COMPENSACIÓN DE CIRCUITOS DE NIVELACIÓN DE PRECISIÓN POR

MÍNIMOS CUADRADOS

Pérez Nieto, S.

Hernández Saucedo F. R.

Profesores-Investigadores del Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo.

Km 38.5, carretera México-Texcoco. Chapingo, Edo de México. Tel (595) 4-32-22. E-mail:

sperezn@chapingo.mx

1. INTRODUCCIÓN

1.1. Consideraciones generales

El establecimiento de un Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo (SPLCA), comprende dos

etapas, una en la que se define la posición de los Puntos de Control y Apoyo (PCA) en planta

mediante los llamados Procedimientos Topográficos de Planimetría, y la otra en la que se determina

su elevación o cota siguiendo un Procedimiento Topográfico de Altimetría, mediante la operación

de Nivelación o Control Vertical (Pérez, 1995). Ambas etapas deben comprobarse y compensarse

antes de efectuar otros cálculos con la información obtenida con ellas. Los Procedimientos

Topográficos de Planimetría comúnmente empleados en trabajos topográficos ordinarios son: el de

Poligonales (Abiertas o Cerradas), Cuadrícula Rectangular, Triangulación y Trilateración.

Independientemente, de cual de estos procedimientos se emplee para la definición de los PCA en

planta, su nivelación invariablemente se hace por Nivelación Diferencial.

Con el uso actual de instrumentos topográficos modernos, tales como teodolitos, medidores

electrónicos de distancias (MED), estaciones totales, niveles automáticos, de precisión y de rayo

láser, y los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS), entre otros, las mediciones tanto lineales

como angulares y, como consecuencia, el posicionamiento de puntos, pueden hacerse con altas

precisiones. No obstante, los errores siempre están presentes y el trabajo de comprobación y

distribución de los mismos debe realizarse ineludiblemente. En tales casos deben emplearse

preferentemente metodologías acordes a dichas precisiones. En el presente trabajo se sistematiza y

generaliza una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando

la teoría de mínimos cuadrados. La metodología se describe para el caso general en que se

compensan n circuitos de manera simultánea y al final se expone un ejemplo en el que se aplica

dicha metodología para la compensación simultánea de tres circuitos.

1.2. Comprobación y compensación ordinaria

Desde el punto de vista de su comprobación y compensación, en la nivelación se pueden tener uno

de dos casos; el primero se presenta cuando se debe determinar la elevación de un PCA a partir de

otro de elevación conocida, en cuyo caso, la comprobación puede realizarse haciendo el trabajo en

campo por los métodos de "ida y vuelta", "doble altura de aparato" o "doble punto de liga"; en

cualquier caso, se tiene de hecho un doble recorrido, por lo que la compensación se hace asignando

la mitad del error a cada uno. El otro caso se presenta cuando debe determinarse la cota de varios

puntos intermedios localizados entre dos de cota conocida; en tal caso, la comprobación se hace

calculando la diferencia entre la cota de llegada y la previamente conocida para el punto final, y la

distribución del error se hace proporcionalmente a los desniveles, a las distancias horizontales o al

número de puntos de liga entre cada par consecutivo de PCA en el recorrido. (Pérez, 1995)

Aunque los resultados obtenidos de la compensación dependen del criterio de proporcionalidad

elegido, éstos son adecuados para los trabajos que no requieren de altas precisiones. Con la

aplicación de la teoría de mínimos cuadrados, por otra parte, se garantiza que las correcciones

obtenidas sean las mínimas y más probables.

1.3. Circuitos de nivelación

Moffit y Bouchard (1982) y Wolf y Brinker (1994), coinciden en definir como un Circuito de

Nivelación al Trabajo Topográfico de Nivelación en el que se parte de un PCA o de un Banco de

Nivel (BN) de cota conocida, se determina la cota a una serie de PCA o BN intermedios y se regresa

al punto de partida o se llega a otro de cota conocida para comprobar. Cuando se regresa al punto de

partida se habla de un circuito cerrado, en tanto que cuando se llega a otro distinto se tiene un

circuito abierto. En los circuitos abiertos, los PCA de cota conocida pueden ser parte de un SPLCA

mayor o estar previamente posicionados con GPS, por ejemplo.

