A l e j o G o n z á l e z C r i a d o · 2020. 2. 6. · 209 5.7.- Vectores libres en el Espacio...

Todo Matemáticas

Volumen 5

G e o m e t r í a A n a l í t i c a

A l e j o G o n z á l e z C r i a d o Profesor Numerario de Matemáticas

2

Destinado a

El Fígaro autodidacta:

Todo aquel que albergue algún

interés por las Matemáticas y disfrute con su estudio.

Obra completa:

Formación básica,

Formación nivel medio

Formación nivel alto

© 𝐸𝑙 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑟: 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑜 𝐺𝑜𝑛𝑧á𝑙𝑒𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜

Figuras y gráficos del autor

Edita: El Autor

Nueva edición Octubre 2019

Editado en España

ISBN:

Depósito Legal:

Derechos reservados:

Prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin

autorización del autor.

Todo Matemáticas, Vol.5 Geometría Analítica

3

4

VOLUMEN 5

Geometría Analítica en el Plano y en el

Espacio. Vectores fijos, vectores libre.

Espacios Vectoriales


5

6

ÍNDICE

pág.

Tema 1 Introducción a la Geometría Analítica en el Plano

21 1.1.- Sistema de Referencia Cartesiano en el Plano.

Coordenadas de un punto

22 1.2.- Recordatorio de la Trigonometría en el Plano

26 1.3.- Vectores fijos en el Plano. Operaciones básicas

29 1.4.- Producto Escalar de dos vectores

Tema 2 Geometría Analítica en el Plano

35 2.1.- Ecuación de la recta en el Plano. Sus tipos

40 2.2.- Distancias en el Plano

2.2.1.- Distancia entre dos puntos

41 2.2.2.- Distancia desde un punto a una recta

44 2.2.3.- Distancia d(P,r), r: Ax+By+C = 0

45 2.2.4.- Distancia entre dos rectas

45 2.3.- Posición relativa de dos rectas

2.3.1.- Paralelismo y perpendicularidad

49 2.3.2.- Ángulo formado por dos rectas

50 2.4.- Bisectrices de los ángulos formados por dos

rectas.

53 2.5.- Estudio de la Circunferencia

2.5.1.- Ecuaciones

55 2.5.2.- Posición relativa entre recta y circunferencia


7

56 2.5.3.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia

60 2.5.4.- Eje radical de dos circunferencias

63 2.5.5.- Centro radical de tres circunferencias

64 2.5.6.- Construcción geométrica del eje radical

68 2.5.7.- Tangentes a la circunferencia desde un punto P exterior.

70 2.6.- Haz de rectas

2.7.- Estudio del triángulo

71 2.7.1.- Medianas. Cálculo del Baricentro.

Teorema de las medianas.

76 2.7.2.- Mediatrices. Cálculo del circuncentro.

79 2.7.3.- Alturas. Cálculo del Ortocentro.

82 2.7.4.- Bisectrices. Cálculo del Incentro.

86 2.7.5.- Caso del Triángulo rectángulo.

2.8.- Cónicas: Estudio completo

89 2.8.1.- Elipse

96 2.8.2.- Hipérbola

103 2.8.3.- Parábola

113 ACTIVIDADES y Problemas

Tema 3 Introducción a la Geometría Analítica

en el Espacio

125 3.1.- Sistema de Referencia Cartesiano en el Espacio.


126 3.2.- Vectores fijos en el Espacio. Operaciones básicas

129 3.3.- Producto Escalar de dos vectores en el espacio

131 3.4.- Sistema de referencia orgonal. Sistema de referencia

8

ortonormal

Tema 4 Geometría Analítica en el Espacio

135 4.1.- La recta y el plano en el Espacio

138 4.2.- Ecuación del plano en el Espacio. Sus tipos

141 4.3.- Posición relativa entre dos planos

145 4.4.- Posición relativa de tres planos

146 4.5.- Ecuación de la recta en el Espacio. Sus tipos

148 4.6.- Posición relativa entre recta y plano

153 4.7.- Posición relativa entre dos rectas Ejemplos/Problemas

157 4.8.- Distancias en el Espacio

157 4.8.1.- Distancia entre dos puntos

157 4.8.2.- Distancia desde un punto a recta

161 4.8.3.- Distancia desde un punto a plano

164 4.8.4.- Distancia desde el origen a un Plano

168 4.8.5.- Distancia entre dos planos

169 4.8.6.- Distancia desde una recta a plano

170 4.8.7.- Distancia entre dos rectas

173 4.9.- Haz de planos

175 ACTIVIDADES y Problemas resueltos

Tema 5 Vectores libres. Espacios Vectoriales

199 5.1.- Vectores fijos en el Plano. Operaciones básicas


9

200 5.2.- Vectores libres en el Plano

202 5.3.- Operaciones básicas con vectores libres.

Estructura de Espacio vectorial V2

204 5.4.- Dependencia e Independencia lineal de vectores en V2

206 5.5.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.

Bases en V2

207 5.6.- Vectores fijos en el Espacio

209 5.7.- Vectores libres en el Espacio

211 5.8.- Operaciones básicas con vectores libres.


212 5.9.- Dependencia e Independencia lineal de vectores en V3

213 5.10.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.

Bases en V3

214 5.11.- Producto Escalar de dos vectores en V3: Generalización

215 5.12.- Producto Escalar ordinario Sistema de Referencia

ortogonal. Sistema de Referencia ortonormal

218 5.13.- Producto Vectorial de dos vectores.

Propiedades del Producto vectorial

221 5.14.- Interpretación geométrica del producto vectorial.

Cálculo de áreas

222 5.15.- Producto Mixto de tres vectores. Propiedades del

producto mixto. Expresión en coordenadas coordenadas

224 5.16.- Interpretación geométrica del producto mixto.

Aplicación al Cálculo de Volúmenes. Ejemplos

229 ACTIVIDADES y Problemas

10

Tema 6 Espacio Vectorial de dimensión n

233 6.1.- Estructura de Espacio vectorial en Rn

234 6.2.- Base canónica en Vn

235 6.3.- Dependencia e Independencia lineal

238 6.4.- Sistema libre, Sistema generador

239 6.5.- Bases de un Espacio vectorial. Dimensión de Vn

240 6.6.- Extracción de un Sistema libre. Ejemplos

242 6.7.- Cómo obtener las coordenadas de un vector respecto

de una base. Ejemplos

243 6.8.- Cambio de base. Ejemplos

Tema 7 Ampliación y Aplicación de la Trigonometría

253 7.1.- Razones trigonométricas de Suma/Resta de ángulos

255 7.2.- Fórmula del Producto de r.t.

256 7.3.- Fórmula de la Suma/Resta de r.t.

256 7.4.- Teorema de los senos

258 7.5.- Teorema del coseno

260 7.6.- Resolución de Triángulos. Cálculo de áreas

263 7.7.- Aplicación al Cálculo del Área de un triángulo

267 APÉNDICE I: Suplemento Geometría Analítica en el plano

Ortogonalidad, Ecuación segmentaria, Cosenos directores,

Distancias, …


11

277 APÉNDICE II: Suplemento Geometría Analítica en el Espacio

Ecuación segmentaria, Plano dados tres puntos, Cosenos

directores, Distancias, Ángulos, Las rectas en el espacio,

Cálculo de áreas, Cálculo de volúmenes.

307 PROBLEMAS resueltos:

307 -Geometría y método vectorial

317 -De Trigonometría

322 -Problemas métricos en el Plano

326 -Problemas sobre la Circunferencia

333 -Problemas sobre Cónicas

345 -De Números complejos

347 COLECCIÓN de Problemas geométricos propuestos y con

indicación del resultado: De figuras geométricas, De Espacios

vectoriales.

393 CONSTRUCCIÓN con Regla y Compás: Triángulo, Hexágo,

Pentágono.

399 BIBLIOGRAFÍA

403 Notación y nomenclatura. Valores

12

Tema 1

Introducción a la Geometría Analítica en el plano


13

14

1.1.- Sistema de Referencia cartesiano en el plano.


Observa la figura

Fijamos dos rectas ox y oy, perpendiculares entre sí, y fijamos como

origen para la toma de medidas el punto O, corte de estas dos rectas.

El Sistema de referencia está formado por la terna R(ox,oy;O).

Ox la llamamos “eje de abscisas”, oy la llamamos “eje de ordenadas”,

O es el origen.

Coordenadas de un punto:

Marcamos un punto P del plano y por él trazamos dos rectas; la recta r1

paralela a oy, la recta r2 paralela a ox. La recta r1 corta a ox en un punto

P1, y r2 corta a oy en un punto P2.

El segmento OP1 tiene su medida x1, y el segmento OP2 tiene también

su medida x2.


15

Llamamos “coordenadas de P” al par (x1 , x2), en el Sistema de

referencia fijado.

Al valor x1 lo llamamos ‘abscisa’ de P, al valor x2 lo llamamos

‘ordenada’ de P.

1.2.- Iniciación a la Trigonometría, o Recordatorio

Observa la figura

Los dos triángulos son semejantes por tener los tres ángulos iguales, y

por tanto b/r = b’/r’, a/r = a’/r’ . Por otro lado, si el triángulo es

rectángulo es suficiente dar el ángulo v, puesto que el ángulo en B vale

90º-v. Esto nos dice que los valores b/r y a/r dependen solo del ángulo v.

Por tanto permite definir las ‘razones’ a/r, b/r en función de v, dándoles

nombre como sigue:

16

seno de v = 𝑏

𝑟

coseno de v = 𝑎

𝑟

A partir de estas definimos también

tangente de v = 𝑏

𝑎 =

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜

cotangente de v = 𝑎

𝑏 =


𝑠𝑒𝑛𝑜

secante de v = 𝑟

𝑎 =

1


cosecante de v = 𝑟

𝑏 =

1

𝑠𝑒𝑛𝑜

La notación convenida en matemáticas es la siguiente:

sen(v) = 𝑏

𝑟 , cos(v) =

𝑎

𝑟

tan(v) = 𝑠𝑒𝑛(𝑣)

cos (𝑣) , cota(v)=

𝑐𝑜𝑠(𝑣)

sen(𝑣)

sec(v) = 1

cos (𝑣) 1/cos(v), cose(v)=

1

sen(𝑣)

En la práctica procedemos como sigue:

Tomo una circunferencia con centro en O y radio r. En la circunferencia

marco un punto P, y trazo desde O una semirrecta que cortará a la

circunferencia en el punto P. Por P trazo una paralela a ox, que cortará a

oy determinando el segmento b. Por P trazo una paralela a oy, que

cortará a ox determinando el segmento a.


17

Def.:

Si llamamos u al ángulo que forman la semirrecta +ox y la semirrecta

determinada por OP, definimos:

Cos(u) = 𝑎

𝑟 , Sen(u )=

𝑏

𝑟

Y tomando estas definimos: tan(u), cota(u), sec(u), cose(u), como vimos

más arriba.

NOTA: Si u > 360º debemos hacer lo siguiente:

Divido u entre 360 y me quedo con u = resto de esta división.

Si el ángulo u viene ddado en radianes y u > 2.pi, hacemos lo mismo: u

dividido entre 2.pi y tomo u = resto.

Observa gráficamente lo que esto significa.

18

Propiedades Muy importantes:

Teniendo en cuenta el Teorema de Pitágoras el alumno será capaz de

comprobar (demostrar) las siguientes igualdades, para cualquier ángulo

v:

sen2(v) + cos

2(v) = 1

1 + tan2(v) = sec

2(v)

1 + cota2(v) = cose

2(v)

IMPORTANTE:

La medida del ángulo v se obtiene trazando un arco desde cualquier

pundo del semieje +ox, girando en sentido contrario a las agujas del

reloj, hasta encontrarse con la semirecta que pasa por P. Por convenio,

haciéndolo así el valor de v es positivo. Cuando giramos en el mismo

sentido de las agujas del reloj el valor de v es negativo.

Para el signo de los segmentos a, b, tenemos en cuenta lo que ya

debemos sabe:

Por el eje ox: Partiendo de O hacia derecha es positivo, hacia la

izquierda es negativo.

Por el eje oy: Partiendo de O hacia arriba es positivo, hacia abajo

es negativo.

Algunos valores más frecuentes:

cos(0º) = 1 , sen(0º) = 0

cos(30º) = √3

2 , sen(30º =

1

2

Cos(45º) = √2

2 , sen(45º) =

√2

2


19

Cos(60º) = 1

2 , sen(60º) =

√3

2

Cos(90º) = 0, sen(90º) = 1

Cos(180º = -1, sen(180º) = 0

Cos(270º) = 0, sen(270º) = -1

Cos(360º) = 1, sen(360º) = 0

1.3.- Vectores fijos en el Plano. Operaciones básicas.

Si no decimos otra cosa supondremos que tenemos en el plano un

Sistema de referencia cartesiano (sus ejes son perpendiculares entre sí).

¿Qué es un vector?

Observa las siguientes figuras

20

Dados dos puntos P(x1,y1), Q(x2,y2), tenemos el segmento PQ, sin

especificar si lo recorremos de P a Q o de Q a P.

Pero si convenimos que la distancia PQ hemos de recorrerla desde P

hasta Q tenemos el vector v= PQ, y si lo hacemos desde Q hasta P

tenemos el vector w= QP. A éste lo podemos llamar ‘el opuesto de v

(hemos hecho el recorrido en sentido contrario).

Observa: Un vector es un ‘segmento orientado’.

A los valores

a = x2-x1, b = y2-y1

los llamaremos ‘componentes’ del vector, y a ‘v’ lo llamamos ‘vector

fijo’ en el plano.

Escribiremos indistintamente

v = (x2-x1 ; y2-y1) ó v = (a,b)

A veces indicamos la orientación mediante flecha ---> que va desde P

hasta Q (ver gráfico).

Para el vector opuesto w= QP tenemos:

a’ = x1-x2, b’ = y1-y2

Observa que a’ y b’ son los opuestos de a y b, y diremos que w = (a’, b’)

es el ‘vector opuesto’ de v.

Módulo de v:

Es la longitud del segmento PQ, y lo designamos por /v/, o por mod(v).

Si tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras tenemos:


21

mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2 , o bien |𝑣| = √𝑎2 + 𝑏2

Proporcionalidad:

Si w = PR es otro vector tal que w = t.v, donde t es un valor real,

decimos que w es proporcional a v, con razón de proporcionalidad t.

Si t > 0, w tiene la misma orientación que v.

Si t < 0, w tiene orientación opuesta a la de v.

Se cumple: abs(t) = |w|

|𝑣| , donde abs(t) indica el valor absoluto de t.

Operaciones Básicas con vectores

Si los vectores no tienen el mismo punto origen, entonces trasladamos

uno de los dos hasta el punto origen del otro. La traslación la hacemos

manteniéndolo paralelo a sí mismo.

22

Suma/Resta:

Si v = (a,b), w = (a’,b’), su suma es

v+w = (a+a’,b+b’) y su resta: v-w = (a-a’; b-b’)

Producto por escalar:

Dados un vector v y un valor real t (llamado escalar), obtenemos otro

vector, designado por t.v, como sigue:

t.v = t.(a,b) = (t.a,t.b),

donde t es un valor real cualquiera.

Hemos multiplicado por t cada componente.

1.4.- Producto escalar de dos vectores

Observa la figura

Def.:

Llamamos “Producto escalar”, designado por v*w, al valor real

obtenido como sigue:

v*w = /v/./w/.cos(v^w)

donde v^w representa el ángulo formado por v y w (recorrido desde v

hasta w en sentido contrario al reloj).

Observa:

a)Si el ángulo g = (v^w) es de 90º, entonces cos(g) = 0, y por tanto

v*w = 0

b)Si el ángulo g es 0º entonces cos(g) =1, y por tanto: v*w = /v/./w/


23

Producto escalar en un sistema de referencia ortonormal

Ya hemos dicho que el sistema de referencia en el que trabajamos tiene

sus ejes perpendiculares entre sí, y lo llamamos ‘Ortogonal’.

Sobre el eje 0x tomo el vector e1, con origen en 0 y con módulo /e1/ =

1. Sobre el eje 0y tomo el vector e2, con origen en 0 y módulo /e2/ = 1.

Diremos que {e1,e2} es una ‘base’ de los vectores en el plano, ya que

cualquier otro vector v se puede expresar de forma única así:

v = a.e1 + b.e2, donde a y b son sus componentes.

Los vectores e1 y e2 forman ángulo de 90º y por tanto: e1*e2 = 0.

Decimos que son ortogonales, y que la base {e1,e2} es una ‘base

24

ortogonal’, que además es y también ‘ortonormal’ por cumplirse /e1/ =

/e2/ = 1.

Vamos a probar que en una base ortonormal se cumple:

v*w = a.a’ + b.b’

Si tenemos v = (a,b) y w = (a’,b’), al hacer el producto escalar tengo

(a.e1+b.e2)*(a’.e1+b’.e2) = aplicando la propiedad distributiva

= (a.e1)*(a’.e1 + b’.e2) + (b.e2)*(a’.e1 + b’.e2) = aplicando otra vez la

propiedad distributiva

= (a.e1)*(a’.e1) +(a.e1)*(b’.e2) + (b.e2)*(a’.e1) + (b.e2)*(b’.e2) =

= (a.a’).(e1*e1) + (a.b’).(e1*e2) + (b.a’).(e1*e2) + (b.b’).(e2*2) =

(recordamos que ei.ei=1, ei.ej = 0)

= a.a’ + b.b’.

Conclusión:

En un sistema de referencia ortonormal:

(a,b)*(a’,b’) = a.a’ + b.b’

$$$$oOo$$$$


25

26

Tema 2

Geometría Analítica en el plano


27

28

2.1.- Ecuación de la Recta en el Plano. Sus tipos

Ecuación cartesiana

Una recta r queda determinada, evidentemente, por dos cualesquiera de

sus puntos. Por estos dos puntos sólo pasa una recta.

Observa la figura

Fijamos dos puntos P(x1, y1), Q(x2, y2) de la recta.

Sea R(x, y) otro punto cualquiera de la misma. La paralela a 0x por P y

la paralela a 0y por Q se cortan en un A(x2, y1), y la paralela a 0x por P

y la paralela a 0y por R se cortan en B(x, y1).


29

Los triángulos PAQ y PBR son semejantes, y por tanto sus lados son

proporcionales, por lo cual se cumple:

AQ

BR=

PA

PB , es decir:

y2−y1

y−y1=

x2−x1

x−x1

de donde, invirtiendo las fracciones:

y−y1

y2−y1=

x−x1

x2−x1 (1)

de donde:

y – y1 = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 . (𝑥 − 𝑥1) (1’)

(Ecuación de la recta que pasa por dos puntos)

Ecuación Punto-pendiente

El valor

m =y2−y1

x2−x1

lo llamamos pendiente de la recta, y coincide con el valor tan(g) del

ángulo g que forma la recta con el eje ox.

La ecuación (1) podemos escribirla en la forma:

(y-y1) = m.(x-x1) (2)

(Ecuación ‘punto-pendiente)

Operando tenemos:

y = y1 + m.x -m.x1 (3)

y = m.x + (y1-m.x1) (3)’

30

Si volvemos a la ecuación

y – y1 = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 . (𝑥 − 𝑥1)

quitando denominadores llegamos a una expresión de la forma:

A.x + B.y + C = 0 (4)

(E. general de la recta)

donde

A = -(y2-y1), B =(x2-x1),

C = x1.(y2-y1)-y1.(x2-x1)

C = -x1.A – y1.B

C = -(A.x1 + B.y1)

Observa que al despejar la variable ‘y’ de la ecuación (4) tenemos

y = -A/B.x –C/B, de donde m = -A/B (pendiente)

Ecuación paramétrico-vectorial de la recta

Observa la figura

Sea la recta que pasa por P(x1, y1) y Q(x2, y2), o bien que pasa por P y

tiene vector director el vector v = PQ = (x2-x1, y2-y1).

Escribiremos:

a = x2-x1, b = y2-y1, de modo que v = (a,b)

Antes de seguir, tiene interés observar que la ecuación general

cartesiana, con esta notación, sería

A.x+B.y+C = 0,


31

donde A = -b, B = a, C = -(A.x1+B.y1)

Si R(x, y) es otro punto cualquiera de la recta, vector w = PR =

= (x-x1, y-y1) es proporcional a v, y por tanto existe un valor t tal que

w = t.v

El punto R(x, y) viene localizado por el vector

OR = OP + t.v (5)

(E. paramétrico-vectorial)

En coordenadas: (x,y) = (x1,y1) + t.(a, b) (5)’

O bien:

y1)- t.(y2 y1 y

x1)- t.(x2 x1x (5)’’

(E. paramétricas)

32

Cuando t recorre el conjunto R de los números reales el punto R(x, y)

recorre la recta.

Ecuación continua de la recta

Partiendo de (5), los vectores w= PR y v= PQ son proporcionales, y por

tanto:

x−x1

x2−x1 =

y−y1

y2−y1

Si llamamos

a = (x2-x1), b = (y2-y1),

tenemos el vector ‘director de la recta’

v = (a,b), y la igualdad:

𝐱−𝐱𝟏

𝐚 =

𝐲−𝐲𝟏

𝐛 (6)

(Ecuación continua)

conocidos un punto P(x1, y1) y el vector director v = (a, b).

Observa que

b.(x-x1) = a.(y-y1),

bx - ay + (-bx1 +ay1) = 0,

de donde deducimos que, en la ecuación general de la recta

Ax + By + C=0,

A = t.b,

B = t.(-a),


33

C = t.(-b.x1 + a.y1),

para un mismo valor t real cualquiera.

Para t = 1 queda: A = b, B = -a

También

A

b=

B

−a=

C

−bx1 +ay1

2.2.- Distancias en el plano


Observa la figura

Longitud de un segmento:

Si P(x1, y1), Q(x2, y2), aplicando Pitágoras, la longitud del segmento

viene dada por:

34

l(PQ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

y la distancia entre P y Q:

d(P,Q) = l(PQ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Es práctico hacer:

a = x2-x1, b = y2-y1, con lo cual

d(P,Q) = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 , (PQ = (a,b))

2.2.2.- Distancia desde un punto a una recta

Pie de la perpendicular y Distancia desde un punto a una recta:

Observa la figura

Sean r una recta determinada por un punto A(x0, y0) y un vector

director v = (a, b), y un punto P(x1,y1) que no pertenece a r.

Toda recta s que pasa por P, y no es paralela a r, corta a ésta en un punto

Q.

Consideramos la distancia desde P a Q: d(P, Q)

Por simple observación es fácil comprobar que la menor de estas

distancias la obtenemos cuando la recta s sea perpendicular a r.

Def.:

Distancia entre P y la recta r es la menor de las distancias d(P, Q)

cuando Q recorre la recta r.

El vector w = (-b, a) es ortogonal al vector v = (a, b) director de r, y por

tanto es un vector director de cualquier recta s perpendicular r, y en

particular la que pasa por P.


35

Si Q(x1,y1) es un punto cualquiera de r, el vector OQ se expresa así:

OQ = OA + AQ = (x0, y0) + t.(a, b),

Por otro lado

OQ = OP + PQ, de donde

PQ = OQ – OP

PQ = (x0,y0) + t.(a,b) –(x1,y1)

PQ = (x0-x1+t.a, y0-y1+t.b) (10)

Si imponemos que PQ es ortogonal con v = (a, b), tenemos:

0 = a.(x0-x1+t.a)+ b.(y0-y1+t.b),

de donde

36

a.(x0-x1) + b.(y0-y1)+ t.(a2 + b

2) = 0,

de donde

a.(x1-x0) + b.(y1-y0) = t.(a2 + b

2),

de donde podemos despejar el valor de t:

t =[a.(x1−x0) + b.(y1−y0)]

a2 + b2 , esto es

t = vv

APba

*

*),( (11)

(* es el prod. escalar de vectores)

Este valor de t determina el punto Q

OQ = (x0, y0) + t.(a, b),

que es el pie de la perpendicular a r pasando por P. Finalmente

d(P, r) = d(P, Q) (12)

Cálculo de t:

AP =( x1-x0, y1-y0)

(a,b)*AP = a.x1 + b.y1 –(a.x0+b.y0)

Entonces

t = (a.x1 + b.y1) – (a.x0 + b.y0)

a2 + b2 (13)

2.2.3.- Distancia d(P,r) tomando la Ecuación general de la recta r

Sea r: A.x + B.y + C = 0, y el punto P(x1, y1)


37

Se puede demostrar que d(P,r) = | A.x1 + B.y1 + C |

√A2+B2 ,

(Consulta Apéndice 1, pág.218)

Ejemplo:

Sean P(2,3), r: 3x-2y+4 = 0

Calcula d(P,r)

Sol: De dos formas

A) La forma más cómoda es aplicando

d(P, r) = |3.2−2.3+4|

√9+4 =

4

√13=

4.√13

13

B) Calculando el pie de la perpendicular:

Pasando la ecuación de r a formato r = <A; v>

Puntos A y B de r:

y = 0 --> 3x +4 = 0, x = -4/3, A(-4/3, 0)

y = 5 --> 3x = 6, x = 2, B(2, 5)

Vector director: v = AB = (10/3, 5)

OQ = OA + t.v = (-4/3+10/3.t, 5.t)

PQ = (-10/3 +10/3.t, -3+5.t)

Por ortogonalidad tenemos 0 = v*PQ

0 = -100/9 +100/9.t –15 +25.t

0 = -235/9 + 325/9.t, t = 235/325, t = 47/65

Obtengo el punto Q:

38

OQ = (-4/3 + 10/3.47/65, 5.47/65)= (14/13,47/13)

El vector PQ = (-12/13, 8/13)

d(P, r) = d(PQ) = √142+82

13 =

√208

13 =

4.√13

13

el mismo que obtuvimos antes, como es lógico.

2.2.4.- Distancia entre dos rectas

Def.:

Dadas dos rectas r y s, “Distancia desde r hasta s es la menor de las

distancias d(P,Q), donde P es un punto de r y Q es un punto de s”.

Las dos rectas han de ser paralelas, ya que si se cortan la menor de las

distancia es cero.

Si son paralelas, basta tomar un punto P de s y obtener la distancia d(P,

r), y entonces

d(r, s) = d(P, r).

2.3.- Posición relativa de dos rectas en el plano

Observa la figura

Sean dos rectas r, s, dadas por sus ecuaciones continuas

r: x−x0

a=

y−y0

b , s:

x−x1

a′ =

y−y1

b′ (13)

donde v = (a, b) y v’ = (a’, b’) son sendos vectores


39

directores.

2.3.1.- Paralelismo ó Perpendicularidad

Paralelismo:

Si son paralelas evidentemente sus vectores directores son

proporcionales entre sí (son también paralelos), y por tanto:

(a’, b’) = t.(a, b)

de donde 𝑎′

a=

𝑏′

b = t (14)

Si tenemos sus ecuaciones generales

Ax + By + C = 0

A’x + B’y +C’ = 0

40

teniendo en cuenta lo visto más arriba, tenemos

A = b, B = -a,

A’ = b’, B’ = -a’, y por tanto

𝑨′

𝐀 =

𝑩′

𝐁 (15)

Perpendicularidad:

Si las rectas no son paralelas se cortarán en algún punto, y lo pueden

hacer de modo que el ángulo que forman sea o no de 90o .

Si las rectas se cortan formando ángulo de 90º decimos que son

perpendiculares. En ese caso también sus vectores directores forman

ángulo de 90º (son ortogonales), y su ‘producto escalar’ es cero, es decir

(a, b)*(a’, b’) = 0

a.a’ + b.b’ = 0 (16)

de donde

a.a’ = -b.b’

de donde 𝑎′

b′ = −

b

a

Teniendo en cuenta que sus pendientes son

m = b

a , m’ =

b′

a′

se cumple m’ = −1

m (17)

que es la condición que utilizaremos en la práctica.


41

Esta es la condición necesaria y suficiente para que sean

perpendiculares.

Supongamos que tenemos sus ecuaciones generales

Ax + By + C = 0, A’x + B’y + C’ = 0,

Según vimos más arriba, tenemos

A = b, B = -a, A’ = b’, B’ = -a’,

y por tanto, de

a.a’ + b.b’ = 0

tenemos

B.B’ + A.A’ = 0 , A.A’ = -B.B’

de donde

𝑨′

𝐁′ = −

𝐁

𝐀 (18)

y otra vez estamos en que

m’ = -1/m

Observa:

La ecuación general de r podemos obtenerla de forma inmediata a partir

del conocimiento de un punto y de su vector director v = (a, b):

r: b.x – a.y + C = 0,

donde C = -(b.x0 – a.y0), siendo (x0, y0) un punto de r.

42

2.3.2.- Ángulo formado por dos rectas

Dos rectas r1, r2 que se no son paralelas se cortan determinando cuatro

ángulos iguales dos a dos, como muestra la figura.

Cuándo nos referimos al ángulo formado por dos rectas siempre nos

referimos al menor de los ángulos determinado por ellas, que es igual al

determinado por sendos vectores directores, elegidos éstos de modo que

nos den el menor de los dos ángulos posibles.

Ejemplo:

La figura (1) muestro el caso correcto. Observa que g + g’ = 180º

Criterio importante:

El valor g del ángulo se toma positivo cuando el recorrido que indica la

flecha es contrario al de las agujas del reloj. En otro caso el valor del

ángulo se toma negativo.

Teniendo en cuenta la definición de producto escalar tenemos


43

cos(g) = 𝑣1∗𝑣2

|𝑣1|.|𝑣2|

Por trigonometría sabemos que: cos(g’) = -cos(g)

Para evitar esta ambigüedad basta tomar el valor absoluto

cos(g) = abs(𝑣1∗𝑣2

|𝑣1|.|𝑣2| )

con lo cual el valor de g que de aquí obtenemos es positivo, es decir, el

menor de los ángulos determinados por r1 y r2:

g = arcCos(abs(𝑣1∗𝑣2

|𝑣1|.|𝑣2| ))

2.4.- Bisectrices de los ángulos formados por dos rectas

Observa figura

Sean las rectas

44

r: ax + by + c = 0, s: a’x + b’y + c’ = 0

Sus pendientes son: m = −a

b , m’ = −

a′

b′

Sean los ángulos que forman con el semieje +ox:

gr = arcTan(m), gs = arcTan(m’)

Ángulo que forman:

a) Si gr > gs, g = gr – gs

b) Si gs > gr, g = gs – gr

Observa que los dos ángulos que determinan suman 180º.

El otro ángulo es: g’ = 180º - g

Ecuación de las Bisectrices:

Tomamos como referencia la figura anterior.

Son las rectas a, b que dividen cada ángulo g y g’ en dos ángulos

iguales.

Vamos a obtener la ecuación de cada una de estas rectas a y b

Sean las rectas

r: ax + by + c = 0, s: a’x + b’y + c’ = 0

Si Q(x, y) es un punto de una de las bisectrices se ha de cumplir

d(Q, r) = d(Q, s)


45

22 ba

cbyax

=

22 ''

'''

ba

cybxa

cbyaxba .'' 22 = '''.22 cybxaba

Quitamos las barras de valor absoluto a cambio de contemplar las dos

posibilidades, quedando

).('' 22 cbyaxba = )'''.(22 cybxaba

Obtenemos dos rectas como sigue

r1:

(√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑎 − √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑎′) . 𝑥 +

+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑏 − √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑏′) . 𝑦 +

+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑐 − √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑐′) = 0

r2:

(√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑎 + √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑎′) . 𝑥 +

+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑏 + √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑏′) . 𝑦 +

+ (√𝑎′2 + 𝑏′2 . 𝑐 + √𝑎2 + 𝑏2 . 𝑐′) = 0

46

El alumno puede comprobar que estas dos rectas, r1, r2, son

perpendiculares entre sí, comprobando que sus pendientes m, m’

cumplen m.m’ = -1:

m = (√𝑎′

2+𝑏′

2 .𝑎− √𝑎2+𝑏2 .𝑎′)

(√𝑎′2+𝑏′

2 .𝑏− √𝑎2+𝑏2 .𝑏′)

m’ = - (√𝑎′

2+𝑏′

2 .𝑎 + √𝑎2+𝑏2 .𝑎′)

(√𝑎′2+𝑏′

2 .𝑏 + √𝑎2+𝑏2 .𝑏′)

2.5.- Estudio de la Circunferencia

2.5.1.- Ecuaciones

Def.:

Fijamos un punto A(xo,yo) y un valor racional r. Llamamos

“Circunferencia de radio r y centro en A” al lugar geométrico de los

puntos P del plano que distan de A la distancia r.


47

Teniendo en cuenta la definición, si P(x, y) es un punto de la

circunferencia, se ha de cumplir

d(P, A)= r,

es decir r = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 (1)

de donde (x-xo)2 +(y-yo)

2 = r

2 (2)

(Ecuación canónica )

Operando

(x^2 + xo^2 -2.xo.x) + (y^2 + yo^2 -2.yo.y) = r2

x2 + y

2 -2.xo.x -2.yo.y + (xo

2 + yo

2) = r

2

Haciendo

D = -2.xo

E = -2.yo

F = (xo2 + yo

2) – r

2

Podemos escribir

x2 + y

2 + D.x +E.y + F = 0 (3)

(E. general de la esfera)

Calculo del centro y radio de la circunferencia dada su

Ecuación general:

Dada la ecuación (3) de C

x2 + y

2 + D.x + E.y + F = 0

teniendo en cuenta que

D = -2.xo

E = -2.yo

48

F = (xo2 + yo

2) – r

2

obtenemos

xo = - 𝐷

2 , yo = -

𝐸

2 , Centro O(xo, yo)

Fyoxor 22 , Radio

Ejemplo: Sea C: x2+y

2 –4x +6y –15 = 0

Sol:

xo = 4/2= 2, yo = -6/2= -3,

r = √4 + 9 + 15 = √18

La ecuación queda

(x-2)2 + (y+3)

2 = 28

2.5.2.- Posición relativa entre una recta y una circunferencia

Observa la figura


49

Sean la circunferencia

C: x2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0

y la recta r: ax+by+c = 0.

Visualmente cabe decir que pueden ocurrir tres casos:

a) La recta es exterior (no corta a la cicunferencia)

b) La recta corta en dos puntos: El sistema

0cbyax

0FEyDxyx 22

(4)

tiene dos soluciones distintas.

c) La recta es tangente a la circunferencia (toca en un punto a la

circunferencia): El sistema (4) tiene dos soluciones iguales

(solución doble)

2.5.3.- Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Observa la figura

Sea un punto P que suponemos exterior a la circunferencia.

Trazamos una recta r por P y que corte a la circunferencia en dos puntos

A y B.

Trazamos otra recta r’ por P y que corta a la circunferencia en otros dos

puntos A’ y B’.

Los triángulos PAB’ y PA’B son semejantes: Tienen en común el

ángulo en P, y los ángulos semiinscritos B y B’ abarcan el mismo arco.

Por tanto, tenemos las igualdades

50

PA′

PA =

𝑃𝐵′

PB , de donde PA.PB = PA’.PB’

Esto demuestra que el producto PA.PB es independiente de la recta que

pase por P, y por tanto es un valor ‘asociado’ al punto P. Fijada la

circunferencia C, depende sólo de P.

Def.:

“Llamamos ‘potencia de P respecto de C’ al valor PA.PB, donde A y B

son los puntos de corte de una recta cualquiera que pase por P”.

Este valor lo designaremos por Pot(P; C).


51

En particular, si tomamos la recta s que pase por P y por el centro O de

C, tenemos

Pot(P; C) = PA.PB = (PO-r).(PO+r) = PO2 – r

2

donde r es el radio de C.

Si la ecuación de C es

(x-xo)2 + (y-yo)

2 – r

2 = 0

cuyo centro es (xo,yo), y el punto es P(x1, y1), entonces la anterior se

convierte en

Pot(P; C) = (xo-x1)2 + (yo-y1)

2 – r

2

O bien

Pot(P; C) = (x1-xo)2 + (y1-yo)

2 – r

2

Esta nos dice que, para obtener Pot(P; C) basta sustituir, en el miembro

izquierda de la ecuación de C, x e y por las coordenadas x1, y1 de P.

Si obtenemos su ecuación general

x2 + y

2 +Dx +Ey +F = 0

tenemos también

Pot(P; C)= x12 + y1

2 +Dx1 +Ey1 +F

Posición relativa de un punto respecto de C:

Visualmente tenemos tres casos:

52

a) El punto P es exterior a C:

En este caso Pot(P; C) > 0. Comprobarlo.

b) El punto P está en C (es un punto de la circunferencia):

En este caso Pot(P; C) = 0. Comprobarlo.

c) El punto P es interior a C:

En este caso Pot(P; C) < 0. Comprobarlo.

Ejemplo:

Calcula la Pot(P; C) cuando

C: x2 + y

2 -5x +6y = 16, y P(-3, 5)

Sol.: Dos formas:

a) Sustituyo en x2 + y

2 -5x +6y –16 = 0, y obtengo

Pot(P, C)= 63

b) Determino el centro

D = -2.xo

E = -2.yo

F = (xo^2+yo^2) – r^2

xo = 5/2, yo = -3,

r = 1694/25 = 4/125

(x-5/2)2 + (y+3)

2 - 125/4 = 0

Pot(P, C) = (-3-5/2)2 + (5+3)

2 –125/4 =

= (-11/2)2 + 64 –125/4 = 121/4 +64 –125/4 =

= (121 +256 –125)/4 = 252/4 = 63


53

54

2.5.4.- Eje Radical de dos circunferencias

Observa la figura

Def.:

“Dadas dos circunferencias C1 y C2, llamaremos ‘eje radical asociado’,

al lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto

de C1 y de C2”

Pot(P; C1)= Pot(P; C2)

Si C1 y C2 tienen ecuación

C1: x2 + y

2 +Dx +Ey +F= 0

C2: x2 + y

2 +D’x +E’y +F= 0

sabemos que

Pot(P; C1) = x12 + y1

2 +Dx1 +Ey1 +F

Pot(P; C1) = x12 + y1

2 +D’x1 +E’y1 +F’

de donde, igualándolas y simplificando

(D-D’).x1 +(E-E’).y1 +(F-F’) = 0

Teniendo en cuenta que P es un punto cualquiera del eje radical,

cambiando P(x1, y1) por P(x, y) genérico, queda la ecuación del eje

radical (una recta):

(D-D’)x +(E-E’)y +(F-F’)= 0

Lo designaremos por EjeR(C1; C2)


55

Propiedad del EjeR(C1; C2):

“El Eje radical es perpendicular a la recta determinada por los centros

O1(xo, yo), O2(xo’, yo’) de las circunferencias”.

Demostración:

Recordamos que

D = -2xo, E = -2yo, D’ = -2xo’, E’ = -2yo’

La pendiente del eje radical es

m = -(D-D’) / (E-E’)

56

= -(-2xo + 2xo’) / (-2yo + 2yo’)

= (xo-xo’) / [-(yo-yo’)]

= -(xo-xo’) / (yo-yo’)

Por otro lado la pendiente de la recta que pasa por O1 y O2 es

Vector O1O2 = (xo’-xo,yo’-yo)

Pendiente:

m’ = (yo’-yo) / (xo’-xo)

= (yo-yo’) / (xo-xo’)

= -1 / m

Por tanto estas dos rectas son perpendiculares.

Casuística:

a) Las dos circunferencias se cortan en dos puntos A y B: En

este caso los puntos A y B de corte pertenecen al EjeR(C1, C2), ya que

Pot(A; C1) = 0, Pot(A; C2) = 0, y lo mismo para B. Por tanto el eje

radical es la recta determinada por A y B.

b) Las dos circunferencias son tangentes entre sí: En este caso el

punto A de tangencia pertenece al eje radical. Por tanto dicho eje pasa

por A siendo tangente a las dos circunferencias, y por tanto

perpendicular a cada uno de los radios que pasan por A, y por tanto es

perpendicular a la recta que pasa por sus centros.

c) Las dos circunferencias no se cortan: En este caso no hay

nada que decir, sino que el eje radical es perpendicular a la recta que

pasa por los centros.

Ejemplo:

Calcula el eje radical de las circunferencias C1 de radio 5 y cuyo centro

es O1(2, 3), y la circunferencia

C2: x2 + y

2 -5x +3y -12 = 0.


57

Sol:

Obtengo la ecuación de C1

(x-2)2 + (y-3)

2 = 25

x2 +y

2 –4x –6y –12 = 0

EjeR: (D-D’)x +(E-E’)y +(F-F’)= 0

(-4+5).x +(-6-3).y +(-12+12) = 0

EjeR: x –9y = 0

2.5.5.- Centro radical de tres circunferencias

Sean C1, C2, C3 tres circunferencias.

Definición:

“Llamamos centro radical al punto que tiene igual potencia respecto de

las tres circunferencias”.

58

¿Cómo obtenerlo?

Los ejes radicales EjeR(C1, C2) y EjeR(C1, C3) son dos rectas que, en

general, se cortarán en un punto Q(a, b).

Este punto tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias. Lo

llamamos ‘Centro Radical’ de las mismas.

Ejemplo:

Calcula el centro radical de las tres circunferencias

C1: x2 + y

2 +4x -3y +8 = 0

C2: Centro O2(-3,2) y radio 5

C3: (x-1)2 + (y+1)

2 = 9

Sol.:

Ecuación general de C2:

(x+3)2 + (y-2)

2 = 25

C2: x2 + y

2 +6x –4y –12 = 0


C3: x2 + y

2 –2x +2y –7 = 0

EjeR(C1;C2), r1: 2x –y –20 = 0

EjeR(C1;C3), r2: -6x +y –15 = 0

Intersección de las rectas

0 15-y 6x -

0 20-y -2x

4x = 35, x = -35/4, y= -70/4 –20 = -110/4

Centro radical: (-35/4, -55/2)


59

2.5.6.- Construcción geométrica del eje radical

Observa las tres figuras siguientes, que muestras diferentes casos.

Caso 1: Las circunferencias no se cortan

Trazo una circunferencia C auxiliar cualquiera con la condición de que

corte a C1 y a C2 en dos puntos en cada una. Unimos esos dos puntos

mediante las rectas r1 y r2. Estas se cortan en un punto P. El eje radical

es la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta que para por sus

centros O1 y O2.

Caso 2: Una de ellas es interior a la otra, pero no son concentricas

Como en el caso anterior trazamos C auxiliar y las rectas r1, r2, que se

cortan en P. El eje es la recta r que pasa por P y es perpendicular a la

recta que pasa por O1 y O2.

60

Caso 3: Son concentricas

En este caso, procediendo como antes, las rectas r1 y r2 son paralelas, y

por tanto el eje radical de C1 y C2 es ‘vacío’. No tienen eje radical.


61

2.5.7.- Tangentes a una circunferencia desde un

punto P exterior a ella

En primer lugar presento un resumen de lo estudiado con relación a la

circunferencia, mostrándolo gráficamente:

---------------

Paso a explicar lo relacionado con las tangentes a C desde un punto.

Observa la siguiente figura

62

Si moviendo los puntos A y B hacemos que coincidan la recta resultante

es tangente a C, y entoces, por definición de Pot(Q; C), tenemos

Pot(Q) = d(Q,A)^2 y Pot(Q) = d^2-r^2

de donde d(Q,A) = √𝑃𝑜𝑡(𝑄) = √𝑑2 − 𝑟2

Observa ahora la figura siguiente.

En primer lugar comprobamos que Pot(P; C) > 0, lo cual significa que P

es exterior a C.

Ahora trazamos la circunferencia C’ con centro en P y radio

R = √𝑃𝑜𝑡(𝑃; 𝐶)

Las circunferencias C y C’ se cortan en los puntos A y B que son los

puntos de tangencia de dos rectas que pasan por P.

Obtenidos los puntos A y B, uniéndolos con P obtenemos las tangentes.

Observa que la recta AB es el eje radical de C y C’.


63

2.6.-Haz de rectas

Sean r1, r2 dos rectas no paralelas y P su punto de corte.

La expresión

(ax+by+c) + k.(a’x+b’y+c’) = 0

o bien (a+k.a’).x +(b+k.b’).y +(c+k.c’) = 0

es otra recta que también pasa por P.

Decimos que

(ax+by+c) + k.(a’x+b’y+c’) = 0 (1)

es el ‘Haz de rectas con vértice en P’.

Ejemplo:

Dado el haz de rectas (ax+by+c) + k.(a’x+b’y+c’) = 0

selecciona la recta s del haz que pasa por P(xo,yo).

Escribo el haz así (a+k.a’).x+(b+k.b’).y+(c+k.c’)=0

Si pasa por P se cumplirá

64

(a+k.a’).xo+(b+k.b’).yo+(c+k.c’)=0,

(a’.xo +b’.yo +c’).k = -(a.xo +b.yo +c), de donde

k = −(a.xo +b.yo +c)

(a’.xo +b’.yo +c’)

Sustituyendo en la expresión del haz obtengo la ecuación de la recta s.

2.7.- Estudio del triángulo: Rectas y puntos notables

En lo que sigue tenemos el triángulo con vértices en los puntos A,B,C.

2.7.1.- Medianas:

Def.:

Mediana es cada recta que une un vértice con el punto medio del lado

opuesto.

Demostraremos que las tres medianas: r1, r2, r3 tienen un punto común

G. Lo llamamos ‘Baricentro’ del triángulo.

Significado: Si tengo una pieza de chapa metálica uniforme de forma

triángular, el punto G coincide con su centro de gravedad (Estúdiese en

Física).


65

Comprobamos que las tres medianas se cortan en un mismo punto:

El baricentro

Puedo tomar el lado AB sobre el eje de coordenadas ox y hacer que el

vértice A coincida con el origen O(0, 0) de coordenadas.

