9-Rotación de Cuerpo Rigido i [Modo de Compatibilidad])

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Segundo L. Gallardo Z.

CUERPO RGIDO. Es un cuerpo ideal indeformable. Esto significa que la distancia entre pares de partculas permanece constante bajo la accin de fuerzas o torques externos.

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ROTACIN DE UN CUERPO RGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Es decir que la posicin relativa entre las partculas mi y mj del cuerpo rgido de la Fig.1 es:

Todos los cuerpos son deformables enalguna forma, pero nuestro modelo estil en situaciones en las cuales no setoma en cuenta la deformacin. Los sli-dos son considerados como cuerposrgidos.

ri j = ri rj = constante

Figura 1

Z

YX

F1F2

F3

Fn

miri

mj

rjri j

Cuando un cuerpo rgido gira alrededor de un eje, sus diferentespartes tienen diferentes velocidades y aceleraciones lineales.


ENERGIA CINTICA DE ROTACIN DE UN CUERPO RGIDO.

Z

X

Y

Figura 2

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Consideremos un cuerpo slido como el de la Fig.2, girando convelocidad angular constante , alrededor del eje Z.

Si en el cuerpo tomamos una partculacualquiera de masa mi observaremos questa gira alrededor del eje Z con velocidadangular y velocidad lineal vi describiendouna circunferencia de radio Ri .

La energa cintica de rotacin o energacintica rotacional de una partcula es

Eki = mi vi2

Donde vi = Ri , porque todas las partculas giran con la misma velocidad angular del cuerpo rgido.

(1)

mi

Rivi


Usando este valor. la Ec. (1) se puede escribir en la forma

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Eki = mi Ri2 2

La energa cintica rotacional de todo el cuerpo rgido es la sumade las energas cinticas rotacionales de todas las partculas quelo componen

Ekr = mi Ri2 2

El trmino

(2)

se denomina momento de inercia o inercia rotacional delcuerpo.

(3) mi Ri2 = I

El momento de inercia es una caracterstica propia de todocuerpo que gira y, segn la Ec.3, depende de la distribucin desu masa respecto al eje de rotacin.


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Las unidades del momento de inercia son:

[kg.m2 ], [g.cm2 ], [lb.pie2 ]

(4)Ekr = I 2

Esta ecuacin es muy similar a la energa cintica de traslacin oenerga traslacional, con la diferencia de que en el movimiento derotacin se consideran dos nuevas propiedades:

Usando el momento de inercia la energa cintica rotacional sepuede escribir en la forma

- El momento de inercia o inercia rotacional (I) y- La velocidad angular ()

en vez de las propiedades del movimiento de traslacin- la masa inercial (m) y - la velocidad de traslacin (v), respectivamente.


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CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

En general, para un cuerpo rgido compuesto de un gran nmerode partculas, como el de la Fig.3, el momento de inercia se calculareemplazando la sumatoria de la Ec. (3) por la integral

Donde dm es un elemento de masa del cuerpo de volumen dV. Este elemento de masa gira con el cuerpo alrededor del eje Z, describiendo una circunferencia de radio R.

dm

El momento de inercia de un slido de masa homognea ydistribuida en forma uniforme respecto al eje de rotacin, pode-mos usar el clculo diferencial e integral para calcular su valor

I = R2 dm (5)

R

Ryx

z

Z

Y

X

o

Figura 3


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Si es la densidad del cuerpo, entonces dm = dV

Si el cuerpo es homogneo su densidad es constante, entonces

Segn esta ecuacin, el clculo del momento de inercia decualquier cuerpo se reduce a un factor geomtrico, el cualdepende de la forma del cuerpo y de la ubicacin del eje derotacin.

I = R2 dV (6)

I = R2 dV (7)


Aplicando la Ec.(7) a slidos de forma regular permite obtener laTabla 1 que muestra los denominados radios de giro de algunoscuerpos segn el eje principal de rotacin.

