo-rapenaedobeherapena,ebakitze-puntuaetaharenesanahia;horries-ker,grafikoakhobetoaztertukoditugu.

•Unitateosoak,etaepigrafehonekbereziki,besteatalbatzuetanikasi-takozenbaki-etaaljebra-trebetasunakberrikustekobaliokodigute.

Ekimena Irakasleakgrafikobataurkeztukodu,testuingururikgabe.Ikasleekgrafikohorriaplikatzekomodukotestuingurubatpentsatu,etadagokionfuntzioajarrikodiote.


Indartzeko:29.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.

Sakontzeko:30.orrialdeko4.,5.eta6.ariketak.


1 a)daht=750–200t

dmerkantzia=50t

b)(0,750)puntutikpasatzendenzuzenbat,eta(0,0)puntutikpasatzendenbestezuzenbat.Bizuzenak(3,150)puntuanebakitzenduteelkar.

c)(3,150)puntuanebakitzenduteelkar.Horrekesannahidugurehiri-tik3orduraeta150kilometroragurutzatukodirela.

d)d td t

750 20050

–AHTMERKANTZIA

==

4t=3orduak→daht=dmerkantzia=150km

Iradokizunak•Funtzio koadratikoak lantzen hasteko, parabolen zenbait adibide

praktikoaztertukoditugu.

•y=x2adierazpenarenbitartez,ikasleekfuntziokoadratikoarenezauga-rriesanguratsuenakondorioztatzekogaiizanbeharkodute:eremua,go-rapenaetabeherapena,erpinaetajarraitasuna.


1 I) y=2x2–2x+1→b

II) y=–x2+x–3→c

III)y=21 x2–1→a

IV)y=–3x2+8x→d

Indartu eta sakondu




Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.

OHARRAK

123

Iradokizunak

•Parabolakirudikatzeariekingodiogu,haienadierazpenanalitikoakon-tuanhartuz;horrela,ikasleekulertukodutey=ax2+bx+cadierazpe-na(0,c)puntutikpasatzendenparabolaridagokiola.Halaber,akoefi-zienteakfuntziohorrengrafikoanduenpaperariburuzhausnartukodute.

•Ikasturtehonetan,funtziokoadratikoenaurkezpenorokorrabainoezdu-guegingo.

Ikasleekzenbaitbaliabideizangodituzte,halanolaerpinaetaharenon-dokopuntuaknolakalkulatubehardiren.


2 3Y

a

b

X2–2 4 6 8

2

–2

–4

4

6

Ya b

X2–2–4–6–8 4 6

2

–2

–4

4

6

Indartu eta sakondu




Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.

Iradokizunak•Unitatekoazkenorrialdehonetanaurretikikasitakoguztiaaztertukodu-

gu.Zuzenbatetaparabolabatdituenhigidurenadibidebatikusikodu-gu.Ikasleekbifuntzioakirudikatubeharkodituzte,etaebakitze-puntuakgrafikokietaekuazio-sistemabatenbitartezerekalkulatubeharkodituz-te.Ikasleeigogoratukodiegu,irudikapenakegitekoorduan,osogarran-tzitsuadelaeskalaegokiaerabiltzea.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko4.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

2 8eta28segundotanegingodutebat.

Ariketa eta problema ebatziak

172 173

Funtzio koadratikoak irudikatzeaEsan denez, funtzio koadratikoak parabolen bidez irudikatzen dira; horien forma x 2-ren koefizientearen mende baino ez dago. Orain y = ax 2 + bx + c irudikatzeko zer pauso eman beharko diren ikusiko dugu:

1. Erpinaren abzisa lortzea: p = –a

b2

2. Erpinetik hurbileko puntuak lortzea.Erpinetik hurbil dauden abzisa osoetan, eskuinean eta ezkerrean, kalkulatuko dugu funtzioak zer balio duen. Horrela, kurba bere zatirik interesgarrienean ezagutuko dugu.

3. Ardatzekiko ebakitze-puntuak lortzea.Horien bidez, grafikoaren punturik nabarmenenei buruzko informazioa osa-tzen da:— X ardatzarekin ebakitzea: ax 2 + bx + c = 0 ekuazioa ebazten da.— Y ardatzarekin ebakitzea: (0, c) da.

4. Irudikapena.Ardatzetan, informazioa zentzuzko espazioan irudikatzen utziko diguten eskalak aukeratuko ditugu.

2. Irudikatu honako parabola hauek:

a) y = x 2 – 2x + 3 b) y = x 2 – 6x + 5

3. Marraztu honako funtzio hauek:

a) y = 41 x 2 + x – 2 b) y = 2x 2 – 10x + 8

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziay = x 2 – 3x – 4 irudikatzea.

2

Y

X

2

4

6

4–2–2

–4

–6 y = x2 – 3x – 4

1. Erpina lortzea:

: ,p 1 5Abscisa = = =( )2 1

323

·– –

2: ( , ) ( , ) · , ,f 1 5 1 5 3 1 5 4 6 25Ordena – – –tua = =4 Erpina (1,5; – 6,25).

2. Erpinetik hurbileko puntuak lortzea:

x –2 –1 0 1 2 3 4 5y 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6

3. Ardatzekiko ebakitze-puntuak:

•X ardatzarekin ebakitzea:

x 2 – 3x – 4 = 0 → x = ±2

3 9 16+ → x 1 = –1, x 2 = 4

•Y ardatzarekin ebakitzea: (0, – 4)(Informazio hori aurreko taulan genuen).

4. Irudikapena ezkerrean ageri da.

1. Adierazpen analitikoa eta irudikapena

Arranoa habian dago 525 m-ko altueran. Eztanda entzun eta hegan igotzen da 10 m/s-ko abiadura konstantean 50 s-an.

Altueraren, a, adierazpen ana-litikoa lortzea, m-tan, denbo-raren, t, funtzioan, s-tan.

Arranoaren altueraren adierazpen analitikoa da: a = 525 + 10t 0 < t < 50

10

500

DENBORA (s)

ALTUERA (m)1000

20 30 40 50

2. Funtzio lineala eta koadratikoa

Aurreko ariketan arranoak entzun duen eztanda kanoi batek sortu du: bala gorantz jaurti du hasierako abia-dura 200 m/s-koa dela. Bola-ren altuera, a, m-tan, denbo-raren, t, funtzioan, s-tan, a = 200t – 5t 2 ekuazioak ema-ten du.

a) Funtzio horren grafikoa iru-dikatzea.

b) Zein da definizio-eremua?

c) Jaurti eta zenbat denbora barru iritsi da bala gorengo altuerara? Zer altuera da hori?

d) Arranoak bala gorantz pasa-tzen ikusi du eta, gero, jais-ten. Zer unetan gertatu dira gurutzatze horiek? (Hau da, zer unetan datoz bat arra-noaren eta balaren altue-rak?).

Zeuk egin. Hegazti bat 1 120 m-ko altueran dago. Gainbehera bizian egiten du behera 20 m/s-ko abiadu-ran lurretik bala bat gorantz 160 m/s-ko abiaduran ateratzen den une berean. Balaren higidu-raren ekuazioa honako hau da: altuera = 160t – 5t 2. Zer unetan egingo dute bat?

a) a = 200t – 5t 2 parabola da eta erpina hemen du: p = · ( )2 5200–

– = 20.