En cualquiera de los cuatro Procedimientos Topográficos de Planimetría, se pueden definir circuitos

para la nivelación de los PCA; así por ejemplo, los PCA establecidos mediante una Poligonal

Cerrada o sobre un cuadro principal de Cuadrícula Rectangular se pueden nivelar como circuitos

cerrados y los PCA establecidos con una Poligonal Abierta o sobre el trazo de cuadros secundarios

en una Cuadrícula Rectangular se nivelan como circuitos abiertos. Por otra parte, los PCA

establecidos con Triangulación o Trilateración se pueden nivelar como circuitos cerrados o abiertos

o bien, con una combinación de ellos.

1.4 Mínimos cuadrados

La teoría de mínimos cuadrados establece que los valores más probables de los errores accidentales

que ocurren en cualquier tipo de mediciones, son aquellos que hacen mínima la suma de sus

cuadrados; por lo cual, partiendo del supuesto de que en un trabajo de nivelación dado se han

eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones o errores gruesos, esta teoría puede aplicarse

para el cálculo de las correcciones que se le deben asignar a los desniveles. (Kissam, 1976)

2. OBJETIVO

Desarrollar de manera sistematizada una metodología para la compensación de circuitos de

nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados y generalizarla, de modo que sea

aplicable a los PCA establecidos por cualquier Procedimiento Topográfico de Planimetría y que

posibilite la elaboración de un programa de computadora para la realización de los cálculos.

3. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA

3.1. Aplicabilidad e información necesaria

La metodología es aplicable a cualesquiera circuitos abiertos y/o cerrados o bien a una combinación

de ellos, ya que es posible la compensación simultánea de n circuitos. La distribución del error se

hace con base en la condición que impone la teoría de mínimos cuadrados, e involucrando una

ponderación que puede calcularse proporcional a la distancia horizontal o al desnivel entre los PCA

o BN consecutivos sobre el circuito de nivelación. Cuando los PCA que conforman el circuito se

establecen mediante Poligonales, Triangulación o Trilateración, puede emplearse cualquiera de los

criterios para el cálculo del factor de ponderación, dado que tanto las distancias como los desniveles

resultan heterogéneos; en tanto que en el caso en que los PCA sean establecidos por Cuadrícula

Rectangular (tanto en los cuadros principales como en los secundarios), se deben emplear los

desniveles para el cálculo de dicho factor, debido a que las distancias entre PCA resultan muy

similares y no sería, por ello, conveniente su empleo.

Evidentemente, cuando se emplea la distancia para el cálculo del factor de ponderación, ésta ha de

ser la correspondiente al recorrido de nivelación, misma que puede determinarse con la fórmula de

estadia simple, si se hace el trabajo de nivelación en campo por el método de los tres hilos,

(Hernández y Pérez, 1996).

3.2. Sistematización de la información y obtención de las ecuaciones de condición

Primeramente debe hacerse un esquema de conjunto de los n circuitos a compensar

simultáneamente, señalando en él, la ubicación de los PCA y un sentido definido para cada circuito

de nivelación (indicado con flechas que conectan los PCA), tal como se ilustra en la figura 1 para la

compensación simultánea de los circuitos "El Olivar", "San Pedro" y "Xaltepa".

Figura 1. Esquematización de los circuitos de nivelación "El Olivar", "San Pedro"y

"Xaltepa", para su compensación simultánea por mínimos cuadrados. (Pérez, 1989)

En un cuadro se registran los desniveles observados DOk calculados a partir de los datos de campo,

asignándoles signo positivo si el terreno sube en el sentido del circuito de nivelación o negativo en

el caso contrario; se registran, asimismo cuando sea el caso, las distancias horizontales Lk, para cada

tramo de los circuitos. El subíndice k, denota el número consecutivo de tramos en todo el sistema de

circuitos.

