a. Encuentre la probabilidad de cambiar el dispositivo. b. Repita a. Sí la tercera falla del dispositivo se presenta en el décimo periodo de cheaueo c. ¿Cuál de las dos variables aleatorias asumidas en a. y b. tiene menor variabilidad"/ ¿l'or que/

io. Suponga X, la resistencia a la ruptura de una cuerda (en libras) con distribución normal de parámetros(40, 36). El fabricante tendrá utilidad neta así:

$10 por c/100 pies de alambre si 3 7 < x < 4 5 T(X) = $50 por c/100 pies de alambre si 4 5 < x < 5 1

$25 por c/100 pies de alambre si 51 < x

Halle el valor esperado de la utilidad y su desviación estándar.

17. La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo en órbita, funcione de manera adecuada es de 0.9. Suponga que cinco de estos se colocan en órbita y operan de manera independiente.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos, el 80% funcione adecuadamente? b. Con n=20, responder a. c. ¿Para n=100 cuántos satélites deben funcionar como máximo para tener la probabilidad del

90% de que esto ocurra? I

18. Las averías de máquinas en un taller siguen una distribución de Poisson de media 2 averías por semana. Calcular la probabilidad de:

a. Ninguna avería en una semana b. Menos de cinco en una semana c. Menos de 6 ó más de 10 en un mes.

19. Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de la visita es constante e igual 0.25, y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos:

a. ¿Cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza sea de 0.80?.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que reunir 8 clientes para vender 5 pólizas?

20. La proporción de unidades defectuosas en un proceso de fabricación es una variable aleatoria que se encuentra aproximada por una distribución beta con a =1, 0=20:

a. Gráficar la función de densidad b. ¿Cuál es el valor de la media y de la desviación estándar? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos sea mayor que un 10%? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos sea menor que un 15%? e. ;.Cuál es la probabilidad de aue la orooorción de artículos defectuosos se encuentre entre E(X)±2a

119

21. Para armar un artículo se necesitan 4 etapas. Si el tiempo total necesario para armar un artículo (en horas), es una variable aleatoria con distribución gama y parámetro A=2,

a. ¿Cuál es la probabilidad de armar un artículo en menos de 15 horas? b. Entre 5 y 8 horas? c. Entre el E(x) + a

12. Al encargado de un servicio de automóviles, entre los que se tiene el de lavado, se le paga de acuerdo al numero de vehículos que se atienden para lavado. Suponga que por vehículo se le reconocen $5000, colocando él algunos materiales que para un día de trabajo le cuestan $3500.

a. Obtenga las ganancias esperadas por día, suponiendo que: llegan cada día 5 autos, y la probabilidad de que uno cualquiera llegue para ser lavado es de 0.8.

b. El operario que no lava, pero se encarga de los demás servicios, recibe $15000 por día mas una comisión del 15% según la ganancia del operario que lava. Cuales son las ganancias esperadas de este trabajador?

13. Se especifica que el diámetro exterior de un elemento debe ser de 4 pulgadas. Suponga normalidad del diámetro con parámetros 4 y 0.81 pulgadas; si el diámetro real se diferencia del valor especificado por mas de 0,05 pulgadas pero con menos de 0.08, la perdida del fabricante es de US $50; si el diámetro se diferencia en mas de 0.08 pulgadas del real, la perdida es de US $100. La pieza es vendida en US $300.. Encuentre el valor esperado de la perdida, que es una variable aleatoria.

'.4. Suponga que la temperatura mas alta diaria durante el mes de enero en una aldea rural ha variado uniformemente entre 0o y 5.0°C, según registros anteriores.

a. Que porcentaje de días se puede esperar que alcance una temperatura máxima de 3.5°C? b. No exceda de 1°C?

!5. Suponga que el caudal de un río esta normalmente distribuido con media 7.6m3/seg y desviación estándar 1.5m3/seg

a. Si el 10% del tiempo el caudal no fue suficiente para atender las demandas de irrigación y suministro de agua para consumo público e industrial, establecer ¿cuál fue el caudal mínimo necesario?.

b. Sí las demandas se pueden satisfacer a partir de caudales mayores a 4 m3/seg pero inferiores a 8.5 m3/seg con que probabilidad se pueden cumplir?

!6. El proceso de taladrar agujeros en tarjetas de circuito impreso produce diámetros de 5 mm en promedio y desviación estándar de 0.01 mm. Asumiendo distribución: i)»normal, ii) Gamma, iii) Weibull.

a. Encuentre los límites del 90% en los cuales se podrá tener el diámetro de un determinado agujero.

b. A partir de cuantos milímetros se tendrán el 5% de agujeros defectuosos por ser pequeños ó más grandes.