Denboraren ardatza den X ardatzarekiko ebakitze-puntuak 200t – 5t 2 = 0-ren soluzioak dira. Ekuazioa ebatziz, t = 0, t = 40 lortu dugu.Grafikoa irudikatzeko, balio-taula prestatuko dugu:

t 0 2 4 6 10 16 20 24 30 34 36 38 40

a 0 380 720 1 020 1 500 1 920 2 000 1 920 1 500 1 020 720 380 0

b) Definizio-eremua 0-40 tar-tea da, muturrak sartuta:t = 0-n, bala gorantz atera da. T = 40-n, balak lurra ukitu du.

c) Altuerarik handiena erpi-nean lortu du, 20. s-an:a (20) = 200 · 20 – 5 · 202 =

= 2 000Gorengo altuera 2 000 m da.

d) Bi grafikoen ebakitze-puntuak aurkitu behar ditugu.Grafikoei erreparatuz gero, ebakitze-puntuen koordenatuak hurbildu ditzakegu. Emaitza zehatza izan dadin, honako ekuazio-sistema hau ebatziko dugu:

a t ta t

200 5525 10

– 2== +

4 → 200t – 5t 2 = 525 + 10t → → 5t 2 – 190t + 525 = 0 → t = 3; t = 35

Balak arranoaren altuera 3. segundoan gainditu du 525 + 10 · 3 = 555 m-ko altueran eta, jaistean, arranoarekin 35. s-an gurutzatu da 525 + 10 · 35 = = 875 m-ko altueran.

Erpinaren abzisa

y = ax2 + bx + c

y = c

O b– — 2a

b– — a

ax 2 + bx + c = c → ax 2 + bx = 0 →

→ (ax + b)x = 0 → x1 = 0, x2 = – ab

Erpinaren abzisa x1 eta x2,-ren erdi-

gunean dago, hau da p = – ab2 pun-

tuan.

10

500

ALTUERA (m)

1000

1500

2000

20 30 40DENBORA(s)

OHARRAK

124

174 175

Ariketak eta problemak

Egin Funtzio linealak. Zuzenak

1. Irudikatu honako zuzen hauek:

a) y = 4x b) y = –2,4x c) y = – x2

d) y = –2x + 1 e) y = – x2

+ 3 f ) y = –58

g) y = x2

3 5– h) y = 2,5x – 1 i) y = 43 x +

21

2. Elkartu zuzen bakoitza bere ekuazioarekin:

a) y = –31 x

b) y = 23 x + 1

c) y = 52 x

d) y = 52 x + 2

e) y = –2

X

ps

q t

r

Y

3. a) Idatzi zuzen bakoitzaren ekuazioa:b) Zein dira fun-

tzio gorakorrak? Eta beherakorrak? Egiaztatu maldaren zeinua kasu bakoi-tzean.

Ya

b

c

d

X

–22 4 6–2–4

4

2

6

4. Zuzenetako bakoitzaren puntuetako bat eta mal-da ezagutzen ditugu. Idatzi zuzenen ekuazioak:a) P (–2, 5), m = 3 b) P (0, –5), m = –2

c) P (0, 0), m = 23 d) P (–2, – 4), m = –

32

5. Lortu A-tik eta B-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.a) A (2, –1), B (3, 4) b) A (–5, 2), B (–3, 1)

c) A ,23 2d n, B ,1

32d n d) A ,

21

43–d n, B ,

31 1d n

6. Lortu honako zuzen hauen maldak eta irudikatu ardatz beretan. Zer ondorio ateratzen duzu?a) y = 2x b) y = 2x – 3c) 2x – y + 1 = 0 d) 4x – 2y + 5 = 0

7. Andel bateko uraren maila a = (5/4)t funtzioaren arabera aldatzen da denboran zehar (a metrotan, t segundotan).

a) Irudikatu. Andelak 5 m-ko altuera izanez gero, zein da funtzioaren definizio-eremua?

b) Proportzionaltasun-funtzioa al da?

c) Adierazi zer malda duen eta azaldu horren esanahia.

8. Honako taula honek andelean dagoen uraren bolumena hustubidea irekitzean nola aldatzen den erakusten du:

t (min) 0 1 2 3 5V (l) 20 18 16 14 10

a) Adierazi denbora → bolumen funtzioa.b) Idatzi horren ekuazioa eta definizio-eremua.

c) Adierazi zer malda duen eta zer esan nahi duen.

d) Proportzionaltasun-funtzioa al da?

9. Honako taula honek zutoinen eta horien itzalen luzerak erakusten ditu une jakin batean:

zutoina (m) 0,5 1 1,5 2 2,5itzala (m) 1,25 2,5 3,75 5 6,25

a) Adierazi zutoinaren luzera → itzalaren luzera funtzioa.

b) Idatzi horren ekuazioa eta adierazi zer malda duen.

c) Zenbateko luzera izango du 3,5 m-ko zutoinaren itzalak?

d) Zer luzera du 3 m-ko itzala duen zutoinak?

10. Milia bat, gutxi gorabehera, 1,6 km-ren baliokide da.

a) Egin miliak kilometro bihurtzeko taula.

b) Marraztu grafikoa eta idatzi horren ekuazioa.

11. Jakinik 100 libra 45 kg-ren baliokide direla:

a) Idatzi ekuazioa honako hau determinatzeko: zenbat kilo, y, diren x libraren baliokide.

b) Marraztu ekuazioaren grafikoa.

12. Izozkiak egiteko errezeta baten arabera, 200 cm3 esneko 10 g banilla jartzea komeni da. Kalkulatu zer erlazio dagoen esne eta banilla kantitateen artean eta irudikatu funtzioa.

13. Mamen 3 km/h-ko abiaduran doa eta etxea igerilekutik 10 km-ra dago. Elkartu honako enuntziatu hauetako bakoitza beheragoko ekuazioe-tako batekin:

a) Orain hasiz gero, zer distantzia izango du eginda t ordu barru?

b) Duela 3 h hasi dela joz gero, zer distantzia izango du eginda t ordu barru?

c) Etxetik bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik zer distantziatan egongo da t ordu barru?

d) Etxetik 10:00etan bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik zer distantziatan egongo da t ordu ba-rru?

e) Etxetik duela 3 ordu atera bada, zer distantziatan egongo da igerilekutik t ordu geroago?

d = 3t + 3 d = 10 + 3(t – 10) d = 3(t + 3)

d = 3(t – 3) d = 10 – 3(t – 10) d = 10 – 3t

d = 3t d = 10 – 3(t + 3) d = 10 + 3(t + 3)

14. Marraztu aurreko ariketako enuntziatuetako bakoitzaren grafikoa.

15. Honako enuntziatu hauetako bakoitzean, aur-kitu ekuazioa eta irudikatu funtzio lineala kartesiar ardatzetan:

a) Andonik 3 €/kg-ko prezioko laranjak erosi ditu. Zenbat ordaindu du p kilo laranja?

b) Sonia 08:00etan atera da 120 km/h-ko abiaduran. Zer distantzia izango du eginda t ordu barru?

c) Jonek 5 € ordaindu behar du patinak alokatzea, gehi euro bat irristatzen ibiliko den ordu bakoitzeko. Zenbat ordaindu beharko du t orduan ibiliz gero?

d) 25 € ditut eta taxiak honako hau kobratuko dit: 2,5 € martxan hasteagatik eta 1,20 € kilome-troko. Zenbat diru izango dut sobera taxiak d km-ko distantziara eramanez gero?

e) 12:00etan, freskagarria 10 °C-ko tenperaturan atera dut hozkailutik. Minutuko 1,5 °C berotuz gero, zer tenperatura izango du freskagarriak t ordu barru?

f ) Duela 10 min, bainuontzia betetzen duen txorro-ta ireki dut. Uraren maila minutuko 2 cm igo eta bainuontziak 40 cm-ko sakonera izanez gero, zenbat zentimetro faltako dira urak gainezka egiteko t minutu barru?