El factor de ponderación fk para cada tramo se obtiene de la expresión (1), si se emplean los

desniveles para su cálculo o de la expresión (2) si se emplean las distancias para tal fin. En ambas

expresiones m, es el número total de tramos en el sistema, de modo que el numerador de la

expresión (1) es el promedio de los valores absolutos de los desniveles y el de la expresión (2) es el

correspondiente para las distancias horizontales entre tramos.

fk =

1

m

m

(1)

fk =

1

m

m

(2)

Partiendo del PCA de cota conocida o del BN de partida para cada circuito, el error de nivelación

para el i-ésimo circuito ENi, se calcula siguiendo el sentido horario con la expresión (3), en la que mi

es el número de tramos involucrados en el circuito i y DOij es el desnivel correspondiente al

j-ésimo tramo del circuito i.

ENi =

mi

(3)

Es importante aquí hacer notar que se usa una doble notación para la denominación de los

desniveles DO (y después para las correcciones C y los desniveles compensados DC) de los tramos

del sistema, una con un sólo subíndice k y otra binomial, con los subíndices i y j. Ello se debe a que,

en un primer momento, los tramos se designan en orden progresivo de 1 a m en el sistema,

denotados por el subíndice k, considerando que cada uno se midió una sola vez en el trabajo de

campo; sin embargo, dado que para fines de comprobación los circuitos deben cerrarse, algunos

tramos resultan comunes a dos circuitos contiguos (como los tramos, 1, 2 y 3 los son a los circuitos

"El Olivar" y "San Pedro" y los tramos 15 y 16 a los circuitos "San Pedro" y "Xaltepa" en la figura

1), lo que implica, por un lado, que los desniveles deben asociarse al circuito (denotado por i) al que

se involucran, dentro del que se denotan por el subíndice j; y por otro, que puedan tener sentidos

diferentes y, como consecuencia, signos distintos según el circuito en el que se consideren; por lo

tanto, debe tenerse clara la asociación entre el k-ésimo tramo del sistema y el j-ésimo tramo del

circuito i.

Por lo anterior, es necesario además asignar lo que denominaremos como Signo de Circuito (Sij) a

cada tramo en todos los circuitos, con base en la siguiente convención: partiendo del PCA de cota

conocida o del BN en cada circuito, y siguiendo el sentido horario, se asigna signo positivo a los

tramos en que éste coincida con el sentido del recorrido de nivelación y signo negativo a los tramos

en que ello no ocurra.

Denotando por Cij a la corrección correspondiente al desnivel del j-ésimo tramo del circuito i, se

establece para cada circuito una ecuación de condición de la forma siguiente:

ENi +

mi

(4)

El signo aquí considerado para las correcciones Cij, debe ser el Signo de Circuito correspondiente.

Es evidente que el número de ecuaciones de condición del tipo (4), es igual al número n de circuitos

de nivelación en el sistema.

Por otra parte, de la teoría de mínimos cuadrados, se tiene que la suma de los cuadrados de los

errores Ek debe ser un mínimo; lo que matemáticamente y en términos de las correcciones Ck se

expresa por la ecuación (5), en la cual se denota a las correcciones C con el subíndice k, pues

corresponden a las que se definen para cada tramo, independientemente del circuito al que

pertenezcan.

m

(5)

3.3. Obtención de la función a optimizar

De lo expresado en el inciso anterior, es claro que se tienen n+1 ecuaciones para un total de m

incógnitas Ck, por lo que en principio el sistema es insoluble; sin embargo, debido a que en realidad,

se tiene un problema de optimización de la función (5) sujeta a las restricciones impuestas por las n

ecuaciones de condición del tipo (4), tal situación se puede resolver aplicando la Técnica de

