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CLCULO 1 (ING.) MA262 UPC 2015 01
Copyright UPC, rea de Ciencias, Equipo MA262
Clculo 1 MA262
Taller N 11
Ciclo 2015-01
Profesores del Taller: Jos Linares, Alejandro Flores, Reynaldo Egocheaga, Mike Hurtado,
Carlos Quispe
Coordinador del curso: Jess Manuel Acosta Neyra
Temas: reas de regiones, volumen de revolucin de regiones
1. Determine la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones (justifique sus
respuestas de manera clara y adecuada).
a. Si la regin acotada por las curvas 22yx y ,yx se gira alrededor de 1x . Entonces
el diferencial de volumen viene dado por:
2
2 22 1 ( 1)dV y y dy
Falso
Diferencial de volumen
2
2 2( 1) 2 1dV y y dy
b. 2 2
2
2
4
16
xdx
x
es una integral impropia.
Falso
La funcin 2 2
2
4 4( )
( 4)( 4)16
x xf x
x xx
tiene como puntos de discontinuidad a
4, 4x x donde ninguno de los dos pertenece al intervalo 2,2
=
1
r
R
Elemento diferencial
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c. El rea de la regin sombreada determinada por el siguiente grfico es:
Falso
4 5
2 4
A g x h x dx f x h x dx
Descripcin de la regiones
21 ( , ) / 2 4; ( ) ( )x y R x h x y g x
22 ( , ) / 4 5; ( ) ( )x y R x f x y g x Diferencial de rea
1A g x h x dx
2A g x f x dx Entonces el rea pedido es:
4 5
2 4
A g x h x dx g x f x dx
d. Si 1
4
0
( )x x dx representa el volumen de la regin que gira alrededor del eje x ,
entonces la regin est descrita por 2 4, / 0 1,x y R x x y x . Falso:
Dando forma a la integral:
1
2 22
0
( )x x dx
Y del grafico se tiene una posible
regin
2 2, / 0 1,x y x x y x
1
1 = 2
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2. Calcule el rea limitada por las curvas )(xfy y 2
2xy en donde
2 2
2( )
(1 )
xf x
x
con 1)0( f .
Primero debemos hallar ( )f x
2 2
2( )
(1 )
xf x dx
x
por el mtodo de sustitucin: 2Sea 1 2u x du xdx
2 1
2 2
2
(1 )
xdx u du u C
x
2
1( )
1f x C
x
como 1)0( f entonces 0C
2
1( )
1f x
x
Descripcin de la regin
2
2
2
1, / 1 1
2 1
xR x y x y
x
Diferencial de rea 2
2
1
1 2
xdA dx
x
Luego el rea ser
1 22
2
1
11,24
1 2
xA dx u
x
Respuesta: Por tanto el rea es 21,24 u
aproximadamente.
Elemento diferencial
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3. En el siguiente grfico describa la regin
sombreada, el elemento diferencial de
volumen caracterstico y plantee la integral
que determina el volumen del slido de
revolucin que se obtiene al hacer girar la
regin sombreada alrededor del eje Y.
Graficamos
Descripcin de las regiones:
213 8
, / 3 18 3
x y R y x y
, 2
2
2
8, / 3 6
9 3
yx y R y x y
Diferencial de volumen
En el intervalo [3
8 , 3] 1
81
3dV y dy
.
En el intervalo [3 , 6]
22
2
8
3 9
ydV y dy
Luego el volumen total ser:
1 2 V V V
23 6 2
3/8 3
8 81
3 3 9
yV y dy y dy
1
2
= 1
1 = 1
1 = 8/3
Elemento diferencial en 1
2 =2
9
2 = 8/3
Elemento diferencial en 2
1
1
2
2
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4. Grafique la regin que est entre las curvas xy cos ; sen2y x ; 0x y 2/x .
Calcule el volumen del slido de revolucin que se obtiene al hacer girar la regin alrededor
del eje X.
Descripcin de las regiones.
21 , / 0 sen2 cos6
x y R x x y x
22 , / cos sen26 2
x y R x x y x
Diferencial de volumen 2 2
1 cos sen 2dV x x dx
2 2
2 sen 2 cosdV x x dx
Luego el volumen total ser:
1 2 V V V /6 /2
2 2 2 2
0 /6
cos sen 2 sen 2 cosV x x dx x x dx
2,04 V
Respuesta: Por tanto el volumen del slido es 32,04 u aproximadamente.
2
1 2 1
1
Elemento diferencial en 1
Elemento diferencial en 2
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5. Grafique la regin plana situada en el primer cuadrante y acotada por la parbolas 23 xy
y 22xy .Calcule el volumen del slido de revolucin que se obtiene al hacer girar la regin
alrededor de la recta x = -1.