120

27. En la producción de resistores de 50 ohms, los artículos no defectuosos son aquellos que tienen resistencias entre 45 y 55 ohms, la probabilidad de que un resistor sea defectuoso es de 0.2%. Los resistores se venden en cajas de 100, con la garantía de que ninguno es defectuoso.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de 10 cajas viole ésta garantía? b. Suponga que la garantía es de que máximo tres por caja son defectuosos, en lotes de 10 cajas no

más de 2 cajas pueden incumplir la garantía del lote. Encuentre las probabilidades de las garantías por caja y por lote.

28. Sea X la variable aleatoria número de llamadas que ocurren en una central telefónica hasta que se sobrecarga el sistema, el cual puede recibir un máximo de 10 llamadas. La distribución probabilística de X es Geométrica con parámetro P=0.2.

a. ¿Cuántas llamadas se pueden esperar que sucedan, si se presentan tres fallas del sistema?

b. Determine la variabilidad del evento descrito en a.

121

IV. VECTORES ALEATORIOS í VARIABLES ALEATORIAS N- DIMENSIONALES)

En este capítulo, se amplían los conceptos unidimensionales de variables aleatorias, funciones de probabilidad, densidad y distribución, medidas que ayudan a describir una variable aleatoria, y funciones de variables aleatorias.

DEFINICIÓN

Sean X b X2, ..., Xn variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y sea (XbX2,...,Xn) ó X una función de X,, X2,..., Xn, denominada Variable Aleatoria n - dimensional, o vector aleatorio de orden n, tal que

( X i , X 2 , . . . , X n) = X : Q > Í R n

(wi, W 2 , . . . , W n ) -» (Xj (wl), X2(w2),...,Xn ( W n ) ) = X (w)

NOTACION. X representa el resultado conjunto del experimento aleatorio, en el cual se han observado las n características.

Ejemplo 7

X puede ser:

• (X|, X2,) = (tiempo para fallar circuito 1, tiempo para fallar circuito 2)

• (Xb X2, X3) = (estatura, peso, género de una persona)

• (Xj, X2, X3 X4) = (cantidad de lluvia, temperatura, duración, hora del día)

• (Xh X2, X3, X4 X5) = (grosor, color, resistencia, peso, contenido de potasio en un pedazo de vidrio)

• (X b X2,..., Xn) = (n observaciones de la misma variable)

123

1. CLASES DE VECTORES ALEATORIOS

Al igual que las variables aleatorias, los vectores pueden ser Discretos, conformados por variables aleatorias que toman valores enteros, Continuos si cada una de las n variables toman valores reales, y Mixtos cuando constituyen una mezcla de variables continuas y discretas.

1.1 Vector Aleatorio Discreto

Cuando X toma valores finitos o infinitos enumerables (número contable de valores) se denomina vector aleatorio discreto.

Ejemplo 2

Lanzar dos monedas; X. representa el resultado de la i-ésima moneda es sello, i = 1, 2

, \ . \ , X : Q > tt2

(c c) > (0, 0) = (X, (Wl), X2 (w2)) =((X, (c), X2 (c))

(c s) > (0, 1) = (Xt (c), X2 (s))

(s c) > (1, 0) = (Xt (s), X2 (c))

(ss) > (1, l) = (X 1(s) ,X 2(s))

1.1.1 Funciones de Probabilidad de un Vector Aleatorio Discreto

Un vector aleatorio discreto se caracteriza por su función de probabilidad denominada conjunta, conocida ésta es posible determinar otras funciones de subvectores aleatorios, también llamadas de probabilidad, algunas de las cuales se conocen como marginales mientras otras son condicionales.

1.1.2 Función de Probabilidad Conjunta

Sea X un vector aleatorio discreto, la función de probabilidad conjunta de X, f x , cs definida

por: f x ( x ) : <Rn % , ]

x f x ( x )

124

Con f x ( x ) = f X l X 2 . . . X n (X1 x 2- - - x n) = P ( X l = X1 a X 2 = x 2 a A = x n )

= P ( ñ (Xi=Xi))

Tal que f x cumple las propiedades:

1. f x ( x ) > 0 2. H . . . . . . I f x ( x ) = l — V x

Ejemplo 3

Con base en el ejercicio anterior:

fx = fx,x2 : & >

(0,0) > f x (0,0)=P(X, = 0, X j = 0) = 1/4

(0,1) > fx.x2 (0,1)= = 1 / 4

(1.0 ) > f x ,x 2 ( l>°)= = 1 / 4

(1.1 ) > f X ] X 2 ( l , l ) = = 1 / 4

1.1.3 Función de Probabilidad Marginal

Sea un vector aleatorio n-dimensional X de clase discreta con función de probabilidad conjunta

fxOO.