Multiplicadores de Lagrange, la cual permite transformar un problema de máximos y mínimos con

restricciones, a otro de máximos y mínimos libres (sin restricciones), correlacionando las variables

originales con otras variables intermedias (que son precisamente los Multiplicadores de Lagrange),

para finalmente obtener un sistema de igual número de ecuaciones normales que de incógnitas (los

multiplicadores de Lagrange), que puede resolverse por cualquier método conocido; (Hernández y

Pérez, 1996 y Protter y Morrey, 1969).

Esta técnica, aplicada al problema que se discute, consiste en los siguientes pasos:

a) Cada una de las n ecuaciones de condición del tipo (4), se multiplican por

un multiplicador de Lagrange λi, con lo que se obtienen n ecuaciones de la forma:

λ (6)

b) Cada Ck en la expresión (5), se multiplica por su respectivo factor de ponderación

fk obteniéndose la función F fk,Ck, siguiente:

F (7)

c) Se obtiene la función Ufk,λi,Ck a minimizar formada por la suma de la funcion Ffk,Ck (7)

y las n ecuaciones (6), es decir:

U λ λ (8)

d) Derivando la función Ufk,λi,Ck, con respecto a cada corrección Ck, se obtienen m

ecuaciones de correlación, una para cada Ck en términos de los multiplicadores de

Lagrange λi; esto es:

Ck = Cλi (9)

e) Sustituyendo las ecuaciones de correlación (9), en las ecuaciones de condición originales

(4), resulta un sistema de n ecuaciones normales de primer grado con n incógnitas que son

los n multiplicadores de Lagrange λi, cuya solución arroja sus valores.

f) De la sustitución de los valores de los λi en las ecuaciones de correlación

correspondientes, se obtienen los valores de la correcciones Ck.

g) Los valores de las correcciones (Cij) asociadas a cada circuito difieren solamente en signo

respecto a la Ck correspondiente y se obtiene de multiplicar el Ck y el Signo de Circuito (Sij)

respectivo, asignado al principio del trabajo de compensación; matemáticamente:

Cij = Sij×Ck (10)

Debe ser claro que el número de correcciones Cij será mayor al número de correcciones Ck en

el número de tramos comunes en el sistema, es decir que, Cij = CCk; más aún, Ci,j = Ck y

Ci+1,j = -Ck si los circuitos i e i+1 son contiguos.

h) Por supuesto, los desniveles compensados en cada circuito DCij, resultan de la suma de

desnivel observado (DOij) y la corrección correspondiente; expresión (11).

DCij = DOij + Cij (11)

4. EJEMPLO DE APLICACIÓN

La metodología expuesta en el presente trabajo ha sido validada con su aplicación a la

compensación de diversos circuitos de nivelación; en particular en la nivelación de todos los PCA

establecidos por Triangulación de Precisión para el levantamiento 178 ha de los terrenos de la

Universidad Autónoma Chapingo, en Chapingo, México (Pérez, 1989). Como ejemplo, se aplica en

seguida a la compensación simultánea de los circuitos de nivelación "El Olivar" (circuito 1), "San

Pedro" (circuito 2) y "Xaltepa" (circuito 3), generados en el levantamiento referido, y esquematizado

en la figura 1 (n = 3). El circuito 1, se niveló partiendo del BN y regresando al mismo, de modo que

es un circuito cerrado; la nivelación del circuito 2, partió del PCA F y se llegó al BN; por último, el

circuito 3, se niveló partiendo del PCA P y se llegó al mismo BN. El trabajo se realizó con el nivel

de precisión WILD N3, que permite lecturas de nivelación con aproximación hasta la quinta cifra

decimal de metro y por el Método de los Tres Hilos para el conocimiento de las distancias

horizontales. En la figura, las flechas que unen los PCA indican el sentido del circuito de nivelación.