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Tabla 1. Radios de giro respecto a su eje principal de algunos cuerpos simples.

Ko2

R2

2

R2

4+

L2

12

a2 + b2

12

a2 + b2

12

b 2

12

Ejes

L

R

a

b

c

a

b

a

b

Cilindro

Paraleleppedo

Placa Rectangular

Ko2

L2

12

R2

2

R2

4

2 R2

5

R2

EjesVarilla Delgada

Disco

Anillo

Esfera

R

R

R

L

R


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EJES PRINCIPALES DE ROTACIN. Son los ejes que pasan por el centro de masa del cuerpo y respecto a los cuales hay una distri-bucin simtrica de masa. Estos ejes se representan mediante las coordenadas (X0, Y0, Z0), y se consideran fijos al cuerpo de forma tal que, se trasladan y giran con l.

El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje principal sedenomina momento de inercia principal y se representa por Io. Elmomento de inercia principal se calcula multiplicando la masa porel correspondiente radio de giro de la Tabla 1.


Io = m Ko2 (11)

RADIO DE GIRO. Es la distancia, perpendicular al eje de rotacin,a cual debe colocarse toda la masa de un cuerpo para producir elmismo momento de inercia que se obtiene en su forma regular.El radio de giro se representa por Ko

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Ejemplos:


1.- Para la esfera de la de la Fig.3, un eje principal es el eje Zo, ocualquier otro eje que pase por su centro O. Su momento de inerciaprincipal es:

R

m

o

Zo

Figura 4

Io = m Ko2 = m ( )2R2

5Que segn la Tabla 1

2R2

5Ko2 = ( )

Esto significa que el momento de inerciaprincipal de la esfera es equivalente al deuna masa puntual m, de igual valor a la delcuerpo, ubicada a la distancia Ko respectoal eje de rotacin principal. Fig.5

m

Figura 5

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2. Para el cilindro, de la Fig. 6, un eje principal esel eje de simetra Zo y cualquier eje Xo Yo quepase por el centro de masa (C) y sea perpen-dicular al eje de simetra. Los momentos de iner-cia principales respecto a estos ejes son:

Ioz = m ( )R2

23. Para el paraleleppedo, de la Fig.7,.un ejeprincipal es cualquier eje perpendicular a unacara y que pase por su centro geomtrico. Losmomentos de inercia principales son:

Iox = m ( ), b2+ c2

12 Ioy = m ( ),

a2+ c2

12 Ioz = m ( )

a2+ b2

12

Zo

XoYo

R

LC

Figura 6

Zo

c

b

a

Xo

Yoo

Figura 7

Iox = Ioy = m ( + )R2

4

L2

12y


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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER). Este teorema relaciona el momento de inercia I de un cuerporespecto a un eje (Z), paralelo al eje principal (Zo), con elmomento de inercia Io , respecto al eje principal (Fig.7).

Si d es la distancia entre los ejes paralelosZ` y Zo.

I = Io + m d 2 (12)

Donde Io el momento de inercia respecto aleje principal.

Io = m Ko2

El radio de giro Ko2 para algunos cuerposde forma geomtrica regular se muestraen la Tabla 1.

C.Md

Z Zo

Eje paralelo

Eje principal

Figura 8


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Ejemplo 5. El paraleleppedo de la Fig.9 gira a razn de 1800 r.p.malrededor del eje Z. Si m = 4 kg, a = 2 b = 60 cm, calcular su energa cintica de rotacin.

Solucin

Donde I se obtiene aplicando el Teorema delos Ejes Paralelos

I = Io + m d 2

El momento de inercia respecto al ejeprincipal es

Io = m Ko2

y segn la Tabla 1

La energa cintica de rotacin esEkr = I 2

a2 + b2

12Ko2 =

Z Zo

d

a

b

c

m

Figura 9


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Entoncesa2 + b2

12Io = m ( )

Para calcular la distancia d entre ejes paralelos visualizamosfrontalmente la cara superior, como se muestra en la Fig. 10.