La función de probabilidad marginal de X b X2 ... Xm , o de X(1) = (Xb X2 ... Xm) subvector aleatorio de dimensión m, m < n , se define como:

f X 1 X 2 - - - X m ( x l > x 2 > - - - x m ) = S I I f x ( x ) = f x ( D ( x 0 ) ) Vxn Vxn_] V x m + 1

tal que cumple las mismas propiedades de la función conjunta de probabilidad f x ( x )

125

Ejemplo 7 7

En el lanzamiento de dos monedas, ejercicios 2 y 3, / x (x) f ^ ) , í x (x2) se puede representar

como en la tabla siguiente:

1 X/Y 0 1 / x

0 1/4 1/4 2/4

1 1/4 1/4 2/4

fy 2/4 2/4 1.0

f x ( x ) = -

fy(y) :

Ejemplo 5

Z fxv(^y) y=0

1 Z fxr i^y) y=0

1 Z fxv(x>y) x=0

1 Z fxY(x>y) x=0

x = 0

X = 1

y = o

y = l

[0 en otro caso

Dos lineas de producción manufacturan cierto tipo de artículos. Suponga que la capacidad (en cualquier día dado) es dos artículos para la línea I y 3 para la línea II. Con base en la tabla adjunta que muestra la distribución de probabilidad conjunta:

a. Obtener las funciones marginales de X, f x (x), e Y , fY (y) b. Calcular P(1 < X < 2, A, 0 < Y < 2). c. Halle la probabilidad de que en la línea I se produzcan más artículos que en la II. d. Encontrar la probabilidad de que se produzcan en total 3 artículos. e. Cuál es la probabilidad de que la línea I produzca más que la línea II dado que se producen en

total 3 artículos.

X = I / Y=II 0 1 2 3 fx 0 0 0.04 0.12 0.09 0.25 1 0.02 0.14 0.21 0.14 0.51 2 0.07 0.06 0.06 0.05 0.24

/ Y 0.09 0.24 0.39 0.28 1.0 %

Solución:

a. Se observa en la tabla anterior como las sumas de los valores de las filas generan las probabilidades de la variable X, lo propio sucede con los valores de las columnas para obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria Y.

126

b. P(1 < X < 2; O <Y < 2)=fxy( 1,0) + fxy (1,1 )=0.04 + 0.14= 0.18 El 18% de la producción fluctúa en la Línea I entre uno y dos artículos y en la Línea II no más de dos artículos.

c. P(X>Y)= fxy(l,0) + fxy(2,0) + fxy(2,l)=0.02 + 0.07 + 0.06= 0.15 En el 15% de los días se produce mas en la Línea I que en la II.

d. P(X+Y=3)= fxy(l,2)+ fxy(2,l) + fxy(0,3)= 0.21 + 0.06 + 0.09= 0.36 La probabilidad de que se produzcan en total 3 artículos es 0.36

e. P(X>Y / X+Y=3)= fxy(2,1) / 0.36= 0.06 / 0.36= 0.1666

1.1.4 Función de Probabilidad Condicional

Sea un vector aleatorio n dimensional de clase discreta con función de probabilidad conjunta fx(x), y con vectores aleatorios X(1) = (X, , X 2 , ... , Xm) y X(2) = (Xm+1 , Xm + 2 , . . . , Xm), (m< n), la función de probabilidad de X f l ) dado el vector X ; : ; se define por:

P F Ñ ( X i = x ) \

f"x(l)/x(2) (x(1) /x ( 2 ) ) -fx1>X2...Xm/Xm+lj...Xn (x l 'x2'---xm /xm+l, •••xn) ~ Vi-1 ¿

pf ñ ( X , = x ) /

fx(2L) f x ( x ) rxnl ,Xn ( X m + l » - - - » X m ) f x

( 2 ) ( x 2 )

con fXm+i.. .Xn ( x m+l' • • x n) = f X ( 2 ) ( x 2 ) > 0 n

y cumple con las propiedades de toda función de prebabilidad.

Ejercicio 6

En el ej ercicio anterior, calcular f x ¡ Y (x / y = 2)

127

Solución:

f x / Y ( x / y = 2 ) = ix/Y (x,2) P(X = x,Y = 2)

fY(2) P(Y = 2)

0.12 0.39

= 0.30769 x = 0

0.21 0.39

0.06 0.39

= 0.53846 x = l

0.15385 x = 2

La interpretación de cualquier valor resultante se puede hacer diciendo por ejemplo en caso del 0.53846 que si se producen 2 unidades en la línea II entonces la probabilidad de que se produzca una sola en la línea I es 0.53846. Equivalente a indicar que en el 53.8% de los días en que se producen dos unidades en la línea II, se produce una en la línea I.