El sistema tiene un total de m = 23 tramos; el número de tramos del circuito 1 es m1 = 9; para el

circuito 2 es m2 = 10; y para el circuito 3 es m3 = 9.

En el cuadro 1, se exponen los datos y el valor del factor de ponderación. En la columna 1 se

denomina a los tramos según los PCA entre los que se localizan en el sistema y de acuerdo al valor

del subíndice k; en la columna 2, se registran los desniveles observados para cada tramo como

resultado de la nivelación (DOk); la columna 3 se ocupa para designar las correcciones en el sistema

(Ck), en la columna 4, se anotan las longitudes Lk de los tramos y, en la columna 5, se tabulan los

factores de ponderación fk, calculados con la expresión (2).

De acuerdo con la convención establecida para la asignación del Signo de Circuito, se tiene que las

correcciones (Ck) para todos los tramos del circuito 1 tendrán signo negativo (S1j = - para j = 1, 2, ...,

9); análogamente, para el circuito 2, S2j = + para j = 1, 2,...,10; en tanto que para el circuito 3, S3j = -

para j = 1 y 2 y S3j = + para j = 3,4,...,9. De la ecuación (3), el error de nivelación para los circuitos

1, 2 y 3 respectivamente son: EN1 = -0.03373 m; EN2 = +0.01003; y EN3 = +0.01832.

De lo anterior, las ecuaciones de condición en términos de las Ck para los circuitos 1, 2 y 3,

respectivamente, son:

- 0.03373 - C9 - C8 - C7 - C6 - C5 - C4 - C3 - C2 - C1 = 0 (12)

+0.01003 + C1 + C2 + C3 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 + C15 + C16= 0 (13)

+0.01886 - C16 - C15 + C17 + C18 + C19 + C20 + C21 + C22 + C23 = 0 (14)

y la función Ffk,Ck (7), para el ejemplo es como sigue:

F fk,Ck = 1.41387C12 + 1.78088C2

2 + 0.90371C3

2 + 0.96170C4

2 + 0.63398C5

2 +

0.97677C62 + 1.27042C7

2 + 2.29999C8

2 + 1.16491C9

2 + 1.13677C10

2 + 0.85692C11

2 + 1.56549C12

2 +

1.62084C132 + 0.70566C14

2 + 1.33494C15

2 + 0.77537C16

2 + 1.09293C17

2 + 0.48551C18

2 +

1.40338C192 + 1.12566C20

2 + 1.28590C21

2 + 1.08332C22

2 + 0.53516C23

2 = mínimo. (15)

Cuadro 1. Desniveles observados, distancias medidas y factores de ponderación para todos

los tramos del sistema

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

TRAMOS

DESNIV.

OBSERV.

DOk

CORREC-

CIONES

Ck

LONGITUD

Lk

FACTOR DE

PONDERAC.

fk

POR PCA

k

(m) (m) (adim.)

BN - H

1

+8.00225

C1

187.40

1.41387

H - G

2

+3.39053

C2

148.78

1.78088

G - F

3

+6.17651

C3

293.19

0.90371

F - E

4

+2.48410

C4

275.51

0.96170

E - D

5

-11.51430

C5

417.93

0.63398

D - C

6

-12.11648

C6

271.26

0.97677

C - B

7

- 2.68721

C7

208.56

1.27042

B - A

8

+1.87271

C8

115.20

2.29999

A - BN

9

+4.42562

C9

227.45

1.16491

F - T

10

- 0.64426

C10

233.08

1.13677

T - S

11

- 5.03969

C11

309.20

0.85692

S - R

12

+1.97295

C12

169.25

1.56549

R - Q

13

- 5.58121

C13

163.47

1.62084

Q - P

14

+1.26874

C14

375.50

0.70562

P - O

15

- 8.41731

C15

198.48

1.33494

O - BN

16

- 1.11848

C16

341.72

0.77537

P - N

17

- 9.77214

C17

242.43

1.09293

N - M

18

- 5.76817

C18

545.73

0.48551

M - L

19

- 2.62274

C19

188.80

1.40338

L - K

20

+0.69498

C20

235.38

1.12566

K - J

21

- 0.03763

C21

206.05

1.28590

J - I

22

- 0.04356

C22

244.58

1.08332

I - BN

23

+8.03233

C23

495.10

0.53516

Multiplicando por los multiplicadores de Lagrange -2λ1, +2λ2 y -2λ3, las ecuaciones de condición