Tengo

OM1 = (a2 / 2 , 0),

OM2 = ((a2+a3) / 2 , b3/2),

OM3 = (a3 / 2 , b3 / 2)

Sea M = r1^r2:

CM1 = ((a2-2a3) / 2, -b3)

AM2 = ((a2+a3) / 2, b3 / 2)

OM = OA+k1.AM2 = (k1.(a2+a3) / 2, k1.b3 / 2)

OM = OC+k2.CM1 = (a3, b3) + (k2.(a2-2.a3) / 2, -k2.b3) =

= ((2.a3 + k2.a2-2.k2.a3) / 2, (1-k2).b3)

Sistema: {𝑘1. (𝑎2 + 𝑎3) = 𝑘2. 𝑎2 + (2 − 2. 𝑘2). 𝑎3

𝑏3. 𝑘1 = 2. (1 − 𝑘2). 𝑏3 ->k1 = 2-2k2

->(2-2k2).(a2+a3) = k2.a2 +(2-2.k2).a3

(2-2k2).a2 = k2.a2 -> 2 = 3k2 -> k2 = 2/3

66

Resulta también k1 = 2/3

Coordenadas de M: 2 / 3.(a2+a3) / 2 = (a2+a3) / 3

2/3.b3/2 = b3/3

M((a2+a3)/3, b3/3)

Sea N = r1^r3:

BM3 = (a3/2 –a2, b3/2) = ((a3-2.a2)/2, b3/2)

ON = OA+h1.AM2 = (h1.(a2+a3)/2, h1.b3/2)

ON = OB+h2.BM3 = (a2+h2.(a3-2.a2)/2, h2.b3/2) =

= ((2.a2+h2.(a3-2.a2))/2, h2.b3/2)

Sistema: {ℎ1. (𝑎2 + 𝑎3) = 2. 𝑎2 + ℎ2. (𝑎3 − 2. 𝑎2)

ℎ1. 𝑏3 = ℎ2. 𝑏3 -> h1 = h2

h1.a2+h1.a3 = 2.a2 +h1.a3 -2.h1.a2 -> 3.h1.a2 = 2.a2

de donde h1 = 2/3, h2 = 2/3

Coordenadas de N: 2/3.(a2+a3) / 2 = (a2+a3)/3

2/3.b3/2 = b3/3

N((a2+a3) / 3, b3/3), y por tanto M y N coinciden.

Evidentemente el mismo resultado se obtienen para r2^r3.

Consecuencia IMPORTANTE:

En el proceso anterior además ha quedado demostrado que el baricentro

G está situado en cada una de las medianas como sigue:


67

d(A,G) = 2/3.d(A,M2) <--> d(G,M2) = 1/3.d(A,M2)

y del mismo modo en las otras medianas.

Coordenadas de G:

Ahora no necesariamente el lado AB (y ninguno otro) está sobre uno de

los ejes. Sean los vértices

A(a1, b1), B(a2, b2), C(a3, b3)

Puntos medios:

M1((a1+a2)/2, (b1+b2)/2)

M2((a2+a3)/2, (b2+b3)/2)

M3((a1+a3)/2, (b1+b3)/2)

AM2 = OM2-OA = ((a2+a3-2a1)/2, (b2+b3-2b1)/2)

AG = 2/3.AM2 = 2/3.((a2+a3-2a1)/2, (b2+b3-2b1)/2)=

= 1/3.(a2+a3-2.a1, b2+b3-2.b1)

OG = OA+AG = (a1+(a2+a3-2.a1)/3, b1+(b2+b3-2.b1)/3)

= ((a1+a2+a3)/3, (b1+b2+b3)/3)

Expresión única para las coordenadas de G(x, y):

x = (a1+a2+a3)/3, y = (b1+b2+b3)/3

----------------

68

Teorema de las Medianas

Tenemos: mc2 = a

2 + (c/2)

2 – 2.a.c/2.cos(B) -- >

mc2 = a

2 + c

2/4 – a.c.cos(B)

Por otro lado: mc

2 = b

2 + c

2/4 – b.c.cos(A), entonces

2.mc2 = a

2 + b

2 + c

2/2 – c.(a.cos(B) + b.cos(A)) = a

2 + b

2 + c

2/2 – c

2 , y

por tanto

2.mc2 = a

2 + b

2 – c

2/2 , mc

2 = (a

2 + b

2)/2 – (c/2)

2

y finalmente: mc = √(𝑎2+𝑏2)

2− (

𝑐

2)2

De forma análoga se obtiene la longitud de las otras dos medianas.

mb

2 = c

2 + (b/2)

2 - 2.c.b/2.cos(A)

mb2 = a

2 + (b/2)

2 - 2.a.b/2.cos(C)

2.mb2 = a

2 + c

2 + b

2/2 - b.(a.cos(C) + c.cos(A)) =

= a2 + c

2 + b

2/2 - b.(-a.cos(180-C) – AD) =

= a2 + c

2 + b

2/2 - b. (-CD + AD) = a

2 + c

2 + b

2/2 – b

2 =

= a2 + c

2 - b

2/2

----------------


69

2.7.2.- Mediatrices:

Def.:

Mediatriz es la recta que pasando por el punto medio de un lado es

además perpendicular (Ortogonal) a este lado.

Demostraremos que las tres mediatrices tienen un punto común M. Lo

llamamos ‘Circuncentro’.

Significado: El punto M es el centro de la circunferencia circunscrita al

triángulo.

Coprobaremos que M es el centro de la circunferencia circunscrita. Observa la figura.

Por definición de ‘mediatriz’ se cumple:

70

R2 = R1, R3 = R2 -- > Las tres distancias a los vértices son

iguales, y por tanto cada una es el radio de la circunferencia con

centro en M y radio R = d(M, A)

Comprobamos que las tres mediatrices se cortan en un punto M, el

circuncentro:

Puedo suponer que el lado AB yace sobre el eje ox y que el vértice A

coincide con el origen O(0, 0)

M1(a2/2, 0)

M2((a2+a3)/2, b3/2)

M3(a3/2, b3/2)

Vectores: AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)

BC = (a3-a2, b3) -> w2 = (b3, a2-a3)

AC = (a3, b3) -> w3 = (b3, -a3)

Punto M = r1^r2:

OM = OM1+k1.w1 = (a2/2, k1.a2)

OM = OM2+k2.w2 = ((a2+a3)/2 +k2.b3, b3/2 +k2.(a2-a3))

Sistema: {𝑎2 = 𝑎2 + 𝑎3 + 2. 𝑘2. 𝑏3

2. 𝑘1. 𝑎2 = 𝑏3 + 2. 𝑘2. (𝑎2 − 𝑎3) ->


71

k2 = -a3/(2.b3) -> 2.k1.a2 = b3 –a3/b3.(a2-a3),

2.k1.a2.b3 = b3^2 –a3.a2+a3^2 ->

𝑘1 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑎2. 𝑏3)

Coordenadas de M: Tomo OM = (a2/2 , k1.a2)

k1.a2 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3), y tengo

M(a2/2, (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3))

Sea N = r1^r3: ( ^ es la intercessción )

M3(a3/2, b3/2)

AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)

AC = (a3, b3) -> w3 = (b3, -a3)

ON = OM1+h1.w1 = (a2/2, h1.a2)

ON = OM3+h2.w3 = (a3/2 +h2.b3, b3/2 –h2.a3)

Sistema: {𝑎2 = 𝑎3 + 2. ℎ2. 𝑏3

2. ℎ1. 𝑎2 = 𝑏3 − 2. ℎ2. 𝑎3 -> h2 = (a2-a3)/(2.b3),

2.h1.a2 = b3 –(a2-a3).a3/b3 -- >

2.h1.a2.b3 = b3^2 –a2.a3+a3^2 -- >

h1 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑎2. 𝑏3)

Coordenadas de N: Tomo ON = (a2/2, h1.a2)

h1.a2 = (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3)

72

N(a2/2, (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3))

y por tanto coinciden.

Evidentemente el mismo resultado se obtiene para r2^r3.

Cálculo del circuncentro:

La expresión anterior C(a2/2, (𝑎32 + 𝑏32 − 𝑎2. 𝑎3)/(2. 𝑏3)) sólo es

válida si AB está sobre ox y A = O(0, 0).

En general lo más práctico consiste en calcular dos medianas, por

ejemplo r1, r2, y después su punto común: C = r1^r2, o bien operando

vectorialmente. (En la colección de problemas mostraremos algún

ejemplo).

2.7.3.- Alturas:

Def.:

Altura es es la recta que pasando por un vértice es ortogonal al lado

opuesto.

Demostraremos que las tres alturas se cortan en un punto común O. Lo

llamamos ‘Ortocentro’.


73

Comprobamos que se cortan en un punto:

Supongo que el lado AB yace sobre el eje ox y que el vértice A coincide

con O(0, 0).

Vectores: AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)

AC = (a3, b3) -> w2 = (b3, -a3)

BC = (a3-a2, b3) -> w3 =(b3, a2-a3)

Sea M = r1^r2:

OM = OC+k1.w1 = (a3,b3+k1.a2)

OM = OB+k2.w2 = (a2+k2.b3,-k2.a3)

Sistema: {𝑎3 = 𝑎2 + 𝑘2. 𝑏3𝑏3 + 𝑘1. 𝑎2 = −𝑘2. 𝑎3

-> k2 = (a3-a2)/b3 ->

b3 +k1.a2 = -a3.(a3-a2)/b3 ->

b3^2 +k1.a2.b3 = -a3^2+a2.a3, de donde

k1 = (𝑎2. 𝑎3 − 𝑎32 − 𝑏32)/(𝑎2. 𝑏3)

Coordenadas de M: Tomo OM = (a3, b3+k1.a2)

74

b3+a2.𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32

𝑎2.𝑏3 = 𝑏3 +

𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32

𝑏3 =

𝑎2.𝑎3−𝑎32

𝑏3

M(a3, 𝑎2.𝑎3−𝑎32

𝑏3 )

Punto N = r1^r3:

AB = (a2, 0) -> w1 = (0, a2)

BC = (a3-a2, b3) -> w3 =(b3, a2-a3)

ON = OC+h1.w1 = (a3, b3+h1.a2)

ON = OA+h2.w3 = (h2.b3, h2.(a2-a3))

Sistema: {𝑎3 = ℎ2. 𝑏3

𝑏3 + ℎ1. 𝑎2 = ℎ2. (𝑎2 − 𝑎3) -> h2 = a3/b3 ->

b3 +h1.a2 = a3/b3.(a2-a3) -- >

b3^2 +h1.a2.b3 = a3.a2-a3^2 -- >

h1 = 𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32

𝑎2.𝑏3 ,

Coordenadas de N: Tomo ON = (a3, b3+h1.a2)

b3+a2. 𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32

𝑎2.𝑏3= 𝑏3 +

𝑎2.𝑎3−𝑎32−𝑏32

𝑏3 =

𝑎2.𝑎3−𝑎32

𝑏3

N(a3, 𝑎2.𝑎3−𝑎32

𝑏3), y por tanto coinciden.

Coordenadas del Ortocentro:


75

Después de haber demostrado que es común a las tres alturas, para su

cálculo es suficiente obtener la expresión de dos de estas, sean r1, r2, y

calcular su punto común: O = r1^r2, o bien vectorialmente.

2.7.4.- Bisectrices:

Def.:

Bisectriz es la recta que pasa por un vértice y secciona el ángulo

(interior) en dos partes iguales.

Demostraremos que las tres bisectrices coinciden en un punto I. Lo

llamamos ‘Incentro’.

Significado: El punto I es el centro de la circunferencia inscrita (Véase más abajo).

Cálculo de las bisectrices:

En primer lugar recordamos cómo obtener las bisectrices de los ángulos

formados por dos rectas

r1,r2. Observa la figura.

76

Volvemos al triángulo ABC. Observa la figura

Al realizar los cálculos obtenemos dos bisectrices: La recta s bisectriz

del ángulo interior, la besectriz r del ángulo exterior.

Tenemos la necesidad de seleccionar la bisectriz del ángulo interior.

Para conseguirlo propongo utilizar lo siguiente. Observa la figura.

Tengo las bisectrices r,s de los ángulos formados por los lados AB,AC.

Según la figura me interesa r (bisectriz del ángulo interior al triángulo).

Observa la figura


77

Tomo la ordenada y’ = (y2+y3)/2 (del punto medio, Q, del segmento

B(x2, y2)B’(x2, y3)). Después calculo la abscisa x’ del punto R de una

de las bisectrices cuya ordenada sea el valor y’. Basta observar la figura

para llegar a la conclusión de que la bisectriz que interesa es aquella

para la que se cumpla: x3<x’<x2 (ó x2<x’<x3 ). En la figura sería la

bisectriz s.

Comprobamos que el incentro I es el centro de la circunferencia

inscrita en el triángulo:

Por definición de bisectriz las distancias h1, h2, h3 son iguales, lo cual

nos lleva a que las rectas r1, r2, r3 se cortan en un único punto, el punto

I.

Tomando centro en I y radio h1 trazamos una circunferencia que ‘toca’

tangencialmente a cada uno de los lados.

78

Cálculo del Punto I (prescindiendo de las bisectrices):

Intentamos calcular el punto M que equidista de los tres lados.

Vectores: AB = (a2-a1, b2-b1)

AC = (a3-a1, b3-b1)

BC = (a3-a2, b3-b2)

Rectas: AB: 𝑥−𝑎1

𝑎2−𝑎1=

𝑦−𝑏1

𝑏2−𝑏1 -> s1: A1.x +B1.y +C1 = 0

AC: 𝑥−𝑎1

𝑎3−𝑎1=

𝑦−𝑏1

𝑏3−𝑏1 -> s2: A2.x +B2.y +C2 = 0

BC: 𝑥−𝑎2

𝑎3−𝑎2=

𝑦−𝑏2

𝑏3−𝑏2 -> s3: A3.x +B3.y +C3 = 0

Distancias a M(x1, y1):

d(M; s1) = |𝐴1.𝑥1+𝐵1.𝑦1+𝐶1|

√𝐴12+𝐵12 , d(M;s2) =

|𝐴2.𝑥1+𝐵2.𝑦1+𝐶2|

√𝐴22+𝐵22

d(M; s3) = |𝐴3.𝑥1+𝐵3.𝑦1+𝐶3|

√𝐴32+𝐵32

Sistema:

Teniendo en cuenta que en los casos concretos tendremos el valor de

todos los coeficientes, y por tanto que el Sistema anterior tendrá sus


79

coeficientes bien determinados, será resoluble por los métodos

conocidos (Si es necesario consúltese el Vol. 10 dedicado al Álgebra

lineal)

{

√𝐴22 + 𝐵22 . (𝐴1. 𝑥1 + 𝐵1. 𝑦1 + 𝐶1) = √𝐴12 + 𝐵12 . (𝐴2. 𝑥1 + 𝐵2. 𝑦1 + 𝐶2)

√𝐴32 + 𝐵32 . (𝐴1. 𝑥1 + 𝐵1. 𝑦1 + 𝐶1) = √𝐴12 + 𝐵12 . (𝐴3. 𝑥1 + 𝐵3. 𝑦1 + 𝐶3)

√𝐴32 + 𝐵32 . (𝐴2. 𝑥1 + 𝐵2. 𝑦1 + 𝐶2) = √𝐴22 + 𝐵22 . (𝐴3. 𝑥1 + 𝐵3. 𝑦1 + 𝐶3)

Las incógnitas son x1, y1, coordenadas del punto M que deseo calcular.

Cambio x1 por x, y1 por y, y traspongo términos al miembro derecha.

Llamo: A = √𝐴12 + 𝐵12 , B = √𝐴22 + 𝐵22 , C = √𝐴32 + 𝐵32

Tengo

{

0 = (𝐴. 𝐴2 − 𝐵. 𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵2 − 𝐵. 𝐵1). 𝑦 + (𝐴. 𝐶2 − 𝐵. 𝐶1)

0 = (𝐴. 𝐴3 − 𝐶. 𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵1). 𝑦 + (𝐴. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶1)

0 = (𝐵. 𝐴3 − 𝐶. 𝐴2). 𝑥 + (𝐵. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵2). 𝑦 + (𝐵. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶2)

o bien

{

(𝐴. 𝐴2 − 𝐵. 𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵2 − 𝐵. 𝐵1). 𝑦 = −(𝐴. 𝐶2 − 𝐵. 𝐶1)

(𝐴. 𝐴3 − 𝐶.𝐴1). 𝑥 + (𝐴. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵1). 𝑦 = −(𝐴. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶1)

(𝐵. 𝐴3 − 𝐶. 𝐴2). 𝑥 + (𝐵. 𝐵3 − 𝐶. 𝐵2). 𝑦 = −(𝐵. 𝐶3 − 𝐶. 𝐶2)

NOTA: Estudiado el Vol.10, el sistema debe cumplir que el rango de la

‘matriz de coeficiente’ y el de la matriz ampliada ha de ser dos.

El punto M obtenido coincide con el incentro I, punto común de la

bisectrices.

2.7.5.- Caso del triángulo Rectángulo:

80

Relaciones interesantes en el triángulo rectángulo:

No podemos pasar sin recordar otras ideas interesantes en relación con

el triángulo rectángulo.

Por supuesto el Teorema de Pitágoras:

a2 = b

2 + c

2

Por semejanza de los triángulo CMA y AMB tenemos

b/c = m/h = h/n , de donde

{𝑏. ℎ = 𝑐.𝑚𝑚. 𝑛 = ℎ2


81

Por semejanza de los triángulo CAB y CMA tenemos

a/b = b/m = c/h , de donde

{𝑎.𝑚 = 𝑏2

𝑎. ℎ = 𝑏. 𝑐

Por la primera decimos que ‘b es la media proporcional entre la

hipotenusa y la proyección de b sobre ella’.

Por semejanza de los triángulo CAB y AMB tenemos

a/c = b/h = c/n , de donde

{𝑎. ℎ = 𝑐. 𝑏𝑎. 𝑛 = 𝑐2

Por la segunda decimos que ‘c es la media proporcional entre la

hipotenusa y la proyección de c sobre ella’.

------------------

82

2.8.- Cónicas

2.8.1.- LA ELIPSE

Definiciones: Elementos de la Elipse

Fijamos dos puntos F y F’ del plano, que llamaremos focos, y fijamos

un valor k mayor que d(F, F’).

‘Llamamos Elipse al lugar geométrico de los puntos P del plano, tales

que la suma de sus distancias a los puntos F y F’ sea igual a k’. Esto es:

d(P, F) + d(P, F’) = k

Elementos de la Elipse:

-Los focos: Son los puntos fijos F y F’

-La recta focal: Recta que pasa por F y F’

-Su centro: C(xo, yo),punto medio del segmento FF’

-Sus ejes de simetría: La recta que contiene los focal (eje focal), y la

perpendicular a ésta que pasa por el centro (eje secundario).

-Los puntos de corte de la elipse con sus ejes: A,A’ sobre el eje focal,

B,B’ sobre el eje secundario.


83

Parámetros de la elipse:

-La medida de sus semiejes: a = d(A,C) sobre el eje focal, y b =

= d(B,C) sobre el eje secundario.

-La distancia Semifocal: c = d(C, F) = d(C, F’)

-La excentricidad: e = c/a, (Siempre será e < 1, ya que c < a. (Cuando

c = a será e = 1, y la elipse se convierte en el segmento F’F).

Relación entre los parámetros: Se cumplen

a2 = c

2 + b

2, 2.a = k

Ecuación de la Elipse:

En lo que sigue obtendremos: A.x2 + B.y

2 + D.x + E.y + F = 0

En lo que sigue suponemos que el eje focal es paralelo al eje ox, y por

tanto, si F(xo, yo), F’(xo’, yo’) son los focos, se cumple yo’ = yo.

La igualdad d(P, F) + d(P, F’) = k

significa:

√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 + √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2 = 𝑘 (1)

Operamos para hacer desaparecer los radicales, como sigue.

Despejamos un radical

√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 = k - √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2

84

NOTA: En lo que sigue, por motivos prácticos, admítase ‘notación un

tanto burda cuando se trate de desarrollos laboriosos.

Elevamos al cuadrado los dos miembros:

(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 = k2 + (𝑥 − 𝑥0′)

2 + (𝑦 − 𝑦0′)2 -

- 2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2

Desarrollando los cuadrados:

(x2 + xo

2 – 2.xxo) + (y

2 + yo

2 – 2.yyo) =

= k2 + (x

2 + xo’

2 -2.xxo’) + (y

2 + yo’

2 -2.yyo’) –

- 2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2

Simplificando y sacando factor común tengo

(xo2 - xo’

2 + yo

2 - yo’

2) - 2.(xo – xo’).x - 2.(yo - yo’).y - k

2 =

= -2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2

Y teniendo en cuenta que yo’ = yo

-2.(xo – xo’).x + (xo2 - xo’

2) - k

2 = -2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)

2 + (𝑦 − 𝑦0′)2

2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2 = 2.(xo – xo’).x - (xo2 - xo’

2) + k

2

Hago:

m = 2.(xo - xo’)

l = xo’2 - xo

2 + k

2, y queda

2.k. √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2 = m.x + l


85

Elevando al cuadrado

4.k2.[ (𝑥 − 𝑥0′)

2 + (𝑦 − 𝑦0′)2 ] = m

2.x

2 + l

2 + 2.m.l.x

4.k2.[x

2 + y

2 -2.xo’x -2.yo’y +xo’

2 +yo’

2] = m

2.x

2 + l

2 + 2.m.l.x

Pasándolo todo al miembro izquierda y agrupando

(4.k2 –m

2).x

2 + 4.k

2.y

2 + (-8.k

2.xo’ -2.m.l).x – 8.k

2.yo’.y +

+ [4.k2.(xo’

2 + yo’

2) –l

2] = 0

Haciendo

A= 4.k2 – m

2

B= 4.k2

D= -8.k2.xo’ - 2.m.l

E= -8.k2.yo’

F= 4.k2.(xo’

2 + yo’

2) – l

2

tenemos la ecuación:

A.x2 + B.y

2 + D.x + E.y + F = 0 (2)

Casuística:

a) Supongamos que el eje focal coincide con ox, en cuyo caso es

yo = 0, yo’ = 0. Entonces

m = 2.(xo - xo’)

l = xo’2 - xo

2 + k

2, -- >

m = 2.(xo - xo’)

l = -xo2 + xo’

2 + k

2

86

A= 4.k2 – m

2

B= 4.k2

D= -8.k2.xo’ - 2.m.l

E= -8.k2.yo’

F= 4.k2.(xo’

2 + yo’

2) – l

2 -- >

A = 4.k2 – m

2

B = 4.k2

D = -8.k2.xo’-2.m.l

E = 0

F = 4.k2.xo’

2 – l

2

Y la ecuación queda de la forma

A.x2 + B.y

2 + D.x + F = 0 (3)

b) Supongamos que la recta focal coincide con el eje ox, y que además

el centro de la elipse coincide con (0,0).

Entonces yo = 0, yo’ = 0, xo = c, xo’ = - c, y queda

m = 2.(xo - xo’)

l = xo’2 - xo

2 + k

2, -- >

m = 2.(c – (-c)) = 4.c

l = (-c)2 - c

2 + k

2 = k

2

A= 4.k2 – m

2

B= 4.k2

D= -8.k2.xo’ - 2.m.l

E= -8.k2.yo’

F= 4.k2.(xo’

2 + yo’

2) – l

2 -- >

A = 4.k2 – m

2


87

B = 4.k2

D = 8.k2.c - 2.m.l

E = 0

F = 4.k2.c

2 – l

2 = k

2.(4.c

2 – k

2)

Y la ecuación queda de la forma

A.x2 + B.y

2 + D.x + F = 0 (4)

-------------

ECUACIÓN Reducida, Ecuación canónica (normal)

Teniendo en cuenta que k = 2.a, veamos cómo son los valores de A, B y

F en función de los parámetros a, b, c.

Tenemos (Teniendo en cuenta, como vimos, que a2 – c

2 = b

2

A = 4.4.a2 – 16.c

2 = 16.(a

2 – c

2) = 16.b

2

B = 16.a2

Observa que A > 0, B > 0

D = 32.a2.c – 8.c.4.a

2 = 0

F = 16.a2.c

2 –16.a

4 = 16.a

2.(c

2 –a

2) = -16.a

2.b

2

Observa que F < 0, - F > 0, entonces A.x2 + B.y

2 + F = 0 -- >

A.x2 + B.y

2 = - F (Ecuación reducida) (5)

Divido los dos miembros por –F, y tengo

- 𝐹

𝐴 = a

2, -

𝐹

𝐵 = b

2, -

𝐹

𝐹 = 1

88

𝑥2

𝑎2 +

𝑦2

𝑏2 = 1 (6)

(Ecuación normal ó canónica de la Elipse)

Consecuencia:

Ecuación normal de la Elipse cuando los ejes de simetría son paralelos a

los ejes de coordenadas y su centro es un punto cualquiera (xo, yo):

Teniendo en cuenta el resultado obtenido más arriba:

𝑥2

𝑎2+ 𝑦2

𝑏2= 1

si hacemos una traslación de modo que el centro de la elipse sea el

punto C(xo, yo), la nueva ecuación de la elipse es:

(𝑥−𝑥0)

2

𝑎2+

(𝑦−𝑦0)2

𝑏2= 1 (6’)

---------------


89

2.8.2.- LA HIPÉRBOLA

Definiciones: Elementos de la Hipérbola

Fijamos dos puntos F y F’ del plano que llamamos focos, y una

constante k < d(F, F’).

“Llamamos Hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano, tales

que la diferencia de sus distancias a los puntos F y F’ es igual a k’:

abs[d(P, F) - d(P, F’)] = k

Elementos de la hipérbola:

-Los focos: F, F’

-Su centro: C(xo, yo), que es el punto medio del segmento F’F.

-Sus ejes de simetría: Eje focal, que es la recta que pasa por F y F’, y

Eje secundario que es la perpendicular al eje focal por el centro C.

-Los puntos de corte con su eje focal: A,A’ (observa que no corta a su

eje secundario, y por eso se le llama también ‘eje imaginario’).

Parámetros de la hipérbola:

-La medida de su Semieje focal: a = d(A, C)

90

-La distancia Semifocal: c = d(C, F) = d(C, F’)

-La medida del Semieje imaginario: Es el valor b, tomado sobre el eje

imaginario a partir de C, y tal que cumple: a2 = c

2 – b

2

-La excentricidad: e = 𝑐

𝑎 . Observa que

e > 1, ya que c > a

Relaciones entre los parámetros:

-Se cumplen las relaciones:

a2 = c

2 – b

2, k = 2.a (10)

Ecuación de la Hipérbola

En lo que sigue obtendremos A.x2 + B.y

2 + D.x + E.y + F = 0



En todo lo que sigue supongamos que el eje focal es paralelo al eje ox.

Sean los focos F(xo, yo), F’(xo’, yo’), yo’ = yo

Caso A: Eje real paralelo al eje ox

Para la rama correspondiente al foco F’ se cumple:

d(P, F) – d(P, F’) = k (11)

significa

√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 − √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2 = 𝑘


91

(11)’

Operamos con el fin de hacer desaparecer los radicales.

Tenemos, despejando un radical: d(P,F) = k + d(P,F’)

√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 = k + √(𝑥 − 𝑥0′)2 + (𝑦 − 𝑦0′)

2


(x - xo)2 + (y - yo)

2 = k

2 + (x - xo’)

2 + (y - yo’)

2 + 2k.d(P,F’)

Desarrollando los cuadrados:

[x2 + xo

2 – 2.xxo] + [y

2 + yo

2 – 2.yyo] =

= k2 + [x

2 + xo’

2 -2.xxo’] + [y

2 + yo’

2 -2.yyo’] + 2k.d(P,F’)

Simplificando y sacando factor común tengo

-2.(xo –xo’).x -2.(yo – yo’).y + (xo2 - xo’

2 + yo

2 - yo’

2) - k

2 =

= 2.k.d(P,F’)

Y teniendo en cuenta que yo’ = yo

2.(xo – xo’).x - (xo2 - xo’

2) + k

2 = -2.k.d(P,F’)

Hago

m = 2.(xo – xo’) (Observa: m > 0)

l = -(xo2 – xo’

2) + k

2

con lo cual queda

m.x + l = -2.k.d(P,F’)

92

Elevamos otra vez al cuadrado:

m2. x

2 + l

2 + 2.m.l.x = 4.k

2.[(x - xo’)

2 + (y - yo’)

2]

Operando

m2.x

2 + l

2 + 2.m.l.x = 4.k

2.([x

2 + xo’

2 - 2.xo’x] + [y

2 + yo’

2 -2.yo’y])

Trasponemos términos nos queda

(m2 – 4.k

2 ).x

2 – 4.k

2.y

2 + (2.m.l + 8.k

2.xo’).x + 8.k

2.yo’.y +

+ (l2 -4.k

2.(xo’

2 + yo’

2)) = 0

Hacemos

A = m2 - 4.k

2

B = - 4.k2

D = 2.m.l + 8.k2.xo’

E = 8.k2.yo’

F = l2 - 4.k

2.(xo’

2 + yo’

2)

Quedando la ecuación

A.x2 +B.y

2 + D.x + E.y + F = 0 (12)

Nota: Observamos el signo de A y de B.

Signo de A: Recuerda que k = 2.a, y observando la gráfica vemos

que abs(xo – xo’) > 2.a, por tanto

A = 4.(xo- xo’)2 - 4.4.a

2 = 4.[(xo – xo’)

2 – (2.a)

2] > 0, es decir A > 0

Signo de B: Evidente B = - 4.k2 < 0


93

Casuística:

a) Si el eje focal coincide con el eje ox, entonces

yo = 0, yo’ = 0, y tenemos

m = 2.(xo – xo’)

l = -(xo2 – xo’

2) + k

2 -- >

m = 2.(xo – xo’)

l = -(xo2 – xo’

2) + k

2

A = m2 - 4.k

2

B = - 4.k2

D = 2.m.l + 8.k2.xo’

E = 8.k2.yo’

F = l2 - 4.k

2.(xo’

2 + yo’

2)

--- >

A = m2 - 4k

2

B = -4.k2

D = 2.m.l + 8.k2.xo’

E = 0

F = l2 - 4k

2.xo’

2

Y queda la ecuación

Ax2 + By

2 + Dx + F = 0 (Ecuación reducida)

(13)

b) Si el eje focal coincide con ox y además su centro coincide con

(0, 0), entonces además

xo = c, xo’ = -c (c = semidistancia focal)

m = 2.(xo – xo’)

l = -(xo2 – xo’

2) + k

2

94

--- >

m = 4.c

l = –(c2 – (-c)

2) + k

2 = k

2

y entonces

A = m2 - 4.k

2

B = - 4.k2

D = 2.m.l + 8.k2.xo’

E = 8.k2.yo’

F = l2 - 4.k

2.(xo’

2 + yo’

2)

--- >

A = 16.c2 - 4k

2 ( A > 0)

B = - 4.k2

D = 8.c.k2 - 8.k

2.c = 0

E = 0

F = l2 - 4k

2.c

2 -- > F = k

2.(k

2 – 4.c

2)

Y queda la ecuación

A.x2 + B.y

2 + F = 0 (Ecuación reducida) (14)

ECUACIÓN Canónica (normal)

Teniendo en cuenta que k = 2.a, y que

c2 – b

2 = a

2 , veamos el valor de los anteriores coeficientes en función de

a y b.

A = 16.c2 - 4k

2 = 16.c

2 - 4.4.a

2 = 16.(c

2 - a

2) = 16.b

2

B = - 4.k2 = - 4.4.a

2 = -16.a

2

Teniendo en cuenta que k2 = 4.a

2, y que a

2 – c

2 = -b

2 , tengo

F = k4 - 4k

2.c

2 = k

2.(k

2 - 4.c

2) = 4.k

2.(a

2 - c

2) = -4.4.a

2.b

2 = -16.a

2.b

2


95

Aquella (ecuación 14) queda así:

16.b2.x

2 – 16.a

2.y

2 = 16.a

2.b

2

b2.x

2 – a

2.y

2 = a

2.b

2 (14’)

y dividiendo los dos miembros por a2.b

2 queda

𝑥2

𝑎2 −

𝑦2

𝑏2 = 1 (15)

La llamamos ‘Ecuación canónica’ o ‘normal’ de la hipérbola.

NOTA: El alumno puede puede comprobar, siguiendo el mismo

proceso de cálculo, que si el punto P está situado hacia la otra rama de

la hipérbola el resultado es el mismo.

Ecuación normal de la Hipérbola cuando los ejes de simetría son

paralelos a los ejes de coordenadas y su centro es un punto

cualquiera (xo, yo):

Teniendo en cuenta el resultado obtenido más arriba: 𝑥2

𝑎2 −

𝑦2

𝑏2 = 1

si hacemos una traslación de modo que el centro de la hipérbola sea el

punto C(x0,y0), la nueva ecuación de la hipérbola es:

(𝑥−𝑥0)

2

𝑎2 −

(𝑦−𝑦0)2

𝑏2 = 1 (16)

------------------

96

2.8.3.- LA PARÁBOLA

Definiciones: Elementos de la Parábola

Fijamos una recta r y en ella un punto F que llamaremos foco. (La recta

r va a ser el eje de simetría de la parábola). Fijamos también una recta s

perpendicular a r. Se cortarán en un punto A.

“Llamamos Parábola al lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano

que equidistan del punto F y de la recta s, es decir, que cumplen

d(P,F) = d(P,s)

o bien √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 = |𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|

√𝑎2+𝑏2 (30)

Elementos de la parábola:

-Eje de simetría: Es la recta r fijada

-Recta directriz: Llamamos así a la recta s fijada (perpendicular a r por

A)

-Foco F: Es el punto fijado en la recta r

-Vértice V: Es el punto de corte de la parábola con su eje de simetría r.

Sea A el punto de corte del eje de simetría con la recta directriz s.

De la gráfica se deduce que el vértice V es el punto medio del segmento

FA.


97

Parámetro de la parábola:

-Es el valor de la distancia d(F,s) desde el foco a la directriz, y lo

representaremos por p.

Ecuación de la Parábola



Sea la ecuación de la recta s: ax + by + c = 0, y el foco F(xo,yo).

Si P(x,y) es un punto cualquiera que cumple la igualdad (30), de ésta

obtenemos

√𝑎2 + 𝑏2 . √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 = |𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐|


(a2 + b

2).[(x - xo)

2 + (y - yo)

2)] = (ax + by + c)

2

(a2 + b

2).[(x

2 + xo

2 - 2.xox) + (y

2 + yo

2 -2.yoy)] =

= a2.x

2 + b

2.y

2 + c

2 + 2ab.xy + 2ac.x + 2bc.y

Trasponiendo, simplificando y agrupando, tenemos

b2.x

2 + a

2.y

2 - 2.a.b.xy + [-2.(a

2 + b

2).xo –2.a.c].x +

+ [-2.(a2 + b

2).yo -2.b.c].y + [(a

2 + b

2).(xo

2 + yo

2) – c

2] = 0

Haciendo

A = b2

B = a2

98

C = -2.a.b

D = -2.[(a2 + b

2).xo + a.c]

E = -2.[(a2 + b

2).yo + b.c] (*)

F = (a2 + b

2).(xo

2 + yo

2) – c

2

y la ecuación queda de la forma

Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (31)

(Ecuación general de la parábola)

NOTA: La forma (31) es la misma que tomaría una cónica cualquiera,

si bien cambiaría el valor de sus coeficientes dados en el bloque (*)

Casuística:

a) Si el eje de simetría (recta r) es paralela al eje ox, entonces la recta s

es paralela al eje oy, y su ecuación es s: x + c = 0, es decir a = 1, b = 0, y

entonces

A = b2

B = a2

C = -2.a.b

D = -2.[(a2 + b

2).xo + a.c]

E = -2.[(a2 + b

2).yo + b.c]

F = (a2 + b

2).(xo

2 + yo

2) – c

2

--- >

A = 0

B = 1

C = 0

D = -2.[xo + c]

E = -2.yo

F = (xo2 + yo

2) – c

2



99

y2 + Dx + Ey + F = 0 (32)

b)Si el eje de simetría coincide con ox, entonces la recta s es paralela a

oy, será:

s: x + c = 0, y además, el foco es de la forma F(xo, 0), es decir: a = 1, b

= 0, yo = 0, y entonces

A = 0

B = 1

C = 0

D = -2.[xo + c]

E = -2.yo

F = (xo2 + yo

2) – c

2

--- >

A = 0

B = 1

C = 0

D = -2.[xo +c]

E = 0

F = xo2 – c

2


y2 + Dx + F = 0 (32)’

100

c) Si el eje de simetría coincide con ox y el vértice V coincide con (0,0),

entonces, si el foco es F(xo,0), en la recta s: x + c = 0 es c = xo, y

entonces

A = 0

B = 1

C = 0

D = -2.[xo +c]

E = 0

F = xo2 – c

2

--- >

A = 0

B = 1

C = 0

D = - 4.x0

E = 0

F = 0


y2 + Dx = 0 (33)

Si en estas condiciones hacemos xo = 𝑝

2 , y por tanto

D = - 4. 𝑝

2 = -2p, queda

y2 - 2p.x = 0 (34)


101

Por otro lado, si el eje de simetría (recta r) es paralelo al eje oy, entonces

llegamos a las siguientes tipos de ecuaciones:

a)’ Si el eje de simetría (recta r) es paralela al eje oy, entonces la recta s

es paralela al eje ox, y su ecuación es s: y + c = 0, es decir a = 0, b = 1, y

entonces

A = 1

B = 0

C = 0

D = -2.xo

E = -2.[yo + c]

F = (xo2 + yo

2) – c

2


x2 + Dx + Ey + F = 0 (35)

b)’ Si el eje de simetría coincide con oy, entonces la recta s es paralela a

ox, será:

s: y + c = 0, y además el foco es de la forma F(0,yo), es decir:

a = 0, b = 1, xo = 0, y entonces

A = 1

B = 0

C = 0

D = 0

E = -2.[yo + c]

F = yo2 – c

2

102


x2 + Ey + F = 0 (36)

c)’ Si el eje de simetría coincide con oy y el vértice V coincide con

(0,0), entonces, si el foco es F(0, yo), en la recta s: y + c = 0 es c = yo,

y entonces (Siendo a = 0, b = 1, xo = 0)

A = 1

B = 0

C = 0

D = 0

E = -4.yo

F = 0


x2 + E.y = 0 (37)

Si en estas condiciones hacemos yo = 𝑝

2 , con lo cual

E = -4. 𝑝

2 = -2p, queda

x2 - 2p.y = 0 (38)

------------

Ejemplos/Problemas:

1.- Halla la ecuación de la Elipse con focos F(4,3), F’(-2,3), y


103

k = 2.a = 8

Sol.:

Si Q(x,y) es un punto de la elipse ha de cumplirse

8)3()2()3()4( 2222 yxyx

Traspongo a la derecha el segundo radical y elevo al cuadrado

x2 +y

2 –8x –6y +25 = x

2 +y + 4x –6y +

+ 64 –16.22 )3()2( yx

Después de simplificar

16. 22 )3()2( yx = 12x +52

4.22 )3()2( yx = 3x+13

Elevo otra vez al cuadrado

16.[x2 +y

2 +4x –6y +13] = 9x

2 +169 +78

Trasponiendo y agrupando

7x2 + 16y

2 +14x –96y +39 = 0

2.- Halla la ecuación de la Hipérbola con focos F(4,2), F’(-2,2), y k =

2.a = 4

Sol.:

Si Q(x,y) es un punto de la hipérbola ha de cumplirse

104

4)2()2()2()4( 2222 yxyx

Traspongo a la derecha el segundo radical y elevo al cuadrado

x2 +y

2 –8x –4y +20 = x

2 + y

2 + 4x – 4y + 8 +

+ 16 + 8.22 )2()2( yx

Traspongo y Simplifico

8.22 )2()2( yx = -12x + 12

2.22 )2()2( yx = -3x + 3

Elevo de nuevo al cuadrado

4.[x2 + y

2 + 4x – 4y + 8] = 9.(x

2 –2x + 1)

Traspongo y simplifico

5x2 –4y

2 –34x +16y –32 = 0

3.- Halla la ecuación de la parábola con foco F(3,3), y recta directriz

r: x + 1 = 0

Sol.:

Si Q(x,y) es un punto de la parábola ha de cumplirse

d(Q,F) = d(Q,r)

22 )3()3( yx = 1

1x


105

Al elevar al cuadrado el valor absoluto se esfuma

x2 +y

2 –6x –6y +18 = x^2 +2x +1

Traspongo y simplifico

y2 –8x –6y +17 = 0

--------------

106

ACTIVIDADES y Problemas

1.- Distancia desde un punto a la recta

Sean P(2, 3), r: 3x - 2y + 4 = 0

Sol: De dos formas

A) d(P, r) = 22 )2(3

/43.22.3/

=

13

4=

13

13.4

B) Pasando la ecuación de r a formato r = <A; v>

Puntos A y B de r:

y = 0 --> 3x +4 = 0, x = -4/3, A(-4/3, 0)

y = 5 --> 3x = 6, x = 2, B(2, 5)

Vector director: v = AB = (10/3, 5)

OQ = OA + t.v = (-4/3+10/3.t, 5.t)

PQ = (-10/3 +10/3.t, -3+5.t)

Por ortogonalidad tenemos

0 = v*PQ

0 = -100/9 +100/9.t –15 +25.t

0 = -235/9 + 325/9.t --> t = 235/325, t = 47/65

Obtengo el punto Q:

OQ = (-4/3+10/3.47/65, 5.47/65) = (14/13, 47/13)

El vector PQ = (-12/13, 8/13)


107

d(P,r) = d(PQ) = √142+82

13 =

√208

13 =

4.√13

13

el mismo que obtuvimos antes, como es lógico.

2.- A)Distancia desde P(3, -2) a la recta

r: 2x+4y-5 = 0.

B)Pasar la recta anterior al formato paramétrico-vectorial y volver a

calcular la distancia pedida.

Sol.: 7.√20

20

3.- A)Analiza la posición relativa (paralelismo y perpendicularidad) de

las rectas

r: 3x+2y-6 = 0, s: 2x-5y+6 = 0

B)Lo mismo para las rectas

r: 3x+2y-6 = 0, s: 2x-3y+8 = 0

Sol.: A) m =-3/2, m’ = 2/5 , No son paralelas

Punto de corte: Obtengo P(18/19, 30/19)

B) m = -3/2, m’ = 2/3, No son paralelas

Pero ahora m’ = -1/m, Son perpendiculares

Se cortan en P(2/13, 36/13)

4.- Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,2), B(6,3),

C(4,6).

108

Sol.:

NOTA: Recordamos que el punto medio del segmento PQ, donde

P(x1,y1), Q(x2,y2), tiene coordenadas (𝑥1+𝑥2

2 ,𝑦1+𝑦2

2)

Punto medio de AB: M1(4,5/2)

Punto medio de AC: M2(3,4)

Vector AB= (4,1), pendientes m = 1/4, m’= -4

Vector AC= (2,4), pendientes m = 2, m’= -1/2

Ecuación mediatriz por M1:

y-5/2 = -4.(x-4), 8x+2y-37=0

Ecuación mediatriz por M2:

y-4 = -1/2.(x-3), x+2y-11=0

Cálculo del centro C (punto de corte de las mediatrices):

0112

03728

yx

yx, Obtengo C(52/14,51/14)

Cálculo del radio (Igual a distancia desde C hasta A (u otro de los

puntos)):

AC = (52/14 –2,51/14 –2) = (24/14, 23/14)

R = √242+232

14 =

√1105

14

5.- Analiza la posición relativa entre la recta y la circunferencia:

r: x-2y+8=0, C: x2+y

2-6x-8y+16=0

Sol.: Analizamos el sistema formado por las dos


109

01686

08222 yxyx

yx

x = 2y-8 -> (2y-8)2+y

2 –6.(2y-8)-8y+16 = 0

5y2-52y+128 = 0,

Obtengo y = 32/5 -> x = 2475, punto A(24/5,32/5)

y = 4 --> x = 0, punto B(0,4)

Se cortan en dos punto A y B

6.- Dado el triángulo ABC determina sus Medianas, sus Mediatrices, sus

Alturas. Obtener también el Baricentro, el Circuncentro, el Ortocentro.

Datos: A(6,1), B(4,5), C(1,3)

Sol.:

Punto medio de AB: M1(5,3)

Punto medio de BC: M2(5/2,4)

Punto medio de AC: M3(7/2,2)

Mediatrices:

AB = (-2,4), m = -2, m’ = 1/2

r1: y-3 = 1/2.(x-5), x-2y+1 = 0

BC = (-3,-2) -> m = 2/3, m’ = -3/2

r2: y-4 = -3/2.(x-5/2), 6x+4y-31 = 0

110

AC = (-5,2), m = -2/5, m’ = 5/2

r3: y-2 = 5/2.(x-7/2), 10x-4y-27 = 0

Medianas:

Rectas que pasan por cada vértice y el punto medio opuesto.

Obtengo: s1: y-3 = 0.(x-1), y-3 = 0

s2: y-1 = -6/7.(x-6), 6x+7y-43 = 0

s3: y-5 = 6.(x-4), 6x-y-19 = 0

Alturas:

Recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.

Obtengo:

t1: y-3 = 1/2.(x-1), x-2y+5=0

t2: y-1 = -3/2.(x-6), 3x+2y-20=0

t3: y-5 = 5/2.(x-4), 5x-2y-30=0

Baricentro:

Es el punto común a las tres medianas.

Circuncentro:

Centro de la circunferencia circunscrito al triángulo. Es el punto común

a las tres mediatrices.