1.2 Vector Aleatorio Continuo

El vector aleatorio (Xl5 X2,... ,Xn)= X es absolutamente continuo sí existe la función g x (x) valorada en los reales tal que cumple:

1- 8 x ( x ) 2 . J J J g x ( x ) d x = l -00 —00 —00

entonces g x (x) es llamada FUNCIÓN DE DENSIDAD CONJUNTA DE Xl5 X2,..., Xn.

Además se verifican las propiedades:

3. p n (a¡ <X£ <b¡) f ; £ f > ( x ) d x Vi=l J

4. P((x,,x2, , x n ) e A ) = JjA j g x ( x ) d x A c J ? "

Ejemplo 7

Sea X un variable aleatoria bidimensional de clase continua conjunción de densidad conjunta

gx( x ) : k 0 < x j <x 2 <1 0 en otro caso

128

a. Encontrar k

1 = £ fi, K d x 2 d x 1 = K j ¡ ( 1 - x O d x ^ K v 2 y

K - 2

b. Calcular P(X2 - X, < 0.2) . A partir de la figura de al lado

P(X2<0.2 + X l ) = f t 2 + X ' 2dx2 dx, + {Q8 ¡lX{ 2dx2 dx,

0.2 0.4 0.6 0.8 T xi

= {00'8 2(0.2 + x 2 - x 1 ) d x 1 + ¿ . 2 ( l - x , ) d x j =0.36

Ejemplo 8

Sean X, Y las proporciones del tiempo en un día de trabajo, que los empleados A y B, respectivamente, se ocupan realmente en hacer sus tareas asignadas. El comportamiento de las frecuencias relativas conjuntas se representan por:

¡ , íx + y 0 < x < 1 0 < y < l g í x ,y) = 10 en otro caso

Calcular:

a. P(X< 1/2,Y> 1/4) = Jn '2 L (x + y ) d y d x = | i

b. P(X + Y<1) = J¡ (x + y)dydx = i

Y=-X+1

Los anteriores resultados indican que:

a. El 32.8% de los días trabajados por los dos empleados se caracterizan por que A trabajo menos de la mitad del tiempo, mientras que B lo hizo durante más de la cuarta parte del tiempo.

b. En uno de cada tres días el tiempo trabajado por A más el trabajado por B corresponde a un día laboral completo.

129

1.2.1 Función de Densidad Marginal

Sea X un vector aleatorio continuo con función de densidad conjunta gx(x); X(1^=(X1,X2,...,Xn) y X'2 =(Xm+1,Xm+2,...,Xn). La función de densidad marginal de Xm+1 Xn se define por:

densidad.

1.2.2 Función de Densidad Condicional

Sea X un vector aleatorio continuo con función de densidad conjunta g x (x) con x e R .

La función de densidad condicional de X( l ,= (Xlv...,Xm) dado el vector X(2) —(Xm+l5 >Xn) es:

Ejemplo 9

Continuando con el ejercicio 8, obtener:

a. La función de densidad marginal de X e Y.

b. Probabilidad de que el trabajador A labore mas de tres cuartas partes del tiempo dado que el B labora mas de la mitad del día.

c. La función de densidad condicional del tiempo laborado por B conociendo el tiempo laborado

(2) f00 f00 f00 (1) m gx(2)(x ) = j i j g x o)( x ) dx - cumple las propiedades de una función de

g x (2) fe'2') > 0 función de densidad marginal de X

por A.

Solución

a. gY(y) = J0 (x + y)dx = y + — 0 < y < l gxW=J0 (x + y)dy 1

= X H 0 < X < 1 2 1

P(Y > 0.5) f1 (1 / 2 + y) dy J J. 5

= 0.325

130

2 W ( x , y ) x + y c. g ^ ( v + x ) = --- — = f 0 < x < l 0 < y < l g x ( x ) x + i

2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCION DE UN VECTOR ALEATORIO

Al igual que en el caso unidimensional, se define la función de distribución de un vector aleatorio, tales funciones pueden ser conjuntas, marginales y condicionales.