(12), (13) y (14), respectivamente y luego, sumándolas con la función Ffk,Ck (15), se obtiene la

función Ufk,λi,Ck, que se debe optimizar:

Ufk,λi,Ck =1.41387C12 + 1.78088C2

2 + 0.90371C3

2 + 0.96170C4

2 + 0.63398C5

2 +

0.97677C62 + 1.27042C7

2 + 2.29999C8

2 + 1.16491C9

2 + 1.13677C10

2 + 0.85692C11

2 + 1.56549C12

2 +

1.62084C132 + 0.70562C14

2 + 1.33494C15

2 + 0.77537C 16

2 + 1.09293C 17

2 + 0.48551C18

2 +

1.40338C192 + 1.12566C20

2 + 1.28590C21

2 + 1.08332C22

2 + 0.53516C23

2 + 0.06746λ1 + 2λ1C9 +

2λ1C8 + 2λ1C7 + 2λ1C6 + 2λ1C5 + 2λ1C4 + 2λ1C3 + 2λ1C2 + 2λ1C1 + 0.02006λ2 + 2λ2C1

+ 2λ2C2 + 2λ2C3 + 2λ2C10 + 2λ2C11 + 2λ2C12 + 2λ2C13 + 2λ2C14 + 2λ2C15 + 2λ2C16 - 0.03772λ3

+ 2λ3C16 + 2λ 3C 15 - 2λ 3C 17 - 2λ 3C 18 - 2λ 3C 19 - 2λ 3C 20 - λ 3C 21 - 2λ3C22 - 2λ3C 23 = mínimo (16)

Derivando (16) con respecto a cada Cij, y despejándolas de las expresiones que se obtienen, resultan

las siguientes 23 ecuaciones de correlación:

C1 = -0.70728(λ2 + λ1) (17) C13 = -0.61696λ2 (29)

C2 = -0.56152(λ2 + λ1) (18) C14 = -1.41719λ2 (30)

C3 = -1.10655(λ2 + λ1) (19) C15 = -0.74910(λ2 + λ3) (31)

C4 = -1.03983λ1 (20) C16 = -1.28971(λ2 + λ3) (32)

C5 = -1.57734λ1 (21) C17 = 0.91497λ3 (33)

C6 = -1.02378λ1 (22) C18 = 2.05969λ3 (34)

C7 = -0.78714λ1 (23) C19 = 0.71257λ3 (35)

C8 = -0.43478λ1 (24) C20 = 0.88837λ3 (36)

C9 = -0.85844λ1 (25) C21 = 0.77767λ3 (37)

C10 = -0.87969λ2 (26) C22 = 0.92309λ3 (38)

C11 = -1.16697λ2 (27) C23 = 1.86860λ3 (39)

C12 = -0.63878λ2 (28)

Sustituyendo ahora las ecuaciones de correlación anteriores en las ecuaciones de condición (12),

(13) y (14), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales:

8.09666λ1 + 2.37535λ2 = + 0.03373 (40)

- 2.37535λ1 - 9.13375λ2 - 2.03881λ3 = - 0.01003 (41)

+ 2.03881λ2 + 10.18377λ3 = - 0.01886 (42)

cuya solución simultánea proporciona los valores de los multiplicadores de Lagrange, para ser: λ1 =

0.004023030, λ2 = 0.000487040 y λ3 = - 0.001949470. Sustituyendo estos valores, en las ecuaciones

de correlación correspondientes, se obtienen los valores de las correcciones Ck mostrados en la

columna 2 del cuadro 2. Los valores de las correcciones para cada circuito Cij, resultan de aplicar la

expresión (10) y se consignan en la columna (3) del mismo cuadro. Con los valores de Ck, las

ecuaciones de condición (12), (13) y (14) se satisfacen sin error, lo que se muestra en el último

renglón del cuadro 2.

