A Clase2 - Probabilidad

1

Probabilidad

Profesor:Ing. Ricardo Rosas Roque

2

2 2 3 3

68% datos

94.6% datos

99% datos

UTILIDAD DE LA DESVIACION ESTANDARTeorema de Chebyshev:

3

ProbabilidadSi el propósito: describir los resultados de un experimento, lo visto, puede considerarse suficiente.

Pero: extraer conclusiones generales sobre todos aquellos objetos que se han estudiado, entonces constituye solamente el principio de los análisis.

Para obtener conclusiones de una población partiendo de una muestra, se debe recurrir a la estadística inferencial.

La estadística inferencial, se basa en la teoría de probabilidades.

4

Problemas de Ingeniería

• Cuál es la probabilidad que este mecanismo funcione más de 100 horas?

• Qué porcentaje de estos mecanismos funcionarán más de 100 horas?

• En la mayoría de los problemas hay que tomar decisiones con base a experimentos

Vivimos en un mundo que es incapaz de predecir el futuro con total certidumbre.

5

Experimento

• Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la manipulación de la/s variables que presumiblemente son su causa.

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable

6

Experimento:

• Determinístico: los resultados del experimento están completamente determinados y puede describirse por una fórmula matemática.

Ejemplo: F = m . a

• No Determinístico: los resultados del experimento no puede predecirse con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplo: lanzar un dado y observar número que aparece.

7

Experimento aleatorio

• Cada experimento puede repetirse indefinidamente sin cambiar las condiciones.

• Cada experimento es no determinístico.• Cada experimento tiene varios

resultados posibles que pueden describirse de antemano con precisión.

8

Ejemplos:

1. Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calles, hasta antes que ocurra un accidente.

2. Fabricar artículos, hasta producir 5 defectuosos y contar el número total de artículos fabricados.

3. Contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicio un día.

9

Espacio muestral

• Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se le denota por Ω

Ejemplo: 1. Ω = 0, 1, 2, 3, 4,…………..2. Ω = 5, 6, 7, 8, 9, 10,……….. 3. Ω = 0, 1, 2, ……..

10

Ejercicios. Hallar el espacio muestral:

1. Se lanzan dos dados simultáneamente y se observan las caras superiores.

2. Se lanzan una moneda y un dado simultáneamente y se observan las caras superiores.

3. Se lanza una moneda tres veces.

11

Espacio muestral discreto finito• Si tiene un número finito de elementos.

Ejemplo. Un lote compuesto de n artículos provenientes de una línea de producción contiene m artículos defectuosos (m ≤ n). Los artículos son extraídos uno por uno (sin reemplazo) hasta que el último artículo defectuoso sea extraído.

Ω = m, m + 1, m + 2, m + 3 …….., n

12

• Cuando puede establecerse una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos de modo que pueda ser enumerado como 1, 2, 3 ….

Ejemplo: lanzar una moneda hasta que ocurra cara.

Ω = c, sc, ssc, sssc, ssssc, ……..

Espacio muestral discreto infinito

13

Espacio muestral continuo

• Si tiene un número no numerable de elementos. Es decir, cuyos elementos son todos los puntos de algún intervalo.

Ejemplo:1. Elegir un punto del intervalo [ 0, 1]2. En un laboratorio químico, el volumen

producido por día para un producto particular varía entre un valor mínimo a y un valor máximo b, los cuales corresponden a la capacidad. Se escoge un día al azar y se observa la cantidad producida.

Ω = x Є R / a ≤ x ≤ b

14

• Evento: Cualquier subconjunto del espacio muestral y se denota por A, B, C, D etc.

• Suceso: todo elemento de un espacio muestral. Se designa por x, y, etc.

Ejemplo 1: Lanzar un dado: A: “ocurre un número par” A = 2, 4, 6Ejemplo 2: (Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de

dos calles, hasta antes que ocurra un accidente.)

A: “ocurre un accidente antes que crucen 100 autos”

A = 0, 1, 2, 3,…..99

15

Ejercicio:

• En el experimento aleatorio lanzar cuatro monedas simultáneamente. Definir los eventos siguientes:

1. A1: “Todas las monedas muestran el mismo lado”

2. A2: “Ocurren por lo menos dos caras”3. A3: “Ocurre sello en el tercer

lanzamiento”

16

Operaciones con eventos

• Unión de eventos (A U B): evento formado por los sucesos que pertenecen a A ó a B ó a ambos.

A U B = x Є Ω / x Є A v x Є B Considerar el experimento, lanzar una moneda

hasta que ocurra cara y contar el número de lanzamientos de la moneda.