Funtzio koadratikoak. Parabolak

16. Elkartu funtzio koadratiko bakoitza dagokion grafikoarekin:

i) y = x 2

ii) y = – x 2

iii) y = –2x 2

iv) y = 21 x 2

Ya

b

cd

X

17. Elkartu ekuazioetako bakoitza dagokion parabolarekin:

i) y = x 2 + 3x – 2

ii) y = –x 2 + 2x – 1

iii) y = –2x 2 – 6x + 1

iv) y = 21 x 2 – 4x + 2

Ya

b

c

d

X

18. Adierazi honako funtzio hauek kasu bakoitzean honen moduko balio-taula prestatuz, eta esan zein den parabola bakoitzaren erpina:

x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y … … … … … … … … …

a) y = x 2 + 3 b) y = x 2 – 4

c) y = 2x 2 d) y = 0,5x 2

19. Esan zer puntutan (abzisa eta ordenatua) dagoen honako parabola hauen erpina; kasu bakoitzean, adierazi maximo bat ala minimo bat den:

a) y = x 2 – 5 b) y = 3 – x 2 c) y = –2x 2 – 4x + 3

d) y = 5x 2 + 20x + 20 e) y = – 25 x 2 + 5x –

23

20. Irudikatu honako parabola hauek, erpina, erpine-tik hurbileko puntu batzuk eta ardatzekiko ebakitze- puntuak aurkituz:

a) y = (x + 4)2 b) y = 31 x 2 + 2x

c) y = –3x 2 + 6x – 3 d) y = –x 2 + 5

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 Y a)

b)

c)

X

2–2–4 4 6

2

–4

4

6

Yd)

e)

f)

X2–2–4 4 6

2

–2

–4

4

6

Y g)h)

i)

X2–2–4 4 6

2

–2

–4

4

6

2 a)s b)q c) r d) t e) p

3 a)a→y=4–51 (x–3) b→y=

51 x+1

c→y=2x–2 d→y=–2

b)betacgorakorrakdira(maldapositiboa).abeherakorrada(mal-danegatiboa).

4 a)y=5+3(x+2) b)y=–2x–5

c)y=23 x d)y=–4–

32 (x+2)

5 a)y=–1+5(x–2) b)y=2–21 (x+5)

c)y=2+ x38

23–e o d)y= x

43

103

21+ +e o

6 Laurekdutemaldabera(m=2);paraleloakdira.

ab

cd

X2

–2

–4–6 4 6

2

–2

–4

4

7 a)Eremua0-4da.

b)Bai.

c)m=5/4.Lausegundorikbehin,deposi-tuarenaltuerak5megitendugora.

2 4 6DENBORA (s)

ALTUERA (m)

2

4

6

8 a) b)y=–2x+20.Eremua:0-10.

c) m=–2.Hustubideazabalikda-goenminutubakoitzeko,2 lurgutxiagodaudedeposituan.

d)Ezdaproportzionaltasun-fun-tzioa.

4 8 12DENBORA (s)

BOLUMENA (l )

4

8

12

16

20

9 a) b)y=5x/2.m=5/2

c) Itzalak8,75m-koluzeraizangodu.

d)Zutoinak1,2m-koluzeraizangodu.

1 2 3ZUTOINA (m)

ITZALA (m)

2

4

67

1

3

5

10 a)

miliak 1 2 3 4

kilometroak 1,6 3,2 4,8 6,4

b)Ekuazioay=1,6xda.

40 80MILIAK

KILOMETROAK

40

80

120

160

11 a)x:librak;y:kiloak→y=10045 x

b)Grafikoa(0,0)eta(100,45)puntuetatikpasatzenda.

50 100 150LIBRAK

KILOGRAMOAK

20

40

12 Haudaesnekantitatearen(x-ren)etabanillakantitatearen(y-ren)artekoerlazioaadieraztenduenfuntzioa:

y=20010 x→y=0,05x

200 400 600 800 1 000ESNEA (cm3)

BANILLA (g)

20

40

125


13 a)d=3t b)d=3(t+3) c)d=10–3t

d)d=10–3(t–10) e)d=10–3(t+3)

14 a) b)

1

2DENBORA (h)

DISTANTZIA (km)

4

6

8

10

2 3 4 1

2DENBORA (h)

DISTANTZIA (km)

4

6

8

10

2 3–3 –2 –1

c) d)

1

2

DENBORA (h)

DISTANTZIA (km)

4

6

8

10

2 3 4

10:00

2

ORDUA

DISTANTZIA (km)

4

6

8

10

11:00 12:00

e)

1DENBORA (h)

DISTANTZIA (km)

4

6

8

10

2 3–3 –2 –1

2

15 a)C=3p b)d=120(t–8)

1

2

c = 3p

PISUA (kg)

KOSTUA (€)

4

6

8

10

2 3 4 8:00

120

ORDUA

DISTANTZIA (km)

240

360

9:00 10:00

c)C=5+t d)D=25–(2,5+1,2d)

1

5

KOSTUA (€)

6

7

8

9

2 3DENBORA (h)

2

5

DISTANTZIA (km)

SOBERA IZANGO DUDAN DIRUA (€)

10

15

20

25

4 6 8 10 12

e)T=10+1,5(t–12) f)E=40–2(t+10)

12:00

10

ORDUA

TENPERATURA (°C)

20

30

40

12:10 12:20

2 DENBORA (min)

10

15

20

25

30

35

40

4 6–6–8–10 –4 –2

5

ALTUERA (cm)

16 I)→b II)→c III)→d IV)→a

17 I)→a II)→c III)→b IV)→d

18 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 erpina

a) y 19 12 7 4 3 4 7 12 19 (0,3)

b) y 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12 (0,–4)

c) y 32 18 8 2 0 2 8 18 32 (0,0)

d) y 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 (0,0)

Y

X2–2–4 4

b

a

2

–2

–4

4

6

Y

X2–2–4 4

c

2

–2

–4

4

6d

19 a)Minimoa:(0,–5) b)Maximoa:(0,3) c)Maximoa:(–1,5)

d)Minimoa:(–2,0) e)Maximoa:(1,1)

20 Y

X–6–8 –4 –2 2

6

4

2

–2

8a b

Y

X2–2–4 4

2

–2

4

6

c

d

174 175


Egin Funtzio linealak. Zuzenak

1. Irudikatu honako zuzen hauek:

a) y = 4x b) y = –2,4x c) y = – x2

d) y = –2x + 1 e) y = – x2

+ 3 f ) y = –58

g) y = x2

3 5– h) y = 2,5x – 1 i) y = 43 x +

21

2. Elkartu zuzen bakoitza bere ekuazioarekin:

a) y = –31 x

b) y = 23 x + 1

c) y = 52 x

d) y = 52 x + 2

e) y = –2

X

ps

q t

r

Y

3. a) Idatzi zuzen bakoitzaren ekuazioa:b) Zein dira fun-

tzio gorakorrak? Eta beherakorrak? Egiaztatu maldaren zeinua kasu bakoi-tzean.

Ya

b

c

d

X

–22 4 6–2–4

4

2

6

4. Zuzenetako bakoitzaren puntuetako bat eta mal-da ezagutzen ditugu. Idatzi zuzenen ekuazioak:a) P (–2, 5), m = 3 b) P (0, –5), m = –2

c) P (0, 0), m = 23 d) P (–2, – 4), m = –

32

5. Lortu A-tik eta B-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.a) A (2, –1), B (3, 4) b) A (–5, 2), B (–3, 1)

c) A ,23 2d n, B ,1

32d n d) A ,

21

43–d n, B ,

31 1d n

6. Lortu honako zuzen hauen maldak eta irudikatu ardatz beretan. Zer ondorio ateratzen duzu?a) y = 2x b) y = 2x – 3c) 2x – y + 1 = 0 d) 4x – 2y + 5 = 0

7. Andel bateko uraren maila a = (5/4)t funtzioaren arabera aldatzen da denboran zehar (a metrotan, t segundotan).

a) Irudikatu. Andelak 5 m-ko altuera izanez gero, zein da funtzioaren definizio-eremua?

b) Proportzionaltasun-funtzioa al da?

c) Adierazi zer malda duen eta azaldu horren esanahia.