Cuadro 2. Valores de las correcciones para todos los tramos del sistema Ck y para cada

circuito Cij

(1)

(2)

(3)

TRAMO

k

CORRECCION

Ck

CORRECCIONES POR CIRCUITO Cij

CIRCUITO 1

C1i

CIRCUITO 2

C2j

CIRCUITO 3

C3j

1

- 0.00319

+ 0.00319

- 0.00319

2

- 0.00253

+ 0.00253

- 0.00253

3

- 0.00499

+ 0.00499

- 0.00499

4

- 0.00418

+ 0.00418

5

- 0.00635

+ 0.00635

6

- 0.00412

+ 0.00412

7

- 0.00317

+ 0.00317

8

- 0.00175

+ 0.00175

9

- 0.00345

+ 0.00345

10

- 0.00043

- 0.00043

11

- 0.00057

- 0.00057

12

- 0.00031

- 0.00031

13

- 0.00030

- 0.00030

14

- 0.00069

- 0.00069

15

+ 0.00110

+ 0.00110

- 0.00110

16

+ 0.00189

+ 0.00189

- 0.00189

17

- 0.00178

- 0.00178

18

- 0.00402

- 0.00402

19

- 0.00139

- 0.00139

20

- 0.00173

- 0.00173

21

- 0.00152

- 0.00152

22

- 0.00180

- 0.00180

23

- 0.00364

- 0.00364

mi

ENi

COMPROBACIÓN

+ 0.03373

- 0.03373

0.00000

- 0.01003

+ 0.01003

0.00000

- 0.01887

+ 0.01886

0.00001

Aplicando las correcciones obtenidas para cada desnivel asociadas a cada circuito, se obtienen los

desniveles corregidos HCij aplicando la expresión (11). Para el ejemplo, esto se hace para los

ciscuitos 1, 2 y 3 en los cuadros 3, 4 y 5 respectivamente, en los que además se calculan las cotas

corregidas de los PCA. Nótese en estos cálculos que tanto los desniveles corregidas, como las cotas

corregidas se calculan siguiendo el sentido horario, que es el que se siguió para el cálculo del error

de nivelación.

Cuadro 3. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 1 AEl Olivar@

EST.

P.V.

TRAMO

(1j)

DO1j

C1j

DC1j

ZC1j

BN

100.00000

BN

A

9

-4.42562

+0.00345

-4.42217

95.57783 A

B

8

-1.87271

+0.00175

-1.87096

93.70687

B

C

7

+2.68721

+0.00317

+2.69038

96.39725 C

D

6

+12.11648

+0.00412

+12.12060

108.51785

D

E

5

+11.51430

+0.00635

+11.52065

120.03850 E

F

4

-2.48410

+0.00418

-2.47992

117.55858

F

G

3

-6.17651

+0.00499

-6.17152

111.38706 G

H

2

-3.39053

+0.00253

-3.38800

107.99906

H

BN

1

-8.00225

+0.00319

-7.99906

100.00000 SUMAS

-0.03373

+0.03373

0.00000

Cuadro 4. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 2 ASan Pedro@

EST.

P.V.

