9. Matrices (s)

Ing. Jhonny Ruiz Núñez

1ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ

INTRODUCCIÓN

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicialde la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricialcomo una forma abreviada de escribir un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices seutilizan en el cálculo numérico, en la resolución desistemas de ecuaciones lineales, de las ecuacionesdiferenciales y de las derivadas parciales.La utilización de matrices constituye actualmente unaparte esencial de los lenguajes de programación, ya quela mayoría de los datos se introducen en losordenadores como tablas organizadas en filas ycolumnas:

HOJAS DE CÁLCULO, EN LOS NEGOCIOS,...


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/jsylvester.html






http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/wrhamilton.html






http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/acayley.html




MATRICES DEFINICIÓN:Una matriz es un arreglo rectangular de

números reales dispuestos en filas y columnas y encerradosentre corchetes o paréntesis, es decir de la forma:

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

nj

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

............

............

...........

...........

...........

321

321

33333231

22232221

11131211

La matriz se denota también por:

A = aij m x n = K m x n


2 3

4 5A

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

3 2 0

4 1 3C

Las líneas horizontales de números se conoce

como filas y las verticales como columnas.

columna

3 2 0

4 1 3C

fila

Ejemplo


ORDEN DE UNA MATRIZ

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

.....

.....

.....

.....

321

3333231

2232221

1131211

COLUMNAS

F

I

L

A

S

5

El orden de una matriz está dado por el producto indicado m x n.

Donde: m indica el número de filas y n el número de columnas.

ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ

IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)m×n son

iguales, sí y solo si, tienen en los mismo

lugares elementos iguales, es decir :

mxnijmxnij ba aij = bij, i y j.


Dados

a11 = b11

a12 = b12

a21 = b21

a22 = b22

A = B

Entonces:


TIPOS DE

MATRICES


MATRIZ RECTANGULAR

La matriz de orden mxn, con mn, recibe el nombre dematriz rectangular MATRIZ RECTANGULAR.

Ejemplo:

MATRIZ FILA

La matriz de orden 1xn se le denomina matriz fila, es

decir en la forma siguiente

A = naaaa 1131211 .....


MATRIZ COLUMNA

A las matrices de orden nx1 se les denomina matriz

columna, es decir de la forma

MATRIZ CERO

Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir,

aij = 0 i,j, recibe el nombre de matriz cero o nula.

1

21

11

na

a

a

A

A =

000

000


MATRIZ CUADRADA

La matriz que tiene el mismo número de filas y

columnas se llama matriz cuadrada. Esto es,

Amxn es cuadrada m = n

En una matriz cuadrada de orden nxn, la diagonal principal es la

línea formada por los elementos a11,a22,….ann y a la suma de los

elementos de la diagonal de una matriz cuadrada se llama TRAZA

DE LA MATRIZ (Tr(A))

Ejemplo:

2221

1211

aa

aaA =


Diagonal principal:Son los elementos a11 , a22 , ..., ann.

CARACTERÍSTICAS:


Diagonal secundaria : Son los

elementos aij con i+j = n+1


Traza de una matriz: Es la suma de los

elementos de la diagonal principal. Tr (A ).

Tr (A ) = 5 + 2 + 4 + 8 = 19


Ejemplo

Escribir explícitamente las siguientes matrices:

2 3, 2ij x

A a aij i j

3 2, 3ij ijx

A a a i j

3 3

2 ,,

( ) ,ij ij ix

i j si i j es imparB b b

j si i j es par

1

2

3

4 Sean

3 3

/ ,,

max , ,ij ijx

i j si i j es imparA a a

i j si i j es par


1/ 2 3

2 2 2 3

3 3/ 2 2

x y z

y B x y z

x y z

Si A=B, hallar x,y,z.

4 Sean las matrices

2 2( ) / 2 ( 1)x i j

ij jA a K ai

1

3 3

x yB

x y

Hallar los valores de x e y de modo que A=B


OPERACIONES

CON

MATRICES


SUMA DE MATRICES

cij = aij + bij, i,j n,....,3,2,1

A + B = ijijijij baba

Consideremos dos matrices de orden mxn, A = y B= , la suma de lasmatrices A y B es otra matriz C = de orden mxn, en donde cada elementode la matriz C es la suma de los elementos correspondientes de A y B, esdecir:

Por lo tanto:


Si A,B y C son matrices del mismo orden, entonces se cumplen las

siguientes propiedades:

PROPIEDADES :

· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C

· Conmutativa : A+B = B+A

· Elemento neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A

· Elemento simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0

Dos matrices del mismo orden se llaman CONFORMABLES respecto a

la suma algebraica.

Las matrices del mismo orden o conformables respecto de la suma

algebraica, siguen las mismas leyes de la adición que sujetan a los

elementos de las componen.


