EXPONENTES

Colegio Preuniversitario Adventista ALBORADATRIGONOMETRA

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS

Podemos definir las razones trigonomtricas de ngulo agudo al cociente que se establece entre las longitudes de dos de los lados de un tringulo rectngulo con respecto a uno de sus ngulos agudos.

a y b son los catetos

c: hipotenusa

c> {a;b}

Las razones trigonomtricas de un ngulo agudo se definen de la siguiente manera:

TEOREMA DE PITGORAS

En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de la medida de los catetos.

NOTA: ( y ( Son ngulos complementarios

Recuerda:

Si ( es un ngulo agudo.

0 < sen ( < 1

0 < cos ( < 1

Tg ( > 0

( Ctg ( > 0

Sec ( > 1

Csc ( > 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE NGULOS NOTABLES

De los tringulos anteriores tenemos:

3037455360

Sen

Cos

Tg

1

Ctg

1

Sec

2

Csc2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

Las Razones Trigonomtricas de un ngulo agudo dependen nicamente de la medida del ngulo.

Ejemplo:

Si: a = 1 (

Si: a = 2 (

Si: a = 3 (

R.T. RECIPROCAS

Cuando definimos las razones trigonomtricas notamos lo siguiente:

OBSERVA:

Las pareja de Rt. Recprocas se pueden observar mejor de la siguiente manera.

Sen (Cos (Tg (Ctg (Sec (Csc (RAZONES TRIGONOMETRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS

Las R.T. de un ngulo son iguales a las R.T. de su complemento por tal razn a los segundos se les suele llamo co-funciones.

OTROS TRINGULOS NOTABLES

PROBLEMAS PROPUESTOS

NIVEL I

1. Hallar el valor de x si:

4x cos 60 = x + 5

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

2. Calcular x2 si se cumple que:

20. Csc (x + 7) = 1

a) 169b) 112c) 144

d) 13e) 21

3. Si : Sec (2x + 20) = Csc (3x + 5);

calcula el valor de x.

a) 10b) 11c) 13

d) 17e) 9

4. Hallar x, sabiendo que:

Tg (x + 8) . Ctg 97 = 1

a) 80b) 91c) 90

d) 89e) 81

5. Del grfico calcular: Tg(.Ctg(

a) 1b) 2c) 3

d) 5e) 4

6. Hallar x:

a) b) c)

d) e)

7. Calcular xx si sabemos que:

a) b) c)

d) e)

8. Hallar x en :

a) b) c)

d) e)

9. Hallar x si :

a) b) c)

d) e)

10. Hallar x si:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 a) b) c)

d) e)

11. Hallar Ctg( del grfico si: AB = BC

a) 3b)

c)

d) 1/3e) 9

12. Calcular (x + y) a partir de:

Tg(x + 15).Ctg(y - 45) = 1

Sen(2x - y) = Cos(2y - x)

a) 80b) 100c) 90

d) 70e) 80

13. Si:

Sen(3x + 2)= Cos(4x + 4)

Cos(4y + 5) = Sen(3y 20)

Hallar: Sen5x.Cos3y

a)

b)

c)

d)

e)

14. Calcular x de la figura:

a) 7b) 8c) 9

d) 10e) 11

15. Hallar el valor de:

a) 1/2b) 1/4c) 1/3

d) 1/8e) 2

16. Hallar el valor de :

K = (Tg260 + 5Cos53).Csc30

a) 6b) 12c) 1/6

d) 1/12e) 4

17. De la figura mostrada, hallar :

a) 2/7b) 3/7c) 7/2

d) 4/7e) 7/4

18. Segn la figura: AD = 2DB. Calcular:

a) 2/7b) 3/7c) 7/2

d) 4/7e) 7/4

19. Del grfico, hallar : Tg(

a) 8/7b) 3/7c) 7/2

d) 4/7e) 7/4

20. En la figura, encontrar :

a) 8b) 3c) 2

d) 4e) 7

21. Si : Sec( = Tg260

Calcular :

k = (Tg260 + 5Cos53). Csc30

a) 5b) 3c) 2

d) 4e) 1/5

22. Hallar el valor de :

a) 1/4b)

c) 1/2

d) 1/6e) 1

23. Si :

Hallar :

a) 1/2b)

c) 2/3

d) 3/2e)

24. Del grfico, hallar : Tg(

a) 0,48b) 0,16c) 0,96

d) 0,24e) 0,36

25. Si : Senx . Csc(10 4x) = 1

Hallar x

a) 1b) 10c) 4

d) 2e) 5

26. Si : Tgx . Ctg7x = 1

Hallar x

a) 1215b) 1115c) 1130

d) 1125e) 11

27. Reducir :

a) 0b) -1c) 2

d) -2e) 1

28. Simplificar :

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) -1

29. Si :

Calcular :