(2d ) 2 = a 2 + b 2

Como a = 2b(2b)2 + b2

12Io = m ( )

5

12Io = m b 2

4d 2 = (2b ) 2 + b 2

Aplicando el Teorema de Pitgoras se tiene:ZZo

ddb

a

Figura 10

d 2 = b 25

4


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Entonces

Con una frecuencia de rotacin de f = 1800 r.p.m = 30 rev/s, lavelocidad angular del cuerpo es

5

12I = m b2 + m ( b 2 )

5

4

I = m b25

3

= 2 f = 2 (30) = 60 rad/s

Luego

Usando valores

I = (4)(0.30)25

3I = ....... kg.m2

Ekr = .. JEkr = (0.6)(60)2


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Ejemplo 7. Calcular la energa cintica de rotacin del slido de la Fig. 11, el cual gira a razn de 4500 r.p.m alrededor del eje Z. Adems se sabe que m = 2 kg y L = 5R = 25 cm.

Solucin.

Donde el momento de inercia delslido es la suma de los momentosde inercia de cada una de suspartes.

I = I1 + I2

La energa cintica de rotacin esEkr = I 2

Para calcular el momento deinercia de cada parte, que es un cilindro, dibujamos en formacompleta el cilindro que se est analizando, mientras que alotro lo dibujamos con lneas punteadas (forma virtual).

R

R

Z

L

L/2

L/2m

m

Figura 11


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Aplicando el Teorema de los Ejes Paralelos al cilindro vertical de la Fig.12, se tiene:

I1 = Io1 + m d12

El momento de inercia respecto aleje principal Zo es

Io1 = m K012

Segn la Tabla 1, el radio de giro esK012 = R2/2. Luego

I01 = m R2/2Segn la figura, la distancia entreejes paralelos es d1 = R. Entonces

I1 = m R2/2 + m R2

I1 = m R23

2

Z

R

L/2

L/2m

d1 = R

Zo1

Figura 12


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Ahora, para el cilindro horizontal de la Fig. 13, por el Teorema de los Ejes paralelos, se tiene:

I2 = Io2 + m d22

El momento de inercia respecto aleje principal Zo es

Io2 = m K022

K022 = +R2

4

L2

12

Segn la Tabla 1, el radio de giro es

Entonces

I02 = m ( + )R2

4

L2

12

R

Z

L/2

L/2

L/2m

L/2

d2

R

Zo2

Figura 13


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Usando la relacin L = 5R se tiene

I02 = m ( + )R2

4

25R2

12

I02 = m R27

3Segn la figura, la distancia entre ejes paralelos es d2 = 2R + L/2y como L = 5R tendremos que: d2 = 2R + 5R/2 = 9R/2.

I2 = m R2 + m ( )7

3

81R2

4

I2 = m R2 271

12

Entonces


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Finalmente, el momento de inercia total del cuerpo es

I = m R2 + 3

2m R2

271

12

I = m R2 289

12

Usando los valores numricos m = 2 kg y R = 5 cm = 0,05 m,obtenemos

I = (2)(0.05)2 289

12

I = kg.m2


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Como la frecuencia de giro es f = 4500 r.p.m = 75 rev/s, entonces la velocidad angular del cuerpo es

= 2 f = 2 (75)

= 150 rad/s

Ekr = . J

Finalmente, la energa cintica de rotacin del cuerpo es

Ekr = (0.12)(150)2


RELACION ENTRE TORQUE Y ACELERACION ANGULAR


Sabemos que uno de los efectos de la fuerza neta es la rotacindel cuerpo sobre la cual acta.

Consideremos que el cuerpo dela Fig.14 est formado por unnmero infinito de partculas demasa mi . Si el cuerpo giraalrededor del eje Z, cada una deestas partculas gira describien-do una circunferencia de radio ri.