Ejemplo


DIFERENCIA DE MATRICES

C = mxnijijmxnijmxnij baba

PRODUCTO DE UN ESCALAR

POR UNA MATRIZ

kA = k ija 0 ijka

Dadas las matrices A y B del mismo orden mxn, la diferencia entre A y B es otra

matriz C, del mismo orden, tal que:

Dados una matriz A y un numero escalar k, el producto de k por A se define por


PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UNA

MATRIZ POR UN ESCALAR

k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva)

(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva)

k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)

1·A = A (elemento unidad)


MULTIPLICACION DE MATRICES

pj

ij

b

b

.

.

.

.

j-ésima columna de B

i-ésima fila de A (aij…….aip) x = cij

Si A = (aij)mxp y B = (bij)pxn; el producto de AxB, en este orden, es la matriz C =

(cij)mxn cuyos elementos se obtienen de los elementos A y B siguiendo el

desarrollo:

Cij = ai1b1j + ai2b2j + ……. + aipbpj

Por esta definición cada elemento de ij de C es la suma de los productos

formados al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila por A por los elementos

correspondientes de B, esto es:

OBSERVACIÓN

El producto de dos matrices AB esta definido sólo cuando el número de columnas de la matriz A es igual al

número de filas de la matriz B. 23ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

DE MATRICES

Si A, B y C son matrices de dimensiones

conformables respecto de la suma y producto,

entonces se tiene:

A(BC) = (AB)C

A( B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

AB BA

AB = 0 A =0 ó B = 0

AB = AC B = C


1 36 2 8

1. . 5 01 4 5

3 7

AB

1 3

6 2 8 5 6 2 8 0

3 7

1 3

1 4 5 5 1 4 5 0

3 7

6 10 24 18 0 56

1 20 15 3 0 35

20 74

36 38

Ejemplo


TIPOS

ESPECIALES

DE MATRICES


MATRIZ TRANSPUESTA

La transpuesta de una matriz A, es una matriz que se obtiene al

intercambiar las filas por las columnas de la matriz A, de tal manera

que la fila i de la matriz se convierte en la columna i de la matriz

transpuesta.

A la matriz transpuesta A denotaremos por At, es decir:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

......

...

...

21

22221

11211

mnnn

m

m

aaa

aaa

aaa

...

....

...

...

21

22212

12111

Si A = at =

Ejemplo


PROPIEDADES DE LA MATRIZ

TRANSPUESTA

•It = I

•(At)t = A

•(kA)t = kAt, k es un escalar.

•(A + B)t = At + Bt

•(AB)t = Bt At


MATRIZ SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su

traspuesta.

A = At aij = aji

30

ING. JHONNY RUIZ NÚÑEZ

A = At Es simétrica

Ejemplo


MATRIZ ANTISIMÉTRICA O

HERMISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta

de su traspuesta. Necesariamente aii = 0

A = -At aij = -aji,

0 2 1 3

2 0 3 4

1 3 0 5

3 4 5 0

A

Ejemplo


Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal)

de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr

A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en

cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz

identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Denotamos por:

MATRIZ IDENTIDAD O UNITARIA

A =

1...000

.....

0...100

0...010

0...001


Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no

diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11,

d22, ..., dnn ).

Es matriz cuadrada cuyos elementos son aij = 0 para ij se

llama matriz diagonal, es decir que se expresa en la forma:

MATRIZ DIAGONAL

A =

nna

a

a

a

...000

.....

0...00

0...00

0...00

33

22

11

Ejemplo


Es una matriz diagonal en la que se verifica a11 = a22 = ……

= ann = k o sea que es una matriz de la forma:

MATRIZ ESCALAR

A =

k

k

k

k

000

.....

0...00

0...00

0...00

E =

400

040

004Ejemplo


Una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0, para i>j se

llama matriz triangular superior.

Es decir:

A =

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

11 12 13 1

22 23 2

33 3

...

0 ...

. ...

.

0 0 0 ...

n

n

n

nn

a a a a

a a a

a a

a

3 1 3

0 2 0

0 0 5

A

Ejemplo


Una matriz cuadrada cuyos elementos aij =0 para i<j se

llama matriz triangular inferior, es decir:

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

11

21 22

31 32 33

1

0 0 ... 0

0 ... 0

... 0

. . ... .

n nn

a

a a

A a a a

a a

3 0 0

3 2 0

1 0 5

B

Ejemplo


Una matriz cuadrada es idempotente si y sólo si es igual a

su cuadrado.

MATRIZ IDEMPOTENTE E

INVOLUTIVA

A es idempotente A2 = A

La matriz A =

2

1

2

12

1

2

1

es idempotente

Ejemplo


Una matriz es involutiva si y sólo si su

cuadrado es la identidad.

A es involutiva A2 = I

La matriz A =

10

01es involutiva.