A: “Se necesita un número par de lanzamientos”

B: “se necesita más de 10 lanzamientos”. A = 2, 4, ,6, 8, 10…. B = 11, 12, 13, 14,…. A U B = 2, 4, ,6, 8, 10, 11, 12, 13, 14….

17

• Intersección (A ∩ B): evento formado por todos los sucesos favorables a A y a B

A ∩ B = x Є Ω / x Є A λ x Є B A: “Se necesita un número par de

lanzamientos”

B: “se necesita a lo más de 10 lanzamientos”.

A ∩ B = 2, 4, 6, 8, 10


18

• Diferencia: evento formado por los sucesos favorables a A que no son favorables a B.

A - B = x Є Ω / x Є A λ x Є B

A = 2, 3, 4, 6, 8, 10 B = 1, 3, 6, 7, 9, 11, A – B 2, 4, 8, 10


19

• Complemento: evento formado por todos los sucesos que no pertenecen a A.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

A = 2, 4, 6, 8A´= 1, 3, 5, 7


20

Eventos mutuamente excluyentes

• Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral se dice que son ME si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro.

A ∩ B = ØSe lanza un dado dos veces:A: “la suma de los puntos obtenidos es 7”B: “en los dos dados se obtiene el mismo

número”

21

Eventos colectivamente exhaustivos

• Se dice que una colección de n eventos A1, A2, …An, definidos sobre el mismo espacio muestral son CE si la unión es igual al espacio muestral.

22

Técnicas de conteo.

• Principio de multiplicaciónSi un experimento aleatorio E1 ocurre de

n1 formas y si para cada una de estas, un experimento E2 ocurre de n2 formas, entonces los dos experimentos juntos ocurren de n1 . n2 formas

Ejemplo 1. Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado simultáneamente”.

n1 = 2; n2 = 6

23

Ejemplo 2: Una persona puede viajar de una ciudad A a otra ciudad B de 5 formas y de B a C de 6 formas. De cuántas formas puede ir de A a C pasando por B.

Generalizando: n1 . n2 . nk formas diferentes.

24

Ejercicio:

Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez?

Unidades = 3 casosDecenas = 6 elecciones posiblesCentenas = 5 90 números pares posibles.

25

Principio de Adición

• Si un experimento E1 puede ocurrir de n1 formas y un segundo experimento E2 puede ocurrir de n2 formas, entonces el experimento E, que consiste en realizar E1 o E2 ocurre de n1 + n2 formas, siempre que los espacios muestrales Ω1 y Ω2 asociados a E1 y E2 respectivamente sean disjuntos.

26

Ejemplo

• Considerar el experimento de lanzar una moneda o un dado ¿De cuántas formas ocurre?

E1: lanzar una moneda n1 = 2 E2: lanzar un dado n2 = 6Luego el experimento de “lanzar una

moneda o un dado”, ocurre de: n = n1 + n2 formas.

27

Permutación

• Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos.

Ejemplo: se tiene un conjunto de tres objetos A = a, b, c y se esta interesado en el número de arreglos (posibles permutaciones) con los elementos del conjunto A.

6 permutaciones posibles.El orden de los elementos es importante

28

• El número de permutaciones de n objetos diferentes es:

Pnn = n P n = n!

Ejemplo: un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionará, varía le orden de las visitas. De cuántas maneras puede hacerlo?

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 formas

29

Ejercicios:

• En una competencia automovilística intervienen 40 participantes. ¿De cuántas formas distintas se pueden adjudicar los lugares de largada a los 40 competidores?

• ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 chicas en una fila, de manera que dos chicas, en particular, no queden juntas?

• De cuántas maneras se pueden colocar 12 niños en una fila de manera que cuatro niños, en particular queden juntos?.

30

El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r es:

• Pnr = n P r = n! / (n – r)!

Ejemplo: Un grupo esta formado por 5 personas y desean formar una comisión integrada por presidente y secretario. ¿De cuántas maneras puede nombrarse esta comisión?

Cargo de presidente: 5 maneras diferentes

Secretario: 4 maneras diferentes.Elección se puede hacer de 5 x 4 = 20

tomada 2 a 2

31

Ejercicio

• Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes para cada país. Si hay disponibles 6 colores diferentes. De cuántas maneras puede colorear el mapa?

6 P 4 = 6! / (6 – 4)!

= 360 maneras

32

Ejercicio:

• Encontrar el número total de enteros positivos que pueden formarse utilizando los dígitos (1, 2, 3, 4), si ningún dígito ha de repetirse cuando se forma un número.

4P1 + 4P2 + 4P3 + 4P4 = 64 números diferentes

33

Permutación con repetición

• El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2 de una segunda clase,………..k de una k-ésimo clase, está dado como:

n! / (n1! n2! …nk!)Ejemplo: un estante de una librería tiene

capacidad para 5 libros de Matemáticas que tiene pasta verde, 3 de Física de pasta roja y 2 de Química de pasta azul. De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores?