Ortocentro:

Punto común a las tres alturas.


111

7.- Calcula los ángulos que determinan las rectas

r: 3x – 2y + 5 = 0,

s: -2x + 4y +7 = 0

Sol.:

Pendientes: mr = 3/2, ms = 1/2

Ángulos con ox:

gr = arcTn(3/2) = 56’31º

gs = arcTan(1/2) = 26’57º

Ángulo menor que forman:

g = gr – gs = 29’74º

El otro es 180º - 29’74º = 150’26º

8.- Halla las dos bisectrices de las rectas

r: 3x – 2y + 5 = 0,

s: -2x + 4y +7 = 0

Sol.:

Si Q(x,y) es un punto de una de las bisectrices se ha de cumplir

20

742

49

523

yxyx

742.13523.20 yxyx

Al suprimir las barras de valor absoluto quedan dos posibilidades

112

r1: 20 .(3x-2y+5) - 13.(-2x+4y+7)

r2: 20 .(3x-2y+5) + 13.(-2x+4y+7)

Simplificando tenemos las dos bisectrices.

9.- Calcula la Pot(P;C) cuando

C: x2+y

2 -5x +6y = 16, y P(-3,5).

Sol.:

Dos formas:

a) Sustituyo en x2 + y

2 -5x +6y –16 = 0

Pot(P,C)= 63

b) Determino el centro

x2 + y

2 -5x +6y –16 = 0

P(-3,5)

D= -2.xo

E= -2.yo

F= (xo2 + yo

2) – r

2

xo = 5/2, yo = -3,

r = √25

4+ 9 + 16 = √

125

4

(x-5/2)2 + (y+3)

2 - 125/4 = 0

Pot(P,C)= (-3-5/2)2 + (5+3)

2 –125/4 =

= (-11/2)2 + 64 –125/4 = 121/4 +64 –125/4

= (121 +256 –125)/4 = 252/4 = 63


113

10.- Calcula el eje radical de las circunferencias C1 de radio 5 y cuyo

centro es O1(2,3), y la circunferencia

C2: x2 + y

2 -5x +3y -12= 0.

Sol: Obtengo la ecuación de C1

(x-2)2 + (y-3)

2 = 25

x2 + y

2 –4x –6y –12 = 0

EjeR: (D-D’)x +(E-E’)y +(F-F’)= 0

(-4+5).x +(-6-3).y +(-12+12) = 0

EjeR: x –9y = 0

11.- Calcula el centro radical de las tres circunferencias

C1: x2 + y

2 +4x -3y +8= 0

C2: Centro O2(-3,2) y radio 5

C3: (x-1)2 + (y+1)

2= 9

Sol.:


(x+3)2 +(y-2)

2 = 25

C2: x2 +y

2 +6x –4y –12 = 0


C3: x2 +y

2 –2x +2y –7 = 0

EjeR(C1;C2), r1: 2x –y –20 = 0

EjeR(C1;C3), r2: -6x +y –15 = 0

Intersección de las rectas

114

0 15-y 6x -

0 20-y -2x

4x = 35, x = -35/4, y= -70/4 –20 = -110/4

Centro radical: (-35/4, -55/2)

$$$$oOo$$$$


115

116

Tema 3

Elementos básicos de la Geometría Analítica en el espacio


117

118

3.1.- Sistema de referencia cartesiano en el espacio.


Nos movemos en un medio que llamamos ‘Espacio tridimensional’.

Fijamos tres rectas 0x, 0y, 0z, tales que 0x y 0y sean perpendiculares

entre sí; sea O el punto común (punto de corte) de 0x y 0y; la recta 0z

pasará por O y será perpendicular simultáneamente a 0x y a 0y.

A estas tres rectas las llamaremos ‘ejes del sistema de referencia’, y O

es el origen del mismo.

Lo representamos por R(O; x, y, z)


El punto P de la figura queda unívocamente determinado por los tres

valores x1, y1, z1, obtenidos sobre los ejes de coordenadas. Son las

llamadas ‘coordenadas de P’, y representamos por (x1, y1, z1).

3.2.- Vectores fijos en el Espacio. Operaciones básicas


119

Observa la figura

Definiciones


Dados dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), tenemos el segmento PQ,

sin especificar si lo recorremos de P a Q o de Q a P.

Pero si convenimos que PQ hemos de recorrerlo desde P hasta Q,

tenemos el vector v = PQ, y si lo hacemos desde Q hasta P, tenemos el

vector (opuesto) w = QP. Los vectores v, w son opuestos entre sí.

A los valores

a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1

los llamaremos ‘componentes’ del vector v, y a ‘v’ lo llamamos ‘vector

fijo’ en el espacio.

120


v = PQ = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

v = (a, b, c)

La orientación de un segmento PQ, que nos lleva al vector v, la

indicamos mediante una flecha --> que va desde P hasta Q, y para su

opuesto QP con la flecha <--- en sentido contrario que va desde Q a P.

Para el vector opuesto w = QP tenemos:

a’ = x1-x2, b’ = y1-y2, c’= z1-z2

de modo que a’ = -a, b’ = -b, c’ = -c, y w = (-a, -b, -c)

Módulo de v


Teniendo en cuenta el Teorema de Pitágoras (en el espacio) obtenemos:

Mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Proporcionalidad de vectores


121



Recíprocamente, si t <> 0, también v = 1/t.w



Se cumple abs(t) = |𝑤|

|𝑣| , donde abs(t) indica el valor absoluto de t.

Operaciones básicas con vectores:

Si los vectores no tienen el mismo punto origen, entonces trasladamos

uno de los dos hasta el punto origen del otro.

‘Traslación’ significa moverlo manteniéndolo paralelo a sí mismo.

122

Suma/Resta:

Si v = (a, b, c), w = (a’, b’, c’)

suma: v + w = (a+a’, b+b’, c+c’)

resta: v - w = (a-a’, b-b’, c-c’)

Producto de escalar por vector:

Definimos el producto del valor real t por el vector v = (a, b, c), como

sigue:

t.v = t.(a, b, c) = (t.a, t.b, t.c)

3.3.- Producto Escalar de dos vectores

Observa la figura de más abajo.

Def.:

Llamamos “Producto escalar” de los vectores v, w, y lo representamos

por v*w, al valor determinado por la siguiente igualdad:


donde v^w representa el ángulo formado por v y w (con origen en v

hasta w, en sentido contrario al reloj).

Tengamos en cuenta que v y w determinan un plano sobre el cual

medimos el ángulo (v^w) que forman.

Si el ángulo g = (v^w) es de 90º, entonces cos(g) = 0, y por tanto

v*w = 0 (Su imagen se reduce a un punto).

Si el ángulo g es 0º entonces cos(g) = 1, y por tanto: v*w = /v/./w/, igual

a /v/ si /w/ = 1.

Interpretación geomérica del producto escalar de dos vectores:


123

Observa la figura

El valor v*w nos da la longitud del “segmento proyección de v sobre la

recta determinada por w”.

Proyecciones:

Llamamos ‘proyección ortogonal’, de un punto P sobre una recta r, al

punto de corte de r con la perpendicular a r por P.

Proyección de un segmento sobre r es el segmento que resulta de

proyectar cada uno de sus puntos.

124

Es algo así como la sombra que el segmento AB ‘proyecta’ sobre la

recta r, suponiendo los los ‘rayos’ de luz proceden de un foco situado en

el infinito (tandistante como podamos imaginar) y de modo que el

segmento queda situado entre la recta y dicho foco.

En la ‘proyección ortogonal’ suponemos que el foco está realmente en

el infinito y por tanto que los rayos, que son paralelos entre sí, inciden

‘perpendicularmente’ sobre la recta r.

3.4.- Sistema de Referencia ortogonal.

Sistema de Referencia ortonormal

Ya hemos dicho que el sistema de referencia en el que trabajamos tiene

sus ejes perpendiculares entre sí, y decimos que es ‘Ortogonal’.


125

Sobre el eje 0x tomo el vector e1, con origen en 0 y con módulo /e1/ =

1. Sobre el eje 0y tomo el vector e2, con origen en 0 y módulo /e2/ = 1,

y sobre el eje 0z tomo el vector e3, con origen en 0 y módulo /e3/ = 1.

Al resultado lo llamamos ‘Sistema de referencia ortonormal’

(Abreviado: s.r.o)

En un s.r.o el resultado del producto escalar queda así:

(a, b, c)*(a’, b’, c’) = a.a’+b.b’+c.c’

El alumno puede comprobarlo, y será demostrada más adelante.

$$$$oOo$$$$

126

Tema 4

Geometría Analítica en el Espacio


127

128

NOTA: Para que el estudio del presente Tema 4 resulte más eficaz

recomendamos al alumno un estudio previo ‘somero’ del Tema 5 en la

parte dedicada a los vectores y Espacios vectoriales, ya que en el

presente tema 4 se hará uso de estos conceptos siempre que se considere

oportuno, tanto conceptualmente como por su utilidad práctica.

4.1.- La recta y el plano en el espacio

Def.:

Idea intuitiva de recta en el espacio:

Abundando en lo que ya se ha dicho, añadimos lo siguiente.

Es “una sucesión densa e ilimitada de puntos”.


129

Densa en el sentido de que entre dos puntos cualesquiera siempre

existen otros puntos.

Ilimitada en el sentido de que no tiene principio ni final.

Queda pendiente el problema de la curvatura.

En general:

“Una sucesión densa e ilimitada de puntos” es una línea. Esta linea

puede ser “curvada” o puede ser “recta”, según que en alguno de sus

puntos tenga o no ‘curvatura’. Para el análisis de la curvatura de una

línea se requere entrar en el campo de las derivadas, e incluso la

derivación de segundo orden, asunto que no podemos tratar en este Vol.

5

Entendemos por “la recta” cuando la curvatura es cero en cada uno de

sus puntos.

Resumiendo:

En nuestro intelecto ‘todos’ (todos pensamos que así es) tenemos la

‘idea intuitiva’ de ‘qué es una recta’.

En este Tema estudiaremos su ‘expresión analítica’, que llamamos

también ‘ecuación de la recta’.

Por ahora nos quedamos con la idea intuitiva de “línea recta” que todos

tenemos.

No me resisto a mencionar aquí el concepto de ‘segmento’:

“Parte ‘continua’ de una recta limitada por dos puntos A, B,

extremos del segmento”.

No es simplemente un conjunto de puntos de la recta porque podrían ser

puntos ‘aislados’, ha de ser un ‘continuo’ sin ‘lagunas’.

130

Pues bien, para el ‘profano’ una recta no será otra cosa que un segmento

‘ilimitado’ por ambos extremos. ¡Y HASTA AQUÍ HEMOS

LLEGADO!

Def.:

El plano: Idea intuitiva

Si tomo dos rectas r y s que se cortan en un punto A. Fijamos sendos

puntos P en r y Q en s, y consideramos la recta t que pasa por P y Q. Si

hacemos que los puntos P y Q se muevan sobre las rectas r y s,

respectivamente, entonces la recta t ‘barre’ una parte ‘m’ del espacio.

Evidentemente, esta parte m del espacio contiene todos los puntos de r y

los de s, es decir, contiene a las dos rectas.

“A este conjunto m de puntos del espacio lo llamamos ‘plano’”

(determinado por las dos rectas).

Observamos que:

a)El plano queda determinado por las dos

rectas, ya que de cualquier modo que hagamos el citado ‘barrido’ resulta

el mismo conjunto de puntos.

b)Un plano también queda determinado por tres

de sus puntos A, B y C: Tomamos r como la recta

que pasa por A y B, y s la que pasa por A y C,

y estamos en la situación anterior.

Podemos referirnos a este plano mediante ABC.

Planos del sistema de referencia:

En la figura, Las rectas 0x, 0y determinan el plano 0xy; el par de rectas

0x, 0z determinan el plano 0xz; el par 0y, 0z determinan el plano 0yz.

Los llamaremos ‘planos’ del sistema de referencia.



131

Sea un punto P cualquiera. Por P hacemos pasar dos rectas: una paralela

a 0x y otra paralela a 0y; estas rectas determinan un plano ‘m1’ que,

evidentemente, es paralelo al plano 0xy, y corta al eje 0z en un punto

P1(0, 0, z1).

De forma análoga obtenemos un plano ‘m2’ paralelo al plano 0xz, y

que corta al eje 0y en un punto P2(0, y1, 0). Y finalmente obtenemos un

plano ‘m3’ paralelo al plano 0yz, y que cortará al eje 0x en un punto

P3(x1, 0, 0).

Las coordenadas de P son (x1, y1, z1).

4.2.- Ecuación del plano en el espacio. Sus tipos

Observa la figura

Vimos que dos rectas r y s, con un punto común, determinan un plano.

Si A(x0,y0,z0) es el punto de corte de r y s, y, P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2)

son sendos puntos de r y s, tenemos los vectores w1 = AP, director de r,

y w2 = AQ, director de s.

132

Estos vectores no son proporcionales entre sí, pues si lo fueran las rectas

coincidirían.

Si tomo otro punto R(x, y, z) cualquiera del plano, el vector AR puede

ser expresado como combinación lineal de los dos vectores w1, w2,

esto es

AR = t.w1 + u.w2, donde t, y u son valores reales.

Cuando el par (t, u) recorren el conjunto RxR, el punto R(x, y, z)

recorre el plano.

Por otro lado, el punto R(x, y, z) queda localizado (desde el origen de

coordenadas) mediante el vector

OR = OA + t.w1 + u.w2

(Ecuación paramétrico-vetorial del plano)

Diremos que los vectores

w1 = AP, w2 = AQ


133

son vectores directores del plano (en realidad, como veremos al estudiar

los espacios vectoriales son generadores del subespacio director del

plano)

Podemos representar el plano mediante

m = <A; w1, w2>

Escribiremos:

a = x1-x0, a’ = x2-x0,

b = y1-y0, b’ = y2-y0,

c = z1-z0, c’ = z2-z0,

w1 = (a, b, c), w2 = (a’, b’, c’)

La ecuación anterior, tomando las componentes de los vectores w1, w2

queda como sigue:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t.(a, b, c) + u.(a’, b’, c’)

de donde las componentes de OR son:

{x = x0 + t. a + u. a’y = y0 + t. b + u. b’z = z0 + t. c + u. c’

t, u recorriendo R

(Ecuaciones paramétricas del plano)

Si despejamos t de la primera y lo sustituimos en las otras dos, operando

quedan dos ecuaciones que contienen el parámetro u. Si de una de estas

despejo u y lo sustituyo en la otra, queda una sola ecuación que ya no

contiene ninguno de los parámetros.

134

En Matemáticas: Decimos que hemos ‘eliminado’ los parámetros para

obtener la ecuación ‘cartesiana’ del plano.

Operando, simplificando, agrupando y trasponiendo queda de la forma

A.x + B.y + C.z + D = 0

(Ecuación general o cartesiana del plano)

NOTA: Recomiendo consultar además el Apéndice 2

4.3.- Posición relativa entre dos planos

Observa la figura

Dos planos m1 y m2 pueden estar en cualquiera de las siguientes

posiciones:


135

a1) Paralelismo estricto. Ningún punto común

a2) No paralelos y por tanto se cortan, y lo hacen siempre en una recta

de puntos comunes.

a3) Coinciden (pueden tener distinta ecuación aparentemente y sin

embargo representar el mismo plano)

¿Cómo saber en qué caso estamos? Lo vemos a continuación

A)

Supongamos que los planos m1 y m2 vienen dados por un punto y dos

vectores directores:

m1 = <P; v1, v2>, siendo P(x1, y1, z1),

v1 = (a11, b11, c11),

v2 = (a12, b12, c12)>

m2 = <Q; w1, w2>, siendo Q(x2, y2, z2),

w1 = (a21, b21, c21),

w2 = (a22, b22, c22)>

Si son paralelos, los vectores w1 y w2 yacen sobre el plano m2 paralelo

al plano m1, y tanto w1 como w2 podrán expresarse como ‘combinación

lineal’ de v1 y v2:

{w1 = t1. v1 + t2. v2w2 = s1. v1 + s2. v2

donde las incógnitas son t1, t2, s1, s2

Si estas expresiones fuesen posible querría decir que los planos son

paralelos, en otro caso no son paralelos y por tanto se cortan.

136

Equivale a: Sistema compatible = Planos paralelos ó coincidentes

Sistema incompatible = Planos no paralelos

B)

Tenemos las ecuaciones generales de los dos planos:

m1: A.x+B.y+C.z+D = 0,

m2: A’.x+B’.y+C’.z+D’ = 0,

Si no tienen punto en común, y por tanto son paralelos, equivale a que el

sistema

{𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0

es incompatible.

En cambio, si al intentar resolverlo tenemos:

-Una incógnita libre, entonces se cortan según una recta.

-Dos incógnitad libres, entonces coinciden.

Resumen:

Si se cortasen según una recta s, tomando dos soluciones del sistema,

sean P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), tenemos el vector director de esa recta

s: v = PQ.

En este caso en el que tenemos sus ecuaciones cartesianas, en el caso de

ser paralelos se cumple

A’/A = B’/B = C’/C, y recíprocamente, si se cumplen estas

igualdades los planos son paralelos.

En el caso de coincidir se cumple

A’/A = B’/B = C’/C = D’/D, y recíproco


137

C)

Los planos vienen dados por sus ecuaciones paramétrico-vectoriales:

m1: OR = OP + t.v1 + u.v2

m2: OR’= OQ + t’.w1 + u’.w2

Tenemos que determinar dos puntos P y Q que cumplan las dos

igualdades, y así queda demostrado que se cortan según una recta y,

además, tenemos un vector director de dicha recta común.

Si el punto P(x, y, z) es un punto común a m1 y m2, entonces, por ser

punto de m1 tenemos

{x = x1 + t. a11 + u. a12y = y1 + t. b11 + u. b12z = z1 + t. c11 + u. c12

por ser punto de m2 tenemos

{x = x2 + t’. a21 + u’. a22y = y1 + t’. b21 + u’. b22z = z1 + t’. c21 + u’. c22

Igualando los miembros de la derecha para cada variable x, y, z,

obtenemos un sistema de tre ecuaciones con cuatro incógnitas:

{

𝑎11. 𝑡 + 𝑎12. 𝑢 − 𝑎21. 𝑡′ − 𝑎22. 𝑢′ = (𝑥2 − 𝑥1)

𝑏11. 𝑡 + 𝑏12. 𝑢 − 𝑏21. 𝑡′ − 𝑏22. 𝑢′ = (𝑦2 − 𝑦1)

𝑐11. 𝑡 + 𝑐12. 𝑢 − 𝑐21. 𝑡′ − 𝑐22. 𝑢′ = (𝑧2 − 𝑧1)

donde las incógnitas son los parámetros t, u, t’, u’.

Análisis:

A) Sistema incompatible significa que los planos son paralelos,

puesto que no tienen ningún punto en común.

138

B) Sistema compatible: Solución una recta, ó solución un plano. En

este segundo caso los dos planos coinciden.

4.4.- Posición relativa de tres planos:

Vamos a suponer que los planos están dados mediante sus ecuaciones

cartesianas, y las presentamos formando sistema, ya que deseamos

obtener sus puntos comunes, si los tienen, lo cual ocurrirá si nigún par

de planos son paralelos:

Analizando este sistema demostraremos cada uno de los posibles casos

que se muestran en la figura.


139

{

1.13.12.11 bzayaxa

2.23.22.21 bzayaxa

3.33.3231 bzayaxa

A) Sistema compatible determinado: Solución única. Un punto

común

B) Sistema compatible con una Incógnita libre: Tienen en común

una recta. Tomo dos soluciones P, Q, y el vector v = PQ es

director de la recta.

C) Sistema compatible con dos incógnitas libres: Tienen en común

un plano, por consiguiente coinciden los tres planos. Tomo tres

soluciones P, Q, R, y los vectores v = PQ, w = PR son

directores del plano común.

D) Sistema incompatible: No tienen nigún punto común. Entonces

pueden ocurrir varios casos:

-Dos son paralelos y el otro corta a cada uno según una recta.

-Los tres son paralelos.

-Ningún par es paralelo, cortándose dos a dos según una recta.

4.5.- Ecuación de la recta en el Espacio. Sus tipos

A) Dos puntos determinan una recta:

Dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2) determinan una recta.

Si R(x, y, z) es otro punto cualquiera de la recta, los vectores v = PQ y

w = PR son proporcionales, y por tanto:

w = t.v, donde t es un valor real

140

Para las componentes de v escribiremos

a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1,

v = (a, b, c)

Cuando t recorre el conjunto R de los números reales el punto R(x, y, z)

recorre la recta.

El punto R viene localizado por el vector

OR = OP + t.v (1)

(Ecuación paramétrico-vectorial de la recta)

En coordenadas: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c)

{

x = x1 + t. (x2 − x1)

y = y1 + t. (y2 − y1)

z = z1 + t. (z2 − z1) (2)

(Ecuaciones paramétricas de la recta)

Las igualdades (2) también puedo expresarlas así:


141

{x − x1 = a. ty − y1 = b. tz − z1 = c. t

(3)

de donde

r: 𝐱−𝐱𝟏

𝐚 =

𝐲−𝐲𝟏

𝐛 =

𝐳−𝐳𝟏

𝐜 (4)

(Ecuación continua de la recta)

Si en (2) aplico el método de ‘despeje y sustitución’ para eliminar el

parámetro t, tengo

t = x − x1

x2 − x1

y-y1 = x−x1

x2−x1. (y2 − y1) , z-z1 =

x−x1

x2−x1. (z2 − z1)

o bien: y = y1 + 𝑏

𝑎 .(x-x1),

z = z1 + 𝑐

𝑎 .(x-x1)

y operando en éstas, y después de simplificar, agrupar y trasponer

términos, quedan dos ecuaciones en x, y, z, formando sistema de la

siguiente forma

{Ax + By + Cz + D = 0 A’x + B’y + C’z + D’ = 0

(5)

(Ecuaciones generales que determinan una recta como intersección de

dos planos)

4.6.- Posición relativa entre recta y plano

Sean una recta r cuya ecuación es r: OR = OP + s.v,

donde P(x0, y0, z0), v = (a, b, c),

142

o bien r: 𝐱−𝐱𝟏

𝐚 =

𝐲−𝐲𝟏

𝐛 =

𝐳−𝐳𝟏

𝐜

y el plano m: OR = OA + t.w1 + u.w2

donde A(x1,y1,z1), w1 = (a11,a12,a13),

w2 = (a21, a22, a23)

Tomamos los vectores:

v = (a, b, c), director de r, y directores de m.

w1 = (a11, a12, a13) , w2 = (a21, a22, a23),

A) Paralelismo:

Si la recta es paralela al plano (no tienen ningún punto común)

entonces el vector v es paralelo al plano sobre el que subyacen w1 y

w2, lo que significa que puedo expresar v como combinación lineal


143

de w1 y w2. Esto significa que ‘v pertenece al sub-espacio’ generado

por w1 y w2, y por tanto

v = t.w1 + u.w2 (8)

para algún par de valores reales concretos t, u.

Desarrollando (8) obtengo el sistema

{

a21.u a11.t a

a22.u a12.t b

a23.u a13.t c

(9)

cuyas incógnitas son t y u.

Analizando este sistema Pueden ocurrir dos cosas:

a) Si el sistema (9) es compatible, la recta es paralela al plano, ó

yace sobre el plano.

b) Si el sistema (9) es incompatible significa que no son paralelos,

se cortarán en un punto, que lo obtendremos resolviendo el

siguiente sistema (10).

En el caso b) seguro que se cortarán en un punto, pues en otro caso

serían paralelos.

El análisis anterior sólo nos dice si son o no paralelos. Más completo es

el siguiente análisis.

Analizamos el siguiente Sistema formado por la recta y el plano. Las

dos primeras corresponden a la recta determinada por dos planos, y la

tercera es el plano dado.

144

{

𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 + 𝑎13. 𝑧 + 𝑎14 = 0𝑎21. 𝑥 + 𝑎22. 𝑦 + 𝑎23. 𝑧 + 𝑎24 = 0𝑎31. 𝑥 + 𝑎32. 𝑦 + 𝑎33. 𝑧 + 𝑎34 = 0

(10)

-Sistema compatible determinado -> Se cortan en un punto, no son

paralelos.

-Sistema compatible indeterminado -> Infinitos puntos comunes, la

recta está sobre el plano.

-Sistema incompatible, entonces son paralelos sin puntos comunes.

B) Perpendicularidad: Si tienen un punto, y sólo uno, en común,

entonces su ‘corte’ se puede producir de dos formas:

-La recta es perpendicular al plano

-No es perpendicular, corta de forma oblicua

Veamos condiciones para que corte siendo perpendicular.

La recta corta al plano formando con él ángulo de 90º, el vector v será

ortogonal (ángulo de 90º) con cada uno de los vectores w1, w2 (que

generan el suespacio director del plano).

Por tanto, si v = (a, b, c) es un vector director de la recta, ha de

cumplirse

v*w1 = 0,

v*w2 = 0 (11)

Desarrollando queda

{a. a11 + b. a12 + c. a13 = 0a. a21 + b. a22 + c. a23 = 0

(12)

Cálculo del punto de corte:


145

Para obtener el punto común, punto de corte, podemos operar con sus

ecuaciones paramétrico-vectoriales, o con sus ecuaciones cartesianas.

a) En forma paramétrico-vectorial:

Sea un punto R(x, y, z) común, y tengo

r: OR = OP + s.v,

m: OR = OA + t.w1 + u.w2, (13)

Igualando los miembros derecha obtenemos un sistema cuyas incógnitas

son los tres parámetros s, t, u:

{x0 + a. s = x1 + a11. t + a21. uy0 + b. s = y1 + a12. t + a22. uz0 + c. s = z1 + a13. t + a23. u

(14)

Sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas.

Recuerda que P(x0, y0, z0) es punto de la recta, A(x1, y1, z1) es punto

del plano.

Resolvemos el sistema, y obtenido el valor de s, tenemos el punto R en

la recta, que es común con el plano, así: OR = OP + s.v

b) En cartesianas:

Podemos optar por pasar a ecuaciones cartesianas; las dos primeras son

las que determinan r como intersección de dos planos, la tercera es el

plano:

{

b1 a13.za12.y a11.x

b2 a23.za22.y a21.x

b3 a33.za32.y a31.x

(15)

146

donde: b1 = -a14, b2 = -a24 de la recta, b3 = -a34 del plano.

Resuelto el sistema, la solución es el punto común.

Recuerda: -Sistema compatible determinado = se cortan en un punto

-Sistema compatible indeterminado = la recta está sobre el

plano.

4.7.- Posición relativa entre dos rectas

Tomo dos rectas:

r1: OR1 = OP + t.v1

r2: OR2 = OQ + u.v2 (16)

donde

P(x1, y1, z1), v1 = (a11, a12, a13)

Q(x2, y2, z2), v2 = (a21, a22, a23)

A) Paralelismo:

Observa siguiente figura

Son paralelas si los vectores directores v1 y v2 son proporcionales entre

sí. Esto es así cuando exista un valor t1 que cumpla:

v2 = t1.v1 (17)

Si además tienen algún punto en común, entonces son coincidentes. Para

analizar este hecho planteamos

OP + t.v1 = OQ + u.(t1.v1)

y desarrollando tenemos el sistema

{

x1 + a11. t = x2 + (t1. a11). u

y1 + a12. t = y2 + (t1. a12). uz1 + a13. t = z2 + (t1a13). u

(18)

cuyas incógnitas son los parámetros t y u.


147

Hechos los arreglos tenemos el sistema

{

12).11.1(.11 xxuatta

12).12.1(.12 yyuatta

12).13.1(.13 zzuatta

(19)

Sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas.

Si v1, v2 no son proporcionales, es decir, ningún valor real cumple la

igualdad (17), entonces no son paralelas y decimos que se cruzan.

B) Perpendicularidad:

Las dos rectas

r1: OR1 = OP + t.v1

r2: OR2 = OQ + u.v2 (20)

pueden cruzarse perpendicularmente o no.

Son perpendiculares si v1 * v2 = 0, en otro caso no lo son.

C) Son coplanarias o no:

148

Observando la figura, y acudiendo a nuestra imaginación, son

coplanarias si ocurre:

-Son paralelas

-Se cortan

La primer posibilidad la hemos estudiado antes. Analizamos la segunda.

Cálculo del posible punto común de dos rectas:

Vectorialmente planteo el sistema

P + t.v1 = OQ + u.v2 (21)

que desarrollando tenemos

{x1 + a11. t = x2 + a21. uy1 + a12. t = y2 + a22. uy1 + a12. t = y2 + a22. u

(22)

cuyas incógnitas son los parámetros t y u.

Hechos los arreglos tenemos el sistema

{

12.21.11 xxuata

12.22.12 yyuata

12.23.13 zzuata

(23)

que debe tener solución única.

En caso afirmativo son coplanarias y el plano que las contiene es:

“Plano determinado por el punto común y sus respectivos dos vectores

directores v1, v2”.

En otro caso no se cortan y decimos que se cruzan


149

En cartesianas:

Si para obtener el punto común a dos rectas, después de comprobar que

son coplanarias (ver más adelante), los datos que tenemos son sus

ecuaciones cartesianas, nos encontraremos con un sistema de cuatro

ecuaciones (cuatro planos) que hemos de resolver.

Ejemplos:

El alumno debe comprobar los resultados que se indican.

1.- Sean los tres planos

103

732

17432

zyx

zyx

zyx

Sol.: Tienen un solo punto común que es P(2, -3, 1)

2.- Sea un plano

m: 4x +2z = 2

y la recta r:

432

723

zyx

zyx

Sol.: La recta corta al plano en el punto P(-1, 2, 3)

3.- Sean las dos rectas

r1 = <P; v1>, P(2, 1, 3), v1 = (3, 0, 2)

r2 = <Q; v2>, Q(-1, 1, 1), v2 = (2, 1, 0)

Sol.:

Punto genérico de r1: OX = (2, 1, 3) + t.(3, 0, 2)

Punto genérico de r2: OY = (-1, 1, 1) + u.(2, 1, 0)

Comprueba que son coplanarias y se cortan en el punto A(-1, 1, 1)

--------------

4.8.- Distancias en el Espacio

150


Sean dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2). La distancia que los separa

coincide con el módulo del vector v = PQ.

Aplicando Pitágoras tenemos

d(P,Q) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

4.8.2.- Distancia desde un punto a una recta

NOTA:

Aunque su cálculo puede resultar más fácil después del estudio

‘distancia desde un punto a un plano’, por motivos conceptuales lo

expongo aquí y en la siguiente forma.


151

Def.:

“Distancia desde P hasta r es el menor de los valores d(P, Q), cuando Q

recorre la recta r”.

El menor de estos valores se da cuando Q es el punto de corte, R, de la

recta s que, pasando por P, es perpendicular a r.

Caso A: Tenemos la ecuación vectorial de r

Sean la recta r = <A; v>, donde A(x0, y0, z0), v = (a,b,c), y el punto

P(x1, y1, z1) que suponemos no está en la recta.

Un punto Q(x, y, z) cualquiera de r viene dado por

OQ = OA + t.(a, b, c), para algún valor real t

Componentes de vector OQ

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t.(a, b, c)

Tenemos

OQ = OA + t.(a, b, c)

OQ = OP + PQ, de donde: PQ = OQ – OP

o bien PQ = [OA+t.(a, b, c)] – OP

de donde: PQ = (OA-OP) + t.(a, b, c)

152

y por tanto

PQ = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) + t.(a, b, c) =

= (x0-x1+a.t, y0-y1+b.t, z0-z1+c.t)

(24)

Por otro lado, imponemos que PQ y v son ortogonales, y por tanto:

PQ*v = 0, (* es el prod. esc.)

Esta condición nos lleva a la igualdad

0 = a.(x0-x1 + a.t) + b.(yo-y1 + b.t) + c.(zo-z1 + c.t)

(25)

0 = a.(x0-x1) + b.(y0-y1) + c.(z0-z1)+ (a2 + b

2 + c

2).t (26)

Operando, agrupando y simplificando obtenemos una ecuación de la

forma

A.t = B (27)

de donde despejamos el valor de t.

Observa: A = a2 + b

2 + c

2 , B = a.(x0-x1) + b.(y0-y1) + c.(z0-z1)

Esto nos permite obtener el punto Q en la recta r, que es el corte de r y s.

Decimos que Q es ‘el pié de la perpendicular por P a la recta r’.

Después: d(P, r) = d(P, Q) (28)

NOTA:

Si el vector v estuviese normalizado, es decir, / v / = 1, siendo

v = (n1, n2, n3), la igualdad (26) quedaría así:

0 = n1.(x0-x1)+ n2.(y0-y1)+ n3.(z0-z1) + (n12 +n2

2 +n3

2).t

y teniendo en cuenta que n12 +n2

2 +n3

2 = 1, queda

t = n1.(x0-x1) + n2.(y0-y1) + n3.(z0-z1)


153

Además, teniendo en cuenta que

n1 = 𝑎

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 , n2 =

𝑏

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 , n3 =

𝑐

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

podemos expresar

t = 𝑎.(𝑥0−𝑥1)+𝑏.(𝑦0−𝑦1)+𝑐.(𝑧0−𝑧1)

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ,

coincidiendo que

d(P, r) = 𝑎.(𝑥0−𝑥1)+𝑏.(𝑦0−𝑦1)+𝑐.(𝑧0−𝑧1)

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

Caso B: Tenemos las ecuaciones cartesianas de r

{014.13.12.11 azayaxa

024.23.22.21 azayaxa (29)

Interesa pasar al formato r = <A; v>, paramétrico-vectorial. Para

obtener este formato procedemos como sigue.

Obtenemos dos puntos A y B de r:

Damos valor a la incógnita libre, supongamos que puede serlo z. Si

hacemos z = z1 obtenemos el sistema

{1.1314.12.11 zaayaxa

1.2324.22.21 zaayaxa

Resolviendo este sistema tenemos el punto A(x1, y1, z1).

Si hacemos z = z2 obtenemos el sistema

154

{2.1314.12.11 zaayaxa

2.2324.22.21 zaayaxa

Resolviendo este sistema tenemos otro punto B(x2, y2, z2).

Tengo así un vector director de la recta r

v = AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1), que supongo v = (a, b, c)

Realizo a continuamos los cálculos del caso A).

4.8.3.- Distancia desde un punto a un plano

Por motivos conceptuales hago una exposición completa de este punto,

pero advierto que la fórmula práctica para obtener dicha distancia la

obtenenmos en el punto 4.8.4 que sigue.

Caso A: Plano dado por su expresión vectorial

Defi.:

“Distancia desde un punto P hasta un plano m es la menor de las

distancias d(P,Q) cuando Q recorre el plano m”.

Sean P(x1, y1, z1) un punto y m = <A; w1, w2> el plano determinado

por el punto A y dos vectores directores w1, w2. Las rectas que pasan

por P y no son paralelas al plano lo cortan en algún punto Q.

Consideremos las distancias d(P, Q) cuando Q recorre el plano. Es fácil

convencerse de que la menor de estas distancias la obtenemos cuando Q

es el punto de corte con m de la recta s que, pasando por P, es

perpendicular a m.


155

Tenemos

Punto P(x1, y1, z1)

Plano m = <A; w1, w2>, donde A(x0, y0, z0)

w1 = (a11, a12, a13), w2 = (a21, a22, a23)

Un punto Q cualquiera del plano viene dado por

OQ = OA + t.w1 + u.w2 (30)

Tenemos además: OQ = OP + PQ, de donde

PQ = OQ-OP, PQ = OA + t.w1 + u.w2 – OP

PQ = (OA-OP) + t.w1 + u.w2

156

Esta última expresada por sus componentes queda:

PQ = (x0-x1, y0-y1, z0-z1)+ t.(a11, a12, a13) + u.(a21, a22, a23)

PQ = (x0-x1 + a11.t + a21.u, y0-y1 + a12.t + a22.u,

, z0-z1 + a13.t + a23.u) (31)

Si la recta s es perpendicular al plano, el vector PQ es ortogonal con w1

y con w2:

PQ*w1 = 0

PQ*w2 = 0

Por tanto tenemos

0 = a11.( x0-x1 + a11.t + a21.u) + a12.(y0-y1 + a12.t + a22.u) +

+ a13.(z0-z1 + a13.t + a23.u)

0 = a21.( x0-x1 + a11.t + a21.u) + a22.( y0-y1 + a12.t + a22.u) +

+ a23.( z0-z1 + a13.t + a23.u)

(32)

Después de operar, agrupar y simplificar, queda un sistema de la forma

{𝐴11. 𝑡 + 𝐴12. 𝑢 = 𝐵1𝐴21. 𝑡 + 𝐴22. 𝑢 = 𝐵2

(33)

Resolviendo obtengo el valor de los parámetros t y u, y obtengo el punto

Q, pie de la perpendicular s.

Después: d(P, m)= d(P, Q)

Caso B: El plano viene dado por su ecuación general

Sea m: a11.x + a12.y + a13.z –a14 = 0


157

Podemos optar por pasar al formato m = <A; w1, w2> paramétrico-

vectorial. Para conseguirlo hemos de obtener tres puntos A, B, C del

plano. Damos valor a las dos incógnitas libres y obtengo el valor de la

otra. Tengo así el punto A. Del mismo modo obtenemos los puntos B y

C. Después tomamos los vectores

w1 = AB, w2 = AC, y tenemos la ecuación

vectorial del plano: m = <A; w1, w2>, y a continuación operamos

como en el caso A).

Más cómodo resultará aplicar la conclusión final del siguiente punto.

4.8.4.- Distancia desde el origen de coordenadas, O(0, 0, 0), a un

plano m: Ax + By + Cz + D = 0

Voy a obtener un vector w que lleve desde O hasta m en la dirección de

la perpendicular.

Obtengo dos vectores w1, w2, directores de m.

Dando valores: y = 0, z = 0 -> x0 = -D/A

->A(x0, 0, 0)

y = 1, z = 0 -> x1 = -(B+D) / A -> punto P1(x1, 1, 0)

y = 0, z = 1 -> x2 = -(C+D) / A -> punto P2(x2, 0, 1)

y tengo los vectores: w1 = (x1-x0, 1, 0), w2 = (x2-x0, 0, 1)

158

Obtengo un vector w ortogonal con w1 y w1:

w = (x, y, z) -> {𝑥. (𝑥1 − 𝑥0) + 𝑦 = 0

𝑥. (𝑥2 − 𝑥0) + 𝑧 = 0 ->

doy valor x = 1 -> {y = x0 – x1 = −

D

A+B+D

A=

𝐵

𝐴

𝑧 = 𝑥0 − 𝑥2 = −𝐷

𝐴+𝐶+𝐷

𝐴 =

𝐶

𝐴

y obtengo

w = (1, B/A, C/A). Puedo tomar uno proporcional como es

w = (A, B, C)

Corolario: (Muy práctico)

Dado el plano m: Ax + By + Cz + D = 0, la dirección definida por el

vector w = (A, B, C) es perpendicular a m.

Otra forma: El vector w es ortogonal con el sub-espacio <w1, w2>

director del plano.

Para obtener la distancia d(O, m) basta construir un nuevo vector w que

nos lleve desde O hasta el punto Q del plano, en la dirección ortogonal a

m.

Si ‘normalizo’ el vector w = (A, B, C), obtengo

u = 1

√𝐴2+𝐵2+𝐶2 . (𝐴, 𝐵, 𝐶) = (n1, n2, n3)

El valor de t tal que OQ = t.u es justo la distancia deseada. Entonces


159

w = t.(n1, n2, n3) = (n1.t, n2.t, n3.t)

Para que Q esté en el plano las componentes de w deben cumplir la

ecuación del plano:

A.(n1.t) +B.(n2.t) +C.(n3.t) + D = 0,

(A.n1 + B.n2 + C.n3).t = -D, t = −𝐷

𝐴.𝑛1+𝐵.𝑛2+𝐶.𝑛3

Teniendo en cuenta lo que representan n1, n2, n3

n1 = 𝐴

√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , n2 =

𝐵

√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , n3 =

𝐶

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

resulta, después de operar y simplificar

t = = −𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

Conclusión : d(O, m) = −𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

Evidentemente, si lo que interesa es la distancia tomaremos el valor

absoluto.

Corolario 2: Distancia entre dos planos

m: Ax + By + Cz + D = 0,

160

m’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Por ser paralelos: 𝐴′

𝐴=

𝐵′

𝐵=

𝐶′

𝐶 = 𝑘 → {

𝐴′ = 𝑘. 𝐴𝐵′ = 𝑘. 𝐵 𝐶′ = 𝑘. 𝐶

-- >

m’: k.(Ax +By +Cz) +D’ = 0

Tengo para la distancia entre los dos planos

d = d(O, m’) –d(O, m) = −𝑫′

𝒌.√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐−

−𝑫

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐

Observa que podemos hacer:

m: Ax + By + Cz + D = 0, m’: k.(Ax + By + Cz) + D’ = 0,

y para la ecuación de m’ además: m’: Ax + By + Cz + D’/k = 0, y

llamando D’ al valor D’/k, puedo hacer que los coeficientes de x, y, z

sean iguales en los dos planos, con lo cual puedo tomar

d = d(O, m’) –d(O, m) = −𝑫′

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐−

−𝑫

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐

d = −𝑫′+𝑫

√𝑨𝟐+𝑩𝟐+𝑪𝟐

Corolario 3:

Distancia desde el punto P(x0, y0, z0) a un plano

Sea el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0


161

Hago pasar por P un plano m’ paralelo a m. Será de la forma

m’: Ax +By +Cz +D’ = 0, donde D’ ha de cumplir con la

condición de que m’ pasa por P:

D’ = -(A.x0 +B.y0 +C.z0), y por tanto

m’: Ax +By +Cz - (A.x0 +B.y0 +C.z0) = 0,

Entonces

d(P, m) = d = d(O, m’) –d(O, m) = (𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶.𝑧0) +𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

Conclusión:

d(P, m) = 𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶.𝑧0 +𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

Esta fórmula es ¡excepcionalmente práctica!

4.8.5.- Distancia entre dos planos

Sean dos planos m, m’. Si se cortan la distancia entre ellos es cero.

Suponemos que son paralelos.

Lo hemos resuelto en el corolario 2 del punto anterior 4.8.4.

Otra forma sería obtener los dos puntos P y Q determinados por la

perpendicular trazada desde el origen O, y después d(m, m’) = d(P, Q).

También, después de obtener Q sería: d(m, m’) = d(Q, m)

162

4.8.6.- Distancia desde una recta a un plano

Defi.:

“Es la menor de las distancias d(P, Q) cuando P recorre la recta y Q

recorre el plano”.

Si la recta no es paralela al plano lo cortará en un punto y la distancia es

cero. Suponemos que la recta es paralela al plano.

Sea r paralela al plano m. La distancia no depende de qué punto P

tomamos de r. Fijamos un punto P en la recta r, y procedemos como

para “distancia desde un punto al plano m”. Véase el 4.8.3.


163

164

4.8.7.- Distancia entre dos rectas

Defi.-

“Distancia entre r y s es la menor de las distancias d(P,Q) cuando P

recorre s y Q recorre r”.

Si las rectas se cortan la distancia es cero. Suponemos que no se cortan

entre sí. Si fuesen paralelas, cosa que es fácil comprobar, tomamos un

punto P de r y calculamos d(P, s). Véase punto 4.8.2. Luego también

suponemos que no son paralelas, si bien esta posibilidad queda incluida

en los siguientes cálculos.

Caso A: Tenemos ecuaciones paramétrico-vectoriales

Sean las rectas

r: <A; v>, s: <B; w>,

donde

A(x1, y1, z1), v = (a11, a12, a13)

B(x2, y2, z2), w = (a21 ,a22, a23)


165

Sean P un punto de r y Q un punto de s. La solución la tenemos cuando

la recta determinada por PQ es perpendicular a r y a s simultaneamente.

Entonces, el vector PQ ha de ser ortogonal con v y con w

Tengo

OP = OB + t.w, OQ = OA + u.v

Por otro lado

OQ = OP + PQ, de donde

PQ = OQ – OP = (OA- OB) + u.v – t.w

PQ = (x1-x2, y1-y2, z1-z2) + u.(a11 ,a12, a13) -

-t.(a21, a22, a23)

Es decir, las componentes de PQ son

{

x = x1 − x2 + a11. u – a21. t

y = y1 − y2 + a12. u – a22. t

z = z1 − z2 + a13. u – a23. t

(1)

Las condiciones de ortogonalidad son

PQ.v = 0, PQ.w = 0 (2)

Obtengo

0 = a11.(x1-x2 +a11.u –a21.t) + a12.(y1-y2 +a12.u –a22.t) +

+ a13.(z1-z2 +a13.u –a23.t)

0 = a21.(x1-x2 +a11.u –a21.t) + a22.(y1-y2 +a12.u –a22.t) +

+ a23.(z1-z2 +a13.u –a23.t) (3)

166

Continuando tenemos

0 = a11.(x1-x2) + a12.(y1-y2) + a13.(z1-z2) + (a112+a12

2+a13

2).u –

-(a11.a21+a12.a22+a13.a23).t

0 = a21.(x1-x2) + a22.(y1-y2) + a23.(z1-z2) +

+ (a21.a11+a22.a12+a23.a13).u – (a212+a22

2+a23

2).t

Basta observar detenidamente las dos expresiones, y teniendo en cuenta

que las incógnitas son los parámetros t, u, operando, agrupando y

simplificando, llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas

{𝐴11. 𝑡 + 𝐴12. 𝑢 = 𝐵1𝐴21. 𝑡 + 𝐴22. 𝑢 = 𝐵2

(4)

Resuelto el sistema obtengo los puntos P y Q, y con ello la distancia:

d(r, s) = d(P, Q)

Pueden darse dos casos:

-Si No son coplanarias, este sistema tendrá solución única.