Ejemplo


Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAt = At A = 1.

Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente

cuadrada e invertible, con inversa A-1 = At.

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

MATRIZ ORTOGONAL

Si A es ortogonal, entonces:


Comprobar que la matriz dada es ortogonal

cos α - sen α 0

A = sen α cos α 0

0 0 1

Ejemplo


Ejemplos

Resolver las siguientes ecuaciones:

3 5 2 7 11 1,

2 1 4 1 10 5Si A B y C

1

) 3( 2 ) 5( ) 2( )

) 3( ) 2 2( ) ( )

a X A B C X A B

b X A B X B C X C

2 Calcular AB si:

1 2 3

4 5 6

0 1 0

A

2 0

1 2

0 1

B


3 Calcular los productos:

0 0 01 1

1 1 2 42 2

2 2 3 11 1

3 3 4

4 Calcular la matriz X, si:

12 2( )

2

T

T T T T T T TCX A B A C X AB B

Donde:

2 0 1 2;

0 2 0 1

T

T TC A y C A B


INVERSA DE

MATRICES


Se presenta sólo en matrices cuadradas.

Sea:

A=aijnxn B = bijnxn

Tal que:

A.B = B.A = I

Entonces se dice que la matriz B es la matriz

inversa de A, denotándose B = A-1

Luego

A.A-1=A-1.A=I

MATRIZ INVERSA


Sea

Como:

A.B =B.A=I, entonces B es la inversa de A; es

decir:

ya que A x B = I

2 3 2 / 7 3/ 7

1 2 1/ 7 2 / 7A y B

12 / 7 3/ 7

1/ 7 2 / 7A B

Ejemplo


Se debe tener presente:

• Si una matriz tiene inversa, entonces estainversa es única.

• Si la matriz “B” es la matriz inversa de lamatriz “A”, entonces también se puede decirque la matriz “A” es la matriz inversa de lamatriz “B”.

• Una matriz cuadrada “A” tiene inversa si ysólo si y por lo tanto es inversible (nosingular): si dicha matriz no tieneinversa, es decir la matriz “A” es noinversible, (singular)

0A

0A


PROPIEDADES:

• I-1 = I

• ( A-1)-1 = A

• (A B)-1 = B-1 A-1

• ( At )-1 = ( A-1)t


Método por igualdad

de ecuaciones

METODOS PARA

DETERMINAR LA

INVERSA DE

MATRICES

Método esquemático

Método de una matriz ampliada


Hallar por el método de igualdad de

ecuaciones la inversa de “A”

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE IGUALDAD DE ECUACIONES

1

11

2

32

2

A


Sea:

Supóngase que =ad – bc no es igual a cero.

Entonces A-1 existe y esta dado por:

a bA

c d

1 1 d bA

c aA

NOTA:


Aplicar la fórmula:

Donde explicamos lo siguiente:

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO

ESQUEMÁTICO2

1 ( )Adj AA

A


2.1 MENORES COMPLEMENTARIOS

Sea la matriz cuadrada de , se denomina menorcomplementario de aij y se denota por , al determinante dela matriz de orden (n-1)x(n-1).

Nota:

• = Cálculo de la determinante de Mij

• : Se le llama menor del elemento aij de A (Menorcomplementario).

Ejemplo:

Calcular el menor del elemento a23 y dar como respuesta sudeterminante

ij nA a

ijM

ijM

ijM

1 2 3

2 1 3

0 1 4

A


2.2 COFACTOR DE UNA MATRIZ

El cofactor del elemento aij, que se simbolizapor Aij, se define por

Ejemplo:

Encontrar la matriz de los cofactores de A.

( 1)i j

ij ijA M

1 2 1

3 2 1

1 0 1

A


2.3 MATRIZ ADJUNTA

Se llama matriz adjunta de la matriz A a la

transpuesta de la matriz cofactor de A, es

decir:

( )tadjA cofac A


2.4 RESOLUCIÓN DE LA INVERSA DE UNA

MATRIZ POR EL MÉTODO ESQUEMÁTICO

1 ( )Adj AA

A

Si A es matriz invertible 0A

1 2 1

3 2 1

1 0 1

A

Ejemplo

Hallar la inversa de la matriz A


CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO

DE UNA MATRIZ AMPLIADA3

GAUSS - JORDAN

El método consiste en construir una matriz de orden nxn,formada por la matriz A y la matriz I es decir:

A: I………………………………..(1)

Mediante las operaciones elementales sobre las filas de lamatriz construida, transformando (1) en la forma:

I : B

Donde B = A-1 es la matriz inversa.


OPERACIONES ELEMENTALES O

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Son las operaciones con matrices que no se modifica ni suorden ni su rango.