8. Honako taula honek andelean dagoen uraren bolumena hustubidea irekitzean nola aldatzen den erakusten du:

t (min) 0 1 2 3 5V (l) 20 18 16 14 10

a) Adierazi denbora → bolumen funtzioa.b) Idatzi horren ekuazioa eta definizio-eremua.

c) Adierazi zer malda duen eta zer esan nahi duen.

d) Proportzionaltasun-funtzioa al da?

9. Honako taula honek zutoinen eta horien itzalen luzerak erakusten ditu une jakin batean:

zutoina (m) 0,5 1 1,5 2 2,5itzala (m) 1,25 2,5 3,75 5 6,25

a) Adierazi zutoinaren luzera → itzalaren luzera funtzioa.

b) Idatzi horren ekuazioa eta adierazi zer malda duen.

c) Zenbateko luzera izango du 3,5 m-ko zutoinaren itzalak?

d) Zer luzera du 3 m-ko itzala duen zutoinak?

10. Milia bat, gutxi gorabehera, 1,6 km-ren baliokide da.

a) Egin miliak kilometro bihurtzeko taula.

b) Marraztu grafikoa eta idatzi horren ekuazioa.

11. Jakinik 100 libra 45 kg-ren baliokide direla:

a) Idatzi ekuazioa honako hau determinatzeko: zenbat kilo, y, diren x libraren baliokide.

b) Marraztu ekuazioaren grafikoa.

12. Izozkiak egiteko errezeta baten arabera, 200 cm3 esneko 10 g banilla jartzea komeni da. Kalkulatu zer erlazio dagoen esne eta banilla kantitateen artean eta irudikatu funtzioa.

13. Mamen 3 km/h-ko abiaduran doa eta etxea igerilekutik 10 km-ra dago. Elkartu honako enuntziatu hauetako bakoitza beheragoko ekuazioe-tako batekin:

a) Orain hasiz gero, zer distantzia izango du eginda t ordu barru?

b) Duela 3 h hasi dela joz gero, zer distantzia izango du eginda t ordu barru?

c) Etxetik bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik zer distantziatan egongo da t ordu barru?

d) Etxetik 10:00etan bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik zer distantziatan egongo da t ordu ba-rru?

e) Etxetik duela 3 ordu atera bada, zer distantziatan egongo da igerilekutik t ordu geroago?

d = 3t + 3 d = 10 + 3(t – 10) d = 3(t + 3)

d = 3(t – 3) d = 10 – 3(t – 10) d = 10 – 3t

d = 3t d = 10 – 3(t + 3) d = 10 + 3(t + 3)

14. Marraztu aurreko ariketako enuntziatuetako bakoitzaren grafikoa.

15. Honako enuntziatu hauetako bakoitzean, aur-kitu ekuazioa eta irudikatu funtzio lineala kartesiar ardatzetan:

a) Andonik 3 €/kg-ko prezioko laranjak erosi ditu. Zenbat ordaindu du p kilo laranja?

b) Sonia 08:00etan atera da 120 km/h-ko abiaduran. Zer distantzia izango du eginda t ordu barru?

c) Jonek 5 € ordaindu behar du patinak alokatzea, gehi euro bat irristatzen ibiliko den ordu bakoitzeko. Zenbat ordaindu beharko du t orduan ibiliz gero?

d) 25 € ditut eta taxiak honako hau kobratuko dit: 2,5 € martxan hasteagatik eta 1,20 € kilome-troko. Zenbat diru izango dut sobera taxiak d km-ko distantziara eramanez gero?

e) 12:00etan, freskagarria 10 °C-ko tenperaturan atera dut hozkailutik. Minutuko 1,5 °C berotuz gero, zer tenperatura izango du freskagarriak t ordu barru?

f ) Duela 10 min, bainuontzia betetzen duen txorro-ta ireki dut. Uraren maila minutuko 2 cm igo eta bainuontziak 40 cm-ko sakonera izanez gero, zenbat zentimetro faltako dira urak gainezka egiteko t minutu barru?

Funtzio koadratikoak. Parabolak

16. Elkartu funtzio koadratiko bakoitza dagokion grafikoarekin:

i) y = x 2

ii) y = – x 2

iii) y = –2x 2

iv) y = 21 x 2

Ya

b

cd

X

17. Elkartu ekuazioetako bakoitza dagokion parabolarekin:

i) y = x 2 + 3x – 2

ii) y = –x 2 + 2x – 1

iii) y = –2x 2 – 6x + 1

iv) y = 21 x 2 – 4x + 2

Ya

b

c

d

X

18. Adierazi honako funtzio hauek kasu bakoitzean honen moduko balio-taula prestatuz, eta esan zein den parabola bakoitzaren erpina:

x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y … … … … … … … … …

a) y = x 2 + 3 b) y = x 2 – 4

c) y = 2x 2 d) y = 0,5x 2

19. Esan zer puntutan (abzisa eta ordenatua) dagoen honako parabola hauen erpina; kasu bakoitzean, adierazi maximo bat ala minimo bat den:

a) y = x 2 – 5 b) y = 3 – x 2 c) y = –2x 2 – 4x + 3

d) y = 5x 2 + 20x + 20 e) y = – 25 x 2 + 5x –

23

20. Irudikatu honako parabola hauek, erpina, erpine-tik hurbileko puntu batzuk eta ardatzekiko ebakitze- puntuak aurkituz:

a) y = (x + 4)2 b) y = 31 x 2 + 2x

c) y = –3x 2 + 6x – 3 d) y = –x 2 + 5

126


21 a)c=–26 b)b=3 c)k=–5

d)a=–1/2 e)m=–3

22 a)A→33,3!m/minB→33,3

!m/minC→133,3

!m/min

b)A→y=3

100 (x–5)B→y=500+3

100 xC→y=3

400 x

23 a)A→zuzenurdina→y=150–5

100 x

B→zuzengorria→y=10x

b)Sarrera:10l/min.

Irteera:20l/min.

c)5minutura.

24 a)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8IZOZKIA (l )

KOSTUA (€)

1

2

3

4

5

AB

A→y=1+5x B→y=0,5+6x

b)Litroerdiizozkibainogutxiagoerosizgero,merkeagoaizangodaBizozki-dendanerostea.Litroerdibainogehiagoerosizgero,ordea,Aizozki-dendaizangodaaukerarikonena.

25 a)

1 000 2 000 3 000 4 000DENBORA (min)

PREZIOA (€)

20

40

60

80

100

Guayandu

Jomeil

Guayandu→y=20+0,01x Jomeil→y=0,02x

b)2000minututatikaurrera,supertarifaitzeltarifabainoerrentagarria-goada.

26 a)

birak 0 3 6 9

luzera 0,5 2 3,5 5

l (cm)

3 6 9BIRA-KOPURUA1

23456

b)y=0,5+0,5x;birabakoitzean0,5cmsartzenda;14bira.

c)8biraemanondoren.

27 a)y=1,8x+32

10°C GRADUAK

°F GRADUAK

–10

–20

–30

10

–10

–20

20

30

40

50

b)25°C⇔77°F

36,5°C⇔97,7°F

10°C⇔50°F

c)86°F⇔30°C

63,5°F⇔17,5°C

176 177


Erabili ikasi duzuna21. a) Kalkulatu c, 3x – 5y = c zuzena (–2, 4) pun-

tutik pasa dadin.

b) Kalkulatu b, 2x + by = –11 zuzena (2, –5) puntu-tik pasa dadin.

c) Kalkulatu k, y = kx 2 – 2x + 3 parabola (–1, 0) puntutik pasa dadin.

d) Kalkulatu «zenbat balio duen a-k, y = ax 2 + 2x + 3 ekuazioa duen parabolak erpina x = 2 abzisa- puntuan izan dezan.

e) Kalkulatu zenbat balio duen m parametroak y = mx + 2 zuzenak eta y = x 2 – 3x + 2 parabolak ebakitze-puntu bakarra izan dezaten.