FTi = mi aTi

La aceleracin tangencial aTi decada partcula, es producida porla fuerza tangencial externa

FTiri

Z

i

mi aTi

Figura 14

09/07/2012 6:52 22Segundo L. Gallardo Z.

El torque, respecto al eje Z, producido por esta fuerza sobre la


i = ri mi ri

partcula es

i = (mi ri2)

De mdulo i = ri FTi sen 90

i = ri FTiUsando el valor de la fuerza

i = ri mi aTiy como la aceleracin tangencial de mi es aTi = ri

i = ri x FTi


Es importante hacer notar que cada partcula del cuerpo tiene diferente aceleracin tangencial aTi pero la misma aceleracin

angular


i = I Esta ecuacin es denominada la Segunda Ley de Newtonaplicada al movimiento de rotacin.

Para obtener el torque total sobre el cuerpo rgido sumamoslos torques sobre todas las partculas

i = ( mi ri2) Donde: I = mi ri2 es el momento de inercia del cuerpo rgido.Luego

(13)


Ejemplo 8. En la Fig.15 se tiene una pieza cilndrica maciza que puede girar libremente alrededor del eje central Z. Una cuerda envuelta alrededor del cilindro mayor, de radio R1 = 1,0 [m] y masa m1 = 5,0 [kg], ejerce una fuerza F1 = 9,0 [N] hacia la derecha del cilindro. Una segunda cuerda envuelta alrededor del cilindro menor, de radio R2 = 0,50 [m] y masa m2 = 2,0 [kg], ejerce una fuerza F2 = 15,0 [N] hacia abajo sobre el cilindro.


Calcular: a) El torque neto que actasobre el cilindro con respecto al eje derotacin y en qu direccin gira elcuerpo partiendo del reposo? y b) Laenerga cintica de rotacin despus dehaber girado 600 vueltas con acelera-cin angular constante.

X

Y

Z

R1

R2

F1

F2 Figura 15



Datos: F1 = 9,0 [N], R1 = 1,0 [m], F2 = 15,0 [N], R2 = 0,50 [m], m1 = 5,0 [kg], m2 = 2,0 [kg] y N = 600 vueltas

Solucin:

i = 1 + 2Segn la Fig.16, el torque neto, respecto al eje Z, que actasobre el cuerpo es:

i = I

i = R1 F1 + R2 F2

a) Aplicando la segunda ley de Newton a la rotacin, el torque neto sobre el cuerpo es:

Usando valores

i = .. [m.N] i = (1)(9,0) + (0,50)(15,0)

Este resultado nos indica que el cuerpo gira en sentido .F2

F1R1

R2Z(-)

Figura 16



b) La energa cintica de rotacin es

Ekr = I 2Donde el momento de inercia del cuerpo es

I = I1 + I2Segn la figura, el eje Z es eje principal para los dos cilindros. Por lo tanto

I1 = m1 R12

y I2 = m2 R22

I = .. [kg.m2]

I = m1 R12 + m2R22Entonces:

I = (5,0)(1,0)2 + (2,0)(0.50)2



Para calcular la velocidad angular usamos la ecuacin

donde la aceleracin angular la podemos obtener de la ecuacindel torque

i = I

2 = 2

Donde usamos el valor del torque neto (valor absoluto) y el elvalor del momento de inercia obtenidos anteriormente.

1,5 = 2,75

= [rad/s2 ]y el ngulo descrito se obtiene del nmero de vueltas realizadas

N = /2 = 2 N


Usando valores


= 2 (600) = 1200 [rad]Entonces la velocidad angular es

2 = 2 = 2(1200 )(0,55)

2 = 4146,9 (rad/s)2

Por lo tanto, la energa cintica de rotacin es

Ekr = I 2 = (2,75)(4146,8)2

Ekr = .. [J ]


MOVIMIENTO DE TRASLACION Y ROTACION SIMULTNEOS

ro

Eje v

vCM = v

Figura 17.