-Si son coplanarias (caso de ser paralelas), el sistema es

indeterminado (infinitas soluciones: podemos tomar cualquier punto P

en una de las rectas, y calcular distancia desde P a la otra recta.

Corolario:

El proceso anterior es también un método para obtener la recta

perpendicular a dos rectas dadas apoyándose en ellas.

Caso B: Tenemos las rectas, las dos o un de ellas, mediante ecuaciones

cartesianas de dos planos.


167

Lo más práctico consiste en obtener su ecuación vectorial y operar como

vimos en el caso A.

4.9.- Haz de planos

Dos planos no paralelos

m1: A.x +B.y +C.z +D = 0

m2: A’.x +B’.y +C’.z +D’ = 0

determinan una recta r, recta común.

Si construimos la expresión

m: (A.x +B.y +C.z +D) + k.(A’.x +B’.y +C’.z +D’) = 0 (1)

para cada valor de k obtenemos un plano m que también pasa por r, ya

que cualquier punto (x0, y0, z0) de r cada uno de los paréntesis toma

valor cero.

Tenemos así una familia de planos que pasan por r. Cuando k recorre los

reales obtenemos infinitos planos que pasan por r.

Def.:

Llamamos ‘haz de planos’ a la expresión (1), y decimos que la recta r es

el vértice del haz.

Cómo localizar el plano m, que pertenece al haz, y que pasa por un

punto Q.

Dado el haz de planos con vértice la recta r

r: {A. x + B. y + C. z + D = 0A’. x + B’. y + C’. z + D’ = 0

168

selecciona aquel plano m del haz que pasa por Q(x1, y1, z1).

La expresión del haz puedo ponerla en la forma

m: (A+k.A’).x +(B+k.B’).y +(C+k.C’).z +(D+k.D’) = 0

Si ha de pasar por Q tendrá que cumplirse

(A+k.A’).x1 +(B+k.B’).y1 +(C+k.C’).z1 +(D+k.D’) = 0

o bien

(A.x1 +B.y1 +C.z1 +D) + k.(A’.x1 +B’.y1 +C’.z1 +D’) = 0,

de donde despejo el valor de k.

Observaciones:

Dado el haz definido pos r: {A. x + B. y + C. z + D = 0A’. x + B’. y + C’. z + D’ = 0

y dada una recta s, nos parece normal preguntarse si existirá un plano m

del haz que contenga la recta s, equivalente a que m pase por s.

Si esto fuese posible entonces la recta s está sobre el plano m, y en

consecuencia ha de darse una de estas dos situaciones:

a) Corta a la recta r b) Es paralela a r

Si probamos que s y r se cortan, entonces el plano m es el determinado

por las rectas.

Si son paralelas, tomo un punto P de r y un punto Q de s. Tomo los

vectores v = director de s, w = PQ. Estos dos vectores generan el

subespacio director del plano m que buscamos.

--------------


169

ACTIVIDADES y Problemas resueltos:

1.- Ecuación del plano determinado por los tres puntos A(1,0,1),

B(1,1,0), C(0,1,1).

Sol.: v = AB = (0, 1, -1), w = AC = (-1, 1, 0),

Plano m = <A; v, w>

Un punto cualquiera OQ = OA + t.v + u.w

(x,y,z) = (1,0,1) + t.(0,1,-1) + u.(-1,1,0)

tz

uty

ux

1

1

, (Ecuaciones paramétricas)

u = 1-x, t = 1-z --> y = (1-z) + (1-x)

m: x + y + z –2 = 0 (Ecuac. cartesiana)

2.- Ecuación del plano determinado por el punto A(1,0,1) y la recta r:

<B; v>, donde B(1,1,0), v = (-1,0,1).

Sol.:

El vector v es uno de los generadores del subespacio director del

plano. Otro generador puede ser w = BA = (0,-1,1)

OQ = OB + t.v + u.w, y operamos como en el ejercicio anterior.

Obtengo m: x + y + z –2 = 0

3.- Distancia desde punto P al plano m

Sea un plano m y un punto P

170

m = <A; w1,w2>, P(-3,1,1), donde

A(2,0,1), w1= (1,3,0), w2 = (0,2,1)

Calcula d(P, m)

Sol.: El punto genérico de m viene dado por OQ = OA + t.w1 + u.w2, y

sus componentes son

OQ = (2+t,3t+2u,1+u)

PQ = OQ – OP = (5+t,-1+3t+2u,u)

Tengo en cuenta la ortogonalidad con w1 y w2.

0= PQ*w1 = 10.t +6.u +2

0= PQ*w2 = 6.t +5.u –2

Resolveremos el sistema

02 -5.u6.t

026.u 10.t

Obtenidos los valores t1, u1 que cumplen el sistema tengo el punto Q,

pie de la perpendicular a m por P, y después

d(P, m) = d(P, Q)

Obtenemos: t = -22/(-6) = 11/3, u = 32/(-6) = -16/3

Obtengo Q: 2+t --> 2+11/3 = 17/3, 3t+2u --> 33/3-32/3 = 1/3, 1+u -->

1-16/3 = -13/3

Q = (17/3,1/3,-13/3), PQ = (26/3,-2/3,-16/3)

d(P, Q)= √(26

3)2+ (−

2

3)2+ (−

16

3)2= √

936

9= √104

4.- Distancia desde punto P a recta r

Sean P(3,-1,2) y recta r = <A; v>, donde A(0,1,0), v = (2,3,1)

Sol: El punto genérico de r toma la forma


171

OQ = (0,1,0) + t.(2,3,1) =

= (2t,1+3t,t)

PQ = (2t-3, 3t+2, t-2). Aplico la condición de ortogonalidad

0 = v*PQ = 2.(2t-3) + 3.(3t+2) + (t-2) = 14.t –2

0 = 14.t – 2, t = 1/7

Punto Q:

OQ = (2/7, 10/7, 1/7), PQ = (-19/7, 17/7, 15/7)

d(P, r) =d(P, Q) = √(−19

7)2+ (

17

7)2+ (

15

7)2= √

875

49=

√875

7

5.- Distancia entre dos rectas

Sean las rectas r = <A; v>, donde A(2,0,0), v = (1,0,1)

s = <B; w>, donde B(0,2,0), w = (0,1,-1)

Sol: Punto de r: OQ = OA + t.v = (2+t,0,-t)

Punto de s: OP = OB + u.w = (0, 2+u, -u)

PQ = OQ – OP = (2+t, -(2+u), -t+u)

Aplicamos la ortogonalidad

0 = v*PQ = (2+t) + t –u

0 = w*PQ = -(2+u) + t –u

Resolvemos el sistema

022

022

ut

ut

172

6.- Distancia desde P(3,-1,2) a la recta r dada por sus ecuaciones

cartesianas

r:

432

723

zyx

zyx

Sol: Pasamos a forma paramétrico-vectorial r = <A; v>.

Doy un valor a z: z = 0 -->

42

73

yx

yx, x = 2y+4

y = -19/7, x = -10/7, A(-10/7, -19/7).

Obtengo otro punto B de r: z =1 -->

12

53

yx

yx, y = -8/7, x = -9/7

B(-8/7,-8/7), v = AB = (1/7, 11/7)

A continuación operamos como en el ejercicio 1.

7.- Distancia desde un punto P(-3,1,1) a un plano m dado por su

ecuación cartesiana

m: 3x –2y +4z = 6

Sol:

Paso a la forma paramétrico-vectorial m = <A; v1, v2>.

y = 0, z = 0 --> 3x = 6, x = 2, A(2,0,0)

y = -3,z = 0 --> 3x = 0, x = 0, B(0,-3,0)

y = 0, z = 3 –-> 3x = -6, x = -2, C(-2,0,3)

Vectores: w1 = AB = (-2,-3,0), w2 = AC = (-4,0,3)

Continuamos como en el ejercicio 2.


173

8.- Sean los planos

103

732

17432

zyx

zyx

zyx

Sol.:

Tienen un solo punto común que es P(2,-3,1)

9.- Sean las dos rectas

r1 = <P; v1>, P(2,1,3), v1 = (3,0,2)

r2 = <Q; v2>, Q(-1,1,1), v2 = (2,1,0)

Sol.:

Punto genérico de r1:

OX = (2,1,3) + t.(3,0,2)

Punto genérico de r2:

OY = (-1,1,1) + u.(2,1,0)

Comprueba que son coplanarias y se cortan en el punto A(-1,1,1).

10.- Sea el plano m: 4x + 2z = 2

y la recta r:

432

723

zyx

zyx

Estudio su posición relativa

Sol.:

La recta corta al plano en el punto P(-1,2,3)

174

11.- Halla un plano m que pase por P(x0, y0, z0) y sea perpendicular a

las rectas r con vector director v = (a, b, c). Obtener su ecuación

cartesiana.

Sol.- Si w = (x, y, z) es uno de los vectores directores del plano (uno de

los generadores del subespacio director, de dim. 2), se ha de cumplir

v.w = 0 -> a.x + b.y + c.z = 0

Este sistema contiene dos incógnitas libres. Dando valore obtengo dos

vectores l.i. que forman una base del subespacio director del plano m,

así:

y = 1, z = 0 --> a.x = -b, x = -b/a, válido si a <> 0 (si a = 0, tomo x

libre)

w1 = (-b/a, 1, 0), o bien w1 = (-b, a, 0)

y = 0, z = 1 --> a.x = -c, x = -c/a

w2 = (-c/a, 0, 1), o bien w2 = (-c, 0, a)

Cualquier plano con suebpacio director < w1, w2 > es ortogonal con

todas las rectas con vector director v = (a, b, c)

En particular m(P; <w1, w2>)

Obtengo su Ecuación cartesiana:

Concreto P(2,-3,1), v = (3,2,1), con lo cual

w1 = (-2,3,0), w2 = (-1,0,3)

OQ = OP + k1.w1 + k2.w2

(x, y, z) = (2,-3,1) + k1.(-2,3,0) + k2.(-1,0,3),

{𝑥 = 2 − 2𝑘1 − 𝑘2𝑦 = −3 + 3𝑘1 𝑧 = 1 + 3𝑘2

k1 = (y+3)/3, k2 = (z-1)/3


175

x = 2 -2/3.(y+3) –(z-1)/3

3x = 6 -2y -6 –z +1

Queda finalmente m: 3x + 2y + z = 1

12.- Halla un plano m1 que pase por P(x0, y0, z0) y sea perpendicular al

plano m2 cuyo subespacio director sea <v1, v2>, donde

v1 = (a1,b1,c1), v2 = (a2, b2, c2)

Sol.- Sean w1 = (x1, y1, z1), w2 = (x2, y2, z2), que forman una base

del s.d. de m2. Por ortogonalidad ha de cumplirse

w1.v1 = 0, w1.v2 = 0, de donde

{𝑎1. 𝑥1 + 𝑏1. 𝑦1 + 𝑐1. 𝑧1 = 0𝑎2. 𝑥1 + 𝑏2. 𝑦1 + 𝑐2. 𝑧1 = 0

Una incógnita libre. Supongo que puedo tomar z1 libre (Basta que a1.b2

–a2.b1 <> 0, en otro caso tomaría otra como libre)

z1 = 1 -> {𝑎1. 𝑥1 + 𝑏1. 𝑦1 = −𝑐1𝑎2. 𝑥1 + 𝑏2. 𝑦1 = −𝑐2

Resolviendo obtengo el vector w1 = (x1, y1, 1)

Por otro lado también ha de cumplir

w2.v1 = 0, w2.v2 = 0, de donde

{𝑎1. 𝑥2 + 𝑏1. 𝑦2 + 𝑐1. 𝑧2 = 0𝑎2. 𝑥2 + 𝑏2. 𝑦2 + 𝑐2. 𝑧2 = 0

Tomo z2 como libre, y haciendo z2 = 2 obtengo

w2 = (x2, y2, 2)

Los vectores w1, w2 son generadores del subespacio director de m2.

176

Ecuación cartesiana:

Tomo un caso concreto: P(1, -1, 2), v1 = (2, -1, 0), v2 = (0, 1, -2)

{2𝑥1 − 𝑦1 = 0

𝑦1 = 2 , x1 = 1 -> w1 = (1,2,1)

{2𝑥1 − 𝑦1 = 0

𝑦1 = 4 , x1 = 2 -> w2 = (2, 4, 2)

13.- Halla un plano m1 que pase por P(x0, y0, z0) y sea paralelo al

plano m2 cuyo subespacio director sea <v1, v2>, donde

v1 = (a1, b1, c1), v2 = (a2, b2, c2)

Sol.- El subespacio <v1, v2> es también el subespacio director de m1

Ecuación cartesiana: Con valores concretos, sean

P(1,2,3), v1 = (1,-2,0), v2 = (0,2,1)

OQ = OP + k1.v1 + k2.v2

(x, y, z) = (1,2,3) + k1.(1,-2,0) + k2.(0,2,1)

{ 𝑥 = 1 + 𝑘1 𝑦 = 2 − 2. 𝑘1 + 2. 𝑘2𝑧 = 3 + 𝑘2

, k1 = x-1, k2 = z-3

y = 2 -2.(x-1) + 2.(z-3)

2x + y -2z = -2

14.- Halla el plano m1 que contenga a la recta r y sea perpendicular al

plano m2, siendo

r: {2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0

, m2: 3x -2y + z = 1


177

Sol.-

Si contiene a la recta r, el vector director de ésta puede ser uno de los

vectores directores de m1. El otro lo tomo que sea ortogonal a m2, y por

tanto éste puede ser v2 = (3, -2, 1)

Obtengo v1 director de r, obteniendo dos puntos.

Hago

z = 0 -> {2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 = 0

, y = 2x-3, -x+2.(2x-3) = 0,

3x-6 = 0 , x = 2, y = 1, punto P1(2, 1, 0)

Hago z = 1 -> {2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 = −1

, y = 2x-3,

x+2.(2x-3) = -1, 3x = 5, x = 5/3,

y = 10/3 -3, y = 1/3, P2(5/3, 1/3, 1)

Vectores: v1 = P1P2 = (5/3-2, 1/3-1, 1) =

(-1/3, -2/3, 1), y v2 = (3, -2, 1)

El plano m1 queda determinado por un punto (tomo P1) y el subespacio

director <v1, v2>.

Ecuaciones: Para el punto genérico de m1

OQ = OP1 + k1.v1 + k2.v2

(E. paramétrico vectorial)

{

x = 2 −1

3. k1 + 3k2

y = 1 −2

3. k1 − 2k2

z = k1 + k2

178

(E. paramétricas)

Elimino los parámetros

k1 = z-k2 -> {𝑥 = 2 −

1

3. (𝑧 − 𝑘2) + 3𝑘2

𝑦 = 1 −2

3. (𝑧 − 𝑘2) − 2𝑘2

{3𝑥 = 6 − 𝑧 + 𝑘2 + 9𝑘23𝑦 = 3 − 2𝑧 + 2𝑘2 − 6𝑘2

-> {3𝑥 + 𝑧 = 6 + 10𝑘23𝑦 + 2𝑧 = 3 − 4𝑘2

,

Elimino k2: {12𝑥 + 4𝑧 = 24 + 40𝑘230𝑦 + 20𝑧 = 30 − 40𝑘2

, sumándolas

12x + 30y + 24z = 54 (E. cartesiana)

Otra forma :

Si tomo w1 ortogonal a m2 y w2 el director de la recta r, y además que

m1 pase por el punto de corte de r y m2 lo tengo todo.

Obtengo el punto de corte

{

2𝑥 − 𝑦 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 03𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

Resuelvo por despeje y sustitución

y = 2x-3 -> {−𝑥 + 2. (2𝑥 − 3) + 𝑧 = 03𝑥 − 2. (2𝑥 − 3) + 𝑧 = 1

, {3𝑥 + 𝑧 = 6−𝑥 + 𝑧 = −5

Las resto: 4x = 11, x = 11/4, z = 6-33/4 = -9/4, y = 22/4-3 = 10/3

Punto de corte P(11/4, 10/3, -9/4)


179

Obtengo otro punto de r: Haciendo z = 0 resulta el punto P1(2, 1, 0)

Vector w1 = P1P = (3/4, 7/3, -9/4), tomo w1 = (9, 28, -27)

El plano queda determinado por

m1: P; <w1 = (9, 28, -27), w2 = (3, -2, 1)>

15.- Dado un plano m1 y una recta r ortogonal a m1, expresa la ecuación

del haz de planos que pasan por r (y por tanto perpendiculares a m1).

Datos: m1: 2x -3y + z = 4,

r pasa por P(1, -1, 1) y es ortogonal con m1

Sol.- Un vector director de r es v = (2, -3, 1)

r: OQ = OP + k.(2, -3, 1)

Cartesianas de r:

x = 1+2k

y = -1-3k

z = 1+k

Elimino k: k = z-1 -> x = 1+2.(z-1)

y = -1-3.(z-1)

r: {𝑥 − 2𝑧 = −1𝑦 + 3𝑧 = 2

Ecuación del haz:

x + k.y + (-2+3k).z + (1-2k) = 0, k recorriendo R

16.- Tomo el plano m1: 3x + 2y -4z = 5, y el punto P(-1, 1, 0). Halla un

plano m2 que pase por P y sea perpendicular a m1.

180

Sol.-

Existen infinitos planos que lo cumplen.

El haz de planos que pasan por P y son perpendiculares a m1

El vector v = (3, 2, -4) es ortogonal a m1.

Tomo la recta r: (P; <(3, 2, -4)>), y obtengo el haz.

OQ = OP + k.(3, 2, -4) --> {𝑥 = −1 + 3𝑘𝑦 = 1 + 2𝑘𝑧 = −4𝑘

k = -z/4 -> {𝑥 = −1 −

3

4. 𝑧

𝑦 = 1 − 2/4. 𝑧 --> {

4𝑥 = −4 − 3. 𝑧4𝑦 = 4 − 2. 𝑧

Ecuación del haz:

4x + 4k.y + (3+2k).z + (4-4k) = 0

17.- Tomo plano m1: 3x + 2y -4z = 5, y la recta

r: P(-1, 1, 0); <(2, 0, 3>

Halla el plano m2 que contenga a r y sea perpendicular a m1.

Sol.-

Uno de los vectores directores de m2 puede ser el de la recta r:

v1 = (2, 0, 3). Tomo otro vector v2 que sea ortogonal a m1.

El vector v2 = (3, 2, -4), cuyas componentes son los coeficientes de la

ecuación de m1 es ortogonal al mismo m1. Por tanto <v1, v2> es el

subespacio director de m2.

El plano m2 queda determinado por m2: [P(-1, 1, 0), <v1, v2>]


181

Otras expresiones para m2:

OQ = OP + k1.v1 + k2.v2


{𝑥 = −1 + 2𝑘1 + 3𝑘2𝑦 = 1 + 2𝑘2

𝑧 = 3𝑘1 − 4𝑘2

(E. paramétricas)

Elimino los parámetros y obtengo la cartesiana

k2 = (y-1)/2 -> {𝑥 = −1 + 2𝑘1 +

3

2. (𝑦 − 1)

𝑧 = 3𝑘1 − 2. (𝑦 − 1) ,

{2𝑥 = −2 + 4𝑘1 + 3. (𝑦 − 1)

𝑧 = 3𝑘1 − 2. (𝑦 − 1) -> {

2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 4𝑘1𝑧 + 2𝑦 − 2 = 3𝑘1

k1 = (z+2y-2)/3 -> 2x -3y +5 = 4/3.(z+2y-2),

6x -9y + 15 = 4z + 8y -8, y finalmente

6x -17y -4z + 23 = 0

(E. cartesiana)

18.- Halla el plano m1 que contiene a la recta r y es paralelo al plano

m2.

Datos: m2: -x + 2y + 7z = 5

r: {2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4

Sol.- Por ser paralelo a m2, el plano m1 es de la forma

m1: -x + 2y + 7z + d = 0

182

Si contiene a la recta r entonces m1 forma parte del haz de planos que

pasan por r:

(2-k).x + (-1+k).y + (1+2k).z + (-3-4k) = 0

Entonces ha de cumplirse

-(2-k)/1 = (-1+k)/2 = (1+2k)/7 = (-3-4k)/d

-(2-k)/1 = (-1+k)/2 -> -4+2k = -1+k, k = 3

(-1+k)/2 = (1+2k)/7 -> -7+7k = 2+4k, 3k = 9,

k = 3

Hago k = 3 en (1+2k)/7 = (-3-4k)/d -> 1 = -15/d, d = -15

Finalmente, el plano m1: -x + 2y + 7z -15 = 0

19.- ANGULO FORMADO por dos planos:

Halla el ángulo formado por los dos plano

m1: 2x -3y + 4z = 6

m2: -x + 2y + 3z = 4

Sol.- El ángulo (diédrico) formado por dos planos coincide con el

ángulo formado por sus vectores ortogonales.


183

Sus vectores ortogonales son:

w1 = (2, -3, 4), w2 = (-1, 2, 3)

Haciendo su producto escalar: w1*w2 = /w1/. /w2/.cos(g),

cos(g) = w1∗w2

|w1|.|w2| , g = arcCos(

w1∗w2

|w1|.|w2|)

En un sistema ortonormal (como en el que estamos) tenemos:

w1*w2 = -2-3+12 = 7

/w1/ = √4 + 9 + 16 = √29

/w2/ = √1 + 4 + 9 = √14

w1.w2

|w1|.|w2| =

7

√29.14 = 0,3474, g = arcCos(0,3474) = 69,6714

20.- ANGULO FORMADO por dos rectas en el espacio

Sol.- Seal las rectas

r1: P1(x1, y1); <v = (v1, v2)>

r2: P2(x2, y2); <w = (w1, w2)>

184

Recordamos que el ‘producto escalar’ está definido por la igualdad

v*w = /v/./w/.cos(g), de donde

Cos(g) = 𝑣∗𝑤

|𝑣|.|𝑤|, g = arcCos(

𝑣∗𝑤

|𝑣|.|𝑤|)

Por otro lado, en un sistema de referencia ortonormal el valor de v*w lo

obtenemos

v*w = v1.w1 + v2.w2

Lo tenemos todo para conseguir el valor g

NOTA:

Del mismo modo, si estamos en el espacio la única diferencia es que

tendríamos tres componentes en lugar de dos. Sería

v*w = v1.w1 + v2.w2 + v3.w3

21.- ANGULO FORMADO por una recta y un plano

Sol.- Sean

r: P(x1, y1, z1); <v = (v1, v2, v3)>

m: Q(x2, y2, z2);

<w1 = (w11, w12, w13), w2 = (w21, w22, w23)>


185

Ángulo formado por recta y plano es, por definición, el ángulo g entre la

recta r y su proyección ortogonal sobre el plano.

Observa la figura

v*u = /v/./u/.cos(g’), de donde

cos(g’) = 𝑣∗𝑢

|𝑣|.|𝑢| , de donde g’ = arcCos(

𝑣∗𝑢

|𝑣|.|𝑢|), y por tanto

g = pi/2 – g’

22.- ANGULO entre dos planos que se cortan

Sol.: Sean los dos planos

m1: (P(x1, y1, z1); <v1, v2>)

m2: (P(x2, y2, z2); <w1, w2>)

Observa la figura

Por definición el ángulo que forman m1 y m2 es g

u1*u2 = /u1/./u2/.cos(g’), Cos(g’) = 𝑢1∗𝑢2

|𝑢1|.|𝑢2|

186

de donde g’ = arcCos(𝑢1∗𝑢2

|𝑢1|.|𝑢2|), y por tango

g = pi – g’, en radianes

23.- Determina la ecuación del plano que pasa por el punto p(-1, 3, 0) y

contiene a la recta

r: {𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 1

Sol.: El plano pertenece al haz de planos que pasan por r. La ecuación

de este haz es

(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2) + 𝑘.(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1) = 0

Esta expresión representa a cualquier plano del haz. Imponiendo que

pasa por P obtenemos el que buscamos.

(-1+6-2) + k.(-2-9-1) = 0, k = -3/12

El plano pedido es

(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2) − 3/12.(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1) = 0

12.(𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2) − 3.(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 1) = 0

6x + 33y -24z -21 = 0,

2x +11y -8z -7 = 0

NOTA: En los problemas 24 y 25 hacemos uso de las Matrices y los

Determinantes, que se estudian en el Vol. 10. El alumno avanzado

puede hacer ‘incursión’ en el citado texto y así le resultará inteligible lo

que sigue.


187

Lo mismo cabe decir para el concepto de ‘Producto vectorial’ de dos

vectores que expongo a continuación (Usado en figura del nº 23):

Para el cálculo de u1 y u2 en el problema 22 resulta muy práctico el

siguiente procedimiento, consecuencia del concepto de ‘producto

vectorial de dos vectores’ (Álgebra Lineal Vol.10)

Sean V1 = (v11, v12, v13), V2 = (v21, v22, v23)

El ‘producto vectorial’ V1xV2 lo obtenemos mediante el cálculo de un

determinante (en sistema de referencia ortonormal):

V1xV2 = |𝑖 𝑗 𝑘

𝑣11 𝑣12 𝑣13𝑣21 𝑣22 𝑣23

| = (desarrollando por la primer fila)

= i.[v12.v23 –v13.v22] –j.[v11.v23 –v13.v21] +

+ k.[v11.v22 –v12.v21] = (v12.v23 –v13.v22).i –(v11.v23 –v13.v21).j+

+(v11.v22 –v12.v21).k,

donde {i, j, k} es la bese del Sistema de referencia ortonormal.

Las componentes de u1 son el resultado de calcular cada paréntesis

u1 = ((v12.v23 –v13.v22), –(v11.v23 –v13.v21), (v11.v22 –v12.v21))

Del mismo modo calculamos u2

Caso concreto:

El alumno realizará los cálculos en el caso concreto para el caso de los

planos m1, m2, tales que

v1 = (1,1,0), v2 = (0,1,1), para m1

w1 = (1,0,1), w2 = (1,1,1), para m2

24.- Ecuación del plano m que pasa por los puntos

188

p1(2,1,0), p2(1,1,3), p3(0,0,2)

Sol.:

Primer método:

Sea Ax + By + Cz + D = 0 el plano genérico

Las condiciones para que pase por p1, p2 ,p3 son

{

2𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 0𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 𝐷 = 0

2𝐶 + 𝐷 = 0𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

donde las incógnitas son A, B, C, D, y el punto (x, y, z) es el punto

genérico del plano.

El sistema es homogéneo y para que admita solución No trivial el rango

de la matriz

M = (

2 1 0 11 1 3 10 0 2 1𝑥 𝑦 𝑧 1

) ha de ser < 4, y por

tanto su teterminante ha de ser 0

|(

2 1 0 11 1 3 10 0 2 1𝑥 𝑦 𝑧 1

)| = 0

Desarrollando por la última fila tengo


189

/M/ = -x.|1 0 11 3 10 2 1

| +y. |2 0 11 3 10 2 1

| –z. |2 1 11 1 10 0 1

| + 1. |2 1 01 1 30 0 2

| =

= -3.x + 4.y –z + 2

La ecuación es 3x -4y +z -2 = 0

25.- Corte entre la Esfera y un plano coordenado:

Sol.- Sea la esfera con centro en el origen S: x2 + y

2 + z

2 = R

2

a) Plano z = k -> x2 +y

2 = (√𝑅2 − 𝑘2 )2

La línea de corte es la circunferencia de radio r = √𝑅2 − 𝑘2 y centro el

origen de coordenadas.

Con el plano x = k sería la circunferencia y2 +z

2 = (√𝑅2 − 𝑘2)

2

Análogo con y = k

26.- Corte de la Esfera con el plano x + y = k

Sol.- Sea S: x2 + y

2 + z

2 = R

2

y = k-x -> y2 = k

2 -2kx + x

2

x2 + ( k

2 -2kx + x

2) + z

2 = R

2

2x2 + z

2 -2k.x + (k

2 -R

2) = 0

Esta última es la ecuación de una elipse

190

$$$oOo$$$


191

Tema 5

Vectores libres

Espacios Vectoriales V2 y V3


193

5.1.- Vectores libres en el plano. Operaciones básicas

Definiciones

¿Qué es un vector fijo?

Dados dos puntos P(x1, y1), Q(x2, y2), tenemos el segmento PQ, sin

especificar si lo recorremos de P a Q o de Q a P.

Pero si convenimos que PQ hemos de recorrerlo desde P hasta Q

tenemos el vector v = PQ, y si lo hacemos desde Q hasta P tenemos el

vector w = QP.

A los valores

a = x2-x1, b = y2-y1

los llamamos ‘componentes’ del vector, y al segmento v = PQ,

orientado, lo llamamos ‘vector fijo’ en el plano.


194

v = (x2-x1,y2-y1) ó v = (a,b)

A veces indicamos la orientación mediante flecha ---> que va desde P

hasta Q (ver gráfico).

Para el vector opuesto w= QP tenemos:

a’ = x1-x2, b’ = y1-y2

Observa que a’ y b’ son los opuestos de a y b, y diremos que w = (a’, b’)

es el ‘vector opuesto’ de v.

Módulo de v:


Si tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras tenemos:

mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2

Proporcionalidad:


decimos que w es proporcional a v, con razón de proporcionalidad

t = mod(w) / mod(v).



Se cumple: abs(t) = |w| / |v|, donde abs(t) indica el valor absoluto de t.

5.2.- Vectores libres en el plano

Todavía al referirnos a un vector lo hacemos a un vector fijo.

Equivalencia de vectores fijos. Clase de vectores:


195

‘Diremos que los vectores v y w son equivalentes si su representación

en el plano determinan un paralelogramo’.

Evidentemente, dado un vector v existen infinitos vectores equivalentes

a v.

Al conjunto de todos los vectores equivalentes a v lo llamaremos ‘clase

de equivalencia’ representada por v. Cualquier vector de la clase puede

tomarse como representante.

Cualquier otro vector v1, no equivalente con v, determina otra clase de

equivalencia distinta, evidentemente.

Cada clase contiene un único vector v cuyo origen coincide con el

origen de coordenadas, O, del sistema de referencia. Lo llamaremos

representante canónico. Cuando expresamos v = (a, b), éste es el

Representante canonico: P(0, 0), Q(a, b), v = PQ =(a-0, b-0 = (a, b)

Defi.-

Llamamos ‘Vector libre’ a cada una de estas clases de equivalencia.

En lo que sigue, por ‘vector’ nos referiremos a ‘vector libre’, salvo se

diga otra cosa.

196

Al definir las operaciones con vectores, cuando necesitamos tomar un

vector concreto, tomaremos el representante de la clase que mejor

cumpla para nuestro objetivo.

5.3.- Operaciones básicas con vectores libres.


Observa la siguiente figura

Son las mismas que con los vectores fijos.

Operamos con un representante de la clase.

Suma/Resta:

Si v = (a, b), w = (a’, b’), su suma es

v + w = (a+a’, b+b’)

y su resta v-w = (a-a’, b-b’)


197

Producto por un valor real (Producto por escalar):

Es el producto de un valor real t por un vector v:

t.v = t.(a, b) = (t.a, t.b)

Propiedades de las operaciones básicas:

El alumno puedrá comprobar sin dificultad las siguientes propiedades,

gráficamente u operando con las componentes de los vectores.

Se cumplen

Asociativa:

v + (w + u) = (v + w) + u

Elemento Neutro:

Es un vector w que sumado a otro cualquiera v deja a este invariable.

Lo cumple el vector w = (0,0) (vector cero), que también

representaremos por 0.

Elemento Opuesto:

Dado v = (a,b), existe otro vector w = (c, d) tal que la suma v+w nos da

el vector cero:

v + w = (0, 0)

a+c = 0, b+d = 0,

de donde

c = -a, d = -b

por tanto, el opuesto de v = (a, b) es w = (-a, -b).

Distributiva del producto por escalar respecto de la suma:

t.(v + w) = t.v + t.w

198

Estructura de Espacio vectorial V2(+, .)

Estas propiedades dotan al conjunto V2 de los vectores libres, asociados

al plano, de una estructura que llamamos ‘Espacio vectorial’, y que, más

adelante veremos que su dimensión es dos.

5.4.- Dependencia e Independencia lineal de vectores de V2

Defi.-

Fijados dos (o más) vectores v1, v2, diremos que el vector w es

“linealmente dependiente” de estos si existen valores (escalare) t, u,

tales que:

w = t.v1 + u.v2

Diremos que t.v1 + u.v2

es una ‘combinación lineal’ de v1 y v2, y que w es combinación lineal

de estos.

También diremos que los tres vectores v1, v2 y w son “linealmente

dependientes”. Uno cualquiera de los tres puede ser expresado como

combinación lineal de los otros dos.

En general:

Decimos que “Los vectores v1, v2, v3,...,vk, forman un sistema


199

linealmente dependiente (No libre), si alguno de estos vectores

puede ser expresado como combinación lineal de los restantes”.

En V2 podemos comprobar, geométricamente o mediante el cálculo,

que un conjunto de tres o más vectores cualesquiera son siempre

linealmente dependientes.

En V2, dados dos vectores v1, v2, puede ocurrir:

-linealmente dependientes

-linealmente independientes.

Comprobación de la dependencia y/o independencia lineal:

A) Caso de dos vectores

Planteamos

v2 = t.v1, (c, d) = t.(a, b),

De donde: c = t.a, d = t.b,

Si este sencillo sistema tiene solución t (t <> 0), significa que son

linealmente dependientes, ya que entonces:

v2 = t.v1 (ó v1 = t’.v2, con t’ = 1/t )

En caso contrario v1 y v2 son linealmente independientes.

B) Caso de tres vectores

Planteamos la igualdad w = t.v1+ u.v2

Tenemos

(x3, y3) = t.(x1, y1) + u.(x2, y2)

de donde

x3 = t.x1 + u.x2

y3 = t.y1 + u.y2

200

Las incógnitas son t, u

Si este sistema tiene solución significa que w es combinación lineal de

v1, v2.

Despejo u de la primera: u = (x3 –t.x1) / x2 , suponiendo x2 <> 0

Lo llevo a la segunda: y3 = t.y1 + y2. (x3 –t.x1) / x2, y quitando

denominador y trasponiendo

x2.y3 – x3.y2 = (x2.y1 – x1.y2). t , de donde

t = x2.y3 – x3.y2

x2.y1 – x1.y2 , la cual es válida siempre que

x2.y1 – x1.y2 <> 0. Ahora bien, x2.y1 – x1.y2 = 0 -- > x2.y1 = x1.y2

y por tanto: y1 / x1 = y2 / x2, lo cual significa que v1 y v2 son

proporcionales entre sí (serían l.d.)

Conclusión: Si v1, v2 son l.i., cualquier otro vector v3 es combinación

lineal de ellos.

Otra forma de expresar la relación de dependencia: w = t.v1 + u.v2 es

w – t.v1- u.v2 = 0, que será muy utilizada.

5.5.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.

Bases en V2

Definiciones

Si v1 y v2 son linealmente independientes, diremos que forman un

“sistema libre”.

Base:

Si <v1, v2> es un sistema libre tal que cualquier otro vector w se puede

expresar como combinación lineal de v1 y v2, diremos que es “una

base” del espacio vectorial.


201

En V2 cualquier par de vectores linealmente independientes constituyen

una base.

En general:

En general, en un Espacio vectorial Vn , “Un sistema libre (finito) de

vectores es un conjunto <v1, v2, ..., vk> de vectores l. i.”, es decir, que

ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes”.

“Un sistema libre <v1, v2, ..., vk>, tal que cualquier otro vector w del

espacio Vn se puede expresar como combinación lineal de ellos, lo

llamamos ‘Base del espacio vectorial’”.

Dimensión de un espacio vectorial:

Si bien Vn puede tener más de una base, se puede demostrar (cosa que

aquí no procede) que cualquier base de Vn tiene el mismo número n de

vectores.

Obviamos aquí aquellos casos de espacios vectoriales que requieren

algunas consideraciones respecto a este asunto.

Defi.:

Llamamos “dimensión” de un espacio vectorial Vn al número n de

vectores que constituyen cada una de sus bases.

5.6.- Vectores fijos en el Espacio

Vectores fijos en el Espacio:

Si no decimos otra cosa supondremos que tenemos en el espacio un

Sistema de referencia cartesiano (sus ejes son perpendiculares entre sí).


Dados dos puntos P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), tenemos el segmento

PQ, sin especificar si lo recorremos de P a Q, o de Q a P.

202

Pero si convenimos que PQ hemos de recorrerlo desde P hasta Q,

tenemos el vector v = PQ, “vector fijo con origen en P y extremo en Q”.

Si lo hacemos desde Q hasta P, tenemos el vector w = QP, con origen

en Q y extremo en P. Diremos que son ‘opuestos’ recíprocamente entre

sí.

A los valores a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1

los llamaremos ‘componentes’ del vector v.

Escribiremos indistintamente PQ = (a, b, c), y también

v = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

Para el vector opuesto w = QP tenemos:

a’ = x2-x1, b’ = y2-y1, c’= z1-z2,

de modo que a’ = -a, b’ = -b, c’ = -c .


203

5.7.- Vectores libres en el Espacio

Esencialmente es válido lo dicho en el caso del plano para llegar al

espacio vectorial V2.

Todavía al referirnos a un vector lo hacemos a un vector fijo.

Equivalencia de vectores:

Diremos que los vectores v y w son equivalentes si determinan un

paralelogramo:

Evidentemente, dado un vector v existen infinitos vectores equivalentes

a v.

Al conjunto de estos vectores lo llamaremos ‘clase de equivalencia’.

204

Esta clase puede ser representada por cualquier vector que pertenezca a

ella.

Cualquier otro vector v1, no equivalente con v, determina otra clase de

equivalencia distinta.

Cada clase contiene un único vector cuyo origen es el origen del sistema

de referencia. A este vector lo llamaremos ‘representante canónico’ de

la clase.

Si P(0, 0, 0), Q(a, b, c), entonces v = PQ = (a,b,c).

Esta expresión v = (a,b,c) es la que tomaremos para representar la clase

de todos los equivalentes a PQ, es decir, será el vector libre.

Defi.-

Llamamos ‘Vector libre’ a cada una de estas clases de equivalencia.

En lo que sigue, por ‘vector’ nos referiremos a ‘vector libre’, salvo se

diga otra cosa.

Al definir las operaciones con vectores, cuando necesitamos tomar un

vector concreto, tomaremos el representante de la clase que mejor

cumpla para nuestro objetivo.

Representamos por V3 el conjunto de todos los vectores libres en el

espacio.

Módulo de v:

Es la longitud del segmento PQ, distancia desde P hasta Q, y lo

designamos por /v/, o por mod(v).

En un sistema de referencia cartesiano, si tenemos en cuenta el teorema

de Pitágoras, tenemos:

/v/ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Proporcionalidad en el espacio:



205


Significa además lo siguiente:

v = (a, b, c), w = (a’, b’, c’)

w = t.v -- > a’ = t.a, …., y por tanto:

t = a’ / a = b’ / b = c’ / c

Sus componentes son proporcionales, y t es el valor de la razón a’ / a



Se cumple: abs(t) = |w| / |v|, donde abs(t) indica el valor absoluto de t.

5.8.- Operaciones básicas con vectores libres.


Se definen del mismo modo que en V2, y cumplen las mismas

propiedades, dando lugar a una estructura análoga.

En V3 tenemos también una estructura que de ‘Espacio Vectorial’, y en

este caso la designamos por V3(+, .). Veremos más adelante que este es

de dimensión tres.

206

5.9.- Dependencia e Independencia lineal de vectores en V3

Los conceptos de dependencia e independencia lineal se dieron cuando

tratamos el espacio vectorial V2.

En V3, cuatro o más vectores son siempre linealmente dependientes

entre sí. Es decir, alguno de ellos se puede expresar como combinación

lineal de los restantes.

En cambio, en V3, dos o tres vectores pueden ser o no linealmente

independientes.

¿Cómo comprobar si son o no l. i.?

Supongamos tres vectores:

v1= (a11,a12,a13)

v2= (a21,a22,a23)

v3= (a31,a32,a33)

Para comprobar su relación de dependencia planteamos si uno de ellos,

por ejemplo v3, es combinación lineal de v1, v2, es decir, planteamos la

igualdad

v3 = t.v1 + u.v2

o la equivalente: v3 - t.v1 - u.v2 = 0

En la práctica, y en general, la expresamos así:

x.v1 + y.v2 + z.v3 = 0, (vector cero)

(1)

De aquí el sistema:

0 a33.z a23.y a13.x

0 a32.z a22.y a12.x

0 a31.z .21a11.x ya

(2)


207

Si este sistema tiene solución No nula, significa que existen valores x1,

y1, z1, no todos nulos, tales que cumplen la relación (2) anterior, lo cual

significa que puedo expresar alguno de los vectores como combinación

lineal de los otros. En este caso son linealmente dependientes.

En otro caso, si la única solución es la trivial: x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0, los

vectores son linealmente independientes, ninguno de ellos puede ser

expresarlo como combinación lineal de los restantes.

Si lo planteamos con dos vectores

v1 = (a11,a12,a13)

v2 = (a21,a22,a23), tendríamos:

0 a23.y a13.x

0 a22.y a12.x

0 a21.y a11.x

(3)

con el mismo significado descrito antes, pero ahora referente a los

vectores v1, v2.

5.10.- Sistema libre de vectores. Sistema generador.

Bases en V3

Es valido lo dicho en el caso del espacio V2.

En V3, tres vectores l. i. siempre constituyen base.

En V3, cuatro o más vectores son siempre linealmente dependientes

entre sí.

Cualquier base en V3 está constituida por tres vectores, y por tanto su

dimensión es tres.

En un Espacio vectorial cualquiera que admita algún Sistema libre

208

finito, que sea además sistema generador, todas sus bases tienen el

mismo número n de vectores, y a este número n lo llamamos

‘Dimensión del Espacio vectorial’.

5.11.- Producto Escalar de dos vectores en V3. Generalización

Definición de un producto escalar

Fijada una base B = {e1, e2, e3} en V3, podemos definir, y definimos

un producto *, que llamamos ‘escalar’, asignando los siguientes valores:

e1*e1 = a11, e1*e2 = a12, e1*e3 = a13,

e2*e1 = a21, e2*e2 = a22, e2*e3 = a23,

e3*e1 = a31, e3*e2 = a32, e3*e3 = a33,

(4)

Ahora hacemos extensible a todo V3 el operador * imponiendo la

condición de que se cumplan las propiedades básicas del cálculo con

vectores: -Conmutatividad; -Propiedad distributiva respecto de la suma

de vectores; -Propiedad homotética para el producto por escalar; -Valor

cero cuando alguno de los factores sea nulo.

Para dos vectores cualesquiera

v = x.e1+y.e2+z.e3

w = x’.e1+y’.e2+z’.e3

obtenemos:

v*w = (xe1+ye2+ze3) * (x’e1+y’e2+z’e3) =

= xx’e1*e1 + xy’e1*e2 + xz’e1*e3 + yx’e2*e1 +yy’e2*e2 + yz’e2*e3 +

+ zx’e3*e1 +zy’e3*e2 + zz’e3*e3 =

= xx’.a11 +xy’.a12 + xz’.a13 +yx’.a21 + yy’.a22 +yz’a23 +zx’.a31 +

+ zy’.a32 +zz’a33

Queda así definida una operación en V3 que llamamos “Producto

Escalar” de dos vectores.


209

Aunque resulta laboriosa su comprobación, y por lo tanto no lo hacemos

aquí, el alumno aceptará (y puede comprobar si lo desea) las siguientes

propiedades:

a) Conmutativa: v*w = w*v

b) Distributiva: v*(w1 + w2) = v*w1 + v*w2

c) v*(t.w) = (t.v)*w = t.(v*w), donde a es un valor real (es un escalar)

Observa que los valores asignados en (4) son arbitrarios, lo que significa

que podemos definir un ‘producto escalar’ de muy diferentes formas.

Veremos enseguida que existe un caso muy especial.

5.12.- Producto Escalar Ordinario. Sistema de referencia

ortogonal. Sistema de referencia ortonormal.

En el Sistema de referencia cartesiano, una forma concreta muy especial

para definir un producto escalar ei*ej consiste en tener en cuenta el

ángulo (ei^ej) formado entre sí por los dos vectores, y definirlo en

función de dicho ángulo.

Coincide con el resultado obtenido si defino:

e1*e1 = 1, e1*e2 = 0, e1*e3 = 0,

e2*e1 = 0, e2*e2 = 1, e2*e3 = 0,

e3*e1 = 0, e3*e2 = 0, e3*e3 = 1,

Se justifica como sigue.

Tomamos sobre los eje de coordenadas los siguientes vectores:

e1 sobre +ox, e2 sobre +oy, e3 sobre +oz,

los tres con origen en O (0, 0, 0) y módulo = 1, entendido éste como

longitud del segmento, y tomamos como unidad de medida sobre cada

uno de los ejes.

210

Definimos: ei*ej = { 1 , si j = i0 , si j i

Para un vector cualquiera de V3, v = (a, b, c), expresado en la referida

base, significa que

v = a.e1 + b.e2 + c.e3, y lo mismo w = (a’, b’, c’), significa

w = a’.e1 +b’.e2 +c’.e3

Su producto escalar, siguiendo los mismos pasos que en el caso general,

nos da como resultado

v*w = a.a’ + b.b’ + c.c’

En particular v*v = a2 + b

2 + c

2

y por tanto tengo para el módulo de v

/v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Son fácilmente comprobables.

En lo que sigue, por ‘producto escalar’ nos referiremos a este producto

escalar ordinario, salvo que se diga otra cosa.