34

Combinación

• Un subconjunto de r elementos de un conjunto que tiene n elementos diferentes, se llama una combinación de los n elementos tomados r a r.

Se denota C (n, r)

C = n! / r! (n – r)!

35

Ejercicio

• Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. De cuántas maneras se puede hacer esto?

n = 52 r = 2

C = 52! / 2! . 50! = 1326

36

Ejercicio

• Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen:

a) De cuántas maneras puede escoger las preguntas?

b) Si las tres primeras son obligatorias, de cuántas maneras puede escoger las preguntas?

c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. De cuántas formas puede hacerlo?

37

Ejercicio El asta de bandera de un barco tiene tres

posiciones en las que puede colocarse una bandera. Suponiendo que el barco lleva cuatro banderas (diferentes) para hacer señales.

a) Cuántas señales diferentes pueden hacerse con una bandera?

b) Cuántas señales diferentes pueden hacerse con dos banderas?

c) Cuántas señales diferentes pueden hacerse con las banderas?

38

Probabilidad

La probabilidad esta comprendida entre 0 y 1 (ambos inclusive) 0 p 1

Probabilidades próximas a uno, indican que:

Probabilidades próximas a cero, indican:

Probabilidades próximas a 0.5, indican que es tan factible que el suceso se produzcan como que no.¿Cuán cerca a estos extremos deben encontrarse una probabilidad para ser considerada grande?.

39

( )A B A B A B

Probabilidad - Conceptos

Evento (no E):

1A A Ley general de adición:

Leyes de Morgan:Hay ciertas propiedades que relacionan la unión, intersección y suceso contrario:

A B A B A B A B

40

Probabilidad – Clasificación

Probabilidad Clásica (Método teórico):

Probabilidad de un Evento =

0

Pro

N deresultados posibles que se presenta el eventoobabilidad de un evento

N total de resultados posibles

41

Reglas de Probabilidad

Ley general de adición para eventos no excluyentes:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

Ejemplo:

Si se toma una sola carta de una baraja, encuentre la probabilidad de que sea roja o figura.

A: evento de carta roja B: evento de figura

P(A) = 26/52 P(B) = 12/52 P(A B) = 6/52 26 12 6 32 8( ) 0.615 61.5%

52 52 52 52 13P A B

42

Reglas de Probabilidad

Ley general de adición para eventos excluyentes:

Si A y B son excluyentes, entonces (A B) = . En este caso, P(A B) = , quedando la regla general de adición: P(AB) = P(A) + P(B)

Probabilidad de no A

Ejemplo: La probabilidad de que un alumno apruebe un curso es de 3/7, ¿Cuál es la probabilidad de que no lo apruebe?.

3 4( ) 1 0.571 57.1%

7 7P A

( ) 1 ( )P A P A

43

Probabilidad bajo Condiciones de IndependenciaDos eventos son estadísticamente independientes, es decir, la presentación de uno de ellos no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro evento.

Ejemplo: sea el experimento de tirar una moneda al aire:

¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda al aire?

P(cara) = 1/2 = 0.5 = 50% probabilidad marginal

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos de una moneda?

P(AB) = P(A) x P(B) probabilidad conjunta

P(AB) = 0.5 x 0.5 = 0.25 = 25%

44

Probabilidad bajo Condiciones de Independencia

¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga cara, dado que el resultado del primero fue cara?.

A evento de obtener cara en el primer lanzamiento

B evento de obtener cara en el segundo lanzamiento

( / ) 0.5 50%P B A

Las palabras claves para identificar estos tipos de problemas son:

....SI....

...DADO QUE ......

Probabilidad condicional

45

Probabilidad bajo Condiciones de Dependencia

La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún suceso depende o se ve afectada por la presentación de algún otro evento.

Durante un estudio de accidentes automovilísticos, la PNP encontró que 60% de los accidentes suceden de noche, 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% presentan de noche y están con conductores ebrios. ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente este relacionado con un conductor alcoholizado, DADO QUE sucedió de noche?

Sea A evento de accidentes de noche y B de conductores ebrios

( ) 0.37( / ) 0.617 61.7%

( ) 0.60

P BAP B A

P A

( )( / )

( )

P BAP B A

P A Probabilidad

condicional

46


En una población de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegido aleatoriamente, tenga problemas cardiacos es de 0.35. La probabilidad de que un paciente con problemas cardiacos sea un fumador es de 0.86. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la población sea fumador y tenga problemas cardiacos?.