Las operaciones elementales o transformaciones elementalespor filas o columnas sobre una matriz A son las siguientes:

1. La permutación de la fila i y la fila j.

2. La permutación de la columna i y la columna j.

3. El producto de todos los elementos de la fila i por unescalar k distinto de cero.

4. El producto de todos los elementos de la columna i por unescalar k distinto de cero.

5. La suma de la fila i, con los correspondientes elementos dela fila j multiplicados por un escalar k.

6. La suma de los elementos de la columna i, con loscorrespondientes elementos de la columna j multiplicadospor un escalar k.


Hallar la inversa de la matriz:

2 4

3 1A

Ejemplo


2 41 0

3 10 1

1

1

2f

1

21 2 0

3 10 1

2 13f f

1

21 2 0

3 10 1

12

01 2

30 5 12

2

1

5f

12

01 2

30 1 110 5

12

01 2

30 5 12


110

21 0 5

30 1 110 5

1 22f f

1

110

25

3 110 5

A

1 41

3 210

12

01 2

30 1 110 5


2º.- Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones

en la matriz de la derecha.

Calcular la inversa de

1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la

matriz identidad,

Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por

tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.

Ejemplo


3º.- Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones

en la matriz de la derecha.

4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal

correspondiente.

6


Determine si las matrices dadas son inversas entre si,

calculando su producto.

Ejemplos

1

3117

285

121

231

341

452

y

225.0

101

5.15.05.1

121

032

111

y

Hallar la matriz inversa por el método de igualdad de

ecuaciones.2

1 2

1 3A

2 3

1 2B

1 2 3

2 1 4

4 1 2

C

Hallar A-1 por el método esquemático para la matriz 33 2 1

4 5 2

2 1 4

A

1 2 3

2 4 3

3 2 1

B

1 1 1

0 0 1

1 1 1

C

0 1 2 2

1 1 2 3

2 2 2 3

2 3 3 3

D


Hallar A-1 por el Método de Gauus de4

2 5

1 3A

2 3 4

0 0 1

1 2 1

B

1 1 1 1

2 1 1 0

2 1 0 1

2 1 1 3

C

Hallar A-1 por el Método de Gauus de5

2 5

1 3A

2 3 4

0 0 1

1 2 1

B

1 1 1 1

2 1 1 0

2 1 0 1

2 1 1 3

C


0111

1011

1101

1110

A

Se da la matriz6

Calcular la traza A-1.

Dada la matriz7

112

212

221

A

Calcular: Traza Adj ( Adj ( A ) ).

Calcular la matriz X si:8 1 1 12AB XC A

Donde:

1 1 10 2 1 3 2 0

, ,1 1 1 2 0 2

A B C


RANGO DE

UNA MATRIZ


METODO DE LA

DETERMINANTE1

El rango de una matriz A de orden nxn, es el orden de lasubmatriz cuadrada más grande contenida en A, cuyodeterminante es no nulo y que denotaremos por r(A) = rangode A.

OBSERVACIÓN:

1. De la definición del rango de una matriz A, se observa quesi el rango de A es k, entonces r(A) minm,n donde Aes la matriz de orden mxn.

2. Para calcular el rango de una matriz A, es suficiente queentre todas sus submatrices cuadradas más grande,encontremos una que tenga su determinante no nulo, y siesto no ocurre continuamos con las submatrices cuadradasde orden inferior.


Calcular el rango de la matriz.

0 2 4

1 4 5

3 1 7

0 1 2

A

Ejemplos


METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

2

Este método consiste en aplicar las

transformaciones elementales

apropiadas a una matriz, de cualquier

orden, hasta conseguir tener ceros

debajo de la diagonal principal.

A la matriz así obtenida se le denomina

“matriz escalonada”.


MATRIZ ESCALONADA

100

010

001

1100

7010

4001

00000

00000

31000

10210

CONDICIONES A CUMPLIR

1. Si un renglón no consta

exclusivamente de ceros, entonces el

1er. elemento distinto de cero en el

renglón es 1.

2. Si hay renglones exclusivamente de

ceros, entonces están agrupados en la

parte inferior de la matriz.

3. En 2 renglones consecutivos (j y j+1)

diferentes de cero, el 1er. número

diferente de cero del renglón j+1

aparece a la derecha del 1er. número

diferente de cero del renglón j.

4. Todas las columnas que contienen el

1er. elemento diferente de cero de

algún renglón tienen ceros en todas

sus demás posiciones.

EJEMPLO DE MATRICES ESCALONADAS REDUCIDAS

EJEMPLO DE MATRICES ESCALONADAS

1 5 1 2

0 1 3 4

0 0 1 5

1 2 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1 3 0

0 0 1 3 0

0 0 0 0 1


1. Hallar el rango de la matriz:

2. Hallar el rango de la matriz:

Ejemplos


9. Matrices (s)

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