Sistema de Referencia Ortogonal. Sistema de Referencia

ortonormal

Tomo una base B = {v1, v2, v3} de V3

Def.:

Sistema de referencia ortogonal:


211

“Diremos que dos vectores vi, vj son ortogonales entre sí si su producto

escalar es cero:

vi*vj = 0

“Diremos que la base B es una base ‘Ortogonal’ si se cumple

vi*vj = 0, siempre que j i

es decir, son ortogonales dos a dos distintos.

En este caso diremos que R= {O; v1, v2, v3} es un Sistema de

referencia ortogonal.

Sistema de Referencia Ortonormal:

“Diremos que la base B es ‘ortonormal’ si se cumple

212

vi*vj = { 1 , si j = i0 , si j i

Diremos que R = {O; v1, v2, v3} es un Sistema de referencia

ortonormal. Abreviamos por s.r.o.

Respecto de un Sistema de Referencia Ortonormal cualquiera, el

producto escalar de dos vectores v = (a, b, c), w = (a’, b’, c’) tiene

como resultado

v*w = a.a’ + b.b’ + c.c’

y el módulo: /v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Salvo que se diga otra cosa, en todo lo que sigue suponemos que

trabajamos en un s.r.o.

El siguiente concepto es sumamente importante.

5.13.- Producto vectorial de dos vectores. Propiedades del

producto vectorial

Sean dos vectores V = (a, b, c), W = (a’, b’, c’). Sus módulos son:

|V| = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2, |W| = √𝑎′2 + 𝑏′2 + 𝑐′2

Definición

Para dos vectores cualesquiera V y W, definimos su ‘producto vectorial’

como el único vector U que cumple estas dos condiciones:

a) Es ortogonal a V y a W

b) Su módulo es /U/ = |V|.|W|.sen(V^W), donde

V^W es el ángulo que forman entre sí, recorrido desde V a W en el

sentido que a continuación explicamos.

El producto vectoria lo designamos mediante VxW.


213

Orientación del vector U = VxW: Regla del sacacorchos:

Por definición:

El vector U = VxW ‘apunta’ en el mismo sentido que el avance del

sacacorchos cuando lo giramos desde V hasta W en el sentido de las

agujas del reloj y por el camino más corto.

Es interesante una de sus aplicaciones más frecuentes, que mostramos

en la figura.

Es muy importante el hecho de que, por definición, el vector VxW tiene

como dirección la perpendicular al plano determinado por V y W, y

orientación la descrita antes.

Observa el gráfico y compáralo con el avance o retroceso del

sacacorchos cuando descorchamos una botella.

El alumno puede comprobar lo que ocurre para los vectores de la base

214

B = {e1, e2, e3}, ortonormal formando parte del s.r.o.

Mostramos el resultado:

e1 x e2 = e3

e2 x e3 = e1

e3 x e1 = e2

Producto vectorial en coordenadas:

Supongamos una base ortonormal B = {e1, e2, e3}. Para sus vectores

obtenemos:

ei x ei = 0, i=1,2,3 (vector cero, ya que ei^ei = 0 y sen(0) = 0

e1 x e2 = e3, e1 x e3 = -e2,

e2 x e1 = -e3, e2 x e3 = e1,

e3 x e1 = e2, e3 x e2 = -e1

El alumno puede comprobarlo.

Para dos vectores V = (x1,x2,x3), W = (y1,y2,y3) cualesquiera, y

aceptando que se cumple (porque así es) la propiedad distributiva,

obtenemos lo siguiente:

VxW = (x1e1+x2e2+x3e3) x (y1e1+y2e2+y3e3) =

= (x1.y2).(e1xe2) + (x1.y3).(e1xe3) + (x2.y1).(e2xe1) + (x2.y3).(e2xe3)

+ (x3.y1).(e3xe1) + (x3.y2).(e3xe2) =

= (x1.y2).e3 + (x1.y3).(-e2) + (x2.y1).(-e3) + (x2.y3).e1 + (x3.y1).e2 +

+ (x3.y2).(-e1),


215

queda

VxW = (x2.y3 -x3.y2).e1 - (x1.y3 -x3.y1).e2 + (x1.y2 -x2.y1).e3

NOTA:

Para alumnos avanzados (Consultar Determinantes en Vol. 10)

Puede comprobar que el resultado anterior se puede obtener mediante el

siguiente el cálculo de este determinante:

VxW = |𝑒1 𝑒2 𝑒3𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 𝑦2 𝑦3

|

Propiedades del producto vectorial:

Cumple las siguientes propiedades, que el alumno comprobará si lo

prefiere, o aceptará sin demostración:

a) WxV = - VxW, (no es conmutativo)

b) Vx(W1 + W2) = VxW1 + VxW2 (sí es distributivo)

c) Vx(a.W) = (a.V)xW = a.(VxW) (sí cumple la homotética)

En los siguientes puntos hacemos aplicación de este nuevo concepto de

producto vectorial.

5.14.- Interpretación geométrica del producto vectorial.

Cálculo de áreas

En ella se muestra lo que pretendemos explicar.

216

El vector resultante W es siempre perpendicular (ortogonal) al plano

definido por los vectores v1, v2, y en particular es ortogonal con v1 y

con v2, simultáneamente.

El módulo de W coincide con el área del paralelogramo definido por los

vectores v1, v2.

Observa cómo hemos utilizado la trigonometría para obtener la altura

del citado paralelogramo.

5.15.- Producto Mixto de tres vectores. Propiedades

Def.:

Sean tres vectores V, W, U

“Producto mixto de tres vectores V, W, U es el valor que resulta de

hacer el producto escalar de V por el producto vectorial de W y U, en

este orden”.

Lo representamos mediante V*(WxU), y su valor es:

V*(WxU) = /V/. /WxU/.cos(V^(WxU))

218

= (el desarrollo del siguiente determinante)=

= |𝑎3 𝑏3 𝑐3𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2

| , por tanto:

W*(V1xV2) = |𝑎3 𝑏3 𝑐3𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2

|

Es muy conveniente que el alumno estudie el cálculo de Determinantes

en el Vol. 10.

5.16.- Interpretación geométrica del producto mixto.

Cálculo de Volúmenes

A) Volumen del paralelepípedo

En la figura se justifica que el volumen del prisma determinado por los

tres vectores coincide con el valor del producto mixto de estos tres

vectores.

Existe volumen no nulo si, y solo si, los tres vectores son linealmente

independientes.


219

En efecto, si w fuese combinación lineal de v1, v2 estaría sobre la base

y el ángulo a sería de 90º, con lo cual cos(a) = 0, y el producto mixto

sería también cero.

B) Volumen de pirámide con base triangular:

Partiendo del volumen del paralelepípedo obtendremos el volumen de

una pirámide. Préstese atención a las figuras.

De (A) obtengo tres pirámides iguales

De (B) obtengo tres pirámides iguales

220

Lo que hemos hecho para el cubo podemos repetirlo para un

paralelepípedo recto, cuyas aristas-base sean a, b, y altura h.

Queda probada la siguiente conclusión.

Conclusión: Para un pirámide con base triangular

Vol. = 1

6 . (a . b) . h

Utilizando el producto mixto obtenemos

Vol. = 1

6 . |𝑣3 ∗ (𝑣1 𝑥 𝑣2|

donde v1, v2, v3 son vectores tomados sobre las aristas, tales que

/v1/ = a, /v2/ = b, /v3/ = h. (Véase figura)

Teniendo en cuenta que el área de la base es 1/2. /v1 x v2)/ ,

podemos interpretar la fórmula anterior así:

Vol. = 1

3 . 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒. 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Casos de pirámides:


221

La siguiente, en la figura, es una pirámide con base rectangular:

Observa que sigue cumpliéndose que

Vol. = 1


C) Pirámide cuya base es un polígono

Obtenemos otra vez

Vol. = 1


222

------------


223

ACTIVIDADES y Problemas

1.- Dados los siguientes vectores analiza su relación de dependencia

lineal.

Datos: v1 = (1,-2,0), v2 = (0,1,3), v3 = (2,-1,9)

Sol.:

Suponiendo que son lin. depen. planteamos

x.(1,-2,0) + y.(0,1,3) + z.(2,-1,9) = (0,0,0)

093

02

02

zy

zyx

zx

, que intentamos resolver

Tomo z libre. z= 1 -->

3

2

y

x

Son lin. depen. y la relación de dependencia es

2.v1 –3.v2 + v3 = O

De ella podemos despejar cualquiera de ellos como comb. lin. de los

otros dos

2.- Expresa el vector v = (3,5,4) en la base

B = { e1= (2,1,0), e2 = (3,0,1), e3 = (0,1,2)}

Sol.:

Suponemos que sí es posible y planteamos

(3,5,4) = x.(2,1,0) + y.(3,0,1) + z.(0,1,2)

224

42

5

332

zy

zx

yx

Obtengo: z = 17/8, x = 23/8, y = -2/8,

Por tanto: v = 23/8.e1 – 2/8.e2 + 17/8.e3

3.- Un cubo de arista 5 cm tiene volumen V = 53 = 125 cm

3

Cada una de las 6 pirámides tiene volumen V(pirámide) = 1/6.125 =

20,8333 cm3

Por otro lado, si nos fijamos en una de la pirámides, esta tiene como

base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm, y su altura

también h = 5 cm. Su volumen es

V = 1/3.(1/2.(5.5).5) = 1/6.125 = 20,8333 cm3

4.- Un prisma recto con aristas a = 10 cm, b = 8 cm, c = 5 cm. Su

volumen

V = a.b.c = 400 cm3

Cada una de las pirámides tendrá volumen 1/6.400

Si no fijamos en una de las pirámides, esta tiene base triángulo recto con

catetos a = 10, b = 8, y altura h = c = 5. Su volumen

V(pirámide) = 1/3.(1/2.(10.8).5) = 1/6.400

$$$$oOo$$$$


225

Tema 6

Espacios Vectoriales de dimensión n


227

6.- ESPACIOS VECTORIALES en general

6.1.- Estructura de Espacio vectorial en Rn

En Matemáticas designamos por RxR al conjunto de todos los pares

posibles (a, b) donde a y b son reales. Decimos que RxR es el producto

cartesiano de R por R, y lo expresamos así: RxR = {(a, b)}. El par de

valores reales (a, b) puede ser interpretadas como ‘las coordenadas’ de

un punto del plano, y como las componentes de un vector en el Plano.

También son las coordenadas del vector respecto de la ‘base canónica’

(la más simple y natural): B = {(1, 0), (0, 1)}.

Dotamos al conjunto RxR de la suma:

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1+b1, a2+b2),

y del producto

r.(a, b) = (r.a, r.b)

Decimos que r es un ‘escalar’ frente a (a, b) que lo llamamos ‘vector’.

Podríamos comprobar que resulta una estructura de Espacio vectorial.

Coincide con V2 que vimos al estudiar el Plano.

Análogamente si tomamos las ternas (a, b, c), elemento del producto

Cartesiano R3 , también llamado ‘vector’. Podemos interpretarla como

las coordenadas de un vector en el Espacio tridimensional, respecto de

la base canónica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Definimos la suma y el producto por escalar como hicimos antes

obtenemos una estructura de Espacio vectorial. En este caso coincide

con V3 que vimos al estudiar el Espacio tridimensional.

Para un entero positivo n podemos construir Rn = R1 x R2 x...x Rn, donde

cada Ri = R. A sus elementos (a1, a2, ..., an) los llamamos n-tuplas.

A estas n-tuplas las llamaremos también ‘vectores’: v = (a1, a2, ..., an).

A cada ai lo llamaremos ‘componente’ del vector, y/o coordenada del

228

punto P asociado, respecto de la base canónica generalización de la

descrita antes para R3 .

Representamos por Vn el conjunto de todos los vectores

v = (a1, a2, ..., an), obtenidos cuando los valores ai recorren el

conjunto R de los números reales

En Vn definimos la suma y el producto por un valor real de forma

análoga a como se hace en V2 y V3 , como sigue:

Si v1 = (a1, a2, ..., an), v2 = (b1, b2, ..., bn) definimos:

v1 + v2 = (a1+b1, a2+b2,..., an+bn)

r.v1 = (r.a1, r.a2,..., r.an)

Son evidentes las propiedades:

Asociativa: v1 + (v2 + v3) = (v1 + v2) + v3

Conmutativa: v1 + v2 = v2 + v1

Elemento neutro: Lo es el vector (0,0,...,0), (vector cero)

Distributiva: r.(v1 + v2) = r.v1 + r.v2

Tenemos por tanto una estructura (Vn, +, .) de Espacio vectorial sobre

Rn y que designaremos por Vn (ó por En en algunos textos).

6.2.- Base canónica en Vn

Observa que (a1, a2, ..., an) = a1.(1,0,0,...,0) + a2.(0,1,0,...,0) + ... +

+ ai.(0,0,...,0,1,0,...,0) + an.(0,0,...,0,1)

Por tanto podemos concluir que una base (base canónica = la más

simple) de Vn está formada por los n vectores (o n-tuplas) que figuran

en B, como sigue:

B = {(1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,..,0,1,0,..,0), (0,0,...,0,1)}


229

6.3.- Dependencia e independencia lineal

Dados n escalares (valores reales) k1, k2, ... , kn, y n vectores v1, v2,

..., vn, llamamos ‘Combinación lineal’ a la expresión

k1.v1 + k2.v2 + ... + kn.vn (1)

Definición:

Dados m vectores v1, v2, ..., vm, decimos que son ‘Linealmente

dependientes’ (l. d.) si alguno de ellos se puede expresar como

combinación lineal de los restantes.

Significa que existen escalres ki, no todos nulos, tales que, por ejemplo,

vj = k1.v1 + ... + kn.vn.

Si son l. d., trasponiendo todos los términos al miembro izquierda tengo:

“Son l. d. si existen escalares k1, k2, …, km, no todos nulos tales que

k1.v1 + k2.v2 + ... - vj + ... + kn.vn = (0,0,...,0), vector cero”.

Recíprocamente, si en la anterior es kj <> 0 puedo despejar el vector vj

y expresarlo como combinación lineal de los restantes:

vj = k1/kj.v1 + ... + kn/kj.vn

y por tanto son l.d.

Conclusión:

‘Son l.d. si, y sólo si, existen escalares ki, no todos nulos, tales que

k1.v1 + k2.v2 + ... + kn.vn = (0,0,...,0)

Definición:

Decimos que son “linealmente independientes’ (l.i.) si no son l.d.”

230

Consecuencia:

Son l.i. si de la igualdad

k1.v1 + k2.v2 + ... + kn.vn = (0,0,...,0) (*)

se deduce que todos los ki son cero.

Esto nos da la técnica que utilizaremos en la práctica para analizar si son

l.i. ó son l.d.

Relación de dependencia:

Diremos que (*) es la relación de dependencia entre los vectores dados.

Ejemplo 1:

Dados los vectores

v1 = (2, 3, 1, 0), v2 = (0, 1, 2, 4), v3 = (1,-2, 0, 3), v4 = (-3, 0, 2, 0)

Comprueba si son l.d. ó l.i.

Sol.:

x.v1 + y.v2 + z.v3 + t.v4 = 0

{

2𝑥 + 𝑧 − 3𝑡 = 03𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 2𝑡 = 0 4𝑦 + 3𝑧 = 0

Elimino x de segunda y tercera:

(la 1ª por 3, la 2ª por 2 y de 2ª resto 1ª, el resultado sustituye a la

segunda)

(la 3ª por 2 y le resto la 1ª, el resultado

sustituye a la 3ª)


231

{

2𝑥 + 𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 − 7𝑧 + 9𝑡 = 04𝑦 − 𝑧 + 7𝑡 = 04𝑦 + 3𝑧 = 0

De 3ª y 4ª elimino y:

(2ª por 2 y se la resto a 3ª, el resultado sutituye a 3ª)

(2ª por 2 y se la resto a 4ª, el resultado sustituye a 4ª)

{

2𝑥 + 𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 − 7𝑧 + 9𝑡 = 0 13𝑧 − 11𝑡 = 0 17𝑧 = 0

Obtengo z = 0, t = 0, y = 0, x = 0. Son l.i.

Ejemplo 2:

v1 = (2, 3, 1, 0), v2 = (0, 1, 2, 4), v3 = (2, 5, 5, 8), v4 = (-3, 0, 2, 0)

Comprueba si son l.d. o l.i.

Sol.:

x.v1 + y.v2 + z.v3 + t.v4 = 0

{

2𝑥 + 2𝑧 − 3𝑡 = 03𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 + 2𝑡 = 0 4𝑦 + 8𝑧 = 0

Elimino x de segunda y tercera:

(la 1ª por 3, la 2ª por 2 y de 2ª resto 1ª, el resultado sustituye a la

segunda)

(la 3ª por 2 y le resto la 1ª, el resultado sustituye a la 3ª)

232

{

2𝑥 + 2𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 + 4𝑧 + 9𝑡 = 04𝑦 + 8𝑧 + 7𝑡 = 04𝑦 + 8𝑧 = 0

De 3ª y 4ª elimino y:

(2ª por 2 y se la resto a 3ª, el resultado sutituye a 3ª)

(2ª por 2 y se la resto a 4ª, el resultado sustituye a 4ª)

{

2𝑥 + 2𝑧 − 3𝑡 = 0 2𝑦 + 4𝑧 + 9𝑡 = 0 −11𝑡 = 0 0 = 0

Obtengo t = 0,

2x + 2z = 0

2y +4z = 0

de donde

z = -x, z = -2/4.y

x = -2/4.y, 4x = 2y, y = 2x

Puedo tomar x ó y como libre. Significa que los vectores dados son l.d.

Si x =1, entonces: y = 2, z = -1

La relación de dependencia es v1 +2.v2 -v3 +0.v4 = 0

-------------------

6.4.- Sistema libre. Sistema generador

Sea el conjunto de vectores {v1, v2, ..., vm}

Def.:

Cuando los m vectores dados son l.i. decimos que constituyen un


233

‘sistema libre’ (s.l.) de vectores.

Def.:

Decimos que los m vectores constituyen un ‘Sistema generador’ si para

cualquier otro vector v de Vn existen valores reales (escalares) k1, k2,

..., km tales que

v = k1.v1 + k2.v2 + ... + km.vm, (4)

es decir, que v sea combinación lineal de aquellos.

Evidentemente, para que ésto ocurra el conjunto de vectores dado ha de

contener al menos n vectores. Si contiene más de n vectores podemos

retirar algunos por resultar superfluos, hasta quedarnos con n vectores.

Este proceso lo llamamos ‘extracción de un sistema generador’ o

extracción de una base, como veremos a continuación.

6.5.- Bases de un Espacio vectorial Vn. Dimensión de Vn

En un Espacio vectorial como Vn, cualquiera que sea n (por supuesto

finito), todo sistema libre con n vectores es también un ‘sistema

generador’.

Def.:

Llamamos base de Vn a todo conjunto de n vectores que constituyan

‘Sistema libre’ y además ‘Sistema generador.

Se puede probar que si contiene n vectores y es sistema libre, entonces

es también sistema generador, y por tanto es una base de Vn .

Evidentemente el espaco vectorial Vn admite muchas bases distintas,

pero todas contienen exactamente n vectores. Este hecho nos permite

definir

234

“Llamamos dimensión de Vn al número (común) de vectores que

contiene cualquiera de sus bases”.

En nuestro caso: dim(Vn) = n

6.6.- Extracción de un sistema libre de vectores

Supongamos un conjunto de vectores v1, v2, ..., vm del cual deseamos

extraer aquel subconjunto formado por los que sean l. i.

Proceso a seguir:

Tomo v1 para quedármelo.

Agrego v2 y compruebo si v1, v2 son o no l. i..

En caso afirmativo lo retengo, en otro caso lo retiro y paso a probar con

v3, procediendo de la misma forma.

Supongamos que tengo v1, v2, independientes. Agrego v3 y compruebo

si v1, v2, v3 son o no l. i..

En caso afirmativo lo retengo, en otro caso lo rechazo y paso a probar

con v4.

Continuamos de la misma forma hasta agotar los m vectores iniciales.

Al final habremos obtenido un sistema libre constituido por k vectore,

k <= m.

Si m >= n, y k = n, habremos obtenido una base. Si m < n ó k < n, no

será base pero sí un sistema libre.

Ejemplo 1:

Extraer un sistema libre de los vectores

v1 = (2,0,1), v2 = (-1,2,0), v3 = (0,4,1), v4 = (0,3,-2)

Sol.: x.v1 +y.v2 = 0, implica


235

{2x – y = 0 2y = 0

-- >

y = 0 , x = 0, y v1, v2 son l. i.

Agrego v3

x.v1 + y.v2 + z.v3 = 0, implica

{2x – y = 0 2y + 4z = 0x + z = 0

-- >

z = -x, y = 2x, y de la segunda

4x -4x = 0, que es válida para cualquier valor

que tome x; x es libre, y por tanto son l. d.

El v3 es c. l. de v1 y v2. Rechazo v3

Agrego v4

x.v1 +y.v2 +z.v4 = 0, implica

{2x – y = 0 2y + 3z = 0 x − 2z = 0

-- >

x = 2z, que llevo a las otras dos

4z – y = 0

2y +3z = 0,

de donde: y = 4z, que llevo a la segunda

8z +3z = 0, de donde z = 0, y = 0, x = 0. Son l. i.

Los vectores v1, v2, v4 constituyen s. l., y además forman una base de

V3 .

Exactamente el mismo proceso se sigue para extraer una base del

236

espacio Vn cuando tenemos un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vm}

6.7.- Cómo obtener las coordenadas de un vector v respecto de

una base

Lo explicamos mediante un caso concreto, siendo n = 4, y una base, por

ejemplo, B = {(1,0,2,3), (0,2,1,0), (1,2,0,0), (3,0,1,0)}.

El alumno debe comprobar que son l. i., y por tanto forman base.

Tomo el vector v = (2, 3, 4, 5), por ejemplo.

Planteo como sigue:

(2, 3, 4, 5) = a.v1 + b.v2 + c.v3 + d.v4, de donde obtengo

{

2 = a + c + 3d3 = 2b + 2c 4 = 2a + b + d5 = 3a

sistema que hemos de resolver.

Resolviendo:

a = 5/3, lo llevo a las otras

2 = 5/3+c+3d

3 = 2b+2c

4 = 10/3+b+d

Despejo d = 4-10/3-b = 2/3-b, y lo llevo a las otras

2 = 5/3+c+2-3b = 11/3-3b

3 = 2b+2c

Despejo b = -(2-11/3)/3 = -(-5/3)/3 = 5/9

y lo llevo a la otra

3 = 10/9+2c, de donde c = (3-10/9)/2 = (17/9)/2 = 17/18.


237

También tengo d = 2/3-5/9 = 1/9

NOTA: Los valores obtenidos demuestran que los datos fueron tomados

sin preparación previa.

Las coordenadas de v en la base dada son:

v = (5/3, 5/9, 17/18, 1/9)

Comprobación: El alumno debe hacer la siguiente comprobación

(conviene hacerlo alguna vez):

5/3.v1 +5/9.v2 +17/18.v3 +1/9.v4 = ... y debe resultar =

= (2, 3, 4, 5),

que es la expresión de v en la base canónica. (Véase la nota)

NOTA: Cuando tomamos una n-tupla interpretada como vector, sin

indicar respecto de qué base está expresada, SIEMPRE hemos de

entender que está expresado en la BASE CANÓNICA, esto es, en la

base

B = {e1, e2, ..., en},

donde cada vector ei, o n-tupla, lleva todas sus componentes cero salvo

la de lugar i que es 1:

e1 = (1,0,0,...,0), e2 = (0,1,0,0,...,0), …, en = (0,0,0,...,0,1)

------------------

6.8.- Cambio de base

Se trata de una cuestión complicada por los cálculos que requiere pero

muy importante en sus aplicación práctica.

Procuraré ser conciso al tiempo que consiga claridad en la exposición.

Supongamos dos base B1 y B2

238

B1 = {e1, e2, ..., en}

B2 = {v1, v2, ..., vn}

Para un vector cualquiera v sea su expresión en la base B2

v = b1.v1 + b2.v2 + ... + bn.vn (1)

En la base B1 vendrá dado por la expresión

v = a1.e1 + e2.v2 + ... + en.vn (2)

Deseamos obtener la relación entre los coeficientes bi y aj.

Necesitamos tener como dato la expresión de cada vj respecto de la base

B1 , o los bien cada ei respecto de B2 .

Supongamos

v1 = k11.e1+k12e2+...+k1n.en

v2 = k21.e1+k22.e2+...+k2n.en

………………………

vj = kj1.e1+kj2.e2+...+kjn.en

………………………

vn = kn1.e1+kn2.e2+...+knn.en (3)

Sustituyendo estas expresiones en la anterior (1) tenemos

v =

b1.( k11.e1+k12.e2+...+k1n.en) +

+ b2.( k21.e1+k22.e2+...+k2n.en) +

…………………… +

+ bj.( kj1.e1+kj2.e2+...+kjn.en) +

…………………… +

+ bn.( kn1.e1+kn2.e2+...+knn.en)

Aplicando la propiedad distributiva y reagrupando obtenemos


239

v = (b1.k11+b2.k21+...+bn.kn1).e1 +

+ (b1.k12+b2.k22+...+bn.kn2).e2 +

…………………

+ (b1.k1i+b2.k2i+...+bn.kni).ei +

…………………

+ (b1.k1n+b2.k2n+...+bn.knn).en

Tenemos así la relación que ‘liga’ (relaciona) las coordenadas ai de v en

la base B1 con las coordenadas bj en la base B2, que nos permite pasar

de la base B2 a la base B1:

a1 = b1.k11+b2.k21+...+bn.kn1

a2 = b1.k12+b2.k22+...+bn.kn2

…………

ai = b1.k1i+b2.k2i+...+bn.kni

…………

an = b1.k1n+b2.k2n+...+bn.knn (4)

Avanzando:

En el Volumen 10 dedicado a Algebra Lineal quedará justificado lo

siguiente. El alumno avanzado quizás no tenga dificultad para

comprender las explicaciones siguentes. En todo caso recomendamos

consultar el Tema de Matrices en el citado Volumen 10.

Notación Matricial:

Las igualdades (4) podemos expresarlas de la siguiente forma como

producto de dos matrices:

(𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑖, … , 𝑎𝑛) =

= (𝑏1, 𝑏2,… , 𝑏𝑛).(

𝑘11 𝑘12 … 𝑘1𝑖 … 𝑘1𝑛𝑘21 𝑘22 … 𝑘2𝑖 … 𝑘2𝑛

…… .𝑘𝑛1 𝑘𝑛2 … 𝑘𝑛𝑖 … 𝑘𝑛𝑛

) (5)

240

de donde, según la definición del producto de matrices resulta:

a1 = b1.k11+b2.k21+...+bn.kn1

a2 = b1.k12+b2.k22+...+bn.kn2

…………

ai = b1.k1i+b2.k2i+...+bn.kni

…………

an = b1.k1n+b2.k2n+...+bn.knn

Resumiendo/Conclusión:

Tenemos el vector v expresado en la base B2, y tenemos los vectores vi

que constituyen B2 expresados en la base B1. Esto nos proporciona la

matriz B llamada ‘matriz del cambio de base’:

B = (

k11 k12 … k1i … k1nk21 k22 … k2i … k2n

…… .kn1 kn2 … kni … knn

)

La fila j-ésima de B es la expresión de vj en la base B1.

La expresión (a1, a2, ..., an) de v respecto de la base B1, las obtenemos

como sigue:

a1 = (b1, b2 ,..., bn).

(

k11k21..

kn1)

es decir, producto de ‘matriz fila’ por ‘matriz columna’.

Del mismo modo se obtiene


241

a2 = (b1, b2, ..., bn).

(

𝑘12𝑘22..

𝑘𝑛2)

y del mismo modo

ak = (b1, b2 ,..., bn).

(

k1kk2k..

knk)

En general:

Si Y (vector fila) representa las coordenadas de v en B1 y X (vector fila)

representa las coordenadas de v en B2, la igualdad (5) se expresa así:

Y = X.B (6)

Obteniendo la inversa de B (se verá en Álgebra lineal ), obtenemos

(producto por la derecha)

Y.B-1

= X (7)

o sea, X = Y.B-1

(8)

Importante: De (8) deducimos que las filas de B-1

son las expresiones

de los vectores ei de la base B1 respecto de la base B2 .

Ejemplo:

Tenemos las base B1 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, B2 = {(2,3,0), (-

3,0,4), (0,-1,5)}

Designo por ei los vectores de B1, por uj los de B2.

Datos: u1 = 2.e1+3.e2

u2 = -3.e1 +4.e3

u3 = -e2 +5.e3

242

Tengo la matriz del cambio

B = (2 3 0 −3 0 40 − 1 5

)

Sea v = 3.u1 -2.u2 + u3, esto es: v = (3,-2,1), en la base B2.

Sus coordenadas en B1 las obtenemos así:

a1 = (3,-2,1).(2−30) = 6 +6 +0 = 12

a2 = (3,-2,1).(30−1) = 9 +0 -1 = 8

a3 = (3,-2,1).(045) = 0 -8 +5 = -3

de modo que v = (12, 8, -3) en la base B1

Comprobación:

v = 3.(2,3,0) -2.(-3,0,4) + (0,-1,5) = (12, 8, -3)

Seguimos: Hallamos la inversa B-1

NOTA: Consúltese el Vol. 10, Álgebra Lineal

No es posible exponer aquí las explicaciones necesarias para que el

alumno entienda el proceso de cálculo seguido a continuación.

No obstante, dado el interés que tienen los resultados, lo expongo:

B = (2 3 0−3 0 40 − 1 5

) -- > Traspuesta: Bt = (

2 − 3 03 0 − 10 4 5

)


243

Adjunta de la traspuesta:

Adj(Bt) = (

4 − 15 1215 10 − 8 3 2 9

)

Determinante de B:

Det(B) = 53

La inversa es B-1

=

(

4

53 −

15

53

12

5315

53 10

53 −

8

533

53

2

53

9

53 )

Ha quedado hecha la comprobación: B.B-1

= I, matriz unidad,

I = (1 0 00 1 00 0 1

)

Por comodidad podemos escribir, y escribo,

B-1

= 1/53.(4 − 15 1215 10 − 83 2 9

)

Continúo:

Siendo v = (12, 8, -3) las coorenadas de v en B1 obtengo las que tiene

en B2

b1 = 1/53.(12,8,-3).(4153) = 1/53.(48+120-9) = 1/53.159 = 3

b2 = 1/53.(12,8,-3).(−15102) = 1/53.(-180+80-6) = 1/53.(-106) = -2

244

b3 = 1/53.(12,8,-3).(12−89) = 1/53.(144-64-27) = 1/53.53 = 1

Observa que es el resultado esperado, la expresión de v en la base B2

tomada al principio.

NOTA:

Este es un BUEN EJEMPLO corroborativo del proceso seguido para el

cambio de base. Evidentemente, el mismo se seguirá para cualesquiera

que sea la dimensión del espacio Vn.

$$$$oOo$$$$


245

Tema 7:

Ampliación de Trigonometría y sus aplicaciones


247

7.1.- Sumas o resta de ángulos:

Observa detenidamente la figura

Sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)

Cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)

Sen(a-b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a)

Cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)

Tan(a+b) = tan(a) + tan(b)

1 – tan(a).tan(b) , Tan(a-b) =

tan(a) − tan(b)

1+ tan(a).tan(b)

248

Cota(a+b) = 1

tan (𝑎+𝑏) , Cota(a-b) =

1

tan (𝑎−𝑏)

sec(a+b) = 1

cos (𝑎+𝑏) , sec(a-b) =

1

cos (𝑎−𝑏)

cose(a+b) = 1

sen (𝑎+𝑏) , cose(a-b) =

1

sen (𝑎−𝑏)

Consecuencia:

A) Ángulo doble

Sen(2a) = 2.sen(a).cos(a)

Cos(2a) = cos2(a) – sen

2(a)

Tan(2a) = 2.tan(a)

1−tan2(𝑎)

En efecto: Tan(2a) = sen(2a)

cos(2a) =

2sen(a).cos(a)

cos2(𝑎)−𝑠𝑒𝑛2(𝑎)=

(Divido entre cos2(a) )

= 2tan(a)/(1-tan2(a)) = 2.

tan(a)

1−tan2(𝑎)

cota(2a) = 1

tan(2𝑎) , o bien Cota(2a) = -

1 − 𝑐𝑜𝑡𝑎2(𝑎)

2.𝑐𝑜𝑡𝑎(𝑎)

En efecto: cos(2a)

sen(2a) =

cos2(𝑎) − sen2(a)

2sen(a)cos(a) =

(Divido entre sen2(a) )

= 𝑐𝑜𝑡𝑎2(𝑎)−1

2.𝑐𝑜𝑡𝑎(𝑎) = -

1 − 𝑐𝑜𝑡𝑎2(𝑎)

2.𝑐𝑜𝑡𝑎(𝑎)

B) Ángulo mitad

Cos(a) = cos2( 𝑎

2 )- sen

2(𝑎

2)= 1 – 2.sen

2(𝑎

2), de donde


249

Sen2(𝑎

2) =

1

2.(1-cos(a)), Sen(

𝑎

2) = √

𝟏−𝐜𝐨𝐬 (𝒂)

𝟐

Cos(a) = cos2(𝑎

2) - sen

2(𝑎

2) = cos

2(𝑎

2) – [1-cos

2(𝑎

2)] =

= 2. cos2(𝑎

2) – 1 , de donde

cos2(𝑎

2) =

1

2.(1 + cos(a)), Cos(

𝒂

𝟐) = √

𝟏+𝐜𝐨𝐬 (𝒂)

𝟐

sen(𝑎

2)

cos(𝑎

2) =

√1−cos (𝑎)

2

√1+cos (𝑎)

2

= √1−cos (𝑎)

1+cos(𝑎) , por tanto

Tan(𝑎

2) = √

𝟏−𝐜𝐨𝐬 (𝒂)

𝟏+𝐜𝐨𝐬(𝒂) , Cota(

𝑎

2) = √

𝟏+𝐜𝐨𝐬 (𝒂)

𝟏−𝐜𝐨𝐬(𝒂)

7.2.- Fórmulas del Producto de r.t.

Sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)

Sen(a-b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a)

Sumándolos: Sen(a+b) + sen(a-b) = 2.sen(a).cos(b)

Sen(a).cos(b) = 𝟏

𝟐.[sen(a+b) + sen(a-b)]

Restándolas: Sen(a+b) - sen(a-b) = 2.sen(b).cos(a)

Sen(b).cos(a) = 𝟏

𝟐.[sen(a+b)-sen(a-b)]

De forma análoga

250

Cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)

Cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)

Sumándolas: Cos(a+b) + cos(a-b)= 2.cos(a).cos(b)

Cos(a).cos(b) = 1

2.[cos(a+b) + cos(a-b)]

Restándolas: Cos(a+b) – cos(a-b) = -2.sen(a).sen(b)

Sen(a).sen(b) = -1

2.[cos(a+b) – cos(a-b)]

7.3.- Fórmulas de las Sumas/Restas de r.t.

En las anteriores hacemos:

A = a+b, B = a-b, a = A+B

2, b =

A−B

2

Entonces:

Sen(A) + sen(B) = 2.sen(A+B

2).cos(

A−B

2)

Cos(A) + cos(B) = 2.cos(A+B

2).cos(

A−B

2)

Sen(A)- sen(B) = 2.cos(A+B

2).sen(

A−B

2)

Cos(A) – cos(B) = -2.sen(A+B

2).sen(

A−B

2)

7.4.- Teorema de los senos

Tenemos las siguientes relaciones:

Sen(B) = ℎ

c -- > h = c.sen(B)

Sen(C) = ℎ

b -- > h = b.sen(C)


251

De donde: c.sen(B) = b.sen(C), 𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝐶) =

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝐵) , y del mismo modo:

𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝐶) =

𝑎

𝑠𝑒𝑛(𝐴) , y por tanto

𝑎

𝑠𝑒𝑛(𝐴) =

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝐵) =

𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝐶)

Una interpretación geométrica:

Teniendo en cuenta que A = 90º, y que B’= B, tenemos

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝐵) =

2𝑅

𝑠𝑒𝑛(900) = 2.R ,

𝒃

𝒔𝒆𝒏(𝑩) = 2.R

252

7.5.- Teorema del coseno

En primer lugar unas ideas básicas sobre conceptos necesarios.

Idea de vector fijo:

Dos puntos A(x1, y1), B(x2, y2) del plano determinan el vector v = AB

cuyas componentes son (x2-x1,y2-y1), y escribiremos

v = (a, b) donde a = x2-x1, b = y2-y1.

Ángulo formado por dos vectores:

Módulo de un vector:

mod(v) = √𝑎2 + 𝑏2 . Lo designaremos por /v/

Producto escalar de dos vectores: v*w = |v|.|w|.cos(g)

Cuando g = 0o, cos(g) = 0, y v*v = |v|

2

Designo por ‘a’, ‘b’ y ‘c’ los lados con ‘doble significado’: Escalar -- >

Su longitud, Vectorial -> Vector determinado por sus vértices, de modo

que: a = |BC|, b = |AC|, c = |BA|


253

Supongo el origen O(0, 0) en el vértice B:

Entonces, Vectorialmente tenemos: a = c + b

Haciendo el producto escalar consigo mismo tenemos:

a*a = (c+b)*(c+b) = c*c + c*b + b*c + b*b

a2 = c

2 + b

2 + 2.(b*c)

a2 = c

2 + b

2 + 2.b.c.cos(A’) = c

2 + b

2 - 2.b.c.cos(A)

ya que cos(A’) = -cos(A)

Conclusión: a2 = c

2 + b

2 - 2.b.c.cos(A)

254

Observa:

-Si A = 90o , cos(A) = 0, y queda la fórmula del Teorema de

Pitágoras.

-Por tanto, la anterior es una generalización del citado teorema.

-En la práctica la utilizamos así:

a2 = c

2 + b

2 - 2.b.c.cos(A)

donde A es el ángulo en el vértice A.

NOTA:

Observa que en todo caso, sea A < 90o ó sea A > 90

o, se cumple la

anterior con el signo menos:

g = ángulo A en el vértice A.

7.6.- Resolución de triángulos

Dado un triángulo cualquiera


255

decimos que sus elementos son: Sus tres lados, más sus tres vértices.

En problemas reales ocurrirá que conocemos el valor de algunos de sus

elementos pero desconocemos otros, estando interesados en calcular el

valor de alguno de los desconocidos.

El conocimiento de lo estudiado en este Tema de Trigonometría, y en

particular Teorema de los senos y Teorema del coseno, siempre

podremos calcular cualquiera de los elementos desconocidos,

suponiendo que tenemos ‘datos suficientes’ que suele ser ‘el valor de al

menos tres de sus elementos’.

Veremos casos resueltos en la sección de los problemas. Aquí tenemos

descritos los casos posibles, y después resolvemos uno de los casos más

complicados y prácticos reales.

Casuística:

a) Datos: Un lado y dos ángulos

Resolvemos aplicando el teorema de los senos

b) Datos: Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

Por teorema del coseno obtenemos el tercer lado. Por

teorema de los senos obtenemos otro de los ángulos, y está.

c) Datos: Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Por teorema de los senos obtengo otro de los lados. Obtengo

el tercer ángulo, y por teorema de los senos obtengo el

tercer lado.

d) Datos: Tres lados

256

Por teorema del coseno obtengo uno de los ángulos. Por

teorema de los senos obtengo un segundo ángulo, y está.

Un caso práctico

Una de las situaciones reales típicas la tenemos en la siguiente figura 60.

“Deseamos determinar la distancia entre los puntos P y Q, situados al

otro lado de un río. Nosotros estamos situados en el punto A, y desde

este punto tomamos el ángulo A> que forman las ‘visuales’ por P y por

Q. También a este lado del río tenemos el punto B situado a distancia d

de A, y, situados en A, tomamos el ángulo A’> que forman las visuales

por Q y por B (ver figura 150 ). Nos desplazamos al punto B y desde

éste medimos el ángulo B> que forman las visuales por P y por Q, y

también el ángulo B’> que forman las visuales por P y por A”.

Resolución: Proceso

Obtenemos lo necesario para que al final obtengamos D = d(P, Q)

resolviendo el triángulo AQP.

NOTA: Designare el ángulo en un vértice, por ejemplo P,

indistintamente mediante P> ó P^

Cálculo de b = d(A, P):


257

P^ = 180º - (a + a’+ b’)

Por teorema del seno 𝑠𝑒𝑛(𝑃>)

𝑑 =

𝑠𝑒𝑛(𝑏′)

𝑏

de donde

b = 𝑑.𝑠𝑒𝑛(𝑏′)

𝑠𝑒𝑛(𝑃>)

Cálculo de c = d(A,Q):

Q^ = 180º - (b + b’+ a’)

Por teorema del seno 𝑠𝑒𝑛(𝑄>)

𝑑 =

𝑠𝑒𝑛(𝑏+𝑏′)

𝑐

de donde:

c = 𝑑.𝑠𝑒𝑛(𝑏+𝑏′)

𝑠𝑒𝑛(𝑄>)

Cálculo de D = d(P, Q):

Por teorema del coseno

D2 = b

2 + c

2 – 2.b.c.cos(a), de donde obtengo D

(Ver un caso resuelto con datos concretos en Problemas del Tema 7)

7.7.- Aplicación al cálculo del Área de un Triángulo

Tenemos varios procedimientos dependiendo de los datos de que

dispongamos.

Casuística:

a) Datos: Conocemos la altura sobre uno de los lados.

258

S = 1

2.base.h

b) Datos: Dos lados y el ángulo comprendido.

S = 1

2.a.c.sen(B), (h = c.sen(B))

c) Datos: Radio R de la circunferencia circunscrita.

S = 𝑎.𝑏.𝑐

4.𝑅 , (sen(B) =

b

2R )

a) Datos: Radio r de la circunferencia inscrita.

S = 𝟏

𝟐.(a+b+c).r = p.r, (p =

𝟏

𝟐.(a+b+c))


259

Datos: Los tres lados: Entonces

S = √𝑝. (𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) ,

donde p = 𝟏

𝟐.(a+b+c), semiperímetro.

(Fórmula de Herón o de Arquímedes)

Demostración: Del Teorema del coseno obtenemos

Cos(B)= 𝑎2−𝑏2+𝑐2

2.𝑎.𝑐 -> Sen(B) = √1 − [

𝑎2−𝑏2+𝑐2

2𝑎𝑐]2

=

= 1

2.a.c .√(4𝑎𝑐)2 − (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2)2 =

= (diferencia de cuadrados)

= 1

2.a.c. √(2𝑎𝑐 + (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2)). (2𝑎𝑐 − (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2)) =

= 1

2.a.c. √(2𝑎𝑐 + 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2). (2𝑎𝑐 − 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2) =

= 1

2.a.c. √((𝑎 + 𝑐)2 − 𝑏2). (−(𝑎 − 𝑐)2 + 𝑏2) =

= 1

2.a.c. √((𝑎 + 𝑐 + 𝑏). (𝑎 + 𝑐 − 𝑏). (𝑏 + 𝑎 − 𝑐). (𝑏 − 𝑎 + 𝑐) =

= 1

2.a.c. √𝑃. (𝑃 − 2𝑏). (𝑃 − 2𝑐). (𝑃 − 2𝑎) =

donde P = a+b+c = perímetro. Hago p = 1

2.P = semiperímetro

= 1

2.a.c.√2𝑝. (2𝑝 − 2𝑎). (2𝑝 − 2𝑏). (2𝑝 − 2𝑐) =

260

= 1

2.a.c . √16. 𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) =

= 1

2.a.c .4. √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) =

= 2

a.c . √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) =

Probado lo anterior, tenemos para el área del triángulo ABC

S = 1

2.a.c.sen(B) =

= (1

2.a.c).

2

a.c . √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐) -- >

S = √𝑝(𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐)

$$$oOo$$$


261

APÉNDICE I Suplemento a la Geometría Analítica en el plano

I.1.- La Recta

Ecuación determinada por dos puntos:

Por las leyes de la proporcionalidad se cumple

x−x0

x1−x0=

y−y0

y1−y0

de donde (y-y0) = y1−y0

x1−x0 .(x-x0)

Llamamos pendiente de la recta al valor m = y1−y0

x1−x0

con lo cual escribo y = m.x +(yo-x0)

En general la expresamos así

ax + by + c = 0 (Ecuación general)

Un Vector director de r:

Podemos tomar el vector v = PQ = (x1-x0,y1-y0)

Si operamos en la igualdad (y-y0) = y1−y0

x1−x0 .(x-x0), tenemos

262

(x1-x0).y = (y1-y0).x + [(x1-x0).y0 –(y1-y0).x0]

de donde deducimos que, en la ecuación general

a.x + b.y + c = 0

los valores de los coeficientes son:

a = (y1-y0), b = -(x1-x0),

c = (x1-x0).y0 –(y1-y0).x0

El vector director v ahora se expresará así: v = (-b,a)

I.2.- Vector ortogonal (perpendicular) a la recta:

Inciso:

Se supone conocido el concepto de ‘producto escalar’ de dos vectores:


En un sistema de referencia ortonormal R(O; e1, e2), si los vectores son

v = (a, b), w = (a’, b’),

el producto escalar resulta así: v*w = a.a’ + b.b’

Definiciones: Decimos que dos vectores v, w son ‘ortogonales’ si

v*w = 0

I.3.- Módulo de w:

Es la ‘longitud’ del segmento que subyace bajo el vector w. Su valor es,

si w = (a, b),

/w/ = √a2 + b2 = w*w

Si tengo la ecuación general a.x + b.y + c = 0


263

el vector w = (a, b) es ortogonal a la recta, por serlo con su vector

director v = (-b, a).