Ahora analicemos el movimiento de traslacin y rotacin simul-tneos de un cuerpo rgido que gira respecto a un eje fijo y setraslada con l.

En la Fig.17 se tiene un discoque gira con velocidad angu-lar alrededor de su eje prin-cipal adherido al disco yparalelo a la superficie derodadura

Este anlisis es vlido solamente para cilindros, esferas y aros,que ruedan (no se deslizan) sobre superficies planas speras. Lafriccin en este caso solamente produce el torque que hace giraral cuerpo y no afecta su energa cintica.

x

o


Al girar el disco, cada punto de contacto con la superficie tiene ve-locidad tangencial v = r, que a su vez, es la velocidad de trasla-cin de su centro de masa.


Como el cilindro se traslada y rueda sin patinar, adquiere dosenergas cinticas.

Energa cintica de traslacin del centro del cilindro definida como

Ekr = I 2

Ekt = m v2

Energa cintica de rotacin respecto al eje principal, definidacomo

Por lo tanto, la energa cintica total del cilindro es:


Ek = m v2 + I 2 (14)


Ejemplo 9. En la Fig.18 se tiene un disco de masa 3,5 kg y radio 6,0 cm que rueda sin deslizarse hacia arriba sobre un plano incli-nado en un ngulo = 37. En el instante en que el disco est en la posicin S = 2,0 m su velocidad es 2,40 m/s. El disco contina ro-dando hacia arriba una distancia adicional S, sin salirse del plano, y luego rueda de vuelta hacia abajo. Calcular la altura mxima yB que asciende el disco rodando sobre del plano

Datos

m = 3,5 kg,

r = 6,0 cm = 0,06 m,

S = 2,0 m,

vA = 2,40 m/s.

S

S AvA

r

B

Figura 18

yB



Solucin. El disco rueda hasta el punto B donde su velocidad es cero y desde all retorna rodando hacia abajo.

Para calcular S, aplicamos elprincipio de conservacin deenerga entre los puntos A y B.

EA = EB

(Ec + Ep)A = (Ec + Ep)B

m (vA)2 + I (A)2 + m g yA = m (vB)2 + I (B)2 + m g yB m [(vA)2 (vB)2] + I [(A)2 (B)2] = m g( yB yA)

yB = (S + S) sen

La altura mxima que asciende el disco esta dado por

SvA

S

r

AB

yA

vB = 0

Figura 19

yB



Segn la Fig.19 tenemos que:

vB = 0 y como B = vB/r, entonces B = 0, (yB yA) = S sen Sustituyendo estos valores se tiene:

m (vA)2 + I (A)2 = m g S sen

Simplificando y despejando S tenemos

Como el disco rueda girando alrededor de un eje principal sumomento de inercia es I = m r2. Adems A = vA / rEntonces:

m (vA)2 + ( m r2)(vA/r )2 = m g S sen

S = 3 (vA)2

4 g sen



Usando valores obtenemos:

yB = (2,0 + 0,73) sen 37

yB = . m

Por lo tanto, la mxima altura que asciende el disco, respecto a la base del plano, es

S = 3 (2,40)2

4 (9,81)sen 37S = m


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ANEXO: CLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE SLIDO

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN SLIDO

Donde dm es la masa de unelemento de volumen dV delcuerpo, que gira alrededor del ejeZ, como en la Fig. 1, describiendouna circunferencia de radio R. Si es la densidad del cuerpo,entonces:

dm = dV

dm

Como indicamos en la diapositiva (6) usando el clculo integral ydiferencial podemos calcular el momento de inercia usando laintegral

I = R2 dm (1)

R

R

yx

z

Z

Y

X

o

Figura 1


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Que si el cuerpo es homogneo su densidad es constante

En la Fig.1. vemos que: R2 = x2 + y2, entonces el momento deinercia del cuerpo del cuerpo respecto al eje Z se puedeexpresar en la forma

I = R2 dV (2)

Iz = (x2 + y2) dv (3)


Iz = x2 dv + y2 dv (4)Como se puede ver las dimensiones paralelas al eje de rotacin Z no intervienen en esta expresin. Similares relaciones se pueden obtener para rotaciones del cuerpo alrededor del eje X o eje Y.