2.1 Función de Distribución Conjunta

Sea X un vector aleatorio n-dimensional. La función de distribución conjunta de X se define como:

F X ( X ) = P ( X 1 < X „ A , X 2 < X 2 , A , , A , X N < x n ) = P H X ¡ < x i Ví=i

X , X 2 X n

= 1 1 I fx ( t ) t1=0 t2=0 tn =0

X vector aleatorio discreto

"1 x2 J J | g x ( x ) d x X vector aleatorio continuo

- 0 0 —00 —00

Tal que cumple las propiedades:

1. Lim F x (x) = 0 Algún x—>oo

2 Lim F x (x) - 1 Vx¡-»-00 —

3. La función de distribución marginal del subvector X(1) = (X t , X 2 , X3 , Xn_¡)

L i m F X ( X ) = F Y ( 1 ) ( X ( 1 ) )

a n F x ( x ) 4. XV _ 8x ] x 2 . . . x n

r x i ' X 2 ' - - - x n) X vector aleatorio continuo O Ai CVv2

l l l

5. Sea X vector aleatorio tal que X', < X/', X'2 < X2", , X'n < Xn" => F x (X',, X'2 ,... ,X'n) < F x (X"! , X"2 ,..., X'n) la función de distribución conjunta es

creciente.

Ejemplo 10

Según el ejemplo 5, escribir la función de distribución conjunta.

FXY(x,y) =

0 x< 0 y < 0 0.04 0 < x < l 1 < y < 2 0.16 0 < x 4 l 2 < y < 3 0.25 0< x < 1 3 < y 0.02 1 < x < 2 0< y< 1 0.2 1 < x< 2 1 < y < 2 0.53 1 < x < 2 2 < y < 3 0.76 1 < x < 2 3 < y 0.09 2 < x 0 < y < l 0.33 2 < x 1 < y < 2 0.72 2 < x 2 < y < 3 1.0 2 < x 3 < y

Ejemplo 11

En el ejemplo 7, determine Fx, x2 (xh x2)

0

FX!X2 (x1,*2) = ío1 JxT 2 dx2 dxj = 2 f X2

2

2 X I X N

Xj <0 x2 <0

0<x , <1 0 < x? < 1

1 < x, 1 < x-

2.2 Función de Distribución Condicional

Sea X un vector aleatorio n- dimensional continuo (ó discreto) con función de densidad (ó función de probabilidad) condicional. La función de distribución condicional del vector X ( l ) m- dimensional respecto a X(2> (n - m)-dimensional se define por:

132

/i\ xm+l xm+2 F X ( I ) / X ( 2 ) ( X ( 1 ) / X ( 2 ) ) = E E

x n

•• £ fx«/x(2> Xm+1=0 xm+2=0 xn=0 (x ( 1 ) /x ( 2 )) X ( 1 ) ,X ( 2 ) discretos

xm+l xm+2 j J j gx(I) /x(2)(x (1Vx (2>)dxW X ( 1 ) ,X ( 2 ) continuos

-00 -00

i (2) fx(i) /x(2) ( x w / x ): Función de probabilidad condicional m-dimensional

gx(i) /x(2) íx"') / x ' 2 ' ) : Función de densidad condicional m-dimensional

Ejemplo 12

Del ejemplo 5, ó con base al ejemplo 10, determinar Fx/y (x/2).

0 x < 0

0 ^ _ 0 . 1 6 P (X<0 ,Y<2) 0.72 P(Y < 2)

0 < x < 1

F x / y (X /2 ) = - 0 O 5 _ 0 . 5 3 _ P ( X < l , Y < 2 ) 0.72 P(Y < 2)

1 < x < 2

1 0.72 P(X < 0, Y < 2) 0.72 P(Y < 2)

2 < x

Ejemplo 13

Una estación de gasolina se abastece del combustible cada determinado. Sea X la proporción de la capacidad del tanque disponible con gasolina, la cual varía semana a semana debido al suministro limitado. Sea Y la proporción de la capacidad del tanque medida durante la semana. Un modelo que resume la situación en torno a X y Y está dado por:

gxY<Xy) = |3x 0 < y < x <1

en otro caso

a. Verifique que gXY (x,y) es función de densidad.

b. Hallar las funciones marginales de X y Y.

c. Calcular P(X < 0.5 , Y > %).

133

d.

e.

f.

Determine la función de distribución conjunta de X y Y.

Determine gx/yí^Y)-

Encuentre Fx/Y(x/y).

Solución:

a- ío Jo 3 x d y d x = 1

b. g x ( x ) = J0X 3 xdy = 3x2 0 < x < 1. Se verifica L 3x2 dx = 1

gv(y) = Jy 3xdx = | ( l - y 2 ) 0< y < 1. Se cumple Jq | ( l - y 2 ) d y = l

c. Conbase en la figura, P(X<0.5,Y >1/4)= r ~ I ' 3xdydy= j ^ 2 3x(x- l /4)dx = 0.039

d. F x y (x ,y) = JQy | 3x dy dx = - 2 y x y -

3

o íw \r\ ^v 1 CAI J ' e. v/A) = ' = — - = — 0 < y < x g x (x ) 3x" x

f- F Y / x ( y / x ) = í ' g Y / x ( y / x ) d y = f ~ d y =

y < 0

y 0 < y < x

1 x < y

1

0.5-% — -

Y=X " T

1

Ejemplo 14

Suponga la función de densidad de la variable aleatoria bidimensional (X, Y) dada por:

,2 , xy

gxv(x>y) :

Calcular:

x " + — 0 < x < l 3

0 < y < 2 en otro caso

a. P(X >1/2) b. P(Y <X) c. P(Y < 1/2/X < 1/2)

134

Solución:

a. g x ( x ) = j ; i x 2+ f dy = 2x2 + - X 0 < x < l ó J i

1 ^ Í2X2 +

2 ^ l 3

dx =0.833

b. P(Y <X) = ¡1 J0X (x 2 +xy/3))dydx = jJ r 3 \

3 X X + — dX:

24

c. P Y < — / X < — | = Jo

2 / 2 J

1 / v O ío 2 ío 2 gxv(x,y)dydx 1 / 2 _ ? 2x í' 2x + — d x JO T

f 1 / 2 f l / 2 [ 2 X V I . , f i

ío ío x + T d y d x = ío f l / 2 2 xy

1/2 Z' 1 A x x 2 24 , v y

dx = -192

3. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS

Sea un vector aleatorio n- dimensional, se dice que las variables aleatorias (continuas o discretas) que lo conforman son estocásticamente independientes si y sólo si:

K f x ( x ) = n f X i (* i )

i=l K

i=l

K Fx(x) = n FXi(Xi)

i=l

V x , , x 2 , . . . x n discretas

gx(x) = n g X j ( x i ) V x , , x 2 , . . . x n continuas

V x l , x 2 , . . . x n discretas o continuas

NOTA 1. De lo anterior, se pueden verificar para el caso bidimensional los siguientes resultados de funciones de probabilidad, densidad y distribución condicionales y extensivos a n - dimensiones:

- fx/Y (x ! Y) = fx(x)

135

- gx/y(x>y) = gx(x)

- FX/Y(x / y) = F x (x)

Ejemplo 15

Un experimento tiene K resultados mutuamente excluyentes, cada uno con probabilidades Pi, i = 1,2,...., K ; X Pi = 1. El experimento se repite n veces, en forma independiente una de otra.

Solución:

Sea X¡: variable aleatoria que indica el número de veces que ocurre el resultado i, en las n repeticiones.

Siendo las k variables independientes, es posible escribir la función de probabilidad conjunta como el producto de las funciones marginales, las cuales son binomiales, generando el modelo que aparece abajo.

X¡ = 0,1,2,..., n ¿ X , = l i=l

f x , x 2 . . . x k ( x i v - x k ) - - ^ n p ¡ x '

[ x .i 1=0 (Modelo Multinomial) i=o

Las variables aleatorias X¡ pueden ser categorías de estaturas, clases de elementos reconocidos por determinada modalidad, etc. Lea el siguiente ejemplo.

Ejemplo 16

El número de llamadas telefónicas que se realizan diariamente entre las 7 y las 8am en una empresa es una variable aleatoria con distribución Poisson con parámetros A,k = 8.

a. Encuentre la función de probabilidad conjunta .

b. Si se han producido en la semana 15 llamadas entre las 7 y las 8 de la mañana. Cuál es la probabilidad de que en los tres primeros días se hayan producido cada día 2 llamadas, 4 llamadas en el cuarto día y 5 en el quinto día?

c. Si la probabilidad de que ocurra una llamada entre las 7y las 8 am los lunes y miércoles es de 0.4, los martes y los jueves 0.7 y los viernes de 0.4 . Encuentre la probabilidad que de 15 llamadas semanales 2 sean en cada uno de los 3 primeros días, 4 el jueves y 5 el viernes.

136

Solución:

Sea Xi = # de llamadas que se reciben en el día i

a. P

5 Z X¡

R x i = x i = n P C X i = x I ) = n = ^ x = 0,1,2, i=l i=l x,: n (x o

i-l

-40/on5 b. P(X, = 2,X2 = 2,X3 = 22, X4 =4 ,X 5 =5) = — ^ = 6.35*10~9

(2!)J *4!*5!

c. P(X, = 2,X2 = 2,X3 = 22,X4 =4, X5 = 5) =

15!

' 15 ^

v2 2 2 4 5y *0.12 *0.72 *0.12 *0.74 *0.45

(2!)3 4! 5! (O.l)4 0.76 0.45 =0.00372

Ejemplo 17

Verificar sí son o no independientes, las variables del ejercicio 5.

Como fX Y(l, 1) = f x (1) fY (1) 0.14 ^ 0.51 * 0.24 = 0.1224 por lo tanto X, Y no son independientes.