El vector w = (a, b) es ortogonal a la recta

Por tanto el vector w = (a, b) es ortogonal con r, ya que

(a, b)*(-b, a) = -a.b + b.a = 0

I.4.- Vector ortogonal unitario (vector normal a r):

Normalizo el vector w

/w/ = √a2 + b2, y el vector n->

=(a

√a2+b2,

b

√a2+b2 ) tiene módulo =1, es

unitario

Llamaremos n1 = a

√a2+b2 , n2 =

b

√a2+b2

n->

= (n1, n2)

I.5.- Ecuación Segmentaria:

𝑦−𝑏

𝑏=

−𝑥

𝑎 , y/b + x/a = b/b, y concluyo que

264

𝑥

𝑎+𝑦

𝑏 = 1 (E. segmentaria o normal)

I.6.- Cosenos directores:

Fijamos nuestra atención en los segmmentos a y b que produce el corte

de r con los ejes coordenados, según figura

Tenemos

cos(g) = d/a, cos(g’) = d/b

de donde 1

𝑎=

cos (𝑔)

𝑑 ,

1

𝑏=

cos (𝑔′)

𝑑 ,

donde d = d(O, r), y que llevándolo más arriba nos da

𝑐𝑜𝑠 (𝑔)

𝑑 . 𝑥 +

𝑐𝑜𝑠 (𝑔′)

𝑑. 𝑦 = 1,

cos(g).x + cos(g’).y = d (E. canónica)

De otra forma:

Fijándonos en el vector n, ortogonal a r pasando por O y unitario, según

figura


265

Según puede verse en esta figura, tenemos además

cos(g) = 𝑛1

|𝑛| , cos(g’) =

𝑛2

|𝑛| , donde /n/ = 1,

y por tanto, teniendo en cuenta la anterior, tengo

n1.x + n2.y – d = 0

Otra forma:

Fijándonos en el vector director v = (v1, v2). El vector w = (v2, -v1) es

ortogonal a la recta y el unitario

n = (𝑣2

√𝑣12+𝑣22 ,

−𝑣1

√𝑣12+𝑣22 )

Entonces

cos(g) = 𝑣2

√𝑣12+𝑣22 , cos(g’) =

−𝑣1

√𝑣12+𝑣22

Observa:

𝑣2

√𝑣12+𝑣22.x +

−𝑣1

√𝑣12+𝑣22.y – d = 0

v2.x –v1.y – d. √𝑣12 + 𝑣22 = 0

266

Sabiendo que la recta pasa por (a, 0) y (0, b), un vector director es v =

(-a, b), y por tanto la anterior queda

b.x + a.y – d. √𝑎2 + 𝑏2 = 0

Por otro lado sabemos que d(O, r) = término independiente, en este

cado

d(O, r) = 𝑑.√𝑎2+𝑏2

√𝑎2+𝑏2 = d

En la práctica tenemos

A.x + B.y + C = 0,

donde: A = b, B = a, C = d.√𝐴2 + 𝐵2

d = d(O, r) = C/√𝐴2 + 𝐵2

I.7.- Cálculo de una recta s perpendicular a r, y punto de corte

Sea la recta r: ax + by + c = 0, y sea el punto Q(x1, y1) que no está en r

Tomo el vector w = (a,b) normal a r, y lo convierto en vector unitario n

= (n1,n2), donde

n1 = a

√a2+b2 , n2 =

b

√a2+b2


267

Supongamos C(x,y) de r como punto de corte entre r y s. Tengo

OQ = OC + CQ

CQ = (x1-x,y1-y) = k.n, donde k = d(Q,r)

de donde {𝑥1 − 𝑥 = 𝑘. 𝑛1𝑦1 − 𝑦 = 𝑘. 𝑛2

, {𝑥 = 𝑥1 − 𝑘. 𝑛1𝑦 = 𝑦1 − 𝑘. 𝑛2

Teniendo en cuenta que k = /a.x1+b.y1+c/

√a2+b2 , (que probaremos en el punto

9) obtenemos el punto C de corte.

La ecuación de s:

El vector w = (a, b) es director, por lo tanto s es de la forma

-b.x + a.y +D = 0, donde D es desconocido

Si las coordenadas de C son C(x0, y0) tiene que cumplirse

-b.x0 +a.y0 +D = 0, D = (b.x0 –a.y0)

y tenemos así la ecuación s: a’.x +b’.y +c’ = 0,

donde a’ = -b, b’ = a, c’ = D

I.8.- Distancia d(P, r) partiendo de la Ecuación general

A.x + B.y + C = 0

El vector w = (A, B) es ortogonal a r, y v = (-B, A) es director de r.

En efecto: y = 0 -- > x = -C/A -- > P1(-C/A, 0)

x = 0 -- > y = -C/B -- > P2(0, -C/B)

v = (C/A, -C/B), multiplico por (A.B)/C y obtengo

268

v = (B, -A), también vale v = (-B, A)

Normalizo el vector ortogonal w pasando a tomar

n->

= (n1, n2), donde n1 = A

√A2+B2 , n2 =

B

√A2+B2

Traslado la recta r aplicándole el vector k.n->

para hacer que pase por P.

Puesto que n->

es unitario, el valor k coincide con la distacia d de P a la

recta.

Tengo {x′ − x = k. n1y′ − y = k. n2

, {x = x′ − k. n1y = y′ − k. n2

La nueva recta pasa por P(x1, y1), por lo tato

tomando (x1, y1) en lugar de (x’, y’) tengo {x = x1 − k. n1y = y1 − k. n2

y sustituyendo en la ecuación de r tengo

A.(x1-k.n1) + B.(y1-k.n2) + C = 0

(A.x1 + B.y1 + C) – k.(n1.A + n2.B) = 0

(A.x1 + B.y1 + C) – k.(A2 + B

2)/√𝐴2 + 𝐵2 = 0

de donde k = (A.x1+B.y1+C).√A2+B2

A2+B2 =

(A.x1+B.y1+C)

√A2+B2

y por lo tanto


269

d(P, r) = (A.x1+B.y1+C)

√A2+B2

y hemos terminado

Otra forma:

{x = x′ − k. n1y = y′ − k. n2

-- > {A. x = A. x′ − A. k. n1B. y = B. y′ − B. k. n2

y sumo miembro a miembro (cambiando (x’, y’) por (x1, y1) )

A.x +B.y = A.x1 +B.y1 –k.(A.n1 +b.n2)

-C = A.x1 +B.y1 –k.(A.n1 +b.n2)

de donde obtengo la misma expresión para k.

-----------


271

APÉNDICE II Suplemento: Analítica en el Espacio

II.1.- Ecuaciones del plano

Sea el plano definido por un punto P(x0, y0, z0) y el subespacio director

determinado por los vectores w1 = (a, b, c), w2 = (a’, b’, c’)

Para un punto Q(x, y, z) cualquiera del plano tengo

OQ = OP + k.w1 +h.w2


{x = x0 + k. a + h. a′

y = y0 + k. b + h. b′

z = z0 + k. c + h. c′

(E. paramétricas)

El alumno puede probar a eliminar los parámetros k y h (es un buen

ejecicio), aplicando ‘despeje y sustitución’ reiteradas, y debe obtener

(b.c’-b’.c).(x-x0) –(a.c’-a’.c).(y-y0) + (a.b’-a’.b).(z-z0) = 0

(El que suscribe lo ha obtenido)

También podemos eliminar los citados parámetros aplicando las

técnicas de ‘Eliminación de parámetros’, estudiadas en otro lugar

(Vol.10).

Las incógnitas del sistema

{x = x0 + k. a + h. a′

y = y0 + k. b + h. b′

z = z0 + k. c + h. c′

son k, h.

Tengo tres ecuaciones y dos incógnitas, y para que el sistema

(homogéneo) equivalente

272

{

0 = ( x0 − x) + k. a + h. a′

0 = (y0 − y) + k. b + h. b′

0 = (z0 − z) + k. c + h. c′

tenga solución no nula el siguiente determinante ha de tomar valor cero

|𝑥0 − 𝑥 𝑎 𝑎′

𝑦0 − 𝑦 𝑏 𝑏′

𝑧0 − 𝑧 𝑐 𝑐′

| = 0. Por las propiedades de los

determinantes, seguirá tomando valor cero el

siguiente, que es el que nos interesa finalmente

|𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0

𝑎 𝑏 𝑐𝑎′ 𝑏′ 𝑐′

| =0

Desarrollando por la primer fila me queda

(b.c’-b’.c).(x-x0) –(a.c’-a’.c).(y-y0) + (a.b’-a’.b).(z-z0) = 0

que coincide con la obtenida eliminando por despeje y sustitución,

reiteradas.

Haciendo A = b.c’-b’.c

B = –(a.c’-a’.c)

C = a.b’-a’.b

queda de la forma

A.(x-x0)+B.(y-y0)+C.(z-z0)= 0

Si llamo D = -(A.x0 + B.y0 + C.z0), resulta

A.x + B.y + C.z + D = 0 (E. general del plano)

II.2.- Ecuación segmentaria del plano

Sea el plano m que corta a los eje coordenados en x = a, y = b, z = c


273

Corto con el plano m’ que pasa por P y es paralelo al plano OXY. Se

cortan dando la recta s.

Sobre el plano XOZ, por semejanza tengo

c−z

c=

x1

a

Sobre el plano ZOY, por semejanza tengo

c−z

c=

y1

𝑏

Tomo ahora la proyección Q de P sobre, y la proyección s’ de s, ambos

sobre el plano OXY.

Sobre este plano OXY tengo los valores: x1, x en el eje OX, y1, y en el

eje OY, y por semejanza tengo

x1−x

a=

y

b

De ésta obtengo x1

a =

x

a+y

b

274

Llevando ésta a la de más arriba queda c − z

c =

x

a+y

b

de donde obtengo finalmente

1 = x

a+

y

b+z

c

II.3.- Ecuación del plano que pasa por tres puntos

Con los mismos datos del número anterior, y la misma figura.

El punto P está en el plano si y sólo si los tres vectores v1 = w2-w1, v2

= w3-w1, v3 = w-w1 son linelamente dependientes.

Escribiendo sus componentes

v1 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

v2 = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)

v3 = (x-x1, y-y1, z-z1 )

la condición, necesaria y suficiente, para que sean l. d. es que

|

𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1

| = 0

II.4.- Cosenos directores de un plano. Ecuación normal

Sea el plano m que corta a los ejes coordenados en los puntos x = a, y =

b, z = c


275

El punto P es el corte con m de la perpendicular a m por el origen

O(0, 0, 0)

El valor d es la distancia desde O al plano, y en la figura se muestran los

ángulos que forma la citada perpendicular con cada uno de los ejes

coordenados:

g1 con OX, g2 con OY, g3 con OZ.

Puede resultar difícil ‘visualizar’ que el segmento OP forma en P angulo

= 90º con m, que OP es un cateto, que Pa es otro cateto, y que Oa es la

hipotenusa. De forma análoga para los otros dos ángulos. Hecha esta

observación seguimos, y observando esta mini-figura

Tengo los llamados ‘cosenos directores’

cos(g1) = 𝑑

𝑎 , cos(g2) =

𝑑

𝑏 , cos(g3) =

𝑑

𝑐

de donde

276

a =d

cos(g1) , b =

d

cos(g2) , c =

d

cos(g3)

Llevándolo a la ecuación segmentaria tengo

𝑐𝑜𝑠(𝑔1) . 𝑥

𝑑+ 𝑐𝑜𝑠(𝑔2). 𝑦

𝑑+ 𝑐𝑜𝑠(𝑔3) . 𝑧

𝑑= 1

de donde

cos(g1).x + cos(g2).y + cos(g3).z = d

(E. canónica del plano)

II.5.- Cosenos directores de una recta:

Sea la línea-recta s y dos puntos P, Q en esta recta.

La distancia d(P, Q) toma el valor

d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Se cumple lo siguiente

cos(g1) = 𝑥2−𝑥1

𝑑

cos(g2) = 𝑦2−𝑦1

𝑑

cos(g3) = 𝑧2−𝑧1

𝑑

que los llamamos ‘cosenos directores’ de la recta s


277

NOTA: En algunos textos vemos que lo siguiente

l = cos(g1), m = cos(g2), n = cos(g3)

cumpliéndose l2 + m

2 + n

2 = 1

También se definen los llamados ‘Números directores’: L, M, N , como

aquellos valores que son prpoprcionales a l, m, n, y por tanto que

cumplen

L

𝑙=

M

m=

N

n ,

Si k = L/l, entonces M = k.m, N = k.n

L2 + M

2 + N

2 = k

2 , y que l

2 + m

2 + n

2 = 1,

k = √L2 + M2 + N2 ,

y, por ejemplo, m = 𝑀

√L2 + M2 + N2 , y lo mismo para l, n

II.6.- Distancia d(P, m) partiendo de la ecuación general del plano:

A.x + B.y + C.z + D = 0

Sea el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0

Afirmo:

El vector w = (A, B, C) es ortogonal a m

Observa: x = 0, y = 0 P0(0, 0, -D/C)

x = 0, z = 0 - P1(0, -D/B, 0)

y = 0, z = 0 - P2(-D/A, 0, 0)

Vectores w1 = (0, -D/B, D/C), w2 = (-D/A, 0, D/C)

Ortogonalidad: w*w1 = 0 –D +D = 0

278

w*w2 = -D+0+D = 0

Continúo:

Normalizo el vector w obteniendo n->

= (n1, n2, n3), donde

n1 = A

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

n2 = B

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

n3 = C

√𝐴2+𝐵2+𝐶2

Realizo la Traslación de vector k.n->

de modo que el trasladado pase por

P(x1, y1, z1)

Tengo {𝑥′ − 𝑥 = 𝑘. 𝑛1𝑦′ − 𝑦 = 𝑘. 𝑛2

𝑧′ − 𝑧 = 𝑘. 𝑛3

, {𝑥 = 𝑥′ − 𝑘. 𝑛1𝑦 = 𝑦′ − 𝑘. 𝑛2

𝑧 = 𝑧′ − 𝑘. 𝑛3

Cambio (x’, y’, z’) por (x1, y1, z1) y sustituyo en la ecuación de m

A.(x1-k.n1) + B.(y1-k.n2) + C.(z1-kn3) + D = 0

(A.x1 +B.y1 +C.z1) +D –k.(A.n1 +B.n2 +C.n3) = 0


279

de donde k = (𝐴.𝑥1+𝐵.𝑦1+𝐶.𝑧1+𝐷).√𝐴2+𝐵2+𝐶2

𝐴2+𝐵2+𝐶2

k = 𝐴.𝑥1+𝐵.𝑦1+𝐶.𝑧1+𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2 , y d(P, m) = abs(k)

(valor absoluto. La distancia siempre es un valor positivo)

II.7.- Ecuación vectorial de un plano

Sean tres puntos en el espacio. Sean w1, w2, w3 los vectores OP1, OP2,

OP3 determinados por dichos puntos. Sabemos que estos tres puntos

determinan un plano m.

Si P es otro punto del espacio, y w es el vector OP, condición necesaria

y suficiente para que P esté en el plano m es que el volumen del

tetraedro que determinan los cuatro puntos sea cero. Este volumen es el

siguiente producto mixto (ver figura)

(w-w1)*[(w2-w1) ^ (w3-w1)] = 0, donde ^ es el producto vectorial y *

el producto escalar de vectores.

Realizados los cálculos obtendremos

280

|

𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1

| = 0

Otra forma:

Vectorialmente la condición necesaria y suficiente para que P esté en el

plano determinado por P1, P2, P3, es que

w = k1.w1 + k2.w2

que nos lleva al sistema

{

𝑥 − 𝑥1 = 𝑘1. (𝑥2 − 𝑥1) + 𝑘2. (𝑥3 − 𝑥1)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑘1. (𝑦2 − 𝑦1) + 𝑘2. (𝑦3 − 𝑦1)

𝑧 − 𝑧1 = 𝑘1. (𝑧2 − 𝑧1) + 𝑘2. (𝑧3 − 𝑧1)

Los vectores w1, w2 generan el suespacio director del plano.

8.- Posición de un plano respecto del sistema de referencia ortogonal

Sea el plano cuya ecuación cartesiana es

m: Ax + By + Cz + D = 0

-Si D <> 0 entonces corta a los tres planos

-Si D = 0 entonces pasa por el origen

-Si C = 0 entonces es paralelo al eje oz, y análogo si B = 0 ó A = 0.

-Si B = 0 y C = 0 entonces es paralelo al plano oyz, y análogo en los

casos: A = 0 y B = 0, A = 0 y C = 0.

-Si x = 0 entonces coincide con el plano oyz, y

análogamente en otros casos.

II.9.- Posición de un punto P respecto de un plano

Tengo el plano m: Ax + By + Cz +D = 0,


281

Sabemos que d(P, m) = |𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2|

Si consideramos solamente el valor

d(P, m) = 𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2, tenemos dos opciones

-Si d(P, m) > 0, el punto P y el origen O están situados a distinto

lado del plano m. Es decir, en distinto semi-espacio.

-Si d(P, m) < 0, están situados al mismo lado del plano. Es

decir, en el mismo semi-espacio.

II.10.- Distancia entre dos planos paralelos

Sean m: Ax + By + Cz + D = 0,

m’: A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Si son paralelos podemos hacer que A’ = A, B’ = B, C’ = C

Sabemos que d(O, m) = 𝐷

√𝐴2+𝐵2+𝐶2, , d(O, m’) =

𝐷′

√𝐴2+𝐵2+𝐶2,

d(m, m’) = |𝑑(𝑂,𝑚) − 𝑑(𝑂,𝑚′)| = |𝐷−𝐷′

√𝐴2+𝐵2+𝐶2|

II.11.- Ángulo determinado por dos planos

Sean dos planos m: ax + by + gz + d = 0,

m’: a’x + b’y + c’z + d’ = 0

282

Sabemos que los vectores w1 = (a, b, c) y w2 = (a’, b, c,) son

ortogonales a sus respectivos planos.

El ángulo determinado por m y m’ toma el mismo valor que el

determinado por w1 y w2

Normalizando estos vectores pasan a ser

u1 = (𝑎

√𝑎2+𝑏2+𝑐2,

𝑏

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 ,

𝑐

√𝑎2+𝑏2+𝑐2)

u2 = (𝑎′

√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2,

𝑏′

√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2 ,

𝑐′

√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2)

y tengo cos(g) = 𝑎.𝑎′+𝑏.𝑏′+𝑐.𝑐′

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 .√𝑎′2+𝑏′2+𝑐′2

II.12.- Recta en el Espacio

La recta en el espacio puede estár deteminada por la intersección de dos

planos

{Ax + By + Cz + D = 0A’x + B’y + C’z + D’ = 0

(1)

o mediante un pnuto P(x0,y0,z0) que le pertenece y un vector

v = (a, b, c) que determina su dirección:

r: < P(x0, y0, z0); v = (a, b, c) > (2)


283

Según mi opinión la forma más práctica es (2).

Si Q(x, y, z) está en r, entonces OQ = OP + k.v, de forma que

{𝑥 = 𝑥0 + 𝑘. 𝑎𝑦 = 𝑦0 + 𝑘. 𝑏𝑧 = 𝑧0 + 𝑘. 𝑐

, {𝑥 − 𝑥0 = 𝑘. 𝑎𝑦 − 𝑦0 = 𝑘. 𝑏𝑧 − 𝑧0 = 𝑘. 𝑐

,

k = 𝑥−𝑥0

𝑎=

𝑦−𝑦0

𝑏=

𝑧−𝑧0

𝑐, y tengo la llamada

Ecuación continua de la recta:

𝑥−𝑥0

𝑎=

𝑦−𝑦0

𝑏=

𝑧−𝑧0

𝑐 (v = (a, b, c) director de r)

Cosenos directores de la recta:

284

Tenemos la recta r y un vector director v = (a,b,c). Obsérvese la figura,

donde indicamos los ángulos g1, g2, g3 que el citado vector forma con

cada uno de los ejes coordenados. Los cosenos de estos ángulos toman

el siguiente valor

cos(g1) = 𝑎

√𝑎2+𝑏2+𝑐^2, cos(g2) =

𝑏

√𝑎2+𝑏2+𝑐2, cos(g3) =

𝑐

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

Ecuación vectorial de la recta:

La recta r queda determinada por dos de sus puntos P1, P2, cuyos

vectores de posición son v1, v2. Si Q es otro punto de la recta y v su

vector de posición, los vectores w1 = v2-v1, w2 = v-v1 son linealmente

dependientes, y de este hecho resultan dos consecuencias:

a) Que ‘el producto vectorial de w1 y w2 es el vector cero’, esto es

(v-v1)^(v2-v1) = 0 (vector)

Ecuación vectorial

b) El vector w2 es proporcional a w1, esto es

(v-v1) = k.(v2-v1), v = v1 +k.(v2-v1)

Ecuación paramétrico-vectorial

II.13.- Ángulo de dos rectas:

Sean las rectas r: <P(x1, y1, z1); v = (a1, b1, c1)>

s: <Q(x2, y2, z2); w=(a2, b2, c2)>


285

El ángulo formado por las dos rectas es el ángulo formado por sus

vectores directores:

v*w = /v/./w/.cos(g), cos(g)= 𝑣∗𝑤

√𝑎12+𝑏12+𝑐12.√𝑎22+𝑏22+𝑐22

II.14.- Área de un triángulo:

Tenemos un triángulo con vértices p0(x0, y0, z0), p1(x1, y1, z1),

p2(x2, y2, z2), observar figura.

W es el ‘producto vectorial’ de v1 y v2, y sabemos que ‘área del

triángulo’ = 1/2./W/

También sabemos que


287

|𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0𝑥2 − 𝑥0 𝑦2 − 𝑦0

| = |

𝑥0 𝑦0 1𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1

|

Designaremos estos determinantes del siguiente modo:

(Dxy) = |

𝑥0 𝑦0 1𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1

|, (Dxz) = |𝑥0 𝑧0 1𝑥1 𝑧1 1𝑥2 𝑧2 1

| ,

(Dyz) = |

𝑦0 𝑧0 1𝑦1 𝑧1 1𝑦2 𝑧2 1

|

Con esta nueva notación podemos expresar

W = (Dyz).i –(Dxz).j +(Dxy).k

y su módulo es /W/ = √(𝐷𝑥𝑦)2 + (𝐷𝑥𝑧)2 + (𝐷𝑦𝑧)2

y así el áres del triángulo es

S = 1

2. √(𝐷𝑥𝑦)2 + (𝐷𝑥𝑧)2 + (𝐷𝑦𝑧)2

II.15.- Ángulo formado por recta y plano:

Tengo una recta r: <P; v = (a,b,c)>, y un plano m: Ax +By +Cz +D = 0

v = (a, b, c) es un director de r, y de la ecuación de m obtenemos

w = (A,B,C) que es ortogonal al plano.

El producto escalar de v y w nos da (Observa la figura)

288

v*w = /v/./w/.cos(g’), de donde cos(g’) = 𝑣∗𝑤

|𝑣|.|𝑤|

Suponiendo referencia ortonormal nos queda

cos(g’) = 𝐴.𝑎+𝐵.𝑏+𝐶.𝑐

√𝐴2+𝐵2+𝐶2+√𝑎2+𝑏2+𝑐2

El ángulo que forman recta y plano es g, y tenemos que

sen(g) = cos(g’)

por lo que para obtener el ángulo g he de tomar la igualdad

sen(g) = 𝐴.𝑎+𝐵.𝑏+𝐶.𝑐

√𝐴2+𝐵2+𝐶2+√𝑎2+𝑏2+𝑐2

II.16.- Condiciones de paralelismo y perpendicularidad:

Tenemos dos rectas r1: <P; v1 = (a1, b1, c1)>,

r2: <Q; v2 = (a2, b2, c2)>,

y dos planos mediante sus ecuaciones generales

m1: A1.x + B1y + C1z + D1 = 0, w1 = (A1, B1, C1)

m2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , w2 = (A2, B2, C2)


289

Paralelismo

r1 // r2 < -- > v2 = k.v1 < -- > 𝑎2

𝑎1=

𝑏2

𝑏1=

𝑐2

𝑐1

r1 // m1 < -- > v1*w1 = 0 < -- > a1.A1 + b1.B1 + c1.C1 = 0

m1 // m2 < -- > w2 = k.w1 < -- > 𝐴2

𝐴1=

𝐵2

𝐵1=

𝐶2

𝐶1

Perpendicularidad

r1 -/- r2 < -- > v1*v2 = 0 < -- > a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0

r1 -/- m1 < -- > w1 = k.v1 < -- > 𝐴1

𝑎1=

𝐵1

𝑏1=

𝐶1

𝑐1

m1 -/- m2 < -- > w1*w2 = 0 < -- > A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0

II.17.- Volumen de un tetraedro:

Sean los cuatro vértices de un tetraedro:

p0(x0,y0,z0), p1(x1,y1,z1), p2(x2,y2,z2), p3(x3,y3,z3)

Escribimos v1 = (a1, b1, c1), v2 = (a2, b2, c2),

v3 = (a3, b3, c3), cuyas expresiones se ven en la figura.

290

Tengo W = |𝑖 𝑗 𝑘𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2

| =

= i.(b1.c2 –c1.b2) - j.(a1.c2 -c1.a2) + k.(a1.b2 –b1.a2)

Sabemos (lo vimos en el cuerpo del texto) que Vol. = 1/6 . Vol.del

prisma cuyas aristas son v1, v2, v3. Por lo tanto, opernado

v3*W = a3.(b1.c2 –c1.b2) –b3.(a1.c2 – c1.a2) + c3.(a1.b2 –b1.a2) =

(desarrollo del determinante)

= |𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

| , y tengo Vol. = 1

6. |𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

II.18.- Cuestiones de interés entre: a)Rectas, b)Rectas y planos,

c)Planos

a)Entre rectas:

18.1.- Determinar la recta s que pasa por P y corta a las rectas r1, r2.

Datos: r1 = {Q+t.v}, r2={R+t’.w}, P(xo,yo,zo)

Tengo:

OM1 = OQ + t.v, OM2 = OR + t’.w


291

OM1 = OP + PM1, OM2 = OP + PM2

OQ + t.v = OP + PM1, OR + t’.w = OP + PM2

PM1 = (OQ-OP) + t.v, PM2 = (OR-OP) + t’.w

Condición:

PM2 = k.PM1 , y por tanto

(OR-OP) + t’.w = k.[(OQ-OP) + t.v]

(x2-xo, y2-yo, z2-zo) + t’.(a’, b’, c’) =

= k.[(x1-xo, y1-yo, z1-zo) + t.(a, b, c)]

Simplificando la notación

(A,B,C) + (a’,b’,c’).t’ = (A’,B’,C’).k + (a,b,c).(k.t)

Hago: x = t’, y = k, z = k.t

Sistema:

{

𝑎′. 𝑥 − 𝐴′. 𝑦 − 𝑎. 𝑧 = −𝐴

𝑏′. 𝑥 − 𝐵′. 𝑦 − 𝑏. 𝑧 = −𝐵

𝑐′. 𝑥 − 𝐶′. 𝑦 − 𝑐. 𝑧 = −𝐶

Resuelvo el sistema y obtengo los valores t’, k, k.t, y de esta última

despejo t = (k.t)/k

18.2.- Determina la recta s que corte ortogonalmente a las rectas r1, r1

292

Datos: r1 = {Q+t.v}, r2 = {R+t’.w},

Tengo:

OM1 = OQ+t.v, OM2 = OR+t’.w

M1M2 = (OR+t’.w ) – (OQ+t.v )

M1M2 = (OR-OQ) + (t’.w –t.v)

M1M2 = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) + (a’,b’,c’).t’ –(a,b,c).t

Simplificando la notación: OR- OP = (A, B, C)

M1M2 = (A + a’.t’-a.t, B + b’.t’-b.t, C + c’.t’-c.t))

Condición:

M1M2*v = 0, M1M2*w = 0

a.(A + a’.t’-a.t) + b.(B + b’.t’-b.t) + c.(C +c’.t’-c.t) = 0

a’.(A + a’.t’-a.t) + b’.(B + b’.t’-b.t) + c’.(C +c’.t’-c.t) = 0

Sistema:

{(𝑎. 𝐴 + 𝑏. 𝐵 + 𝑐. 𝐶) = (a^2+b^2+c^2).t –(a.a’+b.b’+c.c’).t’

{(𝑎′. 𝐴 + 𝑏′. 𝐵 + 𝑐′. 𝐶) = (a.a’+b.b’+c.c’).t –(a’^2+b’^2+c’^2).t’

Observa y comprueba que podemos expresarlo como sigue


293

{(𝑣 ∗ 𝑣). 𝑡 − (𝑣 ∗ 𝑤). 𝑡′ = 𝑣 ∗ (𝑂𝑅 − 𝑂𝑃)(𝑣 ∗ 𝑤). 𝑡 − (𝑤 ∗ 𝑤). 𝑡′ = 𝑤 ∗ (𝑂𝑅 − 𝑂𝑃)

18.3.- Dadas las rectas r y s, analiza las condiciones para que sean:

a)Coplanarias, b)Ortogonales.

Datos: r1 = {Q+t.v}, r2 = {R+t’.w}.

(Si no tenemos esta forma debemos conseguirla).

Serán ortogonales si v*w = 0, (y final)

Coplanarias:

Considero el prisma determinado por las aristas: v, w, PQ. Son

coplanarias precisamente si su volumen es cero, y por lo tanto que su

producto mixto

PQ*(VxW) = 0

Ejemplo: Sean r: {𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑦 + 𝐶. 𝑧 + 𝐷 = 0

𝐴′. 𝑥 + 𝐵′. 𝑦 + 𝐶′. 𝑧 + 𝐷′ = 0, s = {P+t.v},

donde P(xo, yo, zo), v = (a, b, c)

w1 = (A, B, C), w2 = (A’, B’, C’) -> W = W1xW2 , que expreso así

W = (a’, b’, c’)

Este vector w es director de r.

Dando valor a x, y y despejando z obtengo un punto Q(x1, y1, z1) de r.

Tengo así r = {Q+kw}

Si fuesen coplanarias podrían

a)Cortarse, b)Ser paralelas

Si M(x,y,z)es un punto común tenemos:

294

OM = OP + t.(a, b, c) = OQ + k.(a’, b’, c’),

0 = (OP-OQ) + (a.t-a’.k, b.t-b’.k, c.t-c’.k)

Sistema:

{𝑎. 𝑡 − 𝑎′. 𝑘 = 𝑥1 − 𝑥𝑜𝑏. 𝑡 − 𝑏′. 𝑘 = 𝑦1 − 𝑦𝑜

𝑐. 𝑡 − 𝑐′. 𝑘 = 𝑧1 − 𝑧𝑜

Compatible determinado -> Son coplanarias y se cortan en un punto.

Compatible indeterminado-> Son coincidentes

Incompatible:

No se cortan:

Si v y w son proporcionales -> Son coplanarias (por ser

paralelas). En otro caso se cruzan.

b)Entre recta y plano:

18.4.- Determina la recta s que pase por P y sea paralela con el plano m.

Datos: s = {P+t.v}, m = {Q+k.w1+h.w2}

(Si no es así realizamos las transformaciones necesarias)

La recta s es paralela al plano si el vector v pertenece al subespacio

director de m. Esto significa que

v = k.w1 + h.w2, para algún par de valores k, h

18.5.- Determina la recta s que pase por P y sea ortogonal con el plano

m. Calcula el punto de corte.

Datos: P(xo, yo, zo), m = {Q+k.w1+h.w2}


295

Si M es un punto de m

OM = OQ + k.w1 + h.w2

PM = OM –OP = (OQ-OP) + k.w1 + h.w2

Condición:

PM*w1 = 0, PM*w2 = 0

Sistema:

{(𝑤1 ∗ 𝑤1). 𝑘 + (𝑤1 ∗ 𝑤2). ℎ = −𝑤1 ∗ (𝑃𝑄)

(𝑤1 ∗ 𝑤2). 𝑘 + (𝑤2 ∗ 𝑤2). ℎ = −𝑤2 ∗ (𝑃𝑄)

Los valores k,h obtenidos nos permite obtener el punto de corte

OM = OQ + k.w1 + h.w2

18.6.- Dados la recta s = {P(xo, yo, zo) + t.(ao, bo, c)}, donde c queda

indeterminado, y el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0, analiza para que

valores de c son:

a)Paralelos, b)Ortogonales

Datos: s = {P+t.v}, m = {Q+k.w1+h.w2}

He obtenido tres puntos de m y los dos vectores w1, w2 del subespacio

director de m.

Paralelos:

La recta s yace sobre un plano paralelo a m si v es combinación lineal

de w1, w2:

(ao, bo, c) = k.(x1, y1, z1) +h.(x2, y2, z2)

Sistema:

296

{𝑥1. 𝑘 + 𝑥2. ℎ = −𝑎𝑜𝑦1. 𝑘 + 𝑦2. ℎ = −𝑏𝑜𝑧1. 𝑘 + 𝑧2. ℎ − 𝑐 = 0

que resolvemos.

Ortogonalidad:

Las condiciones son: v*w1 = 0, v*w2 = 0

Sistema: {𝑎𝑜. 𝑥1 + 𝑏𝑜. 𝑦1 + 𝑐. 𝑧1 = 0𝑎𝑜. 𝑥2 + 𝑏𝑜. 𝑦2 + 𝑐. 𝑧2 = 0

El valor de c ha de satisfacer las dos igualdades.

Otra forma: Hago W1xW2, que lo llamo u

u1 = z2.y1 –y2.z1

u2 = -(z2.x1 –x2.z1)

u3 = y2.x1 –x2.y1

Después: v = k.u --> Sistema

{𝑎𝑜 = 𝑢1. 𝑘𝑏𝑜 = 𝑢2. 𝑘𝑐 = 𝑢3. 𝑘

, que resolvemos.

Ejemplo: Sean r = {P+t.v}, y el plano m: A.x + B.y + C.z + D = 0

Analizamos su posición relativa.

El vector W = (A, B, C) es ortogonal al plano.

Ortogonalidad: Si v y w son proporcionales.

Paralelos: (Recta sobre un plano m’ paralelo a m)


297

Se cumple si v*w = 0 (ortogonales)

Veamos cuándo se cortan. En primer lugar obtengo una base {w1, w2}

del subespacio director de m, y un punto Q de m.

Si M(x,y,z) es un punto común tenemos

OM = OP+ t.v = OQ + k.w1 + h.w2

(OP-OQ) + t.v –k.w1 –h.w2 = 0

Sistema:

{𝑎. 𝑡 − 𝑎1. 𝑘 − 𝑎2. ℎ = 𝑥1 − 𝑥𝑜𝑏. 𝑡 − 𝑏1. 𝑘 − 𝑏2. ℎ = 𝑦1 − 𝑦𝑜𝑐. 𝑡 − 𝑐1. 𝑘 − 𝑐2. ℎ = 𝑧1 − 𝑧𝑜

Compatible determinado -> Se cortan en un punto

Compatible indeterminado-> La recta yace en el plano

Imcompatible --> No se cortan (y por tanto s yace sobre m’ paralelo con

m)

c)Entre planos:

18.7.- Determina el plano m del haz m1 + k.m2 = 0

que pase por el punto P

Tengo

m:(A+A’.k).x + (B+B’.k).y + (C+C’.k).z + (D+D’.k) = 0

Condición: Que m pase por P(xo, yo, zo)

0 = (A+A’.k).xo + (B+B’.k).yo + (C+C’.k).zo + (D+D’.k)

298

0 = (A.xo + B.xo + C.zo + D) + (A’.xo + B’.yo + C’.zo + D’).k

k = -(A.xo +B.xo +C.zo +D) / (A’.xo +B’.yo +C’.zo +D’)

18.8.- Dada la recta s: {P(x0, y0, z0) + t.(2, 3, c)}, determina el valor de

c para el cual s yace sobre un plano del haz m1 + k.m2 = 0, donde m1 y

m2 son planos concretos.

Tengo:

m:(A+A’.k).x + (B+B’.k).y + (C+C’.k).z + (D+D’.k) = 0

El vector w = (A+A’.k, B+B’.k, C+C’.k) es ortogonal al plano m, y por

tanto v y w han de ser ortogonales:

v*w = 0

Sistema: 2.(A+A’.k) + 3.(B+B’.k) + c.(C+C’.k) = 0

(2.A +3.B) + (2.A’ +3.B’).k + C.c + C’.(c.k)=0

Si llamo: x = k, y = c, z = c.k, puedo expresarlo así

(2.A’+3.B’).x + C.y + C’.z = -(2.A+3.B)

donde, como puede verse, las incógnitas x e y están ligadas mediante

z = c.k.

Si doy valor a x, y a z, tengo y = z/x

De este modo obtengo valores de c que cumplen lo que se pide.

18.9.- Dados los planos m1, m2, analiza las condiciones para que sean:

a)Paralelos, b)Ortogonales entre sí.

Datos: (Coeficientes indeterminados)


299

m1: A.x + B.y + C.z + D=0, m2: A’.x + B’.y + C’.z + D’=0

W1 = (A, B, C), W2 = (A’, B’, C’) son vectores ortogonales a m1 y

m2, respectivamente.

Si son proporcionales: W2 = t.W1, los planos son paralelos, y sólo en

este caso.

Si son ortogonales: W1*W2 = 0, los planos son ortogonales entre sí, y

sólo en este caso.

Ejemplos: Sean los planos

m1: A.x + B.y + C.z + D = 0, m2: A’.x + B’.y + C’.z + D’ = 0

Tomo los vectores: w1 = (A, B, C), w2 = (A’, B’, C’)

Paralelos: Si w1 y w2 son proporcionales.

Si no son paralelos se cortan según una recta r determinada por estas dos

ecuaciones cartesianas.

Se cortan ortogonalmente Si w1*w2 = 0 (Ortogonales)

II.19.- Algunos casos de cuerpos en el Espacio

En cada una de las figuras el alumno concretará alguna o algunas de las

medidas y calucará: a)El volumen, b)La superficie parcial o total

300

-----------


301

PROBLEMAS Resuelto o semi-resueltos:

De Geometría y Método vectorial

NOTA:

Es posible que alguno de los conceptos que se aplican no se hayan

estudiado todavía. En ese caso pueden consultarse en el Vol.10

1.- A, B, C y D son los vértices de un cuadrado. Tomo los vectores u =

AB, v = CB, w = BD. Determina los ángulos: (u^3w), (2v^w), (-2u^3v)

Res.: (u^3w) = 135º, (2v^w) = 225º, (-2u^3v) = 90º

2.- Tomo los vectores u, v, w, del anterior. Calcula (* es el producto

escalar):

(2u)*(-3v), (-u)*(2w), (-2w)*(4v)

Res.:

(2u)*(-3v) = -6.(u*v) = 0,

(-u)*(2w) = -2.(u*w) = -2./u/./w/.cos(135º) =

-2.(−√2

2). /u/./w/ = √2 ./u/./w/,

(-2w)*(4v) = -8./w/./v/.cos(135º) = -8.−√2

2. /w/./v/

= 4.√2 . /w/./v/

3.- Sabemos que la proyección (ortogonal) de v sobre u mide 5 veces el

módulo de u (es decir, mide 5 unidades tomando /u/ como unidad de

302

medida). Calcula u*v

Res.:

u*v = /u/.proy(v/u) = /u/.(5./u/) = 5./u/

2

4.- Comprueba que se cumplen las siguientes igualdades (u, v, w son

vectores):

a) (u+v-w)*(u+v+w) = (u+v)2 –w

2

b) (u-v-w)*(u+v+w) = u2 –(v+w)

2

5.- Sabemos que (u+v)2 = 25, (u-v)

2 = 9, donde u, v son vectores.

Calcula: u*v

Res.: {25 = (𝑢 + 𝑣) ∗ (𝑢 + 𝑣) = ⋯ = 𝑢2 + 𝑣2 + 2. (𝑢 ∗ 𝑣)

9 = (𝑢 − 𝑣) ∗ (𝑢 − 𝑣) = 𝑢2 + 𝑣2 − 2. (𝑢 ∗ 𝑣)

de donde: 16 = 4.(u*v) -> u*v = 4

6.- Sean cuatro puntos cualesquiera del plano: A, B, C, D . Comprueba

que:

AB*CD + AC*DB + AD*BC = 0

Res.:

AB*CD + AC*DB + AD*BC = u*(w-v)+v*(u-w)+w*(v-u)=


303

= u*w-u*v + v*u-v*w + w*v-w*u = 0,

ya que el producto a*b es conmutativo para todo par de vectores a, b.

7.- Vectorialmente, demuestra que las tres alturas de un triángulo

(cualquiera) se cortan en un mismo punto.

Res.:

Llamo: u = AB, v = AC, w = AM

Por el resultado obtenido en 6 (anterior) sabemos que

AB*CM + AC*MB + AM*BC = 0

Por ortogonalidad sabemos que AM*BC = 0, AB*CM = 0, y por tanto

AC*MB = 0, con lo cual la altura desde B pasa por M.

Conclusión: Las tres alturas concurren en M.

8.- Fijado un punto P del plano, determina el lugar geométrico de los

puntos Q tales que OP*OQ = /OP/

Res.: Observa la figura: OP*OQ = /OP/./OQ/.cos(g)=

304

= /OP/.proy(OQ/OP) = /OP/ ,

Observa que: OP*OQ = /OP/./OQ/.cos(g) = (si tomo /OP/ como unidad

) = /OQ/.cos(g) = proyección de OQ sobre la recta soporte de OP,

tomando /OP/ como unidad de medida.

9.- En una base ortonormal B = {u1, u2} tomo los vectores u = -

3u1+5u2, v = -7u1-u2. Calcula la preoyección de u sobre la recta

soporte de v.

Res.:

/OP/ = /u/.cos(g) =

𝑢∗𝑣

|𝑣|

u*v = (-3u1+5u2)*(-7u1-u2) = … = 21-5 = 16

/v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 = … = √50

Por tanto: /OP/ = 16

√50

10.- Si u1 y u2 son tales que /u1/ = /u2/, y u1*u2 = 0, comprueba que

los vectores u = a.u1-b.u2, v = a.u1 + b.u2 son ortogonales.

Res.: u*v = (a.u1+b.u2)*(b.u1-a.u2) =

= (a.b)./u1/ -a2.u1*u2 + b

2.u2*u1 –(b.a)./u2/ = …. = 0

11.- En una base B = {u1, u2} tal que /u1/=/u2/, (u1^u2) = 60º , calcula

el módulo (o norma) del vector v = u1 + u2

Res.: /v/ = √𝑣 ∗ 𝑣 , v*v = (u1+u2)*(u1+u2) =

= /u1/2 + 2.(u1*u2) + /u2/

2 =

= 2./u1/2 + 2./u1/./u2/.cos(60º) = 2./u1/

2 + 2./u1/

2 . 1

2 = 3./u1/

2


305

Por tanto: /v/ = √3 . /u1/

12.- En una base B = {u1, u2} tal que /u1/=2, /u2/=3, u1*u2 = 4, ¿Qué

valor ha de tomar ‘a’ para que los vectores u = 11u1+a.u2, v = u1+2u2

sean ortogonales?.

Res.: a = -6

13.- En una base B = {u1, u2} normada (/u1/=/u2/= 1) y u1*u2 = 1/5,

halla un vector u unitario que sea ortogonal al vector

v = 29.u1-25.u2

Res.: Sea u = x.u1+y.u2 el vector pedido.

/u/ = √𝑢 ∗ 𝑢 = ⋯ √𝑥2 +2

5. 𝑥𝑦 + 𝑦2 ,

0 = u*v = … = (xu1+yu2)*(29u1-25u2) = 29x-5x +29/5.y -25y =

= 24x -96/5.y -->

0 = 120x-96y, 0 = 5x -4y

Tengo el sistema: {5𝑥 − 4𝑦 = 0

𝑥2 +2

5𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1

--> x = 4/7, y = 5/7, ó x = -4/7,

y = -5/7

14.- En una base B = {u1, u2} ortonormal, sean los vectores: u = OA =

3u1 + u2, v = OB = 2u1 + 5u2, w = OC = 7u1. Comprueba que el

triágulo ABC es equilátero. Calcula su perímetro.

Res.: Perímetro P = /u/+/v/+/w/ = ……… =

=2.√17 + 5. √2, ya que /u/ = … = √17 , /v/ = … =

= 5.√2, /w/ = … = √17

306

15.- Vectorialmente, demuestra que cualquier triángulo inscrito en una

semicircunferencia es recto (tiene un ángulo de 90º).

Res.: v = OB, w = OC, OA = -v

CA = CO + OA = -w –v = -(v+w),

CB = CO + OB = -w +v = v-w,

CA*CB = -(v+w)*(v-w) = -[v*v –v*w +w*v –w*w] =

= -[/v/2 -/w/

2 ] = 0, ya que /v/ = /w/ = radio

16.- Vectorialmente, demuestra que las diagonales de un rombo son

ortogonales.

Res.: u1 = AB, u2 = AD,

v = AC = u1+u2, w = BD = BA + AD = -u1+u2

v*w = (u1+u2)*(-u1+u2)= -/u1/2+u1*u2-u2*u1 +/u2/

2

= … = 0, ya que /u1/ = /u2/ por ser rombo.

17.- En una base B = {u1, u2} ortonormal calcula el ángulo formado

por los siguientes vectores:

u = 2u1-3u2, v = 4u1-5u2.