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

30. Si : Senx = Cos20

Hallar :

a) 1b) 2c) 1,5

d) 12,5e) 2/3

NIVEL II

1. Si Tg = 0,75 y es un ngulo agudo. Calcular:

a) 21/5b) 17/5c) 28/5

d) 3/5e) 7/8

2. Se tiene un tringulo ABC recto en C. Si se cumple: sec A . sec B = 2tg A . tg B. Calcular tg A

a) 2b) 1c) 5

d) 3e) 7

3. En un tringulo ABC recto en A y de rea S, hallar el valor de la expresin P en funcin del rea.

a) 6Sb) Sc) 2S

d) 3Se) 4S

4. En un tringulo ABC recto en A, efecta

a) ab) bc) c

d) 2ce) 3b

5. Determinar los lados de un tringulo ABC, recto en A, sabiendo que: sen b = y a+b = 28

a) 4b)

c) 7

d) 14e) 28

6. Si tg = 0,666

Hallar el valor de: E= ctg + 2csc2 a) 8b) 1c) 5

d) 3e) 7

7. Resolver:

Sen (6x - 36) cos (2x + 46) = 0

a) 6b) 7c) 8

d) 9e) 10

8. Si: cos(90- ) = sec /3. tg /6. cos /4

Hallar el valor de :

a) 11b) 11/2c) 11/3

d) 11/4e) 1/5

9. Resolver:

Cos60.sen45+x ctg30 = cos30.cos45+x tg45

a) 1/2b)

c) 4

d) 2e) 1

10. Si es un ngulo agudo y :

Calcular: R = sen . cos a) 1/6b) 1/7c) 1/8

d) 1/9e) 1

11. Si:

Calcular:

a) 3b) 3/2c) 2

d)

e) 10

12. Resolver:

Sen (3x 80).csc (x + 10) = 1

a) 60b) 45c) 15

d) 53e) 1

NGULOS VERTICALES

NGULOS VERTICALES

Son aquellos ngulos que estn ubicados en el plano vertical imaginario; que en la prctica son formados por una lnea visual y una horizontal, que surge como consecuencia de la observacin de un objeto. Para su medicin se utilizan instrumentos de ingeniera, llamados TEODOLITOS.

ngulo de Elevacin: Es un ngulo formado por la lnea visual y la lnea horizontal, cuando el objeto se encuentra por encima de la lnea horizontal.

ngulo de Depresin: Es un ngulo formado por la lnea visual y la lnea horizontal, cuando el objeto se encuentra por debajo de la lnea horizontal.

ngulo de Observacin: Es aquel ngulo en el cual se observa en forma total un objeto.

< de observacin

Observacin:

En todo problema en el cual no se mencione la altura del observador, entonces se considerar un punto fijo sobre la superficie de la tierra.

PROBLEMAS PROPUESTOS

Nivel I

13. A 240 metros de la base de un edificio se observa la parte ms alta de ste con un ngulo de elevacin de 37, Calcular la altura del edificio.

Rpta:

14. Un observador se encuentra a 24m de la base de un poste de 7 metros de altura. Cul es el ngulo de elevacin respectivo?

Rpta:

15. Una escalera de 6 m de longitud est apoyada sobre una pared formando con esta un ngulo de 30. Calcular la distancia entre los pies de la escalera y la pared.

Rpta:

16. Desde lo alto de un edificio de 100 metros de altura se observa un auto estacionado bajo un ngulo de depresin de 60. Calcular la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que est bajo el observador.

Rpta:

17. La parte superior de un edificio de 48 metros de altura es observada bajo un ngulo de elevacin de 53. Cul es la distancia entre el observador y el pie del edificio?

Rpta:

18. Desde la parte superior de un morro de 77 mt de altura se observa un objeto que est situado a 264 mt del pie del morro. Cul es el ngulo de depresin?

Rpta:

19. Desde la cima de un monte se observa la parte superior de un edificio con un ngulo de elevacin de 37 y el pie del mismo bajo un ngulo de depresin de 53. Si el observador se encuentra a 72 m del edificio, Cul es la altura de este?

Rpta:

20. Un hombre cuya estatura es de 1,80 m de estatura proyecta una sombre de 1,20 m de largo; al mismo tiempo un edificio proyecta una sombre de 12,6 m. Calcular la altura del edificio.

Rpta:

21. Un misil se lanza a un ngulo de 62 con la horizontal; si se desplaza en lnea recta a qu altura estar cuando a recorrido 1000 m ? (sen 62 = 0,8829; cos 62 = 0,4695)

Rpta:

22. Desde la parte superior de un edificio de 20 metros de altura se observa un automvil con un ngulo de depresin de 35; a qu distancia se encuentra el automvil de la base del edificio? Dato: ctg 35 = 1,428

Rpta:

23. Si los rayos solares forman 60 con la horizontal. Cunto mide la sombre de un hombre de 1,70 de estatura?

Rpta:

24. Una persona de un metro veinte de estatura observa la cspide de un edificio con un ngulo de elevacin de 45 y la base del mismo con un ngulo de depresin de 37. Calcular la altura del edificio.