Ix = y2 dv + z2 dv (5)Iy = x2 dv + z2 dv (6)

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Si el cuerpo es una placa delgada, como se indica en la Fig.2, el momento de inercia respecto a los ejes X y Y, se puede escribir en la forma

Porque la coordenada Z esesencialmente cero.Sumando estas dos ecuacionesobtenemos:

Resultado que es similar al de la Ec. (3) y es vlido solamente para placas delgadas.

Ix = y2 dv (7)

Iy = x2 dvy

X

Y

Z

o

xR

y

Figura 2 Iz = Ix + Iy (8)= ( x2 + y2 )dv


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Ejemplo 1. Determinar el momento de inercia del paraleleppedo slido de la Fig. 3, que gira con velocidad angular constante alre-dedor del eje de simetra Zo (Eje principal)

Solucin

Consideremos que el slido eshomogneo de densidad ycentrado en el sistema (Xo ,Yo ,Zo ).

En primer lugar hallamos el momento de inercia de una placadelgada de rea A = a b, paralela al plano (Xo ,Yo ), que giraalrededor del eje Xo.

La interseccin de las lneas depuntos en cada una de las carasdel paraleleppedo nos indican elpunto por donde pasan los respec-tivos ejes de rotacin Xo ,Yo ,Zo

a

b

Zo

Yo

Xo

c

o

Figura 3


09/07/2012 6:52 40


Si en la placa de la Fig.4 tomamos un elemento de rea dA = a dy, su momento de momento de inercia respecto al eje Xo es

Ixo = a b3 /12 = (a b )b2 /12

Donde: (a b ) = A, es el rea dela base del paraleleppedo.Luego entonces

Ixo = A ( ) b2

12

Ixo = a - b/2 y2 dyb/2

Una expresin similar obtenemos para el momento de inercia deesta placa si consideramos que gira alrededor al eje Yo .

Yo

Zo

b

Xo

oy

c

a

a

dy

b

Figura 4

Ixo = y2 dA = - b/2 y2 a dy b/2


09/07/2012 6:52 41


Tomando en la placa, de la Fig.5, un elemento de rea dA = b dx, su momento de inercia respecto al eje Yo es.

Iyo = b a3 /12 = (a b ) a2 /12

Donde: (a b ) = A, es el rea dela base del paraleleppedo.

Luego entonces

Iyo = A ( ) a2

12

Iyo = b - a/2 x2 dxa/2

Yo

Zo

bXo

o

c

a

a

dxb

X

Figura 5

Iyo = x2 dA = - a/2 x2 b dx a/2


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El momento de inercia de la placa respecto al eje Zo se calcula usando la Ec.(8).

Izo = Ixo + Iyo

Izo = A ( ) + b2

12 A ( )

a2

12

Izo = A ( ) a2 + b2

12

Ahora, consideremos que la placa de rea A = a b, tiene ungrosor c y una densidad . El momento de inercia respecto aleje Zo es

Izo = c A ( ) a2 + b2

12


09/07/2012 6:52 43


El trmino c A = V = m, es la masa del paraleleppedo.Entonces el momento de inercia del paraleleppedo respecto aleje Zo , que pasa por su centro de masa es

Izo = m ( ) a2 + b2

12

Como se notar en la frmula no interviene el lado c, que es laarista paralela al eje de rotacin. Esto indica que el momento deinercia solamente depende de la distribucin transversal de masarespecto al eje de rotacin.

La determinacin del momento de inercia de otros slidosregulares no es tema de anlisis del presente curso, ser tratadoms adelante en los cursos de matemticas II y dinmica.


Fin

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