Res.: cos(u^v) = 𝑢∗𝑣

|𝑢|.|𝑣| = … =

23

√13.√41 = 0,9962 ->

g = arcCos(0,9962) = 4,9965º -> g = 5º


307

18.- Tengo dos Sistemas de referencia:

S = {O; u1, u2}, S’ = {O’; v1, v2}, relacionados como sigue:

{𝑣1 = 𝑢1 + 𝑢2𝑣2 = 𝑢1 − 𝑢2

𝑂′𝑂 = 2𝑢1 − 3𝑢2

Determina las ecuaciones del cambio de S a S’.

Si P(-1;2) respecto de S, halla sus coordenadas respecto de S’.

Res.: OQ = x.u1+y.u2, O’Q = x’.v1+y’.v2

OQ = OO’ + O’Q

x.u1+y.u2 = -2u1+3u2 + x’.(u1+u2)+y’.(u1-u2)

->

(x+2).u1 + (y-3).u2 = (x’+y’).u1 + (x’-y’).u2 ->

{𝑥 + 2 = 𝑥′ + 𝑦′

𝑦 − 3 = 𝑥′ − 𝑦′ , {

𝑥 = −2 + 𝑥′ + 𝑦′

𝑦 = 3 + 𝑥′ − 𝑦′ ,

Podemos despejar x’, y’ , obteniendo

{𝑥′ = −

1

2+1

2. 𝑥 +

1

2. 𝑦

𝑦′ =5

2+1

2. 𝑥 −

1

2. 𝑦

308

P(-1;2) --> x’ = …. , y’ = …

19.- a) Determina las ecuaciones de la traslación OO’ = 3u1-4u2

Obtener las coordenadas de la imagen de P(2, 3)

b)Determina las ecuaciones del giro g = π/4

Obtener las nuevas coordenadas de P(2, 3)

Res.: a) OQ = OO’ + O’Q = 3u1-4u2 + (x’.u1+ y’.u2)

OQ = x.u1 + y.u2

x.u1 + y.u2 = 3u1-4u2 + (x’.u1+y’.u2)

(x-3).u1 + (y+4).u2 = x’.u1 + y’.u2 -->

{𝑥′ = 𝑥 − 3𝑦′ = 𝑦 + 4

; P(2, 3) -> x’ = -1, y’ = 7

b)

Por estudio realizado sabemos que las ecuaciones del giro son


309

(𝑥′

𝑦′) = (

cos(𝑔) 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

−𝑠𝑒𝑛(𝑔) cos (𝑔)) . (

𝑥𝑦) , de donde

{𝑥′ = 𝑥. cos(𝑔) − 𝑦. 𝑠𝑒𝑛(𝑔)

𝑦′ = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑔) + 𝑦. cos(𝑔) --> {

𝑥′ = 𝑥.√2

2+ 𝑦.

√2

2

𝑦′ = −𝑥.√2

2+ 𝑦.

√2

2

P(2;3) -> x’ = … , y’ = …

20.- En base ortonormal B = {u1, u2}, calcula la distancia d(A, B)

siendo AB = 5u1-12u2

Res.: d(A,B) = √𝐴𝐵 ∗ 𝐴𝐵 = ⋯ = √169 = 13, ya que

AB*AB = (5u1-12u2)*(5u1-12u2) = 25 + 144 = 169

21.- Vectorialmente y utilizando distancias, comprueba si los puntos

A(-1, 3), B(0, 5), C(3, 1) forman triángulo rectángulo (Base

ortonormal).

Res.:

OA = -u1 + 3u2, OB = 5u2, OC = 3u1 + u2

u = AB = OB-OA = u1 + 2u2,

v = AC = OC-OA = 4u1 -2u2

w = BC = OC-OB = 3u1 + 4u2

u*v = (u1+2u2)*(4u1-2u2) = 4./u1/2 -2.(u1*u2) + 8.(u2*u1) -4./u2/

2 = 0

Luego en A el ángulo es de 90º -> es rectángulo.

310

Por distancias: /u/2 = (u1+2u2)*(u1+2u2) =

= /u1/2 + 4./u2/

2 = 1 + 4 = 5

/v/2 = (4u1-2u2)*(4u1-2u2) = 16./u1/

2 +4./u2/

2 = 16 + 4 = 20

/w/2 = (3u1+4u2)*(3u1+4u2) = 9./u1/

2 +16./u2/

2 = 9 + 16 = 25

Vemos que: /w/2 = /u/

2 + /v/

2 --> Sí es rectángulo.

22.- Vectorialmente y utilizando distancias, comprueba si los puntos

A(0; 4), B(0; 8), C(6; 5) forman triángulo isósceles (Base ortonormal).

Res.:

OA = 4u2, OB = 8u2, OC = 6u1+5u2

u = AB = OB-OA = 4u2,

v = AC = OC-OA = 6u1+u2

w = BC = OC-OB = 6u1-3u2

Concluimos que No es isósceles, pues las distancias son las tres

distintas.

23.- En base ortonormal, determina las coordenadas del baricentro del

triángulo ABC, siendo A(0; 4), B(2; 6), C(8; 0).

Res.: Obtengo G(10

3 ;10

3 )

---------------


311

De Trigonometría

1.- Sabiendo que cos(g) = -1/3, Calcula las restantes r.t., estando g en el

2º cuadrante.

Res.: sen(g) = √8

2 , tan(g) = -√8 , cot(g) = -

1

√8

sec(g) = -3 , cose(g) = 3

√8

2.- Sabemos que tan(g) = 12/5, estando g en el tercer cuadrante. Calcula

las restantes r.t.

Res.: sen(g) = -12

13 , cos(g) = -

5

13 , cota(g) =

5

12

sec(g) = −13

12 , cose(g) = -

13

5

3.- Expresa sen(3g) en función de sen(g)

Res.:

sen(3g) = sen(2g+g) = sen(2g).cos(g) + sen(g).cos(2g) =

= cos(g).[2.sen(g).cos(g)] + sen(g).[cos2(g)-sen

2(g)] =

= 2.sen(g).cos2(g) + sen(g).cos

2(g) –sen

3(g) =

= 3.sen(g).(1-sen2(g)) – sen

3(g) = 3.sen(g) – 4.sen

3(g)

4.- Para cualquier valor de g, demuestra que se cumple

sen(3g) = sen(g).[3cos2(g) – sen

2(g)]

312

Res.:

sen(3g) = sen(2g+g) = sen(2g).cos(g) + sen(g).cos(2g) =

= cos(g).[2.sen(g).cos(g)] + sen(g).[cos2(g)-sen

2(g)] =

= 2.sen(g).cos2(g) + sen(g).cos

2(g) – sen(g).sen

2(g) =

= sen(g).[3.cos2(g) –sen

2(g)]

5.- Si tan(𝑔

2) = 𝑡 , Determina la expresión de sen(g) y cos(g)

Res.: (Recuerda: tan = sen/cos, sec2 = 1+tan

2 ,

sec = 1/cos -> cos2 = 1/(1+tan

2 ) )

sen(g) = sen(2.g/2) = 2.sen(g/2).cos(g/2) =

= 2.√1 − cos2 (𝑔

2) . cos (

𝑔

2) = 2.

1

√1+tan2(𝑔

2). √1 −

1

1+tan (𝑔

2) =

= 2. 1

√1+tan2(𝑔

2) . √

tan2(𝑔

2)

1+tan2(𝑔

2) = 2.

tan (𝑔

2)

1+tan2(𝑔

2) =

2𝑡

1+𝑡2

cos(g) = cos(2.g/2) = cos2(g/2) – sen

2(g/2) =

= cos2(g/2) –[1 –cos

2(g/2)] = 2.cos

2(g/2) -1 =

2

1+tan2(𝑔

2) − 1 =

= 2−(1+𝑡2)

1+𝑡2 =

1−𝑡2

1+𝑡2

6.- Resuelve: sen(x).cos(x) = 1/2

Res.: sen(x).√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =1

2 ; Hago y = sen(x),

y2.(1-y

2) = 1/4 , -y

4 + y

2 -1/4 = 0,


313

Resuelvo: 4z2 – 4z + 1 = 0, donde z = y

2

z = 4±√16−16

8=

±1

2 -> {

𝑦1 = √2

2

𝑦1 = √−1

2 𝑛𝑜 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎

y = √2

2→ {

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

4+ 𝑘. 2𝜋)

𝑠𝑒𝑛 (7𝜋

4+ 𝑘. 2𝜋)

, k = 0, 1, …

7.- Resuelve: sen(2x) = cos(x)

Res.: 2.sen(x).cos(x) = cos(x) ->

= cos(x).[2.sen(x) – 1] = 0 -> {

cos(𝑥) = 0ó

𝑠𝑒𝑛(𝑥) =1

2

Nos lleva a: x = {

𝜋

2+ 𝑘. 2𝜋

3𝜋

2+ 𝑘. 2𝜋

, ó {

𝜋

6+ 𝑘. 2𝜋

5𝜋

6+ 𝑘. 2𝜋

,

k = 0,1,…

8.- Resuelve el sistema: {𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 + cos(𝑦)2 =

3

4

cos (𝑥)2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑦)2 = 1

4

, soluciones en el

primer cuadrante.

Res.: Llegamos al sistema

{𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =

1

4

𝑠𝑒𝑛2(𝑦) =1

2 -> x = 30º , y = 45º

314

9.- Resuelve {cos(𝑥 + 𝑦) =

1

2

𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) =1

2

, soluciones en primer cuadrante.

Res.: Es inmediato que {𝑥 + 𝑦 =

𝜋

3+ 𝑘. 2𝜋

𝑥 − 𝑦 = 𝜋

6+ 𝑘. 2𝜋

-> en el primer c. :

x = 45º , y = 15º

10.- Tengo un triángulo cuyos lados miden a = 13, b = 14, c = 15 ,

metros. Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Sol.: Por los conocimientos de trigonometría sabemos que:

Teorema de los senos: 𝑎

𝑠𝑒𝑛(𝐴)=

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝐵)=

𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝐶)

Teorema del coseno: a2 = b

2+c

2-2.bc.cos(A)

Radio de la C. circuns.: R = 𝑎

2.𝑠𝑒𝑛(𝐴)

cos(A) = −𝑎2+𝑏2+𝑐2

2𝑏𝑐 =

−132+142+152

2.14.15= 0,60, --> sen(A) = 0,80

R = 13

2.0,80= 8,125 𝑚.

11.- En un triángulo el lado b es doble que el lado c, y el ángulo

A = 60º. Calcula el valor de los otros dos ángulos.

Sol.: cos(A) = 𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐 -->

1

2=

4𝑐2+𝑐2−𝑎2

4𝑐2 ,

4c2 = 10c

2 -2a

2 --> 2a

2 = 6c

2 , a

2 =3c

2 ,


315

cos(C) = 𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏=

2𝑐2+4𝑐2

4𝑎𝑐=

6𝑐

4𝑎=

3𝑐

2𝑎=

3𝑐

2.𝑐.√3=

3.√3

6=

√3

2 ,

de donde: C = 30º , -> B = 90º

12.- Para un triángulo cualquiera, comprueba que su área cumple:

S = 𝑃.𝑟

2 , donde r es el radio de la circunferencia inscrita, P es su

perímetro.

Sol.: Considero tres triángulos cuya altura es r

S = 1/2./AB/.r + 1/2./BC/.r + 1/2./CA/.r = 1/2.[/AB/ + … ].r = 𝑃.𝑟

2

13.- En un triángulo sabemos que a = 3 m, A = 60º. Calcula el radio de

la circunferencia circunscrita.

Sol.: R = 𝑎

2.𝑠𝑒𝑛(𝐴) --> R = √3 m

14.- Calcula la altura H en cada una de las figuras:

Observa las figuras

316

Sol.: tan(g) = 𝐻

85,50 , Llamo x = /BC/ y opero:

{tan(𝑔2) =

𝐻

𝑥

tan(𝑔1) = 𝐻

4+𝑥

; de aquí despejo x y H.

15.- Calcula la altura del árbol, y la distancia AB de la segunda figura:

De PROBLEMAS métricos en el Plano

1.- Determina la ecuación de la recta paralela a la bisectriz del segundo

cuadrante y que pase por Q(3, 5)

Res.: r: x + y -8 = 0

2.- Determina la recta que es ortogonal al vector v = (3, -2) y pasa por

Q(-4,3)


317

Res.: 3x -2y + 18 = 0

3.- Determina la ecuación de cada una de las medianas del triángulo de

vértices: A(0, 8), B(6, 0), C(-2, -2)

Res.: Por A: 𝑥

2=

𝑦−8

−9 , Por B:

𝑥−6

−7=

𝑦

3 , Por C:

𝑥+2

5=

𝑦+2

6

4.- La mediatriz del segmento AB tiene ecuación:

r: 4x -3y -12 = 0, y las coordenadas de A(1, 0).

Determina el punto B

Sol.: La perpendicular a r pasando por A es:

s: 3x +4y -3 = 0

El punto M = r∩ 𝑠: M(57

25, −

24

25)

d(M, B) = d(M, A) -> B(89

25,−48

25)

5.- Un triángulo isósceles tiene el vértice A en la recta r: x + 2y -15 = 0,

y los otros dos son: B(-1, 3), C(3, -3). AB y AC son sus lados iguales.

Calcula las coordenadas de A y las ecuaciones de sus tres alturas.

Sol.: v = BC = (4, -6); punto medio de BC: M1(1, 0)

Altura por A: m = -3/2, r1: 2x -3y = 2

Altura por B: ….

318

Altura por C: ….

6.- Por el punto P(2, 6) trazo las rectas r1, r2 perpendiculares a la

bisectriz del primero y del segundo cuadrantes, respectivamente.

a) Determina sus ecuaciones

b) Determina los otros dos vértices del triángulo que determinan las

rectas r1 y r2 con la recta

r: 3x -13y = 8

Res.: r1: x +y -8 = 0, r2: x –y + 4 = 0

Vértices: A = P, B(7, 1), C(-6, 2)

7.- Determina el ángulo formado por

r: x -2y +4 = 0, s: 3x –y -1 = 0

Fórmula: Si m1, m2 son las pendientes de r1, r2, el ángulo (el menor) g

determinado por r1 y r2 verifica:

tan(g) = 𝑚1−𝑚2

1+𝑚1.𝑚2

Res.: m1 = 1/2 , m2 = 3 , tan(g) = 3−

1

2

1+3

2

= ⋯ = 1

8.- Determina la ecuación de r que pasa por

Q(2, -3) y forma ángulo g = 45º con la recta s: 3x -4y +7 = 0

Res.: r -> m = 3/4; llamo m’ la pendiente de r

En nuestro caso: 1 = tan(45º) =

3

4−𝑚′

1+3

4.𝑚′

->

m’ = -1/7

r: x +7y +19 = 0


319

9.- Determina las coordenadas del punto simétrico del origen (0, 0)

respecto de la recta

r: 4x +3y -50 = 0

Res.: Recta ortogonal a r por el origen:

s:3x-4y=0

La recta r corta a s ortogonalmente en el punto medio, sea M, del

segmento OQ. Obtengo:

M(8, 6), Punto pedido: Q(16, 12)

10.- Determina el valor de ‘a’ para que las dos rectas sean paralelas:

r: ax +y = 12, s: 4x -3y = a+1

Calcula su distancia

Res.: Pendientes: m1 = -a, m2 = 4/3

m1 = m2 -> -a = 4/3, a = -4/3

d(r, s) = 107/5

11.- Determina el punto M corte de r: 3x -5y = 21 con la perpendicular

‘s’ a ‘r’ por Q(-1, 2). Calcula la distancia d(M, P) donde P es el corte de

s con el eje ox.

Res.: m = 3/5. La perpendicular por Q es:

s: 5x +3y = 1

El punto M = r∩ 𝑠: M(2, -3)

El punto de corte r∩ 𝑜𝑥: P(7, 0).

Distancia: d( , ) = √34

12.- Halla las ecuaciones de las rectas bisectrices de los ángulos

formados por las rectas

320

r: 3x-4y+1 = 0, s: 5x+12y-7 = 0

Sol.: |3𝑥−4𝑦+1|

√25=

|5𝑥+12𝑦−7|

√169 -->

{13. (3𝑥 − 4𝑦 + 1) = 5. (5𝑥 + 12𝑦 − 7)

13. (3𝑥 − 4𝑦 + 1) = −5. (5𝑥 + 12𝑦 − 7) -->

{𝑟1: 7𝑥 − 56𝑦 + 24 = 0𝑟2: 32𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0

----------------

De la CIRCUNFERENCIA:

1.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(3, -2) y radio

r = 3.

Res.: (x-3)2 + (y+2)

2 = 9

2.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(1, 2) y que pasa

por el punto Q(-1, -2)

Res.: (x-1)2 + (y-2)

2 = r

2

(-1-1)2 + (-2-2)

2 = r

2 --> r

2 = 20

3.- Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(3, 2) y que es

tangente con la recta

s: 3x+4y+2 = 0

Res.: radio = d(C, s) = … = 19

5


321

4.- Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres

puntos: A(1, 0), B(3, -2), C(1, -4).

Sol.: Dos formas. Primera:

Obtengo la mediatriz r1 del segmento AB, r2 la mediatriz del segmento

AC. El punto P = r1∩r2 es el centro, r = d(P, A).

Resulta: C: x2 + y

2 -2x +4y +1 = 0

Segunda: La ecuación general de la circunferencia es

C: x2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0; Sustituyendo los puntos obtengo:

{1 + 0 + 𝐷 + 0 + 𝐹 = 09 + 4 + 3𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 01 + 16 + 𝐷 − 4𝐸 + 𝐹 = 0

-> Resuelta:

D = -2, E = 4, F = 1

Resulta:

C: x2 + y

2 -2x +4y +1 = 0

5.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por

A(4, -1), B(-1, -2), y cuyo centro está en la recta s: x+y-2 = 0

Res.: Obtengo la mediatriz r1 del segmento AB. El centro es el punto

P = r1^s. (Intersección de las dos rectas)

Resulta: C(1, 1), radio = d(C, A) = √13

C: (x-1)2 + (y-1)

2 = 13

6.- Analiza la posición relativa entre la recta s: 2x-y+3 = 0 y la

circunferencia

x2+y

2-3x-4y+3=0

322

Res.: Obtengo los puntos de corte, si los tiene

{2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 -> Son secantes:

P(-1/5, 13/5), Q(0, 3)

7.- Determinar el valor de ‘a’ para que la recta s: x-y = a, y la

circunferencia

C: x2+y

2-2y-1=0

Res.: {𝑥 − 𝑦 = 𝑎

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 − 1 = 0 -> a = 1, a = -3

8.- Calcula la potencia de los puntos A(1, -2), B(3, 0) respecto de la

circunferencia

x2+y

2-2x+3y-18 = 0

¿Qué posición ocupan?

Sol.: Fórmula: Si P(x0, y0),

Pot(P) = x02 + y0

2 + Dx0 + Ey0 + F

Pot(A) = 1+4-2-6-18 = -21 -> Es interior

Pot(B) = 9+0-6+0-18 = -15 -> Es interior

9.- Calcula el l.g. de los puntos que tienen igual potencia respecto de

C1: x2+y

2-3x+2y+1 = 0, C2: x

2+y

2+y-2 = 0

Res.: Si Q(x, y) es del l.g. ha de cumplir


323

x2+y

2-3x+2y+1 = x

2+y

2+y-2 , de donde el l. g. pedido: 3x-y-3 = 0

10.- Calcula el eje radical de las dos circunferencias:

C1: Centro C1(0, 1), radio: r1 = 2

C2: Centro C2(1, -1), radio: r2 = 3

Sol.: Sus ecuaciones, y siendo Q(x,y) un punto cualquiera del l.g. cuyos

puntos tienen igual potencia, nos lleva a

x2+y

2-2y-3 = x

2+y

2-2x+2y-7 --> eje r.: x -2y + 2 = 0

11.- Por un punto P exterior a la circunferencia C trazamos una secante

s que la corta en A y B. Sabemos que d(P, A) = 30 m, d(P, B) = 16 m, y

d(P, O) = 23, donde O es el centro de C. Calcula el radio r de C.

Sol.:

PA . PB = d2 – r

2 --> 30.16 = 23

2 – r

2 , r = 7

12.- Calcula la longitud del segmento de tangente entre P(2, -1) y el

punto de tangencia con

C: x2+y

2 +3x-2y-4 = 0

324

Sol.: Fórmula: d(P, M) = Pot(P)2 ,

Pot(P) 4+1+6+2-4 = 9 --> d(P, M) = 3

13.- Calcula el centro radical de las tres circunferencias:

C1: x2+y

2+2x-4y = 0

C2: x2+y

2-2x = 0

C3: x2+y

2+2x-6y-16 = 0

Sol.: Eje radical de:

C1 y C2: x

2+y

2+2x-4y = x

2+y

2-2x -> r1: x-y = 0

C1 y C3: x2+y

2+2x-4y = x

2+y

2+2x-6y-16 -> r2: x+8 = 0

Centro radical: {𝑥 − 𝑦 = 0𝑥 + 8 = 0

--> C(-8, -8)

14.- Determina la ecuación de cada una de las rectas t1, t2, tangentes a

C: x2+y

2-6x+10y-66 = 0, y que sean paralelas a la recta

s: 4x-3y+2 = 0

Sol.:


325

Hallo el centro: (x-a)2 + (y-b)

2 = r

2

x2 -2ax + y

2 -2by + (a

2+b

2) = r

2 -> {

−2𝑎 = −6−2𝑏 = 10

𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = −66

de donde: a = 3, b = -5

9+25 –r2 = -66 --> r

2 = 100 , r = 10

Centro: O(3, -5)

Hallo ecuación de t’: De s tengo m = 4/3; para t’ será m’ = -3/4;

Obtengo

t’: 3x+4y+11 = 0

Calculo los puntos Q1, Q2:

{3𝑥 + 4𝑦 + 11 = 0

x2 + y2 − 6x + 10y − 66 = 0 --> Q1(5,

−13

5), Q2(11, -11)

Las rectas t1’ y t2’ son:

t1: (y+13

5) =

4

3. (𝑥 − 5) --> 20x -15y -139 = 0

t2: (y+11) = 4

3 . (𝑥 − 11) --> 4x -3y -77 = 0

15.- Sean las dos circunferencias

C1: x2+y

2-15 = 0, C2: 2x

2+2y

2-3x-8y-10 = 0

Hallar el punto Q que teniendo igual potencia respecto de C1 y C2 sea

equidistante de los ejes ox, oy.

Sol: Estará en el eje radical:

326

x2+y

2-15 = 2x

2+2y

2-3x-8y-10 --> s:3x+8y-22 = 0

Los puntos que equidistan de ox, oy son los puntos de las bisectrices: y

= x, y = -x, por tanto resuelvo:

{3𝑥 + 8𝑦 − 22 = 0

𝑦 = 𝑥 --> Q1(2, 2);

{3𝑥 + 8𝑦 − 22 = 0

𝑦 = −𝑥 --> Q2(

−22

5, 22

5)

16.- Sea una circunferencia C con centro O(5, 3) de la que sabemos que

es tangente con la recta s que pasa por A(0, 2) y forma ángulo g = 45º

con el eje ox. Determina la ecuación de C y el punto de tangencia.

Sol.: Hallo la ecuación de s: m = tan(45º) = 1

y-2 = x --> s: x –y +2 = 0

Hallo la ecuación de s’ ortogonal con s y pasando por A(0, 2):


327

m’ = -1, s’: y-3 = -(x-5), s’: x+y-8 = 0

Punto común de s y s’: {𝑥 − 𝑦 + 2 = 0𝑥 + 𝑦 − 8 = 0

--> M(3, 5)

Radio: OM = (-2, 2), r = /OM/ = √8 = 2. √2

Ecuación de C: (x-5)2 +(y-3)

2 = 8

---------------

De CÓNICAS:

1.- Determina la ecuación canónica de la Elipse en la cual:

a = 25, c = 7

Sol.: Sabemos que a2 = b

2 + c

2

b2 = a

2 – c

2 -> b = 24 -->

𝑥2

625+

𝑦2

576= 1

2.- Determina la ecuación canónica de la Elipse que pasa por P(8, -3),

Q(-6, 4). Calcula el valor de c y de la excentricidad e.

Sol.: 𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1; si pasa por P:

64

𝑎2+

9

𝑏2= 1 -->

64.b2 + 9.a

2 = a

2.b

2

Si pasa por Q: 36

𝑎2+16

𝑏2= 1 -> 36.b

2 + 16.a

2 = a

2.b

2

328

{64. b2 + 9. a2 = a2. b236. b2 + 16. a2 = a2. b2

-->

{64. b2 + 9. a2 = 36. b2 + 14. 𝑎2

36. b2 + 16. a2 = a2. b2-->

{28. b2 − 7. a2 = 0

36. b2 + 16. a2 = a2. b2 --> a

2 = 4.b

2 --> 36.b

2 + 64.b

2 = 4.b

4 ,

de donde: 100 = 4.b2 ,

b2 = 25 , b = 5, a = 10

Ecuación: 𝑥2

100+𝑦2

25= 1 ; c = 5.√3 ; e =

𝑐

𝑎=

√3

2

3.- Determina la ecuación del l.g. de todos los puntos cuya suma de

distancias a F(0, 2) y F’(0, -2) es igual a 5.

Sol.: Si Q(x, y) es un punto del l.g. ha de cumplir

d(Q, F) + d(Q, F’) = 5

√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 + √𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 5 -->

√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 5 − √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 , elevando al

cuadrado y simplificando:

4y -25 = -10. √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 ;

volviendo a elevar y simplificando:

100x2 + 36y

2 -225 = 0 -->

𝑥2

225

100

+ 𝑦2

225

36

= 1 --> 𝑥2

9

4

+ 𝑦2

25

4

= 1;

a = 3/2, b = 5/2


329

4.- Determina la ecuación del l.g. de los puntos Q(x, y) tales que la

razón entre la distancia al punto P(3, 0) y la distancia a la recta

r: x-12 = 0 es igual a 1/2.

Sol.: d(P, Q) = √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 , d(Q, r) = |𝑥−12|

√1 ;

Imponemos la condición: √(𝑥−3)2+𝑦2

|𝑥−12|=

1

2 , de donde

4.[(x-3)2 + y

2] = /x-12/ --> 4𝑥2 − 24𝑥 + 36 + 4𝑦2 = 𝑥2 − 24𝑥 + 144

3x2 +4y

2 -108 = 0 -->

𝑥2

108

3

+ 𝑦2

108

4

= 1 , 𝒙𝟐

𝟑𝟔+

𝒚𝟐

𝟐𝟕= 𝟏

5.- Halla la ecuación reducida de la Elipse con

excentricidad e = √2

2 y que pasa por A(3, 2).

Sol.: e = c/a --> 2c = √2 . 𝑎 --> c2 = 1/2.a

2 , por tanto

b2 = a

2 –a

2/2 , b

2 = 1/2.a

2

b2.x

2 + a

2.y

2 = a

2.b

2 --> a

2.x

2 +2.a

2.y

2 = a

4

Si pasa por A: 9.a2 + 8.a

2 = a

4 -> 17 = a

2 , b

2 = 17/2; -->

17.x2 + 34.y

2 -289/2 = 0, 34.x

2 + 68.y

2 – 289 = 0

6.- Determina los ejes de la Elipse

9x2 +25y

2 -50y = 0

Sol.: b2.x

2 + a

2.(y-y0)

2 – k = 0

330

Operando e igualando:

{

𝑏2 = 9𝑎2 = 25

−𝑎2. 2𝑦0 = −50

𝑎2. 𝑦02 − 𝑘 = 0

--> b = 3, a=5,

2y0 = 2 --> y0 = 1,

9.x2 + 25.(y-1)

2 – k = 0, k = 25

Ejes son las rectas: x = 0 (eje oy), y = 1

Ecuación canónica: 𝑥2

25

9

+ (𝑦−1)2

1 = 1, --> a = 5/3, b = 1

7.- Determina los focos, los vértices y la excentricidad de la Elipse

4x2 + 3y

2 -8x +12y +15 = 0

Sol.: b2.(x-x0)

2 + a

2.(y-y0)

2 = 1

b2.[x

2-2x0.x+x0

2] + a

2.[y

2 -2y0.y +y0

2] = 1

igualando

{

𝑏2 = 4−𝑏2. 2𝑥0 = −8

𝑎2 = 3 −𝑎2. 2𝑦0 = 12

𝑏2. 𝑥02 + 𝑎2. 𝑦02 − 1 = 15

, de donde

b = 2, x0 = 1, a = √3 , y0 = -2,

y veamos si se cumple la última: 4 + 12-1 = 15

Por tanto: 4.(x-1)2 + 3.(y+2)

2 = 1


331

(𝒙−𝟏)𝟐

𝟏/𝟒 +

(𝒚+𝟐)𝟐

𝟏/𝟑= 𝟏 , a =

√2

2 , 𝑏 =

√3

3

Valor de c: Observa que b2 > a

2, por lo que el semieje mayor es b.

b2 = a

2 + c

2 , 1/3 = 1/4 + c

2,

c2 = 1/12, c =

√3

6, e = c/b =

3

6=

1

2

Ejes: x = 1, y = -2

Vértices y focos:

Cortes: {𝑥 = 1

4x2 + 3y2 − 8x + 12y + 15 = 0 - >

3y2 +12y +11 = 0 - > y = {

−6+√3

3

−6−√3

3

, vértices

B1(1, −6+√3

3), B2(1,

−6−√3

3 )

Por otro lado: {𝑦 = −2

4x2 + 3y2 − 8x + 12y + 15 = 0 -->

332

4x2 -8x + 3 = 0, x = {

3

21

2

-> A1(1

2, −2), 𝐴2(

3

2 , −2)

Focos: c = √3

6 , -2+c = -2 +

√3

6 =

−12+√3

6

-2 –c = -2 - -√3

6 =

−12−√3

6

F(1, −12+√3

6) , F’(1,

−12−√3

6 )

8.- Calcula la longitud de la cuerda que que determina la recta

s: -x+2y-3 = 0 con la Elipse 2x2 +y

2 = 6

Sol.: Basta obtener los puntos de corte

{−𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0

2𝑥2 + 𝑦2 = 6 --> Q1(1, 2), Q2(

−5

2,2

3 )

De la HIPÉRBOLA

9.- Halla la ecuación reducida de la Hipérbola que pasa por

P(1, 2), Q(0, √2 )


333

Sol.: 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1 , {

𝑃 → 1

𝑎2−

4

𝑏2= 1

𝑄 → 0

𝑎2−

2

𝑏2= 1

--> resolviendo obtengo

valores ‘a’ y ‘b’.

10.- determina la ecuación del l.g. de los puntos tales que la diferencia

entre sus distancias a los puntos F(-6, 0), F’(6, 0) sea igual a 8.

Sol.: Si Q(x, y) es cualquiera del l.g., tengo

√(𝑥 + 6)2 + 𝑦2 − √(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 = 8 -->

√(𝑥 + 6)2 + 𝑦2 = 8 + √(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 ; elevando al

cuadrado y simplificando

3x-8 = 2. √(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 --> elevando de nuevo

20.x2 – 16.y

2 = 16.20, 5x

2 -4y

2 = 80,

11.- Halla las ecuaciones de los ejes de la Hipérbola:

9x2 -4y

2 + 18x + 8y -31 = 0

Sol.:

b2.(x-x0)

2 –a

2.(y-y0)

2 + k = 0; operando e

igualando:

{

𝑏2 = 9−𝑏2. 2𝑥0 = 18

−𝑎2 = −4 +𝑎2. 2𝑦0 = 8

𝑏2. 𝑥02 − 𝑎2. 𝑦02 + 𝑘 = −31

--> b = 3, a = 2

-18.x0 = 18 --> x0 = -1, 8.y0 = 8 --> y0 = 1

334

9.1 -4.1 + k = -31 --> k = -36

Queda: 9.(x+1)2 – 4.(y-1)

2 -36 = 0

Ejes: x = -1, y = 1

Canónica: (𝒙+𝟏)𝟐

𝟒−

(𝒚−𝟏)𝟐

𝟗= 𝟏

12.- Halla el ángulo que forman las dos asíntotas de la Hipérbola:

25x2 – 9y

2 = 24.

Sol.: 25x2 – 9y

2 = 24 -->

𝑥2

24

25

− 𝑦2

24

9

= 1 ;

a = 2.√6

5 , 𝑏 =

2.√6

3

Asíntotas: Fórmula: {𝑦 =

𝑏

𝑎. 𝑥

𝑦 = −𝑏

𝑎. 𝑥

, --> {𝑦 =

5

3 . 𝑥

𝑦 = −5

3 . 𝑥

Angulo formado por las asíntotas: {5𝑥 − 3𝑦 = 05𝑥 + 3𝑦 = 0

;

Vectores directores: v1 = (3, 5), v2 = (3, -5)

Cos(v1^v2) = 𝑣1.𝑣2

|𝑣1|.|𝑣2|=

|9−25|

√34.√34 =

16

34=

8

17 = 0,4706

13.- Calcula los puntos comunes a la circunferencia: x2 + y

2 = 41 y la

Hipérbola: x.y = 20

Sol.: {𝑦 =

20

𝑥

𝑥2 + 𝑦2 = 41 --> 𝑥2 +

400

𝑥2= 41 ;


335

x4 -41x

2 + 400 = 0 ; hago z = x

2,

z2 -41z + 400 = 0 --> {

𝑧 = 41+9

2= 25

𝑧 = 41−9

2= 16

Puntos corte:

P1(4, 5), P2(-4, -5), P3(5, 4), P5(-5, -4)

14.- Determina la ecuación de la Hipérbola uno de cuyos focos es

F(6, 0) y que la suma de sus semiejes cumple: a + b = 8 ( Con centro de

simetría (0, 0) )

Sol.: c = 6; Fórmula: c2 = a

2 + b

2 -->

{𝑎 + 𝑏 = 836 = 𝑎2 + 𝑏2

de donde: {𝑎 = 4 + √2

𝑏 = 4 − √2 , {𝑎 = 4 − √2

𝑏 = 4 + √2

15.- Calcula los focos, los vértices, la excentricidad, de la Hipérbola:

25x2 - 144y

2 - 50x - 576y - 4151 = 0

Sol.: 25(x-x0)2 -144(y-y0)

2 + k = 0

25.[x2-2x0.x+x0

2] -144.[y

2-2y0.y +y0

2] + k = 0

Identificando: {

−25.2𝑥0 = −50144.2𝑦0 = −576

25. 𝑥02 − 144. 𝑦02 + 𝑘 = −4151 --> -2x0 = -2,

x0 = 1, 2y0 = -4 --> y0 = -2; 25 -576 + k = -4151 --> k = -3600

Queda: 25(x-1)2 -144(y+2)

2 = 3600

336

(𝑥−1)2

3600

25

− (𝑦+2)2

3600

144

= 1 --> (𝒙−𝟏)𝟐

𝟏𝟒𝟒−

(𝒚+𝟐)𝟐

𝟐𝟓= 𝟏

--------------

De la PARÁBOLA

16.- Halla la ecuación del l.g. de los puntos Q(x, y) que equidistan de la

recta r: x+4 = 0 y del punto F(3, 0).

Sol.: d(Q, r) = d(Q, F) --> √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = |𝑥+4|

√1

Elevando al cuadrado: (x-3)2 + y

2 = x

2 +8x +16,

-6x +9 + y2 = 8x + 16 --> y

2 -14x -7 = 0

Es una parábola: (y-y0)2 -14.(x-x0) = 0, donde (x0, y0) es el vértice.

y2 -2y0.y + y0

2 -14x +14x0 = 0

{2𝑦0 = 0 14𝑥0 = −7

--> y0 = 0, x0 = -1/2, Vértice: V(-1/2, 0)

Parámetro: Fórmula: y2 = 2p.(x-x0)

y2 = 2p.x -2p.x0 -> {

2𝑝 = 14 −2𝑝. 𝑥0 = −7

-- > p = 7, x0 = 1/2


337

Parámetro p = 7, p/2 = 7/2, −1

2+7

2 =

6

2, F(3, 0)

17.- Determina la directriz y el eje, y las coordenadas del vértice y del

foco, de la parábola:

a) y = 2x2 -8x +5, b) x =

1

2. 𝑦2 + 𝑦 +

3

2

Sol.: a) Fórmula: y = 2.(x-x0)2 + k

2.(x2 -2x0.x +x0

2)+k -> {

−4𝑥0 = −82. 𝑥02 + 𝑘 = 5

-->

x0 = 2,

8 +k = 5 -> k = -3; por tanto: y+3 = 2.(x-2)2, (x-2)

2 =

1

2. (y+3)

Vértice: V(2, -3), 2p = 1/2 -> p =1/4, p/2 = 1/8

Foco: -3+1/8 = -23/4, F(2, −23

4 )

Eje focal: x = 2

Directriz: -3-1/4 = -13/4 --> y = −13

4

b)Resultados: x = 1

2. 𝑦2 + 𝑦 +

3

2 --> 2x = y

2 +2y +3

338

(y-y0)2 = 2(x-x0) --> {

−2𝑦0 = 2

𝑦02 + 2𝑥0 = 3

y0 = -1, 1 +2x0 = 3 --> 2x0 = 2, x0 = 1,

y por tanto: (y+1)2 = 2(x-1),

V(1, -1), p = 1, p/2 = 1/2, F(3

2 , −1) ,

Eje de simetría: y = -1,

Directriz: x = 0

18.- Calcula el radio-vector del punto Q de la parábola x2 = 4y cuya

abscisa es x = -4.

Res.: Foco: F(0, 1); Punto Q(-4, 4),

d(Q,F) = … = 5

19.- Determina los puntos comunes a la recta

r: x-2y-7 = 0 y la parábola: x = y2 +4y+4

Res.: {𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0

𝑥 = 𝑦2 + 4𝑦 + 4 --> P1(9, 1), P2(1, -3)

20.- Determina el valor de ‘a’ para que la recta r: 4x-3y+a = 0 sea

tangente a la parábola 3y = 3x2 +10x+4


339

Res: El punto de corte ha de ser doble:

{4𝑥 − 3𝑦 + 𝑎 = 0

3𝑦 = 3𝑥2 + 10𝑥 + 4 --> 4x+a = 3𝑥2 + 10𝑥 + 4,

3x2 +6x +(4-a) = 0 ->Discriminante: D=36 -13(4-a)

D = 0 --> a = 1

21.- Calcula la longitud de la cuerda que determinan la circunferencia:

x2 +y

2 = 13 y la parábola: y

2 = 3x + 3

Sol.: {𝑥2 + 𝑦2 = 13

𝑦2 = 3𝑥 + 3 --> x

2 +3x +3 = 13,

x2 +3x -10 = 0, -> P(2, 3), Q(2, -3), d(P, Q)=6

-----------

De Números complejos

1.- Sea el complejo: z1 = cos(g1) + sen(g1).i

a) Comprueba que /z1/ = 1.

b) Comprueba que, para cualquier otro complejo z = (r, g) se

cumple: z.z1 = (r, g+g1), equivalente a aplicar a z el giro de amplitud

g1.

Res.: a) /z1/ = √cos(𝑔1)2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑔1)2 = 1 -- > z1= (1, g1)

b) /z.z1/ = r.1 = r ; arg(z.z1) = g+g1

340

2.- En un hexágono regular con centro en (0, 0) sabemos que uno de sus

vértices queda determinado por z = √3 + 𝑖 . Calcula los restantes

vértices.

Sol.:

Llamo z1 = √3 + 𝑖 ; /z1/ = √4 = 2, por tanto el radio de la

circunferencia circunscrita es R = 2

g = arcTan(1

√3 ) = arcTan(

√3

3 ) = 30º

Por otro lado: 2𝜋

6 = 60º

zk = 2g+k.60º , k = 2, …,6

Otra forma: zk = z1.160º , k = 2, …,6

Resultado: z2 = 2i, z3 = -√3 + 𝑖 , z4 = -√3 − 𝑖,

z5 = -2i, z6 = √3 − 𝑖

-------------


341

COLECCIÓN de problemas con resultado:

1.-

Dadas dos rectas estudia su posición relativa

Datos: 2x -3y +2 = 0, -2.x +3.y -3 = 0

Res.: Son paralelas

-------------------

2.-

Dadas tres rectas determina los vértices del triángulo.

Datos: 1.x +3y -1 = 0, 3.x -2.y +4 = 0, 2.x -1.y +3 = 0

Res.: Vértices:

(1,272; -9,09)

(1,428; -0,142)

(3,5; 7,5)

----------------------

3.-

Dadas cuatro rectas, calcula sus puntos de corte dos a dos.

Datos: 2x +1.y +2 = 0, -2.x +3.y -3 = 0

1.x -2.y +3 = 0, 3.x +2.y -5 = 0

Res.: Vértices:

(-0,375; -1,25), (-0,2; -1,6), (1; -4), (0,6; 1,4), (-1,615; -7,692), (-1,181;

0,909)

----------------

4.-

Halla la ecuación general de la recta r que pasa por dos puntos P y Q.

Datos: (2; -3) , (3; 1)

Resultado:

342

(x -2)/1 = (y - -3)/4

4x +-1y +-11 = 0

-----------------------------

5.-

Halla la ecuación general de la recta r que pase por P y admita vector

director v

Datos: (3; 1) , (2; -3)

Resultado:

(x -3)/2 = (y - 1)/-3

-3.x +-2.y +11 = 0

------------------------------

6.-

Halla dos puntos y vector director de la recta r dada por su ecuación

general.

Datos: 2x-3y+2=0

Resultado:

Puntos: (0;0,666), (2;2)

Vector: (2;1,333)

------------------------

7.-

Estudia la posición relativa de las dos rectas r = {P+t.v}, y

s: A.x + B.y + C = 0

Datos: Punto y vector:(2; 1) , (-2; 3)

Recta: 2.x-3.y-3 = 0

Resultado:

Vector de r1: (0; -1), (2; 0,333)

Vector de r2: W= (2; 1,333)

Posición ...: No son paralelas, se cortan

--------------------------

8.-


343

Halla la ecuación general de la recta que pasa por P y es paralela a la

recta r: A.x+B.y+C = 0

Datos: (2; 0) , -2x+3.y-4 = 0

Resultado:

Forma continua de r: (x -2)/2 = (y - 0)/1,333

Ecuación cartesiana de r: 1,333.x +-2.y +-2,666 = 0

---------------------------

9.-

Halla la ecuación general de la recta que pasa por P y es perpendicular a

la recta r: A.x+B.y+C = 0

Datos: (0; 3) , 2x+3y-3 = 0

Resultado:

Forma continua de r: (x -0)/-1,333 = (y - 3)/-2

Ecuación cartesiana de r:-2x +1,333y +-3,999 = 0

-------------------------

10.-

Calcula el punto común de las rectas r = {P+t.v}, s: A.x + B.y + C = 0

Datos: Punto y vector: (2; -1) , (3; 2)

Recta: 3x-2y-5 = 0

Resultado:

Vector de r: (0; -2,5), (2; 0,5)

Vector de s: W = (2; 3)

Punto corte: (0 ; -2,4)

------------------------

11.-

Dado el haz determinado por r1 y r2, en cartesianas, determina aquella

que pasa por P.

344

Datos:

Haz de rectas: (Ax+By+D) + k.(A'x+B'y+D') = 0

o bien: (A+k.A').x + (B+k.B').y + (D+k.D') = 0

Pasará por P(px(i)) si para algún valor de k se cumple

(A+k.A').px(1)+(B+k.B').px(2)+(D+k.D') = 0

o bien: (A.px(1) + B.px(2)+D) + (A'.px(1) +B'.px(2)+D').k = 0

de donde despejo k

Valor del parámetro k = …

Recta pedida:

s: -2.x 4.y -3 = 0

------------------------

12.-

Dado el haz determinado por r1 y r2, en cartesianas. Determina aquella

recta r del haz que corte ortogonalmente a la recta s . Datos en el orden

citados.

Datos: r1: 3.x+2.y-2 = 0, r2: 2.x+1.y+3 = 0, s: 1.x-1.y-2 = 0



Vector director de haz: V = (-(B+k.B') , A+k.A')

Vector director de s: A3.x + B3.y + C3=0 es W = (-b(3), a(3))

Serán ortogonales si lo son V y W, esto es: V*W = 0

r : r1 + k.r2 = 0, donde k = -1

Recta pedida: s: 1.x 1.y -5 = 0

------------------------

13.-


345

Distancia entre dos puntos.

Datos: (2; -3), (-3; 4)

Distancia = 8,602

------------------------

14.-

Distancia desde un punto a una recta

Datos: (2; -3), 3x-2y+4 = 0

Distancia = 4,43760156980183

----------------------

15.-

Distancia entre dos rectas

Datos: 2x-6y+1 = 0, -1.x+3y+2 = 0

Distancia = 0,79

----------------------

16.-

Halla la ecuación de r que pase por P y sea perpendicular a la bisectriz

del primer cuadrante.

Datos: (2; -2)

Resultado:

1.x +-1.y +-4 = 0

(x -2)/1 = (y - -2)/1

------------------------------

17.-

Determina las rectas soporte de los lados del triángulo con vértices en

A, B, C.

346

Datos: Vértices:(1; 0), (-2; 3), (2; -1)

Recta AB: 3x +3y +-3 = 0

Recta AC: -1x +-1y +1 = 0

Recta BC: -4x +-4y +4 = 0

-----------------------

18.-

Dado el triángulo con vértices en A, B, C, calcula la ecuación de la

mediana que pasa por A.

Datos: Vértices:(2; -3), (-1; 2), (3; 4)

Mediana por vértice A: 6x +1y +-9 = 0

-------------------------

19.-

Dado el triángulo ABC, calcula su Baricentro (punto común a las tres

medianas)

Datos: Vértices:(2; 1), (-2; 0), (0; 3)

Mediana r por vértice A: 0,5x +3y +-4 = 0

Mediana s por vértice B: 1x +1y +-3 = 0

Baricentro: (2,5; 1)

-----------------------

20.-

Dado el triángulo ABC, calcula las mediatrices de los segmentos AB y

AC, y el Circuncentro. Obtener la Ecuación de la circunferencia

circunscrita.