Rpta:

Nivel II

25. Desde un punto P en la tierra se observa la azotea de un edificio con un ngulo de elevacin de 45. Determine la altura del edificio.

a) 10b) 10(+1)c) 15

d) 10

e) 30

26. Desde un helicptero que se encuentra a 100 mt sobre el nivel del mar, los ngulos de depresin de dos botes que estn situados a la direccin Sur del observador son 15 y 75; hallar la distancia que separa a los botes.

a) 300b) 400c) 500

d) 600e) 900

27. Desde un punto en el suelo un observador mira la parte superior de un poste de luz con un ngulo de elevacin pero si se acerca una distancia igual a la mitad de la distancia que lo separa del poste, observara el foco con un ngulo de elevacin que es complemento de . Hallar: ctg

a) 1/2b)

c) 2

d) 6e) 1/3

28. Un avin que se encuentra a 700 m sufre un desperfecto y cae a tierra siguiendo una trayectoria recta que hace un ngulo con respecto a la horizontal de 16; adems, una persona en tierra observa el avin con un ngulo de 53. Calcular la distancia del choque con respecto al observador.

a) 111b) 333c) 333 1/3

d) 222e) 133

29. Una persona de 1,50 m de estatura observa un rbol con un ngulo de depresin de 30, su base y con un ngulo de elevacin de 60, su parte superior. Calcular la altura del rbol.

a) 3mb) 4mc) 5m

d) 6me) 9m

30. Desde un punto, en el terreno se observa una torre con un ngulo de elevacin a; desde la mitad de la distancia, el ngulo de elevacin es complemento del anterior. Hallar: sen2 (a+15)

a) 3/4b) 1/3c) 1/2

d) 5/4e) 2

31. A 20 metros de la base de una torre un hombre observa su parte superior con un ngulo de elevacin a; en lnea recta se aleja otros 20 metros y ahora lo vuelve a observar con un ngulo de elevacin b. Si: tg a + tg b = 0,75; adems, la estatura del hombre es 1,7 metros; hallar la altura de la torre.

a)11,7b) 11c) 11,5

d) 11,2e) 11,8

32. Desde el suelo se observa un monumento sobre un pedestal bajo un ngulo de elevacin de 45 (del pedestal), hallar la estatura del monumento, si el pedestal mide 18 metros.

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 9

33. Se tienen 2 postes de 7 metros y 1 metro de altura distanciados 8 metros. Calcular el mnimo del ngulo de elevacin con que una hormiga observara lo alto del poste menor, desde un punto ubicado entre los dos postes; sabiendo que el ngulo de elevacin para el poste mayor, desde ese punto, es el complemento del que se pide calcular.

a) 8b) 4c) 5

d) 10e) 9

34. Desde la parte mas alta de un faro ubicado 1200 metros sobre el nivel del mar, se observa un barco con un ngulo de depresin a ; 6 minutos mas tarde se observa en la misma direccin al barco; ahora con un ngulo de depresin b. Calcular la velocidad del barco s; tg a = 2,4142 y tg b = 0,4142.

a) 400m/minb) 100m/minc) 500m/min

d) 300m/mine) 90m/min

35. Una torre esta al pie de una colina cuya inclinacin con respecto al plano horizontal es 10. Desde un punto de la colina; a 12 metros de altura respecto del plano horizontal observa la torre bajo un ngulo de 55. Hallar la altura de la torre. Dato ctg 10 = 5,67

a) 80 mb) 80,3 mc) 80,04 m

d) 80,02 me) 80,4 m

36. 3 personas en tierra equidistan entre s, observa la parte mas alta de una antena de radio con un mismo ngulo de elevacin a. Si la relacin entre la distancia de 2 de ellas y la altura de la antena es 3. Hallar ctg a

a) 3b)

c) 2

d) 1e) 5

37. Desde un punto en tierra se divisa lo alto del 5to piso de un edificio con un ngulo de elevacin a y la parte baja del tercer piso con un ngulo de elevacin b. Hallar tg a entre tg b.

a) 1/2b) 1/3c) 1/4

d) 5/2e) 1

38. Desde el pie de un poste, el ngulo de elevacin de un punto de un campanario es 45; desde la parte superior del poste que tiene 9 metros de altura, el ngulo de elevacion es 30.Cual es la altura del campanario.

a) 9b)

c) 18

d) 21e)

39. Un reflector situado al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ngulo de 16. Si trasladamos el reflector a 4 metros cerca del monumento, este se ve bajo un ngulo de 45. Cual es la altura del monumento.

a) 28mb) 17mc) 28/17m

d) 30me) 17/28m

EMBED CDraw5

EMBED CDraw5

EMBED CDraw5

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

Sec ( = Csc (

Tg ( = Ctg (

Sen ( = Cos (

Tg( . Ctg( = 1

Cos( . Sec( = 1

Sen( . Csc( = 1

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

PAGE 107Prof. Carlos A. Moncayo Ferrer

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