Grfica
Descripcin de la regin
21 , / 0 2 0 / 2x y R y x y 22 , / 2 3 0 3x y R y x y
Diferencial de volumen
2
2
1 / 2 ( 1) (1)dV y dy
2
2
2 3 ( 1) (1)dV y dy
Luego el volumen total ser:
1 2 V V V
2 3
2 2
0 2
/ 2 1 1 3 1 1V y dy y dy
317,28 V u
Repuesta: El volumen del slido es 317,28 u aproximadamente.
2 = 1
2 = 3 1
Elemento diferencial en 2
1 = 1
1 = /2 1
Elemento diferencial en 1
2
1
= 3
= /2
1
1
2
2
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6. Calcule el rea de las regiones limitadas por:
a. 2 , , 2y x y x x
Las regiones son:
2 2; /1 2 ; R y x xx y x Diferencial de rea
2dA x x dx
En consecuencia el rea ser: 2
2
1
4 23
3A x x dx
Respuesta: Por tanto el rea es 1,11 2 aproximadamente.
Elemento diferencial
Escriba aqu la ecuacin.
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b. 22 )3(4; yxyx .
Descripcin de la regin
2
2 2, / 2 2 34
yR y x y y x
Diferencial de rea
2
234
ydA y dy
Luego el rea es
2 2
2 2
2
( 3 ) 8 4
yA y dy u
Respuesta: Por tanto el rea es 28u .
c. xy e , lny x ; 1x y 2x
=2
4+ 3 2
Elemento diferencial
Elemento diferencial
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Descripcin de las regiones.
21 , /1 2 -ln exx y R x x y Diferencial de rea.
lnxdA e x dx
Luego el rea total ser:
2
2
1
ln 2ln(2) 1 5.06xA e x dx e e
Respuesta: Por tanto el rea es 25.06 u aproximadamente.
7. Encuentre el volumen del slido obtenido al girar la regin acotada por las curvas dadas alrededor de la recta especificada. (Usar el mtodo del disco o arandela.)
a. 1;0;2 xyxy ; al rededor del eje y .
Descripcin de la regin
2, / 0 1 y 1D x y y x
Diferencial de volumen
1R ; r y
22
1dV y dy
Ahora obtengamos el volumen:
1
22
0
1 2
V y dy
Respuesta: Por lo tanto el volumen del slido es 3 2
u
.
R
r
=
= 1
Elemento diferencial
=
1 r
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b. ; y x y x ; alrededor de 2x .
Descripcin de la regin
2 2, / 0 1 D y x y y x y
Diferencial de volumen
2 222 2dV y y dy
Formulamos la integral
1
2 22
0
82 2
15V y y dy
Respuesta: Por tanto el volumen del slido
es 38
15
u .
c. 22( 2) ; 2y x y alrededor de 8y
r
= 8 2 2 2
= 8 2
Elemento diferencial
= 2
= 2 2
Elemento diferencial
= 8
r
R
R
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Descripcin de la regin
22, /1 3 2 2 2D x y x x y Elemento Diferencial de volumen
2
2 28 2 2 8 2dV x dx
Formulamos la integral
3
22 2 3
1
5448 2 2 6
15V x dx u
Respuesta: Por tanto el volumen del slido es 3544
15
u .
d. xyxxy ;4 2 alrededor de 5y .
Graficamos la regin y la describimos
2 2, / 0 3 4D x y x x y x x Diferencial de volumen
22 25 5 4dV x x x dx
Luego el volumen total ser:
3
22 2
0
1175 4 5
15V x x x dx
Respuesta: Por tanto el volumen del solido es 3117
15
u .
= 5
= 5 4 2
Elemento diferencial
R
r
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e. 24 ; 3, 2x y x x y alrededor de 1.x
Descripcin de la regin
2
1
2
2
2
, / 1 1 2 4
, /1 2 2 3
y x R y y x y
y x R y y x
Diferencial de volumen
2 22
1
2 22
2
4 ( 1) 3 ( 1)
4 ( 1) 2 ( 1)
dV y dy
dV y y dy
Luego el volumen total ser:
1 2
2 22 22 2
1 2
1 1
2595 4 5 3
15V V V y dy y y dy
Respuesta: Por tanto el volumen del slido es 3259
15
u .
2 = 2 1
2 = 4 2 1
Elemento diferencial en 2
2 2
1
2
1 1
2 = 2 1
2 = 3 1
Elemento diferencial en 1