TRAMO

(2j)

DO2j

C2j

DC2j

ZC2j

BN

100.00000

BN

H

1

+8.00225

-0.00319

+7.99906

107.99906 H

G

2

+3.39053

-0.00253

+3.38800

111.38706

G

F

3

+6.17651

-0.00499

+6.17152

117.55858 F

T

10

-0.64426

-0.00043

-0.64469

116.91389

T

S

11

-5.03969

-0.00057

-5.04026

111.87363 S

R

12

+1.97295

-0.00031

+1.97264

113.84627

R

Q

13

-5.58121

-0.00030

-5.58151

108.26476 Q

P

14

+1.26874

-0.00069

+1.26805

109.53281

P

O

15

-8.41731

+0.00110

-8.41621

101.11660 O

BN

16

-1.11848

+0.00189

-1.11659

100.00001

SUMAS +0.01003

-0.01002

+0.00001

A diferencia del circuito 2, que se parte del BN, para el cáclculo de desniveles y de cotas corregidas,

y se regresa al mismo para mostrar el cierre, (lo cual no es necesario), enseguida se calculan

desniveles y cotas corregidas para el circuito 3, partiendo del PCA P que fue de donde se inició el

trabajo de nivelación, y cerrando en el BN, para verificar el cierre. Por supuesto que esto implica que

no se puede mostrar en las sumas, que el error es igual a la suma de las correcciones con signo

contrario.

Cuadro 5. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 3 AXaltepa@

EST.

P.V.

TRAMO

(3j)

DO3j

C3j

DC3j

ZC3j

P

109.53280

P

N

17

-9.77214

-0.00178

-9.77392

99.75889 N

M

18

-5.76817

-0.00402

-5.77219

93.98669

M

L

19

-2.62274

-0.00139

-2.62413

91.36257 L

K

20

+0.69498

-0.00173

+0.69325

92.05582

K

J

21

-0.03763

-0.00152

-0.03915

92.01667 J

I

22

-0.04356

-0.00180

-0.04536

91.97131

I

BN

23

+8.03233

-0.00364

+8.02869

100.00000

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Como conclusión general del presente trabajo se puede referir que, la teoría de mínimos cuadrados

con sus ventajas intrínsecas, puede aplicarse a la compensación de Puntos de Control y Apoyo en

trabajos de nivelación topográfica, si los recorridos se manejan como circuitos, lo cual es

particularmente recomendable para trabajos de alta precisión y con la ventaja adicional de poder

compensar n circuitos simultáneamente; además, la metodología aquí generalizada es aplicable

independientemente del Procedimiento Topográfico que se emplee para el establecimiento en planta

del Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo.

La sistematización y generalización de la metodología presentada, posibilita la elaboración de un

programa de computadora que agilice la realización de los cálculos, lo cual es muy recomendable,

pues su ejecución manual es muy laboriosa; esta tarea será motivo en un trabajo próximo es esta

temática.

6. LITERATURA CITADA.

Hernández Saucedo, F. R. y Pérez Nieto, S. 1996. Triangulación de Precisión y

su compensación Planialtimétrica por Mínimos Cuadrados. Dirección de Difusión Cultural

de la Universidad Autónoma Chapingo. En prensa. Chapingo, Méx.

Kissam, C.E. P. 1976. Topografía para Ingenieros. Primera edic. Ed. McGraw-Hill de México S. A.

de C. V. México, D. F.

Moffitt, F. H. y Bouchard, H. 1982. Surveying. Seventh Edition. Harpper & Row Publishers.

New York, U.S.A.

Pérez Nieto, S. 1989. Información básica para la planeación del riego en el Campo Experimental

de la Universidad Autónoma Chapingo; Tesis profesional. Departamento de Irrigación de

la Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.

Pérez Nieto, S. 1995. Topografía Aplicada. Primera edición. Departamento de Suelos de la

Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.

Protter, M. H. y Morrey, C. 1969. Análisis Matemático, Modern Mathematical Analysis.

Editión Bilingua. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México, D. F.

Wolf, P. R. y Brinker, R. C. 1994. Elementary Surveying. Ninth edition. HarpperCollins

College Publishers. New York, U.S.A.

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