Datos: Vértices: (1; 0), (3; 2), (2; 4)

Mediatriz r1 del AB: -2.x +-2.y +6 = 0


347

Mediatriz r2 del AC: 0.x +-3.y +7,5 = 0

Circuncentro: C(0,5; 2,5)

Radio: 2,549

Circun. circunscrita:

x^2 + y^2 + -1.x + -5.y + 2,599 = 0

---------------------------

21

Dado el triángulo ABC, calcula su Ortocentro ( punto común a las tres

alturas).

Datos: Vértices: (-2; 0), (2; 1), (0; 3)

Altura r1 perpen. al lado AB: -4.x +-1.y +3 = 0

Altura r2 perpen. al lado AC: -2.x +-3.y +7 = 0

Ortocentro: (0,2; 2,2)

---------------------------

22.-

Dado el triángulo ABC, calcula dos bisectrices y el Incentro (punto

común de sus bisectrices). Obtener la Ecuación de la circunferencia

inscrita.

Datos: Vértices: (-2; 0), (3; 1), (1; 3)

Ecuación de r1 = AB: 1.x +-5.y +2 = 0

Ecuación de r2 = AC: 3.x +-3.y +6 = 0

Bisectrices vértice A:

-11,054.x + -5,916.y + -22,108 = 0

19,539.x + -36,51.y + 39,079 = 0

Bisectriz Seleccionada, vértice A:

-11,054.x -5,916.y -22,108 = 0

BISECTRIZ vértice B:

348

Ecuación de r1 = BA: -1.x + 5.y + -2 = 0

Ecuación de r2 = BC: 2.x + 2.y + -8 = 0

Bisectrices vértice B:

-13,026.x + 3,944.y + 35,135 = 0

7,369.x + 24,34.y + -46,449 = 0

Bisectriz Seleccionada, vértice B:

-13,026.x + 3,944.y + 35,135 = 0

Incentro: I(1; -5,586)

Radio: 6,065

Circun. inscrita:

x^2 + y^2 + -2.x + 11,172.y + -4,58 = 0

-----------------

23.-

Calcula por el método vectorial el Baricentro de ABC

Vértices:

(-2; -2), (3; 0), (1; 3)

Planteo vectorialmente:

OG = OM + t.zv = OM' + k.zw

t.zv -k.zw = (OM' -OM)

Resuelvo el sistema

Valores: t = 0,357142857142857 ; k = 0,357142857142857

Baricentro G:

G(0,678; 0,428)

-------------------------

24.-

Calcula por el método vectorial el Circuncentro de ABC

Vértices:


349

(-2; 1), (3; -1), (1; 3)

Calcula el punto medio de AB y de AC, y los vectores

y vector ortogonal a AB y a AC.

Planteo vectorialmente:

OC = OM + t.tv = OM' + k.tw

t.tv -k.tw = (OM' -OM)

Resuelvo el sistema

Valores: t = -0,0625 , k = 0,5625

Circuncentro C:

False

-------------------------

25.-

Bisectrices de los ángulos formados por dos rectas

Datos: 2.x -3.y -2 = 0, -3.x +2.y +2 = 0

Recta r1: 2.x -3.y -2 = 0

Recta r2: -3.x + 2.y + 2 = 0

BISECTRICES de los dos ángulos determinados por r1, r2:

r: 18,027.x + -18,027.y + -14,422 = 0

s: -3,605.x + -3,605.y + -3,365 = 0

----------------------------

26.-

Calcula el Incentro de ABC

Datos: (-2; 0), (3; 1), (1; 4)

Obtengo: r1 -> AB, r2 -> AC, y la bisectriz r del áng. interior

Recta r1: 1x + -5y + 2 = 0

350

Recta r2: 4x + -3y + 8 = 0

Bisectriz r: 25,396.x -40,297.y + 50,792 = 0

Obtengo: s1 -> BA, s2 -> BC, y la bisectriz r del áng. interior

Recta s1 : -1x + 5y + -2 = 0

Recta s2 : 3x + 2y + -11 = 0

Bisectriz s: -18,902.x + 7,829.y + 48,878 = 0

Intersección de r y s:

Incentro I: I(4,204 ; 3,909)

----------------------

27.-

Calcula el Ortocentro de ABC: I(4,676 ; 1,894)

Altura que pasa por A: 2.x + -2.y + 4 = 0

Altura que pasa por B: -3.x + -3.y + 12 = 0

Ortocentro O: O(1; 3)

-----------------------

28.-

Obtendremos la intersección de las medianas r3 y r2, fig.1

Eje radical de C1 y C2:

Circunf. C1: x^2 + y^2 + 2x -3y + 2 = 0

Circunf. C2: x^2 + y^2 -3.x + 2.y -5 = 0

Eje radical r: 5.x + -5.y + 7 = 0

------------------------

29.-

Potencia de P respecto de la circ. C:

Datos: P(5; 7)


351

Circunf. C: x^2 + y^2 + 2.x -3.y -5 = 0

Centro: C(-1; 1,5), Radio: 2,872

Valor de Pot(P; C) = 58,001616

------------------------

30.-

Eje radical de C1 y C2:

Datos:

Circunf. C1: x^2 + y^2 -2.x + 3.y -3 = 0

Circunf. C2: x^2 + y^2 + 3.x -4.y + 5= 0

Eje radical r: -5.x + 7.y + -8 = 0

------------------------

31.-

Centro radical de C1, C2, C3:

Datos:

Circunf. C1: x^2 + y^2 -2.x + 3y -5 = 0

Circunf. C2: x^2 + y^2 + x -2.y -3 = 0

Circunf. C3: x^2 + y^2 + 3.x -2.y + 2 = 0

Eje radical r1: -3.x + 5.y + -2 = 0

Eje radical r2: -5.x + 5.y + -7 = 0

Centro radical: CR(-2,5; -1,1)

-------------------------

32.-

Tangentes a C desde un punto P exterior:

Datos: Punto: (6; 8)

352

Circunf. C: x^2 + y^2 -2.x + 3.y -3 = 0

Centro y radio de C:

Valor de Pot(P; C) = 109

Obtengo la circunf. de radio R=Pot(P; C) y centro en P:

Ecuación de C': x^2 + y^2 + -12.x + -16.y + -11781 = 0

Obtengo el eje radical de C y C':

Eje radical de C y C', r: -10.x + -19.y + -11778 = 0

Corte de r con C:

No es posible

---------------------

33.-

Recta determinada por dos puntos:

Halla las ecuaciones paramétricas, y las ecuaciones cartesianas, de la

recta que pasa por los puntos P y Q.

Datos: (1; 0; 1) , (2; 3; -2)

Forma continua: (x -1)/1 = (y - 0)/3 = (z - 1)/-3

En cartesianas: 3x + -1y + -3 = 0

-3x + -1z + 4 = 0

34.-

Plano determinado por tres puntos:

Halla las ecuaciones paramétricas, y la ecuación general, del plano que

pasa por los tres puntos A, B, C.

Datos: (1; 0; 2) , (0; 2; -1) , (3; -1; 3)

Ecuación paramétrico-vectorial:

(x, y, z) = (1, 0, 2) + t.(-1, 2, -3) + s.(2, -1, 1)

Ecuación general: -1x + -5y + -3z + -7 = 0

---------------------


353

35.-

Calcula dos puntos y un vector director de r dada en cartesianas.

Halla dos puntos y un vector director de la recta r dada por dos


Datos: x -2y + 3z + 4 = 0 , 2.x + 3.y + z -2 = 0

Puntos:

(0; -0,333), (2; -1,666),

Vector: (2; -1,333)

--------------------

36.-

Calcula tres puntos del plano m y una base del subespacio director.

Halla tres puntos del plano m y una base del subespacio director.

(m dado por su ecua. general)

Datos: 3.x –y + 2z -3 = 0

Puntos:

(0; 0; 1,5), (0; 0; 0), (1; 0; 0)

Vectores:

(0; 0; -1,5)

(1; 0; -1,5)

----------------------

37.-

Recta que pasa por P y es perpendicular al plano m:

Halla la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano m (dado por

su ecuaci. general).

Datos: (2; 0; -3) , 3.x -2.y + 1.z -5 = 0

Resultado:

Ecuación continua:

(x -0)/0 = (y - 0)/-4,98 = (z - 5)/0

354

Ecua. cartesianas: -4,98x + 0y + 0 = 0

0x + 0z + 0 = 0

---------------------

38.-

Plano que pase por P y contenga a r: Q + t.v

Halla el plano m que pase por P y contenga a la recta r1 dada por el

punto Q y el vector v.

Datos: (0; -1; 0), (2; 0; 1), (2; 3; 4)

Ecuación general: -1.x + 6.y + -4.z + 0 = 0

Vectores: (2; 3; 4)

(2; 1; 1)

--------------------

39.-

Recta determinada por dos puntos:

Halla las ecuaciones paramétricas, y las ecuaciones cartesianas, de la

recta que pasa por los puntos P y Q.

Datos: (0; 1; 2) , (-2; 0; 0)

Forma continua: (x -0)/-2 = (y - 1)/-1 = (z - 2)/-2

En cartesianas: -1x + 2y + -2 = 0

-2x + 2z + -4 = 0

----------------------

40.-

Plano determinado por tres puntos:

Halla las ecuaciones paramétricas, y la ecuación general, del plano que

pasa por los tres puntos A, B, C.

Datos: (0; -1; 0) , (1; 0; -1) , (1; 2; 3)

Ecuación paramétrico-vectorial:


355

(x, y, z) = (0, -1, 0) + t.(1, 1, -1) + s.(1, 3, 3)

Ecuación general: 6x + -4y + 2z + 4 = 0

--------------------

41.-

Calcula dos puntos y un vector director de r dada

en cartesianas.

Halla dos puntos y un vector director de la recta r dada por dos


Datos: 2.x -1y + z -2 = 0 , -3.x + 0.y + z + 3 = 0

Puntos:

P(1; 0; 0), Q(0; -5; -3),

Vector: v = PQ = (1, 5, 3)

----------------------

42.-

Halla tres puntos del plano m y una base del subespacio director. (m

dado por su ecua. general)

Datos: 2.x -3.y + 3.z -5 = 0

Puntos:

(0; 0; 1,66), (0; 0; 1), (2,5; 0; 0)

Vectores:

(0; 0; -0,66)

(2,5; 0; -1,66)

----------------------

43.-

Halla la ecuación del plano m que pase por P y sea perpendicular a la

recta r1 dada por sus ecuaciones cartesianas.

Datos: (0; -1; 1), 2.x -3.y + 1.z + 2 = 0, -3.x + 2.y + 1.z -5 = 0

Ecuación general: -1.x +1.y +-1.z +0,6 = 0

356

-----------------------------

44.-

Halla la recta r que pase por P y corte perpendicularmente a r1 =

{Q+t.v}. También un vector director de r.

Datos: (1; 0; -1), (0; 2; 1), (2; 3; 1)

Ecuaciones cartesianas de r: 4x + -5y + 7z + 3 = 0

2.x + 3.y + 1.z + -1 = 0

------------------------------

45.-

Halla la ecuación general del plano m que pase por P y sea paralelo al

plano m1 = {Q + <k1.v + k2.w>}.

Datos: (1; 0; 2), (0; 1; 0), (1; 2; -1), (0; 1; 3)

Ecuación general: 7.x + -3.y + 1.z + -9 = 0

------------------------------

46.-

Determina la ecuación del plano m que pase por P y sea perpendicular a

la bisectriz del primer octante.

Datos: (2; 1; -3)

Un Vector director de la bisecctriz: v(1, 1, 1)

Ecuación general: x + y + z + 0 = 0

----------------------

47.-

Dados r = {P + t.v} y m = {Q + <k.v1 + h.v2>}, con los valores que se

muestran,

determina el valor de c para el cual r es paralela a m

Datos: r: (1; 0; 2), (2; 1; c)


357

m: (0; 1; 2), (1; 0; 1), (2; 3; 4)

Basta que se cumpla: v = k.v1 + h.v2

Obtenemos: c = 8/3

La recta yace sobre el plano si: OP = OQ + k.v1 + h.v2

Coprobamos que es imposible ya que resulta: h = -1/3 -> k = -4/3 y

k = 5/3, lo cual es contradictorio.

--------------------------

48.-

Dadas las rectas r = {P + k.v}, s = {Q + h.w}, con los valores que se

muestran,

determina el valor de c para el cual son coplanarias.

En ese caso calcula el punto común.

Datos: r:(1; 0; 2), vector:(2; 1; c)

Datos: s:(0; 1; 2), vector:

Cuando sean coplanarias se cortarán (salvo que sean paralelas)

Observa que no son paralelas)

Si M es punto común tengo: OM = OP + k.v = OQ + h.w

Resulta: c = -3/2, k = 4, h = 3

Punto común: M(9, 4, -4)

--------------------------

49.-

Distancia entre dos puntos:

Calcula la distancia entre los puntos A y B

Datos: (2; 0; 1) , (0; 1; 3)

Distancia PQ = 3

------------------------

50.-

358

Distancia desde P hasta el plano m (En cartesianas):

Calcula la distancia desde el punto P al plano m (dado por su ecua.

general)

Datos: (1; 0; -1) , 2.x -3.y + 1.z -5 = 0

Distancia: d(P, m) = 0,285

--------------------------

51.-

Distancia desde P hasta la recta r dada en cartesianas:

Calcula la distancia desde el punto P a la recta r dada por sus ecuaciones

cartesianas.

Datos: (3; -1; 0), 3.x -2.y + 1.z + 2 = 0, -2.x + 1.y + z -3 = 0

Distancia: d(P, r) = 1,373

-------------------------

52.-

Distancia desde la recta r hasta el plano m:

Calcula la distancia entre la recta r = {P + t.v}, y el plano m dado por su

ecuación general

Datos: (1; 2; 0), (2; -3; 1), 2.x -3.y + 2.z -5 = 0

Posición relativa: No son paralelos, Se cortan

Distancia: d(r, m) = 0

---------------------------

53.-

Distancia entre dos planos m1, m2:

Calcula la distancia entre los dos planos m1 = {P + k.v + h.w}, y m2 en

cartesianas.

Datos: (1; 0; 0), (2; 0; 1), (-1; 2; 0)

2.x -3.y + z -3 = 0

Posición relativa: No son paralelos


359

Distancia: d(m1, m2) = 0

-----------------------

54.-

Distancia entre dos rectas: r1 = {P + t.v}, r2 en cartesianas

Calcula la distancia entre las dos rectas r1 = { P + t.v}, y r2 dada en

cartesianas.

Datos: (0; 2; 0), (2; -1; 3)

2.x -3.y + z + 2 = 0, -3.x + y + 2.z -5 = 0

Resultado:

Posición relativa: Las rectas No se cortan.

Distancia: d(r1, r2) = 0,355

-------------------------

55.-

Del haz de planos cuyo vértice es la recta r dada en cartesianas,

determina aquel plano que pasa por el punto P.

Datos: Punto:(2; 1; 0), Plano: 2.x -3.y + z + 2 = 0, x + 2.y -1.z -3 = 0

Valor del parámetro k = -3

Plano pedido: -1.x + -9.y + 4.z + 11 = 0

------------------------

56.-

Dadas las rectas r1 = {P + t.v}, r2 en cartesianas y el punto Q, halla la

recta s que pase por Q y corte a r1 y r2.

Datos: Recta r1: Punto P:(2; 0; 1), Vector:(3; -1; 2)

Recta r2: 2.x+1.y-2.z-3=0, x-3.y+1.z+2=0

Punto Q: (-1; 2; 0)

Ecuaciones cartesianas de s:

m1: 3.x +3.y +-3.z +0 = 0

m2: 1,4.x +2,8.y +-2,6.z +-4,2 = 0

-------------------

360

57.-

Determina la recta s que corte ortogonalmente a r1 y r2.

Datos: Punto: (1; 2; 0), Vector: (3; -2; 1)

Plano: 2.x-3.y+1.z+3=0, x+2.y-3.z-2=0

Valor de los parámetros: t = 3,846, h = -1,615

Recta s pedida:

Punto: (12,538; -5,692; 3,846)

Vector: (-16,383; -1,153; -9,9999E-04)

-----------------------

58.-

Dadas las rectas r en cartesianas y s = {P+t.v}, donde v depende del

valor de c, determina valor de c para que sean coplanarias.

Datos: r: x-2y+3z-3 = 0, 2x+y-z+4 = 0

s: (1; 0; 2), (2; 3; c)

Proceso a seguir:

Si son coplanarias tendrán un punto M común, o son paralelas

Entonces:

OM = OP+k.v = OQ+h.w

Son coplanarias cuando c = -27

---------------------

59.-

Dado el haz de planos cuyo vértice es la recta r dada en cartesianas,

analiza para qué par de valores k, c, existe algún plano del haz que

contenga la recta s = {P+t.v}.

Datos: Recta r: x-2y+3z-3 = 0, 2x+y-z+4 = 0

Recta s: Punto: (1; 2; k), Vector: (2; 3; c)

Existe ligadura entre k y c: - w(3).xb + xa.c +k = qx(3)

Dando valor a k obtengo el valor de c:


361

xc = (qx(3) + w(3) * xb - zk1) / xa

Por ejemplo, si k = 2, obtengo

c = 3,714

-----------------------

60.-

Plano m concreto y recta r = {P+t.v}, donde v = (a,b,c) es

indeterminado. Halla la ecuación de r que sea: a)Paralela a m,

b)Ortogonal a m

Datos: Plano m: 2x+y-z+4 = 0

Recta s: Punto: (1; 0; 2), Vector: (a; b; c)

a)Paralelismo: Vectores ortogonales: v*w = 0

a(1).x +b(1).y +c(1).z = 0

Damos valores a x,y

Es paralela para los valores:

x = 0, y = 1, z = 1

Vector: v = (0; 1; 1)

a)Ortogonalidad: Vectores proporcionales: v = k.w

Cualquier valor asignado a k, por ejemplo: k = 2

Es Ortogonal para los valores:

Por ejemplo: v = (4; 2; 0)

------------------------

61.-

Calcula la Superficie del Prisma determinado por los vértices: A,B,C,D

(tomar A como vértice principal). Calcula su volumen. (Haz figura)

Datos A,B: (2; 0; -2) , (-1; 2; 1)

Datos C,D: (0; 1; 0) , (3; 2; 4)

Superficie total: 79,347

Volumen: 7

------------------------

362

62.-

Calcula la Superficie total del Tetraedro de vértices: A,B,C,D. Calcula

su volumen. (Haz figura)

Datos A,B: (3; 0; 1) , (-2; 1; 3)

Datos C,D: (0; 3; 4) , (1; 4; -2)

Resultado:

Superficie de la pirámide de base triangular:

44,282

Volumen de la pirámide de base triangular: 13

-------------------------

62.-

Calcula el Volumen de la Pirámide cuya base es el cuadrilátero:

Datos A,B: (-2; 0; 0) , (1; 0; 0)

Datos C,D: (0; -2; 0) , (2; 2; 0)

Datos, vértice E: (2; 3; 2)

ESTRATEGIA: El cuerpo dado lo secciono mediante un plano m que

pase por

E y la linea BD, resultando dos pirámides con el mismo vértice E y

cuyas

bases son: ABD y CDB

Calculo el volumen de cada una y sumo los resultados

Volumen de la pirámide con base ABD: 2

Volumen de la pirámide con base CDB: 0

Volumen Total de la Pirámide con base ABCD: 2

------------------------

64.-

Superficie lateral y total del Cono conociendo r y h. Calcula su

volumen


363

Datos: r: 20, 50

Volumen: 20943,946

Super. lateral: 3383,598

Super. total: 4640,234

----------------------

Referencia: Las siguientes figuras

65.- Figura 1

Tronco de Pirámide y pirámide menor, recta de base regular pentagonal.

Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales

Datos: L = 10, l = 5

A = 20, R = 15

VOLÚMENES:

364

Radio menor = 7,5

Altura H' del tronco = 18,54

Apotema en base Mayor = 0

Area base Mayor = 0

Apotema en base menor = 7,071

Area base menor = 88,387

Altura pirámide menor h = 18,54

Altura pirámide Mayor H = 37,08

Volumen pirámide Mayor = 0

Volumen pirámide menor = 546,231

Volumen Tronco de pirámide = -546,231

SUPERFICIES laterales:

Apotema en cara del tronco: 19,8431348329844

Superficie lateral tronco = 744,117

Apotema = Altura en cara pirámide menor = 19,843

Superficie lateral pirámide menor = 248,037

-------------------

66.- Figura 2

Tronco de Pirámide y pirámide menor, rectos, de base regular

cuadrada. Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales

Datos: S Área base Mayor = 30, H' del tronco = 15

a Arista pirámide menor = 8, h altura = 6

VOLÚMENES:

Lado en base Mayor L = 5,477

Área base Mayor = 29,997529

Lado base menor l = 7,483


Altura pirámide Mayor H = 21


365

Volumen pirámide Menor = 111,99

Volumen pirámide Mayor = 209,982

Volumen Tronco pirámide = 97,992

SUPERFICIES ...:

Arista de pirámide Mayor A = 5,855

Superf. lateral pirámide menor = 89,796

Apotema en cara pirámide Mayor zAp = 5,175

Superf. lateral pirámide Mayor = 56,686

Superf. lateral Tronco = -33,11

----------------

67.- Figura 3

Tronco de Cono y Cono menor, rectos

Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales

Datos: L Perímetro Base mayor = 60, G' Generatriz tronco = 15

r Radio del cono menor = 8

VOLUMENES:

Radio Mayor R = 9,549

Area base Mayor = 286,461

Generatriz cono menor g = 77,469

Generatriz cono Mayor G = 92,469

Altura cono menor h = 77,054

Volumen cono menor: 5164,207

Altura cono Mayor H = 91,974

Volumen cono mayor: 8782,322

Volumen tronco: 3618,115

SUPERFICIES ...:

Superf. lateral cono menor = 1947,007

366

Superf. cono Mayor = 2773,983

Superf. lateral tronco = 826,976

------------------

68.- Figura 4

Prisma No recto, Bases cuadradas

Calcula su volumen y su superficie total

Datos: A Arista = 30, D Diagonal base = 20

d desviación = 5

VOLUMEN:

Lado base L = 14,142

Altura H = 29,58

Volumen = 5915,886

SUPERFICIE :

Superf. lateral = 1685,16

Superf. total = 2085,152

-----------------

69.- Figura 5

Prisma recto, Bases rectángulos,


Datos: L uno de los lados = 25, d diagonal base = 30

D Diagonal prisma = 50

VOLUMEN:

El otro Lado l de la base = 16,583

Area base = 414,575

Altura H = 40


367

Volumen = 16583

SUPERFICIE:

Superf. lateral = 3326,64

Superficie total = 4155,79

--------------------------

70.- Figura 6

Esfera y Cono inscrito.

Calcula volúmenes y superficies de la esfera y del cono.

Datos: L Perímetro círculo máximo = 80

h Distacia entre planos = 8

VOLÚMENES:

Radio esfera, R = 12,732

Volumen esfera = 8645,266

Radio base del cono, r = 9,904

Volumen cono = 821,75

SUPERFICIES:

Superficie esfera = 2037,056

Superf. lateral cono = 396,147

Superficie total cono = 704,303

------------------

Referencia: Las siguientes figuras

368

71.- Figura 1

Tronco de Pirámide y pirámide menor, rectos, de base regular

pentagonal.Calcula sus volúmenes y sus superficie laterales

Datos: L = 10, H' = 20

h = 12, a = 15

PIRÁMIDE MAYOR:

Radio r = 9

Altura H = 32

Radio R = 24

Apotema en base Mayor = 23,473

Area base Mayor = 586,825

Volumen Pirámide Mayor = 6259,466


369

SUPERFICIE pirámide mayor:

Arista Pirámide Mayor = 40

Apotema en cara Pirámide Mayor = 39,686

Superf. lateral Pirámide Mayor = 992,15

PIRÁMIDE menor:

Lado base menor: 3,75

Apotema en base pirámide menor = 8,802


Volumen pirámide menor: 330,072

Apotema en cara pirám. menor: 14,882

Superf. lateral pirámide menor = 139,518

TRONCO de pirámide:

Volumen Tronco Pirámide = 5929,394

Superf. lateral Tronco ... = 852,632

------------------

72.- Figura 2

Tronco de Pirámide y pirámide menor, rectos, de base regular cuadrada.

Calcula sus volúmenes y sus superficies laterales.

Datos: A arista tronco = 20, H' del tronco = 12

a arista pirámide menor = 10, l altura = 8

PIRÁMIDE menor:

Radio menor: 5,656

Altura pirám. menor: 8,246

Volumen pirám. menor: 175,914

Apotema en cara pirám. menor: 9,165

Superf. lateral pirám. menor = 146,64

370

PIRÁMIDE mayor:

VOLUMEN pirámide mayor:

Radio base mayor: 21,656

Lado base mayor: 30,626

Altura pirám. mayor: 20,246

Volumen pirám. mayor: 6329,924

SUPERFICIE lateral pirámide mayor:

Apotema en cara tronco pirámide = 16,492

Apotema en cara pirámide mayor = 25,657

Superf. lateral pirám. mayor = 1571,542

TRONCO de pirámide:

Superf. lateral Tronco Pirámide = 1424,902

Volumen Tronco Pirámide = 6154,01

-------------------------

73.- Figura 3

Tronco de Cono y Cono menor, rectos

Calcula sus volúmenes y sus superficies totales

Datos: H' = 15, G' = 20

l Perímetro base menor = 10

VOLÚMENES:

Radio menor r = 1,591

Radio Mayor R = 14,819

Altura menor h = 1,804

Altura Mayor H = 16,804

Volumen cono menor yV = 4,781

Volumen Cono Mayor xV = 3864,372

Volumen Tronco cono = 3859,591


371

SUPERFICIES:

Generatriz cono menor: 2,405

Superf. lateral cono menor = 12,02

Generatriz cono mayor: 22,405

Superf. lateral cono Mayor = 1043,07

Superf. lateral Tronco cono = 1031,05

------------------

74.- Figura 4

Prisma No recto, Bases cuadradas


Datos: A Arista = 20, distancia EF = 15

desviación d = 5

VOLUMEN:

Lado base L = 7,071

Altura H = 19,364

Volumen V = 968,181

SUPERFICIE:

Superfi. lateral SL = 556,685

Superfi. total St = 656,683

------------------------

75.- Figura 5

Prisma recto, Bases rectángulos


Datos: S' = 25, d diagonal base = 15

D Diagonal prisma = 20

372

VOLUMEN :

Altura H = 13,228

Lado menor l = 1,889

Lado mayor L = 14,88

Volumen V = 371,816

SUPERFICIE:

Supef. lateral SL = 443,640664

Supef. total St = 499,857304

------------------

76.- Figura 6

Esfera y Cono

Calcula volumen y superficie total de la esfera y del cono (base plana)

Datos: L Perímetro Círculo máximo = 50

r Radio disco menor = 5

VOLÚMENES:

Radio esfera R = 7,957

Altura Cono h = 6,189

Volumen esfera Ve = 2110,263

Volumen Cono Vc = 162,027

SUPERFICIES:

Superf. esfera Se = 795,625

Superf. lateral Cono Slc = 124,988

Superf. total Cono Stc = 203,527

--------------------------

77.- Ejemplo 1:

Esfera: Calcula su superficie y volumen,

conociendo el perímetro L del circulo máximo.


373

Datos: 100

Radio esfera = 15,9154976203148

Resultado: V = 16886,87, S = 3183,099

-----------------------

78.- Ejemplo 2:

Esfera: Calcual su superfifie y volumen,

conociendo el volumen V de un octante de esfera

Datos: 50

Resultado: V = 400, S = 262,537

---------------------------

79.-

Dado el haz determinado por r1 y r2, en cartesianas, determina aquella

que pasa por P

Datos: Punto: (2; 3)

Rectas: 2.x -3.y + 4 = 0, -3.x + 2.y -5 = 0



Pasará por P(px(i)) si para algún valor de k se cumple

(A+k.A').px(1) + (B+k.B').px(2) + (D+k.D') = 0

o bien: (A.px(1) + B.px(2) + D) + (A'.px(1) + B'.px(2) + D').k = 0

de donde despejo k

Recta pedida:

El punto P está en r2

------------------------

374

DE ESPACIOS Vectoriales

80.-

Analiza si los vectores v, w son o no linealmente independientes

Datos: v = (-2; 1) , w = (3; 0)

Resultado:

Son linealmente independientes.,

--------------

81.-

Analiza la relación de dependencia de los vectores t, u, v

Datos: t = (2;3), u = (-1;2), v = (1;4)

Resultado:

t, u son l.indep., v será combin. lineal de éstos.

v = 0,85.t + 0,71.u

--------------

Comprueba si los vectores v, w constituyen una Base para V2

Datos: v = (2;3), w = (1;-2)

Resultado:

v ,w Son linealmente independientes. Sí forman base

------------------

82.-

Dados los vectores t, u, v, w, si es posible, extrae una Base para V2

Datos: t = (3;1) , u = (2;0)

v = (1;2) , w = (3;4)


375

Resultado:

Sí es posible una base

t, u Son linealmente independientes

Base: {(3;1, (2;0)}

------------------

83.-

Dado el vector w, expresado en la base canónica, y la base B = {v1,

v2}, determina la expresión del vector u en B

Datos: Vector w = (2;3)

Base: {(1;2), (3;2)}

Exprsión: w = 1,25.v1 + 0,25.v2

--------------

84.-

Dadas las bases B= {v, w}, B'= {v', w'}, determina la matriz A del

cambio de base de B a B'. ( Las filas de A son las expresiones de los

vectores de B en la base B' : v = a11.v' +a12.w' ,....)

Datos: Base B: {(2;1), (1;3)}

Base B': {(2;0), (3;4)}

Resultado:

Matriz de cambio A =

( 0,62 0,25 )

( 0,62 0,25 )

------------------

85.-

Dado el vector w en la base B, y la matriz A del cambio de base de B

a B', halla la expresión de w en la base B'.

376

Datos: w = (3;4)

Matriz A de cambio:

( 2 1 )

( -3 2 )

Resultado:

Coor. en B: w = (3;4)

Coor. en B': w = (-6 ; 11)

------------------

86.-

Analiza si los vectores t, u, v son o no linealmente independientes

Datos: t = (2;1;-3) , u = (1;0;2), v = (0;3;2)

Resultados:

t y u son l. independiente

t,u,v son line. independientes. Forman una base

--------------------

87.-

Analiza la relación de dependencia de los vectores t, u, v, w

Datos: t = (2;1;3) , u = (1;0;3), v = (0;3;2) , w = (3;1;2)

Resultado:

t y u son l. independiente

t, u, v son line. independientes. Forman una base.

El vector w es combina. lineal de t, u, v

-------------------

88.-

Comprueba si los vectores t, u, v constituye una Base para V3

Datos: t = (2;3;1) , u = (-1;2;3), v = (3;-2;0)


377

Resultado:

Det = 35

Sí Forman base: B = {(2;3;1), (-1;2;3), (3;-2;0)}

--------------------

89.-

Dados los vectores t, u, v, w, si es posible, extrae una Base para V3

Datos: t = (2;1;3), u = (4;2;6), v = (0;2;1), w = (2;0;3)

Resultado:

t y u son l. dependientes. Rechazo u

Probamos con t, v

t y v son l. independientes. Me quedo con los dos. Agregamos el

vector w, y probamos

t, v, w son line. independientes. Forman una base.

B = {(2;1;3), (0;2;1), (2;0;3)}

---------------------

90.-

Dados el vector w, expresado en la base canónica, y la base B = {v1,

v2, v3}, determina la expresión de w en esta base.

Datos: w = (3;2;4)

B = {(2;0;1), (1;3;0), (1;2;3)}

Resultado:

w = 1.t + 0.u + 1.v

-----------------

91.-

Dadas las bases B= {e1,e2,e3}, B'= {u1,u2,u3}, determina la matriz A

del cambio de base de B a B'. (Hemos de expresar los vectores de B en

la base B' : ei = Suma( ki.ui ). La matriz opera así:

(yi) = (xi) . A)

378

Datos: Base B = {(3;2;1), (0;2;1), (2;0;3)}

Base B' = {(1;3;0), (0;2;1), (2;1;3)}

Resultado:

Matriz de cambio A =

( 1,36 -1,46 0,81 )

( 0 1 0 )

( -0,19 -0,28 1,09 )

----------------

92.-

Dado el vector w expresado en la base B, y la matriz A del cambio de

B a B', halla su expresión en la base B'.

Datos: Vector w = (2; 3; 4)

Matriz A del cambio de base:

( 2 3 1 )

( 0 2 3 )

( 1 3 2 )

Resultado:

Coor. en B: w = (2;3;4)

Coor. en B': w = (8; 24; 19)

--------------------

93.-

Comprueba si los vectores v1, v2, v3, v4 constituyen una Base para

V4.

Datos: v1 = (1;0;0;0), v2 = (0;2;3;1)

v3 = (0;4;0;-2), v4 = (0;0;5;6)

Resultados:

Sí forman base:

Base B = {(1;0;0;0), (0;2;3;1), (0;4;0;-2), (0;0;5;6)}

--------------------


379

91.-


V4.

Datos: v1 = (2;0;3;1), v2 = (0;1;2;3)

v3 = (3;1;0;2), v4 = (1;2;3;0)

Resultados:

Sí forman base:

Base B = {(2;0;3;1), (0;1;2;3), (3;1;0;2), (1;2;3;0)}

--------------------

94.-


V4

Datos: v1 = (3;2;0;1), v2 = (0;2;1;3)

v3 = (1;0;2;3), v4 = (2;3;1;0)

Resultados:

Sí forman base:

Base B = {(3;2;0;1), (0;2;1;3), (1;0;2;3), (2;3;1;0)}

--------------------

93.-

Dados el vector w, expresado en la base canónica, y la base B = {v1,

v2, v3, v4}, determina la expresión de w en esta base.

Datos: w = (3;2;1;4)

Base B = {(3;2;0;1), (0;2;1;3), (1;0;2;3), (2;3;1;0)}

Resultado:

CoordenadasEnV4:

Compruebo si es Base válida, calculando det(A):

380

Determinante 4x4:

Determinante 3x3:

Valor Det = -15

Valor Menor 1 = -45

Determinante 3x3:

Valor Det = -3

Valor Menor 2 = 6

Determinante 3x3:

Valor Det = 21

Valor Menor 3 = 0

Determinante 3x3:

Valor Det = 9

Valor Menor 4 = -9

Valor detD = -48

Valor de det(A) = -48

Determinante 4x4:

Determinante 3x3:

Valor Det = -15

Valor Menor 1 = -45

Determinante 3x3:

Valor Det = -15

Valor Menor 2 = 30

Determinante 3x3:

Valor Det = 15

Valor Menor 3 = 0

Determinante 3x3:

Valor Det = 5

Valor Menor 4 = -5

Valor detD = -20

Valor incógnita 1 = 0,416

Determinante 4x4:

Determinante 3x3:

Valor Det = -15

Valor Menor 1 = -45


381

Determinante 3x3:

Valor Det = -3

Valor Menor 2 = 9

Determinante 3x3:

Valor Det = 18

Valor Menor 3 = 0

Determinante 3x3:

Valor Det = 8

Valor Menor 4 = -8

Valor detD = -44


Determinante 4x4:

Determinante 3x3:

Valor Det = -15

Valor Menor 1 = -45

Determinante 3x3:

Valor Det = 18

Valor Menor 2 = -36

Determinante 3x3:

Valor Det = 21

Valor Menor 3 = 63

Determinante 3x3:

Valor Det = 2

Valor Menor 4 = -2

Valor detD = -20


Determinante 4x4:

Determinante 3x3:

Valor Det = 5

Valor Menor 1 = 15

Determinante 3x3:

Valor Det = -8

382

Valor Menor 2 = 16

Determinante 3x3:

Valor Det = 2

Valor Menor 3 = 0

Determinante 3x3:

Valor Det = 9

Valor Menor 4 = -27

Valor detD = 4

Valor incógnita 4 = -8,333

En base canónica: w = (3;2;1;4)

En base B: w = (0,416; 0,916; 0,416; -8,333)

-------------------

94.-

Dadas las bases B= {v1,v2,v3,v4}, B'= {w1,w2,w3,w4}, determina la

matriz A del cambio de base de B a B'. ( La matriz A opera así: (yi) =

(xi) . A )

Datos:

Base B = {(2;0;3;1), (0;1;2;3), (3;1;0;2), (1;2;3;0)}

Base B' = {(3;2;0;1), (0;2;1;3), (1;0;2;3), (2;3;1;0)}

Det(B) = 72

Det(B') = -48

Resultado: Matriz A del cambio de base

(Cambio B a B': (yi) = (xi).A, donde (xi) en B, (yi) en B' )

(1,02 -0,604 0,77 0,145)

(-8,333 0,416 1,916 -0,583)

(0,604 0,479 -0,645 0,229)

(0,25 -0,25 0,25 0,75)

-------------------


383

95.-

Dados el vector w expresado en la base B, y la matriz A de cambio de

base de B a B', halla la expresión de w en B' . ( (yi) = (xi) . A )

Datos: (3;2;0;1)

Matriz A del cambio de base:

(2 1 0 3)

(0 3 1 2)

(3 0 2 0)

(1 2 3 4)

Resultado:

Coor. en B: (3;2;0;1), Coor. en B': (7; 11; 5; 17)

--------------------

96.-

Dados los vectores v, w, expresados en base ortonormal, calcula

v * w

Datos: v = (2;3;1), w = (1;-2;3)

Resultados:

Valor v * w = -1

--------------------

97.-

Dados los vectores v, w, expresados en la base B también dada, calcula

v * w . (Realiza cambio de base a la canónica par obtener v y w en esta

base ortonormal)

Datos: v = (2;3;1), w = (1;3;4)

Base B = {(2;0;3), (0;1;2), (3;2;0)

Resultado:

Valor de v * w = 867

-------------------

384

98.-

Dados los vectores v, w, expresados en base ortonormal, calcula v *

w

Datos: v = (3;4;1), w = (1;0;3)

Resultados:

Valor v * w = 6

--------------------

99.-

Dados los vectores v, w, expresados en la base B también dada, calcula

v * w . (Realiza cambio de base a la canónica par obtener v y w en esta

base ortonormal)

Datos: v = (3;1;2), w = (2;4;0)

Base B = {(1;0;3), (0;3;2), (4;3;0)}

Resultado:

Valor de v * w = 1706

-------------------

100.-

Dados los vectores v, w, en base ortonormal. Calcula el menor de los

ángulos que determinan.

Datos: v = (3;4;2), w = (1;0;3)

cos(g) = 0,528

sen(g) = 0,849

tan(g) = 1,607

Valor final de g = 1,014

-------------------

101.-

Dados los vectores v, w, expresados en base ortonormal,

calcula v ^ w

Datos: v = (3;1;4), w = (2;3;0)


385

Resultado:

Vector U = (-12; 8; 6)

-------------------

102.-

Dados los vectores v, w, t, expresados en base ortonormal,

calcula t * (v ^ w)

Datos: v = (1;2;0), w = (3;4;2), t = (2;1;4)

Resultado:

Valor t * (v ^ w) = -10

-------------------


387

CONSTRUCCIÓN geométrica con regla y compás

A) Triángulo equilátero:

Figura (1): Dato el segmento AB, lado del triángulo

Pincho en A y trazo arco con radio AB; pincho en B y trazo arco con el

mismo radio BA; obtengo el punto C, que es el tercer vértice.

Figura (2): Dato un círculo de radio R.

Interesa tener en cuenta que el lado AB del triángulo está relacionado

con el radio mediante

AB = √3

2 . R, o bien R =

2.√3

3 . AB

Se ha demostrado que el punto M es el punto medio de OD. Por

consiguiente:

Determino el punto medio M, y trazo por M la paralela

al diámetro; esta recta corta al círculo en A, B. El vértice C es evidente.

----------------

B) El hexágono regular:

Figura (1): Dato el lado AB del hexágono

388

Construyo el triángulo equilátero ABO. Trazo por O la recta paralela al

lado AB, y sobre esta recta tomo las distancias OC y OD. Prolongo los

lados AO y BO, y sobre estas prolongaciones tomo las distancias OE y

OF. Unimos los puntos obtenidos y tengo el hexágono.

Figura (2): Dato el círculo de radio R = AB = lado del hexágono

Trazo el círculo con radio R. Con el compás tomo la medida del radio,

OD, y la traslado sobre la circunferencia, pinchando en D, para obtener

los puntos A y F. Por A y por F trazamos paralelas al diámetro y

cortarán en los puntos B y E. Tengo también el punto C. Unimos todos

los puntos y resulta el hexágono inscrito.

C) Pentágono regular: Dato el segmento AB

Trazo perpendicular por B. Con centro B trazo arco con radio AB,

obtengo C.


389

Obtengo el punto medio M. Con centro M trazo arco con radio MC,

obtengo D.

Trazo por M la perpendicular a AB. Con centro A trazo arco con radio

AD, obtengo E.

Con radio AB, trazo un arco con centro E de forma que corte al arco con

centro A obteniendo F, y al arco con centro B obteniendo G.

390

Tengo completado el pentágono.

D) Pentágono regular: Inscrito en círculo con radio AB

Con centro en P trazo arco con radio OP, obtengo Q, R y el punto medio

M.

Con centro en M trazo arco con radio MA, obtengo Z. Con centro en A

trazo arco con radio AZ, obtengo B, C.


391

Con centro C trazo arco con radio CA, obtengo D.

Por D trazo paralela al diámetro y obtengo E.

Los cinco puntos A, B, C, D, E son los vértices del pentágono.

--------------------------


393

BIBLIOGRAFÍA

Álgebra y Geometría Analítica

Autor: Francisco Granero Rodríguez

Edita: McGraw-Hill (Ediciones La Colina, S.A. (España))

Edición de 1985

Geometría Métrica (Curso de ..), Tomo I – Fundamentos

Autor: Pedro Puig Adam

Biblioteca Matemática, S.L., Madrid, 13ª Edición 1977

Geometría Métrica (Curso de .. ), Tomo II- Complementos

Autor: Pedro Puig Adam

Biblioteca Matemática, S.L., Madrid, Novena Edición 1970

Lecciones de Álgebra

5ª Edición, Madrid 1960

Julio Rey Pastor

Elementos de Matemáticas

4ª Edición

Julio Rey Pasto y A. de Castro

S.A.E.T.A. (Sociedad Anónima de Traductores y Autores)

Madrid 1967

Análisis Matemático, Volúmenes I, II, III

Octava Edición 1969

Autores: Julio Rey Pastor

Pedro Pi Calleja

César A. Castro

Editorial KAPELUSZ, Buenos Aires (Argentina)

Álgebra Moderna

394

Autor: A. Lentin y J. Rivaud

Traducción: Emilio Motilva Ylarri

Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965

Ejercicios de Álgebra Moderna

Autor: A. Lentin y J. Rivaud

Traducción: Emilio Motilva Ylarri


Lecciones de Álgebra Moderna

Autor: P. Dubreil, M.L. Dubreil-Jacotin

Traducción: R. Rodríguez Vidal

Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1971

Geometría Básica

Autor: Pedro Abellanas

(Copyright by the Author)

Editorial Romo, S.L., Madrid, año: 1969

Geometría Descriptiva

Autor: Fernando Izquierdo Asensi

Editorial Dossat, S.A., Madrid, año: 1979

Geometría Descriptiva Superior y Aplicada

Autor: Fernando Izquierdo Asensi

Editorial Dossat, S.A., Madrid, Año: 1975

Álgebra Lineal

Autor: Daniel Hernández Ruipérez

Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990

Geometría Vectorial

Autor: Norberto Cuesta Dutari

Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1968


395

Álgebra Lineal

Autor: Daniel Hernández Ruipérez

Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990

Álgebra Lineal (incluyendo Teoría de Conjuntos),

y Problemas resueltos

Autor: Alberto Luzárraga

Editado por el autor, Barcelona 1968

Geometría Diferencial Clásica

Autor: Dirk J. Struik

Traducción: L. Bravo Gala


Notas sobre geometría diferencial (Notes on differential geometry)

Autor: Noel j. hicks

Traducción: Francisco Pañella y otros

Editorial Hispano Europea, Barcelona (España), año: 1974

-----------


397

NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores:

Símbolo Significado

* Producto

. Producto

^ Potencia

sqr(a) Raíz cuadrada

rad(a) Raíz cuadrada

rad(a;n) Radical con índice n

rad(a;n/m) Radical con índice n/m

∈ significa ‘pertenece a’

∞ infinito

exp(x) Exponencial: exp(x) = ex

exp(x;a) Exponencial de base a>0:

exp(x;a) = ax

ln(x) Logaritmo neperiano:

y = ln(x) <--> x = ey

log(x;a) Logaritmo base a>0:

y = log(x;a) <--> x = ay

≅ aproximado

∆ incremento

398

< menor que, > mayor que, Ej.: x < y, x > y

Valores:

𝜋 = 3,1415927... (número pi, en radianes)

pi = 3,1415927... (número pi, en radianes)

e = 2,7182818... (número e, base de ln(x))

sen(0) = 0 cos(0) = 1

sen(pi/6) = 1

2 cos(pi/6) =

√3

2

sen(pi/3) = √3

2 cos(pi/3) =

1

2

sen(pi/2) = 1, cos(pi/2) = 0

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