22. Honako hau hiru mendizalek abiadura konstan-tean joanda zeharkatzen duten espazioaren grafikoa da:

500

1 000ESPAZIOA (m)

DENBORA (min)5 10 15 20

A

B

C

a) Zer abiadura darama bakoitzak, m/min-tan adiera-zita?

b) Idatzi funtzio horien adierazpen analitikoa.

23. A eta B bi ur-deposituek honela funtzio-natzen dute: A hustu ahala, B betetzen doa.

Grafikoak honako hauek dira:

1

255075

100125150175

2 3 4 5 6 7 8 9 10 DENBORA (min)

BOLUMENA (l )

a) Adierazi zein den A-ren grafikoa, zein den B-rena eta idatzi horien ekuazioak.

b) Zer abiaduratan sartzen eta ateratzen da ura?

c) Zer unetan dute bi deposituek ur kantitate bera?

Ebatzi problemak24. A izozki-dendan, izozkien prezioa 5 €

da litroko eta ontzi bakoitzeko 1 € kobratzen dute, tamaina bat zein beste izan. B izozki-dendan, ontzia-ren prezioa 0,50 € da eta litro bat izozkirena, 6 €.a) Irudikatu izozki-denda bakoitzaren izozki-litroak –

kostua funtzioa eta idatzi horien ekuazioak.b) Aztertu bi eskaintzetatik zein den onena erosiko

dugun izozki kantitatearen arabera.

25. Interneteko guayandu zerbitzariak, hilean 20 € eta 0,01 € minutuko super kuota du. jomeil zerbitzariak itzel tarifa du, kuota finkorik gabe eta minutuko 0,02 € kobratuz.a) Egin tarifa bakoitzaren grafikoa denboraren fun-

tzioan eta idatzi horien adierazpen analitikoak.b) Hilean zenbat minututatik aurrera da errentaga-

rriago super tarifa itzel tarifa baino?

26. Torloju hau 1,5 sartzen da eginarazten zaizkion hiru birako. Zurezko habean sartzeko, lehe-nengo, mailukada bat eman zaio eta, horrela, 0,5 cm sartu da.

8 cm

0,5 cm3 bira = 1,5 cm

a) Egin torlojuari zenbat bira emanarazten zaion, x, eta zenbat sartzen den, y, erlazioan jartzen dituen taula. Eraiki erlazio horren taula.

b) Zein da adierazpen analitikoa? Zenbat da torlo-juaren haria (bira bakoitzean zenbat sartzen den)? Zenbat bira eman beharko dira torlojua habean osoan sartuta egon dadin?

c) 5 cm-ko lodierako estrabea zeharkatzeko prozedu-ra bera erabili dela joko dugu. Zenbat bira eman ondoren hasiko da torlojua agertzen estrabearen beste aldean?

27. Eskala zentigradoan, izotza 0 ºC gradutan ur-tzen da eta, Fahrenheit eskalan, 32 ºF gradutan. Ura 100 ºC-tan, 212 ºF-en baliokide da, lurruntzen da.

a) Kalkulatu eta adierazi bi eskalen arteko erlazioa ematen duen funtzio lineala.

b) Adierazi Fahrenheit gradutan honako tenperatura hauek: 25 ºC; 36,5 ºC; 10 ºC.

c) Bihurtu gradu zentigrado 86 ºF eta 63,5 ºF.

28. Estatu Batuetara joateko, Israel eta Susana dolarrak erostera joan dira. Susanari 189 dolar eman dizkiote 150 euroren truke, eta Israeli, 151,20 dolar eman dizkiote 120 euroren truke.a) Aurkitu «zenbat euro eman hainbeste dolar hartu»

kalkulatzeko balioko digun funtzioa.b) Zenbat dolar emango dizkigute 200 euroren truke?

Eta 350 euroren truke? Zenbat euro izango geni-tuzke 220,50 dolar eman balizkigute?

29. a) Zein da karratuaren perimetroa aldea-ren neurriaren arabera ematen digun funtzioaren ekuazioa? Eta azalera ematen diguna?b) Marraztu bi funtzio horiek.

30. Gorantz bota dugun harriaren altuera, a, une bakoitzean, t, honako hau da: a = 20t – 5t 2.a) Adierazi funtzioa era grafikoan.b) Esan zein den definizio-eremua.c) Zer unetan iristen da gorengo altuerara? Zenbat

da altuera hori?d) Zer unetan jotzen du lurra harriak?e) Zer denbora tartetan dago harria 15 metrotik

gorako altueran?

31. Irudikatu honako funtzio lineal eta koadratiko hauek, hurrenez hurren, eta kalkulatu era grafikoan zein diren ebakitze-puntuak. Gero, ekuazio-sistema baten bidez, kalkulatu puntu horiek eta egiaztatu bat datozela.

y = –2x + 1 y = x 2 – 3x – 5

32. Honako adierazpen honek enpresa batek x ordenagailu fabrikatzeko urtean zenbat euro gas-tatzen dituen ematen digu:

G (x) = 20 000 + 250xEta ordenagailuak salduz gero dauden diru-sarrerak honako hauek dira, sarrerak ere eurotan:

I (x) = 600x – 0,1x 2

Zenbat ordenagailu fabrikatu behar dira sarrerak gas-tuak baino handiago izan daitezen; hau da, etekinak egon daitezen?

Problema korapilatsuagoak

33. Helioz beteriko globoa askatu da eta 5 m/s-ko abiadura konstantean ari da igotzen. 30 s barru, gezi bat jaurti da bertikalean gorantz eta horren altuera, a, denborari, t, dagokionez, honako ekuazio honen bidez adierazten da: a = 60t – 5t 2.

a) Zer altueratan zulatuko du geziak globoa? Zenbat denbora pasatuko da gezia jaurti denetik?

b) Geziak globoa gorantz doala ziztatu baldin ez balu, zer altueratan ziztatuko luke beheranzkoan?

c) Marraztu geziaren eta globoaren altuerei dagozkien grafikoak. Denboraren abiapuntua gezia jaurtitzen den unea izango da.

34. 200 kg laranja ditugu eta gaur 0,40 €/kg-ko prezioan salduko lirateke. Hortik aurrera, 1 kg laranja lorrintzen da egunero eta prezioa 0,01 € igotzen da. Noiz saldu beharko ditugu laran-jak etekinik handiena lortzeko? Zenbat izango da ete-kina?

35. Marraztu honako ekuazio hauek dituzten parabolak:

y = 3x 2 – 12x + 7 y = – x 2 + 4x – 5

Bilatu ebakitze-puntuak ekuazio-sistema baten bidez eta egiaztatu era grafikoan aurkitutakoei dagozkiela.

Hausnartu teoriari buruz36. Egia ala gezurra? Justifikatu erantzunak.

a) Malda eta Y ardatzarekiko ebakitze-puntuak jaki-nik, zuzenaren ekuazioa lor daiteke.

b) Ardatzekiko ebakitze-puntuekin, beti lor daiteke zuzen baten ekuazioa.

c) Zuzen baten malda y bat handiagotuz x handia-gotzen dena da.

d) Zuzen baten malda x 1 handiagotuz gero y han-diagotzen dena da.

e) Parabolak X ardatza bi puntutan ebakiz gero, erpina puntu horien erdian egongo da.

OHARRAK

127


28 a)y=5063 x

b)200eurorentruke,252dolar.350eurorentruke,441dolar.175euroizangogenituzke.

c)Teníamos175€.

29 a)Perimetroa:P=4l

Azalera:A=l2

b)

Y

X4–4

4

8

12

16

30 a) b)Dom=[0,4]

4

Y

8

12

16

20

2 X4 6

c) t=2s;a=20m

d)t=4s

e)1eta3segundoenartean.

31 (–2,5)eta(3,–5)puntuetanebakitzendira.