Sea A el evento de pacientes con problemas cardiacos y B que sean fumadores

P(A) = 0.35 P(B/A) = 0.86( )

( / ) ( ) ( / ) ( )( )

P BAP B A P BA P B A x P A

P A Probabilidad

conjunta( ) ( / ) ( ) 0.86 0.35 0.301 30.1%P BA P B A x P A x

47


Escaso Promedio Mucho

Escasa 40 8 12 60

Promedio 15 17 18 50

Mucho 5 10 25 40

Total 60 35 55 150

I nteresTotalHabilidad

En una universidad se realiza un estudio para determinar qué relación existe, en caso de haberla, entre la habilidad matemática y el interés por las matemáticas. Se determina la habilidad y el interés de 150 estudiantes, con los resultados siguientes:

De escoger a una persona que tenga escaso interés en las matemáticas?

De seleccionar a una persona con habilidad promedio?

De que una persona tenga mucha habilidad para las matemáticas dado que manifieste mucho interés por esa disciplina?

De que la persona tenga mucho interés en las matemáticas dado que posee una habilidad promedio?

Si se escoge uno de los participantes en el estudio, ¿cuál es la probabilidad...

48

De escoger a una persona que tenga escaso interés en las matemáticas?


Escasa 40 8 12 60


Mucho 5 10 25 40

Total 60 35 55 150


( ) ( ) ( ) ( )E E P MP I P H P H P H Probabilidad marginal

40 15 5 60( ) 0.4 40%

150 150 150 150EP I

49

De seleccionar a una persona con habilidad promedio?


Escasa 40 8 12 60


Mucho 5 10 25 40

Total 60 35 55 150


( ) ( ) ( ) ( )P E P MP H P I P I P I

15 17 18 50( ) 0.333 33.3%

150 150 150 150PP H

50

De que una persona tenga mucha habilidad para las matemáticas dado que manifieste mucho interés por esa disciplina?


Escasa 40 8 12 60


Mucho 5 10 25 40

Total 60 35 55 150


( )( / )

( )M M

M MM

P H IP H I

P I

%4545.05525

150

55150

25

)/( MM IHP

51

De que la persona tenga mucho interés en las matemáticas dado que posee una habilidad promedio?


Escasa 40 8 12 60


Mucho 5 10 25 40

Total 60 35 55 150


( )( / )

( )M P

M PP

P I HP I H

P H

%3636.05018

150

50150

18

)/( PM HIP

Probabilidad Condicional

• “Si el resultado del lanzamiento de un par de dados es una suma par, ¿cuál es la probabilidad de que esta suma sea menor de 5?

• Se ha restringido el espacio muestral a un subconjunto de puntos correspondientes a sumas pares únicamente y se pregunta “¿cuáles de estos puntos posibles representan una suma menor de 5?

• Evento A: x + y sea par• Evento B: x + y < 5

52

( / ) 0.5 50%P B A

La probabilidad se obtiene:

P (B / A ) = N (AB)

N (A)

53

Teorema de la multiplicación

P (AB) = P(A) P(B/A)

“La probabilidad de éxito simultáneo para los eventos A y B es igual a la probabilidad de éxito de A multiplicada por la probabilidad de éxito de B, dado que A ha tenido éxito”

54

Ejemplo

• Una urna contiene 5 canicas similares. Tres son blancas y 2 negras. Se extraen dos de ellas al azar sin reemplazar las que se han obtenido, ¿cuál es la probabilidad de que la primera canica extraída sea blanca y la segunda negra.

P (BN) = P(B) P(N/B)P(B) = 3/5P(N/B) = 2/4 P(BN) = 3/5 (2/4) = 3 / 10

55

• Del problema anterior cuál es la probabilidad de que las dos canicas sean de color diferente.

P(BN) = 3/10 P(NB) = 3/10

Como son eventos mutuamente excluyentes

3/10 + 3/10 = 3/5

56

Se tiene dos cajas. En la caja 1 hay cinco sobre sellados, tres de ellos contienen billetes de 10 soles y dos de ellos billetes de 50 soles.

La caja 2 hay 10 sobres, 7 de ellos contienen billetes de 10 y 3 billetes de 50 soles. Si se selecciona una caja al azar y de ella se toma un sobre ¿cuál es la probabilidad de que contenga un billete de 50 soles.?

57

P (Caja 1) = 1 / 2 y la P de obtener 1 billete de 50 es 2/5

P(C1) = 1 / 2 (2/5) = 1/5Análogamente: P(C2) = 1 / 2 (3/10) = 3/20

Puesto que C1 y C2 son eventos ME, se tiene

P(C1) + P(C2) = 1/5 + 3/20 = 7/20 58

A Clase2 - Probabilidad

Documents

Transcript of A Clase2 - Probabilidad