Ejemplo 18

Un dispositivo electrónico está formado por 2 circuitos integrados. Para que el dispositivo funcione exitosamente es necesario que cada uno de los circuitos funcione correctamente durante 2 minutos. Los dos circuitos funcionan independientemente.

Sean:

X : El tiempo para fallar el primer circuito X ~ Ex (a)

Y : El tiempo para fallar el segundo circuito Y ~ Ex (f3)

La probabilidad de que el dispositivo funcione con éxito es:

P(X>2, Y>2)=e"2a c 2 p = e"2(a+(3)

137

Ejemplo 7 7

Verificar sí son o no independientes, las variables del ejercicio 14.

gXY (x,y) = x 2 + y * g x (x) g Y (y) :

Siendo g Y (y)=Jo x 2 + " Y d y = 3 + f

2x2 H — X

3 6 2xz 2xzy 2x xy + — + — + -—

3 6 9 9

Las variables no son independientes.

1. DISTRIBUCIÓN DE FUNCIONES DE VECTORES Y SUBVECTORES ALEATORIOS

En este aparte se continua el esquema del tratamiento univariado y luego el multivariado de variables aleatorias aplicado a las funciones aleatorias.

DEFINICIÓN

Dadas X[ , X2 ,..., Xn sucesión de variables aleatorias (X) y siendo las funciones de variables ileatorias (Y, , Y2 ,...,Yk)=H(X)=Y. Entonces, Y es un vector aleatorio k-dimensional ó función deatoria de k particiones de X, tal que

H(X)=Y:

( x 1 , x 2 , . . . x n ) = x ^ Y = H(X) = (H(x ( 1 )) ,H(x ( 2 )) , ,H(x ( k ))) = (Y1,Y2> Y k ) = Y

donde x(1), x ( 2 ) , ,x (k ) son valores de las particiones X(1),X(2), ,X(k) tal que

X(i) : Q por tanto Y j, Y 2 , Y k son subvectores aleatorios.

Ejemplo 20

Sea un vector aleatorio n-dimensional tal que:

a. X(1) = X tal que H(X(1)) = máx (X)

X ( 2 ) = X tal que H(X (2)) = min (X)

X(3) = X tal que H(X(3)) = rango (X)

138

b. X ( 1 ) = ( X 1 ; X 2 , Xn , ) talqueH(X ( 1 )) = I X¡ i=l

X (2 ) =(X 1 ,X 2 , X n J t a l q u e H ( X ( 2 ) ) = £ X, i=l

X (3) = (X,, X 2 , X n ) tal que H(X (3 )) = ¿ X2

i=l

Ejemplo 21

Al lanzar un dado dos veces, se consideran las variables aleatorias:

X¡: Resultado del lanzamiento i, i= 1, 2

Un jugador gana dos puntos si sale en un lanzamiento el resultado 5 o el 6, de otra manera pierde un punto. El resultado de los lanzamientos del dado puede ser par o impar, Y p y los puntos ganados al tener en cuenta los dos lanzamientos, Y . Las anteriores características se pueden expresar como funciones aleatorias de X¡ tal que:

X = ( X 1 , X 2 ) : Q ^ ^ 2 Y=[Hi(X),H2(X)] > ki d o n d e

( w 1 , w 2 ) ^ - ( x 1 , x 2 ) -> (y1 ;y2) (1,1) ->(1 ,1) (1 , -2 )

Y2 =

0 si (x, + x 2 ) es impar [ 1 s i ( x , + x 2 ) e s p a r

- 2 si (x, + x2) £ {(x, + x2) / x, * 5 ó 6, x2 * 5 ó 6}

+1 si (x, + x2) e {(x, + x2) / x, = 5 ó 6, x2 = 5 ó 6, x, # x2

+ 4 si (x, + x2) e {(x, + ;c2) / x, = x2 = 5 ó 6 }

Ejemplo 22

Sea un vector aleatorio unidimensional X, entonces

H(X) = Y : n 3

x ^ - ( x , x 2 , x 3 ) = (y! ,y 2 ,y 3 )

139

4.1 Función de Probabil idad Conjunta de Funciones de Variables Aleatorias

Sea H(X) una función aleatoria discreta. La función conjunta de probabilidad de H(X) esta dada por:

f H ( x ) ( H ( x ) ) = f x ( y ) = P(Y! = y l f Y2 = y2 > Yk = y k ) =

= P(X(1) = H"1 (Yl ) , X(2) = H"1 (y2) , X (k ) = H"1 (y, ) )

donde H_1(y¡) son valores del espacio medible de X

4.2 Función de Probabil idad Marginal de una Función de Variables Aleatorias

A partir de la función de probabilidad conjunta fH ( X )(H(x)) = f Y (y) se define la función de probabilidad marginal de una función de variables aleatorias a

f H C x( 1 ) ) ( H ^ ( I ) » = f Y i ( y i ) = S £ fY(y) Vy2 Vyk

Ejemplo 23

A partir del ejercicio 21, la función de probabilidad conjunta se construye así:

H(X) = H(X„X 2 ) :9 í 2

( l , l ) -> (1,-2)->1/36

(4.5)-> (0,1)->1/36

(6.6)->(1,4)->1/36

Obsérvese que como en el caso univariado, las funciones de probabilidad marginales de H(Xn)) y H(X<2') son los valores que aparecen en la última fila y columna respectivamente.

P(YI= YI, Y 2= y2)=fYiY2(yi, y?) Yi Y2 fvi Yi -2 1 4 fvi

0 8/36 8/36 2/36 1/2 1 8/36 8/36 2/36 1/2

FY2 4/9 4/9 1/9 1.0

Ejemplo 7 7

Sea el vector aleatorio X tal que: H(X): R5 -> R3 H ( - ( 0 ) > R3

(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ) (x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ) > (Yp Y2, Y3)

X(1) = (X b X2), X(2) = X3> X(3) = (X4, X5), entonces:

- H(X(1)) = Y1=(X1+X2, Xl - X2): R -> R2

- H(X(2)) = Y2= X33 : R R

- H(X<3>) = Y3=( ex4+x5, X4 , X5): R2 R3

TEOREMA 1

Sea X un vector aleatorio n-dimensional continuo con función de densidad g x (x) y sea Y=H(X) : Rn -» Rn tal que:

- H(X) tiene inversa, es decir H"1 (X) = x

- Las derivadas parciales de H(X) son continuas

- Existe J = 5 H ^, tal que para J^Q entonces g H ( x ) (H(x)) = g x (H~* (x)) | j| 1 es la función H(X)

de densidad de H(X).

NOTA 1. Sea una función de un vector aleatorio H(X) = (H(X(1)), H(X(1))). La función de densidad marginal de H(X(1)) dada H(X(2)) se escribe como:

i M i . . ( 1 ) W / T I , „ ( 2 K _ gHCX)(H(x)) SH(X<2)) (H(x )

NOTA 2. Se desea encontrar la Función de Distribución de Y_= H (X) = (Y! , Y2 ,..., Yk) •

Si la función de densidad conjunta de X es conocida, entonces es posible encontrar la conjunta de Y, con base en el teorema anterior, y de ahí determinar la función de distribución la cual satisface:

Fy(y) = P ( Y 1 < y 1 , Y 2 < y 2 , , Y k < y k )

= P ( H 1 ( X ) < y 1 ; H 2 ( X ) < y 2 ; . . . , H k ( X ) < y k ) Y i ^ - Y k e &

FH(x)(H(x)) = (_y¿ gH ( X )(H(x))dH(x)

141

Ejemplo 7 7

Sea el vector aleatorio continuo X=(Xb X2, X3), con función de densidad

gx(x) = e"Z'=i Xl X l > 0 i = 1,2,3

Si H(X) = Y = (Yj , Y2 , Y3 ) tal que

H ( X ^ ) = Yj = X j +X 2 +X 3 , H(X(2)) = Y2 =X 2 , H(X(3)) = Y3 =X 3 entonces

H"1(X) = (H~1(X (1)),H"1(X (2)),H"1(X (3)) equivalente a

Y 1 = X 1 + X 2 + X 3 de donde Xj = Y j - ( X 2 +X 3 ) = Y t - ( Y 2 + Y3)

Y2

Y3

M=

= x 2 ó X2 =Y2

= x 3 ó x 3 = Y3

ax . OX, ex . SY, 5Y2 5Y3

5H"'(X) 0X2 dX2 SX2

SH(X) OY, dY2 5Y3

CX3 dX3 ax 3

oY, 8Y2 5Y3

i - i - i 0 + 1 0 0 0 + 1

: 1 . Por tanto, la función de

densidad de H(X) es

8 H ( X ) ( H ( X ) ) = j e'yi {(yi, y2vy3 ) / (yi - (y2+ys ) > o, y2 > o, ys > o í

en otro caso

y la función marginal de H(X"') es:

gHea) )(HQC (1))) = {0yi í f " y 2 e"yidy3 dy2 = I y ? e"» y, >0

DEFINICION

Sea X un vector aleatorio y (X ( 1 > ,X ( 2 \ . . . ,X ( k )) k particiones de X, tales particiones son

independientes si [(X^1')]" son clases independientes.

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