Y

X2

4

–2

2

–2

–4

–6

4

6

32 59eta3441ordenagailuarteansaldubehardira,etekinakegondaite-zen.

33 a)175m-ra.5segundopasatudirageziajaurtidenetik.

b)180m-raziztatukoluke.

c)Globoarenaltuera30.segundotikaurreramarraztendugu.

20

40

60

80

100

120

140

160

180

2 4 6 8 10 12 DENBORA (s)

ALTUERA (m)

34 Etekinafuntziohonenaraberakoada:

B=–0,01t2+1,6t+80

Laranjak80egunerasaldubeharkoditugu,eta144eurokoetekinalor-tukodugu.

35 (1,–2)eta(3,–2)puntuetanebakitzendira.

2

Y

–2

2 X4 6

–8

–6

–4

36 a)Egia.

b)Gezurra.Koordenatu-jatorrianebakitzenbadira,bestepuntubatezagutubehardugu,ekuazioalortzeko.

c)Gezurra.x1handiagotuzyhandiagotzendenada.

d)Egia.

e)Egia.

176 177


Erabili ikasi duzuna21. a) Kalkulatu c, 3x – 5y = c zuzena (–2, 4) pun-

tutik pasa dadin.

b) Kalkulatu b, 2x + by = –11 zuzena (2, –5) puntu-tik pasa dadin.

c) Kalkulatu k, y = kx 2 – 2x + 3 parabola (–1, 0) puntutik pasa dadin.

d) Kalkulatu «zenbat balio duen a-k, y = ax 2 + 2x + 3 ekuazioa duen parabolak erpina x = 2 abzisa- puntuan izan dezan.

e) Kalkulatu zenbat balio duen m parametroak y = mx + 2 zuzenak eta y = x 2 – 3x + 2 parabolak ebakitze-puntu bakarra izan dezaten.

22. Honako hau hiru mendizalek abiadura konstan-tean joanda zeharkatzen duten espazioaren grafikoa da:

500

1 000ESPAZIOA (m)

DENBORA (min)5 10 15 20

A

B

C

a) Zer abiadura darama bakoitzak, m/min-tan adiera-zita?

b) Idatzi funtzio horien adierazpen analitikoa.

23. A eta B bi ur-deposituek honela funtzio-natzen dute: A hustu ahala, B betetzen doa.

Grafikoak honako hauek dira:

1

255075

100125150175

2 3 4 5 6 7 8 9 10 DENBORA (min)

BOLUMENA (l )

a) Adierazi zein den A-ren grafikoa, zein den B-rena eta idatzi horien ekuazioak.

b) Zer abiaduratan sartzen eta ateratzen da ura?

c) Zer unetan dute bi deposituek ur kantitate bera?

Ebatzi problemak24. A izozki-dendan, izozkien prezioa 5 €

da litroko eta ontzi bakoitzeko 1 € kobratzen dute, tamaina bat zein beste izan. B izozki-dendan, ontzia-ren prezioa 0,50 € da eta litro bat izozkirena, 6 €.a) Irudikatu izozki-denda bakoitzaren izozki-litroak –

kostua funtzioa eta idatzi horien ekuazioak.b) Aztertu bi eskaintzetatik zein den onena erosiko

dugun izozki kantitatearen arabera.

25. Interneteko guayandu zerbitzariak, hilean 20 € eta 0,01 € minutuko super kuota du. jomeil zerbitzariak itzel tarifa du, kuota finkorik gabe eta minutuko 0,02 € kobratuz.a) Egin tarifa bakoitzaren grafikoa denboraren fun-

tzioan eta idatzi horien adierazpen analitikoak.b) Hilean zenbat minututatik aurrera da errentaga-

rriago super tarifa itzel tarifa baino?

26. Torloju hau 1,5 sartzen da eginarazten zaizkion hiru birako. Zurezko habean sartzeko, lehe-nengo, mailukada bat eman zaio eta, horrela, 0,5 cm sartu da.

8 cm

0,5 cm3 bira = 1,5 cm

a) Egin torlojuari zenbat bira emanarazten zaion, x, eta zenbat sartzen den, y, erlazioan jartzen dituen taula. Eraiki erlazio horren taula.

b) Zein da adierazpen analitikoa? Zenbat da torlo-juaren haria (bira bakoitzean zenbat sartzen den)? Zenbat bira eman beharko dira torlojua habean osoan sartuta egon dadin?

c) 5 cm-ko lodierako estrabea zeharkatzeko prozedu-ra bera erabili dela joko dugu. Zenbat bira eman ondoren hasiko da torlojua agertzen estrabearen beste aldean?

27. Eskala zentigradoan, izotza 0 ºC gradutan ur-tzen da eta, Fahrenheit eskalan, 32 ºF gradutan. Ura 100 ºC-tan, 212 ºF-en baliokide da, lurruntzen da.

a) Kalkulatu eta adierazi bi eskalen arteko erlazioa ematen duen funtzio lineala.

b) Adierazi Fahrenheit gradutan honako tenperatura hauek: 25 ºC; 36,5 ºC; 10 ºC.

c) Bihurtu gradu zentigrado 86 ºF eta 63,5 ºF.

28. Estatu Batuetara joateko, Israel eta Susana dolarrak erostera joan dira. Susanari 189 dolar eman dizkiote 150 euroren truke, eta Israeli, 151,20 dolar eman dizkiote 120 euroren truke.a) Aurkitu «zenbat euro eman hainbeste dolar hartu»

kalkulatzeko balioko digun funtzioa.b) Zenbat dolar emango dizkigute 200 euroren truke?

Eta 350 euroren truke? Zenbat euro izango geni-tuzke 220,50 dolar eman balizkigute?

29. a) Zein da karratuaren perimetroa aldea-ren neurriaren arabera ematen digun funtzioaren ekuazioa? Eta azalera ematen diguna?b) Marraztu bi funtzio horiek.

30. Gorantz bota dugun harriaren altuera, a, une bakoitzean, t, honako hau da: a = 20t – 5t 2.a) Adierazi funtzioa era grafikoan.b) Esan zein den definizio-eremua.c) Zer unetan iristen da gorengo altuerara? Zenbat

da altuera hori?d) Zer unetan jotzen du lurra harriak?e) Zer denbora tartetan dago harria 15 metrotik

gorako altueran?

31. Irudikatu honako funtzio lineal eta koadratiko hauek, hurrenez hurren, eta kalkulatu era grafikoan zein diren ebakitze-puntuak. Gero, ekuazio-sistema baten bidez, kalkulatu puntu horiek eta egiaztatu bat datozela.

y = –2x + 1 y = x 2 – 3x – 5

32. Honako adierazpen honek enpresa batek x ordenagailu fabrikatzeko urtean zenbat euro gas-tatzen dituen ematen digu:

G (x) = 20 000 + 250xEta ordenagailuak salduz gero dauden diru-sarrerak honako hauek dira, sarrerak ere eurotan:

I (x) = 600x – 0,1x 2

Zenbat ordenagailu fabrikatu behar dira sarrerak gas-tuak baino handiago izan daitezen; hau da, etekinak egon daitezen?

Problema korapilatsuagoak

33. Helioz beteriko globoa askatu da eta 5 m/s-ko abiadura konstantean ari da igotzen. 30 s barru, gezi bat jaurti da bertikalean gorantz eta horren altuera, a, denborari, t, dagokionez, honako ekuazio honen bidez adierazten da: a = 60t – 5t 2.

a) Zer altueratan zulatuko du geziak globoa? Zenbat denbora pasatuko da gezia jaurti denetik?

b) Geziak globoa gorantz doala ziztatu baldin ez balu, zer altueratan ziztatuko luke beheranzkoan?

c) Marraztu geziaren eta globoaren altuerei dagozkien grafikoak. Denboraren abiapuntua gezia jaurtitzen den unea izango da.

34. 200 kg laranja ditugu eta gaur 0,40 €/kg-ko prezioan salduko lirateke. Hortik aurrera, 1 kg laranja lorrintzen da egunero eta prezioa 0,01 € igotzen da. Noiz saldu beharko ditugu laran-jak etekinik handiena lortzeko? Zenbat izango da ete-kina?

35. Marraztu honako ekuazio hauek dituzten parabolak:

y = 3x 2 – 12x + 7 y = – x 2 + 4x – 5

Bilatu ebakitze-puntuak ekuazio-sistema baten bidez eta egiaztatu era grafikoan aurkitutakoei dagozkiela.

Hausnartu teoriari buruz36. Egia ala gezurra? Justifikatu erantzunak.

a) Malda eta Y ardatzarekiko ebakitze-puntuak jaki-nik, zuzenaren ekuazioa lor daiteke.

b) Ardatzekiko ebakitze-puntuekin, beti lor daiteke zuzen baten ekuazioa.

c) Zuzen baten malda y bat handiagotuz x handia-gotzen dena da.

d) Zuzen baten malda x 1 handiagotuz gero y han-diagotzen dena da.

e) Parabolak X ardatza bi puntutan ebakiz gero, erpina puntu horien erdian egongo da.

OHARRAK

128

178 179

Taller de matemáticas

Irakurri eta jo informazio bilaGottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) legeak eta filosofia ikasi, zuzenbidean lizentzia lortu eta politikan aritu zen; Europan zehar ibili zen, horren ondorioz. Hori eta eremu guztietarako zuen jakituria-egarria dela eta, harreman estuak izan zituen hainbat herrialdetako unibertsitateekin eta zientzialariekin. Beste eremu batzuetan, biologian, fisikan eta matematikan ere jakintza zabalak izan zituen eta, horrez gai-nera, lorpen handiak izan zituen kalkuluan eta logikan.Leibnizek erabili zuen lehenengoz funtzio hitza matematikan gaur egun ematen dio-gun esanahian, Eulerrek zehaztu eta zabaldu baino lehen, eta gaur egun erabiltzen diren notazio eta berbak sartu zituen hizkuntza matematikoan (esaterako, konstante, aldagai eta parametro).

Matematika-lantegia

Pentsatu eta erabakiZein da zein? Grafikoetako bakoitzak abiadura konstantean doazen bi ibilgailu irudikatzen ditu. Ibilgailu bakoitzean distantzia eta denbora erlazioan jartzen dituen funtzioa zuzen bat da. Elkartu enuntziatuetako bakoitza dagokion grafikoarekin:

A Automobila atera da eta motorra horren atzetik joan da.

B Automobil bat joan doa eta beste bat etorri dator eta talka egin dute.

C Automobila joan doa, kamioia eto-rri dator eta elkar gurutzatu dute.

D Automobila joan doa eta beste bat urrundu egiten da.

E Bi autobus batera irten dira eta batek geldialdia egin du.

Egin gogoetaGora eta beheraMendizalea goizeko 10etan hasi da mendian gora egiten eta arratsaldeko 4etan iritsi da gailurrera. Babeslekuan lo egin eta, biharamunean, 10etan oraingoan ere, jaisten hasi eta eguerdiko ordu batean iritsi da basera.Zure ustez, igo den une berean jaitsi al da punturen batetik? Abiadura konstantean igo eta jaitsi dela jota, zer ordutan ger-tatu zen hori?Erreparatu eskuineko grafikoei eta, argi baldin ez baduzu orain-dik, marraztu bi grafikoak ardatz beretan, bi mendizalek alderan-tzizko bidea egun berean egin dutela jota.

Trebatu problemak ebatziz •Adin bereko 17 neska-mutileko talde batek bidaia

antolatu du. Hasierako bileran, neska-mutilen gura-soak joan dira eta horien batez besteko adina 45 urte da. Baina gurasoek eta seme-alabek osatutako taldea aintzat hartuz gero, batez besteko adina 35 urte da. Zenbat urte dituzte neska-mutilek?

•Jarri 10 soldadutxo mahai gainean 4 soldadutxoko 5 ilara egoteko moduan.

•a) Honako hiru txanpon hauek dituzu: Zenbat diru kantitate

desberdin eratu ditzakezu txanpon horiekin?

b) Eta bost txanpon izanez gero?

1. Elkartu honako funtzio lineal hauetako bakoitza dagokion ekuazioarekin eta idatzi bakoitzaren malda:

a) y = 3x – 4

b) y = –2x + 1

c) y = (4/3)x

d) y = –2/3x + 2

e) y = –3

f ) y = – x + 1

sp q r t

u

2. Adierazi honako funtzio lineal hauek eta idatzi azken hiruren ekuazioak:a) y = 3x + 4 b) 3x + 2y = 5c) (3, 0) puntutik pasatzen den malda 1/4 duen zuzena).d) (4, 1) eta (–2, 4) puntuetatik pasatzen den zuzena). e) (4, –3) puntutik pasatzen den proportzionaltasun-

funtzioa).

3. Elkartu ekuazio bakoitza dagokion parabolarekin:

y = – x 2 – 1

y = 12

x 2 – 2x + 2

y = –2x 2 – 8x – 5

y = x 2 – 6x + 8

A

B

CD

4. Irudikatu honako parabola hauek:a) y = x 2 – 4x + 1 b) y = – x 2 + 6x – 7c) y = –2x 2 + 3 d) y = (1/3)x 2 + 2x + 1

5. Gaur, 20 °C-ko tenperatura dugu eta txangoa egingo dugu globoan. Airearen tenperatura, gutxi gorabe-hera, 6 °C jaisten dela dakigu gorantz egiten den kilometro bakoitzeko.a) Zer tenperatura izango dugu 3 km igoz gero?

Zenbat metro egin dugu gora, 11 °C-ko tenpera-tura izanez gero?

b) Adierazi altuera → tenperatura funtzioa eta idatzi horren adierazpen analitikoa.

6. Idatzi honako enuntziatu hauen ekuazioa eta adie-razi dagozkien funtzioak:a) Begoña 10 km/h-ko abiaduran hasi da korritzen.

Zer distantzia egingo du t ordutan?b) Sonia duela bi ordu atera da 6 km/h-ko abiadu-

ran. Zer distantzia egingo du t ordutan?c) Miren 4 km/h-ko abiaduran atera da bere etxetik

18 km-ko distantzian dagoen gure etxerantz. Gure etxetik zer distantziatan egongo da t ordu barru?

d) Koldo 5 km/h-ko abiaduran atera da 07:00etan 14 km-ra dagoen porturantz. Portutik zer distan-tziatan egongo da t ordu barru?

7. Duela bi ordu, Estefania bere etxetik Bittorrenerantz atera da bizikletan, 15 km/h-ko abiaduran. Bittor orain atera da, oinez, 6 km/h-ko abiaduran, Este-faniaren bila. 58 km-ko aldea dago bion bizilekuen artean. Non aurkituko dira? Zenbat denbora egin du Estefaniak bizikletan?

Autoebaluazioa

111

12 13 14 15 1610DENBORA (h)

GAILURRA

BASEA

DIS

TAN

TZ

IA

IGOERA

111

12 13 14 15 1610DENBORA (h)

GAILURRA

BASEA

DIS

TAN

TZ

IA

JAITSIERA

1 2 3 4 5

178

eta ikasiizan ekimenaAriketa hauek egitea.Webgunean

Irakurri eta jo informazio bila «Ikastenikasteko»,ikasleeieskatukodiegu,irakurgaiaabiapuntutzathar-tuz,Leibniz-enbizitzariburuzkoinformaziogehiagobilatzeko,edo,beste-la,matematikarenmunduarekinlotutakobestepertsonaiabatenaipame-naidazteko.

Egin gogoeta«Goraetabehera»logika-ariketabatda.Bigrafikoakelkarrengaineanja-rrizgero,erantzunaaurkitukodugu.

Badaariketaarrazoitzekobestemodubat:gorakoetabeherakoibilbideakbimendizaledesberdinekunebereaneginzituztelapentsatzea.Horrela,ibilbideanzeharpunturenbateanbategingodute;hauda,ordubereanlekubereanegongodira.

Soluzioa:

12ordura.

Pentsatu eta erabakiAriketahauosointeresgarriada.Izanere,horriesker,honakohauegiazta-tukodugu:ikasleekfuntziobatekespazioa-denboragrafikoanhartzenduenitxurarenetagertatutakoarenarteanzererlaziodagoenulertudutenalaez.Antzekobesteariketabategitekoeskatukodiegu.

Soluzioa:

A→5;B→4;C→1;D→ 3;E→2

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzendugu:

Deskribatuhiruegoera,matematikarekinzerikusirikezdutenak,nonfun-tzioaketagrafikoakerabilgarriakdiren.

OHARRAK

129

178 179

Taller de matemáticas

Irakurri eta jo informazio bilaGottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) legeak eta filosofia ikasi, zuzenbidean lizentzia lortu eta politikan aritu zen; Europan zehar ibili zen, horren ondorioz. Hori eta eremu guztietarako zuen jakituria-egarria dela eta, harreman estuak izan zituen hainbat herrialdetako unibertsitateekin eta zientzialariekin. Beste eremu batzuetan, biologian, fisikan eta matematikan ere jakintza zabalak izan zituen eta, horrez gai-nera, lorpen handiak izan zituen kalkuluan eta logikan.Leibnizek erabili zuen lehenengoz funtzio hitza matematikan gaur egun ematen dio-gun esanahian, Eulerrek zehaztu eta zabaldu baino lehen, eta gaur egun erabiltzen diren notazio eta berbak sartu zituen hizkuntza matematikoan (esaterako, konstante, aldagai eta parametro).

Matematika-lantegia

Pentsatu eta erabakiZein da zein? Grafikoetako bakoitzak abiadura konstantean doazen bi ibilgailu irudikatzen ditu. Ibilgailu bakoitzean distantzia eta denbora erlazioan jartzen dituen funtzioa zuzen bat da. Elkartu enuntziatuetako bakoitza dagokion grafikoarekin:

A Automobila atera da eta motorra horren atzetik joan da.

B Automobil bat joan doa eta beste bat etorri dator eta talka egin dute.

C Automobila joan doa, kamioia eto-rri dator eta elkar gurutzatu dute.

D Automobila joan doa eta beste bat urrundu egiten da.

E Bi autobus batera irten dira eta batek geldialdia egin du.

Egin gogoetaGora eta beheraMendizalea goizeko 10etan hasi da mendian gora egiten eta arratsaldeko 4etan iritsi da gailurrera. Babeslekuan lo egin eta, biharamunean, 10etan oraingoan ere, jaisten hasi eta eguerdiko ordu batean iritsi da basera.Zure ustez, igo den une berean jaitsi al da punturen batetik? Abiadura konstantean igo eta jaitsi dela jota, zer ordutan ger-tatu zen hori?Erreparatu eskuineko grafikoei eta, argi baldin ez baduzu orain-dik, marraztu bi grafikoak ardatz beretan, bi mendizalek alderan-tzizko bidea egun berean egin dutela jota.

Trebatu problemak ebatziz •Adin bereko 17 neska-mutileko talde batek bidaia

antolatu du. Hasierako bileran, neska-mutilen gura-soak joan dira eta horien batez besteko adina 45 urte da. Baina gurasoek eta seme-alabek osatutako taldea aintzat hartuz gero, batez besteko adina 35 urte da. Zenbat urte dituzte neska-mutilek?

•Jarri 10 soldadutxo mahai gainean 4 soldadutxoko 5 ilara egoteko moduan.

•a) Honako hiru txanpon hauek dituzu: Zenbat diru kantitate

desberdin eratu ditzakezu txanpon horiekin?

b) Eta bost txanpon izanez gero?

1. Elkartu honako funtzio lineal hauetako bakoitza dagokion ekuazioarekin eta idatzi bakoitzaren malda:

a) y = 3x – 4

b) y = –2x + 1

c) y = (4/3)x

d) y = –2/3x + 2

e) y = –3

f ) y = – x + 1

sp q r t

u

2. Adierazi honako funtzio lineal hauek eta idatzi azken hiruren ekuazioak:a) y = 3x + 4 b) 3x + 2y = 5c) (3, 0) puntutik pasatzen den malda 1/4 duen zuzena).d) (4, 1) eta (–2, 4) puntuetatik pasatzen den zuzena). e) (4, –3) puntutik pasatzen den proportzionaltasun-

funtzioa).

3. Elkartu ekuazio bakoitza dagokion parabolarekin:

y = – x 2 – 1

y = 12

x 2 – 2x + 2

y = –2x 2 – 8x – 5

y = x 2 – 6x + 8

A

B

CD

4. Irudikatu honako parabola hauek:a) y = x 2 – 4x + 1 b) y = – x 2 + 6x – 7c) y = –2x 2 + 3 d) y = (1/3)x 2 + 2x + 1

5. Gaur, 20 °C-ko tenperatura dugu eta txangoa egingo dugu globoan. Airearen tenperatura, gutxi gorabe-hera, 6 °C jaisten dela dakigu gorantz egiten den kilometro bakoitzeko.a) Zer tenperatura izango dugu 3 km igoz gero?

Zenbat metro egin dugu gora, 11 °C-ko tenpera-tura izanez gero?

b) Adierazi altuera → tenperatura funtzioa eta idatzi horren adierazpen analitikoa.

6. Idatzi honako enuntziatu hauen ekuazioa eta adie-razi dagozkien funtzioak:a) Begoña 10 km/h-ko abiaduran hasi da korritzen.

Zer distantzia egingo du t ordutan?b) Sonia duela bi ordu atera da 6 km/h-ko abiadu-

ran. Zer distantzia egingo du t ordutan?c) Miren 4 km/h-ko abiaduran atera da bere etxetik

18 km-ko distantzian dagoen gure etxerantz. Gure etxetik zer distantziatan egongo da t ordu barru?

d) Koldo 5 km/h-ko abiaduran atera da 07:00etan 14 km-ra dagoen porturantz. Portutik zer distan-tziatan egongo da t ordu barru?

7. Duela bi ordu, Estefania bere etxetik Bittorrenerantz atera da bizikletan, 15 km/h-ko abiaduran. Bittor orain atera da, oinez, 6 km/h-ko abiaduran, Este-faniaren bila. 58 km-ko aldea dago bion bizilekuen artean. Non aurkituko dira? Zenbat denbora egin du Estefaniak bizikletan?

Autoebaluazioa

111

12 13 14 15 1610DENBORA (h)

GAILURRA

BASEA

DIS

TAN

TZ

IA

IGOERA

111

12 13 14 15 1610DENBORA (h)

GAILURRA

BASEA

DIS

TAN

TZ

IA

JAITSIERA

1 2 3 4 5

178

eta ikasiizan ekimenaAriketa hauek egitea.Webgunean

3 A→y=–2x2–8x–5

B→y=21 x2–2x+2

C→y=–x2–1

D→y=x2–6x+8

4 Y6

–2

2 X4 6

a)

b) c)

d)

–6

–4

2

4

Y6

–2

2 X4

–6

–4

4

–2–4

2

5 a)3kmigozgero,2ºCegongodira.11ºC-kotenperaturaizanezge-ro,1,5kmegindugugora.

b)Funtzioarenadierazpenanali

9 Funtzio linealak eta koadratikoak - DBHko Matematika · 2018. 5. 16. · 116 9 Funtzio linealak...

Documents

Transcript of 9 Funtzio linealak eta koadratikoak - DBHko Matematika · 2018. 5. 16. · 116 9 Funtzio linealak...